. ביום הראשון ה פגיש העד מכונית ב שנסעה )ק"מ ( הדרך את
1 בגרות עה דצמבר 14מועד קיץ ד שאלון 35806 א .נסמן ב x -את הדרך )ק"מ( שנסעה מכונית ב עד הפגישה ביום הראשון. נסמן ב t -את הזמן )שעות( שנסעה מכונית ב עד הפגישה ביום הראשון. יש למצוא את , 2 x 150סכום מרחקי המכוניות ,שהוא המרחק מ A -ל. B - נכניס את הנתונים לטבלה מתאימה) :המספרים בסוגריים מראים את סדר מילוי הטבלה ,להסבר הפיתרון( ביום השני ,המהירויות זהות למהירויות של היום הראשון והמרחקים של כל מכונית זהים לזו של האחרת ביום הראשון. זמן t - שעות מכונית א מעיר AלC - מהירות v - קמ"ש (4) 2.25t x 150 2.25t )(6 דרך -מרחק s - ק"מ (2) x 150 ביום הראשון מכונית ב מעיר BלC - מכונית א מ C -לעיר B x t (3) t 2.25tx x 150 )(11 )(5 x 150 2.25t )(7 (1) x (9) x ביום השני מכונית ב מ C -לעיר A ( x 150)t x )(12 ביום השני נסעו המכוניות זמן שווה ,לכן נשווה את זמני הנסיעה. 2.25tx ( x 150)t / :t 0 x 150 x )2.25 x ( x 150 )/ x( x 150 x 150 x 2.25 x 2 ( x 150) 2 1.5 x x 150 x 300 2 x 150 750 ניתן היה להוציא שורש ,במהלך הפתרון ,כי שני האגפים חיוביים. תשובה :המרחק מ A -ל B -הוא 750ק"מ. נכתב ע"י עפר ילין x t )(8 (10) x 150 ב .ביום השלישי עברו שתי המכוניות ,יחדיו ,את 750הק"מ שבין הערים ,במשך 6שעות. סמן ב t -את הזמן )שעות( שנסעה מכונית ב עד הפגישה ביום הראשון. 300 150 300 6 750 / : 6 2.25t t 200 300 125 t t t4 200 300 v1 50, v2 75 4 4 6 תשובה :מהירות מכונית א 50קמ"ש ,מהירות מכונית ב 75קמ"ש. נכתב ע"י עפר ילין 2 בגרות עה דצמבר 14מועד קיץ ד שאלון 35806 א .נתונה סדרה חשבונית , a1 , a2 , a3 ,....., an :שבה , a1 4, an 310והפרשה . d 3 נמצא את מספר האיברים בסדרה הנתונה: )310 3 3(n 1 )306 3(n 1 102 n 1 n 103 כלומר ,בסדרה הנתונה 103איברים. מהסדרה בנו סדרה חדשה , a2 a3 , ... , a3 a4 : . a1 a2 נשים לב שבסדרה החדשה יש 103 1 102איברים ,כי האיבר האחרון בה יהיה . a102 a103 תשובה :בסדרה בחדשה יש 102איברים. ב .נראה כי הסדרה החדשה ,שנסמנה כ , bn -היא סדרה חשבונית. bn an an 1 bn 1 an 1 an 2 ) bn 1 bn an 1 an 2 (an an 1 bn 1 bn an 1 an 2 an an 1 bn 1 bn an 2 an bn 1 bn 2d bn 1 bn 6 לכן הסדרה חשבונית ,והפרשה הקבוע הוא . 6 איברה הראשון הואb1 a1 a2 4 7 11 : נחשב את סכומה. 102 2 11 6(102 1) S102 2 ) 51 (22 6 101 S102 S102 32, 028 תשובה :הוּכַח. ב .נתון כי , a2 2 a12 64לכן . b1 64 נביע את האיבר האחרון בסדרה החדשה ,כלומר את , bn 1באמצעות nו. d - )bn 1 b1 db (n 1 1 )bn 1 64 2d 2 (n 2 תשובה :סכום הסדרה החדשה הוא . 32, 028 נכתב ע"י עפר ילין ג .