רשימת משפטים ללינארית 1 עם סמיון
רשימת משפטים ללינארית 1עם סמיון
רשימת משפטים מותרים לשימוש בבחינה לאלגברה לינארית 1א ללומדים עם סמיון
1
1
הגדרות
.1מערכת הומוגנית:מערכת משוואות שבה וקטור המקדמים החופשיים שווה ~0
.2מערכות שקולות:שתי מערכות משוואות שקבוצות הפתרונות שלהן שוות
.3שינויים אלמנטריים:
Ri ↔ Rj .1
Ri ← λRi .2
Ri ← Ri + λRj .3
.4מטריצה p × q:זה מלבן עם pשורות ו־ qעמודות
.5איבר פותח בשורה במטריצה :האיבר הראשון בשורה השונה מ0
.6מטריצה מדורגת היא מטריצה ש:
.1כל שורות האפסים אם קיימות נמצאות מתחת לכל השורות שאינן שורות אפסים
.2איבר פותח של כל שורה שאינה שורת אפסים נמצא מימין לכל האיברים הפותחים
של השורות שמעליו
במטריצה מדורגת קנונית מתקיים בנוסף:
.1האיבר הפותח בכל שורה שאינה שורת אפסים שווה 1
.2האיבר הפותח הוא האיבר היחיד בעמודה שלו ששונה מ0
.7משתנה שקיים איבר פותח בעמודה שלו נקרא משתנה קשור
משתנה שאינו קשור נקרא משתנה חופשי
.8פתרון טריוואלי :הפתרון ~0
.9מרחב : Rnקבוצת כל הn־יות של מספרים ממשיים
(a1 , a2 ......an )=~a∈ Rn .10
(a1 + b1 , a2 + b2 .......an + bn ) ∈ Rn =~b ∈ Rn +~a ∈ Rn .11
(λ ∗ a1 , λ ∗ a2 ......λ ∗ an ) ∈ Rn =λ ∗ ~a ∈ Rn .12
.13וקטור האפס~0 :
.14וקטור נגדי−~a ∈ Rn =(−a1 , −a2 ...... − an ) ∈ Rn :
.15תת קבוצה לא ריקה L ⊂ Rnנקראת תת מרחב לינארי של Rnאם מתקיימים
∀ ~x∈L,∀λ∈R | λ~x∈L .1
∀ ~y ,~x∈L | ~y +~x∈L .2
.16צורה הומוגנית של מערכת משוואות:
מערכת משוואות שזהה לקודמת חוץ מעמודת המקדמים החופשיים שמוחלפת ב~0
.17מכפלה קרטזית של קבוצות:
}X × Y ={(x,y)|x∈X,y∈Y
2
.18מרחב וקטורי מעל Rזאת קבוצה Vעם שתי פונקציות:
חיבורf: V × V −→V :
כפל בסקלרg: R × V −→ V :
סימוןf(x,y)=x+y:
g(λ,x)=λ*xהפונקציות מקיימות:
∀~b,~a∈V ,∀λ∈R .19
~a+~b=~b+~a
~c+(~b+~a)=(~c+~b)+~a
~a=~0+~a
~0=~a+−~a
)λ~b+λ~a=λ(~b+~a
µ~a+λ~a=(µ+λ)~a
µ(λ~a)=(µλ)~a
~a=1~a
.20יהי Vמרחב וקטורי ,תת קבוצה L⊂Vנקראת תת מרחב לינארי )וקטורי( אם
מתקיימים:
L.1לא קבוצה ריקה
∀ ~x∈L,∀λ∈R | λ~x∈L .2
∀ ~y ,~x∈L | ~y +~x∈L .3
.21צירוף לינארי:סכום של וקטורים מתוך מרחב וקטורי Vמוכפלים במקדמים־
v~1 ,v~2 ,...,v~s ∈V λ1 ,λ2 ,...,λs ∈R λ1 *v~1 +λ2 *v~2 +...+λs *v~s
.22יהיה Vמרחב וקטורי ויהיו :x1 , x2 , ...., xs ∈V
}L=span{x1 , x2 , ...., xs }:={λ1 ∗ x1 + λ2 ∗ x2 + .... + λs ∗ xs |λ1 , λ2 , ...., λs ∈ R
הסדרה } {x1 , x2 , ...., xsנקראת פורשת את L
{x1 , x2 , ....,Pנקראת תלויה לינארית אם קיים צירוף לינארי שמקיים
.23הסדרה } xs
s λi 6= 0ששווה ל־~0
i=1
Ps
הסדרה נקראת בלתי תלויה לינארית אם לא קיים צירוף לינארי שמקיים i=1 λi 6= 0
