‫אלגברה לינארית ב ‪ -‬תרגול‬ ‫מני אקא‬ ‫מרכז הבינתחומי הרצליה‬ ‫סמסטר ב'‪ ,‬שנה א'‪2009 ,‬‬ ‫תאריך עדכון אחרון של קובץ זה הוא‬ ‫רביעי‪14 ,‬אפריל‪2010 ,‬‬ ‫עדכונים וכתב הויתור )שווה לקרוא( נמצאים באתר‬ ‫‪http://idc.gadi.cc/compsci/‬‬ ‫הסיכומים הוכנו ע"י גדי כהן‬ ‫סטודנט לתואר מדעי המחשב‬ ‫תוכן העניינים‬ ‫שיעור ‪1.............................23.02.10 – 1‬‬ ‫ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של‬ ‫מטריצות‪1..........................................‬‬ ‫שיעור ‪1.............................03.03.10 – 2‬‬ ‫שיעור ‪2.............................10.03.10 – 3‬‬ ‫חישוב גרעין ותמונה‪2...........................‬‬ ‫חזרה על וקטור קואורדינטות‪4...............‬‬ ‫שיעור ‪7.............................17.03.10 – 4‬‬ ‫תרגילים אבסטרקטיים על גרעין ותמונה ‪7.‬‬ ‫הצגת העתקה ע"י מטיצה‪9....................‬‬ ‫שיעור ‪) 07.04.10 – 5‬אחרי פסח(‪1...........‬‬ ‫הערות מתרגיל ‪1...............................1‬‬ ‫שיעור ‪1.............................14.04.10 – 6‬‬ ‫ערכים עצמיים‪ ,‬וקטורים עצמיים ולכסון‪1. .‬‬ ‫שלוש דוגמאות ללכסון‪2.......................‬‬ ‫אינדקס‪4...............................................‬‬ ‫שיעור ‪23.02.10 – 1‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של מטריצות‬ ‫‪http://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalue,_eigenvector_and_eigenspace‬‬ ‫ערך עצמי‪http://he.wikipedia.org/wiki/‬‬ ‫} ‪{ ‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪=R‬‬ ‫=‬ ‫‪⋮ ...‬‬ ‫מרחב וקטורי‪ A .‬מטריצה ריבועית ‪.nxn‬‬ ‫‪an‬‬ ‫למדנו‪:‬‬ ‫‪⇔ ∣A∣≠0 ⇐ Y ank A=n‬‬ ‫‪A x=b‬‬ ‫‪‬‬ ‫פתרון יחיד‬ ‫‪{0 }=nul‬‬ ‫‪ A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪{ x ∣ A x= ‬‬ ‫}‪0‬‬ ‫*‬ ‫‪ B‬מטריצה ‪nxn‬‬ ‫‪B v =‬‬ ‫‪ ⇔ ∣B∣=0‬קיים וקטורים≠ ‪ V‬כך ש ‪0‬‬ ‫מטרה‪:‬‬ ‫בהנתן מטריצה ‪ ,A‬להבין איך ‪ A‬פועלת על וקטורים‬ ‫ולמצוא וקטורים שעליהם הוא היא פועלת באופן פשוט‪.‬‬ ‫‪ℝn‬‬ ‫מה ז”א “פועלת” ?‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2 0 0‬‬ ‫‪A= 0 2 0‬‬ ‫‪0 0 3‬‬ ‫כפל ב‪A -‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ℝn‬‬ ‫‪e 1=1,0,0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪e 2=0,1,0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪A e 2= 2 =2 e 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪A e 3=3⋅e3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪v ↦ Av‬‬ ‫לינאריות‬ ‫‪A3 e 14 e 2  ‬‬ ‫=‬ ‫‪ 3 Ae 14 A e 2=3⋅2 e 14⋅2 e 2 =2⋅3 e 14 e2 ‬‬ ‫סמסטר ב‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪A 2 =A  1⋅e 12⋅e 23 e3  =1⋅A e 12 Ae 2 3 A e3=2 e12⋅2‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪3⋅3‬‬ ‫‪e‬‬ ‫=‬ ‫‪2 3 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫מטרה‪:‬‬ ‫בהינתן מטריצה ‪ ,A‬מצאו כמה שיותר וקטורים )מטרה אולטימטיבית – למצוא‬ ‫בסיס שלם( שעליהם ‪ A‬פועלת בכפל בסקלר‪ .‬כלומר‪,‬‬ ‫מצאו ‪ V ≠0‬כך ש‪ Av=av -‬עבור איזשהו ‪ a) a∈ℝ‬יכול להיות אפס(‪.‬‬ ‫שימו לב‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ Av= x⋅v‬שקול ל‪Av= xI v -‬‬ ‫‪x 0 ⋯ 0‬‬ ‫‪0 x ⋯ 0‬‬ ‫‪0 0 ⋱ 0‬‬ ‫‪0 0 0 x‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‪Av‬‬ ‫⇔ ‪ xI −A v=0‬‬ ‫מסקנה‪:‬‬ ‫אם ‪ ∣xI − A∣=0‬אז קיים ‪ v ≠0‬כל ש‪. Av= x⋅v -‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫עשינו )משתמשים ב‪ (*-‬עבור ‪ B=xI −A‬ובשקילות האחרונה‪.‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪A= 1 2‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫נבדוק את ∣‪∣xI − A‬‬ ‫∣‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪∣    ∣ ∣‬‬ ‫‪xI = x 0‬‬ ‫‪0 x‬‬ ‫‪x 0 − 1 2 = x−1 −2‬‬ ‫‪0 x‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪−4 x−3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= x−1 x−3−8=x −4x3−8=x 2−4x−5= x1 x−5‬‬ ‫ולכן ‪ x=5‬או ‪x=−1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪1 2 v=5⋅v‬‬ ‫גילינו שקיים וקטור ‪ v ≠0‬כך ש‪-‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫וקיים וקטור ‪ w≠0‬כך ש‪w=−1 w=−w -‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫נציב ‪ 5‬ב‪: ∣xI − A∣ -‬‬ ‫‪v≠0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4 −2‬‬ ‫‪5−1 −2‬‬ ‫=‬ ‫‪−4 2‬‬ ‫‪−4 5−3‬‬ ‫‪4 −2 v =xv= Av ⇔  xI − A v=0‬‬ ‫‪−4 2‬‬ ‫‪4 −2‬‬ ‫נמצא את כל ה‪-v-‬ים כך ש‪v =0 -‬‬ ‫‪−4 2‬‬ ‫‪4 −2 x 1 =0‬‬ ‫נעשה ‪ R2 R1  R 2‬ונקבל‬ ‫‪0 0 x2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪4x 1−2x 2=0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ולכן‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4x 1=2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪ x 1‬ו‪x 2=1 -‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4 −2 2 =0‬‬ ‫‪−4 2 1‬‬ ‫‪−4 −2 1 = 0‬‬ ‫‪−4 −2 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫*אופס‪ ,‬איבדתי איזה דף פה באמצא*‬ ‫למשל‪ ,‬הוקטור העצמי של הערך המצצמי ‪ 5‬בדוגמה שלנו הוא למשל‬ ‫וקטור עצמי שמתאים לע"ע‬ ‫‪ −1‬הוא למשל‬ ‫‪−11 ‬‬ ‫‪ . V =ℝn‬עתה ‪ A‬מטריצה ריבועית‪.