מקומות גיאומטריים הכוללים פרמטרים

‫מקומות גיאומטריים – השתלמות קיץ ‪2015 -‬‬
‫הקדמה‪:‬‬
‫נושא המקומות הגיאומטריים הינו מרכזי בתכנית הלימוד ל‪ 5 -‬יח"ל‪ .‬פרק זה מאגד בתוכו את כל‬
‫המרכיבים של הגיאומטריה האנליטית‪ :‬ישר‪ ,‬מעגל‪ ,‬אליפסה ופרבולה בראיה מוכללת‪ .‬נושא זה‬
‫רלוונטי בעיקר בחט"ע לקראת שאלון ‪ 807‬אך ניתן לקשרו גם לחט"ב‪.‬‬
‫במסמך זה נציג את המתודה הכללית לפתרון בעיות מקומות גיאומטריים הכוללים פרמטרים‬
‫ונציג דוגמאות רבות לשאלות מסוג זה‪ .‬השאלות יוצגו על‪-‬פי הצורה המתקבלת )אם היא‬
‫מאופיינת(‪.‬‬
‫אלגוריתם הפתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬יש לשרטט את נתוני הבעיה ובה נקודה המייצגת את נקודות המקום הגיאומטרי‪.‬‬
‫כדאי לסמן את שיעורי הנקודה המייצגת ב‪( ,  ) :‬‬
‫כדי לא להתבלבל בין‬
‫‪x, y‬‬
‫של הגרפים‬
‫המופיעים בשרטוט לבין הנקודה שלנו‪.‬‬
‫ב‪ .‬יש לבנות שיוויון המתאר קשר נתון או המצאות נקודה על גרף מסויים‪.‬‬
‫ג‪ .‬יש לפשט את הביטוי המתקבל ולחזור לסימון נקודה כללית‪ ,     x, y  :‬‬
‫‪.‬‬
‫כיצד ניתן לחבר לחט"ב‪:‬‬
‫כאשר אנו מלמדים משוואה לינארית‪ ,‬ניתן לתת דוגמאות לשקילות התוצאה בגישות פתרון‬
‫שונות‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫יש למצוא את משוואת האנך האמצעי לקטע שקצותיו‪1,3 ,  2,5 :‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪B(-2,5‬‬
‫‪D‬‬
‫)‪C(1,3‬‬
‫פתרון ראשון‪:‬‬
‫‪ 1 2 3 5 ‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪D‬‬
‫‪,‬‬
‫‪‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ ,4 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 2 ‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪53‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪mBC ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ mAD 1‬‬
‫‪2 1 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y 1 x  4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫ולכן משוואת האנך האמצעי היא‪:‬‬
‫פתרון שני‪ :‬קל להראות כי האנך האמצעי הוא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות הנמצאות‬
‫במרחקים שווים מקצות הקטע )חפיפה פשוטה( ולכן‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x 1  y 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  2    y 5 ‬‬
‫‪d AB  d AC ‬‬
‫‪x 2  4x  4  y 2 10 y  25 x 2  2x 1 y 2 6 y  9‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3x  2 y  9‬‬
‫‪ y 1 x  4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫ניתן לבנות דוגמאות נוספות המבוססות על חפיפת משולשים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫דוגמאות המתאימות לחט"ע‪:‬‬
‫הדוגמאות ממוינות על‪-‬פי סיווג המקום המתקבל ולפי סדר קושי עולה‪ .‬ברור כי השאלה‬
‫הראשונה בכל אוסף יכולה‪ ,‬כנראה לשמש גם בחט"ב‪.‬‬
‫קו ישר‪:‬‬
‫דוגמה ראשונה )מתוך‪ -‬גיאומטריה אנליטית ‪ -‬חיים אבירי(‪:‬‬
‫הוכח כי המקום הגיאומטרי של מרכזי כל המעגלים העוברים דרך שתי הנקודות ‪ 2b,2a ‬‬
‫ו‪  2a,2b  -‬הוא קו ישר‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫נסמן את מרכז המעגל ב‪-‬‬
‫‪ ,  ‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪O(,‬‬
‫)‪A(2b,2a‬‬
‫)‪B(2a,2b‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  2a     2b ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  2b     2a ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪d AO  dBO‬‬

