1. No category

‫סטודנטים יקרים‬
‫ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת‬
‫אלגברה ליניארית באוניברסיטת תל אביב‪ ,‬באוניברסיטה‬
‫הפתוחה‪ ,‬במכללת שנקר ועוד‪.‬‬
‫שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות הולידו את הרצון להאיר את‬
‫הדרך הנכונה לעומדים בפני קורס חשוב זה‪.‬‬
‫הספר עוסק ב אלגברה ליניארית ‪ 2‬והוא מתאים‬
‫לתלמידים במוסדות להשכלה גבוהה – אוניברסיטאות או מכללות‪.‬‬
‫הספר מסודר לפי נושאים ומכיל את כל חומר הלימוד‪ ,‬בהתאם לתוכניות‬
‫לת רגּול בקורס זה חשיבות יוצאת‬
‫הלימוד השונות‪ .‬הניסיון מלמד כי ִ‬
‫דופן‪ ,‬ולכן ספר זה בולט בהיקפו ובמגוון ה תרגילים המופיעים בו‪.‬‬
‫לכל התרגילים בספר פתרונות מלאים באתר ‪www.GooL.co.il‬‬
‫הפתרונות מוגשים בסרטוני ווידאו המלווים בהסבר קולי‪ ,‬כך שאתם‬
‫רואים את התהליכים בצורה מובנית‪ ,‬שיטתית ופשוטה‪ ,‬ממש כפי‬
‫שנעשה בשיעור פרטי‪ .‬הפתרון המל א של השאלה מכוון ומוביל לדרך‬
‫חשיבה נכונה בפתרון בעיות דומות מסוג זה‪.‬‬
‫לצפיה בשיעור חינם בעמוד הקורס‪ :‬אלגברה ליניארית ‪2‬‬
‫תקוותי היא‪ ,‬שספר זה ישמש מורה‪ -‬דרך לכם הסטודנטים ויוביל אתכם להצלחה‪.‬‬
‫גיא סולומון‬
‫תוכן עניינים‬
‫פרק ‪ – 1‬מרחבי מכפלה פנימית ‪3 .................... ................................ ................................‬‬
‫מרחבי מכפלה פנימית ‪3.............................................................................................................................‬‬
‫תשובות ‪4 ...........................................................................................................................................................‬‬
‫הנורמה והמרחק ‪5....................................................................................................................................‬‬
‫תשובות ‪6 ...........................................................................................................................................................‬‬
‫אי שיוויון קושי שוורץ‪ ,‬יישומים ‪7..............................................................................................................‬‬
‫תשובות ‪8 ...........................................................................................................................................................‬‬
‫אורתוגונליות ‪9.........................................................................................................................................‬‬
‫תשובות ‪10 .........................................................................................................................................................‬‬
‫משלים אורתוגונלי ‪11 ...............................................................................................................................‬‬
‫תשובות ‪12 .........................................................................................................................................................‬‬
‫קבוצה ובסיס אורתוגונלי ‪13 ......................................................................................................................‬‬
‫תשובות ‪15 .........................................................................................................................................................‬‬
‫ההיטל של וקטור ‪16 .................................................................................................................................‬‬
‫תשובות ‪16 .........................................................................................................................................................‬‬
‫תהליך גרהם שמידט ‪17 .............................................................................................................................‬‬
‫תשובות ‪17 .........................................................................................................................................................‬‬
‫פרק ‪ – 1‬מרחבי מכפלה פנימית‬
‫מרחבי מכפלה פנימית‬
‫‪ )1‬לכל שני וקטורים ) ‪ v  ( y1, y2 ) , u  ( x1 , x2‬ב‪R 2 -‬‬
‫נגדיר ‪.  u, v  x1 y1  3x1 y2  3x2 y1  4 x2 y2‬‬
‫בדוק האם ההגדרה שלעיל מהווה מכפלה פנימית ב‪. R 2 -‬‬
‫‪ )2‬לכל שני וקטורים ) ‪ v  ( y1 , y2 ) , u  ( x1 , x2‬ב‪R 2 -‬‬
‫נגדיר ‪.  u, v   x1 y1  3x1 y2  3x2 y1  kx2 y2‬‬
‫עבור אילו ערכים של הקבוע ‪ k‬ההגדרה שלעיל מהווה‬
‫מכפלה פנימית ב‪. R 2 -‬‬
‫‪ )3‬לכל שני וקטורים ) ‪ v  ( y1 , y2 , y3 ) , u  ( x1 , x2 , x3‬ב‪R 3 -‬‬
‫נגדיר ‪.  u, v   x1 y1  kx1 y3  x2 y2  kx3 y1  x3 y3‬‬
‫עבור אילו ערכים של הקבוע ‪ k‬ההגדרה שלעיל מהווה‬
‫מכפלה פנימית ב‪. R 3 -‬‬
‫‪ )4‬לכל שני וקטורים ‪ v   v1,..., vn  , u   u1,...,u n ‬ב‪R n -‬‬
‫‪n‬‬
‫נגדיר ‪ u , v   kiui vi‬כאשר ‪ k1,..., kn‬מספרים חיוביים כלשהם‪.‬‬
‫‪i 1‬‬
‫הראה כי הנוסחה לעיל מגדירה מכפלה פנימית ב ‪ . R n‬מהי המכפלה המתקבלת עם ‪ ki  1‬לכל ‪1  i  n‬‬
‫‪ )5‬לכל שתי מטריצות ‪ A, B‬ב‪ M mxn [ R] -‬נגדיר‪.  A, B   tr( BT A) :‬‬
‫בדוק האם ההגדרה שלעיל מהווה מכפלה פנימית ב‪. M mxn [ R] -‬‬
‫‪ tr‬מייצג את המילה ‪( trace‬עקבה) שהוא סכום איברי האלכסון‪.‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ )6‬לכל שתי פונקציות ‪ f , g‬ב‪ C[a , b] -‬נגדיר‪.  f , g    f  gdx :‬‬
‫‪a‬‬
‫בדוק האם ההגדרה שלעיל מהווה מכפלה פנימית ב‪. C[a , b] -‬‬
‫תשובות‬
‫‪)1‬‬
‫‪)2‬‬
‫‪)3‬‬
‫‪)4‬‬
‫ההגדרה לא מהווה מכפלה פנימית‪.‬‬
‫‪k 9‬‬
‫‪1  k  1‬‬
‫עבור ‪ ki  1‬לכל ‪ 1  i  n‬נקבל את המכפלה הפנימית הסטנדרטית‪.‬‬
‫‪ )5‬ההגדרה מהווה מכפלה פנימית ב ‪M mxn  R‬‬
‫‪ )6‬ההגדרה מהווה מכפלה פנימית ב ‪C  a, b‬‬
‫הנורמה והמרחק‬
. u  (1, 2, 2) , v  (3, 2, 6) , w  (5, 3, 2) : R 3 -‫) נתונים שלושה וקטורים ב‬1
:‫ חשב‬, R 3 -‫בהתייחס למכפלה הפנימית הרגילה ב‬
a )  u, v  b)  u, w  c )  v , w  d )  u  v , w  e ) u
g) u  v
f) v
i ) uˆ
h ) d (u, v )
j ) vˆ
: M 2 x 3 [ R] -‫) נתונות שלוש מטריצות ב‬2
 10 9 8 
 2 3 4
 3 5 2 
A
, B
, C



