אלגברה לינארית ב

‫אלגברה לינארית ב ‪ -‬תרגול‬
‫מני אקא‬
‫מרכז הבינתחומי הרצליה‬
‫סמסטר ב'‪ ,‬שנה א'‪2009 ,‬‬
‫תאריך עדכון אחרון של קובץ זה הוא‬
‫רביעי‪14 ,‬אפריל‪2010 ,‬‬
‫עדכונים וכתב הויתור )שווה לקרוא( נמצאים באתר‬
‫‪http://idc.gadi.cc/compsci/‬‬
‫הסיכומים הוכנו ע"י גדי כהן‬
‫סטודנט לתואר מדעי המחשב‬
‫תוכן העניינים‬
‫שיעור ‪1.............................23.02.10 – 1‬‬
‫ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של‬
‫מטריצות‪1..........................................‬‬
‫שיעור ‪1.............................03.03.10 – 2‬‬
‫שיעור ‪2.............................10.03.10 – 3‬‬
‫חישוב גרעין ותמונה‪2...........................‬‬
‫חזרה על וקטור קואורדינטות‪4...............‬‬
‫שיעור ‪7.............................17.03.10 – 4‬‬
‫תרגילים אבסטרקטיים על גרעין ותמונה ‪7.‬‬
‫הצגת העתקה ע"י מטיצה‪9....................‬‬
‫שיעור ‪) 07.04.10 – 5‬אחרי פסח(‪1...........‬‬
‫הערות מתרגיל ‪1...............................1‬‬
‫שיעור ‪1.............................14.04.10 – 6‬‬
‫ערכים עצמיים‪ ,‬וקטורים עצמיים ולכסון‪1. .‬‬
‫שלוש דוגמאות ללכסון‪2.......................‬‬
‫אינדקס‪4...............................................‬‬
‫שיעור ‪23.02.10 – 1‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של מטריצות‬
‫‪http://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalue,_eigenvector_and_eigenspace‬‬
‫ערך עצמי‪http://he.wikipedia.org/wiki/‬‬
‫} ‪{ ‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪V‬‬
‫‪=R‬‬
‫=‬
‫‪⋮ ...‬‬
‫מרחב וקטורי‪ A .‬מטריצה ריבועית ‪.nxn‬‬
‫‪an‬‬
‫למדנו‪:‬‬
‫‪⇔ ∣A∣≠0 ⇐ Y ank A=n‬‬
‫‪A x=b‬‬
‫‪‬‬
‫פתרון יחיד‬
‫‪{0 }=nul‬‬
‫‪ A‬‬
‫‪‬‬
‫‪{ x ∣ A x= ‬‬
‫}‪0‬‬
‫*‬
‫‪ B‬מטריצה ‪nxn‬‬
‫‪B v =‬‬
‫‪ ⇔ ∣B∣=0‬קיים וקטורים≠ ‪ V‬כך ש ‪0‬‬
‫מטרה‪:‬‬
‫בהנתן מטריצה ‪ ,A‬להבין איך ‪ A‬פועלת על וקטורים‬
‫ולמצוא וקטורים שעליהם הוא היא פועלת באופן פשוט‪.‬‬
‫‪ℝn‬‬
‫מה ז”א “פועלת” ?‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪2 0 0‬‬
‫‪A= 0 2 0‬‬
‫‪0 0 3‬‬
‫כפל ב‪A -‬‬
‫‪‬‬
‫‪ℝn‬‬
‫‪e 1=1,0,0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪A‬‬
‫=‬
‫‪=2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪e 2=0,1,0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪A e 2= 2 =2 e 2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪A e 3=3⋅e3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪v ↦ Av‬‬
‫לינאריות‬
‫‪A3 e 14 e 2  ‬‬
‫=‬
‫‪ 3 Ae 14 A e 2=3⋅2 e 14⋅2 e 2 =2⋅3 e 14 e2 ‬‬
‫סמסטר ב‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A 2 =A  1⋅e 12⋅e 23 e3  =1⋅A e 12 Ae 2 3 A e3=2 e12⋅2‬‬
‫‪e‬‬
‫‪3⋅3‬‬
‫‪e‬‬
‫=‬
‫‪2 3 4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪9‬‬
‫מטרה‪:‬‬
‫בהינתן מטריצה ‪ ,A‬מצאו כמה שיותר וקטורים )מטרה אולטימטיבית – למצוא‬
‫בסיס שלם( שעליהם ‪ A‬פועלת בכפל בסקלר‪ .‬כלומר‪,‬‬
‫מצאו ‪ V ≠0‬כך ש‪ Av=av -‬עבור איזשהו ‪ a) a∈ℝ‬יכול להיות אפס(‪.‬‬
‫שימו לב‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ Av= x⋅v‬שקול ל‪Av= xI v -‬‬
‫‪x 0 ⋯ 0‬‬
‫‪0 x ⋯ 0‬‬
‫‪0 0 ⋱ 0‬‬
‫‪0 0 0 x‬‬
‫‪‬‬
‫=‪Av‬‬
‫⇔ ‪ xI −A v=0‬‬
‫מסקנה‪:‬‬
‫אם ‪ ∣xI − A∣=0‬אז קיים ‪ v ≠0‬כל ש‪. Av= x⋅v -‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫עשינו )משתמשים ב‪ (*-‬עבור ‪ B=xI −A‬ובשקילות האחרונה‪.‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪A= 1 2‬‬
‫‪4 3‬‬
‫נבדוק את ∣‪∣xI − A‬‬
‫∣‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪∣    ∣ ∣‬‬
‫‪xI = x 0‬‬
‫‪0 x‬‬
‫‪x 0 − 1 2 = x−1 −2‬‬
‫‪0 x‬‬
‫‪4 3‬‬
‫‪−4 x−3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪= x−1 x−3−8=x −4x3−8=x 2−4x−5= x1 x−5‬‬
‫ולכן ‪ x=5‬או ‪x=−1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪1 2 v=5⋅v‬‬
‫גילינו שקיים וקטור ‪ v ≠0‬כך ש‪-‬‬
‫‪4 3‬‬
‫‪1 2‬‬
‫וקיים וקטור ‪ w≠0‬כך ש‪w=−1 w=−w -‬‬
‫‪4 3‬‬
‫נציב ‪ 5‬ב‪: ∣xI − A∣ -‬‬
‫‪v≠0‬‬
‫‪‬‬
‫‪4 −2‬‬
‫‪5−1 −2‬‬
‫=‬
‫‪−4 2‬‬
‫‪−4 5−3‬‬
‫‪4 −2 v =xv= Av ⇔  xI − A v=0‬‬
‫‪−4 2‬‬
‫‪4 −2‬‬
‫נמצא את כל ה‪-v-‬ים כך ש‪v =0 -‬‬
‫‪−4 2‬‬
‫‪4 −2 x 1 =0‬‬
‫נעשה ‪ R2 R1  R 2‬ונקבל‬
‫‪0 0 x2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪:‬‬
‫‪4x 1−2x 2=0‬‬
‫‪1‬‬
‫ולכן‬
‫‪2‬‬
‫‪4x 1=2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪1‬‬
‫=‪ x 1‬ו‪x 2=1 -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4 −2 2 =0‬‬
‫‪−4 2 1‬‬
‫‪−4 −2 1 = 0‬‬
‫‪−4 −2 2‬‬
‫‪0‬‬
‫*אופס‪ ,‬איבדתי איזה דף פה באמצא*‬
‫למשל‪ ,‬הוקטור העצמי של הערך המצצמי ‪ 5‬בדוגמה שלנו הוא למשל‬
‫וקטור עצמי שמתאים לע"ע‬
‫‪ −1‬הוא למשל‬
‫‪−11 ‬‬
‫‪ . V =ℝn‬עתה ‪ A‬מטריצה ריבועית‪.‬‬
‫נסמן‬
‫‪n‬‬
‫} ‪va={ v=ℝ ∣ Av=av , a∈ℝ‬‬
‫טענה‪:‬‬
‫‪ Va‬הוא תת מרחב של ‪. ℝn‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫)בוחן(‬
‫‪.1‬‬
‫‪0∈ Va‬‬
‫)לה משנה מהו ‪:(A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪0 =a⋅‬‬
‫‪0 =0‬‬
‫‪ .2‬סגירות לחיבור‬
‫יהיו‬
‫‪ . u , w∈Va‬כלומר‬
‫‪, Av=av‬‬
‫‪. Aw=aw‬‬
‫נרצה להראות ש‪A vw=a vw -‬‬
‫= ‪A vw‬‬
‫נראה זאת‪ Av Aw=avaw=a vw :‬‬
‫לינראיות‬
‫‪ .3‬כפל בסקלר‬
‫מאוד דומה‪ .‬תרגול‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪12 ‬‬
‫‪.‬‬
‫ניסוח מחדש של המטרה‪:‬‬
‫בהינתן מטריצה ‪:A‬‬
‫‪ .1‬מצאו עבור אלה סקלרים ‪ ,a‬המרחב ‪ Va‬הוא לא מרחב האפס‬
‫)אלו הערכים העצמיים(‪.‬‬
‫‪ .2‬עבור אותם ‪-a‬ים ש‪ , va={0 } -‬מצאו בסיס למרחב‬
‫)אלו הוקטורים העצמיים(‪.‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪A= 1 5‬‬
‫‪Av= xv‬‬
‫‪5 1‬‬
‫נחפש את הערכים העצמיים של ‪.A‬‬
‫∣‬
‫‪? ∣xI− A∣=0‬‬
‫מהו‬
‫∣‬
‫‪= x−1 −5 =  x−12−25 = 0‬‬
‫‪x−1‬‬
‫ולכן‬
‫או‬
‫‪x=−5‬‬
‫‪−5‬‬
‫‪. x=6‬‬
‫עברנו על )א( במטרה‪.‬‬
‫כלומר‬
‫‪ dimV 60‬ו‪dimV −40 -‬‬
‫ולכל סקלר אחר‬
‫‪dimW =0‬‬
‫‪ dimVa=0‬כלומר ‪. Va=0‬‬
‫‪, a≠6,−4‬‬
‫⇔ } ‪w = {0‬‬
‫)ב( של המטרה‪ :‬למצוא בסיס ל‪ V 6 -‬ו‪. V −4 -‬‬
‫שלב זה‪ :‬פתרון מערכת משוואות‪.‬‬
‫בסיס ל‪: V 6 -‬‬
‫אלו כל הוקטורים המקיימים ‪ Av=6v‬ובאופן שקול ‪. 6I−A v=0‬‬
‫זוהי מערכת משוואות‪ ,‬נפתור אותה‪:‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪5 −5 x1 = 0‬‬
‫‪0 0 x2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x 1=1‬‬
‫‪‬‬
‫‪R 2 R1  R 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪sp  11  ∈V‬‬
‫‪x 2=1‬‬
‫בסיס ל‪: V −4 -‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪6−1 −5 = 5 −5‬‬
‫‪−5 6−1 −5 5‬‬
‫נפתור את‬
‫‪‬‬
‫‪−3 −3 x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ −5 −5 1 = 0‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪−4I− A‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪−4−1 −5 = −5 −5‬‬
‫‪−4−1 −5 −5 −5‬‬
‫‪4‬‬
v 4=sp  11 
‫ ולכן‬sp  11 
‫ונגיע לפתרון הכללי‬
6,6
f 2=−1,1
1,0= 12  f 1− f 2 
f 1=1,1
A  10  =
=
4,−4
A=
1
 Af 1− Af 2 
2
1
6f 14f 2
2