ששווה ל־~0
.24הבסיס הסטנדרטי של Rn
} (0...,0,1,....,0)=ei , {e1 , e2 , ...., enכשה־ 1במקום ה־i
.25תהי סדרת וקטורים , {x1 , x2 , ...., xs } =Vתת סדרה שלה תוגדר ככל קבוצת וקטורים
} {x1 , x2 , ...., xr |r ≤ s, ∀i ≤ r : xi ∈ V
.26מרחב וקטורי נקרא נוצר סופית אם קיימת סדרה סופית שפורשת אותו
.27סדרה x1 , x2 , ...., xs ∈Vנקראת בסיס של Vאם היא בלתי תלויה לינארית ופורשת
את V
.28מימד של מרחב וקטורי Vהוא כמות האיברים בסדרה בלתי תלויה לינארית הפורשת
את Vומסומן dimV
3
.29יהי Vמרחב וקטורי ותהי x1 , x2 , ...., xsסדרה הפורשת אותו אזי לכל v∈Vסדרת
המקדמים בהצגה שלו על ידי צירוף לינארי של (λ1 , λ2 , ...., λs ) x1 , x2 , ...., xsנקראת
הקואורדינטות של vביחס לבסיס x1 , x2 , ...., xs
Mn×m (R) .30קבוצת כל המטריצות בעלות איברים ממשיים ובעלות nשורות ו m
עמודות
.31תהי Aמטריצה Aij ,מוגדר להיות האיבר במטריצה בשורה ה iבעמודה הj
.32נתונות ) A+B A,B∈Mn×m (Rמוגדר(A + B)ij =Aij + Bij :
.33נתונה ) A∈Mn×m (Rו λ ∈Rאזי λ ∗ Aמוגדרת(λA)ij =λ ∗ Aij :
Pn
(A ∗ B)ij k=1 Aik ∗ Bkj :B*A B∈Mm×p (R) ,A∈Mn×m (R) .34
.35מטריצת היחידהIn ∈Mn×n (R) :
∀1 ≤ i, j ≤ n i = j → Iij = 1, i 6= j → Iij = 0
0=δab ← a 6= b ,1=δab ← a = b: δ .36
.37ניתן לכתוב מערכת משוואות כמשוואה הבאה An∗m ∗xm,1 = bn∗1כאשר Aמטריצה
מקדמים xמטריצת עמודה של משתנים ו bמטריצה עמודה של מקדמים חופשיים
.38מטריצה מוחלפת :תהי ) A∈Mn×m (Rמטריצה ,אזי המטריצה המוצמדת המסומנת
) At ∈Mm×n (Rמוגדרת(At )ij = Aji :
.39מטריצה סימטרית:מטריצה ריבועית המקיימת At = A
.40מטריצה אנטי סימטרית :מטריצה ריבועית המקיימת At = −A
:A∈Mn×n (R) .41
A .1נקראת הפיכה מימין אם קיימת ) B∈Mn×n (Rכך ש In =B*A
A .2נקראת הפיכה משמאל אם קיימת ) B∈Mn×n (Rכך ש In =A*B
A .3נקראת הפיכה אם קיימת ) B∈Mn×n (Rכך ש In =A*B=B*A
A A∈Mn×n (R) .42תקרא מטריצה אלכסונית אם∀1 ≤ i, j ≤ n i 6= j → Aij = 0 :
.43מטריצה אלמנטרית :מטריצה המתקבלת מ Iעל ידי פעולה אלמנטרית אחת
.44תהי ϕפעולה אלמנטרית על שורות פעולה אלמנטרית הופכית ϕ−1מוגדרת כך:
ϕ−1 (ϕ(A)) = A
B A,B∈Mn×n (R) .45נקראת שקולת שורות ל Aאם ניתן לקבל את Bמ Aבעזרת מספר
פעולות אלמנטריות על שורות
.46תהי ) A∈Mn×n (Rמטריצה דרגת Aהיא מימד ה spanשל שורות של AומסומנתrkA :
.47הדטרמיננטה היא פונקציה ממרחב המטריצות הריבועיות ל Rשמקיימת:
det[R1 , ...., βRi , ...., Rn ]+det[R1 , ...., αRi , ...., Rn ]=det[R1 , ...., αRi +βRi , ...., Rn ].1
.2אם למטריצה Aשני שורות שוות אז 0=detA
1=detIn .3
4
.48מינור :עבור מטריצה ) A∈Mn×n (Rנסמן ב ) (1 ≤ i, j ≤ n) Mij (Aמטריצה מגודל
