1. No category

‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪112 :‬‬
‫פרופורציה‬
‫ביחס אנו עוסקים בקשר בין שני גדלים‪ .‬בפרופורציה אנו עוסקים בקשר בין שני יחסים‪.‬‬
‫אם בין שני יחסים קיים שוויון‪ ,‬אנו אומרים שקיימת פרופורציה‪.‬‬
‫בפרק פרופורציה אנו מבחינים בין שלושה סוגים של שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬שאלות של השוואה – שאלות בהן נתונים כל ארבעת הערכים של הפרופורציה והמטלה היא להשוות ביניהם‪.‬‬
‫‪ )2‬שאלות של ערך חסר – בשאלות אלו נתונים שלושה ערכים מתוך הפרופורציה והמטלה היא למצוא את‬
‫הערך הרביעי‪.‬‬
‫‪ )3‬שאלות של כדאיות באמצעות השוואת יחסים‪.‬‬
‫פרופורציה‬
‫דוגמה ‪1‬‬
‫הוראות להכנת מיץ ממותק‪:‬‬
‫על פחית של מיץ מרוכז כתוב‪ :‬להכנת מיץ ממותק יש לערבב פחית אחת של תרכיז עם ‪ 3‬פחיות של מים‪.‬‬
‫( ) לכל אחת מארבע האפשרויות המוצגות להלן רשמו את היחס בין ה"תרכיז" ל"מים"‪.‬‬
‫( ) איזה מהאפשרויות הבאות הוכנה על פי ההוראות‪:‬‬
‫כדי שקושי בביצוע פעולות חשבון בסיסיות לא יהווה מכשול בלימוד הפרק ניתן‪ ,‬על פי שיקול דעת המורה‪,‬‬
‫לאפשר שימוש במחשבון‪.‬‬
‫מספר שיעורים מומלץ‪.3 :‬‬
‫‪3.‬‬
‫‪1.‬‬
‫‪4.‬‬
‫‪2.‬‬
‫באפשרות ‪ 3‬המיץ הוכן ביחס של ‪ ,1 : 3‬בהתאם להוראות‪.‬‬
‫הצגת הנושא מתבצעת באמצעות שלוש דוגמאות‪ .‬מומלץ לבצע את הדוגמאות במליאת הכיתה כאשר הספר סגור‪.‬‬
‫דוגמה ‪:1‬‬
‫גם באפשרות ‪ 2‬המיץ הוכן בהתאם להוראות‪:‬‬
‫את שוויון היחסים ניתן לרשום גם כ‪:‬‬
‫‪2:6‬‬
‫‪2:6=1:3‬‬
‫‪:2‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪6 3‬‬
‫‪:2‬‬
‫‪1:3‬‬
‫שוויון זה נקרא פרופורציה‪.‬‬
‫הוראות להכנת מיץ ממותק‪ .‬נציג את ההוראות ונשאל‪ :‬מה היחס בין מספר פחיות התרכיז לבין מספר פחיות‬
‫המים? )‪.(1 : 3‬‬
‫נציג את האפשרויות השונות ונשאל‪ :‬האם המיץ שהוכן בכל אחד מהסעיפים‪ ,‬הוכן בהתאם להוראות?‬
‫כיצד יבדקו? בדיון‪ :‬נכתוב את היחס בין מספר פחיות התרכיז לבין מספר פחיות המים בכל אחד מהסעיפים‬
‫ונבדוק אם הוא שווה ליחס המומלץ‪ .‬יש דרכים שונות לבדוק זאת‪.‬‬
‫(‪ )1‬נציג את היחס כיחס מצומצם‪.‬‬
‫למשל באפשרות ‪ :1‬נצמצם את היחס ‪ 2 : 4‬היחס המצומצם הוא ‪( 1 : 2‬שונה מהיחס ‪.)1 : 3‬‬
‫באפשרות ‪ :2‬נצמצם את היחס ‪ 2 : 6‬היחס המצומצם הוא ‪ 1 : 3‬שהוא היחס המומלץ‪.‬‬
‫(‪ )2‬נשווה בין שברים להם מכנים (או מונים) שווים עם היחס הנתון‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .‬לשניהם אותו מכנה‬
‫עם השבר‬
‫למשל באפשרות ‪ :4‬היחס הוא ‪ .2 : 3‬נשווה את השבר‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫אבל המונים שונים‪ .‬היחסים שונים‪.‬‬
‫(‪ )3‬הסבר "אינטואיטיבי" למשל‪ ,‬היחס הנתון בשאלה הוא "על כל כוס תרכיז יש ‪ 3‬כוסות מים"‪.‬‬
‫באפשרות ‪ 1‬יש ‪ 2‬כוסות תרכיז (הכפלנו את כמות התרכיז) לכן כדי שהיחס יישמר יש צורך לכפול‬
‫פי ‪ 2‬גם את כמות המים‪.‬‬
‫‪118‬‬
‫אומרים‪ :‬מספר פחיות המיץ פרופורציוני למספר פחיות המים‪.‬‬
‫למדנו כי יחסים הם יחסים שווים‬
‫אם הם מתקבלים זה מזה‬
‫באמצעות הרחבה או צמצום‪.‬‬
‫פרופורציה היא שוויון בין יחסים‪.‬‬
‫דוגמה ‪2‬‬
‫בחוג כדורגל ‪ 10‬נערים הם תלמידי כיתות ז ו‪ 15 -‬נערים הם תלמידי כיתות ח‪.‬‬
‫בחוג כדורסל ‪ 12‬נערים הם תלמידי כיתות ז ו‪ 18 -‬נערים הם תלמידי כיתות ח‪.‬‬
‫האם בשני החוגים היחס בין תלמידי כיתות ז לתלמידי כיתות ח הוא אותו יחס?‬
‫אם כן‪ ,‬רשמו את הפרופורציה המתאימה‪.‬‬
‫בחוג הכדורגל היחס בין מספר תלמידי כיתות ז לתלמידי כיתות ח הוא‪:‬‬
‫‪10 : 15‬‬
‫בחוג הכדורסל היחס בין מספר תלמידי כיתות ז לתלמידי כיתות ח הוא‪:‬‬
‫‪12 : 18‬‬
‫נצמצם את היחסים ונקבל‪:‬‬
‫‪:6‬‬
‫צמצום ב‪6 -‬‬
‫נרשום את הפרופורציה‪:‬‬
‫‪12 : 18‬‬
‫‪:6‬‬
‫‪2:3‬‬
‫‪10 12‬‬
‫‪‬‬
‫‪15 18‬‬
‫אומרים‪ :‬מספר תלמידי כיתות ז פרופורציוני למספר תלמידי כיתות ח‪.‬‬
‫‪:5‬‬
‫‪10 : 15‬‬
‫‪2:3‬‬
‫‪:5‬‬
‫צמצום ב‪5 -‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪113 – 112 :‬‬
‫דוגמה ‪ :2‬בדוגמה ‪ 1‬היחס הנתון בשאלה הוא ‪ .1 : 3‬ההשוואה קלה יותר כאשר אחד המספרים ביחס הוא ‪.1‬‬
‫בחלק מהמקרים ההשוואות הן מידיות‪ ,‬אין צורך בחישובים‪.‬‬
‫בדוגמה ‪ 2‬נתונים שני יחסים שכדי להשוות ביניהם נדרשים חישובים‪ .‬דרכי חישוב אפשריות‪:‬‬
‫(‪ )1‬הדרך הנפוצה היא להשוות את היחסים המצומצמים‪ .‬בהמשך נראה שלעיתים לא כדאי למצוא דווקא‬
‫את היחס המצומצם‪ ,‬ויחס אחר נוח יותר להשוואה‪.‬‬
‫(‪ )2‬דרך נוספת היא להרחיב את היחסים‪ .‬דרך הדורשת יותר חישובים ופחות נוחה‪.‬‬
‫בדוגמה זאת הדרך הנוחה יותר היא לצמצם את היחסים‪.2 : 3 .‬‬
‫דוגמה ‪ :3‬גם בדוגמה זו נתונים שני יחסים שכדי להשוות ביניהם נדרשים חישובים‪.‬‬
‫בספר ההשוואה נעשית באמצעות צמצום של שני היחסים‪.‬‬
‫נשאלת השאלה "האם היחסים המצומצמים שווים?‬
‫למשל‪ ,‬אפשר לשאול את התלמידים מהו המחיר של חפיסה אחת בכל אחת מהאריזות?‬
‫נקבל כי באריזה בת ‪ 5‬החפיסות מחיר כל חפיסה הוא ‪ 12‬שקלים‪.‬‬
‫באריזה בת ‪ 8‬החפיסות המחיר הוא ‪ 11.25‬שקלים‪( .‬למעשה‪ ,‬המשך של הצמצום כך שהמספר הראשון‬
‫‪.)4 : 45 = 1 : 11.25‬‬
‫ביחס יהיה ‪.1‬‬
‫דוגמה ‪3‬‬
‫מחיר ‪ 5‬חפיסות שוקולד הוא ‪ 60‬שקלים‪ .‬מחיר ‪ 8‬חפיסות שוקולד הוא ‪ 90‬שקלים‪.‬‬
‫האם מתקיימת פרופורציה?‬
‫האם היחס ‪ 5 : 60‬שווה ליחס ‪. 8 : 90‬‬
‫נצמצם את היחסים ונבדוק‪:‬‬
‫‪:2‬‬
‫צמצום ב‪2 -‬‬
‫צמצום ב‪5 -‬‬
‫תרגילים‬
‫‪.1‬‬
‫להכנת סלט ירקות רינת משתמשת ב‪ 4 -‬עגבניות וב‪ 6 -‬מלפפונים‪.‬‬
‫יעל משתמשת ב‪ 2 -‬עגבניות וב‪ 3 -‬מלפפונים‪.‬‬
‫האם היחס בין מספר העגבניות למספר המלפפונים בסלט שמכינה רינת שווה ליחס בסלט שמכינה יעל?‬
‫האם מתקיימת פרופורציה? אם כן‪ ,‬כתבו את הפרופורציה‬
‫‪.2‬‬
‫תרגילים‬
‫יש לבדוק האם מתקיימת פרופורציה‪ ,‬כלומר האם מתקיים שוויון בין שני יחסים נתונים‪.‬‬
‫חשוב לשים לב לסדר המספרים המשתתפים ביחס כך שבשני היחסים יישמר אותו סדר‪.‬‬
‫תרגילים אלה נוח‪ ,‬בדרך כלל‪ ,‬לפתור על ידי השוואת היחסים המצומצמים‪.‬‬
‫‪119‬‬
‫‪:2‬‬
‫‪:5‬‬
‫האם היחסים המצומצמים שווים?‬
‫לחילופין‪ ,‬נתון לשיקול דעתו של המורה‪ ,‬נציג גם את דרך ההשוואה באמצעות הרחבה‪ :‬נרחיב את היחסים כך‬
‫שבשניהם המספר הראשון יהיה שווה‪ .‬נרחיב את היחס ‪ 1 : 12‬ליחס ‪( 4 : 48‬הרחבה ב‪.)4 -‬‬
‫ההשוואה כעת היא בין היחסים ‪ 4 : 48‬לבין ‪ 4 : 45‬ורואים בבירור שהיחסים שונים‪.‬‬
‫‪4 2‬‬
‫‪ .1‬השוואת היחס ‪ 4 : 6‬ליחס ‪ .2 : 3‬השוואה באמצעות צמצום של היחס ‪ .4 : 6‬הפרופורציה‬
‫‪‬‬
‫‪6 3‬‬
‫‪ .2‬השוואת היחס ‪ 8 : 12‬ליחס ‪ .104 : 156‬השוואה באמצעות צמצום של היחסים‪:‬‬
‫בשני היחסים היחס המצומצם הוא ‪ .2 : 3‬היחסים שווים‪.‬‬
‫מומלץ לשאול מה המשמעות של היחסים השווים?‬
‫בהנחה שבכל השורות מספר שווה של כסאות‪ ,‬בשני האולמות אותו מספר של כיסאות בכל שורה‪.‬‬
‫מספר זה ניתן לחישוב‪ :‬בכל שורה יש ‪ 13‬כסאות‪.‬‬
‫‪8 : 90‬‬
‫‪4 : 45‬‬
‫‪5 : 60‬‬
‫‪1 : 12‬‬
‫‪:5‬‬
‫באולם קולנוע אחד יש ‪ 8‬שורות הכוללות ‪ 104‬כסאות‪.‬‬
‫באולם קולנוע שני יש ‪ 12‬שורות הכוללות ‪ 156‬כסאות‪.‬‬
‫האם היחס בין מספר השורות בשני האולמות שווה ליחס שבין מספר הכיסאות בשני האולמות?‬
‫אם כן‪ ,‬כתבו את הפרופורציה‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫מכונית עוברת במשך ‪ 2‬שעות ‪ 140‬ק"מ‪.‬‬
‫רכבת עוברת ‪ 280‬ק"מ במשך ‪ 4‬שעות‪.‬‬
‫האם היחס בין המרחק שעוברת המכונית לבין המרחק שעוברת הרכבת שווה ליחס שבין זמני הנסיעה‬
‫שלהם? אם כן‪ ,‬כתבו את הפרופורציה‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.4‬‬
‫יעל מבצעת ‪ 60‬שיחות במשך ‪ 3‬ימים‪.‬‬
‫מיכל מבצעת ‪ 360‬שיחות במשך ‪ 15‬ימים‪.‬‬
‫האם היחסים אצל יעל ומיכל‪ ,‬בין מספר השיחות לבין מספר הימים‪ ,‬שווה?‬
‫אם כן‪ ,‬כתבו את הפרופורציה‪.‬‬
‫‪.5‬‬
‫משפחת ברוש מתגוררת בדירה בת ‪ 4‬חדרים וחויבה בארנונה בגובה של ‪ 4,800‬שקלים‪.‬‬
‫משפחת תמר מתגוררת באותו בניין בדירה בת ‪ 5‬חדרים וחויבה בארנונה בגובה של ‪ 6,000‬שקלים‪.‬‬
‫האם היחס בין מספר החדרים לגובה הארנונה של משפחת ברוש שווה ליחס זה אצל משפחת תמר?‬
‫אם כן‪ ,‬כתבו את הפרופורציה‪.‬‬
‫ארנונה‪ :‬מיסים עירוניים‪.‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪114 – 113 :‬‬
‫‪ .3‬להשוואה בין היחסים חשוב לשים לב לסדר בו כותבים את היחסים‪ .‬אחרי הצמצום יתקבלו יחסים‬
‫שווים ‪ .1 : 2‬מומלץ לשאול מה משמעות השוויון ביחסים? הרכבת והמכונית נוסעות באותה מהירות‬
‫(בהנחה שהן נוסעות במהירות קבועה‪ ).‬ניתן לנסח את השאלה‪" :‬האם מהירות הרכבת שווה למהירות‬
‫המכונית?‬
‫‪.6‬‬
‫על כל כד רשום כמה חרוזים מכל צבע הוא מכיל‪.‬‬
‫( ) רשמו את היחס בין מספר החרוזים האדומים‬
‫למספר החרוזים הכחולים בכל כד‪.‬‬
‫( ) באילו כדים יש יחסים שווים בין מספר‬
‫‪ .5‬בשאלה‪ :‬האם גובה הארנונה פרופורציוני למספר החדרים בדירה? שואלים האם מחיר הארנונה נקבע‬
‫על פי מספר החדרים בדירה כלומר האם המחיר לחדר הוא קבוע? (במרבית הרשויות חישוב הארנונה הוא‬
‫על‪-‬פי שטח הדירה ולא על‪-‬פי מספר החדרים בדירה‪ ).‬בצמצום היחסים מקבלים כמה ארנונה משלמים עבור‬
‫חדר אחד? ניתן לחשב זאת על‪-‬ידי חלוקת גובה המס במספר החדרים‪.‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪ .6‬השוואה של שלושה יחסים‪ .‬אחרי צמצום‪ :‬היחסים בין מספר החרוזים האדומים לבין מספר החרוזים הכחולים‬
‫בכדים הם‪ :‬בכד א ‪ ,4 : 5‬בכד ב ‪ ,4 : 5‬בכד ג ‪ .4 : 5‬בכל הכדים יחסים שווים‪.‬‬
‫‪ .7‬שאלה דומה לאחרות בהקשר שונה‪.‬‬
‫‪ .8‬מציאת זוגות של יחסים שווים‪ .‬אחרי צמצום יתקבלו היחסים‪:‬‬
‫‪.8‬‬
‫( ) ‪1:5‬‬
‫(ג) ‪1 : 6‬‬
‫(ה) ‪2 : 5‬‬
‫( ) ‪1:6‬‬
‫(ד) ‪3 : 4‬‬
‫(ו) ‪3 : 4‬‬
‫(ח) ‪3 : 4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ .9‬הפרופורציה המתאימה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪16 24‬‬
‫‪ .11‬אפשרויות לפתרון‪ )1( :‬השוואה בין היחסים ‪ 5 : 4‬ו‪ .15 : 10 -‬צמצום של היחס ‪ 15 : 10‬ייתן את‬
‫היחס המצומצם‪ .‬במקרה זה בצמצום ב‪ 3 -‬המספר הראשון בשני היחסים יהיה שווה‪ ,‬כך שיהיה קל לבדוק‬
‫את שוויון היחסים (אבל המספר השני יהיה מספר שאינו שלם)‪ .‬היחס שיתקבל אחרי צמצום ב‪.5 : 3 :3 -‬‬
‫(‪ )2‬ניתן לראות שהיחסים אינם שווים אם נתבונן בציור ונבדוק כמה עוגיות יש לכל כוס קפה‪:‬‬
‫באחת עוגייה וחצי ובשנייה אחת ורבע‪.‬‬
‫(‪ )3‬מספר העוגיות גדל פי ‪ 3‬ומספר הספלים – לא‪.‬‬
‫‪ .11‬תרגיל דומה‪ .‬השוואה ‪ 2 : 3‬ו‪ .3 : 4 -‬המספר ‪ 3‬מופיע בשני היחסים אבל לא באותו מיקום‪ .‬להשוואה‬
‫נרחיב ב‪ 3 -‬את היחס ‪ 2 : 3‬ונקבל ‪ .6 : 9‬נרחיב ב‪ 2 -‬את היחס ‪ 3 : 4‬ונקבל ‪ .6 : 8‬היחסים אינם שווים‪.‬‬
‫‪ 45‬אדומים‬
‫‪33‬‬
‫‪ 36‬כחולים‬
‫‪45‬‬
‫החרוזים האדומים למספר החרוזים הכחולים?‬
‫רשמו את היחסים השווים כפרופורציה‪.‬‬
‫(ג)‬
‫‪ .4‬צמצום היחס יכול להיעשות כך שהמספר השווה בשני היחסים יהיה ‪ .3‬במקרה זה יש לצמצם רק את היחס‬
‫בין מספר הימים למספר השיחות שמבצעת מיכל‪ .‬ניתן לצמצם את שני היחסים כך שהמספר השווה יהיה ‪.1‬‬
‫(ז) ‪2 : 5‬‬
‫ד‬
‫לפניכם כדים ובהם חרוזים אדומים וכחולים‪.‬‬
‫ד‬
‫דג‬
‫‪ 24‬אדומים‬
‫‪ 30‬כחולים‬
‫לטיול השנתי יצאו שני אוטובוסים‪.‬‬
‫‪ 45‬תלמידים‬
‫‪ 5‬מלווים‬
‫באחד היו ‪ 45‬תלמידים ו‪ 5 -‬מלווים‪.‬‬
‫בשני היו ‪ 36‬תלמידים ו‪ 3 -‬מלווים‪.‬‬
‫האם מספר המלווים פרופורציוני למספר התלמידים? הסבירו‪.‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪ 32‬אדומים‬
‫‪ 40‬כחולים‬
‫‪ 36‬תלמידים‬
‫‪ 3‬מלווים‬
‫ארנונה‪ :‬מיסים עירוניים‪.‬‬
‫מצאו זוגות יחסים שווים ורשמו אותם כפרופורציה‪.‬‬
‫( )‬
‫‪8 : 40‬‬
‫(ג)‬
‫‪1:6‬‬
‫(ה)‬
‫‪12 : 30‬‬
‫(ז)‬
‫‪2:5‬‬
‫( )‬
‫‪3 : 18‬‬
‫(ד)‬
‫‪9 : 12‬‬
‫(ו)‬
‫‪3:4‬‬
‫(ח)‬
‫‪18 : 24‬‬
‫על מד הספרים של נועם ‪ 16‬ספרי קריאה בעברית ו‪ 4 -‬ספרים באנגלית‪.‬‬
‫על מד הספרים של תומר ‪ 24‬ספרי קריאה בעברית ו‪ 6 -‬ספרים באנגלית‪.‬‬
‫האם היחס בין מספר הספרים באנגלית לבין מספר הספרים בעברית במד של נועם שווה ליחס זה‬
‫במד של תומר?‬
‫אם כן‪ ,‬כתבו את הפרופורציה‪.‬‬
‫‪.11‬‬
‫לפניכם שתי הזמנות שהוגשו בבית הקפה‪.‬‬
‫מדוע מספר העוגיות אינו פרופורציוני למספר ספלי הקפה?‬
‫‪.11‬‬
‫נועה מכינה מיץ תפוזים משתי קופסאות תרכיז ושלוש כוסות מים‪.‬‬
‫רותם מכינה מיץ תפוזים משלוש קופסאות תרכיז וארבע כוסות מים‪.‬‬
‫האם מספר קופסאות התרכיז במיץ שמכינות נועה ורותם פרופורציוני למספר כוסות המים?‬
‫הסבירו‪.‬‬
‫‪120‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪115 :‬‬
‫נמצ‬
‫נמצ‬
‫ת הגודל החסר‬
‫בפרופורציה משתתפים ארבעה גדלים‪.d , c , b , a :‬‬
‫‪a c‬‬
‫כאשר נתונים ‪ 3‬מתוך ארבעת הנתונים ניתן תמיד למצוא את הנתון הרביעי‪.‬‬
‫בקשר‬
‫‪‬‬
‫‪b d‬‬
‫נוח להציג את הנתונים בטבלה‪ .‬ולתרגם את הקשר למשוואה‪.‬‬
‫בשלב הראשון נקפיד לכתוב משוואה שבה הנעלם מופיע במונה‪.‬‬
‫לביצוע החישובים ניתן להיעזר במחשבון‪.‬‬
‫דוגמה ‪4‬‬
‫הצגה של הנתונים בטבלה‪ .‬ותרגום הטבלה לפרופורציה‪.‬‬
‫במשוואה המוצגת בספר משווים‪ ,‬בכל אוטובוס‪ ,‬את היחס בין מספר המבוגרים ומספר הילדים (יחס "בתוך"‬
‫האוטובוס)‪ .‬הצגה של הנתונים בטבלה מקלה על כתיבת הפרופורציה‪.‬‬
‫ת הגודל החסר‬
‫דוגמה ‪4‬‬
‫לטיול יצאו שני אוטובוסים בשניהם היחסים בין מספר המבוגרים למספר התלמידים שווים‪.‬‬
‫באוטובוס אחד יש ‪ 42‬תלמידים ו‪ 12 -‬מבוגרים‪ .‬באוטובוס השני ‪ 35‬תלמידים‪.‬‬
‫כמה מבוגרים באוטובוס השני?‬
‫נציג את הנתונים בטבלה ונשווה את היחסים בין מספר המבוגרים למספר התלמידים בשני האוטובוסים‪.‬‬
‫אוטובוס ראשון‬
‫אוטובוס שני‬
‫מבוגרים‬
‫‪12‬‬
‫‪x‬‬
‫תלמידים‬
‫‪42‬‬
‫‪35‬‬
‫נסמן את מספר‬
‫המבוגרים באוטובוס‬
‫השני ב‪. x -‬‬
‫‪x‬‬
‫‪12‬‬
‫‪‬‬
‫‪35 42‬‬
‫נפתור משוואה ונקבל‪:‬‬
‫פתרון המשוואה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪12‬‬
‫=‬
‫‪⧸35‬‬
‫‪35‬‬
‫‪42‬‬
‫‪x = 10‬‬
‫‪x = 35  12‬‬
‫‪42‬‬
‫תשובה‪ :‬באוטובוס השני היו ‪ 10‬מבוגרים‪.‬‬
‫את הקשר בין ארבעת הגדלים בשאלה נכתוב כפרופורציה‪ :‬נשמור על הסדר שבטבלה‬
‫‪x 35‬‬
‫‪‬‬
‫‪12 42‬‬
‫‪.‬‬
‫ונוסי את סימן השוויון ואת קו השבר בכל אג של המשוואה‪.‬‬
‫בדרך זו משווים את היחס בין מספר המבוגרים בשני האוטובוסים ומספר התלמידים בשני האוטובוסים‬
‫(יחס "בין" האוטובוסים)‪.‬‬
‫‪35 42‬‬
‫‪12 42‬‬
‫‪.‬‬
‫או‬
‫אפשר כמובן לכתוב את היחסים הבאים בהם ‪ x‬נמצא במכנה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪12‬‬
‫‪x‬‬
‫‪35‬‬
‫בשלב זה התלמידים לא למדו לפתור משוואות בהן ‪ x‬במכנה‪ .‬לכן כדאי להמליץ לכתוב את הפרופורציה‬
‫כך ש‪ x -‬יהיה תמיד במונה‪.‬‬
‫‪x 35‬‬
‫נפתור באמצעות כפל של שני אגפי המשוואה ב‪( 12 -‬ביצוע הפעולה ההפוכה)‪.‬‬
‫את המשוואה‬
‫‪‬‬
‫‪12 42‬‬
‫ניתן גם לבצע הרחבה של השברים למכנים שווים‪.‬‬
‫במקרה זה המכנה המשות הקטן ביותר הוא ‪( .84‬המספר הקטן ביותר המתחלק גם ב‪ 42 -‬וגם ב‪).12 -‬‬
‫‪7x 70‬‬
‫(באג ימין‪ ,‬הרחבה ב‪)7 -‬‬
‫(באג ימין‪ ,‬הרחבה ב‪)2 -‬‬
‫‪‬‬
‫‪84 84‬‬
‫‪7x = 70‬‬
‫המכנים שווים‪ ,‬נשווה מונים‪ .‬נקבל ‪⧸:7‬‬
‫‪x = 10‬‬
‫נכתוב תשובה מילולית‪ :‬באוטובוס השני היו ‪ 11‬מבוגרים‪ .‬נבדוק אם מתקבלים יחסים שווים‪.‬‬
‫‪121‬‬
‫‪x = 10‬‬
‫דוגמה ‪5‬‬
‫נתונה הפרופורציה‪:‬‬
‫‪x 45‬‬
‫‪‬‬
‫‪4 20‬‬
‫מה הוא ‪? x‬‬
‫נפתור ‪:‬‬
‫‪x 9‬‬
‫‪‬‬
‫‪4 4‬‬
‫המכנים שווים‪ ,‬נשווה מונים‪:‬‬
‫‪x=9‬‬
‫נצמצם את השבר‬
‫שבאג ימין ב‪. 5 -‬‬
‫בדקו‪.‬‬
‫דוגמה ‪6‬‬
‫נתונה הפרופורציה‪:‬‬
‫‪.7 : 13 = x : 52‬‬
‫מה הוא ‪? x‬‬
‫נרשום את הפרופורציה באמצעות שוויון שברים‪:‬‬
‫‪7‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪13 52‬‬
‫נפתור‬
‫‪28‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪52 52‬‬
‫המכנים שווים‪ ,‬נשווה מונים‪:‬‬
‫‪x = 28‬‬
‫בדקו‪.‬‬
‫נרחיב את השבר‬
‫שבאג שמאל ב‪. 4 -‬‬
‫‪28‬‬
‫‪52‬‬
‫= ‪.137‬‬
‫מדוע?‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪115 :‬‬
‫מורים רבים מעדיפים ללמד לפתור משוואות כאלו בדרך של כפל בהצלבה‪( .‬במשוואה זו יקבלו‪.)x  42 = 35 12 :‬‬
‫בספר מוצגת דרך הפתרון אותה למדו בפתרון משוואות עם מכנים מספריים‪ .‬דרכים נוספות ילמדו בהמשך השנה‪ .‬מומלץ לדחות הצגה של פתרון הדרך של כפל בהצלבה‬
‫אחרי שילמדו זאת במסגרת הנושא‪ :‬פתרון משוואות עם מכנים‪.‬‬
‫פתרון באמצעות כפל בהצלבה‪ ,‬נכון ונוח כאשר במשוואה שוויון בין שני שברים‪ :‬בכל אחד מאגפי המשוואה שבר אחד בלבד‪.‬‬
‫הסכנה היא שהתלמידים מבצעים הכללת יתר ומבצעים כפל באלכסון גם במשוואות בהן יש פעולות חיבור וחיסור בין שברים‪ .‬כמו למשל‪ ,‬במשוואה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫חייבים לבדוק האם התלמידים מבינים מתי מותר לכפול באלכסון ומתי יש לפתור בדרך אחרת (של כפל במכנים‪ ,‬או מציאת המכנה המשות הקטן ביותר)‪.‬‬
‫דוגמה ‪:5‬‬
‫נתונה הפרופורציה‬
‫‪x 45‬‬
‫‪‬‬
‫‪4 20‬‬
‫‪.‬‬
‫ניתן לפתור משוואה זו באמצעות כפל ב‪ 4 -‬כפי שפתרנו את המשוואה בדוגמה ‪.4‬‬
‫‪x 9‬‬
‫‪. ‬‬
‫הדרך המוצגת בספר היא באמצעות צמצום‪ .‬כאשר נצמצם את השבר שבאג שמאל ב‪ 5 -‬נקבל שבר שמכנה שלו הוא ‪ .4‬תתקבל המשוואה‬
‫‪4 4‬‬
‫המכנים שווים‪ ,‬נשווה מונים ונקבל ‪.x = 9‬‬
‫דוגמה ‪:6‬‬
‫הפרופורציה נתונה על‪-‬ידי השוואת יחסים כאשר היחסים לא כתובים כשברים‪. 7 : 13 = x : 52 :‬‬
‫‪7‬‬
‫‪x‬‬
‫למציאת הערך של ‪ x‬נכתוב את הפרופורציה באמצעות שברים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪13 52‬‬
‫יש תלמידים שיעדיפו לכתוב את המשוואה כך ש‪ x -‬יהיה באג שמאל‪.‬‬
‫ניתן לפתור משוואה זו באמצעות כפל של שני אגפי המשוואה ב‪ ,52 -‬או באמצעות הרחבה של השבר שבאג שמאל ב‪.4 -‬‬
‫‪122‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪116‬‬
‫תרגילים‬
‫תרגילים‬
‫‪.7‬‬
‫לטיול השנתי של תלמידי כיתות ז יצאו ‪ 120‬תלמידים ו‪ 15 -‬מורים‪.‬‬
‫תרגילים בהם יש לחשב את הגודל החסר‪ .‬שימוש בטבלה כמוצג בדוגמה‪ ,‬מקל על ארגון הנתונים‪.‬‬
‫לטיול השנתי של תלמידי כיתות ח יצאו ‪ 136‬תלמידים‪.‬‬
‫כמה מורים יצאו לטיול של תלמידי כיתות ח‪ ,‬אם ידוע כי היחס‬
‫‪ .12‬התלמידים מתבקשים להציג את הנתונים בטבלה‪ .‬בתרגיל זה הטבלה נתונה ועל התלמידים לשבץ בה‬
‫בין מספר המורים למספר התלמידים‪ ,‬בשני הטיולים היה שווה?‬
‫את המספרים המתאימים‪.‬‬
‫לאחר מכן לכתוב את הפרופורציה‪ ,‬לפתור משוואה ולתת תשובה מילולית לשאלה‪.‬‬
‫היעזרו בטבלה‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫הנתונים מוצגים בטבלה ועל התלמידים לכתוב את פרופורציה‪ ,‬לפתור את המשוואה ולתת תשובה מילולית‪.‬‬
‫ניתן להציג את הנתונים גם בטבלה בה יש רק כותרות עליונות‪:‬‬
‫כפי שהודגש בדוגמאות גם אם ‪ x‬כתוב בשורה השנייה נכתוב את‬
‫הפרופורציה כך ש‪ x -‬יהיה במונה‪.‬‬
‫כמות‬
‫בגרמים‬
‫‪31‬‬
‫‪x‬‬
‫‪111‬‬
‫‪311‬‬
‫קלוריות‬
‫‪.9‬‬
‫קלוריות‬
‫‪300‬‬
‫‪x‬‬
‫כמות בגרמים‬
‫‪100‬‬
‫‪30‬‬
‫הציגו את הנתונים בטבלה‪.‬‬
‫‪.11‬‬
‫‪ .14‬תרגיל דומה לתרגיל ‪ .13‬התלמידים מתבקשים להציג בעצמם את הנתונים בטבלה‪.‬‬
‫יוסי ודני מתחרים בריצה במסלול מעגלי‪.‬‬
‫כמה סיבובים ישלים יוסי כאשר דני משלים ‪ 12‬סיבובים?‬
‫שמשלים דני באותו משך זמן‪ .‬הטבלה נתונה ועל התלמידים לכתוב את פרופורציה‪ ,‬לפתור את המשוואה‬
‫יוסי‬
‫דני‬
‫‪x‬‬
‫‪12‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫יוסי‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫דני‬
‫‪3‬‬
‫‪12‬‬
‫היעזרו בטבלה‪.‬‬
‫‪ .15‬תרגיל דומה לתרגילים ‪ .14 , 13‬כאן שמירה על היחס שבין מספר הסיבובים שמשלים יוסי למספר הסיבובים‬
‫‪ .17 – 16‬בחירת הערך של ‪ n‬מתוך ארבעה מספרים נתונים‪.‬‬
‫תלמידים‬
‫ב‪ 120 -‬גרם מזון יש ‪ 540‬קלוריות‪ .‬כמה קלוריות יש ב‪ 100 -‬גרם של מזון זה?‬
‫דני משלים ‪ 3‬סיבובים בזמן שיוסי משלים ‪ 4‬סיבובים‪.‬‬
‫ולתת תשובה מילולית‪ .‬ניתן להציג את הנתונים בטבלה עם כותרות עליונות‪:‬‬
‫מורים‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ 100 -‬גרם מזון יש ‪ 300‬קלוריות‪ .‬כמה קלוריות יש ב‪ 30 -‬גרם של מזון זה?‬
‫היעזרו בטבלה‪.‬‬
‫‪ .13‬שאלה המתייחסת ליחסים שבין כמות הקלוריות לכמות המזון‪ .‬בטבלה אין כותרת עליונה‪.‬‬
‫כיתות ז‬
‫כיתות ח‬
‫‪.11‬‬
‫נתון‬
‫‪n‬‬
‫‪21‬‬
‫‪‬‬
‫‪12 36‬‬
‫( ) ‪3‬‬
‫‪.21‬‬
‫ניתן לפתור את המשוואה‪ ,‬או ‪ ,‬להציב את הערכים הנתונים ולמצוא באיזה‬
‫הצבה מתקבל שוויון בין שני אגפי המשוואה‪ .‬הזדמנות לפיתוח תו נה מספרית‪.‬‬
‫נתון‬
‫( ) ‪4‬‬
‫‪ .‬מה הוא ‪? n‬‬
‫( ) ‪7‬‬
‫‪n 12‬‬
‫‪‬‬
‫‪16 48‬‬
‫(ג) ‪36‬‬
‫(ד) ‪63‬‬
‫‪ .‬מה הוא ‪? n‬‬
‫( ) ‪7‬‬
‫(ג) ‪3‬‬
‫(ד) ‪12‬‬
‫‪ .16‬האם ‪ n‬גדול או קטן מ‪ ?12 -‬בשבר שמימין המונה קטן מהמכנה‪ .‬לכן גם בשבר שמשמאל המונה קטן‬
‫מהמכנה‪ .‬ניתן לפסול את אפשרויות (ג) ‪( ,‬ד)‪ .‬נציב רק את הערכים (א) ו‪( -‬ב) ונמצא את התשובה הנכונה‪.‬‬
‫‪ .17‬מאותם שיקולים כמו בתרגיל ‪ 13‬נפסול מיד את תשובה (ד)‪ .‬בנוס ‪ ,‬בשבר שבאג ימין המונה קטן‬
‫פי ‪ 4‬מהמכנה‪ .‬לכן התשובה הנכונה היא (א) כי גם באג שמאל המונה צריך להיות קטן פי ‪ 4‬מהמכנה‪.‬‬
‫‪ .18‬תרגיל דומה לתרגילים ‪ .14 – 13‬נתונה טבלה ועל התלמידים לשבץ בה את נתוני השאלה‪.‬‬
‫‪123‬‬
‫‪.31‬‬
‫מכונה צורכת ‪ 2‬ליטר בנזין בכל ‪ 30‬שעות של הפעלה‪.‬‬
‫כמה ליטרים בנזין צורכת המכונה ב‪ 240 -‬שעות הפעלה‪.‬‬
‫סמנו ב‪ x -‬את כמות הבנזין‬
‫בליטרים שצורכת המכונה‪.‬‬
‫כתבו משוואה מתאימה ופתרו‪.‬‬
‫הציגו את הנתונים בטבלה‪.‬‬
‫כמות‬
‫בליטרים‬
‫שעות‬
‫הפעלה‬
‫‪x‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪ .19‬משמעות הפרופורציה‪ .‬לתלמידים שמתקשים בכתיבת הפרופורציה נמליץ להציג את הנתונים בטבלה‪.‬‬
‫נשאל את התלמידים אלו קשרים הם רואים בטבלה?‬
‫מההצגה בטבלה רואים בבירור כי תומר חוסך פי ‪ 2‬מהסכום שאותו הוא מוציא‪.‬‬
‫מבלי לכתוב את הפרופורציה מקבלים שתומר חוסך בתקופה זו ‪ 71‬שקלים‪.‬‬
‫‪x = 235 = 70‬‬
‫‪ .19‬על כל ‪ 5‬שקלים שתומר מוציא הוא חוסך ‪ 10‬שקלים‪.‬‬
‫‪.7‬‬
‫במהלך החודשיים האחרונים תומר הוציא ‪ 35‬שקלים‪.‬‬
‫כמה כס חסך בתקופה זו?‬
‫מוציא‬
‫חוסך‬
‫‪5‬‬
‫‪10‬‬
‫‪35‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .21‬קראו את ההיגד‪" :‬על כל ‪ 50‬זוגות תאומים שנולדו בחור ‪ ,‬נולדו בקיץ ‪ 100‬זוגות תאומים"‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫השלימו את המשפט הבא‪:‬‬
‫התבוננות אחרת בטבלה מצביעה על כך שהוצאה של ‪ 35‬שקלים גדולה פי ‪ 7‬מהוצאה של ‪ 5‬שקלים‪.‬‬
‫לכן גם החיסכון יהיה גדול פי ‪ ,7‬דהיינו ‪ 71‬שקלים‪.‬‬
‫הפרופורציה המתאימה היא‪:‬‬
‫‪x 35‬‬
‫‪‬‬
‫‪10 5‬‬
‫‪117‬‬
‫"‬
‫________‬
‫‪2,000‬‬
‫"‪.‬‬
‫כתבו את הפרופורציה המתקבלת ובדקו אם היא נכונה‪.‬‬
‫‪. x = 710 = 70‬‬
‫‪ .‬נכתוב קודם את הנתונים המוצגים בשורה השנייה בטבלה‪,‬‬
‫‪ .21‬ביקב שתי חביות יין‪.‬‬
‫‪.9‬‬
‫היחס בין כמות היין בחבית א לכמות היין בחבית ב הוא ‪. 3 : 4‬‬
‫בחבית א יש ‪ 120‬ליטר יין‪.‬‬
‫כדי ש‪ x -‬יהיה במונה‪.‬‬
‫‪ .21‬תרגום של היגד נתון לכמויות‪ .‬התשובה‪ .4,111 :‬דרכי חישוב אפשריות‪:‬‬
‫מהי כמות היין בחבית ב ?‬
‫‪ 111‬גדול פי ‪ 2‬מ‪ .51 -‬המספר החסר גדול פי ‪ 2‬מ‪.2,111 -‬‬
‫‪ 2,111‬גדול פי ‪ 41‬מ‪ .51 -‬המספר החסר גדול פי ‪ 41‬מ‪.111 -‬‬
‫‪100‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2,000‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫או‬
‫לבדיקה‪ ,‬נאמת את הפרופורציה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪50‬‬
‫‪2,000‬‬
‫‪50‬‬
‫‪100‬‬
‫באיזו חבית יש פחות יין?‬
‫‪ ..22‬בקופסת "דגני בוקר" היחס בין כמות הצימוקים לכמות פצפוצי האורז הוא ‪.4 : 7‬‬
‫‪11‬‬
‫בקופסה יש ‪ 560‬גרם פצפוצי אורז‪.‬‬
‫כמה גרם צימוקים יש בקופסה?‬
‫‪ .23 – 21‬מציאת מספר חסר‪ .‬בכל אחת מהשאלות מסמנים ב‪ x -‬את המספר החסר‪ ,‬וכותבים את‬
‫הפרופורציה המתאימה‪ ,‬ומחשבים את ‪ .x‬לסיום‪ ,‬תשובה מילולית‪.‬‬
‫כל אחת מהשאלות ניתנת גם לפתרון אינטואיטיבי‪ .‬הצגה של הנתונים בטבלה מקלה על פתרון כזה‪.‬‬
‫בתרגיל ‪ 21‬התייחסות לבחירה בחבית בה יש פחות יין‪ .‬בפרק על היחס הודגש הקשר בין הניסוח‬
‫הכמות בחבית א ‪3‬‬
‫‪, ‬‬
‫המילולי ליחס‪ .‬בשאלה זאת היחס הנתון הוא בין חבית א לחבית ב‪ ,‬לכן‪:‬‬
‫הכמות בחבית ב ‪4‬‬
‫בחבית א יש פחות יין‪.‬‬
‫‪ .25 – 24‬השוואת יחסים ופתרון המשוואה המתקבלת‪ .‬למשל‪ ,‬בתרגיל ‪ ,24‬את שוויון היחסים ניתן לכתוב כ‪:‬‬
‫‪ 8 : 17 = x : 102‬או כשוויון שברים‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪8‬‬
‫‪‬‬
‫‪102 17‬‬
‫‪.23‬‬
‫בחוגי הספורט של המתנ"ס השכונתי החליטו שבכל חוג היחס בין מספר המדריכים למספר החניכים‬
‫יעמוד על ‪.2 : 18‬‬
‫( )‬
‫( )‬
‫לחוג הכדורסל נקבעו ‪ 5‬מדריכים‪ .‬כמה חניכים נרשמו לחוג זה?‬
‫לחוג מחשבים נרשמו ‪ 27‬חניכים‪ .‬כמה מדריכים נחוצים כדי להפעיל את החוג?‬
‫‪ ..24‬היחס בין ‪ 8‬ל‪ 17 -‬שווה ליחס בין ‪ x‬ל‪. 102 -‬‬
‫‪42‬‬
‫‪ .‬מה הוא ‪? x‬‬
‫כתבו משוואה מתאימה ופתרו‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.52‬‬
‫היחס בין ‪ x‬ל‪ 24 -‬שווה ליחס בין ‪ 9‬ל‪. 72 -‬‬
‫מה הוא ‪? x‬‬
‫כתבו משוואה מתאימה ופתרו‪.‬‬
‫‪124‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪118 :‬‬
‫‪ ..26‬מה יותר כדאי? הסבירו‪.‬‬
‫‪42‬‬
‫‪ .26‬שימוש בפרופורציה לבדיקת כדאיות‪.‬‬
‫האם אריזה גדולה היא תמיד חסכונית יותר? האם קיים הבדל במחיר ליחידה באריזות מגדלים שונים?‬
‫כדי שנהיה "אדישים" להבדל בגודל האריזה צריך שתתקיים פרופורציה‪ .‬לפתרון שאלה יש שני שלבים‪.‬‬
‫תחילה מבררים האם מתקיימת פרופורציה? אם לא‪ ,‬מה משתלם יותר‪ .‬כדי לענות על שאלה זו ניתן‬
‫לבדוק את המחיר לאותה יחידת מידה (כמו בסעי ד)‪ ,‬או לחילופין כמה יחידות ניתן לקנות במחיר מסוים‬
‫(כמו בסעי (ג))‪.‬‬
‫בכל סעי יש לדון מה משתלם יותר ולבקש מהתלמידים לנמק את תשובתם‪.‬‬
‫( ) ניתן לענות על השאלה באמצעות אומדן‪ .‬בקבוק קטן של ‪ 511‬סמ"ק עולה ‪ 4‬שקלים‪.‬‬
‫אם גודל האריזה לא משנה את המחיר‪ ,‬מחירו של בקבוק המכיל ‪ 1,111‬סמ"ק היה צריך‬
‫להיות ‪ 8‬שקלים‪ .‬מכיוון שהמחיר נמוך מ‪ 8 -‬שקלים‪ ,‬קניית הבקבוק הגדול משתלמת יותר‪.‬‬
‫‪4 ? 7‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .‬גם בבדיקה זו ניתן‬
‫אם נבדוק על‪-‬ידי השוואת יחסים‪ :‬נבדוק אם מתקיים השוויון‬
‫‪500 1,000‬‬
‫להפעיל את שיקולי האומדן‪ 1,111 :‬גדול פי ‪ 2‬מ‪ 511 -‬אבל ‪ 7‬אינו גדול פי ‪ 2‬מ‪.4 -‬‬
‫השוויון אינו מתקיים‪.‬‬
‫חשוב להזכיר כי בהשוואת מידות יש לדאוג ל חידות של יחידות המידה‪ 1 .‬ליטרים = ‪ 1,111‬סמ"ק‪.‬‬
‫( ) אין הבדל‪ ,‬שכן היחס בין ‪ 1‬ק"ג ל‪ 2 -‬שקלים שווה ליחס שבין ‪ 3‬ק"ג ל‪ 3 -‬שקלים‪.‬‬
‫או כמות של ‪ 3‬ק"ג גדולה פי ‪ 3‬מכמות של ‪ 1‬ק"ג‪ .‬גם המחיר גדול פי ‪.3‬‬
‫המחיר ליחידה בשני המקרים זהה‪.‬‬
‫(ג) אם מארז של ‪ 4‬סוללות עולה ‪ 13‬שקלים‪ ,‬מארז של ‪ 12‬סוללות היה אמור לעלות ‪ 48‬שקלים‬
‫(מספר הסוללות גדל פי ‪ ,4‬גם המחיר אמור לגדול בהתאם)‪ .‬מכיוון שמחירם ‪ 51‬שקלים‪,‬‬
‫פחות משתלם לקנות מארז של ‪ 12‬סוללות‪.‬‬
‫(ד) מארז של ‪ 11‬מחברות עולה ‪ 45‬שקלים ולא ‪ 51‬שקלים כמחיר של ‪ 11‬מחברות בודדות‪.‬‬
‫לכן המארז משתלם יותר‪.‬‬
‫(ה) בשני המקרים המחיר לק"ג אחד זהה‪ .‬היחס ‪ 14 : 2‬שווה ליחס ‪.35 : 5‬‬
‫בסעי זה השוואת יחסים באמצעות צמצום נוחה יותר‪ ,‬מכיוון שלא כמו בסעיפים הקודמים התשובה‬
‫לשאלה‪ :‬פי כמה גדול ‪ 5‬מ‪ 2 -‬או פי כמה גדול ‪ 35‬מ‪ 14 -‬היא מספר שאינו שלם‪.‬‬
‫תרגילים ‪ :32 – 27‬תרגילים נוספים בהם יש למצוא את הגודל החסר בפרופורציה‪.‬‬
‫מורה הכיתה יחליט אם התרגול הנוס נחוץ לתלמידיו‪.‬‬
‫( ) בקבוק קטן של ‪ 500‬סמ"ק במחיר של ‪ 4‬שקלים‪,‬‬
‫או בקבוק גדול של ‪ 1‬ליטר (‪ 1000‬סמ"ק) במחיר של ‪ 7‬שקלים?‬
‫( ) שקית קמח במשקל ‪ 1‬ק"ג קמח במחיר של ‪ 2‬שקלים‪,‬‬
‫או אריזה אחת גדולה של ‪ 3‬ק"ג קמח במחיר של ‪ 6‬שקלים?‬
‫(ג) מארז של ‪ 4‬סוללות במחיר של ‪ 16‬שקלים‪,‬‬
‫או מארז של ‪ 12‬סוללות במחיר של ‪ 50‬שקלים?‬
‫(ד) מחברת אחת במחיר של ‪ 5‬שקלים‪ ,‬או מארז של ‪ 10‬מחברות במחיר של ‪ 45‬שקלים?‬
‫(ה) אבקת כביסה באריזה שמשקלה ‪ 2‬ק"ג ומחירה ‪ 14‬שקלים‪,‬‬
‫או באריזה "חסכונית" שמשקלה ‪ 5‬ק"ג ומחירה ‪ 35‬שקלים?‬
‫‪ .27‬להכנת משקה‪ ,‬על כל כוס תרכיז קפוא יש להוסי‬
‫‪.52‬‬
‫‪ 4‬כוסות מים‪.‬‬
‫מיכל הכינה קנקני משקה למסיבה‪ .‬היא השתמשה ב‪ 32 -‬כוסות מים‪.‬‬
‫בכמה כוסות תרכיז השתמשה מיכל?‬
‫‪ .28‬היחס בין מספר המבוגרים למספר הילדים באוטובוס הוא ‪.5 : 2‬‬
‫‪.62‬‬
‫באוטובוס ‪ 8‬ילדים‪.‬‬
‫כמה מבוגרים באוטובוס?‬
‫‪ .29‬לטיול משפחות יצאו שני אוטובוסים והתברר כי יש פרופורציה בין מספר המבוגרים‬
‫‪.72‬‬
‫למספר הילדים בשני האוטובוסים‪.‬‬
‫באוטובוס אחד היו ‪ 8‬מבוגרים ו‪ 40 -‬ילדים‪ .‬באוטובוס שני היו ‪ 35‬ילדים‪.‬‬
‫כמה מבוגרים באוטובוס השני?‬
‫‪ ..31‬בסקר שנערך בבית ספר "אלונים" התברר שבכל הכיתות היחס‬
‫‪82‬‬
‫בין מספר התלמידים הכותבים ביד שמאל ‪" -‬השמאליים" לבין מספר התלמידים "הימניים" הוא ‪.1 : 7‬‬
‫( ) בכיתה ח‪ 28 : 1‬תלמידים "ימניים"‪ .‬כמה תלמידים "שמאליים" בכיתה?‬
‫( ) בכיתה ח‪ 3 :2‬תלמידים "שמאליים"‪ .‬כמה תלמידים "ימניים" בכיתה?‬
‫(ג) באחת הכיתות יש ‪ 30‬תלמידים "ימניים" ו‪ 8 -‬תלמידים "שמאליים"‪.‬‬
‫האם זאת כיתה בבית ספר "אלונים"? הסבירו‪.‬‬
‫‪ ..31‬בסרטוט נתונות מידותיהם של שתי חלקות אדמה שצורתן מלבן‪.‬‬
‫‪92‬‬
‫מידות החלקות במטרים נתונות בסרטוט‪.‬‬
‫מהו ‪ x‬אם נתון שאורך החלקות‬
‫פרופורציוני לרוחבן?‬
‫‪18‬‬
‫‪x‬‬
‫‪20‬‬
‫‪125‬‬
‫‪30‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪119 :‬‬
‫תרגיל ‪ :33‬ההקשר של סיפור שלושת הדובים מוכר למרבית התלמידים‪.‬‬
‫‪.32‬‬
‫לרותי ענק וצמיד בהם חרוזים אדומים וכחולים‪.‬‬
‫היחס בין מספר החרוזים האדומים למספר החרוזים הכחולים שבענק‬
‫‪ .33‬ביקור בביתם של זהבה ושלושת הדובים‪.‬‬
‫שווה ליחס בין החרוזים שבצמיד‪.‬‬
‫נתון היחס בין גודלו של אבא דב לגודלה של אמא דובה‪ ,‬כאשר כל מידות הרהיטים והפריטים של‬
‫בצמיד יש ‪ 24‬חרוזים אדומים ו‪ 18 -‬חרוזים כחולים‪.‬‬
‫בענק יש ‪ 45‬חרוזים כחולים‪.‬‬
‫אבא דב ואמא דובה שומרים על יחס זה‪.‬‬
‫נתון היחס בין גודלו של אבא דב לגודלו של הדובון‪ ,‬כאשר כל מידות הרהיטים והפריטים של אבא‬
‫דב והדובון שומרים על יחס זה‪.‬‬
‫בכל אחד מהסעיפים מוצגים שלושה פריטים‪ ,‬אחד לכל דייר‪ .‬נתון גודל של פריט אחד ויש לחשב את‬
‫‪ .33‬נבקר בביתם של זהבה שלושת הדובים‪.‬‬
‫הגדלים של הפריטים האחרים‪.‬‬
‫היחס בין הגודל של אבא דב לגודל של הדובון הוא ‪.2 : 1‬‬
‫( ) נתון גובה הכיסא של הדובון‪ .‬כדי לחשב את מידות הכיסאות האחרים נחשב תחילה את גובהו של‬
‫היחס בין הגודל של אבא דב לגודל של אמא דובה הוא ‪.4 : 3‬‬
‫של הכיסא של אבא דב ובאמצעותו את גודל הכיסא של אמא דובה‪( .‬לא נתון לנו היחס בין המידות‬
‫כל החפצים בבית שמרו על יחסים אלו‪.‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬גודל כסאו של אבא דוב היה גדול פי שניים מגודל הכיסא של הדובון‪.‬‬
‫של אמא דובה למידות של הדובון‪ .‬ניתן לחשב יחס זה אבל זה לא נדרש בשאלה‪).‬‬
‫מידת פריט של אבא דב ‪2‬‬
‫‪. ‬‬
‫ידוע כי‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫מידת פריט שלהדובון‬
‫( ) גו ה הכיסא של הדובון הוא ‪ 40‬ס"מ‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫(‪ )1‬מה גו ה הכיסא של אבא דב?‬
‫‪. ‬‬
‫נסמן את גובה הכיסא של אבא דב ב‪.x -‬‬
‫‪1 40‬‬
‫(‪ )2‬השתמשו בתשובה לסעי (‪)1‬‬
‫‪ 40‬ס"מ‬
‫וחשבו את גו ה הכיסא של אמא דובה‪.‬‬
‫נחשב את ‪ x‬ונקבל שגובה הכסא של אבא דב הוא ‪ 81‬ס"מ‪.‬‬
‫ניתן לחשב גם בדרך אינטואיטיבית‪ :‬גובה אבא דב כפול מגבה הדובון‪.‬‬
‫גם כסאו גבוה פי מגובה הכיסא של הדובון‪.‬‬
‫‪4 80‬‬
‫לחישוב גובה הכיסא של אמא דובה ניעזר ביחס שבין מידות אבא דב לאמא דובה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫( ) ו ר הקערית של אבא דוב הוא ‪ 24‬ס"מ‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫(‪ )1‬מה ו ר הקערית של אמא דובה?‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫(‪ )2‬מה ו ר הקערית של הדובון?‬
‫נפתור את המשוואה או שנחשב בדרך‬
‫נהפוך את השברים כך ש‪ x -‬יהיה במונה‬
‫‪‬‬
‫‪4 80‬‬
‫אינטואיטיבית‪ .‬במכנים ‪ 81‬גדול פי ‪ 21‬מ‪ .4 -‬נשמור על היחס ונכפול גם את ‪ 3‬ב‪.21 -‬‬
‫גובה הכיסא של אמא דובה הוא ‪ 31‬ס"מ‪.‬‬
‫ור הכ של אמא דובה הוא ‪ 15‬ס"מ‪.‬‬
‫(ג)‬
‫אפשר לפתור גם באמצעות הרחבה של השבר שבאג שמאל לשבר שהמכנה שלו הוא ‪.81‬‬
‫(‪ )1‬מה ור הכ של אבא דוב?‬
‫( ) נתון קוטר קערית האוכל של אבא דב‪ .‬נתון היחס בין אבא דב לדובון ונתון היחס בין אבא דב‬
‫(‪ )2‬השתמשו בתשובה לסעי (‪)1‬‬
‫‪ 15‬ס"מ‬
‫וחשבו את ור הכ של הדובון‪.‬‬
‫לאמא דובה‪ .‬נחשב את קוטר הקעריות שלהם‪.‬‬
‫(ג) נתון אורך הכ של אמא דובה‪ .‬נשאל‪ :‬מה נחשב תחילה? נחשב את אורך הכ של אבא דב ולאחר מכן את אורך הכ של הדובון‪.‬‬
‫כמה חרוזים אדומים יש בענק?‬
‫פתרון‪ :‬א‪ 81 - 1‬ס"מ ; א‪ 31 - 2‬ס"מ ; ב‪ 18 - 1‬ס"מ ; ב‪ 12 - 2‬ס"מ ; ג‪ 41 - 1‬ס"מ ; ג‪ 21 - 2‬ס"מ‪.‬‬
‫‪126‬‬
‫‪ 24‬ס"מ‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪111 :‬‬
‫קנה מידה‬
‫קנה מידה‬
‫על קנה מידה ניתן להסתכל כעל מקרה פרטי של יחס‪ .‬היחס במקרה זה הוא בין המידה בתרשים‬
‫לבין המידה במציאות‪.‬‬
‫ניתן לתת לתלמידים להיעזר במחשבון‪.‬‬
‫תרשים מוקטן‬
‫י ות ‪1‬‬
‫לפניכם (על דף משבצות) תרשים של דירת מגורים‪.‬‬
‫מספר שיעורים מומלץ‪3 :‬‬
‫כל משבצת מייצגת ריבוע שאורך צלעו ‪ 1‬ס"מ‪.‬‬
‫תרשים זה מציג את דירת המגורים בהקטנה‪ .‬היחס בין מידות הדירה בתרשים למידות הדירה במציאות נשמר‪.‬‬
‫תרשים מוקטן‬
‫דוגמה ‪ :1‬הדוגמה הראשונה מציגה תרשים של דירה‪ .‬סוג זה של תרשימים נפוץ בעיתונים במודעות‬
‫של חברות למכירת דירות‪.‬‬
‫הדירה מסורטטת בהקטנה‪ .‬כלומר‪ ,‬כל מה שמופיע בתרשים מסורטט באותה הקטנה בדיוק‪.‬‬
‫הקנייה‪ :‬הדוגמה תוצג במליאת הכיתה כאשר הספר פתוח בעמוד זה‪.‬‬
‫האם נוכל לשער מהן מידות הדירה במציאות?‬
‫בחדר האמבטיה והשירותים מסורטטת אמבטיה שאורכה במציאות ‪ 2‬מטרים‪.‬‬
‫אורך האמבטיה בתרשים הוא כ‪ 2 -‬ס"מ‪.‬‬
‫מהו היחס בין אורך האמבטיה בתרשים לאורך האמבטיה במציאות?‬
‫היחס הוא‪:‬‬
‫‪:2‬‬
‫ואחרי צמצום‪:‬‬
‫‪2 : 200‬‬
‫כותבים את היחס‬
‫באותן יחידות מידה‬
‫‪" 200‬מ = ‪ 2‬מטרים‬
‫‪:2‬‬
‫‪1 : 100‬‬
‫כל ‪ 1‬ס"מ בתרשים (המיוצג על‪-‬ידי משבצת אחת) מייצג ‪ 100‬ס"מ במציאות‪.‬‬
‫נשאל‪ :‬האם ניתן לדעת מהתרשים את מידות הדירה במציאות?‬
‫מומלץ לתת לתלמידים להביע דעתם‪ ,‬ולהעלות הצעות כיצד ניתן ללמוד מהתרשים על מידות הדירה‪.‬‬
‫לכל הצעה נדרשת הנמקה‪ .‬יש לבדוק אם ההצעות השונות מובילות לאותן מידות‪.‬‬
‫כדי שניתן יהיה לדעת את המידות‪ ,‬יש לדעת את היחס בין המידה בתרשים לבין המידה במציאות‪.‬‬
‫אמבטיה‬
‫ושירותים‬
‫בספר נתון אורך של אמבטיה בתרשים ובמציאות‪ .‬ניתנת השוואה בין אורך האמבטיה בתרשים‬
‫קיר מ רבי‬
‫שהוא ‪ 2‬ס"מ‪ ,‬לבין אורך האמבטיה במציאות שנתון כי הוא ‪ 2‬מטרים‪ .‬היחס בין האורך בתרשים‬
‫לבין האורך במציאות הוא ‪ .1 : 200‬על דף תובנות תזכורת על כך שיחס יש לכתוב באותן יחידות‬
‫מטב‬
‫ינת או‬
‫דר א‬
‫מידה‪ 2 :‬מטרים הם ‪ 222‬ס"מ‪ .‬נצמצם את היחס ונקבל ‪.1 : 100‬‬
‫דר המגורים‬
‫נשאל את התלמידים מה משמעות יחס זה? נשמע את תשובות התלמידים‬
‫ונסכם‪ 1 :‬ס"מ בתרשים מייצג ‪ 122‬ס"מ במציאות‪.‬‬
‫מכיוון שכל מה שמופיע בתרשים מסורטט בדיוק באותו יחס נוכל לחשב מידות נוספות‪.‬‬
‫דר ב‬
‫למשל‪ ,‬נבקש מהתלמידים לחשב את אורך הקירות בחדר א‪.‬‬
‫ני ה‬
‫בסיום הפעילות נקרא את הכתוב בראש עמוד ‪.112‬‬
‫חדר א‪ :‬מידותיו בתרשים הן ‪ 6‬ס"מ על ‪ 4‬ס"מ‪ .‬כל ‪ 1‬ס"מ מייצג אורך של ‪ 122‬ס"מ‪,‬‬
‫ולכן מידות החדר הן ‪ 622‬ס"מ על ‪ 422‬ס"מ‪ ,‬שהם ‪ 6‬מטרים על ‪ 4‬מטרים‪( .‬מידות חדר‬
‫נמדדות בדרך כלל במטרים‪).‬‬
‫היחס בין המידות בתרשים למידות במציאות נקרא קנה מידה‪.‬‬
‫בתרשים הדירה קנה המידה הוא ‪. 1 : 100‬‬
‫כל ‪ 1‬ס"מ בתרשים הם ‪ 100‬ס"מ במציאות (‪ 1‬מטרים)‪.‬‬
‫כל ‪ 1‬ס"מ בתרשים הם ‪100‬‬
‫‪127‬‬
‫קיר דרומי‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫מהן המידות ש‬
‫באופן דומה ניתן לחשב מידות של חלקים נוספים בדירה‪.‬‬
‫אור ו ש‬
‫לאחר סיכום הפעילות הקודמת יענו התלמידים על סעיפים (א) עד (ד)‪.‬‬
‫בסעיף (א) על התלמידים לחשב אורכים נוספים‪ .‬בסעיף (א‪ )2‬יש לחשב שטח של חדר‪.‬‬
‫נוודא שהתלמידים מזהים את צורת החדר כמלבן ולחישוב השטח כופלים את האורכים של קירות סמוכים‪.‬‬
‫‪111‬‬
‫דר א‪:‬‬
‫דר א בתרשים הוא ‪ 6‬ס"מ (‪ 6‬משבצות)‪.‬‬
‫‪600  6 ∙ 100‬‬
‫"מ שהם ‪ 6‬מטרים‪.‬‬
‫אור ו ש‬
‫דר א במ יאות הוא‬
‫רו בו ש‬
‫דר א בתרשים הוא ‪ 4‬משבצות‪ .‬מה רוחבו של חדר א במציאות?‬
‫אורך צלע המשבצת‬
‫‪ 1‬ס"מ‬
‫(א) חשבו את הגדלים הבאים‪:‬‬
‫(‪ )1‬אורך הקירות של חדר ב‪.‬‬
‫שטח החדר שיתקבל הוא ‪ 22‬וחשוב שהתלמידים שמו לב לכך שיחידות המידה של שטח החדר הן מ"ר‪.‬‬
‫(‪ )2‬שטחו של חדר ב‪.‬‬
‫(‪ )3‬אורכו של חדר האמבטיה והשירותים‪.‬‬
‫(‪ )4‬אורך הקיר המערבי של הבית‪.‬‬
‫בסעיפים (ב) עד (ד) על התלמידים לסרטט פריטים שונים‪ ,‬שצורתם מלבן‪ ,‬כאשר נתון גודלם במציאות‪.‬‬
‫נסתפק בסרטוט המלבנים‪ .‬נשאל‪ :‬כמה ס"מ בסרטוט הם ‪ 2‬מטרים במציאות? כמה משבצות בסרטוט?‬
‫(‪ )5‬אורך הקיר הדרומי של הבית‪.‬‬
‫(ב) סרטטו בחדר א מיטה שרוחבה ‪ 2‬מטרים ואורכה ‪ 2‬מטרים‪.‬‬
‫בסיום הפעילות נסכם‪:‬‬
‫קנה מידה הוא היחס בין אורך קטע בתרשים לבין אורך קטע זה במציאות‪.‬‬
‫(ג) סרטטו בחדר ב מיטה שאורכה ‪ 2‬מטרים ורוחבה מטר אחד‪.‬‬
‫(ד) סרטטו בפינת האוכל שולחן שאורכו ‪ 1.5‬מטרים ורוחבו מטר אחד‪.‬‬
‫יש להקפיד (כמו ביחס) על כך שהיחידות בתרשים והיחידות במציאות תהיינה אותן יחידות‪.‬‬
‫לכתוב בכתיבה נכונה‪ .‬הכתיבה המוסכמת כוללת שני מרכיבים‪:‬‬
‫קנה מידה הוא היחס בין אורך קטע בתרשים לבין אורך קטע זה במציאות ‪.‬‬
‫מוסכם על צורת כתיבה אחידה‪:‬‬
‫(‪)1‬‬
‫הגודל בתרשים מופיע בצד שמאל של סימן היחס‪ ,‬הגודל במציאות מצד ימין של סימן היחס‪.‬‬
‫(א) ממירים את יחידות המדידה כך שהיחידות בתרשים ובמציאות תהיינה אותן י ידות ‪.‬‬
‫(‪)2‬‬
‫היחס מופיע כיחס מצומצם שבו הגודל בתרשים הוא ‪.1‬‬
‫(ב) האורך בתרשים מופיע משמאל לסימן היחס והאורך במציאות מופיע מימין לסימן היחס‪.‬‬
‫בהמשך (עמוד ‪ ) 116‬כאשר התרשים בסרטוט הוא הגדלה של תמונה כלשהי במציאות‪ ,‬לא נקפיד על‬
‫(ג) קנה המידה מוצג כיחס מצומצם שבו האורך בתרשים הוא ‪.1‬‬
‫המידה‬
‫המידה‬
‫במ יאות ‪ :‬בתרשים‬
‫____‬
‫כך שביחס‪ ,‬האורך בתרשים יהיה ‪ ,1‬מכיוון שאז האורך במציאות הוא שבר והחישובים פחות נוחים‪.‬‬
‫תרגי ים‬
‫תרגי ים‬
‫‪.1‬‬
‫שלושה סוגים של תרגילים‪ :‬נתונים קנה המידה והגודל בתרשים‪.‬‬
‫נתונים קנה המידה והגודל במציאות‪.‬‬
‫יש למצוא את הגודל במציאות‪.‬‬
‫יש למצוא את הגודל בתרשים‪.‬‬
‫בסרטוט שלפניכם תרשים של בריכת שחייה‪.‬‬
‫כל אחת מהמשבצות בסרטוט היא ריבוע שצלעו ‪ 1‬ס"מ‪.‬‬
‫ענו על השאלות הבאות‪:‬‬
‫(א) מהן מידות הבריכה בסרטוט?‬
‫(אורך הבריכה ורוחב הבריכה‪).‬‬
‫נתונים הגודל בתרשים והגודל במציאות‪ .‬יש למצוא את קנה המידה‪.‬‬
‫‪ .1‬קנה המידה של התרשים הוא ‪ .1 : 120‬כדאי להמליל ולומר‪ :‬כל ס"מ בתרשים הם ‪ 122‬ס"מ‪.‬‬
‫במציאות‪ 122( .‬ס"מ הם ‪ 1‬מטרים ו‪ 22 -‬ס"מ במציאות‪).‬‬
‫בתרשים‪ ,‬מידות הבריכה כולה (הכוללת גם את בריכת הילדים) הן‪ 6 :‬על ‪ 8‬ס"מ‪.‬‬
‫המידות במציאות גדולות פי ‪ .122‬כלומר הן ‪ 022‬על ‪ 062‬ס"מ‪ ,‬שהם ‪ 0‬מטרים ו‪ 22 -‬ס"מ‬
‫(ב) מהן מידות בריכת הילדים בסרטוט ?‬
‫קנה המידה של הסרטוט הוא ‪.1 : 120‬‬
‫(ג)‬
‫מה מידות הבריכה במציאות?‬
‫(‪ )1‬כתבו את התשובה בסנטימטרים‪.‬‬
‫(‪ )2‬כתבו את התשובה במטרים‪.‬‬
‫ברי ת הי דים‬
‫(ד) מה מידות בריכת הילדים במציאות?‬
‫על ‪ 0‬מטרים ו‪ 62 -‬ס"מ‪.‬‬
‫בריכת הילדים בתרשים‪ ,‬מידותיה‪ 3 :‬על ‪ 4‬ס"מ‪ ,‬שהם ‪ 362‬ס"מ על ‪ 482‬ס"מ‪.‬‬
‫(‪ 3.62‬על ‪ 4.82‬מטרים‪).‬‬
‫‪128‬‬
‫(‪ )1‬כתבו את התשובה בסנטימטרים‪.‬‬
‫(‪ )2‬כתבו את התשובה במטרים‪.‬‬
‫קנה המידה ‪1 : 120‬‬
‫‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪112 :‬‬
‫‪ ..21‬קטע באורך ‪ 3‬ס"מ בתרשים מתאר קטע באורך ‪ 3‬מטרים במציאות‪.‬‬
‫מה קנה המידה של התרשים?‬
‫תרגי ים ‪:7 – 2‬‬
‫נתונים המידה במציאות והמידה בתרשים‪ .‬יש למצוא את קנה המידה של התרשים‪.‬‬
‫מומלץ לפתור תרגיל אחד או שניים בכיתה ואת האחרים לתת כשיעורי בית‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫בכל השאלות‪ ,‬מומלץ להמליל‪ ,‬למשל‪ :‬בשאלה זו נתונים הגובה בתרשים שהוא ____‬
‫והגובה במציאות ____‪.‬‬
‫לדאוג שהמידות תהיינה באותן יחידות מידה‪ .‬נזכיר כי את קנה המידה כותבים כיחס שהמספר‬
‫‪.4‬‬
‫השמאלי בו הוא ‪.1‬‬
‫‪3 : 300‬‬
‫‪ .2‬קנה המידה‪:‬‬
‫‪1 : 100‬‬
‫נצמצם‪:‬‬
‫קנה המידה של התמונה הוא‪ .1 : 100 :‬כל ‪ 1‬ס"מ בתרשים הוא ‪ 122‬ס"מ במציאות (‪ 1‬מטרים)‪.‬‬
‫‪2 : 600‬‬
‫‪ .3‬קנה המידה‪:‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪1 : 300‬‬
‫נצמצם‪:‬‬
‫כל ‪ 1‬ס"מ בתרשים הוא ‪ 322‬ס"מ במציאות (‪ 3‬מטרים)‪.‬‬
‫‪ 1.82( 4 : 180‬מטרים הם ‪ 1‬מטרים ו‪ 82 -‬ס"מ‪ ,‬כלומר ‪ 182‬ס"מ)‪.‬‬
‫‪ .4‬קנה המידה‪:‬‬
‫נצמצם ב‪1 : 45 :4 -‬‬
‫כל ‪ 1‬ס"מ בתמונה הוא ‪ 45‬ס"מ במציאות‪.‬‬
‫‪ .5‬נתון הגובה של מגדל פיזה במציאות ובתרשים‪ .‬יש לחשב את קנה המידה של התרשים‪.‬‬
‫מומלץ לבקש מהתלמידים לחפש פרטים בקשר למגדל פיזה‪ .‬גלילאו גליליי עשה את מחקריו‬
‫‪.6‬‬
‫באוניברסיטת פיזה‪ .‬הוא ערך בין היתר ניסויים בנפילת חפצים בעלי מסה שונה‪ ,‬בניסיונו להפריך‬
‫את התאוריה של אריסטו‪ ,‬כי חפצים כבדים יותר נופלים מהר יותר לאדמה מאשר חפצים קלים‬
‫יותר‪ .‬לפי המסופר‪ ,‬את ניסוייו ערך במגדל הנוטה‪ .‬הוא נשען על פתחו החיצוני של המגדל בקומה‬
‫העליונה והחזיק בידו שני כדורים במשקל שונה‪ .‬הוא שחרר את הכדורים ובחן האם הכדור הכבד‬
‫הגיע לקרקע לפני הכדור הקל‪ .‬על הניסוי חזר פעמים אחדות‪ .‬כך נקבעה דרך הפעולה של‬
‫‪.7‬‬
‫השלב הראשון בעריכת ניסוי מודרני‪ :‬הניסוי מתבצע פעמים אחדות ואם התוצאה זהה‪ ,‬יש מקום‬
‫להגדירו כחוק טבע‪( .‬מתוך ויקיפדיה‪).‬‬
‫‪ .6‬גם בתרגיל זה יש לחשב את קנה המידה בל התמונה כאשר נתונה מוטת הכנפיים של מטוס‬
‫גם במציאות וגם בתרשים‪ .‬יש לוודא שהתלמידים יודעים מהי "מוטת הכנפיים"‪ .‬בתעופה‪,‬‬
‫מוטת נ יים של כלי טיס היא המרחק מקצה הכנף השמאלית לקצה הכנף הימנית‪ .‬היא נמדדת‬
‫‪129‬‬
‫אורך חדר בתרשים הוא ‪ 2‬ס"מ‪ .‬אורך החדר במציאות הוא ‪ 6‬מטרים‪.‬‬
‫מה קנה המידה של התרשים?‬
‫לפניכם תמונה של אדם שגובהו ‪ 1.80‬מטרים‪.‬‬
‫גובהו של האדם בתמונה הוא ‪ 4‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ 4‬ס"מ‬
‫מה קנה המידה של התמונה‪.‬‬
‫____ ס"מ = ‪ 1.80‬מ'‬
‫המגדל הנטוי של פיזה הוא מגדל הניצב ב פיאצה דיי מיראקולי ‪,‬‬
‫בפיזה שבאיטליה‪.‬‬
‫המגדל‪ ,‬הידוע בעיקר בשל נטייתו בזווית‪ ,‬הוא מגדל הפעמונים‬
‫של הקתדרלה בעיר והוא אחד המבנים הידועים באיטליה‬
‫ואחת מאטרקציות התיירות הידועות שלה‪.‬‬
‫גובהו של המגדל מעל פני ה קרקע הוא בערך ‪ 55‬מטרים‪.‬‬
‫מה קנה המידה של התמונה?‬
‫(התמונה מויקיפדיה)‬
‫מוטת הכנפיים של המטוס שבתמונה היא כ‪ 40 -‬מטרים‪.‬‬
‫בתמונה‪ ,‬מוטת הכנפיים של המטוס היא ‪ 5‬ס"מ‪.‬‬
‫מה קנה המידה של התמונה?‬
‫(התמונה מויקיפדיה)‬
‫מה קנה המידה בין סרטוט א לסרטוט ב?‬
‫רטוט א‬
‫רטוט ב‬
‫‪ 5‬ס"מ‬
‫ס"מ‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪113 – 112 :‬‬
‫בקו ישר‪ ,‬מקצה כנף אחד לשני‪ ,‬ללא תלות בצורת הכנף או בזווית שבה היא משוכה‪.‬‬
‫המונח מוטת כנפיים משמש גם בעולם החי‪ ,‬באופן דומה‪ .‬בדרך כלל‪ ,‬נעשה שימוש‬
‫במונח עבור עופות‪ ,‬עטלפים או פרפרים‪( .‬מתוך ויקיפדיה‪).‬‬
‫‪ .8‬הסרטוט שלפניכם הוא בקנה מידה של ‪. 1 : 100‬‬
‫‪5‬‬
‫אורך המכונית בסרטוט הוא ‪ 3.5‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ 1.5‬ס"מ‬
‫גובה המכונית בסרטוט הוא ‪ 1.5‬ס"מ‪.‬‬
‫חשבו את אורך המכונית וגובהה במציאות‪.‬‬
‫‪ 3.5‬ס"מ‬
‫‪ .7‬בתרגיל זה לא נתונות מידות‪ .‬למציאת קנה המידה‪ ,‬נספור משבצות‪.‬‬
‫נבקש מהתלמידים לבחור שני קטעים הממלאים אותו תפקיד‪.‬‬
‫‪ .9‬הסרטוט שלפניכם הוא בקנה מידה של ‪. 1 : 300‬‬
‫‪6‬‬
‫אורך האוטובוס בסרטוט הוא ‪ 4‬ס"מ‪.‬‬
‫ולצבוע אותם‪ ,‬למשל הקטעים הצבועים באדום‪.‬‬
‫סרטוט ב ‪ :‬סרטוט א‬
‫‪6‬‬
‫‪:‬‬
‫חשבו את אורך האוטובוס במציאות‪.‬‬
‫‪ 4‬ס"מ‬
‫‪2‬‬
‫נצמצם ונקבל קנה מידה של‬
‫‪.1 : 3‬‬
‫‪ .11‬מגרש כדורסל מסורטט בקנה מידה של ‪.1 : 600‬‬
‫‪.7‬‬
‫נבדוק אם זה גם קנה המידה בין קטעים מתאימים אחרים‪ ,‬למשל הקטעים הצבועים בכחול‪.‬‬
‫קנה המידה ‪ 3 : 9‬ואחרי צמצום ‪.1 : 3‬‬
‫נבדוק גם את היחס בין הקטעים הצבועים בירוק‪ .‬גם קנה המידה כאן הוא ‪.1 : 3‬‬
‫(א) מה אורך המגרש במציאות‪ ,‬אם אורכו בסרטוט ‪ 5‬ס"מ?‬
‫(ב) מה רוחב המגרש בסרטוט‪ ,‬אם אורכו במציאות ‪ 18‬מטרים?‬
‫(ג) מה שטח המגרש בסרטוט?‬
‫(ד) מה שטח המגרש במציאות?‬
‫בסרטוט ב הקטע הירוק גדול פי ‪ 3‬מהקטע ירוק שבסרטוט א‪ .‬הקטעים כאן הם ביחידת אורך‬
‫שונה מהקטעים הצבועים באדום ובכחול‪ .‬יחידת האורך כאן היא אורך אלכסון הריבוע (המשבצת)‪.‬‬
‫תרגי ים ‪11 – 8‬‬
‫‪ .11‬לפניכם תרשים של הקירות החיצוניים של דירה בקנה מידה של ‪1 : 100‬‬
‫‪.8‬‬
‫כל משבצת בסרטוט מייצגת שטח של ‪ 1‬סמ"ר‪.‬‬
‫בתרגילים אלו נתון קנה המידה של התרשים‪ .‬נתונים גם המידות בתרשים‪ .‬יש למצוא את הגודל‬
‫במציאות‪ .‬מומלץ לפתור תרגיל אחד או שניים בכיתה ואת האחרים לתת כשיעורי בית‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫יש למצוא את אורך וגובה המכונית במציאות‪.‬‬
‫במציאות ‪ :‬בתרשים‬
‫קנה המידה הוא‪:‬‬
‫‪ .1 : 100‬חשוב להמליל‪ :‬כל ‪ 1‬ס"מ בתמונה הם ‪ 100‬ס"מ במציאות‪.‬‬
‫‪ 3.5‬גדול פי ‪ 3.5‬מ‪.1 -‬‬
‫_____ ‪3.5 :‬‬
‫אורך המכונית‪:‬‬
‫אורך המכונית במציאות גדול פי ‪ 3.5‬מ‪.122 -‬‬
‫אורך המכונית במציאות הוא ‪ 350‬ס"מ‪ ,‬שהם ‪ 3.5‬מטרים‪(100  3.5 = 350) .‬‬
‫באותו אופן‪ ,‬לחישוב גובה המכונית נכפול את האורך בתרשים פי ‪ 1.5‬ונקבל שגובה המכונית‬
‫הוא ‪ 150‬ס"מ שהם ‪ 1.5‬מטרים‪.‬‬
‫אפשר להיעזר בטבלה להצגת הנתונים (כמו בפרק פרופורציה)‪ .‬לסמן את האורך במציאות ב‪,x -‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3.5‬‬
‫‪ .‬כדאי להקפיד ש‪ x -‬יהיה במונה‪.‬‬
‫ולכתוב את הפרופורציה המתאימה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪100‬‬
‫‪1‬‬
‫‪130‬‬
‫בדירה יש שלושה חדרי שינה ששטח כל אחד מהם הוא ‪ 20‬מ"ר‪,‬‬
‫מטבח ששטחו ‪ 16‬מ"ר‪ ,‬חדר שירותים ששטחו ‪ 12‬מ"ר‪ ,‬וחדר אורחים‪.‬‬
‫(א) הציעו חלוקה משלכם‪ ,‬של שטח הדירה‪ ,‬כך שתתאים לנתונים אלו‪.‬‬
‫(ב) מה שטח חדר האורחים בהצעה שלכם?‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪113 :‬‬
‫‪.9‬‬
‫תרגיל זהה לתרגיל ‪.8‬‬
‫‪ .11‬נתון קנה המידה של מגרש הכדורסל‪ .‬בסעיף (א) כמו בתרגילים ‪ 12 – 0‬נתון אורך המגרש שבסרטוט ויש לחשב את אורך המגרש במציאות‪.‬‬
‫בסעיף (ב) נתון אורך המגרש במציאות ויש לחשב את אורכו בסרטוט‪ .‬ניתן להציב את הנתונים בטבלה‪ ,‬לסמן את אורך המגרש בסרטוט ב‪ ,x -‬לכתוב את‬
‫הפרופורציה המתאימה‪ ,‬ולפתור את המשוואה המתקבלת‪ .‬אפשר גם לפתור בדרך אינטואיטיבית כפי שעשינו בשאלות בנושא פרופורציה‪ .‬נתון כי קנה המידה הוא‬
‫‪ .1 : 600‬כלומר‪ ,‬כל ‪ 1‬ס"מ בתרשים הוא ‪ 622‬ס"מ במציאות‪ .‬נתון כי רוחב המגרש במציאות הוא ‪ 18‬מטרים‪ .‬נכתוב ביחידות אחידות‪ 18 ,‬מטרים הם‬
‫‪ 1,822‬ס"מ‪ 1,822 .‬גדול פי ‪ 3‬מ‪ .622 -‬הרוחב בתרשים יהיה גדול פי ‪ 3‬מ‪ .1 -‬רוחב המגרש בתרשים הוא ‪ 3‬ס"מ‪.‬‬
‫בסעיפים (ג) ו‪( -‬ד) יחשבו התלמידים את שטח המגרש בתרשים ובמציאות‪ .‬חשוב לשים לב ליחידת המידה של השטח‪ .‬בתרשים סמ"ר‪ ,‬ובמציאות מ"ר‪.‬‬
‫‪ .11‬פתרונות אפשריים‪:‬‬
‫נשאל‪ :‬השטח של כל אחד מחדרי השינה הוא ‪ 22‬מ"ר‪ .‬תנו הצעות לאורך ולרוחב החדרים‪( .‬יש למצוא שני מספרים שמכפלתם ‪.)22‬‬
‫הפתרון הקל‪ :‬החדרים הם בגודל של ‪ 4‬על ‪ 5‬מטרים‪ .‬בכמה משבצות מדובר? אפשרויות אחרות במספרים שלמים הם ‪ 2‬על ‪ 12‬ו‪ 1 -‬על ‪ .22‬ממדים שאינם‬
‫משמשים כמידות של חדרים בדירה‪ :‬חדרים אלו ארוכים וצרים‪ .‬בנוסף‪ ,‬אין אפשרות ליצור חדר שאורכו ‪ 22‬מטרים (אורך הבית הוא קטן יותר‪).‬‬
‫נחזור ונדון בממדי המטבח ובממדי האמבטיה והשירותים‪ .‬ונבקש מהתלמידים לשבץ זאת בתוך הקירות החיצוניים הנתונים‪.‬‬
‫בהצגות של התלמידים אפשר להעלות הערות מעשיות לגבי מבנה הדירה כמו העובדה שצריך שתהיה כניסה לכל אחד מהחדרים‪ ,‬לא כל החדרים חייבים להיות‬
‫מלבניים‪ ,‬ראו באפשרות שמימין בו אחד מהחדרים אינו מלבני‪.‬‬
‫דר‬
‫מטב‬
‫דר‬
‫מש‬
‫דר‬
‫שירותים‬
‫דר‬
‫ה‬
‫דר‬
‫דר‬
‫דר‬
‫דר‬
‫שירותים‬
‫‪131‬‬
‫מש‬
‫ה‬
‫מטב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪114 :‬‬
‫קנה מידה במ ה‬
‫קנה מידה במ ה‬
‫אחד השימושים השכיחים לקנה מידה הוא סרטוט מפות וקריאת מפות‪ .‬למיומנות זו מתייחסים בשיעורי‬
‫מתימטיקה ולעיתים גם בשיעורים בנושא ידיעת הארץ (גיאוגרפיה) ובכיתות גבוהות יותר בשיעורי של"ח‬
‫(ראשי תיבות של שדה ‪ ,‬לאום‪ ,‬חברה)‪.‬‬
‫אחד הקשיים בעיסוק בקנה מידה הוא ההבנה שככל שקנה המידה קטן יותר‪ ,‬התרשים גדול יותר ויש‬
‫בו יותר פרטים‪ ,‬ולהיפך‪ ,‬ככל שקנה המידה גדול יותר‪ ,‬התרשים קטן יותר ונראים בו פחות פרטים‪.‬‬
‫במפות‪ ,‬למשל‪ ,‬יש מקרים של הקטנה קיצונית – הקטנה ביחס מספרי גדול‪ .‬במפה כזו ניתן להציג‬
‫שטחים גדולים (מדינה שלמה) אבל אין מקום לפרטים‪ .‬במפות שההקטנה בהם פחותה‪ ,‬התרשים יהיה‬
‫של שטח קטן יותר במציאות ובדרך כלל יהיו בו יותר פרטים‪.‬‬
‫מפה היא בדרך כלל הקטנה משמעותית של המציאות (אפשר לדמות זאת לצילומי אוויר)‪.‬‬
‫מומלץ לתת לתלמידים להתנסות בקריאת מפות אמיתיות ולהעלות את השאלה מהו קנה מידה יעיל של‬
‫מפה‪ ,‬ולאילו מטרות משתמשים בקני מידה שונים‪.‬‬
‫קושי נלווה לחישובי קנה מידה הוא גודל המספרים והמעבר בין יחידות המידה השונות (ק"מ למטרים‬
‫או ס"מ ובכיוון ההפוך מס"מ למטרים ולק"מ)‪.‬‬
‫אחרי הסברים כדאי לתלות או לחלק טבלת תרגום שתקל על תהליך הפתרון‪ ,‬ולאפשר שימוש במחשבון‪.‬‬
‫דוגמה ‪:1‬‬
‫נתון תרשים של חלק ממפת ארץ ישראל‪ ,‬כאשר מודגשים בה שש ערים‪.‬‬
‫מומלץ לעבור על המפה ולוודא שהתלמידים מזהים את שמות הערים המודגשות‪ .‬המטרה‪ :‬כיצד על פי‬
‫המרחק בין ישובים במפה ניתן למצוא את המרחק במציאות‪ .‬המרחק הנמדד כאן הוא מרחק אווירי‪.‬‬
‫אורך הקטע המחבר את שתי הערים‪ .‬מודדים באמצעות סרגל את אורך הקטע המחבר את הערים‪,‬‬
‫ועל‪-‬פי קנה המידה של המפה מחשבים את המרחק במציאות‪ .‬כל המרחקים המתקבלים הם עיגול‬
‫של המרחק לעשרות שלמות‪.‬‬
‫לתלמידים המתקשים בפתרון שאלות מסוג זה מומלץ להציג את הנתונים בטבלה‪.‬‬
‫‪2,000,000‬‬
‫נכתוב את הפרופורציה ונפתור את המשוואה‪:‬‬
‫תרגי ים‬
‫‪x‬‬
‫המרחק‬
‫קנה המידה‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x  6,000,000‬‬
‫נתון‬
‫בס"מ‬
‫במפה‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫במציאות‬
‫‪2,000,000‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪( .12‬א) – (ג) תרגול זהה לתרגיל שבדוגמה‪( .‬ג) לבדיקת התשובה יש למדוד את המרחק (בסרגל)‪.‬‬
‫דוגמה ‪ :2‬תרגיל נוסף של חישוב מרחק במציאות‪ .‬בדוגמה זו ללא מפה‪.‬‬