−1 2
2
2
2 −1
2 −1 2

: ∣xI − A∣=0 ‫נשים מטרה )א( נפתור את‬
∣
∣
x1
−2
−2
x1
−2
−2
−2
x−2
1
−2
x− 2
1
−2
1
x−2
−2
1
x−2
∣
∣
C 12C 2 C 1

C 3−x −2C 2 C 3
C 12C 2  C 1

C 3−x −2C 2  C 3
∣
x1−4
x −22 x−2
−22x−4 x 1− x−22
0
1
0
∣
x1− 4
−22x− 4
0
x
x
1
−22 x−2
1− x−22
0
∣
∣
= − x−32⋅ − x −1−4  = − x−32  x 3
.(‫ סיימנו את )א‬.(‫ )פעמיים‬x=−3 ‫ )פעמיים( או‬x=3 ‫ולכן‬
3I−A xx = 00 
2

: V 3 ‫מטרה )ב( ע"מ למצוא את‬
‫נפתור את‬
1
    
4 −2 −2 x 1
0
=
0 0
0 x2
0
0 0
0 x3
0
Sp
<=
    
1
2
0
1
,
1
2
1
0
=V 3
5
   
31 −2 −2 x 1
0
=
−2
1
1 x2
0
−2
1
1 x3
0
x 2=0 , x 3=1 ‫ אז‬x 1= 1
2
‫אם‬
x 2=1 , x 3=3 ‫ אז‬x 2= 1
2
‫אם‬
:3x3 ‫דוגמה‬
‫שיעור ‪03.03.10 – 2‬‬
‫חסר בנתיים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫שיעור ‪10.03.10 – 3‬‬
‫חישוב גרעין ותמונה‬
‫תרגיל‪:‬‬
‫חשב את הגרעין ואת התמונה של העתקה הגזירה מ‪ℝn 1 [ x ]ℝn [x ] -‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נסמן ב‪ D :ℝn 1 [ x ] ℝn [x ] -‬את העתקת הגזירה‪ ,‬כלומר ‪. D p  x= p '  x‬‬
‫} ‪kerD = { p  x ∣ p '  x =0 } = {a0 ∣ a 0 ∈ℝ‬‬
‫‪kerD=sp 1‬‬
‫כלומר הפולינומים הקבועים ממימד ‪.1‬‬
‫] ‪ D a0a1 x...a n x n =a12a 2...anx−1‬מתאפס כש‪ a 1 ... a n -‬כולם אפסים [‬
‫התמונה תהייה ממימד ?‪.‬‬
‫‪n1−1=n‬‬
‫נבדוק מהי‪.‬‬
‫אנו יודעים שמתקבלים כל הפולינומים ממעלה ≥ ‪. n−1‬‬
‫למשל‪ ,‬התמונה של הפולינום‬
‫‪1 i‬‬
‫‪i−1‬‬
‫‪ x‬‬
‫↦ ‪ i x‬לכל ‪0≤i≤n‬‬
‫‪D‬‬
‫ולכן )‪ x 0, x 1, ... , x n −1 ∈ Im(D‬ולכן )‪Rn−1 [ x ] = Sp  x 0, x 1, .... , x n−1  ⊆ Im(D‬‬
‫] ‪ n=dim ℝ n−1 [x‬ולכן יש בעצם שוויון כאן ‪‬‬
‫כלומר ‪ImD = Sp x 0, ... , x n−1‬‬
‫תרגיל‪:‬‬
‫הסבר‪:‬‬
‫תהי ] ‪, T :ℝn [ x ] ℝn [ x‬‬
‫לדוגמה‪:‬‬
‫‪ p  x ↦ p  x1− p x‬חשבו את הגרעין והתמונה‪.‬‬
‫↦ ‪x2‬‬
‫‪  x 12 −x 2 = x 22x1−x 2 = 2x1‬‬
‫‪T‬‬
‫‪x ↦  x1−x = 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x 3 ↦  x 1 3− x 3‬‬
‫‪x 2 x ↦  x12 x1− x 2x ‬‬
‫באופן כללי‪:‬‬
‫↦ ‪a 0a 1 x1...a n x n‬‬
‫‪ a 0a1  x1...a n  x−1n−a0 a1 x...a n x n‬‬
‫‪T‬‬
‫‪ 3 ↦ 3−3=0‬שוב‪ ,‬הפולינומים ממעלה ‪ 0‬נמצאים בגרעין של ‪.T‬‬
‫}‪ kerT ={ p  x ∣ p  x1= p  x ‬יהי‬
‫נציב ‪:x=0‬‬
‫‪p 0= p1‬‬
‫‪ p  x ∈ kerT‬אז ‪p  x = p  x 1‬‬
‫נציב ‪:x=1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪p 1= p 2‬‬
‫נציב ‪:x=2‬‬
‫‪p 2= p 3‬‬
‫נציב ‪:x=k‬‬
‫‪p  k = p k 1‬‬
‫‪ . p  x −t‬נתבונן ב‪ . q  x = p  x − p 0 -‬זה פולינום עם אינסוף שורשים‪.‬‬
‫כי‬
‫‪, q 0= p0− p 0=0‬‬
‫‪q 1= p 1− p 0=0‬‬
‫‪p  k = p k − p x=0 … q 2= p 2− p 0=0‬‬
‫כלומר‬
‫כל‬
‫‪ p  k = p0=t‬לכל ‪k‬‬
‫‪ k ∈ℕ‬הוא שורש של ‪ q‬ולכן ‪ q‬הוא פולינום האפס‪.‬‬
‫מכאן נובע ש‪ p <= p  x − p 0=0 -‬הוא פולינום הקבוע שערכיו תמיד ‪. p 0‬‬
‫כלומר ‪ p‬פולינום הע"ע ממעלה ‪ 0‬ולכן } ‪kerT ={a 0 ∣ a0 ∈ℝ‬‬
‫ממשפט המימד נובע שמימד‬
‫‪ImT=n‬‬
‫‪T  p x= p  x1− px‬‬
‫‪x ↦  x12 −x 2= x 22x1−x 2=2x1‬‬
‫משהו ממעלה ‪x3 ↦  x13− x3 =x 3...− x 3=2‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪3 ↦ 2 x13−2x 3=23 x 3...−23 x 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8x‬‬
‫המשך הפתרון‪:‬‬
‫נשים לב‪ ,‬שהמקדם של החזרה הכי גבוהה בפולינום ‪ p  x1‬שווה‬
‫למקדם של החזרה הכי גבוהה בפולינום ‪. p  x ‬‬
‫ולכן חזרה זו מתבטלת בפולינום‬
‫‪T  p x= p  x1− p x‬‬
‫“פסודו הוכחה"‬
‫באופן יותר נורמלי אפשר לכתוב כך‪:‬‬
‫קל לראות שהתמונה של ‪ x i‬הוא פולינום ממעלה ‪x−1‬‬
‫‪ x1i−x i = ...‬‬
‫)למשל לפי הבינום של ניוטן(‪.‬‬
‫‪x 0 , ..., x n‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ℝ‬וראינו כי‬
‫בנוסף‪ ,‬זהו בסיס ל‪n [ x] -‬‬
‫‪ImT=Sp T  x 1  , ... , T  x n ‬‬
‫אלו פולינומים ממעלה ≥ ‪ n−1‬ולכן‬
‫]‪ImT ⊆ ℝ n−1 [ x ] ⊂ ℝ n [ x‬‬
‫ומשוויון המימד יש שוויון כאן‬
‫‪3‬‬
‫חזרה על וקטור קואורדינטות‬
‫טענה‪:‬‬
‫יהי ‪ V‬מ"ו‪ ,‬והי ‪ v 1 ,... , v n‬בסיס סדור של ‪.V‬‬