 ,   x, y 
x 2  4bx  4b 2  y 2  4ay  4a 2  x 2  4ax  4a 2  y 2  4by  4b 2
y  4a  4b   x  4a  4b 
a b
yx
‫ מהנדסת המישור ידוע כי האנך האמצעי למיתר עובר‬.‫נשים לב כי ניתן לפתור גם בדרך אחרת‬
:‫במרכז המעגל ולכן‬
y
A(2b,2a)
O(,)
M(a,b)
B(2a,2b)
x
 2b  2a 2a  2b 
M AB 
,
 M AB  a b, a  b 

2 
 2
2b  2a
m 
1  m 1
AB 2a  2b
MO

y   a b   x   a b   y  x
4
‫דוגמה שנייה )מתוך – גיאומטריה אנליטית – בני גורן(‪:‬‬
‫במשולש ישר זווית‬
‫ל‪-‬‬
‫‪BC‬‬
‫החותך את‬
‫‪ABC‬‬
‫‪AB‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪C  0,0  , B 0,b  , A a,0 ‬‬
‫‪ AC‬בהתאמה בנקודות ‪D‬‬
‫מצאו את המקום הגיאומטרי של מפגש הישרים‬
‫‪CD‬‬
‫‪ .‬מעבירים ישר מקביל‬
‫ו‪. E -‬‬
‫ו‪. BE -‬‬
‫‪y‬‬
‫‪B  0,b ‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M  ,  ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪A a,0 ‬‬
‫‪E‬‬
‫נסמן את הנקודה המייצגת את המקום הגיאומטרי ב‪ ,  -‬‬
‫ישר ‪: AB‬‬
‫ישר ‪: CD‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ y   xb‬‬
‫‪a‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪mAB  ‬‬
‫‪mCD ‬‬
‫‪C  0,0 ‬‬
‫‪.M‬‬
: D ‫של נקודה‬
b

