רשימת משפטים ללינארית 1 עם סמיון

‫רשימת משפטים ללינארית ‪ 1‬עם סמיון‬
‫רשימת משפטים מותרים לשימוש בבחינה לאלגברה לינארית ‪1‬א ללומדים עם סמיון‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫הגדרות‬
‫‪ .1‬מערכת הומוגנית‪:‬מערכת משוואות שבה וקטור המקדמים החופשיים שווה ‪~0‬‬
‫‪ .2‬מערכות שקולות‪:‬שתי מערכות משוואות שקבוצות הפתרונות שלהן שוות‬
‫‪ .3‬שינויים אלמנטריים‪:‬‬
‫‪Ri ↔ Rj .1‬‬
‫‪Ri ← λRi .2‬‬
‫‪Ri ← Ri + λRj .3‬‬
‫‪ .4‬מטריצה‪ p × q:‬זה מלבן עם ‪ p‬שורות ו־‪ q‬עמודות‬
‫‪ .5‬איבר פותח בשורה במטריצה‪ :‬האיבר הראשון בשורה השונה מ‪0‬‬
‫‪ .6‬מטריצה מדורגת היא מטריצה ש‪:‬‬
‫‪.1‬כל שורות האפסים אם קיימות נמצאות מתחת לכל השורות שאינן שורות אפסים‬
‫‪.2‬איבר פותח של כל שורה שאינה שורת אפסים נמצא מימין לכל האיברים הפותחים‬
‫של השורות שמעליו‬
‫במטריצה מדורגת קנונית מתקיים בנוסף‪:‬‬
‫‪.1‬האיבר הפותח בכל שורה שאינה שורת אפסים שווה ‪1‬‬
‫‪.2‬האיבר הפותח הוא האיבר היחיד בעמודה שלו ששונה מ‪0‬‬
‫‪ .7‬משתנה שקיים איבר פותח בעמודה שלו נקרא משתנה קשור‬
‫משתנה שאינו קשור נקרא משתנה חופשי‬
‫‪ .8‬פתרון טריוואלי‪ :‬הפתרון ‪~0‬‬
‫‪ .9‬מרחב ‪: Rn‬קבוצת כל ה‪n‬־יות של מספרים ממשיים‬
‫‪(a1 , a2 ......an )=~a∈ Rn .10‬‬
‫‪(a1 + b1 , a2 + b2 .......an + bn ) ∈ Rn =~b ∈ Rn +~a ∈ Rn .11‬‬
‫‪(λ ∗ a1 , λ ∗ a2 ......λ ∗ an ) ∈ Rn =λ ∗ ~a ∈ Rn .12‬‬
‫‪ .13‬וקטור האפס‪~0 :‬‬
‫‪ .14‬וקטור נגדי‪−~a ∈ Rn =(−a1 , −a2 ...... − an ) ∈ Rn :‬‬
‫‪ .15‬תת קבוצה לא ריקה ‪ L ⊂ Rn‬נקראת תת מרחב לינארי של ‪ Rn‬אם מתקיימים‬
‫‪∀ ~x∈L,∀λ∈R | λ~x∈L .1‬‬
‫‪∀ ~y ,~x∈L | ~y +~x∈L .2‬‬
‫‪ .16‬צורה הומוגנית של מערכת משוואות‪:‬‬
‫מערכת משוואות שזהה לקודמת חוץ מעמודת המקדמים החופשיים שמוחלפת ב‪~0‬‬
‫‪ .17‬מכפלה קרטזית של קבוצות‪:‬‬
‫}‪X × Y ={(x,y)|x∈X,y∈Y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .18‬מרחב וקטורי מעל ‪ R‬זאת קבוצה ‪ V‬עם שתי פונקציות‪:‬‬
‫חיבור‪f: V × V −→V :‬‬
‫כפל בסקלר‪g: R × V −→ V :‬‬
‫סימון‪f(x,y)=x+y:‬‬
‫‪ g(λ,x)=λ*x‬הפונקציות מקיימות‪:‬‬
‫‪∀~b,~a∈V ,∀λ∈R .19‬‬
‫‪~a+~b=~b+~a‬‬
‫‪~c+(~b+~a)=(~c+~b)+~a‬‬
‫‪~a=~0+~a‬‬
‫‪~0=~a+−~a‬‬
‫)‪λ~b+λ~a=λ(~b+~a‬‬
‫‪µ~a+λ~a=(µ+λ)~a‬‬
‫‪µ(λ~a)=(µλ)~a‬‬
‫‪~a=1~a‬‬
‫‪ .20‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי‪ ,‬תת קבוצה ‪ L⊂V‬נקראת תת מרחב לינארי )וקטורי( אם‬
‫מתקיימים‪:‬‬
‫‪ L.1‬לא קבוצה ריקה‬
‫‪∀ ~x∈L,∀λ∈R | λ~x∈L .2‬‬
‫‪∀ ~y ,~x∈L | ~y +~x∈L .3‬‬
‫‪ .21‬צירוף לינארי‪:‬סכום של וקטורים מתוך מרחב וקטורי ‪ V‬מוכפלים במקדמים־‬
‫‪v~1 ,v~2 ,...,v~s ∈V λ1 ,λ2 ,...,λs ∈R λ1 *v~1 +λ2 *v~2 +...+λs *v~s‬‬
‫‪ .22‬יהיה ‪ V‬מרחב וקטורי ויהיו ‪:x1 , x2 , ...., xs ∈V‬‬
‫}‪L=span{x1 , x2 , ...., xs }:={λ1 ∗ x1 + λ2 ∗ x2 + .... + λs ∗ xs |λ1 , λ2 , ...., λs ∈ R‬‬
‫הסדרה } ‪ {x1 , x2 , ...., xs‬נקראת פורשת את ‪L‬‬
‫‪ {x1 , x2 , ....,P‬נקראת תלויה לינארית אם קיים צירוף לינארי שמקיים‬
‫‪ .23‬הסדרה } ‪xs‬‬