) (n − 1)*(n − 1המתקבלת מ Aעל ידי מחיקת השורה ה iוהעמודה ה jבA
.49מטריצה משולשית עליונה :מטריצה שבה ∀i > j.Aij = 0
.50מטריצה משולשית תחתונה :מטריצה שבה ∀i < j.Aij = 0
.51ון דר מונד :מטריצה ) A∈Mn×n (Rשמקיימת ∃x∀1 ≤ i, j ≤ n.Aij = (xi )j−1
:Ai .52מטריצה המתקבלת מ Aעל ידי החלפת העמודה ה iבעמודת המקדמים החופשיים
.53מטריצה מוצמדת מסומנת adjAומוגדרת(adjA)ij = (−1)i+j detMji A A∈Mn×n (R) :
σ(j1 , ....jn ) .54היא תמורה של מספרים מ 1עד n
.55תהי σתמורה 1 ≤ p < q ≤ n,אזי jp , jqמהווים סדר אם jp < jqומהווים היפוך
אם jp > jq
.56תהי σתמורה ,הזוגיות של σמסומנת כ sgnσמוגדרת כdet[ej1 , ......, ejn ] = (−1)ξ :
= ξמספר ההיפוכים בσ
.57מטריצה ) A∈M2n×2n (Rתקרא מטריצת בלוקים אם היא מורכבת מבלוקים )תתי
מטריצות( לדוגמא:
=A
B C
D E
.58שדה :קבוצה Fעם שתי פונקציות
חיבורϕ : F × F → F :
כפלψ : F × F → F :
ψ(x, y) = x ∗ y
סימוןϕ(x, y) = x + y :
שמקיימות ) :(∀a, b, c ∈ F
a + b = b + a.1
(a + b) + c = a + (b + c).2
∃0∈F.a + 0 = a.3
∃−a∈F.a + (−a) = 0.4
a ∗ b = b ∗ a.5
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).6
∃1∈F.1 ∗ a = a.7
(a + b) ∗ c = a ∗ c + b ∗ c.8
∀a 6= 0∃a−1 ∈F.a ∗ d = 1.9
1 6= 0.10
x .59שקול מודולו nל yאם ) (x − yמתחלק ב nסימון(x − y) :
Zn .60שדה מחלקות השקילות של מודולו nכשהכפל והחיבור מוגדרים כרגיל רק
שלוקחים מודולו nבסוף הפעולה
.61יהי Fשדה כמות האיברים ב Fמסומנת |F| :
5
.62יהי Fשדה המציין של Fהמסומן charFהוא המספר המינימלי nהמקיים 1 + 1 +
n 1 + 1 + 1.. + 1פעמים = 0אם אין nכזה אז מסומן charF = 0
.63מרחב וקטורי מעל שדה Fהוא בדיוק כמו מרחב וקטורי מעל Rכאשר הסקלרים
נלקחים מהשדה F
.64תלות לינארית מעל Fזהה לתלות לינארית מעל Rכאשר הלמבדות נלקחים מהשדה F
span .65של סדרת וקטורים Kמעל Fמוגדר באופן שקול כחיתוך כל תתי המרחב
הלינאריים המכילים את K
Sוקטורי מעל Fו M1 , ...Ms ⊂ Vתתי מרחב סכומם מוגדר:
.66יהי SVמרחב
) M1 + M2 + ..... + Ms = span(M1 ... Ms
L L
Mאזי סכומם יקרא ישר ויסומן M1 ... Ms
.67יהי Vמרחב וקטורי מעל Fו , ...Ms ⊂ V
T1P
s
~
Mi
אם ורק אם }j=1,j6=i Mi = {0
.68יהי Vמרחב וקטורי נוצר סופית מעל Fיהי e1 , ...esבסיס של Vלכל v∈Vקיימת
הצגה יחידהv = v1 e1 + ....vs es :
הסדרה v1 , ...vsנקראת סדרת הקואורדינטות של vביחס לבסיס e1 , ...es
.69מטריצת מעבר :יהיו שני בסיסים של V־ e01 , ...e0s ='e,e1 , ...es =eאזי לכל וקטור בבסיס
'eהצגה יחידה e0i = c1i e1 + ....csi esאזי המטריצה Cהמוגדרת ) Cij = cijהעמודה
ה iהיא הקואורדינטות של e0iלפי הבסיס (e
