מקומות גיאומטריים הכוללים פרמטרים
מקומות גיאומטריים – השתלמות קיץ 2015 - הקדמה: נושא המקומות הגיאומטריים הינו מרכזי בתכנית הלימוד ל 5 -יח"ל .פרק זה מאגד בתוכו את כל המרכיבים של הגיאומטריה האנליטית :ישר ,מעגל ,אליפסה ופרבולה בראיה מוכללת .נושא זה רלוונטי בעיקר בחט"ע לקראת שאלון 807אך ניתן לקשרו גם לחט"ב. במסמך זה נציג את המתודה הכללית לפתרון בעיות מקומות גיאומטריים הכוללים פרמטרים ונציג דוגמאות רבות לשאלות מסוג זה .השאלות יוצגו על-פי הצורה המתקבלת )אם היא מאופיינת(. אלגוריתם הפתרון: א .יש לשרטט את נתוני הבעיה ובה נקודה המייצגת את נקודות המקום הגיאומטרי. כדאי לסמן את שיעורי הנקודה המייצגת ב( , ) : כדי לא להתבלבל בין x, y של הגרפים המופיעים בשרטוט לבין הנקודה שלנו. ב .יש לבנות שיוויון המתאר קשר נתון או המצאות נקודה על גרף מסויים. ג .יש לפשט את הביטוי המתקבל ולחזור לסימון נקודה כללית , x, y : . כיצד ניתן לחבר לחט"ב: כאשר אנו מלמדים משוואה לינארית ,ניתן לתת דוגמאות לשקילות התוצאה בגישות פתרון שונות. 1 דוגמה: יש למצוא את משוואת האנך האמצעי לקטע שקצותיו1,3 , 2,5 : . )B(-2,5 D )C(1,3 פתרון ראשון: 1 2 3 5 1 D , D ,4 2 2 2 53 2 1 mBC mAD 1 2 1 3 2 1 3 y 1 x 4 2 4 ולכן משוואת האנך האמצעי היא: פתרון שני :קל להראות כי האנך האמצעי הוא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות הנמצאות במרחקים שווים מקצות הקטע )חפיפה פשוטה( ולכן: 2 2 x 1 y 3 2 2 x 2 y 5 d AB d AC x 2 4x 4 y 2 10 y 25 x 2 2x 1 y 2 6 y 9 1 3 1 3x 2 y 9 y 1 x 4 2 4 2 ניתן לבנות דוגמאות נוספות המבוססות על חפיפת משולשים. 2 דוגמאות המתאימות לחט"ע: הדוגמאות ממוינות על-פי סיווג המקום המתקבל ולפי סדר קושי עולה .ברור כי השאלה הראשונה בכל אוסף יכולה ,כנראה לשמש גם בחט"ב. קו ישר: דוגמה ראשונה )מתוך -גיאומטריה אנליטית -חיים אבירי(: הוכח כי המקום הגיאומטרי של מרכזי כל המעגלים העוברים דרך שתי הנקודות 2b,2a ו 2a,2b -הוא קו ישר. פתרון: y נסמן את מרכז המעגל ב- , . )O(, )A(2b,2a )B(2a,2b x 2 2 2a 2b 2 2 2b 2a 3 d AO dBO , x, y x 2 4bx 4b 2 y 2 4ay 4a 2 x 2 4ax 4a 2 y 2 4by 4b 2 y 4a 4b x 4a 4b a b yx מהנדסת המישור ידוע כי האנך האמצעי למיתר עובר.נשים לב כי ניתן לפתור גם בדרך אחרת :במרכז המעגל ולכן y A(2b,2a) O(,) M(a,b) B(2a,2b) x 2b 2a 2a 2b M AB , M AB a b, a b 2 2 2b 2a m 1 m 1 AB 2a 2b MO y a b x a b y x 4 דוגמה שנייה )מתוך – גיאומטריה אנליטית – בני גורן(: במשולש ישר זווית ל- BC החותך את ABC AB נתון: ו- C 0,0 , B 0,b , A a,0 ACבהתאמה בנקודות D מצאו את המקום הגיאומטרי של מפגש הישרים CD .