‫‪132‬‬
‫דוגמה ‪1‬‬
‫‪ 1,000‬מ' = ‪ 1‬ק"מ‬
‫כל ‪ 1‬ס"מ במפה מייצג מרחק של ‪ 20‬ק"מ במציאות‪.‬‬
‫‪ 100,000‬ס"מ = ‪ 1‬ק"מ‬
‫קנה המידה של המפה הוא‪:‬‬
‫‪1 : 2,000,000‬‬
‫‪ 1‬ס"מ במפה הם ‪ 20‬ק"מ במציאות‪.‬‬
‫המרחק בין תל אביב לאשקלון במפה הוא ‪ 3‬ס"מ‪.‬‬
‫מה המרחק (בקו אווירי) במציאות?‬
‫קו אווירי‪:‬‬
‫אורך הקו הישר המחבר שני מקומות‪.‬‬
‫בדוגמה‪ ,‬במילה מרחק‪ ,‬הכוונה למרחק אווירי‪.‬‬
‫‪ 1‬ס"מ במפה הם ‪ 2,000,000‬ס"מ במציאות‪.‬‬
‫‪ 3‬ס"מ במפה הם ‪ 6,000,000‬ס"מ במציאות‪.‬‬
‫‪ 3‬ס"מ במפה הם ‪ 60‬ק"מ במציאות‪.‬‬
‫אפשר לחשב באמצעות פרופורציה‬
‫ולהשתמש ביחידות מידה שונות‪:‬‬
‫‪ 1‬ס"מ ← ‪ 20‬ק"מ‬
‫‪ 3‬ס"מ ← ‪ 60‬ק"מ‬
‫‪x 20‬‬
‫=‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x = 60‬‬
‫תרגי ים‬
‫‪ .12‬התבוננו במפה שבדוגמה ‪ 1‬וענו על השאלות הבאות‪.‬‬
‫‪.5‬‬
‫(א) המרחק במפה בין תל אביב לנהריה הוא ‪ 7‬ס"מ‪ .‬מה המרחק במציאות?‬
‫(ב) המרחק במפה בין אשקלון לירושלים הוא ‪ 4‬ס"מ‪ .‬מה המרחק במציאות?‬
‫(א) ידוע כי המרחק במציאות בין חדרה לתל‪-‬אביב הוא כ‪ 50 -‬ק"מ‪.‬‬
‫מבלי לחשב או למדוד‪ ,‬האם תוכלו לדעת מה המרחק במפה? מדדו לבדיקת תשובתכם‪.‬‬
‫דוגמה ‪2‬‬
‫נתונה מפה בקנה מידה של ‪ 1( .1 : 240,000‬ס"מ במפה הוא ‪ 2.4‬ק"מ במציאות)‪.‬‬
‫מה המרחק במציאות אם המרחק במפה הוא ‪ 3‬ס"מ?‬
‫לחישוב המרחק במציאות נכפול את המרחק במפה ב‪. 240,000 -‬‬
‫(‪)3 ∙ 240,000 = 720,000‬‬
‫המרחק במציאות הוא ‪ 720,000‬ס"מ שהם ‪ 7.2‬ק"מ‪.‬‬
‫אפשר גם להציג באמצעות פרופורציה‪:‬‬
‫‪ 1‬ס"מ ← ‪ 2.4‬ק"מ‬
‫‪ 3‬ס"מ ← ‪ 7.2‬ק"מ‬
‫‪x 2.4‬‬
‫=‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪115 :‬‬
‫‪.31‬‬
‫תרגי ים ‪ : 21 – 13‬שני סוגי תרגילים‪:‬‬
‫מה קנה המידה של המפה?‬
‫האחד‪ ,‬נתון קנה המידה והגודל במציאות (או במפה) ויש למצוא את הגודל במפה (במציאות)‪.‬‬
‫השני‪ ,‬נתונים הגדלים במציאות ובמפה ויש למצוא את קנה המידה של המפה‪.‬‬
‫‪.41‬‬
‫יש לשמור על אחידות במידות‪ .‬השוואה בין מידות מאותו סדר גודל (ס"מ מול ס"מ‪ ,‬מטרים מול מטרים‪,‬‬
‫ק"מ מול ק"מ‪).‬‬
‫‪ .16 – 13‬נתון המרחק במפה והמרחק במציאות‪ .‬יש למצוא את קנה המידה של המפה‪.‬‬
‫‪ .18 – 17‬נתון קנה המידה של מפה והמרחק במפה‪ .‬יש לחשב את המרחק במציאות‪ .‬מומלץ לפתור‬
‫המרחק במפה הוא ‪ 5‬ס"מ‪ .‬המרחק במציאות הוא ‪ 250,000‬ס"מ‪.‬‬
‫מה קנה המידה של המפה?‬
‫מומלץ לפתור תרגיל אחד מכל סוג בכיתה ואת האחרים לתת כעבודה עצמית בכיתה או בבית‪.‬‬
‫‪.19‬‬
‫‪.21‬‬
‫המרחק במפה הוא ‪ 4‬ס"מ‪ .‬המרחק במציאות הוא ‪ 800,000‬ס"מ‪.‬‬
‫‪.51‬‬
‫המרחק במפה הוא ‪ 6‬ס"מ‪ .‬המרחק במציאות הוא ‪ 1,800‬מטרים‪.‬‬
‫? ס"מ = ‪ 1,800‬מטרים‬
‫מה קנה המידה של המפה?‬
‫‪.61‬‬
‫המרחק במפה הוא ‪ 8‬ס"מ‪ .‬המרחק במציאות הוא ‪ 4‬ק"מ‪.‬‬
‫כמה ס"מ הם ‪ 4‬ק"מ?‬
‫מה קנה המידה של המפה?‬
‫את תרגיל ‪ 10‬במליאת הכיתה‪.‬‬
‫נתון קנה המידה של מפה והמרחק במציאות‪ .‬יש לחשב את המרחק במפה‪.‬‬
‫תרגיל משולב‪ .‬נתון קנה המידה של המפה‪ .‬בסעיף אחד יש לחשב את המרחק במציאות‬
‫המרחק במפה הוא ‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫ובשני את המרחק במפה‪.‬‬
‫מה המרחק במציאות?‬
‫‪.71‬‬
‫בטיול השתמשו במפה בקנה מידה של ‪. 1 : 150,000‬‬
‫‪ 1‬ס"מ במפה מייצג‬
‫‪ 150,000‬ס"מ במציאות‪.‬‬
‫‪ 1‬ס"מ במפה מייצג‬
‫‪ 1.5‬ק"מ במציאות‪.‬‬
‫‪(21‬ג)‪ .‬מומלץ לפתור במליאת הכיתה‪.‬‬
‫בסעיף (ג) נתון קנה מידה שונה מזה של הסעיפים הקודמים‪.‬‬
‫יש למצוא את המרחק במפה‪.‬‬
‫‪.81‬‬
‫קבוצת מטיילים יצאה לטיול עם מפה בקנה מידה של ‪.1 : 150,000‬‬
‫הם תכננו לערוך מסלול הליכה שאורכו במפה הוא ‪ 8‬ס"מ‪.‬‬
‫מה אורך המסלול במציאות?‬
‫ניתן להתייחס לתרגיל זה כתרגיל חדש ולפתור כפי שפתרו את סעיף (ב)‪.‬‬
‫ניתן לנצל זאת לדיון בשאלה מה קורה כאשר משנים את קנה המידה? ניתן לבקש מהתלמידים‬
‫‪.91‬‬
‫מה יהיה המרחק במפה בקנה מידה של ‪? 1 : 30,000‬‬
‫להציג מפות‪ ,‬לכל אחת קנה‪-‬מידה שונה‪ ,‬ולבדוק היכן יש יותר פרטים‪ .‬כפי שהוזכר בתחילת‬
‫הנושא‪ ,‬ככל שקנה המידה קטן יותר‪ ,‬התרשים מ ורט יותר‪ .‬לאחר שמגיעים למסקנה זאת‪,‬‬
‫לשאול את התלמידים האם לדעתם המרחק במפה יהיה גדול או קטן מזה שבמפה שבסעיף (א)‬
‫המרחק במציאות הוא ‪ 6‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ 600,000‬ס"מ = ‪ 6‬ק"מ‬
‫‪.12‬‬
‫קנה המידה של מפה הוא ‪.1 : 125,000‬‬
‫(א) המרחק בין שני יישובים במפה הוא ‪ 8‬ס"מ‪ .‬מה המרחק במציאות?‬
‫שהיא בקנה מידה של ‪.1 : 500,000‬‬
‫(ב) המרחק בין שני יישובים הוא ‪ 40‬ק"מ‪ .‬מה המרחק במפה?‬
‫אחרי שיבינו כי המרחק אמור להיות גדול יותר ניתן לחשב את המרחק החדש על‪-‬פי היחס‬
‫שבין קנה המידה שבשני הסעיפים‪ 252,222 .‬קטן פי ‪ 2‬מ‪ .500,000 -‬לכן המרחק‬
‫‪.12‬‬
‫קנה המידה של מפה הוא ‪.1 : 500,000‬‬
‫כמה ס"מ הם ‪ 1.80‬מטרים?‬
‫(א) כמה ק"מ במציאות מייצג כל ‪ 1‬ס"מ במפה?‬
‫במפה זאת יהיה גדול פי ‪ 2‬מהמרחק במפה שבסעיף (א)‪.‬‬
‫(ב) המרחק בין תל‪-‬אביב לנמל התעופה בן‪-‬גוריון במפה הוא כ‪ 4.4 -‬ס"מ‪.‬‬
‫מה המרחק במציאות?‬
‫המרחק הוא כ‪ 8.8 -‬ס"מ‪.‬‬
‫(ג) מה יהיה מרחק זה‪ ,‬במפה שקנה המידה שלה הוא‪? 1 : 250,000 :‬‬
‫‪133‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪116 :‬‬
‫‪ .22‬נתון מרחק במציאות של ‪ 12‬ק"מ‪ .‬יש לחשב את המרחק במפה‪ ,‬במפות שקנה המידה שלהן שונה‪.‬‬
‫בתרגילים ‪ 26 – 23‬שאלות נוספות בנושא של קנה מידה‪.‬‬
‫‪ .23‬תרגיל העוסק בשאלה מה קורה כאשר משנים את קנה המידה‪ .‬ראו הנחייה לתרגיל ‪(21‬ב)‪.‬‬
‫(א) כפי שלמדנו‪ ,‬ככל שקנה המידה קטן יותר‪ ,‬התרשים מפורט יותר‪ ,‬כלומר כל קטע בתרשים‬
‫הוא ארוך יותר‪ .‬האורך הקצר ביותר יהיה במפה בקנה המידה ‪.1 : 500,000‬‬
‫(ב) בקנה מידה של ‪ 1 : 122,222‬אורך הקטע המייצג מרחק של ‪ 120‬ק"מ הוא ‪ 122‬ס"מ‪.‬‬
‫בקנה מידה של ‪ 1 : 522,222‬אורך הקטע המייצג מרחק של ‪ 120‬ק"מ קטן פי ‪ 5‬כלומר‬
‫הוא ‪ 22‬ס"מ‪.‬‬
‫בקנה מידה של ‪ 1 : 252,222‬אורך הקטע המייצג מרחק של ‪ 120‬ק"מ גדול פי ‪2‬‬
‫מזה שבקנה מידה של ‪ ,1 : 500,000‬כלומר אורך הקטע הוא ‪ 42‬ס"מ‪.‬‬
‫מומלץ לדון בכך שמרחק של ‪ 122‬ס"מ (‪ 1‬מטרים) במפה אינו מציאותי‪ .‬לכן כאשר רוצים‬
‫שהמפה תקיף שטח גדול בוחרים בקנה מידה גדול יותר כמו ‪ 1 : 1,000,000‬או יותר‪.‬‬
‫‪ .24‬שאלה העוסקת בתרשים של דירה‪ .‬כוללת את כל סוגי התרגילים שמנינו קודם לכן‪.‬‬
‫(א) התייחסות לגודל הדירה שקירותיה החיצוניים יוצרים מלבן‪ .‬לחישוב קנה המידה יש לוודא‬
‫שהנתונים הם ביחידות מידה שוות‪ .‬לפי הנתון כל ‪ 3‬מטרים במציאות הם ‪ 6‬ס"מ בתרשים‪.‬‬
‫השוואה בין יחידות מידה שוות‪ 322 :‬ס"מ במציאות הם ‪ 6‬ס"מ בתרשים‪ .‬קנה המידה‬
‫‪ 6 : 300‬ואחרי צמצום ב‪ ,6 -‬מתקבל קנה מידה של ‪ ,1 : 50‬דהיינו‪ ,‬כל ‪ 1‬ס"מ‬
‫בתרשים מייצג ‪ 52‬ס"מ (חצי מטר) במציאות‪.‬‬
‫(ב) את השלמת המידות החסרות נבצע ביחידות מידה שוות‪ 18 .‬מטרים = ‪ 1,822‬ס"מ‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫נתון‬
‫קנה‬
‫‪‬‬
‫ניתן להיעזר בטבלה ולכתוב את הפרופורציה‪:‬‬
‫המידה בס"מ‬
‫‪1,800 50‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫בתרשים‬
‫נפתור ונקבל‪.x = 36 :‬‬
‫‪1,822‬‬
‫‪52‬‬
‫במציאות‬
‫אורך הדירה בתרשים הוא ‪ 36‬ס"מ‪.‬‬
‫אפשר לשאול‪ :‬כמה פעמים ‪ 52‬ס"מ יש ב‪ 1,822 -‬ס"מ‪ ,‬או כמה פעמים חצי מטר יש‬
‫ב‪ 18 -‬מטרים‪ .‬בדרך דומה נקבל שרוחב הדירה בתרשים הוא ‪ 24‬ס"מ‪.‬‬
‫(ג) התייחסות לאחד החדרים שבדירה שצורתו מלבן‪ .‬הכיוון הפוך מזה שבסעיף (ב)‪.‬‬
‫בסעיף זה נתון רק אורך חדר השינה בתרשים יש לחשב את רוחב חדר השינה בתרשים‪.‬‬
‫ניעזר ביחס‪ .‬מידות חדר השינה שומרות על אותו יחס הקיים בין מידות הדירה כולה‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬היחס בין אורך חדר השינה לרוחבו הוא ‪ 18 : 12‬ולאחר צמצום ‪ .3 : 2‬רוחב‬
‫חדר השינה בתרשים הוא ‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫‪134‬‬
‫‪22‬‬
‫‪..31‬‬
‫המרחק במציאות הוא ‪ 10‬ק"מ‪.‬‬
‫(א) מה יהיה המרחק במפה בקנה מידה של ‪? 1 : 500,000‬‬
‫(ב) מה יהיה המרחק במפה בקנה מידה של ‪? 1 : 100,000‬‬
‫(ג) מה יהיה המרחק במפה בקנה מידה של ‪? 1 : 1,000,000‬‬
‫‪41‬‬
‫‪.23‬‬
‫לדניאל שלוש מפות בקנה מידה שונה‪:‬‬
‫‪1 : 100,000‬‬
‫‪1 : 250,000‬‬
‫‪1 : 500,000‬‬
‫(א) באיזו מהמפות יהיה אורך הקטע המחבר את תל‪-‬אביב לחיפה הקצר ביותר?‬
‫(ב) המרחק בין תל‪-‬אביב לחיפה הוא כ‪ 100 -‬ק"מ‪ .‬מה המרחק בכל אחת מהמפות?‬
‫‪24‬‬
‫‪..51‬‬
‫שרון ערכה תרשים מוקטן של החדרים בביתה‪.‬‬
‫כל ‪ 3‬מטרים במציאות הם ‪ 6‬ס"מ בתרשים‪.‬‬
‫(א)‬
‫מה קנה המידה בתרשים של שרון?‬
‫(ב)‬
‫השלימו את המידות החסרות‪.‬‬
‫‪ 18‬מטרים‬
‫?‬
‫?‬
‫הבית‬
‫בתרשים‬
‫הבית‬
‫במציאות‬
‫‪ 12‬מטרים‬
‫(ג) בכל החדרים בבית של שרון היחס בין אורך החדר לרוחבו הוא כיחס שבין אורך הבית לרוחבו‪.‬‬
‫אורך חדר השינה בתרשים הוא ‪ 9‬ס"מ‪.‬‬
‫חשבו את‪:‬‬
‫(‪ )1‬רוחב חדר השינה בתרשים‪.‬‬
‫(‪ )2‬אורך חדר השינה במציאות‪.‬‬
‫‪ 9‬ס"מ‬
‫חדר השינה‬
‫במציאות‬
‫(‪ )3‬רוחב חדר השינה במציאות‪.‬‬
‫‪25‬‬
‫‪..61‬‬
‫רותם בונה דגם שבו כל ‪ 2‬ס"מ מייצגים אורך של ‪ 6‬מטרים‪.‬‬
‫מיכל טוענת שהיא משתמשת בקנה מידה של ‪.1 : 3‬‬
‫יעל טוענת שהיא משתמשת בקנה מידה של ‪.1 : 300‬‬
‫מי צודקת‪ ,‬מיכל או יעל? הסבירו‪.‬‬
‫חדר השינה‬
‫בתרשים‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪117 – 116 :‬‬
‫כמה ס"מ הם ‪ 1.80‬מ' ?‬
‫‪ .25‬תרגיל המתייחס לאחידות בין המידות‪.‬‬
‫ביחס יש לשמור על אחידות בין מידות ובשאלה זאת מיכל לא שמרה על כך‪.‬‬
‫יש להמיר את המטרים לס"מ‪ 6 :‬מטרים הם ‪ 622‬ס"מ‪ .‬קנה המידה הנכון הוא ‪,2 : 600‬‬
‫ולאחר צמצום ‪.1 : 300‬‬
‫‪ .26‬שאלה נוספת העוסקת בקנה מידה ובמידות פריטים במציאות ובדגם‪.‬‬
‫‪ ..26‬ארכיטקט בונה דגם של בית‪ ,‬הכולל את המבנה והריהוט שבו‪.‬‬
‫‪31‬‬
‫ספה שאורכה ‪ 1.80‬מטרים בדגם‪ ,‬במציאות האורך שלה הוא ‪ 15‬ס"מ‪.‬‬
‫(א) מה קנה המידה של הדגם?‬
‫(ב)‬
‫‪96‬‬
‫בסרטוט לפניכם נתונות המידות של כיסא במציאות‪( .‬המידות בס"מ‪).‬‬
‫מה המידות של הכיסא בדגם?‬
‫(ג)‬
‫גובה המנורה בדגם הוא ‪ 15.5‬ס"מ‪ .‬מה גובהה במציאות?‬
‫(ד)‬
‫גובה השולחן במציאות הוא ‪ 78‬ס"מ‪ .‬מה גובהו בדגם?‬
‫‪48‬‬
‫‪48‬‬
‫תרשים מוגד‬
‫לעיתים יש מצבים בהם התרשים הוא הגדלה של המציאות‪.‬‬
‫התרשים הוא הגדלה באופן שכל אחד מחלקי האובייקט הוגדל פי אותו גודל (באותו יחס)‪.‬‬
‫בדרך‪-‬כלל‪ ,‬משתמשים בקנה מידה בהגדלה כאשר רוצים לדייק בפרטים של עצם שהוא קטן יחסית‪.‬‬
‫ההגדלה מאפשרת לסרטט פרטים של העצם באופן שאפשר לראות אותם בתרשים‪.‬‬
‫שתי דרכי הכתיבה המקובלות לקנה מידה בהגדלה הן בעייתיות‪.‬‬
‫דרך אחת היא לשמור על ההסכם של קנה מידה ולרשום את הגודל בתרשים משמאל ואת הגודל‬
‫במציאות מימין כאשר הגודל בתרשים מיוצג על ידי המספר ‪ .1‬בתרשים מוגדל של המציאות‪ ,‬הגודל‬
‫במציאות יהיה שבר‪ .‬במקרה זה אחרי צמצום‪ ,‬ברוב הפעמים‪ ,‬באגף ימין יופיע מספר שאינו נוח‬
‫(אינו מספר שלם) ואינו מובן אינטואיטיבית‪.‬‬
‫לדוגמה ‪,‬הגדלה פי ‪ 12‬תוצג כ‪ ,1 : 0.1 -‬כל ‪ 1‬ס"מ בתרשים הוא עשירית ס"מ במציאות‪.‬‬
‫דרך שנייה היא להציג את הגודל במציאות כ‪ 1 -‬הגודל הקטן מבין השניים‪ .‬במקרה זה הגדלה‬
‫פי ‪ 12‬תיכתב כ‪ ,10 : 1 -‬כל ‪ 10‬ס"מ בתרשים הם ‪ 1‬ס"מ במציאות‪.‬‬
‫בספר זה בחרנו בכתיבת קנה המידה ללא ששברים‪ ,‬כלומר‪ ,‬בהצגה השנייה בה הגודל במציאות הוא ‪,1‬‬
‫ולהוסיף את הניסוח המילולי‪ :‬כל גודל בתרשים גדול פי ___ מהגודל המתאים במציאות‪.‬‬
‫גם במקרה זה יש להקפיד על צורת הכתיבה – הגודל בתרשים הוא משמאל והגודל במציאות הוא מימין‪.‬‬
‫דוגמה ‪:3‬‬
‫הדבורה בתרשים גדולה מהדבורה במציאות‪ .‬ההגדלה נעשתה כך שכל חלק של הדבורה הוגדל פי ‪.4‬‬
‫אורך גוף הדבורה במציאות הוא ‪ 1‬ס"מ‪ .‬אורכה בתרשים הוא ‪ 4‬ס"מ‪.‬‬
‫כל ‪ 4‬ס"מ בסרטוט הם ‪ 1‬ס"מ במציאות‪ .‬המידה בתרשים היא הגדלה פי ‪ 4‬של המידה במציאות‪.‬‬
‫נשמור על הסדר שנקבע לכתיבת קנה מידה‪( :‬המידה במציאות ‪ :‬המידה בסרטוט)‬
‫וקנה המידה כאן הוא‪.4 : 1 :‬‬
‫‪135‬‬
‫תרשים מוגד‬
‫בכל הדוגמאות והתרגילים עד כה‪ ,‬הגודל בתרשים היה קטן מהגודל במציאות‪.‬‬
‫לא תמיד התרשימים הם הקטנה של המציאות‪.‬‬
‫לעיתים כאשר מתעניינים בפרטים מאד מדויקים מגדילים את התרשים למצב בו הוא הגד ה ש המ יאות‪.‬‬
‫דוגמה ‪3‬‬
‫בסרטוט שלפניכם הגדלה של דבורה‪.‬‬
‫אורך גוף הדבורה במציאות הוא ‪ 1‬ס"מ‪.‬‬
‫אורך הדבורה בסרטוט הוא ‪ 4‬ס"מ‪.‬‬
‫הסרטוט הוא הגד ה י ‪. 4‬‬
‫כל ‪ 4‬ס"מ בסרטוט הם ‪ 1‬ס"מ במציאות‪.‬‬
‫קנה המידה של הסרטוט הוא ‪.4 : 1‬‬
‫שומרים על הסדר‪:‬‬
‫האור במ יאות ‪ :‬האור ב רטוט‬
‫(בתרשים מוגדל של המציאות‪ )1 ( ,‬שומרים על הסדר‬
‫(‪ )2‬האורך במציאות הוא ‪).1‬‬
‫דוגמה ‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫במציאות‪ ,‬אורך הגוף של נמלה הוא כ‪-‬‬
‫‪2‬‬
‫אורך הנמלה בסרטוט הוא הגד ה י ‪ 10‬של אורך הנמלה במציאות‪.‬‬
‫באורך ‪ 5‬ס"מ‪.‬‬
‫ס"מ‪ .‬בספר ביולוגיה סורטטה נמלה ‪.26‬‬
‫קנה המידה‪.10 : 1 :‬‬
‫כל ‪ 10‬ס"מ בסרטוט הם ‪ 1‬ס"מ במציאות‪.‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫דוגמה ‪ :4‬מדובר על סרטוט אפשרי‪ .‬הסרטוט אינו מצורף‪.‬‬
‫בהשוואה בין האורך בסרטוט לאורך במציאות מתקבל היחס‪( .5 :  :‬שומרים על הסדר שנקבע‬
‫לכתיבת קנה מידה)‪ .‬נרחיב את היחס פי ‪ ,2‬כך ששני המספרים יהיו שלמים‪ ,‬ונקבל ‪.10 : 1‬‬
‫במילים‪ :‬כל ‪ 12‬ס"מ בסרטוט הם ‪ 1‬ס"מ במציאות‪ .‬המידה בתרשים היא הגדלה פי ‪ 12‬של‬
‫המידה במציאות‪.‬‬
‫תרגי ים‬
‫‪.27‬‬
‫‪.28‬‬
‫‪.29‬‬
‫‪.31‬‬
‫‪.31‬‬
‫‪.32‬‬
‫‪118‬‬
‫תרגי ים‬
‫‪.27‬‬
‫הקונכייה שבתמונה היא הגדלה של קונכייה במציאות פי ‪.3‬‬
‫(א) מה אורך הקונכייה במציאות?‬
‫(ב) מה קנה המידה של התמונה?‬
‫‪.28‬‬
‫‪ 4.8‬ס"מ‬
‫חיפושית שאורך גופה ‪ 1.5‬ס"מ מסורטטת בהגדלה של פי ‪.6‬‬
‫מה יהיה אורכה של החיפושית בתרשים?‬
‫לפני החישובים מומלץ לשאול "איזה מספר מצפים לקבל?" גדול מ‪ 4.8 -‬או קטן מ‪.4.8 -‬‬
‫פתרון אינטואיטיבי‪ :‬נשאל מה קנה המידה של התרשים? מה המשמעות? כל מידה בתרשים‬
‫היא הגדלה פי ‪ 3‬של המידה המתאימה במציאות‪ .‬לכן‪ ,‬כדי לקבל את אורך הקונכייה במציאות‬
‫יש לחלק ב‪ ?3 -‬נחלק ‪ 4.8‬ב‪ 3 -‬אורך הקונכייה במציאות הוא ‪ 1.6‬ס"מ‪.‬‬
‫פתרון אלגברי‪ :‬קנה המידה הוא ‪ .3 : 1‬נסמן את אורך הקונכייה במציאות ב‪.x -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ . ‬נפתור את המשוואה‪ .‬נקפיד לכתוב את ‪ x‬במונה‪.‬‬
‫נכתוב את הפרופורציה‪:‬‬
‫‪3 4.8‬‬
‫ראו הנחייה לתרגיל ‪ .20‬גם כאן נשאל‪ :‬איזה מספר מצפים לקבל‪ :‬גדול מ‪ 1.5 -‬או קטן ממנו?‬
‫האורך בתרשים גדול מהאורך במציאות פי ‪ .6‬לכן אורך החיפושית בתרשים גדול פי ‪6‬‬
‫מ‪ .1.5 -‬אורך החיפושית בתרשים הוא ‪ 9‬ס"מ‪.‬‬
‫דומה לתרגיל ‪ .20‬כאשר נתון קנה המידה‪.‬‬
‫נתרגם אותו לניסוח מילולי‪ :‬אורך הנמלה בתרשים גדול פי ‪ 4‬מאורך הנמלה במציאות‪.‬‬
‫יש לשים לב ליחידות המידה‪ .‬או ‪ 6‬ס"מ הם ‪ 62‬מ"מ‪ ,‬או ‪ 4‬מ"מ הם ‪ 2.4‬ס"מ‪.‬‬
‫בהמרה ליחידות של מ"מ מקבלים שני מספרים שלמים הנוחים יותר להשוואה‪.‬‬
‫כמו תרגיל ‪ 32‬בניסוח שונה‪.‬‬
‫(א) יש לספור משבצות‪ .‬מידות המלבן‪ 4 :‬על ‪ 6‬משבצות‪ .‬אורך כל משבצת מייצג אורך של‬
‫‪ 1‬ס"מ ולכן מידות המלבן הן ‪ 4‬ס"מ על ‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫(ב) קנה מידה של ‪ 1 : 2‬מצביע על כך שהתרשים הוא הקטנה של המציאות‪.‬‬
‫נשאל את התלמידים האם קנה המידה נתון מצביע על הגדלה או הקטנה‪ 1 : 2 .‬פירושו‪,‬‬
‫כל ‪ 1‬ס"מ בתרשים שווה ‪ 2‬ס"מ במציאות‪ .‬כלומר התרשים הוא הקטנה של המציאות‪.‬‬
‫במקרה זה הקטנה פי ‪ .2‬מידות המלבן המבוקש הן ‪ 2‬ס"מ על ‪ 3‬ס"מ‪.‬‬
‫(ג) אותם שיקולים כמו של סעיף (ב)‪ .‬התרשים הוא הגדלה פי ‪ 2‬של המציאות ולכן מידות‬
‫המלבן הן‪ 8 :‬ס"מ על ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫‪136‬‬
‫‪ .29‬לפניכם סרטוט מוגדל של נמלה בקנה מידה של ‪.4 : 1‬‬
‫מה הוא האורך של הנמלה במציאות?‬
‫‪ 3.2‬ס"מ‬
‫‪.30‬‬
‫יהלום שקוטרו במציאות ‪ 4‬מ"מ מוצג בתמונה בקוטר של ‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫מה קנה המידה של התמונה?‬
‫שימו לב ליחידות המידה‪.‬‬
‫‪. 31‬‬
‫יהלום סורטט בהגדלה של פי ‪.16‬‬
‫קוטר היהלום בסרטוט הוא ‪ 4.8‬ס"מ‪.‬‬
‫מה קוטר היהלום במציאות? את התשובה כתבו במ"מ‪.‬‬
‫‪ . 32‬צלע כל משבצת בתרשים שלפניכם מייצגת אורך של ‪ 1‬ס"מ‪.‬‬
‫(א) מה אורך צלעות המלבן שבסרטוט?‬
‫(ב) סרטטו תרשים של המלבן הנתון בקנה מידה של ‪.1 : 2‬‬
‫(ג)‬
‫סרטטו תרשים של המלבן הנתון בקנה מידה של ‪. 2 : 1‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪119‬‬
‫נ זור ונתרג‬
‫נ זור ונתרג‬
‫תשבץ משוואות‬
‫תשבץ משוואות‬
‫פתרו את המשוואות ושבצו את הפתרונות בתשבץ‪ .‬בכל משבצת ספרה אחת‪.‬‬
‫תרגילי חזרה בפתרון משוואות‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫התשבץ משמש כדרך לבדיקת הפתרונות‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫מצורף פתרון התשבץ‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪9‬‬
‫י‬
‫מאוזן (משמאל לימין)‪:‬‬
‫ו רו ור יה‬
‫‪8‬‬
‫מאונ (מלמעלה למטה)‪:‬‬
‫‪(3) 240 – 4x + x = 12x – 3x‬‬
‫‪(1) 3(2x – 9) – 7(x – 8) = 2x – 1‬‬
‫תרגי ים ‪ :4 – 1‬כתיבת היחס שבין שני מספרים וצמצומו‪ .‬חשוב לכתוב את היחס בהתאם לסדר‬
‫‪(4) 3(x – 2) – 2(3x + 4) + 62 = 0‬‬
‫‪(2) 2(x – 7) – 5(x + 2) = 13 – 11 – 4x‬‬
‫בו הוזכרו הגדלים‪.‬‬
‫‪ .1‬היחס בין מספר ההצלחות לבין מספר ההחטאות‪ .‬בכתיבה‪ ,‬הסדר הוא החטאות ‪ :‬הצלחות‪.‬‬
‫‪(5) 7x + 3(3x – 5) = 294 – x – 3‬‬
‫‪(3) 56x – 21x – 20x – 315 = 0‬‬
‫)‪(8) 5(3x – 6) – 2(x + 3) = 4(x + 18‬‬
‫‪(4) 9x + 10x – 6x = 234‬‬
‫)‪(9) 6(x + 20) = 5(5x – 14‬‬
‫)‪(6) 5(3x – 8) – 4(x + 13) = 20(x – 10‬‬
‫שאלות חזרה בנושאים‪ :‬מה הוא היחס? השוואת יחסים‪ ,‬חישוב גודל חסר בפרופורציה‪.‬‬
‫מתוך כל ‪ 35‬ניסיונות קליעה יש ‪ 25‬הצלחות ו‪ 12 -‬החטאות‪ .‬היחס‪. 25 : 12 :‬‬
‫היחס המצוצמם ‪ .5 : 2‬נשאל‪ :‬במה מצמצמים?‬
‫‪ .2‬היחס בסדר הנכון‪ 6 : 3 :‬ואחרי צמצום ב‪.2 : 1 :3 -‬‬
‫‪(7) 30x + 10x – 4x = 12x + 9x + 450‬‬
‫י‬
‫‪ .3‬שואלים‪ :‬מה היחס לפיו יחלקו את כספי הזכייה? לא נתון הסדר בו יש לכתוב את היחס‪.‬‬
‫מומלץ לשמוע מה כתבו התלמידים ולבקש שיתייחסו לסדר‪.‬‬
‫ו רו ור יה‬
‫ענו על השאלות הבאות‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫התשובות ‪ 2 : 3‬ו‪ 3 : 2 -‬שתיהן נכונות כאשר מציינים לידן מי ראשון ומי שני‪.‬‬
‫שחקן כדורסל מתאמן בזריקות לסל‪ .‬ב‪ 25 -‬מתוך ‪ 35‬זריקות לסל‪ ,‬הכדור נכנס לסל‪.‬‬
‫כתבו את היחס בין מספר ההצלחות למספר ה החטאות‪ .‬צמצמו ככל שניתן‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫במתכון לעוגה משתמשים ב‪ 6 -‬ביצים וב‪ 3 -‬כוסות קמח‪.‬‬
‫כתבו את היחס בין מספר הביצים למספר כוסות הקמח‪ .‬צמצמו ככל שניתן‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫עמית ומתן קנו יחד כרטיס הגרלה‪ .‬עמית שילם ‪ 10‬שקלים ומתן שילם ‪ 15‬שקלים‪.‬‬
‫הם החליטו כי אם הכרטיס שקנו יזכה ב הגרלה יחלקו ביניהם את כספי הזכייה כיחס שבין‬
‫הסכומים ששילמו לקניית הכרטיס‪.‬‬
‫מה היחס לפיו יחלקו את כספי הזכייה? צמצמו ככל שניתן‪.‬‬
‫‪137‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪( .4‬א) כתיבת יחס כמו בתרגילים ‪ .3 – 1‬היחסים הם ‪ 20 : 25‬ו‪-‬‬
‫‪.24 : 30‬‬
‫‪.4‬‬
‫(ב) השוואת היחסים שהתקבלו בסעיף (א)‪ .‬את היחס הראשון נצמצם ב‪ 5 -‬ואת השני‬
‫נצמצם ב‪ .6 -‬יתקבלו יחסים שווים ‪ .4 : 5‬לשתי הקבוצות הצלחה שווה בקליעות עונשין‪.‬‬
‫‪ .5‬שאלה דומה לתרגיל ‪.4‬‬
‫‪121‬‬
‫במשחק כדורסל בין מכבי תל‪-‬אביב והפועל ירושלים שחקני הפועל ירושלים הצליחו ב‪ 20 -‬קליעות‬
‫עונשין מתוך ‪ ,25‬ושחקני מכבי תל‪-‬אביב הצליחו ב‪ 24 -‬קליעות עונשין מתוך ‪.30‬‬
‫(א) מה היחס שבין קליעות העונשין המוצלחות לבין סך‪-‬כל הנ יסיונות בכל אחת מהקבוצות?‬
‫(ב)‬
‫האם אחת הקבוצות הצליחה יותר בקליעות עונשין? הסבירו‪.‬‬
‫‪ .6‬שאלה דומה לתרגיל ‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪ .7‬מציאת זוגות של יחסים שווים‪ .‬נוח לכתוב את היחסים הנתונים כיחסים מצומצמים‪.‬‬
‫בסרטוט שלפניכם כל המשולשים הקטנים הם בעלי שטח שווה‪.‬‬
‫מה היחס בין מספר המשולשים הלבנים למספר המשולשים האפורים?‬
‫‪ .11 – 8‬פרופורציה‪ .‬השלמת מספר חסר‪.‬‬
‫מה היחס בין מספר המשולשים הלבנים למספר הכולל‬
‫של המשולשים הקטנים?‬
‫ניתן להציג את הנתונים בטבלה‪ ,‬ואז להציג את הפרופורציה המתאימה‪.‬‬
‫‪ .8‬אפשר לחשב קודם את היחס בין הקלוריות למשקל ולהציב‬
‫בטבלה את היחס המצומצם ‪.7 : 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪350‬‬
‫המשוואה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪20 100‬‬
‫‪.x = 70‬‬
‫‪.6‬‬
‫קלוריות‬
‫כמות בגרמים‬
‫‪352‬‬
‫‪x‬‬
‫‪122‬‬
‫‪20‬‬
‫תשובה מילולית‪ :‬ב‪ 22 -‬גרם דגנים יש ‪ 02‬קלוריות‪.‬‬
‫האם היחס בין המרחק לזמן ההליכה של עומר שווה לזה של עמית?‬
‫‪121‬‬
‫‪.7‬‬
‫פתרון אינטואיטיבי‪ 122 :‬גרם גדול פי ‪ 5‬מ‪ 22 -‬גרם‪ .‬כמות הקלוריות גם היא גדולה פי ‪.5‬‬
‫‪.9‬‬
‫עומר עובר מרחק של ‪ 300‬מטרים ב‪ 5 -‬דקות‪.‬‬
‫עמית עובר מרחק של ‪ 240‬מטרים ב‪ 4 -‬דקות‪.‬‬
‫‪ 22‬גרם קטן פי ‪ 5‬מ‪ .122 -‬נחלק גם את ‪ 352‬ב‪ 5 -‬ונקבל‪ :‬ב‪ 22 -‬גרם יש ‪ 02‬קלוריות‪.‬‬
‫בשאלה המילולית אין אחידות ביחידות המידה‪ .‬הזמן מופיע בשניות ובדקות‪.‬‬
‫נזכור‪ 62 :‬שניות = ‪ 1‬דקה‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪20‬‬
‫ומקבלים ‪.x = 80‬‬
‫ניתן להציב את הנתונים בטבלה כמו בשאלה ‪ .8‬המשוואה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪60 15‬‬
‫תשובה מילולית‪ :‬בדקה יש ‪ 82‬פעימות‪.‬‬
‫כמו בשאלה ‪ ,8‬ניתן לחשב קודם את היחס המצומצם בין מספר הפעימות לזמן בשניות‪.4 : 3 :‬‬
‫פתרון אינטואיטיבי‪ :‬בדקה ‪ 62‬שניות פי ‪ 4‬מהנתון של ‪ 15‬שניות‪ .‬גם מספר הפעימות הדקה‬
‫מצאו זוגות של יחסים שווים ורשמו את הפרופורציות המתאימות‪:‬‬
‫‪12 : 15‬‬
‫‪6:8‬‬
‫‪28 : 35‬‬
‫‪6:9‬‬
‫‪.8‬‬
‫ב‪ 100 -‬גרם דגנים יש ‪ 350‬קלוריות‪ .‬כמה קלוריות יש במנה של ‪ 20‬גרם דגנים?‬
‫‪.9‬‬
‫במדידת דופק מדדו ‪ 20‬פעימות ב‪ 15 -‬שניות‪ .‬כמה פעימות תהיינה בדקה?‬
‫‪ .11‬נתון‪. 100  x :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.22‬‬
‫גדול פי ‪21 4‬מ‪-‬‬
‫מה הערך של ‪? x‬‬
‫‪ .10‬נתונה פרופורציה בכתיב מתמטי‪ .‬יש לפתור משוואה ולחשב את ‪ x‬או לחילופין לפתור אינטואיטיבית‪ 21 :‬גדול פי ‪ 0‬מ‪.3 -‬‬
‫‪ .11‬מה יותר כדאי‪:‬‬
‫‪ x‬הוא מספר הגדול פי ‪ 0‬מ‪ .122 -‬כלומר‪.x = 700 ,‬‬
‫אריזה במשקל ‪ 2‬ק"ג במחיר של ‪ 11‬שקלים‪,‬‬
‫או אריזה במשקל ‪ 5‬ק"ג במחיר של ‪ 30‬שקלים?‬
‫הציגו את החישובים שערכתם‪.‬‬
‫‪138‬‬
‫‪12 : 16‬‬
‫‪8 : 12‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪ .11‬שאלת כדאיות‪.‬‬
‫יש להניח שיהיו תלמידים שיחשבו את המחיר לק"ג אחד בשני המארזים‪.‬‬
‫המחיר לק"ג אחד באריזה הקטנה הוא ‪ 5.5‬שקלים )‪.(11 : 2 = 5.5‬‬
‫המחיר לק"ג אחד באריזה הגדולה הוא ‪ 5.6‬שקלים )‪.(28 : 5 = 5.6‬‬
‫מחיר ‪ 1‬ק"ג באריזה הקטנה הוא ‪ 5.52‬שקלים‪ .‬מחיר ‪ 1‬ק"ג באריזה הגדולה הוא ‪ 5.62‬שקלים‪ .‬האריזה הקטנה חסכונית יותר‪.‬‬
‫דרך אחרת‪ :‬באריזה ה"חסכונית" כמות גדולה פי ‪ 2‬מזו שבאריזה הקטנה‪.‬‬
‫נבדוק אם המחיר של האריזה ה"חסכונית" גם הוא גדול פי שניים וחצי ממחיר האריזה הקטנה? (פרופורציה)‪.‬‬
‫נכפול את המחיר של האריזה הקטנה שהוא ‪ 11‬שקלים ב‪ 2 -‬ונקבל ‪ 27‬שקלים‪.‬‬
‫מכיוון שמחיר האריזה ה"חסכונית" הוא יקר יותר (‪ 28‬שקלים)‪ ,‬מגיעים למסקנה שהאריזה הקטנה כדאית יותר‪.‬‬
‫יש להניח שמרבית התלמידים לא יבחרו בדרך השנייה מכיוון שהיא כוללת חישובים בשברים‪.‬‬
‫בדרך הראשונה המספרים המשתתפים בחישובים הם מספרים שלמים‪ .‬התוצאות שברים‪.‬‬
‫‪139‬‬
‫‪120‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪121‬‬
‫פונקציות – המשך‬
‫פונקציות ‪ -‬המשך‬
‫מציאת הייצוג האלגברי של הפונקציה הקווית‬
‫בכיתה ח‪ ,‬הפונקציה הקווית נלמדת בשני סבבים‪ :‬שני הסבבים נלמדים בחלק א‪.‬‬
‫בסבב הראשון‪ ,‬עוסקים במשמעות הפונקציה הקווית‪ ,f(x)=mx+b :‬במשמעות של הפרמטרים בכל הייצוגים‪,‬‬
‫ובקשר בין הייצוגים בכל המשמעויות האלו‪.‬‬
‫בסבב השני (‪ 7‬שעות) התלמידים לומדים‪:‬‬
‫למדנו כי פונקציה מסמנים ב‪.f(x) -‬‬
‫דוגמה ‪1‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪.f(x) = 3x + 7‬‬
‫כדי למצוא זוגות מספרים המקיימים את הפונקציה‪ ,‬מציבים ערכים של ‪ x‬ומחשבים את ערך הפונקציה )‪.f(x‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪ .1‬מציאת הייצוג האלגברי של פונקציה קווית על‪-‬פי שתי נקודות‪.‬‬
‫כאשר‬
‫‪ .2‬מציאת הייצוג האלגברי של פונקציה קווית על‪-‬פי נקודה ושיפוע‪.‬‬
‫כאשר ‪ .f(–5) = 3  (–5) + 7 , x = –5‬מקבלים‪:‬‬
‫‪ .3‬נקודת החיתוך של פונקציה קווית עם ציר ה‪.x -‬‬
‫‪ .f(1) = 3  1 + 7‬מקבלים‪:‬‬
‫‪, x=1‬‬
‫‪ .f(1) = 10‬זוג המספרים (‪.)1 , 10‬‬
‫‪.f(–5) = –8‬‬
‫זוג המספרים (‪.)–5 ,–8‬‬
‫בסרטוט גרף של פונקציה מסמנים את זוגות המספרים שהתקבלו במערכת הצירים‪.‬‬
‫‪ – x‬הערך שעל ציר ה‪ – f(x) ,x -‬הערך שעל הציר האנכי‪.‬‬
‫מציאת הייצוג האלגברי של הפונקציה הקווית‬
‫בתחילת הפרק מציגים את ‪ y‬ככתיב חלופי ל‪ .f(x) -‬התלמידים מכירים את השימוש ב‪ , y -‬מסימון נקודות‬
‫במערכת צירים‪ ,‬בסימון נקודה כזוג סדור של מספרים )‪ ,(x , y‬כאשר הציר האנכי מסומן ב‪.y -‬‬
‫בפרק זה ילמדו להשתמש ב‪ y -‬ברישום ערכי הפונקציה‪ ,‬ובייצוג האלגברי של הפונקציה‪.‬‬
‫הקנייה‪ :‬ספרים סגורים‪ .‬אומרים‪ ,‬אנו ממשיכים ללמוד את הנושא של הפונקציה הקווית שהכרנו‪.‬‬
‫ורושמים על הלוח‪ ,‬את הנושא "‪ y‬במקום )‪."f(x‬‬
‫דוגמה ‪ :1‬רושמים על הלוח ‪ .f(x)=3x+7‬אומרים‪" :‬נחשב את ערכי הפונקציה עבור‬
‫‪ .x=–5 ,x=1‬נציב בפונקציה ונחשב‪ ".‬פותרים כמו בספר‪.‬‬
‫רושמים שוב‪ :‬קיבלנו את הזוגות (א) ‪( f(1) = 10 , x = 1‬ב) ‪ .f(–5) = –8 , x = –5‬לעיתים נוח להחליף‬
‫את )‪ f(x‬באות ‪ .y‬נעשה זאת כעת‪ .‬מה נקבל? (א) ‪( .y=10 , x = 1‬ב) ‪.y=–8 , x=–5‬‬
‫כעת כתבו את ערכי ה‪ x-‬וה‪ y -‬כזוגות סדורים (‪)–5 ,–8( , )1 ,11‬‬
‫דוגמה ‪ :2‬הייצוג האלגברי של הפונקציה כ‪ y = mx + b -‬נזכרים במשמעות של ‪ m‬ו‪.b -‬‬
‫הקנייה‪ :‬ספרים סגורים‪ .‬אומרים ורושמים על הלוח (משתמשים בצבעים כמו בספר)‪:‬‬
‫נתונים (א) פונקציה קווית ‪( .f(x)=mx+b‬ב) ‪ , m=3‬ו‪ .b=5 -‬נחליף את )‪ f(x‬ב‪ .y -‬מה נקבל? (‪)y=mx+b‬‬
‫מה המשמעות של ‪( ? m‬שיפוע)‪ .‬מה המשמעות של ‪( ? b‬מקום חיתוך גרף הפונקציה עם ציר האנכי‪).‬‬
‫נציב כעת את ערכי ‪ m‬ו‪ b -‬ב‪ .y=mx+b -‬כעת פותרים וכותבים‬
‫בדיוק בדרך הפתרון שבספר‪ .‬יש להקפיד על הצבעים והחיצים‪ :‬מטרתם להדגיש את החשיבות של המיקום‬
‫המיוחד של ‪ m‬ככופל של ‪ ,x‬ו‪ b -‬הוא האיבר החופשי‪ .‬מומלץ לסרטט את גרף הפונקציה ‪ y=3x+5‬כדי‬
‫להיזכר במשמעות הויזואלית של השיפוע ‪ m‬והאיבר החופשי ‪.b‬‬
‫‪140‬‬
‫הציר האנכי במערכת הצירים נקרא ציר ה‪ ,y -‬ולכן דרך נוספת לסימון פונקציה הוא באמצעות האות ‪.y‬‬
‫כאשר ‪x = 1‬‬
‫‪y = 3x + 7‬‬
‫מקבלים ‪.y = 10‬‬
‫כאשר ‪ x = –5‬מקבלים ‪.y = –8‬‬
‫כתבו את זוגות הערכים כזוגות סדורים‪.‬‬
‫לעיתים נוח להשתמש בסימון הפונקציה באמצעות )‪ ,f(x‬ולעיתים נוח להשתמש בסימון הפונקציה באמצעות ‪.y‬‬
‫כאשר מסמנים את הפונקציה ב‪ ,y -‬הייצוג האלגברי של הפונקציה הקווית הוא ‪.y = mx + b‬‬
‫לכתיבת הפונקציה יש צורך לדעת את ערכם של ‪ m‬ו‪.b -‬‬
‫דוגמה ‪2‬‬
‫דוגמה ‪3‬‬
‫כתבו את הייצוג האלגברי של פונקציה קווית בה‪:‬‬
‫כתבו את הייצוג האלגברי של פונקציה קווית בה‪:‬‬
‫‪ m = 3‬ו‪.b = 5 -‬‬
‫‪ m = –2‬ו‪b = 9 -‬‬
‫‪y = mx + b‬‬
‫‪y = mx + b‬‬
‫‪5‬‬
‫‪9‬‬
‫‪3‬‬
‫נציב את הנתונים‪:‬‬
‫‪y = mx + b‬‬
‫נציב את הנתונים‪:‬‬
‫הפונקציה היא‪:‬‬
‫‪y = 3x + 5‬‬
‫הפונקציה היא‪:‬‬
‫‪–2‬‬
‫‪y = mx + b‬‬
‫‪y = –2x + 9‬‬
‫תרגיל‬
‫‪.1‬‬
‫בתרגילים הבאים יש לכתוב את הפונקציה ‪.y = mx + b‬‬
‫(א) נתון‪:‬‬
‫‪b=3‬‬
‫;‬
‫‪.m = 8‬‬
‫כתבו את הפונקציה המתאימה‪.‬‬
‫(ב) נתון‪b = –1 :‬‬
‫;‬
‫‪.m = 3‬‬
‫כתבו את הפונקציה המתאימה‪.‬‬
‫‪b=5‬‬
‫;‬
‫‪.m = 0‬‬
‫כתבו את הפונקציה המתאימה‪ .‬איזה פונקציה קיבלתם?‬
‫איך נראה גרף הפונקציה?‬
‫(ג) נתון‪:‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪122 – 121 :‬‬
‫דוגמה ‪ :3‬מומלץ לרשום את הנתונים ‪ m=–2‬ו‪ b= 9 -‬לבקש מהתלמידים לעבור את אותו תהליך של‬
‫הצבה ב‪.y=mx+b -‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫‪ .1‬יישום ישיר של דוגמאות ‪ 1‬ו‪ .2 -‬אם יש צורך‪ ,‬ניתן להציע לתלמידים להיעזר בצבעים‪ ,‬כבדוגמאות‪.‬‬
‫בדיקה במליאה‪.‬‬
‫‪ .2‬מומלץ לערוך דיון על "איך נראה?" כל אחד מהגרפים של פונקציות אלה ולסרטט סקיצה שלהם על הלוח‪.‬‬
‫‪ .3‬סעיף ג מאפשר חזרה על כך שכאשר ‪ m=0‬הגרף מקביל לציר ה‪.x -‬‬
‫חישוב שיפוע של פונקציה קווית על‪-‬פי שתי נקודות‬
‫חישוב שיפוע של פונקציה קווית על‪-‬פי שתי נקודות‬
‫פעילות ‪1‬‬
‫השיפוע ב בלה‬
‫בטבלאות שלפניכם מוצגות שלוש פונקציות קוויות‪.‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪+2‬‬
‫‪+2‬‬
‫‪+2‬‬
‫‪+2‬‬
‫)‪(3‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪20‬‬
‫‪20‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪17‬‬
‫‪21‬‬
‫‪10‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪14‬‬
‫‪22‬‬
‫‪18‬‬
‫‪5‬‬
‫‪10‬‬
‫‪4‬‬
‫‪11‬‬
‫‪23‬‬
‫‪12‬‬
‫‪5‬‬
‫‪8‬‬
‫‪24‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪–3‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪+8‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪+1‬‬
‫פעילות ‪1‬‬
‫שלבי הלימוד של מציאת השיפוע של פונקציה קווית באופן חשבוני הם‬
‫מה קצב ההשתנות של הפונקציה?‬
‫מה שיפוע הפונקציה?‬
‫(א) תזכורת שהשיפוע שווה לקצב ההשתנות של הפונקציה כאשר הערכים של ‪ x‬משתנים במרווחים של ‪,1‬‬
‫(‪ )2‬ב בלה (‪ )2‬הערכים של ‪ x‬גדלים במרווחים של ‪.1‬‬
‫כפי שמוצג בטבלה‬
‫הערכים המתאימים של ‪ y‬קטנים במרווחים של ‪,3‬‬
‫(ב) שיש קשר כפלי בין השיפוע לבין קצב ההשתנות של פונקציה גם במרווחים שווים כלשהם של ‪,x‬‬
‫מה שיפוע הפונקציה?‬
‫ולאו דוקא במרווחים של ‪.1‬‬
‫(‪ )3‬ב בלה (‪ )3‬הערכים של ‪ x‬משתנים במרווחים של ‪( 2‬ולא במרווחים של ‪.)1‬‬
‫האם קצב ההשתנות פי שמופיע ב בלה‪ ,‬הוא שיפוע הפונקציה?‬
‫(ג) חישוב השיפוע כמנה בין השינוי בערכים של ‪ y‬לשינוי בערכים של ‪.x‬‬
‫כיצד נחשב את השיפוע כאשר ‪ x‬גדל במרווחים של ‪? 2‬‬
‫הקנייה‪ :‬ספרים סגורים‪ .‬אומרים וכותבים על הלוח‪ :‬נלמד לחשב את השיפוע של פונקציה קווית ללא צורך בטבלת‬
‫ב בלה (‪ :)3‬הערכים של ‪ x‬גדלים ב‪ 2 -‬יחידות‪.‬‬
‫ערכים‪.‬‬
‫הערכים של ‪ y‬גדלים ב‪ 8 -‬יחידות‪.‬‬
‫שונות‪.‬‬
‫קוויות‬
‫פונקציות‬
‫שלוש‬
‫מציגות‬
‫אלו‬
‫טבלאות‬
‫כי‬
‫לציין‬
‫הלוח‪,‬‬
‫על‬
‫הטבלאות‬
‫שלוש‬
‫את‬
‫הציג‬
‫ל‬
‫מומלץ‬
‫(א)‬
‫השינוי בערכים של ‪ y‬גדול פי ‪ 4‬מהשינוי בערכים של ‪.x‬‬
‫לפתור יחד את את סעיף (‪ .)1‬נזכרים שהשיפוע שווה לקצב ההשתנות של הפונקציה כאשר ‪ x‬משתנה‬
‫השינוי בערכים של‬
‫‪8‬‬
‫לכן שיפוע הפונקציה המתוארת בטבלה (‪ )3‬הוא‪. 4 :‬‬
‫‪4‬‬
‫השינוי בערכים של‬
‫‪2‬‬
‫במרווחים של ‪ x‬אחד‪ .‬כעת מבקשים מהתלמידים להשלים את טבלאות (‪ )2‬ו‪ ,)3( -‬ולענות על סעיף (‪.)2‬‬
‫דוגמה ‪3‬‬
‫עבודה בזוגות‪ .‬בודקים במליאה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫ב‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב) ספרים סגורים‪ .‬נשווה את מרווחי ה‪ x -‬של טבלאות (‪ )2( , )1‬עם (‪ .)3‬שואלים‪ :‬האם גם כאשר ‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪7‬‬
‫‪+3‬‬
‫‪+4‬‬
‫‪+2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪11‬‬
‫משתנה במרווחים קבועים של ‪ ,2‬קצב ההשתנות שווה במספר לשיפוע הפונקציה? נשמע את דעתם‪.‬‬
‫‪+2‬‬
‫‪+3‬‬
‫‪+4‬‬
‫‪12‬‬
‫‪5‬‬
‫‪15‬‬
‫נאמר‪ :‬נוסיף שורות לטבלת הערכים כך שהערכים של ‪ x‬יגדלו במרווחים של יחידה אחת‪.‬‬
‫‪+2‬‬
‫‪+3‬‬
‫‪+4‬‬
‫‪15‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1‬‬
‫מוחקים את טבלאות (‪ )1‬ו‪( )2( -‬כדי שלא יסיחו דעת התלמידים מטבלה (‪ ))3‬ומסרטטים טבלה חדשה‬
‫שיפוע הפונקציה‬
‫שיפוע הפונקציה‬
‫(‪3‬ב בספר) ליד המקורית (‪ .)3‬המרווחים בין ערכי ה‪ x -‬הם של יחידה אחת‪ .‬שואלים‪ :‬איך נדע מהם ערכי‬
‫ה‪ y -‬המתאימים? נחשוב כך‪ :‬אם במרווחים של ‪ 2‬בין ערכי ‪ ,x‬קצב ההשתנות של ‪ y‬הוא ‪ ,8‬אז כאשר‬
‫המרווחים בין ערכי ‪ x‬הם ‪ ,1‬קצב ההשתנות הוא? (‪ .)4‬חילקנו את קצב ההשתנות ב‪ .2 -‬מדגימים בטבלה‪.‬‬
‫משלימים את טבלה (‪)3‬ב‪ .‬מהו השיפוע? (‪ .)4‬איך יכולנו לחשב את השיפוע ישירות מהטבלה המקורית‪ ,‬טבלה ‪( ?3‬יכולנו לחלק את קצב ההשתנות ב‪ )2 -‬מדוע?‬
‫‪141‬‬
‫‪26‬‬
‫‪7‬‬
‫‪34‬‬
‫‪9‬‬
‫‪+2‬‬
‫‪+2‬‬
‫‪+2‬‬
‫‪+2‬‬
‫(‪ )1‬ב בלה (‪ )1‬הערכים של ‪ x‬גדלים במרווחים של ‪.1‬‬
‫הערכים המתאימים של ‪ y‬גדלים במרווחים של ‪,2‬‬
‫‪ y‬בטבלה (‪)3‬‬
‫‪ x‬בטבלה (‪)3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪+3‬‬
‫‪+3‬‬
‫‪7‬‬
‫‪11‬‬
‫‪+3‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫(כי הערכים של ‪ x‬השתנו במרווחים של ‪ ,2‬והשיפוע הוא השינוי בערכים של ‪ y‬כאשר הערכים‬
‫של ‪ x‬משתנים במרווחים של ‪).1‬‬
‫המללה על‪-‬ידי התלמידים היא חשובה ביותר לארגון החשיבה והבנה והמללה של המושג‪.‬‬
‫מסכמים‪ ,‬רושמים על הלוח וגם התלמידים רושמים על הלוח‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪123‬‬
‫‪y‬‬
‫השיפוע בייצוג הגרפי‬
‫‪11‬‬
‫כיצד מחשבים את השיפוע של גרף הפונקציה?‬
‫‪10‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬
‫נדגים זאת בגרף של הפונקציה שבטבלה (‪.)3‬‬
‫‪7‬‬
‫השינוי בערכים של ‪ y‬בטבלה (‪)3‬‬
‫השינוי בערכים של ‪ x‬בטבלה (‪)3‬‬
‫השיפוע בייצוג הגרפי‬
‫קווית‪.‬‬
‫פונקציה‬
‫של‬
‫השיפוע‬
‫חישוב‬
‫של‬
‫הכללית‬
‫לנוסחה‬
‫נגיע‬
‫הגרפי‬
‫באמצעות הייצוג‬
‫‪y  y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪m ‬‬
‫שיפוע הישר העובר דרך שתי נקודות‪ (x1 , y1) :‬ו‪.(x2 , y2) -‬‬
‫‪x2  x1‬‬
‫הקנייה‪ :‬ספרים סגורים‪ .‬אומרים וכותבים על הלוח‪ :‬נלמד לחשב את השיפוע של פונקציה‬
‫קווית‪ .‬השיעורים של שתי נקודות הנמצאות על גרף הפונקציה‪ .‬ניעזר במדרגות כפי שעשינו בעבר‪.‬‬
‫טבלאות (‪ )3‬ו‪)3( -‬ב עדיין על הלוח‪ .‬שלבי הלימוד‪:‬‬
‫(‪ )1‬על מנת לרכז את תשומת לב התלמידים‪ ,‬מומלץ שהתלמידים יהיו פעילים‪ .‬לכן מומלץ לחלק להם‬
‫דף ובו מסורטטות שלוש מערכות צירים‪ .‬מבקשים מהתלמידים להיעזר בטבלה ‪ 3‬שעל הלוח‪ ,‬ולסרטט‬
‫את גרף הפונקציה המוצגת בטבלה – כמשמאל‪ .‬נזכרים שניתן לבחור כל שתי נקודות מהטבלה‪,‬‬
‫וכי בדרך כלל‪ ,‬ליתר ביטחון‪ ,‬בוחרים נקודה שלישית‪ :‬אם כל שלוש הנקודות מונחות על ישר‬
‫אחד‪ ,‬יש להניח שסרטטנו את הישר‪/‬הגרף הנכון‪.‬‬
‫כל אחד יסמן את שלוש הנקודות "הראשונות" בטבלה‪( .‬אם יש בעיה של מקום‬
‫במערכת הצירים נסתפק כעת בסימון שתי נקודות)‪ .‬מקבלים את הישר כמשמאל‪.‬‬
‫(‪ )2‬מסרטטים את המדרגה בין הנקודות (‪ )1 , 2‬ו‪ )3 , 11( -‬כבסרטוט משמאל‪.‬‬
‫מהו רוחב המדרגה? (‪ – 2‬המרווח בין ערכי ה‪ x -‬בטבלה‪ .‬ההפרש בין ‪ 3‬ל‪).1 -‬‬
‫נשים לב כי ‪ 3‬ו‪ 1 -‬הם גם שיעורי ה‪ x -‬של הנקודות שב"קצה" המדרגה‪.‬‬
‫הצגנו את הערכים שבטבלה כגרף‪.‬‬
‫מה שיפוע הפונקציה?‬
‫מהו גובה המדרגה? (‪ – 8‬המרווח בין ערכי ה‪ y -‬בטבלה‪ .‬ההפרש בין ‪ 11‬ל‪).2 -‬‬
‫נשים לב כי ‪ 11‬ו‪ 2 -‬הם גם שיעורי ה‪ y -‬של נקודות ה"קצה" של המדרגה‪.‬‬
‫נזכרים כי למדנו כי שיפוע הפונקציה שווה לגובה מדרגה שרוחבה יחידה אחת‪ .‬איך נוכל לעבור מהמדרגה‬
‫ברוחב של ‪ 2‬יחידות‪ ,‬למדרגה ברוחב של יחידה אחת כפי שעישנו במעבר מטבלה טבלה (‪ )3‬לטבלה (‪)3‬ב‪.‬‬
‫נסמן גם את הנקודה )‪ .(2 , 6‬נסרטט את המדרגות בין הנקודות שסימנו‪.‬‬
‫קיבלנו שתי מדרגות זהות שרוחבן יחידה אחת‪ .‬גובה המדרגה הוא השיפוע של הפונקציה – ‪.4‬‬
‫שיפוע הפונקציה שווה למנה של גובה המדרגה המקורית (‪ )8‬ברוחב המדרגה המקורית (‪.)2‬‬
‫(הגובה הוקטן פי ‪ 2‬כי המרווחים בין ה‪ -x -‬ים המקוריים‪ ,‬הוקטנו פי ‪ .2‬חילקנו לשני מרווחים של ‪.1‬‬
‫‪142‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪–4 –3 –2 –1-1 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫למציאת השיפוע נבנה מדרגה בין שתי נקודות‪:‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬הנקודות )‪(1 , 2) , (3 , 10‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f(x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪11‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪(3,10‬‬
‫‪11‬‬
‫‪‬‬
‫‪10‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬
‫‪7‬‬
‫רוחב המדרגה שווה להפרש בין שיעורי ה‪ x -‬של שתי הנקודות‪:‬‬
‫רוחב המדרגה הוא ‪ 2‬יחידות‪(3 – 1) .‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪8‬‬
‫גובה המדרגה שווה להפרש בין שיעורי ה‪ y -‬של שתי הנקודות‪:‬‬
‫גובה המדרגה הוא ‪ 8‬יחידות‪(10 – 2) .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫השיפוע‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪(1,2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪–4 –3 –2 –1‬‬
‫גובה המדרגה‬
‫‪ 8  4‬‬
‫רוחב המדרגה‬
‫‪2‬‬
‫גובה המדרגה‬
‫רוחב המדרגה‬
‫היחס בין גובה המדרגה לרוחב המדרגה‪.‬‬
‫‪ ‬ה שיפוע‬
‫ההפרש בער ים של ‪y‬‬
‫ההפרש בער ים של ‪x‬‬
‫‪m ‬‬
‫‪y‬‬
‫דוגמה‬
‫‪11‬‬
‫גובה המדרגה‬
‫רוחב המדרגה‬
‫‪10‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬ה שיפוע‬
‫‪7‬‬
‫‪4‬‬
‫‪  4  2‬ה שיפוע‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫השיפוע הוא ‪.2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪–4 –3 –2 –1-1 0‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫שיפוע ישר העובר דרך שתי נקודות )‪ (x1 , y1‬ו‪.(x2 , y2) -‬‬
‫גובה המדרגה‬
‫רוחב המדרגה‬
‫‪‬ה שיפוע‬
‫דוגמה ‪ :1‬יישום‬
‫ההפרש בער ים של ‪y‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫ההפרש בער ים של ‪x‬‬
‫‪m‬‬
‫ובכתיב מתמטי‪:‬‬
‫‪y 2  y1‬‬
‫‪x 2  x1‬‬
‫‪121‬‬
‫‪y‬‬
‫דוגמה ‪4‬‬
‫‪,m ‬‬
‫נשמור על ה דר!‬
‫)‪(3 , 7‬‬
‫מצאו את השיפוע של הישר העובר בנקודות )‪.(5 , 1) ; (3 , 7‬‬
‫‪y y‬‬
‫‪ : m  2 1‬נוסחת שיפוע הישר העובר דרך שתי נקודות‪ (x1 , y1) :‬ו‪.(x2 , y2) -‬‬
‫‪x 2  x1‬‬
‫בדוגמה זאת מראים כי לא משנה איזו נקודה בוחרים כ‪ ,(x1 , y1) -‬ואיזו נקודה בוחרים כ‪ ,(x2 , y2) -‬אך‬
‫לאחר הבחירה יש להקפיד לשמור על סדר זה בהצבה בנוסחת השיפוע‪ .‬חשוב להדגיש זאת בהקנייה‪,‬‬
‫הקנייה‪ :‬ספרים סגורים‪ .‬אומרים וכתובים על הלוח‪ .‬נלמד להשתמש בנוסחת השיפוע‬
‫‪y 2  y1‬‬
‫‪x 2  x1‬‬
‫‪m‬‬
‫מסרטטים על הלוח את הישר ואת שתי הנקודות המסומנות עליו‪ ,‬כבסרטוט בדוגמה משמאל‪.‬‬
‫מחליטים יחד עם התלמידים איזו נקודה בוחרים כ‪ ,(x1 , y1( -‬ואיזו )‪.(x2 , y2‬‬
‫על מנת לעזור לתלמידים להשתמש נכון בנוסחה‪ ,‬כאשר אחד הקשיים העיקריים הוא שמירת הסדר‪,‬‬
‫מומלץ להנחות את התלמידים לרשום )‪ (x1 , y1‬ו‪ (x2 , y2) -‬מעל הנקודות הסדורים‪ ,‬על פי בחירתם‪.‬‬
‫)‪(x2 , y2‬‬
‫למשל‪ ,‬אם בחרו ב‪ )3 , 7( -‬כנקודה הראשונה‪ ,‬ואת )‪ (5 , 1‬כשנייה ירשמו )‪(x1 , y1‬‬
‫)‪ (3 , 7‬ו‪(5 , 1) -‬‬
‫כעת מנחים אותם (א)‬
‫לרשום את הנוסחה‬
‫(ב) להציב בנוסחה ולחשב‪:‬‬
‫‪y 2  y1‬‬
‫‪x 2  x1‬‬
‫‪ 6‬‬
‫‪1 7‬‬
‫‪53‬‬
‫)‪(5 , 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1 7‬‬
‫‪5  3‬‬
‫‪m ‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m ‬‬
‫נציב בנוסחה לחישוב שיפוע הישר‪:‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫‪1 2 3 4 5 6 7‬‬
‫‪-2‬‬
‫במ נה‪ :‬ההפרש בערכים‬
‫של ‪ y‬באותו דר שבמונה‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫‪..21‬‬
‫‪y‬‬
‫מצאו את השיפוע של הישר העובר בנקודות‬
‫‪(5 , 7)‬‬
‫)‪(2 , 1) ; (5 , 7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪ (2 , 1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪..23‬‬
‫‪m‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f(x‬‬
‫חשבו את השיפוע של הישר באמצעות שתי הנקודות‬
‫‪6‬‬
‫המודגשות באדום‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫מה אתם מצפים לקבל‪:‬‬
‫שיפוע חיובי או שיפוע שלילי?‬
‫הסבירו‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪–4 –3 –2 –1 0‬‬
‫‪–1‬‬
‫‪–2‬‬
‫‪–3‬‬
‫‪–4‬‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬
‫‪..1‬‬
‫במערכת הצירים שלפניכם מסורטט ישר‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫חשבו את השיפוע של הישר‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫(על הישר מסומנות ‪ 4‬נקודות‪ .‬בחרו שתיים מהן‪).‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪ -2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪143‬‬
‫‪-1 0‬‬
‫במונה‪ :‬ההפרש בערכים של ‪y‬‬
‫כאשר בחרנו להתחיל בנקודה (‪)1 , 1‬‬
‫‪x‬‬
‫שגיאות אופיינות‪ :‬אי הקפדה על סדר אחיד בחישוב המונה והמכנה כפי שצוין קודם לכן‪.‬‬
‫החלפת המונה במכנה‪ :‬במונה ההפרש בערכי ‪ x‬ובמכנה ההפרש בערכים של ‪.y‬‬
‫חשוב שהתלמידים יהיו מודעים לנקודות קושי‪ ,‬על מנת להימנע מהן‪.‬‬
‫כעת נבקש מהתלמידים לבחור את (‪ )5 , 1‬כנקודה הראשונה‪ ,‬ואת (‪ )3 , 7‬כשנייה‪ .‬לסמן עליהן )‪(x1 , y1‬‬
‫ו‪ (x2 , y2) -‬בהתאמה‪ ,‬ולפתור בדיוק באותו תהליך כמו קודם‪.‬‬
‫בבדיקה יש להפנות את תשומת ליבם )א) שהתקבל אותו מספר )ב) יש רק שיפוע אחד לכל ישר‪.‬‬
‫)ג) חשוב לבדוק את הסימן (חיובי‪/‬שלילי) של השיפוע מול הסרטוט (אם ישנו)‪ .‬למשל‪ ,‬בישר שלפנינו‪ ,‬האם‬
‫הוא עולה‪/‬יורד? (יורד)‪ .‬לכן השיפוע חייב להיות מספר חיובי‪/‬שלילי? (שלילי)‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪121 – 121 :‬‬
‫באילו נקודות דאי לבחור די לחשב את השיפוע?‬
‫תרגילים‬
‫‪ .2‬יישום ישיר של הנלמד‪.‬‬
‫פעילות ‪2‬‬
‫(א) לפניכם גרף של פונקציה קווית‪.‬‬
‫‪ .3‬חישוב שיפוע של ישר כאשר יש לכתוב את השיעורים לנקודות המסומנות‪.‬‬
‫החישוב של נדב‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪m‬‬
‫)‪0 ( 1‬‬
‫‪1 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫(‪ )2‬יונתן בחר בשתי הנקודות אחרות‪ ,‬הצבועות בכחול‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪(–1 , –2)  -2‬‬
‫‪-3‬‬
‫(‪ )3‬יונתן בחר בשתי נקודות שהשיעורים שלהן הם מספרים שלמים‪.‬‬
‫דני בחר בשתי נקודות שלאחת מהן שיעור שאינו מספר שלם‪.‬‬
‫באילו נקודות הייתם בוחרים?‬
‫‪y‬‬
‫‪7‬‬
‫(ב) במערכת הצירים שלפניכם נתון גרף של פונקציה קווית‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫בחרו שתי נקודות וחשבו את שיפוע הישר‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪m‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m  1  1  2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪..11‬‬
‫בחרו שתי נקודות על גרף הפונקציה וחשבו בעזרתן את השיפוע‪.‬‬
‫השיפוע הוא ‪.2‬‬
‫בדיון במליאה יש לשמוע את העדפותיהם והשיקולים לכך‪ .‬חשוב להוביל את הדיון לניתוח בשתי הבחירות‪:‬‬
‫נדב בחר בשתי נקודות שלשתיהן שיעורים שהם מספרים שלמים‪.‬‬
‫עמית בחר בשתי נקודות שבאחת מהן שיעור שאינו מספר שלם‪ .‬בחירה בנקודות ששיעוריהן אינם מספרים‬
‫שלמים יכולה להיות בעייתית בגלל חוסר דיוק של הסרטוט‪.‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫לאחר הדיון לעיל התלמידים יפתרו את סעיף (ב) של הפעילות‪ .‬חשוב שהתלמידים ישוו את סימן השיפוע‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫בכל אחת משלוש מערכות הצירים שלפניכם מסורטט גרף של פונקציה קווית‪.‬‬
‫)‪(1‬‬
‫בדרך כלל נעדיף לחשב שיפוע כאשר הבחירה היא בשיעורים שהם מספרים שלמים‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫תרגילים‬
‫‪2‬‬
‫‪144‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-2 -1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪(– , –1) ‬‬
‫חשבו את השיפוע לפי הבחירה של יונתן‪.‬‬
‫(‪ )2‬שיש נקודות שהן נוחות ואף "בטוחות" יותר‬
‫לחישוב‪.‬‬
‫הקנייה‪ :‬ספרים סגורים‪ .‬אומרים וכותבים על הלוח‪ :‬נבדוק האם ישנן נקודות "נוחות" לחישוב שיפוע?‬
‫מסרטטים את גרף הפונקציה‪ ,‬כפי שמופיע משמאל – כולל הצבעים‪ .‬מספרים ששני תלמידים בחרו בנקודות‬
‫שונות כדי לחשב את שיפוע הישר‪ .‬לאחר ההסבר של מטרת הפעילות‪ ,‬לתלמידים תחושת התמצאות בעניין‪:‬‬
‫עליהם להתמודד בזוגות ללא סיוע של המורה בסעיף (א)‪ ,‬שאלות (‪.)3( – )1‬‬
‫מומלץ להזכיר את החשיבות של רישום )‪ (x1 , y1‬ו‪ (x2 , y2) -‬מעל הזוגות הסדורים למשל‪,‬‬
‫)‪ (1 , 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫פעילות ‪ :2‬מטרות הפעילות הן להעלות במפורש שניתן (‪ )1‬לבחור נקודות שונות לחישוב אותו שיפוע‬
‫) ‪3 ( 3‬‬
‫)‪2 ( 1‬‬
‫)‪ (2 , 4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫דני בחר בנקודות הצבועות באדום‪.‬‬
‫(‪)1‬‬
‫חשבו את השיפוע לפי הבחירה של דני‪.‬‬
‫מומלץ להציג פתרונות של תלמידים שבחרו בנקודות שונות ולראות שהשיפוע אינו תלוי בבחירה של‬
‫הנקודות‪ .‬בכל בחירה שהיא מתקבל אותו שיפוע‪.‬‬
‫באילו נקודות דאי לבחור די לחשב את השיפוע?‬
‫‪m‬‬
‫‪5‬‬
‫כדי לחשב את השיפוע של גרף הפונקציה יש לבחור שתי נקודות‪.‬‬
‫‪ .1‬חישוב שיפוע של ישר כאשר יש לבחור שתי נקודות מתוך ארבע מסומונות‪ .‬המשך הפתרון זהה לקודמו‪.‬‬
‫החישוב של עמית‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪126 :‬‬
‫לגרף‪ :‬הישר יורד‪ ,‬לכן השיפוע צריך להיות מספר שלילי‪.‬‬
‫‪ .1‬יישום ישיר של נלמד בפעילות ‪.2‬‬
‫‪.16‬‬
‫‪y‬‬
‫במערכת הצירים מסורטט גרף של פונקציה קווית‪.‬‬
‫מה שיפוע הגרף?‬
‫‪12‬‬
‫בחרו שתי נקודות על גרף הפונקציה וחשבו בעזרתן את השיפוע‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫‪8‬‬
‫‪.6‬‬
‫שימו לב לקנה המידה‬
‫שעל הצירים‪.‬‬
‫האייקון‪ :‬מצביע על כך שיש צורך בהתערבות של מורה‪ .‬מומלץ לעשות זאת על ידי שאלות מנחות‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫שאלות מעוררות את הסקרנות‪ .‬התמודדות עם מטלות עוזרת לידע הנרכש להיזכר טוב יותר מאשר‬
‫‪2‬‬
‫ידע שרק נמסר‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-2 0‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-6‬‬
‫במקרה זה‪ ,‬יש לשאול שאלות המפנות את תשומת ליבם של התלמידים שקנה המידה שונה מאלו של‬
‫הגרפים הקודמים‪ .‬הפעם כל משבצת מייצגת שתי יחידות‪ ,‬ושיעורי הנקודות בהתאם‪.‬‬
‫חשוב לעודד את התלמידים להתייחס לדפי התובנות‪.‬‬
‫לאחר שאלות מעוררות אלו התלמידים יפתרו שאלה‬
‫עצמאית (בזוגות)‪ .‬הבדיקה במליאה‪.‬‬
‫‪..72‬‬
‫בכל אחת משלוש מערכות הצירים מסורטט גרף של פונקציה קווית‪.‬‬
‫בכל גרף‪ ,‬בחרו שתי נקודות וחשבו בעזרתן את שיפוע הישר‪.‬‬
‫‪ .7‬תרגיל דומה לקודם‪.‬‬
‫)‪(1‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪5‬‬
‫אך ייתכן שהניתוק מהגרף יהווה קושי לחלק מהתלמידים‪ .‬אם זה המצב‪ ,‬ניתן לשאול שאלות המפנות‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫את תשומת ליבם לכך שבחישוב השיפוע דילגו על השלב של בחירת הנקודות‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪15‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪5‬‬
‫‪15‬‬
‫‪6‬‬
‫‪11‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪–10 –5 0‬‬
‫‪–15‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-10‬‬
‫‪-15‬‬
‫‪–6‬‬
‫חשבו את השיפוע של כל פונקציה‪.‬‬
‫ההפרש בער ים של ‪y‬‬
‫ההפרש בער ים של ‪x‬‬
‫)‪(–2 , –8) (–12 , 2‬‬
‫(‪)4‬‬
‫)‪(2 , 11‬‬
‫)‪(–1 , 2‬‬
‫(‪)1‬‬
‫)‪(1 , –5‬‬
‫(‪)5‬‬
‫)‪(20 , 9‬‬
‫)‪(10 , 4‬‬
‫(‪)2‬‬
‫)‪(1 , 8‬‬
‫(‪)6‬‬
‫)‪(2 , 12‬‬
‫)‪(5 , –3‬‬
‫(‪)3‬‬
‫)‪(–2 , –7‬‬
‫)‪(2 , 8‬‬
‫‪-2 0‬‬
‫‪–2‬‬
‫‪–4‬‬
‫‪ ..83‬בכל סעיף‪ ,‬נתונות שתי נקודות הנמצאות על גרף הפונקציה הקווית‪.‬‬
‫‪145‬‬
‫‪x‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪y‬‬
‫‪8‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ .8‬לכאורה השאלה פשוטה יותר מהקודמות כי שתי הנקודות לחישוב השיפוע כבר "נבחרו" עבורם‪.‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪m‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-6‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪127‬‬
‫הייצוג האלגברי של הפונקציה הקווית על‪-‬פי שתי נקודות‬
‫הייצוג האלגברי של הפונקציה הקווית על‪-‬פי שתי נקודות‬
‫דוגמה ‪5‬‬
‫בחלק זה לומדים למצוא את הייצוג האלגברי של הפונקציה הקווית ‪ y = mx + b‬על פי שתי נקודות נתונות‪.‬‬
‫התלמידים למדו איך לחשב את ‪ m‬על פי שתי נקודות‪ .‬נ שאר ללמוד לחשב את ‪.b‬‬
‫דוגמה ‪:1‬‬
‫הקנייה‪ :‬אומרים ורושמים על הלוח‪" :‬נלמד למצוא את הייצוג האלגברי של הפונקציה ‪y = mx + b‬‬
‫במרכז הלוח‪ ,‬מתחתיה נבצע את ההצבות‪ .‬ספרים סגורים‪.‬‬
‫(א) חישוב ‪ .m‬אנו כבר יודעים לחשב על פי שתי נקודות‪ :‬פותרים כפי שלמדו‪:‬‬
‫מה הייצוג האלגברי של פונקציה קווית‪ ,‬שהגרף שלה עובר דרך הנקודות )‪ (3 , 7‬ו‪?(8 , 32) -‬‬
‫הייצוג האלגברי של פונקציה קווית הוא‪:‬‬
‫‪.y = mx + b‬‬
‫לכתיבת הפונקציה יש לדעת את הערכים של ‪ m‬ושל ‪.b‬‬
‫(א) חישוב ‪m‬‬
‫‪m  32  7  25  5‬‬
‫‪83‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ m‬הוא שיפוע הישר‪:‬‬
‫‪m=5‬‬
‫(ב) חישוב ‪b‬‬
‫‪5‬‬
‫‪25‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫‪32  7‬‬
‫‪83‬‬
‫‪m‬‬
‫נציב את ‪ m=5‬ב‪ .y=mx+b -‬נקבל ‪.y=5x+b‬‬
‫(ב) חישוב ‪ .b‬נשאר לנו ללמוד לחשב את ‪ .b‬נלמד שאנו זקוקים רק לנקודה אחת לחשב את ‪.b‬‬
‫נבחר אחת מהנקודות הנתונות‪ ,‬למשל (‪ .)7 , 3‬איך נוכל להיעזר בנקודה זו כדי לחשב את ‪? b‬‬
‫נציב את שיעורי הנקודה (‪ )7 , 3‬בייצוג האלגברי של הפונקציה‪ .‬אנו יודעים כי כאשר מציבים ‪3‬‬
‫במקום ‪ ,x‬מקבלים ‪ 7‬במקום ‪ .y‬יישאר רק נעלם אחד – ‪ .b‬ונוכל לחשב אותו‪.‬‬
‫‪y = 5x + b‬‬
‫נציב‪ :‬ב‪-‬‬
‫הה‬
‫‪7=5∙3+b‬‬
‫‪7 = 15 + b‬‬
‫נפתור את המשוואה‪:‬‬
‫‪b = –8‬‬
‫(ג) נציב את ‪ b=–8‬ונכתוב את הייצוג האלגברי של הפונקציה ‪.y = 5x – 8‬‬
‫מומלץ לסכם ולבקש שהתלמידים יעתיקו‪ :‬אם נתונות שתי נקודות על ישר‪ ,‬מוצאים את הייצוג האלגברי של‬
‫הפונקציה ‪ y=mx+b‬בשלושה שלבים‪:‬‬
‫(‪ )1‬מחשבים את השיפוע ‪ )2( m‬מחשבים את ‪ )3( .b‬כותבים את הייצוג האלגברי של הפונקציה‪.‬‬
‫תרגילים ‪ , 11 , 9‬ו‪ 11 -‬הם יישום ישיר של הנלמד בדוגמה ‪ .5‬את תרגילים – ‪ 11‬ניתן לפתור בכיתה‬
‫ואת תרגיל ‪ 11‬לתת לשיעורי בית‪ .‬בתרגיל ‪ 11‬עיפים (ד) ‪( ,‬ו) השיפוע הוא ‪.1‬‬
‫פונקציה קבועה מהסוג ‪ .y = b‬מומלץ להזכיר לתלמידים להיעזר בשלושת השלבים למציאת הייצוג האלגברי של‬
‫הפונקציה כפי שנלמד בסיכום‪.‬‬
‫‪146‬‬
‫הייצוג האלגברי של הפונקציה הקווית הוא ‪.y = mx + b‬‬
‫נבחר את אחת מהנקודות הנתונות‪ ,‬למשל )‪.(3 , 7‬‬
‫ידועים לנו הערכים של ‪x , m‬‬
‫‪.y = 7 , x = 3 , m = 5‬‬