.70מטריצת וקטורים היא מטריצה שבה כל כניסה היא וקטור ומכפלתה מוגדרת רק
כמכפלה במטריצת סקלרים ומתקיימיםפ כל החוקים להכפלה רגילה
.71לפי ההגדרה הקודמת ניתן להעתיק את ההגדרה לפניה כך [e01 , ...., e0s ] = [e1 , ......es ]C
.72טרנספורמציה לינארית :יהיו U,Vמרחבים וקטוריים מעל Fטרספורמציה לינארית
היא פונקציה ϕ : V → U :שמקיימת:
ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y).1
ϕ(λx) = λϕ(x) .2
.73תהי ϕטרספורמציה לינארית מ Vל Uאזי ϕתיקרא:
מונומורפיזם אם ϕחד חד ערכית
אפימורפיזם אם ϕהיא על U
איזומורפיזם אם ϕהיא גם חד חד ערכית וגם על U
ϕ : X → Y .74טרנספורמציה לינארית }Imϕ = {y ∈ Y |∃x ∈ X, ϕ(x) = y
ϕ : X → Y .75טרנספורמציה לינארית } Ker(nel)ϕ = {x ∈ X|ϕ(x) = 0Y
.76יהיו V, Wמרחבים וקטורים ,אזי הם יקראו איזומורפיים אם קיים איזמורפיזם בינהם
)יחס זה הוא יחס שקילות(
.77תהי ϕ : V → W, dimV = n, dimW = mטרנספורמציה לינארית ויהיו ][f ],[e
בסיסים ב Vו Wבהתאמה אזי המטריצה של ϕלפי בסיסים אלו היא מטריצה Am×n
שהעמודה iשלה זאת עמודת הקואורדינטות של ) ϕ(eiלפי ] [f
6
} .78טרנספורמציה לינארית L(V, W ) = {ϕ : V → W |ϕ
.79מרחב דואלי ) V ∗ = L(V, Fאיבר במרחב דואלי יקרא פונקציונל לינארי
7
2
משפטים ומסקנות
.1תהי Aמטריצה ,ניתן להביא אותה לצורה מדורגת קנונית תוך שימוש בפעולות
אלמנטריות
.2לכל מערכת משוואות לינארית אחד מהבאים:
0.1פתרונות
.2פתרון יחיד
.3אינסוף פתרונות
.3אם למערכת יותר משתנים ממשוואות אזי לא יכול להיות לה פתרון יחיד
.4בכל מערכת משוואות הומוגנית יש או פתרון יחיד=הפתרון הטריוואלי או אינסוף
פתרונות ובינהם הפתרון הטריוואלי
∀~b,~a∈Rn ,∀λ∈R .5
~a+~b=~b+~a
~c+(~b+~a)=(~c+~b)+~a
~a=~0+~a
~0=~a+−~a
)λ~b+λ~a=λ(~b+~a
µ~a+λ~a=(µ+λ)~a
µ(λ~a)=(µλ)~a
~a=1~a
.6במערכת הומוגנית סכום של 2פתרונות וכפל פתרון כלשהו בסקלר הם גם פתרונות
)קבוצת הפתרונות של מערכת הומוגנית היא תת מרחב לינארי של (Rn
.7קבוצת הפתרונות של מערכת משוואות כללית היא:
} ~v ∈Rnפתרון של המערכת בצורתה ההומוגנית c~0 ∈Rn ,פתרון של המערכת| {c~0 +~v
R[a,b] .8עם הפעולות של חיבור וכפל בסקלרים )הסטנרדטיות( זה מרחב וקטורי
.9עכשיו יבואו הרבה משפטים למרחבים וקטוריים:
b+c=a+b−→b=c.1
.2האיבר הנייטרלי ביחס לחיבור הוא יחיד
.3לכל v∈Vהנגדי שלו הוא יחיד
λ∈R λ*~0=~0.4
W v∈V 0*~v =~v .5
λ=0 ~v =~0 ↔ λ*~v =~0.6
v∈V −1*~v =−~v .7
.10יהי Vמרחב וקטורי L⊂Vאזי:
~0∈L.1
∀~v ∈L | −~v ∈L.2
.3כל צירוף לינארי של וקטורים מ Lשייך לL
8
.11יהי TVמרחב וקטורי תהי {Lα |α ∈ A}=Sמשפחה של תתי מרחב לינאריים אזי
S⊂Vתת מרחב לינארי