בסדרה החדשה מחקו את האיבר השני ,השישי ,העשירי והן הלאה. המקומות של האיברים שנמחקו מהווים סדרה חשבונית שהפרשה . 4 נסמן סדרה זו כ , cn -כאשר , d 4 , c1 2 ואיברה האחרון , cn 102כי בסדרה bnיש 102איברים. )לא ידוע האם 102הוא בסדרה החדשה ,כלומר גם האם a102נמחק( 2 4(n 1) 102 4(n 1) 100 / : 4 n 1 25 n 26 n 26 )קבלנו מספר שלם ,לכן גם a102נמחק(. תשובה :נמחקו 26איברים. נכתב ע"י עפר ילין 3 בגרות עה דצמבר 14מועד קיץ ד שאלון 35806 א .ההסתברות שתלמיד כלשהו לעבור מבחן נהיגה היא ( 0 p 1 ) p ידוע שההסתברות שהתלמיד יעבור את המבחן בפעם הראשונה ) ) ( pואז כמובן לא ניגש יותר למבחן( 27 גדולה פי 8 מההסתברות שיעבור את המבחן רק בפעם הרביעית ) .( (1 p )3 p 27 (1 p)3 p / : p 0 8 27 1 (1 p)3 / 3 8 3 ) 1 (1 p 2 2 1 p 3 p 1 3 1 תשובה: 3 p .p ב .יש למצוא את ההסתברות שתלמיד יעבור את המבחן רק בפעם השנייה )לאחר שייכשל בראשונה(, אם ידוע שיעבור את המבחן לאחר שני מבחנים לכל היותר )מבחן אחד או שניים(, )P(2nd test 2 at the most )P(2 at the most P(will pass the 2nd test / will pass after 2 at the most) 2 1 2 P 3 3 9 0.4 1 2 1 5 3 3 3 9 תשובה :ההסתברות היא . 0.4 ג .שני נבחנים יזדקקו סך הכול ל 3 -מבחנים בדיוק, אם אחד מהם יעבור במבחן הראשון והשני יעבור במבחן השני, או השני יעבור במבחן הראשון והראשון במבחן השני: 1 2 1 ( ) ( 2 1) 1 4 3 3 3 3 3 3 27 P 4 תשובה :ההסתברות היא 27 . נכתב ע"י עפר ילין 4 בגרות עה דצמבר 14מועד קיץ ד שאלון 35806 נתונים AD .1משיק למעגל השמאלי ב. A - CB .2משיק למעגל הימני ב. B - עבור ג 4 .3 :ס"מ 9 .3 . BD ס"מ . AC צ"ל: א. AED FCA 180 . ב CEDF (1) .מקבילית. SABC ג(2) . SBDA . הסבר נימוק טענה 5 E 5 6 ABD 180 6 7 ABF 7 8 ACF 180 8 ,5 9 AED FCA 180 9 10 CF ED זוויות חד צדדיות משלימות ל180 - 7 11 B1 סימון 11 ,7 12 B2 2 13 CBמשיק למעגל הימני בB - 13 ,11 14 D1 14 ,6 15 A1 1 16 ADמשיק למעגל השמאלי בA - 16 ,15 17 C1 זווית בין משיק למיתר 17 ,12 18 C1 B2 כלל המעבר 18 19 CE FD 19 ,10 20 CEDFמקבילית 19 21 h ABD h BAC 21 ,4 ,3 22 SABC 9h BAC 0.5 SBDA 4h ABD 0.5 22 ,21 23 SABC 9 SBDA 4 סימון זוויות נגדיות במרובע חסום במעגל משלימות ל180 - זוויות צמודות משלימות ל180 - זוויות נגדיות במרובע חסום במעגל משלימות ל180 - חישוב מ.ש.ל .א הפרש זוויות נתון זווית בין משיק למיתר סכום זוויות ABDהוא 180 נתון אם זוויות מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות מ.ש.ל .ב )(2 מרחקים שווים בין ישרים מקבילים נוסחת שטח משולש חישוב מ.ש.ל .ג נכתב ע"י עפר ילין 5 35806 מועד קיץ ד שאלון14 בגרות עה דצמבר AC x : לכן,( )סימוןAB = 2AC = 2x .א .