 7 6 5
 5 6 7
 1 0 4 
M 2 x 3 [ R] -‫ ב‬ A, B   tr( BT A) : ‫בהתייחס למכפלה הפנימית‬
‫חשב‬
1. A, B
2. A, C 3. A, B  C
4. B, C
5. 4 A  10 B,11C
6. A
7. B
8.d  A, B 
9. Aˆ
: C[0,1] -‫) נתונים שלושה פולינומים ב‬3
p( x)  x  3 , q( x)  3x  1 , r( x)  x 2  4 x  1
1
 p, q    p ( x )  q( x )dx : ‫בהתייחס למכפלה הפנימית‬
0
1. p, q
2. p, r
3. p, q  r
5.d  p, q  6. rˆ :‫חשב‬
4. p
. uv
2
 u  2  u, v   v
2
. uv
2
 u  2  u, v   v
2
.  u  v, u  v  u  v
2
2
2
2
uv  uv
2
.

2
 2 u  2 v
1
2
uv  uv
4
2
2
   u, v 
:‫) הוכח‬4
:‫) הוכח‬5
:‫) הוכח‬6
2
:‫) הוכח‬7
:‫) הוכח‬8
‫תשובות‬
19
5
3
8
3
7
96
)1 )1
)2
)3
)4
)5
)6
)7
20 )8
1 2 2
 ,  ,  )9
3 3 3
3 2 6
 ,  ,  )10
7 7 7
185
12
173
24
3168
355
)1 )2
)2
)3
)4
)5
)6
139 )7
124 )8
1 10 9 8 