‫ו‪:y -‬‬
‫נחשב את ‪.b‬‬
‫נציב בביטוי‪:‬‬
‫‪y = mx + b‬‬
‫‪7 = 5∙3+b‬‬
‫נפתור את המשוואה‪:‬‬
‫‪7 = 15 + b‬‬
‫‪b = –8‬‬
‫‪.y = 5x – 8‬‬
‫(ג) הייצוג האלגברי של הפונקציה הוא‪:‬‬
‫תרגילים‬
‫‪.9.1‬‬
‫מצאו את הפונקציה שהגרף שלה עובר דרך הנקודות )‪.(7 , 11) ; (13 , 23‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.11‬‬
‫מצאו את הפונקציה שהגרף שלה עובר דרך הנקודות )‪.(–5 , 1) ; (0 , 31‬‬
‫‪11‬‬
‫‪.3‬‬
‫בכל סעיף מצאו את הפונקציה שהגרף שלה עובר דרך שתי הנקודות הנתונות‪.‬‬
‫(א) חשבו את ‪.m‬‬
‫(ב) חשבו את ‪.b‬‬
‫(ג) כתבו את הפונקציה‪.‬‬
‫)‪(3 , 0‬‬
‫)‪(5 , 10‬‬
‫(‪)5‬‬
‫)‪(0 , 0‬‬
‫)‪(4 , –8‬‬
‫(‪)1‬‬
‫)‪(–1 , 2‬‬
‫)‪(2 , 2‬‬
‫(‪)6‬‬
‫)‪(7 , 8‬‬
‫)‪(–1 , –8‬‬
‫(‪)2‬‬
‫)‪(–3 , –4‬‬
‫)‪(–2 , 7‬‬
‫(‪)7‬‬
‫)‪(4 , 3‬‬
‫)‪(2 , 10‬‬
‫(‪)3‬‬
‫)‪(–5 , 3‬‬
‫)‪(–7 , –13‬‬
‫(‪)8‬‬
‫)‪(0 , 8‬‬
‫)‪(2 , 8‬‬
‫(‪)4‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪ .12‬לכאורה השאלה פשוטה יותר מהשאלות הקודמות כי השיפוע נתון‪ ,‬ואין צורך לחשב אותו‪.‬‬
‫אך התחלה באמצע תהליך לעיתים מקשה על תהליך החישוב‪ .‬אם זה המצב‪ ,‬ניתן לשאול שאלות‬
‫המפנות את תשומת ליבם לכך שדילגו על השלב של מציאת השיפוע‪ ,‬ולכן יש צורך רק בנתון של‬
‫נקודה אחת – ולא בשתי נקודות כמקודם‪.‬‬
‫בבדיקת הפתרונות חשוב להפנות תשומת לב התלמידים לכך שבסעיפים (א) ‪( ,‬ב) נתונים השיפוע‬
‫ונקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה‪ ,y -‬כך שניתן לכתוב את הייצוג האלגברי של הפונקציה מיידית‬
‫באמצעות הנתונים‪ .‬יש להניח שאחרי שפתרו את תרגיל ‪ 11‬יפתרו גם סעיפים אלו בדרך שנלמדה‪:‬‬
‫חישוב השיפוע ולאחר מכן הצבה לחישוב ‪.b‬‬
‫דיון בדרכי הפתרון של סעיפים אלו מדגיש את החשיבות של נתבונן ונחשוב תחילה לפני הביצוע‬
‫הטכני של התרגיל‪ :‬שלבים מוקדמים אלו חוסכים עבודה מיותרת בהמשך‪.‬‬
‫‪ .13‬מהווה הזדמנות ללימוד ספיראלי של הפונקציה הקבועה ולחיזוק דימוי ויזואלי של פונקציות אלה‪.‬‬
‫מומלץ לאפשר לתלמידים לפתור תרגיל זה על פי הדרך הנוחה להם‪ .‬יש להניח שרובם ככולם יפתרו‬
‫בדרך שנלמדה‪ .‬בבדיקה במליאה מומלץ לשאול‪ :‬האם מישהו רואה משהו מיוחד בפונקציות‬
‫המתארות את ‪ AB‬ו‪ ? CD -‬נזכרים כי אלה פונקציות קבועות מהצורה ‪ f(x)=b‬או ‪.y=b‬‬
‫מחזקים את התובנה הויזואלית כי ‪ b‬הוא מקום החיתוך של הפונקציה‪/‬הצלע על ציר ה‪.y -‬‬
‫כהכנה לתרגיל ‪ ,14‬מומלץ לשאול ‪ :‬האם אתם רואים קשר בין משוואות הפונקציה של ‪ AD‬ושל ‪?BC‬‬
‫(השיפועים שווים)‪ .‬מדוע? (הן צלעות מקבילות)‪ .‬ואם מצאתם את הייצוג האלגברי של הפונקציה‬
‫של אחת מהצלעות‪ ,‬למשל ‪ ,AD‬האם יכולתם להיעזר בזה כדי לקצר את דרך החישוב של הייצוג‬
‫האלגברי של הפונקציה של ‪( ?BC‬ל‪ BC -‬אותו שיפוע ולכן אפשר להציב את השיפוע של ‪AD‬‬
‫בייצוג האלגברי של הפונקציה‪ ,‬כפי שחישבנו בשאלה ‪.)11‬‬
‫‪ .11‬תרגיל לביצוע במליאת הכיתה‪( .‬א) אם יש קושי בסרטוט המקבילית‪ ,‬מומלץ להציע להם להיעזר‬
‫בציור המקבילית בשאלה ‪ .13‬מומלץ לבדוק את תכונותיה של הצלע ‪ :AB‬היא מקבילה לציר ה‪,x -‬‬
‫(או לצלע ‪ ,)DC‬ושווה באורכה ל‪ .DC -‬לכן אורכה ‪ 4‬משבצות‪ .‬דרך נוספת בקביעת הקדקוד ‪B‬‬
‫היא על‪-‬ידי ניסוי וטעייה כאשר בודקים את נכונות השיפוע של צלע ‪ BC‬באמצעות השוואת המדרגות‬
‫של שתי הצלעות המקבילות‪ :‬השיפוע של ‪ AD‬נתון‪ ,‬והשיפוע של ‪ BC‬חייב להיות שווה לשיפוע‬
‫של צלע ‪.AD‬‬
‫(ב) לאחר סרטוט המקבילית‪ ,‬התלמיד יכול לקרוא את שיעורי הנקודה ‪ B‬מתוך הסרטוט‪.‬‬
‫(ג) חישוב המשוואה של הצלע ‪ BC‬יכול להיעשות בעזרת שתי נקודות הקצה או לחילופין באמצעות‬
‫השיפוע של ‪ AD‬ואחת מנקודות הקצה‪.‬‬
‫‪147‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.12‬‬
‫‪128‬‬
‫מצאו את הייצוגים האלגבריים של הפונקציות הבאות‪.‬‬
‫(א) שיפוע הישר הוא ‪ –5‬והוא חותך את ציר ה‪ y -‬בנקודה )‪.(0 , 3‬‬
‫(ב) שיפוע הישר הוא ‪7‬‬
‫והוא עובר דרך הנקודה )‪.(0 , 10‬‬
‫(ג) הישר עובר דרך שתי הנקודות )‪.(2 , 7) ; (5 , 16‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f(x‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.13‬‬
‫במערכת הצירים שלפניכם נתונה מקבילית ‪.ABCD‬‬
‫‪4‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫מצאו את הפונקציה המתארת כל אחת מצלעות המקבילית‪.‬‬
‫)‪A(1 , 3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪B(5 , 3‬‬
‫האם ניתן לדעת את הפונקציות‬
‫המתארות את הצלעות ‪ AB‬ו‪CD -‬‬
‫ללא חישוב?‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪C(0 , –2‬‬
‫‪C‬‬
‫)‪D(–4 , –2‬‬
‫‪–4 –3 –2 –1 0‬‬
‫‪–1‬‬
‫‪–2‬‬
‫‪D‬‬
‫‪–3‬‬
‫‪–4‬‬
‫‪y‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.11‬‬
‫במערכת הצירים נתונות ‪ 3‬נקודות ‪C , A‬‬
‫ו‪.D -‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫(א) הוסיפו נקודה ‪ ,B‬כך שהמרובע ‪ ABCD‬יהיה מקבילית‪.‬‬
‫(ב) מהם שיעורי הנקודה ‪? B‬‬
‫(ג) מצאו את הפונקציה המתארת כל אחת‬
‫מצלעות המקבילית‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪C‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪D‬‬
‫‪1‬‬
‫‪–4 –3 –2 –1 0‬‬
‫‪–1‬‬
‫הייצוג האלגברי של הפונקציה הקווית על פי נקודה ושיפוע‬
‫פעילות ‪3‬‬
‫כתבו את הייצוג האלגברי של הפונקציה הקווית שהגרף שלה עובר בנקודה )‪ (1 , 7‬והשיפוע שלו ‪.3‬‬
‫נזכור‪ ,‬הייצוג האלגברי של פונקציה כזאת הוא ‪.y = mx + b‬‬
‫(א) מה הערך של ‪?m‬‬
‫(ב) אילו ערכים של ‪ x‬ו‪ y -‬נתונים בשאלה?‬
‫(ג)‬
‫‪ b‬לא ידוע‪ .‬מצאו את הערך של ‪.b‬‬
‫תרגילים‬
‫השיפוע ‪ m‬נתון בשאלה‪.‬‬
‫(‪ )1‬נחשב את ‪.b‬‬
‫(‪ )2‬נכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.11‬‬
‫מה הייצוג האלגברי של הפונקציה שהגרף שלה הוא ישר העובר בנקודה )‪ (5 , 2‬ושיפועו ‪.6‬‬
‫‪.16‬‬
‫‪.1‬‬
‫מה הייצוג האלגברי של הפונקציה שהגרף שלה הוא ישר העובר בנקודה )‪ (0 , 6‬ושיפועו ‪.7‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.17‬‬
‫ושיפועוה ‪–7‬‬
‫שלה‪(1‬‬
‫שהגרף)‪, –5‬‬
‫בנקודה‬
‫ישר ה עובר‬
‫הייצוגשלה הוא‬
‫שהגרף‬
‫האלגברי של‬
‫עובר‪ .‬בנקודה‬
‫הוא ישר‬
‫הפונקציה‬
‫האלגברי של‬
‫הפונקציהמה‬
‫ושיפועו )‪(1 , –5‬‬
‫מה הייצוג ‪–7.‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪128 :‬‬
‫הייצוג האלגברי של הפונקציה הקווית על פי נקודה ושיפוע‬
‫פעילות ‪3‬‬
‫הפעילות היא הזדמנות נוספת לפתרון שאלה (הקודמת היתה שאלה ‪ 12‬בעמוד זה) כאשר נתון השיפוע ונקודה אחת‪.‬‬
‫הקנייה‪ :‬מבקשים מהתלמידים לעבוד בזוגות ולבצע את כל הפעילות‪ :‬סעיפים (א) – (ג) וכתיבתה של הייצוג האלגברי של הפונקציה‪.‬‬
‫הבדיקה במליאה‪ .‬אם התלמידים לא פתרו את שאלה ‪ ,12‬אז הדיון הוא כפי שמתואר בשאלה ‪ 12‬למעלה‪ .‬יש לוודא‬
‫שהתלמידים אכן כתבו בסוף גם את הפונקציה הקווית על ידי הצבת ‪ m‬ו‪ b -‬במשוואה ‪. y=mx+b‬‬
‫תרגילים ‪ 18 – 11‬הם יישום ישיר של פעילות ‪.3‬‬
‫‪148‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪ .19‬מחזק את התובנה כי גרף הפונקציה הקווית בה השיפוע הוא ‪ ,1‬מקביל לציר ה‪ x -‬והייצוג האלגברי של‬
‫הפונקציה הוא ‪.y = b‬‬
‫‪ .18‬מה הייצוג האלגברי של הפונקציה שהגרף שלה הוא ישר העובר בנקודה )‪ (–4 , –3‬ושיפועו ‪?2‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪ .19‬מה הייצוג האלגברי של הפונקציה שהגרף שלה הוא ישר העובר בנקודה )‪ (–6 , –1‬ושיפועו ‪?0‬‬
‫‪.2‬‬
‫מה תוכלו לומר על הפונקציה שהתקבלה?‬
‫מה למדנו?‬
‫חשוב בסיום השיעור לעבור על התכנים של "מה למדנו?"‬
‫מומלץ לעבור על הסעיפים בזה אחר זה‪ ,‬ולבקש מהתלמידים לתת דוגמה לכל מושג והיגד‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫מומלץ להרגיל את התלמידים לרשום את ערכי הטבלה כנקודה בכל שורה על יד הטבלה‪ .‬מהלך זה מזכיר‬
‫ומחזק את הקשר בין הטבלה לגרף הפונקציה ולייצוג האלגברי של הפונקציה‪.‬‬
‫‪( .21‬א) ניתן לחשב את השיפוע בדרכים שונות‪( :‬קצב ההשתנות‪ ,‬גובה המדרגה בגרף של הפונקציה‬
‫מה למדנו?‬
‫‪‬‬
‫לחשב שיפוע של פונקציה קווית על‪-‬פי שתי נקודות דרכן עובר גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫למצוא את הייצוג האלגברי של ישר על‪-‬פי שתי נקודות דרכן עובר גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫למצוא את הייצוג האלגברי של ישר על‪-‬פי נקודה ושיפוע‪.‬‬
‫‪ .21‬לפניכם טבלת ערכים של פונקציה קווית‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫הקווית‪ ,‬שימוש בנוסחה)‪.‬‬
‫(ב) דומה למטלות דומות קודמות‪.‬‬
‫(ג) לימוד ספיראלי‪ :‬מציאת נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪ ,y -‬על ידי הצבה ‪x = 0‬‬
‫בייצוג האלגברי של הפונקציה‪.‬‬
‫‪.21‬‬
‫‪.1‬‬
‫(א) לתשלום עבור דלק יש קצב השתנות קבוע ‪ :m‬לכל ליטר משלמים מספר קבוע של שקלים‪.‬‬
‫האם בטבלה מציגים את השתנות ערכי התשלום לכל ליטר? (לא‪ ,‬לכל ‪ 5‬ליטרים)‪ .‬איך נחשב‬
‫(ב) תוספת הלילה אינה תלויה במספר הליטרים‪ :‬היא קבועה ‪. b‬‬
‫עם הבנות אלו התלמידים מצוידים בכלים לפתור את השאלה ‪ -‬מומלץ לפתור בזוגות‪.‬‬
‫‪ .22‬מבנה השאלה דומה לשאלות הקודמות‪ .‬אם יש קושי אפשר ללוות אותם בתהליך דומה לזה שהוצג‬
‫בהדרכה לשאלה ‪.21‬‬
‫‪ .23‬תרגיל זה מציג דוגמה להקשר של פונקציה קבועה‪.‬‬
‫סעיף (ב) מחזק את התובנה של קצב השתנות של ‪:1‬‬
‫התשלום החודשי ‪ y‬אינו משתנה – קצב ההשתנות הוא ‪ .1‬גם חישוב השיפוע (באמצעות הנוסחה)‬
‫מאשש עובדה זו‪.‬‬
‫‪149‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫(א) מה השיפוע של הפונקציה?‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫(ב) כתבו את הייצוג האלגברי של הפונקציה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫בשעות הלילה משלמים סכום קבוע נוסף‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪11‬‬
‫לפניכם טבלת ערכים חלקית של פונקציה המתארת את התשלום בשקלים‬
‫‪2‬‬
‫‪15‬‬
‫עבור קניית דלק בשעות הלילה‪.‬‬
‫‪122‬‬
‫‪21‬‬
‫(א) מה מייצג ‪ x‬ומה מייצג ‪? y‬‬
‫‪152‬‬
‫‪25‬‬
‫(ב) כתבו את הייצוג האלגברי של הפונקציה‪.‬‬
‫‪182‬‬
‫‪31‬‬
‫(ג)‬
‫‪ .21‬מומלץ לסייע לתלמידים לחוש ולתרגם את נתוני השאלה למונחים של הפרמטרים של פונקציה קווית‪.‬‬
‫את ההשתנות לכל ליטר‪ ,‬שהיא השיפוע? (ניתן להפנות אותם לעמוד ‪).122‬‬
‫‪y  y1‬‬
‫‪ m  2‬היא מאד יעילה‪ .‬מומלץ לומר זאת באופן‬
‫ככלל‪ ,‬חישוב השיפוע באמצעות‬
‫‪x 2  x1‬‬
‫מפורש לתלמידים‪.‬‬
‫‪129‬‬
‫התשלום עבור תדלוק מכונית מורכב ממחיר לליטר‪.‬‬
‫(ג)‬
‫‪.22‬‬
‫‪.1‬‬
‫מה נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪? y -‬‬
‫מה הערך של ‪ ? b‬מה המשמעות של ‪ b‬במונחי השאלה?‬
‫לפניכם טבלת ערכים חלקית המתארת התארכות קפיץ בס"מ‬
‫כפונקציה של גודל המשקולת התלויה עליו בק"ג‪.‬‬
‫(א)‬
‫מה מייצג ‪ x‬ומה מייצג ‪? y‬‬
‫(ב) מה הערך של ‪? b‬‬
‫(ג) כתבו את הייצוג האלגברי של הפונקציה‪.‬‬
‫(ד)‬
‫‪.23‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪11‬‬
‫‪1‬‬
‫‪14‬‬
‫‪2‬‬
‫‪18‬‬
‫‪4‬‬
‫‪22‬‬
‫מה המשמעות של ‪ b‬בהקשר של הקפיץ‪.‬‬
‫לפניכם טבלת ערכים חלקית המתארת את התשלום החודשי בשקלים‬
‫במכון כושר‪ ,‬כפונקציה של מספר השיעורים החודשי‪.‬‬
‫(א) מה מייצג ‪ x‬ומה מייצג ‪? y‬‬
‫(ב) מה שיטת התשלום במכון כושר זה? הסבירו‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪211‬‬
‫‪1‬‬
‫‪211‬‬
‫‪11‬‬
‫‪211‬‬
‫‪41‬‬
‫הפונקציה‪.‬‬
‫האלגברי של‪51‬‬
‫כתבו את הייצוג ‪211‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫נקודת החיתוך של פונקציה קווית עם ציר ‪x‬‬
‫נקודת החיתוך של גר הפונקציה הקווית עם ציר ה‪x -‬‬
‫פעילות ‪1‬‬
‫מטרת פעילות זו היא להטמיע את העובדות‬
‫(א) שכל נקודה על ציר ה‪ x -‬היא בעלת שיעור ‪ y‬השווה ל‪.y = 0 :1 -‬‬
‫)ב) נקודת החיתוך של הגרף של הפונקציה הקווית (ושל כל פונקציה) עם ציר ‪ x‬היא בעלת הצורה (‪.(x , 0‬‬
‫הקנייה‪:‬‬
‫מומלץ לבקש מהתלמידים לפתור את סעיף (א) באופן עצמאי‪ ,‬ולבדוק אותו במליאה לפני הפתרון של (ב)‪.‬‬
‫ההתמודדות העצמאית חשובה כדי שתהיה להם מודעות לטעויות שלהם‪ .‬החשיפה והדיון במקורות לטעויות‬
‫אלו ולטעויות בכלל‪ ,‬מאפשרים לתלמיד להתגבר על הטעויות‪.‬‬
‫לעיתים יש קושי בראיה ובהבנה של נקודות על ציר ה‪ ,x -‬שיעור ה‪ x -‬משתנה‪ ,‬ואילו שיעור ה‪ y -‬הוא‬
‫תמיד ‪ .1‬קושי זה עלול לגרום לכך שתלמידים יכתבו את הנקודות שמעל ה‪ 1 -‬הרשום בראשית הצירים‪.‬‬
‫(כלומר‪ ,‬את נקודות החיתוך עם ציר ה‪).y -‬‬
‫חשוב להעלות למודעות שנקודות על ציר ה‪ x -‬הן ב"גובה" ‪ 1‬ביחס לציר זה‪ .‬לכן שיעור ה‪ y -‬הוא ‪.1‬‬
‫כדאי להזכיר כי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪ y -‬היא )‪ (0 , b‬שהיא נקודה מהצורה )‪.(0 , y‬‬
‫כעת התלמידים יפתרו את סעיף (ב)‪.‬‬
‫לאחר בדיקת (ב) במליאה‪ ,‬מומלץ להגיע להכללה כרשום בסוף הפעילות‪.‬‬
‫דוגמה ‪6‬‬
‫בסבב הראשון של הלימוד של הפונקציה הקווית התלמידים למדו למצוא את הנקודות הנמצאות על גרף‬
‫הפונקציה כאשר הייצוג האלגברי של הפונקציה נתונה ונתון שיעור ה‪ x -‬של הנקודות‪ .‬כן הם למדו במפורש‬
‫למצוא את‬
‫נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם הציר האנכי הידוע כעת כציר ה‪( y -‬לדוגמה‪ ,‬תרגיל ‪ ,48‬עמוד ‪.)28‬‬
‫התלמידים ילמדו באופן דומה איך למצוא גם את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪.x -‬‬
‫בדוגמה‬
‫יש לקחת בחשבון כי התלמידים שכחו מיומנות זו‪ :‬זה היתרון של עקרון הלימוד הספיראלי שספרי קפיצה‬
‫לגובה נוקטים בו‪:‬התלמידים לומדים שוב ושוב אותו נושא‪ ,‬בהיבטים ומזויות שונות‪ ,‬המאפשרות להם להיזכר‬
‫במיומנויות ובמושגים‪.‬‬
‫הקנייה‪:‬‬
‫הספרים סגורים‪ .‬נזכרים כי בתחילת השנה למדו למצוא נקודה על הגרף בהינתן שיעור ה‪ ,x -‬ובפרט את‬
‫נקודת החיתוך של גרף הפונקציה על ציר ה‪( .y -‬במידת הצורך אפשר להפנות אותם לתרגיל ‪ ,48‬עמוד ‪,28‬‬
‫ולחזור על תרגיל זה‪ .‬ההפנייה מאלצת אותם להתאמץ כדי להיזכר במיומנויות וידע אלה‪ .‬אומרים‪ :‬כעת‬
‫פעילות ‪4‬‬
‫‪150‬‬
‫‪131‬‬
‫‪y‬‬
‫(א) במערכת הצירים שלפניכם מסומנות נקודות בצבע אדום‪.‬‬
‫כתבו את שיעוריהן‪.‬‬
‫מה משותף לכל הנקודות המסומנות?‬
‫‪    ‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪y‬‬
‫ג‬
‫ה‬
‫(ב) במערכת הצירים מסורטטים ארבעה ישרים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪9‬‬
‫ב‬
‫‪8‬‬
‫התבוננו בסרטוט והשלימו את הטבלה‪:‬‬
‫‪7‬‬
‫הישר‬
‫‪6‬‬
‫נקודת החיתוך נקודת החיתוך‬
‫של הישר עם‬
‫של הישר עם‬
‫ציר ‪y‬‬
‫ציר ‪x‬‬
‫‪5‬‬
‫א‬
‫‪4‬‬
‫)‪(0 , –4‬‬
‫א‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‬
‫‪1‬‬
‫ג‬
‫ד‬
‫ד‬
‫‪x‬‬
‫)‪(1 , 0‬‬
‫‪10‬‬
‫‪9‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫ה‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1 0‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫מה מאפיין את הנקודות שמצאתם?‬
‫בכל הנקודות שמצאנו לפחות שיעור אחד הוא ‪.0‬‬
‫בכל נקודות החיתוך עם ציר ה‪ ,x -‬השיעור השני‬
‫(שיעור ה‪ )y -‬הוא ‪ .0‬הנקודות הן מהסוג‪.(x , 0) :‬‬
‫בכל נקודות החיתוך עם ציר ה‪ ,y -‬השיעור הראשון (שיעור ה‪ )x -‬הוא ‪ .0‬הנקודות הן מהסוג‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫דוגמה ‪6‬‬
‫במערכת הצירים מסורטט גרף הפונקציה‬
‫‪y = 2x – 2‬‬
‫מה נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה‪? x -‬‬
‫בנקודת החיתוך עם ציר ה‪ x -‬מתקיים ‪.y = 0‬‬
‫נציב ‪:y = 0‬‬
‫‪0 = 2x – 2‬‬
‫‪2x = 2‬‬
‫‪x=1‬‬
‫נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה‪ x -‬היא )‪.(1 , 0‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪(1 , 0‬‬
‫‪‬‬
‫)‪.(0 , y‬‬
‫‪-3‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫נלמד למצוא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה על ציר ה‪ .x -‬המשך ההקנייה כמתואר בדוגמה‬
‫תרגילים‬
‫‪ .24‬יישום ישיר של הנלמד בדוגמה ‪.‬‬
‫מסכמים את הנלמד כפי שרשום בתיבת הטקסט הצהובה‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫תחום חיוביות ותחום שליליות של פונקציה קווית‬
‫‪.21‬‬
‫‪1‬‬
‫מצאו את נקודת החיתוך של כל אחת מהפונקציות הבאות עם ציר ה‪.x -‬‬
‫(א)‬
‫‪y=x–5‬‬
‫(ב) ‪y = 2x + 8‬‬
‫(ד) ‪y = x‬‬
‫(ג) ‪y = 3x – 12‬‬
‫כיצד נמצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪:‬‬
‫כדי למצוא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה ‪ y = mx + b‬עם ציר ה‪y -‬‬
‫מציבים‪ x = 0 :‬ומחשבים את ‪.y‬‬
‫נושא זה הוא מאד לא אינטואיטיבי לתלמידים‪ :‬הוא אף סותר כל "היגיון בריא" שלהם‪ .‬למשל‪ ,‬כדי לתת‬
‫תשובה על התחום החיובי של הפונקציה‬
‫(א) מחפשים איפה ערכי ה‪ y -‬הם חיוביים – נקודות שמעל ציר ה‪.x -‬‬
‫(ב) מחפשים היכן על ציר ה‪ x -‬נמצאים שיעורי ה‪ x -‬של אותן נקודות‬
‫למה מחפשים בציר ה‪ x -‬אם אנו רוצים לדעת היכן הפונקציה היא מעל ציר ה‪ ? x -‬התשובה היא שכאשר‬
‫מדברים על תחום של פונקציה‪ ,‬אנו מתייחסים לערכי ה‪ x -‬של הפונקציה‪ .‬זה פירוש המושג‪ ,‬ועל התלמיד‬
‫לקבל זאת כנתון‪ .‬לכן‪ ,‬בכל שאלת מליאה המדברת על "תחום פונקציה"‪ ,‬מומלץ לבקש מהתלמידים להמליל‬
‫מה הפירוש של "תחום של פונקציה"‪ .‬הבנה טובה של מושג זה תאפשר להם לבקר את תשובותיהם ולפתור‬
‫נכון‪ .‬שימוש בצבעים‪ ,‬כפי שמוצג בחלק זה‪ ,‬הוא קריטי לפתרון נכון‪ ,‬לפחות בתחילת הלימוד של הנושא‪.‬‬
‫קושי נוסף הוא שכדי למצוא את התחום החיובי‪/‬שלילי של הפונקציה עליהם לפתור במספר שלבים‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬במקרה של מציאת תחום חיובי של הפונקציה‪,‬‬
‫(א) יש למצוא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪.)y = 0( x -‬‬
‫(ב) יש לצבוע את החלק של הגרף בו הפונקציה חיובית ‪ -‬מעל ציר ה‪ ,x -‬מנקודת החיתוך ומעלה –‬
‫בדוגמה‪ ,‬בירוק‪.‬‬
‫(ג) יש לצבוע את החלק של הציר המתאים לחלק זה באותו צבע שצבענו את הגרף‪.‬‬
‫(ד) כותבים את התחום שתקבל‪.‬‬
‫הקנייה‪ :‬ההקנייה היא בשלושה שלבים‪:‬‬
‫(א) לומדים לזהות את החלק של הגרף שהוא מעל‪/‬מתחת לגרף ואת תחום החיוביות או השליליות המתאים‪.‬‬
‫ההקנייה כפי שכתוב בספר‪.‬‬
‫(ב) לומדים כי נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה‪ x -‬מחלקת את הציר לשני תחומים‪ :‬באחד‪ ,‬ערכי‬
‫הפונקציה חיוביים ‪ -‬תחומי החיוביות של הפונקציה ובשני ערכי הפונקציה שליליים – תחום השליליות של‬
‫הפונקציה‪ .‬ההקנייה בעמוד זה‪.‬‬
‫(ג) בעמוד הבא מוצגת דוגמה ליישום הנלמד‪ ,‬ותרגול מתאים‪.‬‬
‫הערה‪ :‬יש תלמידים שמתקשים בהבעת תחומי החיוביות‪/‬שליליות בכתיב מתמטי‪ .‬למשל‪ ,‬במקום‬
‫לכתוב ‪ ,x < 1‬אפשר ונ ון לכתוב "הפונקציה שלילית עבור ערכים של ‪ x‬הקטנים מ‪".1 -‬‬
‫‪151‬‬
‫‪131‬‬
‫נקודת החיתוך של הפונקציה הקווית‬
‫עם ציר ה‪ y -‬היא )‪.(0 , b‬‬
‫מציבים ‪ 1‬במקום ‪ x‬ומקבלים ‪.y = b‬‬
‫כדי למצוא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה ‪ y = mx + b‬עם ציר ה‪x -‬‬
‫מציבים‪ y = 0 :‬ומחשבים את ‪.x‬‬
‫תחום חיוביות ותחום שליליות של פונקציה קווית‬
‫‪y‬‬
‫)‪• (3 , 4‬‬
‫)‪• (2.5 , 3‬‬
‫נתבונן שוב בגרף של הפונקציה שבדוגמה ‪.6‬‬
‫חלק מהגרף צבוע בירוק‪ ,‬חלק באדום‪.‬‬
‫)‪• (2 , 2‬‬
‫בכל הנקודות שעל החלק הצבוע בירוק‬
‫הערכים של ‪ y‬חיוביים‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫בכל הנקודות שעל החלק הצבוע באדום‬
‫)‪(1 , 0‬‬
‫‪‬‬
‫)‪• (0.5 , –1‬‬
‫הערכים של ‪ y‬שליליים‪.‬‬
‫• )‪(0 , –2‬‬
‫אומרים‪:‬‬
‫• )‪(–1 , –4‬‬
‫הפונקציה חיובית עבור ערכים של ‪ x‬הגדולים מ‪.1 -‬‬
‫ובכתיב מתמטי‪.x > 1 :‬‬
‫הפונקציה שלילית עבור ערכים של ‪ x‬הק נים מ‪.1 -‬‬
‫ובכתיב מתמטי‪:‬‬
‫‪.x < 1‬‬
‫לתחום בו הפונקציה חיובית קוראים‪ :‬תחום החיוביות של הפונקציה‪.‬‬
‫לתחום בו הפונקציה שלילית קוראים‪ :‬תחום השליליות של הפונקציה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫נבחין בין גר הפונקציה לבין התחום‪.‬‬
‫נתבונן שוב באותו גרף‪.‬‬
‫במילה תחום מתייחסים לער ים של ‪.x‬‬
‫במערכת צירים זאת נצבע את התחום‪( .‬ולא את גרף הפונקציה‪).‬‬
‫נקודת החיתוך עם ציר ה‪ x -‬מחלקת את הערכים לשני תחומים‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪(1 , 0‬‬
‫‪‬‬
‫התחום הצבוע בירוק הוא התחום בו הפונקציה חיובית‪.‬‬
‫התחום הצבוע באדום הוא התחום בו הפונקציה שלילית‪.‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪132 :‬‬
‫דוגמה ‪7‬‬
‫מטרת הדוגמה היא להציג בפני התלמידים דרך למצוא את תחומי החיוביות והשליליות כאשר נתונה רק‬
‫המשוואה של הפונקציה הקווית‪ ,‬כלומר לא מוצג הגרף כלל‪.‬‬
‫הקנייה‪:‬‬
‫נציג את הנושא ונרשום את עיקרי הדברים על הלוח – למיקוד ריכוז התלמידים‪.‬‬
‫"היום נמצא את תחומי החיוביות והשליליות של פונקציה כאשר נתונה רק המשוואה של הפונקציה הקווית‪.‬‬
‫עלינו (א) למצוא את נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה‪( .x -‬ב) לסרטט את הגרף‪( .‬ג) לצבוע את‬
‫התחומים המתאימים‪( .‬ד) לכתוב את התחומים במילים או בשפת המתמטיקה‪".‬‬
‫איך מסרטטים קו ישר? (מוצאים שתי נקודות ומסרטטים ישר העובר דרכן)‪.‬‬
‫כדאי להיעזר בנקודות החיתוך עם הצירים‪ .‬מדוע? (כי הם קלים לחישוב‪ :‬אחד מהשיעורים הוא ‪.1‬‬
‫לעיתים מתקבל מספר שאינו שלם שקשה לסמן את מיקומו המדויק בגרף‪ .‬אז כדאי למצוא נקודה‬
‫ששיעוריה הם מספרים שלמים‪).‬‬
‫ההקנייה למציאת הנקודות הוא בדיוק כפי מופיעה בדוגמה ‪ .7‬מומלץ לבקש מהתלמידים להציב את‬
‫שיעורי ה‪ 1 -‬המתאימים ולמצוא את הנקודות באופן עצמאי‪ .‬זה מפחית את הצורך במליאה ארוכה ובריכוז‬
‫ארוך שהוא קשה לאוכלוסיית היעד של הספר‪ .‬צובעים את חלק הגרף בו הערכים חיוביים בצבע אחד‬
‫(בדוגמה בכחול) ואת חלק הגרף בו הערכים שליליים בצבע אחר (בדוגמה בחום)‪.‬‬
‫נקודת החיתוך עם ציר ה‪ ,x -‬מחלקת את הגרף לשני חלקים‪ :‬מצד אחד הגרף הצבוע בכחול בו הפונקציה‬
‫חיובית‪ ,‬ומצד שני הגרף הצבוע בחום בו הפונקציה שלילית‪.‬‬
‫נקודת החיתוך מחלקת גם את ציר ה‪ x -‬לשני תחומים‪ :‬משמאל לנקודת החיתוך‪ ,‬תחום הצבוע בירוק‪,‬‬
‫כאשר מעליו הגרף הכחול‪ .‬מימין לנקודת החיתוך‪ ,‬תחום הצבוע באדום ומתחתיו הגרף החום‪.‬‬
‫נתרגם תחומים אלו לכתיב מתמטי‪ ,‬או נמליל בשפת המתמטיקה‪.‬‬
‫מומלץ להפנות את תשומת ליבם שהפעם תחום החיוביות של הפונקציה הוא משמאל לנקודת החיתוך‪ .‬הסיבה‪:‬‬
‫הפונקציה יורדת‪ :‬הנקודות בהן שיעור ה‪ y -‬הוא חיובי‪ ,‬הן משמאל לנקודת החיתוך עם ציר ה‪ .x -‬תחום‬
‫השליליות של הפונקציה הוא מימין לנקודת החיתוך‪ .‬הסיבה‪ :‬הפונקציה יורדת‪ :‬הנקודות בהן שיעור ה‪y -‬‬
‫הוא שלילי‪ ,‬הן מימין לנקודת החיתוך עם ציר ה‪.x -‬‬
‫‪ .21‬מומלץ להקדים ולומר לתלמידים שמטרת תרגיל זה היא לתרגל איתם את מציאת התחומים החיוביים‬
‫והשליליים של הפונקציה‪ ,‬תוך ביצוע ההנחיות המובילות את התלמידים צעד צעד לביצוע מטרה זו‪ .‬בבדיקה‬
‫במליאה חשוב לדון בכך שהפעם התחום החיובי של הפונקציה הוא מימין לנקודת החיתוך‪ .‬הסיבה‪ :‬הפונקציה‬
‫עולה‪ .‬הסיכום היותר פורמאלי בתיבת הטקסט בתחתית העמוד‪.‬‬
‫‪152‬‬
‫דוגמה ‪7‬‬
‫נתונה הפונקציה‪ .y = –x + 3 :‬מה תחום החיוביות ומה תחום השליליות של הפונקציה?‬
‫למציאת תחום החיוביות ותחום השליליות של הפונקציה נסרטט את הגרף שלה‪.‬‬
‫נחשב את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪.x -‬‬
‫‪y‬‬
‫‪4‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪(3 , 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1 0‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-3 -2‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫מה תחום החיוביות ומה תחום השליליות של הפונקציה?‬
‫הנקודה )‪ (3 , 0‬מחלקת את ציר ה‪ x -‬לשני תחומים‪.‬‬
‫‪ x > 3‬צבוע באדום‪.‬‬
‫‪ x < 3‬צבוע בירוק‪.‬‬
‫בתחום ‪ x < 3‬גרף הפונקציה הוא מעל לציר ה‪.x -‬‬
‫שיעור ה‪ y -‬של הנקודות הנמצאות על חלק זה של גרף הפונקציה (הקו הכחול) הוא חיובי‪.‬‬
‫התחום ‪ x < 3‬הוא תחום החיוביות של הפונקציה‪.‬‬
‫בתחום ‪ x > 3‬גרף הפונקציה הוא מתחת לציר ה‪.x -‬‬
‫שיעור ה‪ y -‬של הנקודות הנמצאות על חלק זה של גרף הפונקציה (הקו החום) הוא שלילי‪.‬‬
‫התחום ‪ x > 3‬הוא תחום השליליות של הפונקציה‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫‪y‬‬
‫‪ .21.1‬במערכת הצירים שלפניכם מסורטט גרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y = 2x – 4‬‬
‫‪2‬‬
‫(א)‬
‫מה נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה‪? y -‬‬
‫(ב )‬
‫מה נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה‪? x -‬‬
‫(ג)‬
‫כתבו את תחום החיוביות של הפונקציה‪ ,‬וצבעו אותו בירוק‪.‬‬
‫(ד)‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-1‬‬
‫האם חלק הגרף המתאים לו הוא מעל או מתחת לציר ה‪? x -‬‬
‫‪-2‬‬
‫כתבו את תחום השליליות של הפונקציה‪ ,‬וצבעו אותו בכחול‪.‬‬
‫האם חלק הגרף המתאים לו הוא מעל או מתחת לציר ה‪? x -‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫הפונקציה בשאלה ‪ 25‬היא פונקציה קווית עולה‪.‬‬
‫מימין לנקודת החיתוך עם ציר ה‪ x -‬הפונקציה חיובית‪.‬‬
‫הפונקציה שלילית‪x .‬משמאל לנקודת החיתוך עם ציר ה‪-‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪ .26‬תרגיל זהה במבנה לתרגיל ‪ .25‬השוני פה הוא בכך שהפונקציה יורדת (כבר "טיפטפנו" זאת בסוף‬
‫‪y‬‬
‫‪.26‬‬
‫‪.1‬‬
‫במערכת הצירים שלפניכם מסורטט גרף הפונקציה‪:‬‬
‫דוגמה ‪ ).7‬לאחר הבדיקה במליאה‪ ,‬מומלץ לחזור על השוני של מיקום התחומים החיוביים ושליליים לעומת‬
‫‪4‬‬
‫‪y = –x + 3‬‬
‫‪3‬‬
‫(א) מה נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה‪? y -‬‬
‫התרגיל הקודם – בפונקציה העולה‪.‬‬
‫הסיכום כפי שכתוב בתיבת הטקסט מתחת לתרגיל‬
‫‪133‬‬
‫‪2‬‬
‫(ב) מה נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה‪? x -‬‬
‫בדקו תשובותיכם על‪-‬ידי הצבה‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫(ג) כתבו את תחום החיוביות של הפונקציה‪ ,‬וצבעו את התחום בירוק‪.‬‬
‫‪ .27‬תחומי חיוביות ושליליות בפונקציה קבועה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-2 -1 0‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪1‬‬
‫כתבו את תחום השליליות של הפונקציה‪ ,‬וצבעו את התחום בכחול‪.‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫בתרגילים ‪ 15 – 25‬עסקנו בפונקציה קווית בה ‪ m‬חיובי או שלילי‪.‬‬
‫‪-4‬‬
‫הפונקציה בשאלה ‪ 26‬היא פונקציה קווית יורדת‪.‬‬
‫תרגיל זה עוסק בפונקציה בה ‪ m‬שווה ‪.1‬‬
‫משמאל לנקודת החיתוך עם ציר ה‪ x -‬הפונקציה חיובית‪.‬‬
‫מימין לנקודת החיתוך עם ציר ה‪ x -‬הפונקציה שלילית‪.‬‬
‫(א) על התלמידים להתאים כל גרף לייצוג האלגברי שלו‪ ,‬פונקציה מהסוג‪.y = b :‬‬
‫‪y‬‬
‫(ב) כתיבת התחום בו הפונקציה חיובית ‪ /‬שלילית‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ .27‬במערכת הצירים שלפניכם מסורטטים הגרפים של הפונקציות‪:‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.y = 0 , y = –2 , y = 3‬‬
‫‪2‬‬
‫(א) התאימו לכל ישר את הפונקציה המתאימה‪.‬‬
‫בתיבת טקסט צהובה סיכום הנלמד בתרגילים ‪.27 – 25‬‬
‫‪1‬‬
‫(ב) כתבו את תחום החיוביות ואת תחום השליליות של כל‬
‫מה חייבים לעשות כדי למצוא את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫אחת מהפונקציות‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-2 -1 0‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-2‬‬
‫(א) מציאת נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪.x -‬‬
‫‪-3‬‬
‫(ב) קובעים על פי השיפוע ‪ ,m‬אם הפונקציה עולה‪ ,‬יורדת או פונקציה קבועה‪.‬‬
‫‪-4‬‬
‫יצד מוצאים את תחום החיוביות ואת תחום השליליות של פונקציה?‬
‫(ג) מסרטטים סקיצה של גרף הפונקציה (סרטוט לא מפורט ולא מדויק)‪.‬‬
‫הפונקציה‪m ≠ 0 , y = mx + b :‬‬
‫לאחר שממלאים את הכתוב בשלושת הסעיפים הנ"ל‪ ,‬קובעים את תחום החיוביות‬
‫‪ .1‬מחשבים את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪.x -‬‬
‫ואת תחום השליליות של הפונקציה‪( .‬מומלץ להיעזר בצבעים כפי שלמדנו לעיל)‪.‬‬
‫‪ .2‬בודקים אם הפונקציה עולה או יורדת‪.‬‬
‫נק‬
‫החיתוך‬
‫תחום שליליות‬
‫תחום‬
‫שליליות‬
‫תחום חיוביות‬
‫‪ .3‬קובעים את תחום החיוביות ואת תחום השליליות‪.‬‬
‫כותבים את התחום במילים או בכתיב מתמטי‪.‬‬
‫נק‬
‫החיתוך‬
‫‪ .1‬מסרטטים תרשים (לא מפורט) של הגרף‪.‬‬
‫דוגמה ‪ :8‬ביצוע של כל השלבים המתוארים בסיכום‪.‬‬
‫הפונקציה הקבועה ‪ ,y = b‬כלומר ‪.m = 0‬‬
‫חיובי לכל ‪x‬‬
‫כאשר ‪ b‬שלילי‪ ,‬הפונקציה שלילית לכל ‪.x‬‬
‫שלילי לכל ‪x‬‬
‫כאשר ‪ b‬חיובי‪ ,‬הפונקציה חיובית לכל ‪.x‬‬
‫‪y‬‬
‫דוגמה ‪8‬‬
‫נקודת החיתוך של הפונקציה ‪ y = 2x – 4‬עם ציר ה‪ x -‬היא )‪.(2 , 0‬‬
‫‪ m‬חיובי‪ ,‬הפונקציה עולה ‪.‬‬
‫תחום החיוביות של הפונקציה‪.x > 2 :‬‬
‫‪x‬‬
‫תחום השליליות של הפונקציה‪.x < 2 :‬‬
‫תרשים‪:‬‬
‫‪153‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫תחום חיוביות‬
‫‪-4‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪131 :‬‬
‫תרגילים‬
‫‪.28‬‬
‫‪.1‬‬
‫לכל פונקציה‪ ,‬מצאו את נקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪ .x -‬סרטטו תרשים של גרף הפונקציה‬
‫וכתבו את התחום בו הפונקציה חיובית ואת התחום בו הפונקציה שלילית‪.‬‬
‫‪ .28‬מציאת תחום החיוביות‪/‬השליליות של פונקציות נתונות‪ .‬יישום ישיר של הנלמד בעמוד הקודם‪.‬‬
‫בתרגילים הבאים שימוש בתכונה שלישרים מקבילים יש שיפועים שווים וישרים בעלי שיפועים שווים הם‬
‫מקבילים‪ .‬תזכורת על כך בדף התובנות שלפני התרגילים‪.‬‬
‫‪ .29‬תרגיל זיהוי בו התלמיד צריך לזהות ישרים המקבילים לישר נתון – הזיהוי על‪-‬פי השיפוע‪.‬‬
‫לישר הנתון שיפוע השווה ‪ .5‬לאילו מהישרים האחרים יש שיפוע ‪ .5‬כלומר המקדם של ‪ x‬הוא ‪.5‬‬
‫‪ .31‬תרגיל זהה במבנה ובקושי לתרגיל ‪( .2‬התשובות הנכונות‪ :‬סעיפים (א) ו‪( -‬ד))‪.‬‬
‫‪ .32‬התלמידים מתרגלים יישום הידע הנלמד מכיוון אחר‪ :‬עליהם לחלק את הפונקציות הנתונות לקבוצות‪,‬‬
‫‪y = –x – 5‬‬
‫(‪)6‬‬
‫‪)4( y = x + 3‬‬
‫‪y = –2x – 12‬‬
‫(‪)2‬‬
‫תרגילים נו פים‬
‫‪.29‬‬
‫‪.2‬‬
‫(תשובה נכונה‪( :‬ג) ‪ )y = 5x – 1‬שימו לב כי במספר משוואות יש מסיח "‪ "5‬שהוא המספר‬
‫החופשי – ‪ .b‬יש להדגיש כי אנו מתייחסים רק למקדם של ‪ – x‬שהוא השיפוע‪.‬‬
‫‪ .31‬זהה לתרגיל ‪ .2‬הקושי בתרגיל זה שהמקדם ‪ 1‬אינו נראה‪( .‬התשובות הנכונות‪ :‬סעיפים (א) ו‪( -‬ג))‪.‬‬
‫‪y = –3x + 6‬‬
‫(‪)5‬‬
‫‪)3( y = x + 5‬‬
‫‪y = –x + 16‬‬
‫(‪)1‬‬
‫מה הייצוג האלגברי של פונקציה שהגרף שלה מקביל לגרף הפונקציה‬
‫(א)‬
‫‪y = 3x + 5‬‬
‫(ב)‬
‫‪y = 2x + 5‬‬
‫(ג)‬
‫‪? y = 5x + 2‬‬
‫(ד)‬
‫‪y = 5x – 1‬‬
‫‪y=x+2‬‬
‫לישרים מקבילים יש שיפועים שווים‪.‬‬
‫ישרים בעלי שיפועים שווים הם ישרים מקבילים‪.‬‬
‫‪.31‬‬
‫‪.3‬‬
‫אילו מהייצוגים האלגבריים מתאימים לפונקציה שהגרף שלה מקביל לגרף הפונקציה‬
‫(א)‬
‫‪y=x+5‬‬
‫(ב)‬
‫‪y = –x + 1‬‬
‫(ג)‬
‫‪?y=x–1‬‬
‫(ד)‬
‫‪y=x‬‬
‫‪y = 5x – 1‬‬
‫בכל קבוצה ישרים מקבילים‪ ,‬כלומר‪ ,‬ישרים בעלי אותו שיפוע‪ .‬השיפוע שווה ל‪ ,m -‬המקדם של ‪x‬‬
‫בייצוג האלגברי של הפונקציה הנתונה‪ .‬יש שלוש קבוצות‪ :‬באחת השיפוע הוא ‪ ,2‬בשנייה השיפוע הוא ‪,1‬‬
‫‪.31‬‬
‫‪.1‬‬
‫(א) ‪y = –4x + 1‬‬
‫ובשלישית השיפוע הוא ‪.3‬‬
‫ניתן לבקש מהתלמידים למיין את הפונקציות לפי קריטריון אחר‪ ,‬למשל‪ ,‬על‪-‬פי נקודת החיתוך עם‬
‫‪.32‬‬
‫‪.1‬‬
‫ציר ה‪.y -‬‬
‫‪ .33‬על התלמידים לכתוב משוואה של פונקציה קווית משלהם על פי הנתון‪:‬‬
‫אילו מהייצוגים האלגבריים מתאימים לפונקציה שהגרף שלה מקביל לגרף הפונקציה‬
‫(ב)‬
‫‪y = 4x + 4‬‬
‫(ג)‬
‫‪? y = –4x + 4‬‬
‫(ד)‬
‫‪y = 4x – 4‬‬
‫‪y = –4x‬‬
‫לפניכם תשעה ייצוגים אלגבריים של פונקציות‪.‬‬
‫חלקו אותם לקבוצות של פונקציות שהגרפים שלהם מקבילים‪.‬‬
‫הישר מקביל לישר אחר עם משוואה נתונה‪ .‬הם כבר יודעים שהשיפועים שווים‪ .‬כלומר המקדם של‬
‫‪ x‬במשוואה שיכתבו שווה למקדם של ‪ x‬במשוואה הנתונה‪.‬‬
‫אך נקודת החיתוך עם ציר ה‪ y -‬שונה (לימוד ספיראלי)‪ .‬לכן ה‪ b -‬שונה‪.‬‬
‫למשל ‪ ,‬תשובה ל‪( -‬א) יכולה להיות ‪.y = 5x + 3‬‬
‫‪.33‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪ .31‬סעיפים (א) – (ג) כמו בתרגיל ‪ .33‬לכל סעיף יש אינסוף תשובות אפשריות‪.‬‬
‫(א)‬
‫‪y = 2x + 3‬‬
‫(ד)‬
‫‪y = –x‬‬
‫( )‬
‫‪y = 2x – 1‬‬
‫(ב)‬
‫‪y = –x + 3‬‬
‫(ה)‬
‫‪y = –x – 1‬‬
‫(ח)‬
‫‪y = –x + 1‬‬
‫(ג)‬
‫‪y = 3x + 2‬‬
‫(ו)‬
‫‪y = 3x + 1‬‬
‫( )‬
‫‪y = 2x‬‬
‫(א) מה השיפוע של ישר המקביל לגרף הפונקציה ‪? y = 5x  1‬‬
‫(ב) מה השיפוע של ישר המקביל לגרף הפונקציה ‪? y = –3x + 1‬‬
‫(ג) מה השיפוע של ישר המקביל לגרף הפונקציה ‪? y = x  10‬‬
‫(ד) מה השיפוע של ישר המקביל לגרף הפונקציה ‪? y = –x + 10‬‬
‫‪.31‬‬
‫‪.7‬‬
‫(א) תנו דוגמה לפונקציה שהגרף שלה מקביל לגרף הפונקציה ‪.y = 6x + 4‬‬
‫(ב) תנו דוגמה לפונקציה שהגרף שלה מקביל לגרף הפונקציה ‪.y = –3x + 5‬‬
‫(ג) תנו דוגמה לפונקציה שהגרף שלה מקביל לגרף הפונקציה ‪.y = 7x‬‬
‫‪154‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪131‬‬
‫דוגמה ‪9‬‬
‫דוגמה ‪9‬‬
‫בפעילות ‪ 3‬עמוד ‪ ,128‬התלמידים למדו לכתוב משוואה של הפונקציה הקווית על פי נקודה ושיפוע‪.‬‬
‫מה הייצוג האלגברי של פונקציה שהגרף שלה עובר בנקודה )‪ (1 , 6‬ומקביל לגרף הפונקציה ‪y = 4x – 5‬‬
‫כאן לתלמידים הזדמנות נוספת ללימוד ספיראלי של נושא זה‪ .‬החידוש הפעם הוא שהשיפוע מתקבל‬
‫‪y = 4x – 5‬‬
‫הישר הנתון ‪:‬‬
‫מישר אחר‪ ,‬ישר מקביל‪ ,‬שהוא בעל אותו שיפוע כמו לפונקציה אותה יש למצוא‪.‬‬
‫שיפוע הישר הנתון ‪:‬‬
‫‪m = 4‬‬
‫גם שיפוע הישר המקביל‪:‬‬
‫‪m = 4‬‬
‫ההקניה‪:‬‬
‫הייצוג האלגברי של הפונקציה‪:‬‬
‫‪y = mx + b‬‬
‫עובר דרך )‪ (1 , 6‬ושיפועו ‪: 4‬‬
‫‪6 = 4∙1 + b‬‬
‫ההקנייה היא בדיוק כמו שכתוב בדוגמה‬
‫‪ .‬יש להקפיד על כל השלבים‪.‬‬
‫נפתור ונקבל ‪:‬‬
‫מומלץ להיעזר בצבעים‪ ,‬בדומה להדגמה שבספר‪.‬‬
‫‪b = 2‬‬
‫הייצוג האלגברי ‪:‬‬
‫‪y = 4x + 2‬‬
‫בדיקה‪:‬‬
‫תרגילים‬
‫(‪ )1‬האם הנקודה הנתונה )‪ (1 , 6‬היא על גרף הפונקציה?‬
‫תרגילים ‪ 38 – 35‬מהווים יישום ישיר של הנלמד בדוגמה ‪.‬‬
‫?‬
‫‪6 = 4∙1+2‬‬
‫‪6 = 6‬‬
‫‪‬‬
‫(‪ )2‬האם הגרף מקביל לגרף הנתון? הסבירו‪.‬‬
‫מה למדנו?‬
‫‪.31‬‬
‫‪.1‬‬
‫מצאו את הייצוג האלגברי של פונקציה שהגרף שלה עובר בנקודה )‪(1 , 5‬‬
‫ומקביל לגרף הפונקציה‬
‫חשוב בסיום השיעור לעבור על התכנים של "מה למדנו?"‬
‫מומלץ לעבור על הסעיפים בזה אחר זה‪ ,‬ולבקש מהתלמידים לתת דוגמה לכל מושג והיגד‪.‬‬
‫‪.36‬‬
‫‪.2‬‬
‫מצאו את הייצוג האלגברי של פונקציה שהגרף שלה עובר בנקודה )‪(–1 , 2‬‬
‫ומקביל לגרף הפונקציה‬
‫‪.37‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.y = 2x + 1‬‬
‫מצאו את הייצוג האלגברי של פונקציה שהגרף שלה עובר בנקודה )‪(0 , 0‬‬
‫ומקביל לגרף הפונקציה‬
‫‪.38‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.y = 3x  7‬‬
‫‪.y = 5x  11‬‬
‫מצאו את הייצוג האלגברי של פונקציה שהגרף שלה עובר בנקודה )‪(–4 , 0‬‬
‫ומקביל לגרף הפונקציה‬
‫‪.y = –x  6‬‬
‫מה למדנו?‬
‫‪155‬‬
‫‪‬‬
‫הייצוג האלגברי של הפונקציה הקווית הוא ‪.y = mx + b‬‬
‫‪‬‬
‫שיפוע הפונקציה‪.m :‬‬
‫‪‬‬
‫שיפוע הגרף העובר דרך שתי נקודות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫לישרים מקבילים יש שיפועים שווים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫בנקודת החיתוך של גרף הפונקציה הקווית עם ציר ה‪:y -‬‬
‫‪ .x = 0‬נקודת החיתוך היא )‪.(0 , b‬‬
‫‪‬‬
‫בנקודת החיתוך של גרף הפונקציה הקווית עם ציר ה‪:x -‬‬
‫‪.y = 0‬‬
‫ההפרש בער ים של ‪y‬‬
‫ההפרש בער ים של ‪x‬‬
‫‪m ‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪136‬‬
‫נח ור ונתרגל – ש חים והיקפים‬
‫נח ור ונתרגל – ש חים והיקפים‬
‫כל הסרטוטים מוקטנים‪.‬‬
‫‪ .1‬לפניכם סרטוטים מוקטנים של שתי מקביליות‪.‬‬
‫תרגילי חזרה בחישוב היקפים ושטחים של מצולעים שנלמדו בכיתה ז ושל מעגלים‪.‬‬
‫‪ .1‬חישוב שטח של מקביליות באמצעות נוסחת השטח של המקבילית‪ .‬תזכורת לנוסחה על דף תובנות‪.‬‬
‫ש ח מקבילית‬
‫מכפלה של אורך צלע‬
‫המקבילית באורך‬
‫הגובה לצלע זאת‪.‬‬
‫חשבו את השטח של כל אחת מהן‪.‬‬
‫המידות בסרטוט הן בס"מ‪.‬‬
‫(א)‬
‫חשוב לציין תמיד את יחידות המידה‪ .‬האורכים של צלעות המקביליות הם בס"מ‪ .‬השטח הוא בסמ"ר‪.‬‬
‫‪ .2‬חישוב שטח של טרפזים באמצעות נוסחת השטח של הטרפז‪ .‬תזכורת לנוסחה על דף תובנות‪.‬‬
‫(ב)‬
‫‪S = a  ha‬‬
‫‪ha‬‬
‫‪a‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫השטח הוא בסמ"ר‪.‬‬
‫‪ .3‬המעגל‪.‬‬
‫חישוב היקף מעגל ושטח עיגול באמצעות הנוסחאות המתאימות‪ .‬הנוסחאות על דף תובנות‪.‬‬
‫‪ .1 – 1‬חישוב שטח הכלוא בין שני מעגלים או שטח הכלוא בין ריבוע למעגל החסום בתוך הריבוע‪.‬‬
‫בחישובי שטחים של צורות מורכבות ניתן לחשב את שטח הצורה המורכבת באמצעות סכום השטחים‬
‫‪ .2‬לפניכם סרטוטים מוקטנים של שני טרפזים‪.‬‬
‫ש ח רפ‬
‫מכפלה של אורך גובה‬
‫הטרפז בסכום אורכי‬
‫הבסיסים לחלק ל‪.2 -‬‬
‫‪(a + b)  h‬‬
‫=‪S‬‬
‫‪2‬‬
‫חשבו את השטח של כל אחד מהם‪.‬‬
‫המידות בסרטוט הן בס"מ‪.‬‬
‫(ב)‬
‫(א)‬
‫של המצולעים המרכיבים את הצורה המורכבת יותר‪.‬‬
‫‪b‬‬
‫‪h‬‬
‫‪a‬‬
‫‪4‬‬
‫בחישובי שטחים בהם משתתפים מעגלים יש לחשב את השטח הכלוא על‪-‬ידי הפרש של שטחי הצורות‬
‫היוצרות את השטח הצבוע‪ .‬בספר קפיצה לגובה לכיתה ז חלק ג עמודים ‪ 122 – 121‬הייתה התייחסות‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫להבדל בין שני המקרים‪.‬‬
‫בתרגיל ‪ .1‬שטח הטבעת הצבועה שווה להפרש שבין השטחים של שני המעגלים‪ .‬כאשר‪ ,‬רדיוס‬
‫המעגל הפנימי הוא ‪ 1‬מטרים‪ .‬רדיוס המעגל החיצוני הוא ‪ 2‬מטרים‪.‬‬
‫בתרגיל ‪ .1‬השטח הצבוע שווה להפרש שבין שטח הריבוע לשטח העיגול הפנימי‪.‬‬
‫‪( .3‬א) חשבו את ההיקף ואת השטח של מעגל שרדיוסו ‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫(ב) חשבו את ההיקף ואת השטח של מעגל שרדיוסו ‪ 2‬ס"מ‪.‬‬
‫(ג) חשבו את ההיקף ואת השטח של מעגל שקוטרו ‪ 8‬ס"מ‪.‬‬
‫מעגל שרדיו ו ‪R‬‬
‫היק המעגל‪2πR :‬‬
‫ש ח העיגול‪:‬‬
‫‪πR‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪π‬‬
‫צלע הריבוע היא ‪ 8‬ס"מ‪ .‬קוטר המעגל שווה באורכו לצלע הריבוע‪ .‬רדיוס העיגול הוא ‪ 4‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ .1‬חשבו את שטח הטבעת שבסרטוט (השטח הצבוע בוורוד) ‪.‬‬
‫רדיוס המעגל הפנימי הוא ‪ 1‬מטר‪.‬‬
‫רדיוס המעגל החיצוני הוא ‪ 2‬מטרים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .1‬בריבוע שצלעו ‪ 8‬ס"מ חסום מעגל ‪.‬‬
‫(א) מה רדיוס המעגל‪.‬‬
‫(ב) חשבו את השטח הצבוע בוורוד‪.‬‬
‫____________________________________________________________________________________________‬
‫____________________________________________________________________________________________‬
‫‪156‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪317‬‬
‫קטעים מיוחדים במשולש‬
‫קטעים מיוחדים במשולש – חזרה‬
‫חוצה זווית וגובה במשולש – חזרה‬
‫הפרק פותח בחזרה על קטעים מיוחדים של המשולש שנלמדו בכיתה ז‪ :‬חוצה זווית במשולש‬
‫וגובה במשולש‪.‬‬
‫החזרה כוללת הגדרות ודוגמאות‪( .‬שיעור ‪)1‬‬
‫הקנייה‪ :‬החזרה תתבצע במליאת הכיתה במשך שיעור אחד כאשר הספרים סגורים‪.‬‬
‫נכתוב על הלוח את ההגדרה של חוצה זווית במשולש פירוט של ‪ 3‬מרכיבים‪.‬‬
‫חוצה זווית במשולש‬
‫‪ ‬יוצא מקדקוד המשולש‪.‬‬
‫‪ ‬מגיע לצלע שמול הקדקוד‪.‬‬
‫‪ ‬חוצה את הזווית שבקדקוד זה‪.‬‬
‫נבקש מכל תלמיד לסרטט משולש במחברת ולסרטט בו חוצה זווית אחד‪.‬‬
‫שואלים‪ :‬כיצד מסרטטים את חוצה הזווית? הצעות התלמידים תכלולנה שימוש במד זווית או חציית‬
‫הזווית באמצעות קיפול הדף כך ששתי הצלעות המהוות את שוקי הזווית יתלכדו‪ .‬קו הקיפול הוא חוצה הזווית‪.‬‬
‫שואלים‪ :‬כמה חוצי זוויות יש במשולש? בכל משולש יש שלושה קדקודים ולכן יש גם שלושה חוצי זוויות‪.‬‬
‫הוסיפו את חוצי הזוויות האחרים‪.‬‬
‫היכן עוברים כל שלושת חוצי הזוויות? בתוך המשולש‪ .‬כולם אמורים לעבור דרך נקודה משותפת‪,‬‬
‫אבל יש להניח שמכיוון שהסרטוטים אינם מדויקים מרבית התלמידים לא יקבלו זאת‪.‬‬
‫לאחר סיום הפעילות נעבור לגובה במשולש‪.‬‬
‫הנושא נלמד כבר בכיתה ז אבל מומלץ לבדוק שהתלמידים מזהים לכל קדקוד את הצלע שממול‪.‬‬
‫קושי יכול להיות במשולש ישר זווית ובמשולש קהה זווית‪ .‬במשולש ישר זווית קדקודי הזוויות החדות נמצאים‬
‫מול "קצה הניצב"‪ .‬במשולש קהה זווית קדקודי הזוויות החדות נמצאים מול המשך הצלע ולא מול הצלע עצמה‪.‬‬
‫מומלץ לבקש מהתלמידים לסרטט משולש ישר זווית ומשולש קהה זווית במחברת ולצבוע באותו צבע‬
‫קדקוד ואת הצלע שמולו‪.‬‬
‫גם כאן ההגדרה כוללת ‪ 3‬מרכיבים‪ .‬נכתוב שניים הזהים לאלו של חוצה הזווית‪.‬‬
‫‪ ‬יוצא מקדקוד המשולש‪.‬‬
‫‪ ‬מגיע לצלע שמול הקדקוד (או להמשך הצלע)‪.‬‬
‫שואלים‪ :‬חוצה זווית מחלק את הזווית שבקדקוד ממנו הוא יוצא לשתי זוויות שוות‪.‬‬
‫מה התכונה של הגובה?‬
‫‪157‬‬
‫למדנו מהו גובה במשולש ומהו חוצה זווית במשולש‪.‬‬
‫גובה במשולש‪:‬‬
‫חוצה זווית במשולש‪:‬‬
‫‪‬‬
‫יוצא מקדקוד המשולש ‪.‬‬
‫‪‬‬
‫יוצא מקדקוד המשולש‪.‬‬
‫‪‬‬
‫מגיע לצלע שמול הקדקוד ‪.‬‬
‫‪‬‬
‫מגיע לצלע שמול הקדקוד (או להמשך הצלע)‪.‬‬
‫‪‬‬
‫מחלק את הזווית שבקדקוד זה לשתי זוויות שוות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫מאונך לצלע שמול הקדקוד‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ AD‬יוצא מקדקוד ‪ A‬של המשולש‪.‬‬
‫‪ AD‬יוצא מקדקוד ‪ A‬של המשולש‪.‬‬
‫‪ AD‬מגיע לצלע ‪ BC‬שמול קדקוד ‪.A‬‬
‫‪ AD‬מגיע לצלע ‪ BC‬שמול קדקוד ‪. A‬‬
‫= ‪∢A1‬‬
‫‪∢A2‬‬
‫‪∢D1 = ∢D2 = 90‬‬
‫למשולש ‪ 3‬קדקודים ולכן‪:‬‬
‫לכל משולש יש ‪ 3‬חוצי זוויות‪.‬‬
‫לכל משולש יש ‪ 3‬גבהים‪.‬‬
‫כל ‪ 3‬חוצי הזוויות של המשולש עוברים‬
‫בתוך המשולש ‪.‬‬
‫בכל משולש יש לפחות גובה אחד העובר‬
‫בתוך המשולש‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש שכל זוויותיו חדות‪:‬‬
‫‪ 3‬הגבהים בתוך המשולש‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫במשולש ישר זווית‪:‬‬
‫הגובה ליתר עובר בתוך המשולש‪.‬‬
‫‪ 2‬הגבהים האחרים מתלכדים‬
‫עם ניצבי המשולש‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫במשולש קהה זווית‪:‬‬
‫גובה אחד עובר בתוך המשולש‪.‬‬
‫‪ 2‬הגבהים האחרים נמצאים מחוץ למשולש‪.‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫נוסיף את המרכיב השלישי‪ .‬נבקש מכל תלמיד לסרטט משולש ולהעביר בו גובה‪ .‬בכל משולש יש‬
‫לפחות גובה אחד פנימי כך שיש להניח שהתלמידים יסרטטו גובה פנימי‪ .‬נחזור על התהליך שעשינו‬
‫בנושא של חוצה הזווית‪.‬‬
‫כאן תתעורר בעיה‪ .‬הגובה הנוח ביותר לסרטוט הוא זה ה"יורד" מקדקוד אל צלע (מלמעלה למטה‪,‬‬
‫המשמעות של גובה בתחומים שאינם מתמטיים)‪ .‬במשולש שכל זוויותיו חדות כל שלושת הגבהים‬
‫הם פנימיים‪ ,‬וגם כאן יש קושי לסרטט את שני הגבהים הנוספים‪.‬‬
‫במשולש ישר זווית שניים מהגבהים הם הניצבים‬
‫במשולש כך שלמעשה ניתן לסרטט רק גובה אחד‪,‬‬
‫שניים אחרים כבר מסורטטים‪ ,‬ובמשולש קהה זווית‬
‫שניים מהגבהים הם מחוץ למשולש‪ .‬יש צורך להדגים‬
‫זאת על הלוח כאשר משתמשים בסרגל משולש‬
‫לקבלת הזווית הישרה כמודגם בשני המשולשים לעיל‪.‬‬
‫לסיכום נפתח את הספר ונציג את שלושת הגבהים בכל סוגי המשולשים‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫‪.1‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.4‬‬
‫לפניכם ‪ 6‬משולשים‪ .‬בכל משולש קטע המודגש באדום‪.‬‬
‫קבעו אם קטע זה הוא גובה במשולש‪ ,‬חוצה זווית במשולש‪ ,‬או קטע אחר‪.‬‬
‫( )‬
‫(ג)‬
‫(ב)‬
‫(ד)‬
‫(ו)‬
‫‪.2‬‬
‫התבוננו בסרטוט שלפניכם והשלימו‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫( )‬
‫ב‪ _______ , DEF -‬הוא גובה לצלע ‪DE‬‬
‫(ב)‬
‫ב‪ EC ,DEF -‬הוא ____________ של זווית _______ ‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪.3‬‬
‫לפניכם ‪ 3‬משולשים‪ .‬בכל אחד מהם הקטע באדום הוא חוצה זווית במשולש‪.‬‬
‫בכל משולש חשבו את ‪.x‬‬
‫(ב)‬
‫( )‬
‫‪x‬‬
‫‪102‬‬
‫‪x‬‬
‫‪75‬‬
‫‪x‬‬
‫‪65‬‬
‫‪43‬‬
‫‪.4‬‬
‫(ג)‬
‫‪65‬‬
‫‪15‬‬
‫לפניכם ‪ 3‬משולשים‪ .‬הקטעים באדום הם חוצי‪ -‬זוויות במשולש‪.‬‬
‫בכל משולש חשבו את ‪.x‬‬
‫(ב)‬
‫( )‬
‫‪39‬‬
‫(ג)‬
‫‪x‬‬
‫‪30‬‬
‫‪x‬‬
‫‪30‬‬
‫‪x‬‬
‫‪158‬‬
‫(ה)‬
‫‪D‬‬
‫תרגילים‬
‫מטלת זיהוי כמו מטלות זיהוי שעשו בכיתה ז‪ .‬כאשר מתבקשים לזהות אם קטע נתון הוא חוצה‬
‫זווית או גובה של משולש‪ ,‬בודקים את שלושת המרכיבים אחד לאחד‪ .‬מומלץ לפתור סעיף אחד‬
‫בכיתה‪ .‬בכל הסעיפים הקטע האדום‪  :‬יוצא מקדקוד של המשולש‪.‬‬
‫‪ ‬מגיע אל הצלע שמול הקדקוד‪ .‬בסעיף (ו) מגיע אל המשך הצלע‪.‬‬
‫בסעיפים (א) ‪( ,‬ג) הקטע האדום יוצר זווית ישרה עם הצלע שמול הקדקוד ממנו הוא יוצא‪ .‬זהו גובה‪.‬‬
‫בסעיף (ו) הקטע האדום מגיע אל המשך הצלע שמול הקדקוד ממנו הוא יוצא‪ .‬זהו גובה‪.‬‬
‫בסעיפים (ד) ‪( ,‬ה) הקטע האדום מחלק את הזווית בקדקוד ממנו הוא יוצא לשתי זוויות שוות‪ .‬זהו חוצה זווית‪.‬‬
‫בסעיף (ב) הקטע האדום מחלק את הצלע שמול הקדקוד ממנו הוא יוצא לשני קטעים שווים‪.‬‬
‫תכונה חדשה‪ .‬הקטע האדום אינו גובה ואינו חוצה זווית של המשולש‪.‬‬
‫מטלת זיהוי‪ :‬השלמה של היגדים‪ .‬במשולש ‪ FB :DEF‬הוא גובה לצלע ‪ EC .DE‬הוא חוצה זווית ‪.E‬‬
‫חישובי זוויות במשולשים כאשר מתבססים על המשפט שסכום הזוויות במשולש הוא ‪ 180‬וחוצה הזווית‬
‫במשולש מחלק את הזווית שבקדקוד ממנו הוא יוצא לשתי זוויות שוות‪ .‬מומלץ לפתור סעיף אחד בכיתה‪.‬‬
‫חישובי זוויות במשולשים כאשר מתבססים על המשפט שסכום הזוויות במשולש הוא ‪ 180‬וחוצה הזווית‬
‫במשולש מחלק את הזווית שבקדקוד ממנו הוא יוצא לשתי זוויות שוות‪ .‬מומלץ לפתור סעיף אחד בכיתה‪.‬‬
‫‪318‬‬
‫‪35‬‬
‫‪25‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪311‬‬
‫‪ ..55‬במשולש ‪ ABC‬נתון כי ‪ ∢BAC‬מחולקת לשלוש זוויות שוות‪:‬‬
‫‪ .5‬תרגיל לתלמידים מתקדמים‪.‬‬
‫כל אחד מהקטעים ‪ AE , AT , AD‬הוא חוצה זווית במשולש אחר‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫על התלמידים לזהות באיזה משולש‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪C‬‬
‫בכל סעיף יש להתעלם מחלקים שאינם רלבנטיים‪.‬‬
‫כל חוצי הזוויות יוצאים מקדקוד ‪ A‬כך שיש להתמקד בזוויות‬
‫שבקדקוד זה‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫באדום‪.‬‬
‫‪AD‬‬
‫את‬
‫נצבע‬
‫)‬
‫(‬
‫‬‫ב‬
‫למשל‪,‬‬
‫בצבעים‪.‬‬
‫להיעזר‬
‫מומלץ‬
‫‪T‬‬
‫‪D‬‬
‫משני צידי הקטע האדום יש שתי זוויות שנתון כי הן שוות‪ A2 .‬ו‪.A3 -‬‬
‫נצבע גם אותן באדום‪ .‬נדגיש את השוקיים האחרות של זוויות אלו‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ AD‬חוצה את ‪ ∢A‬במשולש ‪.ABE‬‬
‫(ב) באופן דומה נקבל ש‪ AE -‬חוצה את ‪ ∢A‬במשולש ‪.ACD‬‬
‫(ג) ל‪ AT -‬שני תפקידים‪ .‬על פי הנתון בסעיף זה‪ AT ,‬הוא חוצה ‪ ∢A‬במשולש ‪.ABC‬‬
‫ובנוסף‪ ,‬חוצה ‪ ∢A‬גם במשולש ‪ .ADE‬לתלמידים יהיה קשה יותר לראות זאת‪.‬‬
‫אפשר להדגים זאת כאשר נתון גודלן של הזוויות ולאחר מכן לעבור להכללה המתבקשת בתרגיל זה‪.‬‬
‫אם נבחר את הסרטוט שבספר‪.∢A1 = ∢A2 = ∢A2 = 23 :‬‬
‫אפשר גם לבקש מהתלמידים למדוד את גודל הזווית ‪ A‬כולה ולחלק ב‪.3 -‬‬
‫‪∢A1 = ∢A2 = ∢A3‬‬
‫‪A‬‬
‫תיכון במשולש‬
‫השלימו‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫( ) ‪ AD‬הוא חוצה זווית _______ במשולש ________‪.‬‬
‫(ב) ‪ AE‬הוא חוצה זווית _______ במשולש ________‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫(ג) נתון‪. ∢TAC = ∢BAT :‬‬
‫‪E‬‬
‫השלימו‪:‬‬
‫‪T‬‬
‫‪ AT‬הוא חוצה זווית _______ במשולש ________‬
‫‪D‬‬
‫וגם ‪ AT‬הוא חוצה זווית _______ במשולש ________‬
‫‪B‬‬
‫תיכון במשולש‬
‫תיכון במשולש הו קטע המחבר קדקוד של משולש עם מצע הצלע שמולו‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ CE‬הוא התיכון‬
‫מקדקוד ‪ C‬לצלע ‪. AB‬‬
‫תיכון במשולש‪:‬‬
‫‪‬‬
‫יוצא מקדקוד המשולש‪.‬‬
‫‪‬‬
‫מגיע לצלע שמול הקדקוד‪.‬‬
‫‪‬‬
‫חוצה את הצלע שמול הקדקוד‪( .‬נקודת החיתוך‬
‫עם הצלע שמול הקדקוד היא אמצע הצלע)‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ E‬אמצע ‪. AB‬‬
‫תרגילים‬
‫עד כה הכרנו קטע המאונך לצלע שממול והכרנו קטע החוצה את הזווית‪ .‬בפרק זה נכיר קטע המחלק את‬
‫הצלע שמול הקדקוד ממנו הוא יוצא לשני קטעים שווים‪.‬‬
‫מספר שיעורים מומלץ‪.3 :‬‬
‫הגדרה‪ :‬תיכון של משולש הוא קטע המחבר את קדקוד המשולש עם אמצע הצלע שמולו‪.‬‬
‫גם בהגדרה של התיכון מודגשים שלושת המרכיבים‪ :‬השניים הראשונים זהים להגדרות‬
‫של גובה וחוצה זווית‪  .‬יוצא מקדקוד המשולש‪:‬‬
‫‪ ‬מגיע לצלע שמול הקדקוד‪,‬‬
‫‪ ‬חוצה את הצלע (מחלק את הצלע לשני קטעים שווים)‪.‬‬
‫‪ .6‬זיהוי תיכון בסרטוטים שונים כאשר ליד כל סרטוט נתונים שלושת המרכיבים‪.‬‬
‫התלמידים יבדקו כל מרכיב ויגיעו למסקנה האם הקטע המדובר הוא תיכון במשולש‪.‬‬
‫אם כן‪ ,‬איזה צלע הוא מחלק לשני קטעים שווים‪.‬‬
‫מומלץ לפתור סעיף אחר בכיתה כמודגם כאן‪ .‬בסרטוט זה הקטע האדום אינו תיכון של המשולש‪.‬‬
‫‪159‬‬
‫‪ .6‬לפניכם ארבעה משולשים מסורטטים על דף משבצות‪.‬‬
‫בכל סרטוט בדקו אם הקטע הצבוע באדום הוא תיכון במשולש‪( .‬היעזרו ברשימת המאפיינים‪).‬‬
‫אם כן‪ ,‬ציינו לאיזו צלע‪.‬‬
‫(ב)‬
‫( )‬
‫‪P‬‬
‫(ג)‬
‫‪A‬‬
‫‪K‬‬
‫‪H‬‬
‫‪S‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫(ד)‬
‫תיכון במשולש‪:‬‬
‫‪ ‬יוצא מקדקוד המשולש‪.‬‬
‫‪ ‬מגיע לצלע שמול הקדקוד‪.‬‬
‫‪ ‬חוצה את הצלע שמול הקדקוד‪.‬‬
‫‪L‬‬
‫‪M‬‬
‫תיכון במשולש‪:‬‬
‫‪ ‬יוצא מקדקוד המשולש‪.‬‬
‫‪ ‬מגיע לצלע שמול הקדקוד‪.‬‬
‫‪ ‬חוצה את הצלע שמול הקדקוד‪.‬‬
‫‪N‬‬
‫‪G‬‬
‫תיכון במשולש‪:‬‬
‫‪ ‬יוצא מקדקוד המשולש‪.‬‬
‫‪ ‬מגיע לצלע שמול הקדקוד‪.‬‬
‫‪ ‬חוצה את הצלע שמול הקדקוד‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫תיכון במשולש‪:‬‬
‫‪ ‬יוצא מקדקוד המשולש‪.‬‬
‫‪ ‬מגיע לצלע שמול הקדקוד‪.‬‬
‫‪ ‬חוצה את הצלע שמול הקדקוד‪.‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪344‬‬
‫‪ . 7‬בכל אחד מהמשולשים הבאים נתון קטע צבוע באדום‪.‬‬
‫‪ .7‬בכל משולש נתון קטע הצבוע באדום‪ .‬יש לזהות אם קטע זה הוא גובה‪ ,‬חוצה זווית או תיכון של‬
‫המשולש‪ .‬תהליך הפתרון דומה לזה שבתרגילי זיהוי קודמים‪.‬‬
‫ההגדרה של כל אחד מהקטעים המיוחדים של המשולש יש שלושה מרכיבים‪.‬‬
‫השניים הראשונים משותפים לכל שלושת הקטעים המיוחדים‪.‬‬
‫ראשית‪ ,‬בכל סעיף‪ ,‬נבדוק שני מרכיבים אלו‪ :‬הקטע האדום יוצא מקדקוד של המשולש‪ ,‬ומגיע אל‬
‫הצלע שמול קדקוד זה‪.‬‬
‫יוצ מקדקוד של המשולש‪ :‬סעיפים (ט) ו‪( -‬יב) אינם מקיימים תכונה זו‪ .‬קטעים אלו אינם אחד‬
‫מהקטעים המיוחדים במשולש‪ .‬אין צורך להמשיך ולבדוק סעיפים אלו‪.‬‬
‫מגיע ל הצלע שממול לקדקוד‪ :‬מתקיים בכל הסרטוטים האחרים‪.‬‬
‫המרכיב השלישי‪ :‬בהגדרה של כל קטע תכונה אחרת‪ .‬ניתן לעבור על הסעיפים אחד לאחד ולבדוק‬
‫איזו מהתכונות מתקיימת‪ .‬אפשר לבחור בתכונה ולבדוק באילו מהסעיפים היא מתקיימת‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬התכונה של חוצה הזווית‪ :‬מחלק ת הזווית שבקדקוד ממנו הו יוצ לשתי זוויות שוות‪:‬‬
‫בסעיפים (א) ‪( ,‬ז) ‪( ,‬י) נתון שוויון הזוויות בצורה מפורשת‪ ,‬או על‪-‬ידי כתיבת גודל הזווית במעלות‪ ,‬או‬
‫באמצעות סימונים שווים כמקובל בגיאומטריה‪ .‬בסעיפים (ב) ‪( ,‬ו) נתון הגודל של חלק מהזוויות‪.‬‬