span{x1 , x2 , ...., xs } .12תמיד תת מרחב לינארי )הוא גם נקרא תת מקחב שנפרס על
ידי } ({x1 , x2 , ...., xs
.13כל סדרת וקטורים המכילה את ~0היא תלויה לינארית
.14כל סדרת וקטורים המכילה את אותו וקטור פעמיים היא תלויה לינארית
.15אם סדרה } {x1 , x2 , ...., xsבלתי תלויה לינארית אזי כל תת סדרה שלה בלתי תלויה
לינארית ,ההיפך לא בהכרח נכון
.16סדרה בת וקטור אחד תלויה לינארית אם ורק אם הוקטור שווה ל~0
.17סדרה בת שתי וקטורים תלויה לינארית אם ורק שני הוקטורים פרופורציוניים
.18נניח Vמרחב וקטורי שנפרש על ידי סדרת וקטורים בגודל nאזי כל סדרה בלתי
תלויה לינארית ב־ Vהיא בת לכל היותר nוקטורים
.1 .19בכל מרחב וקטורי Vנוצר סופית קיים בסיס וכל בסדרה בלתי תלויה לינארית ניתן
להשלים עד לבסיס
.2בכל מרחב וקטורי Vלכל הבסיסים אותו מספר איברים
.3בכל מרחב וקטורי Vכל סדרה (סופית) ניתן לצמצם עד לבסיס
.20נניח } ~y ∈span{x1 , x2 , ...., xsאזי } span{x1 , x2 , ...., xs , y}=span{x1 , x2 , ...., xs
.21יהי Vמרחב וקטוי נוצר סופית dimV=n
.1כל סדרה בת nאיברים שהיא בלתי תלויה לינארית היא גם בסיס של V
.2כל סדרה בת nאיברים שהיא פורשת את Vהיא גם בסיס של V
.22יהי Vמרחב וקטורי נוצר סופית ,אזי כל תת מרחב לינארי W ⊂ Vגם נוצר סופית
.23יהי Vמרחב וקטורי ותהי x1 , x2 , ...., xsסדרה הפורשת אותו ,אזי לכל v∈Vקיימת
הצגה על ידי צירוף לינארי של x1 , x2 , ...., xsוהיא יחידה
Mn×m (R) .24ביחד עם פעולות החיבור וכפל הסטנדרטיות של מטריצות הוא מרחב
וקטורי
dimMn×m (R)=m*n .25
.26כפל מטריצות הוא לא קומוטטבי
.27כפל מטריצות הוא דיסטריבוטיבי מימין ומשמאל ואסוציאטיבי
.28תהי )A∈Mn×m (R
In ∗ A = A.1
A ∗ Im = A.2
δij =(In )ij .29
9
(At )t = A.1 .30
(λA)t = λAt .2
(A + B)t = At + B t .3
(A ∗ B)t = B t ∗ At .4
A∈Mn×n (R) .31אם Aהפיכה מימין או הפיכה משמאל אז Aהפיכה
A∈Mn×n (R) .32אם Aהפיכה אז ההופכית שלה היא יחידה ומסומנתA−1 :
A∈Mn×n (R) .33אם ל Aעמודת אפסים או שורת אפסים אזי Aלא הפיכה
.34נתונה מערכת משוואות לינארית A∈Mn×n (R) A*x=bאם Aהפיכה קיים למערכת
פתרון יחיד והוא A−1 *b
A∈Mn×n (R) .35תהי Aהפיכה אזי:
A−1 .1הפיכה ו (A−1 )−1 = A
At .2הפיכה ו (At )−1 = (A−1 )t
B∈Mn×n (R) .3הפיכה אזי A*Bהפיכה ו
(A ∗ B)−1 = B −1 ∗ A−1
A∈Mn×n (R) .36אלכסונית אזי Aהפיכה אם ורק אם ∀1 ≤ i, j ≤ n i = j → Aij 6= 0
.37תהי ϕפעולה אלמנטרית על השורות אזי )ϕ(I) ∗ A=ϕ(A
.38תהי ψפעולה אלמנטרית על העמודות אזי )ψ(A) = A ∗ ψ(I
.39יהיו ϕ1 , ϕ2 , ...., ϕkפעולות אלמנטריות אזי:
ϕ1 (ϕ2 (.....ϕk (A)) = ϕ1 (I) ∗ ϕ2 (I)..... ∗ ϕk (I) ∗ A
ϕ−1 (ϕ(A)) = ϕ(ϕ−1 (A)) = A .40
.41כל מטריצה אלמנטרית היא הפיכה וההופכית שלה היא גם מטריצה אלמנטרית
