. ביום הראשון ה פגיש העד מכונית ב שנסעה )ק"מ ( הדרך את

‫‪1‬‬
‫בגרות עה דצמבר ‪ 14‬מועד קיץ ד שאלון ‪35806‬‬
‫א‪ .‬נסמן ב‪ x -‬את הדרך )ק"מ( שנסעה מכונית ב עד הפגישה ביום הראשון‪.‬‬
‫נסמן ב‪ t -‬את הזמן )שעות( שנסעה מכונית ב עד הפגישה ביום הראשון‪.‬‬
‫יש למצוא את ‪ , 2 x  150‬סכום מרחקי המכוניות‪ ,‬שהוא המרחק מ‪ A -‬ל‪. B -‬‬
‫נכניס את הנתונים לטבלה מתאימה‪) :‬המספרים בסוגריים מראים את סדר מילוי הטבלה‪ ,‬להסבר הפיתרון(‬
‫ביום השני‪ ,‬המהירויות זהות למהירויות של היום הראשון‬
‫והמרחקים של כל מכונית זהים לזו של האחרת ביום הראשון‪.‬‬
‫זמן ‪t -‬‬
‫שעות‬
‫מכונית א מעיר ‪ A‬ל‪C -‬‬
‫מהירות ‪v -‬‬
‫קמ"ש‬
‫‪(4) 2.25t‬‬
‫‪x  150‬‬
‫‪2.25t‬‬
‫)‪(6‬‬
‫דרך‪ -‬מרחק ‪s -‬‬
‫ק"מ‬
‫‪(2) x  150‬‬
‫ביום הראשון‬
‫מכונית ב מעיר ‪ B‬ל‪C -‬‬
‫מכונית א מ‪ C -‬לעיר ‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪t‬‬
‫‪(3) t‬‬
‫‪2.25tx‬‬
‫‪x  150‬‬
‫)‪(11‬‬
‫)‪(5‬‬
‫‪x  150‬‬
‫‪2.25t‬‬
‫)‪(7‬‬
‫‪(1) x‬‬
‫‪(9) x‬‬
‫ביום השני‬
‫מכונית ב מ‪ C -‬לעיר ‪A‬‬
‫‪( x  150)t‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪(12‬‬
‫ביום השני נסעו המכוניות זמן שווה‪ ,‬לכן נשווה את זמני הנסיעה‪.‬‬
‫‪2.25tx ( x  150)t‬‬
‫‪‬‬
‫‪/ :t  0‬‬
‫‪x  150‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪2.25 x ( x  150‬‬
‫‪‬‬
‫)‪/ x( x  150‬‬
‫‪x  150‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2.25 x 2  ( x  150) 2‬‬
‫‪1.5 x  x  150‬‬
‫‪x  300  2 x  150  750‬‬
‫ניתן היה להוציא שורש‪ ,‬במהלך הפתרון‪ ,‬כי שני האגפים חיוביים‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬המרחק מ‪ A -‬ל‪ B -‬הוא ‪ 750‬ק"מ‪.‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫‪x‬‬
‫‪t‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‪(10) x  150‬‬
‫ב‪ .‬ביום השלישי עברו שתי המכוניות‪ ,‬יחדיו‪ ,‬את ‪ 750‬הק"מ שבין הערים‪ ,‬במשך ‪ 6‬שעות‪.‬‬
‫סמן ב‪ t -‬את הזמן )שעות( שנסעה מכונית ב עד הפגישה ביום הראשון‪.‬‬
‫‪300  150‬‬
‫‪300‬‬
‫‪ 6‬‬
‫‪ 750 / : 6‬‬
‫‪2.25t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪200 300‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 125‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t4‬‬
‫‪200‬‬
‫‪300‬‬
‫‪v1 ‬‬
‫‪ 50, v2 ‬‬
‫‪ 75‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫תשובה‪ :‬מהירות מכונית א ‪ 50‬קמ"ש‪ ,‬מהירות מכונית ב ‪ 75‬קמ"ש‪.‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫‪2‬‬
‫בגרות עה דצמבר ‪ 14‬מועד קיץ ד שאלון ‪35806‬‬
‫א‪ .‬נתונה סדרה חשבונית‪ , a1 , a2 , a3 ,....., an :‬שבה ‪ , a1  4, an  310‬והפרשה ‪. d  3‬‬
‫נמצא את מספר האיברים בסדרה הנתונה‪:‬‬
‫)‪310  3  3(n  1‬‬
‫)‪306  3(n  1‬‬
‫‪102  n  1‬‬
‫‪n  103‬‬
‫כלומר‪ ,‬בסדרה הנתונה ‪ 103‬איברים‪.‬‬