 )9
355  7 6 5 
9
9.5833
0.5833
37
3
)1 )3
)2
)3
)4
4
)5
3
x2  4 x  1
)6
13
7
15
‫אי שיוויון קושי שוורץ‪ ,‬יישומים‬
‫‪ )1‬הוכח כי ‪ | u, v |  u  v‬אם ורק אם ‪ u, v‬תלויים לינארית‪.‬‬
‫‪ )2‬יהיו ‪ x1 , x2 ,..., xn‬ו‪ y1 , y2 ,..., yn -‬מספרים ממשיים‪ .‬הוכח כי‬
‫‪.  x1 y1  x2 y2  ...  xn yn    x12  x22  ...  xn2  y12  y22  ...  yn2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )3‬יהיו ‪ f , g‬פונקציות רציפות בקטע הסגור ]‪. [a, b‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b‬‬
‫‪  b 2  b 2 ‬‬
‫‪f‬‬
‫(‬
‫‪x‬‬
‫)‬
‫‪g‬‬
‫(‬
‫‪x‬‬
‫)‬
‫‪dx‬‬
‫‪‬‬
‫הוכח כי ‪    f ( x )    g ( x ) ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ a‬‬
‫‪ a‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )4‬חשב את הזווית בין שני הוקטורים )‪u  (1, 2, 2) v  ( 2,1, 2‬‬
‫ביחס למכפלה הפנימית הסטנדרטית ב‪. R 3 -‬‬
‫‪ )5‬חשב את הזווית בין שני הוקטורים )‪u  (3, 4) v  (1, 2‬‬
‫ביחס למכפלה הפנימית‬
‫‪2‬‬
‫‪ ( x1 , x2 ), ( y1 , y2 )  x1 y1  x1 y2  x2 y1  3x2 y2‬ב‪. R -‬‬
‫‪ )6‬מצא את ‪ cos ‬עבור הזווית ‪ ‬שבין ‪ p( x )  2 x  1‬ו‪q( x )  x 2 -‬‬
‫‪1‬‬
‫בהתייחס למכפלה הפנימית ‪  p, q    p ( x )  q( x )dx :‬שב‪. C[0,1] -‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2 1 ‬‬
‫‪ 0 1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪, B‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )7‬מצא את ‪ cos ‬עבור הזווית ‪ ‬שבין ‪‬‬
‫‪ 3 1‬‬
‫‪2 3 ‬‬
‫בהתייחס למכפלה הפנימית ‪  A, B   tr( BT A) :‬ב‪. M 2 x 2 [ R] -‬‬
‫תשובות‬
  63.61 )4
  9.44 )5
cos    0.173 )6
cos    0.00036 )7
‫אורתוגונליות‬
‫‪ )1‬הוכח כי הוקטורים )‪ u  (1, 2, 3) , v  (4, 7, 6‬אורתוגונליים ב‪. R 3 -‬‬
‫‪ )2‬מצא את ערכו של הקבוע ‪ k‬עבורו הוקטורים‬
‫)‪ u  (1, k , 3) , v  (4, 7, 6‬יהיו אורתוגונליים ב‪. R -‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )3‬מצא וקטור יחידה המאונך לשני הוקטורים‬
‫)‪ u  (1, 2, 3) , v  (2,5, 7‬שב‪. R 3 -‬‬
‫‪ )4‬הוכח כי הפולינומים ‪p( x)  2 x  1 , q( x)  6 x 2  6 x  1‬‬
‫אורתוגונליים בקטע ]‪[0,1‬‬
‫‪1‬‬
‫(ביחס למכפלה הפנימית ‪.)  p, q    p( x )  q( x )dx‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ )5‬במרחב ] ‪ ( Pn [ R‬מרחב הפולינומים ממעלה ‪ n ‬מעל ‪) R‬‬
‫נגדיר מכפלה פנימית‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫) ‪ p( k ) q( k )  p(0) q(0)  p(1) q(1)  ...  p( n ) q( n‬‬
‫‪p ( x ), q ( x ) ‬‬
‫‪k 0‬‬
‫הראה כי הפולינומים‪:‬‬
‫‪p( x)  x( x  2)( x  4)( x  6) ,‬‬
‫)‪q( x)  ( x  1)( x  3)( x  5)( x  7‬‬
‫אורתוגונליים כאיברי המרחב ] ‪ P7 [ R‬עם המכפלה הפנימית‬
‫שהוגדרה לעיל‪.‬‬
‫‪k 1 ‬‬
‫‪ 0 1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪, B‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )6‬נתונות שתי מטריצות‪ :‬‬
‫‪ 3 1‬‬
‫‪2 3 ‬‬
‫בהתייחס למכפלה הפנימית ‪  A, B   tr( BT A) :‬ב‪M 2 x 2 [ R] -‬‬
‫מצא את הערך של הקבוע ‪ k‬עבורו המטריצות הנ"ל אורתוגונליות‪.‬‬
‫‪ )7‬הוכח כי‪. u  v  u  v  u  v :‬‬
‫מהו הפירוש הגיאומטרי של תכונה זו ב‪? R 2 -‬‬
‫‪ )8‬הוכח כי‪ u  v  u  v :‬‬
‫מהו הפירוש הגיאומטרי של תכונה זו?‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. uv‬‬
‫‪ )9‬הוכח כי ‪. (u  v )  (u  v )  u  v :‬‬
‫מהו הפירוש הגיאומטרי של תכונה זו?‬
‫תשובות‬
k  2 )2
 1 1 1 
,
,