A,B∈Mn×n (R) .42נניח Aהפיכה אזי Bהפיכה אם ורק אם A*Bהפיכה
.43כל מטריצה Aניתן להציג ϕk (I)...ϕ2 (I)ϕ1 (I)B=Aכש Bמטריצה מדורגת קנונית
A,B∈Mn×n (R) .44אם In =A*Bאזי In =B*A
A A∈Mn×n (R) .45הפיכה אם ורק אם צורתה המדורגת קנונית היא Inוהשיטה למציאת
הפיכה היא להוסיף את Inמימין ל Aולדרג את שניהם ביחד ,אם מדרגים את Aומגיעים
ל Inאז המטריצה שנוצרה מ Inהיא ההופכית של Aאחרת Aלא הפיכה
.1 .46שקילות שורות הוא יחס שקילות
A∈Mn×n (R) .47הטענות הבאות שקולות:
A.1הפיכה
.2קיים b∈Rnלמערכת הלינארית A*x=bפתרון יחיד
A .3שקולת שורות ל In
.4השורות של Aבלתי תלויות לינארית
.5העמודות של Aבלתי תלויות לינארית
0≤ rkA A∈Mn×n (R) .48ו 0=rkAאם ורק אם 0=A
10
n=rkIn .49
rkA≤min{n,m} A∈Mm×n (R) .50
n=rkA A∈Mm×n (R) .51אם ורק אם Aהפיכה
rkAt =rkA .52
.53לכל המטריצות השקולות שורה אותה דרגה
.54דרגת מטריצה מדורגת )לאו דווקא קנונית( שווה למספר השורות
.55דרגת מטריצה לא משתנה עם פעולות אלמנטריות על שורות או עמודות
min{A,B} ≥rk(A*B) .56
λn *detA=det(λA) A∈Mm×n (R) .57
.58לכל מטריצה הדטרמיננטה היא יחידה
.59השינויים בדרמיננטה בעקבות הפעלת פעולות אלמנטריות:
−detA=detϕ(A) ϕ : Ri ↔ Rj .1
λ ∗ detA=detϕ(A) ϕ : Ri ← λRi .2
detA=detϕ(A) ϕ : Ri ← Ri + λRj .3
detA=A11 ∗ A22 − A21 ∗ A12 A∈M2×2 (R) .60
det(A ∗ B) = detA ∗ detB A,B∈Mn×n (R) .61
Pn
.62פיתוח לפי שורהdetA = j=1 (−1)j+i Aij ∗ detMij (A) 1 ≤ i ≤ n:
Pn
.63פיתוח לפי עמודהdetA = i=1 (−1)i+j Aij ∗ detMij (A) 1 ≤ j ≤ n:
detA = 0 .64אם ורק אם Aלא הפיכה
detAt = detA .65
A∈M3×3 (R) .66
detA = (A11 A22 A33 +A12 A23 A31 +A13 A21 A32 )−(A13 A22 A31 +A11 A23 A32 +
) A12 A21 A33
Qn
detA = i=1 λi
A∈Mn×n (R) .67משולשית כך ש ∀1 ≤ i ≤ n.Aii = λi
Qn Qn
A∈Mn×n (R) .68מטריצת ון דר מונד ) detA = j=1 i=j+1 (xi −xjמספר הגורמים
n
שווה 2
.69נתונה מערכת משוואות Ax=bנניח Aהפיכה אז קיים פתרון יחיד ] x=[c1 , c2 , ...cn
i
ci = detA
כש detA
adjA ∗ A = A ∗ adjA = detA ∗ In .70
1
detA
A∈Mn×n (R) .71נניח Aהפיכה אזי ∗ adjA
P
detA = σ sgnσ ∗ a1σ(1) ∗ ... ∗ anσ(n) .72
11
= A−1
A∈M2n×2n (R) .73
=A
C
D
B
0
אזי detA = detB ∗ detC
.74יהי Fשדה ) :(∀a ∈ F
.1האיבר נייטרלי ביחס לחיבור הוא יחיד
.2האיבר נייטרלי ביחס לכפל הוא יחיד
.3לכל aהאיבר הנגדי של aהוא יחיד
.4לכל aהאיבר ההופכי של aהוא יחיד
a + b = a + c → b = c.5
a ∗ 0 = 0.6
(−1) ∗ a = −a.7
a ∗ b = 0 → a = 0 ∨ b = 0.8
a 6= 0 ∧ a ∗ b = a ∗ c → b = c.9
.75שקילות מודולו nהיא יחס שקילות וכל הנובע מכך )המחלקות זרות וכו(..