‫מהסדרה בנו סדרה חדשה ‪, a2  a3 , ... , a3  a4 :‬‬
‫‪. a1  a2‬‬
‫נשים לב שבסדרה החדשה יש ‪ 103  1  102‬איברים‪ ,‬כי האיבר האחרון בה יהיה ‪. a102  a103‬‬
‫תשובה‪ :‬בסדרה בחדשה יש ‪ 102‬איברים‪.‬‬
‫ב‪ .‬נראה כי הסדרה החדשה‪ ,‬שנסמנה כ‪ , bn -‬היא סדרה חשבונית‪.‬‬
‫‪bn  an  an 1‬‬
‫‪bn 1  an 1  an  2‬‬
‫) ‪bn 1  bn  an 1  an  2  (an  an 1‬‬
‫‪bn 1  bn  an 1  an  2  an  an 1‬‬
‫‪bn 1  bn   an  2  an‬‬
‫‪bn 1  bn  2d‬‬
‫‪bn 1  bn  6‬‬
‫לכן הסדרה חשבונית‪ ,‬והפרשה הקבוע הוא ‪. 6‬‬
‫איברה הראשון הוא‪b1  a1  a2  4  7  11 :‬‬
‫נחשב את סכומה‪.‬‬
‫‪102   2 11  6(102  1)‬‬
‫‪S102 ‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪ 51 (22  6 101‬‬
‫‪S102‬‬
‫‪S102  32, 028‬‬
‫תשובה‪ :‬הוּכַח‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי ‪ , a2 2  a12  64‬לכן ‪. b1  64‬‬
‫נביע את האיבר האחרון בסדרה החדשה‪ ,‬כלומר את ‪ , bn 1‬באמצעות ‪ n‬ו‪. d -‬‬
‫)‪bn 1  b1  db (n  1  1‬‬
‫)‪bn 1  64  2d 2 (n  2‬‬
‫תשובה‪ :‬סכום הסדרה החדשה הוא ‪. 32, 028‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫ג‪ .‬בסדרה החדשה מחקו את האיבר השני ‪ ,‬השישי‪ ,‬העשירי והן הלאה‪.‬‬
‫המקומות של האיברים שנמחקו מהווים סדרה חשבונית שהפרשה ‪. 4‬‬
‫נסמן סדרה זו כ‪ , cn -‬כאשר ‪, d  4 , c1  2‬‬
‫ואיברה האחרון ‪ , cn  102‬כי בסדרה ‪ bn‬יש ‪ 102‬איברים‪.‬‬
‫)לא ידוע האם ‪ 102‬הוא בסדרה החדשה‪ ,‬כלומר גם האם ‪ a102‬נמחק(‬
‫‪2  4(n  1)  102‬‬
‫‪4(n  1)  100 / : 4‬‬
‫‪n  1  25‬‬
‫‪n  26  n  26‬‬
‫)קבלנו מספר שלם‪ ,‬לכן גם ‪ a102‬נמחק(‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬נמחקו ‪ 26‬איברים‪.‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫‪3‬‬
‫בגרות עה דצמבר ‪ 14‬מועד קיץ ד שאלון ‪35806‬‬
‫א‪ .‬ההסתברות שתלמיד כלשהו לעבור מבחן נהיגה היא ‪( 0  p  1 ) p‬‬
‫ידוע שההסתברות שהתלמיד יעבור את המבחן בפעם הראשונה ) ‪) ( p‬ואז כמובן לא ניגש יותר למבחן(‬
‫‪27‬‬
‫גדולה פי‬
‫‪8‬‬
‫מההסתברות שיעבור את המבחן רק בפעם הרביעית ) ‪.( (1  p )3  p‬‬
‫‪27‬‬
‫‪ (1  p)3  p / : p  0‬‬
‫‪8‬‬
‫‪27‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ (1  p)3 / 3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪3‬‬
‫) ‪1  (1  p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1 p‬‬
‫‪3‬‬
‫‪p‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪p‬‬
‫‪.p‬‬
‫ב‪ .‬יש למצוא את ההסתברות שתלמיד יעבור את המבחן רק בפעם השנייה )לאחר שייכשל בראשונה(‪,‬‬
‫אם ידוע שיעבור את המבחן לאחר שני מבחנים לכל היותר )מבחן אחד או שניים(‪,‬‬
‫)‪P(2nd test  2 at the most‬‬
‫)‪P(2 at the most‬‬
‫‪P(will pass the 2nd test / will pass after 2 at the most) ‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪P  3 3  9  0.4‬‬
‫‪1 2 1 5‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪3 3 3 9‬‬