‫‪ s λi 6= 0‬ששווה ל־‪~0‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪Ps‬‬
‫הסדרה נקראת בלתי תלויה לינארית אם לא קיים צירוף לינארי שמקיים ‪i=1 λi 6= 0‬‬
‫ששווה ל־‪~0‬‬
‫‪ .24‬הבסיס הסטנדרטי של ‪Rn‬‬
‫} ‪ (0...,0,1,....,0)=ei , {e1 , e2 , ...., en‬כשה־‪ 1‬במקום ה־‪i‬‬
‫‪ .25‬תהי סדרת וקטורים ‪, {x1 , x2 , ...., xs } =V‬תת סדרה שלה תוגדר ככל קבוצת וקטורים‬
‫} ‪{x1 , x2 , ...., xr |r ≤ s, ∀i ≤ r : xi ∈ V‬‬
‫‪ .26‬מרחב וקטורי נקרא נוצר סופית אם קיימת סדרה סופית שפורשת אותו‬
‫‪ .27‬סדרה ‪ x1 , x2 , ...., xs ∈V‬נקראת בסיס של ‪ V‬אם היא בלתי תלויה לינארית ופורשת‬
‫את ‪V‬‬
‫‪ .28‬מימד של מרחב וקטורי ‪ V‬הוא כמות האיברים בסדרה בלתי תלויה לינארית הפורשת‬
‫את ‪ V‬ומסומן ‪dimV‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .29‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי ותהי ‪ x1 , x2 , ...., xs‬סדרה הפורשת אותו אזי לכל ‪ v∈V‬סדרת‬
‫המקדמים בהצגה שלו על ידי צירוף לינארי של ‪ (λ1 , λ2 , ...., λs ) x1 , x2 , ...., xs‬נקראת‬
‫הקואורדינטות של ‪ v‬ביחס לבסיס ‪x1 , x2 , ...., xs‬‬
‫‪ Mn×m (R) .30‬קבוצת כל המטריצות בעלות איברים ממשיים ובעלות ‪ n‬שורות ו ‪m‬‬
‫עמודות‬
‫‪ .31‬תהי ‪ A‬מטריצה‪ Aij ,‬מוגדר להיות האיבר במטריצה בשורה ה‪ i‬בעמודה ה‪j‬‬
‫‪ .32‬נתונות )‪ A+B A,B∈Mn×m (R‬מוגדר‪(A + B)ij =Aij + Bij :‬‬
‫‪ .33‬נתונה )‪ A∈Mn×m (R‬ו ‪ λ ∈R‬אזי ‪ λ ∗ A‬מוגדרת‪(λA)ij =λ ∗ Aij :‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪(A ∗ B)ij k=1 Aik ∗ Bkj :B*A B∈Mm×p (R) ,A∈Mn×m (R) .34‬‬
‫‪ .35‬מטריצת היחידה‪In ∈Mn×n (R) :‬‬
‫‪∀1 ≤ i, j ≤ n i = j → Iij = 1, i 6= j → Iij = 0‬‬
‫‪0=δab ← a 6= b ,1=δab ← a = b: δ .36‬‬
‫‪ .37‬ניתן לכתוב מערכת משוואות כמשוואה הבאה ‪ An∗m ∗xm,1 = bn∗1‬כאשר ‪ A‬מטריצה‬
‫מקדמים ‪ x‬מטריצת עמודה של משתנים ו‪ b‬מטריצה עמודה של מקדמים חופשיים‬
‫‪ .38‬מטריצה מוחלפת‪ :‬תהי )‪ A∈Mn×m (R‬מטריצה‪ ,‬אזי המטריצה המוצמדת המסומנת‬
‫)‪ At ∈Mm×n (R‬מוגדרת‪(At )ij = Aji :‬‬
‫‪ .39‬מטריצה סימטרית‪:‬מטריצה ריבועית המקיימת ‪At = A‬‬
‫‪ .40‬מטריצה אנטי סימטרית‪ :‬מטריצה ריבועית המקיימת ‪At = −A‬‬
‫‪:A∈Mn×n (R) .41‬‬
‫‪ A .1‬נקראת הפיכה מימין אם קיימת )‪ B∈Mn×n (R‬כך ש ‪In =B*A‬‬
‫‪ A .2‬נקראת הפיכה משמאל אם קיימת )‪ B∈Mn×n (R‬כך ש ‪In =A*B‬‬
‫‪ A .3‬נקראת הפיכה אם קיימת )‪ B∈Mn×n (R‬כך ש ‪In =A*B=B*A‬‬
‫‪ A A∈Mn×n (R) .42‬תקרא מטריצה אלכסונית אם‪∀1 ≤ i, j ≤ n i 6= j → Aij = 0 :‬‬
‫‪ .43‬מטריצה אלמנטרית‪ :‬מטריצה המתקבלת מ ‪ I‬על ידי פעולה אלמנטרית אחת‬
‫‪ .44‬תהי ‪ ϕ‬פעולה אלמנטרית על שורות פעולה אלמנטרית הופכית ‪ ϕ−1‬מוגדרת כך‪:‬‬
‫‪ϕ−1 (ϕ(A)) = A‬‬
‫‪ B A,B∈Mn×n (R) .45‬נקראת שקולת שורות ל ‪ A‬אם ניתן לקבל את ‪ B‬מ ‪ A‬בעזרת מספר‬
‫פעולות אלמנטריות על שורות‬
‫‪ .46‬תהי )‪ A∈Mn×n (R‬מטריצה דרגת ‪ A‬היא מימד ה‪ span‬של שורות של ‪ A‬ומסומנת‪rkA :‬‬
‫‪ .47‬הדטרמיננטה היא פונקציה ממרחב המטריצות הריבועיות ל‪ R‬שמקיימת‪:‬‬