 )3
 3 3 3
k  0.5 )6
‫משלים אורתוגונלי‬
‫‪ )1‬יהי ‪. W  span (1, 2, 1,1) , (2,5, 3,1)‬‬
‫מצא בסיס וממד עבור ‪ . W ‬הראה כי מתקיים‬
‫משפט הפירוק ‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )2‬יהי ‪ . W  span (1,1,1)‬מצא בסיס וממד עבור ‪. W‬‬
‫הראה כי מתקיים משפט הפירוק‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )3‬יהי ]‪ . W  span x  P2 [R‬מצא בסיס וממד עבור ‪W‬‬
‫ביחס למכפלה הפנימית האינטגרלית בקטע ]‪. [0,1‬‬
‫‪ )4‬יהי ] ‪ . W  span x, x 2   P2 [ R‬מצא בסיס וממד עבור ‪W ‬‬
‫ביחס למכפלה הפנימית האינטגרלית בקטע ]‪. [0,1‬‬
‫‪ 0 0   0 0  ‬‬
‫‪. W  span ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ )5‬יהי ] ‪   M 2 x 2 [ R‬‬
‫‪ 1 1   1 0  ‬‬
‫‪ ‬‬
‫מצא בסיס וממד עבור ‪ W ‬ביחס למכפלה הפנימית ‪ A, B  tr BT A‬ב‪M 2 x 2  R -‬‬
‫‪ )6‬מצא בסיס למשלים האורתוגונלי של מרחב המטריצות האלכסוניות מסדר ‪.3‬‬
‫‪ )7‬מצא בסיס למשלים האורתוגונלי של מרחב המטריצות הסימטריות מסדר ‪.2‬‬
‫‪ )8‬נתונה מערכת משוואות הומוגנית ‪. A  x  0‬‬
‫יהי ‪ U‬מרחב הפתרונות של המערכת‪.‬‬
‫תן פירוש אפשרי ל‪ U -‬בעזרת המושג משלים אורתוגונלי‪.‬‬
‫והמושג מרחב השורות של המטריצה ‪A‬‬
‫‪ )9‬נניח ש‪ W1 , W2 -‬הן תת קבוצות של ‪. V‬‬
‫הוכח כי‪W1  W2  W2  W1 :‬‬
‫‪ )10‬נניח ש‪ W -‬הוא תת קבוצה של ‪. V‬‬
‫הוכח כי‪W  W   :‬‬
‫‪ )11‬נניח ש‪ W -‬הוא תת קבוצה של ‪. V‬‬
‫הוכח כי‪( W  W   :‬אם ‪ V‬מממד סופי)‪.‬‬
‫‪ )12‬נניח ש‪ W1 , W2 -‬הן תת קבוצות של ‪. V‬‬
‫הוכח כי‪(W1  W2 )   W1  W2 :‬‬
‫‪ )13‬נניח ש‪ W1 , W2 -‬הן תת קבוצות של ‪. V‬‬
‫הוכח כי‪(W1  W2 )   W1  W2 :‬‬
‫תשובות‬
W   span  3,1,0,1 , 11, 5,1,0  )1
W   span  1,0,1 ,  1,1,0  )2
 2
 1