‫תשובה‪ :‬ההסתברות היא ‪. 0.4‬‬
‫ג‪ .‬שני נבחנים יזדקקו סך הכול ל‪ 3 -‬מבחנים בדיוק‪,‬‬
‫אם אחד מהם יעבור במבחן הראשון והשני יעבור במבחן השני‪,‬‬
‫או השני יעבור במבחן הראשון והראשון במבחן השני‪:‬‬
‫‪1 2 1‬‬
‫‪(  )  ( 2  1)  1  4‬‬
‫‪3 3 3‬‬
‫‪3 3 3 27‬‬
‫‪P‬‬
‫‪4‬‬
‫תשובה‪ :‬ההסתברות היא‬
‫‪27‬‬
‫‪.‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫‪4‬‬
‫בגרות עה דצמבר ‪ 14‬מועד קיץ ד שאלון ‪35806‬‬
‫נתונים‬
‫‪ AD .1‬משיק למעגל השמאלי ב‪. A -‬‬
‫‪ CB .2‬משיק למעגל הימני ב‪. B -‬‬
‫עבור ג‪ 4 .3 :‬ס"מ ‪ 9 .3 . BD ‬ס"מ ‪. AC ‬‬
‫צ"ל‪:‬‬
‫א‪. AED  FCA  180 .‬‬
‫ב‪ CEDF (1) .‬מקבילית‪.‬‬
‫‪SABC‬‬
‫ג‪(2) .‬‬
‫‪SBDA‬‬
‫‪.‬‬
‫הסבר‬
‫נימוק‬
‫טענה‬
‫‪5‬‬
‫‪E  ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ABD  180  ‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ABF  ‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ACF  180  ‬‬
‫‪8 ,5‬‬
‫‪9‬‬
‫‪AED  FCA  180‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪CF  ED‬‬
‫זוויות חד צדדיות משלימות ל‪180 -‬‬
‫‪7‬‬
‫‪11‬‬
‫‪B1  ‬‬
‫סימון‬
‫‪11 ,7‬‬
‫‪12‬‬
‫‪B2    ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪13‬‬
‫‪ CB‬משיק למעגל הימני ב‪B -‬‬
‫‪13 ,11‬‬
‫‪14‬‬
‫‪D1  ‬‬
‫‪14 ,6‬‬
‫‪15‬‬
‫‪A1    ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ AD‬משיק למעגל השמאלי ב‪A -‬‬
‫‪16 ,15‬‬
‫‪17‬‬
‫‪C1    ‬‬
‫זווית בין משיק למיתר‬
‫‪17 ,12‬‬
‫‪18‬‬
‫‪C1  B2‬‬
‫כלל המעבר‬
‫‪18‬‬
‫‪19‬‬
‫‪CE  FD‬‬
‫‪19 ,10‬‬
‫‪20‬‬
‫‪ CEDF‬מקבילית‬
‫‪19‬‬
‫‪21‬‬
‫‪h ABD  h BAC‬‬
‫‪21 ,4 ,3‬‬
‫‪22‬‬
‫‪SABC 9h BAC  0.5‬‬
‫‪‬‬
‫‪SBDA 4h ABD  0.5‬‬
‫‪22 ,21‬‬
‫‪23‬‬
‫‪SABC 9‬‬
‫‪‬‬
‫‪SBDA 4‬‬
‫סימון‬
‫זוויות נגדיות במרובע חסום במעגל משלימות ל‪180 -‬‬
‫זוויות צמודות משלימות ל‪180 -‬‬
‫זוויות נגדיות במרובע חסום במעגל משלימות ל‪180 -‬‬
‫חישוב‬
‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪ .‬א‬
‫הפרש זוויות‬
‫נתון‬
‫זווית בין משיק למיתר‬
‫סכום זוויות ‪ ABD‬הוא ‪180‬‬
‫נתון‬
‫אם זוויות מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים‬
‫שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות‬
‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪ .‬ב )‪(2‬‬
‫מרחקים שווים בין ישרים מקבילים‬
‫נוסחת שטח משולש‬
‫חישוב‬
‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪ .‬ג‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
5
35806 ‫ מועד קיץ ד שאלון‬14 ‫בגרות עה דצמבר‬
AC  x :‫ לכן‬,(‫ )סימון‬AB = 2AC = 2x .‫א‬
.(‫ )נתון‬BAC  120
. h ‫ באמצעות‬x ‫ על מנת להביע את‬,‫ בשתי דרכים ונשווה אותם‬ABC ‫נמצא את שטח‬
‫ לפי משפט הקוסינוסים‬ABC
(BC) 2  (AB) 2  (AC) 2  2AB  AC  cosBAC
(BC) 2  (2 x) 2  x 2  2  2 x  x  cos 120
(BC) 2  4 x 2  x 2  2 x 2
(BC) 2  7 x 2
BC  x 7