‫‪det[R1 , ...., βRi , ...., Rn ]+det[R1 , ...., αRi , ...., Rn ]=det[R1 , ...., αRi +βRi , ...., Rn ].1‬‬
‫‪.2‬אם למטריצה ‪ A‬שני שורות שוות אז ‪0=detA‬‬
‫‪1=detIn .3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ .48‬מינור‪ :‬עבור מטריצה )‪ A∈Mn×n (R‬נסמן ב )‪ (1 ≤ i, j ≤ n) Mij (A‬מטריצה מגודל‬
‫)‪ (n − 1)*(n − 1‬המתקבלת מ‪ A‬על ידי מחיקת השורה ה ‪ i‬והעמודה ה ‪ j‬ב‪A‬‬
‫‪ .49‬מטריצה משולשית עליונה‪ :‬מטריצה שבה ‪∀i > j.Aij = 0‬‬
‫‪ .50‬מטריצה משולשית תחתונה‪ :‬מטריצה שבה ‪∀i < j.Aij = 0‬‬
‫‪ .51‬ון דר מונד‪ :‬מטריצה )‪ A∈Mn×n (R‬שמקיימת ‪∃x∀1 ≤ i, j ≤ n.Aij = (xi )j−1‬‬
‫‪:Ai .52‬מטריצה המתקבלת מ‪ A‬על ידי החלפת העמודה ה ‪ i‬בעמודת המקדמים החופשיים‬
‫‪ .53‬מטריצה מוצמדת מסומנת ‪ adjA‬ומוגדרת‪(adjA)ij = (−1)i+j detMji A A∈Mn×n (R) :‬‬
‫‪ σ(j1 , ....jn ) .54‬היא תמורה של מספרים מ‪ 1‬עד ‪n‬‬
‫‪ .55‬תהי ‪ σ‬תמורה‪ 1 ≤ p < q ≤ n,‬אזי ‪ jp , jq‬מהווים סדר אם ‪ jp < jq‬ומהווים היפוך‬
‫אם ‪jp > jq‬‬
‫‪ .56‬תהי ‪ σ‬תמורה‪ ,‬הזוגיות של ‪ σ‬מסומנת כ‪ sgnσ‬מוגדרת כ‪det[ej1 , ......, ejn ] = (−1)ξ :‬‬
‫‪= ξ‬מספר ההיפוכים ב‪σ‬‬
‫‪ .57‬מטריצה )‪ A∈M2n×2n (R‬תקרא מטריצת בלוקים אם היא מורכבת מבלוקים )תתי‬
‫מטריצות( לדוגמא‪:‬‬
‫‪=A‬‬
‫‬
‫‬
‫‪B C‬‬
‫‪D E‬‬
‫‪ .58‬שדה‪ :‬קבוצה ‪ F‬עם שתי פונקציות‬
‫חיבור‪ϕ : F × F → F :‬‬
‫כפל‪ψ : F × F → F :‬‬
‫‪ψ(x, y) = x ∗ y‬‬
‫סימון‪ϕ(x, y) = x + y :‬‬
‫שמקיימות ) ‪:(∀a, b, c ∈ F‬‬
‫‪a + b = b + a.1‬‬
‫‪(a + b) + c = a + (b + c).2‬‬
‫‪∃0∈F.a + 0 = a.3‬‬
‫‪∃−a∈F.a + (−a) = 0.4‬‬
‫‪a ∗ b = b ∗ a.5‬‬
‫‪(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).6‬‬
‫‪∃1∈F.1 ∗ a = a.7‬‬
‫‪(a + b) ∗ c = a ∗ c + b ∗ c.8‬‬
‫‪∀a 6= 0∃a−1 ∈F.a ∗ d = 1.9‬‬
‫‪1 6= 0.10‬‬
‫‪ x .59‬שקול מודולו ‪ n‬ל‪ y‬אם )‪ (x − y‬מתחלק ב‪ n‬סימון‪(x − y) :‬‬
‫‪ Zn .60‬שדה מחלקות השקילות של מודולו ‪ n‬כשהכפל והחיבור מוגדרים כרגיל רק‬
‫שלוקחים מודולו ‪ n‬בסוף הפעולה‬
‫‪ .61‬יהי ‪ F‬שדה כמות האיברים ב‪ F‬מסומנת ‪|F| :‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ .62‬יהי ‪ F‬שדה המציין של ‪ F‬המסומן ‪ charF‬הוא המספר המינימלי ‪ n‬המקיים ‪1 + 1 +‬‬
‫‪ n 1 + 1 + 1.. + 1‬פעמים =‪ 0‬אם אין ‪ n‬כזה אז מסומן ‪charF = 0‬‬
‫‪ .63‬מרחב וקטורי מעל שדה ‪ F‬הוא בדיוק כמו מרחב וקטורי מעל ‪ R‬כאשר הסקלרים‬
‫נלקחים מהשדה ‪F‬‬
‫‪ .64‬תלות לינארית מעל ‪ F‬זהה לתלות לינארית מעל ‪ R‬כאשר הלמבדות נלקחים מהשדה ‪F‬‬
‫‪ span .65‬של סדרת וקטורים ‪ K‬מעל ‪ F‬מוגדר באופן שקול כחיתוך כל תתי המרחב‬
‫הלינאריים המכילים את ‪K‬‬
‫‪ S‬וקטורי מעל ‪ F‬ו ‪ M1 , ...Ms ⊂ V‬תתי מרחב סכומם מוגדר‪:‬‬
‫‪ .66‬יהי ‪SV‬מרחב‬
‫) ‪M1 + M2 + ..... + Ms = span(M1 ... Ms‬‬
‫‪L L‬‬
‫‪ M‬אזי סכומם יקרא ישר ויסומן ‪M1 ... Ms‬‬
‫‪ .67‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל ‪ F‬ו ‪, ...Ms ⊂ V‬‬
‫‪T1P‬‬
‫‪s‬‬
‫~‬
‫‪Mi‬‬
‫אם ורק אם }‪j=1,j6=i Mi = {0‬‬
‫‪ .68‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי נוצר סופית מעל ‪ F‬יהי ‪ e1 , ...es‬בסיס של ‪ V‬לכל ‪ v∈V‬קיימת‬