‫אז לכל וקטור ‪ v ∈V‬יש כתיבה יחידה כצירוף לינארי של הבסיס‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫מכך שהבסיס פורש‪ ,‬ישנם סקלרים ‪a 1 , ... , a n‬‬
‫כך ש‪* v =a1 v 1...a n v n -‬‬
‫נניח ש‪ ** v =b1 v 1...b n v n -‬ונראה ש‪. b 1=a1 , b2=a 2 , ... , bn =a n -‬‬
‫נחסר את * מ‪:**-‬‬
‫‪0 = v −v = b 1 v 1...b n v n−a 1 v 1...a n v n ‬‬
‫‪=  b1−a1 v 1...b n−an  v n‬‬
‫מכיוון ש‪ v 1 ,... , v n -‬בת"ל נקבל ש‪ b i=ai=0 -‬לכל ‪.i‬‬
‫}‪B={1,0 ,1,1‬‬
‫‪1,1‬‬
‫‪[ 17 ]=17 1,0 1,1‬‬
‫‪1,0‬‬
‫‪B=17,0 , =17 , ‬‬
‫יהי }‪ E={1,0 , 0,1‬הבסיס הסטנדרטי‪:‬‬
‫יהי‬
‫‪[ 34 ]=3 e 4 e =3,4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫} ‪ B={v 1 ,... , v n‬בסיס סדור ל‪V-‬‬
‫אז וקטור הקואורדינטות לפי ‪ B‬של וקטור‬
‫‪ v ∈V‬מסומן ב‪[v ]b -‬‬
‫והוא ה‪-n-‬יה של המקדמים בצירוף לינארי לפי ‪ B‬המייצג את הוקטור ‪.v‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫ניקח בסיסים סדורים של ‪: ℝ2‬‬
‫‪B= 1,2 ,3,4 ‬‬
‫‪D= 1,0 ,1,1 ‬‬
‫‪E= 1,0 ,0,1 ‬‬
‫ונמצא את וקטור הקואורדינטות לפי הבסיסים אלו של הוקטור ‪. v =−1, 2‬‬
‫‪<= v = -1 1,0 2 0,1=−1, 2‬‬
‫]‪[2‬‬
‫‪<= v = -3 1,0 2 1,1=−1, 2‬‬
‫‪[v ]D= −3‬‬
‫]‪[2‬‬
‫‪<= v = 5 1,2 -2 3,4=−1, 2‬‬
‫] ‪[−2‬‬
‫‪[v ]E= −1‬‬
‫‪5,10‬‬
‫‪3,4‬‬
‫‪[v ]B= 5‬‬
‫‪1,2‬‬
‫‪1,1‬‬
‫‪1,0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪v =−1,2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1,1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−31,0‬‬
‫תרגיל‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫פתרון ב‪:‬‬
‫)נדלג עליו( הוכח ש‪ B={1 x , x x 2, x 2 x3, 2x3 } -‬בסיס ל‪. ℝ3 [ x ] -‬‬
‫‪ [v ] B‬כאשר ‪B=32xx 23x 3‬‬
‫מצאו את‬
‫‪v = 32xx 22x 3‬‬
‫‪= 1 1 x 2  xx 23  x 2x 3 4 2x 3‬‬
‫‪1=3‬‬
‫‪2=−1‬‬
‫‪3=2‬‬
‫‪4=0‬‬
‫‪1=3‬‬
‫‪12 =2‬‬
‫‪2 3=1‬‬
‫‪32 4=2‬‬
‫][‬
‫‪3‬‬
‫‪[v ]B = −1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫עוד דוגמאות‪⇐ E={1, x , x 2, x 3 } :‬‬
‫שאלה ‪ 6‬מהמבחן‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫} ‪ℝ ∣ ab=cd =0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫} ‪⇐ E '={x 3, x , x 2, 1‬‬
‫=‪[v ]E‬‬
‫‪ ∈ M‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪c d‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫= ' ‪[v ]E‬‬
‫{=‪u‬‬
‫הוכיחו ש‪ v-‬מרחב לינארית‪.‬‬
‫}‪‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪1 −1‬‬
‫‪ ,‬‬
‫‪1 −1‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪{‬‬
‫}‪‬‬
‫=‪B‬‬
‫‪1 −1‬‬
‫‪1 −1‬‬
‫‪ ,‬‬
‫‪1 −1‬‬
‫‪−1 1‬‬
‫‪.2‬‬
‫מצא את וקטור הקואורדינטות של‬
‫‪.3‬‬
‫נדלג‪.‬‬
‫‪{‬‬
‫‪‬‬
‫=‪ C‬בסיסים שלו‪.‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ u= −3‬לפי ‪ B‬ולפי ‪.C‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫} ‪{  ,  ‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪1 −1‬‬
‫‪ v‬מרחב לינארית עם בסיסים‬
‫‪ ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪d‬‬
‫ישנם שני נתאים על‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫‪1 −1‬‬
‫‪0 0‬‬
‫}‪‬‬
‫‪1 −1‬‬
‫‪1 −1‬‬
‫=‪B‬‬
‫ע”מ שהוא תהיה ב‪.u-‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪ ab=0‬ולכן‬
‫‪b=−a‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪ cd =0‬ולכן‬
‫‪d =−b‬‬
‫כלומר ברגע שקבענו את ‪ a‬ו‪ b ,c-‬ו‪ d-‬נקבעים‪.‬‬
‫לכן מטריצה כללית ב‪ u-‬היא מהצורה‬
‫נוכיח ש‪ B-‬בסיס‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪1 −1‬‬
‫‪ ,‬‬
‫‪1 −1‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫} ‪ ∣ a , c∈ℝ‬‬
‫בת”ל‪.‬‬
‫‪−a‬‬
‫‪−c‬‬
‫‪‬‬
‫‪u= ac‬‬
‫‪ ,‬‬
‫‪1 −1‬‬
‫‪−1 1‬‬
‫‪{‬‬
‫=‪C‬‬
‫פירושים‪ :‬תהי‬
‫‪∈u‬‬
‫‪a −a‬‬
‫‪c −c‬‬
‫‪‬‬
‫כלשהי‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪1 −1‬‬