 BC  0
AB  AC  sin BAC
2
2 x  x  sin120
SABC 
2
SABC 
SABC  x 2
7
3
 x2
2
2
h
7
x
3
SABC 
BC  h
2
SABC  xh
7
2
3
2
xh
SABC 
SABC 
/:
x 3
0
2
7
h 7
2
3
7h2
2 3
. SABC 
7h2
:‫תשובה‬
2 3
. R -‫ נסמנו ב‬: ADC ‫ שווה לרדיוס המעגל החוסם את‬ABC ‫ רדיוס המעגל החוסם את‬.‫ב‬
‫ לפי משפט הסינוסים‬ADC
AC
 2R
sin D
‫ לפי משפט הסינוסים‬ABC
BC
 2R
sin120
:‫על פי כלל המעבר נקבל‬
AC
BC

sin D sin120
x sin120
 sin D
x 7
D  19.11
. ADC  19.11 :‫תשובה‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
. AD  h  6 ‫ נתון‬.‫ג‬
‫ לפי משפט הסינוסים‬ABC
AB
BC

sin C1 sin120
2 x sin120
 sin C1
x 7
C1  40.89  0  C1  60
C2  139.11  C1  C 2  180
‫ לפי משפט הסינוסים‬ADC
AD
AC

sin139.11 sin19.11
h 7 sin139.11
h6
3 sin19.11
h  6  3.054h
6  2.054h
h  2.921
. h  2.921 :‫תשובה‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫‪6‬‬
‫בגרות עה דצמבר ‪ 14‬מועד קיץ ד שאלון ‪35806‬‬
‫‪a‬‬
‫א‪ .‬נתונה הפונקציה‪ a sin x :‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪ f ( x) ‬בתחום ‪ a  0 ,   x  ‬פרמטר‪.‬‬
‫פונקציית ‪ sin x‬מתאפסת עבור ‪ , x   k‬ולכן תחום ההגדרה של )‪ f ( x‬הוא ‪.   x   , x  0‬‬
‫תשובה‪ :‬תחום ההגדרה הוא ‪.   x   , x  0‬‬
‫ב‪ .‬האסימפטוטות האנכיות של )‪ f ( x‬הן ‪. x   , x  0 , x  ‬‬
‫ג‪ .‬נראה ש‪ f ( x) -‬היא אי‪-‬זוגית‪ ,‬כלומר סימטרית לראשית הצירים )למרות שנקודה זו לא על גרף הפונקציה(‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫)‪ a sin( x‬‬
‫)‪sin( x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪f ( x) ‬‬
‫‪ a sin x‬‬
‫‪ sin x‬‬
‫‪a‬‬
‫(‪f (  x )  ‬‬
‫))‪ a sin( x‬‬
‫)‪sin( x‬‬
‫)‪f ( x)   f ( x‬‬
‫‪f ( x) ‬‬
‫תשובה‪ f ( x) :‬היא אי‪-‬זוגית‪.‬‬
‫ד‪ .‬נמצא נקודות קיצון פנימיות )אין נקודות קצה(‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ a sin x‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪a cos x‬‬
‫‪f '( x)  ‬‬
‫‪ a cos x‬‬
‫‪sin 2 x‬‬
‫‪ a cos x  a cos x sin 2 x‬‬
‫‪f '( x) ‬‬
‫‪sin 2 x‬‬
‫‪f ( x) ‬‬
‫)‪ cos x(1  sin 2 x‬‬
‫‪f '( x)  a ‬‬
‫‪sin 2 x‬‬
‫‪ , a  0‬ולכן סימן הנגזרת נקבע על פי הביטוי ‪)  cos x‬שאר הביטויים חיוביים בתחום ההגדרה של הפונקציה(‪.‬‬
‫‪0   cos x‬‬
‫‪cos x  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪ f( )‬‬
‫‪ a sin( )  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫) (‪sin‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪k  1: x  ‬‬
‫‪ f( )‬‬
‫‪ a sin( )  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪sin(‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k  0: x ‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ cos ( )  0 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ ( , 0) min‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ cos( )  0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ועקב אי‪-‬הזוגיות של הפונקציה‪, 0) min ,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫תשובה‪ ( , 0) :‬מינימום‪, 0) ,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ (‬מקסימום‪.‬‬