( )נתוןBAC 120 . h באמצעותx על מנת להביע את, בשתי דרכים ונשווה אותםABC נמצא את שטח לפי משפט הקוסינוסיםABC (BC) 2 (AB) 2 (AC) 2 2AB AC cosBAC (BC) 2 (2 x) 2 x 2 2 2 x x cos 120 (BC) 2 4 x 2 x 2 2 x 2 (BC) 2 7 x 2 BC x 7 BC 0 AB AC sin BAC 2 2 x x sin120 SABC 2 SABC SABC x 2 7 3 x2 2 2 h 7 x 3 SABC BC h 2 SABC xh 7 2 3 2 xh SABC SABC /: x 3 0 2 7 h 7 2 3 7h2 2 3 . SABC 7h2 :תשובה 2 3 . R - נסמנו ב: ADC שווה לרדיוס המעגל החוסם אתABC רדיוס המעגל החוסם את.ב לפי משפט הסינוסיםADC AC 2R sin D לפי משפט הסינוסיםABC BC 2R sin120 :על פי כלל המעבר נקבל AC BC sin D sin120 x sin120 sin D x 7 D 19.11 . ADC 19.11 :תשובה נכתב ע"י עפר ילין . AD h 6 נתון.ג לפי משפט הסינוסיםABC AB BC sin C1 sin120 2 x sin120 sin C1 x 7 C1 40.89 0 C1 60 C2 139.11 C1 C 2 180 לפי משפט הסינוסיםADC AD AC sin139.11 sin19.11 h 7 sin139.11 h6 3 sin19.11 h 6 3.054h 6 2.054h h 2.921 . h 2.921 :תשובה נכתב ע"י עפר ילין 6 בגרות עה דצמבר 14מועד קיץ ד שאלון 35806 a א .נתונה הפונקציה a sin x : sin x f ( x) בתחום a 0 , x פרמטר. פונקציית sin xמתאפסת עבור , x kולכן תחום ההגדרה של ) f ( xהוא . x , x 0 תשובה :תחום ההגדרה הוא . x , x 0 ב .האסימפטוטות האנכיות של ) f ( xהן . x , x 0 , x ג .נראה ש f ( x) -היא אי-זוגית ,כלומר סימטרית לראשית הצירים )למרות שנקודה זו לא על גרף הפונקציה(. a ) a sin( x )sin( x a f ( x) a sin x sin x a (f ( x ) )) a sin( x )sin( x )f ( x) f ( x f ( x) תשובה f ( x) :היא אי-זוגית. ד .נמצא נקודות קיצון פנימיות )אין נקודות קצה(: a a sin x sin x a cos x f '( x) a cos x sin 2 x a cos x a cos x sin 2 x f '( x) sin 2 x f ( x) ) cos x(1 sin 2 x f '( x) a sin 2 x , a 0ולכן סימן הנגזרת נקבע על פי הביטוי ) cos xשאר הביטויים חיוביים בתחום ההגדרה של הפונקציה(. 0 cos x cos x 0 k 2 2 x a f( ) a sin( ) 0 2 2 ) (sin 2 a k 1: x f( ) a sin( ) 0 2 2 2 ) sin( 2 k 0: x נכתב ע"י עפר ילין cos ( ) 0 4 ( , 0) min 3 2 cos( ) 0 4 ועקב אי-הזוגיות של הפונקציה, 0) min , 2 תשובה ( , 0) :מינימום, 0) , 2 2 (מקסימום. ה .סקיצה של גרף הפונקציה ). f ( x )f ( x ו .נתונה הפונקציה: sin x (מקסימום. a , 0) ( , 0) f ( x) a sin x 2 2 sin x ( g ( x) בתחום . x על פי הסקיצה בסעיף ה f ( x) -אי-שלילית בתחום זה )מתאפסת רק עבור 2 sin xחיובית בכל בתחום . x )f ( x לכן המנה sin x x y g ( x) היא אי-שלילית בתחום . x תשובה :הוּכַח. נכתב ע"י עפר ילין , x חיובית בשאר בתחום(. 