מטריצה הפוכה

‫פרק ‪5‬‬
‫כל‬
‫מטריצה הפוכה‬
‫הזכ‬
‫‪5.1‬‬
‫הגדרה וחישוב של מטריצה הפוכה‬
‫תהי ‪ A‬מטריצה ‪ m n‬ו־ ‪ x‬וקטור עם ‪ n‬קואורדינאטות‪ .‬הפעולה ‪ Ax‬מגדירה טרנספורמציה ממרחב‬
‫‪Rn‬‬
‫למרחב ‪ :Rm‬הטרנספורמציה הזאת מתאימה לכל וקטור‬
‫‪2 Rn‬‬
‫‪x‬‬
‫וקטור ‪= y 2 Rm‬‬
‫פעולה הפוכה לפעולה הנ״ל‪ ,‬כלומר על טרנספורמציה שמתאימה לכל וקטור ‪2 Rm‬‬
‫‪ :Ax‬נחשוב על‬
‫‪ y‬וקטור אחד ויחיד‬
‫ות‬
‫וי‬
‫ממרחב ‪ :Rn‬טרנספורמציה הזאת מוגדרת ע״י מטריצה‪ ,‬נגיד ‪ B‬שמקיימת את השוויון ‪ :B y = x‬מסתבר‬
‫שלא לכל מטריצה ניתן לבנות פעולה הפוכה שמקיימת את הדרישות הנ״ל‪ .‬ניקח לדוגמא מטריצה‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪1 27‬‬
‫‪6‬‬
‫‪x‬‬
‫‪:A = 6643 4775 ; x = 4 5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪5 6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫אוסף וקטורים‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫שמ‬
‫‪x1 + 2 x2 7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪y = Ax = 3x1 + 4x2 7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5x1 + 6x2‬‬
‫מרכיב מישור במרחב ‪ R3‬ולכן למערכת ‪ Ax = y‬אין פתרון לכל‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ y‬שלא שייך למישור הזה‪ .‬אז בדוגמא‬
‫הזאת לא ניתן לקיים את הדרישה ״לכל״ כלפי פעולה הפוכה‪ .‬ניקח עכשיו מטריצה‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫ות‬
‫ור‬
‫‪1 3 55‬‬
‫‪:A = 4‬‬
‫‪2 4 6‬‬
‫עבור מטריצה הזאת למערכת ‪ Ax = y‬יש אין סוף פתרונות ולכן גם פה לא נוכל לבנות פעולה הפוכה‪.‬‬
‫משתי דוגמאות הנ״ל נובע שנוכל לבנות פעולה הפוכה רק למטריצה ריבועית‪ .‬אז בפרק הזה נדבר רק‬
‫על מטריצות ריבועיות‪ .‬נראה איזה תנאים אלגבריים אמורה לקיים מטריצה ‪ :B‬מטריצה ‪ A‬מקיימת את‬
‫השוויון‬
‫‪Ax = y‬‬
‫‪85‬‬
‫)‪(5.1‬‬
‫‪.5.1‬‬
‫פרק ‪ .5‬מטריצה הפוכה‬
‫ומטריצה ‪ B‬מקיימת את השוויון‬
‫הגדרה וחישוב של מטריצה הפוכה‬
‫‪By = x‬‬
‫)‪(5.2‬‬
‫לכל ‪ :x; y 2 Rn‬משוויונים האלה נובע שמתקיים שוויון‬
‫‪AB y = y‬‬
‫כל‬
‫לכל וקטור ‪ y‬וגם מתקיים שוויון‬
‫‪BAx = x‬‬
‫לכל וקטור ‪ :x‬מפה מייד נובע )ראה תרגיל ‪ ( 1‬שמטריצות ‪ A; B‬מקיימות את השוויון‬
‫‪AB = BA = I‬‬
‫)‪(5.3‬‬
‫הזכ‬
‫כאשר ‪ I‬מטריצת היחידה‪.‬‬
‫נסכם את הדיון שניהלנו בשתי הגדרות הבאות‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 5.1.1‬מטריצה ריבועית ‪ Ann‬נקראת הפיכה אם למערכת משוואות ‪= y‬‬
‫לכל וקטור ‪:y 2 Rn‬‬
‫‪ Ax‬יש פתרון אחד ויחיד‬
‫ות‬
‫וי‬