‫‪c ‬‬
‫‪1 −1‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪ = a‬‬
‫‪a −a‬‬
‫‪c −c‬‬
‫‪‬‬
‫עתה ע”מ להנמש ‪ C‬בסיס ונשים לב שהוקטור ב‪ C-‬בת”ל‬
‫ושהרגע הראנו ש‪dimu=2 -‬‬
‫‪.2‬‬
‫מההגדרה נובע כי‬
‫] [‬
‫‪2‬‬
‫‪ [u]B= −3‬כי‬
‫][‬
‫‪21‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ [u]C‬כי‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪a ‬‬
‫‪2 1 −1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪1 −1‬‬
‫‪‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1 −1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪=a ‬‬
‫[‬
‫‪‬‬
‫[‬
‫‪1 0‬‬
‫‪2 −2‬‬
‫‪−3 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 −1‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪=a1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 −2‬‬
‫‪−3 3‬‬
‫שיעור ‪17.03.10 – 4‬‬
‫תרגילים אבסטרקטיים על גרעין ותמונה‬
‫)רמז‪ :‬כבר עשינו אותם(‬
‫תרגיל‪:‬‬
‫‪, T :V W‬‬
‫תהיינה‬
‫הוכיחו כי‬
‫העתקות לינאריות‪.‬‬
‫‪S :W U‬‬
‫‪kerT ⊆ker S °T ‬‬
‫הסבר‪:‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫} ‪KerT ={x ∈V ∣ T  x=0w‬‬
‫} ‪kerS °T ={ x ∈V ∣ S °T  x =0 v‬‬
‫יהי‬
‫ולכן‬
‫‪ x ∈KerT‬אז‬
‫‪T  x=0‬‬
‫‪S °T  x =S T  x=S 0=0‬‬
‫לכן ‪x ∈Ker  S °T ‬‬
‫תרגיל‪:‬‬
‫תהיינה‬
‫‪ S :W U‬כך ש‪ S ° T -‬זו העתקת האפס מ‪ V-‬ל‪.U-‬‬
‫‪, T :V W‬‬
‫‪S‬‬
‫) התנאי האחרון לכיבורשם ש‪( S ° T =0 -‬‬
‫‪x ⟼ 0w ‬‬
‫‪ 0 v‬‬
‫הראו ש‪ImT ⊆KerS -‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫יהי‬
‫‪ x ∈ ImT‬אז קיים‬
‫‪ y ∈V‬כך ש‪T  y =x -‬‬
‫לכן ‪S  x =S T  y=S °T  y =0‬‬
‫לכן‬
‫תרגיל‪:‬‬
‫‪ x ∈KerS‬מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬
‫יהי ‪ V‬מ"ו ותהי‬
‫= ‪T2‬‬
‫‪ T :V V‬כך ש‪ T °T =0 -‬‬
‫הגדרה‬
‫הראו ש‪-‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪dimV‬‬
‫‪2‬‬
‫≥ ‪dimKerT‬‬
‫על פי טענה קודמת ‪ ImT ⊆KerT‬ולכן‬
‫ע"ע משפט המימד‬
‫נסמן‬
‫‪dimImT ≤dimKerT‬‬
‫‪dimImT dimKerT =dimV‬‬
‫‪ n=dimV‬נרשום‪:‬‬
‫‪7‬‬
‫‪n=dimKerT dimImT ≤dimKerT dimKerT =2dimKerT‬‬
‫‪n‬‬
‫‪≤dimKerT‬‬
‫‪2‬‬
‫כמו שרצינו‪ .‬מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬
‫זה "שקול"‪/‬דומה לתרגיל שעשינו בסמסטר הקודם‪:‬‬
‫‪ A‬מטריצה ריבועית‬
‫תרגיל‪:‬‬
‫תהיינה‬
‫‪n‬‬
‫‪ . n×n‬אם ‪ A2 =0‬אז ‪≤dimNull A‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ S :V V‬כך ש‪.* S  T =0 -‬‬
‫‪, T :V V‬‬
‫‪. dimV =4‬‬
‫הראו ש‪2≥dimIm T ° S  -‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫מספיק שנראה ש‪) dimKer T ° S ≥2 -‬בגלל משפט המימד(‬
‫‪ . kerS ≤ker T °S ‬לכן אם‬
‫אם ‪dimKerS =1‬‬
‫אם‬
‫‪dimKerS =0‬‬
‫‪ dimKerS ≥2‬אז סיימנו‪.‬‬
‫אז‬
‫‪dimImS =3‬‬
‫אז‬
‫‪dimImS =4‬‬
‫נטפל במקרה בו ‪ . dimKerS =0‬למדנו שזה שקול מכך ש‪ S-‬חח"ע‪.‬‬
‫מכך ש‪ S :V V -‬נובע שהיא גם על‪ .‬לכן ‪ S‬הפיכה‪.‬‬
‫נפעיל את‬
‫לכן גם‬
‫‪ S−1‬על * ונקבל ש‪T =0 ⇐ S −1 S °T =S −1 0 -‬‬
‫‪ T ° S =0‬ולכן‬
‫‪dimIm T ° S ≥2‬‬
‫נניח ש‪ . dimKerS ≤1 -‬ידוע לכן ש‪. S °T =0 -‬‬
‫ראינו שבמקרה זו ‪ ImT ⊆KerS‬ולכן‬
‫טענת עזר‪:‬‬
‫תהיינה ‪, T :V W‬‬
‫‪** dimImT ≤1‬‬
‫‪ , S :W U‬אז ‪dimImS °T ≤dimImT‬‬
‫]ההוכחה כתרגיל[‬
‫המשך‪:‬‬
‫אם נשתמש בטענת עזר‪ ,‬נקבל ש‪) 1≤dimImT ≤dimImT ° S  -‬לפי **( וסיימנו‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫הצגת העתקה ע"י מטיצה‬
.W-‫ בסיס ל‬C={w 1 ,... , w n } -‫ ו‬V-‫ בסיס ל‬B={v 1 ,... , v n }
, T :V W
[T v ]C =[T ]CB [V ]B ‫[ ומקיימת‬T ]CB
‫למדנו שבהנתן‬
‫קיימת מטריצה סמסומנת‬
[T ]BC =[ [T v1 ]C [T v2 ]C . ..[T v3 ]C ] -‫ למדנו ש‬,‫יתר עלכן‬
 x , y  ⟼ 5x y , x5y 
T : R2  R 2
‫תהי‬
:‫דוגמה‬
.‫ הבסיס הסטנדרטי‬E={e 1, e 2 }={1,0 ,0,1} ‫יהי‬
A={1,1 , 1,−1}
B={1,1 , 0,1}
[T ]BB
, [T ] AA
A
[T v ] A=[T ]A [V ]A
[T ]EE =[ [T e1 ] E [T e2 ]E ]