7 בגרות עה דצמבר 14מועד קיץ ד שאלון 35806 הפונקציה שיש להביא למינימום היא אורך אלכסון המלבן. הגזרה הנתונה היא של רבע עיגול ,שרדיוסו , Rולכן . O = 90 ) DT CT xנתון וסימון(. התיכון OTלצלע DCהוא גם גובה ב , DOC -כי הוא מאונך למשיק בנקודת ההשקה. מכאן ש OZ -מאונך ל AB -ומתקבלים שני מלבנים AZTDו, BZTC - כאשר AZ ZB xו OZ -הוא תיכון ליתר ב. AOB - התיכון ליתר שווה למחצית היתר. לכן OZ x :ומכאן ש ZT R x -וגם . BC R x ) AC ( R x) 2 (2 x) 2משפט פיתגורס .( ABC AC (R x) 2 4 x 2 AC R 2 2Rx x 2 4 x 2 AC R 2 2Rx 5 x 2 נמצא את נקודת הקיצון 2R 10 x 2 R 2 2Rx 5 x 2 (AC) '( x) 0 2R 10 x x 0.2R 2R 10 0.1R 0 x 0.2R, Min 2R 10 0.3R (AC) '(0.3R) 0 (AC) '(0.1R) נציב 0.2Rבביטוי של האלכסון ונקבל את אורך האלכסון הקצר ביותר. AC R 2 2R 0.2R 5 (0.2R) 2 AC R 2 0.4R 2 5 0.04R 2 4 2 R 5 5 5 AC AC 2R 5 תשובה :אורך האלכסון הקצר ביותר הוא 5 . 2R נכתב ע"י עפר ילין 8 בגרות עה דצמבר 14מועד קיץ ד שאלון 35806 א .נתונה הפונקציה x f ( x) x2 a נביע את שיפוע הפונקציה בנקודה ,שבה , x 0בשתי דרכים, ונשווה בין הביטויים על מנת למצוא את ערך הפרמטר . a 2 x2 x2 a 2 x2 a x2 a f '( x) a 0 a f '(0) 1 a f '(0) 1 0 1 נקודת ההשקה היא ) , (0, 0והמשיק עובר גם בנקודה ) , (3, 1ובהתאם : 30 3 1 1 לכן 3 a .m ו. a 9 - תשובה. a 9 : לכן הפונקציה עולה לכל ) xקל לראות שהפונקציה מוגדרת לכל ( x ב. x x2 9 . f ( x) הביטוי שבתוך השורש חיובי לכל , xולכן הפונקציה מוגדרת לכל . x תשובה :תחום ההגדרה :כל . x ג .נכין את הנגזרת הפנימית של הביטוי שבתוך השורש x2 9 c 2 x dx 1 2 x 9 2 dx x x 9 2 1 1 משוואת המשיק ,העובר בראשית ושיפועו ,היא x 3 3 .y נמצא את גודל השטח המסומן באות Sבציור. 4 0 1 x x2 ( x ) dx x2 9 0 3 2 6 x 9 4 42 02 ) 42 9) ( 02 9 6 6 2 1 2 (2 5) (3) 2 3 3 3 3 ( 2 תשובה :השטח המוגבל הוא 3 יח"ר. נכתב ע"י עפר ילין ד .הפונקציה ) g ( xמקיימת לכל . g '(0) 5 , g ''( x) f ( x) : x למציאת תחומי עלייה וירידה של ) , g ( xנמצא את ) - g ( xהפונקציה הקדומה של ). g ( x כפי שראינו ,בסעיף הקודםdx x 2 9 c , x x 9 2 . לכן . g '( x) x 2 9 c נציב g '(0) 5ונקבל 5 02 9 c :ומכאן ש c 2 -ו . g '( x) x 2 9 2 ביטוי זה חיובי לכל , xוכיוון ש g ( x) -מוגדרת )כמו ) ( f ( xלכל , x הרי ש g ( x) -עולה לכל , xואין לה נקודות קיצון. פתרון חלופי – על פי הסקיצה ,או הביטוי x x2 9 g ''( x) בו המונה קובע את הסימן, ) g ''( xעוברת משליליות לחיוביות עבור , x 0 ולכן לפונקציה הקדומה שלה ) g '( xיש נקודת מינימום כאשר , x 0 וזהו גם המינימום המוחלט שלה. נתון כי g '(0) 5ולכן הערך המינימלי שלה הוא , 5 מכאן שהיא חיובית לכל xומכאן ש g ( x) -עולה לכל , xואין לה נקודות קיצון. תשובה :ל g ( x) -אין נקודות קיצון. נכתב ע"י עפר ילין
© Copyright 2024