‫מהגדרה הזאת מייד נובע שמטריצה הפיכה אם ורק אם קבוצת וקטורי עמודות שלה בלתי תלויה‬
‫ליניארית‪ .‬בעזרת דרגה של מטריצה ניתן לנסח תנאי להפיכות גם כך‪ .‬מטריצה ‪ Ann‬הפיכה אם ורק‬
‫אם ‪:rankA = n‬‬
‫הגדרה ‪ 5.1.2‬תהי ‪ A‬מטריצה הפיכה‪ ,‬כלומר למערכת ‪ Ax = y‬יש פתרון אחד ויחיד לכל ‪ :y 2 Rn‬מטריצה‬
‫‪ B‬שמקיימת את השוויון ‪= x‬‬
‫השוויון ‪:AB = BA = I‬‬
‫‪ B y‬נקראת מטריצה הפוכה של מטריצה ‪ :A‬מטריצות ‪ A; B‬מקיימות את‬
‫נסמן מטריצה הפוכה של מטריצה ‪ A‬כ־‬
‫‪1‬‬
‫‪ :A‬אז‪ ,‬מטריצה‬
‫‪1‬‬
‫‪ A‬מקיימת את השוויונים‬
‫שמ‬
‫‪AA 1 = A 1 A = I‬‬
‫נצייו שאם למטריצה ‪ A‬קיימת מטריצה ‪ B‬כך ש־ ‪= BA = I‬‬
‫‪ Ax = y‬ניתן לעבור למערכת ‪ BAx = B y‬ומערכת הזאת היא בעצם ‪ :x = B y‬זה מראה שלמערכת‬
‫‪ Ax = y‬יש פתרון אחד ויחיד לכל וקטור ‪:y‬‬
‫‪ AB‬אז ‪ A‬מטריצה הפיכה כי ממערכת‬
‫‪#‬‬
‫דוגמה ‪ 5.1.1‬תהי‬
‫נבדוק ש־‬
‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ‬
‫‪#‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫"‬
‫‪a b‬‬
‫‪c d‬‬
‫"‬
‫=‪A‬‬
‫‪1‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ad bc c‬‬
‫‪86‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪A‬‬
‫ות‬
‫ור‬
‫נביא מספר דוגמאות לחשיוב זריז של מטריצה הפוכה‪.‬‬
‫פרק ‪ .5‬מטריצה הפוכה‬
‫כאשר ‪bc 6= 0‬‬
‫‪.5.1‬‬
‫‪ :ad‬לשם כך נחשב‬
‫‪#‬‬
‫"‬
‫‪= 1 0‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪#‬‬
‫‪ab + ab‬‬
‫‪ad bc‬‬
‫‪ad bc‬‬
‫‪cd cd‬‬
‫"‬
‫‪= ad 1 bc‬‬
‫‪#‬‬
‫"‬
‫כל‬
‫‪3‬‬
‫דוגמה ‪ 5.1.2‬תהי‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪:::‬‬
‫‪b :::‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪.. 7‬‬
‫‪. 7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫הזכ‬
‫‪3‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1=w‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6 .‬‬
‫‪6 ..‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪::: w‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪:::‬‬
‫‪:::‬‬
‫‪1=a 0‬‬
‫‪0 1=b‬‬
‫מטריצה אלכסונית ו־ ‪ :a b : : : w 6= 0‬קל לראות ש־‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪:::‬‬
‫"‬
‫‪) ad‬יש פרופורציה בין קואורדינאטות( ולכן‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪#‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪ ad 1 bc d‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c d‬‬
‫קבוצת עמודות של מטריצה ‪ A‬תהיה תלויה ליניארית כאשר ‪bc = 0‬‬