מעבירים ישר מקביל ו. E - ו. BE - y B 0,b פתרון: D M , x A a,0 E נסמן את הנקודה המייצגת את המקום הגיאומטרי ב , - ישר : AB ישר : CD b y xb a x y b a 5 mAB mCD C 0,0 .M : D של נקודה b xb x a x -שיעור ה b ab x b xD a b a ab E ,0 a b mBE a b b ab a a b a b y x b a :על הישר ולכן a b b a , x, y bx 2ay ab 0 6 2 b b a M דוגמה שלישית )מתוך ארכימדס :(807 מהנקודה P יוצאים שני משיקים: משיק אחד למעגל: x2 2Rx y2 10Ry 25R2 0 ומשיק שני למעגל: x2 6Rx y2 2Ry 9R2 0 הביעו באמצעות Rאת המקום הגיאומטרי של כל הנקודות P עבורן אורכם של שני המשיקים שווה. פתרון: מעגל ראשון: r1 R M1 R, 5R , מעגל שני: r2 R M 2 3R, R y P , M 3R, R 2 x M M R,5R 1 7 נעבור , x, y ונשווה את המרחקים בריבוע: 2 2 2 2 3R x R y 2 R 2 R x 5 R y R אחרי פתיחת סוגריים וכינוס איברים דומים נקבל: x 3 y 4R נשים לב כי גם במקרה זה ניתן לפתור בדרך נוספת: היות והמרחקים שווים ,הרי הנקודה P R 3R 5R R M , M 2R, 2R 2 2 נמצאת על האנך האמצעי של קטע המרכזים ולכן: 1 1 R 5R 3 3R R mMP ומכאן שמשוואת האנך האמצעי היא: 3 y 6R x 2R x 3 y 4R 8 y 2R 1 x 2R 3 מעגל: שאלות הכוללות מקום גיאומטרי שתוצאתו מעגל מגוונות מאד .נציג מספר דוגמאות המייצגות גיוון זה וכוללות נתונים התחלתיים כללים. דוגמה ראשונה )מתוך מיקוד רכס :(007 מצאו את המקום הגיאומטרי של כל הנקודות אשר סכום ריבועי מרחקיהן מצלעות משולש שווה צלעות ששניים מקודקודיו הם a,0 , a,0 ,והקודקוד השלישי נמצא על הציר החיובי של ציר ה , y -הוא גודל קבוע. y פתרון: A 0, 3 a , x )C(a,0 O )B(-a,0 היות ומדובר במרחקי נקודה ממספר ישרים ,נמצא תחילה את משוואות הישרים. על-פי משפט פיתגורס ב: ומכאן: 3a 0, משוואת הישר : AC AOC נקבל: OA 4a 2 a 2 3a .A 3a 3 a y 3 x 3a 9 mAC משוואת הישר : AB y 3x 3a משוואת הישר : BC y0 3a 3 a mAB Ax By c 0 נשתמש בנוסחת המרחק: 2 הגיאומטריה ב , - 0 2 A B . היות והמרחק קבוע ,אך לא ידוע ,נסמנו ב- 2 2 k 4 d 3 3a 4 k k 0 2 2 כלומר: .