‫הצגה יחידה‪v = v1 e1 + ....vs es :‬‬
‫הסדרה ‪ v1 , ...vs‬נקראת סדרת הקואורדינטות של ‪ v‬ביחס לבסיס ‪e1 , ...es‬‬
‫‪ .69‬מטריצת מעבר‪ :‬יהיו שני בסיסים של ‪V‬־‪ e01 , ...e0s ='e,e1 , ...es =e‬אזי לכל וקטור בבסיס‬
‫‪ 'e‬הצגה יחידה ‪ e0i = c1i e1 + ....csi es‬אזי המטריצה ‪ C‬המוגדרת ‪) Cij = cij‬העמודה‬
‫ה‪ i‬היא הקואורדינטות של ‪ e0i‬לפי הבסיס ‪(e‬‬
‫‪ .70‬מטריצת וקטורים היא מטריצה שבה כל כניסה היא וקטור ומכפלתה מוגדרת רק‬
‫כמכפלה במטריצת סקלרים ומתקיימיםפ כל החוקים להכפלה רגילה‬
‫‪ .71‬לפי ההגדרה הקודמת ניתן להעתיק את ההגדרה לפניה כך ‪[e01 , ...., e0s ] = [e1 , ......es ]C‬‬
‫‪ .72‬טרנספורמציה לינארית‪ :‬יהיו ‪ U,V‬מרחבים וקטוריים מעל ‪ F‬טרספורמציה לינארית‬
‫היא פונקציה‪ ϕ : V → U :‬שמקיימת‪:‬‬
‫‪ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y).1‬‬
‫‪ϕ(λx) = λϕ(x) .2‬‬
‫‪ .73‬תהי ‪ ϕ‬טרספורמציה לינארית מ‪ V‬ל‪ U‬אזי ‪ ϕ‬תיקרא‪:‬‬
‫מונומורפיזם אם ‪ ϕ‬חד חד ערכית‬
‫אפימורפיזם אם ‪ ϕ‬היא על ‪U‬‬
‫איזומורפיזם אם ‪ ϕ‬היא גם חד חד ערכית וגם על ‪U‬‬
‫‪ ϕ : X → Y .74‬טרנספורמציה לינארית }‪Imϕ = {y ∈ Y |∃x ∈ X, ϕ(x) = y‬‬
‫‪ ϕ : X → Y .75‬טרנספורמציה לינארית } ‪Ker(nel)ϕ = {x ∈ X|ϕ(x) = 0Y‬‬
‫‪ .76‬יהיו ‪ V, W‬מרחבים וקטורים‪ ,‬אזי הם יקראו איזומורפיים אם קיים איזמורפיזם בינהם‬
‫)יחס זה הוא יחס שקילות(‬
‫‪ .77‬תהי ‪ ϕ : V → W, dimV = n, dimW = m‬טרנספורמציה לינארית ויהיו ]‪[f ],[e‬‬
‫בסיסים ב‪ V‬ו‪ W‬בהתאמה אזי המטריצה של ‪ ϕ‬לפי בסיסים אלו היא מטריצה ‪Am×n‬‬
‫שהעמודה ‪ i‬שלה זאת עמודת הקואורדינטות של ) ‪ ϕ(ei‬לפי ] ‪[f‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ } .78‬טרנספורמציה לינארית ‪L(V, W ) = {ϕ : V → W |ϕ‬‬
‫‪ .79‬מרחב דואלי ) ‪ V ∗ = L(V, F‬איבר במרחב דואלי יקרא פונקציונל לינארי‬
‫‪7‬‬
‫‪2‬‬
‫משפטים ומסקנות‬
‫‪ .1‬תהי ‪ A‬מטריצה‪ ,‬ניתן להביא אותה לצורה מדורגת קנונית תוך שימוש בפעולות‬
‫אלמנטריות‬
‫‪ .2‬לכל מערכת משוואות לינארית אחד מהבאים‪:‬‬
‫‪ 0.1‬פתרונות‬
‫‪.2‬פתרון יחיד‬
‫‪.3‬אינסוף פתרונות‬
‫‪ .3‬אם למערכת יותר משתנים ממשוואות אזי לא יכול להיות לה פתרון יחיד‬
‫‪ .4‬בכל מערכת משוואות הומוגנית יש או פתרון יחיד=הפתרון הטריוואלי או אינסוף‬
‫פתרונות ובינהם הפתרון הטריוואלי‬
‫‪∀~b,~a∈Rn ,∀λ∈R .5‬‬
‫‪~a+~b=~b+~a‬‬
‫‪~c+(~b+~a)=(~c+~b)+~a‬‬
‫‪~a=~0+~a‬‬
‫‪~0=~a+−~a‬‬
‫)‪λ~b+λ~a=λ(~b+~a‬‬
‫‪µ~a+λ~a=(µ+λ)~a‬‬
‫‪µ(λ~a)=(µλ)~a‬‬
‫‪~a=1~a‬‬
‫‪ .6‬במערכת הומוגנית סכום של ‪ 2‬פתרונות וכפל פתרון כלשהו בסקלר הם גם פתרונות‬
‫)קבוצת הפתרונות של מערכת הומוגנית היא תת מרחב לינארי של ‪(Rn‬‬
‫‪ .7‬קבוצת הפתרונות של מערכת משוואות כללית היא‪:‬‬
‫} ‪ ~v ∈Rn‬פתרון של המערכת בצורתה ההומוגנית ‪ c~0 ∈Rn ,‬פתרון של המערכת| ‪{c~0 +~v‬‬
‫‪ R[a,b] .8‬עם הפעולות של חיבור וכפל בסקלרים )הסטנרדטיות( זה מרחב וקטורי‬
‫‪ .9‬עכשיו יבואו הרבה משפטים למרחבים וקטוריים‪:‬‬
‫‪b+c=a+b−→b=c.1‬‬
‫‪.2‬האיבר הנייטרלי ביחס לחיבור הוא יחיד‬