‫נחשב את הזוויות האחרות כדי לבדוק אם הקטע האדום מקיים את התכונה של חוצה הזווית‪.‬‬
‫המשולש שמימין ישר זווית‪.‬‬
‫‪22‬‬
‫נחשב את גודל הזווית‬
‫השלישית‪.‬‬
‫הקטע האדום אינו חוצה זווית‪.‬‬
‫קבעו על פי הפרטים שבסרטוט האם הקטע המודגש הוא גובה‪ ,‬תיכון‪ ,‬חוצה זווית ‪ ,‬או קטע אחר‪.‬‬
‫(ה)‬
‫( )‬
‫‪‬‬
‫(ט)‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪35‬‬
‫‪8‬‬
‫‪35‬‬
‫(ב)‬
‫(י)‬
‫(ו)‬
‫‪45‬‬
‫‪58‬‬
‫‪58‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫המשולש הוא ישר זווית‪.‬‬
‫נחשב את גודל הזווית החסרה‪.‬‬
‫‪45‬‬
‫(ג)‬
‫(י )‬
‫(ז)‬
‫הקטע האדום הוא חוצה זווית‬
‫של המשולש‪.‬‬
‫נמשיך ונבדוק באילו סעיפים הקטע האדום הוא תיכון של המשולש‪.‬‬
‫התכונה של התיכון‪ :‬חוצה ת הצלע שמול הקדקוד ממנו הו יוצ ‪.‬‬
‫בסעיפים (א) ‪( ,‬ד) ‪( ,‬ח) ‪( ,‬י) נתון שוויון בין הקטעים שנוצרו על הצלע שמול הקדקוד‪ ,‬בצורה מפורשת‬
‫על‪-‬ידי כתיבת האורך או באמצעות סימונים שווים כמקובל בגיאומטריה‪( .‬גם בסעיפים (ט) ‪( ,‬יב) יש‬
‫קטעים שווים אבל סעיפים אלו אינם מקיימים את המרכיב הראשון – יוצא מקדקוד של המשולש‪ ,‬כך שאין‬
‫צורך להמשיך ולבדוק קיום של מרכיבים נוספים‪ .‬אנו כבר יודעים שהם אינם קטע מיוחד של המשולש‪).‬‬
‫נשאר הגובה‪ :‬הגובה יוצר זווית ישרה עם הצלע שממול לקדקוד ממנו ו יוצ ו עם המשכה של‬
‫הצלע‪ :‬זווית ישרה מסומנת באמצעות ריבוע קטן‪ .‬בסעיפים (ב) ‪( ,‬י) ‪( ,‬יא) הקטע האדום הוא גובה‬
‫של המשולש‪ .‬בסעיף (יא) המשולש הוא ישר זווית כך שהניצב הוא גם גובה‪ .‬גם בסעיפים (ג) ו‪( -‬ד)‬
‫מסורטטת זווית ישרה אבל היא נוצרת בין הקטע האדום ואחת מצלעות המשולש היוצאות מקדקוד זה‬
‫‪160‬‬
‫‪40 40‬‬
‫(ח)‬
‫(ד)‬
‫‪5‬‬
‫\\‬
‫\\‬
‫‪5‬‬
‫(יב)‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫ולא עם הצלע שמול הקדקוד‪ .‬חשוב לשים לב לסעיף (י) בו הקטע האדום הוא גם תיכון‪ ,‬גם חוצה‬
‫זווית וגם גובה של המשולש‪ .‬ובנוסף להבדל בין סעיפים (ג) ו‪( -‬ד)‪ :‬המקרים נראים דומים אבל‬
‫בסעיף (ד) הקטע הוא תיכון‪ ,‬ובסעיף (ג) אינו מקיים אף לא אחת מהתכונות‪.‬‬
‫סימונים מקובלים‪:‬‬
‫את הצלעות במשולש ‪ ABC‬נסמן‬
‫‪b‬‬
‫מול קדקוד ‪ A‬נמצאת צלע ‪. a‬‬
‫מול קדקוד ‪ D‬נמצאת צלע ‪.d‬‬
‫‪c‬‬
‫מול קדקוד ‪ B‬נמצאת צלע ‪. b‬‬
‫‪f‬‬
‫מול קדקוד ‪ F‬נמצאת צלע ‪.f‬‬
‫‪a‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪d‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫פעילות ‪ – 1‬כיצד מסרטטים תיכון?‬
‫נסרטט את התיכון לצלע ‪( a‬הצלע ‪ )BC‬ב‪:ABC -‬‬
‫פעילות ‪ – 3‬כיצד מסרטטים תיכון?‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫חלוקת הצלע לשני קטעים שווים נעשית באמצעות סרגל (ניתן גם על‪-‬ידי קיפול)‪.‬‬
‫נסמן את הנקודה שהיא אמצע הצלע ונחבר אותה עם הקדקוד שמול הצלע‪.‬‬
‫מומלץ לבצע את סרטוט התיכון במליאת הכיתה כשהספר סגור‪ .‬נחזור להגדרה של תיכון במשולש ונשאל‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫נמצא את אמצע הצלע ‪ . a‬נסמן את אמצע הצלע באות‪ ,‬למשל‪.D ,‬‬
‫(באמצעות סרגל‪ ,‬או באמצעות קיפול‪).‬‬
‫את התלמידים כיצד מסרטטים‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .8‬מטלת ביצוע‪ :‬סרטטו תיכון וגובה לצלע ‪.a‬‬
‫‪e‬‬
‫מול קדקוד ‪ E‬נמצאת צלע ‪.e‬‬
‫‪C‬‬
‫מול קדקוד ‪ C‬נמצאת צלע ‪. c‬‬
‫‪D‬‬
‫את הצלעות במשולש ‪ DEF‬נסמן‬
‫באותיות קטנות ‪ f , e , d‬כך ש‪:‬‬
‫באותיות קטנות ‪ a , b , c‬כך ש‪:‬‬
‫בהתייחסות לתיכון‪ ,‬נוח יותר לקרוא לצלע באמצעות אות אחת ולא באמצעות שתי האותיות המסמנות את‬
‫הקדקודים שמשני צדי הצלע‪ .‬במשולש מקובל לסמן את הצלע שמול הקדקוד באותה אות של הקדקוד‪.‬‬
‫הקדקוד באות גדולה‪ .‬הצלע באות קטנה‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪343‬‬
‫‪‬‬
‫(נבדוק שהתלמידים יודעים שצלע ‪ a‬היא צלע ‪).BC‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫נחבר את הקדקוד ‪ A‬עם הנקודה ‪.D‬‬
‫הקטע ‪ AD‬מחבר את הקדקוד ‪ A‬עם אמצע הצלע ‪. a‬‬
‫בהגדרה גם של התיכון וגם של הגובה יש התייחסות לקשר שבין הקטע המיוחד והצלע שמול הקדקוד‬
‫‪ AD‬הוא התיכון לצלע ‪. a‬‬
‫ממנו הם יוצאים‪ ,‬בנקודת החיתוך של הגובה והצלע אליה הוא מגיע נוצרת זווית ישרה‪ .‬התיכון מגיע לאמצע‬
‫סרטטו במשולש זה את התיכון לצלע ‪.c‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫הצלע‪ ,‬כלומר‪ ,‬נקודת החיתוך שלו עם הצלע היא אמצע הצלע‪ .‬סרטוט של שני קטעים אלו באותו משולש‬
‫מחדד את ההבדל ביניהם‪ .‬המשולש מסורטט על דף משובץ‪ ,‬המקל על הסרטוטים‪ .‬למציאת אמצע הצלע‬
‫תרגילים‬
‫יש לספור משבצות‪ .‬להעברת הגובה ייעזרו בקווי המשבצות‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪ .1‬סרטוט תיכון במשולש כאשר לא ניתן להיעזר במשבצות‪ .‬יש להיעזר בסרגל‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫סרטטו במשולש שלפניכם‬
‫( ) את התיכון לצלע ‪.b‬‬
‫(ב) את הגובה לצלע ‪.b‬‬
‫היעזרו במשבצות‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪B‬‬
‫‪K‬‬
‫סרטטו במשולש שלפניכם את התיכון לצלע ‪.k‬‬
‫‪L‬‬
‫‪M‬‬
‫‪161‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫פעילות ‪ – 2‬כמה תיכונים במשולש?‬
‫כמו הגובה וחוצה הזווית במשולש‪ ,‬התיכון יוצא מקדקוד המשולש‪ .‬למשולש יש שלושה קדקודים ולכן גם‬
‫שלושה תיכונים‪ .‬בפעילות זאת יסרטטו במחברת משולש‪ ,‬יסמנו את קדקודיו ב‪ F ,E ,D -‬ויעבירו בו את‬
‫התיכון לצלע ‪ DE‬ואת התיכון לצלע ‪.e‬‬
‫מומלץ לצבוע באותו צבע את הקדקוד ממנו יוצא התיכון ‪ D‬ואת הצלע אליה הוא מגיע‪ ,‬צלע ‪.EF‬‬
‫בסעיף (ו) תזכורת לגבי העובדה שיש משולשים שיש להם גובה "חיצוני" – גובה העובר מחוץ למשולש‪.‬‬
‫מומלץ להראות זאת בסרטוט מתאים‪ .‬נשאלת השאלה האם יש גם תיכון העובר מחוץ למשולש‪.‬‬
‫בכל המשולשים שהתלמידים סרטטו‪ ,‬כל התיכונים הם בתוך המשולש‪ .‬מהקדקוד האדום‬
‫יוצאות שתי צלעות של המשולש (צבועות בכחול) והתיכון (באדום)‬
‫שתמיד נמצא בין שתי הצלעות מכיוון שמגיע אל אמצע הצלע השלישית (צבועה בשחור)‪.‬‬
‫‪‬‬
‫התיכון תמיד בתוך המשולש‪.‬‬
‫‪ .34‬נתון סרטוט של משולש ‪ ABC‬ובו שני קטעים היוצאים מקדקוד ‪.A‬‬
‫( ) כמה משולשים בסרטוט? בסרטוט יש ‪ 6‬משולשים‪.‬‬
‫שלושה מתוכם רואים מידית‪ACD , ADE , AEB :‬‬
‫שלושה אחרים רואים כאשר מתעלמים מקווים מסיחים‪ACE , ADB , ABC :‬‬
‫זיהוי צורות חבויות בתוך סרטוט מורכב המלא "רעש"‪ ,‬חשוב לפיתוח תובנה טובה יותר של זיהוי‬
‫מצולעים ושימוש נכון בתכונותיהם בתוך גופים מרחביים‪.‬‬
‫(ב) – (ג) ל‪ AE -‬מספר תפקידים‪ .‬צלע של המשולש ‪ ,ACE‬צלע של ‪ ,AEB‬וגם תיכון של ‪.ABC‬‬
‫(ד) ‪ AB‬היא צלע משותפת לשני המשולשים הנתונים‪ .‬נבקש מהתלמידים לצבוע בצבע את צלעות ‪,AEB‬‬
‫ולצבוע בצבע אחר את צלעות ‪ .ADB‬הצלע ‪ AB‬צבועה לכל אורכה בשני הצבעים‪.‬‬
‫(ה) ‪ AD‬הוא גובה של כל אחד משישה המשולשים שמנינו בסעיף (א)‪ .‬התלמידים יציגו את תשובותיהם‬
‫ומומלץ להציג במליאת הכיתה את המשולשים ישרי הזווית‪ ,ADC , ADE , ADB :‬בהם ל‪AD -‬‬
‫שני תפקידים‪ :‬גם ניצב במשולש וגם גובה‪.‬‬
‫‪ .33‬תרגיל הפוך לתרגיל ‪ .11‬מסורטט משולש בו נמחקו האותיות‪ .‬על התלמידים לשבץ אותן במקומות הנכונים‪.‬‬
‫לפי הנתון‪ C ,B ,A ,‬הם קדקודי המשולש‪ CD .‬ו‪ CE -‬הם גובה ותיכון‪ .‬ניתן לתלמידים להתמודד עם‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫הפתרון ונסכם‪ :‬התיכון והגובה יוצאים מקדקוד ‪ C‬נשבץ אותו‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ D -‬זווית ישרה‪ ,‬ו‪ E -‬הוא אמצע צלע‪ .E .‬נשבץ גם אותם‪.‬‬
‫שני הקדקודים הנותרים הם ‪ A‬ו‪ .B -‬יש שתי תשובות אפשריות‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪‬‬
‫‪E D‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫‪162‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E D‬‬
‫‪‬‬
‫‪342‬‬
‫פעילות ‪ – 2‬כמה תיכונים במשולש?‬
‫( ) סרטטו במחברת משולש ‪. DEF‬‬
‫(ב) העבירו את התיכון לצלע ‪( .DE‬מאיזה קדקוד הוא יוצא?)‬
‫(ג)‬
‫העבירו את התיכון לצלע ‪( .e‬מאיזה קדקוד הוא יוצא?)‬
‫(ד) כמה תיכונים אפשר לסרטט מקדקוד אחד ?‬
‫(ה) כמה תיכונים יש במשולש?‬
‫(ו) ראינו משולשים שיש להם גובה חיצוני‪ .‬האם יש תיכון "חיצוני" למשולש?‬
‫(ז)‬
‫סרטטו משולשים שונים (ישר זווית‪ ,‬קהה זווית‪ ,‬משולש שכל זוויותיו חדות) להצדקת תשובתכם‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ .10‬התבוננו בסרטוט וענו על הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪.11‬‬
‫‪E‬‬
‫( )‬
‫כמה משולשים אתם רואים? פרטו‪.‬‬
‫(ב)‬
‫השלימו‪ AE :‬היא צלע במשולשים ____________________‬
‫‪D‬‬
‫‪ 4‬ס"מ‬
‫(ג)‬
‫השלימו‪ AE :‬הוא תיכון במשולש ___________‬
‫(ד)‬
‫איזה צלע היא צלע משותפת למשולשים ‪ AEB‬ו‪? ADB -‬‬
‫(ה)‬
‫מצאו שני משולשים שונים בהם הקטע ‪ AD‬הוא גובה‪.‬‬
‫לפניכם סרטוט של משולש ‪ ABC‬בו נמחקו שמות הנקודות‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ 4‬ס"מ‬
‫‪‬‬
‫ידוע כי‪ CD :‬הוא גובה במשולש‬
‫‪ CE‬הוא חוצה זווית במשולש‬
‫הוסיפו אותיות בנקודות המודגשות‬
‫כך שיתאימו לנתוני השאלה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.12‬‬
‫לפניכם סרטוט של משולש ‪ ABC‬בו נמחקו שמות הנקודות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫ידוע כי‪ BM :‬הוא גובה במשולש‬
‫‪ AE‬הוא תיכון במשולש‬
‫הוסיפו אותיות בנקודות המודגשות‬
‫כך שיתאימו לנתוני השאלה‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪341 :‬‬
‫‪ .32‬שיקולים דומים לאלו של תרגיל ‪.11‬‬
‫יש רק פתרון אחד‪.‬‬
‫התיכון ושטח המשולש‬
‫‪A‬‬
‫לפניכם‪ ,‬על דף משובץ‪ ,‬משולש ‪ . ABC‬כל משבצת מייצגת שטח של ‪ 1‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪M‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ AD‬הוא התיכון מקדקוד ‪ A‬לצלע ‪.BC‬‬
‫התיכון ‪ AD‬מחלק את המשולש ‪ ABC‬לשני משולשים‪.‬‬
‫מהם המשולשים? כתבו את שמותיהם‪.‬‬
‫האם משולשים אלו נראים חופפים?‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫נחשב את השטח של כל אחד משני המשולשים שהתקבלו‪.‬‬
‫הגובה לצלע ‪ ‬צלע‬
‫‪2‬‬
‫התיכון ושטח המשולש‬
‫מטרת הפעילות היא להראות שהתיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח‪.‬‬
‫הקנייה‪ :‬במליאת הכיתה כאשר הספר סגור‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ ‬שטחמ שול ש‬
‫נעביר את הגובה ‪ AE‬לצלע ‪: BC‬‬
‫‪A‬‬
‫מסרטטים משולש ‪ ABC‬ומעבירים בו את התיכון ‪ AD‬לצלע ‪( .BC‬חשוב שהמשולש לא ייראה שווה שוקיים‪).‬‬
‫שואלים‪ :‬האם שני המשולשים שהתקבלו הם חופפים?‬
‫נחשב את השטח של כל אחד מהמשולשים המתקבלים על‪-‬ידי העברת התיכון‪ .‬ניעזר בנוסחה לחישוב‬
‫‪B‬‬
‫שטח משולש‪ .‬בספר‪ ,‬המשולש מסורטט על דף משובץ בו כל משבצת מייצגת ריבוע שטחו ‪ 1‬סמ"ר‪,‬‬
‫נחשב את השטח של כל אחד מהמשולשים‪.‬‬
‫כך שניתן למצוא את אורך צלע ‪ BC‬והגובה לצלע זאת‪ .‬על הלוח ניתן את האורכים במספרים‪.‬‬
‫משולש ‪: ABD‬‬
‫מקבלים תכונה שלא מצפים לה‪ :‬המשולשים אינם חופפים‪ ,‬נראים שונים לחלוטין ובכל זאת לשניהם‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫משולש ‪:ACD‬‬
‫(שימו לב‪ AE ,‬הוא גובה משותף לשני המשולשים ‪ ACD‬ו‪). ABD -‬‬
‫‪A‬‬
‫אותו שטח‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫שואלים‪ :‬האם בכל משולש‪ ,‬התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח?‬
‫‪7‬‬
‫ניתן לסרטט משולש נוסף ולחזור על תהליך זה‪ .‬אבל בשלב זה התלמידים יודעים לחשב שטח של משולש‪,‬‬
‫ויכולים לעקוב אחרי תהליך ההוכחה הפורמלית מבלי לכתוב אותה בכתיב המתמטי‪.‬‬
‫לשני המשולשים צלע באורך שווה‪ .‬הגובה של שני המשולשים הוא אותו גובה‪ .‬שטח משולש שווה למכפלה של‬
‫צלע המשולש בגובה לצלע זאת לחלק ל‪ .2 -‬בשני המשולשים מתקבל אותו שטח‪.‬‬
‫(הערה‪ :‬המשפטים‪ :‬שלושת התיכונים במשולש נפגשים כולם בנקודה אחת‪ ,‬והתיכונים במשולש מחלקים זה‬
‫את זה לשני חלקים ביחס של ‪ 1 : 2‬אינם בתכנית הלימודים של כיתה ח וילמדו בכיתות הבאות)‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪6‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪7‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪6‬‬
‫המשולש קהה זווית‪.‬‬
‫הגובה מקדקוד ‪ A‬אל צלע ‪ BD‬הוא מחוץ למשולש‪.‬‬
‫הגובה מקדקוד ‪ A‬מגיע אל צלע ‪.CD‬‬
‫‪ 6‬ס"מ = ‪BD‬‬
‫אורך הצלע ‪: BD‬‬
‫‪ 7‬ס"מ = ‪AE‬‬
‫אורך הגובה ‪: AE‬‬
‫שטח משולש ‪ ABD‬הו ‪ 21‬סמ"ר ‪:‬‬
‫‪ 6‬ס"מ = ‪CD‬‬
‫אורך הצלע ‪: CD‬‬
‫‪ 7‬ס"מ = ‪AE‬‬
‫אורך הגובה ‪: AE‬‬
‫שטח משולש ‪ ACD‬הו ‪ 21‬סמ"ר‪:‬‬
‫‪67‬‬
‫‪ 21‬‬
‫‪2‬‬
‫לשני המשולשים שטחים שווים‪.‬‬
‫התיכון ‪ AD‬מחלק את המשולש לשני משולשים‪ :‬משולש ‪ ABD‬ומשולש ‪.ACD‬‬
‫ה משולשים אינם חופפים אבל השטחים שלהם שווים‪.‬‬
‫‪163‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪67‬‬
‫‪ 21‬‬
‫‪2‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪344‬‬
‫משפט‪ :‬תיכון של משולש מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח‪.‬‬
‫ניסוח המשפט‬
‫נוסיף משפט זה לארגז הכלים‪.‬‬
‫נוסיף משפט זה לארגז הכלים‪.‬‬
‫בתרגילים הבאים‬
‫הסרטוטים מוקטנים‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫תרגילים ‪ :36 – 31‬חישובי שטחים כאשר מתבססים על התכונה שהתיכון במשולש מחלק את המשולש‬
‫‪. 13‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ CM‬הוא תיכון לצלע ‪ BC‬במשולש ‪.ABC‬‬
‫‪M‬‬
‫‪A‬‬
‫שטח משולש ‪ MBC‬הוא ‪ 42‬סמ"ר‪.‬‬
‫לשני משולשים שווי שטח‪.‬‬
‫‪ .31‬מומלץ לפתור במליאת הכיתה‪ .‬נתון שטח של משולש אחד מבין השניים המתקבלים על‪-‬ידי העברת תיכון‪.‬‬
‫מה שטח משולש ‪? MAC‬‬
‫שואלים‪ :‬מה שטח המשולש השני?‬
‫‪C‬‬
‫על פי המשפט לשני המשולשים שטחים שווים‪ .‬לכן גם שטח המשולש ‪ ACM‬הוא ‪ 22‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪. 14‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ FG‬הוא תיכון לצלע ‪ DE‬במשולש ‪.DEF‬‬
‫שטח משולש ‪ FGE‬הוא ‪ 16‬סמ"ר‪.‬‬
‫( ) מה שטח משולש ‪? FGD‬‬
‫‪ ) ( .34‬כמו תרגיל ‪.13‬‬
‫(ב) שטח המשולש כולו ‪ DEF‬הוא כפול משטח של כל אחד מהמשולשים המתקבלים על‪-‬ידי העברת‬
‫(ב)‬
‫‪F‬‬
‫‪G‬‬
‫מה שטח משולש ‪? DEF‬‬
‫התיכון‪ .‬שטח ‪ DEF‬הוא ‪ 32‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ .35‬שטח כל אחד מהמשולשים המתקבלים על‪-‬ידי העברת התיכון שווה למחצית שטח המשולש כולו ‪.ABC‬‬
‫‪ .36‬בתרגיל זה יש לחשב את שטח המשולש האחד והשטח שמקבלים הוא גם שטח המשולש השני‪.‬‬
‫‪. 15‬‬
‫‪ BD‬הוא תיכון לצלע ‪ AC‬במשולש ‪.ABC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫שטח משולש ‪ ABC‬הוא ‪ 52‬סמ"ר‪.‬‬
‫מה שטח משולש ‪? ABD‬‬
‫נתון אורך הצלע ‪ BC‬והגובה לצלע זאת‪ .‬לחישוב השטח נעזרים בנוסחה‪ .‬המלל בשאלה זאת הוא גדול‬
‫‪D‬‬
‫מזה שבשאלות הקודמות ועלול להוות קושי בהבנת הנדרש‪ .‬אם מתגלה קושי כזה נבקש מהתלמידים‬
‫לקרוא שורה שורה ולהתאים כל שורה לסרטוט‪ :‬למשל‪ ,‬להוסיף את הגדלים לסרטוט‪ ,‬להיעזר בצבע‬
‫(בשאלה זאת משולש אחד נצבע מראש כדי להקל)‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ . 16‬במשולש ‪ ABC‬שלפניכם‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ AD‬הוא תיכון לצלע ‪.BC‬‬
‫ניתן לחשב את שטח המשולש כולו‪ ,‬משולש ‪ ABC‬ולחלק ל‪ 2 -‬כדי לחשב את שטחי‬
‫‪ AE‬הוא גובה לצלע ‪.BC‬‬
‫המשולשים החלקיים‪.‬‬
‫‪ 10‬ס"מ = ‪BC‬‬
‫‪ 6‬ס"מ = ‪AE‬‬
‫ניתן לחשב את שטח המשולש שצלעותיו צבועות באדום‪ .‬שטח המשולש השני שווה לשטח המשולש‬
‫) ( חשבו את שטח משולש ‪.ABD‬‬
‫האדום‪ .‬במקרה זה אורך צלע המשולש האדום היא מחצית מאורך הצלע ‪.BC‬‬
‫)ב( מה שטח משולש ‪? ADC‬‬
‫כיצד מצאתם? האם חישבתם?‬
‫טעות אפשרית‪ :‬שמכיוון שמחלקים ב‪ 2 -‬את אורך הצלע‪ ,‬לא יחלקו שוב ב‪ 2 -‬את המכפלה של צלע‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫המשולש בגובה‪.‬‬
‫מה למדנו?‬
‫לסיכום‪ ,‬מה למדנו?‬
‫מומלץ לקרוא יחד במליאת הכיתה כסיכום לנושא‪ .‬ללוות כל היגד בסרטוט מתאים‪.‬‬
‫‪164‬‬
‫‪‬‬
‫תיכון במשולש הוא קטע המחבר את קדקוד המשולש עם אמצע הצלע שמול הקדקוד‪.‬‬
‫‪‬‬
‫תיכון במשולש מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪145 :‬‬
‫‪ . 38 – 37‬תרגילים לסיכום הפרק‪ .‬מזמנים דיון נוסף בדרכים לחלוקה של משולש למשולשים שווי שטח‪.‬‬
‫‪ . 17‬תלמידי הכיתה התבקשו לחלק את המשולש ‪ ABC‬לשני משולשים שווי שטח‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫לפניכם ארבע מההצעות שהועלו בכיתה‪.‬‬
‫מומלץ לתת לתלמידים לענות על שאלות אלו בזוגות‪ .‬לאחר סיום העבודה בזוגות יתקיים דיון בכיתה‪.‬‬
‫‪.37‬‬
‫‪A‬‬
‫בחנו אותן‪ ,‬וקבעו אילו מהן מקיימות את דרישות המשימה‪ .‬הסבירו‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫מוצגות ‪ 2‬הצעות‪ ,‬על התלמידים לבחון אותן ולקבוע באילו מההצעות החלוקה היא למשולשים שווי שטח‪.‬‬
‫בהצעות של ארז וטל חלוקת המשולש נעשתה על ידי העברת תיכון ולכן המשולשים המתקבלים הם‬
‫שווי שטח‪ .‬בהצעה של תומר החלוקה נעשתה על‪-‬ידי העברת גובה‪ .‬לא מתקבלים משולשים שווי שטח‪.‬‬
‫בהצעה של נדב החלוקה נעשתה על‪-‬ידי העברת חוצה זווית‪ .‬לא מתקבלים משולשים שווי שטח‪.‬‬
‫ההצעה של תומר‬
‫‪B‬‬
‫ההצעה של ארז‬
‫ההצעה של טל‬
‫ההצעה של נדב‬
‫‪B A‬‬
‫‪B A‬‬
‫‪B A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫ההצעות של נדב וטל נראות כמעט זהות‪ .‬מראה עיניים כאן יכול להטעות‪ .‬חשוב להפנות תשומת לב‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫התלמידים לדמיון‪ ,‬לוודא שענו נכון ולחזור ולהזכיר כי אין להסתמך על מראה עיניים בלבד‪ .‬התכונות‬
‫עליהן מסתמכים הן אלו הנתונות במפורש בשאלה‪.‬‬
‫‪ . 18‬כל אחד מהמצולעים שלפניכם מחולק למשולשים‪.‬‬
‫‪.38‬‬
‫באילו מהם המשולשים הם שווי שטח? הסבירו‪.‬‬
‫משימה דומה אלא שכאן יש גם חלוקה של מלבנים ולא רק של משולשים‪.‬‬
‫( )‬
‫חלק מהמצולעים מחולקים לשני משולשים וחלק ליותר משני משולשים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫(ד)‬
‫‪‬‬
‫המורה יפעיל את שיקול דעתו ויחליט אם לתת לתלמידים לבצע תרגיל זה ללא חזרה מוקדמת או‬
‫לדון קודם בדרכים לחלוקה של מלבן למשולשים שווי שטח‪ ,‬כמו‪ :‬העברת אלכסון‪ ,‬חלוקה של המלבן לשני‬
‫(ז)‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫מלבנים באמצעות העברת קטע המקביל לצלעות הנגדיות של המלבן ומחלק וחוצה את הצלעות האחרות‪.‬‬
‫בכל בחירה של המורה מומלץ לשמוע את תשובות התלמידים וחשוב מאד לשמוע הסברים‪.‬‬
‫שאלות אפשריות‪ :‬מדוע במלבנים רק שלוש זוויות מסומנות כזויות ישרות?‬
‫(ב)‬
‫(ה)‬
‫מדוע אלכסון המלבן מחלק את המלבן לשני משולשים שווי שטח? (על‪ -‬פי משפט חפיפה ראשון או‬
‫(ח)‬
‫שלישי)‪.‬‬
‫בסעיף (ו) המלבן מחולק לשני מלבנים חופפים‪ .‬מדוע הם חופפים?‬
‫בכל אחד מהמלבנים‪ ,‬האלכסון מחלק את המלבן לשני משולשים חופפים‪.‬‬
‫פתרון‪ :‬סעיפים (ב) ‪( ,‬ג) ‪( ,‬ה) אינם עונים על הדרישות‪.‬‬
‫(ג)‬
‫‪165‬‬
‫(ו)‬
‫(ט)‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫נחזור ונתרגל‬
‫נחזור ונתרגל‬
‫‪.3‬‬
‫סדרו מהקטן לגדול‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫(‪ )3‬יש להניח שחלק מהתלמידים יחשבו את החזקות (במיוחד אם יש בידם מחשבון)‪.‬‬
‫סדרו מהקטן לגדול ‪:‬‬
‫‪(–4)3‬‬
‫חשוב לומר להם שענו נכון על התרגיל אבל‪ ,‬לפיתוח התובנה המספרית שואלים‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫האם היו חייבים לחשב? האם ניתן היה לדעת את סדר הגודל ללא חישוב?‬
‫כאשר בסיס החזקה הוא שלילי סימן החזקה תלוי במעריך‪ .‬כאשר מעריך החזקה זוגי‪ ,‬החזקה חיובית‪.‬‬
‫בין החזקות האחרות מתקיים שוויון בערך המוחלט של הבסיסים‪ ,‬שהוא מספר גדול מ‪.1 -‬‬
‫ככל שהמעריך גדול יותר‪ ,‬החזקה גדולה יותר‪.‬‬
‫‪43 , 44‬‬
‫הסדר מהקטן לגדול הוא‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫‪(–4)2‬‬
‫‪.(–4)3 ,‬‬
‫‪, 13 , 27‬‬
‫‪,‬‬
‫‪44‬‬
‫‪400‬‬
‫‪52 , 24 ,‬‬
‫(‪)3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪32‬‬
‫‪25‬‬
‫‪,‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫(‪)2‬‬
‫‪,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪100‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪.2‬‬
‫שטח ריבוע הוא ‪ 81‬מ"ר‪ .‬מה אורך צלע הריבוע?‬
‫‪.3‬‬
‫למשפחת אלון מוסך שצורתו מלבן‪ .‬מידות המוסך הן " ‪ 9‬מטרים על ‪ 5‬מטרים"‪.‬‬
‫המכונית של משפחת אלון תופסת שטח של ‪ 6‬מ"ר‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫(‪ )2‬ניתן לענות על השאלה באמצעות אומדן‪ :‬האם המספר גדול ‪ ,‬קטן‪ ,‬או שווה ל‪-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫גדול מ‪-‬‬
‫‪.‬‬
‫קטנים מ‪-‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪32‬‬
‫‪8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫? המונים שווים‪ ,‬המספר שהמכנה שלו גדול יותר הוא‬
‫או‬
‫איזה מספר גדול יותר‬
‫‪32‬‬
‫‪8‬‬
‫בעל הערך הקטן יותר‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. ‬‬
‫השלם מחולק ל‪ 32 -‬חלקים‪ .‬ומכאן‪:‬‬
‫השלם מחולק ל‪ 8 -‬חלקים‪ .‬ב‪-‬‬
‫או‪ ,‬ב‪-‬‬
‫‪8 32‬‬
‫‪32‬‬
‫‪8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫;‬
‫;‬
‫;‬
‫הסדר מהקטן לגדול‪:‬‬
‫‪32‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫(‪ )1‬בין החזקות בעלות מעריך ‪ ,2‬סדר הגודל בין החזקות הוא כסדר הגודל בין הבסיסים‪32 ; 52 ; 102 :‬‬
‫מה היחס שבין השטח שתופסת המכונית לשטח המוסך?‬
‫?‬
‫‪ .(24 = 2222 = 44 = 42) 24 = 42‬לכן ‪ 22‬נמצא בין ‪ 32‬לבין ‪.52‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪, 102 , 32‬‬
‫כאשר מעריך החזקה אי‪-‬זוגי‪ ,‬החזקה שלילית‪.‬‬
‫מבין החזקות הנתונות רק ‪ (–4)3‬הוא שלילי‪ ,‬כלומר הוא המספר הקטן ביותר‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪43 ,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪(–4)2‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪25  5‬‬
‫‪.4‬‬
‫לנועה תבנית אפייה בצורת ריבוע‪ .‬גודל התבנית " ‪ 40‬ס"מ על ‪ 40‬ס"מ"‪.‬‬
‫היא אופה עוגיות בצורת ריבוע‪ .‬אורך הצלע של כל עוגייה הוא ‪ 5‬ס"מ‪.‬‬
‫כמה עוגיות היא יכולה לאפות בתבנית זו?‬
‫‪.5‬‬
‫= ‪12 + 22‬‬
‫חשבו ‪:‬‬
‫= ‪22 + 32‬‬
‫= ‪32 + 42‬‬
‫= ‪42 + 52‬‬
‫( )‬
‫הוסיפו שני תרגילים נוספים לסדרה וחשבו אותם‪.‬‬
‫(ב)‬
‫איזו חוקיות מתקיימת בסדרת הסכומים המתקבלים?‬
‫(ג)‬
‫בלי לחשב את החזקות‪ ,‬כמה הם‪:‬‬
‫(ד) בלי לחשב את החזקות‪ ,‬כמה הם‪:‬‬
‫שהוא קטן מ‪.32 -‬‬
‫= ‪? 72 + 82‬‬
‫= ‪? (–7)2 + (–8)2‬‬
‫למעשה‪ ,‬בחזקות ובשורש הנתונים מספרים נוחים לחישוב‪ .‬נחשב ונסדר לפי הגודל‪.‬‬
‫‪102 = 100‬‬
‫;‬
‫‪24 = 16‬‬
‫;‬
‫(‪ )4‬נחשב את השורשים הריבועיים‪100  10 :‬‬
‫‪52 = 25‬‬
‫;‬
‫‪32 = 9‬‬
‫;‬
‫‪25  5‬‬
‫‪ . 400  20 ,‬ונסדר‪.2 , 10 , 13 , 20 , 27 :‬‬
‫‪166‬‬
‫‪.6‬‬
‫בסרטוט יש תשעה ריבועים קטנים שאורך הצלע שלהם היא ‪ 1‬ס"מ‪.‬‬
‫מצאו ריבועים נוספים בסרטוט‪ .‬מה גודלם?‬
‫‪346‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪346 :‬‬
‫‪ .2‬שימוש בנוסחת שטח של ריבוע‪.‬‬
‫צלע הריבוע שווה ל‪ 9 -‬ס"מ‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪( 2‬צלע) = שטח ריבוע‬
‫‪81  9‬‬
‫‪‬‬
‫לא לשכוח לכתוב תשובה מילולית‪.‬‬
‫‪ .1‬שאלת יחס‪ .‬שטח המוסך ‪ 25‬מ"ר‪.‬‬
‫היחס בין השטח שתופסת המכונית לבין שטח המוסך הוא‬
‫‪ .4‬שטח התבנית‪ 402 = 1600 :‬סמ"ר‪.‬‬
‫שטח העוגייה‪:‬‬
‫נחלק‪:‬‬
‫‪ 6 : 45‬ואחרי צמצום ב‪ ,3 -‬יתקבל היחס המצומצם ‪.2 : 15‬‬
‫‪ 52 = 25‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪1600 : 25 = 64‬‬
‫תשובה מילולית‪ :‬בתבנית ניתן לאפות ‪ 62‬עוגיות‪.‬‬
‫ניתן לפתור שאלה זו גם באמצעות יחס‪ .‬כאשר היחס ביחידות אורך הוא ‪ .1 : 8‬יחס השטחים הוא ‪.1 : 64‬‬
‫אוכלוסיית היעד של הספר לא למדה עדיין את הקשר בין היחס בין אורכי הצלעות ליחס בין השטחים‪.‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪12 + 22 = 1 + 4 = 5‬‬
‫נחשב‪:‬‬
‫‪+8‬‬
‫‪22 + 32 = 4 + 9 = 13‬‬
‫‪+32‬‬
‫‪32 + 42 = 9 + 16 = 25‬‬
‫‪+36‬‬
‫‪42 + 52 = 16 + 25 = 41‬‬
‫( ) שני תרגילים נוספים‪:‬‬
‫‪+24‬‬
‫‪52 + 62 = 25 + 36 = 61‬‬
‫‪+24‬‬
‫‪62 + 72 = 36 + 49 = 85‬‬
‫(ב) ההפרש בין הסכומים הוא סדרה של מספרים שההפרש ביניהם הוא ‪.2‬‬
‫= ‪? 72 + 82‬‬
‫(ג) מבלי לחשב‪ ,‬כמה הם‬
‫‪8 , 12 , 16 , 20 , 24‬‬
‫המספר הבא בסדרת ההפרשים הוא ‪ .28‬מוסיפים ‪ 28‬לתוצאת התרגיל השישי ומקבלים‪.113 :‬‬
‫(ד) מבלי לחשב‪ ,‬כמה הם‬
‫= ‪? (–7)2 + (–8)2‬‬
‫המעריכים של החזקות שבסכום הם מספרים זוגיים‪ .‬החזקות חיוביות‪ .‬גם כאן נקבל‪.113 :‬‬
‫‪ .6‬בסרטוט ‪ 9‬ריבועים קטנים גלויים‪.‬‬
‫בסרטוט מסתתרים ריבועים נוספים‪ .‬כדי להתמודד עם לימודי הגיאומטריה חשוב‬
‫שהתלמידים יהיו מסוגלים להתעלם מקווים מסיחים ויגלו גם את הצורות החבויות‪.‬‬
‫בתרגיל זה ‪ 2‬ריבועים של ‪ 2‬על ‪ ,2‬וריבוע אחד (הריבוע השלם) של ‪ 3‬על ‪.3‬‬
‫‪167‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪ .7‬שאלת חלוקה ביחס‪ .‬מומלץ לעשות חזרה על ההתאמה בין סדר הכתיבה והקריאה‪,‬‬
‫איזה מספר ביחס ‪ 4 : 3‬מתייחס לילדים ואיזה למבוגרים‪.‬‬
‫השאלה היא שאלה מילולית ולכן מחייבת תשובה מילולית‪ .‬לבדיקה נחבר את התוצאות ונוודא‬
‫שיחד מקבלים ‪ ,29‬שהוא מספר הנוסעים באוטובוס‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫מבוגרים מתוך ‪.29‬‬
‫ילדים‪ ,‬ו‪-‬‬
‫הפתרון‪ :‬באוטובוס‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.  49  21‬‬
‫מספר המבוגרים‪:‬‬
‫מספר הילדים‪:‬‬
‫‪ 49  28‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ .8‬שאלה של יחס‪ .‬בסעיף (ב) שואלים מי מנצח בתחרות? ובמילים אחרות‪ :‬מי רץ מהר יותר?‬
‫זמן הריצה נמצא ביחס הפוך למהירות (המרחק ליחידת זמן)‪ .‬כאשר המהירות גדלה פי גודל‬
‫מסוים‪ ,‬זמן הריצה קטן פי אותו גודל‪ .‬הנושא של יחס הפוך נלמד רק בסוף הספר (עמוד ‪.)222‬‬
‫כאן ההסבר יהיה אינטואיטיבי‪ :‬שואלים‪ :‬בשאלות דרכים למדנו כי משתתפים שלושה גדלים‪:‬‬
‫זמן‪ ,‬מהירות‪ ,‬ומרחק‪ .‬הקשר ביניהם‪ :‬המרחק שווה למהירות כפול הזמן‪.‬‬
‫מהירות הריצה‪ :‬המרחק ליחידת זמן‪ .‬באותה יחידת זמן שהבן עובר מרחק של ‪ 2‬מטרים האב‬
‫עובר מרחק של ‪ 5‬מטרים‪ .‬היחס בין מהירות הריצה של הבן למהירות הריצה של האב הוא ‪.2 : 5‬‬
‫האב והבן עוברים בדיוק אותו מרחק‪ .‬מי שרץ מהר יותר‪ ,‬מגיע קודם‪ ,‬כלומר‪ ,‬מי שמהירותו גדולה יותר‪,‬‬
‫זמן הריצה שלו קצר יותר‪.‬‬
‫ניתן לתת דוגמה מספרית‪ .‬נניח שיחידת הזמן היא ‪ 1‬שנייה‪ .‬מהירות הבן‪ 2 :‬מטרים בשנייה‪.‬‬
‫מהירות האב‪ 5 :‬מטרים בשנייה‪ .‬בכמה שניות יעבור האב מרחק של ‪ 111‬מטרים? (‪ 21‬שניות = ‪.)5 : 111‬‬
‫איזה מרחק יעבור הבן במשך ‪ 21‬שניות? (רק ‪ 81‬מטרים)‪ .‬מי ניצח בתחרות?‬
‫)‪(8  100,000 = 800,000‬‬
‫‪ ) ( .1‬אורך הנהר במציאות‪ 811,111 :‬ס"מ שהם ‪ 8‬ק"מ‪.‬‬
‫(ב) – (ג) מזמן דיון באיזה קנה מידה אורך הנהר בתרשים יהיה יותר גדול?‬
‫אם במפה בה קנה המידה הוא ‪ 1 : 100,000‬אורך הנהר הוא ‪ 8‬ק"מ‪ ,‬מה יקרה במפה‬
‫בה קנה המידה הוא ‪ ? 1 : 50,000‬האם אורך הנהר יהיה ‪ 16‬ס"מ או רק ‪ 2‬ס"מ?‬
‫באיזה מפה ניתן להציג יותר פרטים?‬
‫ככל שנדרשת מפה יותר מפורטת רצוי שכל ס"מ במפה ייצג פחות מרחק במציאות‪ .‬בקנה‬
‫מידה של ‪ 1 : 50,000‬אורך הנהר במפה גדול יותר‪.‬‬
‫לא מומלץ‪ ,‬אבל ניתן כמובן בסעיפים (ב) ו‪( -‬ג) רק לבצע את החישוב‪ :‬למשל בסעיף (ב)‪:‬‬
‫בקנה מידה של ‪ 1 : 50,000‬כל ‪ 1‬ס"מ במפה הם ‪ 51,111‬ס"מ במציאות‪.‬‬
‫אורך הנהר ‪ 811,111‬ס"מ‪ .‬נחלק ב‪ 51,111 -‬ונקבל ‪.16‬‬
‫‪168‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪347‬‬
‫באוטובוס נוסעים ילדים ומבוגרים‪ .‬היחס בין מספר הילדים לבין מספר המבוגרים באוטובוס הוא‬
‫באוטובוס ‪ 49‬נוסעים‪.‬‬
‫‪.4 : 3‬‬
‫כמה ילדים וכמה מבוגרים יש באוטובוס?‬
‫‪ .8‬אב ובנו מתחרים בריצה למרחק של ‪ 100‬מטרים‪.‬‬
‫הבן עובר ‪ 4‬מטרים בזמן שהאב עובר ‪ 5‬מטרים‪.‬‬
‫( ) מה היחס בין המרחק שעובר הבן לבין המרחק שעובר האב‪ ,‬באותה יחידת זמן‪.‬‬
‫(ב) מי מנצח בתחרות?‬
‫(ג)‬
‫‪.9‬‬
‫איזה מרחק עבר הבן כשהאב חצה את קו הסיום?‬
‫במפה בה קנה המידה הוא ‪ 1 : 100,000‬אורכו של נהר הוא ‪ 8‬ס"מ‪.‬‬
‫( ) מה אורכו של הנהר במציאות? כתבו תשובה בק"מ‪.‬‬
‫(ב) מה יהיה אורכו של הנהר במפה בקנה מידה של ‪? 1 : 50,000‬‬
‫= ‪ 1,000‬מטרים‬
‫‪ 1‬ק"מ‬
‫‪ 1‬מטרים = ‪ 100‬ס"מ‬
‫‪‬‬
‫= ‪ 100,000‬ס"מ‬
‫‪ 1‬ק"מ‬
‫(ג) מה יהיה אורכו של הנהר במפה בקנה מידה של ‪? 1 : 200,000‬‬
‫‪ . 10‬מחיר כניסה לתיאטרון הוא ‪ 50‬שקלים לאדם‪.‬‬
‫לקבוצות יש מחיר קבוצתי‪ .‬המחיר הקבוצתי הוא ‪ 400‬שקלים‪ ,‬ולמחיר זה יש להוסיף ‪ 10‬שקלים‬
‫לכל אדם בקבוצה‪.‬‬
‫הפונקציה‪ f(x) = 50x :‬מתארת את התשלום הכולל של קבוצה המונה ‪ x‬אנשים‪.‬‬
‫( ) תנו שמות לצירים וסרטטו את גרף הפונקציה במערכת הצירים שלפניכם‪.‬‬
‫(ב)‬
‫איזה מהפונקציות הבאות מתארת את התשלום הכולל‬
‫כאשר משלמים מחיר קבוצתי?‬
‫(‪)1‬‬
‫‪f(x) = 50x + 10‬‬
‫(‪)2‬‬
‫(‪)3‬‬
‫‪f(x) = 400 + 10x‬‬
‫‪f(x) = 10 + 400x‬‬
‫‪600‬‬
‫‪550‬‬
‫‪500‬‬
‫‪450‬‬
‫‪400‬‬
‫‪350‬‬
‫(ג) סרטטו במערכת הצירים את גרף הפונקציה בה בחרתם‪.‬‬
‫(ד) קבוצה בת ‪ 10‬אנשים הגיעה לתיאטרון‪.‬‬
‫באיזו שיטת תשלום כדאי להם לבחור? הסבירו‪.‬‬
‫(ה) קבוצה בת ‪ 15‬אנשים הגיעה לתיאטרון‪.‬‬
‫באיזו שיטת תשלום כדאי להם לבחור?‬
‫‪.11‬‬
‫‪300‬‬
‫‪250‬‬
‫‪200‬‬
‫‪150‬‬
‫‪100‬‬
‫‪50‬‬
‫‪8 9 10 11 12 13 14 15 16‬‬
‫‪5 6 7‬‬
‫‪3 4‬‬
‫‪0 1 2‬‬
‫מחיר כניסה למוזיאון הוא ‪ 28‬שקלים לאדם‪.‬‬
‫לקבוצות יש מחיר קבוצתי‪ .‬המחיר הקבוצתי הוא ‪ 260‬שקלים‪ ,‬ולמחיר זה יש להוסיף ‪ 2‬שקלים‬
‫לכל אדם בקבוצה‪.‬‬
‫( ) סמנו ב‪ x -‬את מספר האנשים בקבוצה‪.‬‬
‫(‪ )1‬כתבו ביטוי לתשלום הכולל שתשלם קבוצה בת ‪ x‬אנשים כאשר כל אחד יקנה כרטיס נפרד‪.‬‬
‫(‪ )2‬כתבו ביטוי לתשלום הכולל שתשלם קבוצה בת ‪ x‬אנשים כאשר יבחרו בתשלום הקבוצתי‪.‬‬
‫(ב) קבוצה בת ‪ 8‬אנשים הגיעה למוזיאון‪.‬‬
‫(ג)‬
‫באיזו שיטת מחיר תמליצו לה לבחור?‬
‫קבוצה בת ‪ 18‬אנשים הגיעה למוזיאון‪ .‬באיזו שיטת מחיר תמליצו לה לבחור?‬
‫(ד) קבוצה בת ‪ 10‬אנשים הגיעה למוזיאון‪ .‬באיזו שיטת מחיר תמליצו לה לבחור?‬
‫_________________________________________________________________________‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪347 :‬‬
‫‪f(x) = 50x‬‬
‫‪ .34‬השוואה במערכת צירים אחת בין הגרפים של הפונקציות‪:‬‬
‫‪f(x) = 400 + 10x‬‬
‫שמות הצירים‪ :‬תיאור מילולי ולא להסתפק רק בסימונים ‪.f(x) , x‬‬
‫הציר המאוזן‪ ,‬ציר ה‪ :x -‬מספר האנשים בקבוצה‪ .‬הציר המאונך‪ :‬התשלום הכולל בשקלים‪.‬‬
‫(ד) – (ה) על פי הגרף‪ ,‬קבוצה בת ‪ 11‬תשלם אותו מחיר בשתי דרכי התשלום‪.‬‬
‫לקבוצה המונה פחות מ‪ 11 -‬אנשים כדאי לשלם לפי מחיר של ‪ 51‬שקלים לאדם‪.‬‬
‫לקבוצה המונה יותר מ‪ 11 -‬אנשים כדאי לשלם בתעריף של מחיר קבוצתי‪.‬‬
‫ניתן גם לבצע את החישוב‪:‬‬
‫‪ 15‬אנשים לפי מחיר לאדם ישלמו‪ 251 :‬שקלים (‪.)15  50 = 750‬‬
‫‪ 15‬אנשים לפי מחיר קבוצתי ישלמו ‪ 551‬שקלים (‪ 211‬שקלים ועוד ‪ 11‬שקלים לאדם‬
‫כלומר ‪ 151‬שקלים‪ ,‬יחד ‪ 551‬שקלים‪ .‬ניתן גם להציב בנוסחה)‪.‬‬
‫התשלום‬
‫בשקלים‬
‫‪f(x) = 50x‬‬
‫‪600‬‬
‫‪f(x) = 400 + 10x‬‬
‫‪550‬‬
‫‪500‬‬
‫‪450‬‬
‫‪400‬‬
‫‪350‬‬
‫‪300‬‬
‫‪250‬‬
‫‪200‬‬
‫‪150‬‬
‫‪100‬‬
‫‪50‬‬
‫מספר האנשים‬
‫בקבוצה‬
‫‪8 9 10 11 12 13 14 15 16‬‬
‫‪ .33‬כמו תרגיל ‪ .11‬בהבדל שבתרגיל ‪ 11‬פונקציה אחת נתונה ואת השנייה צריך לבחור מבין שלוש‪.‬‬
‫בתרגיל זה לא נתונות הפונקציות ויש לכתוב אותן‪.‬‬
‫( ) (‪ )1‬את כתיבת הפונקציה ניתן לבצע בדרך תהליכית‪.‬‬
‫נניח שבקבוצה יש ‪ 11‬אנשים‪ .‬כמה ישלמו? ‪ 281‬שקלים )‪(10  28 = 280‬‬
‫נניח שבקבוצה יש ‪ 12‬אנשים‪ .‬כמה ישלמו? ‪ 336‬שקלים )‪(12  28 = 336‬‬
‫לאחר מספר ניסיונות מספריים מכלילים‪ :‬המספר הקבוע הוא ‪.28‬‬
‫נניח שבקבוצה יש ‪ x‬אנשים‪ .‬כמה ישלמו? ‪.28x‬‬
‫את ההצבות ניתן לערוך בטבלה כפי שעשינו במדריך לפתרון שאלות מילוליות‬
‫‪.f(x) = 28x‬‬
‫באמצעות משוואות‪( ,‬במדריך עמוד ‪ )92‬הפונקציה המתאימה‪:‬‬
‫(‪ )2‬הפונקציה המתאימה‪ .f(x) = 260 + 2x :‬כתיבת הפונקציה בדרך תהליכית כמו בסעיף (‪.)1‬‬
‫הקבועים ‪ .2 , 261‬מספר האנשים בקבוצה‪.x :‬‬
‫(ב) – (ד) פתרון אלגברי‪ :‬להציב את מספר האנשים בקבוצה בכל אחת מהפונקציות ולחשב‪.‬‬
‫פתרון גרפי‪ :‬לסרטט את הגרפים ולענות על השאלה‪ .‬מתוך הגרפים רואים כי קבוצה בת ‪ 11‬אנשים‬
‫תשלם מחיר שווה בשתי אפשרויות התשלום‪ .‬עבור קבוצה קטנה יותר‪ ,‬הגרף הכחול נמצא‬
‫מתחת לגרף האדום כלומר‪ ,‬עדיפה שיטת התשלום של ‪ 28‬שקלים לאדם‪.‬‬
‫לקבוצות מעל ‪ 11‬אנשים‪ ,‬הגרף האדום נמצא מתחת לגרף הכחול‪ .‬עדיפה שיטת התשלום לקבוצות‪.‬‬
‫מומלץ להתייחס למשמעות של הקו המצביע על חיתוך הציר האנכי (צבוע בירוק)‪.‬‬
‫‪169‬‬
‫‪5 6 7‬‬
‫‪3 4‬‬
‫‪0 1 2‬‬
‫התשלום‬
‫בשקלים‬
‫‪f(x) = 28x‬‬
‫‪305‬‬
‫‪300‬‬
‫‪f(x) = 260 + 2x‬‬
‫‪295‬‬
‫‪290‬‬
‫‪285‬‬
‫‪280‬‬
‫‪275‬‬
‫‪270‬‬
‫‪265‬‬
‫‪260‬‬
‫‪255‬‬
‫‪250‬‬
‫‪245‬‬
‫‪240‬‬
‫‪235‬‬
‫‪230‬‬
‫‪225‬‬
‫‪220‬‬
‫מספר האנשים‬
‫בקבוצה‬
‫‪18 20‬‬
‫‪12 14 16‬‬
‫‪10‬‬
‫‪8‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫משולש שווה שוקיים‬
‫‪148‬‬
‫משולש שווה שוקיים‬
‫את המשולש שווה השוקיים הכירו כבר בכיתה ז‪ .‬בכיתה ח ילמדו תכונות של המשולש שווה השוקיים‬
‫שכדי להוכיח אותן משתמשים במשפטי החפיפה של המשולשים‪.‬‬
‫משולש שווה שוקיים (שו"ש) הוא משולש ששתיים מצלעותיו שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ ∆ABC‬הוא משולש שווה שוקיים‪. AB = AC :‬‬
‫מספר שיעורים מומלץ‪.4 :‬‬
‫‪ A‬קדקוד הראש של המשולש‪.‬‬
‫הפרק פותח בתזכורת של כל המושגים הקשורים במשולש שווה שוקיים‪ :‬בסיס‪ ,‬שוק‪ ,‬זווית בסיס‪ ,‬זווית הראש‪.‬‬
‫‪ B‬ו‪ C -‬הם קדקודי הבסיס‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫זווית‬
‫הראש‬
‫שוק‬
‫שוק‬
‫שתי הצלעות השוות ‪ AB‬ו‪ AC -‬נקראות שוקיים‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫הצלע השלישית ‪ BC‬היא‬
‫‪ .1‬תרגיל זיהוי‪ .‬נתונים אורכים של צלעות במשולש‪ .‬אילו מהמשולשים הבאים הם שווי שוקיים‪.‬‬
‫שתי הזוויות ‪ ∢C , ∢B‬שמשני צידי הבסיס הן וויות ה‬
‫משולשים (א) ‪( ,‬ב) ‪( ,‬ד) ‪( ,‬ה) הם שווי שוקיים‪ .‬לא מתעורר קונפליקט לגבי משולשים (א) ‪( ,‬ב) ‪( ,‬ה)‪.‬‬
‫י המשולש‪.‬‬
‫י ‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫הזווית השלישית ‪ ∢A‬נקראת ווית הר ש‪.‬‬
‫זווית‬
‫בסיס‬
‫הם מקיימים את הנדרש בהגדרה‪ .‬מתעורר קונפליקט לגבי משולש (ד) בו כל הצלעות שוות‪.‬‬
‫האם הוא משולש שווה שוקיים? בהגדרה של משולש שווה שוקיים מצוין רק כי שתיים מהצלעות שוות‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫לא מוזכרת הצלע השלישית‪ .‬אין הגבלה לגבי הצלע השלישית‪ .‬לכן גם במשולש (ד) מתקיימת התכונה‬
‫‪ .1‬אילו מהמשולשים הבאים הם משולשים שווי שוקיים?‬
‫‪B‬‬
‫בסיס‬
‫זווית‬
‫בסיס‬
‫בתרגילים הבאים כל הסרטוטים מוקטנים‪.‬‬
‫הנדרשת כדי להיות מאובחן כמשולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫התייחסות למשולש כזה מופיעה בהמשך עמודים ‪.651 – 651‬‬
‫במשולש (ג) כל אחת מהצלעות היא באורך שונה‪ .‬המשולש אינו שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫( )‬
‫דוגמה ‪1‬‬
‫(ד)‬
‫‪5‬‬
‫( )‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫(ג)‬
‫(ה)‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2.5‬‬
‫בשיום המשולש נוח לכתוב את קדקוד הראש כאות הראשונה‪ .‬בדרך זאת שם המשולש מעיד על תפקידו של‬
‫כל קדקוד‪ .‬האות הראשונה היא קדקוד הראש‪ ,‬שתי האותיות הנוספות הן קדקודי הבסיס‪.‬‬
‫ניתן לכתוב שמות משולשים (בלי סרטוט) על הלוח ולשאול אם מהשם ניתן לדעת איזה הוא קדקוד הראש?‬
‫איזו היא זווית הראש? אלו הן השוקיים‪ ,‬הבסיס‪ ,‬וכדומה‪.‬‬
‫‪ .2-1‬בתרגיל ‪ 6‬מסורטטים משולשים‪ .‬בתרגיל ‪ 2‬המשולשים הם חלק מסרטוט מורכב יותר‪ .‬לזיהוי המשולשים‬
‫דוגמה ‪1‬‬
‫‪B‬‬
‫שם המשולש נקבע על‪-‬פי שלושת קדקודיו‪.‬‬
‫בדוגמה זו נתון משולש שווה שוקיים ‪.DBC‬‬
‫‪ D‬קדקוד הראש של המשולש‪.‬‬
‫‪ B‬ו‪ C -‬הם קדקודי הבסיס‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫השוקיים הן‪BD = CD :‬‬
‫זווית הראש היא‪∢BDC :‬‬
‫‪D‬‬
‫שווי השוקיים יש להתעלם מקווים מסיחים‪ .‬יש לכתוב את שם המשולש כפי שמוצג בדוגמה ‪ ,6‬ואת זווית‬
‫הראש של כל אחד מהם‪.‬‬
‫‪ .2‬בסרטוט שלפניכם יש משולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫(בדוגמה ‪ 6‬השוויון בין הצלעות מופיע בסרטוט באמצעות סימונים שווים‪ .‬בתרגיל זה האורכים בסרטוט‬
‫‪D‬‬
‫‪5‬‬
‫( ) כתבו את שם המשולש‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫( ) איזו היא זווית הראש?‬
‫מעידים על הצלעות השוות)‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪C‬‬
‫‪170‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪149‬‬
‫בכל אחד מהסרטוטים הבאים נתון משולש שווה שוקיים‪ .‬לכל סרטוט‪ ,‬כתבו את‪:‬‬
‫( ) שם המשולש השווה‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫( ) הצלעות השוות‪.‬‬
‫‪ .3‬תרגול ישיר של שיום המשולש על פי דוגמה ‪ .6‬זיהוי המשולש שווה השוקיים ושיום נכון‪.‬‬
‫(ג) זווית הראש‪.‬‬
‫‪ .4‬בכל סרטוט יש שני משולשים שווי שוקיים‪ .‬זיהוי המשולשי שווי השוקיים ושיום נכון‪.‬‬
‫(‪)1‬‬
‫(‪)3‬‬
‫‪B‬‬
‫‪P‬‬
‫עיף (‪ )3‬שוויון אחד של צלעות נתון בכתיב מתמטי ולא באמצעות סימונים שווים בסרטוט‪.‬‬
‫‪N‬‬
‫‪E‬‬
‫כדי שניתן יהיה לראות בצורה ברורה יותר את המשולש שווה השוקיים מומלץ‬
‫לצבוע את הצלעות השוות בצבעים שווים‪.‬‬
‫‪L‬‬
‫‪C‬‬
‫(‪)4‬‬
‫(‪)2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪H‬‬
‫‪G‬‬
‫‪ .5‬בסרטוט יש משולש שווה שוקיים אחד‪ .‬התלמידים מתבקשים להעביר אלכסון ולקבל משולש שווה שוקיים‬
‫נוסף‪ .‬למשל‪ ,‬על ידי העברת האלכסון ‪ BE‬יתקבל ‪ ABE‬שהוא שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪.4‬‬
‫בכל אחד מהסרטוטים שלפניכם יש יותר ממשולש שווה שוקיים אחד‪.‬‬
‫(ייתכן ויהיו תלמידים שיאמרו שגם ‪ EBC‬הוא שווה שוקיים‪ .‬נזכיר להם כי אין להסתמך על מראה‬
‫לכל סרטוט‪ ,‬כתבו את‪:‬‬
‫עיניים ויש להסתמך על תכונות ומשפטים שנלמדו‪ .‬במקרה זה רק שתי צלעות של ‪ EBC‬שוות לשתי‬
‫( ) שמות המשולשים השווי‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫( ) הצלעות השוות‪.‬‬
‫צלעות של ‪ , DCE‬כך שלא ניתן להסיק שהמשולשים חופפים‪ .‬אין צורך להעלות זאת אלא אם‬
‫(ג) זווית הראש‪.‬‬
‫יועלה על‪-‬ידי התלמידים‪).‬‬
‫(‪)1‬‬
‫(‪)2‬‬
‫‪A‬‬
‫(‪)3‬‬
‫‪AC = AD‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .5‬בסרטוט שלפניכם יש משולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫( ) העבירו אלכסון נוסף במחומש כך שיתקבל משולש שווה שוקיים נוסף‪.‬‬
‫( ) כתבו את שמות המשולשים השווי‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫(ג) איזו היא זווית הראש בכל אחד מהמשולשים השווי‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪C‬‬
‫‪171‬‬
‫‪3‬‬
‫‪D‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫בעמוד זה פעילויות מקדימות למשפט המרכזי של המשולש שווה השוקיים‪.‬‬
‫דוגמה ‪:2‬‬
‫האם ניתן להסיק ששני המשולשים חופפים? נבדוק‪.‬‬
‫בדוגמה ובתרגילים שאחריה נתונים משולשים ובכל אחד מהם חוצה זווית אחד‪.‬‬
‫דוגמה ‪2‬‬
‫למדנו כי חוצה הזווית במשולש עובר תמיד בתוך המשולש ומחלק אותו לשני משולשים‪.‬‬
‫‪ ABC‬הוא משולש שווה שוקיים‪.AB = AC :‬‬
‫‪150‬‬
‫למדנו כי חוצה זווית במשולש עובר תמיד בתוך המשולש ומחלק אותו לשני משולשים‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ CD‬הוא חוצה את זווית הבסיס ‪.∢C‬‬
‫האם ניתן לקבוע בוודאות ששני המשולשים חופפים?‬
‫נתרגם את נתוני השאלה לכתיב מתמטי‪( :‬ניעזר בצבעים‪).‬‬
‫‪AB = AC‬‬
‫בדוגמה נתון תהליך הפתרון‪ .‬בתהליך הפתרון נעזרים בצבעים‪.‬‬
‫בשלב ראשון יש לתרגם את ההיגדים שבשאלה המילולית לכתיב מתמטי‪.‬‬
‫‪∢C1 = ∢C2‬‬
‫בשלב שני לבדוק אם המשולשים חופפים‪ .‬מומלץ לחזור על משפטי החפיפה של המשולשים (הנמצאים בארגז‬
‫הכלים) ומשמעותם‪ :‬כדי להראות ששני משולשים הם חופפים יש להראות כי בין צלעות וזוויות המשולשים‬
‫מתקיימים שוויונות כנדרש באחד ממשפטי החפיפה‪ .‬בדוגמה זו מתקיימים שני שוויונות בלבד‪ ,‬שאינם‬
‫מספיקים כדי להוכיח חפיפה‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫השוקיים במשולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫חוצה זווית מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪B‬‬
‫חוצה הזווית ‪ CD‬מחלק את ‪ ABC‬לשני משולשים‪ ACD :‬ו‪.BCD -‬‬
‫ה ם ית לה יק שמשולשים לו ו ים?‬
‫משפטי החפיפה של המשולשים‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫שני המשולשים שווים בצלע ובזווית אחת‪:‬‬
‫‪CD = CD‬‬
‫צלע משותפת‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫‪22‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ ∢C1 = ∢C2‬נתון‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫שוויונות אלו אינם מספיקים כדי לקבוע שהמשולשים חופפים‪.‬‬
‫ה ם ית לה יק שמשולשים לו י ם ו‬
‫ים?‬
‫אם כך‪ ,‬האם ניתן להסיק מהנתונים שהמשולשים אינם חופפים? לפי הנתון המשולש הוא שווה שוקיים‪.‬‬
‫גם משולש שווה צלעות הוא שווה שוקיים‪ .‬ובמשולש שווה צלעות המשולשים חופפים‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫לסיכום‪ :‬מהנתונים שבשאלה לא ניתן להסיק שהמשולשים חופפים ולא ניתן להסיק שהמשולשים אינם חופפים‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .8 – 6‬כמו בדוגמה‪ ,‬בכל תרגיל נתון חוצה זווית של אחת מזוויות המשולש‪ .‬השאלה היא אם ניתן להסיק‬
‫שהמשולשים חופפים‪ .‬בתרגילים ‪ 8 , 1‬המשולש הוא משולש שווה שוקיים‪ .‬מתקיימים שלושה שוויונות‬
‫‪ ABC .6‬הוא משולש שווה שוקיים‪.AB = AC :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ AD‬הוא חוצה זווית הראש של המשולש‪.‬‬
‫( ) תרגמו את נתוני השאלה לכתיב מתמטי‪.‬‬
‫( ) ‪ AD‬מחלק את ‪ ABC‬לשני משולשים‪.‬‬
‫האם ניתן להסיק שהמשולשים חופפים? הסבירו‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫חוצה זווית הראש במשולש שווה שוקיים מחלק את המשולש לשני משולשים חופפים‪.‬‬
‫המובילים לחפיפה על פי משפט חפיפה ראשון‪.‬‬
‫בתרגיל ‪ 7‬המשולש הוא ישר זווית‪ ,‬ולא ניתן להסיק מהנתונים שהמשולשים חופפים‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ ABC .7‬הוא משולש ישר זווית‪.∢C = 90 :‬‬
‫מאידך‪ ,‬לא ניתן להסיק ששני המשולשים אינם חופפים‪ .‬אם המשולש ישר הזווית הוא גם שווה שוקיים‪,‬‬
‫המשולשים חופפים‪.‬‬
‫‪ CE‬הוא חוצה של ‪.∢C‬‬
‫( ) תרגמו את נתוני השאלה לכתיב מתמטי‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫( ) ‪ CE‬מחלק את ‪ ABC‬לשני משולשים‪.‬‬
‫(‪ )1‬האם ניתן להסיק שהמשולשים חופפים? הסבירו‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪ )2‬האם ניתן להסיק שהמשולשים אינם חופפים? הסבירו‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ DEF .8‬הוא משולש שווה שוקיים‪.DE = DF :‬‬
‫‪ DG‬הוא חוצה זווית הראש ‪.D‬‬
‫‪G‬‬
‫( ) תרגמו את נתוני השאלה לכתיב מתמטי‪.‬‬
‫( ) ‪ DG‬מחלק את ‪ DEF‬לשני משולשים‪.‬‬
‫האם ניתן להסיק שהמשולשים חופפים? הסבירו‪.‬‬
‫‪172‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪ .9‬בתרגיל ‪ 9‬נתונים משולשים שווי שוקיים‪ .‬בכל אחד מהמשולשים מסורטט חוצה זווית‪ .‬על התלמידים‬
‫‪.9‬‬
‫לפניכם ארבעה משולשים שווי שוקיים‪.‬‬
‫באלו מהם הוא חוצה את זווית הראש?‬
‫( )‬
‫‪A‬‬
‫‪22‬‬
‫( )‬
‫‪A‬‬
‫(ג)‬
‫‪22‬‬
‫‪20‬‬
‫‪20‬‬
‫בשלב ראשון נתון משולש שווה שוקיים וחוצה זווית הראש במשולש זה‪.‬‬
‫כמו בדוגמה ‪ 2‬ובתרגילים ‪ 8 - 1‬מתרגמים את הנתונים לכתיב מתמטי‪ .‬מומלץ להיעזר בצבעים‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫השוויונות בכתיב המתמטי בצבעים זהים‪.‬‬
‫נתרגם את הנתונים במשפט לכתיב מתמטי‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫וצה ווית הר ש משולש שווה שוקיים הו גם תיכו וגם גו ה ל‬
‫תרגום מתמטי‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫(‪ A‬קדקוד הזווית‪ AD ,‬חוצה הזווית‪).‬‬
‫נוסיף צבעים מתאימים לסרטוט ‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫מהם החלקים השווים שבין שני המשולשים‪:‬‬
‫‪CAD‬‬
‫שלוש הצלעות של המשולש האחד שוות בהתאמה לשלוש הצלעות של המשולש השני‪.‬‬
‫‪AB = AC‬‬
‫נתון‪.‬‬
‫‪∢BAD = ∢CAD‬‬
‫נתון‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫צלע משותפת‪.‬‬
‫משפטי חפיפה‬
‫‪BAD  CAD‬‬
‫‪B‬‬
‫שלוש הזוויות של המשולש האחד שוות בהתאמה לשלוש הזוויות של המשולש השני‪.‬‬
‫( )‬
‫‪BD = CD‬‬
‫( )‬
‫( ) ‪∢D1 = ∢D2‬‬
‫וגם (ג) ‪∢B = ∢C‬‬
‫כלומר הנקודה ‪ D‬היא אמצע הבסיס ‪.BC‬‬
‫י ‪.‬‬
‫( ) ‪ ∢D1 = ∢D2‬זוויות אלו הן זוויות צמודות ‪ ‬סכומן ‪.180‬‬
‫הזוויות שוות‪ :‬כל אחת היא מחצית של ‪.180‬‬
‫כלומר‪ AD .∢D1 = ∢D2 = 90 ,‬הוא גו ה ל‬
‫‪A‬‬
‫‪ AD‬הוא תיכו ל‬
‫זוויות אלו הן זוויות צמודות ‪ ‬סכומן ‪180‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫המשולשים ו ים‪:‬‬
‫הצלעות המתאימות שוות‪,‬‬
‫הזוויות המתאימות שוות‪.‬‬
‫המסקנות מהחפיפה‪:‬‬
‫‪BD = CD‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪BAD‬‬
‫לפי משפט חפיפה ראשון‪:‬‬
‫נקודה ‪ D‬היא אמצע הבסיס ‪ AD  BC‬הוא תיכו ל‬
‫י ‪.‬‬
‫‪AB = AC‬‬
‫מקיפול המשולש לאורך חוצה זווית הראש‪.‬‬
‫י ‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ABC‬‬
‫‪AD = AD‬‬
‫ולכן מסיקים‪:‬‬
‫‪45‬‬
‫המשפט מתייחס לחוצה זווית הראש במשולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪∢BAD = ∢CAD‬‬
‫משולשים חופפים הם משולשים המכסים זה את זה בדיוק‪ .‬כלומר‪,‬‬
‫‪19‬‬
‫‪19‬‬
‫‪B‬‬
‫כמודגם בספר‪ .‬מתייחסים קודם לחלק ההיגד בו כתובים הנתונים‪ .‬צובעים את ההיגד המילולי ואת‬
‫ולקפל לאורך חוצה הזווית‪ .‬לאחר ההתנסות המוחשית מבצעים את הפעילות הפורמלית המוצעת בספר‪.‬‬
‫מה מסיקים מהחפיפה? נחזור לפעילות המוחשית ונבדוק מה שווה בין שני המשולשים המתקבלים‬
‫‪3‬‬
‫‪C‬‬
‫‪3‬‬
‫‪C‬‬
‫מש ט‪:‬‬
‫ניתן לבקש מהתלמידים להעתיק את המשולש שווה השוקיים‪ ,‬לגזור אותו‪ ,‬להעביר את חוצה הזווית‬
‫(ד)‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫הפעילות תיערך במליאת הכיתה כאשר הספרים סגורים‪ .‬בונים את התהליך יחד עם התלמידים‪.‬‬
‫כאן ניעזר במשפט חפיפה ראשון‪.‬‬
‫כל הסרטוטים מוקטנים‪.‬‬
‫האורכים בס"מ‪.‬‬
‫בכל אחד מהמשולשים מסורטט חוצה זווית (בירוק)‪.‬‬
‫לזהות באילו מהמשולשים חוצה הזווית הוא חוצה זווית הראש של המשולש‪.‬‬
‫מטרת התרגיל‪ :‬הכנה למשפט המרכזי‪ :‬חוצה זווית הראש במשולש שווה שוקיים הוא תיכון וגובה לבסיס‪.‬‬
‫מש ט‪ :‬וצה ווית הר ש משולש שווה שוקיים הו תיכו וגו ה ל י ‪.‬‬
‫בודקים אם המשולשים המתקבלים הם חופפים לפי אחד ממשפטי החפיפה שנלמדו‪.‬‬
‫ליד הפעילות מופיע הלוגו של ארגז הכלים‪ .‬הכוונה‪ :‬נסתמך על משפטים מתוך ארגז הכלים‪.‬‬
‫‪151‬‬
‫הזוויות שוות‪ :‬כל אחת היא מחצית של ‪.180‬‬
‫כלומר‪.∢D1 = ∢D2 = 90 ,‬‬
‫י ‪.‬‬
‫‪ AD‬הוא גו ה ל‬
‫י ‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫וגם‪:‬‬
‫זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו‪.‬‬
‫(ג) ‪∢B = ∢C‬‬
‫תכונה נוספת של המשולש שווה השוקיים המתקבלת כמסקנה מההוכחה הנ"ל‪.‬‬
‫‪173‬‬
‫כלומר‪ ,‬וויות ה‬
‫י במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫עילויות ‪ 1‬ו‪ :2 -‬סרטוט של חוצה זווית‪ ,‬גובה ותיכון‪ ,‬לאותה צלע‪ ,‬במשולש שאינו שווה שוקיים‬
‫ובמשולש שווה שוקיים כדי למנוע הכללת יתר‪ :‬לא תמיד קטע אחד מקיים את כל שלושת התפקידים‪.‬‬
‫תכונה זו קיימת במשולש שווה שוקיים ולא במשולש אחר וגם במשולש שווה שוקיים רק כאשר מדובר בקטעים‬
‫המיוחדים היוצאים מקדקוד הראש של המשולש‪..‬‬
‫עילות ‪ :1‬סרטוט של חוצה זווית‪ ,‬גובה ותיכון‪ ,‬לאותה צלע‪ ,‬במשולש שאינו שווה שוקיים‪ .‬הסרטוט מתבצע‬
‫על דף משבצות כדי להקל על העברת התיכון והגובה‪ .‬חוצה הזווית מסורטט בספר‪.‬‬
‫ניתן לבקש לסרטט גם את חוצה הזווית באמצעות מד‪-‬זווית‪( .‬או באמצעות קיפול הדף כך ששתי שוקי הזווית‬
‫‪152‬‬
‫עילות ‪1‬‬
‫לפניכם משולש כלשהו ‪ ABC‬מסורטט על דף משובץ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫הקטע ‪ AE‬הוא חוצה זווית ‪.A‬‬
‫היעזרו במשבצות וסרטטו‪:‬‬
‫( ) את הגובה לצלע ‪.BC‬‬
‫את הגובה סמנו ב‪.AD -‬‬
‫( ) את התיכון לצלע ‪.BC‬‬
‫את התיכון סמנו ב‪.AF -‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫תכסנה זו את זו‪).‬‬
‫בפעילות זאת מתקבלים שלושה קטעים שונים‪ .‬לכל אחד מהם תכונה אחרת‪.‬‬
‫עילות ‪ :2‬גם כאן סרטוט של חוצה זווית‪ ,‬גובה ותיכון‪ ,‬לאותה צלע‪ ,‬לבסיס של משולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫כמו בפעילות הקודמת‪ ,‬הסרטוט מתבצע על דף משבצות כדי להקל על העברת התיכון והגובה‪.‬‬
‫כאן כל שלושת הקטעים מתלכדים‪ .‬קטע אחד הוא גם חוצה זווית הראש‪ ,‬גם התיכון לבסיס המשולש‬
‫עילות ‪2‬‬
‫לפניכם משולש שווה שוקיים ‪ ABC‬מסורטט על דף משובץ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫הקטע ‪ AD‬הוא חוצה זווית הראש ‪.A‬‬
‫היעזרו במשבצות והעבירו בו‪:‬‬
‫( ) את הגובה לצלע ‪.BC‬‬
‫( ) את התיכון לצלע ‪.BC‬‬
‫וגם הגובה לבסיס המשולש‪.‬‬
‫חשוב לשאול אם גם הקטעים המיוחדים היוצאים מקדקוד אחר של המשולש יקיימו תוכנה זאת‪.‬‬
‫אפשר לחזור לדוגמה ‪ 2‬עמוד ‪ ,651‬בה נתון חוצה של אחת מזוויות הבסיס‪ ,‬לבקש מהתלמידים‬
‫לבדוק אם הוא גם גובה לשוק והאם הוא גם תיכון לשוק‪ .‬שואלים‪ :‬מה נבדוק כדי לדעת אם הוא גובה?‬
‫מה נבדוק כדי לדעת אם הוא תיכון?‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫נציג זה ליד זה את הגובה‪ ,‬חוצה הזווית והתיכון היוצאים מקדקוד הראש במשולש שווה שוקיים‪ ,‬ואת הגובה‪,‬‬
‫חוצה הזווית והתיכון היוצאים מקדקוד של משולש שאינו שווה שוקיים‪.‬‬
‫לסיכום שתי הפעילויות‪:‬‬
‫‪ ABC‬משולש שווה שוקיים‬
‫‪ ABC‬משולש ש י ו שווה שוקיים‬
‫הצגה זה ליד זה של שני המשולשים שבפעילויות ‪ 6‬ו‪ .2 -‬חיזוק ויזואלי לפעילויות שנערכו‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫מתחת לכל סרטוט כתוב תפקידו של כל אחד מהקטעים המיוחדים (תוך שימוש בצבעים)‪.‬‬
‫שלושה הקטעים‪:‬‬
‫גובה‪ ,‬תיכון‪ ,‬וחוצה זווית‬
‫הם אותו קו‪.‬‬
‫(במשולש שווה השוקיים ‪ AD‬צבוע בשחור מכיוון שממלא את כל שלושת התפקידים של הקו האדום‪,‬‬
‫הקו הירוק והקו הכחול‪).‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ AD‬הוא גובה לבסיס‪.‬‬
‫‪ AE‬הוא חוצה זווית ‪.A‬‬
‫‪ AF‬הוא תיכון לצלע ‪.BC‬‬
‫‪174‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ AD‬הוא גם גובה לבסיס‪ ,‬גם תיכון לבסיס‪,‬‬
‫וגם חוצה זווית הראש‪.‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫ננסח בארבעה משפטים תכונות אלו של משולש שווה‪-‬שוקיים‪:‬‬
