‫אוסף תרגילים באלגברה לינארית‬ ‫אלכס גולדווד ולביא קרפ‬ ‫מכללת אורט בראודה‬ ‫המחלקה למתמטיקה‬ ‫‪ .4‬מכפלה פנימית‬ ‫סימונים‪:‬‬ ‫‪ .1‬מכפלה פנימית‪.hu; vi :‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪p‬‬ ‫נורמה‪hu; ui :‬‬ ‫= ‪.kuk‬‬ ‫‪fv 2 V : hv; wi = 0; 8w 2 W g‬‬ ‫‪ .3‬משלים אורתוגונלי‪:‬‬ ‫תת‪-‬מרחב של מרחב מכפלה פנימית ‪.V‬‬ ‫=‬ ‫? ‪ ,W‬כאשר ‪W‬‬ ‫תרגילים‬ ‫‪ .1‬נציב‬ ‫‪; hx; yi = ax1 y1 + bx2 y2 + cx3 y3‬‬ ‫‪ y = [y1 ; y2 ; y3 ]T ,x = [x1 ; x2 ; x3 ]T‬ונניח כי ‪ b ,a‬ו ‪ c‬מספרים חיוביים‪.‬‬ ‫א‪ .‬הראה כי הנוסחה )‪ (1‬מגדירה מכפלה פנימית ב ‪.R3‬‬ ‫ב‪ .‬עבור ‪ b = 2 ,a = 3‬ו ‪ c = 5‬חשב את הנורמה של‬ ‫המכפלה הפנימית )‪.(1‬‬ ‫‬ ‫‪ .2‬תהי‬ ‫‪a b‬‬ ‫‪b c‬‬ ‫‬ ‫‪1]T‬‬ ‫; ;‬ ‫‪[3 2‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫לפי‬ ‫= ‪ A‬מטריצה עם מקדמים ממשיים‪ .‬הראה שאם ‪ ,a > 0‬ו‬ ‫‪ ,det(A) > 0‬אז הביטוי‬ ‫מהווה מכפלה פנימית ב ‪.R2‬‬ ‫‪hx; yi = xT Ay‬‬ ‫‪ .3‬קבע עבור איזה ממשי הביטוי‬ ‫‪hx; yi = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + x2 y3 + x3 y2‬‬ ‫מהווה מכפלה פנימית ב ‪.R3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫מכפלה פנימית‬ ‫‪ .4‬יהי ‪ V‬מרחב הפונקציות הרציפות בקטע ]‪ [0; 1‬עם המכפלה הפנימית‬ ‫‪Z 1‬‬ ‫‪f (t)g(t)dt‬‬ ‫= ‪; hf; gi‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪:f; g 2 V‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫א‪ .‬הראה ש )‪ (2‬מגדירה אמנם מכפלה פנימית ב ‪.V‬‬ ‫ב‪ .‬האם ) ‪ (t2 31‬ניצב ל ‪ 1‬במכפלה הפנימית )‪?(2‬‬ ‫ג‪ .‬נרמל את הווקטור )פונקציה( ‪ et‬לפי המכפלה הפנימית )‪.(2‬‬ ‫‪ .5‬יהי ‪ V‬מרחב הפונקציות הרציפות בקטע ] ; [ עם המכפלה הפנימית‬ ‫ ‪Z‬‬ ‫‪f (t)g(t)dt‬‬ ‫= ‪; hf; gi‬‬ ‫‬ ‫‪:f; g 2 V‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫ידוע כי‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪B = p ; p cos t; p cos 2t; : : : ; p sin t; p sin 2t; : : :‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫בסיס אורתונורמלי לפי המכפלה הפנימית )‪.(3‬‬ ‫א‪ .‬חשב את מקדמי פורייה של ‪t‬‬ ‫בבסיס ‪.B‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ב‪ .‬הראה כי ‪ t‬שווה‬ ‫)‪nt‬‬ ‫(‪cos‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪7 cos 2‬‬ ‫‪1 ( 1)n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪2 sin 2 + 5 cos‬‬ ‫‪+4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪= 5‬‬ ‫)‪f (t‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪ .6‬יהי ‪ R22‬מרחב המטריצות הממשיות עם המכפלה הפנימית עם המכפלה‬ ‫הפנימית‬ ‫‪T‬‬ ‫)‪(4‬‬ ‫)‪:hA; B i = tr(B A‬‬ ‫א‪ .