‫‪.3‬לכל ‪ v∈V‬הנגדי שלו הוא יחיד‬
‫‪λ∈R λ*~0=~0.4‬‬
‫‪W v∈V 0*~v =~v .5‬‬
‫‪λ=0 ~v =~0 ↔ λ*~v =~0.6‬‬
‫‪v∈V −1*~v =−~v .7‬‬
‫‪ .10‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי ‪ L⊂V‬אזי‪:‬‬
‫‪~0∈L.1‬‬
‫‪∀~v ∈L | −~v ∈L.2‬‬
‫‪.3‬כל צירוף לינארי של וקטורים מ‪ L‬שייך ל‪L‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ .11‬יהי ‪ TV‬מרחב וקטורי תהי ‪ {Lα |α ∈ A}=S‬משפחה של תתי מרחב לינאריים אזי‬
‫‪ S⊂V‬תת מרחב לינארי‬
‫‪ span{x1 , x2 , ...., xs } .12‬תמיד תת מרחב לינארי )הוא גם נקרא תת מקחב שנפרס על‬
‫ידי } ‪({x1 , x2 , ...., xs‬‬
‫‪ .13‬כל סדרת וקטורים המכילה את ‪ ~0‬היא תלויה לינארית‬
‫‪ .14‬כל סדרת וקטורים המכילה את אותו וקטור פעמיים היא תלויה לינארית‬
‫‪ .15‬אם סדרה } ‪ {x1 , x2 , ...., xs‬בלתי תלויה לינארית אזי כל תת סדרה שלה בלתי תלויה‬
‫לינארית‪ ,‬ההיפך לא בהכרח נכון‬
‫‪ .16‬סדרה בת וקטור אחד תלויה לינארית אם ורק אם הוקטור שווה ל‪~0‬‬
‫‪ .17‬סדרה בת שתי וקטורים תלויה לינארית אם ורק שני הוקטורים פרופורציוניים‬
‫‪ .18‬נניח ‪ V‬מרחב וקטורי שנפרש על ידי סדרת וקטורים בגודל ‪ n‬אזי כל סדרה בלתי‬
‫תלויה לינארית ב־‪ V‬היא בת לכל היותר ‪ n‬וקטורים‬
‫‪.1 .19‬בכל מרחב וקטורי ‪ V‬נוצר סופית קיים בסיס וכל בסדרה בלתי תלויה לינארית ניתן‬
‫להשלים עד לבסיס‬
‫‪.2‬בכל מרחב וקטורי ‪ V‬לכל הבסיסים אותו מספר איברים‬
‫‪.3‬בכל מרחב וקטורי ‪ V‬כל סדרה (סופית) ניתן לצמצם עד לבסיס‬
‫‪ .20‬נניח } ‪ ~y ∈span{x1 , x2 , ...., xs‬אזי } ‪span{x1 , x2 , ...., xs , y}=span{x1 , x2 , ...., xs‬‬
‫‪ .21‬יהי ‪ V‬מרחב וקטוי נוצר סופית ‪dimV=n‬‬
‫‪.1‬כל סדרה בת ‪ n‬איברים שהיא בלתי תלויה לינארית היא גם בסיס של ‪V‬‬
‫‪.2‬כל סדרה בת ‪ n‬איברים שהיא פורשת את ‪ V‬היא גם בסיס של ‪V‬‬
‫‪ .22‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי נוצר סופית ‪,‬אזי כל תת מרחב לינארי ‪ W ⊂ V‬גם נוצר סופית‬
‫‪ .23‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי ותהי ‪ x1 , x2 , ...., xs‬סדרה הפורשת אותו‪ ,‬אזי לכל ‪ v∈V‬קיימת‬
‫הצגה על ידי צירוף לינארי של ‪ x1 , x2 , ...., xs‬והיא יחידה‬
‫‪ Mn×m (R) .24‬ביחד עם פעולות החיבור וכפל הסטנדרטיות של מטריצות הוא מרחב‬
‫וקטורי‬
‫‪dimMn×m (R)=m*n .25‬‬
‫‪ .26‬כפל מטריצות הוא לא קומוטטבי‬
‫‪ .27‬כפל מטריצות הוא דיסטריבוטיבי מימין ומשמאל ואסוציאטיבי‬
‫‪ .28‬תהי )‪A∈Mn×m (R‬‬
‫‪In ∗ A = A.1‬‬
‫‪A ∗ Im = A.2‬‬
‫‪δij =(In )ij .29‬‬
‫‪9‬‬
‫‪(At )t = A.1 .30‬‬
‫‪(λA)t = λAt .2‬‬
‫‪(A + B)t = At + B t .3‬‬
‫‪(A ∗ B)t = B t ∗ At .4‬‬
‫‪ A∈Mn×n (R) .31‬אם ‪ A‬הפיכה מימין או הפיכה משמאל אז ‪ A‬הפיכה‬
‫‪ A∈Mn×n (R) .32‬אם ‪ A‬הפיכה אז ההופכית שלה היא יחידה ומסומנת‪A−1 :‬‬
‫‪ A∈Mn×n (R) .33‬אם ל‪ A‬עמודת אפסים או שורת אפסים אזי ‪ A‬לא הפיכה‬
‫‪ .34‬נתונה מערכת משוואות לינארית ‪ A∈Mn×n (R) A*x=b‬אם ‪ A‬הפיכה קיים למערכת‬
‫פתרון יחיד והוא ‪A−1 *b‬‬
‫‪ A∈Mn×n (R) .35‬תהי ‪ A‬הפיכה אזי‪:‬‬
‫‪ A−1 .1‬הפיכה ו ‪(A−1 )−1 = A‬‬
‫‪ At .2‬הפיכה ו ‪(At )−1 = (A−1 )t‬‬