‫סיכום הפעילויות‪:‬‬
‫ניסוח התכונות המיוחדות למשולשים שווי שוקיים והוספת המשפטים האלו לארגז הכלים‪.‬‬
‫מומלץ לקרוא אותן יחד במליאת הכיתה ולבקש מכל תלמיד לסרטט משולש שווה שוקיים במחברת‬
‫ולסמן כל תכונה בסרטוט‪.‬‬
‫(בסיום הפרק בעמוד ‪ ,618‬יש הצגה מחודשת של ארגז הכלים הכוללת את המשפטים שנוספו בפרק זה‪).‬‬
‫(הישר שמשוואתו ‪ ,)x = 3‬פרט לנקודה )‪ ,(3 , 2‬יכולה להיות הנקודה המבוקשת‪.‬‬
‫‪175‬‬
‫‪‬‬
‫במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש מחלק את המשולש לשני משולשים ישרי זווית חופפים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪‬‬
‫חוצה זווית הראש במשולש שווה שוקיים הוא גם תיכון לבסיס‪.‬‬
‫‪‬‬
‫חוצה זווית הראש במשולש שווה שוקיים הוא גם גובה לבסיס‪.‬‬
‫נוסיף משפטים אלו לארגז הכלים‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .11‬נתונים משולשים‪ .‬בכל משולש נתונים חלקים שווים‪ :‬בחלק מהתרגילים נתונים מספריים ובחלק‬
‫סימונים זהים‪.‬‬
‫( ) זיהוי סוג המשולש על‪-‬פי הנתון בסרטוט‪ :‬משולש שווה שוקיים או משולש אחר‪.‬‬
‫( ) זיהוי הקטע האדום על פי הנתון בסרטוט‪ :‬חוצה זווית‪ ,‬או תיכון‪ ,‬או גובה‪.‬‬
‫(ג) האם לקטע האדום תפקידים נוספים? במשולש שווה שוקיים יש קטע אחד בעל שלושה תפקידים‪:‬‬
‫גם חוצה זווית‪ ,‬גם תיכון וגם גובה‪.‬‬
‫נתונה דוגמה פתורה‪ .‬בדוגמה‪ :‬המשולש אינו שווה שוקיים‪ .‬הקטע האדום הוא רק חוצה זווית במשולש‪.‬‬
‫משולשים (א) ו‪( -‬ה) הם משולשים שווי שוקיים‪ .‬על‪-‬פי הנתונים שבסרטוט‪ ,‬הקטע האדום הוא חוצה‬
‫זווית הראש של המשולש‪ .‬ולפי המשפט שלמדנו הוא גם תיכון וגובה לבסיס המשולש‪.‬‬
‫גם משולש (ב) הוא משולש שווה שוקיים‪ .‬הקטע האדום הוא תיכון לבסיס המשולש‪ .‬הוא ממלא תפקידים‬
‫נוספים‪ :‬גם גובה לבסיס וגם חוצה זווית הראש‪( .‬לימוד הגיאומטריה בכיתה ז הוא אינטואיטיבי ואינו דורש‬
‫הוכחות פורמלית‪ .‬לא הוכחנו משפט זה שהוא אחד מהמשפטים ההפוכים למשפט המרכזי ואין צורך‬
‫להיכנס לכך‪ .‬במקרה והשאלה תתעורר‪ ,‬ניתן להוכיח זאת באמצעות חפיפה של שני המשולשים על‪-‬פי‬
‫משפט חפיפה שלישי‪).‬‬
‫גם משולש (ד) הוא משולש שווה שוקיים והקטע האדום הוא חוצה זווית‪ ,‬אבל לא של זווית הראש אלא של‬
‫אחת מזוויות הבסיס‪ .‬אין לו תפקידים נוספים‪.‬‬
‫משולש (ג ) אינו שווה שוקיים (אין חשיבות לעובדה שהוא משולש ישר זווית)‪ .‬הקטע האדום הוא תיכון ליתר‪.‬‬
‫תרגילים ‪ :12 – 11‬שימוש במערכת צירים לסרטוט משולשים שווי שוקיים‪ .‬יש יותר מפתרון אחד‪.‬‬
‫‪ .11‬שימו לב כי אמנם בנקודה )‪ (3 , 2‬שיעור ה‪ x -‬הוא ‪ 3‬אבל נקודה זו נמצאת על‬
‫הישר המחבר את הנקודות ‪ M‬ו‪ N -‬כך שלא מתקבל משולש‪ .‬מומלץ לבקש מהתלמידים לתת דוגמאות‬
‫נוספות‪ .‬ולהכליל‪ :‬כל נקודה על הישר המאונך‪ ,‬החותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה ששיעורה הראשון הוא ‪,3‬‬
‫‪153‬‬
‫כל הסרטוטים מוקטנים‪.‬‬
‫האורכים בס"מ‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ ) ( .10‬לכל משולש כתבו אם לפי הנתונים שבסרטוט הוא משולש שווה שוקיים או משולש אחר‪ .‬הסבירו‪.‬‬
‫( ) בכל משולש יש קטע הצבוע באדום‪ .‬קבעו‪ ,‬על‪-‬פי הנתונים שבסרטוט‪ ,‬אם הוא חוצה זווית‪ ,‬תיכון‪,‬‬
‫או גובה במשולש‪ .‬הסבירו‪.‬‬
‫(ג) באילו מהמשולשים הקטע הצבוע באדום הוא גם חוצה זווית‪ ,‬גם תיכון‪ ,‬וגם גובה?‬
‫(ג)‬
‫( )‬
‫‪A‬‬
‫‪R‬‬
‫דוגמה‬
‫( ) ‪ GEF‬הוא שווה שוקיים‪.GE = GF :‬‬
‫( ) נתון‪ FH .∢EFH = ∢GFH :‬חוצה את זווית‬
‫הבסיס‪ FH .∢F‬חוצה זווית‪.‬‬
‫(ג) ‪ FH‬אינו תיכון ואינו גובה לצלע ‪.GH‬‬
‫‪P‬‬
‫‪41 41‬‬
‫‪C‬‬
‫‪G‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪1‬‬
‫‪H‬‬
‫‪3‬‬
‫‪38‬‬
‫‪38‬‬
‫‪4‬‬
‫‪T‬‬
‫‪E‬‬
‫‪S‬‬
‫( )‬
‫‪F‬‬
‫(ד)‬
‫‪Z‬‬
‫(ה)‬
‫‪Q‬‬
‫‪K‬‬
‫‪3‬‬
‫‪K‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪3‬‬
‫‪45‬‬
‫‪J‬‬
‫‪N‬‬
‫‪M‬‬
‫‪45‬‬
‫‪V‬‬
‫‪L‬‬
‫‪W‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ .11‬בציור נתונות שתי נקודות ‪ M‬ו‪.N -‬‬
‫‪6‬‬
‫יונתן מחפש נקודה ‪ P‬כך שאם נחבר את שלוש הנקודות‬
‫יתקבל משולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫אילו מהנקודות הבאות יכולה להיות הנקודה ‪ ? P‬הסבירו‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫( )‬
‫)‪(3 , 5‬‬
‫( ) )‪(3 , 2‬‬
‫‪3‬‬
‫(ג) )‪(1 , 3‬‬
‫‪N‬‬
‫(ד) )‪(3 , 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪M‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪154‬‬
‫‪ .12‬תרגיל דומה לתרגיל ‪ .66‬בתרגיל ‪ 66‬בסיס המשולש מקביל לציר ה‪.x -‬‬
‫‪y‬‬
‫בתרגיל ‪ 62‬בסיס המשולש מקביל לציר ה‪.y -‬‬
‫כמו בתרגיל ‪ ,66‬נבקש מהתלמידים להוסיף נקודות מתאימות משלהם‪.‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪ .12‬בציור נתונות שתי נקודות ‪ M‬ו‪.K -‬‬
‫מיכל מחפשת נקודה ‪ P‬כך שאם נחבר את שלוש הנקודות‬
‫‪2‬‬
‫יתקבל משולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫ההכללה‪ :‬כל נקודה על ציר ה‪( ,x -‬הישר שמשוואתו ‪ )y = 0‬פרט לנקודה )‪ ,(–1 , 0‬יכולה להיות‬
‫‪1‬‬
‫אילו מהנקודות הבאות יכולה להיות הנקודה ‪ ? P‬הסבירו‪.‬‬
‫הנקודה המבוקשת‪.‬‬
‫( )‬
‫)‪(3 , 0‬‬
‫(ג)‬
‫)‪(0 , 0‬‬
‫( )‬
‫)‪(–2 , 0‬‬
‫(ד)‬
‫)‪(–1 , 0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫דוגמה ‪3‬‬
‫שימוש במשפט שנלמד‪.‬‬
‫דוגמה ‪3‬‬
‫בעמוד ‪ 653‬הניסוח הפורמלי של המשפטים‪ .‬כאן מבצעים הלכה למעשה את מסקנות המשפט‪ :‬משלימים‬
‫‪ ABC‬הוא משולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪K‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ AD‬חוצה זווית הראש‪.‬‬
‫נתבונן בנתונים שבסרטוט‪:‬‬
‫‪24‬‬
‫( ) מה האורך של ‪? CD‬‬
‫בכחול‪ ,‬ציטוט של המשפט עליו מסתמכים‪ .‬ליד המשפט לוגו של ארגז הכלים‪.‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪ -3‬‬
‫אורכים של צלעות ומידות של זוויות במשולשים שווי שוקיים‪.‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ 4‬ס"מ‬
‫חוצה זווית הראש במשולש שווה שוקיים הוא גם תיכון לבסיס‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫חושב להרגיל את התלמידים להמליל את דרך החשיבה שהובילה אותו לפתרון התרגיל‪ ,‬ולהסביר כל שלב‬
‫כאשר מסתמכים על תכנים קודמים ומשפטים מתוך ארגז הכלים‪.‬‬
‫בתרגילים הראשונים‪ ,‬מופיעים על דף תובנות המשפטים הרלבנטיים לפתרון התרגיל מתוך ארגז הכלים‪.‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‪CD = BD‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫‪" 1.5‬מ = ‪CD‬‬
‫( ) מה הגודל של ‪? ∢B‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‪.∢C = ∢B‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫‪∢B = 66‬‬
‫(ג) מה הגודל של ‪? ∢BAD‬‬
‫בהמשך התלמידים מתבקשים להוסיף משפטים אלו בעצמם‪.‬‬
‫גודל הזוויות האחרות‪ .‬המשפטים הרלבנטיים כתובים על דף תובנות‪ .‬מומלץ לפתור סעיף אחד במליאת‬
‫‪ 1.5‬ס"מ ‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו‪.‬‬
‫נתון כי ‪ AD‬הוא חוצה ‪:∢A‬‬
‫‪ .13‬נתונים משולשים שווי שוקיים‪ .‬בכל משולש כתוב גודלה של זווית אחת‪ .‬על התלמידים להשלים את‬
‫‪B‬‬
‫‪66‬‬
‫‪.∢CAD = ∢BAD‬‬
‫‪∢BAD = 24‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫(ד) מה הגודל של ‪? ∢ADB‬‬
‫חוצה זווית הראש במשולש שווה שוקיים הוא גם גובה לבסיס‪.‬‬
‫‪∢ADB = 90‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫הכיתה‪ ,‬לקרוא את המשפטים שבדף התובנות ולוודא שהתלמידים מבינים אותם ויודעים להיעזר בהם‪.‬‬
‫מומלץ להרגיל את התלמידים לכתיבה מסודרת‪ ,‬כמו בדוגמה ‪ .3‬ציטוט המשפט וכתיבת המסקנה‬
‫במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו‪.‬‬
‫סכום הזוויות במשולש הוא ‪.180‬‬
‫‪ .13‬המשולשים הבאים הם משולשים שווי שוקיים‪.‬‬
‫בכתיב מתמטי או מילולית‪.‬‬
‫השלימו את גודל הזוויות החסרות‪.‬‬
‫( )‬
‫( )‬
‫‪A‬‬
‫‪70‬‬
‫‪A‬‬
‫(ג)‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫(ד)‬
‫‪A‬‬
‫‪42‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪176‬‬
‫‪124‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪ .14‬תרגיל דומה לתרגיל ‪ .63‬שימוש באותיות יווניות לשיום הזוויות‪.‬‬
‫‪155‬‬
‫‪ .14‬לפניכם שני משולשים שווי שוקיים‪.‬‬
‫( ) בכל אחד מהם חשבו את ‪ ‬ואת ‪.‬‬
‫( ) על אילו משפטים‪ ,‬מתוך ארגז הכלים‪ ,‬הסתמכתם?‬
‫התלמידים מתבקשים לכתוב באילו משפטים נעזרו כדי לחשב את הזוויות‪.‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪B‬‬
‫‪102‬‬
‫כמו בתרגיל ‪ 63‬על התלמידים לחשב גודל של זוויות במשולש‪ ,‬ובנוסף לחשב גם את אורכו של‬
‫הקטע ‪ CD‬השווה למחצית מבסיס המשולש‪ .‬המשפט הרלבנטי‪ :‬חוצה זווית הראש במשולש‬
‫שווה שוקיים הוא תיכון לבסיס‪ .‬כמו בתרגיל ‪ ,63‬המשפטים עליהם מסתמכים כתובים בדף תובנות‪.‬‬
‫מומלץ לפתור סעיף אחד במליאת הכיתה ואת האחרים לתת לתלמידים כעבודה עצמית בבית או בכיתה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫(‪)2‬‬
‫‪ .15‬בתרגיל זה כל המשולשים הם שווי שוקיים ובכל אחד מהם מסורטט חוצה זווית הראש של המשולש‪.‬‬
‫ניתן לבקש מהתלמידים לצבוע את השוקיים בכל משולש באותו צבע‪ .‬יקל ויזואלית על הפתרון‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪A ‬‬
‫‪65 C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ .15‬לפניכם סרטוטים מוקטנים של משולשים שווי שוקיים‪( .AC = AB :‬האורכים נתונים בס"מ‪).‬‬
‫בכל אחד מהמשולשים ‪ AD‬הוא חוצה זווית הראש‪.‬‬
‫‪ ‬חוצה זווית הראש במשולש שווה שוקיים הוא‬
‫גם תיכון לבסיס‪.‬‬
‫‪ ‬במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ ‬סכום הזוויות במשולש הוא ‪.180‬‬
‫( ) חשבו‪ ,‬בכל אחד מהמשולשים‪ ,‬את האורך של ‪. CD‬‬
‫( ) מה גודל הזוויות של ‪? ABC‬‬
‫(‪)4‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪6‬‬
‫‪58‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪10‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫(‪)5‬‬
‫‪25‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫(‪)2‬‬
‫‪D‬‬
‫‪4‬‬
‫‪C‬‬
‫‪45‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪6‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫(‪)3‬‬
‫‪A‬‬
‫(‪)6‬‬
‫‪70‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪5‬‬
‫‪55‬‬
‫‪3.5‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪177‬‬
‫‪B‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫תרגילים ‪:18 – 16‬‬
‫חישובים בסרטוטים בהם יש שני משולשים שווי שוקיים‪ .‬לשני המשולשים יש צלע משותפת‪.‬‬
‫כמו בתרגילים הקודמים נבקש מהתלמידים להסביר את דרך הפתרון ולצטט משפטים נדרשים לצורך החישוב‪.‬‬
‫בכל חישוב מומלץ להדגיש את המשולש בו מתמקדים‪ .‬ניתן לעשות זאת האמצעות צביעת הצלעות של כל‬
‫משולש בצבע אחר‪ .‬לא מומלץ לצבוע את השוקיים בצבע משלהם מכיוון שבסרטוט יהיה‬
‫יותר מידי רעש וקשה יהיה להתמקד בנדרש‪.‬‬
‫‪ ) (16‬המשולש בו נמצאת זווית 𝛿 הוא משולש ‪ .BCD‬למיקוד תשומת הלב במשולש‬
‫זה מומלץ לצבוע את צלעותיו‪ .‬המשולש הוא שווה שוקיים‪ .‬השוקיים מסומנות‬
‫בסימונים שווים‪ 𝛿 .‬היא זווית בסיס של המשולש‪ .𝛿 = 70 .‬המשפט‬
‫הרלבנטי‪ :‬זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו‪.‬‬
‫( ) גם זווית 𝛾 היא זווית של משולש ‪ .BCD‬לחישוב גודל הזווית מסתמכים על המשפט‪:‬‬
‫סכום הזוויות במשולש הוא ‪ .180‬נחשב ונקבל‪.𝛾 = 40 :‬‬
‫(ג) זוויות 𝛼 ו‪  -‬הן זוויות הבסיס של המשולש שווה השוקיים ‪.CAB‬‬
‫לחישוב גודלן יש להסתמך על שני המשפטים שהוזכרו בסעיפים הקודמים‪.‬‬
‫סכום הזוויות במשולש הוא ‪ .180‬לכן ‪.𝛼 +  = 180 – 90 = 90‬‬
‫זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו‪ .‬לכן �‪.𝛼 =  = 45‬‬
‫בתרגיל ‪ 61‬הנתונים הופיעו בסרטוט‪ .‬בתרגיל זה הנתונים כתובים מילולית‬
‫‪.17‬‬
‫בשאלה‪ .‬בסרטוט רק סימון של שתי צלעות שוות‪ .‬מומלץ להרגיל את‬
‫‪30‬‬
‫התלמידים להוסיף לסרטוט את כל הנתונים שבשאלה‪.‬‬
‫( ) למיקוד תשומת הלב נצבע את צלעות משולש‬
‫‪30‬‬
‫‪ ABC‬שאת זוויותיו יש לחשב‪ .‬החישוב מסתמך‬
‫על שני המשפטים המצוטטים בתרגיל ‪61‬ג‪.‬‬
‫( ) בסעיף זה נדגיש את צלעות המשולש ‪.CAB‬‬
‫‪30‬‬
‫‪30‬‬
‫במשולש זה כבר חישבנו את גודל זווית ‪ .B‬נוסיף נתון זה לסרטוט‪.‬‬
‫נמשיך כמו בתרגילים הקודמים‪.‬‬
‫דרך הפתרון כמו בתרגילים ‪ .61 – 61‬נוסיף את הנתונים לסרטוט‪.‬‬
‫‪.18‬‬
‫חישוב הזוויות במשולש ‪ ABC‬אפשרי רק אחרי חישוב הזוויות‬
‫‪621‬‬
‫‪44‬‬
‫במשולש ‪ .DBC‬זווית הבסיס )‪ (∢ACB‬שווה להפרש שבין ‪120‬‬
‫לגודל זווית הבסיס של ‪ DBC‬שהתקבלה בסעיף (א)‪.‬‬
‫‪178‬‬
‫‪156‬‬
‫‪B‬‬
‫‪γ β‬‬
‫‪ .16‬בסרטוט שני משולשים שווי שוקיים‪.‬‬
‫( ) חשבו את ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫( ) חשבו את ‪.γ‬‬
‫‪α‬‬
‫(ג) חשבו את ‪ α‬ואת ‪.β‬‬
‫‪ 90‬‬
‫‪C‬‬
‫על אילו משפטים הסתמכתם?‬
‫‪ ABC .17‬הוא משולש שווה שוקיים‪.AB = AC :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪70‬‬
‫‪D‬‬
‫הוסיפו את הנתונים לסרטוט‪.‬‬
‫צבעו גדלים שווים בצבעים זהים‪.‬‬
‫‪ DAB‬הוא משולש שווה שוקיים‪.DA = DB :‬‬
‫ידוע כי‪:‬‬
‫‪.∢C = 30‬‬
‫( ) חשבו את גודל הזוויות של ‪.ABC‬‬
‫( ) חשבו את גודל הזוויות של ‪.DAB‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫על אילו משפטים הסתמכתם?‬
‫‪B‬‬
‫‪ ABC .18‬הוא משולש שווה שוקיים‪.AB = AC :‬‬
‫הוסיפו את הנתונים לסרטוט‪.‬‬
‫‪ DBC‬הוא משולש שווה שוקיים‪.DB = DC :‬‬
‫ידוע כי‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪∢ACD = 120‬‬
‫‪∢D = 44‬‬
‫( ) חשבו את גודל הזוויות של ‪.DBC‬‬
‫( ) חשבו את גודל הזוויות של ‪.ABC‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫על אילו משפטים הסתמכתם?‬
‫‪A‬‬
‫‪ .19‬במשולש שווה שוקיים ‪ ABC‬זווית הראש היא בת ‪.60‬‬
‫‪60‬‬
‫חשבו את זוויות המשולש‪.‬‬
‫מדדו באמצעות סרגל את אורך הצלעות של המשולש‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.20‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש שווה שוקיים זווית הבסיס היא בת ‪.60‬‬
‫חשבו את זוויות המשולש‪.‬‬
‫מדדו באמצעות סרגל את אורך הצלעות של המשולש‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪60‬‬
‫‪C‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪157 – 156 :‬‬
‫תרגילים‬
‫משולש שווה צלעות‬
‫‪ .21 – 19‬הכנה לטיפול ביחסי הכלה של משולש שווה שוקיים ומשולש שווה צלעות‪.‬‬
‫מה תוכלו לומר על המשולשים שהתקבלו בתרגילים ‪? 20 – 19‬‬
‫‪ .19‬נתון משולש שווה שוקיים שזווית הראש שלו היא בת ‪.60‬‬
‫התקבלו משולשים שכל אחת מזוויותיהם היא בת ‪,60‬‬
‫‪ .21‬נתון משולש שווה שוקיים שזווית הבסיס שלו היא בת ‪.60‬‬
‫וכל שלוש הצלעות שוות באורכן‪.‬‬
‫איזה הוא קדקוד הראש של המשולש? איזו היא זווית הראש במשולש?‬
‫בשני תרגילים אלו על התלמידים לחשב את זוויות המשולש‪.‬‬
‫איזו מהצלעות היא בסיס המשולש?‬
‫מקבלים שכל אחת מזוויות המשולש היא בת ‪ .60‬כל שלוש זוויות המשולש שוות בגודלן‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪60‬‬
‫אילו הן השוקיים?‬
‫‪B‬‬
‫האם משולש כזה הוא משולש שווה שוקיים?‬
‫‪60‬‬
‫‪60‬‬
‫‪C‬‬
‫לאחר חישוב הזוויות התלמידים מתבקשים למדוד את אורך הצלעות באמצעות סרגל‪.‬‬
‫במשולש שכל צלעותיו שוות‪ ,‬שוות גם כל הזוויות‪.‬‬
‫בשני המשולשים כל שלוש צלעות המשולש שוות באורכן‪.‬‬
‫במשולש שכל זוויותיו שוות‪ ,‬שוות גם כל שלוש הצלעות‪.‬‬
‫שואלים‪ :‬איזה הוא קדקוד הראש של המשולש?‪ ,‬איזה הוא זווית הראש של המשולש?‪,‬‬
‫איזו מהצלעות היא בסיס המשולש? אילו הן השוקיים?‬
‫משולש כזה נקרא‪ :‬משולש שווה צלעות‪.‬‬
‫לכל קדקוד (זווית) ניתן להתייחס כקדקוד (זווית) הראש של המשולש‪ .‬כל אחת מהצלעות יכולה לשמש‬
‫‪ .21‬אילו מהמשולשים הבאים הם שווי שוקיים?‬
‫כבסיס המשולש וכל שתי צלעות יכולות לשמש כשוקיים‪.‬‬
‫( )‬
‫(ה)‬
‫(ג)‬
‫‪A‬‬
‫האם המשולש הוא משולש שווה שוקיים? כן‪.‬‬
‫הוא מקיים את ההגדרה של משולש שווה שוקיים‪ .‬יש בו שתי צלעות השוות באורכן‪.‬‬
‫סוגי משולשים‪:‬‬
‫משולש שונה צלעות‬
‫משולש שווה שוקיים‬
‫משולש שווה צלעות‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪8‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫בהגדרה לא אומרים דבר על הצלע השלישית‪ :‬היא יכולה להיות באורך שונה משתי הצלעות השוות או‬
‫להיות שווה באורכה לצלעות האחרות‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪5‬‬
‫כאשר הצלע השלישית שווה באורכה לשתי הצלעות האחרות (השוקיים) מקבלים משולש שניתן לו שם מיוחד‪:‬‬
‫משולש שווה צלעות‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪7‬‬
‫‪B‬‬
‫( )‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫(ד)‬
‫‪A‬‬
‫(ו)‬
‫‪C‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ .21‬נתונים שישה משולשים‪ .‬על התלמידים לזהות את המשולשים שהם שווי שוקיים‪.‬‬
‫המטרה‪ :‬לזהות גם את המשולשים שווי הצלעות כמשולשים שווי שוקיים‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪15‬‬
‫‪x‬‬
‫‪11‬‬
‫מאפשר לתלמידים הרהור נוסף על הקשר שבין משולש שווה צלעות ומשולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫בסוף העמוד‪ :‬המסקנה‪ :‬כל משולש שווה צלעות הוא משולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪B‬‬
‫אבל לא כל משולש שווה שוקיים הוא משולש שווה צלעות‪ .‬יש משולשים שווי שוקיים בהם אורך הבסיס שונה‬
‫מאורך השוקיים‪( .‬התייחסות ראשונית לכך הייתה כבר בעמוד ‪).648‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪A‬‬
‫הסרטוטים מוקטנים‪.‬‬
‫האורכים בס"מ‪.‬‬
‫דני אמר שמשולשים ( ) ‪( , ) ( ,‬ג) ‪( ,‬ה) ו‪( -‬ו) הם משולשים שווי שוקיים‪.‬‬
‫האם דני צודק?‬
‫כל משולש שווה צלעות הוא גם משולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪179‬‬
‫‪B‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫תרגילים ‪ :25 – 22‬מציאת גודלם של חלקים במשולש כאשר מסתמכים על המשפטים שנלמדו על תכונות‬
‫המשולש שווה השוקיים‪.‬‬
‫בכל משולש מבקשים מהתלמידים לסמן בסרטוט את הצלעות השוות‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .22‬לפניכם משולש שווה שוקיים ‪.AB = AC :ABC‬‬
‫‪A‬‬
‫נתון‪ 2.5 :‬ס"מ = ‪BD‬‬
‫‪∢BAD = ∢CAD = 40‬‬
‫‪40 40‬‬
‫מה גודלם של החלקים הבאים? הסבירו‪.‬‬
‫מתלמידים המתקשים לזהות את החלקים המתאימים נמליץ לצבוע חלקים שווים באותו צבע‪.‬‬
‫( )‬
‫‪CD‬‬
‫(ג)‬
‫‪∢B‬‬
‫חשוב להסביר את דרך החישוב על‪-‬ידי ציטוט המשפטים המתאימים לכל חישוב‪.‬‬
‫( )‬
‫‪∢D1‬‬
‫(ד)‬
‫‪∢C‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪B‬‬
‫‪2.5‬‬
‫דוגמה לפתרון‪:‬‬
‫‪ .22‬בסרטוט סימון השוקיים בסימנים שווים‪.‬‬
‫‪ .23‬לפניכם משולש שווה שוקיים ‪.AB = AC :ABC‬‬
‫ה ישו ‪:‬‬
‫‪ 2‬ס"מ = ‪.∢C = 70 ; CD‬‬
‫מה גודלם של החלקים הבאים? הסבירו‪.‬‬
‫על פי הנתון ‪ AD‬הוא חוצה זווית הראש במשולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫( )‬
‫‪BD‬‬
‫(ג)‬
‫‪α‬‬
‫שואלים‪ :‬מה ידוע לנו על נקודה ‪? D‬‬
‫מסתמכים על המשפט‪ :‬חוצה זווית הראש במשולש שווה שוקיים הוא תיכו וגובה לבסיס‪.‬‬
‫( )‬
‫‪∢B‬‬
‫(ד)‬
‫‪β‬‬
‫‪70‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫לכן‪ 2.5 :‬ס"מ = ‪.CD = BD‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫( ) על פי אותו משפט‪ :‬חוצה זווית הראש במשולש שווה שוקיים הוא תיכון וגו ה ל‬
‫י ‪.‬‬
‫‪ .24‬לפניכם משולש שווה שוקיים ‪.AB = AC :ABC‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪α β‬‬
‫‪ 3‬ס"מ = ‪CD = BD‬‬
‫‪.∢D1 = 90‬‬
‫‪∢B = 60‬‬
‫מה גודלם של החלקים הבאים? הסבירו‪.‬‬
‫(ג) – (ד)‪ .‬חישוב גודלן של זוויות הבסיס‪.‬‬
‫שואלים‪ :‬אילו הן הזוויות ‪ B‬ו‪ ? C -‬מה ידוע עליהן?‬
‫( )‬
‫‪‬‬
‫(ג)‬
‫‪α‬‬
‫( )‬
‫‪∢C‬‬
‫(ד)‬
‫‪β‬‬
‫המשפטים‪ :‬זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו‪ .‬וגם‪ :‬סכום זוויות המשולש הוא ‪.180‬‬
‫‪B‬‬
‫בכל אחד משנ י המשולשים המתקבלים מהעברת חוצה זווית הראש ידועות שתיים מהזוויות‬
‫‪ 40‬ו‪ .90 -‬נחשב את הזווית השלישית‪.50 :‬‬
‫‪D‬‬
‫‪α β‬‬
‫נתון‪ AD :‬הוא גובה לבסיס ‪.BC‬‬
‫שואלים‪ :‬על פי נתוני השאלה‪ ,‬מה ידוע לנו על ‪?AD‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫צביעת חלקים שווים באותו צבע‪.‬‬
‫( )‬
‫‪158‬‬
‫‪.∢B = ∢C = 50‬‬
‫‪γ δ‬‬
‫‪60‬‬
‫‪3‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ .25‬לפניכם משולש שווה שוקיים ‪.AB = AC :ABC‬‬
‫אפשרות אחרת‪ :‬זווית הראש של המשולש שווה השוקיים היא בת ‪ .80‬הסכום של שתי זוויות הבסיס‬
‫‪ AD‬הוא חוצה זווית הראש‪.‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪∢C = 32‬‬
‫הוא ‪ .100‬מכיוון ששתי זוויות הבסיס שוות זו לזו‪ ,‬כל אחת מהן היא בת ‪. 50‬‬
‫‪γ δ‬‬
‫‪ 15‬ס"מ = ‪CD‬‬
‫מה גודלם של החלקים הבאים? הסבירו‪.‬‬
‫‪180‬‬
‫‪D‬‬
‫( )‬
‫‪‬‬
‫(ג)‬
‫( )‬
‫‪∢B‬‬
‫(ד) ‪β‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α β‬‬
‫(ה) ‪BD‬‬
‫(ו)‬
‫‪BC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪32‬‬
‫‪C‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫ישו י וויות‬
‫מצעות משוו ות‬
‫ישו י וויות‬
‫בפרק זה נלמד לחשב גודל של זוויות באמצעות משוואות‪ .‬כמו בחישובים קודמים‪ ,‬גם כאן התלמידים יסבירו‬
‫את שלבי הפתרון תוך ציטוט תכנים עליהם הסתמכו לפתרון התרגיל‪.‬‬
‫פתרון שאלות מילוליות באמצעות משוואות נלמד כבר בכיתה ז ובתחילת כיתה ח‪ ,‬כך שהנושא מוכר לתלמידים‪.‬‬
‫הפרק פותח בשתי דוגמאות פתורות‪ ,‬כאשר עולה השאלה איזה מהגדלים החסרים כדאי לסמן ב‪? x -‬‬
‫מצעות משוו ות‬
‫דוגמה ‪4‬‬
‫זווית הבסיס במשולש שווה שוקיים גדולה ב‪ 24 -‬מזווית הראש‪.‬‬
‫מה הגודל של זוויות המשולש?‬
‫‪ ‬סכום הזוויות במשולש הוא ‪.180‬‬
‫‪ ‬זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו‪.‬‬
‫י ו מה וויות‬
‫הדוגמאות מוצגות במליאת הכיתה כאשר הספרים סגורים‪.‬‬
‫מ‬
‫ ‪?x‬‬‫שרות‬
‫השאלה מילולית‪ .‬מומלץ להוסיף סרטוט מתאים‪ ,‬ולסמן את השוקיים השוות במשולש‪.‬‬
‫דוגמה ‪4‬‬
‫‪159‬‬
‫שרות‬
‫‪ x‬זווית הראש‬
‫‪ x‬זווית הבסיס‬
‫‪ x + 24‬זווית הבסיס‬
‫‪ x – 24‬זווית הראש‬
‫‪A‬‬
‫דיון בשאלה‪ :‬איזו מהזוויות נסמן ב‪ ? x -‬על הלוח יוצגו שתי האפשרויות‪ :‬האחת‪ ,‬סימון גודל זווית הראש ב‪.x -‬‬
‫משוואה מתאימה‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫משוואה מתאימה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x – 24 + x + x = 180‬‬
‫‪x + x + 24 + x + 24 = 180‬‬
‫השנייה‪ :‬סימון גודל זווית הבסיס ב‪.x -‬‬
‫פתרון‪x = 44 :‬‬
‫פתרון‪x = 68 :‬‬
‫הביטויים עבור גודל הזוויות האחרות תלויים בבחירה של ‪.x‬‬
‫נציב בביטוי ‪x + 24‬‬
‫נציב בביטוי ‪x – 24‬‬
‫מומלץ להוסיף את הביטויים המתאימים לסרטוט כפי שנעשה בדוגמה‪.‬‬
‫‪44 + 24 = 68‬‬
‫כותבים משוואה‪ .‬בדרך בה מקבלים את המשוואה‪ x + x + 24 + x + 24 = 180 :‬חשוב לשים לב לכך שיש‬
‫נטייה לשכוח את ה‪ x -‬הראשון ולכתוב במשוואה רק את סכום שני הביטויים עבור גודל זוויות הבסיס‪.‬‬
‫בכל אחת מדרכי הפתרון מתקבל ‪ x‬שונה‪ .‬חשוב להדגיש כי למרות שמקבלים ערכים שונים של ‪ x‬בשתי‬
‫הדרכים לשאלה יש תשובה זהה‪.‬‬
‫חשוב לכתוב תשובה מלאה לשאלה‪ .‬בכתיבת התשובה רואים שלא חשוב באיזו דרך פתרון בוחרים‪ :‬התשובה‬
‫זהה‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪x+24‬‬
‫‪x+24‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫ה‪ :‬גודל זווית הראש ‪44°‬‬
‫תשו‬
‫‪44‬הבסיס ‪68°‬‬
‫זווית‬
‫גודל זווית גודל‬
‫הראש ‪°‬‬
‫‪68‬המשולש‪44° ,68° ,68° :‬‬
‫זוויות‬
‫גודל‬
‫גודל זווית הבסיס ‪°‬‬
‫גודל זוויות המשולש‪44° ,68° ,68 ° :‬‬
‫‪B‬‬
‫‪68 – 24 = 44‬‬
‫על דף תובנות מוצגת גם אפשרות אחרת‪ .‬בחירה בה מתקבלת משוואה עם שברים‪.‬‬
‫גודל זווית הראש ‪44 °‬‬
‫דוגמה ‪5‬‬
‫במשולש שווה שוקיים זווית הראש גדולה פי ארבעה מזווית הבסיס‪.‬‬
‫מהן זוויות המשולש?‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נוח לסמן את כל אחת מזוויות הבסיס ב‪.x -‬‬
‫סכום הזוויות במשולש הוא ‪.180‬‬
‫זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫סכום זוויות המשולש הוא ‪.180‬‬
‫משוואה מתאימה‪:‬‬
‫‪4x‬‬
‫‪x + x + 4x = 180‬‬
‫נפתור את המשוואה ונקבל‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫‪x = 30‬‬
‫מומלץ לדון בשאלה‪ :‬מדוע הבחירה המוצגת בספר היא נוחה יותר?‬
‫תשובה‪:‬‬
‫המורה יכול לפתור את השאלה גם בדרך האחרת‪ ,‬לקבל ערך שונה עבור ‪ ,x‬אבל אותה תשובה לשאלה‪.‬‬
‫‪ .26‬תרגיל דומה לדוגמאות‪ .‬לנוחיות התלמידים מסורטט משולש שווה שוקיים‪ .‬על דף תובנות השאלה‪:‬‬
‫איזו מהזוויות נסמן ב‪ ? x -‬זאת כדי להביא את התלמיד לחשיבה ולא לפתרון טכני‪ .‬בשאלה זאת‬
‫זווית הראש היא בת ‪.120‬‬
‫‪x‬‬
‫‪181‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪(4 30 = 120‬‬
‫תרגילים‬
‫‪.26‬‬
‫‪B‬‬
‫ניתן לסמן את הגודל של זווית הראש ב‪.x -‬‬
‫ביטוי לגודלה של זווית הבסיס הוא ‪.‬‬
‫אפשר לכתוב משוואה ולפתור‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש שווה שוקיים זווית הראש גדולה ב‪ 12 -‬מזווית הבסיס‪.‬‬
‫איזו מהזוויות נסמן ב‪? x -‬‬
‫(כמו בדוגמה ‪ )4‬יש שתי אפשרויות ובשתיהן מתקבלת משוואה נוחה לפתרון‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫גודל זוויות המשולש‪44° ,68° ,68 ° :‬‬
‫כל אחת מזוויות הבסיס במשולש היא בת ‪.30‬‬
‫תרגילים‬
‫‪C‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫ה‪ :‬גודל זווית הבסיס ‪68°‬‬
‫תשו‬
‫תשובה‪:‬‬
‫זווית‪68‬הראש ‪44°‬‬
‫גודל זווית גודל‬
‫הבסיס ‪°‬‬
‫גודל זוויות המשולש‪44° ,68° ,68° :‬‬
‫ביטוי לגודל של זווית הראש הוא‪.4x :‬‬
‫דוגמה ‪5‬‬
‫הנחיות כמו בדוגמה ‪ .4‬בפתרון המוצג בספר כתוב כי ו ל מ ב‪ x -‬את גודל זווית הבסיס של המשולש‪,‬‬
‫‪x–24‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪ .27‬שאלה דומה לשאלה ‪ .21‬לא מצורך סרטוט‪ .‬מומלץ לבקש מהתלמידים להוסיף זאת‪.‬‬
‫‪ .28‬בתרגיל זה לא נתונה אינפורמציה לגבי איזו זווית היא גדולה‪/‬קטנה יותר‪.‬‬
‫‪161‬‬
‫‪ .27‬במשולש שווה שוקיים זווית הבסיס קטנה ב‪ 45 -‬מזווית הראש‪.‬‬
‫איזו מהזוויות נסמן ב‪? x -‬‬
‫( ) חשבו את הגדלים של זוויות המשולש‪.‬‬
‫( ) איזה משולש התקבל?‬
‫יש שתי אפשרויות‪ .‬אחת‪ :‬זווית הבסיס גדולה פי ‪ 2‬מזווית הראש‪.‬‬
‫שנייה‪ :‬זווית הראש גדולה פי ‪ 2‬מזווית הבסיס‪.‬‬
‫‪) ( .28‬‬
‫בכל אפשרות מתקבל משולש אחר‪.‬‬
‫זווית הראש במשולש שווה שוקיים גדולה פי ‪ 2‬מזווית הבסיס‪.‬‬
‫חשבו את הגדלים של זוויות המשולש‪.‬‬
‫מומלץ לתת לתלמידים לפתור בדרך משלהם ולאחר מכן לחשוף אותם גם לדרך האחרת‪.‬‬
‫להציג על הלוח פתרונות שונים של תלמידים (אם לא הועלו על‪-‬ידי התלמידים‪ ,‬לומר‪ ,‬כי בכיתה מקבילה‬
‫תלמיד פתר בדרך אחרת להציג אותה ולשאול את התלמידים לדעתם על הפתרון האחר‪).‬‬
‫הפתרונות‪ 72 , 72 , 36 :‬או‪45 , 45 , 90 :‬‬
‫אפשר גם להוסיף את השאלה‪ :‬אחת מהזוויות של משולש שווה שוקיים גדולה ב‪ 91 -‬מזווית אחרת‪.‬‬
‫( ) זווית הבסיס גדולה פי ‪ 2‬מזוויות הראש‪.‬‬
‫חשבו את הגדלים של זוויות המשולש‪.‬‬
‫‪ .29‬במשולש שווה שוקיים זווית הראש קטנה ב‪ 20 -‬מפעמיים זווית הבסיס‪.‬‬
‫חשבו את הגדלים של זוויות המשולש‪.‬‬
‫כתבו משוואה מתאימה ופתרו‪.‬‬
‫נוח לסמן את זווית הבסיס ב‪.x -‬‬
‫ביטוי לפעמיים זווית הבסיס‪.2x :‬‬
‫ביטוי לגודל זווית הראש‪2x – 20 :‬‬
‫‪C‬‬
‫מה גודלן של זוויות המשולש? במקרה זה יש רק משולש אחד‪ .30 , 30 , 120 :‬אפשרות אחרת לא‬
‫קיימת כי לא ייתכן שזוויות הבסיס תהיינה קהות‪( .‬סכום הזוויות במשולש הוא ‪ ).180‬אם ינסו לפתור‬
‫באמצעות משוואה מתאימה יתקבל ‪ x‬שלילי‪.‬‬
‫‪ .29‬שאלה דומה לקודמות‪ .‬הקושי כאן הוא בכתיבת הביטוי המתאים לגודל זווית הראש של המשולש‪.‬‬
‫הביטוי האלגברי המייצג את גודל זווית הראש מתקבל מביצוע שתי פעולות על ‪.x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪2x–20‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫ה ם משולש ש ו שתיים מה וויות שוות הו משולש שווה שוקיים?‬
‫דוגמה ‪6‬‬
‫למדנו כי במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו‪.‬‬
‫האם כל משולש שבו שתיים מהזוויות שוות הוא משולש שווה שוקיים?‬
‫‪A‬‬
‫נבדוק‪ .‬נתבונן במשולש ‪ ABC‬שבו ‪.∢C = ∢B = 40‬‬
‫נעביר את הגובה מקדקוד ‪ A‬לצלע ‪.BC‬‬
‫לכן‪ ,‬הביטויים האלגבריים המייצגים את גודל הזוויות כתובים על דף תובנות‪.‬‬
‫ה ם משולש ו שתיים מה וויות שוות הו משולש שווה שוקיים‬
‫הגובה מחלק את המשולש לשני משולשים ישרי זווית‪:‬‬
‫‪∢BDA = ∢CDA = 90‬‬
‫האם שני המשולשים ישרי הזווית הם משולשים חופפים?‬
‫למדנו כי במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס הן זוויות שוות‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪40‬‬
‫‪40‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫השלימו בסרטוט את הזוויות החסרות‪.‬‬
‫האם גם המשפט ההפוך נכון? האם כל משולש שבו שתיים מהזוויות שוות הוא משולש שווה שוקיים?‬
‫אין צורך לדבר על משפט ומשפט הפוך‪ .‬נסתפק בהצגת השאלה‪.‬‬
‫ההוכחה מסתמכת על חפיפת משולשים על פי משפט חפיפה שני‪ .‬היא מתבצעת על משולש שידוע גודלן של‬
‫שתי הזוויות ולא על משולש כללי (הוכחה פורמלית)‪ .‬לצורת ההוכחה נעביר גובה לצלע ‪ .BC‬הגובה מחלק את‬
‫המשולש לשני משולשים ויש להוכיח כי המשולשים חופפים‪ .‬לשני המשולשים צלע אחת שווה – צלע משותפת‪.‬‬
‫בנוסף‪ ,‬שני המשולשים שווים בשתיים מזוויותיהם‪ .‬מכיוון שסכום הזוויות במשולש הוא ‪ ,180‬בשני המשולשים‬
‫‪∢BAD = 50‬‬
‫ניעזר במשפט‪:‬‬
‫‪∢CAD = 50‬‬
‫סכום הזוויות במשולש הוא ‪.180‬‬
‫‪50 50‬‬
‫לשני המשולשים יש צלע משותפת (‪.)AD‬‬
‫‪C‬‬
‫‪40‬‬
‫‪40‬‬
‫‪D‬‬
‫המשולשים חופפים‪ ∆ACD ≅ ∆ABD .‬לפי משפט חפיפה שני (ז‪ .‬צ‪ .‬ז‪).‬‬
‫במשולשים חופפים שווים הגדלים המתאימים ולכן‪.AB = AC :‬‬
‫מ ק ה‪ :‬משולש שבו שתיים מהזוויות הן בנות ‪ 40‬הוא משולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫בדרך זאת נוכל להראות כי כל משולש שבו שתיים מהזוויות שוות הוא משולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫גם הזווית השלישית שווה‪ .‬המסקנה‪ :‬משולש בו שתיים מהזוויות הן בנות ‪ 40‬הוא משולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫באותו אופן ניתן להראות זאת בכל משולש בו נתונות שתי זוויות שוות‪.‬‬
‫נוסיף משפט זה לארגז הכלים‪.‬‬
‫‪182‬‬
‫צלע משותפת‬
‫זוויות משולש ‪ ABD‬שוות בהתאמה לזוויות משולש ‪.ACD‬‬
‫מש ט‪ :‬משולש שבו שתי זוויות שוות הוא משולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫לסיום‪ :‬ניסוח המשפט‪ :‬משולש שבו שתי זוויות שוות הוא משולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪161‬‬
‫תרגילים‬
‫תרגילים‬
‫‪ ) ( .30‬השלימו את הגדלים של הזוויות החסרות במשולשים הבאים‪.‬‬
‫( ) איזה מהם הוא משולש שווי שוקיים‪.‬‬
‫(ג) במשולש השווה שוקיים כתבו מהן שוקי המשולש‪.‬‬
‫התרגילים עוסקים בחישובי זוויות במשולשים‪.‬‬
‫לאחר שיודעים מה גודלן של זוויות המשולש יש לקבוע אם הוא משולש שווה שוקיים ולכתוב אילו הן שוקי המשולש‪.‬‬
‫(‪)1‬‬
‫(‪)3‬‬
‫(‪)2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ .31‬שימוש במשפט‪ :‬סכום הזוויות במשולש הוא ‪.180‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪70‬‬
‫‪65‬‬
‫משולש (‪ )3‬הוא משולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ .31‬במשולשים אלו נתון גודל של זווית (זוויות) הצמודות לזווית פנימית של המשולש‪.‬‬
‫‪40‬‬
‫עדיין לא הכירו את המושג של זווית חיצונית למשולש ואין צורך לעשות זאת כאן‪( .‬הנושא יילמד בהמשך‬
‫הפרק בעמוד ‪ .)614‬החישובים על פי המשפט‪ :‬סכום שתי זוויות קדקודיות הוא ‪.180‬‬
‫על דף תובנות הפנייה לארגז הכלים למשפט על זוויות צמודות‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪70‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪40‬‬
‫‪ ) ( .31‬חשבו את ‪ x‬ומצאו את הגדלים של הזוויות החסרות במשולשים הבאים‪.‬‬
‫( ) אילו מהמשולשים הם שווי שוקיים? הסבירו‪.‬‬
‫(‪)1‬‬
‫כל שלושת המשולשים הם משולשים שווי שוקיים‪.‬‬
‫‪ .32‬שלא כמו בתרגילים ‪ ,36 – 31‬כאן נתון שהמשולש הוא משולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪60‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫(‪)3‬‬
‫(‪)2‬‬
‫‪4x – 12‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x + 36‬‬
‫‪2x – 34‬‬
‫‪3x + 10‬‬
‫‪ .33‬בדומה לתרגיל ‪ ,21‬יש שתי אפשרויות‪ .‬נתון שהזווית הצמודה לאחת מזוויות המשולש שווה השוקיים היא בת‬
‫‪x‬‬
‫‪ .662‬לא מצוין לאיזו זווית של המשולש שווה השוקיים‪ ,‬ולכן יש שתי אפשרויות‪.‬‬
‫‪x+6‬‬
‫‪2x‬‬
‫הזווית בת ‪ 662‬יכולה להיות הזווית הצמודה לזווית הבסיס‪ .‬או הזווית בת ‪ 662‬יכולה להיות הזווית‬
‫הצמודה לזווית הראש של המשולש‪.‬‬
‫‪3x + 10‬‬
‫‪ .32‬המשולש שבסרטוט הוא שווה שוקיים‪,‬‬
‫‪α‬‬
‫הזווית הצמודה לזווית הראש היא בת ‪.130‬‬
‫חשבו את הגדלים של זוויות המשולש‪.‬‬
‫‪130‬‬
‫מה למדנו על זוויות צמודות?‬
‫‪‬‬
‫‪β‬‬
‫‪ ) ( .33‬השלימו את הגדלים של הזוויות החסרות במשולשים הבאים‪.‬‬
‫( ) האם המשולשים משולשים שווי שוקיים? הסבירו‪.‬‬
‫(ג) בכל משולש כתבו אילו הן שוקי המשולש‪.‬‬
‫(‪)1‬‬
‫(‪)2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫(‪)3‬‬
‫‪A‬‬
‫‪57‬‬
‫‪60‬‬
‫‪114‬‬
‫‪C‬‬
‫‪183‬‬
‫‪106‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪53‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪120‬‬
‫‪C‬‬
‫‪162‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪ .34‬המשפטים‪ :‬סכום הזוויות במשולש הוא ‪.681‬‬
‫‪ .34‬בסרטוט שלפניכם נתון כי‪.CE = CD :‬‬
‫זוויות קדקודיות שוות זו לזו‪.‬‬
‫חישוב גודל הזוויות נעשה בשלבים‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪γ‬‬
‫( ) חשבו את ‪.α‬‬
‫קודם משלימים את גודל זווית 𝛼‪ ,‬מכיוון שבמשולש ‪ ABC‬שתיים מהזוויות נתונות כך שיש להשלים את‬
‫‪ .35‬סדר הופעת השאלות הוא סדר ביצוע החישובים‪.‬‬
‫גם כאן מתחילים מהשלמת הזווית במשולש בו נתון גודלן של שתיים מהזוויות‪.‬‬
‫בסעיף (ד)‪ .𝛼 = 63 :‬משולש ‪ BAC‬הוא שווה שוקיים‪.∢A = ∢C :‬‬
‫‪ CAB ) ( .36‬הוא משולש שווה שוקיים‪:‬‬
‫‪.∢BAC = ∢B = 30‬‬
‫‪ LKN ) ( .37‬הוא משולש שווה שוקיים‪:‬‬
‫‪.∢LNK = ∢K = 70‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫(ד) חשבו את ‪.‬‬
‫מה למדנו על זוויות קדקודיות?‬
‫‪A‬‬
‫‪ .35‬במשולשים שלפניכם ‪ BD‬הוא גובה לצלע ‪.AC‬‬
‫בסרטוט‪ ,‬נתון הגודל של חלק מהזוויות‪.‬‬
‫( )‬
‫חשבו את זווית ‪.‬‬
‫( )‬
‫חשבו את זווית ‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪D ‬‬
‫(ג)‬
‫חשבו את זווית ‪.‬‬
‫(ד)‬
‫האם יש בסרטוט יש משולש שווה שוקיים? אם כן‪ ,‬איזה?‬
‫‪27‬‬
‫‪‬‬
‫‪B‬‬
‫‪63‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ .36‬במשולשים שלפניכם נתון הגודל של חלק מהזוויות‪.‬‬
‫‪ NLM‬הוא משולש שווה שוקיים‪:‬‬
‫‪α‬‬
‫‪‬‬
‫‪D‬‬
‫חשבו את ‪.‬‬
‫הזווית השלישית‪ .‬לאחר מכן מחשבים את גודל הזוויות במשולש שווה השוקיים ‪ :CDE‬ראשית זווית‬
‫הראש ‪ ‬השווה לזווית 𝛼‪ ,‬שתי זוויות אלו הן זוויות קדקודיות‪ .‬ולאחר מכן גודלן של זוויות הבסיס‪.‬‬
‫סדר הופעת השאלות הוא גם סדר החישוב‪.‬‬
‫‪β‬‬
‫‪400‬‬
‫( ) חשבו את ‪.β‬‬
‫(ג)‬
‫‪A‬‬
‫‪ ‬‬
‫( ) חשבו את הגודל של הזוויות ‪ ‬ו‪. -‬‬
‫( ) האם התקבל משולש שווה שוקיים?‬
‫‪.∢LMN = ∢M = 35‬‬
‫אם כן‪ ,‬איזה?‬
‫‪D‬‬
‫‪70‬‬
‫‪30‬‬
‫‪60‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ .38‬בתרגיל זה לא נתון סדר החישוב של הזוויות‪ .‬יש להפעיל שיקול דעת‪.‬‬
‫‪L‬‬
‫במשולש ‪ CAB‬שהוא משולש שווה שוקיים ידוע גודלה של זווית הראש‪ .‬ניתן לחשב את גודלן של זוויות‬
‫‪ .37‬בסרטוט שלפניכם נתון הגודל של חלק מהזוויות‪.‬‬
‫הבסיס‪.‬‬
‫( ) חשבו את הגודל של הזוויות ‪. ,  , ‬‬
‫במשולש ‪ ACD‬לא ידוע הגודל של אף אחת מהזוויות‪ .‬אבל‪ ,‬זווית 𝛾 היא הזווית הצמודה לזווית הנתונה‬
‫( ) מה סוג המשולשים שבסרטוט? הסבירו ‪.‬‬
‫‪40‬‬
‫‪K‬‬
‫בת ‪ .118‬לכן‪.𝛾 = 62 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 70‬‬
‫‪N‬‬
‫‪35‬‬
‫‪M‬‬
‫𝛾 היא זווית בסיס במשולש שווה שוקיים‪ .‬ניתן לחשב את גודלן של הזוויות האחרות‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ .38‬המשולשים ‪ ∆ABC‬ו‪ ∆ACD -‬הם משולשים שווי שוקיים‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫בסרטוט נתון הגודל של אחת מהזוויות‪.‬‬
‫חשבו את הגודל של הזוויות ‪. ,  ,  , ‬‬
‫‪31‬‬
‫מדוע ?‬
‫‪184‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ 118‬‬
‫‪C‬‬
‫‪‬‬
‫‪D‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫דוגמה ‪7‬‬
‫תרגיל חישוב דומה לתרגילים הקודמים‪ ,‬המתבסס על תכונות המשולש שווה השוקיים‪ ,‬באמצעותו מגיעים‬
‫למסקנה שהמשולש הוא משולש ישר זווית‪ .‬מטרת התרגיל‪ :‬הכנה למשפט‪ :‬משולש בו‪ ,‬התיכון לאחת‬
‫הצלעות מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שוקיים‪ ,‬הוא משולש ישר זווית‪.‬‬
‫הוכחת המשפט ההפוך‪ :‬התיכון ליתר במשולש ישר זווית שווה למחצית היתר‪ ,‬היא מורכבת‪ .‬יש לבצע‬
‫בניית עזר‪ :‬להאריך את התיכון ולהמשיך אותו כאורכו‪ .‬והיא אינה מתאימה בשלב זה של הלימוד‪.‬‬
‫ההצגה של הנושא כאן היא המשך ישיר לתכנים שנלמדו ותורגלו עד כה‪.‬‬
‫נתון משולש בו התיכון לאחת הצלעות שווה למחצית הצלע‪ ,‬ונתונה אחת מזוויות המשולש‪.‬‬
‫מה ניתן לומר על המשולש? המשולש הוא ישר זווית‪.‬‬
‫הדוגמה תוצג במליאת הכיתה והתלמידים יחשבו את הזוויות בכוחות עצמם כאשר הספר סגור‪.‬‬
‫לאחר בדיקת תשובות התלמידים כולל הסבר לכל שלב‪ ,‬תוצג המסקנה שהמשולש הוא ישר זווית‪.‬‬
‫‪ .39‬נתונים שלושה משולשים בהם התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח‪.‬‬
‫בכל משולש נתון גודלה של אחת מהזוויות (לא גודל הזווית בקדקוד ממנו יוצא התיכון‪ ).‬בחישוב גודלה‬
‫של זווית ‪ ACB‬מקבלים שהמשולשים הם ישרי זווית‪.‬‬
‫על דפי תובנות ציטוט המשפטים עליהם מסתמכים בשלבי החישוב השונים‪.‬‬
‫לחישוב גודל הזווית‪ ,‬נתחיל בהשלמה של הזוויות במשולש בו נמצאת הזווית הנתונה‪ .‬הזווית הנתונה‬
‫היא זווית בסיס במשולש שווה שוקיים כך שניתן להשלים את גודלן של הזוויות האחרות‪.‬‬
‫זוויות הראש של שני המשולשים שווי השוקיים הן זוויות צמודות (עדיין לא למדו על זווית חיצונית למשולש)‪.‬‬
‫בחישוב הזוויות במשולש האחר‪ ,‬ניעזר במשפט שזוויות צמודות סכומן ‪ ,180‬נחשב את זווית הראש‬
‫של המשולש השני ובעזרתה את זוויות הבסיס‪.‬‬
‫‪∢B = x‬‬
‫‪ ∢BCD = x‬גם‬
‫דרך אחרת לחישוב גודל הזוויות נסמן‪:‬‬
‫‪x + x + 40 + 40 = 180‬‬
‫סכום זוויות המשולש ‪ ABC‬הוא ‪ .681‬נפתור משוואה‪:‬‬
‫‪x = 50‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫על‪-‬פי התרגול שנערך קודם לכן סביר להניח שהתלמידים יחשבו את גודל הזוויות בדרך המוצגת בספר‪.‬‬
‫‪ .41‬נתון שהמשולש הוא ישר זווית אבל לא נתון ש‪ AD -‬הוא תיכון ליתר‪ .‬נתון גודלה של אחת הזוויות החדות‬
‫ב‪ DAC -‬וגודל של אחת מהזוויות ב‪ .DBC -‬נחשב תחילה את גודל זווית ‪( B‬הזווית החדה האחרת‬
‫במשולש ישר זווית)‪ .‬ולאחר מכן את גודל הזוויות האחרות‪.‬‬
‫(ג) ‪ AD‬הוא תיכון ליתר במשולש ישר הזווית‪ .‬ניתן לומר‪ :‬אנחנו יודעים את גודל זוויות המשולש ‪.ABC‬‬
‫האם נוכל לדעת מה אורך התיכון ליתר או מה אורך היתר? לא‬
‫(ד) כאשר נתון אורך של אחד מהקטעים ‪ CD‬או ‪ BD‬נדע את אורך התיכון ליתר‪ ,‬ולהיפך‪ ,‬כשנתון‬
‫אורך התיכון ליתר נדע את אורך היתר‪ .‬אורך התיכון ליתר שווה למחצית אורך היתר‪.‬‬
‫‪185‬‬
‫‪163‬‬
‫דוגמה ‪7‬‬
‫‪ CD‬הוא תיכון לצלע ‪ AB‬במשולש ‪.ABC‬‬
‫נתון כי‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 3‬ס"מ = ‪BD = AD = CD‬‬
‫‪∢A = 40‬‬
‫סכום הזוויות במשולש הוא ‪.180‬‬
‫זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו‬
‫לזו‪.‬‬
‫זוויות צמודות סכומן ‪.180‬‬
‫‪‬‬
‫איזה סוג משולש הוא ‪? ABC‬‬
‫‪A‬‬
‫ישו גודל ה וויות ‪:DAC -‬‬
‫‪3‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ ∢ACD = 40‬הסבירו‪.‬‬
‫‪ ADC‬שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ ∢ADC = 100‬הסבירו‪.‬‬
‫‪ BDC‬שווה שוקיים‪.‬‬
‫ישו ה וויות ‪:DBC -‬‬
‫‪40‬‬
‫‪3‬‬
‫‪B‬‬
‫‪40‬‬
‫‪ ∢BDC) ∢BDC = 80‬ו‪ ∢ADC -‬זוויות צמודות‪).‬‬
‫‪C‬‬
‫‪( ∢DCB = ∢B = 50‬זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים‪).‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫זוויות המשולש ‪ ABC‬הן‪:‬‬
‫‪ .40 ; 90 ; 50‬הסבירו‪.‬‬
‫משולש ‪ ABC‬הו משולש ישר ווית‪.‬‬
‫‪ .39‬לפניכם שלושה משולשים‪.‬‬
‫בכל אחד מהם‪:‬‬
‫‪ CD‬הוא התיכון לצלע ‪ AB‬ו‪.BD = AD = CD -‬‬
‫הגודל של אחת מהזוויות נתון בסרטוט‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫( ) חשבו את הגודל של זוויות המשולש ‪.ABC‬‬
‫( )‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫איזה משולש הוא ‪? ABC‬‬
‫(‪)1‬‬
‫(‪)3‬‬
‫(‪)2‬‬
‫‪D‬‬
‫‪66‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪25‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪50‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ ABC .40‬הוא משולש ישר זווית‪.‬‬
‫‪∢ADB = 40‬‬
‫;‬
‫‪∢C = 20‬‬
‫;‬
‫‪∢CAB = 90‬‬
‫( ) חשבו את גודל הזוויות ב‪ ADB -‬וב‪.ADC -‬‬
‫( ) איזה סוג משולשים הם ‪ ADB‬ו‪? ADC -‬‬
‫(ג)‬
‫‪B‬‬
‫מה תפקידו של ‪ AD‬במשולש ‪? ABC‬‬
‫(ד) נתון‪ 4 :‬ס"מ = ‪ .BD‬חשבו את האורך של ‪ CD‬ואת האורך של ‪.AD‬‬
‫‪40‬‬
‫‪D‬‬
‫‪20‬‬
‫‪C‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫מה למד ו מתרגילים ‪?41 – 39‬‬
‫‪164‬‬
‫ווית יצו ית למשולש‬
‫סיכום הפעילות והתרגילים שבעמוד הקודם‪.‬‬
‫משולש בו התיכון לאחת הצלעות מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח הוא משולש ישר זווית‪.‬‬
‫‪‬‬
‫זווית חיצונית למשולש היא זווית שאחת משוקיה היא צלע של המשולש‪,‬‬
‫‪A‬‬
‫והשוק השנייה היא המשכה של צלע אחרת‪.‬‬
‫התיכון בכל אחד מהמשולשים שווי השוקיים המתקבלים הוא אחת משוקי המשולש‪ .‬לכן‪ ,‬ניתן לנסח זאת אחרת‪:‬‬
‫זווית חיצונית למשולש היא זווית הצמודה לזווית פנימית של המשולש‪.‬‬
‫משולש בו התיכון לאחת הצלעות שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה (כלומר‪ ,‬מתקבלים שני משולשים‬
‫בסרטוט שלפניכם‪ ,‬זווית ‪ ‬היא זווית חיצונית למשולש ‪.ABC‬‬
‫שווי שוקיים) הוא משולש ישר זווית‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫ווית יצו ית למשולש‬
‫הזוויות בקדקוד ‪:A‬‬
‫מספר שיעורים מומלץ‪.6 :‬‬
‫‪ ∢A2‬היא זווית פנימית של המשולש‪.‬‬
‫זווית חיצונית למשולש היא זווית שאחת משוקיה היא צלע של המשולש והשוק השנייה היא המשכה של צלע‬
‫‪ ∢A1‬ו‪ ∢A3 -‬הן זוויות חיצוניות למשולש‪.‬‬
‫אחרת‪ .‬כלומר‪ ,‬זווית חיצונית למשולש היא זווית הצמודה לזווית פנימית‪.‬‬
‫‪∢A3 = ∢A1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫זוויות קדקודיות‪.‬‬
‫(הזווית הצבועה ב תכלת אינה נקראת זווית חיצונית למשולש‪.‬‬
‫בסרטוט שלפניכם‪ ,‬זווית ‪ ‬היא זווית חיצונית למשולש ‪.ABC‬‬
‫זווית זאת היא זווית קדקודית לזווית הפנימית‪( .‬‬
‫בכל קדקוד יש שתי זוויות חיצוניות (שהן זוויות קדקודיות)‪ .‬למשולש שלושה קדקודים ולכן יש לו שש זוויות‬
‫בקדקוד ‪ A‬יש ‪ 2‬זוויות חיצוניות‬
‫חיצוניות‪.‬‬
‫יש להדגיש כי הזווית הקדקודית לזווית הפנימית של המשולש אינה נקראת זווית חיצונית למשולש‪.‬‬
‫מה הקשר י גודל ווית יצו ית למשולש ל י וויות המשולש? (זוויות המשולש הן הזוויות הפנימיות שלו‪).‬‬
‫עילות ‪ :4‬המטרה‪ :‬להוביל למסקנה שזווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות של המשולש‬
‫שאינן צמודות לה‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫כמה זוויות חיצוניות יש למשולש? הוסיפו אותן בסרטוט‪.‬‬
‫מה הקשר י גודל ווית יצו ית למשולש ל י וויות המשולש?‬
‫עילות ‪4‬‬
‫הפעילות תתבצע במליאת הכיתה כאשר הספר סגור‪ .‬התלמידים חישבו זוויות כבר קודם לכן ולא אמור להיות‬
‫קושי בביצוע הפעילות‪.‬‬
‫נתון משולש ‪ ABC‬בו‪:‬‬
‫𝛼 ‪A‬‬
‫‪.∢C = 60 ; ∢B = 50‬‬
‫‪ ‬היא זווית חיצונית למשולש שקדקודה ב‪.A -‬‬
‫מה הגודל של �‪? ‬‬
‫הפעילות מוצגת בשלבים‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫( ) דוגמה פתורה בה נתון גודלם של שתיים מזוויות המשולש‪ ,‬מחשבים את גודל הזווית השלישית‪ ,‬ואת‬
‫גודל הזווית החיצונית לזווית השלישית‪ .‬מגלים כי‪ :‬הזווית החיצונית שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות‬
‫שאינן צמודות לה‪.‬‬
‫כפי שנכתב לעיל‪ ,‬התלמידים יתמודדו עם הפעילות בכוחות עצמם‪ .‬אחרי הצגה של תשובות התלמידים‬
‫ניתן לעבור על דרך הפתרון שבספר ולבקש מהתלמידים להוסיף ליד כל שלב את המשפט עליו מתבססים‪.‬‬
‫‪50‬‬
‫( ) נחשב תחילה את גודל הזווית ‪:A‬‬
‫‪∢B + ∢C = 50 + 60 = 110‬‬
‫‪∢A = 180 – 110 = 70‬‬
‫‪∢A = 70‬‬
‫‪A 110‬‬
‫סכום הזוויות במשולש הוא ‪.180‬‬
‫זוויות צמודות סכומן הוא ‪.180‬‬
‫‪70‬‬
‫‪∢A +  = 180‬‬
‫‪70 +  = 180‬‬
‫‪ = 110‬‬
‫‪186‬‬
‫‪60‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪50‬‬
‫‪60‬‬
‫‪C‬‬
‫‪165‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫מה הקשר י ה ווית ה יצו ית של המשולש ל י וויות המשולש?‬
‫בדוגמה הפתורה המשפטים נתונים על דף תובנות‪/‬‬
‫‪𝛼 = ∢B + ∢C‬‬
‫( ) – (ג) פעילות עצמית של חישוב גודלן של הזוויות החיצוניות שבקדקודים האחרים‪ ,‬ובדיקה אם כל זווית‬
‫חיצונית שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה‪.‬‬
‫בסיכום הפעילות ניסוח המשפט‪.‬‬
‫ובמילים‪ :‬במשולש ‪,ABC‬‬
‫הזווית החיצונית למשולש בקדקוד ‪ A‬שווה לסכום של שתי הזוויות הפנימיות בקדקודים ‪ B‬ו‪.C -‬‬
‫( )‬
‫‪A‬‬
‫חשבו את הגודל של הזווית החיצונית ‪.∢ABE‬‬
‫‪70°‬‬
‫האם קיבלתם‬
‫תרגילים‬
‫‪? ∢ABE = ∢A + ∢C‬‬
‫‪ .41‬יישום של המשפט על הזווית החיצונית למשולש‪.‬‬
‫‪50‬‬
‫‪E‬‬
‫( ) לחישוב גודל הזווית החיצונים של המשולש ניתן להשתמש במשפט שנלמד וניתן לחשב גם כאשר‬
‫‪60‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫מסתמכים על המשפט שסכום זוויות צמודות הוא ‪.180‬‬
‫‪A‬‬
‫התלמידים יחשבו בדרך הנוחה להם‪.‬‬
‫(ג) חשבו את הגודל של הזווית החיצונית ‪.∢ACF‬‬
‫( ) השלמה של זוויות‪ :‬ללא קשר לדרך החישוב שבסעיף (א) יש צורך להשלים את השוויון המתקבל‬
‫מיישום של המשפט שנלמד‪.‬‬
‫השלימו‪:‬‬
‫‪70‬‬
‫_____∢ ‪. ∢ACF = ∢_____ +‬‬
‫‪50‬‬
‫‪B‬‬
‫‪60‬‬
‫‪C‬‬
‫זווית חיצונית למשולש משלימה ל‪ 180 -‬את הזווית הפנימית הצמודה לה‪.‬‬
‫לכן‪ :‬זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה‪.‬‬
‫נוסיף משפט זה לארגז הכלים‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫‪.41‬‬
‫( ) השלימו את השוויון‪:‬‬
‫‪D‬‬
‫_____∢ ‪∢A2 = ∢_____ +‬‬
‫‪55‬‬
‫( ) חשבו את הגודל של הזווית המסומנת בקשת‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪187‬‬
‫‪1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪F‬‬
‫‪166‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪.42‬‬
‫( ) השלימו את השוויון‪:‬‬
‫‪T‬‬
‫_______∢ ‪∢T2 = ∢_______ +‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .43 – 42‬הנחיות כמו לתרגיל ‪46.‬‬
‫‪2‬‬
‫( ) חשבו את הגודל של הזווית המסומנת בקשת‪.‬‬
‫‪ .44‬נתון גודלה של אחת מזוויות המשולש וגודלה של אחת מהזוויות החיצוניות שאינה צמודה לזווית הפנימית‬
‫שגודלה נתון‪ .‬יש לחשב את גודל הזווית הפנימית השנייה (שאינה צמודה לזווית החיצונית הנתונה)‬
‫‪A‬‬
‫‪50‬‬
‫ובשאלה התלמידים מתבקשים להשתמש במשפט על הזווית החיצונית‪.‬‬
‫‪80‬‬
‫‪L‬‬
‫‪ .45‬חישוב דומה לזה שבשאלה ‪ 44‬כאשר בסרטוט יש קווים מסיחים‪ ,‬קווים שאינם תורמים לנדרש בשאלה‪,‬‬
‫ולכן יש להתעלם מהם‪ .‬אפשר להדגיש בצבע את צלעות המשולש הנדרש‪,‬‬
‫‪A‬‬
‫או להבהיר את הקווים המסיחים כפי שמוצג להלן‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪.43‬‬
‫‪4 G‬‬
‫( ) השלימו את השוויון‪:‬‬
‫‪45‬‬
‫_______∢ ‪∢G4 = ∢_______ +‬‬
‫( ) חשבו את הגודל של הזוויות המסומנות בקשת‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪25‬‬
‫‪112‬‬
‫‪47‬‬
‫‪L‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ .46‬סדר הגודל בין זווית חיצונית לזווית פנימית במשולש שאינה צמודה לה‪.‬‬
‫‪.44‬‬
‫𝛼 זווית חיצונית למשולש שאחת מהזוויות הפנימיות שאינן צמודות ל‪ 𝛼 -‬היא ‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫חשבו את הגודל של זווית ‪ .C‬הסבירו‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪40‬‬
‫‪135‬‬
‫היעזרו במשפט שלמדנו על הקשר בין זווית חיצונית למשולש‬
‫לסכום הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה‪.‬‬
‫𝛼 שווה לסכום של שתי זוויות שאחת מהן היא ‪ .‬לכן 𝛼 > ‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫מומלץ לעבור על שאלה זאת בכיתה‪ ,‬לשמוע את תשובות התלמידים כולל הסברים מתאימים‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫‪.45‬‬
‫בסרטוט משולש ‪.ACD‬‬
‫‪ B‬נקודה על הצלע ‪.AC‬‬
‫חשבו את הגודל של זווית ‪ .‬הסבירו‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪112‬‬
‫‪47‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.46‬‬
‫‪A‬‬
‫בסרטוט משולש ‪.ABC‬‬
‫‪ D‬נקודה על צלע ‪.BC‬‬
‫איזו זווית גדולה יותר‪  :‬או ‪ ? ‬הסבירו‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪‬‬
‫‪D‬‬
‫‪‬‬
‫‪C‬‬
‫‪188‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.47‬‬
‫‪ .48‬תרגיל דומה לתרגילים שפתרו בעמודים ‪.613 – 612‬‬
‫‪ ABC‬משולש ישר זווית‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ D‬נקודה על צלע ‪.BC‬‬
‫( ) חשבו את הגודל של זווית ‪.‬‬
‫בפרק זה המטרה היא שהפתרון ייעשה בהסתמך על התכונה של‬
‫‪40‬‬
‫( ) חשבו את הגודל של זווית ‪. ‬‬
‫‪24‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ .48‬במשולש ‪ ΔABC‬נתון‪:‬‬
‫שווה שוקיים‪ D( .‬קדקוד הראש של המשולש‪).‬‬
‫‪DA = DB = DC‬‬
‫הזווית החיצונית שווה לסכום של שתי זוויות הבסיס‪ .‬זוויות הבסיס שוות‪ ,‬לכן כל אחת מהן שווה למחצית‬
‫הזווית החיצונית‪ ,‬כלומר ל‪.26 -‬‬
‫‪42‬‬
‫‪D‬‬
‫‪∢ADB = 42‬‬
‫חשבו את גודל הזוויות במשולש ‪.ABC‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫את זוויות המשולש ‪ DAC‬נחשב כפי שחישבנו בתרגילים קודמים‪ .‬הזווית בת ‪ 42‬היא זווית חיצונית‬
‫למשולש ‪ DAB‬שגם הוא משולש שווה שוקיים‪ D( .‬קדקוד הראש של המשולש‪ .).‬סכום זוויות המשולש‬
‫הוא ‪ .180‬סכום זוויות הבסיס הוא ‪ .138‬הזוויות שוות לכן כל אחת מהן היא בת ‪.69‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ .49‬הנקודות ‪ E , D , C‬מונחות על ישר אחד‪.‬‬
‫נקודה ‪ D‬היא אמצע הקטע ‪.CE‬‬
‫נתון כי‪:‬‬
‫‪ ) ( .49‬המשולשים חופפים על פי משפט חפיפה שלישי‪ :‬צ‪ .‬צ‪ .‬צ‪.‬‬
‫( ) זוויות המשולש האחד שוות בהתאמה לוויות המשולש השני‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪AE = DB‬‬
‫‪AD = BC‬‬
‫( )‬
‫נבקש מהתלמידים‪ :‬לכתוב את שמות הזוויות המתאימות‪.‬‬