‬‬ ‫נסמן‬ ‫‪n‬‬ ‫} ‪va={ v=ℝ ∣ Av=av , a∈ℝ‬‬ ‫טענה‪:‬‬ ‫‪ Va‬הוא תת מרחב של ‪. ℝn‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫)בוחן(‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪0∈ Va‬‬ ‫)לה משנה מהו ‪:(A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪0 =a⋅‬‬ ‫‪0 =0‬‬ ‫‪ .2‬סגירות לחיבור‬ ‫יהיו‬ ‫‪ . u , w∈Va‬כלומר‬ ‫‪, Av=av‬‬ ‫‪. Aw=aw‬‬ ‫נרצה להראות ש‪A vw=a vw -‬‬ ‫= ‪A vw‬‬ ‫נראה זאת‪ Av Aw=avaw=a vw :‬‬ ‫לינראיות‬ ‫‪ .3‬כפל בסקלר‬ ‫מאוד דומה‪ .‬תרגול‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12 ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ניסוח מחדש של המטרה‪:‬‬ ‫בהינתן מטריצה ‪:A‬‬ ‫‪ .1‬מצאו עבור אלה סקלרים ‪ ,a‬המרחב ‪ Va‬הוא לא מרחב האפס‬ ‫)אלו הערכים העצמיים(‪.‬‬ ‫‪ .2‬עבור אותם ‪-a‬ים ש‪ , va={0 } -‬מצאו בסיס למרחב‬ ‫)אלו הוקטורים העצמיים(‪.‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪A= 1 5‬‬ ‫‪Av= xv‬‬ ‫‪5 1‬‬ ‫נחפש את הערכים העצמיים של ‪.A‬‬ ‫∣‬ ‫‪? ∣xI− A∣=0‬‬ ‫מהו‬ ‫∣‬ ‫‪= x−1 −5 =  x−12−25 = 0‬‬ ‫‪x−1‬‬ ‫ולכן‬ ‫או‬ ‫‪x=−5‬‬ ‫‪−5‬‬ ‫‪. x=6‬‬ ‫עברנו על )א( במטרה‪.‬‬ ‫כלומר‬ ‫‪ dimV 60‬ו‪dimV −40 -‬‬ ‫ולכל סקלר אחר‬ ‫‪dimW =0‬‬ ‫‪ dimVa=0‬כלומר ‪. Va=0‬‬ ‫‪, a≠6,−4‬‬ ‫⇔ } ‪w = {0‬‬ ‫)ב( של המטרה‪ :‬למצוא בסיס ל‪ V 6 -‬ו‪. V −4 -‬‬ ‫שלב זה‪ :‬פתרון מערכת משוואות‪.‬‬ ‫בסיס ל‪: V 6 -‬‬ ‫אלו כל הוקטורים המקיימים ‪ Av=6v‬ובאופן שקול ‪. 6I−A v=0‬‬ ‫זוהי מערכת משוואות‪ ,‬נפתור אותה‪:‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪5 −5 x1 = 0‬‬ ‫‪0 0 x2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x 1=1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R 2 R1  R 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪sp  11  ∈V‬‬ ‫‪x 2=1‬‬ ‫בסיס ל‪: V −4 -‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6−1 −5 = 5 −5‬‬ ‫‪−5 6−1 −5 5‬‬ ‫נפתור את‬ ‫‪‬‬ ‫‪−3 −3 x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ −5 −5 1 = 0‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪−4I− A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−4−1 −5 = −5 −5‬‬ ‫‪−4−1 −5 −5 −5‬‬ ‫‪4‬‬ v 4=sp  11  ‫ ולכן‬sp  11  ‫ונגיע לפתרון הכללי‬ 6,6 f 2=−1,1 1,0= 12  f 1− f 2  f 1=1,1 A  10  = = 4,−4 A= 1  Af 1− Af 2  2 1 6f 14f 2 2  −1 2 2 2 2 −1 2 −1 2  : ∣xI − A∣=0 ‫נשים מטרה )א( נפתור את‬ ∣ ∣ x1 −2 −2 x1 −2 −2 −2 x−2 1 −2 x− 2 1 −2 1 x−2 −2 1 x−2 ∣ ∣ C 12C 2 C 1  C 3−x −2C 2 C 3 C 12C 2  C 1  C 3−x −2C 2  C 3 ∣ x1−4 x −22 x−2 −22x−4 x 1− x−22 0 1 0 ∣ x1− 4 −22x− 4 0 x x 1 −22 x−2 1− x−22 0 ∣ ∣ = − x−32⋅ − x −1−4  = − x−32  x 3 .(‫ סיימנו את )א‬.(‫ )פעמיים‬x=−3 ‫ )פעמיים( או‬x=3 ‫ולכן‬ 3I−A xx = 00  2  : V 3 ‫מטרה )ב( ע"מ למצוא את‬ ‫נפתור את‬ 1      4 −2 −2 x 1 0 = 0 0 0 x2 0 0 0 0 x3 0 Sp <=      1 2 0 1 , 1 2 1 0 =V 3 5     31 −2 −2 x 1 0 = −2 1 1 x2 0 −2 1 1 x3 0 x 2=0 , x 3=1 ‫ אז‬x 1= 1 2 ‫אם‬ x 2=1 , x 3=3 ‫ אז‬x 2= 1 2 ‫אם‬ :3x3 ‫דוגמה‬ ‫שיעור ‪03.03.10 – 2‬‬ ‫חסר בנתיים‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫שיעור ‪10.03.10 – 3‬‬ ‫חישוב גרעין ותמונה‬ ‫תרגיל‪:‬‬ ‫חשב את הגרעין ואת התמונה של העתקה הגזירה מ‪ℝn 1 [ x ]ℝn [x ] -‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫נסמן ב‪ D :ℝn 1 [ x ] ℝn [x ] -‬את העתקת הגזירה‪ ,‬כלומר ‪. D p  x= p '  x‬‬ ‫} ‪kerD = { p  x ∣ p '  x =0 } = {a0 ∣ a 0 ∈ℝ‬‬ ‫‪kerD=sp 1‬‬ ‫כלומר הפולינומים הקבועים ממימד ‪.1‬‬ ‫] ‪ D a0a1 x...a n x n =a12a 2...anx−1‬מתאפס כש‪ a 1 ... a n -‬כולם אפסים [‬ ‫התמונה תהייה ממימד ?‪.‬‬ ‫‪n1−1=n‬‬ ‫נבדוק מהי‪.‬‬ ‫אנו יודעים שמתקבלים כל הפולינומים ממעלה ≥ ‪. n−1‬‬ ‫למשל‪ ,‬התמונה של הפולינום‬ ‫‪1 i‬‬ ‫‪i−1‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫↦ ‪ i x‬לכל ‪0≤i≤n‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ולכן )‪ x 0, x 1, ... , x n −1 ∈ Im(D‬ולכן )‪Rn−1 [ x ] = Sp  x 0, x 1, .... , x n−1  ⊆ Im(D‬‬ ‫] ‪ n=dim ℝ n−1 [x‬ולכן יש בעצם שוויון כאן ‪‬‬ ‫כלומר ‪ImD = Sp x 0, ... , x n−1‬‬ ‫תרגיל‪:‬‬ ‫הסבר‪:‬‬ ‫תהי ] ‪, T :ℝn [ x ] ℝn [ x‬‬ ‫לדוגמה‪:‬‬ ‫‪ p  x ↦ p  x1− p x‬חשבו את הגרעין והתמונה‪.‬‬ ‫↦ ‪x2‬‬ ‫‪  x 12 −x 2 = x 22x1−x 2 = 2x1‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪x ↦  x1−x = 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x 3 ↦  x 1 3− x 3‬‬ ‫‪x 2 x ↦  x12 x1− x 2x ‬‬ ‫באופן כללי‪:‬‬ ‫↦ ‪a 0a 1 x1...a n x n‬‬ ‫‪ a 0a1  x1...a n  x−1n−a0 a1 x...a n x n‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ 3 ↦ 3−3=0‬שוב‪ ,‬הפולינומים ממעלה ‪ 0‬נמצאים בגרעין של ‪.T‬‬ ‫}‪ kerT ={ p  x ∣ p  x1= p  x ‬יהי‬ ‫נציב ‪:x=0‬‬ ‫‪p 0= p1‬‬ ‫‪ p  x ∈ kerT‬אז ‪p  x = p  x 1‬‬ ‫נציב ‪:x=1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪p 1= p 2‬‬ ‫נציב ‪:x=2‬‬ ‫‪p 2= p 3‬‬ ‫נציב ‪:x=k‬‬ ‫‪p  k = p k 1‬‬ ‫‪ . p  x −t‬נתבונן ב‪ . q  x = p  x − p 0 -‬זה פולינום עם אינסוף שורשים‪.‬‬ ‫כי‬ ‫‪, q 0= p0− p 0=0‬‬ ‫‪q 1= p 1− p 0=0‬‬ ‫‪p  k = p k − p x=0 … q 2= p 2− p 0=0‬‬ ‫כלומר‬ ‫כל‬ ‫‪ p  k = p0=t‬לכל ‪k‬‬ ‫‪ k ∈ℕ‬הוא שורש של ‪ q‬ולכן ‪ q‬הוא פולינום האפס‪.