‫ה‪ .‬סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫ו‪ .‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪ (‬מקסימום‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪, 0) ( , 0) f ( x) ‬‬
‫‪ a sin x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪(‬‬
‫‪ g ( x) ‬בתחום ‪.   x  ‬‬
‫‪‬‬
‫על פי הסקיצה בסעיף ה ‪ f ( x) -‬אי‪-‬שלילית בתחום זה )מתאפסת רק עבור‬
‫‪2‬‬
‫‪ sin x‬חיובית בכל בתחום ‪.   x  ‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫לכן המנה‬
‫‪sin x‬‬
‫‪x y‬‬
‫‪ g ( x) ‬היא אי‪-‬שלילית בתחום ‪.   x  ‬‬
‫תשובה‪ :‬הוּכַח‪.‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫‪ , x ‬חיובית בשאר בתחום(‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫בגרות עה דצמבר ‪ 14‬מועד קיץ ד שאלון ‪35806‬‬
‫הפונקציה שיש להביא למינימום היא אורך אלכסון המלבן‪.‬‬
‫הגזרה הנתונה היא של רבע עיגול‪ ,‬שרדיוסו ‪ , R‬ולכן ‪. O = 90‬‬
‫‪) DT  CT  x‬נתון וסימון(‪.‬‬
‫התיכון ‪ OT‬לצלע ‪ DC‬הוא גם גובה ב‪ , DOC -‬כי הוא מאונך למשיק בנקודת ההשקה‪.‬‬
‫מכאן ש‪ OZ -‬מאונך ל‪ AB -‬ומתקבלים שני מלבנים ‪ AZTD‬ו‪, BZTC -‬‬
‫כאשר ‪ AZ  ZB  x‬ו‪ OZ -‬הוא תיכון ליתר ב‪. AOB -‬‬
‫התיכון ליתר שווה למחצית היתר‪.‬‬
‫לכן‪ OZ  x :‬ומכאן ש‪ ZT  R  x -‬וגם ‪. BC  R  x‬‬
‫‪) AC  ( R  x) 2  (2 x) 2‬משפט פיתגורס ‪.( ABC‬‬
‫‪AC  (R  x) 2  4 x 2‬‬
‫‪AC  R 2  2Rx  x 2  4 x 2‬‬
‫‪AC  R 2  2Rx  5 x 2‬‬
‫נמצא את נקודת הקיצון‬
‫‪2R  10 x‬‬
‫‪2 R 2  2Rx  5 x 2‬‬
‫‪(AC) '( x) ‬‬
‫‪0  2R  10 x‬‬
‫‪x  0.2R‬‬
‫‪2R  10  0.1R ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x  0.2R, Min‬‬
‫‪2R  10  0.3R ‬‬
‫‪(AC) '(0.3R) ‬‬
‫‪  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪(AC) '(0.1R) ‬‬
‫נציב ‪ 0.2R‬בביטוי של האלכסון ונקבל את אורך האלכסון הקצר ביותר‪.‬‬
‫‪AC  R 2  2R  0.2R  5  (0.2R) 2‬‬
‫‪AC  R 2  0.4R 2  5  0.04R 2‬‬
‫‪4 2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪AC ‬‬
‫‪AC  2R‬‬
‫‪5‬‬
‫תשובה‪ :‬אורך האלכסון הקצר ביותר הוא‬
‫‪5‬‬
‫‪. 2R‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫‪8‬‬
‫בגרות עה דצמבר ‪ 14‬מועד קיץ ד שאלון ‪35806‬‬
‫א‪ .‬נתונה הפונקציה‬
‫‪x‬‬
‫‪f ( x) ‬‬
‫‪x2  a‬‬
‫נביע את שיפוע הפונקציה בנקודה‪ ,‬שבה ‪ , x  0‬בשתי דרכים‪,‬‬
‫ונשווה בין הביטויים על מנת למצוא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫‪2 x2‬‬
‫‪x2  a ‬‬
‫‪2 x2  a‬‬
‫‪x2  a‬‬
‫‪f '( x) ‬‬
‫‪a 0‬‬
‫‪a‬‬
‫‪f '(0) ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪f '(0) ‬‬