‫האם המשולשים ‪ ADE‬ו‪BCD -‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫הם משולשים חופפים?‬
‫אם כן‪ ,‬על‪-‬פי איזה משפט חפיפה?‬
‫ניתן להיעזר בצבעים‪ :‬לצבוע כל זוג צלעות שוות‬
‫‪C‬‬
‫באותו צבע‪ .‬נשלים את הזוויות הבאות‪:‬‬
‫( )‬
‫זווית ‪ E‬היא הזווית המתאימה לזווית בת ‪ .73‬שתיהן בכחול‪.‬‬
‫נתון גם‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪B‬‬
‫‪∢ADB = 65‬‬
‫‪ 65‬‬
‫‪∢BDC = 73‬‬
‫‪73‬‬
‫(‪ )1‬חשבו את הגודל של זווית ‪.‬‬
‫זווית ‪ ADE‬משלימה את הזוויות האחרות שקדקודן ‪ D‬ל‪.180 -‬‬
‫(‪ )2‬חשבו את של הגודל של זווית ‪. ‬‬
‫ניתן לחשב את גודל זווית ‪ ,A‬ולהשלים את גודל הזוויות‬
‫שבמשולש ‪ BCD‬על‪-‬פי ההתאמה שבין זוויות מתאימות במשולשים חופפים‪.‬‬
‫‪ .51‬היגדים שחלקם נכונים וחלקם אינם נכונים‪ .‬ללא סרטוט‪.‬‬
‫במקרים בהם ההיגד נכון‪ ,‬התלמידים מתבקשים לסרטט דוגמה למשולש מתאים‪.‬‬
‫(ד) היגד נכון‪.‬‬
‫(א) היגד נכון‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫הזווית חיצונית למשולש‪.‬‬
‫הזווית בת ‪ 42‬היא זווית חיצונית למשולש ‪ DBC‬שהוא משולש‬
‫‪D‬‬
‫(‪ )3‬חשבו את של הגודל של זווית ‪. ‬‬
‫‪C‬‬
‫הסבירו את דרך החישוב‪.‬‬
‫‪ ) ( .50‬האם ייתכן שזווית בסיס במשולש שווה שוקיים תהיה זווית ישרה?‬
‫( ) האם ייתכן שזווית בסיס במשולש שווה שוקיים תהיה זווית קהה?‬
‫(ה) היגד נכון‪.‬‬
‫(ג) האם ייתכן שזווית הראש במשולש שווה שוקיים תהיה זווית קהה?‬
‫(ד) האם ייתכן שזווית הראש במשולש שווה שוקיים תהיה זווית ישרה?‬
‫במקרים בהם התשובה חיובית‪ ,‬סרטטו דוגמה למשולש כזה‪.‬‬
‫במקרים בהם ההיגד אינו אפשרי‪ ,‬הסבירו‪.‬‬
‫( ) – (ג) לא ייתכנו‪ .‬אם זווית בסיס של המשולש היא ישרה או קהה‪ ,‬סכום שתי זוויות הבסיס יהיה ‪180‬‬
‫‪189‬‬
‫‪ .51‬האם משולשים שווי‪-‬שוקיים‪ ,‬שהשוקיים שלהם באותו אורך‪ ,‬הם משולשים חופפים?‬
‫הסבירו‪ .‬סרטטו סרטוט התומך בהחלטתכם‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫או יותר‪ .‬לא ייתכן‪ .‬ידוע שסכום שלוש הזוויות של המשולש הוא ‪.180‬‬
‫‪ .51‬האם שני משולשים שווי שוקיים שהשוקיים שלהם הן באותו אורך הם משולשים חופפים? הסבירו‪.‬‬
‫נעדכן את ארגז הכלים‪ .‬נמיין את תכולת הארגז לפי נושאים‪.‬‬
‫רג הכלים‬
‫כום ה וויות מצולעים‪:‬‬
‫ההיגד אינו נכון‪.‬‬
‫בין שני משולשים אלו מתקיימים רק שני שוויונות‪ :‬שתי צלעות של המשולש האחד שוות‬
‫‪ .1‬סכום הזוויות במשולש הוא ‪.180‬‬
‫‪ .2‬סכום הזוויות במרובע הוא ‪.360‬‬
‫לאורך שתי צלעות של המשולש השני‪ .‬שני שוויונות אלו אינם מספיקים כדי להוכיח חפיפה‪.‬‬
‫בסרטוט שני משולשים שווי שוקיים ששוקיהן שוות באורכן אבל המשולשים אינם חופפים‪.‬‬
‫שט ים של מצולעים‪:‬‬
‫‪ .1‬שטח מלבן שווה למכפלת שתי צלעות סמוכות שלו‪.‬‬
‫‪ .2‬שטח משולש ישר זווית שווה למכפלת הניצבים לחלק ל‪.2 -‬‬
‫‪ .3‬שטח משולש שווה למכפלה של צלע בגובה לאותה צלע לחלק ל‪.2 -‬‬
‫‪ .4‬שטח מקבילית שווה למכפלה של צלע בגובה לצלע זו‪.‬‬
‫‪ .5‬שטח מעוין שווה למכפלת האלכסונים לחלק ל‪.2 -‬‬
‫‪ .6‬שטח טרפז שווה למכפלה של סכום הבסיסים בגובה לבסיס לחלק ל‪.2 -‬‬
‫‪.7‬‬
‫ניתן לראות זאת גם בסרטוטים שבעמוד ‪ 616‬בהם תיכון מחלק את המשולש לשני משולשים‬
‫מש טי ה‬
‫י ה של המשולשים‪:‬‬
‫‪ .1‬שני משולשים השווים בשתיים מצלעותיהם ובזווית הכלואה ביניהן הם משולשים חופפים‪ :‬צ‪. .‬צ‪.‬‬
‫‪ .2‬שני משולשים השווים בצלע ובשתי הזוויות שלידה הם משולשים חופפים‪. :‬צ‪. .‬‬
‫שווי שוקיים‪ ,‬לשניהם שוקיים באותו אורך‪ .‬לפניכם אחד מהמשולשים‬
‫‪ .3‬שני משולשים השווים בשלוש צלעותיהם בהתאמה הם משולשים חופפים‪ :‬צ‪.‬צ‪.‬צ‪.‬‬
‫שבעמוד זה‪.‬‬
‫משולש שווה שוקיים‪:‬‬
‫‪ .1‬חוצה זווית הראש במשולש שווה שוקיים הוא גם גובה לבסיס‪.‬‬
‫‪ .2‬חוצה זווית הראש במשולש שווה שוקיים הוא גם תיכון לבסיס‪.‬‬
‫‪ .3‬זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ .4‬משולש שבו שתי זוויות שוות הוא משולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫רג הכלים‬
‫וויות י ש י ישרים‬
‫לסיום‪ :‬עדכון ארגז הכלים‪ :‬הוספת כל המשפטים שנלמדו‪.‬‬
‫מכיוון שתכולת ארגז הכלים גדלה‪ ,‬נערך מיון לפי נושאים‪.‬‬
‫מומלץ לעבור במליאת הכיתה על תכולת ארגז הכלים‪ .‬לבקש מהתלמידים לסרטט סרטוט מתאים לכל היגד‪.‬‬
‫מאפשר חזרה על התכנים בגיאומטריה שנלמדו עד כה‪.‬‬
‫תכים‪:‬‬
‫וויות י ישרים מק ילים‪:‬‬
‫‪ .1‬סכום זוויות צמודות הוא ‪. 180‬‬
‫‪ .3‬זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ .2‬זוויות קדקודיות שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ .4‬זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו‪.‬‬
‫תיכו‬
‫משולש‪:‬‬
‫תיכון במשולש מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח‪.‬‬
‫בספר קפיצה לגובה לכיתה ח חלק ב‪ ,‬עמודים ‪ 242 – 239‬ארגז הכלים כולל גם סרטוטים מתאימים‪.‬‬
‫משולש בו התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שוקיים הוא משולש ישר זווית‪.‬‬
‫ווית יצו ית למשולש‪:‬‬
‫זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה‪.‬‬
‫‪190‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫וריי ות – ש ו הטל ו‬
‫וריי ות – ש ו הטל ו‬
‫חברת הטלפונים הניידים "טלפון לכל" מציעה שלושה מסלולי תשלום‪.‬‬
‫פעילות המשלבת גרפים של פונקציות עם הקשר מחיי יומיום‪.‬‬
‫מסלול כחול‪ ,‬מסלול אדום‪ ,‬ומסלול ירוק‪.‬‬
‫במערכת הצירים שלפניכם מוצגים שלושה גרפים‪.‬‬
‫שלושה מסלולים לתשלום חודשי של טלפון סלולרי‪.‬‬
‫הגרפים מתארים את קשר בין המחיר החודשי למספר דקות השיחה בחודש‪.‬‬
‫המחיר בשקלים‬
‫בסעיף (א) התלמידים מתבקשים להסביר את שיטת התשלום בכל מסלול‪ .‬לרשותם בנק מושגים האמור‬
‫‪250‬‬
‫להקל עליהם את ניסוח התשובות‪ .‬מומלץ לעבור על רשימת המושגים ולוודא שהם מוכרים לתלמידים‪.‬‬
‫בסעיף (ב) התאמה של המסלול הזול ביותר לכל אחת משלוש משתמשות‪.‬‬
‫לעדי המשוחחת בטלפון ‪ 611‬דקות בחודש כדאי לבחור במסלול האדום‪ .‬מדוע?‬
‫‪225‬‬
‫‪200‬‬
‫בנק מושגים‪:‬‬
‫הילה המשוחחת ‪ 651‬דקות בחודש יכולה לבחור במסלול האדום או במסלול הכחול‪.‬‬
‫אפשר לשאול‪ :‬במה הייתם מציעים לה לבחור? למשל‪ ,‬אם היא משוחחת בדיוק ‪ 611‬דקות בחודש או שאולי‬
‫‪175‬‬
‫מספר שיחות‪.‬‬
‫מחיר לדקת שיחה‪.‬‬
‫תשלום חודשי קבוע‪.‬‬
‫משתמש "קל"‪.‬‬
‫משתמש "כבד"‪.‬‬
‫‪150‬‬
‫‪125‬‬
‫לפעמים קצת יותר? מה יקרה אם תשוחח ‪ 655‬דקות בחודש? באיזה משני המסלולים הייתם בוחרים?‬
‫‪100‬‬
‫לנועה המשוחחת ‪ 251‬דקות בחודש‪ ,‬המסלול הכדאי ביותר הוא המסלול הכחול‪ .‬איך רואים זאת בגרף?‬
‫‪75‬‬
‫לרותם המשוחחת ‪ 411‬דקות בחודש המסלול הכדאי ביותר הוא המסלול הירוק‪ .‬מדוע?‬
‫‪50‬‬
‫בסעיפים (ג) – (ה)‪ :‬לאיזה סוג משתמש מתאים כל אחד מהמסלולים? למשתמש "קל" (מדבר מספר קטן‬
‫של דקות‪ :‬פחות מ‪ ?)........-‬למשתמש "כבד" (מדבר מספר גדול של דקות בחודש‪ :‬יותר מ‪?)....... -‬‬
‫‪25‬‬
‫מספר דקות בחודש‬
‫‪150‬‬
‫‪100‬‬
‫‪50‬‬
‫‪0‬‬
‫‪400‬‬
‫‪350‬‬
‫( )‬
‫הסבירו את שיטת התשלום בכל אחד מהמסלולים‪( .‬היעזרו בבנק המושגים‪).‬‬
‫( )‬
‫עדי‪ ,‬הילה‪ ,‬נועה‪ ,‬ורותם רכשו טלפון נייד‪ .‬עזרו לכל אחת מהן לבחור במסלול הזול ביותר עבורה‪.‬‬
‫עדי‬
‫משוחחת בטלפון‬
‫‪ 100‬דקות בחודש‪.‬‬
‫הילה משוחחת בטלפון‬
‫‪ 150‬דקות בחודש‪.‬‬
‫נועה משוחחת בטלפון‬
‫רותם משוחחת בטלפון‬
‫‪ 250‬דקות בחודש‪.‬‬
‫‪ 400‬דקות בחודש‪.‬‬
‫הסבירו בחירתכם‪.‬‬
‫‪191‬‬
‫‪300‬‬
‫‪250‬‬
‫(ג)‬
‫לאיזה סוג משתמש מתאים המסלול הירוק? היעזרו בבנק המושגים‪.‬‬
‫(ד)‬
‫לאיזה סוג משתמש מתאים המסלול הכחול?‬
‫(ה)‬
‫לאיזה סוג משתמש מתאים המסלול האדום?‬
‫‪0‬‬
‫‪200‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪071 :‬‬
‫משוואות ושאלות מילוליות‬
‫בפרק זה עוסקים בפתרון משוואות בנעלם אחד ממעלה ראשונה עם מכנים מספריים ובפתרון שאלות מילוליות באמצעות משוואה בנעלם אחד‪.‬‬
‫‪ax‬‬
‫בסבב הראשון של משוואות ושאלות מילוליות התלמידים פתרו משוואות חשבוניות עם מכנה מספרי‪ ,‬מהסוג‪ c :‬‬
‫‪b‬‬
‫‪.‬‬
‫מספר שיעורים מומלץ‪.6 :‬‬
‫משוואות כאלו פתרו התלמידים באמצעות ביצוע הפעולה ההפוכה‪ :‬כפל ב‪.b -‬‬
‫בסבב הנוכחי ילמדו לפתור משוואות עם יותר ממכנה מספרי אחד‪.‬‬
‫פתרון משוואות עם מכנים מוצג בסדר הבא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫משוואות בהן כל המכנים שווים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫משוואות עם מכנים זרים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫משוואות עם מכנים שאינם זרים‪ .1 :‬משוואות בהן מכנה אחד הוא כפולה של המכנה השני‪.‬‬
‫‪ .2‬משוואות בהן המכנים אינם זרים ומכנה אחד אינו כפולה של המכנה השני‪.‬‬
‫השיקולים‪ :‬במשוואות בהן כל המכנים שווים המכנה המשותף הוא המכנה הקיים בכל השברים‪ .‬במשוואות בהן המכנים זרים‪ :‬המכנה המשותף הוא מכפלה של‬
‫המכנים הנתונים‪ .‬בשני סוגים אלו תהליך הפתרון הוא אחיד ואינו דורש שיקול דעת בשאלה באיזה מכנה כדאי לבחור‪ .‬לכן לאוכלוסייה לה מיועד הספר בחרנו לפתוח‬
‫במשוואות משני סוגים אלו‪ .‬לאחר שהתלמידים התנסו והגיעו לשליטה‪ ,‬בתהליך הפתרון של משוואות עם שברים‪ ,‬עוברים גם למשוואות בהן מכנה אחד הוא כפולה של‬
‫המכנה השני‪ .‬כאן יש מקום לדיון איזה הוא המכנה המשותף בו כדאי לבחור? האם לכפול את המכנים כפי שעושים במשוואות בהן המכנים הם מספרים זרים‪ ,‬או שניתן‬
‫למצוא מכנה משותף קטן יותר ממכפלה זו‪ ,‬כמו למשל המכנה הגדול מבין השניים שהוא כפולה של המכנה השני ולאחר מכן הרחבה למכנים שאינם זרים אבל מכנה אחד‬
‫אינו כפולה של המכנה השני‪ .‬בשלב זה לתלמידים רקע מספיק כדי להבין את מטרת הדיון ולהתלבט בשאלה מהי הבחירה הכדאית‪.‬‬
‫בספרי קפיצה לגובה‪ ,‬בחרנו להציג תחילה פתרון של משוואות באמצעות הרחבה של השברים שבמשוואה לשברים בעלי מכנים שווים‪.‬‬
‫השיקולים‪ :‬שומרים על המבנה של המשוואה הנתונה‪ ,‬ורק כאשר מגיעים לשוויון בין שני שברים אלגבריים בעלי מכנים שווים ניתן לוותר על המכנים השווים ולהשוות את‬
‫המונים‪ .‬דרך זאת תמנע בעתיד טעויות כאשר מבצעים פעולות בביטויים אלגבריים‪ .‬בביטויים אלגבריים בהם יש מכנה התלמידים נוטים ל"היפטר" ממנו על‪-‬ידי כפל‬
‫במכנה‪ .‬כשעושים זאת בביטוי אלגברי מקבלים ביטוי חדש שאינו שווה ערך לביטוי הנתון‪.‬‬
‫במשוואות עם מכנים שווים מבחינים בשני סוגים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫משוואות בהן נתון שוויון בין שני שברים (דוגמה ‪ :)1‬במשוואות מסוג זה המכנים שווים ולכן משווים מונים‪ :‬כותבים את משוואת המונים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫משוואות בהן יש יותר משני שברים (דוגמה ‪ :)2‬משוואות בהן יש לבצע קודם חיבור בין שברים בעלי מכנים שווים‪ .‬סכום השברים הוא שבר בו המכנה‬
‫שווה למכנים של שני המחוברים‪ ,‬והמונה שווה לסכום המחוברים‪ .‬מקבלים משוואה בה יש השוואה של שני שברים בעלי מכנים שווים‪.‬‬
‫המכנים שווים‪ ,‬נשווה מונים ונכתוב את משוואת המונים‪.‬‬
‫הפרק פותח במטלת זיהוי של "מה הוא פתרון של משוואה?"‪.‬‬
‫‪192‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫נתונות שש משוואות‪ .‬ליד כל אחת מהן נתונים שני מספרים‪ .‬אחד מהם הוא פתרון המשוואה‪ .‬על‬
‫התלמידים לזהות את הפתרון‪ .‬הזיהוי יתבצע על‪-‬ידי הצבה של כל אחד מהמספרים במשוואה הנתונה‪,‬‬
‫ובדיקה אם בשני אגפי המשוואה מתקבלים ערכים שווים‪ .‬ייתכן ויהיו תלמידים שיפתרו את המשוואות‬
‫כדי למצוא את הפתרון הנכון‪ .‬במקרה כזה יגלו ששתיים מהמשוואות אינם יודעים לפתור‪ .‬בין שש‬
‫המשוואות יש ארבע משוואות אותן כבר למדו לפתור‪ ,‬ושתי משוואות שעדיין לא למדו כיצד לפתור‪.‬‬
‫לתלמידים יש קושי להבחין בין "מה שונה? מה דומה?"‪.‬‬
‫שואלים‪ :‬אלו מהמשוואות למדנו לפתור? פתרו‪ .‬נזכיר כי בפתרון משוואות המטרה שלנו היא להגיע‬
‫למשוואה מהסוג‪ .ax = b :‬לצורך כך בצענו פעולות על שני אגפי המשוואה‪ ,‬פעולות המביאות‬
‫למשוואות חדשות השקולות למשוואות הנתונות‪ ,‬משוואות בעלות אותה קבוצה הצבה ואותה‬
‫קבוצת פתרונות‪.‬‬
‫שואלים‪ :‬מה החידוש במשוואות האחרות‪ ,‬במה שונות שתי המשוואות האחרות?‬
‫במשוואות (‪ )3‬ו‪ )6( -‬יש יותר ממכנה מספרי אחד‪ :‬יש סכום של שברים בעלי מכנים שונים‪.‬‬
‫אומרים‪ :‬בפרק זה נלמד לפתור גם משוואות כאלו‪.‬‬
‫משוואות עם שברים – מכנים שווים‬
‫‪3‬‬
‫הקנייה‪ :‬מציגים במליאת הכיתה משוואה מהסוג‬
‫‪5‬‬
‫‪071‬‬
‫משוואות ושאלות מילוליות‬
‫לפניכם שש משוואות‪ .‬מתחת לכל משוואה רשומים שני מספרים‪.‬‬
‫איזה מבין המספרים הרשומים הוא פתרון של המשוואה?‬
‫‪2x‬‬
‫‪ 10‬‬
‫‪7‬‬
‫(‪)5‬‬
‫‪x 2x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 15‬‬
‫‪6 3‬‬
‫‪35 , 5‬‬
‫‪2x  1 x‬‬
‫‪ 9‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x7‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪)3‬‬
‫‪12 , 5‬‬
‫‪45 , 18‬‬
‫(‪)6‬‬
‫‪5 , 8‬‬
‫‪3x  2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ 1  10‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪-1 , 9‬‬
‫(‪)2‬‬
‫‪9 , 18‬‬
‫את המשוואות (‪ )5( , )4( , )2( , )1‬למדנו לפתור‪.‬‬
‫במשוואות (‪ )3‬ו‪ )6( -‬יש יותר ממכנה אחד‪.‬‬
‫נלמד לפתור משוואות אלו‪.‬‬
‫משוואות עם שברים – מכנים שווים‬
‫דוגמה ‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪7x  5x‬‬
‫‪8‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪7x – 5x = 8‬‬
‫נתונה המשוואה‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫מבקשים מהתלמידים לפתור‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫יש להניח שכפי שלמדו‪ ,‬התלמידים יכפלו את שני אגפי המשוואה ב‪.5 -‬‬
‫אומרים‪ :‬ניתן לפתור גם בדרך אחרת‪ .‬במשוואה זו שני שברים‪ ,‬שני מכנים מספריים‪ .‬מה הוא ‪? x‬‬
‫מדגישים כי במשוואה זו יש שוויון בין שני שברים‪ ,‬בעלי מכנים שווים‪ .‬ניתן לפתור על‪-‬ידי‬
‫השוואת המונים‪.‬‬
‫פותרים‪ .‬לאחר מכן מציגים במליאת הכיתה את שתי הדוגמאות שבספר כאשר הספר סגור‪.‬‬
‫דוגמה ‪ :0‬גם כאן יש שני שברים‪ .‬כיצד מחשבים את ‪? x‬‬
‫כמו בדוגמה שהוצגה על הלוח‪ ,‬במשוואה שוויון בין שני שברים‪ .‬מכיוון שהמכנים שווים‪ ,‬משווים מונים‪.‬‬
‫חשוב להתייחס לכך שמדובר בשוויון בין שני שברים בהם המכנים שווים‪ .‬כדי ששני השברים יהיו שווים‬
‫גם המונים צריכים להיות שווים‪ .‬לאחר פתרון המשוואה מציבים במשוואה המקורית ובודקים‪.‬‬
‫(שיקול זה נכון גם כאשר בשוויון בין שני שברים בהם המונים שווים‪ ,‬משווים מכנים‪ .‬אין צורך להציג‬
‫זאת‪ ,‬מכיוון שכאשר נתונים סכומים של שברים‪ ,‬חישוב הסכום נעשה באמצעות הבאה של שני‬
‫השברים למכנים שווים – מכנה משותף‪ .‬מחברים מונים ולא מחברים מכנים‪).‬‬
‫דוגמה ‪ :2‬משוואה בה באגף שמאל יש סכום של שני שברים‪ .‬יש להביא את המשוואה למשוואה‬
‫שקולה של שוויון בין שברים (בכל אגף של המשוואה שבר אחד)‪.‬‬
‫‪193‬‬
‫המכנים שווים‪ ,‬נשווה מונים‪:‬‬
‫‪:2‬‬
‫‪2x = 8‬‬
‫‪x = 4‬‬
‫בדיקה‪.‬‬
‫נציב ‪: x = 4‬‬
‫√‬
‫‪7454‬‬
‫‪8‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪28  20‬‬
‫‪8‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫דוגמה ‪2‬‬
‫נתונה המשוואה‪:‬‬
‫המכנים שווים‪ ,‬נשווה מונים‪:‬‬
‫דוגמה ‪2‬‬
‫בדקו‪.‬‬
‫‪x 2x‬‬
‫‪18‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪18‬‬
‫‪x  2x‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x + 2x = 18‬‬
‫‪:3‬‬
‫‪3x = 18‬‬
‫‪x = 6‬‬
‫‪x+2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪5‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪070 :‬‬
‫התלמידים למדו לחבר שברים בעלי מכנים שווים‪ .‬ניתן לפתור מספר תרגילי חיבור שברים במספרים‪.‬‬
‫גם סכום של שברים אלגבריים בעלי מכנים שווים‪ ,‬שווה לשבר שהמכנה שלו הוא המכנה השווה‪,‬‬
‫תרגילים‬
‫‪.1‬‬
‫פתרו את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪13  x x  13‬‬
‫‪‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫(‪)5‬‬
‫‪3x  5 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫(‪)3‬‬
‫‪11  6x x  25‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪)6‬‬
‫‪5x  8 7x  16‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪)4‬‬
‫והמונה הוא סכום המונים‪ .‬תזכורת לכך על דף התובנות‪.‬‬
‫לאחר שכותבים משוואה שקולה בה יש שוויון בין שני שברים שהמכנים שלהם שווים‪ ,‬כותבים את‬
‫משוואת המונים ופותרים‪.‬‬
‫‪2x  13 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪x7‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫(‪)2‬‬
‫בדוגמה זו התלמידים מתבקשים לבצע את הבדיקה בעצמם‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .0‬משוואות דומות למשוואה שבדוגמה ‪ .1‬שוויון בין שני שברים בעלי מכנים שווים‪.‬‬
‫מומלץ לפתור את שתי המשוואות הראשונות במליאת הכיתה ואת האחרות לתת כעבודה עצמית‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫פתרו את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫לאחר השוואות המונים‪ ,‬במשוואה (‪ )3( – )1‬מתקבלת משוואה בה הנעלם מופיע רק באגף אחד של‬
‫המשוואה‪ .‬לדוגמה‪ ,‬לפתרון משוואה (‪ ,)2‬מחסרים ‪ 7‬משני אגפי המשוואה‪ :‬התרה אחורנית‪.‬‬
‫‪5x x 1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪6 6 6‬‬
‫(‪)5‬‬
‫‪7x 3x 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪)3‬‬
‫‪x x 10‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪4 4‬‬
‫‪4‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪7x 2x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪10 10 10‬‬
‫(‪)6‬‬
‫‪11x 10 x‬‬
‫‪7‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪x 4x 15‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪9 9‬‬
‫‪9‬‬
‫(‪)2‬‬
‫במשוואות (‪ )6( – )4‬מתקבלת משוואה אלגברית‪ ,‬הנעלם מופיע בשני אגפי המשוואה‪ .‬משוואה כזו לא‬
‫ניתן לפתור באמצעות התרה אחורנית‪.‬‬
‫משוואות עם שברים – מכנים זרים‬
‫מומלץ לבחור משוואה אחת או שתיים ולבקש מהתלמידים לבצע בדיקה‪.‬‬
‫‪ .2‬משוואות דומות למשוואה שבדוגמה ‪ .2‬באגף אחד או בשני אגפי המשוואה נתון סכום של שברים בעלי‬
‫מכנים שווים‪ .‬בשלב ראשון יש להביא כל אגף של המשוואה לשבר‪ ,‬כך שתתקבל משוואה שקולה‪ ,‬בה‬
‫יש שוויון בין שני שברים‪ ,‬כמו בדוגמה ‪.2‬‬
‫גם כאן מומלץ לפתור תרגיל אחד במליאת הכיתה ואת האחרים יפתרו התלמידים בכוחות עצמם‪.‬‬
‫משוואות עם שברים – מכנים זרים‬
‫נלמד לפתור משוואות בהן מחוברים עם מכנים זרים‪.‬‬
‫דוגמה ‪3‬‬
‫נתונה המשוואה‪:‬‬
‫‪3x  x  8‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫נכתוב את כל המחוברים כשברים‪.‬‬
‫מספר שלם נרשום כשבר שהמכנה שלו הוא ‪.1‬‬
‫‪3x  x  8‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫המכנה המשותף הוא ‪.(5  3 = 15) 15‬‬
‫נרחיב את כל המחוברים לשברים בעלי מכנה ‪.15‬‬
‫המושג של שברים עם מכנים זרים נלמד בכיתה ז (נספח שברים‪ ,‬קפיצה לגובה לכיתה ז חלק ב)‪.‬‬
‫מומלץ לחזור על המושג "מספרים זרים"‪ :‬מספרים שאין להם אף גורם משותף – המחלק המשותף‬
‫היחיד שלהם הוא ‪ .1‬בחיבור שברים למדו כי כדי לחבר שברים יש להביא אותם לידי מכנה משותף‪.‬‬
‫פתרון המשוואה‪:‬‬
‫כאשר המכנים של השברים הם מספרים זרים המכנה המשותף הוא מכפלה של המכנים המשתתפים‬
‫בפעולה‪ .‬כפי שצוין במבוא לפרק זה‪ ,‬פתרון משוואות עם מכנים נעשה באמצעות הרחבה של כל אחד‬
‫נציב‬
‫בדיקה‪:‬‬
‫מהשברים לשברים בעלי מכנים שווים‪ .‬הרחבה של שבר‪ :‬כפל של המונה והמכנה באותו מספר (שונה מ‪.)0 -‬‬
‫בתהליך זה מומלצת כתיבה אחידה לכל המחוברים‪ .‬כל אחד מהמחוברים ייכתב כשבר‪ .‬שלם ייכתב כשבר שמכנהו ‪.1‬‬
‫נשווה מונים‪:‬‬
‫‪9x – 5x = 120‬‬
‫‪4x = 120‬‬
‫‪x = 30‬‬
‫‪: x = 30‬‬
‫‪194‬‬
‫‪3  30 30‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪90‬‬
‫‪ 10  8‬‬
‫‪5‬‬
‫√‬
‫דוגמה ‪3‬‬
‫‪9x  5x  120‬‬
‫‪15‬‬
‫‪15‬‬
‫‪15‬‬
‫‪18 – 10 = 8‬‬
‫‪070‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪3x x‬‬
‫‪8‬‬
‫נחליף את המספר ‪ 8‬שבאגף ימין בשבר‬
‫במשוואה הנתונה‪  8 :‬‬
‫‪5 3‬‬
‫‪1‬‬
‫כתיבה כזאת מונעת טעות נפוצה בה תלמידים מחברים את השברים שבאגף שמאל ומשאירים את המספר שבאגף ימין כפי שהוא‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫המכנים המשתתפים בתרגיל הם‪ .1 , 3 , 5 :‬מכנים זרים‪.‬‬
‫המכנה המשותף הוא מכפלה של שלושת המכנים‪:‬‬
‫‪5  3  1 = 15‬‬
‫נכתוב משוואה שקולה למשוואה הנתונה‪ .‬משוואה בה לכל השברים מכנה של ‪:15‬‬
‫בפעולה זאת מרחיבים כל אחד מהשברים‪:‬‬
‫‪3x x 8‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3 1‬‬
‫‪15‬‬
‫‪‬‬
‫‪15‬‬
‫‪‬‬
‫‪15‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪9x‬‬
‫ייכתב כ‪-‬‬
‫‪15‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪5x‬‬
‫‪ .‬הרחבה של השבר פי ‪ ,5‬כלומר כפל של המונה והמכנה ב‪.5 -‬‬
‫ייכתב כ‪-‬‬
‫‪3‬‬
‫‪15‬‬
‫‪120‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ .‬הרחבה של השבר פי ‪.15‬‬
‫ייכתב כ‪-‬‬
‫‪15‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3x x‬‬
‫‪8‬‬
‫‪.‬‬
‫ניתן לכתוב את גורם ההרחבה ליד כל אחד מהשברים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫(כתיבת גורמי ההרחבה בדרך זאת מוצגת בפתרון משוואות ומערכות משוואות עם שברים בהם יש מכנים שהם ביטויים אלגבריים בעמודים ‪.201 - 195‬‬
‫‪.‬‬
‫הרחבה של השבר פי ‪ ,3‬כלומר כפל של המונה והמכנה ב‪.3 -‬‬
‫השלב בו כל המחוברים שבמשוואה כתובים עם מכנה משותף הוא "מסורבל"‪ .‬לכן בשלב זה תתווסף הקנייה מפורשת של כתיבת גורם ההרחבה בצורה זאת‪.‬‬
‫מורה יכול להכניס צורת כתיבה זאת כבר כאן‪ ,‬אבל לא לוותר על השלב של כתיבת המשוואה עם המכנה המשותף‪).‬‬
‫‪9x  5x 120‬‬
‫‪9x 5x 120‬‬
‫ונעשה מעבר למשוואת המונים‬
‫‪ .‬בדוגמה זאת דילגנו על השלב של כתיבת משוואה בה יש שוויון בין שברים‪:‬‬
‫תתקבל המשוואה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪15‬‬
‫‪15‬‬
‫‪15 15‬‬
‫‪15‬‬
‫ישירות מהמשוואה בה כל המכנים היו שווים‪ .‬חשוב להדגיש זאת בהקנייה‪ .‬ההמשך כמו בדוגמה ‪.2‬‬
‫בסיום‪ ,‬עורכים בדיקה‪ .‬את הפתרון המתקבל מציבים תמיד במשוואה הנתונה‪ .‬ייתכן כי בשלב כלשהו נעשתה‬
‫טעות‪ ,‬והצבה במשוואה שנוצרה לאחר השלב בו בוצעה הטעות לא תגלה אותה‪.‬‬
‫כמו בפרקים קודמים שעסקו בפתרון משוואות (בקפיצה לגובה לכיתה ז‪ ,‬ובספר זה עמודים ‪ )78 – 73‬חשוב להקפיד על כתיבה מסודרת‪ ,‬שורה מתחת לשורה‪ ,‬כך‬
‫שבכל שורה תיכתב משוואה שקולה למשוואות הקודמות‪ .‬כתיבה מסודרת מונעת טעויות‪.‬‬
‫‪195‬‬
‫‪070‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪072 :‬‬
‫דוגמה ‪ :4‬דוגמה נוספת למשוואה בה יש מכנים זרים‪.‬‬
‫השוני מדוגמה ‪ 3‬הוא שהמחובר שאינו כתוב כשבר הוא ‪ .x‬נכתוב אותו כשבר שהמכנה שלו‬
‫‪x‬‬
‫‪ .‬המכנה המשותף הוא‪.1  3  4 = 12 :‬‬
‫הוא ‪:1‬‬
‫‪1‬‬
‫נבצע הרחבה של כל אחד מהשברים המשתתפים במשוואה לשברים שהמכנה שלהם הוא ‪.12‬‬
‫המשוואה המתקבלת היא משוואה אלגברית (יש נעלם בכל אחד משני אגפי המשוואה)‪.‬‬
‫בדוגמה זאת התלמידים מתבקשים לבצע את הבדיקה‪ .‬בבדיקה יש להציב שבר במקום ‪ ,x‬כך שמומלץ‬
‫לבצע בדיקה זו במליאת הכיתה‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫נבדוק אם מתקיים שוויון‪:‬‬
‫‪4 5 3‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪3 3 4‬‬
‫דוגמה ‪4‬‬
‫נתונה המשוואה‪:‬‬
‫‪5  2x  x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫נרשום כל מחובר כשבר‪.‬‬
‫את ‪ x‬נרשום כשבר שהמכנה שלו הוא ‪.1‬‬
‫‪5  2x  x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫המכנה המשותף הוא ‪.(43 = 12) 12‬‬
‫נרחיב את כל המחוברים לשברים בעלי מכנה ‪.12‬‬
‫‪60‬‬
‫‪8x‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫‪60x = 8x – 3x‬‬
‫נשווה מונים‪:‬‬
‫‪⧸: 5‬‬
‫‪x = 12‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4 1 1‬‬
‫‪.3   ‬‬
‫נחשב את ערך ביטוי שבאגף שמאל‪ .‬בחילוק שברים כופלים בהפכי לכן‬
‫‪4 3 4 3‬‬
‫‪5 1 4‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪3 3 3‬‬
‫‪4 4‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪3 3‬‬
‫תרגילים‬
‫בשלב זה עדיין אין תרגילים בהם במונה ביטוי חיבורי‪ .‬יילמד בהמשך בעמודים ‪.185 – 183‬‬
‫‪ .3‬תרגילים דומים לאלו שבדוגמאות ‪ 3‬ו‪.4 -‬‬
‫כפי שנאמר בפתיח לפרק זה בחרנו לפתור משוואות עם שברים על‪-‬ידי הבאת המשוואה למשוואה‬
‫שקולה בה יש שוויון בין שני שברים‪ .‬בדרך זאת תמנע טעות מאד נפוצה בפתרון משוואות מסוג זה‬
‫בדרכים אחרות‪.‬‬
‫דרך פתרון מקובלת היא לכפול כל אחד מהמחוברים בגורם ההרחבה‪ ,‬ולקבל משוואה ללא שברים‪.‬‬
‫פתרון שגוי נפוץ למשוואה (‪ )1‬למשל‪ ,‬הוא‪ .5x + 2x = 14 :‬התלמידים אינם שוכחים להרחיב את‬
‫השברים‪ ,‬אבל שוכחים לכפול את השלם‪ .‬בדרך המוצגת בספר‪ ,‬כתיבת כל אחד מהמחוברים כשבר‪,‬‬
‫וביצוע פעולות השומרות על שקילות‪ ,‬התהליך מובן לתלמיד‪ .‬המעבר ממשוואה עם מכנים למשוואה‬
‫שקולה ללא מכנים (משוואת המונים) מתקבלת בדרך ברורה ומובנת (רואים אותה ויזואלית גם בכתיבת‬
‫השוויון בין השברים) ולא כפטנט כלשהו לביטול המכנים‪.‬‬
‫לסיכום‪ :‬השלבים בפתרון משוואות עם שברים עם מכנים זרים‪ .‬מומלץ לעבור על השלבים במליאת‬
‫הכיתה תוך כדי פתרון של משוואה וביצוע השלבים בהתאם לרשימה‪.‬‬
‫‪196‬‬
‫‪60 = 5x‬‬
‫בדקו‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫‪.3‬‬
‫פתרו את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫(‪)9‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪  20‬‬
‫‪7 3‬‬
‫(‪)5‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪  14‬‬
‫‪2 5‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪7‬‬
‫(‪)10‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪  11‬‬
‫‪6 5‬‬
‫(‪)6‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪  15‬‬
‫‪2 3‬‬
‫(‪)2‬‬
‫‪10 ‬‬
‫(‪)11‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪ 5‬‬
‫‪2 7‬‬
‫(‪)7‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪ 7‬‬
‫‪3 4‬‬
‫(‪)3‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪4 5‬‬
‫(‪)12‬‬
‫‪x 2x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 13‬‬
‫‪5 3‬‬
‫(‪)8‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪ 6‬‬
‫‪4 5‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪ 5‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 9‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪‬‬
‫‪8 3‬‬
‫במשוואות עם מכנים זרים‪:‬‬
‫(א)‬
‫נ יג כל אחד מהמחוברים כשבר‪.‬‬
‫מחובר שהוא מספר שלם נרשום כשבר שהמכנה שלו הוא ‪.1‬‬
‫(ב)‬
‫נ שב את המכנה המשות ‪ :‬מכפלה של כל המכנים בתרגיל‪.‬‬
‫(ג)‬
‫נר יב את כל השברים כך שלכולם יהיו מכנים שווים‪ :‬המכנה המשותף‪.‬‬
‫(ד)‬
‫נשווה את המונים‪( .‬המכנים שווים‪ ,‬נשווה מונים‪).‬‬
‫(ה)‬
‫נפתור את המשוואה המתקבלת מהשוואת המונים‪.‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪ .4‬שילוב של משוואות שניתן לפתור אותן באמצעות ביצוע הפעולה ההפוכה‪ ,‬משוואות עם מכנים‬
‫שווים ומשוואות עם מכנים זרים‪.‬‬
‫משוואות (‪ )0‬עד (‪ )5‬הן משוואות שניתן לפתור באמצעות ביצוע הפעולה ההפוכה‪.‬‬
‫פתרו את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫מכנה משותף‪:‬‬
‫‪3∙7 = 21‬‬
‫במשוואות (‪ )0‬עד (‪ :)4‬כפל של שני אגפי המשוואה במכנה‪.‬‬
‫משוואה (‪ )0‬נותנים לתלמידים לפתור לבד‪ .‬בודקים את התשובות‪ .‬ניתן לבצע בשתי דרכים‪:‬‬
‫‪x 4x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 10‬‬
‫‪3 7‬‬
‫(‪)11‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪ 3  15‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪)6‬‬
‫‪x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪x 2x‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2 5‬‬
‫(‪)12‬‬
‫‪7x‬‬
‫‪3  4‬‬
‫‪6‬‬
‫(‪)7‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪)2‬‬
‫‪11 ‬‬
‫(‪)13‬‬
‫‪x  1 2x  3‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪)8‬‬
‫‪2x  3x‬‬
‫‪ 15‬‬
‫‪4‬‬
‫(‪)3‬‬
‫‪30 x‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪)14‬‬
‫‪24 7x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪11 11 11‬‬
‫(‪)9‬‬
‫‪8x  2x‬‬
‫‪ 18‬‬
‫‪7‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪9 7‬‬
‫(‪)15‬‬
‫‪x 3x 10‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪5 5‬‬
‫‪5‬‬
‫(‪)10‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1 9‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪)5‬‬
‫‪x 2x‬‬
‫‪‬‬
‫‪4 3‬‬
‫כפל של שני אגפי המשוואה במכנה ‪.4‬‬
‫‪x 5‬‬
‫הרחבה לשברים בעלי מכנים שווים‪.‬‬
‫כתיבת המשוואה כשוויון בין שני שברים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪4 1‬‬
‫‪x 20‬‬
‫ובהשוואת המונים מקבלים את הפתרון‪.x = 20 :‬‬
‫המכנה המשותף הוא ‪ .4‬מקבלים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫במשוואות (‪ )4( – )3‬מופיע אמנם ביטוי חיבורי במונה‪ .‬סכום של מחוברים דומים שניתן לכנס לפני‬
‫ביצוע כפל של שני אגפי המשוואה במכנה‪ ,‬או לאחר מכן כאשר מתקבלת משוואה ללא מכנה‪.‬‬
‫גם משוואות אלו ניתן לפתור באמצעות הרחבה של שני אגפי המשוואה לשברים בעלי מכנים שווים‬
‫‪.5‬‬
‫מה המספר שאם נכפול אותו ב‪ 3 -‬ואת המכפלה נחלק‬
‫ב‪ 17 -‬נקבל ‪? 102‬‬
‫בנו משוואה מתאימה ופתרו‪.‬‬
‫הפעולה ההפוכה‪ ,‬ראשית יש לחסר ‪ 1‬משני אגפי המשוואה ורק לאחר מכן לכפול במכנה‪.‬‬
‫מומלץ לפתור שלושה מתרגילים אלו (מסומנים בלוגו של פעילות במליאת הכיתה) במליאת הכיתה‬
‫מה המספר שאם נחלק אותו ב‪ 7 -‬ולמנה נוסיף ‪ 7‬נקבל ‪? 26‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.7‬‬
‫מה המספר שאם נכפול אותו ב‪ 8 -‬ואת המכפלה נחלק ב‪ 6 -‬נקבל ‪? 16‬‬
‫בנו משוואה מתאימה ופתרו‪.‬‬
‫כאשר התלמידים יתמודדו עם הפתרון בכוחות עצמם‪ ,‬ולאחר מכן יוצגו על הלוח דרכי הפתרון תוך‬
‫‪.8‬‬
‫במשוואות בהן המכנים שווים‪ .‬ייתכן ויהיו תלמידים שלא יתייחסו לכך ויקבעו‬
‫‪x‬‬
‫המספר הוא‪:‬‬
‫‪3x‬‬
‫כופלים אותו ב‪:3 -‬‬
‫‪3x‬‬
‫מ לקים ב‪:07 -‬‬
‫‪07‬‬
‫‪3x‬‬
‫מקבלים ‪= 102 .012‬‬
‫‪07‬‬
‫פתרו‪.‬‬
‫והשוואת המונים‪.‬‬
‫גם את משוואה (‪ )5‬ניתן לפתור בשתי הדרכים המוצעות‪ .‬בדרך של פתרון באמצעות ביצוע‬
‫הצגה של הפתרונות האלטרנטיביים‪.‬‬
‫‪073‬‬
‫מה המספר שאם נחלק אותו ב‪ 5 -‬ומהמנה נחסר ‪ 1‬נקבל ‪? 16‬‬
‫בנו משוואה מתאימה ופתרו‪.‬‬
‫כמכנה משותף את המכפלה של שני המכנים הנתונים‪ .‬במקרה כזה‪ ,‬כדאי להציג פתרון זה‬
‫במליאת הכיתה ולשמוע את דעת התלמידים על כך‪ .‬יש להדגיש כי גם פתרון זה הוא נכון והשאלה‬
‫שיש לדון בה היא האם יש צורך בשימוש במכנה משותף שונה מזה הנתון במשוואה‪.‬‬
‫במשוואות הא רות המכנים זרים‪ .‬מומלץ‪ ,‬אחרי התמודדות עצמית של התלמידים להציג את הפתרון‬
‫של משוואה (‪ )03‬במליאת הכיתה‪ ,‬משוואה בה המכנה המשותף הוא מכפלה של כל המכנים הנתונים‪.‬‬
‫‪.9‬‬
‫מה המספר שאם נחלק אותו ב‪ 4 -‬ואת המנה נכפול ב‪ 9 -‬נקבל ‪? 144‬‬
‫בנו משוואה מתאימה ופתרו‪.‬‬
‫‪ .10‬בסרטוט נתון משולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫היקף המשולש הוא ‪ 25‬ס"מ‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מה הערך של ‪? x‬‬
‫ב‪ .‬מה אורך השוק? מה אורך הבסיס?‬
‫סרטוט מוקטן‬
‫‪197‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫בתרגילים ‪ 01 – 5‬שאלות מילוליות שאת פתרונן מב עים באמ עות משוואות עם מכנים‪.‬‬
‫בשאלות ‪ 9 – 5‬פתרון השאלות ניתנות לפתרון על‪-‬ידי התרה אחורנית‪.‬‬
‫‪073‬‬
‫פתרו את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪x 4x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 10‬‬
‫‪3 7‬‬
‫(‪)11‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪ 3  15‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪)6‬‬
‫‪x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪x 2x‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2 5‬‬
‫(‪)12‬‬
‫‪7x‬‬
‫‪3  4‬‬
‫‪6‬‬
‫(‪)7‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪)2‬‬
‫‪11 ‬‬
‫(‪)13‬‬
‫‪x  1 2x  3‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪)8‬‬
‫‪2x  3x‬‬
‫‪ 15‬‬
‫‪4‬‬
‫(‪)3‬‬
‫מומלץ לפתור את שאלה ‪ 5‬במליאת הכיתה‪ ,‬ולעבור על ההדרכה שעל דף התובנות‪ ,‬לדרוש מהתלמידים‬
‫‪30 x‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪)14‬‬
‫‪24 7x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪11 11 11‬‬
‫(‪)9‬‬
‫‪8x  2x‬‬
‫‪ 18‬‬
‫‪7‬‬
‫(‪)4‬‬
‫לכתוב תשובה מילולית ולבדוק‪.‬‬
‫‪ .5‬מומלץ להציג את תהליך הפתרון במליאת הכיתה ולבצע בדיקה‪ .‬הבדיקה היא על המסופר בשאלה ולא‬
‫‪x x‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪9 7‬‬
‫(‪)15‬‬
‫‪x 3x 10‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪5 5‬‬
‫‪5‬‬
‫(‪)10‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1 9‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪)5‬‬
‫מכנה משותף‪:‬‬
‫‪3∙7 = 21‬‬
‫בפרק זה התלמידים מתבקשים לפתור אותן באמצעות משוואות‪.‬‬
‫בשאלות המילולית מתואר רצף של פעולות ונתון המספר המתקבל מביצוע פעולות אלו‪.‬‬
‫את המספר אותו צריך למצוא מסמנים ב‪.x -‬‬
‫‪x 2x‬‬
‫‪‬‬
‫‪4 3‬‬
‫מתרגמים את רצף הפעולות למשוואה עם הנעלם ‪ .x‬פותרים את המשוואה‪ ,‬נותנים תשובה מילולית ובודקים‪.‬‬
‫באמצעות הצבה במשוואה (ייתכן כי המשוואה שנכתבה שגויה)‪.‬‬
‫את החילוק מבצעים באמצעות קו שבר‪.‬‬
‫‪.5‬‬
‫תשובה מילולית‪ :‬המספר הוא ‪.578‬‬
‫מה המספר שאם נכפול אותו ב‪ 3 -‬ואת המכפלה נחלק‬
‫ב‪ 17 -‬נקבל ‪? 102‬‬
‫בבדיקה חוזרים לשאלה‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫המספר הוא‪:‬‬
‫‪3x‬‬
‫כופלים אותו ב‪:3 -‬‬
‫‪3x‬‬
‫מ לקים ב‪:07 -‬‬
‫‪07‬‬
‫‪3x‬‬
‫מקבלים ‪= 102 .012‬‬
‫‪07‬‬
‫פתרו‪.‬‬
‫בשאלה (‪ :)5‬המספר הוא ‪ .578‬ולבצע בדיקה תוך כדי‬
‫‪.6‬‬
‫קריאה של השאלה‪ .‬בשאלה זאת‪ :‬המספר הוא ‪ .578‬נכפול אותו ב‪ :3 -‬נקבל‪.1,734 :‬‬
‫נחלק אותו ב‪ ,17 -‬נקבל‪ .102 :‬בדיוק כפי שכתוב בשאלה‪.‬‬
‫הפתרון נכון‪.‬‬
‫מה המספר שאם נכפול אותו ב‪ 8 -‬ואת המכפלה נחלק ב‪ 6 -‬נקבל ‪? 16‬‬
‫בנו משוואה מתאימה ופתרו‪.‬‬
‫‪.7‬‬
‫מה המספר שאם נחלק אותו ב‪ 7 -‬ולמנה נוסיף ‪ 7‬נקבל ‪? 26‬‬
‫בנו משוואה מתאימה ופתרו‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .01‬שאלה מילולית בנושא גיאומטרי‪ .‬ניתן לכתוב שתי משוואות שקולות‪2  x  27 x  x   27 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5x‬‬
‫המתקבל מביצוע פעולת החשבון בין השלם לשבר‪.‬‬
‫מומלץ להציג את המכפלה גם כשבר‬
‫‪2‬‬
‫‪.8‬‬
‫מה המספר שאם נחלק אותו ב‪ 5 -‬ומהמנה נחסר ‪ 1‬נקבל ‪? 16‬‬
‫בנו משוואה מתאימה ופתרו‪.‬‬
‫‪.9‬‬
‫מה המספר שאם נחלק אותו ב‪ 4 -‬ואת המנה נכפול ב‪ 9 -‬נקבל ‪? 144‬‬
‫בנו משוואה מתאימה ופתרו‪.‬‬
‫‪ .10‬בסרטוט נתון משולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫היקף המשולש הוא ‪ 25‬ס"מ‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מה הערך של ‪? x‬‬
‫ב‪ .‬מה אורך השוק? מה אורך הבסיס?‬
‫סרטוט מוקטן‬
‫‪198‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫משוואות עם שברים – מכנים שאינם זרים‪.‬‬
‫משוואות עם שברים – מכנים שאינם זרים‬
‫מבחינים בין שני סוגים‪:‬‬
‫דוגמה ‪ 5‬משוואה בה מכנה א ד הוא כפולה של המכנה השני‬
‫‪ .1‬משוואות בהן אחד המכנים הוא כפולה של המכנה השני‪( .‬דוגמה ‪)5‬‬
‫‪ .2‬משוואות בהן למכנים יש מחלק משותף אבל אחד מהם אינו כפולה של האחר‪( .‬דוגמה ‪)6‬‬
‫דוגמה ‪ 5‬משוואה בה מכנה א ד הוא כפולה של המכנה השני‪.‬‬
‫המכנים במשוואה הנתונה הם ‪ .4 , 2‬התלמידים יודעים כי יש לכתוב משוואה שקולה בה כל המכנים שווים‪.‬‬
‫במשוואות עם מכנים זרים המכנה המשותף הוא מכפלת המכנים‪.‬‬
‫חשוב לקיים דיון על המכנה המשותף במקרה זה‪ .‬האם יש צורך לכפול את שני המכנים או שיש מכנה משותף‬
‫קטן יותר‪ .‬מכיוון ש‪ 4 -‬הוא כפולה של ‪ ,2‬נרחיב רק את השברים עם מכנים ‪ 2‬לשברים בעלי מכנה ‪.4‬‬
‫שואלים‪ :‬המספרים ‪ 20 , 16 , 12 , 8 , 4‬וכו' (כולם כפולות של ‪ )4‬יכולים להיות מכנה משותף‪.‬‬
‫מדוע כדאי לבחור דווקא ב‪ .4 -‬חשוב שהתלמידים יבינו שכל בחירה מקבוצת מספרים זאת‪ ,‬תוביל לפתרון נכון‪.‬‬
‫ניתן לפתור את התרגיל כאשר המכנה הוא ‪ 4‬ולאחר מכן כאשר המכנה הוא מספר גדול יותר (למשל ‪(20‬‬
‫ולראות מה ההבדל ביניהם‪ .‬ההבדל הוא בסדר הגודל של המספרים המשתתפים בחישוב‪ .‬נוח לבחור במכנה‬
‫בו החישובים יהיו במספרים קטנים יותר‪.‬‬
‫תרגיל ‪00‬‬
‫שש משוואות בהן מכנה אחד הוא כפולה של האחר‪ .‬הפתרון כמו בדוגמה ‪.5‬‬
‫דוגמה ‪ 6‬משוואה בה המכנים אינם זרים‪ ,‬אבל אינם כפולה א ד של השני‪.‬‬
‫תהליך הפתרון כמו בדוגמה הקודמת‪ .‬חשוב לקיים דיון בנושא כיצד מוצאים את המכנה המשותף הקטן ביותר?‬
‫זאת הזדמנות לדון במשמעות של מספר ראשוני ובפירוק של מספר לגורמים ראשוניים‪.‬‬
‫מכנה משותף הוא מספר המתחלק בכל אחד מהמכנים הנתונים (ללא שארית)‪.‬‬
‫בדוגמה זו המכנים הם ‪ 6‬ו‪ .8 -‬המכפלה שלהם ‪ 48‬יכולה לשמש כמכנה משותף‪.‬‬
‫מקובל לחשב את המכנה המשותף הקטן ביותר‪ .‬במקרה זה ‪ 24‬יהיה המכנה המשותף הקטן ביותר‪.‬‬
‫הוא מתחלק גם ב‪ 6 -‬וגם ב‪.8 -‬‬
‫כיצד מחשבים את המכנה המשותף הקטן ביותר? נכתוב כל אחד מהמכנים כמכפלה של גורמים ראשוניים‪.‬‬
‫‪ 6 = 2  3‬המספר ‪ 2‬הצבוע בכחול מופיע בשני המכנים (מוקפים בעיגול)‪.‬‬
‫‪ 8 = 2  2  2‬במכנה המשותף הוא יופיע רק פעם אחת‪ .‬חישוב המכנה המשותף‪.2  3  2  2 = 24 :‬‬
‫המכנה המשותף הקטן ביותר הוא המכפלה של כל הגורמים של המכנים‪ ,‬מבלי לחזור פעמיים על גורם שהוא גורם‬
‫של כל אחד מהמכנים הנתונים‪.‬‬
‫דוגמה נוספת‪ :‬חישוב המכנה המשותף של ‪ 18‬ו‪:24 -‬‬
‫‪074‬‬
‫נתונה המשוואה‪:‬‬
‫מה המכנה המשותף?‬
‫מכנה משותף הוא מספר המתחלק בכל אחד מהמכנים הנתונים‪.‬‬
‫‪ 8‬הוא מכנה משותף‪( .‬מכפלת המכנים ‪).2  4‬‬
‫‪18 = 2  3  3‬‬
‫במכנה המשותף הקטן ביותר הגורמים בכחול יופיעו רק פעם אחת‪ .‬המכנה המשותף‪2  3  3  2  2 = 72 :‬‬
‫‪199‬‬
‫‪2x x‬‬
‫‪18‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫האם יש מספר קטן יותר המתחלק גם ב‪ 2 -‬וגם ב‪? 4 -‬‬
‫‪ 4‬הוא כפולה של ‪ 4 .2‬מתחלק גם ב‪ 2 -‬וגם ב‪.4 -‬‬
‫‪2x  x‬‬
‫‪18‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫המכנה המשות הק ן ביותר הוא ‪. 4‬‬
‫המכנים שווים‪ ,‬נשווה מונים‪:‬‬
‫‪2x + x = 18‬‬
‫‪3x = 18‬‬
‫פתרון המשוואה‪:‬‬
‫‪x = 6‬‬
‫בדקו‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .11‬פתרו את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪3x x‬‬
‫‪ 7‬‬
‫‪6 3‬‬
‫(‪)5‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 16‬‬
‫‪6 18‬‬
‫(‪)3‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪ 6‬‬
‫‪4 2‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪3x x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 32‬‬
‫‪2 10‬‬
‫(‪)6‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪3 12‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪2x 2‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪3 9‬‬
‫(‪)2‬‬
‫דוגמה ‪6‬‬
‫משוואה בה המכנים אינם זרים ואינם כפולה א ד של השני‬
‫נתונה המשוואה‪:‬‬
‫נרשום כל מחובר כשבר‪:‬‬
‫מה המכנה המשותף?‬
‫‪ 48‬הוא מכנה משותף‪( .‬מכפלת המכנים ‪).8  6‬‬
‫האם יש מספר קטן יותר המתחלק גם ב‪ 6 -‬וגם ב‪? 8 -‬‬
‫גם ‪ 24‬הוא כפולה של ‪ 6‬ו‪.8 -‬‬
‫המכנה המשות הק ן ביותר הוא ‪.24‬‬
‫נשווה מונים‪:‬‬
‫‪3x x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 10‬‬
‫‪8‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3x x‬‬
‫‪10‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪9x 4x‬‬
‫‪240‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪24 24‬‬
‫‪24‬‬
‫‪9x  4x‬‬
‫‪240‬‬
‫‪‬‬
‫‪24‬‬
‫‪24‬‬
‫‪9x – 4x = 240‬‬
‫‪5x = 240‬‬
‫פתרון המשוואה‪:‬‬
‫בדקו‪.‬‬
‫‪24 = 2  2  2  3‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪9‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x = 48‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪ .02‬יש לפתור שש משוואות בהן המכנים אינם זרים‪ ,‬כמו בדוגמה ‪.6‬‬
‫לסיכום‪ :‬שלבי הפתרון‪ .‬מומלץ לעבור עליהם במליאת הכיתה תוך כדי פתרון משוואה‪ ,‬בה מבצעים שלבים אלו‪.‬‬
‫על פי סעיף (ב) יש לחשב את המכנה המשותף‪ .‬בחישוב המכנה המשותף אין הכרח למצוא את המכנה המשותף‬
‫הקטן ביותר‪ .‬במכנה המשותף הקטן ביותר מתקבלים מספרים קטנים יותר‪ ,‬הנוחים יותר לחישוב‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .03‬משוואות מעורבות בהן תרגילים דומים לתרגילים שבדוגמאות ‪.6 , 5‬‬
‫מומלץ לבחור מספר משוואות ולבקש מהתלמידים לבצע בדיקה‪.‬‬
‫לפיתוח התובנה המספרית מומלץ‪ ,‬בחלק מהתרגילים‪ ,‬לדון בדרכים לחישוב המכנה המשותף‪.‬‬
‫(מורה הכיתה יחליט אם דיון מהסוג המוצע מתאים לתלמידיו‪).‬‬
‫למשל‪ ,‬במשוואות הבאות‪,‬‬
‫במשוואה (‪ :)5‬מה המכנה המשותף ‪ 10 , 5‬או אולי ‪( 50‬המכפלה של ‪ 5‬ב‪.)10 -‬‬
‫מה מקבלים כאשר בוחרים במכנה של ‪50‬‬
‫במשוואה (‪ :)9‬האם המכנה המשותף הוא מכפלה של המכנים הנתונים – ‪ ,48‬או שניתן למצוא‬
‫מכנה משותף קטן יותר?‬
‫דוגמה ‪7‬‬
‫הדוגמה תיפתר במליאת הכיתה יחד עם התלמידים‪ ,‬כאשר הספר סגור‪.‬‬
‫דוגמה לדרך הפתרון של שאלה מילולית בה על התלמיד לכתוב משוואה להיקף מלבן‪ ,‬שאורך צלעותיו מוצג‬
‫באמצעות ביטויים אלגבריים‪.‬‬
‫טעות אפשרית‪ :‬כתיבת משוואה בה סכום של שתי צלעות סמוכות ולא של כל ארבע צלעות המלבן‪.‬‬
‫בספר מוצגת משוואה בה יש פירוט מלא של כל אחת מהצלעות‪ .‬ניתן לכתוב גם משוואות אחרות‪:‬‬
‫חישוב היקף מרובע שצלעותיו ‪ b , a‬באמצעות הנוסחה‪.2a + 2b :‬‬
‫או ‪ a + b‬שווה למחצית היקף המלבן‪.‬‬
‫פתרון מלא כולל תשובה מילולית לאורך צלעות המלבן‪ ,‬ובדיקה‪.‬‬
‫‪ .02‬פתרו את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫‪3x x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 22‬‬
‫‪10 15‬‬
‫(‪)5‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪6 9‬‬
‫(‪)3‬‬
‫‪x  x  25‬‬
‫‪4 6‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪x 3x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪4 10‬‬
‫(‪)6‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪8 12‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪9 12‬‬
‫(‪)2‬‬
‫במשוואות עם מכנים שאינם זרים‪:‬‬
‫(א) נ יג כל אחד מהמחוברים כשבר‪.‬‬
‫מחובר שהוא מספר שלם נרשום כשבר שהמכנה שלו הוא ‪.1‬‬
‫(ב) נ שב את המכנה המשות ‪ :‬מספר המתחלק בכל אחד מהמכנים שבמשוואה‪.‬‬
‫(ג)‬
‫נר יב את כל השברים כך שלכולם יהיו מכנים שווים‪ :‬המכנה המשותף‪.‬‬
‫(ד)‬
‫נשווה את המונים‪( .‬המכנים שווים‪ ,‬נשווה מונים‪).‬‬
‫(ה)‬
‫נפתור את המשוואה המתקבלת מהשוואת המונים‪.‬‬
‫‪.13‬‬
‫פתרו את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪  9‬‬
‫‪10 5‬‬
‫(‪)7‬‬
‫‪x 8‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪15 3‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪5x 4x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 33‬‬
‫‪6 15‬‬
‫(‪)8‬‬
‫‪x 8‬‬
‫‪‬‬
‫‪5 10‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪)5‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪4 6‬‬
‫‪2x 3x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬
‫(‪)9‬‬
‫‪20 ‬‬
‫(‪)6‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪8 10‬‬
‫‪3x x‬‬
‫‪‬‬
‫‪8 4‬‬
‫דוגמה ‪7‬‬
‫‪x–8‬‬
‫המרובע בסרטוט הוא מלבן‪ .‬מידות המלבן הן בס"מ‪.‬‬
‫היקף המלבן הוא ‪ 32‬ס"מ‪.‬‬
‫(א) חשבו את ‪? x‬‬
‫(ב) מה אורך צלעות המלבן?‬
‫היקף מלבן הוא סכום אורכי הצלעות‪.‬‬
‫צלע‬
‫צלע‬
‫צלע‬
‫משוואה מתאימה ‪:‬‬
‫פתרון המשוואה הוא‪:‬‬
‫צלע‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x8  x8 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 32‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2x  16 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 32‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪16‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪32‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫המכנה המשותף הוא ‪. 3‬‬
‫‪x = 18‬‬
‫נציב ‪ 18‬במקום ‪ x‬בביטויים המייצגים את אורך צלעות המלבן‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬צלעות המלבן הן באורך‪ 10 :‬ס"מ ‪ 6 ,‬ס"מ ‪ 10 ,‬ס"מ ‪ 6 ,‬ס"מ‪.‬‬
‫בדיקה‪. 10 + 6 + 10 + 6 = 32 :‬‬
‫‪200‬‬
‫‪075‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪ 5‬‬
‫‪6 4‬‬
‫(‪)1‬‬
‫(‪)2‬‬
‫(‪)3‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫תרגילים ‪09 – 04‬‬
‫שאלות מילוליות העוסקות באורך צלעות של משולשים‪ ,‬בהיקף של מלבן‪ ,‬ובהיקף של משולש‪.‬‬
‫נתונים ביטויים אלגבריים המייצגים אורך של צלעות במצולעים הנתונים‪.‬‬
‫בשאלה ‪ 04‬נתון היקף המלבן ויש לכתוב משוואה המשווה את סכום אורכי צלעות המצולע‬
‫‪176‬‬
‫כל הסרטוטים מוקטנים‪.‬‬
‫המידות בס"מ‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .14‬המרובע בסרטוט הוא מלבן‪.‬‬
‫‪2x‬‬
‫היקף המלבן הוא ‪ 44‬ס"מ‪.‬‬
‫(א)‬
‫(ב)‬
‫כתבו משוואה מתאימה להיקף המלבן וחשבו את הערך של ‪.x‬‬
‫מה אורך הצלעות של המלבן?‬
‫להיקף הנתון‪ .‬הפתרון כמו בדוגמה ‪.7‬‬
‫שאלות ‪ 09 , 01 , 07 , 05‬עוסקות בהיקף משולש‪ .‬כמו בדוגמה ‪ ,7‬יש לכתוב משוואה לסכום צלעות המלבן‪.‬‬
‫בשאלות מסוג זה‪ ,‬תלמידים נוטים לחשב את הערך של ‪ x‬ושוכחים לחשב באמצעותו את אורך הצלעות‪.‬‬
‫‪ .15‬היקף המשולש שבסרטוט הוא ‪ 58‬ס"מ‪.‬‬
‫בשאלות אלו יש שני סעיפים‪ ,‬באחד מבקשים לחשב את ‪ x‬ובשני את אורך הצלעות‪.‬‬
‫(א) מה הערך של ‪? x‬‬
‫בשאלה ‪ 06‬משולש שווה שוקיים‪ .‬בסרטוט מופיעים ביטויים אלגבריים המייצגים את אורך שוקי המשולש‪.‬‬
‫(ב) מה אורך השוק? מה אורך הבסיס?‬
‫‪10‬‬
‫לכל שוק ביטוי אחר‪.‬‬
‫שוקי המשולש שווה השוקיים שוות באורכן‪ ,‬ולכן יש לכתוב משוואה בה משווים את שני הביטויים‪.‬‬
‫מומלץ לפתור שאלות ‪ 15‬ו‪ 16 -‬במליאת הכיתה‪ .‬התלמידים יפתרו בכוחות עצמם ולאחר מכן יציגו‬
‫‪ .16‬לפניכם משולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫מה הערך של ‪? x‬‬
‫את פתרונותיהם‪.‬‬
‫‪ .17‬היקף המשולש שבסרטוט ‪ 52‬ס"מ‪.‬‬
‫(א) מה הערך של ‪? x‬‬
‫(ב) מה אורך כל אחת מצלעות המשולש?‬
‫‪24‬‬
‫‪7‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪ .18‬היקף המשולש שבסרטוט ‪ 77‬ס"מ‪.‬‬
‫‪5x‬‬
‫(א) מה הערך של ‪? x‬‬
‫(ב) מה אורך כל אחת מצלעות המשולש?‬
‫‪ .19‬בסרטוט משולש ישר זווית‪.‬‬
‫היקף המשולש ‪ 24‬ס"מ‪.‬‬
‫(א) מה הערך של ‪? x‬‬
‫(ב) מה אורך הצלעות של המשולש?‬
‫‪201‬‬
‫‪7x‬‬
‫‪x–2‬‬
‫‪8‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪177 :‬‬
‫‪ .21‬תרגיל נוסף עם משוואות עם מכנים‪ ,‬משוואות מעורבות מכל הסוגים שנלמדו‪.‬‬
‫‪ .‬פתרו את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪5x x‬‬
‫‪  17‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫מורה הכיתה יחליט אם תלמידיו זקוקים לתרגול נוסף‪.‬‬
‫(‪)9‬‬
‫‪5x 1‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪9 9‬‬
‫(‪)5‬‬
‫‪5x‬‬
‫‪ 75‬‬
‫‪6‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪2 5‬‬
‫(‪)10‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪  30‬‬
‫‪3 2‬‬
‫(‪)6‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ 9‬‬
‫‪7‬‬
‫(‪)2‬‬
‫‪20 ‬‬
‫(‪)11‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 12‬‬
‫‪10 20‬‬
‫(‪)7‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪)3‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪  10‬‬
‫‪9 4‬‬
‫(‪)12‬‬
‫‪3x 2x‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫(‪)8‬‬
‫‪4x‬‬
‫‪ 12‬‬
‫‪7‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪10 15‬‬
‫המקדם ‪ -‬זרה‬
‫המושג "מקדם" נלמד כבר בכיתה ז (קפיצה לגובה לכיתה ז חלק ב עמוד ‪.)151‬‬
‫זיהוי המקדם הוא ידע קריטי ללימוד פתרון של משוואות עם מכנים‪ .‬כינוס מחוברים שווים בתוך משוואות‬
‫מתבצע על‪-‬ידי חיבור וחיסור המקדמים של הנעלם‪ .‬בפרק זה מתמקדים במקדם בביטויים עם שברים‪.‬‬
‫המקדם – זרה‬
‫זיהוי של ביטויים שווי ערך כאשר המקדמים של הנעלם הם שברים‪ .‬אותו ביטוי יכול להיכתב בדרכים שונות‪.‬‬
‫מומלץ לדון בפעולות החשבון אותן מבצעים במעבר מביטוי לביטוי שווה ערך‪ .‬בנוסף מומלץ שימוש בצבעים‪.‬‬
‫למספר הכופל איבר אלגברי קוראים מקדם‪.‬‬
‫הפרק פותח בחזרה על כך שהמקדם הוא המספר הכופל איבר אלגברי וכולל מספר דוגמאות‪.‬‬
‫המקדם של ‪ x‬בביטוי ‪ 4x‬הוא ‪ .4‬המקדם של‬
‫‪ x‬בביטוי ‪x‬‬
‫הוא ‪.1‬‬
‫בכתיב המקדם של‬
‫מופיע ‪ 5‬הוא ‪.7‬‬
‫בביטוי ‪+ 7x‬‬
‫מומלץ לבקש מהתלמידים לכתוב כל אחד מהביטויים שבספר כמכפלה של מספר ב‪ x -‬ולצבוע את המספר הכופל‪ .‬המקדם של ‪x‬‬
‫מודגש)‬
‫(במדריך‪:‬‬
‫‪ x‬בביטוי ‪ –x‬הוא ‪.–1‬‬
‫‪ .‬המקדם של‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪.‬‬
‫הוא‬
‫‪ x‬בביטוי‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫הדוגמאות מדורגות‪.‬‬
‫בהצגת כפל של מספר ב‪ x -‬יתקבלו הביטויים הבאים‪( :‬המקדם מודגש)‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.4x‬‬
‫‪5  7x‬‬
‫‪1 x‬‬
‫‪ 1 x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫בדיון על הביטוי ‪ 5 + 7x‬ניתן להציג גם את הביטוי ‪ (5 + 7)x‬ולשאול מהו המקדם בכל אחד משני המקרים‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫המקדם של ‪ x‬בביטוי ‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .21‬בכל סעיף רשמו מה המקדם של ‪.x‬‬
‫‪x+5‬‬
‫(‪)7‬‬
‫‪3x + 7‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪3x‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪–x + 6‬‬
‫(‪)8‬‬
‫‪–x‬‬
‫(‪)5‬‬
‫‪–6x‬‬
‫(‪)2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪5‬‬
‫(‪)9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪)6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪)3‬‬
‫‪ .20‬מטלת זיהוי‪ .‬יש לזהות את המקדם של המשתנה בכל אחד מהביטויים‪.‬‬
‫חשוב להתייחס במפורש לתרגילים (‪ )8( , )7( , )5‬שבהם המקדם אינו כתוב בצורה מפורשת‪ :‬מקדם ‪1‬‬
‫או )‪.(–1‬‬
‫לאחר תרגיל זה הצגה של ביטויים שווי ערך בעלי מקדמים שהם שברים‪ .‬מומלץ לחזור על משמעות‬
‫המושג ביטויים שווי ערך‪ :‬לכל מספר (מתוך קבוצת ההצבה) שנציב בביטויים אלו יתקבלו ערכים שווים‪.‬‬
‫בביטויים המוצגים קבוצת ההצבה היא כל המספרים וכין צורך בשלב זה להעלות את הסוגיה של קבוצת ההצבה‪.‬‬
‫‪202‬‬
‫‪3‬‬
‫הוא‬
‫‪4‬‬
‫‪x 1∙x‬‬
‫‪-x (-1(∙x‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪4‬‬
‫הם ביטויים שווים‪ .‬ניתן לומר‪ :‬המקדם של ‪ x‬הוא ‪. 1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪8‬‬
‫‪3x‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪8‬‬