‬הראה ש‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫;‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫בסיס אורתונורמלי של ‪.R22‬‬ ‫‬ ‫ב‪ .‬מצא מקדמי פורייה של‬ ‫‬ ‫ג‪ .‬חשב את הנורמה של‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪.‬‬ ‫;‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫;‬ ‫= ‪ A‬בבסיס ‪.F‬‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪F‬‬ ‫מכפלה פנימית‬ ‫‪ .7‬יהי ‪ V‬מרחב מכפלה פנימית‪ .‬הוכח את הטענות הבאות‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫‬ ‫כלל המקבילית‪.ku + vk2 + ku vk2 = 2 kuj2 + kvk2 :‬‬ ‫אם ‪ S = fu1 ; :::; uk g‬קבוצה אורתוגונלית שאינה מכילה את וקטור‬ ‫האפס‪ ,‬אז ‪ S‬בלתי תלויה לינארית‪.‬‬ ‫אם ‪ B = fu1 ; :::; un g‬בסיס אורתונורמלי של ‪ V‬ו ‪ i = hx; ui i‬עבור‬ ‫‪ ,i = 1; :::; n‬אז ‪.kxk2 = 21 + + 2n‬‬ ‫אי שוויון בסל ‪ :Bessel‬אם ‪ S = fu1 ; :::; uk g‬קבוצה אורתונורמלית‬ ‫ב‪ V -‬ו ‪ i = hx; ui i‬עבור ‪ ,i = 1; :::; k‬אז‬ ‫‪:21 + + 2k kxk2‬‬ ‫‪ .8‬תרגיל זה עוסק בהיטל אורתוגונלי במרחב בכפלה פנימית ‪.V‬‬ ‫‪W‬‬ ‫א‪ .‬יהי ‪ B = fw1 ; :::; wk g‬בסיס אורתונורמלי של תת‪-‬מרחב‬ ‫הראה שההיטל האורתוגונלי של וקטור ‪ u‬על ‪ W‬ניתן על ידי‬ ‫‪.V‬‬ ‫‪:PW (u) = hu; w1 iw1 + + hu; wk iwk‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את הנוסחה להיטל האורתוגונלי על ‪ W‬כאשר ‪B = fw1 ; :::; wk g‬‬ ‫בסיס אורתוגונלי בלבד‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ג‪ .‬מצא את ההיטל אורתוגונלי של ‪f (t) = t‬על‬ ‫‪t; cos 2t; sin t; sin 2tg‬‬ ‫;‪f‬‬ ‫‪:= sp 1 cos‬‬ ‫‪W‬‬ ‫כאשר המכפלה הפנימית נתונה על ידי )‪.(3‬‬ ‫‪ .9‬מצא בסיס עבור ? ‪,W‬‬ ‫א‪ .‬כאשר ‪f ; ; ; ; ; g‬‬ ‫על ידי ‪ ,hx; yi = xT Ay‬כאשר‬ ‫‪= span [1 2 3]T [0 1 1]T‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ W‬והמכפלה הפנימית ב‪ R3 -‬נתונה‬ ‫‪1 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪:A = 4‬‬ ‫ב‪ .‬כאשר ‪ R33 W‬זה אוסף המטריצות האלכסוניות והמכפלה הפנימית‬ ‫נתונה על ידי )‪.hA; B i = tr(B T A‬‬ ‫‪ .10‬יהי ‪ Rnn‬מרחב מכפלה פנימית של כל המטריצות הממשיות ‪ n n‬עם‬ ‫המכפלה הפנימית )‪ .hA; B i = tr(B T A‬יהי ‪ S‬אוסף המטריצות הסימטריות‬ ‫ו ‪ K‬אוסף המטריצות האנטי‪-‬סימטריות‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫מכפלה פנימית‬ ‫א‪ .