] = 1 
5
[T e1 ]= 5
1
[T e2
E
tr
, [T ]EE
‫כתבו את‬
-‫ וודאו ש‬v =1,2
‫יהי‬
: [T ]EE =e , e -‫נתחיל ב‬
1
2
<=
T e1 =T 1,0=5,1=5⋅e 11⋅e 2
<=
T e2 =1,5=1⋅e15⋅e 2
 =10
5 1
1 5
, det
 =24
5 1
1 5
[T ]AA=[ [T 1,1]A [T 1,−1]A ]
 
E
5 1
, [T ]E =
1 5
. [T ] AA -‫נעבור ל‬
T 1,1=6,6= 6 1,1 0 1,−1
[]
[T 1,1]A= 6
0
T 1,−1 = 5⋅1−1 , 15−1=4,−4
= 0 1,1 4 1,−1

[T 1,−1]A= 0
4
 
A
6 0
.‫[ שימו לב שזו מטריצה אלכסונית‬T ] A=
0 4
tr  6 0 0 4=10
 
det 6 0 =24
0 4
B
[T ]B ‫נשאיר לעצנו את‬
9
:‫תרגיל‬
:‫פתרון‬
T 1,2=T v =7,11
(I)
 
[T ]AA= 6 0
0 4
1,2 = a 1,1 b 1,−1
=  ab , a−b = 1,2
2a=¿
‫נבדוק זאת ע"י‬
‫ראשית נבדוק מיהו‬
[V ]A
[V ] A=
[]
3
2
1
−
2
a=1 1
2a =3
2
1 1 b=1
2
b=−
‫לכן מיהו‬
[T v ] A
(II)
1
2

   
3
6 0 2
[T v ] A= 9 =
= [T ] AA [V ] A
−2
0 4 −1
2
  -‫ כלומר מכך ש‬,‫נבדוק שלא טעינו‬
[T v ] A= 9
−2
T v =91,1=21,−1=7,11V tick 
[ [T 01 ]B [T 02 ]B ]

]= 4 
−8
A= f 1 , f 2
= [T ]B = g , g 
1
2
‫נבדוק‬
[T f1 ]B= 6
0
<=
T f1 =T 1,16,6= 6 1,1 0 0,1
[T
<=
T f2=T 1,−1= 4,−4= 4 1,1 -8 0,1
f2


4
0 −8
=−48
[T ]BA= 6 4
0 −8


tr 6 4 =−2
0 −8
10

det 6
‫תרגיל‪:‬‬
‫שאלה ‪ 2003 6‬מואד א'‪.‬‬
‫נניח כי‬
‫‪ T :ℝ2 [ x ]ℝ2‬מוגדרת ע"י‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪T  p x= p ' 0 p 0‬‬
‫‪p ' 0− p 0‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצאו בסיס ל‪ .ImT-‬מהו ‪?dimImT‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצאו בסיס ל‪ .KerT-‬מהו ‪?dimKerT‬‬
‫ג‪.‬‬
‫האם ‪ T‬חח"ע על?‬
‫ד‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫מצא את המטריצה המייצגת את ‪ T‬לפי הבסיסים הסטנדרטים ] ‪ℝ ,ℝ 2 [ x‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצאו בסיס ל‪ .ImT-‬מהו ‪?dimImT‬‬
‫למדנו שאם‬
‫} ‪ { f 1, f 2, f 3‬בסיס ל‪ ℝ2 [x ] -‬אז } ‪ImT =Sp {T f1 , T f2 , t f3‬‬
‫יהי } ‪ { f 1 , f 2 , f 3‬הבסיס הסטנדרטי‬
‫‪2‬‬
‫‪f 1=1 f 2=x f 3 x‬‬
‫‪    ‬‬
‫}‪{     } {   ‬‬
‫‪T x = 10 = 1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪T 1= 01 = 1‬‬
‫‪0−1 −1‬‬
‫‪1 , 1‬‬
‫‪−1 1‬‬
‫קיבלנו‬
‫‪1 , 1 , 0‬‬
‫‪−1 1 0‬‬
‫‪= Sp‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪T 2x = 00 = 0‬‬
‫‪00‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ImT =Sp‬‬
‫קל לראות שהם בת"ל ולכן הם בסיס לתמונה‪ .‬ולכן המימד של ‪ImT =2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצאו בסיס ל‪ .KerT-‬מהו ‪?dimKerT‬‬
‫ראינו ש‪ dimKerT =1 -‬ומצאנו ש‪ x 2 ∈ KerT -‬ולכן } ‪ { x 2‬בסיס ל‪.KerT-‬‬
‫ג‪.‬‬
‫האם ‪ T‬חח"ע על?‬
‫הוא על ממה שהרגע ראינו‪.‬‬
‫ממשפט המימד נובע ש‪ dimKerT =1 -‬ולכן הוא אינו חח"ע‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא את המטריצה המייצגת את ‪ T‬לפי הבסיסים הסטנדרטים‬
‫‪2‬‬
‫] ‪ℝ , ℝ2[ x‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪1⟼ 1‬‬
‫מקודם‪:‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪x⟼ 1‬‬
‫‪ℝ2‬‬
‫‪[ T 1 ]¿ T x‬‬
‫¿‬
‫‪ℝ2‬‬
‫‪E‬‬
‫¿ = ‪[ T ]E‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ℝ‬‬
‫]‪ℝ2 [x‬‬
‫‪11‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪x2 ⟼ 0‬‬
ℝ2
ℝ2
[T 1]¿ 1
−1
[  ]  
¿
1
−1
‫ובאופן סאוסן נקבל‬
¿
1 1 0
−1 1 0
E
[ T ]E = ¿
ℝ2 [x]
2
ℝ
−11 = 1  10 -1 01
12
‫שיעור ‪) 07.04.10 – 5‬אחרי פסח(‬
‫הערות מתרגיל ‪1‬‬
‫כדי להראות שהעתקה הוא לינארית‪:‬‬
‫‪ .1‬משמרת חיבור‪:‬‬
‫‪T  vw =T v T w‬‬
‫‪ .2‬משמרת כפל בסקלר‬
‫‪T  v = T  v‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪ - T  0 =‬זה נובע מ‪ 1-‬ו‪ .2-‬לכן כדי להראות ש‪ T-‬אינה לינארית‬
‫‪0‬‬
‫אפשר למשל להראות שוקטור האפס לא עובר לוקטור האפס‪.‬‬
‫שמחפשים מטריצה שמייצגת העתקה ‪T  x , y , z =3x , 4y8z , x y z‬‬
‫נזכור‪ :‬אפשר לנחש‬
‫‪     ‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪= 4y8z‬‬
‫‪x y z‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪z‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪i‬‬
‫‪h‬‬
‫‪g‬‬
‫‪⇐ d e f‬‬
‫‪axby cz‬‬
‫‪dxey  fz‬‬
‫‪...‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x y z‬‬
‫‪z‬‬
‫‪A y = 4y8z‬‬
‫‪  ‬‬
‫ולכן‬
‫‪3 0 0‬‬
‫‪A= 0 4 8‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫אפשר להזכר שמטריצה שאנחנו מחפשים זו מטריצה הייצוג לפי הבסיס הסטנדרטי‪:‬‬
‫‪E‬‬
‫‪[T ]E‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪3 0 0‬‬
‫⋮ ⋮ ⋮‬
‫‪0 4 8 = Te 1 Te 2 Te 3‬‬
‫⋮ ⋮ ⋮‬
‫‪1 1 3‬‬
‫עוד משהו‪:‬‬
‫לא נכון‬
‫∣‪∣A±B∣=∣A∣±∣B‬‬
‫∣‪∣AB∣∣A∣∣B‬‬
‫הערות מתרגיל ‪:2‬‬
‫נתונה העתקה לינארית ע"י כפל במטריצה ‪ .A‬מקבשים למצוא את תמונת ההעתקה‪.‬‬
‫למדנו שזה בדיוק המרחב )‪.col(A‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪⇐ T  x , y , z =3x y , 4x8z ‬‬
‫עמודה = ‪Te1‬‬
‫הראשונה‬
‫יודעים ש‪:‬‬
‫עמודה =‪Te 2‬‬
‫השנייה‬
‫‪  ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪z‬‬
‫‪3 1 0‬‬
‫‪4 0 8‬‬
‫‪. . .‬‬
‫עמודה =‪Te 3‬‬
‫השלישית‬
‫‪ImT =spTe 1, Te2, Te 3=col  A‬‬
‫כדי למצוא בסיס למרחב העמודות אפשר לדבר לפי שורות ובעמודות בהם מקבלים איבר פותח‬
‫עמודות המטריצה המקורית יהיו בסיס‪.‬‬
‫‪1‬‬
   