‬‬ ‫מכאן נובע ש‪ p <= p  x − p 0=0 -‬הוא פולינום הקבוע שערכיו תמיד ‪. p 0‬‬ ‫כלומר ‪ p‬פולינום הע"ע ממעלה ‪ 0‬ולכן } ‪kerT ={a 0 ∣ a0 ∈ℝ‬‬ ‫ממשפט המימד נובע שמימד‬ ‫‪ImT=n‬‬ ‫‪T  p x= p  x1− px‬‬ ‫‪x ↦  x12 −x 2= x 22x1−x 2=2x1‬‬ ‫משהו ממעלה ‪x3 ↦  x13− x3 =x 3...− x 3=2‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪3 ↦ 2 x13−2x 3=23 x 3...−23 x 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8x‬‬ ‫המשך הפתרון‪:‬‬ ‫נשים לב‪ ,‬שהמקדם של החזרה הכי גבוהה בפולינום ‪ p  x1‬שווה‬ ‫למקדם של החזרה הכי גבוהה בפולינום ‪. p  x ‬‬ ‫ולכן חזרה זו מתבטלת בפולינום‬ ‫‪T  p x= p  x1− p x‬‬ ‫“פסודו הוכחה"‬ ‫באופן יותר נורמלי אפשר לכתוב כך‪:‬‬ ‫קל לראות שהתמונה של ‪ x i‬הוא פולינום ממעלה ‪x−1‬‬ ‫‪ x1i−x i = ...‬‬ ‫)למשל לפי הבינום של ניוטן(‪.‬‬ ‫‪x 0 , ..., x n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ℝ‬וראינו כי‬ ‫בנוסף‪ ,‬זהו בסיס ל‪n [ x] -‬‬ ‫‪ImT=Sp T  x 1  , ... , T  x n ‬‬ ‫אלו פולינומים ממעלה ≥ ‪ n−1‬ולכן‬ ‫]‪ImT ⊆ ℝ n−1 [ x ] ⊂ ℝ n [ x‬‬ ‫ומשוויון המימד יש שוויון כאן‬ ‫‪3‬‬ ‫חזרה על וקטור קואורדינטות‬ ‫טענה‪:‬‬ ‫יהי ‪ V‬מ"ו‪ ,‬והי ‪ v 1 ,... , v n‬בסיס סדור של ‪.V‬‬ ‫אז לכל וקטור ‪ v ∈V‬יש כתיבה יחידה כצירוף לינארי של הבסיס‪.‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫מכך שהבסיס פורש‪ ,‬ישנם סקלרים ‪a 1 , ... , a n‬‬ ‫כך ש‪* v =a1 v 1...a n v n -‬‬ ‫נניח ש‪ ** v =b1 v 1...b n v n -‬ונראה ש‪. b 1=a1 , b2=a 2 , ... , bn =a n -‬‬ ‫נחסר את * מ‪:**-‬‬ ‫‪0 = v −v = b 1 v 1...b n v n−a 1 v 1...a n v n ‬‬ ‫‪=  b1−a1 v 1...b n−an  v n‬‬ ‫מכיוון ש‪ v 1 ,... , v n -‬בת"ל נקבל ש‪ b i=ai=0 -‬לכל ‪.i‬‬ ‫}‪B={1,0 ,1,1‬‬ ‫‪1,1‬‬ ‫‪[ 17 ]=17 1,0 1,1‬‬ ‫‪1,0‬‬ ‫‪B=17,0 , =17 , ‬‬ ‫יהי }‪ E={1,0 , 0,1‬הבסיס הסטנדרטי‪:‬‬ ‫יהי‬ ‫‪[ 34 ]=3 e 4 e =3,4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫} ‪ B={v 1 ,... , v n‬בסיס סדור ל‪V-‬‬ ‫אז וקטור הקואורדינטות לפי ‪ B‬של וקטור‬ ‫‪ v ∈V‬מסומן ב‪[v ]b -‬‬ ‫והוא ה‪-n-‬יה של המקדמים בצירוף לינארי לפי ‪ B‬המייצג את הוקטור ‪.v‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫ניקח בסיסים סדורים של ‪: ℝ2‬‬ ‫‪B= 1,2 ,3,4 ‬‬ ‫‪D= 1,0 ,1,1 ‬‬ ‫‪E= 1,0 ,0,1 ‬‬ ‫ונמצא את וקטור הקואורדינטות לפי הבסיסים אלו של הוקטור ‪. v =−1, 2‬‬ ‫‪<= v = -1 1,0 2 0,1=−1, 2‬‬ ‫]‪[2‬‬ ‫‪<= v = -3 1,0 2 1,1=−1, 2‬‬ ‫‪[v ]D= −3‬‬ ‫]‪[2‬‬ ‫‪<= v = 5 1,2 -2 3,4=−1, 2‬‬ ‫] ‪[−2‬‬ ‫‪[v ]E= −1‬‬ ‫‪5,10‬‬ ‫‪3,4‬‬ ‫‪[v ]B= 5‬‬ ‫‪1,2‬‬ ‫‪1,1‬‬ ‫‪1,0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪v =−1,2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1,1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−31,0‬‬ ‫תרגיל‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫פתרון ב‪:‬‬ ‫)נדלג עליו( הוכח ש‪ B={1 x , x x 2, x 2 x3, 2x3 } -‬בסיס ל‪. ℝ3 [ x ] -‬‬ ‫‪ [v ] B‬כאשר ‪B=32xx 23x 3‬‬ ‫מצאו את‬ ‫‪v = 32xx 22x 3‬‬ ‫‪= 1 1 x 2  xx 23  x 2x 3 4 2x 3‬‬ ‫‪1=3‬‬ ‫‪2=−1‬‬ ‫‪3=2‬‬ ‫‪4=0‬‬ ‫‪1=3‬‬ ‫‪12 =2‬‬ ‫‪2 3=1‬‬ ‫‪32 4=2‬‬ ‫][‬ ‫‪3‬‬ ‫‪[v ]B = −1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫עוד דוגמאות‪⇐ E={1, x , x 2, x 3 } :‬‬ ‫שאלה ‪ 6‬מהמבחן‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫} ‪ℝ ∣ ab=cd =0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫} ‪⇐ E '={x 3, x , x 2, 1‬‬ ‫=‪[v ]E‬‬ ‫‪ ∈ M‬‬ ‫‪a b‬‬ ‫‪c d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ' ‪[v ]E‬‬ ‫{=‪u‬‬ ‫הוכיחו ש‪ v-‬מרחב לינארית‪.‬‬ ‫}‪‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪1 −1‬‬ ‫‪ ,‬‬ ‫‪1 −1‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪{‬‬ ‫}‪‬‬ ‫=‪B‬‬ ‫‪1 −1‬‬ ‫‪1 −1‬‬ ‫‪ ,‬‬ ‫‪1 −1‬‬ ‫‪−1 1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫מצא את וקטור הקואורדינטות של‬ ‫‪.3‬‬ ‫נדלג‪.‬‬ ‫‪{‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‪ C‬בסיסים שלו‪.‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ u= −3‬לפי ‪ B‬ולפי ‪.C‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫} ‪{  ,  ‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪1 −1‬‬ ‫‪ v‬מרחב לינארית עם בסיסים‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪d‬‬ ‫ישנם שני נתאים על‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪1 −1‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫}‪‬‬ ‫‪1 −1‬‬ ‫‪1 −1‬‬ ‫=‪B‬‬ ‫ע”מ שהוא תהיה ב‪.u-‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪ ab=0‬ולכן‬ ‫‪b=−a‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪ cd =0‬ולכן‬ ‫‪d =−b‬‬ ‫כלומר ברגע שקבענו את ‪ a‬ו‪ b ,c-‬ו‪ d-‬נקבעים‪.‬‬ ‫לכן מטריצה כללית ב‪ u-‬היא מהצורה‬ ‫נוכיח ש‪ B-‬בסיס‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪1 −1‬‬ ‫‪ ,‬‬ ‫‪1 −1‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫} ‪ ∣ a , c∈ℝ‬‬ ‫בת”ל‪.