 xb  x
a


x -‫שיעור ה‬
 b
ab
x     b  xD 
 a  b
 a 

 ab

E
,0 
  a  b 
mBE 
  a  b 
b

ab
a

 a  b

  a  b 
y 
 x b
 a 
:‫על הישר ולכן‬
 a  b 
 b

 a 
  

 ,     x, y 
bx  2ay  ab 0
6
2  
b b
a
M
‫דוגמה שלישית )מתוך ארכימדס ‪:(807‬‬
‫מהנקודה ‪P‬‬
‫יוצאים שני משיקים‪:‬‬
‫משיק אחד למעגל‪:‬‬
‫‪x2  2Rx  y2 10Ry  25R2  0‬‬
‫ומשיק שני למעגל‪:‬‬
‫‪x2  6Rx  y2  2Ry  9R2  0‬‬
‫הביעו באמצעות ‪ R‬את המקום הגיאומטרי של כל הנקודות ‪P‬‬
‫עבורן אורכם של שני המשיקים‬
‫שווה‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫מעגל ראשון‪:‬‬
‫‪r1  R‬‬
‫‪M1  R, 5R ‬‬
‫‪,‬‬
‫מעגל שני‪:‬‬
‫‪r2  R‬‬
‫‪M 2  3R, R ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪P  ,  ‬‬
‫‪M  3R, R ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪M‬‬
‫‪M  R,5R ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪7‬‬
‫נעבור‬
‫‪ ,    x, y ‬‬
‫ונשווה את המרחקים בריבוע‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2  3R  x  R  y 2  R 2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪R‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬‬
‫אחרי פתיחת סוגריים וכינוס איברים דומים נקבל‪:‬‬
‫‪x  3 y 4R‬‬
‫נשים לב כי גם במקרה זה ניתן לפתור בדרך נוספת‪:‬‬
‫היות והמרחקים שווים‪ ,‬הרי הנקודה ‪P‬‬
‫‪ R  3R 5R  R ‬‬
‫‪M‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ M  2R, 2R ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫נמצאת על האנך האמצעי של קטע המרכזים ולכן‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪R  5R 3‬‬
‫‪3R  R‬‬
‫‪mMP ‬‬
‫ומכאן שמשוואת האנך האמצעי היא‪:‬‬
‫‪ 3 y  6R   x  2R  x  3 y 4R‬‬
‫‪8‬‬
‫‪y  2R  1 x  2R ‬‬
‫‪3‬‬
‫מעגל‪:‬‬
‫שאלות הכוללות מקום גיאומטרי שתוצאתו מעגל מגוונות מאד‪ .‬נציג מספר דוגמאות המייצגות‬
‫גיוון זה וכוללות נתונים התחלתיים כללים‪.‬‬
‫דוגמה ראשונה )מתוך מיקוד רכס ‪:(007‬‬
‫מצאו את המקום הגיאומטרי של כל הנקודות אשר סכום ריבועי מרחקיהן מצלעות משולש שווה‬
‫צלעות ששניים מקודקודיו הם ‪ a,0  ,  a,0 ‬‬
‫‪ ,‬והקודקוד השלישי נמצא על הציר החיובי‬
‫של ציר ה‪ , y -‬הוא גודל קבוע‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪A 0, 3 a‬‬
‫‪ ,  ‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪C(a,0‬‬
‫‪O‬‬
‫)‪B(-a,0‬‬
‫היות ומדובר במרחקי נקודה ממספר ישרים‪ ,‬נמצא תחילה את משוואות הישרים‪.‬‬
‫על‪-‬פי משפט פיתגורס ב‪:‬‬
‫ומכאן‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪3a‬‬
‫‪ 0,‬‬
‫משוואת הישר ‪: AC‬‬
‫‪AOC‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪OA  4a 2  a 2  3a‬‬
‫‪.A‬‬
‫‪3a‬‬
‫‪ 3 ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪y  3 x  3a‬‬
‫‪9‬‬
‫‪mAC ‬‬
‫משוואת הישר ‪: AB‬‬
‫‪y  3x  3a‬‬
‫משוואת הישר ‪: BC‬‬
‫‪y0‬‬
‫‪3a‬‬
‫‪ 3 ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪mAB ‬‬
‫‪Ax  By  c‬‬
‫‪0‬‬
‫נשתמש בנוסחת המרחק‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫הגיאומטריה ב‪ ,  -‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A B‬‬
‫‪.‬‬
‫היות והמרחק קבוע‪ ,‬אך לא ידוע‪ ,‬נסמנו ב‪-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 k‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫‪3    3a‬‬
‫‪4‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ k 0 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‪ .‬על‪-‬פי הנתון‪:‬‬
‫‪3    3a‬‬
‫‪3    3a   2  4k‬‬
‫אחרי פישוט נקבל‪:‬‬
‫ונסמן את הנקודה המייצגת את המקום‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪3    3a ‬‬
‫‪‬‬
‫‪6 x2  6 y 2  4 3ay  6a2  4k‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ay  a2  k‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x2  y 2 ‬‬