‫הם ביטויים שווים‪ .‬ניתן לומר‪ :‬המקדם של ‪ x‬הוא ‪. 3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 x ,  1x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x ,‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫הם ביטויים שווים‪ .‬מה המקדם של ‪? x‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 3x‬‬
‫‪, 3 x ,‬‬
‫‪x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫הם ביטויים שווים‪ .‬מה המקדם של ‪? x‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪ .22‬בכל סעיף נתון ביטוי אלגברי‪ .‬מימינו שלושה ביטויים‬
‫‪ .23‬בכל סעיף נתון ביטוי אלגברי‪ .‬מימינו שלושה‬
‫אחרים שבחלק מהם ל‪ x -‬אותו מקדם כמו בביטוי‬
‫ביטויים אחרים‪ .‬על התלמיד לזהות את‬
‫הנתון‪ .‬על התלמיד לזהות ביטויים אלו‪.‬‬
‫הביטויים שווי הערך לביטוי הנתון‪.‬‬
‫‪ .22‬בכל סעיף נתון ביטוי ומימין לו שלושה ביטויים נוספים‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫מצאו את הביטויים בהם ל‪ x -‬יש אותו מקדם כמו בביטוי הנתון‪.‬‬
‫‪3–x‬‬
‫שואלים‪ :‬מה המקדם של ‪ x‬בביטוי הנתון?‬
‫מזהים את הביטויים בהם ל‪ x -‬אותו מקדם‪.‬‬
‫)א(‬
‫נבקש מהתלמידים לזהות את המקדם של ‪x‬‬
‫‪–1x‬‬
‫‪–x‬‬
‫)ג(‬
‫‪–1 + x‬‬
‫בביטויים האחרים‪.‬‬
‫‪4x‬‬
‫)ב(‬
‫)ד(‬
‫‪x–4‬‬
‫‪ .23‬בכל סעיף מצאו את הביטויים השווים לביטוי הנתון‪.‬‬
‫מומלץ לבדוק במליאת הכיתה את תרגיל (א)‪.‬‬
‫מומלץ לבדוק במליאת הכיתה את תרגיל (ו)‪.‬‬
‫הביטוי ‪ 3 – x‬הוא סכום של שני מחוברים‪:‬‬
‫‪x 3‬‬
‫‪ 3‬ו‪ .(–x) -‬המקדם של ‪ x‬הוא )‪.(–1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪3  ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪8‬‬
‫(א)‬
‫(ד)‬
‫‪‬‬
‫הביטוי השלישי האפשרי‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪  x  3   1 x  3    x  3    3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪‬‬
‫‪203‬‬
‫(ב)‬
‫(ה)‬
‫(ג)‬
‫(ו)‬
‫‪071‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪179 :‬‬
‫‪ .24‬תרגיל נוסף בו יש לזהות ביטויים שווי ערך‪.‬‬
‫‪ .24‬על ‪ 10‬הכרטיסים שלפניכם רשומים ביטויים אלגבריים‪.‬‬
‫פתרון‪ :‬א – ו ‪ ,‬ב – ד ‪ ,‬ג – ה ‪ ,‬ח – י‪ .‬לכרטיסים ז ‪ ,‬ט אין כרטיס תואם‪.‬‬
‫מצאו זוגות של כרטיסים בהם ל‪ x -‬יש אותו המקדם‪.‬‬
‫שימו לב! לא לכל כרטיס יש בן זוג מתאים‪.‬‬
‫ב‬
‫א‬
‫דוגמה ‪1‬‬
‫פתרון משוואה בה עוברים לצורת כתיבה אחידה כפי שמתואר בדוגמה‪ ,‬כדי שיהיה נוח יותר לפתור את המשוואה‬
‫ולמנוע טעויות‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫כותבים ביטוי שווה ערך‪:‬‬
‫כותבים ביטוי שווה ערך‪:‬‬
‫‪ .‬למחובר ‪x‬‬
‫למחובר ‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬
‫במשוואה כתיבה אחידה של כל המחוברים‪.‬‬
‫כאשר לא מקפידים על כתיבה אחידה כך שכל אחד מהמחוברים יהיה שבר (מונה לחלק למכנה)‪ ,‬תלמידים נוטים‬
‫‪x‬‬
‫‪ .‬בשלב בו כותבים משוואה שקולה בה כל המכנים שווים‪ ,‬צפויה הכללת היתר הבאה‪:‬‬
‫לכתוב את ה‪ x -‬כ‪-‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3 x 3 1 x‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪8 1 4 2 1‬‬
‫‪3 8x 6 4 8x‬‬
‫מתייחסים ל‪ x -‬כאל מחובר במשוואה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪8 8 8 8 8‬‬
‫‪3x  3  1x‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫בעזרת כתיבה זו יותר נוח‬
‫לזהות את המקדמים‪.‬‬
‫בפתרון משוואות נוח לעיתים לעבור מצורת כתיבה‬
‫אחת לצורת כתיבה אחרת‪.‬‬
‫‪3x  3  x‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫בעזרת כתיבה זו יותר נוח‬
‫לזהות את המכנים‪.‬‬
‫‪ .25‬מקבץ של משוואות בהן בחלק מהמשוואות כתיבה לא אחידה של המחוברים‪ .‬למניעת טעויות מומלץ‬
‫המכנה המשותף הוא ‪. 8‬‬
‫נרחיב את כל המחוברים לשברים בעלי מכנה ‪: 8‬‬
‫‪3x  6  4x‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫לעבור לכתיבה אחידה כמו בדוגמה ‪.8‬‬
‫ג‬
‫דד‬
‫וו‬
‫ה‬
‫ה‬
‫י‬
‫ז‬
‫דוגמה ‪8‬‬
‫נתונה המשוואה‪:‬‬
‫‪/ –3x‬‬
‫המכנים שווים‪ .‬נשווה מונים‪:‬‬
‫‪3x + 6 = 4x‬‬
‫‪6 = x‬‬
‫פתרון המשוואה‪:‬‬
‫‪x = 6‬‬
‫בדקו‪.‬‬
‫‪.25‬‬
‫‪204‬‬
‫פתרו את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 4 x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪11‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪6‬‬
‫‪18‬‬
‫‪18‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x  x  20‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪)7‬‬
‫‪13 ‬‬
‫(‪)5‬‬
‫‪x 3‬‬
‫‪ x  26‬‬
‫‪3 4‬‬
‫(‪)2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪12‬‬
‫(‪)8‬‬
‫‪5x 4‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫(‪)6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x  x7‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫(‪)3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x  1 x‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪)9‬‬
‫‪x 9‬‬
‫‪‬‬
‫‪x  23‬‬
‫‪4 10‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫דוגמה ‪9‬‬
‫שאלה מילולית העוסקת בחלק של שלם‪.‬‬
‫דוגמה ‪9‬‬
‫‪2‬‬
‫מה המספר ש‪-‬‬
‫‪7‬‬
‫נסמן את המספר ב‪. x -‬‬
‫ממנו הם ‪? 16‬‬
‫מומלץ לחזור על כך שלמציאת חלק מתוך שלם יש לכפול את החלק בשלם‪.‬‬
‫פותרים מספר שאלות מהסוג‪ :‬בארגז יש ‪ 20‬תפוזים‪ .‬כמה תפוזים בחצי ארגז? יש להניח שאת‬
‫התשובה ‪ 10‬יודעים‪ .‬שואלים‪ :‬איזו פעולת חשבון מבצעים בין שני המספרים ‪  , 20‬כדי להגיע ל‪?10 -‬‬
‫כמה תפוזים יש ב‪  -‬הארגז? מה המשמעות? איזו פעולת חשבון מבצעים בין המספרים הנתונים?‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫עוברים לדוגמה‪ .‬הפתרון הוא באמצעות משוואה‪ .‬ניתן גם לפתור בדרך חשבונית ולחלק ‪ 16‬ב‪-‬‬
‫‪7‬‬
‫בכל השאלות עד כה חישבו חלק משלם באמצעות כפל של החלק בשלם‪ .‬כאן ידוע החלק והנעלם הוא השלם‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .16 -‬מומלץ (לא רק בשאלות מסוג זה) לבדוק מה מייצגים הנתונים‪.‬‬
‫טעות צפויה‪ :‬תלמידים יכפלו את‬
‫‪7‬‬
‫השלם‪ :‬לא ידוע‪ .‬נסמן ב‪ .x -‬החלק כשבר‪ , :‬החלק במספרים‪.16 :‬‬
‫‪2‬‬
‫במשוואה‪ :‬החלק כפול השלם הוא החלק במספרים‪x  16 :‬‬
‫‪7‬‬
‫פתרון המשוואה אפשרי במספר דרכים‪ :‬חילוק במקדם של ‪ ,x‬פתרון בשלבים‪ :‬כפל ב‪ 7 -‬וחילוק ב‪.2 -‬‬
‫ואפשר לכתוב משוואה שקולה בה בשני האגפים יש שברים בעלי מכנים שווים כפי שמוצג בספר‪.‬‬
‫נכתוב משוואה‪:‬‬
‫‪ 16‬‬
‫נכתוב בצורה נוחה יותר‪:‬‬
‫‪ 16‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪7‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪7‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪7‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪7‬‬
‫נרחיב למכנה ‪:7‬‬
‫‪ 16‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 112‬‬
‫‪7‬‬
‫המכנים שווים נשווה מונים‪:‬‬
‫‪2x = 112‬‬
‫‪x = 56‬‬
‫‪2‬‬
‫תשובה‪ :‬המספר ש‪-‬‬
‫‪7‬‬
‫ממנו הם ‪ 16‬הוא ‪.56‬‬
‫בדקו‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫לפתרון השאלות הבאות היעזרו במשוואות‪.‬‬
‫‪.26‬‬
‫מומלץ לפתור את הדוגמה במליאת הכיתה כאשר הספר סגור‪ .‬לקיים דיון בדרכי הפתרון ולאחר כתיבת‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫במרוץ השתתפו ‪ 125‬תלמידים‪.‬‬
‫מתלמידי בית הספר השתתפו במרוץ הגליל‪.‬‬
‫כמה תלמידים בבית הספר?‬
‫המשוואה להשאיר בידי התלמידים להליט על דרך פתרון אפשרי‪ .‬דרכי הפתרון יוצגו לאחר מכן על הלוח‪.‬‬
‫(א) סמנו ב‪ x -‬את מספר תלמידי בית הספר וכתבו משוואה מתאימה‪.‬‬
‫כמו בשאלות מילוליות אחרות‪ ,‬נדרשת תשובה מילולית ובדיקה על נתוני השאלה‪.‬‬
‫(ב) פתרו את המשוואה ובדקו האם המספר שקיבלתם מתאים לנתוני השאלה‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫‪.27‬‬
‫התלמידים מתבקשים לפתור את השאלות שבפרק זה באמ עות משוואות‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫לסבתא מחרוזת פנינים‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫במחרוזת ‪ 36‬פנינים שחורות‪.‬‬
‫מהפנינים במחרוזת הן פנינים שחורות‪.‬‬
‫כמה פנינים במחרוזת?‬
‫(א) סמנו את מספר הפנינים במחרוזת ב‪ x -‬וכתבו משוואה מתאימה‪.‬‬
‫‪ :21 – 26‬שאלות מילוליות כמו דוגמה ‪ .9‬בכולן יש לחשב חלק מתוך שלם כאשר השלם הוא הגודל הלא ידוע‪,‬‬
‫(ב) פתרו את המשוואה ובדקו האם המספר שקיבלתם מתאים לנתוני השאלה‪.‬‬
‫אותו מסמנים ב‪.x -‬‬
‫כמו בשאלות קודמות‪ ,‬חייבים לכתוב תשובה מילולית‪.‬‬
‫‪.28‬‬
‫‪205‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫כמה תלמידים בכיתה?‬
‫מתלמידי הכיתה משתתפים בחוגים‪ .‬בחוגים משתתפים ‪ 26‬תלמידים‪.‬‬
‫‪011‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪010 :‬‬
‫‪ .31 – 29‬שאלות דומות לקודמות‪ .‬לא ניתנת לתלמידים הדרכה איזה מהגדלים לבחור לסמן ב‪.x -‬‬
‫על התלמיד להחליט בכוחות עצמו‪ .‬כמו בדוגמה‪,‬‬
‫בתרגיל ‪ .29‬השלם‪ :‬לא ידוע‪ .‬נסמן ב‪ .x -‬החלק כשבר‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.29‬‬
‫‪4‬‬
‫מהשאלות במבחן במתמטיקה היו באלגברה‪ .‬במבחן היו ‪ 15‬שאלות באלגברה‪.‬‬
‫כמה שאלות היו במבחן?‬
‫החלק במספרים‪.15 :‬‬
‫החלק במספרים‪.26 :‬‬
‫בתרגיל ‪ .30‬השלם‪ :‬לא ידוע‪ .‬נסמן ב‪ .x -‬החלק כשבר‪:‬‬
‫‪ .30‬מומלץ לפתור במליאת הכיתה‪ .‬במשוואה לפתרון השאלה באגף אחד ביטוי שהוא סכום של שני‬
‫מחוברים‪ .‬על דף תובנות הדרכה לסמן ב‪ x -‬את הגיל של מיכל‪.‬‬
‫שואלים‪ :‬מדוע כדאי לבחור בדרך זו? הגיל של נועה הוא חלק מהגיל של מיכל‪ .‬לחישוב‪ ,‬כופלים את‬
‫החלק בשלם כפי שנעשה בשאלות הקודמות‪( .‬ניתן כמובן לסמן את הגיל של נועה ב‪ ,x -‬ובמקרה זה‬
‫הגיל של מיכל הוא ‪ . x‬במקרה זה שואלים‪ :‬האם הגיל של מיכל גדול או קטן מהגיל של נועה?)‪.‬‬
‫המשוואה‪ .x + x = 21 :‬ייתכן שיהיו תלמידים שיכתבו משוואה שגויה כמו המשוואות שבתרגילים‬
‫הקודמים‪.x = 21 :‬‬
‫בתשובה המילולית‪ :‬הגילים של נועה ומיכל‪ .‬אין להסתפק בחישוב ‪ .x‬בכיתה בה מציגים פתרון‬
‫כאשר ‪ x‬הוא הגיל של נועה‪ ,‬יפתרו בשתי הדרכים ויראו שאמנם ‪ x‬שונה אבל התשובה לשאלה היא זהה‪.‬‬
‫‪ .32‬שאלה דומה לשאלה ‪ .31‬ההבדל היחידי הוא שעל דף תובנות לא ניתנת הנחייה לגבי ה‪ ,x -‬אלא‬
‫נשאלת השאלה‪ :‬איזה גיל תסמנו ב‪? x -‬‬
‫‪ .33‬מומלץ לפתור במליאת הכיתה‪ .‬שאלה מסוג דומה לקודמות‪ .‬הקשר שונה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .30‬לענת סכום כסף בקופה‪ .‬היא קנתה מתנה לאחיה בסכום של ‪ 72‬שקלים שהם‬
‫‪8‬‬
‫הכסף שהיה בקופה‪.‬‬
‫כמה כסף היה בקופה של ענת ?‬
‫סמנו את סכום הכסף בקופה ב‪ ,x -‬כתבו משוואה מתאימה ופתרו‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .31‬סכום הגילים של נועה ומיכל היום הוא ‪ .21‬הגיל של נועה היום הוא‬
‫‪4‬‬
‫מהם הגילים של נועה ומיכל?‬
‫‪3‬‬
‫‪ .32‬הפרש הגילים של נדב ואלון הוא ‪ .16‬הגיל של אלון היום הוא‬
‫‪5‬‬
‫מהם הגילים של אלון ונדב?‬
‫‪1‬‬
‫‪.33‬‬
‫‪4‬‬
‫מספר הילדים היה גדול ב‪ 20 -‬ממספר המבוגרים‪.‬‬
‫מהמשתתפים בטיול היו מבוגרים והשאר ילדים‪.‬‬
‫כמה מבוגרים וכמה ילדים יצאו לטיול?‬
‫תרגילים נוספים‬
‫תרגילים ‪ ,31 – 34‬תרגילי חזרה‪ .‬משוואות נוספות מהסוגים שנלמדו‪.‬‬
‫‪ .34‬אוסף משוואות ללא שברים‪.‬‬
‫יש לשים לב שבמשוואות (‪ )12( , )10( , )9‬צפויות טעויות בסימנים‪.‬‬
‫מומלץ לבדוק תרגילים אלו במליאת הכיתה‪.‬‬
‫מסכום‬
‫מהגיל של מיכל‪.‬‬
‫סמנו ב‪ x -‬את הגיל‬
‫של מיכל‪.‬‬
‫מהגיל של נדב‪.‬‬
‫איזה גיל תסמנו ב‪? x -‬‬
‫סמנו את מספר המשתתפים הכולל ב‪.x -‬‬
‫מספר המבוגרים‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫מספר הילדים‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫תרגילים נוספים‬
‫‪ .43‬פתרו את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪)5( 4x + 12 = 60 – 8x‬‬
‫‪)1( 3(5 – x) = 27‬‬
‫‪)9( 10 – 3(2x + 4) = –11‬‬
‫‪)10( –2(3 – x) = (x – 4)3‬‬
‫)‪)6( 5 – x = 3(x + 1‬‬
‫‪)2( 3(x – 2) = x‬‬
‫‪)11( 3 + 4(x – 3) = 19‬‬
‫‪)7( 3(2x – 1) + 3 = 4x‬‬
‫‪)3( 4(7 – 2x) = 8‬‬
‫)‪)12( x – 2(3x – 8‬‬
‫‪)8( –2(5 + x) = 3x‬‬
‫‪)4( (8 – 3x)9 = 18‬‬
‫‪9 =0‬‬
‫‪206‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪012‬‬
‫‪ .31 – 35‬משוואות עם שברים‪ .‬מכנים מספריים‪.‬‬
‫‪ ..35‬פתרו את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪43‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪ 1  10‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x  4‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪)7‬‬
‫‪x  5  3‬‬
‫‪7‬‬
‫(‪)8‬‬
‫‪8x  7  11‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x  18  0‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪)9‬‬
‫‪5  1  x‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪x  3‬‬
‫‪7‬‬
‫(‪)1‬‬
‫(‪)5‬‬
‫‪6  x‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪)2‬‬
‫(‪)6‬‬
‫‪5x  10‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪)3‬‬
‫‪ ..36‬פתרו את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪53‬‬
‫‪5x  8‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2  5  8x  5‬‬
‫‪7‬‬
‫(‪)7‬‬
‫‪2x  5‬‬
‫‪ 6  18‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪)8‬‬
‫‪6  3x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪11  x‬‬
‫‪ 12   9‬‬
‫‪4‬‬
‫(‪)9‬‬
‫‪x3  1  3‬‬
‫‪5‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪3x  1  2‬‬
‫‪5‬‬
‫(‪)1‬‬
‫(‪)5‬‬
‫‪10  x  2‬‬
‫‪4‬‬
‫(‪)2‬‬
‫(‪)6‬‬
‫‪13  x  1‬‬
‫‪4‬‬
‫(‪)3‬‬
‫‪ ..37‬פתרו את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪63‬‬
‫‪4x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪15‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫(‪)5‬‬
‫‪x6  7‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫(‪)3‬‬
‫‪x  x  10‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪4x  6‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪)6‬‬
‫‪3x  1  10‬‬
‫‪13‬‬
‫‪13‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪6x  x  15‬‬
‫‪17‬‬
‫‪17‬‬
‫‪17‬‬
‫(‪)2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ..31‬פתרו את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪73‬‬
‫‪1  x  x‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7x‬‬
‫‪4x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 13‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪207‬‬
‫(‪)5‬‬
‫‪x  x  13‬‬
‫‪8‬‬
‫‪5‬‬
‫(‪)3‬‬
‫‪x  x  22‬‬
‫‪9‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪)1‬‬
‫(‪)6‬‬
‫‪10  x  x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪x  x  2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫(‪)2‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪013 :‬‬
‫משוואות עם שברים – סכום במונה‬
‫משוואות עם שברים – סכום במונה‬
‫מה החידוש בפרק זה? במה שונות משוואות אלו מהמשוואות שפתרנו עד כה?‬
‫הצגה של שש משוואות אותן כבר למדו לפתור‪ ,‬כולל פירוט של שלבי הפתרון‪.‬‬
‫למדנו לפתור את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫התלמידים יפתרו משוואות אלו בכוחות עצמם‪.‬‬
‫בפרק זה נלמד לפתור משוואות עם שברים בהם במונה יש ביטוי שהוא סכום והמכנים לאו דווקא שווים‪.‬‬
‫דוגמה ‪01‬‬
‫מומלץ להציג במשוואה זו את השונה מהמשוואות הקודמות‪ :‬באגף ימין‪ ,‬במונה ביטוי חיבורי ‪.x + 4‬‬
‫באגף שמאל‪ ,‬במונה הביטוי ‪ 3x – 1‬שגם הוא ביטוי חיבורי‪ .‬מדוע? הפעולה היא חיסור‪ .‬כל פעולת חיסור‬
‫ניתן לכתוב כחיבור המחובר הנגדי ולכן גם לביטוי בו פעולות חיסור קוראים ביטוי חיבורי (סכום)‪.‬‬
‫)‪8 – 13 = 8 + (–13‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫(‪)5‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪  18‬‬
‫‪5 4‬‬
‫(‪)3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪ 7x  17‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪)6‬‬
‫‪2x x‬‬
‫‪ 7‬‬
‫‪3 5‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪4x‬‬
‫‪ 12‬‬
‫‪7‬‬
‫(‪)2‬‬
‫לפתרון המשוואות בצענו את השלבים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬הצגנו את כל המחוברים במשוואה כשברים‪ .‬מספר שלם נרשם כשבר שמכנהו ‪.1‬‬
‫ב‪ .‬הרחבנו את השברים לשברים בעלי מכנים שווים‪.‬‬
‫ג‪ .‬השווינו את המונים‪.‬‬
‫ד‪ .‬פתרנו את המשוואה שהתקבלה מהשוואת המונים‪.‬‬
‫שלבי הפתרון זהים לאלו שנלמדו קודם לכן‪ .‬בדוגמה זו‪:‬‬
‫פתרו את המשוואות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫הרחבה של השברים לשברים בעלי מכנים שווים‪ ,‬כאשר את הבי וי האלגברי כותבים בסוגריים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫המכנים שווים‪ ,‬משווים מונים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫פתרון המשוואה‪ :‬כאשר בשלב ראשון‪ ,‬בכל אגף כותבים ביטויים ללא סוגריים תוך שימוש בחוק הפילוג‪.‬‬
‫‪‬‬
‫בדיקה‪.‬‬
‫בפרק זה נלמד לפתור משוואות עם שברים בהם במונה יש ביטוי שהוא סכום והמכנים לאו דווקא שווים‪.‬‬
‫דוגמה ‪10‬‬
‫‪3x  1  x  4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫נפתור את המשוואה ‪:‬‬
‫נרחיב את השברים למכנה משותף ‪: 10‬‬
‫נרחיב ב‪3x  1  x  4 .2 -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫)‪5(3x  1‬‬
‫)‪2(x  4‬‬
‫‪‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫המכנים שווים‪ ,‬נשווה מונים‪:‬‬
‫)‪5(3x – 1) = 2(x + 4‬‬
‫‪/ +5‬‬
‫‪15x – 5 = 2x + 8‬‬
‫‪/ –2x‬‬
‫‪15x = 2x + 13‬‬
‫‪13x = 13‬‬
‫‪x = 1‬‬
‫בדיקה‪ :‬נציב ‪ x = 1‬במשוואה המקורית‪:‬‬
‫‪3 1 1‬‬
‫‪1 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫‪208‬‬
‫‪1  1‬‬
‫נרחיב ב‪.5 -‬‬
‫הסכום שבמונה ייכתב בסוגריים‪.‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪014 :‬‬
‫תרגילים‬
‫תרגילים‬
‫‪ .39‬פתרון משוואות לפי דוגמה ‪.10‬‬
‫‪ .39‬פתרו את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫(‪)9‬‬
‫‪2x  1  3x  4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪)5‬‬
‫‪x 1  x  4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪)1‬‬
‫המספר ‪ 11‬כשבר שהמכנה שלו הוא ‪).1‬‬
‫לאחר הרחבה של השברים לשברים בעלי מכנים שווים (מכנה משותף) מקבלים שוויון בין שני שברים‬
‫‪5x  8  7x  16‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪)10‬‬
‫‪3  x7‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫(‪)6‬‬
‫‪x  3  2x  2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫(‪)2‬‬
‫שהמכנים שלהם שווים‪ .‬לפתרון המשוואה משווים מונים‪.‬‬
‫‪4x  11  2x  7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪)11‬‬
‫‪2x  4  3x  4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪)7‬‬
‫‪5x  1  4x  2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪)3‬‬
‫‪2x  1  2x  5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫(‪)12‬‬
‫‪3x  10  11‬‬
‫‪5‬‬
‫(‪)8‬‬
‫‪5  x  5x  6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫(‪)4‬‬
‫בכל המשוואות השוואה בין שני שברים (פרט למשוואה (‪ )8‬בה‪ ,‬ראשית‪ ,‬יש לכתוב את‬
‫‪ .41‬משוואות בהן השוואה בין שני שברים‪.‬‬
‫תהליך הפתרון כמו בדוגמה ‪.10‬‬
‫‪ 1  3x  5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪11 = 11‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .40‬פתרו את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫תרגילים נוספים לתלמידים מתקדמים‪.‬‬
‫דוגמה ‪00‬‬
‫משוואה בה מחובר אחד כתוב כשבר (מונה לחלק למכנה)‪ ,‬המכנים האחרים כתובים כמכפלה של שבר‬
‫בשלם (השלם בדוגמה זאת הוא ביטוי אלגברי)‪.‬‬
‫‪3x  10‬‬
‫‪14  x‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪)3‬‬
‫‪2x  2‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪x8‬‬
‫‪2x  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪)2‬‬
‫כבר במשוואות קודמות פתרנו משוואות בהן הכתיבה לא הייתה אחידה‪ .‬נוח לכתוב את כל המחוברים כשברים‬
‫(מונה לחלק למכנה)‪ .‬לאחר כתיבה בצורה אחידה ממשיכים בפתרון המשוואה כפי שהוצג בדוגמה ‪.10‬‬
‫יש לשים לב לכך שיש לחסר ביטוי שהוא שבר‪ .‬חשוב לכתוב את המשוואה בה משווים מונים עם הסוגריים ולשים‬
‫דוגמה ‪11‬‬
‫לב לסימנים כאשר פותחים סוגריים‪.‬‬
‫נפתור את המשוואה‪:‬‬
‫)‪1 (4x  3)  7x  3  1 (3  3x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫נכתוב כל מחובר כשבר‬
‫(צורת כתיבה אחידה)‪:‬‬
‫‪4x  3  7x  3  3  3x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫המכנה המשותף הוא ‪.30‬‬
‫נרחיב את השברים למכנה ‪:30‬‬
‫)‪6 ( 4x  3‬‬
‫)‪10 (7x  3‬‬
‫)‪15 (3  3x‬‬
‫נשבץ סוגריים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪30‬‬
‫‪30‬‬
‫‪30‬‬
‫המכנים שווים‪ ,‬נשווה מונים‪:‬‬
‫)‪6(4x + 3) – 10(7x – 3) = 15(3 – 3x‬‬
‫נכנס איברים דומים‪:‬‬
‫‪24x + 18 – 70x + 30 = 45 – 45x‬‬
‫‪⧸+45x‬‬
‫‪–46x + 48 = 45 – 45x‬‬
‫‪⧸–48‬‬
‫‪–x = –3‬‬
‫‪x = 3‬‬
‫הציבו ‪ x = 3‬במשוואה המקורית ובדקו‪.‬‬
‫‪209‬‬
‫‪–x + 48 = 45‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪ .40‬תרגול של פתרון משוואות דומות לאלו שבדוגמה ‪ .11‬חשוב להקפיד על סימנים נכונים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 x ‬‬
‫מומלץ לפתור את משוואה (‪ )6‬במליאת הכיתה‪(x  1) :‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1 x 1‬‬
‫)‪( x  1‬‬
‫‪1 x 1‬‬
‫)‪( x  1‬‬
‫‪ 1(x  1) x  1‬‬
‫‪‬‬
‫או כך‪:‬‬
‫כותבים בכתיבה אחידה‪ :‬כך‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪10 ‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ 10‬‬
‫מבקשים מהתלמידים לבחור אחת מהשתיים ולפתור‪ .‬להשוות את הפתרונות‪ .‬שתי צורות הכתיבה הן‬
‫‪1 x‬‬
‫‪ ‬שני שברים בעלי‬
‫משוואות שקולות למשוואה הנתונה‪ .‬בשתיהן מתקבל אותו פתרון‪ .‬בביטוי‬
‫‪1 1‬‬
‫אותו מכנה‪ .‬ההפרש שווה לשבר שהמכנה שלו הוא ‪ 1‬והמונה הפרש המונים של השברים הנתונים‪.‬‬
‫דוגמה ‪ 02‬במשוואה זו במונה נתונה מכפלה בין ביטוי אלגברי למספר‪ .‬לפני ביצוע תהליך הפתרון שנלמד‪,‬‬
‫מומלץ לכתוב משוואה כזו ללא סוגריים באמצעות חוק הפילוג‪.‬‬
‫הסיבה‪ :‬כאשר משאירים את הסוגריים במעבר למשוואה שקולה בעלת מכנים שווים יש לכפול את המונים‬
‫בגורם ההרחבה‪ .‬טעות נפוצה היא לכפול הן את המקדם והן את הביטוי בגורם ההרחבה‪ .‬פתיחת הסוגריים‬
‫לפני שלב זה מונעת טעות זאת‪.‬‬
‫) ‪3( x  2 ) 2( x  3‬‬
‫נדגים זאת על המשוואה לאחר כתיבה בצורה אחידה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫נכתוב משוואה שקולה בה המכנים שווים‪ .‬המכנה המשותף הוא ‪.12‬‬
‫גורם ההרחבה של השבר שבאגף שמאל הוא ‪ .3‬גורם ההרחבה של השבר שבאגף ימין הוא ‪.4‬‬
‫) ‪9  3( x  2 ) 8  4( x  3‬‬
‫טעות נפוצה‪ :‬כפל של כל אחד מהגורמים שבמונה בגורם ההרחבה?‬
‫‪‬‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫באגף שמאל הגדילו את המכנה פי ‪ 3‬ואת המונה פי ‪ .9‬באגף ימין‪ ,‬הגדילו את המכנה פי ‪ 4‬ואת המונה פי ‪.16‬‬
‫‪ .42‬משוואות שתהליך הפתרון שלהן הוא כמו בדוגמה ‪.12‬‬
‫‪ .43‬מיועד לתלמידים שפתרו בהצלחה את המשוואות הקודמות‪ .‬מומלץ להתנסות בהצבה של מספרים‬
‫ולאחר מספר התנסויות להכליל ולפתור בדרך אלגברית‪ .‬בספר הדרכה לכתיבת הביטויים המתאימים‬
‫את הגיל לפני ‪ 10‬שנים נסמן ב‪ x -‬ונכתוב ביטוי מתאים לגיל של מיכל היום‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪ . x  (x  10‬הפתרון‪ :‬מיכל בת ‪ .50‬התלמידים יבדקו אם קיבלו פתרון נכון‪.‬‬
‫המשוואה‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .44‬מיועד לתלמידים שפתרו בהצלחה את המשוואות הקודמות‪.‬‬
‫‪015‬‬
‫‪ . 40‬פתרו את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫)‪1 x  1 (x  1‬‬
‫‪10‬‬
‫(‪)6‬‬
‫‪8x  5x  1  4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7x  1  7  2x  5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪9‬‬
‫(‪)7‬‬
‫‪3  x  x 1  1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪)2‬‬
‫)‪1 (x  3)  3  1 (x  6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫(‪)8‬‬
‫‪5x  7  4x  8  11‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫(‪)3‬‬
‫)‪x  3  1 (x  2)  1 (x  1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪)9‬‬
‫)‪3x  x  2  1 (x  3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪)4‬‬
‫)‪1 (2x  1)  1 (3x  4)  1 (10  2x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪)10‬‬
‫‪2x  4  6  5x  3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫(‪)5‬‬
‫(‪)1‬‬
‫דוגמה ‪12‬‬
‫)‪3(x  2‬‬
‫)‪ 2 (x  3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪3(x  2‬‬
‫)‪2(x  3‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫נפתור את המשוואה‪:‬‬
‫נכתוב כל מחובר כשבר‬
‫(צורת כתיבה אחידה)‪:‬‬
‫‪3x  6  2x  6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫נכתוב משוואה ללא סוגריים‪:‬‬
‫)‪3(3x  6‬‬
‫)‪4(2x  6‬‬
‫‪‬‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫נכתוב משוואה שקולה עם מכנים שווים‪:‬‬
‫המשיכו ופתרו את המשוואה‪.‬‬
‫‪ .42‬פתרו את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫)‪3(x  1) 2(4  x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪)3‬‬
‫)‪4 (x  2)  2 (7x  3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫(‪)1‬‬
‫)‪5(x  3) 6(x  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 7x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫(‪)4‬‬
‫)‪2(x  3‬‬
‫)‪ 1  3 (x  2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫(‪)2‬‬
‫‪.43‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫(א) כתבו משוואה מתאימה לחישוב הגיל של מיכל היום‪.‬‬
‫של הגיל של מיכל היום שווה לחצי הגיל של מיכל לפני ‪ 10‬שנים‪.‬‬
‫(ב) מה הגיל של מיכל היום?‬
‫כתבו ביטויים מתאימים‪:‬‬
‫הגיל של מיכל היום‪.x :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 5‬הגיל של מיכל היום‪:‬‬
‫הגיל של מיכל לפני ‪ 10‬שנים‪x – 10 :‬‬
‫‪ 1‬הגיל של מיכל לפני ‪ 10‬שנים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.44‬‬
‫בחדר ב יש ‪ 10‬אנשים יותר מאשר בחדר א‪.‬‬
‫שליש ממספר האנשים בחדר ב שווה למחצית מספר האנשים בחדר א‪.‬‬
‫כמה אנשים בכל חדר?‬
‫‪210‬‬
‫מספר האנשים בחדר א‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ x + 10‬מספר האנשים בחדר ב‪.‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪168‬‬
‫משוואות עם שברים – ביטוי אלגברי במכנה‬
‫משוואות עם שברים – ביטוי אלגברי במכנה‬
‫לפניכם תשע משוואות‪ .‬בחמש מהן מכנים מספריים‪.‬‬
‫בפרק זה ילמדו לפתור משוואות שבמכנה שלהן יש ביטוי אלגברי‪ .‬מספר שיעורים מומלץ‪.2 :‬‬
‫בפתיחת הפרק מוצג אוסף של תשע משוואות‪ ,‬מתוכן ארבע‪ ,‬בהן המכנה הוא ביטוי אלגברי‪.‬‬
‫שואלים‪ :‬האם יש כאן משוואות אותן אתם יודעים לפתור? אלו הן? במה נבדלות המשוואות האחרות‬
‫מאלו שפתרו קודם לכן? יש להניח שאחת התשובות הנכונות תהייה שבחלק מהמשוואות יש שוויון‬
‫בין שברים ובחלק‪ ,‬באחד מאגפי המשוואה‪ ,‬יש ביטוי חיבורי – סכום של שברים‪.‬‬
‫שואלים‪ :‬האם ביניהן יש משוואות אותן למדנו לפתור?‬
‫נבקש מהתלמידים לפתור את אחת מהמשוואות‪ ,‬למשל‪ ,‬משוואה (‪ )1‬ואת האחרות יפתרו מאוחר‬
‫יותר בעבודה עצמית‪ .‬התלמידים יפתרו את חמש המשוואות שהמכנים שלהן הם מספרים‪.‬‬
‫אומרים‪ :‬נלמד לפתור גם משוואות בהן במכנה יש ביטוי אלגברי‪.‬‬
‫נציג על הלוח את המשוואה הנתונה בדוגמה ‪ ,1‬כאשר הספרים סגורים‪ .‬בשתי הדוגמאות הראשונות‬
‫הביטוי האלגברי הוא ביטוי כפלי מהסוג ‪.ax‬‬
‫לפני תהליך הפתרון‪ ,‬שואלים‪ :‬האם במשוואה זו כל מספר שנקבל יכול להיות פתרון למשוואה? איזה‬
‫מספר אסור להציב במשוואה זו? נכתוב את תחום ההצבה של המשוואה‪ .‬התחום כתוב גם במילים‬
‫וגם בכתיב מתמטי‪ .‬בכיתה ח נאפשר לתלמידים לבחור את דרך הכתיבה ולא נאלץ אותם להשתמש‬
‫בכתיב המתמטי‪.‬‬
‫הערות לגבי פתרון המשוואה‪.‬‬
‫מוצגות שתי דרכים לפתרון‪ .‬שתי הדרכים שונות בצורת הכתיבה‪ .‬במשוואות בהן המכנה המשותף הוא‬
‫מכפלה של מספר גורמים שכל אחד מהם הוא ביטוי אלגברי חיבורי‪ ,‬השלב של כתיבת המשוואה כך‬
‫שלכל השברים יהיה מכנה משותף הוא מסורבל‪ .‬למשל‪ ,‬במשוואה‪:‬‬
‫השלב של מעבר למכנים שווים ייראה כך‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x7‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪)7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2x x  1‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪4x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪7‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪9‬‬
‫‪‬‬
‫‪x4 x1‬‬
‫(‪)8‬‬
‫‪1  3x 2x  8‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪)5‬‬
‫‪x 5‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪6 3‬‬
‫(‪)2‬‬
‫‪2  4x 1‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫(‪)9‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪4x  3 x  3‬‬
‫(‪)6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪x2 x‬‬
‫(‪)3‬‬
‫במשוואות (‪ )8( , )6( , )4( , )3‬יש ביטוי אלגברי במכנה‪.‬‬
‫נלמד לפתור משוואות אלו‪.‬‬
‫דוגמה ‪13‬‬
‫) ‪2( x  1() 3x  2‬‬
‫)‪3x( x  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪( x  1() 3x  2 ) ( x  1() 3x  2 ) ( x  1() 3x  2‬‬
‫כאשר כתיבת המכנים היא למעשה מיותרת מכיוון שבשלב הבא משווים מונים‪ .‬דרך הכתיבה השנייה‬
‫היא כתיבת גורם ההרחבה מעל לכל שבר‪ ,‬כדי להגיע לכך שלכל השברים יהיו מכנים שווים‪ ,‬מבלי‬
‫לכתוב את המכנים‪( .‬הדוגמאות בספר‪ ,‬בהן מוצגות שתי דרכי הפתרון‪ ,‬אינן מסורבלות כמו הדוגמה‬
‫הנ"ל – עדיין לא למדו את חוק הפילוג המורחב)‪.‬‬
‫בדוגמה ‪ 13‬פתרון המשוואה הוא ‪ .x = 8‬נבדוק אם הפתרון נכון ולאחר מכן האם הוא שייך לתחום ההצבה‪.‬‬
‫‪24‬‬
‫‪80‬‬
‫‪ 7 ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫נפתור את המשוואה‪:‬‬
‫האם ניתן במקום ‪ x‬להציב כל מספר?‬
‫יש לוודא שהמכנה לא יהיה שווה ‪.0‬‬
‫במשוואה זו‪ ,‬הביטוי במכנה הוא ‪ .x‬אסור להציב ‪ 0‬במקום ‪.x‬‬
‫ת ום הה בה של המשוואה הוא‪ :‬כל המספרים פרט ל‪ ,0 -‬ובכתיב מתמטי‪.x  0 :‬‬
‫נפתור את המשוואה‪.‬‬
‫נציג שתי דרכים לפתרון המשוואה‪ .‬דרך א בה פתרנו את המשוואות עד כה‪ ,‬ודרך נוספת‪ ,‬דרך ב‪.‬‬
‫המשוואה‪:‬‬
‫‪24‬‬
‫‪80‬‬
‫‪ 7 ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫נכתוב את כל המחוברים כשברים ‪:‬‬
‫‪24‬‬
‫‪7‬‬
‫‪80‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫המכנה המשות הוא ‪.x‬‬
‫‪,‬‬
‫‪x  1 3x  2‬‬
‫) ‪( x  2 )( 3x  2‬‬
‫‪211‬‬
‫זהו אותן ופתרו‪.‬‬
‫דר א‬
‫נרחיב את השברים‬
‫כך שלכולם יהיה‬
‫מכנה משותף‪.x :‬‬
‫המכנים שווים‪,‬‬
‫נשווה מונים‪:‬‬
‫דר‬
‫ב‬
‫‪24‬‬
‫‪7x‬‬
‫‪80‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪⧸–24‬‬
‫‪24 + 7x = 80‬‬
‫‪⧸:7‬‬
‫משמאל לכל שבר‬
‫נכתוב את גורם‬
‫ההרחבה (באדום)‪.‬‬
‫נכפול בגורם‬
‫ההרחבה‪.‬‬
‫‪24‬‬
‫‪7‬‬
‫‪80‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪⧸–24‬‬
‫‪24 + 7x = 80‬‬
‫‪7x = 56‬‬
‫‪x = 8‬‬
‫בדקו‪.‬‬
‫⧸‪1‬‬
‫⧸‪x‬‬
‫⧸‪1‬‬
‫‪ 8‬שייך לתחום ההצבה של המשוואה‪.‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫דוגמה ‪14‬‬
‫דוגמה ‪14‬‬
‫דוגמה נוספת עם אותו תהליך כמו של דוגמה ‪.13‬‬
‫הצגה של שתי דרכים לכתיבת הפתרון‪.‬‬
‫לסיכום‪ ,‬מה למדנו?‬
‫התייחסות לתחום ההצבה‪ ,‬ובדיקה בסיום הפתרון‪ ,‬אם הפתרון שייך לתחום ההצבה‪.‬‬
‫שלבי הפתרון של המשוואה בשתי הדרכים שהוצגו‪ .‬חשוב להדגיש את העובדה ששתי הדרכים שוות בדרך‬
‫הפתרון אבל שונות בצורת הכתיבה‪ .‬בהשוואת שתי הדרכים שואלים‪ :‬בדרך א‪ ,‬בשלב של הרחבת השברים‬
‫מהן הפעולות שמבצעים? את השבר שמשמאל מרחיבים פי ‪ ,5‬כלומר כופלים מונה ומכנה פי ‪ .5‬וכותבים את‬
‫השבר (גם את המונה וגם את המכנה המתקבלים לאחר ההרחבה)‪ .‬בשלב הבא משווים מונים‪.‬‬
‫איזו פעולה מבצעים בדרך ב? גם כאן כופלים את המונה והמכנה פי ‪ 5‬אבל מכיוון שפעולת ההרחבה נעשית כדי‬
‫שהמכנים במשוואה יהיו שווים‪ ,‬כדי לכתוב את משוואת המונים‪ ,‬כבר בשלב זה מוותרים על רישום המכנה‪.‬‬
‫שאלות דומות לגבי הרחבת אגף ימין של המשוואה‪.‬‬
‫מה למדנו? סיכום של שלבי הפתרון של משוואה עם מכנים שהם ביטויים אלגבריים‪ ,‬תוך הדגשה של השווה בין‬
‫שתי הדרכים‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫נפתור את המשוואה‪:‬‬
‫‪161‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪5‬‬
‫ת ום הה בה‪ :‬כל המספרים פרט ל‪(x  0) .0 -‬‬
‫נפתור משוואה זאת בשתי דרכים‪:‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪5‬‬
‫המכנה המשות הוא ‪.10x‬‬
‫דר א‬
‫דר ב‬
‫⧸‪2x‬‬
‫⧸‪5‬‬
‫)‪5(x  4‬‬
‫‪6x‬‬
‫‪‬‬
‫‪10x‬‬
‫‪10x‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5(x + 4) = 6x‬‬
‫‪5(x + 4) = 6x‬‬
‫‪5x + 20 = 6x ⧸–5x‬‬
‫‪20 = x‬‬
‫‪ 20‬שייך לקבוצת ההצבה של המשוואה‪.‬‬
‫‪x = 20‬‬
‫בדקו‪.‬‬
‫מה למדנו?‬
‫במשוואות בהן יש ביטוי אלגברי במכנה‪:‬‬
‫‪ ‬יש לבדוק אלו מספרים אסור להציב במקום המשתנים שבמכנה‪ ,‬ולכתוב את תחום ההצבה‪.‬‬
‫לאחר שפותרים את המשוואה יש לבדוק שהפתרון נמצא בתחום ההצבה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫לפתרון המשוואה כותבים משוואה שקולה שבה כל המחוברים הם שברים‪( .‬מחובר שאינו שבר ייכתב כשבר‬
‫שהמכנה שלו הוא ‪).1‬‬
‫‪ .54‬פתרון משוואות כאשר במכנה יש גם ביטויים אלגבריים כפליים מהסוג ‪.ax‬‬
‫לפני תחילת הפתרון על התלמידים לכתוב את תחום ההצבה של כל משוואה‪.‬‬
‫‪ ‬פתרון בדרך (ב)‪ :‬מרחיבים את השברים שבמשוואה לשברים בעלי מכנים שווים‪.‬‬
‫במשוואות (ד) ‪( ,‬ו) תחום ההצבה הוא כל המספרים‪ .‬במשוואות האחרות תחום ההצבה הוא ‪.x  0‬‬
‫כותבים ליד כל מחובר את גורם ההרחבה‪ ,‬כופלים כל מונה בגורם ההרחבה‪.‬‬
‫כותבים את משוואת המונים‪.‬‬
‫הנחייה לכל המשוואות‪ :‬שלב ראשון‪ :‬כתיבה של כל המחוברים שבמשוואה כשברים‪ :‬מחוברים ללא מכנה‬
‫נכתוב עם מכנה שהוא ‪.1‬‬
‫תרגילים‬
‫שלב שני‪ :‬מציאת המכנה המשותף‪.‬‬
‫‪ .45‬לכל משוואה כתבו את תחום ההצבה‪.‬‬
‫במשוואות (‪ )2( , )1‬מכנים שווים‪ .‬המכנה המשותף שווה למכנה של המחוברים שבמשוואה‪x :‬‬
‫פתרו את המשוואות בדרך הנוחה לכם‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫(‪)4‬‬
‫(‪)7‬‬
‫במשוואות ‪ )7( , )6( , )5( , )4( , )3( :‬מכנים זרים‪ .‬המכנה המשות שווה למכפלת המכנים של‬
‫‪7‬‬
‫‪5  ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4 5‬‬
‫המחוברים השונים‪( .‬שימו לב כי במשוואות (‪ )6( , )4‬מכנים מספריים ולא ביטויים אלגבריים‪ .‬נדגיש זאת‬
‫‪5x  1‬‬
‫(‪)5‬‬
‫‪)8( 17  x  5x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪12 8‬‬
‫ונראה כי אין שינוי בדרך הפתרון‪ .‬השינוי היחיד הוא בתחום ההצבה‪).‬‬
‫‪x6 2‬‬
‫‪x x‬‬
‫(‪)6‬‬
‫(‪)9‬‬
‫‪  14‬‬
‫‪‬‬
‫‪5 2‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪3‬‬
‫במשוואות (‪ )9( , )8‬מכנים שאינם זרים‪ .‬נזכיר כי נוח למצוא את המכנה המשותף הקטן ביותר‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬את המספר הקטן ביותר או את הביטוי הקטן ביותר המתחלק בכל אחד מהמכנים שבמשוואה‪.‬‬
‫במשוואה (‪ )8‬מכנים מספריים‪ (22) .8 = 222 ,12 = 223 .‬הם גורמים של שני המכנים‪ ,‬אין צורך לחזור עליהם פעמיים‪ .‬המכנה המשותף‪.2223 = 24 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪212‬‬
‫פתרון בדרך (א)‪ :‬מרחיבים את השברים שבמשוואה לשברים בעלי מכנים שווים‪.‬‬
‫כותבים משוואה בה כל המכנים שווים‪ .‬משווים את המונים‪.‬‬
‫‪20 24‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 11‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪5 30‬‬
‫‪‬‬
‫‪7‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪4x  1 13‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪(1‬‬
‫(‪)2‬‬
‫(‪)3‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫במשוואה (‪ )9‬שניים מהמכנים הם ‪ . 4x , 4x‬המכנה המשותף‪ .4x :‬מכנה נוסף הוא ‪.2‬‬
‫‪ 4x‬מתחלק גם ב‪ .2 -‬המכנה המשותף‪. 4x :‬‬
‫או כפי שבדקנו במספרים‪ .4x = 22x :‬אחד (אפילו שניים) מהגורמים של ‪ 4x‬הוא ‪ ,2‬שהוא המכנה‬
‫הנוסף‪.‬‬
‫דוגמה ‪15‬‬
‫תוצג במליאת הכיתה כאשר הספר סגור‪.‬‬
‫‪166‬‬
‫דוגמה ‪15‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x4‬‬
‫נפתור את המשוואה‪:‬‬
‫מהו תחום ההצבה של המשוואה?‬
‫אסור שהמכנה יהיה ‪.0‬‬
‫נבדוק עבור איזה ערך של ‪ x‬מתקיים ‪.x – 4 = 0‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪.x = 4‬‬
‫ת ום הה בה‪ :‬כל המספרים פרט ל‪(x  4) .4 -‬‬
‫⧸‪(x-4)‬‬
‫משוואה בה המכנה הוא ביטוי אלגברי חיבורי‪ .‬כמו בדוגמאות הקודמות נבדוק מהו תחום ההצבה‪.‬‬
‫המכנה המשותף הוא (‪.)x – 4‬‬
‫נכתוב מעל לכל מחובר את גורם ההרחבה‪:‬‬
‫אסור שהמכנה יהיה ‪ .0‬תחום ההצבה‪ :‬כל המספרים פרט ל‪.x  4 .4 -‬‬
‫נכפול כל מונה בגורם ההרחבה המתאים‪:‬‬
‫בדוגמה ‪ 17‬התייחסות מפורשת למציאת תחום ההצבה‪.‬‬
‫המכנה המשותף‪ :‬מכפלת המכנים‪ .‬אגף שמאל נשאר ללא שינוי (כפל ב‪ .)1 -‬את אגף ימין מרחיבים‬
‫⧸‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪x = 3(x – 4‬‬
‫המשיכו ופתרו את המשוואה‪.‬‬
‫בדקו‪.‬‬
‫פי )‪ .(x – 4‬התלמידים יבצעו שלב זה ויציגו תשובותיהם על הלוח‪ .‬יש להניח שלא כולם ישתמשו בסוגריים‪.‬‬
‫ויקבלו ‪ .3x – 4‬בוצע כפל בין ‪ 3‬ל‪ .x -‬שואלים‪ :‬צריך לכפול את הביטוי ‪ x – 4‬ב‪.3 -‬‬
‫דוגמה ‪16‬‬
‫כיצד נכתוב ביטוי המבטא כפל זה? חייבים שימוש בסוגריים‪.‬‬
‫התלמידים ימשיכו לפתור את המשוואה ויקבלו‪ .x = 6 :‬שואלים‪ :‬האם ‪ 6‬הוא בתחום ההצבה של המשוואה?‬
‫נפתור את המשוואה‪:‬‬
‫מה נקבל כאשר נציב ‪? x = 4‬‬
‫לסיום בדיקה על‪-‬ידי הצבה במשוואה‪.‬‬
‫האם יש מספר נוסף שאסור להציב אותו במקום ‪?x‬‬
‫נבדוק עבור איזה ערך של ‪ x‬מתקיים ‪.x + 2 = 0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪x2‬‬
‫דוגמה ‪16‬‬
‫ת ום הה בה‪ :‬כל המספרים פרט ל‪ 4 -‬ול‪.(x  4 , x  –2) .(–2) -‬‬
‫תוצג במליאת הכיתה כאשר הספר סגור‪ .‬משוואה בה שני מכנים שהם ביטויים אלגבריים חיבוריים‪.‬‬
‫המכנה המשותף הוא מכפלת המכנים‪:(x – 4)(x + 2) :‬‬
‫ההקניה כמו בדוגמה ‪ .15‬למציאת תחום ההצבה יש לבדוק לגבי כל אחד מהמכנים עבור אילו מספרים הוא‬
‫שווה לאפס‪ .‬תחום ההצבה כולל את כל המספרים פרט לשניים‪ 4 :‬ו‪.(–2) -‬‬
‫⧸‪(x-4)‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪x2‬‬
‫נכתוב מעל לכל איבר את גורם ההרחבה‪:‬‬
‫)‪5(x + 2) = 3(x – 4‬‬
‫נכפול כל מונה בגורם ההרחבה המתאים‪:‬‬
‫נמשיך ונפתור את המשוואה‪:‬‬
‫בתהליך הפתרון (כמו בדוגמה ‪ )15‬חייבים להשתמש בסוגריים‪.‬‬
‫⧸‪(x+2)‬‬
‫‪⧸–3x‬‬
‫‪⧸–10‬‬
‫‪5x + 10 = 3x – 12‬‬
‫‪2x + 10 = –12‬‬
‫‪⧸:2‬‬
‫‪2x = –22‬‬
‫‪x = –11‬‬
‫נבדוק‪:‬‬
‫‪213‬‬
‫?‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 11  4  11  2‬‬
‫‪5 ? 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 15‬‬
‫‪9‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪168 :‬‬
‫דוגמה ‪17‬‬
‫דוגמה ‪17‬‬
‫תהליך מפורש של חישוב תחום ההצבה‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪4x  2 3‬‬
‫(א)‬
‫במשוואות עם מכנים אסור שהמכנה יהיה שווה לאפס‪ .‬בודקים לגבי כל מכנה‪ ,‬עבור אילו ערכים של ‪,x‬‬
‫המכנה שווה ‪.0‬‬
‫בדוגמה (א) הביטוי שבמכנה הוא‪ .4x + 2 :‬בודקים מתי המכנה שווה ‪ 0‬כלומר‪ ,‬פותרים את המשוואה‪:‬‬
‫נחשב את תחום ההצבה‪.‬‬
‫עבור אלו ערכים של ‪x‬‬
‫המכנה שווה ‪? 0‬‬
‫‪⧸–2‬‬
‫‪x+1=0‬‬
‫‪,‬‬
‫‪x + 1 = 0 ⧸–1 , x – 5 = 0 ⧸+5‬‬
‫‪4x + 2 = 0‬‬
‫‪4 x  2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x=5‬‬
‫‪,‬‬
‫‪x = –1‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x5‬‬
‫‪,‬‬
‫‪x  –1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫בדוגמה (ב) שני מכנים שהם ביטויים אלגבריים‪ .‬משווים כל מכנה לאפס‪.‬‬
‫תחום ההצבה כולל את כל המספרים פרט לשני מספרים אלו‪.x  –1 , x  5 :‬‬
‫תרגילים‬
‫‪x–5=0‬‬
‫‪4x + 2 = 0‬‬
‫‪ .4x + 2 = 0‬נפתור את המשוואה ונקבל‪ .x = – :‬תחום ההצבה כל המספרים פרט ל‪.x  – :(–) -‬‬
‫בהצבה של ‪ ,x = 5‬המכנה שבאגף ימין הוא ‪ .0‬בהצבה של ‪ ,x = –1‬המכנה שבאגף שמאל הוא ‪.0‬‬
‫(ב)‬
‫‪21‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪x1 x5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫ת ום הה בה‪:‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .51 – 58‬משוואות עם מכנים שהם ביטויים אלגבריים חיבוריים‪.‬‬
‫‪ .46‬כתבו לכל משוואה את תחום ההצבה שלה‪.‬‬
‫לכל משוואה יש לחשב ולכתוב את תחום ההצבה‪ ,‬לפתור את המשוואה ולבדוק אם הפתרון שייך לתחום ההצבה‪.‬‬
‫בתרגיל ‪ ,58‬פרט למשוואה (‪ ,)4‬בה המכנים שווים‪ ,‬בכל המשוואות האחרות המכנה המשותף שווה למכפלת‬
‫המכנים הנתונים‪.‬‬
‫פתרו‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x8 5‬‬
‫(‪)1‬‬
‫(‪)2‬‬
‫(‪)9‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪x3 7‬‬
‫(‪)5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪5  2x x‬‬
‫(‪)10‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2x  2 3‬‬
‫(‪)6‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x6 3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 3 x 6‬‬
‫(‪)11‬‬
‫‪4‬‬
‫‪20‬‬
‫‪‬‬
‫‪9  2x‬‬
‫‪x‬‬
‫(‪)7‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x2 2‬‬
‫(‪)3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪x x4‬‬
‫(‪)12‬‬
‫‪x5 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 1 4‬‬
‫(‪)8‬‬
‫‪2x  1‬‬
‫‪9‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 3 x 3‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x5 x1‬‬
‫‪ .47‬פתרו את המשוואות הבאות‪ .‬לכל משוואה כתבו את תחום ההצבה‪.‬‬
‫‪5x  6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫(‪)7‬‬
‫‪33‬‬
‫‪30‬‬
‫‪‬‬
‫‪3x  1 3x  1‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪5x  4 3‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪7 2 5‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪x x 6‬‬
‫(‪)8‬‬
‫‪x6 1‬‬
‫‪22‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪x 8 7 x 8‬‬
‫(‪)5‬‬
‫‪8‬‬
‫‪10‬‬
‫‪‬‬
‫‪x  1 2x  5‬‬
‫(‪)2‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪)9‬‬
‫‪7‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪5x x 5‬‬
‫(‪)6‬‬
‫‪12‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 1 x 1‬‬
‫(‪)3‬‬
‫‪4 3 3‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪x x 5‬‬
‫‪214‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪ .45 – 56‬שאלות מילוליות שלפתרונן מקבלים משוואה עם ביטויים אלגבריים במכנה‪.‬‬
‫שימוש בפרופורציה לכתיבת משוואה‪.‬‬
‫‪ .56‬כמו בפרק בנושא פרופורציה ניתן להציג את הנתונים בטבלה‪.‬‬
‫היחס‬
‫כותבים ביטויים אלגבריים עבור הגילים של שרון ויעל‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x+5‬‬
‫הגיל של תמר‬
‫‪x5 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫הגיל של מיכל‬
‫‪.x  0‬‬
‫כותבים את הפרופורציה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫פותרים את המשוואה ומחשבים את ‪ .x‬מציבים את הערך של ‪ x‬בביטוי המייצג את הגיל של יעל‪.‬‬
‫כותבים תשובה מילולית לשאלה‪ .‬בודקים‪.‬‬
‫תחום ההצבה של המשוואה הוא ‪ .x  0‬תחום ההצבה של השאלה המילולית שונה‪ :‬המספרים החיוביים‪.‬‬
‫(גיל מיוצג רק על‪-‬ידי מספרים חיוביים)‪.‬‬
‫‪ .45 – 58‬שאלות בהן השוואה בין היחס שבין שני ביטויים אלגבריים המייצגים את אורך צלעות המלבן לבין‬
‫יחס נתון‪ .‬הביטויים האלגבריים נתונים בסרטוט‪ .‬מדוע נתון מידע איזו היא הצלע הארוכה? כדי לדעת כיצד‬
‫לכתוב את הפרופורציה‪( .‬בשאלה ‪ 44‬כתוב איזה מהגילים הוא הגדול יותר‪).‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .‬אורך צלעות המלבן‪ 00 :‬ס"מ ו‪ 42 -‬ס"מ‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬פתרון תרגיל ‪:44‬‬
‫‪x7 3‬‬
‫לו לא היינו יודעים איזו מהצלעות ארוכה יותר היינו צריכים להתייחס לשתי האפשרויות‪.‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫ואורך הצלעות‪ 6 :‬ס"מ ו‪ 10 -‬ס"מ‪.‬‬
‫האפשרות הנוספת היא‪:‬‬
‫‪x7 5‬‬
‫תחום ההצבה על פי המשוואה הוא‪ .x  –7 :‬תחום ההצבה על פי ההקשר שבשאלה הוא‪ x :‬חיובי‪.‬‬
‫‪ .45 – 41‬יחס בין מספרים יוביים המיוצגים על‪-‬ידי ביטויים אלגבריים‪.‬‬
‫‪ .41‬מכיוון שהמספרים חיוביים‪ ,‬היחס בין המספר הקטן למספר הגדול הוא ‪.3 : 2‬‬
‫נוח להציג את הנתונים בטבלה כמו בתרגיל ‪ .44‬לכתוב את הפרופורציה ולפתור‪.‬‬
‫‪ .45‬מכיוון שהמספרים חיוביים‪ ,‬היחס בין המספר הגדול למספר הקטן הוא ‪.4 : 4‬‬
‫נוח להציג את הנתונים בטבלה כמו בתרגיל ‪ .44‬לכתוב את הפרופורציה ולפתור‪.‬‬
‫‪ .57‬תרגיל דומה לתרגילים ‪ .52 – 51‬גם כאן נתון שהמספרים חיוביים‪ .‬השוני מהתרגילים הקודמים‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫במקום לתת מידע על היחס בין המספרים ידוע כי המנה שלהם היא ‪. 1‬‬
‫‪5‬‬
‫שואלים‪ :‬האם לפי המנה ניתן לדעת איזה מספר כותבים במונה ואיזה במכנה?‬
‫‪ .55‬קובץ משוואות נוסף‪ .‬מורה הכיתה יפעיל שיקול דעת אם יש צורך בתרגול נוסף מסוג זה‪.‬‬
‫במשוואה (‪ )0‬מכנים שאינם זרים‪ .‬המכנה המשותף הוא ‪.3x‬‬
‫‪215‬‬
‫‪185‬‬
‫נסמן את הגיל של מיכל ב‪.x -‬‬
‫‪ .48‬תמר גדולה ב‪ 5 -‬שנים ממיכל‪ .‬יחס הגילים שלהן היום הוא ‪.3 : 2‬‬
‫ביטוי לגיל של תמר הוא‪x + 5 :‬‬
‫נכתוב את היחס‪:‬‬
‫מה הגיל של תמר ומה הגיל של מיכל?‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫פתרו‪.‬‬
‫‪x+5‬‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫הצלע הארוכה‬
‫‪2x‬‬
‫‪ .49‬היחס בין האורכים של צלעות המלבן שבסרטוט הוא ‪.3 : 5‬‬
‫‪x+7‬‬
‫מה אורך צלעות המלבן?‬
‫הצלע הארוכה‬
‫‪3x – 4‬‬
‫‪ .50‬היחס בין האורכים של צלעות המלבן שבסרטוט הוא ‪.3 : 4‬‬
‫‪x+2‬‬
‫מה אורך צלעות המלבן?‬
‫‪ .51‬מספר אחד קטן ב‪ 4 -‬ממספר שני‪ .‬היחס בין המספרים הוא ‪.2 : 3‬‬
‫מהם המספרים?‬
‫‪ .52‬מספר אחד גדול ב‪ 10 -‬ממספר שני‪ .‬היחס בין המספרים הוא ‪.9 : 4‬‬
‫מהם המספרים?‬
‫‪9‬‬
‫‪ .53‬מספר אחד גדול ב‪ 12 -‬ממספר שני‪ .‬המנה שלהם היא‬
‫‪5‬‬
‫מהם המספרים?‬
‫‪.‬‬
‫‪ .54‬פתרו את המשוואות‪ .‬כתבו לכל משוואה את תחום ההצבה שלה‪.‬‬
‫‪1  8x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪x‬‬
‫(‪)7‬‬
‫‪1  3x 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪4x‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪22‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x3‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫‪2x  1 x‬‬
‫(‪)8‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪4x  2 5‬‬
‫(‪)5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x6 2‬‬
‫(‪)2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪15‬‬
‫‪‬‬
‫‪x x4‬‬
‫(‪)9‬‬
‫‪10  x 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪)6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪5x x‬‬
‫(‪)3‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪181‬‬
‫שאלות תנועה‬
‫שאלות תנועה‬
‫מ הנסיעה‬
‫למדנו כי בשאלות תנועה יש שלושה משתנים‪:‬‬
‫מהירות הנסיעה‬
‫מספר שיעורים מומלץ‪.3 :‬‬
‫והדר‬
‫התלמידים פתרו שאלות בנושא תנועה כבר בכיתה ז‪ .‬במפגש בכיתה ז פתרו שאלות תנועה‬
‫)‪(v‬‬
‫(המרחק) )‪(s‬‬
‫‪s = v  t‬‬
‫ובאותיות‪:‬‬
‫הפרק פותח בתזכורת על הגדלים המשתתפים בשאלות תנועה‪ :‬זמן ‪ ,t -‬מהירות ‪ ,v -‬ודרך (מרחק) – ‪.s‬‬
‫הקשר ביניהם‪.s = vt :‬‬
‫בכל השאלות המהירות היא מהירות קבועה‪ .‬מומלץ לדבר על המושג של מהירות קבועה‪.‬‬
‫במציאות‪ ,‬מכונית לא נוסעת במהירות קבועה‪ :‬היא מתחילה את הנסיעה במהירות נמוכה ומגבירה או מורידה‬
‫את המהירות בהתאם לתנאי הדרך ובהתאם למהירות המותרת על פי החוק‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫בכל שאלות התנועה מניחים‬
‫שמהירות הנסיעה קבועה‪.‬‬
‫מ ‪ ‬מהירות = דר‬
‫בין שלושת הגדלים זמן‪ ,‬מהירות‪ ,‬ודרך מתקיים הקשר‪:‬‬
‫המוצגות במערכת צירים‪ .‬הכירו את המשתנים מהירות זמן ודרך ואת הקשרים ביניהם‪.‬‬
‫דוגמאות‬
‫(א)‬
‫דניאל נסע ‪ 3‬שעות במהירות של ‪ 90‬קמ"ש‪ .‬הוא עבר מרחק של ‪ 270‬ק"מ‪.‬‬
‫(ב )‬
‫נעמה נסעה ‪ 2‬שעות במהירות של ‪ 80‬קמ"ש‪ .‬היא עברה מרחק של ‪ 160‬ק"מ‪(2 ∙ 80 = 160( .‬‬
‫(‪(3 ∙ 90 = 270‬‬
‫(ג)‬
‫עדי רכבה על אופניה במשך ‪ 4‬שעות במהירות של ‪ 15‬קמ"ש‪ .‬היא עברה מרחק של ‪ 60‬ק"מ ‪.‬‬
‫(‪(4 ∙ 15 = 60‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .15 – 1‬עוסקים בזיהוי הגדלים‪ ,‬הנוסחה המקשרת ביניהם‪ ,‬הצבה בנוסחה‪ ,‬חישוב‪ ,‬ושאלות‬
‫בתרגילים הבאים נתונים שניים מהגדלים‪.‬‬
‫כתבו את הגדלים הנתונים וחשבו את הגודל החסר‪.‬‬
‫דוגמה‬
‫אלון צועד ‪ 4‬שעות במהירות של ‪ 0‬קמ"ש‪.‬‬
‫מה המרחק שיעבור?‬
‫המפתחות תובנה של הקשרים בין הגדלים המשתתפים‪ .‬יש לשים לב ליחידות המידה‪.‬‬
‫מומלץ לפתור את תרגיל ‪ 1‬במליאת הכיתה ואת התרגילים ‪ 6 – 2‬כעבודה עצמית‪.‬‬
‫‪s=7∙4‬‬
‫‪ t = 4 ; v = 7‬נחשב את ‪:s‬‬
‫‪ 28‬ק"מ = ‪s‬‬
‫‪.1‬‬
‫רוכב אופניים נוסע במהירות של ‪ 25‬קמ"ש במשך ‪ 3‬שעות‪.‬‬
‫מה אורך הדרך שעבר?‬
‫‪ .1‬ההנחיה היא לכתוב את הנתונים‪ ,‬להציב בנוסחה ולחשב‪.‬‬
‫הפתרון‪ .t = 3 ; v = 25 :‬מציבים‪.s = 75 , s = 25  3 :‬‬
‫תשובה מילולית‪ :‬אורך הדרך הוא ‪ 05‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ .s = 360 , v = 90 .5‬מציבים בנוסחה‪:‬‬
‫)‪(t‬‬
‫‪.2‬‬
‫רוכב אופנוע רוכב במהירות של ‪ 90‬קמ"ש‪.‬‬
‫בכמה זמן יעבור דרך של ‪ 360‬ק"מ?‬
‫‪ 360  90  t‬לפתרון המשוואה מחלקים את שני אגפי המשוואה‬
‫ב‪ 40 -‬ומקבלים ‪ .t = 4‬תשובה מילולית‪ :‬זמן הנסיעה של רוכב האופניים הוא ‪ 4‬שעות‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫קבוצת חיילים עברה דרך של ‪ 27‬ק"מ במשך ‪ 3‬שעות‪.‬‬
‫מה המהירות בה צעדו החיילים?‬
‫‪ .5‬יש לחשב את ‪ .v‬התשובה‪ :‬מהירות ההליכה של החיילים היא ‪ 4‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪( .5‬א) – (ג) הצבה בנוסחה וחישוב של המרחק ‪.s‬‬
‫(ד) – (ה) הצבה בנוסחה‪ ,‬לחישוב הזמן ‪ .t‬פותרים משוואה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫(ו) הכללה‪ .‬הזמן שווה למרחק לחלק למהירות‪.‬‬
‫‪18‬‬
‫‪ . t ‬הזמן המתקבל הוא בשעות‪.‬‬
‫‪216‬‬
‫יוסי רוכב על אופניים במהירות קבועה של ‪ 18‬קמ"ש‪.‬‬
‫(א) כמה ק"מ יעבור במשך ‪ 2‬שעות?‬
‫(ד) כמה זמן ייקח לו לעבור מרחק של ‪ 54‬ק"מ?‬
‫(ב) כמה ק"מ יעבור במשך ‪ 4‬שעות?‬
‫(ה) כמה זמן ייקח לו לעבור מרחק של ‪ 90‬ק"מ?‬