‬‬ ‫‪−a‬‬ ‫‪−c‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪u= ac‬‬ ‫‪ ,‬‬ ‫‪1 −1‬‬ ‫‪−1 1‬‬ ‫‪{‬‬ ‫=‪C‬‬ ‫פירושים‪ :‬תהי‬ ‫‪∈u‬‬ ‫‪a −a‬‬ ‫‪c −c‬‬ ‫‪‬‬ ‫כלשהי‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪1 −1‬‬ ‫‪c ‬‬ ‫‪1 −1‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪ = a‬‬ ‫‪a −a‬‬ ‫‪c −c‬‬ ‫‪‬‬ ‫עתה ע”מ להנמש ‪ C‬בסיס ונשים לב שהוקטור ב‪ C-‬בת”ל‬ ‫ושהרגע הראנו ש‪dimu=2 -‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫מההגדרה נובע כי‬ ‫] [‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ [u]B= −3‬כי‬ ‫][‬ ‫‪21‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪ [u]C‬כי‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪2 1 −1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪1 −1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1 −1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪=a ‬‬ ‫[‬ ‫‪‬‬ ‫[‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪2 −2‬‬ ‫‪−3 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 −1‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪=a1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 −2‬‬ ‫‪−3 3‬‬ ‫שיעור ‪17.03.10 – 4‬‬ ‫תרגילים אבסטרקטיים על גרעין ותמונה‬ ‫)רמז‪ :‬כבר עשינו אותם(‬ ‫תרגיל‪:‬‬ ‫‪, T :V W‬‬ ‫תהיינה‬ ‫הוכיחו כי‬ ‫העתקות לינאריות‪.‬‬ ‫‪S :W U‬‬ ‫‪kerT ⊆ker S °T ‬‬ ‫הסבר‪:‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫} ‪KerT ={x ∈V ∣ T  x=0w‬‬ ‫} ‪kerS °T ={ x ∈V ∣ S °T  x =0 v‬‬ ‫יהי‬ ‫ולכן‬ ‫‪ x ∈KerT‬אז‬ ‫‪T  x=0‬‬ ‫‪S °T  x =S T  x=S 0=0‬‬ ‫לכן ‪x ∈Ker  S °T ‬‬ ‫תרגיל‪:‬‬ ‫תהיינה‬ ‫‪ S :W U‬כך ש‪ S ° T -‬זו העתקת האפס מ‪ V-‬ל‪.U-‬‬ ‫‪, T :V W‬‬ ‫‪S‬‬ ‫) התנאי האחרון לכיבורשם ש‪( S ° T =0 -‬‬ ‫‪x ⟼ 0w ‬‬ ‫‪ 0 v‬‬ ‫הראו ש‪ImT ⊆KerS -‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫יהי‬ ‫‪ x ∈ ImT‬אז קיים‬ ‫‪ y ∈V‬כך ש‪T  y =x -‬‬ ‫לכן ‪S  x =S T  y=S °T  y =0‬‬ ‫לכן‬ ‫תרגיל‪:‬‬ ‫‪ x ∈KerS‬מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫יהי ‪ V‬מ"ו ותהי‬ ‫= ‪T2‬‬ ‫‪ T :V V‬כך ש‪ T °T =0 -‬‬ ‫הגדרה‬ ‫הראו ש‪-‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪dimV‬‬ ‫‪2‬‬ ‫≥ ‪dimKerT‬‬ ‫על פי טענה קודמת ‪ ImT ⊆KerT‬ולכן‬ ‫ע"ע משפט המימד‬ ‫נסמן‬ ‫‪dimImT ≤dimKerT‬‬ ‫‪dimImT dimKerT =dimV‬‬ ‫‪ n=dimV‬נרשום‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪n=dimKerT dimImT ≤dimKerT dimKerT =2dimKerT‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪≤dimKerT‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כמו שרצינו‪ .‬מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫זה "שקול"‪/‬דומה לתרגיל שעשינו בסמסטר הקודם‪:‬‬ ‫‪ A‬מטריצה ריבועית‬ ‫תרגיל‪:‬‬ ‫תהיינה‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ . n×n‬אם ‪ A2 =0‬אז ‪≤dimNull A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ S :V V‬כך ש‪.* S  T =0 -‬‬ ‫‪, T :V V‬‬ ‫‪. dimV =4‬‬ ‫הראו ש‪2≥dimIm T ° S  -‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫מספיק שנראה ש‪) dimKer T ° S ≥2 -‬בגלל משפט המימד(‬ ‫‪ . kerS ≤ker T °S ‬לכן אם‬ ‫אם ‪dimKerS =1‬‬ ‫אם‬ ‫‪dimKerS =0‬‬ ‫‪ dimKerS ≥2‬אז סיימנו‪.‬‬ ‫אז‬ ‫‪dimImS =3‬‬ ‫אז‬ ‫‪dimImS =4‬‬ ‫נטפל במקרה בו ‪ . dimKerS =0‬למדנו שזה שקול מכך ש‪ S-‬חח"ע‪.‬‬ ‫מכך ש‪ S :V V -‬נובע שהיא גם על‪ .‬לכן ‪ S‬הפיכה‪.‬‬ ‫נפעיל את‬ ‫לכן גם‬ ‫‪ S−1‬על * ונקבל ש‪T =0 ⇐ S −1 S °T =S −1 0 -‬‬ ‫‪ T ° S =0‬ולכן‬ ‫‪dimIm T ° S ≥2‬‬ ‫נניח ש‪ . dimKerS ≤1 -‬ידוע לכן ש‪. S °T =0 -‬‬ ‫ראינו שבמקרה זו ‪ ImT ⊆KerS‬ולכן‬ ‫טענת עזר‪:‬‬ ‫תהיינה ‪, T :V W‬‬ ‫‪** dimImT ≤1‬‬ ‫‪ , S :W U‬אז ‪dimImS °T ≤dimImT‬‬ ‫]ההוכחה כתרגיל[‬ ‫המשך‪:‬‬ ‫אם נשתמש בטענת עזר‪ ,‬נקבל ש‪) 1≤dimImT ≤dimImT ° S  -‬לפי **( וסיימנו‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫הצגת העתקה ע"י מטיצה‬ .W-‫ בסיס ל‬C={w 1 ,... , w n } -‫ ו‬V-‫ בסיס ל‬B={v 1 ,... , v n } , T :V W [T v ]C =[T ]CB [V ]B ‫[ ומקיימת‬T ]CB ‫למדנו שבהנתן‬ ‫קיימת מטריצה סמסומנת‬ [T ]BC =[ [T v1 ]C [T v2 ]C . ..[T v3 ]C ] -‫ למדנו ש‬,‫יתר עלכן‬  x , y  ⟼ 5x y , x5y  T : R2  R 2 ‫תהי‬ :‫דוגמה‬ .‫ הבסיס הסטנדרטי‬E={e 1, e 2 }={1,0 ,0,1} ‫יהי‬ A={1,1 , 1,−1} B={1,1 , 0,1} [T ]BB , [T ] AA A [T v ] A=[T ]A [V ]A [T ]EE =[ [T e1 ] E [T e2 ]E ]  ] = 1  5 [T e1 ]= 5 1 [T e2 E tr , [T ]EE ‫כתבו את‬ -‫ וודאו ש‬v =1,2 ‫יהי‬ : [T ]EE =e , e -‫נתחיל ב‬ 1 2 <= T e1 =T 1,0=5,1=5⋅e 11⋅e 2 <= T e2 =1,5=1⋅e15⋅e 2  =10 5 1 1 5 , det  =24 5 1 1 5 [T ]AA=[ [T 1,1]A [T 1,−1]A ]   E 5 1 , [T ]E = 1 5 . [T ] AA -‫נעבור ל‬ T 1,1=6,6= 6 1,1 0 1,−1 [] [T 1,1]A= 6 0 T 1,−1 = 5⋅1−1 , 15−1=4,−4 = 0 1,1 4 1,−1  [T 1,−1]A= 0 4   A 6 0 .‫[ שימו לב שזו מטריצה אלכסונית‬T ] A= 0 4 tr  6 0 0 4=10   det 6 0 =24 0 4 B [T ]B ‫נשאיר לעצנו את‬ 9 :‫תרגיל‬ :‫פתרון‬ T 1,2=T v =7,11 (I)   [T ]AA= 6 0 0 4 1,2 = a 1,1 b 1,−1 =  ab , a−b = 1,2 2a=¿ ‫נבדוק זאת ע"י‬ ‫ראשית נבדוק מיהו‬ [V ]A [V ] A= [] 3 2 1 − 2 a=1 1 2a =3 2 1 1 b=1 2 b=− ‫לכן מיהו‬ [T v ] A (II) 1 2      3 6 0 2 [T v ] A= 9 = = [T ] AA [V ] A −2 0 4 −1 2   -‫ כלומר מכך ש‬,‫נבדוק שלא טעינו‬ [T v ] A= 9 −2 T v =91,1=21,−1=7,11V tick  [ [T 01 ]B [T 02 ]B ]  ]= 4  −8 A= f 1 , f 2 = [T ]B = g , g  1 2 ‫נבדוק‬ [T f1 ]B= 6 0 <= T f1 =T 1,16,6= 6 1,1 0 0,1 [T <= T f2=T 1,−1= 4,−4= 4 1,1 -8 0,1 f2   4 0 −8 =−48 [T ]BA= 6 4 0 −8   tr 6 4 =−2 0 −8 10  det 6 ‫תרגיל‪:‬‬ ‫שאלה ‪ 2003 6‬מואד א'‪.