‫נשים לב כי לא בכל תנאי מדובר במעגל! מהמקום שקיבלנו עולה כי‪:‬‬
‫‪k  23 a 2‬‬
‫אם‬
‫‪k  a2‬‬
‫זהו מעגל‪ ,‬אם‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪k  a2‬‬
‫‪‬‬
‫‪R‬‬
‫זוהי נקודה ואם‬
‫‪10‬‬
‫‪‬‬
‫‪M 0, 33 a‬‬
‫‪k  a2‬‬
‫זוהי קבוצה ריקה‪.‬‬
‫דוגמה שנייה )מתוך יואל גבע כרך ג'(‪:‬‬
‫‪C1 , C2‬‬
‫‪ a,0  ,  a,0 ‬‬
‫הם מעגלים שמרכזיהם בנקודות‬
‫לשני המעגלים אותו רדיוס ‪ . r‬הנקודה‬
‫‪P‬‬
‫‪ ,‬בהתאמה‪.‬‬
‫נעה‪ ,‬כך שאורך המשיק ממנה למעגל‬
‫‪C2‬‬
‫גדול פי‬
‫שניים מאורך המשיק ממנה למעגל ‪. C1‬‬
‫הוכח‪ :‬המקום הגיאומטרי של כל הנקודות ‪P‬‬
‫הוא מעגל‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נסמן‬
‫‪y‬‬
‫‪P  ,  ‬‬
‫‪2d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫)‪E(-a,0‬‬
‫)‪D(a,0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ PD   r 2    a    2  r 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ PE   r 2    a    2  r 2‬‬
‫‪PB ‬‬
‫‪PC ‬‬
‫‪PC  2PB‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  a    2  r 2  2   a    2  r 2‬‬
‫‪ 2  2 a  a 2   2  r 2  4 2 8 a  4a 2  4 2  4r 2‬‬
‫נעבור‪ ,   x, y  :‬‬
‫ונפשט‪ ,‬מתקבל הביטוי‪:‬‬
‫‪11‬‬
‫‪x 2  y 2  3 13 ax  r 2  a 2‬‬
‫נראה כי בכל מצב מתקבל מעגל‪:‬‬
‫‪R  r 2  169 a 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 23 a,0‬‬
‫‪.M‬‬
‫דוגמה שלישית )מתוך בני גורן ג‪.‬אנליטית(‪:‬‬
‫זוהי דוגמה טובה לשאלה שנראית בעייתית ופתרונה מהיר וקל‪.‬‬
‫נתונים שני מעגלים מרכזיים‪ R r  :‬‬
‫מנקודה ‪A‬‬
‫‪x2  y 2  R2‬‬
‫‪. x2  y 2  r 2‬‬
‫שמחוץ למעגל הגדול יוצאים שני משיקים למעגל הגדול כך שהמיתר )במעגל הגדול(‬
‫העובר דרך נקודות ההשקה‪ ,‬משיק למעגל הקטן‪.‬‬
‫מצאו את המקום הגיאומטרי של כל הנקודות ‪. A‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫בשלב ראשון התלמידים נדרשים ליצור את השרטוט המתאים‪ .‬נסמן‪ ,  :‬‬
‫‪.A‬‬
‫‪y‬‬
‫‪B‬‬
‫)‪A(,‬‬
‫‪‬‬
‫‪C‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪O‬‬
‫‪12‬‬
‫‪OBC  OAB‬‬
‫נשתמש בדמיון‪:‬‬
‫‪BO OC‬‬
‫‪‬‬
‫‪AO OB‬‬
‫)על‪-‬פי ז‪.‬ז( מיחס הדמיון נובע‪:‬‬
‫‪R‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ 2  2 R‬‬
‫נציב ונקבל‪:‬‬
‫נעבור ‪ ,   x, y ‬‬
‫ונפשט‪ ,‬נקבל משוואת מעגל קנוני‪:‬‬
‫‪R4‬‬
‫‪x y  2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫דוגמה רביעית )מתוך אבירי ג‪.‬אנליטית(‪:‬‬
‫הוכח כי המקום הגיאומטרי של עקבי האנכים‪ ,‬היוצאים מראשית הצירים לכל ישר העובר דרך‬
‫הנקודה ‪ 2a,0 ‬‬
‫הוא מעגל‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫שרטוט הבעיה פשוט וכך גם פתרונה‪ .‬נסמן‪ ,  :‬‬
‫‪.A‬‬
‫‪A ,  ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪  2a‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪‬‬
‫נעבור ‪ ,   x, y ‬‬
‫‪B  2a,0 ‬‬
‫‪mOA  mAB  1‬‬
‫ונפשט‪ ,‬נקבל משוואת מעגל קנוני‪:‬‬
‫‪13‬‬
‫‪O‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x 2  y 2  2ax 0‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪x x  2a ‬‬
‫‪‬‬
‫דוגמה חמישית )מתוך יואל גבע כרך ג'(‪:‬‬
‫דרך נקודה‬
‫‪A‬‬
‫שעל הפרבולה‬
‫‪y2  2Px‬‬
‫מעבירים משיק לפרבולה וישר העובר דרך‬
‫המוקד ‪ . F‬מצא את המקום הגיאומטרי של נקודות החיתוך של הישר‬
‫‪AF‬‬
‫עם הישר‪ ,‬העובר‬
‫דרך ראשית הצירים ומקביל למשיק הנ"ל‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪M  ,  ‬‬
‫‪A‬‬
‫‪M  ,  ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪F‬‬
‫המשימה הראשונה היא לשרטט את נתוני הבעיה‪ .‬שנית‪ ,‬בבעיה זאת נגזור פונקציה סתומה‬
‫לקבלת שיפוע המשיק‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪m‬‬
‫‪OM‬‬
‫ומכאן ששיפוע המשיק הוא‪:‬‬
‫נגזור את הפרבולה‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.m ‬‬
‫‪2 yy  2 p ‬‬
‫‪14‬‬
mMF 