‫‪ B∈Mn×n (R) .3‬הפיכה אזי ‪ A*B‬הפיכה ו‬
‫‪(A ∗ B)−1 = B −1 ∗ A−1‬‬
‫‪ A∈Mn×n (R) .36‬אלכסונית אזי ‪ A‬הפיכה אם ורק אם ‪∀1 ≤ i, j ≤ n i = j → Aij 6= 0‬‬
‫‪ .37‬תהי ‪ ϕ‬פעולה אלמנטרית על השורות אזי )‪ϕ(I) ∗ A=ϕ(A‬‬
‫‪ .38‬תהי ‪ ψ‬פעולה אלמנטרית על העמודות אזי )‪ψ(A) = A ∗ ψ(I‬‬
‫‪ .39‬יהיו ‪ ϕ1 , ϕ2 , ...., ϕk‬פעולות אלמנטריות אזי‪:‬‬
‫‪ϕ1 (ϕ2 (.....ϕk (A)) = ϕ1 (I) ∗ ϕ2 (I)..... ∗ ϕk (I) ∗ A‬‬
‫‪ϕ−1 (ϕ(A)) = ϕ(ϕ−1 (A)) = A .40‬‬
‫‪ .41‬כל מטריצה אלמנטרית היא הפיכה וההופכית שלה היא גם מטריצה אלמנטרית‬
‫‪ A,B∈Mn×n (R) .42‬נניח ‪ A‬הפיכה אזי ‪ B‬הפיכה אם ורק אם ‪ A*B‬הפיכה‬
‫‪ .43‬כל מטריצה ‪ A‬ניתן להציג ‪ ϕk (I)...ϕ2 (I)ϕ1 (I)B=A‬כש‪ B‬מטריצה מדורגת קנונית‬
‫‪ A,B∈Mn×n (R) .44‬אם ‪ In =A*B‬אזי ‪In =B*A‬‬
‫‪ A A∈Mn×n (R) .45‬הפיכה אם ורק אם צורתה המדורגת קנונית היא ‪ In‬והשיטה למציאת‬
‫הפיכה היא להוסיף את ‪ In‬מימין ל‪ A‬ולדרג את שניהם ביחד‪ ,‬אם מדרגים את ‪ A‬ומגיעים‬
‫ל ‪ In‬אז המטריצה שנוצרה מ ‪ In‬היא ההופכית של ‪ A‬אחרת ‪ A‬לא הפיכה‬
‫‪ .1 .46‬שקילות שורות הוא יחס שקילות‬
‫‪ A∈Mn×n (R) .47‬הטענות הבאות שקולות‪:‬‬
‫‪ A.1‬הפיכה‬
‫‪ .2‬קיים ‪ b∈Rn‬למערכת הלינארית ‪ A*x=b‬פתרון יחיד‬
‫‪ A .3‬שקולת שורות ל ‪In‬‬
‫‪ .4‬השורות של ‪ A‬בלתי תלויות לינארית‬
‫‪ .5‬העמודות של ‪ A‬בלתי תלויות לינארית‬
‫‪ 0≤ rkA A∈Mn×n (R) .48‬ו‪ 0=rkA‬אם ורק אם ‪0=A‬‬
‫‪10‬‬
‫‪n=rkIn .49‬‬
‫‪rkA≤min{n,m} A∈Mm×n (R) .50‬‬
‫‪ n=rkA A∈Mm×n (R) .51‬אם ורק אם ‪ A‬הפיכה‬
‫‪rkAt =rkA .52‬‬
‫‪ .53‬לכל המטריצות השקולות שורה אותה דרגה‬
‫‪ .54‬דרגת מטריצה מדורגת )לאו דווקא קנונית( שווה למספר השורות‬
‫‪ .55‬דרגת מטריצה לא משתנה עם פעולות אלמנטריות על שורות או עמודות‬
‫‪min{A,B} ≥rk(A*B) .56‬‬
‫‪λn *detA=det(λA) A∈Mm×n (R) .57‬‬
‫‪ .58‬לכל מטריצה הדטרמיננטה היא יחידה‬
‫‪ .59‬השינויים בדרמיננטה בעקבות הפעלת פעולות אלמנטריות‪:‬‬
‫‪−detA=detϕ(A) ϕ : Ri ↔ Rj .1‬‬
‫‪λ ∗ detA=detϕ(A) ϕ : Ri ← λRi .2‬‬
‫‪detA=detϕ(A) ϕ : Ri ← Ri + λRj .3‬‬
‫‪detA=A11 ∗ A22 − A21 ∗ A12 A∈M2×2 (R) .60‬‬
‫‪det(A ∗ B) = detA ∗ detB A,B∈Mn×n (R) .61‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪ .62‬פיתוח לפי שורה‪detA = j=1 (−1)j+i Aij ∗ detMij (A) 1 ≤ i ≤ n:‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪ .63‬פיתוח לפי עמודה‪detA = i=1 (−1)i+j Aij ∗ detMij (A) 1 ≤ j ≤ n:‬‬
‫‪ detA = 0 .64‬אם ורק אם ‪ A‬לא הפיכה‬
‫‪detAt = detA .65‬‬
‫‪A∈M3×3 (R) .66‬‬
‫‪detA = (A11 A22 A33 +A12 A23 A31 +A13 A21 A32 )−(A13 A22 A31 +A11 A23 A32 +‬‬
‫) ‪A12 A21 A33‬‬
‫‪Qn‬‬
‫‪detA = i=1 λi‬‬
‫‪ A∈Mn×n (R) .67‬משולשית כך ש ‪∀1 ≤ i ≤ n.Aii = λi‬‬
‫‪Qn Qn‬‬
‫‪ A∈Mn×n (R) .68‬מטריצת ון דר מונד ) ‪ detA = j=1 i=j+1 (xi −xj‬מספר הגורמים‬
‫‬
‫‪n‬‬
‫שווה ‪2‬‬
‫‪ .69‬נתונה מערכת משוואות ‪ Ax=b‬נניח ‪ A‬הפיכה אז קיים פתרון יחיד ] ‪x=[c1 , c2 , ...cn‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ci = detA‬‬
‫כש ‪detA‬‬
