‫קרינת גוף שחור‬
‫גוף שחור הוא רעיון תיאורטי‪ ,‬אך עבור עצמים הנמצאים בשיווי משקל תרמודינמי הקירוב של גוף שחור‬
‫הוא קירוב בהחלט טוב‪.‬‬
‫מאנליזה ספקטראלית של אור הכוכב ו"פליטת גוף שחור" ניתן לקבוע‪:‬‬
‫א‪ .‬טמפרטורת השפה של הכוכב מחוק וין או נוסחת פלנק‪.‬‬
‫ב‪ .‬רדיוס הכוכב מחוק סטפן – בולצמן )עצמת האור המגיעה מהכוכב‪ ,‬אם יודעים את המרחק אל‬
‫הכוכב(‪L = 4πR2σT 4 .‬‬
‫ג‪ .‬המהירות הרדיאלית של הכוכב )מאפקט דופלר(‪.‬‬
‫הנוסחא האמפירית של פלנק‪ ,‬למרות שלא נגזרה מתיאוריה‪ ,‬נותנת את התיאור המדויק ביותר עבור‬
‫ספקטרום הקרינה של גוף שחור‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪hν‬‬
‫‪kBT‬‬
‫‪e‬‬
‫‪8πh ν 3‬‬
‫⋅‬
‫‪c3‬‬
‫= ‪uν‬‬
‫)‪(1.1‬‬
‫‪ - kB‬קבוע בולצמן‪.‬‬
‫תוצאות‪:‬‬
‫האנרגיה הכוללת ליחידת נפח בשדה קרינה‪:‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪8π 5 (kBT )4‬‬
‫‪dx‬‬
‫=‬
‫‪ex − 1‬‬
‫‪15h 3c 3‬‬
‫∞‬
‫∫‬
‫‪0‬‬
‫‪ν3‬‬
‫‪8π(kBT )4‬‬
‫= ‪dν‬‬
‫‪h 3c 3‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪E‬‬
‫‪= aT 4‬‬
‫‪V‬‬
‫‪hν‬‬
‫‪kbT‬‬
‫‪e‬‬
‫‪8πh‬‬
‫∫ ‪u νd ν = 3‬‬
‫‪c‬‬
‫‪J‬‬
‫‪m ⋅ k4‬‬
‫‪3‬‬
‫∞‬
‫∫‬
‫‪0‬‬
‫‪E‬‬
‫=‬
‫‪V‬‬
‫‪a = 7.54 ⋅ 10−16‬‬
‫כלומר‪ ,‬מנוסחת פלנק מקבלים כי צפיפות האנרגיה האלקטרומגנטית בגוף שחור מתנהגת כמו‪:‬‬
‫‪∫ uνd ν = aT 4‬‬
‫=‪u‬‬
‫בהתאם לכך‪ ,‬קצב פליטת האנרגיה של גוף שחור מיחידת שטח הוא פרופורציוני לחזקה הרביעית של‬
‫הטמפרטורה‪:‬‬
‫)‪(2.1‬‬
‫‪caT 4‬‬
‫‪= σT 4‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪s νd ν‬‬
‫∫‬
‫= ‪s‬‬
‫)‪(3.1‬‬
‫‪J‬‬
‫‪m ⋅ sec⋅ k 4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪σ = 5.67 ⋅ 10−8‬‬
‫היחס הזה נקרא חוק סטפן – בולצמן‪.‬‬
‫אך ‪ σT 4‬נותן רק האנרגיה לשנייה ליחידת שטח‪ ,‬בד"כ כשמדובר על כוכבים אנו מעוניינים בבהירות‬
‫)‪ (luminosity‬שלהם‪ ,‬לכן עבור כוכב בעל רדיוס ‪:R‬‬
‫) ‪L = (4πR2 )(σT 4‬‬
‫)‪(4.1‬‬
‫חוק ההסחה של וין )‪:(Wein’s law‬‬
‫עבור כל אורך גל נתון מקבלים כי ככל שהגוף השחור חם יותר הוא פולט יותר אנרגיה‪.‬‬
‫כמו כן‪ ,‬השיא בעצמת האנרגיה הנפלטת כפונקציה של אורך הגל מתקבל באורכי גל קצרים יותר ככל‬
‫שהטמפרטורה עולה‪.‬‬
‫היחס בין אורך הגל שבו מתקבל הפיק‪ max) λmax ,‬לא במובן של אורך הגל המקסימאלי‪ ,‬אלא אורך‬
‫הגל המתאים לעצמה מקסימאלית של האנרגיה הנפלטת(‪ ,‬לבין הטמפרטורה ‪ T‬נקרא חוק וין‪.‬‬
‫○‬
‫‪λmaxT = 2.9 × 107 Α k‬‬
‫‪∂u λ‬‬
‫היכן ש‪ u λ = max -‬כאשר ‪= 0‬‬
‫‪∂λ‬‬
‫‪.‬‬
‫○‬
‫‪= 2.9 ⋅ 10 Α K‬‬
‫‪7‬‬
‫‪λmax‬‬
‫‪du‬‬
‫‪du‬‬
‫= ‪dλ‬‬
‫את התוצאה האחרונה ניתן לקבל מתוך ‪ λν = c‬והזהות ‪dν‬‬
‫‪dλ‬‬
‫‪dν‬‬
‫‪(h ν )max ≅ 2.822 ⋅ kB ⋅ T‬‬
‫= ‪du‬‬
‫‪du‬‬
‫‪du dν‬‬
‫‪c c‬‬
‫= ‪≡ uλ‬‬
‫‪= uν (ν = ) 2‬‬
‫‪λ λ‬‬
‫‪dλ‬‬
‫‪dν d λ‬‬
‫⇒‬
‫תרגיל‪:‬‬
‫מה צריכה להיות טמפרטורת השפה של כוכב כדי שמקסימום פליטתו יהיה באורך גל נראה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪o‬‬
‫‪o‬‬
‫אורכי גל בתחום הנראה בסביבות ‪3900 A ≤ λ ≤ 7600 A‬‬
‫⎤ ‪2.9 ⋅ 107 ⎡ o‬‬
‫= ‪λmax‬‬
‫מחוק וין‪⎢ A ⎥ :‬‬
‫⎦ ⎣ ] ‪T [K‬‬
‫‪⇒ 3815K ≤ T ≤ 7436K‬‬
‫הטמפרטורה האפקטיבית של שפת השמש היא ‪T ≈ 5800K‬‬
‫תרגיל‪:‬‬
‫מה הטמפרטורה המקסימאלית של כביש אספלט שחור הנמצא בשיווי משקל תרמי עם קרינת השמש‪,‬‬
‫‪kW‬‬
‫כשהשמש נמצאת מעליו‪ ,‬אם שטף האנרגיה הסולרית במרחק הארץ מהשמש הנו ‪? 1.364 2‬‬
‫‪m‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫מחוק סטפן ‪ -‬בולצמן‬
‫‪104 cm 2 ⋅ σT 4 = 1.364kW‬‬
‫‪σ = 5.7 ⋅ 10−5erg ⋅ cm −2 ⋅ K −4 ⋅ sec−1‬‬
‫‪kW = 103 ⋅ 107 erg ⋅ sec−1 = 1010erg ⋅ sec−1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪⎡ 1.364 ⋅ 1010 ⎤ 4‬‬
‫‪⎥ ≈ 400K‬‬
‫‪⇒T = ⎢ 4‬‬
‫⎦⎥ ‪⎢⎣ 10 ⋅ 5.7 ⋅ 10−5‬‬
‫‪T ~ 127°C‬‬