‬‬ ‫נניח כי‬ ‫‪ T :ℝ2 [ x ]ℝ2‬מוגדרת ע"י‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪T  p x= p ' 0 p 0‬‬ ‫‪p ' 0− p 0‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫מצאו בסיס ל‪ .ImT-‬מהו ‪?dimImT‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫מצאו בסיס ל‪ .KerT-‬מהו ‪?dimKerT‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫האם ‪ T‬חח"ע על?‬ ‫ד‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מצא את המטריצה המייצגת את ‪ T‬לפי הבסיסים הסטנדרטים ] ‪ℝ ,ℝ 2 [ x‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫מצאו בסיס ל‪ .ImT-‬מהו ‪?dimImT‬‬ ‫למדנו שאם‬ ‫} ‪ { f 1, f 2, f 3‬בסיס ל‪ ℝ2 [x ] -‬אז } ‪ImT =Sp {T f1 , T f2 , t f3‬‬ ‫יהי } ‪ { f 1 , f 2 , f 3‬הבסיס הסטנדרטי‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f 1=1 f 2=x f 3 x‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫}‪{     } {   ‬‬ ‫‪T x = 10 = 1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪T 1= 01 = 1‬‬ ‫‪0−1 −1‬‬ ‫‪1 , 1‬‬ ‫‪−1 1‬‬ ‫קיבלנו‬ ‫‪1 , 1 , 0‬‬ ‫‪−1 1 0‬‬ ‫‪= Sp‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪T 2x = 00 = 0‬‬ ‫‪00‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ImT =Sp‬‬ ‫קל לראות שהם בת"ל ולכן הם בסיס לתמונה‪ .‬ולכן המימד של ‪ImT =2‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫מצאו בסיס ל‪ .KerT-‬מהו ‪?dimKerT‬‬ ‫ראינו ש‪ dimKerT =1 -‬ומצאנו ש‪ x 2 ∈ KerT -‬ולכן } ‪ { x 2‬בסיס ל‪.KerT-‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫האם ‪ T‬חח"ע על?‬ ‫הוא על ממה שהרגע ראינו‪.‬‬ ‫ממשפט המימד נובע ש‪ dimKerT =1 -‬ולכן הוא אינו חח"ע‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫מצא את המטריצה המייצגת את ‪ T‬לפי הבסיסים הסטנדרטים‬ ‫‪2‬‬ ‫] ‪ℝ , ℝ2[ x‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪1⟼ 1‬‬ ‫מקודם‪:‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪x⟼ 1‬‬ ‫‪ℝ2‬‬ ‫‪[ T 1 ]¿ T x‬‬ ‫¿‬ ‫‪ℝ2‬‬ ‫‪E‬‬ ‫¿ = ‪[ T ]E‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ℝ‬‬ ‫]‪ℝ2 [x‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪x2 ⟼ 0‬‬ ℝ2 ℝ2 [T 1]¿ 1 −1 [  ]   ¿ 1 −1 ‫ובאופן סאוסן נקבל‬ ¿ 1 1 0 −1 1 0 E [ T ]E = ¿ ℝ2 [x] 2 ℝ −11 = 1  10 -1 01 12 ‫שיעור ‪) 07.04.10 – 5‬אחרי פסח(‬ ‫הערות מתרגיל ‪1‬‬ ‫כדי להראות שהעתקה הוא לינארית‪:‬‬ ‫‪ .1‬משמרת חיבור‪:‬‬ ‫‪T  vw =T v T w‬‬ ‫‪ .2‬משמרת כפל בסקלר‬ ‫‪T  v = T  v‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪ - T  0 =‬זה נובע מ‪ 1-‬ו‪ .2-‬לכן כדי להראות ש‪ T-‬אינה לינארית‬ ‫‪0‬‬ ‫אפשר למשל להראות שוקטור האפס לא עובר לוקטור האפס‪.‬‬ ‫שמחפשים מטריצה שמייצגת העתקה ‪T  x , y , z =3x , 4y8z , x y z‬‬ ‫נזכור‪ :‬אפשר לנחש‬ ‫‪     ‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪= 4y8z‬‬ ‫‪x y z‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪⇐ d e f‬‬ ‫‪axby cz‬‬ ‫‪dxey  fz‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x y z‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪A y = 4y8z‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫ולכן‬ ‫‪3 0 0‬‬ ‫‪A= 0 4 8‬‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫אפשר להזכר שמטריצה שאנחנו מחפשים זו מטריצה הייצוג לפי הבסיס הסטנדרטי‪:‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪[T ]E‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪3 0 0‬‬ ‫⋮ ⋮ ⋮‬ ‫‪0 4 8 = Te 1 Te 2 Te 3‬‬ ‫⋮ ⋮ ⋮‬ ‫‪1 1 3‬‬ ‫עוד משהו‪:‬‬ ‫לא נכון‬ ‫∣‪∣A±B∣=∣A∣±∣B‬‬ ‫∣‪∣AB∣∣A∣∣B‬‬ ‫הערות מתרגיל ‪:2‬‬ ‫נתונה העתקה לינארית ע"י כפל במטריצה ‪ .A‬מקבשים למצוא את תמונת ההעתקה‪.‬‬ ‫למדנו שזה בדיוק המרחב )‪.col(A‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫‪⇐ T  x , y , z =3x y , 4x8z ‬‬ ‫עמודה = ‪Te1‬‬ ‫הראשונה‬ ‫יודעים ש‪:‬‬ ‫עמודה =‪Te 2‬‬ ‫השנייה‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪3 1 0‬‬ ‫‪4 0 8‬‬ ‫‪. . .‬‬ ‫עמודה =‪Te 3‬‬ ‫השלישית‬ ‫‪ImT =spTe 1, Te2, Te 3=col  A‬‬ ‫כדי למצוא בסיס למרחב העמודות אפשר לדבר לפי שורות ובעמודות בהם מקבלים איבר פותח‬ ‫עמודות המטריצה המקורית יהיו בסיס‪.‬‬ ‫‪1‬‬     col  A=sp 3 , 1 4 0 .kerS-‫מצאו בסיס ל‬ S 1,1,0=1,2 ‫ולכן‬   3 1 0 R −4 R  3 1 2 3 1 0 −4 4 0 8 3 S 1,0,2=2,4  .‫ על‬S :ℝ3  ℝ 2 3=dim ℝ3=dimKerS dimIms =dimKerS dimsetR2 -‫ על נקבל ש‬S-‫ממשפט המימד ומכך ש‬ =dimKerS 2 0 8  :6 ‫שאלה‬ :‫פתרון‬ dimKerS =1 -‫ונקבל ש‬ (‫ )נכון בלינאריות‬ 0 =T v −T w =T v −w⇐ T  v=T w S  21,1,0=2S1,1,0  S 2,2,0=2,4 S 1,0,2=2,4 ‫וגם נתון‬ ‫מלינאריות‬ S 1,2,−2=S 2,2,0−1,0,2=S 2,2,0−S 1,0,2=2,4−2,4=0 ‫ולכן‬ .kerS-‫ בסיס ל‬1,2,−2 ‫ולכן‬ ‫ ומגדירים‬v 1 , v 2 , ... , v n∈V n T :ℝ V ‫נתונים‬ :5 ‫שאלה‬ n a1 ,... , a n ∑ ai v i =a 1 v 1...a n v n i =1 3,5,8 3v 15v 28v 3 4 ‫שאלה דוגמה לשאלות הליכסון בתרגול‬ W-‫ בסיס ל‬C={w 1 , ... , w n } -‫ ו‬V-‫ בסיס ל‬B={v 1 ,... , v n } -‫ ו‬T :V W B W B [T ]C [V ] B =[Tv ]C ‫[ מקיימת‬T ]C =[ [Tv1 ]C ...