  2p
 lMF : y  0 

  2p
 p  x p
2
   2p A

 
x  2p

 2  p2
  p 2
p
p
A

,
2

2




: xA ‫ונקבל את‬






y
A
‫נציב‬
:‫אחרי פישוט נקבל‬
:‫נמצאת על הפרבולה ולכן‬
A ‫הנקודה‬
 2  p2


p

 2 p 2  2 p
2 p


2

2
2






:‫ נקבל משוואת מעגל‬,‫ונפשט‬
x 2  y 2  px 0
15
 ,   x, y  ‫נעבור‬
‫דוגמה שישית )מתוך בני גורן ‪:(807‬‬
‫המעגל‬
‫‪ , x2  y2  R2‬חותך את ציר ה‪ A -‬שמימין לראשית הצירים‪B .‬‬
‫המעגל‪ ,‬שדרכה עובר ישר‬
‫‪l‬‬
‫‪1‬‬
‫המקביל לציר ה‪ . x -‬דרך‬
‫כי המקום הגיאומטרי של מפגש הישרים‬
‫‪l‬‬
‫‪1‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪l‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A‬‬
‫ואמצע‬
‫‪BO‬‬
‫היא נקודה על‬
‫עובר ישר ‪ . l2‬הוכח‬
‫הוא מעגל‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫בשלב ראשון על התלמיד לשרטט את נתוני הבעיה‪.‬‬
‫נסמן‪ ,  :‬‬
‫‪.C‬‬
‫‪y‬‬
‫‪l‬‬
‫‪2‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C  ,  ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪A‬‬
‫מהנתון נובע כי‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R2 ‬‬
‫‪ . y  ‬היות ונקודה ‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫נמצאת על המעגל‪ ,‬ניתן להסיק כי‪:‬‬
‫‪. xB ‬‬
‫מהנתון נובע גם כי‪:‬‬
‫‪ R2  2  ‬‬
‫‪M‬‬
‫‪, ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪16‬‬
‫‪l‬‬
‫‪1‬‬
‫קל להוכיח כי‪:‬‬
‫‪MBC  MOA‬‬
‫‪ ,   x, y ‬‬
‫)על‪-‬פי ז‪.‬צ‪.‬ז( ולכן מתקיים‪:‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R2  y2 x R‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫לאחר פישוט נקבל‪:‬‬
‫‪x 2  y 2  2Rx  0‬‬
‫התקבל מעגל שמרכזו בנקודה‪ R,0 :‬‬
‫ורדיוסו‪. R :‬‬
‫‪17‬‬
‫‪CM  MA‬‬
‫נעבור‬
‫דוגמה שביעית )מתוך כהן רוזנפלד ‪:(807‬‬
‫נתון ישר‬
‫‪l‬‬
‫‪ . y  13 x‬מנקודה כלשהי ‪P‬‬
‫שמשוואתו‬
‫הישר בנקודה ‪A‬‬
‫ואנך לציר ה‪-‬‬
‫קבוצת כל הנקודות‬
‫‪P‬‬
‫‪y‬‬
‫מעבירים אנך לישר‬
‫החותך אותו בנקודה ‪ . B‬הוכח כי המקום הגיאומטרי של‬
‫המתקבל כאשר נתון כי‬
‫‪AB  K‬‬
‫הוא מעגל‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪:‬‬
‫‪l‬‬
‫החותך את‬
‫‪y‬‬
‫‪ ,  ‬‬
‫‪.P‬‬
‫)‪P(,‬‬
‫‪B‬‬
‫‪K‬‬
‫‪x‬‬
‫‪O‬‬
‫‪y   13 x‬‬
‫‪A‬‬
‫משוואת ישר ‪: PA‬‬
‫‪ y 3x 3  ‬‬
‫הנקודה ‪A‬‬
‫היא נקודת החיתוך בין הישר‬
‫‪ yA   103   101 ‬‬
‫על‪-‬פי הנתון‪:‬‬
‫‪y    3 x  ‬‬
‫‪l‬‬
‫לישר‬
‫‪xA  109   103 ‬‬
‫‪. d AB  K‬‬
‫‪18‬‬
‫‪PA‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪mPA  3‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪ 13 xA  3xA  3  ‬‬