‫(ג) כמה ק"מ יעבור במשך ‪ x‬שעות?‬
‫(ו) כמה זמן ייקח לו לעבור מרחק של ‪ y‬ק"מ?‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪185 :‬‬
‫‪ .4.‬מכונית נוסעת מרחק של ‪ 420‬ק"מ במהירות קבועה במשך ‪ 5‬שעות‪.‬‬
‫באיזו מהירות נסעה?‬
‫‪ .8 – 4‬שאלות נוספות כמו שאלות ‪.4 – 1‬‬
‫‪( .1‬א) כמו השאלות הקודמות‪.‬‬
‫‪.6‬‬
‫רוכב אופניים עבר דרך של ‪ 100‬ק"מ במהירות קבועה של ‪ 20‬קמ"ש‪.‬‬
‫כמה זמן רכב?‬
‫(ב) נתון זמן ההליכה‪ .‬יש לחשב את מהירות ההליכה‪ .‬המידע לגבי הדרך הוא "הקבוצה ירדה מההר‬
‫באותה דרך"‪ ,‬הדרך שווה למרחק אותו עברו בטיפוס על ההר‪ ,‬כלומר למרחק אותו חישבו בסעיף (א)‪.‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪ .6‬השוואה בין שני מרחקים‪.‬‬
‫קבוצת מטיילים טיפסה על הר במשך ‪ 3‬שעות במהירות של ‪ 4‬קמ"ש‪.‬‬
‫(א)‬
‫מה אורך הדרך שעברה בטיפוס על ההר?‬
‫(ב) לאחר מכן הקבוצה ירדה מההר באותה דרך במשך ‪ 2‬שעות‪.‬‬
‫מה הייתה מהירות ההליכה בירידה מההר?‬
‫המרחק במציאות מבאר שבע לאילת הוא ‪ 226‬ק"מ‪.‬‬
‫המרחק במציאות מבאר שבע לחיפה הוא ‪ 204‬ק"מ‪.‬‬
‫בשאלה‪( :‬א) בחישוב המרחק בין באר שבע לחיפה מקבלים ‪.70  3 = 210‬‬
‫‪.8‬‬
‫(ב) בחישוב המרחק בין באר שבע לאילת מקבלים ‪.90  2 = 225‬‬
‫מומלץ לעודד את התלמידים למצוא את התשובה באמצעות אומדן‪ .‬בסעיף (א) מחשבים ומקבלים ‪ 210‬ק"מ‪.‬‬
‫משאית נוסעת מבאר שבע לחיפה במשך ‪ 3‬שעות במהירות של ‪ 70‬קמ"ש‪.‬‬
‫מכונית נוסעת מבאר שבע לאילת במשך ‪ 2 1‬שעות במהירות של ‪ 90‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫איזה מקום קרוב יותר לבאר שבע‪ ,‬חיפה או אילת? הסבירו‪.‬‬
‫שואלים‪ :‬מה דעתכם‪ ,‬האם בסעיף (ב) נקבל תשובה גדולה או קטנה מ‪?210 -‬‬
‫חישוב בראש‪ 40 :‬כפול ‪ 2‬הם ‪ .140‬כמה הם חצי של ‪ .40‬צריך להוסיף ‪ .45‬מקבלים מרחק גדול יותר‪.‬‬
‫‪.9‬‬
‫רותם עברה מרחק של ‪ 240‬ק"מ ב‪ 3 -‬שעות‪ .‬עדי נסעה במהירות של ‪ 70‬קמ"ש‪.‬‬
‫מי נסעה במהירות גבוהה יותר?‬
‫‪ .8‬השוואה בדומה לשאלה ‪ ,4‬כאן בין שתי מהירויות‪.‬‬
‫‪ .10‬יוסי נסע מרחק של ‪ 180‬ק"מ במהירות של ‪ 60‬קמ"ש‪ .‬דני נסע ‪ 4‬שעות‪.‬‬
‫‪ .15‬השוואה בדומה לשאלה ‪ ,4‬כאן בין זמנים‪.‬‬
‫מי נסע יותר זמן?‬
‫‪ .11‬שאלה איכותנית ולא כמותית‪ .‬לא נתונות מידות‪ .‬דני ונדב יצאו מאותו מקום באותה שעה‪.‬‬
‫‪ .11‬דני ונדב אחים‪ .‬שניהם יצאו ביחד מהבית בדרכם לבית הספר‪.‬‬
‫דני הגיע אחרי נדב‪.‬‬
‫(א) דני שהה בדרך יותר זמן מנדב‪.‬‬
‫דני הגיע אחרי נדב‪.‬‬
‫(א) מי שהה בדרך יותר זמן?‬
‫(ב) מי הלך במהירות גבוהה יותר?‬
‫(ב) נדב הלך מהר יותר מכיוון שהגיע בזמן קצר יותר‪.‬‬
‫מומלץ לשאול‪ :‬למדנו על יחס ישר ויחס הפוך‪ .‬האם שני המשתנים זמן ומהירות משתנים בהתאם לאחד‬
‫מיחסים אלו? ולבקש הסבר לכל תשובה‪.‬‬
‫‪ .12‬גדי וירון גרים באותו בניין ולומדים באותו בית ספר‪.‬‬
‫גדי יצא לפני ירון והם הגיעו יחד לבית הספר‪.‬‬
‫מי הלך במהירות גבוהה יותר? הסבירו‪.‬‬
‫‪217‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫בפרק זה יפתרו שאלות תנועה בדרך אלגברית‪ ,‬פתרון באמצעות משוואות‪.‬‬
‫תנועה בדרך המורכבת משני קטעים הבאים זה אחר זה‪.‬‬
‫יציאה משני מקומות שונים ותנועה זה לקראת זה‪.‬‬
‫יציאה מאותה נקודה ותנועה בכיוונים מנוגדים‪.‬‬
‫לימוד נפרד בכל אחד מהסוגים‪ .‬כאשר עוברים לסוג אחר התייחסות לדומה ולשונה בין מה שנלמד ובין הסוג שנוסף‪.‬‬
‫הבחנה זאת מסייעת לתלמידים להתמקד בהבדלים המהותיים בין סיטואציות הנראות דומות‪..‬‬
‫בכל שלב יש התייחסות ל‪" -‬דומה ולשונה"‪:‬‬
‫בכל השאלות משתתפים שלושה גדלים‪ :‬זמן‪ ,‬מהירות‪ ,‬ודרך‪.‬‬
‫בכל השאלות הדרך כולה מורכבת משני קטעים‪.‬‬
‫השונה‪ :‬ההתייחסות בכל אחד מהסוגים בנפרד‪.‬‬
‫את כל הדוגמאות בפרק זה מומלץ לבצע במליאת הכיתה כאשר הספר סגור‪.‬‬
‫‪218‬‬
‫‪185‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪185‬‬
‫תנועה בדר המורכבת משני קטעים הבאים ה א ר ה‬
‫תנועה בדר המורכבת משני קטעים הבאים ה א ר ה‪.‬‬
‫דוגמה ‪1‬‬
‫יציאה מנקודה מסוימת ונסיעה בשני קטעים של הדרך הבאים בזה אחר זה‪.‬‬
‫מכונית נסעה במשך ‪ 2‬שעות במהירות קבועה של ‪ 70‬קמ"ש‪.‬‬
‫מומלץ להנחות את התלמידים להסביר במילים שלהם את השאלה‪ ,‬להיעזר בסרטוט מתאים‪ ,‬ובטבלה‪.‬‬
‫בתרגילים שאלות מנחות המובילות את התלמיד לפתרון השאלה‪.‬‬
‫אחר כך המשיכה לנסוע ‪ 3‬שעות נוספות במהירות של ‪ x‬קמ"ש‪ .‬סך‪-‬הכל עברה דרך של ‪ 410‬ק"מ‪.‬‬
‫מה הייתה מהירות המכונית בקטע השני של הדרך (מה הערך של ‪? )x‬‬
‫נציג את הנתונים בטבלה‪.‬‬
‫דוגמה ‪ 1‬מומלץ לפתור במליאת הכיתה כאשר הספר סגור‪.‬‬
‫מהירות‬
‫(קמ"ש)‬
‫‪ 410‬ק"מ‬
‫קטע שני‬
‫להציג את השאלה ולסרטט סרטוט כמודגם בספר‪ .‬את הנתונים להציג בטבלה‪ .‬בבעיות תנועה משתתפים‬
‫שלושה גדלים‪ :‬זמן‪ ,‬מהירות ודרך‪ .‬בטבלה עמודה לכל אחד מגדלים אלו‪ .‬הדרך מורכבת משני קטעים‪.‬‬
‫בטבלה שתי שורות‪ ,‬אחת עבור נתונים של קטע הדרך הראשון והשורה השנייה עבור קטע הדרך השני‪.‬‬
‫חשוב לעבור על כל השלבים מכיוון שהם זהים גם בכל סוגי השאלות הבאות‪.‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪70∙2‬‬
‫נכתוב משוואה‪:‬‬
‫קטע ראשון‬
‫קטע שני‬
‫‪00‬‬
‫‪2‬‬
‫‪70 ∙ 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3x‬‬
‫בתרשים?‬
‫‪70∙ 2 + 3x = 410‬‬
‫‪/–140‬‬
‫‪/:3‬‬
‫שאלות מנחות מהסוג‪" :‬מה מייצג הביטוי ‪( "? 702‬אורך בק"מ של הקטע הראשון)‪.‬‬
‫או "מה מייצג הביטוי ‪( "? 3x‬אורך בק"מ של הקטע השני)‪.‬‬
‫קטע ראשון‬
‫מה מייצג הביטוי ‪ 70∙2‬בתרשים?‬
‫מה מייצג הביטוי ‪3x‬‬
‫זמן‬
‫(שעות)‬
‫דרך‬
‫(ק"מ)‬
‫‪140 + 3x = 410‬‬
‫‪3x = 270‬‬
‫‪x = 90‬‬
‫תשובה‪ :‬המהירות בקטע השני של הדרך הייתה ‪ 90‬קמ"ש‪.‬‬
‫אורך הדרך כולה הוא ‪ 410‬ק"מ‪ .‬כתבו משוואה‪.‬‬
‫פתרון המשוואה‪.x = 90 :‬‬
‫תרגילים‬
‫תשובה‪ :‬המהירות בקטע השני של הדרך הייתה ‪ 40‬קמ"ש‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .13‬רוכב אופניים נסע במשך ‪ 2‬שעות במהירות של ‪ 20‬קמ"ש‪.‬‬
‫לאחר מכן המשיך עוד שלוש שעות במהירות ‪ x‬קמ"ש‪ .‬הוא עבר דרך של ‪ 85‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ .16 – 15‬שאלות דומות לזו שבדוגמה ‪.1‬‬
‫מה הייתה מהירותו בקטע השני של הדרך?‬
‫‪ .15‬בשאלה זו מצורף סרטוט מלא והנתונים מוצגים בטבלה‪ .‬על התלמידים להשלים את העמודה השמאלית‬
‫(מה הערך של ‪)? x‬‬
‫עבור הדרך‪ .‬לכתוב משוואה בה סכום הדרכים שווה לאורך הדרך כולה‪ ,‬כנתון בשאלה‪.‬‬
‫יש להזכיר לתלמידים לכתוב תשובה מילולית‪.‬‬
‫קטע ראשון‬
‫‪ 45‬ק"מ‬
‫קטע שני‬
‫קטע ראשון‬
‫קטע שני‬
‫מהירות‬
‫(קמ"ש)‬
‫זמן‬
‫(שעות)‬
‫‪20‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫דרך‬
‫(ק"מ)‬
‫היעזרו בטבלה‪ ,‬כתבו משוואה מתאימה ופתרו‪.‬‬
‫‪ .15‬מצורף סרטוט מלא ונתונים עבור קטע הדרך הראשון מוצגים בטבלה‪ .‬יש הנחייה לסמן את מהירות הנסיעה‬
‫בקטע השני של הדרך ב‪ x -‬ולהשלים את הטבלה‪.‬‬
‫‪ .14‬הולך רגל יצא מביתו והלך שעה אחת במהירות של ‪ 8‬קמ"ש‪ .‬לאחר שהתעייף‪ ,‬הקטין את מהירותו‬
‫והמשיך בהליכה ‪ 3‬שעות נוספות‪ .‬המרחק הכולל שעבר הוא ‪ 26‬ק"מ‪.‬‬
‫התלמידים יכתבו משוואה מתאימה‪ ,‬יחשבו את ‪ x‬ויכתבו תשובה מילולית‪.‬‬
‫מה הייתה מהירותו לאחר שהתעייף?‬
‫‪ 26‬ק"מ‬
‫קטע שני‬
‫קטע ראשון‬
‫‪ 3x‬ק"מ‬
‫‪ 1∙4‬ק"מ‬
‫קטע ראשון‬
‫מהירות‬
‫(קמ"ש)‬
‫זמן‬
‫(שעות)‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫דרך‬
‫(ק"מ)‬
‫קטע שני‬
‫סמנו את מהירות הנסיעה בקטע השני של הדרך ב‪ ,x -‬השלימו את הנתונים בטבלה‪ ,‬כתבו משוואה‬
‫מתאימה ופתרו‪.‬‬
‫‪219‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪ .16 – 14‬שאלות דומות לקודמות‪ .‬על התלמידים להוסיף בסרטוט ביטויים המיצגים את אורך הקטעים‪.‬‬
‫בטבלאות נתונים חלקיים‪ .‬בשאלה ‪ 14‬אין סרטוט ונתונה טבלה ריקה ללא נתונים‪.‬‬
‫‪185‬‬
‫‪ .15‬מכונית נסעה ‪ x‬שעות בכביש מהיר במהירות של ‪ 90‬קמ"ש‪ .‬לאחר מכן המשיכה שעתיים נוספות‬
‫בנסיעה בכביש צדדי במהירות של ‪ 70‬קמ"ש‪ .‬היא עברה בסך הכל מרחק של ‪ 500‬ק"מ‪.‬‬
‫כמה שעות נמשכה הנסיעה בכביש המהיר?‬
‫יש להניח שלאחר שפתרו את השאלות הקודמות יפתרו שאלה זאת ללא צורך בסרטוט‪.‬‬
‫מהירות‬
‫(קמ"ש)‬
‫זמן‬
‫(שעות)‬
‫‪40‬‬
‫‪x‬‬
‫כביש מהיר‬
‫‪ 500‬ק"מ‬
‫דרך‬
‫(ק"מ)‬
‫כביש צדדי‬
‫השלימו את הנתונים בטבלה‪ ,‬כתבו משוואה ופתרו‪.‬‬
‫‪ .16‬רוכב אופניים רכב על אופניו במשך ‪ 7‬שעות‪ .‬במשך ‪ 4‬השעות הראשונות רכב במהירות של‬
‫‪ 22‬קמ"ש‪ .‬לאחר מכן נסע ‪ 3‬שעות נוספות במהירות קבועה אחרת‪.‬‬
‫אורך כל הדרך שעבר ‪ 142‬ק"מ‪.‬‬
‫מהירות‬
‫(קמ"ש)‬
‫מה הייתה מהירותו בקטע השני של הדרך?‬
‫‪ 142‬ק"מ‬
‫זמן‬
‫(שעות)‬
‫דרך‬
‫(ק"מ)‬
‫קטע א‬
‫קטע ב‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .17‬תלמידים יצאו לטיול שנתי‪ .‬ביום הראשון נסעו במהירות של ‪ 70‬קמ"ש במשך ‪ x‬שעות‪.‬‬
‫ביום השני נסעו במהירות של ‪ 80‬קמ"ש במשך ‪ 3‬שעות‪.‬‬
‫מהירות‬
‫(קמ"ש)‬
‫אורך מסלול הנסיעה במהלך היומיים הוא ‪ 450‬ק"מ‪.‬‬
‫זמן‬
‫(שעות)‬
‫יום ראשון‬
‫כמה זמן נמשכה הנסיעה ביום הראשון?‬
‫‪ 450‬ק"מ‬
‫דרך‬
‫(ק"מ)‬
‫‪x‬‬
‫יום שני‬
‫סמנו ב‪ x -‬את זמן הנסיעה ביום הראשון‪ .‬השלימו את הנתונים בטבלה‪ ,‬כתבו משוואה ופתרו‪.‬‬
‫‪ .18‬משאית נוסעת במשך ‪ 3‬שעות במהירות מסוימת ולאחר מכן ‪ 4‬שעות נוספות במהירות של ‪ 70‬קמ"ש‪.‬‬
‫המשאית עברה דרך של ‪ 520‬ק"מ‪.‬‬
‫מה הייתה מהירות המשאית בקטע‬
‫הראשון של הדרך?‬
‫קטע ראשון‬
‫סמנו ב‪ x -‬את מהירות הנסיעה בקטע הראשון‬
‫קטע שני‬
‫של הדרך‪ ,‬השלימו את הנתונים בטבלה‪,‬‬
‫כתבו משוואה ופתרו‪.‬‬
‫‪220‬‬
‫מהירות‬
‫(קמ"ש)‬
‫זמן‬
‫(שעות)‬
‫דרך‬
‫(ק"מ)‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪184 :‬‬
‫י יאה משני מקומות שונים ותנועה ה לקראת ה‬
‫י יאה משני מקומות שונים ותנועה ה לקראת ה‬
‫דוגמה ‪5‬‬
‫דוגמה ‪2‬‬
‫דני ודרור יוצאים כל אחד מביתו‪ ,‬כלומר‪ ,‬משני מקומות שונים והולכים זה לקראת זה‪ ,‬עד שנפגשו‪.‬‬
‫דני ודרור יצאו כל אחד מביתו והלכו זה לקראת זה עד שנפגשו‪.‬‬
‫דני הלך ‪ 2‬שעות במהירות של ‪ 4‬קמ"ש ודרור הלך ‪ 2‬שעות במהירות של ‪ 5‬קמ"ש‪.‬‬
‫כל אחד מהם עבר חלק מהדרך‪ ,‬ושניהם יחד עברו את כל המרחק שבין בתיהם‪.‬‬
‫מה המרחק בין הבתים?‬
‫מה דומה ומה שונה מהשאלות הקודמות?‬
‫הדומה‪( :‬א) כמו בשאלות תנועה אחרות‪ ,‬משתתפים שלושה גדלים‪ :‬זמן‪ ,‬מהירות‪ ,‬ומרחק‪.‬‬
‫(ב) הדרך כולה מורכבת משני קטעים‪.‬‬
‫בשאלות הקודמות הדרך הייתה מורכבת משני קטעים שבאו בזה אחר זה‪.‬‬
‫לתלמידים יש קושי להבין שלנקודת הפגישה שני ההולכים מגיעים באותו זמן‪.‬‬
‫הדרך כולה = קטע א ‪ +‬קטע ב‬
‫אפשר להציג שאלות מהסוג‪ :‬דני ויוסי יצאו בשעה ‪ 4‬מבתיהם והלכו זה לקראת זה‪ .‬הם נפגשו‬
‫בשעה ‪ .4‬כמה שעות הלך דני? כמה שעות הלך יוסי? או‪ :‬דניאל יצא מביתו בשעה ‪ 4‬ופגש את נדב בשעה ‪.10‬‬
‫נדב יצא מביתו בשעה ‪ .4‬כמה שעות הלך עד שפגש את דניאל? ס‬
‫הדרך כולה = קטע א ‪ +‬קטע ב‬
‫(האם קרוב יותר לבית של דני‪ ,‬קרוב יותר לבית של דרור‪,‬‬
‫או באמצע הדרך)?‬
‫כל אחד מהם הלך ‪ 2‬שעות עד לנקודת הפגישה‪.‬‬
‫דרור הלך מהר יותר‪ .‬לכן‪ ,‬הדרך שעבר דרור ארוכה מהדרך שעבר דני‪.‬‬
‫שורה עבור הדרך שעבר דרור ושורה עבור הדרך שעבר דני‪.‬‬
‫בשאלה זאת הדרך מורכבת משני קטעים כאשר התנועה היא זה לקראת זה‪.‬‬
‫היכן בערך נפגשו דני ודרור?‬
‫נחזור לשאלה‪ :‬היכן בערך נפגשו דני ודרור? האם באמצע הדרך או קרוב יותר לבית של אחד מהם?‬
‫כמו בשאלות הקודמות נציג את הנתונים בטבלה‪.‬‬
‫הבית‬
‫של דרור‬
‫בשאלה זאת כמו בשאלות הקודמות שפתרנו‪.‬‬
‫השונה‪ :‬בשאלה זאת כיוון התנועה בשני הקטעים הוא שונה‪ .‬התנועה היא זה לקראת זה‪.‬‬
‫קטע ב‬
‫קטע א‬
‫קטע ב‬
‫קטע א‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הבית‬
‫של דני‬
‫הבית‬
‫של דרור‬
‫סמנו בתרשים בערך את קטע הדרך שדני עבר עד שפגש את דרור‪.‬‬
‫סמנו בתרשים בערך את קטע הדרך שדרור עבר עד שפגש את דני‪.‬‬
‫‪‬‬
‫הבית‬
‫של דרור‬
‫‪‬‬
‫(א) יש שלושה גדלים‪ :‬משך זמן ההליכה‪ ,‬מהירות ההליכה‪ ,‬והמרחק‪.‬‬
‫(ב) הדרך כולה מורכבת משני קטעים‪ :‬הסכום של קטע א וקטע ב‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬נקודת הפגישה היא קרובה יותר לבית של דני‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הבית‬
‫של דני‬
‫‪‬‬
‫הדרך שעבר דרור‬
‫הבית‬
‫הדרך שעבר דני של דני‬
‫עד שנפגשו דני עבר מרחק של ‪ 8‬ק"מ‪,‬‬
‫מהירות‬
‫(קמ"ש)‬
‫זמן‬
‫(שעות)‬
‫דרך‬
‫(ק"מ)‬
‫היעזרו בטבלה לפתרון השאלה‪.‬‬
‫דני‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2∙4 = 8‬‬
‫תשובה‪ :‬המרחק בין הבתים הוא ‪ 18‬ק"מ‪.‬‬
‫דרור‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ∙ 5 = 10‬‬
‫ודרור עבר מרחק של ‪ 10‬ק"מ‪.‬‬
‫המרחק בין שני הבתים שווה לסכום הדרכים שעבר כל אחד מהילדים‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬המרחק בין הבתים של דרור ודני הוא ‪ 14‬ק"מ‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫תרגילים‬
‫‪ .19‬מר אביבי ומר סתווי יצאו באותה שעה מבתיהם הנמצאים בערים שונות ונסעו זה לקראת זה‪.‬‬
‫‪ .18‬שאלה דומה לזו שבדוגמה ‪ .2‬אם הם נפגשו כעבור ‪ 2‬שעות‪ ,‬זמן התנועה של כל אחד מהם הוא שעתיים‪.‬‬
‫הם נפגשו כעבור ‪ 2‬שעות‪.‬‬
‫מהירות הנסיעה של מר אביבי הייתה ‪ 75‬קמ"ש‪.‬‬
‫הסעיפים השונים מהווים הנחייה לדרך החישוב‪ .‬בסעיף (ג) התלמידים מתבקשים לסמן את נקודת‬
‫מהירות הנסיעה של מר סתווי הייתה ‪ 80‬קמ"ש‪.‬‬
‫המפגש כאשר כמו בדוגמה יש לחשוב אם הנקודה היא באמצע הקטע או קרוב יותר לבית של אחד‬
‫(א) מה המרחק שעבר מר אביבי?‬
‫מהמשתתפים בשאלה‪ .‬במקרה זה משך הזמן שלהם שווה‪ ,‬לכן נבדוק מי נסע מהר יותר‪ .‬מהירותו של‬
‫מר סתווי גדולה יותר כלומר הוא עבר כברת דרך גדולה יותר‪ .‬נקודת המפגש קרובה יותר לביתו של מר אביבי‪.‬‬
‫‪ .55‬שאלה דומה לשאלה ‪ .14‬מצורפת טבלה ריקה‪ .‬נשלים אותה‪.‬‬
‫‪221‬‬
‫(ב) מה המרחק שעבר מר סתווי?‬
‫(ג)‬
‫סמנו (בקירוב) את נקודת המפגש?‬
‫(ד) מה המרחק בין הבתים של מר אביבי ומר סתווי?‬
‫הבית‬
‫של מר‬
‫סתווי‬
‫הבית‬
‫של מר‬
‫אביבי‬
‫מהירות‬
‫(קמ"ש)‬
‫זמן‬
‫(שעות)‬
‫מר אביבי‬
‫‪2‬‬
‫מר סתוי‬
‫‪2‬‬
‫דרך‬
‫(ק"מ)‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪188 :‬‬
‫‪ .20‬רותם ונועה יצאו מבתיהן והלכו זו לקראת זו‪.‬‬
‫עד שנפגשו‪ ,‬רותם עברה מרחק של ‪ 15‬ק"מ ונועה מרחק של ‪ 16‬ק"מ‪.‬‬
‫הן נפגשו כמעט באמצע הדרך קצת יותר קרוב לבית של רותם שעברה‬
‫מרחק קטן יותר‪.‬‬
‫בתרגילים הבאים אין צורך בחישובים‪ .‬הבנת הקשרים בין המשתנים‪ :‬מהירות‪,‬‬
‫זמן ודרך‪ .‬הדרך משתנה ביחס ישר למהירות‪ .‬הדרך משתנה ביחס ישר לזמן‪ .‬הזמן משתנה ביחס הפוך למהירות‪.‬‬
‫המכפלה של המהירות בזמן שווה לערך קבוע – הדרך‪ .‬מומלץ לקשר בין ההסברים הבאים לנושא של יחס ישר‬
‫ויחס הפוך שנלמד בפרק קודם‪.‬‬
‫‪.21‬‬
‫‪ .51‬שי ונדב יצאו באותה שעה‪ .‬עד שנפגשו המהירות וזמן ההליכה של שי ונדב שווים‪ .‬הדרך שווה למכפלה‬
‫של המהירות בזמן ולכן‪ ,‬שניהם עברו מרחקים שווים‪ .‬נקודת הפגישה היא באמצע הדרך‪.‬‬
‫‪ .55‬תומר ודני יצאו באותה שעה והלכו זה לקראת זה‪ .‬המהירות של תומר גבוהה יותר מהמהירות של דני‪.‬‬
‫מומלץ לחזור ולבדוק את סוג הקשר בין הגדלים‪ .‬המרחק משתנה ביחס ישר למהירות‪ .‬המרחק משתנה‬
‫‪.22‬‬
‫ביחס ישר לזמן‪( .‬כאשר המהירות או הזמן גדלים פי גודל מסוים גם המרחק גדל פי אותו גודל‪).‬‬
‫המהירות משתנה ביחס הפוך לזמן‪( .‬כאשר הזמן גדל פי גודל מסוים המהירות קטנה פי אותו גודל‪).‬‬
‫בכל שאלה בודקים מהו הגודל שנשאר קבוע‪ ,‬ולאחר מכן את הקשר בין המשתנים האחרים‪.‬‬
‫אם שניהם עברו מרחקים שווים ותומר הלך מהר יותר‪ ,‬אז זמן ההליכה שלו קטן מזמן ההליכה של דני‪.‬‬
‫מכיוון שבשאלה זו זמן ההליכה של כל אחד‬
‫מהם הוא הזמן שבין היציאה עד שנפגשו‪,‬‬
‫‪.23‬‬
‫לשניהם זמן הליכה שווה‪.‬‬
‫הדרך שעבר תומר ארוכה יותר מהדרך שעבר דני‬
‫המרחק תלוי במהירות‪ :‬מי שהולך מהר יותר עובר דרך‬
‫ארוכה יותר‪ .‬תומר עבר דרך ארוכה יותר‪ .‬הם נפגשו קרוב יותר לנקודת המוצא של דני‪( .‬באדום‪).‬‬
‫‪ .55‬ראו ההסבר בתרגיל ‪ .22‬אם הן יצאו באותה שעה אז זמן ההליכה שלהן עד שנפגשו הוא שווה‪.‬‬
‫‪.24‬‬
‫הן נפגשו באמצע הדרך כלומר הלכו במהירויות שוות‪.‬‬
‫‪ .55‬דני ויוסי הלכו במהירויות שוות‪ .‬דני יצא בשעה ‪ .0‬נניח שנפגשו בשעה ‪ .11‬כמה שעות דני היה בדרך?‬
‫יוסי יצא בשעה ‪ .4‬אם נפגשו בשעה ‪ ,11‬כמה שעות יוסי היה בדרך?‬
‫ניתן לתת דוגמאות נוספות‪ .‬המסקנה‪ :‬זמן ההליכה של דני גדול בשעה מזמן ההליכה של יוסי‪.‬‬
‫מסקנה‪ :‬דני עבר מרחק גדול יותר‪ .‬נקודת המפגש קרובה יותר לבית של יוסי‪ ,‬כלומר‪ ,‬נקודה ‪.A‬‬
‫‪.25‬‬
‫‪ .54‬הכיוון ההפוך לשאלה ‪ .24‬המרחק שעבר מתן קטן יותר מהמרחק שעבר עמית‪ .‬המהירויות של שניהם‬
‫שוות‪ .‬הקשר בין המרחק והזמן הוא קשר של יחס ישר‪ ,‬לכן כאשר המרחק קטן יותר גם הזמן קטן יותר‪.‬‬
‫מתן שהה בדרך פחות זמן‪ ,‬כלומר‪ ,‬עמית יצא מוקדם יותר‪.‬‬
‫‪222‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫רותם הלכה ‪ 3‬שעות במהירות של ‪ 5‬קמ"ש‬
‫רותם‬
‫(א) מה המרחק שעברה כל אחת מהבנות עד שנפגשו?‬
‫רותם‬
‫מהירות‬
‫(קמ"ש)‬
‫ונועה הלכה ‪ 4‬שעות במהירות של ‪ 4‬קמ"ש‪.‬‬
‫סמנו (בקירוב) את הנקודה בה נפגשו‪.‬‬
‫זמן‬
‫(שעות)‬
‫נועה‬
‫י‬
‫דרך‬
‫(ק"מ)‬
‫נועה‬
‫(ב) מה המרחק בין הבתים שלהן?‬
‫שי ונדב יצאו באותה שעה והלכו זה לקראת זה‪.‬‬
‫הם הלכו באותה מהירות‪.‬‬
‫שי‬
‫נדב‬
‫סמנו (בקירוב) את הנקודה בה נפגשו‪.‬‬
‫תומר ודני יצאו באותה שעה והלכו זה לקראת זה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫מהירותו של תומר גבוהה יותר ממהירותו של דני‪.‬‬
‫דני‬
‫תומר‬
‫סמנו (בקירוב) את הנקודה בה נפגשו‪.‬‬
‫(האם נפגשו קרוב יותר לביתו של תומר או יותר קרוב לביתו של דני?)‬
‫יעל ומיכל יצאו באותה שעה מבתיהן והלכו אחת לקראת השנייה‪.‬‬
‫הן נפגשו באמצע הדרך‪.‬‬
‫מיכל‬
‫יעל‬
‫מה ניתן להגיד על המהירויות שלהן?‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫דני ויוסי הלכו במהירות שווה זה לקראת זה‪.‬‬
‫דני יצא בשעה ‪ 7:00‬ויוסי יצא בשעה ‪.8:00‬‬
‫יוסי‬
‫דני‬
‫באיזו מהנקודות ‪ , B , A‬או ‪ C‬הם נפגשו?‬
‫‪A‬‬
‫עמית ומתן הלכו במהירויות שוות זה לקראת זה‪.‬‬
‫הם נפגשו בנקודה ‪.A‬‬
‫מי יצא לדרך מוקדם יותר?‬
‫מתן‬
‫עמית‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪181 :‬‬
‫שאלות תנועה – פתרו באמ עות משוואות‬
‫שאלות תנועה – פתרו באמ עות משוואות‬
‫דוגמה ‪3‬‬
‫את השאלות שפתרנו עד כה ניתן לפתור בדרך חשבונית‪ .‬בחלק מהשאלות נוח יותר היה לסמן גודל לא ידוע‬
‫ב‪.x -‬‬
‫בפרק זה נפתור שאלות תנועה מסוגים שונים באמצעות משוואות‪.‬‬
‫דוגמה ‪5‬‬
‫המרחק בין שני היישובים "אלונים" ו"ארזים" הוא ‪ 310‬ק"מ‪.‬‬
‫אלון יצא מהישוב "אלונים" וארז יצא מהישוב "ארזים"‪ ,‬שניהם יצאו באותה שעה ונסעו זה לקראת זה‪.‬‬
‫אלון נסע במהירות של ‪ 80‬קמ"ש‪.‬‬
‫מקום‬
‫המפגש‬
‫ארז נסע במהירות של ‪ 75‬קמ"ש‪.‬‬
‫כעבור כמה שעות נפגשו אלון וארז?‬
‫ארזים‬
‫אלונים‬
‫‪75x‬‬
‫‪80x‬‬
‫נציג בטבלה את הנתונים על המהירות‪ ,‬הזמן‪ ,‬והדרך שעברו אלון וארז עד לנקודת המפגש‪.‬‬
‫שאלת תנועה בה המשתתפים יוצאים משני מקומות ונוסעים זה לקראת זה‪.‬‬
‫כמו בדוגמה ‪ ,2‬נסרטט תרשים של הדרך ונציג את הנתונים בטבלה‪.‬‬
‫הזמן לא ידוע‪.‬‬
‫נסמן אותו ב‪.x -‬‬
‫אלון וארז יצאו באותה שעה זה לקראת זה‪ .‬זמן הנסיעה של אלון שווה לזמן הנסיעה של ארז‪ ,‬אבל זמן זה‬
‫אלון‬
‫מה מייצג הביטוי ‪? 80x‬‬
‫אינו ידוע‪ .‬נסמן אותו ב‪.x -‬‬
‫נכתוב ביטויים אלגבריים למרחק שעבר כל אחד מהם‪ .‬סכום הדרכים שעברו ארז ואלון שווה למרחק בין שני‬
‫הישובים מהם יצאו לדרך‪ .‬נכתוב משוואה‪.‬‬
‫מה מייצג הביטוי ‪? 75x‬‬
‫ארז‬
‫המרחק בין הישובים הוא סכום המרחקים שעברו אלון וארז‪:‬‬
‫בשאלה נתון שמרחק זה הוא ‪ 310‬ק"מ‪ .‬נכתוב משוואה‪:‬‬
‫נפתור ונקבל ‪.x = 2‬‬
‫‪40‬‬
‫‪x‬‬
‫‪80x‬‬
‫‪05‬‬
‫‪x‬‬
‫‪75x‬‬
‫‪80x + 75x‬‬
‫‪80x + 75x = 310‬‬
‫נפתור ונקבל‪:‬‬
‫תשובה‪ :‬אלון וארז נפגשו כעבור ‪ 2‬שעות נסיעה‪.‬‬
‫מהירות‬
‫(קמ"ש)‬
‫זמן‬
‫(שעות)‬
‫הדרך עד‬
‫למפגש‬
‫(ק"מ)‬
‫‪x=2‬‬
‫אלון וארז נפגשו כעבור ‪ 2‬שעות נסיעה‪.‬‬
‫בדיקה‪ :‬אלון שמהירות הנסיעה שלו היא ‪ 40‬קמ"ש‪ ,‬עבר בשעתיים מרחק של ‪ 160‬ק"מ‪.‬‬
‫ארז שמהירות הנסיעה שלו היא ‪ 05‬קמ"ש‪ ,‬עבר מרחק של ‪ 150‬ק"מ‪ .‬יחד ‪ 310‬ק"מ כנתון בשאלה‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .58‬שאלה דומה לשאלה שבדוגמה‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .26‬רן ותום נמצאים במרחק ‪ 270‬ק"מ זה מזה‪ .‬הם יצאו באותה שעה ונסעו זה לקראת זה עד שנפגשו‪.‬‬
‫בתרשים מסומנת נקודת הפגישה של רן ותום‪ .‬נקודת הפגישה קרובה יותר ל‪ .B -‬על סמך נקודת הפגישה‬
‫רן נסע במהירות של ‪ 60‬קמ"ש ותום נסע במהירות של ‪ 75‬קמ"ש‪.‬‬
‫נסמן ב‪ x -‬את זמן הנסיעה עד לפגישה‪.‬‬
‫יש לקבוע מי יצא מנקודה ‪ A‬ומי יצא מנקודה ‪.B‬‬
‫‪B‬‬
‫מה ידוע לנו לגבי זמן הנסיעה? שניהם יצאו באותה שעה‪ ,‬נסעו זה לקראת זה עד שנפגשו‪ .‬שניהם נסעו‬
‫אותו מספר שעות‪ .‬נבדוק את המהירויות‪ .‬מי שנסע במהירות גבוהה יותר עבר מרחק גדול יותר‪.‬‬
‫תום נסע מהר יותר‪ ,‬כלומר עבר דרך ארוכה יותר‪ .‬תום יצא מנקודה ‪ .A‬רן יצא מנקודה ‪.B‬‬
‫חישוב ‪ x‬כמו בדוגמה ‪.3‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫(א) הנקודה ‪ C‬בתרשים מציינת את מקום הפגישה של רן ותום‪.‬‬
‫מי יצא מנקודה ‪ A‬לכיוון ‪ ,B‬רן או תום? הסבירו‪.‬‬
‫מהירות‬
‫(קמ"ש)‬
‫זמן‬
‫(שעות)‬
‫רן‬
‫‪60‬‬
‫‪x‬‬
‫תום‬
‫‪75‬‬
‫‪x‬‬
‫(ב) חשבו את הערך של ‪ .x‬היעזרו בטבלה‪.‬‬
‫יחד עברו ‪ 200‬ק"מ‪.‬‬
‫‪223‬‬
‫הדרך עד‬
‫למפגש‬
‫(ק"מ)‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪186‬‬
‫‪ .27‬מכונית נסעה מעיר ‪ A‬לעיר ‪ B‬במהירות של ‪ 80‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ .56 – 51‬שאלות נוספות מאותו סוג‪.‬‬
‫באותו זמן יצאה מעיר ‪ B‬לעיר ‪ A‬משאית שנסעה‬
‫‪(56‬א)‪ .‬האם הנקודה ‪ A‬מסמנת את מקום יציאת האוטובוס או את מקום יציאת המשאית?‬
‫במהירות של ‪ 60‬קמ"ש‪.‬‬
‫השיקולים זהים לאלו שבשאלה ‪ C .26‬נקודת המפגש‪ .‬המרחק בין ‪ A‬ל‪ C -‬גדול יותר‪ ,‬כלומר ‪A‬‬
‫נקודת המוצא של האוטובוס הנוסע במהירות גבוהה יותר‪.‬‬
‫מצורפת טבלה ריקה‪.‬‬
‫המרחק בין הערים הוא ‪ 1,260‬ק"מ‪.‬‬
‫מהירות‬
‫(קמ"ש)‬
‫זמן‬
‫(שעות)‬
‫מכונית‬
‫‪40‬‬
‫‪x‬‬
‫משאית‬
‫‪60‬‬
‫‪x‬‬
‫סמנו את זמן הנסיעה של כל אחת מהמכוניות ב‪.x -‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫הדרך עד‬
‫למפגש‬
‫(ק"מ)‬
‫כעבור כמה זמן נפגשו המכוניות?‬
‫הטבלה המלאה‪:‬‬
‫יחד עברו ‪ 1,260‬ק"מ‪.‬‬
‫השלימו את הטבלה‪ ,‬כתבו משוואה מתאימה וחשבו‪.‬‬
‫חישוב ‪ x‬כמו בשאלות הקודמות‪.‬‬
‫‪ .28‬משאית ואוטובוס יוצאים בו זמנית זה לקראת זה משני מקומות המרוחקים זה מזה ‪ 450‬ק"מ‪.‬‬
‫המשאית נוסעת במהירות של ‪ 65‬קמ"ש והאוטובוס במהירות של ‪ 85‬קמ"ש‪.‬‬
‫(א) האם הנקודה ‪ A‬מסמנת את מקום יציאת האוטובוס או את מקום יציאת המשאית? הסבירו‪.‬‬
‫דוגמה ‪5‬‬
‫(ב) מה מסמנת הנקודה ‪?C‬‬
‫בדוגמה זאת זמן הנסיעה ידוע‪ .‬המהירויות אינן ידועות‪.‬‬
‫נסמן אחת מהמהירויות ב‪ x -‬ונכתוב ביטוי אלגברי באמצעות ‪ x‬עבור המהירות השנייה‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫(ג) נסמן ב‪ x -‬את זמן הנסיעה‪.‬‬
‫כמה זמן נסעו שני כלי הרכב עד שנפגשו?‬
‫כתבו משוואה מתאימה ופתרו‪.‬‬
‫מהירות‬
‫(קמ"ש)‬
‫איזו מהמהירויות נסמן ב‪ ? x -‬אפשר לסמן ב‪ x -‬את המהירות של דני או את המהירות של יונתן‪.‬‬
‫אוטובוס‬
‫יתקבלו ביטויים שונים‪ ,‬יתקבל ‪ x‬שונה אבל התשובה לשאלה תהיה זהה‪.‬‬
‫מומלץ לפתור את השאלה במליאת הכיתה בשתי הדרכים‪.‬‬
‫משאית‬
‫בפתרון שבספר המהירות של דני מסומנת ב‪ .x -‬ביטוי אלגברי למהירות של יונתן הוא ‪.x + 2‬‬
‫דוגמה ‪4‬‬
‫(האפשרות האחרת‪ :‬המהירות של יונתן מסומנת ב‪ .x -‬ביטוי אלגברי למהירות של דני הוא ‪).x – 2‬‬
‫דני ויונתן יצאו בו זמנית משני מקומות שהמרחק ביניהם ‪ 84‬ק"מ והלכו זה לקראת זה‪.‬‬
‫המרחק שווה לזמן הנסיעה כפול המהירות‪ .‬במשוואה משווים את סכום הדרכים שעברו דני ויונתן‪ ,‬למרחק‬
‫‪7x + 7(x + 2) = 84‬‬
‫בין שני המקומות שלפי הנתון בשאלה הוא ‪ 44‬ק"מ‪:‬‬
‫פותרים את המשוואה ומקבלים ‪.x = 5‬‬
‫חשבו את המהירויות של השניים אם ידוע‬
‫ונכתוב ביטוי אלגברי עם ‪ x‬למהירות של יונתן‪.‬‬
‫(באפשרות השנייה מקבלים‪ .x = 7 :‬הערך של ‪ x‬שונה‪ ,‬אבל התשובה לשאלה זהה‪ x .‬ייצג את המהירות‬
‫של יונתן‪ .‬כלומר המהירות של יונתן היא ‪ 0‬קמ"ש‪ .‬הביטוי למהירות של דני הוא ‪ .x – 2‬נציב ‪ 0‬במקום ‪x‬‬
‫ונקבל שהמהירות של דבי היא ‪ 5‬קמ"ש‪).‬‬
‫‪224‬‬
‫‪A‬‬
‫כתבו משוואה מתאימה ופתרו‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫דני‬
‫מהירות‬
‫(קמ"ש)‬
‫זמן‬
‫(שעות)‬
‫הדרך עד‬
‫למפגש‬
‫(ק"מ)‬
‫‪x‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7x‬‬
‫‪x+2‬‬
‫‪7‬‬
‫)‪7(x+2‬‬
‫יונתן‬
‫של דני‪.‬‬
‫לחישוב המהירויות נסמן את המהירות של דני ב‪.x -‬‬
‫תשובה לשאלה‪ :‬דני הלך במהירות של ‪ 5‬קמ"ש‪ .‬יונתן הלך במהירות של ‪ 0‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ 44‬ק"מ‬
‫הם נפגשו כעבור ‪ 7‬שעות‪.‬‬
‫שמהירותו של יונתן גדולה ב‪ 2 -‬קמ"ש ממהירותו‬
‫זמן‬
‫(שעות)‬
‫הדרך עד‬
‫למפגש‬
‫(ק"מ)‬
‫דני‬
‫יונתן‬
‫אפשר גם לסמן‬
‫את המהירות של יונתן ב‪x -‬‬
‫ואת המהירות של דני ב‪(x–2) -‬‬
‫‪B‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪188 :‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .29‬עדי ורותם יצאו מבתיהן באותו זמן והלכו זו לקראת זו‪.‬‬
‫בתרשים תיאור הדרכים שעשו‪ M .‬נקודת המפגש‪.‬‬
‫רותם‬
‫‪M‬‬
‫‪2x‬‬
‫)‪2(x+10‬‬
‫‪ 300‬ק"מ‬
‫הביטוי ‪ 2x‬מייצג את הדרך שעברה רותם‪.‬‬
‫‪ .29‬המרחק בין הבתים של עדי ורותם הוא ‪ 300‬ק"מ‪.‬‬
‫עדי‬
‫הן יצאו מבתיהן באותו זמן ונסעו זו לקראת זו‪ .‬עדי נסעה במהירות הגבוהה ב‪ 10 -‬קמ"ש מהמהירות בה‬
‫נסעה רותם‪ .‬הן נפגשו כעבור ‪ 2‬שעות נסיעה‪.‬‬
‫חשבו את מהירות הנסיעה של עדי ושל רותם‪.‬‬
‫הביטוי )‪ 2(x + 10‬מייצג את המרחק שעברה עדי‪.‬‬
‫הביטוי )‪ 2x + 2(x + 10‬מייצג את סכום הדרכים שעברו שתי הבנות‪ ,‬או במילים אחרות‪ ,‬את המרחק בין‬
‫רותם‬
‫מה מייצג הביטוי‬
‫בין הבית של רותם לבית של עדי‪.‬‬
‫‪ 300‬ק"מ‬
‫עדי‬
‫‪? 2x‬‬
‫רותם‬
‫מה מייצג הביטוי )‪? 2(x+10‬‬
‫‪2x + 2(x + 10) = 300‬‬
‫המשוואה‪:‬‬
‫פתרון המשוואה‪.x = 70 :‬‬
‫‪x + 10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫מה מייצג הביטוי )‪? 2x + 2(x + 10‬‬
‫כתבו משוואה מתאימה ופתרו‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬מהירות הנסיעה של רותם‪ 00 :‬קמ"ש‪ .‬מהירות הנסיעה של עדי‪ 40 :‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ .55‬שאלה דומה לשאלה ‪ .24‬הגדלים שאינם ידועים הם הזמנים‪ .‬הביטויים המייצגים את זמני הנסיעה הם ‪,x‬‬
‫ו‪.(x + 1) -‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪M‬‬
‫)‪2(x+10‬‬
‫מהירות‬
‫(קמ"ש)‬
‫עדי‬
‫זמן‬
‫(שעות)‬
‫הדרך עד‬
‫למפגש‬
‫(ק"מ)‬
‫‪ .30‬שתי משאיות יצאו זו לקראת זו‪ .‬משאית אחת יצאה מערד ונסעה במהירות של ‪ 70‬קמ"ש‪.‬‬
‫משאית שנייה יצאה מחיפה ונסעה במהירות של ‪ 60‬קמ"ש‪.‬‬
‫המהירויות נתונות בטבלה‪ .‬מחשבים את המרחק שעברה כל משאית וכותבים משוואה בה‬
‫המרחק בין ערד לחיפה הוא ‪ 330‬ק"מ‪.‬‬
‫מהירות‬
‫(קמ"ש)‬
‫המשאית שיצאה מערד נסעה שעה אחת יותר‬
‫משווים את סכום המרחקים שעברו שתי המשאיות למרחק שבין ערד לחיפה‪.‬‬
‫מאשר המשאית שיצאה מחיפה‪.‬‬
‫באיזה מרחק מערד ייפגשו המשאיות?‬
‫י יאה מאותה נקודה ונסיעה בכיוונים מנוגדים‬
‫ערד‬
‫חיפה‬
‫‪ 330‬ק"מ‬
‫זמן‬
‫(שעות)‬
‫המשאית‬
‫מערד‬
‫‪x+1‬‬
‫המשאית‬
‫מחיפה‬
‫‪x‬‬
‫הדרך עד‬
‫למפגש‬
‫(ק"מ)‬
‫דוגמה ‪4‬‬
‫גם בשאלה זו כמו בשאלות הקודמות‪ ,‬יש שלושה גדלים‪ :‬משך זמן ההליכה‪ ,‬מהירות ההליכה‪ ,‬והמרחק‪.‬‬
‫י יאה מאותה נקודה ונסיעה בכיוונים מנוגדים‬
‫הדרך כולה היא סכום של שני קטעים‪.‬‬
‫דוגמה ‪5‬‬
‫יעל ונעמה הן אחיות‪ .‬הן יצאו מביתן באותה שעה‪ .‬יעל הלכה במהירות של ‪ 5‬קמ"ש לכיוון מערב ונעמה הלכה‬
‫התרשים מציג את נקודת המוצא (הבית של יעל ונעמה) ואת כיוון ההליכה של כל אחת מהבנות‪.‬‬
‫ניתן להציג את הנתונים גם בטבלה כפי שעשינו‬
‫בשאלות קודמות‪.‬‬
‫התשובות לשלושת הסעיפים שבדוגמה מוסברות מילולית‬
‫ולא נעזרים בטבלה‪.‬‬
‫מזרח‬
‫מזרח‬
‫נסרטט תרשים לתיאור נתוני השאלה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הדרך שעברה‬
‫נעמה‬
‫במהירות של ‪ 6‬קמ"ש לכיוון המנוגד‪ ,‬מזרח‪.‬‬
‫מערב‬
‫הדרך שעברה‬
‫יעל‬
‫(א) באיזה מרחק מהבית הייתה יעל כעבור ‪ 2‬שעות?‬
‫" ‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫(ב) באיזה מרחק מהבית הייתה נעמה כעבור ‪ 2‬שעות?‬
‫" ‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫(ג)‬
‫הדרך שעברה‬
‫נעמה‬
‫‪10‬‬
‫" ‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫הדרך שעברה‬
‫יעל‬
‫מהירות ‪ ‬זמן = מרחק‬
‫" ‪.‬‬
‫מה היה המרחק בין יעל ונעמה כעבור ‪ 2‬שעות?‬
‫‪.‬‬
‫‪22‬‬
‫כפי שעשינו בשאלות קודמות‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫" ‪.‬‬
‫גם בשאלה זאת ניתן להציג את הנתונים בטבלה‬
‫‪225‬‬
‫‪‬‬
‫מערב‬
‫מהירות‬
‫(קמ"ש)‬
‫זמן‬
‫(שעות)‬
‫דרך‬
‫(ק"מ)‬
‫יעל‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2  5 = 10‬‬
‫נעמה‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2  6 = 12‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪555‬‬
‫גם בשאלה זאת כמו בשאלות הקודמות שפתרנו‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫(א) יש שלושה גדלים‪ :‬משך זמן ההליכה‪ ,‬מהירות ההליכה‪ ,‬והמרחק‪.‬‬
‫(ב) הדרך כולה מורכבת משני קטעים‪.‬‬
‫‪ .55 – 51‬שאלות בהן היציאה היא מנקודה אחת והתנועה היא בכיוונים מנוגדים כמו בדוגמה ‪.5‬‬
‫כמו בשאלות הקודמות השאלות מלוות בתרשים ובטבלה להצגת הנתונים‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .31‬דני ויוסי עובדים באותו מקום עבודה‪ .‬עם סיום עבודתם יצאו ממקום העבודה לכיוון בתיהם‪.‬‬
‫‪ .51‬פתרון חשבוני‪.‬‬
‫דני נסע שעה וחצי לכיוון מערב‪ ,‬במהירות של ‪ 60‬קמ"ש‪ .‬יוסי נסע חצי שעה לכיוון מזרח‪,‬‬
‫השלמת הנתונים בטבלה‪:‬‬
‫במהירות של ‪ 90‬קמ"ש‪.‬‬
‫(א) ‪ C‬נקודת היציאה‪.‬‬
‫(א) מה מייצגת הנקודה ‪? C‬‬
‫השלמה נכונה של הטבלה מספקת את התשובות לשאלות‪.‬‬
‫(ב) ‪ 40‬ק"מ‪.‬‬
‫(ג) ‪ 45‬ק"מ‪.‬‬
‫(ד) ‪ 135‬ק"מ‪.‬‬
‫מזרח ‪B‬‬
‫‪90‬‬
‫דני‬
‫מהירות‬
‫(קמ"ש)‬
‫מה המרחק שנסע יוסי?‬
‫(ד) מה המרחק בין הבתים של דני ויוסי?‬
‫‪‬‬
‫‪ A‬מערב‬
‫יוסי‬
‫(ב) מה המרחק שנסע דני?‬
‫(ג)‬
‫‪C‬‬
‫דרך‬
‫(ק"מ)‬
‫זמן‬
‫(שעות)‬
‫דני‬
‫יוסי‬
‫)‪(90 + 45‬‬
‫‪ .32‬יעל ועדי תלמידות בבית ספר "רננים"‪.‬‬
‫‪ .55‬פתרון חשבוני‪.‬‬
‫יעל סיימה את יום הלימודים והלכה שעה ורבע מערבה לכיוון ביתה במהירות של ‪ 4‬קמ"ש‪.‬‬
‫עדי סיימה את לימודיה והלכה שעה אחת מזרחה לכיוון ביתה במהירות של ‪ 5‬קמ"ש‪.‬‬
‫הצגת הנתונים בטבלה‪:‬‬
‫(א) שתיהן גרות במרחק של ‪ 5‬ק"מ מבית הספר‪.‬‬
‫(א) מי משתיהן גרה קרוב יותר לבית הספר? הסבירו‪.‬‬
‫מהירות‬
‫(קמ"ש)‬
‫(ב) מה המרחק בין הבתים של יעל ועדי?‬
‫(ב) המרחק בין הבתים הוא ‪ 10‬ק"מ‪.‬‬
‫דרך‬
‫(ק"מ)‬
‫זמן‬
‫(שעות)‬
‫יעל‬
‫עדי‬
‫‪ .55‬פתרון אלגברי‪ .‬זמן הנסיעה אינו ידוע‪ .‬מסמנים אותו ב‪.x -‬‬
‫‪ .33‬רונן ועמית יוצאים באותו זמן‪ ,‬מאותו מקום‪ ,‬ורוכבים על אופניהם בכיוונים מנוגדים‪.‬‬
‫השלמת הנתונים בטבלה‪:‬‬
‫שניהם יחד עברו מרחק של ‪ 105‬ק"מ‪.‬‬
‫רונן רוכב במהירות של ‪ 20‬קמ"ש ועמית רוכב במהירות של ‪ 15‬קמ"ש‪.‬‬
‫רונן‬
‫כעבור כמה שעות יהיו במרחק של ‪ 105‬ק"מ זה מזה?‬
‫כותבים משוואה לסכום הדרכים שעברו שני הרוכבים‪.‬‬
‫נסמן את מספר השעות המבוקש ב‪.x -‬‬
‫כתבו משוואה מתאימה ופתרו‪.‬‬
‫‪20x + 15x = 105‬‬
‫פותרים ומקבלים‪.x = 3 :‬‬
‫תשובה‪ :‬כעבור ‪ 3‬שעות רכיבה יהיו רונן ועמית במרחק של ‪ 105‬ק"מ זה מזה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫מהירות‬
‫(קמ"ש)‬
‫זמן‬
‫(שעות)‬
‫רונן‬
‫‪x‬‬
‫עמית‬
‫‪x‬‬
‫סכום המרחקים‬
‫שיעברו הוא ‪ 105‬ק"מ‬
‫‪226‬‬
‫עמית‬
‫דרך‬
‫(ק"מ)‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪551‬‬
‫מה למדנו?‬
‫מה למדנו?‬
‫למדנו לפתור שאלות תנועה משלושה סוגים‪.‬‬
‫מומלץ לעבור על הסוגים השונים במליאת הכיתה ולבקש מהתלמידים לספר סיפור מתאים לכל אחד מהם‪.‬‬
‫בכל שלושת הסוגים אורך הדרך ‪ AB‬שווה לסכום הדרכים של שני קטעי הדרך‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫למדנו לפתור שאלות תנועה מהסוגים הבאים‪:‬‬
‫יציאה מאותה נקודה ונסיעה באותו כיוון בשני קטעים בזה אחר זה‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫קטע ב‬
‫קטע א‬
‫קטע ב‬
‫קטע א‬
‫‪B‬‬
‫יציאה משתי נקודות שונות ונסיעה זה לקראת זה‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫יציאה מאותה נקודה ונסיעה בכיוונים מנוגדים‪.‬‬
‫התרגילים הם מסוגים שונים‪ .‬התלמידים מתבקשים לזהות את סוג השאלה ולסרטט תרשים מתאים‪.‬‬
‫להציג את הנתונים בטבלה‪ ,‬לכתוב משוואה מתאימה ולפתור‪ .‬לא לשכוח לכתוב תשובה מילולית‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫קטע ב‬
‫קטע א‬
‫בכל השאלות אורך הדרך ‪ AB‬שווה לסכום הדרכים בשני קטעי הדרך‪.‬‬
‫השאלות הבאות הן מסוגים שונים‪.‬‬
‫לכל שאלה סרטטו תרשים מתאים‪ ,‬היעזרו בטבלה‪ ,‬ופתרו‪.‬‬
‫‪ .55‬יציאה מנקודה אחת ‪ A‬ונסיעה בשני קטעים הבאים בזה אחר זה‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫קטע ב‬
‫הנתונים בטבלה‪:‬‬
‫‪ .34‬מכונית נסעה במשך ‪ 4‬שעות במהירות של ‪ x‬קמ"ש‪.‬‬
‫אחר כך המשיכה לנסוע ‪ 3‬שעות במהירות הקטנה‬
‫קטע א‬
‫ב‪ 10 -‬קמ"ש ממהירותה בקטע הראשון של הדרך‪.‬‬
‫אורך הדרך ‪ 390 :AB‬ק"מ‪.‬‬
‫המשוואה‪:‬‬
‫מהירות‬
‫(קמ"ש)‬
‫סך‪-‬הכול עברה ‪ 390‬ק"מ‪.‬‬
‫מה הייתה מהירות המכונית בקטע הראשון של הדרך?‬
‫‪4x + 3(x – 10) = 390‬‬
‫‪x = 60‬‬
‫פתרון המשוואה‪:‬‬
‫תשובה מילולית‪ :‬מהירות הנסיעה בקטע הראשון של הדרך הייתה ‪ 60‬קמ"ש‪.‬‬
‫קטע ראשון‬
‫‪4‬‬
‫קטע שני‬
‫‪3‬‬
‫‪ .35‬תלמידים יצאו לטיול שנתי‪.‬‬
‫מהירות‬
‫(קמ"ש)‬
‫ביום הראשון נסעו במהירות של ‪ 50‬קמ"ש‪.‬‬
‫ביום השני נסעו שעה אחת יותר מאשר ביום הראשון‪,‬‬
‫‪ .54‬יציאה מנקודה אחת ‪ A‬ונסיעה בשני קטעים הבאים בזה אחר זה‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫קטע ב‬
‫במהירות של ‪ 40‬קמ"ש‪.‬‬
‫אורך מסלול הנסיעה היה ‪ 310‬ק"מ‪.‬‬
‫הנתונים בטבלה‪:‬‬
‫היום הראשון‬
‫‪50‬‬
‫היום השני‬
‫‪40‬‬
‫זמן‬
‫(שעות)‬
‫דרך‬
‫(ק"מ)‬
‫(א) כמה זמן נסעו בכל יום?‬
‫קטע א‬
‫(ב) כמה ק"מ עברו ביום הראשון?‬
‫(ג)‬
‫אורך הדרך בשני הימים‪ 310 :‬ק"מ‪.‬‬
‫המשוואה‪:‬‬
‫זמן‬
‫(שעות)‬
‫דרך‬
‫(ק"מ)‬
‫כמה ק"מ עברו ביום השני?‬
‫‪50x + 40(x + 1) = 310‬‬
‫פתרון המשוואה‪:‬‬
‫‪x=3‬‬
‫‪ .36‬מונית ואוטובוס יצאו זה לקראת זה משני מקומות הנמצאים במרחק של ‪ 270‬ק"מ זה מזה‪.‬‬
‫תשובות מילוליות‪( :‬א) ביום הראשון נסעו במשך ‪ 3‬שעות‪ .‬ביום השני נסעו במשך ‪ 4‬שעות‪.‬‬
‫(ב) ביום הראשון עברו ‪ 150‬ק"מ‪ .‬שואלים‪ :‬היכן בטבלה נמצא את התשובה?‬
‫(ג) ביום השני עברו ‪ 160‬ק"מ‪ .‬שואלים‪ :‬היכן בטבלה נמצא את התשובה?‬
‫‪227‬‬
‫שניהם יצאו באותה שעה ונפגשו כעבור שעתיים‪.‬‬
‫מהירות‬
‫(קמ"ש)‬
‫מהירות המונית גדולה ב‪ 15 -‬קמ"ש ממהירות האוטובוס‪.‬‬
‫מה המהירות של כל אחד מכלי הרכב?‬
‫מונית‬
‫אוטובוס‬
‫‪x + 15‬‬
‫‪x‬‬
‫זמן‬
‫(שעות)‬
‫הדרך עד‬
‫למפגש‬
‫(ק"מ)‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪555 – 551 :‬‬
‫‪ .37‬משאית נסעה במהירות מסוימת במשך ‪ 4‬שעות‪ .‬לאחר מכן המשיכה בנסיעה ‪ 3‬שעות נוספות במהירות‬
‫גדולה ב‪ 12 -‬קמ"ש מהמהירות ההתחלתית‪ .‬בסך‪-‬הכל עברה המשאית ‪ 526‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ .58‬יציאה משני מקומות שונים ונסיעה זה לקראת זה‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫קטע ב‬
‫מה הייתה המהירות ההתחלתית של המשאית?‬
‫הנתונים בטבלה‪:‬‬
‫קטע א‬
‫‪ .38‬המרחק מתל אביב לאילת הוא ‪ 338‬ק"מ‪ .‬אוטובוס יצא מתל אביב דרך באר שבע לאילת‪.‬‬
‫אורך הדרך בשני הימים‪ 200 :‬ק"מ‪.‬‬
‫המשוואה‪2(x + 15) + 2x = 270 :‬‬
‫פתרון המשוואה‪:‬‬
‫הדרך עד לבאר שבע ארכה שעה אחת‪ .‬מבאר שבע לאילת האוטובוס נסע במשך ‪ 3‬שעות במהירות‬
‫של ‪ 76‬קמ"ש‪.‬‬
‫באיזו מהירות נסע האוטובוס בקטע הדרך מתל אביב לבאר שבע?‬
‫‪x = 60‬‬
‫תשובה מילולית‪ :‬מהירות הנסיעה של המונית ‪ 05‬קמ"ש‪ .‬מהירות הנסיעה של האוטובוס ‪ 60‬קמ"ש‪.‬‬
‫וחלק מהדרך צעד ברגל במהירות של ‪ 5‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ .51‬יציאה מנקודה אחת ‪ A‬ונסיעה בשני קטעים הבאים בזה אחר זה‪( .‬כמו תרגיל ‪)34‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫קטע ב‬
‫המשוואה‪:‬‬
‫‪4x + 3(x + 12) = 526‬‬
‫פתרון המשוואה‪:‬‬
‫מהירות‬
‫(בקמ"ש)‬
‫זמן‬
‫(בשעות)‬
‫דרך‬
‫(בק"מ)‬
‫קטע א‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4x‬‬
‫קטע ב‬
‫‪x + 12‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪3(x+12‬‬
‫קטע א‬
‫‪x = 70‬‬
‫קטע ב‬
‫המשוואה‪:‬‬
‫‪x + 228 = 338‬‬
‫מהירות‬
‫(בקמ"ש)‬
‫זמן‬
‫(בשעות)‬
‫קטע א‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫קטע ב‬
‫‪06‬‬
‫‪3‬‬
‫‪300=224‬‬
‫‪x = 110‬‬
‫פתרון המשוואה‪:‬‬
‫תשובה מילולית‪ :‬מהירות הנסיעה מבאר שבע לאילת‪ 110 :‬קמ"ש‪.‬‬
‫המשוואה‪:‬‬
‫‪20x + 10x = 60‬‬
‫(ב) תשובה מילולית‪ :‬הדרך כולה נמשכה ‪ 6‬שעות (‪.)2 + 4‬‬
‫מה הייתה המהירות של כל אחת משתי הקבוצות?‬
‫‪ .42‬הולך רגל יצא מתל אביב והלך לכיוון דרום‪ .‬באותו זמן יצא מאותו מקום רוכב אופניים ונסע לכיוון צפון‬
‫(א) מה הייתה המהירות של הולך הרגל?‬
‫מהירות‬
‫(בקמ"ש)‬
‫זמן‬
‫(בשעות)‬
‫דרך‬
‫(בק"מ)‬
‫אופניים‬
‫‪20‬‬
‫‪x‬‬
‫‪20x‬‬
‫הליכה‬
‫‪5‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪2x5=10x‬‬
‫קטע א‬
‫פתרון המשוואה‪x = 2 :‬‬
‫מהירותה של הקבוצה האחת גדולה ב‪ 2 -‬קמ"ש ממהירות הקבוצה השנייה‪.‬‬
‫כעבור ‪ 8‬שעות היה המרחק בין הקבוצות ‪ 64‬ק"מ‪.‬‬
‫אחרי ‪ 5‬שעות היה המרחק ביניהם ‪ 125‬ק"מ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫קטע ב‬
‫‪ .40‬משני מקומות שהמרחק ביניהם ‪ 960‬ק"מ יצאו בו זמנית שני כלי רכב ונסעו זה לקראת זה‪.‬‬
‫במהירות גדולה פי ‪ 4‬ממהירות הולך הרגל‪.‬‬
‫‪ .58‬יציאה מנקודה אחת ‪ A‬ונסיעה בשני קטעים הבאים בזה אחר זה‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫(ב) כמה זמן נמשכה הדרך כולה?‬
‫‪ .41‬שתי קבוצות תלמידים יצאו באותו זמן מאותו מקום לכיוונים מנוגדים‪.‬‬
‫דרך‬
‫(בק"מ)‬
‫קטע א‬
‫(א) כתבו ביטוי לזמן ההליכה ברגל‪.‬‬
‫מה הייתה המהירות של כל אחד משני כלי הרכב?‬
‫‪ .56‬יציאה מנקודה אחת ‪ A‬ונסיעה בשני קטעים הבאים בזה אחר זה‪( .‬כמו בתרגיל ‪)30‬‬
‫‪B‬‬
‫ההליכה ברגל ארכה פי שניים יותר מאשר הרכיבה על אופניים‪.‬‬
‫סמנו ב‪ x -‬את זמן הרכיבה על אופניים‪.‬‬
‫הם נפגשו אחרי ‪ 6‬שעות נסיעה‪ .‬מהירות הרכב האחד גדולה ב‪ 20 -‬קמ"ש ממהירות הרכב האחר‪.‬‬
‫תשובה מילולית‪ :‬בקטע הדרך הראשון המשאית נסעה במהירות של ‪ 00‬קמ"ש‪.‬‬
‫בקטע הדרך השני היא נסעה במהירות של ‪ 42‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ .39‬דני יוצא לטיול‪ .‬אורך המסלול ‪ 60‬ק"מ‪ .‬חלק מהדרך רכב על אופניים במהירות של ‪ 20‬קמ"ש‪,‬‬
‫(ב) מה הייתה המהירות של רוכב האופניים?‬
‫‪ .43‬יואב ואלון יצאו באותה שעה משני מקומות שהמרחק ביניהם הוא ‪ 210‬ק"מ‪ ,‬ונסעו זה לקראת זה‪.‬‬
‫יואב נסע במכונית ואלון רכב על אופניים‪ .‬המהירות של יואב הייתה גדולה פי ‪ 6‬מהמהירות של אלון‪.‬‬
‫הם נפגשו כעבור שעתיים‪.‬‬
‫מה הייתה מהירות הנסיעה של יואב?‬
‫‪228‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪555 :‬‬
‫‪ . 37‬משאית נסעה במהירות מסוימת במשך ‪ 4‬שעות‪ .‬לאחר מכן המשיכה בנסיעה ‪ 3‬שעות נוספות במהירות‬
‫גדולה ב‪ 12 -‬קמ"ש מהמהירות ההתחלתית‪ .‬בסך‪-‬הכל עברה המשאית ‪ 526‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ .55‬יציאה מנקודה אחת ‪ A‬ונסיעה בשני קטעים הבאים בזה אחר זה‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫מה הייתה המהירות ההתחלתית של המשאית?‬
‫‪A‬‬
‫קטע ב‬
‫המשוואה‪:‬‬
‫רכב א‬
‫‪x + 20‬‬
‫‪6‬‬
‫)‪6(x+20‬‬
‫רכב ב‬
‫‪x‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6x‬‬
‫קטע א‬
‫‪6(x + 20) + 6x = 960‬‬
‫פתרון המשוואה‪:‬‬
‫מהירות‬
‫(בקמ"ש)‬
‫זמן‬
‫(בשעות)‬
‫דרך‬
‫(בק"מ)‬
‫‪x = 70‬‬
‫‪ . 38‬המרחק מתל אביב לאילת הוא ‪ 338‬ק"מ‪ .‬אוטובוס יצא מתל אביב דרך באר שבע לאילת‪.‬‬
‫הדרך עד לבאר שבע ארכה שעה אחת‪ .‬מבאר שבע לאילת האוטובוס נסע במשך ‪ 3‬שעות במהירות‬
‫של ‪ 76‬קמ"ש‪ .‬באיזו מהירות נסע האוטובוס בקטע הדרך מתל אביב לבאר שבע‪.‬‬
‫תשובה מילולית‪ :‬מהירות רכב א ‪ 40‬קמ"ש‪ .‬מהירות רכב ב ‪ 00‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ . 39‬דני יצא מתל אביב לירושלים מרחק של ‪ 60‬ק"מ‪ .‬חלק מהדרך רכב על אופניו במהירות של ‪ 20‬קמ"ש‪,‬‬
‫לאחר זמן מה התקלקלו אופניו והוא המשיך את דרכו ברגל במהירות של ‪ 5‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ .51‬יציאה מאותה נקודה והליכה בכיוונים מנוגדים‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪‬‬
‫ההליכה ברגל ארכה פי שניים יותר מאשר הרכיבה על אופניים‪.‬‬
‫סמנו ב‪ x -‬את זמן הרכיבה על אופניים‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫מהירות‬
‫(בקמ"ש)‬
‫זמן‬
‫(בשעות)‬
‫דרך‬
‫(בק"מ)‬
‫‪x+2‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪4(x+2‬‬
‫‪x=3‬‬
‫פתרון המשוואה‪:‬‬
‫תשובה מילולית‪ :‬מהירות קבוצה א ‪ 5‬קמ"ש‪ .‬מהירות קבוצה ב ‪ 3‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4x‬‬
‫קטע ב‬
‫המשוואה‪:‬‬
‫קטע א‬
‫‪8(x + 2) + 8x = 64‬‬
‫קבוצה א‬
‫קבוצה ב‬
‫‪x‬‬
‫(א) כתבו ביטוי לזמן ההליכה ברגל‪.‬‬
‫(ב) כמה זמן נמשכה הדרך כולה?‬
‫‪ . 40‬משני מקומות שהמרחק ביניהם ‪ 960‬ק"מ יצאו בו זמנית שני כלי רכב ונסעו זה לקראת זה‪.‬‬
‫הם נפגשו אחרי ‪ 6‬שעות נסיעה‪ .‬מהירות הרכב האחד גדולה ב‪ 20 -‬קמ"ש ממהירות הרכב האחר‪.‬‬
‫מה הייתה המהירות של כל אחד משני כלי הרכב?‬
‫‪ .55‬יציאה מאותה נקודה והליכה בכיוונים מנוגדים‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫קטע ב‬
‫המשוואה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫הולך רגל‬
‫‪x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5x‬‬
‫רוכב אופניים‬
‫‪4x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪20x‬‬
‫קטע א‬
‫‪5x + 20x = 125‬‬
‫פתרון המשוואה‪:‬‬
‫מהירות‬
‫(בקמ"ש)‬
‫זמן‬
‫(בשעות)‬
‫דרך‬
‫(בק"מ)‬
‫במהירות גדולה פי ‪ 4‬ממהירות הולך הרגל‪.‬‬
‫אחרי ‪ 5‬שעות היה המרחק ביניהם ‪ 125‬ק"מ‪.‬‬
‫(א) מה הייתה המהירות של הולך הרגל?‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫פתרון המשוואה‪:‬‬
‫כעבור ‪ 8‬שעות היה המרחק בין הקבוצות ‪ 64‬ק"מ‪.‬‬
‫מה הייתה המהירות של כל אחת משתי הקבוצות?‬
‫‪ . 42‬הולך רגל יצא מתל אביב והלך לכיוון דרום‪ .‬באותו זמן יצא מאותו מקום רוכב אופניים ונסע לכיוון צפון‬
‫‪ .55‬יציאה מנקודה אחת ‪ A‬ונסיעה בשני קטעים הבאים בזה אחר זה‪.‬‬
‫המשוואה‪:‬‬
‫מהירותה של הקבוצה האחת גדולה ב‪ 2 -‬קמ"ש ממהירות הקבוצה השנייה‪.‬‬
‫‪x=5‬‬
‫תשובה מילולית‪ :‬הולד הרגל הלך במהירות של ‪ 5‬קמ"ש‪ .‬מהירות רוכב האופניים ‪ 20‬קמ"ש‪.‬‬
‫קטע ב‬
‫‪ .41‬שתי קבוצות תלמידים יצאו באותו זמן מאותו מקום לכיוונים מנוגדים‪.‬‬
‫קטע א‬
‫‪12x + 2x = 210‬‬
‫מהירות‬
‫(בקמ"ש)‬
‫זמן‬
‫(בשעות)‬
‫דרך‬
‫(בק"מ)‬
‫יואב‬
‫‪6x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪12x‬‬
‫אלון‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪x = 15‬‬
‫תשובה מילולית‪ :‬המהירות של יואב ‪ 40‬קמ"ש‪ .‬המהירות של אלון ‪ 15‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪229‬‬
‫(ב) מה הייתה המהירות של רוכב האופניים?‬
‫‪ . 43‬יואב ואלון יצאו באותה שעה משני מקומות שהמרחק ביניהם הוא ‪ 210‬ק"מ‪ ,‬ונסעו זה לקראת זה‪.‬‬
‫יואב נסע במכונית ו אלון רכב על אופניים‪ .‬מהירותו של יואב הייתה גדולה פי ‪ 6‬ממהירותו של אלון ‪.‬‬
‫הם נפגשו כעבור שעתיים‪.‬‬
‫מה הייתה מהירות הנסיעה של יואב?‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪555 :‬‬
‫נ‬
‫נ‬
‫ור ונתרגל‬
‫י ס ופרופור יה‬
‫י ס ופרופור יה‬
‫‪ .5 – 1‬חלוקה ביחס‪ .‬מומלץ לפתור את שאלה ‪ 1‬במליאת הכיתה ואת האחרות לתת כשיעורי בית‪.‬‬
‫להזכיר כי את היחס קוראים משמאל לימין‪ ,‬כאשר המספר השמאלי מתאים לקבוצה שהוזכרה ראשונה‬
‫והמספר הימני לקבוצה השנייה‪.‬‬
‫‪ .1‬חלקו ‪ 24‬ביחס של ‪ .1 : 3‬איזה חלק מהווה קבוצה אחת? איזה חלק מהווה הקבוצה השנייה?‬
‫‪1‬‬
‫של ‪ ? 24‬חלק של שלם שווה למכפלה של החלק בשלם‪.‬‬
‫ניסוח אחר של השאלה‪ :‬כמה הם‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫של ‪? 24‬‬
‫כמה הם‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫של ‪? 30‬‬
‫‪ .5‬חלקו ‪ 30‬ביחס של ‪ .2 : 3‬מבקשים לחשב רק חלק אחד‪ :‬כמה הם‬
‫‪5‬‬
‫‪ .5‬חלקו ‪ 36‬ביחס של ‪.4 : 5‬‬
‫‪ .5‬חלקו ‪ 54‬ביחס של ‪.5 : 4‬‬
‫‪ .5 – 7‬פרופורציה‪ .‬מומלץ לפתור את שאלה ‪ 5‬במליאת הכיתה ואת האחרות לתת כשיעורי בית‪.‬‬
‫נוח להציג את הנתונים בטבלה‪.‬‬
‫‪.4‬‬
‫מרחק (בק"מ)‬
‫זמן (בשעות)‬
‫ור ונתרגל‬
‫‪120‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.1‬‬
‫בכיתה ‪ 28‬תלמידים‪ .‬חלקו את התלמידים לשני חוגים‪ ,‬חוג מחשבים וחוג אמנות‪ ,‬ביחס של ‪.1 : 3‬‬
‫כמה תלמידים יהיו בחוג אמנות?‬
‫‪.5‬‬
‫בכיתה בת ‪ 30‬תלמידים היחס בין מספר התלמידים שגילם קטן מ‪ 14 -‬למספר התלמידים‬
‫שגילם ‪ 14‬ומעלה הוא ‪.2 : 3‬‬
‫כמה תלמידים בכיתה גילם פחות מ‪? 14 -‬‬
‫‪.5‬‬
‫בקערית ‪ 36‬חרוזים שווים בגודלם‪ .‬חלקם כחולים וחלקם אדומים‪.‬‬
‫היחס בין מספר החרוזים הכחולים למספר החרוזים האדומים הוא ‪.4 : 5‬‬
‫כמה חרוזים כחולים בקערית?‬
‫‪.5‬‬
‫באוטובוס ‪ 54‬נוסעים‪ .‬היחס בין מספר המבוגרים למספר הילדים הוא ‪.5 : 4‬‬
‫כמה ילדים באוטובוס?‬
‫‪x 120‬‬
‫‪‬‬
‫הפרופורציה‪:‬‬
‫‪8‬‬
‫‪5‬‬
‫אין צורך בהנחייה שהנעלם יהיה במונה‪ .‬למדנו לפתור גם משוואות בהן יש ביטוי אלגברי במכנה‪.‬‬
‫‪108 12‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫הפרופורציה‪:‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪104‬‬
‫‪12‬‬
‫תלמידים‬
‫‪ .8‬בטיול בית ספרי השתתף מורה מלווה אחד לכל ‪ 12‬תלמידים‪ .‬בטיול השתתפו ‪ 108‬תלמידים‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫מורים‬
‫‪x‬‬
‫כמה מורים היו בטיול?‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .‬הפתרון‪.x = 40 :‬‬
‫הפרופורציה‪:‬‬
‫‪( .1‬א)‬
‫‪2‬‬
‫דלק בליטרים‬
‫‪600 30‬‬
‫‪x‬‬
‫לנסיעה של ‪ 600‬ק"מ יש צורך ב‪ 40 -‬ליטרים דלק‪.‬‬
‫‪30‬‬
‫מרחק בק"מ‬
‫‪600‬‬
‫‪ .1‬מכונית צורכת ‪ 2‬ליטרים בנזין לכל ‪ 30‬ק"מ‪.‬‬
‫תספיק‪.‬‬
‫לא‬
‫ליטרים‬
‫‪35‬‬
‫של‬
‫כמות‬
‫(א) המכונית יצאה לנסיעה של ‪ 600‬ק"מ‪ ,‬כאשר במכל המכונית יש ‪ 35‬ליטרים דלק‪.‬‬
‫האם תצליח לסיים את הנסיעה מבלי להיכנס לתחנת דלק? הסבירו‪.‬‬
‫‪48‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫הפתרון‪.x = 020 :‬‬
‫‪.‬‬
‫הפרופורציה‪:‬‬
‫‪44‬‬
‫‪2‬‬
‫(ב) דלק בליטרים‬
‫(ב) כמה ק"מ תוכל המכונית לעבור אם במכל הדלק שלה יש ‪ 48‬ליטרים?‬
‫‪x‬‬
‫‪30‬‬
‫‪30‬‬
‫מרחק בק"מ‬
‫‪x‬‬
‫תשובה מילולית‪ :‬כמות של ‪ 44‬ליטרים תספיק לנסיעה של ‪ 020‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ .4‬רוכב אופניים נוסע במהירות קבועה‪ .‬הוא עבר ‪ 120‬ק"מ ב‪ 5 -‬שעות רכיבה‪.‬‬
‫כמה ק"מ יעבור ב‪ 8 -‬שעות רכיבה?‬
‫‪230‬‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪ .6‬דוגמה מחיי יום יום של שימוש בפרופורציה‪ .‬יש לשים לב לאחידות ביחידות המידה‪.‬‬
‫‪555‬‬
‫‪ ..61‬מיני ישראל הוא פארק מיניאטורות (מודל מוקטן)‪ .‬באתר מוצגים דגמים של מקומות‪ ,‬אזורים‪ ,‬ובניינים שונים‬
‫מהחשובים והמוכרים בישראל‪.‬‬
‫‪ .8‬שילוב של מציאת יחס וחישובי שטח והיקף‪.‬‬
‫כל הדגמים שבפארק בנויים בקנה מידה אחיד ‪.1 : 25‬‬
‫מומלץ לחזור על חישובי היקף ושטח של טרפז‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬כל ‪ 1‬ס"מ בדגם הוא ‪ 25‬ס"מ במציאות‬
‫(א) התלמידים יחשבו את היקפיהם של המלבן והטרפז וימצאו את היחס ביניהם‪.‬‬
‫הפתרון‪ .24 : 20 :‬היחס המצומצם‪.6 : 5 :‬‬
‫(או כל מטר במציאות הוא ארבעה סנטימטרים בדגם)‪.‬‬
‫איצטדיון טדי הוא אחד המודלים בפארק‪.‬‬
‫אורך האצטדיון במציאות הוא ‪ 120‬מטרים ורוחבו ‪ 80‬מטרים‪.‬‬
‫(ב) התלמידים יחשבו את שטח המשולש המבוקש ואת שטח הטרפז וימצאו את היחס ביניהם‪.‬‬
‫מה אורכו ומה רוחבו של דגם האצטדיון ב"מיני ישראל" ?‬
‫הפתרון‪ 6 : 30 :‬היחס המצומצם‪.1 : 5 :‬‬
‫‪ .15‬חישוב יחס בין היקפים של שני מעגלים‪ .‬חשוב לחזור על הנוסחה לחישוב היקף מעגל‪.‬‬
‫רדיוס המעגל הירוק הוא באורך של ‪ 65‬מטרים‪ .‬שואלים‪ :‬מה אורך הרדיוס של המעגל האדום?‬
‫‪.9‬‬
‫לפניכם סרטוט מוקטן של טרפז ישר זווית ‪.ABCE‬‬
‫מחשבים את היקפי המעגלים כאשר כדאי להמליץ לתלמידים לכתוב את התשובה באמצעות מכפלה ב‪.𝝿 -‬‬
‫(מידות הטרפז בס"מ נתונות בסרטוט)‪.‬‬
‫בכתיבת היחס יצמצמו את שני המספרים של היחס ב‪ .𝝿 -‬ולאחר מכן ימשיכו לצמצם עד‬
‫(א) מה היחס בין היקף הטרפז להיקף המלבן ‪? ABDE‬‬
‫לקבלת היחס המצומצם‪.‬‬
‫(ב) מה היחס בין שטח המשולש ‪ BCD‬לשטח הטרפז?‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪5‬‬
‫‪C‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪D‬‬
‫‪6‬‬
‫‪E‬‬
‫היקף המעגל הירוק‪ 130𝝿 :‬מטרים‪ .‬היקף המעגל האדום‪ 180𝝿 :‬מטרים‪ .‬היחס‪130𝝿 : 180𝝿 :‬‬
‫היחס המצומצם הוא ‪.13 : 18‬‬
‫‪( .11‬א) חלוקה ביחס‪ .‬חלקו ‪ 46‬ביחס של ‪.1 : 2‬‬
‫מומלץ לחזור כל משמעות היחס‪ :‬מתוך כל ‪ 3‬תלמידים ‪ 1‬בחוג מחשבים ו‪ 2 -‬בחוג הספורט‪.‬‬
‫‪ .10‬לפניכם סרטוט מוקטן של ‪ 2‬מסלולי ריצה מעגליים‪,‬‬
‫לשני המעגלים מרכז משותף‪.‬‬
‫כלומר ‪ ‬מהתלמידים בחוג המחשבים ‪ ,‬ו‪  -‬מהתלמידים בחוג הספורט‪.‬‬
‫מסלול אחד צבוע באדום ומסלול שני בירוק‪.‬‬
‫בחוג מחשבים ‪ ‬מהתלמידים‪  .‬של ‪ 46‬הם ‪.32‬‬
‫מה היחס בין אורך המסלול הירוק לאורך המסלול האדום?‬
‫המידות בסרטוט הם במטרים‪.‬‬
‫בחוג הספורט ‪ ‬מהתלמידים‪  .‬של ‪ 46‬הם ‪.64‬‬
‫‪25‬‬
‫‪65‬‬
‫היקף מעגל‪2 R :‬‬
‫(ב) ‪ 4‬תלמידים עברו מחוג המחשבים לחוג הספורט‪ .‬בחוג המחשבים נשארו ‪ 24‬תלמידים‪.‬‬
‫בחוג המחשבים יש ‪ 02‬תלמידים‪ .‬היחס ביניהם ‪ ,24 : 72‬אחרי צמצום ‪.1 : 3‬‬
‫‪ .11‬התלמידים בשכבת כיתות ח בחרו באחד משני חוגים‪ :‬מחשבים וספורט‪.‬‬
‫בתחילת השנה היחס בין מספר המשתתפים בחוג המחשבים לבין מספר המשתתפים בחוג הספורט‬
‫היה ‪.1 : 2‬‬
‫בחוגים השתתפו ‪ 96‬תלמידים‪.‬‬
‫(א) מה היה מספר התלמידים בכל חוג?‬
‫(ב) במשך החודש הראשון עברו ‪ 8‬תלמידים מחוג המחשבים לחוג הספורט‪.‬‬
‫מה היחס עכשיו בין מספר התלמידים בחוג המחשבים לבין מספר התלמידים בחוג הספורט?‬
‫‪231‬‬
‫______________________________________________________________________________________________‬