[Tv n ]C ] ‫בהנתן‬ ‫אז המטריצה‬ .U-‫ בסיס ל‬D={u 1 , ... , u n } -‫ ו‬S :W V ‫אם‬ * [S ]CD °[T ]BC =[S °T ]BD ‫אז‬ 2 :‫תזכורת‬ :‫בנוסף‬ ‫תרגיל‪:‬‬ ‫}‪v 1={1, 2, 3‬‬ ‫יהיו‬ ‫מצאו את‬ ‫הקדמה‪:‬‬ ‫} ‪v 2 ={0, 1, 2‬‬ ‫‪ [ I ]BE‬ו‪ [ I ]EB -‬כאשר‬ ‫} ‪ v 3={0, 0,1‬בסיס ל‪ ℝ3 -‬שנמנו ב‪.B-‬‬ ‫‪ I :ℝ 3  ℝ3‬העתקת הזהות‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪E‬‬ ‫ראשית נזכר שמ‪ *-‬נובע ש‪[ I ] E °[ I ] B=[ I ° I ]E =[ I ] E =I -‬‬ ‫כלומר אלו מטריצות הופכיות זו לזו‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫מכיוון ש‪ ) [v ] E=V -‬ב‪ ( ℝn -‬תמיד קל יותר למצוא את ‪[ I ]E‬‬ ‫כלומר‪ ,‬כאשר ‪ E‬הוא הבסיס של הטווח‪ ,‬יותר קל למצוא את המטריצה המייצגת‬ ‫נפתור‪:‬‬ ‫] [‬ ‫‪1 00‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ [ I ]E = 2 1 0‬כי‬ ‫‪321‬‬ ‫‪‬‬ ‫עתה כדי למצוא את‬ ‫‪1‬‬ ‫‪… [1,2,3]E = 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ [ I ]B‬אפשר למצוא את המטריצה ‪[ I ]E‬‬ ‫או לחילופין למצוא אותה מההגדרה‪.‬‬ ‫נמצא מההגדרה‪:‬‬ ‫] ‪[ I ] EB =[[e 1 ]B [e 2 ]B [e 3 ]B‬‬ ‫‪0,0,1=e 3=a 1,2,3b 0,1,2c 0,0,1‬‬ ‫=<‬ ‫‪0,1,0=a 1,2,3b 0,1,2c 0,0,1‬‬ ‫=<‬ ‫‪1,0,0=a 1,2,3b0,1,2c 0,0,1‬‬ ‫=<‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪[e3 ]B = 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪[e 2 ]B = 1‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫ולכן‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪−2 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪[e1 ]B = −2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪[ I ]EB =[ [e 1 ]B [e 2 ] B [e 3 ]B ]= −2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫כדאי לבדוק ע"י הפל שאכן הן הופכיות‪.‬‬ ‫נעשה תרגיל דומה ונדבר )על‪-‬הדרך( על ליכסון‪.‬‬ ‫מטרה‪ :‬נתונה‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 −2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 0 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ A= 1 2‬ואנחנו רוצים למצוא מטריצה שדומה ל‪ A -‬שהיא גם אלכסונית‪.‬‬ ‫לתהליך זה קוראים ליכסון של ‪ .A‬אם מצליחים אומרים ש‪ A-‬לכסינה‪.‬‬ ‫כלומר‪ ,‬מחפשים מטריצה הפיכה ‪ P‬כך שהמטריצה ‪ P−1 A P‬מטריצה אלכסונית‪.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪a 0 0‬‬ ‫‪P−1 A P= 0 b 0‬‬ ‫‪0 0 c‬‬ ‫‪3‬‬ ‫איך נעשה זאת?‬ ‫תהי ‪ T‬ההעתקה ש‪ A-‬מגדירה ‪. T : ℝ3 ℝ 3‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y A y‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪z‬‬ ‫מי זו ‪ ? [T ]EE‬נשים לב שזו פשוט ‪.A‬‬ ‫] ‪[T ]EE =[ [Te1 ]E ...‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪[ ]  ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪Te1 =A 0 = 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪[Te 1 ]E= 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫נשים לב שאם } ‪C={v 1 , v 2 , v 3‬‬ ‫‪[T ]CC = [ I ]CE [T‬‬ ‫בסיס אחר של ‪ ℝ3‬אז מתקיים ‪] EE [ I ]CE‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪=[T °I ]CE =[T ]CE‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪[ I ]C [T ]E =[T ]C‬‬ ‫‪ [ I ]CE [T ]EE [ I ]CE =[T ]CC‬כאשר )‪ (T=A‬ונרצה ש‪ [T ]CC -‬תהייה אלכסונית‪.‬‬ ‫‪ [T ]CC‬אלכסונית כאשר וקטורי ‪C‬‬ ‫הם וקטורים עצמיים של העתקה ‪ T‬כלומר וקטורים עצמיית של ‪.A‬‬ ‫נמצא בסיס ‪ C‬המורכב מוקטורים עצמיים של ‪:A‬‬ ‫עלינו למצוא את הערכים העצמיים‪:‬‬ ‫∣‬ ‫‪2 =  x−22  x−1‬‬ ‫‪x−2‬‬ ‫∣‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−1 =  x −2‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪x−3‬‬ ‫∣‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x−2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫∣‬ ‫‪x‬‬ ‫‪det  xI− A= −1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫לכל ערך עצמי‪ ,‬נמצא וקטורים עצמיים‪:‬‬ ‫עבור ‪ x=2‬זה מרחב האפס של‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 0 2‬‬ ‫‪1 0 1‬‬ ‫‪  0 0 0‬דירוג ‪−1 0 −1 ‬‬ ‫‪−1 0 −1‬‬ ‫‪0 0 0‬‬ ‫ובסיס למרחב האפס הוא ‪v 2 =0,1,0  , v 1=−1,0,1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫נבדוק‪:‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪     ‬‬ ‫][‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪0 0 −2 −1‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪A 0 =1 2 1‬‬ ‫=‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9 0 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪v 3= 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫עבור ‪ x=1‬נקבל את הוקטור‬ ‫כוקטור עצמי )אפשר לוודא(‪.‬‬ ‫קיבלנו שיש ‪ 3‬וקטורים עצמיים וע"פ משפט הנלמד‪ ,‬הם בהכרח מהוים בסיס‬ ‫)אפשר לבדוק ישירות(‪ .