‫נציב בנוסחת המרחק בין שתי נקודות ונעבור ‪ ,    x, y ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫נפשט ונקבל מעגל קנוני‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 109 x  103 y  y  103 x  101 y‬‬
‫‪‬‬
‫‪K‬‬
‫‪10K 2‬‬
‫‪x y ‬‬
‫‪9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫אליפסה‪:‬‬
‫דוגמה ראשונה )מתוך יואל גבע כרך ג'(‪:‬‬
‫דרך נקודה ‪A‬‬
‫שעל האליפסה‬
‫‪b2 x2  a2 y2  a2b2‬‬
‫דרך ראשית הצירים מעבירים ישר‬
‫‪l‬‬
‫‪2‬‬
‫מעבירים ישר‬
‫‪l‬‬
‫‪1‬‬
‫המקביל לציר ה‪. x -‬‬
‫המקביל לנורמל לאליפסה‪ ,‬בנקודה ‪ . A‬הישרים‬
‫‪l‬‬
‫‪1‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪l‬‬
‫‪2‬‬
‫נחתכים בנקודה ‪ . P‬מצא את המקום הגיאומטרי של הנקודות ‪ , P‬שהוגדרו באופן זה‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫ראשית נשרטט את נתוני הבעיה‪.‬‬
‫נסמן‪:‬‬
‫‪ ,  ‬‬
‫‪.P‬‬
‫‪A‬‬
‫‪l‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪P(,‬‬
‫‪x‬‬
‫‪l‬‬
‫‪2‬‬
‫‪19‬‬
‫על‪-‬פי הנתונים נובע כי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ a b2   2 ‬‬
‫‪ A‬‬
‫‪, ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נמצא שיפוע‪:‬‬
‫‪m ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . A x , ‬היות ונקודה ‪A‬‬
‫נמצאת על האליפסה נובע‪:‬‬
‫‪a b2   2‬‬
‫‪xA ‬‬
‫‪b‬‬
‫ומכאן ששיפוע המשיק הוא‪:‬‬
‫‪l‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪.m‬‬
‫היות ושיפוע המשיק שווה לנגזרת הגרף בנקודה‪ ,‬נקבל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪b‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y  2‬‬
‫‪a y‬‬
‫נציב את שיעורי הנקודה ‪A‬‬
‫‪‬‬
‫‪2x 2 y ‬‬
‫‪ 2 y 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a b‬‬
‫בנגזרת ונקבל את השיפוע בנקודה‪:‬‬
‫‪b 2 2‬‬
‫‪b ‬‬
‫‪a‬‬
‫נשווה בין שני הביטויים שקיבלנו ונעבור‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪b 2 2‬‬
‫‪b y‬‬
‫‪a‬‬
‫‪x‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ ,    x, y ‬‬
‫‪  y ‬‬
‫‪‬‬
‫לאחר העלאה בריבוע והעברת אגפים נקבל‪:‬‬
‫‪a 2 x 2  b 2 y 2 b 4‬‬
‫‪20‬‬
‫‪ ,‬נקבל‪:‬‬
‫‪x b 2 2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪b y‬‬
‫‪y ay‬‬
‫דוגמה שנייה )מתוך בני גורן ‪:(007‬‬
‫מנקודה ‪P‬‬
‫שעל האליפסה‬
‫בנקודה ‪ . N‬דרך‬
‫‪N‬‬
‫‪ b2 x2  a2 y2  a2b2‬מורידים אנך לציר ה‪x -‬‬
‫מעבירים ישר‬
‫‪l‬‬
‫‪1‬‬
‫שמקביל ל‪-‬‬
‫‪O ) PO‬‬
‫שחותך אותו‬
‫ראשית הצירים(‪ .‬דרך‬
‫שמקביל לציר ה‪ . x -‬מצא את המקום הגיאומטרי השל מפגש הישרים‬
‫מעבירים ישר ‪l2‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ l‬ו‪. l2 -‬‬
‫‪1‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪:‬‬
‫‪ ,  ‬‬
‫‪.Q‬‬