n=|Zn | .76
Zn .77מקיים את כל אקסיומות השדה אם ורק אם nראשוני
.78יהי Fשדה אזי charFהוא 0או מספר ראשוני
.79יהי Fשדה אם ב Fמספר סופי של איברים אזי charF 6= 0
.80יהי Fשדה ו charF = pאזי r ∈ N |F | = pr
.81יהי pראשוני אזי לכל r ∈ Nקיים שדה בין prאיברים
.82תהי Kסדרת וקטורים מעל F
K ⊂ spanK.1
K1 ⊂ K2 → spanK1 ⊂ spanK2 .2
.3אם Lתת מרחב לינארי אזי spanL = L
.4אם Lתת מרחב לינארי ו K ⊂ Lאזי spanK ⊂ L
M1 + ... + Ms = {x1 + .... + xs |x1 ∈ M1 , ..., xs ∈ Ms } .83
T
.84יהי Vמרחב וקטורי ויהיו M1 , M2 ⊂ Vתתי מרחבים נוצרים סופית אזי M2 , M1 +
Tנוצרים סופית ו:
M2גם
) dim(M1 + M2 ) = dimM1 + dimM2 − dim(M1 M2
Ps
.85יהי Vמרחב וקטורי מעל Fו M1 , ...Ms ⊂ Vכך ש i=1 Mi = Vאזי הדברים
שקולים:
הבאיםL L
M1 .... Ms .1סכום ישר
.2לכל v∈Vקיימת הצגה יחידה v = m1 + ....msכך שלכל mi ∈ Mi i
.3קיים וקטור ב Vשהצגתו בשיטה מ 2יחידה
.4אם 0 = m1 + ....msאז לכל mi = 0 i
.5הבסיס של Vהוא איחוד הבסיסים של הMים
dimV = dimM1 + ... + dimMs .6
12
M1
.86לכל קבוצת תתי מרחבים מימד סכומם קטן או שווה לסכום מימדיהם
.87אם v1 , ..., vsסדרה בלתי תלויה לינארית ו] [vמטריצת וקטורים שאיבריה הם וקטורי
הסדרה ,ו Aמטריצת סקלרים אזי:
[v]A = [0, ..., 0] → A = 0
.88אם eו 'eשני בסיסים של מרחב וקטורי כלשהו ו [e0 ] = [e]Tאזי Tהיא מטריצת
המעבר מ eל'e
.89אם ''e,'e,eבסיסים ו Cמטריצת מעבר מ eל 'eו Dמטריצת מעבר מ 'eל ''eאזי CDמעבר
מ eל ''e
.90תהי Cמטריצת מעבר מ eל 'eאזי Cהפיכה ו C −1מעבר מ 'eלe
.91יהי xוקטור במרחב וקטורי Vושני בסיסים eו 'eכך ש Cמטריצת מעבר מ eל'e
x = x01 e01 + .... + x0s e0s ,x = x1 e1 + .... + xs esאזי [x1 , ..., xs ]t = C[x01 , ....x0s ]t
.92תהי ϕטרספורמציה לינארית אזי:
ϕ(0V ) = 0U .1
ϕ(−x) = −ϕ(x) .2
ϕ(λ1 x1 + .... + λs xs ) = λ1 ϕ(x1 ) + .... + λs ϕ(xs ) .3
.93הרכבה של שתי טרנספורמציות לינאריות היא טרספורמציה לינארית ואם שתיהן
מאותו סוג )אפימורפיזם,מונומורפיזם,איזומורפיזם( אזי הרכבתן היא מאותו סוג
.94אם סדרה היא בלתי תלויה לינארית אזי סדרת התמונות של איבריה היא לאו דווקא
בלתי תלויה לינארית
.95אם סדרה היא תלויה לינארית אזי סדרת התמונות של איבריה היא תלויה לינארית