‬נסמן בסיס זה ב‪C={v 1 , v 2 , v n } -‬‬ ‫נבדוק מה ‪. [T ]CC =‬‬ ‫לפי ההגדרה‬ ‫‪[ ] [ ] [ ] ‬‬ ‫‪C‬‬ ‫⋮‬ ‫‪Tv 3‬‬ ‫⋮‬ ‫‪C‬‬ ‫⋮‬ ‫‪Tv 2‬‬ ‫⋮‬ ‫‪C‬‬ ‫⋮‬ ‫‪Tv 1‬‬ ‫⋮‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫= ] ‪[T‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 −2‬‬ ‫‪A= 1 2 1‬‬ ‫‪1 0 3‬‬ ‫‪0 0 −2 −1‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪Tv 1= 1 2 1‬‬ ‫= ‪0‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪1 0 3‬‬ ‫‪ 2‬חשוב ‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪0 −2‬‬ ‫‪0 = Tv 1 = av 1bv 2cv 3 = a 0 b 1 c 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 0 0 0 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪Tv 2=T 1 = 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪Tv 2=0v 12 v 20 v 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪[T v2 ]C = 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪Tv 3=T 1 = 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Tv 3=0v 10v 21v 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪[Tv 3 ]C = 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ולכן‬ ‫‪[ ] [ ] [ ]   ‬‬ ‫‪2 0 0‬‬ ‫‪= 0 2 0‬‬ ‫‪0 0 1‬‬ ‫‪C‬‬ ‫⋮‬ ‫‪Tv 3‬‬ ‫⋮‬ ‫‪C‬‬ ‫⋮‬ ‫‪Tv 2‬‬ ‫⋮‬ ‫‪C‬‬ ‫⋮‬ ‫‪Tv 1‬‬ ‫⋮‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫= ] ‪[T‬‬ ‫יודעים ש‪[T ]CC = [ I ]CE [T ]EE [ I ]EC = [I ]CE A[ I ]EC -‬‬ ‫ולחשב את ‪ [ I ]CE‬זה קל‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−1 0 −2‬‬ ‫‪[‬‬ ‫‪I ]CE = 0 1 1‬‬ ‫‪1 0 1‬‬ ‫‪P‬‬ ‫סה"כ מצאנו ‪ P‬ש‬ ‫‪ P−1 A P‬מטריצה אלכסונית‬ ‫לזה קוראים לכסין של ‪.A‬‬ ‫‪6‬‬ ‫שיעור ‪14.04.10 – 6‬‬ ‫ערכים עצמיים‪ ,‬וקטורים עצמיים ולכסון‬ ‫תזכורת‪:‬‬ ‫‪ v ≠0 , T :V V‬ונקרא ו"ע אם ‪. Tv= v‬‬ ‫‪ A‬מטריצה ריבועית‪.‬‬ ‫תרגיל‪:‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪ v ≠0‬נקרא ו"ע אם‬ ‫‪ ‬נקרא הע"ע של ‪.v‬‬ ‫‪  . Av= v‬נקרא הע"ע של ‪.v‬‬ ‫הראו ש‪ A-‬לא הפיכה אם"ם ‪ 0‬ערך עצמי של ‪.A‬‬ ‫קיים‬ ‫‪ Av=0⋅v=‬אם"ם קיים פתרון לא טריביאלי למע'‬ ‫‪ v ≠0‬כך ש‪0 -‬‬ ‫ההומוגנית ש‪ A-‬מגדירה‪ ,‬כלומר } ‪ nw  A≠{0‬אם"ם ‪ A‬לא הפיכה‪.‬‬ ‫הערה‪:‬‬ ‫זה לא אומר כלום לגבי לכסון‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 0‬‬ ‫‪0 1 0‬‬ ‫‪0 0 1‬‬ ‫למשל‪ ,‬מטריצת האפס הוא אחלה מטריצה אלכסונית‪ ,‬וגם‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫תרגיל‪:‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫קיים ‪ v ≠0‬כך ש‪. Tv= v -‬‬ ‫פעמים ‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪T  v=T‬‬ ‫‪°T °...T =T °T °... T ‬‬ ‫‪v  =...=‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫פעמים ‪n−1‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪T =T‬‬ ‫‪ n‬ע"ע של ‪°... °T °T‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫אם ‪ ‬ע"ע של העתקה ‪ T‬אז‬ ‫‪nv‬‬ ‫‪  ,‬‬ ‫‪k 1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫פעמים ‪n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫= ‪T  v ‬‬ ‫‪  T v= ⋅⋅v=‬‬ ‫לינאריות‬ ‫תרגיל‪:‬‬ ‫תהי‬ ‫‪ T :V V‬ויהי‬ ‫‪ ∈ℝ‬כלשהו‪ .‬הראו ש‪v 2 :={v∈V ∣ Tv = v } -‬‬ ‫הוא תת מרחב של ‪ .V‬תת‪-‬מרחב זה נקרא המרחב העצמי של ‪. ‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫זהו הגרעין של ההעתקה ‪ I d −T‬‬ ‫מדוע? אם‬ ‫תזכורת‪:‬‬ ‫] ‪[ Tv− v=0 ⇒ T − I  v=0‬‬ ‫‪Tv= v ⇔ −T v  =  I d v −T  v =  I d −T v=0‬‬ ‫אם ‪ T‬ו‪ S-‬העתקה לינארית‬ ‫‪ T , S :V W‬אז‬ ‫‪T S v :=T  vS v ‬‬ ‫‪T −S v :=T  v−S v ‬‬ ‫ואלו העתקות לינאריות‪.‬‬ ‫‪ I d −T  v‬‬ ‫‪1‬‬ ‫פתרון אחר‪:‬‬ ‫בוחן לתת מרחב‪.‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪0 = ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪T  vw =T v T w= v  w=2 vw‬‬ ‫השלימו את הערטים‪...‬‬ ‫שלוש דוגמאות ללכסון‬ ‫דוגמה ‪:1‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫ואז לכל ערך עצמי למצוא ו"ע התאים לא‪.‬‬ ‫‪0 0 4‬‬ ‫כדי למצוא ע"ע ← הפולינום האופייני‪.‬‬ ‫‪=  x−32  x−4‬‬ ‫הערה‪:‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫נרצה למצוא את הערכים העצמיים של ‪A‬‬ ‫‪3 2 0‬‬ ‫‪A= 0 3 0‬‬ ‫∣‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ x−4‬‬ ‫‪∣‬‬ ‫‪ x−3‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪x−3‬‬ ‫= ∣‪∣x I − A‬‬ ‫=<‬ ‫‪ 3‬בריבוי ‪x 1=2‬‬ ‫‪ 4‬בריבוי ‪x 2 =1‬‬ ‫שימו לב שבמטריצה משולשית הע"ע מופיעים על האלכסון‪.‬‬ ‫נמצא את הוקטורים העצמיים המתאימים לערך העצמי ‪.4‬‬ ‫בעצם מה שנרצה לעשות‪ ,‬זה למצוא בסיס ל‪.4-‬‬ ‫‪ℝ3 4 = {v∈ℝ3 ∣ Av=4v } = nul 4I− A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 −2 0‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪0 0 0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪= 0‬‬ ‫‪4−3 −2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4−3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4−4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪nul  =sp 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫עבור‬ ‫‪ x=3‬נחשב את ‪nul 3I− A=ℝ3 3‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= sp 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 −2 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 0 −1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪nul 0‬‬ ‫שימו לב שהתקבל מרחב ממיצד ‪ 1‬למרות הערך העצמי ‪ 3‬הוא בריבוי ‪2‬‬ ‫נזכר שע"מ ללכסון את ‪ A‬עלינו למצוא בסיס של ו"ע של ‪.A‬‬ ‫שימו לב שלא ניתן למצוא כזה בסיס‪ .