‫‪1 0 1‬‬
‫נקודת ההשקה היא )‪ , (0, 0‬והמשיק עובר גם בנקודה )‪ , (3, 1‬ובהתאם‪ :‬‬
‫‪30 3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫לכן‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a‬‬
‫‪.m ‬‬
‫ו‪. a  9 -‬‬
‫תשובה‪. a  9 :‬‬
‫לכן הפונקציה עולה לכל ‪) x‬קל לראות שהפונקציה מוגדרת לכל ‪( x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x2  9‬‬
‫‪ . f ( x) ‬הביטוי שבתוך השורש חיובי לכל ‪ , x‬ולכן הפונקציה מוגדרת לכל ‪. x‬‬
‫תשובה‪ :‬תחום ההגדרה‪ :‬כל ‪. x‬‬
‫ג‪ .‬נכין את הנגזרת הפנימית של הביטוי שבתוך השורש‬
‫‪x2  9  c‬‬
‫‪ 2 x dx ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 x 9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dx  ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x 9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫משוואת המשיק‪ ,‬העובר בראשית ושיפועו ‪ ,‬היא ‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.y‬‬
‫נמצא את גודל השטח המסומן באות ‪ S‬בציור‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x2‬‬
‫(‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫)‬
‫‪dx‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x2  9‬‬
‫‪0 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪x 9‬‬
‫‪4‬‬
‫‪42‬‬
‫‪02‬‬
‫)‪ 42  9)  (  02  9‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ (2  5)  (3)  2  3 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪‬‬
‫‪2‬‬
‫תשובה‪ :‬השטח המוגבל הוא‬
‫‪3‬‬
‫יח"ר‪.‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫ד‪ .‬הפונקציה )‪ g ( x‬מקיימת לכל ‪. g '(0)  5 , g ''( x)  f ( x) : x‬‬
‫למציאת תחומי עלייה וירידה של )‪ , g ( x‬נמצא את )‪ - g ( x‬הפונקציה הקדומה של )‪. g ( x‬‬
‫כפי שראינו‪ ,‬בסעיף הקודם‪dx  x 2  9  c ,‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x 9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫לכן ‪. g '( x)  x 2  9  c‬‬
‫נציב ‪ g '(0)  5‬ונקבל‪ 5  02  9  c :‬ומכאן ש‪ c  2 -‬ו ‪. g '( x)  x 2  9  2‬‬
‫ביטוי זה חיובי לכל ‪ , x‬וכיוון ש‪ g ( x) -‬מוגדרת )כמו )‪ ( f ( x‬לכל ‪, x‬‬
‫הרי ש‪ g ( x) -‬עולה לכל ‪ , x‬ואין לה נקודות קיצון‪.‬‬
‫פתרון חלופי –‬
‫על פי הסקיצה‪ ,‬או הביטוי‬
‫‪x‬‬
‫‪x2  9‬‬
‫‪ g ''( x) ‬בו המונה קובע את הסימן‪,‬‬
‫)‪ g ''( x‬עוברת משליליות לחיוביות עבור ‪, x  0‬‬
‫ולכן לפונקציה הקדומה שלה )‪ g '( x‬יש נקודת מינימום כאשר ‪, x  0‬‬
‫וזהו גם המינימום המוחלט שלה‪.‬‬
‫נתון כי ‪ g '(0)  5‬ולכן הערך המינימלי שלה הוא ‪, 5‬‬
‫מכאן שהיא חיובית לכל ‪ x‬ומכאן ש‪ g ( x) -‬עולה לכל ‪ , x‬ואין לה נקודות קיצון‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬ל‪ g ( x) -‬אין נקודות קיצון‪.‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