‫‪l‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪l2‬‬
‫‪Q  ,  ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪N‬‬
‫‪O‬‬
‫מהנתון נובע כי‪. yP   :‬‬
‫היות ונקודה ‪P‬‬
‫‪a 2 2‬‬
‫‪. xP ‬‬
‫‪b ‬‬
‫‪b‬‬
‫על האליפסה‪ ,‬היא מקיימת את משוואתה‪ .‬לאחר הצבה והעברת אגפים נקבל‪:‬‬
‫התקבלו הביטויים הבאים‪:‬‬
‫‪mOP  mNQ‬‬
‫‪a 2 2 ‬‬
‫‪N‬‬
‫‪b  , 0 ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪21‬‬
‫‪a 2 2 ‬‬
‫‪P‬‬
‫‪b  ,  ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫נציב בנוסחת השיפוע ונעביר ‪ ,   x, y ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪a 2 2‬‬
‫‪b y‬‬
‫‪b‬‬
‫נשווה מכנים‪:‬‬
‫‪ ,‬נקבל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪b 2 x 2  4a 2 y 2  4a 2b 2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪a 2 2‬‬
‫‪b y‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪2a 2 2‬‬
‫‪b y‬‬
‫‪b‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪x‬‬
‫דוגמה שלישית )מתוך מיקוד רכס ‪:(007‬‬
‫קטע ‪ AB‬שאורכו ‪ , k‬נע במישור כך שהנקודה ‪ A‬נמצאת תמיד על ציר ה‪ x -‬ונקודה ‪B‬‬
‫נמצאת תמיד על ציר ה‪ . y -‬מצא את המקום הגיאומטרי של הנקודות ‪ C‬הנמצאות על הקטע‬
‫‪ AB‬ומרחקן מ‪B -‬‬
‫‪y‬‬
‫כפליים ממרחקן מ‪. A -‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ ,  :‬‬
‫‪.C‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k‬‬
‫‪3‬‬
‫‪C  ,  ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪3‬‬
‫‪A xA,0‬‬
‫על‪-‬פי נוסחת חלוקת קטע ביחס נתון נקבל‪:‬‬
‫‪22‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪A1  ,0 ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪B  0,3 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪xA 1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪yB  3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נציב את כל הנתונים בנוסחת המרחק הנתון ונקבל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫נעבור ‪ ,   x, y ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 x2 9 y 2  k 2‬‬
‫‪4‬‬
‫ונפשט‪:‬‬
‫דוגמה רביעית )מתוך בני גורן ג‪.‬אנליטית(‪:‬‬
‫מנקודה ‪A‬‬
‫שעל המעגל‬
‫‪ x2  y2  R2‬מעבירים ישר המאונך לציר ה‪x -‬‬
‫שחותך את הציר‬
‫בנקודה ‪ . B‬הנקודה ‪ C‬היא אמצע ‪ . AB‬דרך ‪B‬‬
‫הצירים( שחותך את הישר ‪ OC‬בנקודה ‪ . D‬מצא את המקום הגיאומטרי של הנקודות ‪. D‬‬
‫מעבירים ישר המקביל ל‪-‬‬
‫‪y‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נסמן‬
‫‪ ,  ‬‬
‫‪.D‬‬
‫‪D  ,  ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪23‬‬
‫‪O‬‬
‫‪O ) AO‬‬
‫ראשית‬
y
y 
2