‬הראה ‪.Rnn = S K‬‬ ‫‪1‬‬ ‫רמז‪.A = 2 (A + AT ) + 12 (A AT ) :‬‬ ‫ב‪ .‬הראה ‪ S ? K‬במכפלה הפנימית הנתונה‪.‬‬ ‫רמז‪ :‬הראה תחילה ש )‪.tr(AB ) = tr(BA‬‬ ‫ג‪ .‬הסק מסעיפים א׳ ו ב׳ ש ‪ S ? = K‬ו ‪.K ? = S‬‬ ‫‪ .11‬באמצעות השלבים הבאים הוכח את אי שוויון קושי‪-‬שוורץ‪-‬בוניאקובסקי‪:‬‬ ‫‪:jhu; vij kukkvk‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫ו‪.‬‬ ‫)‪(5‬‬ ‫וודא ש )‪ (5‬מתקיים כאשר ‪.u = 0‬‬ ‫בשלבים הבאים נניח כי ‪.u 6= 0‬‬ ‫יהי ‪ w = v u‬כאשר ‪. = hkuu;kv2i‬‬ ‫הראה ש ‪ w‬אורתוגונלי ל ‪. .u‬‬ ‫מסעיף ב׳ נובע כי ‪ .kvk = ku + wk‬הסבר מדוע‬ ‫‪.jj2 kuk2 + kwk2 = kvk2‬‬ ‫השתמש בסעיף ג׳ להראות ‪.jj2 kuk2 kvk2‬‬ ‫הצב את לפי סעיף ב׳ באי שיוויון שבסעיף ד׳ וקבל מזה את )‪.(5‬‬ ‫מה הוא התנאי שצריכים לקיים וקטורים על מנת שאי שוויון שהוכחנו‬ ‫יהפוך לשוויון? הוכיחו את התשובה שלכם‪.‬‬ ‫‪ .12‬בהסתמך על אי‪-‬שוויון קושי‪-‬שוורץ הראה את האי‪-‬שוויוניים הבאים‪:‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫!‬ ‫‪b2i‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫!‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪! 21‬‬ ‫‪a2i‬‬ ‫‪a2i‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‬ ‫‪!2‬‬ ‫‪ai :bi‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪jai j n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪:ai 2 R‬‬ ‫;‬ ‫)) ‪; (tr(B T A))2 (tr(AT A))(tr(B T B‬‬ ‫‪f 2 (t)dt‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f (t)tdt‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫;‬ ‫‪:ai ; bi 2 R‬‬ ‫;‬ ‫‪:A; B 2 Rnn‬‬ ‫]‪:f 2 C [0; 1‬‬ ‫מכפלה פנימית‬ ‫‪ .13‬יהי ]‪ V = P2 [x‬מרחב הפולינומים ממעלה קטנה או שווה לשניים עם‬ ‫המכפלה הפנימית‬ ‫‪Z 1‬‬ ‫‪f (x)g(x)dx‬‬ ‫‪0‬‬ ‫= ‪; hf; gi‬‬ ‫‪:f; g 2 V‬‬ ‫השתמש בתהליך גרהם‪-‬שמידט על מנת למצוא פולינומים‬ ‫שיהוו בסיס אורתוגונלי עבור ]‪.P2 [x‬‬ ‫‪fp0 ; p1 ; p2 g‬‬ ‫‪ .14‬יהי ]‪ V = P3 [x‬מרחב הפולינומים ממעלה קטנה או שווה לשלוש עם‬ ‫המכפלה הפנימית‬ ‫‪Z 1‬‬ ‫‪f (x)g(x)dx‬‬ ‫)‪(6‬‬ ‫‪:f; g 2 V‬‬ ‫= ‪; hf; gi‬‬ ‫‪1‬‬ ‫השתמש בתהליך גרהם‪-‬שמידט על מנת למצוא פולינומים‬ ‫‪ fp0 ; p1 ; p2 ; p3 g‬שיהוו בסיס אורתוגונלי עבור ]‪.P3 [x‬‬ ‫‪ .15‬יהי ]‪ V = P2 [x‬מרחב הפולינומים הממשיים ממעלה עד שניים עם המכפלה‬ ‫הפנימית )‪ (6‬ותהי )‪.f (x) = sin( 2 x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫) ‪= sin( 2‬‬ ‫)‪ f (x‬על ‪ V‬באמצעות בסיס‬ ‫א‪ .