‫‪adjA ∗ A = A ∗ adjA = detA ∗ In .70‬‬
‫‪1‬‬
‫‪detA‬‬
‫‪ A∈Mn×n (R) .71‬נניח ‪ A‬הפיכה אזי ‪∗ adjA‬‬
‫‪P‬‬
‫‪detA = σ sgnσ ∗ a1σ(1) ∗ ... ∗ anσ(n) .72‬‬
‫‪11‬‬
‫= ‪A−1‬‬
‫‪A∈M2n×2n (R) .73‬‬
‫‪=A‬‬
‫‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫אזי ‪detA = detB ∗ detC‬‬
‫‪ .74‬יהי ‪ F‬שדה ) ‪:(∀a ∈ F‬‬
‫‪ .1‬האיבר נייטרלי ביחס לחיבור הוא יחיד‬
‫‪ .2‬האיבר נייטרלי ביחס לכפל הוא יחיד‬
‫‪ .3‬לכל ‪ a‬האיבר הנגדי של ‪ a‬הוא יחיד‬
‫‪ .4‬לכל ‪ a‬האיבר ההופכי של ‪ a‬הוא יחיד‬
‫‪a + b = a + c → b = c.5‬‬
‫‪a ∗ 0 = 0.6‬‬
‫‪(−1) ∗ a = −a.7‬‬
‫‪a ∗ b = 0 → a = 0 ∨ b = 0.8‬‬
‫‪a 6= 0 ∧ a ∗ b = a ∗ c → b = c.9‬‬
‫‪ .75‬שקילות מודולו ‪ n‬היא יחס שקילות וכל הנובע מכך )המחלקות זרות וכו‪(..‬‬
‫‪n=|Zn | .76‬‬
‫‪ Zn .77‬מקיים את כל אקסיומות השדה אם ורק אם ‪ n‬ראשוני‬
‫‪ .78‬יהי ‪ F‬שדה אזי ‪ charF‬הוא ‪ 0‬או מספר ראשוני‬
‫‪ .79‬יהי ‪ F‬שדה אם ב‪ F‬מספר סופי של איברים אזי ‪charF 6= 0‬‬
‫‪ .80‬יהי ‪ F‬שדה ו‪ charF = p‬אזי ‪r ∈ N |F | = pr‬‬
‫‪ .81‬יהי ‪ p‬ראשוני אזי לכל ‪ r ∈ N‬קיים שדה בין ‪ pr‬איברים‬
‫‪ .82‬תהי ‪ K‬סדרת וקטורים מעל ‪F‬‬
‫‪K ⊂ spanK.1‬‬
‫‪K1 ⊂ K2 → spanK1 ⊂ spanK2 .2‬‬
‫‪.3‬אם ‪ L‬תת מרחב לינארי אזי ‪spanL = L‬‬
‫‪.4‬אם ‪ L‬תת מרחב לינארי ו‪ K ⊂ L‬אזי ‪spanK ⊂ L‬‬
‫‪M1 + ... + Ms = {x1 + .... + xs |x1 ∈ M1 , ..., xs ∈ Ms } .83‬‬
‫‪T‬‬
‫‪ .84‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי ויהיו ‪ M1 , M2 ⊂ V‬תתי מרחבים נוצרים סופית אזי ‪M2 , M1 +‬‬
‫‪ T‬נוצרים סופית ו‪:‬‬
‫‪ M2‬גם‬
‫) ‪dim(M1 + M2 ) = dimM1 + dimM2 − dim(M1 M2‬‬
‫‪Ps‬‬
‫‪ .85‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל ‪ F‬ו ‪ M1 , ...Ms ⊂ V‬כך ש ‪ i=1 Mi = V‬אזי הדברים‬
‫שקולים‪:‬‬
‫הבאים‪L L‬‬
‫‪ M1 .... Ms .1‬סכום ישר‬
‫‪ .2‬לכל ‪ v∈V‬קיימת הצגה יחידה ‪ v = m1 + ....ms‬כך שלכל ‪mi ∈ Mi i‬‬
‫‪ .3‬קיים וקטור ב‪ V‬שהצגתו בשיטה מ‪ 2‬יחידה‬
‫‪.4‬אם ‪ 0 = m1 + ....ms‬אז לכל ‪mi = 0 i‬‬
‫‪.5‬הבסיס של ‪ V‬הוא איחוד הבסיסים של ה‪M‬ים‬
‫‪dimV = dimM1 + ... + dimMs .6‬‬
‫‪12‬‬
‫‪M1‬‬
‫‪ .86‬לכל קבוצת תתי מרחבים מימד סכומם קטן או שווה לסכום מימדיהם‬
‫‪ .87‬אם ‪ v1 , ..., vs‬סדרה בלתי תלויה לינארית ו]‪ [v‬מטריצת וקטורים שאיבריה הם וקטורי‬
‫הסדרה ‪ ,‬ו‪ A‬מטריצת סקלרים אזי‪:‬‬
‫‪[v]A = [0, ..., 0] → A = 0‬‬
‫‪ .88‬אם ‪ e‬ו ‪ 'e‬שני בסיסים של מרחב וקטורי כלשהו ו ‪ [e0 ] = [e]T‬אזי ‪ T‬היא מטריצת‬
‫המעבר מ‪ e‬ל‪'e‬‬
‫‪ .89‬אם ‪ ''e,'e,e‬בסיסים ו‪ C‬מטריצת מעבר מ‪ e‬ל‪ 'e‬ו‪ D‬מטריצת מעבר מ‪ 'e‬ל‪ ''e‬אזי ‪ CD‬מעבר‬
‫מ‪ e‬ל ‪''e‬‬
‫‪ .90‬תהי ‪ C‬מטריצת מעבר מ‪ e‬ל‪ 'e‬אזי ‪ C‬הפיכה ו ‪ C −1‬מעבר מ‪ 'e‬ל‪e‬‬
‫‪ .91‬יהי ‪ x‬וקטור במרחב וקטורי ‪ V‬ושני בסיסים ‪ e‬ו ‪ 'e‬כך ש ‪ C‬מטריצת מעבר מ‪ e‬ל‪'e‬‬
‫‪ x = x01 e01 + .... + x0s e0s ,x = x1 e1 + .... + xs es‬אזי ‪[x1 , ..., xs ]t = C[x01 , ....x0s ]t‬‬
‫‪ .92‬תהי ‪ ϕ‬טרספורמציה לינארית אזי‪:‬‬
‫‪ϕ(0V ) = 0U .1‬‬