על-פי הנתון: 3 3a 3 3a 2 4k אחרי פישוט נקבל: ונסמן את הנקודה המייצגת את המקום 4 2 3 3a 6 x2 6 y 2 4 3ay 6a2 4k 2 3 2 ay a2 k 3 3 x2 y 2 נשים לב כי לא בכל תנאי מדובר במעגל! מהמקום שקיבלנו עולה כי: k 23 a 2 אם k a2 זהו מעגל ,אם 2 3 k a2 R זוהי נקודה ואם 10 M 0, 33 a k a2 זוהי קבוצה ריקה. דוגמה שנייה )מתוך יואל גבע כרך ג'(: C1 , C2 a,0 , a,0 הם מעגלים שמרכזיהם בנקודות לשני המעגלים אותו רדיוס . rהנקודה P ,בהתאמה. נעה ,כך שאורך המשיק ממנה למעגל C2 גדול פי שניים מאורך המשיק ממנה למעגל . C1 הוכח :המקום הגיאומטרי של כל הנקודות P הוא מעגל. פתרון: נסמן y P , 2d d C B x r r )E(-a,0 )D(a,0 2 2 PD r 2 a 2 r 2 2 2 PE r 2 a 2 r 2 PB PC PC 2PB 2 2 2 a 2 r 2 2 a 2 r 2 2 2 a a 2 2 r 2 4 2 8 a 4a 2 4 2 4r 2 נעבור , x, y : ונפשט ,מתקבל הביטוי: 11 x 2 y 2 3 13 ax r 2 a 2 נראה כי בכל מצב מתקבל מעגל: R r 2 169 a 2 1 23 a,0 .M דוגמה שלישית )מתוך בני גורן ג.אנליטית(: זוהי דוגמה טובה לשאלה שנראית בעייתית ופתרונה מהיר וקל. נתונים שני מעגלים מרכזיים R r : מנקודה A x2 y 2 R2 . x2 y 2 r 2 שמחוץ למעגל הגדול יוצאים שני משיקים למעגל הגדול כך שהמיתר )במעגל הגדול( העובר דרך נקודות ההשקה ,משיק למעגל הקטן. מצאו את המקום הגיאומטרי של כל הנקודות . A פתרון: בשלב ראשון התלמידים נדרשים ליצור את השרטוט המתאים .נסמן , : .A y B )A(, C x O 12 OBC OAB נשתמש בדמיון: BO OC AO OB )על-פי ז.ז( מיחס הדמיון נובע: R r 2 2 R נציב ונקבל: נעבור , x, y ונפשט ,נקבל משוואת מעגל קנוני: R4 x y 2 r 2 2 דוגמה רביעית )מתוך אבירי ג.אנליטית(: הוכח כי המקום הגיאומטרי של עקבי האנכים ,היוצאים מראשית הצירים לכל ישר העובר דרך הנקודה 2a,0 הוא מעגל. y פתרון: שרטוט הבעיה פשוט וכך גם פתרונה .נסמן , : .A A , x 1 2a נעבור , x, y B 2a,0 mOA mAB 1 ונפשט ,נקבל משוואת מעגל קנוני: 13 O 2 x 2 y 2 2ax 0 y 1 x x 2a דוגמה חמישית )מתוך יואל גבע כרך ג'(: דרך נקודה A שעל הפרבולה y2 2Px מעבירים משיק לפרבולה וישר העובר דרך המוקד . Fמצא את המקום הגיאומטרי של נקודות החיתוך של הישר AF עם הישר ,העובר דרך ראשית הצירים ומקביל למשיק הנ"ל. פתרון: נסמן: y M , A M , x F המשימה הראשונה היא לשרטט את נתוני הבעיה .שנית ,בבעיה זאת נגזור פונקציה סתומה לקבלת שיפוע המשיק. m OM ומכאן ששיפוע המשיק הוא: נגזור את הפרבולה: p y y .m 2 yy 2 p 14 mMF 2p lMF : y 0 2p p x p 2 2p A x 2p 2 p2 p 2 p p A , 2 2 : xA ונקבל את y A נציב :אחרי פישוט נקבל :נמצאת על הפרבולה ולכן A הנקודה 2 p2 p 2 p 2 2 p 2 p 2 2 2 : נקבל משוואת מעגל,ונפשט x 2 y 2 px 0 15 , x, y נעבור דוגמה שישית )מתוך בני גורן :(807 המעגל , x2 y2 R2חותך את ציר ה A -שמימין לראשית הציריםB . המעגל ,שדרכה עובר