‫במקרה הזה מטריצה ‪ A‬לא הפיכה‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫הגדרה וחישוב של מטריצה הפוכה‬
‫‪0‬‬
‫=‪A‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪A‬‬
‫ות‬
‫וי‬
‫אם ‪ :a b : : : w = 0‬אז אחת מעמודות של מטריצה ‪ A‬וקטור אפס ולכן המטריצה לא הפיכה‪.‬‬
‫דוגמה ‪ 5.1.3‬נוכיח שאם ‪ A; B‬מטריצות הפיכות ‪ n n‬אז גם מטריצה ‪ AB‬הפיכה ו־‬
‫‪= AIA = AA = I‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪A‬‬
‫‬
‫‪BB‬‬
‫‪1‬‬
‫‪=A‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪B 1A‬‬
‫‪1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪1‬‬
‫‪=B‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪: (AB‬‬
‫)‪(AB‬‬
‫נדון עכשיו איך לחשב מטריצה הפוכה באופן כללי‪ .‬תהי ‪ A‬מטריצה ‪ :n n‬לפי הגדרה של מטריצה‬
‫הפוכה נחפש מטריצה ‪ X‬שמקיימת את השוויון ‪= I‬‬
‫שמ‬
‫‪ AX‬כאשר ‪ I‬מטריצת יחידה ‪ :n n‬אנחנו בעצם‬
‫כבר למדנו איך לעשות את זה כאשר דיברנו על שיטת גאוס־ג׳ורדן )ראה דוגמה )‪ .( (4.2.9‬נחזור פה על‬
‫התהליך הזה שוב‪.‬‬
‫‪#‬‬
‫דוגמה ‪ 5.1.4‬תהי מטריצה‬
‫"‬
‫‪1 3‬‬
‫=‪A‬‬
‫‪2 4‬‬
‫‪AX = I‬‬
‫ברור שמטריצה ‪ X‬צריכה להיות ‪ :2 2‬נסמן‬
‫נחשב‬
‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ‬
‫‪#‬‬
‫‪#‬‬
‫"‬
‫‪x1 x3‬‬
‫‪x2 x4‬‬
‫‪x3 + 3x4‬‬
‫‪2x3 + 4x4‬‬
‫=‪X‬‬
‫‪x1 + 3x2‬‬
‫‪2x1 + 4x2‬‬
‫‪87‬‬
‫"‬
‫= ‪AX‬‬
‫ות‬
‫ור‬
‫נחפש מטריצה הפוכה ‪ X‬של מטריצה ‪ :A‬לפי הגדרה מטריצה ‪ X‬מקיימת את השוויון‬
‫פרק ‪ .5‬מטריצה הפוכה‬
‫הגדרה וחישוב של מטריצה הפוכה‬
‫‪.5.1‬‬
‫אז‪ ,‬נפתור שתי מערכות משוואות‬
‫‪8‬‬
‫‪<x3‬‬
‫‪+ 3x = 0‬‬
‫‪2x + 4x = 1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪8‬‬
‫‪<x1‬‬
‫‪+ 3x = 1‬‬
‫‪:2x + 4x = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫&‬
‫‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫לשתי מערכות האלה יש אותה מטריצת מקדמים ־ מטריצה ‪ :A‬לכן נוכל לפתור אותן בו זמנית כאשר באגף ימין‬
‫נכתוב וקטורים של מקדמים חופשיים של המערכות האלה‪:‬‬
‫כל‬
‫‪#‬‬
‫אז נפתור את המערכות האלה‪:‬‬
‫‪#‬‬
‫‪1 R2‬‬
‫‪2‬‬
‫! ‪R2‬‬
‫‪1 0‬‬
‫‪2 1‬‬
‫הזכ‬
‫‪#‬‬
‫‪2 3=2‬‬
‫‪1 1=2‬‬
‫מפה נובע ש־‬
‫‪1 3‬‬
‫‪0 2‬‬
‫‪#‬‬
‫"‬
‫‪R 2 ! R 2 2R 1‬‬
‫"‬
‫‪#‬‬
‫‪1 0‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪R 1 ! R 1 3R 2‬‬
‫"‬
‫" ‪#‬‬
‫‪= 3=2‬‬
‫‪1=2‬‬
‫‪1 0‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪#‬‬
‫‪x3‬‬
‫;‬
‫‪x4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1=2‬‬
‫"‬