col  A=sp 3 , 1
4 0
.kerS-‫מצאו בסיס ל‬
S 1,1,0=1,2
‫ולכן‬


3 1 0 R −4 R  3 1
2
3 1
0 −4
4 0 8
3
S 1,0,2=2,4

.‫ על‬S :ℝ3  ℝ 2
3=dim ℝ3=dimKerS dimIms
=dimKerS dimsetR2 -‫ על נקבל ש‬S-‫ממשפט המימד ומכך ש‬
=dimKerS 2
0
8

:6 ‫שאלה‬
:‫פתרון‬
dimKerS =1 -‫ונקבל ש‬
(‫ )נכון בלינאריות‬
0 =T v −T w =T v −w⇐ T  v=T w
S  21,1,0=2S1,1,0

S 2,2,0=2,4
S 1,0,2=2,4 ‫וגם נתון‬
‫מלינאריות‬
S 1,2,−2=S 2,2,0−1,0,2=S 2,2,0−S 1,0,2=2,4−2,4=0
‫ולכן‬
.kerS-‫ בסיס ל‬1,2,−2
‫ולכן‬
‫ ומגדירים‬v 1 , v 2 , ... , v n∈V
n
T :ℝ V
‫נתונים‬
:5 ‫שאלה‬
n
a1 ,... , a n ∑ ai v i =a 1 v 1...a n v n
i =1
3,5,8 3v 15v 28v 3
4 ‫שאלה דוגמה לשאלות הליכסון בתרגול‬
W-‫ בסיס ל‬C={w 1 , ... , w n } -‫ ו‬V-‫ בסיס ל‬B={v 1 ,... , v n } -‫ ו‬T :V W
B
W
B
[T ]C [V ] B =[Tv ]C ‫[ מקיימת‬T ]C =[ [Tv1 ]C ...[Tv n ]C ]
‫בהנתן‬
‫אז המטריצה‬
.U-‫ בסיס ל‬D={u 1 , ... , u n } -‫ ו‬S :W V
‫אם‬
* [S ]CD °[T ]BC =[S °T ]BD
‫אז‬
2
:‫תזכורת‬
:‫בנוסף‬
‫תרגיל‪:‬‬
‫}‪v 1={1, 2, 3‬‬
‫יהיו‬
‫מצאו את‬
‫הקדמה‪:‬‬
‫} ‪v 2 ={0, 1, 2‬‬
‫‪ [ I ]BE‬ו‪ [ I ]EB -‬כאשר‬
‫} ‪ v 3={0, 0,1‬בסיס ל‪ ℝ3 -‬שנמנו ב‪.B-‬‬
‫‪ I :ℝ 3  ℝ3‬העתקת הזהות‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪E‬‬
‫‪E‬‬
‫ראשית נזכר שמ‪ *-‬נובע ש‪[ I ] E °[ I ] B=[ I ° I ]E =[ I ] E =I -‬‬
‫כלומר אלו מטריצות הופכיות זו לזו‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫מכיוון ש‪ ) [v ] E=V -‬ב‪ ( ℝn -‬תמיד קל יותר למצוא את ‪[ I ]E‬‬
‫כלומר‪ ,‬כאשר ‪ E‬הוא הבסיס של הטווח‪ ,‬יותר קל למצוא את המטריצה המייצגת‬
‫נפתור‪:‬‬
‫] [‬
‫‪1 00‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ [ I ]E = 2 1 0‬כי‬
‫‪321‬‬
‫‪‬‬
‫עתה כדי למצוא את‬
‫‪1‬‬
‫‪… [1,2,3]E = 2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ [ I ]B‬אפשר למצוא את המטריצה ‪[ I ]E‬‬
‫או לחילופין למצוא אותה מההגדרה‪.‬‬
‫נמצא מההגדרה‪:‬‬
‫] ‪[ I ] EB =[[e 1 ]B [e 2 ]B [e 3 ]B‬‬
‫‪0,0,1=e 3=a 1,2,3b 0,1,2c 0,0,1‬‬
‫=<‬
‫‪0,1,0=a 1,2,3b 0,1,2c 0,0,1‬‬
‫=<‬
‫‪1,0,0=a 1,2,3b0,1,2c 0,0,1‬‬
‫=<‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪[e3 ]B = 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪[e 2 ]B = 1‬‬
‫‪−2‬‬
‫ולכן‬
‫‪‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪1 0‬‬
‫‪−2 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪[e1 ]B = −2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪[ I ]EB =[ [e 1 ]B [e 2 ] B [e 3 ]B ]= −2‬‬
‫‪1‬‬
‫כדאי לבדוק ע"י הפל שאכן הן הופכיות‪.‬‬
‫נעשה תרגיל דומה ונדבר )על‪-‬הדרך( על ליכסון‪.‬‬
‫מטרה‪ :‬נתונה‬
‫‪‬‬
‫‪0 0 −2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 0 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ A= 1 2‬ואנחנו רוצים למצוא מטריצה שדומה ל‪ A -‬שהיא גם אלכסונית‪.‬‬
‫לתהליך זה קוראים ליכסון של ‪ .A‬אם מצליחים אומרים ש‪ A-‬לכסינה‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬מחפשים מטריצה הפיכה ‪ P‬כך שהמטריצה ‪ P−1 A P‬מטריצה אלכסונית‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪a 0 0‬‬
‫‪P−1 A P= 0 b 0‬‬
‫‪0 0 c‬‬
‫‪3‬‬
‫איך נעשה זאת?‬
‫תהי ‪ T‬ההעתקה ש‪ A-‬מגדירה ‪. T : ℝ3 ℝ 3‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y A y‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z‬‬
‫מי זו ‪ ? [T ]EE‬נשים לב שזו פשוט ‪.A‬‬
‫] ‪[T ]EE =[ [Te1 ]E ...‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪[ ]  ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Te1 =A 0 = 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪[Te 1 ]E= 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫נשים לב שאם } ‪C={v 1 , v 2 , v 3‬‬
‫‪[T ]CC = [ I ]CE [T‬‬
‫בסיס אחר של ‪ ℝ3‬אז מתקיים ‪] EE [ I ]CE‬‬
‫‪‬‬
‫‪=[T °I ]CE =[T ]CE‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪[ I ]C [T ]E =[T ]C‬‬
‫‪ [ I ]CE [T ]EE [ I ]CE =[T ]CC‬כאשר )‪ (T=A‬ונרצה ש‪ [T ]CC -‬תהייה אלכסונית‪.‬‬
‫‪ [T ]CC‬אלכסונית כאשר וקטורי ‪C‬‬
‫הם וקטורים עצמיים של העתקה ‪ T‬כלומר וקטורים עצמיית של ‪.A‬‬
‫נמצא בסיס ‪ C‬המורכב מוקטורים עצמיים של ‪:A‬‬
‫עלינו למצוא את הערכים העצמיים‪:‬‬
‫∣‬
‫‪2 =  x−22  x−1‬‬
‫‪x−2‬‬
‫∣‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪−1 =  x −2‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪x−3‬‬
‫∣‬
‫‪0‬‬
‫‪x−2‬‬
‫‪0‬‬
‫∣‬
‫‪x‬‬
‫‪det  xI− A= −1‬‬
‫‪−1‬‬
‫לכל ערך עצמי‪ ,‬נמצא וקטורים עצמיים‪:‬‬
‫עבור ‪ x=2‬זה מרחב האפס של‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 0 2‬‬
‫‪1 0 1‬‬
‫‪  0 0 0‬דירוג ‪−1 0 −1 ‬‬
‫‪−1 0 −1‬‬
‫‪0 0 0‬‬
‫ובסיס למרחב האפס הוא ‪v 2 =0,1,0  , v 1=−1,0,1‬‬
‫‪4‬‬
‫נבדוק‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪     ‬‬
‫][‬
‫‪−1‬‬
‫‪0 0 −2 −1‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪A 0 =1 2 1‬‬
‫=‬
‫‪=2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪9 0 3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪v 3= 1‬‬
‫‪1‬‬
‫עבור ‪ x=1‬נקבל את הוקטור‬
‫כוקטור עצמי )אפשר לוודא(‪.‬‬
‫קיבלנו שיש ‪ 3‬וקטורים עצמיים וע"פ משפט הנלמד‪ ,‬הם בהכרח מהוים בסיס‬
‫)אפשר לבדוק ישירות(‪ .‬נסמן בסיס זה ב‪C={v 1 , v 2 , v n } -‬‬
‫נבדוק מה ‪. [T ]CC =‬‬
‫לפי ההגדרה‬
‫‪[ ] [ ] [ ] ‬‬
‫‪C‬‬
‫⋮‬
‫‪Tv 3‬‬
‫⋮‬
‫‪C‬‬
‫⋮‬
‫‪Tv 2‬‬
‫⋮‬
‫‪C‬‬
‫⋮‬
‫‪Tv 1‬‬
‫⋮‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫= ] ‪[T‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪    ‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 0 −2‬‬
‫‪A= 1 2 1‬‬
‫‪1 0 3‬‬
‫‪0 0 −2 −1‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪Tv 1= 1 2 1‬‬
‫= ‪0‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪1 0 3‬‬
‫‪ 2‬חשוב ‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪0 −2‬‬
‫‪0 = Tv 1 = av 1bv 2cv 3 = a 0 b 1 c 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 0 0 0 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Tv 2=T 1 = 2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Tv 2=0v 12 v 20 v 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪[T v2 ]C = 2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪Tv 3=T 1 = 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Tv 3=0v 10v 21v 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪[Tv 3 ]C = 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫ולכן‬
‫‪[ ] [ ] [ ]   ‬‬
‫‪2 0 0‬‬
‫‪= 0 2 0‬‬
‫‪0 0 1‬‬
‫‪C‬‬
‫⋮‬
‫‪Tv 3‬‬
‫⋮‬
‫‪C‬‬
‫⋮‬
‫‪Tv 2‬‬
‫⋮‬
‫‪C‬‬
‫⋮‬
‫‪Tv 1‬‬
‫⋮‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫= ] ‪[T‬‬
‫יודעים ש‪[T ]CC = [ I ]CE [T ]EE [ I ]EC = [I ]CE A[ I ]EC -‬‬
‫ולחשב את ‪ [ I ]CE‬זה קל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪−1 0 −2‬‬
‫‪[‬‬
‫‪I ]CE = 0 1 1‬‬
‫‪1 0 1‬‬
‫‪P‬‬
‫סה"כ מצאנו ‪ P‬ש‬
‫‪ P−1 A P‬מטריצה אלכסונית‬
‫לזה קוראים לכסין של ‪.A‬‬
‫‪6‬‬
‫שיעור ‪14.04.10 – 6‬‬
‫ערכים עצמיים‪ ,‬וקטורים עצמיים ולכסון‬
‫תזכורת‪:‬‬
‫‪ v ≠0 , T :V V‬ונקרא ו"ע אם ‪. Tv= v‬‬
‫‪ A‬מטריצה ריבועית‪.‬‬
‫תרגיל‪:‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪ v ≠0‬נקרא ו"ע אם‬
‫‪ ‬נקרא הע"ע של ‪.v‬‬
‫‪  . Av= v‬נקרא הע"ע של ‪.v‬‬
‫הראו ש‪ A-‬לא הפיכה אם"ם ‪ 0‬ערך עצמי של ‪.A‬‬
‫קיים‬
‫‪ Av=0⋅v=‬אם"ם קיים פתרון לא טריביאלי למע'‬
‫‪ v ≠0‬כך ש‪0 -‬‬
‫ההומוגנית ש‪ A-‬מגדירה‪ ,‬כלומר } ‪ nw  A≠{0‬אם"ם ‪ A‬לא הפיכה‪.‬‬
‫הערה‪:‬‬
‫זה לא אומר כלום לגבי לכסון‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 0 0‬‬
‫‪0 1 0‬‬
‫‪0 0 1‬‬
‫למשל‪ ,‬מטריצת האפס הוא אחלה מטריצה אלכסונית‪ ,‬וגם‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫תרגיל‪:‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫קיים ‪ v ≠0‬כך ש‪. Tv= v -‬‬
‫פעמים ‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪T  v=T‬‬
‫‪°T °...T =T °T °... T ‬‬
‫‪v  =...=‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫פעמים ‪n−1‬‬
‫‪v‬‬
‫‪0‬‬
‫‪T =T‬‬
‫‪ n‬ע"ע של ‪°... °T °T‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫אם ‪ ‬ע"ע של העתקה ‪ T‬אז‬
‫‪nv‬‬
‫‪  ,‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪k‬‬
‫פעמים ‪n‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫= ‪T  v ‬‬
‫‪  T v= ⋅⋅v=‬‬
‫לינאריות‬
‫תרגיל‪:‬‬
‫תהי‬
‫‪ T :V V‬ויהי‬
‫‪ ∈ℝ‬כלשהו‪ .‬הראו ש‪v 2 :={v∈V ∣ Tv = v } -‬‬
‫הוא תת מרחב של ‪ .V‬תת‪-‬מרחב זה נקרא המרחב העצמי של ‪. ‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫זהו הגרעין של ההעתקה ‪ I d −T‬‬
‫מדוע? אם‬
‫תזכורת‪:‬‬
‫] ‪[ Tv− v=0 ⇒ T − I  v=0‬‬
‫‪Tv= v ⇔ −T v  =  I d v −T  v =  I d −T v=0‬‬
‫אם ‪ T‬ו‪ S-‬העתקה לינארית‬
‫‪ T , S :V W‬אז‬
‫‪T S v :=T  vS v ‬‬
‫‪T −S v :=T  v−S v ‬‬
‫ואלו העתקות לינאריות‪.‬‬
‫‪ I d −T  v‬‬
‫‪1‬‬
‫פתרון אחר‪:‬‬
‫בוחן לתת מרחב‪.‬‬
‫‪T‬‬
‫‪0 = ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪T  vw =T v T w= v  w=2 vw‬‬
‫השלימו את הערטים‪...‬‬
‫שלוש דוגמאות ללכסון‬
‫דוגמה ‪:1‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫ואז לכל ערך עצמי למצוא ו"ע התאים לא‪.‬‬
‫‪0 0 4‬‬
‫כדי למצוא ע"ע ← הפולינום האופייני‪.‬‬
‫‪=  x−32  x−4‬‬
‫הערה‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫נרצה למצוא את הערכים העצמיים של ‪A‬‬
‫‪3 2 0‬‬
‫‪A= 0 3 0‬‬
‫∣‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ x−4‬‬
‫‪∣‬‬
‫‪ x−3‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪x−3‬‬
‫= ∣‪∣x I − A‬‬
‫=<‬
‫‪ 3‬בריבוי ‪x 1=2‬‬
‫‪ 4‬בריבוי ‪x 2 =1‬‬
‫שימו לב שבמטריצה משולשית הע"ע מופיעים על האלכסון‪.‬‬
‫נמצא את הוקטורים העצמיים המתאימים לערך העצמי ‪.4‬‬
‫בעצם מה שנרצה לעשות‪ ,‬זה למצוא בסיס ל‪.4-‬‬
‫‪ℝ3 4 = {v∈ℝ3 ∣ Av=4v } = nul 4I− A‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 −2 0‬‬
‫‪1 0‬‬
‫‪0 0 0‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪= 0‬‬
‫‪4−3 −2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4−3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4−4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪nul  =sp 0‬‬
‫‪1‬‬
‫עבור‬
‫‪ x=3‬נחשב את ‪nul 3I− A=ℝ3 3‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= sp 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 −2 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 0 −1‬‬
‫‪‬‬
‫‪nul 0‬‬
‫שימו לב שהתקבל מרחב ממיצד ‪ 1‬למרות הערך העצמי ‪ 3‬הוא בריבוי ‪2‬‬
‫נזכר שע"מ ללכסון את ‪ A‬עלינו למצוא בסיס של ו"ע של ‪.A‬‬
‫שימו לב שלא ניתן למצוא כזה בסיס‪ .‬מדוע? ראינו שו"ע חייבת להיות או ב‪-‬‬
‫‪v3‬‬
‫או ב‪ . v 4 -‬אבל‬
‫‪= V 3V 4≠ℝ 3‬‬
‫‪2‬‬
‫}‪{   ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Sp 0 , 0‬‬
‫לכן לא ניתן למצוא בסיס של וקטורים עצמיים‪.‬‬
‫דוגמה ‪:2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪A= 1 1‬‬
‫‪∣ xI − A∣= x−12‬‬
‫‪0 1‬‬
‫יש ע"ע יחיד והוא שווה ל‪ ,1-‬מופיע בריבוי ‪.2‬‬
‫אפשר ללכסן את ‪ A‬אם"ם קיים בסיס ל‪ ℝ2 -‬המורכב מו"ע של ‪.A‬‬
‫כל הוקטורים העצמיים יחיו במרחב העצמי של ‪:1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ℝ 1=nul 1 I − A=nul 0 −1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ = sp  ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 −1‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪  =   ⇒ nul ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪0 −1 x‬‬
‫‪0 0 y‬‬
‫‪‬‬
‫‪3,0 , 4,0 ,− 2, 0 ,−e ,0 ‬‬
‫אין בסיס ל‪ ℝ2 -‬המורכב מוקטורים עצמיים!!!‬
‫לכן לא ניתן ללכסן!‬
‫שימו לב‪ ,‬שהריבוי של ‪ 1‬הוא ‪2‬‬
‫ומימד המרחב העצמי של ‪ 1‬הוא קטן לא שווה מ‪.2-‬‬
‫דוגמה ‪:2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫‪A= −1 −6 −2‬‬
‫למצוא ע"ע‪ ,‬כלומר שורשי הפולינום האופייני‪:‬‬
‫∣‬
‫‪x−4 −1‬‬
‫]‪=  x6[ x−4 x−5‬‬
‫‪−5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x 1,2,3 = −6, 5, −1‬‬
‫∣‬
‫‪=  x6‬‬
‫∣‬
‫∣‬
‫‪ x− 4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x−6 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x−0‬‬
‫= ∣‪∣ xI − A‬‬
‫‪=  x6 x 2−4x−5 =  x6 x−5 x 1‬‬
‫נתחיל ב‪: x=−6 -‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪⊇ Sp 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪−10 0 −1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0 2‬‬
‫‪−5 0 −6‬‬
‫‪nul‬‬
‫מוודאים ע"י דירוג שקודם יש שוויון‪.‬‬
‫‪: x=5‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−3‬‬
‫‪11‬‬
‫דירוג‬
‫‪= nul5I− A = Sp‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫} ‪{t ,− 3 , t ∣ t∈ℝ‬‬
‫‪11‬‬
‫‪‬‬
‫=‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0 −1‬‬
‫‪1 11 2‬‬
‫‪−5 0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪nul‬‬
nul
. P−1