‬מצא היטל אורתוגונלי של‬ ‫אורתוגונלי‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא היטל אורתוגונלי של )‪ f (x) = sin( 2 x‬על ‪ V‬על ידי פתרון של‬ ‫המערכת הנורמלית‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מצא ‪ ; ; 2 R‬כך ש‬ ‫‪ 12‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x) dx‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪sin‬‬ ‫‪ + x + x2‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪1‬‬ ‫יהי מינימלי‪.‬‬ ‫‪ .16‬יהי ]‪P2 [x‬‬ ‫הפנימית‬ ‫=‬ ‫‪ V‬מרחב הפולינומים הממשיים ממעלה עד שניים עם המכפלה‬ ‫)‪; hf; gi = f (0)g(0) + f (1)g(1) + f (2)g(2‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫‪:f; g 2 V‬‬ ‫)‪(7‬‬ ‫הראה ש )‪ (7‬מהווה מכפלה פנימית ב ]‪.P2 [x‬‬ ‫האם )‪ (7‬מהווה מכפלה פנימית ב ]‪?P3 [x‬‬ ‫מצא בסיס אורתונורמלי של ]‪ P2 [x‬במכפלה הפנימית )‪.(7‬‬ ‫חשב את ההיטל של )‪ sin( 4 x‬על ]‪ P2 [x‬לפי המכפלה הפנימית )‪.(7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫מכפלה פנימית‬ ‫‪.17‬‬ ‫יהי ‪ V = R22‬מרחב המטריצות עם מכפלה פנימית לפי )‪hA; B i = tr(B T A‬‬ ‫ויהי ‪ V S‬אוסף המטריצות הסימטריות‪ .‬חשב את ההיטל האורתוגונלי‬ ‫‪.18‬‬ ‫יהי ‪ V = R32‬מרחב המטריצות הממשיות ‪ 2‬‬ ‫)‪ .hA; B i = tr(B T A‬יהי‬ ‫של ‪a b‬‬ ‫‪c d‬‬ ‫= ‪ A‬על ‪.S‬‬ ‫‪9‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫;‪a; b; c 2 R‬‬ ‫תת מרחב של ‪.V‬‬ ‫‪0 5:‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪3‬‬ ‫א‪ .‬מצא היטל אורתוגונלי של‬ ‫‪82‬‬ ‫‪< 0‬‬ ‫‪4 b‬‬ ‫=‬ ‫‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ב‪ .‬מצא ‪ B 2 W‬כך ש‬ ‫‪3‬‬ ‫עם המכפלה הפנימית‬ ‫‪ A = 4‬על ‪.W‬‬ ‫‪: Cmin‬‬ ‫‪kA C k = kA B k‬‬ ‫‪2W‬‬ ‫‪ .19‬יהיה ‪ V‬מרחב מכפלה פנימית ויהיו ‪ U‬ו‪ W -‬שני תת‪-‬מרחבים שלו כך ש‪-‬‬ ‫‪ .W U‬יהיה ‪ f‬וקטור ב ‪ ,V‬ונסמן ב ‪ p‬את ההיטל של ‪ f‬על ‪ .U‬הוכח שאם‬ ‫‪ ,f ? W‬אז גם ‪.p ? W‬‬ ‫‪ .20‬יהיה ‪ V‬מרחב וקטורי של פונקציות רציפות בקטע ]‪a; a‬‬ ‫פנימית‬ ‫‪f (x)g(x) dx‬‬ ‫‪Z a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫[‬ ‫עם מכפלה‬ ‫= ‪hf; gi‬‬ ‫א‪ .‬נסמן ב‪ A-‬קבוצה של פונקציות זוגיות מתוך ‪ V‬וב‪ B -‬קבוצה של‬ ‫פונקציות אי‪-‬זוגיות־ מ‪ .V -‬הוכח ש‪ A-‬ו‪ B -‬תת מרחבים של ‪.V‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח ש־ ‪.A B = V‬‬ ‫רמז‪:‬‬ ‫)‪f (x) f ( x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪f (x) + f ( x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= )‪:f (x‬‬ ‫ג‪ .‬הוכח ש‪.A? = B -‬‬ ‫ד‪ .