‫‪= 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪#‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫"‬
‫‪1 3‬‬
‫‪2 4‬‬
‫"‬
‫‪1 3‬‬
‫‪0 1‬‬
‫"‬
‫‪x1‬‬
‫‪x2‬‬
‫ות‬
‫וי‬
‫ולכן‪,‬‬
‫‪#‬‬
‫‪1 0‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪1 3‬‬
‫‪2 4‬‬
‫"‬
‫‪#‬‬
‫‪2 3=2‬‬
‫‪1 1=2‬‬
‫"‬
‫=‪X‬‬
‫באופן כללי אלגוריתם לחישוב של מטריצה הפוכה ניתן לנסח כך‪:‬‬
‫] ‪! [I jA‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Gauss Jordan‬‬
‫] ‪[AjI‬‬
‫)‪(5.4‬‬
‫שמ‬
‫האלגוריתם הזה הוא בעצם פתרון של מערכת משוואות ולכן‪ ,‬אם בשלב כלשהו של אלגוריתם )‪(5.4‬‬
‫מתקבלת שורת אפסים באגף שמאל אז מטריצה הפוכה לא קיימת‪.‬‬
‫בעזרת מטריצה הפוכה ניתן לכתוב נוסחה לפתרון של מערכת משוואות לינארית עם מטריצת מקדמים‬
‫ריבועית כאשר יש למערכת הזאת פתרון יחיד‪ .‬אם‬
‫ות‬
‫ור‬
‫‪Ax = b‬‬
‫מערכת משוואות שמקיימת את התנאים הנ״ל‪ .‬ע״י הכפלת שני אגפים שלה במטריצה‬
‫נוסחה לפתרון והיא‬
‫‪x=A b‬‬
‫‪1‬‬
‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ‬
‫‪88‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ A‬מתקבלת‬
‫פרק ‪ .5‬מטריצה הפוכה‬
‫‪5.2‬‬
‫‪.5.2‬‬
‫תרגילים‬
‫תרגילים‬
‫‪ .1‬תהי ‪ :Ann‬הוכח שאם ‪ Ax = x‬לכל וקטור ‪ x 2 Rn‬אז ‪:A = I‬‬
‫הדרכה‪ :‬הסבר מדוע מהשוויון הנתון נובע ש־ ‪:AI = I‬‬
‫‪ .2‬הוכח שמטריצה הפוכה של מטריצה משולשת עליונה עם איבירם באלכסון שונים מאפס גם מטריצה‬
‫כל‬
‫משולשת עליונה‪.‬‬
‫‪ .3‬חשב מטריצה הפוכה של מטריצות הבאות‬
‫)מטריצות של משולש ‪( Pascal‬‬
‫‪3‬‬
‫הזכ‬
‫‪07‬‬
‫‪0777‬‬
‫‪0775‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1 0‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7 61 1‬‬
‫‪1 05 66‬‬
‫‪4‬‬
‫‪; 641 1 0775 ; 66‬‬
‫‪61 2‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 2 1 4‬‬
‫‪1 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫ונסה להכליל את התוצאות‪.‬‬
‫‪ .4‬חשב מטריצה הפוכה של מטריצות הבאות‬
‫‪3‬‬
‫ות‬
‫וי‬
‫)מטריצות ‪( Hadamard‬‬
‫‪H2 5‬‬
‫‪H2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 1 1 17‬‬
‫‪2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪H‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪7; H = 4‬‬
‫= ‪5; H‬‬
‫‪H =4‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 175‬‬
‫‪H‬‬
‫‪1 1 1 1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫רמז לדרך זריזה‪ :‬חשב את ‪:H T H‬‬
‫שמ‬
‫ות‬
‫ור‬
‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ‬
‫‪89‬‬