‬מדוע? ראינו שו"ע חייבת להיות או ב‪-‬‬ ‫‪v3‬‬ ‫או ב‪ . v 4 -‬אבל‬ ‫‪= V 3V 4≠ℝ 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫}‪{   ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Sp 0 , 0‬‬ ‫לכן לא ניתן למצוא בסיס של וקטורים עצמיים‪.‬‬ ‫דוגמה ‪:2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪A= 1 1‬‬ ‫‪∣ xI − A∣= x−12‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫יש ע"ע יחיד והוא שווה ל‪ ,1-‬מופיע בריבוי ‪.2‬‬ ‫אפשר ללכסן את ‪ A‬אם"ם קיים בסיס ל‪ ℝ2 -‬המורכב מו"ע של ‪.A‬‬ ‫כל הוקטורים העצמיים יחיו במרחב העצמי של ‪:1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ℝ 1=nul 1 I − A=nul 0 −1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ = sp  ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 −1‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪  =   ⇒ nul ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪0 −1 x‬‬ ‫‪0 0 y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3,0 , 4,0 ,− 2, 0 ,−e ,0 ‬‬ ‫אין בסיס ל‪ ℝ2 -‬המורכב מוקטורים עצמיים!!!‬ ‫לכן לא ניתן ללכסן!‬ ‫שימו לב‪ ,‬שהריבוי של ‪ 1‬הוא ‪2‬‬ ‫ומימד המרחב העצמי של ‪ 1‬הוא קטן לא שווה מ‪.2-‬‬ ‫דוגמה ‪:2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A= −1 −6 −2‬‬ ‫למצוא ע"ע‪ ,‬כלומר שורשי הפולינום האופייני‪:‬‬ ‫∣‬ ‫‪x−4 −1‬‬ ‫]‪=  x6[ x−4 x−5‬‬ ‫‪−5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x 1,2,3 = −6, 5, −1‬‬ ‫∣‬ ‫‪=  x6‬‬ ‫∣‬ ‫∣‬ ‫‪ x− 4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ x−6 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x−0‬‬ ‫= ∣‪∣ xI − A‬‬ ‫‪=  x6 x 2−4x−5 =  x6 x−5 x 1‬‬ ‫נתחיל ב‪: x=−6 -‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪⊇ Sp 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−10 0 −1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0 2‬‬ ‫‪−5 0 −6‬‬ ‫‪nul‬‬ ‫מוודאים ע"י דירוג שקודם יש שוויון‪.‬‬ ‫‪: x=5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪11‬‬ ‫דירוג‬ ‫‪= nul5I− A = Sp‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫} ‪{t ,− 3 , t ∣ t∈ℝ‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0 −1‬‬ ‫‪1 11 2‬‬ ‫‪−5 0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪nul‬‬ nul . P−1  −5 0 −1 1 5 2 −5 0 −1   −1  −5 5 = Sp − 9 = Sp −9 25 : x=1 25 1 ‫ ולמצוא את‬,‫ אלכסונית‬P−1 A P -‫ כך ש‬P ‫נרמה לרשום את‬ [T A]B .P ‫מי תהיה‬ [T A ]E  −6 0 0 0 5 0 0 0 1  =P −1 A P B={ 0,1,0   , 1,− 3 ,1  , − 1 ,− 9 , 1  } 11 5 25   v1 v2 v3 E B [T A]B =[ I ]B [T A ] E [I ] E    0 −1 1 5 [ I ]BE = [v 1 ]E [v 2 ] E [ v3 ]E = 1 − 3 − 9 11 25 0 1    −5 P−1 = 1 0 6 −4 55 −5 6 1 0 5 6 19 35 1 6 adj (2 ‫( או‬P|I) ‫( דירוג‬1 ....‫הרבה עבודה‬ ‫ ולה יש ע"ע שונים זה מזה‬n×n ‫זו דוגמה כל כך שאם יש מטריצה‬ :‫הערה‬ .‫ כלומר זה לא אם ורק אם‬,‫ זהו תנאי מספיק! ולא הכרחי‬.‫אז הוא לכסינה‬   ∣ 0 1 1 A= 1 0 1 1 1 0 ∣ ∣ ∣ x −1 −1 x −1 −1 −1 x ∣xI − A∣ = −1 ∣ 0 = 1x   x−1 −1 ∣ −1 0 x −1− x −1 x1 =  c 3−c 2 c3 x −1 0 −1 x −1− x −1 −1 x1 ∣ ∣ ∣ 0 −1 0 2 −1 x x −1− x x1 c 1 xc 2 c 1 −1 x −1 =  ∣ = 1x  x−1 −1 x = 1x  [  x 2−1−1 x ] −1 x1 2 x − x−2 = 1x  x−2 x1 .2 ‫ בריבוי‬x=−1 .1 ‫ בריבוי‬x=2 4 :3 ‫דוגמה‬ ‫‪: x=−1‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫‪−s−t , t , s‬‬ ‫‪0 0 0‬‬ ‫מסקנה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−1 −1 −1‬‬ ‫= ‪nul −1 −1 −1‬‬ ‫‪ nul 0 0 0‬‬ ‫דירוג‬ ‫‪−1 −1 −1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ℝ3 −1 = Sp −1,0,1‬‬ ‫‪−1,1,0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ℝ 32 = 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−1 −1‬‬ ‫‪2 −1‬‬ ‫‪−1 −1 2‬‬ ‫‪nul 2I−A = −1‬‬ ‫} ‪V  :={v∈V ∣ Tv = v‬‬ ‫נבחר‬ ‫‪‬‬ ‫} ‪B={1,1,1 , −1,1,0  , −1,0,1‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪0 1 1 1 −1 −1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1 1 0 1 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1 0 1 1‬ההופכית =‬ ‫‪2 0 0‬‬ ‫‪0 −1 0‬‬ ‫‪0 0 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫"אלגוריתם" ללכסון‬ ‫‪ A‬מטריצה‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪. n×n‬‬ ‫מוציאים פולינום אופיינו וערכים עצמיים‪.‬‬ ‫‪P A= x−x 1 r ... x− x k r‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x 2=2‬‬ ‫‪ x12  x−2‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫מוציאים את‬ ‫אם לכל‬ ‫‪r 1...r k =n‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪ V x‬לכל‬ ‫‪x 1=1‬‬ ‫‪ x 1 , ... , x k‬שורשים שונים‬ ‫‪r 2=2‬‬ ‫‪r 2=1‬‬ ‫‪xi‬‬ ‫‪ r i=dimV x‬ניתן ללכסן האחיד הבסיסים ש‬ ‫‪i‬‬ ‫אם לא אז אי אפשר‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪ V x‬בסיס מלאכן‪.‬‬ ‫אינדקס‬ ‫מ‬ ‫מרחב העצמי‪1..........................................‬‬ ‫ל‬ ‫לכסינה‪3.................................................‬‬ ‫‪6‬‬