‫‪ϕ(−x) = −ϕ(x) .2‬‬
‫‪ϕ(λ1 x1 + .... + λs xs ) = λ1 ϕ(x1 ) + .... + λs ϕ(xs ) .3‬‬
‫‪ .93‬הרכבה של שתי טרנספורמציות לינאריות היא טרספורמציה לינארית ואם שתיהן‬
‫מאותו סוג )אפימורפיזם‪,‬מונומורפיזם‪,‬איזומורפיזם( אזי הרכבתן היא מאותו סוג‬
‫‪ .94‬אם סדרה היא בלתי תלויה לינארית אזי סדרת התמונות של איבריה היא לאו דווקא‬
‫בלתי תלויה לינארית‬
‫‪ .95‬אם סדרה היא תלויה לינארית אזי סדרת התמונות של איבריה היא תלויה לינארית‬
‫‪ ϕ : X → Y .96‬טרנספורמציה לינארית אם ‪ ϕ‬איזומורפיזם אזי היא הפיכה ו ‪ ϕ−1‬היא‬
‫גם טרנספורמציה לינארית והיא גם איזומורפיזם‬
‫‪ ϕ : X → Y .97‬טרנספורמציה לינארית ‪ Imϕ‬הוא תת מרחב לינארי ו‪ Kerϕ‬הוא תת‬
‫מרחב לינארי‬
‫‪ ϕ : X → Y .98‬טרנספורמציה לינארית אזי ‪ ϕ‬מונומורפיזם אם ורק אם } ‪Kerϕ = {0X‬‬
‫‪ .99‬נוסחת המימד‪ :‬תהי ‪ ϕ : V → W‬טרנספורמציה לינארית‪ ,‬אזי‪:‬‬
‫‪dimImϕ + dimKerϕ = dimV‬‬
‫‪ .100‬נוסחת המימד‪ :‬תהי ‪ ϕ : V → W‬טרנספורמציה לינארית‪ ,‬ומתקיים ‪dimV = dimW‬‬
‫אזי שלושת הדברים הבאים שקולים‪:‬‬
‫‪ ϕ.1‬אפימורפיזם‬
‫‪ ϕ.2‬מונומורפיזם‬
‫‪ ϕ.3‬איזומורפיזם‬
‫‪ .101‬יהיו ‪ V, W‬מרחבים וקטוריים אזי ‪ V‬איזומורפי ל‪ W‬אם ורק אם ‪dimV = dimW‬‬
‫מסקנה מהמשפט‪ :‬כל מרחב וקטורי ממימד ‪ n‬איזומורפי ל ‪F n‬‬
‫‪13‬‬
‫‪ .102‬תהי ‪ ϕ : V → W‬טרנספורמציה לינארית‪,‬יהיו ]‪ [f ],[e‬בסיסים ותהי ‪ A‬מטריצה של ‪ϕ‬‬
‫לפי בסיסים אלו אזי ‪:‬‬
‫‪∀x = x1 e1 + ...xn en , ϕ(x) = y1 f1 + ...ym fm .[y1 , ..., yn ]t = A[x1 , ...xn ]t‬‬
‫‪ .103‬תהי ‪ ϕ : V → W‬טרנספורמציה לינארית ויהיו ] ‪ [e], [e0‬בסיסים של ‪ V‬כש‪ C‬מטריצה‬
‫מעבר מ]‪ [e‬ל ] ‪ [e0‬ויהיו ] ‪ [f ], [f 0‬בסיסים של ‪ W‬כש‪ B‬מטריצה מעבר מ] ‪ [f‬ל ] ‪ [f 0‬ו‪A‬‬
‫מטריצה של ‪ ϕ‬ביחס ל] ‪ [e], [f‬ו'‪ A‬מטריצה של ‪ ϕ‬לפי ] ‪ [e0 ], [f 0‬אז מתקיים‪:‬‬
‫‪A−1 = B −1 AC‬‬
‫‪ .104‬הפונקציה ממרחב הטרנספורמציות הלינאריות בין‪ V‬ל‪ W‬למרחב המטריצות בגודל‬
‫‪ m × n‬היא איזומורפיזם של מרחבים וקטוריים‬
‫‪ L(V, W ) .105‬מרחב וקטורי עם הפעולות )‪,(ϕ1 + ϕ2 )(x) = ϕ1 (x) + ϕ2 (x‬‬
‫)‪(λϕ)(x) = λϕ(x‬‬
‫‪ .106‬יהיו ‪ ϕ1 , ϕ2 : V → W‬טרנספורמציות לינאריות ויהיו ‪ Aϕ , Aψ‬המטריצות שלהן לפי‬
‫אותם בסיסים אזי ‪Aλϕ = λAϕ ,Aϕ+ψ = Aϕ + Aψ‬‬
‫‪dimL(V, W ) = dimV ∗ dimW .107‬‬
‫‪ .108‬יהיו ‪ ϕ : V → W, ψ : W → U‬ויהיו ]‪ [b],[f ],[e‬בסיסים ב‪ U,W,V‬בהתאמה ונסמן ‪Aϕ‬‬
‫את המטריצה של ‪ ϕ‬לפי בסיסים אלו ו ‪ Aψ‬את המטריצה של ‪ ψ‬לפי בסיסים אלו אזי‬
‫מטריצת ההרכבת ‪ Aψ◦ϕ‬מקיימת ‪Aψ◦ϕ = Aψ ∗ Aϕ‬‬
‫‪ .109‬תהי ‪ ϕ : V → W‬טרנספורמציה לינארית ותהי ‪ A‬מטריצה של ‪ ϕ‬לפי בסיסים כלשהם‬
‫אזי מתקיים ‪rkA = dimImϕ‬‬
‫‪dimV ∗ = dimV .110‬‬
‫‪ .111‬כל פונקציונל לינארי ‪ f‬על ‪ F n‬הוא מהצורה ‪f ((x1 , ...xn )) = a1 x1 + .... + an xn‬‬
‫וכל וקטור ‪ a‬כזה מוגדר באופן יחיד על ידי הפונקציונל‬
‫‪ meti‬יהי ]‪ [e‬בסיס של ‪ V‬נגדיר ]‪ [ε‬מתוך ∗ ‪ V‬כך ש ‪ εi (ej ) = δij‬אזי ]‪ [ε‬בסיס של ∗ ‪V‬‬
‫ומתקיים ‪∀ϕ ∈ V ∗ .ϕ = ϕ(e1 )ε1 + .... + ϕ(en )εn‬‬
‫‪14‬‬