‬יהיה ‪ U‬תת מרחב של ‪ V‬עם תכונה הבאה‪ :‬לכל ‪ g (x) 2 U‬גם‬ ‫‪ :g( x) 2 U‬הוכח שאם )‪ f (x‬פונקציה אי זוגית אז היטל שלה על ‪U‬‬ ‫גם פונקציה אי זוגית‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫מכפלה פנימית‬ ‫‪ .21‬יהי )]‪ C ([a; b‬מרחב הפונקציות הרציפות עם מכפלה פנימית‬ ‫‪Z b‬‬ ‫‪f (x)g(x)dx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫= ‪:hf; gi‬‬ ‫יהי ]‪ Pn [x‬מרחב הפולינומים ממעלה קטנה או שווה ל ‪ .n‬על סמך תהליך‬ ‫גרהם שמידט לכל שלם חיובי ‪ n‬קיים בסיס אורתונורמלי ‪fp0 ; p1 ; :::; pn g‬‬ ‫של תת המרחב ]‪.Pn [x‬‬ ‫א‪ .‬הראה שאם ‪ q‬פולינום ממעלה ‪ ,n > m‬אז ‪.hq; pn i = 0‬‬ ‫ב‪ .‬הראה שלפולינום ‪ pn‬יש ‪ n‬שורשים בקטע ]‪.[a; b‬‬ ‫רמז‪ :‬נניח בשלילה של ‪ pn‬יש ‪ m < n‬שורשים ‪ fx1 ; :::; xm g‬בקטע‬ ‫]‪ .[a; b‬נציב ) ‪ ,q (x) = (x x1 ) (x xm‬אז )‪ pn (x) = q (x)r(x‬כאשר‬ ‫)‪ r(x‬פולינום ללא שורשים בקטע ]‪ .[a; b‬השתמש בסעיף )א( על מנת‬ ‫לקבל סתירה‪.‬‬ ‫‪ .22‬א‪ .‬יהיו ‪ a‬ו ‪ b‬וקטורים ב ‪ .Rn‬הראה ש‪.tr(abT ) = aT b -‬‬ ‫ב‪ .‬יהי ‪ fu1 ; :::; un g‬בסיס אורתונורמלי של ‪ :Rn‬הראה שאוסף מטריצות‬ ‫‪fui uTj g; i; j = 1; :::; n‬‬ ‫מהווה בסיס אורתונורמלי של מרחב המטריצות ‪Rnn‬‬ ‫פנימית‬ ‫עם מכפלה‬ ‫)‪hA; B i = tr(B T A‬‬ ‫‪ .23‬הוכח שקבוצת פונקציות )הן נקראות פונקציות ‪(Rademacher‬‬ ‫‪[2p x] ; p = 1; : : : n‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫] ‪[2p‬‬ ‫מסמן ערך שלם של ‪x‬‬ ‫כאשר ‪x‬‬ ‫מכפלה פנימית מוגדרת כך‬ ‫‪2p‬‬ ‫‪f (x)g(x) dx‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫( = )‪fp (x‬‬ ‫היא קבוצה אורתונורמלית כאשר‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪0‬‬ ‫= ‪hf; gi‬‬ ‫מכפלה פנימית‬ ‫תשובות‬ p 40 .‫ב‬ jj < 1 p pe22et1 .‫ג‬ 3 ,‫ כן‬.‫ב‬ f5; 1; 2; 0g p 30 1 .‫ב‬ .‫ג‬ 4 6 PW (u) = hkuw;w1 k12i w1 + + hkuw;wk kk2i wk .‫ ב‬8 2 4 cos(t) + cos(2t) .‫א‬ 3 f(0; 1; 1)T g 3 2 3 2 3 9 82 0 1 0 0 0 1 0 0 0 > > > > > 4 0 0 0 5 ; 4 0 0 0 5 ; 4 0 0 1 5 ;> > > > > > > > > = < 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 3 2 3 2 3 > 0 0 0 0 0 0 0 0 0 > > > > > > > > 4 1 0 0 5 ; 4 0 0 0 5 ; 4 0 0 0 5> > > > > ; : 0 0 0 1 0 0 0 1 0 f1; x 21 ; x2 x + 16 g .f1; x; x2 13 ; x3 53 xg = 122 ‫ = = ו‬0 .‫ג‬ p , 122 x .‫ב‬ f p13 ; p12 (x 1); p32 (x2 p 1 ( 2 B=4 8 1 14 , 122 x .‫ א‬15 x + 31 )g .‫ ג‬16 1 1 2 2 )x + ( 2 p2 )x .‫ד‬ a b+c 0 13 2 2 .‫ א‬9 .‫ב‬ 3 0 0 5 0 1 2 .‫ב‬ ,4 2 0 b+c 2 d 1 17 3 0 0 5 0 1 .‫ א‬18