ישר l 1 המקביל לציר ה . x -דרך כי המקום הגיאומטרי של מפגש הישרים l 1 ו- l 2 A ואמצע BO היא נקודה על עובר ישר . l2הוכח הוא מעגל. פתרון: בשלב ראשון על התלמיד לשרטט את נתוני הבעיה. נסמן , : .C y l 2 B M C , x A מהנתון נובע כי: 2 R2 . y היות ונקודה B B O נמצאת על המעגל ,ניתן להסיק כי: . xB מהנתון נובע גם כי: R2 2 M , 2 2 16 l 1 קל להוכיח כי: MBC MOA , x, y )על-פי ז.צ.ז( ולכן מתקיים: ונקבל: 2 R2 y2 x R 2 2 לאחר פישוט נקבל: x 2 y 2 2Rx 0 התקבל מעגל שמרכזו בנקודה R,0 : ורדיוסו. R : 17 CM MA נעבור דוגמה שביעית )מתוך כהן רוזנפלד :(807 נתון ישר l . y 13 xמנקודה כלשהי P שמשוואתו הישר בנקודה A ואנך לציר ה- קבוצת כל הנקודות P y מעבירים אנך לישר החותך אותו בנקודה . Bהוכח כי המקום הגיאומטרי של המתקבל כאשר נתון כי AB K הוא מעגל. פתרון: נסמן: l החותך את y , .P )P(, B K x O y 13 x A משוואת ישר : PA y 3x 3 הנקודה A היא נקודת החיתוך בין הישר yA 103 101 על-פי הנתון: y 3 x l לישר xA 109 103 . d AB K 18 PA mPA 3 ולכן: 13 xA 3xA 3 נציב בנוסחת המרחק בין שתי נקודות ונעבור , x, y 2 2 נפשט ונקבל מעגל קנוני: : 2 109 x 103 y y 103 x 101 y K 10K 2 x y 9 2 2 אליפסה: דוגמה ראשונה )מתוך יואל גבע כרך ג'(: דרך נקודה A שעל האליפסה b2 x2 a2 y2 a2b2 דרך ראשית הצירים מעבירים ישר l 2 מעבירים ישר l 1 המקביל לציר ה. x - המקביל לנורמל לאליפסה ,בנקודה . Aהישרים l 1 ו- l 2 נחתכים בנקודה . Pמצא את המקום הגיאומטרי של הנקודות , Pשהוגדרו באופן זה. פתרון: y ראשית נשרטט את נתוני הבעיה. נסמן: , .P A l 1 )P(, x l 2 19 על-פי הנתונים נובע כי: a a b2 2 A , b נמצא שיפוע: m . A x , היות ונקודה A נמצאת על האליפסה נובע: a b2 2 xA b ומכאן ששיפוע המשיק הוא: l 2 2 1 2 b 2 x A 2 a .m היות ושיפוע המשיק שווה לנגזרת הגרף בנקודה ,נקבל: 2 b x y 2 a y נציב את שיעורי הנקודה A 2x 2 y 2 y 0 2 a b בנגזרת ונקבל את השיפוע בנקודה: b 2 2 b a נשווה בין שני הביטויים שקיבלנו ונעבור 2 b 2 2 b y a x m , x, y y לאחר העלאה בריבוע והעברת אגפים נקבל: a 2 x 2 b 2 y 2 b 4 20 ,נקבל: x b 2 2 b y y ay דוגמה שנייה )מתוך בני גורן :(007 מנקודה P שעל האליפסה בנקודה . Nדרך N b2 x2 a2 y2 a2b2מורידים אנך לציר הx - מעבירים ישר l 1 שמקביל ל- O ) PO שחותך אותו ראשית הצירים( .דרך שמקביל לציר ה . x -מצא את המקום הגיאומטרי השל מפגש הישרים מעבירים ישר l2 P lו. l2 - 1 פתרון: נסמן: , .Q l 1 y l2 Q , x N O מהנתון נובע כי. yP : היות ונקודה P a 2 2 . xP b b על האליפסה ,היא מקיימת את משוואתה .