ϕ : X → Y .96טרנספורמציה לינארית אם ϕאיזומורפיזם אזי היא הפיכה ו ϕ−1היא
גם טרנספורמציה לינארית והיא גם איזומורפיזם
ϕ : X → Y .97טרנספורמציה לינארית Imϕהוא תת מרחב לינארי ו Kerϕהוא תת
מרחב לינארי
ϕ : X → Y .98טרנספורמציה לינארית אזי ϕמונומורפיזם אם ורק אם } Kerϕ = {0X
.99נוסחת המימד :תהי ϕ : V → Wטרנספורמציה לינארית ,אזי:
dimImϕ + dimKerϕ = dimV
.100נוסחת המימד :תהי ϕ : V → Wטרנספורמציה לינארית ,ומתקיים dimV = dimW
אזי שלושת הדברים הבאים שקולים:
ϕ.1אפימורפיזם
ϕ.2מונומורפיזם
ϕ.3איזומורפיזם
.101יהיו V, Wמרחבים וקטוריים אזי Vאיזומורפי ל Wאם ורק אם dimV = dimW
מסקנה מהמשפט :כל מרחב וקטורי ממימד nאיזומורפי ל F n
13
.102תהי ϕ : V → Wטרנספורמציה לינארית,יהיו ] [f ],[eבסיסים ותהי Aמטריצה של ϕ
לפי בסיסים אלו אזי :
∀x = x1 e1 + ...xn en , ϕ(x) = y1 f1 + ...ym fm .[y1 , ..., yn ]t = A[x1 , ...xn ]t
.103תהי ϕ : V → Wטרנספורמציה לינארית ויהיו ] [e], [e0בסיסים של Vכש Cמטריצה
מעבר מ] [eל ] [e0ויהיו ] [f ], [f 0בסיסים של Wכש Bמטריצה מעבר מ] [fל ] [f 0וA
מטריצה של ϕביחס ל] [e], [fו' Aמטריצה של ϕלפי ] [e0 ], [f 0אז מתקיים:
A−1 = B −1 AC
.104הפונקציה ממרחב הטרנספורמציות הלינאריות בין Vל Wלמרחב המטריצות בגודל
m × nהיא איזומורפיזם של מרחבים וקטוריים
L(V, W ) .105מרחב וקטורי עם הפעולות ),(ϕ1 + ϕ2 )(x) = ϕ1 (x) + ϕ2 (x
)(λϕ)(x) = λϕ(x
.106יהיו ϕ1 , ϕ2 : V → Wטרנספורמציות לינאריות ויהיו Aϕ , Aψהמטריצות שלהן לפי
אותם בסיסים אזי Aλϕ = λAϕ ,Aϕ+ψ = Aϕ + Aψ
dimL(V, W ) = dimV ∗ dimW .107
.108יהיו ϕ : V → W, ψ : W → Uויהיו ] [b],[f ],[eבסיסים ב U,W,Vבהתאמה ונסמן Aϕ
את המטריצה של ϕלפי בסיסים אלו ו Aψאת המטריצה של ψלפי בסיסים אלו אזי
מטריצת ההרכבת Aψ◦ϕמקיימת Aψ◦ϕ = Aψ ∗ Aϕ
.109תהי ϕ : V → Wטרנספורמציה לינארית ותהי Aמטריצה של ϕלפי בסיסים כלשהם
אזי מתקיים rkA = dimImϕ
dimV ∗ = dimV .110
.111כל פונקציונל לינארי fעל F nהוא מהצורה f ((x1 , ...xn )) = a1 x1 + .... + an xn
וכל וקטור aכזה מוגדר באופן יחיד על ידי הפונקציונל
metiיהי ] [eבסיס של Vנגדיר ] [εמתוך ∗ Vכך ש εi (ej ) = δijאזי ] [εבסיס של ∗ V
ומתקיים ∀ϕ ∈ V ∗ .ϕ = ϕ(e1 )ε1 + .... + ϕ(en )εn
14
© Copyright 2024