קרינת גוף שחור
קרינת גוף שחור גוף שחור הוא רעיון תיאורטי ,אך עבור עצמים הנמצאים בשיווי משקל תרמודינמי הקירוב של גוף שחור הוא קירוב בהחלט טוב. מאנליזה ספקטראלית של אור הכוכב ו"פליטת גוף שחור" ניתן לקבוע: א .טמפרטורת השפה של הכוכב מחוק וין או נוסחת פלנק. ב .רדיוס הכוכב מחוק סטפן – בולצמן )עצמת האור המגיעה מהכוכב ,אם יודעים את המרחק אל הכוכב(L = 4πR2σT 4 . ג .המהירות הרדיאלית של הכוכב )מאפקט דופלר(. הנוסחא האמפירית של פלנק ,למרות שלא נגזרה מתיאוריה ,נותנת את התיאור המדויק ביותר עבור ספקטרום הקרינה של גוף שחור: 1 −1 hν kBT e 8πh ν 3 ⋅ c3 = uν )(1.1 - kBקבוע בולצמן. תוצאות: האנרגיה הכוללת ליחידת נפח בשדה קרינה: x3 8π 5 (kBT )4 dx = ex − 1 15h 3c 3 ∞ ∫ 0 ν3 8π(kBT )4 = dν h 3c 3 −1 E = aT 4 V hν kbT e 8πh ∫ u νd ν = 3 c J m ⋅ k4 3 ∞ ∫ 0 E = V a = 7.54 ⋅ 10−16 כלומר ,מנוסחת פלנק מקבלים כי צפיפות האנרגיה האלקטרומגנטית בגוף שחור מתנהגת כמו: ∫ uνd ν = aT 4 =u בהתאם לכך ,קצב פליטת האנרגיה של גוף שחור מיחידת שטח הוא פרופורציוני לחזקה הרביעית של הטמפרטורה: )(2.1 caT 4 = σT 4 4 = s νd ν ∫ = s )(3.1 J m ⋅ sec⋅ k 4 2 σ = 5.67 ⋅ 10−8 היחס הזה נקרא חוק סטפן – בולצמן. אך σT 4נותן רק האנרגיה לשנייה ליחידת שטח ,בד"כ כשמדובר על כוכבים אנו מעוניינים בבהירות ) (luminosityשלהם ,לכן עבור כוכב בעל רדיוס :R ) L = (4πR2 )(σT 4 )(4.1 חוק ההסחה של וין ):(Wein’s law עבור כל אורך גל נתון מקבלים כי ככל שהגוף השחור חם יותר הוא פולט יותר אנרגיה. כמו כן ,השיא בעצמת האנרגיה הנפלטת כפונקציה של אורך הגל מתקבל באורכי גל קצרים יותר ככל שהטמפרטורה עולה. היחס בין אורך הגל שבו מתקבל הפיק max) λmax ,לא במובן של אורך הגל המקסימאלי ,אלא אורך הגל המתאים לעצמה מקסימאלית של האנרגיה הנפלטת( ,לבין הטמפרטורה Tנקרא חוק וין. ○ λmaxT = 2.9 × 107 Α k ∂u λ היכן ש u λ = max -כאשר = 0 ∂λ . ○ = 2.9 ⋅ 10 Α K 7 λmax du du = dλ את התוצאה האחרונה ניתן לקבל מתוך λν = cוהזהות dν dλ dν (h ν )max ≅ 2.822 ⋅ kB ⋅ T = du du du dν c c = ≡ uλ = uν (ν = ) 2 λ λ dλ dν d λ ⇒ תרגיל: מה צריכה להיות טמפרטורת השפה של כוכב כדי שמקסימום פליטתו יהיה באורך גל נראה? פתרון: o o אורכי גל בתחום הנראה בסביבות 3900 A ≤ λ ≤ 7600 A ⎤ 2.9 ⋅ 107 ⎡ o = λmax מחוק וין⎢ A ⎥ : ⎦ ⎣ ] T [K ⇒ 3815K ≤ T ≤ 7436K הטמפרטורה האפקטיבית של שפת השמש היא T ≈ 5800K תרגיל: מה הטמפרטורה המקסימאלית של כביש אספלט שחור הנמצא בשיווי משקל תרמי עם קרינת השמש, kW כשהשמש נמצאת מעליו ,אם שטף האנרגיה הסולרית במרחק הארץ מהשמש הנו ? 1.364 2 m פתרון: מחוק סטפן -בולצמן 104 cm 2 ⋅ σT 4 = 1.364kW σ = 5.7 ⋅ 10−5erg ⋅ cm −2 ⋅ K −4 ⋅ sec−1 kW = 103 ⋅ 107 erg ⋅ sec−1 = 1010erg ⋅ sec−1 1 ⎡ 1.364 ⋅ 1010 ⎤ 4 ⎥ ≈ 400K ⇒T = ⎢ 4 ⎦⎥ ⎢⎣ 10 ⋅ 5.7 ⋅ 10−5 T ~ 127°C
© Copyright 2024