לאחר הצבה והעברת אגפים נקבל: התקבלו הביטויים הבאים: mOP mNQ a 2 2 N b , 0 b 21 a 2 2 P b , b נציב בנוסחת השיפוע ונעביר , x, y y a 2 2 b y b נשווה מכנים: ,נקבל: x b 2 x 2 4a 2 y 2 4a 2b 2 y a 2 2 b y b 2a 2 2 b y b 2 x דוגמה שלישית )מתוך מיקוד רכס :(007 קטע ABשאורכו , kנע במישור כך שהנקודה Aנמצאת תמיד על ציר ה x -ונקודה B נמצאת תמיד על ציר ה . y -מצא את המקום הגיאומטרי של הנקודות Cהנמצאות על הקטע ABומרחקן מB - y כפליים ממרחקן מ. A - פתרון: נסמן , : .C 2 k 3 C , x 1 k 3 A xA,0 על-פי נוסחת חלוקת קטע ביחס נתון נקבל: 22 1 A1 ,0 2 B 0,3 1 xA 1 2 yB 3 נציב את כל הנתונים בנוסחת המרחק הנתון ונקבל: 2 2 2 1 1 3 k 2 נעבור , x, y 1 2 x2 9 y 2 k 2 4 ונפשט: דוגמה רביעית )מתוך בני גורן ג.אנליטית(: מנקודה A שעל המעגל x2 y2 R2מעבירים ישר המאונך לציר הx - שחותך את הציר בנקודה . Bהנקודה Cהיא אמצע . ABדרך B הצירים( שחותך את הישר OCבנקודה . Dמצא את המקום הגיאומטרי של הנקודות . D מעבירים ישר המקביל ל- y פתרון: נסמן , .D D , x A B 23 O O ) AO ראשית y y 2 x 2 x A , : A נקודה 2 : y x : AO ולכן ישר y 2 yB 0 : OD ישר x : BD משוואת הישר xB : B נקודה 2 , x, y נעבור בשלב זה,הנקודה על המעגל ולכן מקיימת את משוואתו x2 2 2 y R 4 x2 y 2 1 4R 2 R 2 24 פרבולה: דוגמה ראשונה )מתוך רוזנפםלד כהן :(807 נתונה הפרבולה . y2 2 pxהנקודה A מוקד הפרבולה והנקודה E היא נקודה כלשהי על הפרבולה .הנקודה F היא היא הנקודה בה חותך מדריך הפרבולה את ציר ה . x -הראה כי המקום הגיאומטרי של הנקודות שהן מרכזי הכובד של המשולש AEF הוא פרבולה. y פתרון: A נסמן: , .D D x מהנתונים נובע: EO OF p F ,0 2 p F ,0 2 p E , 0 2 AD 2 DO 1 מרכז הכובד של המשולש הוא נקודת מפגש התיכונים ולכן: על-פי נוסחת חלוקת קטע ביחס נתון מתקבל 3 ,3 : .A הנקודה A נמצאת על האליפסה ולכן מקיימת את משוואתה, נעבור , x, y ונקבל: 25 O p E ,0 2 2 y 2 Px 3 9 y 2 6Px דוגמה שנייה )מתוך בני גורן :(007 ישר l1 עובר דרך ראשית הצירים וחותך את הישר בנקודה . Aישר l 2 x k עובר דרך ראשית הצירים ומאונך לישר . l1ישר לציר ה . x -מצא את המקום הגיאומטרי של מפגש הישרים l 2 l עובר דרך 3 A ומקביל ו. l3 - y פתרון: נסמן: k 0 , .B l 3 B , A k , x l1 על-פי תנאי ניצבות: 1 k נעבור , x, y ונקבל: y 2 kx 26 mAO mOB 1 l 2
© Copyright 2024