−5 0 −1
1 5 2
−5 0 −1


−1

−5
5
= Sp − 9 = Sp −9
25
: x=1
25
1
‫ ולמצוא את‬,‫ אלכסונית‬P−1 A P -‫ כך ש‬P ‫נרמה לרשום את‬
[T A]B
.P ‫מי תהיה‬
[T A ]E

−6 0 0
0 5 0
0 0 1

=P −1 A P
B={ 0,1,0
  , 1,− 3 ,1  , − 1 ,− 9 , 1  }
11
5
25


v1
v2
v3
E
B
[T A]B =[ I ]B [T A ] E [I ] E



0
−1
1
5
[ I ]BE = [v 1 ]E [v 2 ] E [ v3 ]E = 1 − 3 − 9
11
25
0
1

 
−5
P−1 =
1
0
6
−4
55
−5
6
1
0
5
6
19
35
1
6
adj (2 ‫( או‬P|I) ‫( דירוג‬1 ....‫הרבה עבודה‬
‫ ולה יש ע"ע שונים זה מזה‬n×n ‫זו דוגמה כל כך שאם יש מטריצה‬
:‫הערה‬
.‫ כלומר זה לא אם ורק אם‬,‫ זהו תנאי מספיק! ולא הכרחי‬.‫אז הוא לכסינה‬
 
∣
0 1 1
A= 1 0 1
1 1 0
∣
∣ ∣
x
−1 −1
x −1
−1 −1 x
∣xI − A∣ = −1
∣
0
= 1x   x−1
−1
∣
−1
0
x −1− x
−1 x1
=

c 3−c 2 c3
x −1
0
−1 x −1− x
−1 −1 x1
∣
∣ ∣
0
−1
0
2
−1 x
x −1− x
x1
c 1 xc 2 c 1 −1 x −1
=

∣
= 1x  x−1 −1 x = 1x  [
 x 2−1−1 x ]
−1
x1
2
x − x−2
= 1x  x−2 x1
.2 ‫ בריבוי‬x=−1
.1 ‫ בריבוי‬x=2
4
:3 ‫דוגמה‬
‫‪: x=−1‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪−s−t , t , s‬‬
‫‪0 0 0‬‬
‫מסקנה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪−1 −1 −1‬‬
‫= ‪nul −1 −1 −1‬‬
‫‪ nul 0 0 0‬‬
‫דירוג‬
‫‪−1 −1 −1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ℝ3 −1 = Sp −1,0,1‬‬
‫‪−1,1,0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ℝ 32 = 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪−1 −1‬‬
‫‪2 −1‬‬
‫‪−1 −1 2‬‬
‫‪nul 2I−A = −1‬‬
‫} ‪V  :={v∈V ∣ Tv = v‬‬
‫נבחר‬
‫‪‬‬
‫} ‪B={1,1,1 , −1,1,0  , −1,0,1‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪0 1 1 1 −1 −1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1 1 0 1 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1 0 1 1‬ההופכית =‬
‫‪2 0 0‬‬
‫‪0 −1 0‬‬
‫‪0 0 1‬‬
‫‪‬‬
‫"אלגוריתם" ללכסון‬
‫‪ A‬מטריצה‬
‫‪(1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪. n×n‬‬
‫מוציאים פולינום אופיינו וערכים עצמיים‪.‬‬
‫‪P A= x−x 1 r ... x− x k r‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x 2=2‬‬
‫‪ x12  x−2‬‬
‫‪(2‬‬
‫מוציאים את‬
‫אם לכל‬
‫‪r 1...r k =n‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ V x‬לכל‬
‫‪x 1=1‬‬
‫‪ x 1 , ... , x k‬שורשים שונים‬
‫‪r 2=2‬‬
‫‪r 2=1‬‬
‫‪xi‬‬
‫‪ r i=dimV x‬ניתן ללכסן האחיד הבסיסים ש‬
‫‪i‬‬
‫אם לא אז אי אפשר‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ V x‬בסיס מלאכן‪.‬‬
‫אינדקס‬
‫מ‬
‫מרחב העצמי‪1..........................................‬‬
‫ל‬
‫לכסינה‪3.................................................‬‬
‫‪6‬‬