x
2
x  



 
A ,   : A ‫נקודה‬
2 
:


y x
: AO ‫ולכן ישר‬
y
2

yB  0
: OD ‫ישר‬
x   : BD ‫משוואת הישר‬

xB   : B ‫נקודה‬
2
 ,    x, y  ‫ נעבור בשלב זה‬,‫הנקודה על המעגל ולכן מקיימת את משוואתו‬
x2 2 2
 y R
4
x2 y 2

1
4R 2 R 2

24
‫פרבולה‪:‬‬
‫דוגמה ראשונה )מתוך רוזנפםלד כהן ‪:(807‬‬
‫נתונה הפרבולה‬
‫‪ . y2  2 px‬הנקודה ‪A‬‬
‫מוקד הפרבולה והנקודה‬
‫‪E‬‬
‫היא נקודה כלשהי על הפרבולה‪ .‬הנקודה‬
‫‪F‬‬
‫היא‬
‫היא הנקודה בה חותך מדריך הפרבולה את ציר ה‪ . x -‬הראה כי‬
‫המקום הגיאומטרי של הנקודות שהן מרכזי הכובד של המשולש‬
‫‪AEF‬‬
‫הוא פרבולה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫נסמן‪:‬‬
‫‪ ,  ‬‬
‫‪.D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪x‬‬
‫מהנתונים נובע‪:‬‬
‫‪ EO  OF‬‬
‫‪p ‬‬
‫‪F  ,0 ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪p ‬‬
‫‪F ,0‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪ p ‬‬
‫‪E  , 0 ‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪AD 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪DO 1‬‬
‫מרכז הכובד של המשולש הוא נקודת מפגש התיכונים ולכן‪:‬‬
‫על‪-‬פי נוסחת חלוקת קטע ביחס נתון מתקבל‪ 3 ,3  :‬‬
‫‪.A‬‬
‫הנקודה ‪A‬‬
‫נמצאת על האליפסה ולכן מקיימת את משוואתה‪,‬‬
‫נעבור ‪ ,   x, y ‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫‪25‬‬
‫‪O‬‬
‫‪ p ‬‬
‫‪E   ,0 ‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y 2  Px‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪9 y 2  6Px‬‬
‫דוגמה שנייה )מתוך בני גורן ‪:(007‬‬
‫ישר ‪l1‬‬
‫עובר דרך ראשית הצירים וחותך את הישר‬
‫בנקודה ‪ . A‬ישר‬
‫‪l‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x k‬‬
‫עובר דרך ראשית הצירים ומאונך לישר ‪ . l1‬ישר‬
‫לציר ה‪ . x -‬מצא את המקום הגיאומטרי של מפגש הישרים‬
‫‪l‬‬
‫‪2‬‬
‫‪l‬‬
‫עובר דרך‬
‫‪3‬‬
‫‪A‬‬
‫ומקביל‬
‫ו‪. l3 -‬‬
‫‪y‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪:‬‬
‫‪ k 0 ‬‬
‫‪ ,  ‬‬
‫‪.B‬‬
‫‪l‬‬
‫‪3‬‬
‫‪B  ,  ‬‬
‫‪A  k ,  ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪l1‬‬
‫על‪-‬פי תנאי ניצבות‪:‬‬
‫‪    1‬‬
‫‪k ‬‬
‫נעבור ‪ ,   x, y ‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪y 2  kx‬‬
‫‪26‬‬
‫‪mAO  mOB  1‬‬
‫‪l‬‬
‫‪2‬‬