W   span    x  ,    x 2   )3
 2

 3

W   span 1.5 x 2  6 x  5

)4
 1 0   0 1  
W   span 
,
  )5
 0 0   0 0  
BW 
 0

 0
 0

 0
 0

 0
1 0

0 0
0 0 
0 0

0 1
0 0 
0

0
0

0

0
1

0 1

0 0
0 0 
0 0

0 0
0 0 
0

1
0

0

0
0

0 0 

0 0 
0 0 
 )6
0 0 

0 0 

1 0  
 0 1  
BW   
  )7
 1 0  
‫קבוצה ובסיס אורתוגונלי‬
‫‪ )1‬נתונה קבוצת וקטורים })‪S  {(2,1, 4) , (1, 2,1) , (3, 2,1‬‬
‫ב‪. R 3 -‬‬
‫א‪ .‬הראה שהקבוצה ‪ S‬היא אורתוגונלית‪.‬‬
‫ב‪ .‬נרמל את הקבוצה לקבלת קבוצה אורתונורמלית‪.‬‬
‫ג‪ .‬ללא חישוב הוכח שהקבוצה מהווה בסיס ל‪. R 3 -‬‬
‫‪ )2‬נתונה קבוצת וקטורים })‪S  {(2,1, 4) , (1, 2,1) , (3, 2,1‬‬
‫ב‪ . R 3 -‬ללא דירוג‪ ,‬תוך שימוש במכפלות פנימיות‪,‬‬
‫רשום את הווקטור )‪ (13, 1, 7‬כצירוף לינארי של איברי ‪. S‬‬
‫‪ )3‬נתונה קבוצת וקטורים })‪S  {(2,1, 4) , (1, 2,1) , (3, 2,1‬‬
‫ב‪ . R 3 -‬רשום את וקטור הקואורדינטות של וקטור‬
‫כלשהו )‪ v  (a, b, c‬ב‪ R 3 -‬ביחס לבסיס ‪. S‬‬
‫‪ )4‬נניח ש‪ u1 , u2 ,..., un  -‬היא בסיס אורתוגונלי ל‪. V -‬‬
‫הוכח שלכל ‪v  V‬‬
‫‪ v, un ‬‬
‫‪ v, u1 ‬‬
‫‪ v, u2 ‬‬
‫‪u1 ‬‬
‫‪u2  ... ‬‬
‫‪un‬‬
‫‪.v ‬‬
‫‪ u1 , u1 ‬‬
‫‪ u2 , u2 ‬‬
‫‪ un , un ‬‬
‫‪ v, ui ‬‬
‫הערה‪ :‬הקבוע‬
‫‪ ui , ui ‬‬
‫‪ ai ‬נקרא מקדם פורייה‬
‫של ‪ v‬ביחס ל‪ ui -‬או הרכיב של ‪ v‬ביחס ל‪. ui -‬‬
‫‪ )5‬נתונה קבוצת פונקציות‬
‫}‪ S  {cos x, cos 2 x, cos 3x,...‬ב‪V  C[0,  ] -‬‬
‫האם הקבוצה אורתוגונלית? אם כן‪ ,‬האם היא אורתונורמלית?‬
‫במידה והקבוצה אורתוגונלית ולא אורתונורמלית‪ ,‬נרמל אותה‬
‫לקבלת קבוצה אורתונורמלית‪.‬‬
‫ענה ביחס למכפלה הפנימית האינטגרלית‪.‬‬
‫‪ )6‬נתונה קבוצת פונקציות }‪S  {1, cos x,sin x, cos 2 x,sin 2 x,...‬‬
‫ב‪ . V  C[0, 2 ] -‬האם הקבוצה אורתוגונלית? אם כן‪ ,‬נרמל אותה‬
‫לקבלת קבוצה אורתונורמלית‪ .‬ענה ביחס למכפלה הפנימית‬
‫האינטגרלית‪ .‬האם הקבוצה מהווה בסיס?‬
‫‪ )7‬נתונה קבוצה )‪ S  {(2, 4, 4) , (4, 1, 1), (0, 2, 2‬ב‪. R 3 -‬‬
‫בדוק האם הקבוצה ‪ S‬אורתוגונלית?‬
‫האם היא בסיס אורתוגונלי? האם היא אורתונורמלית?‬
‫האם היא בסיס אורתונורמלי?‬
‫במידה והקבוצה אורתוגונלית אך לא אורתונורמלית ‪ ,‬נרמל אותה‪.‬‬
‫‪ )8‬נתונה קבוצה } ‪ S  {1, x, x 2 , x 3‬ב‪. P3 [ R ] -‬‬
‫בדוק האם הקבוצה ‪ S‬אורתוגונלית?‬
‫האם היא בסיס אורתוגונלי? האם היא אורתונורמלית?‬
‫האם היא בסיס אורתונורמלי?‬
‫במידה והקבוצה אורתוגונלית אך לא אורתונורמלית ‪ ,‬נרמל אותה‪.‬‬
‫(ענה ביחס למכפלה הפנימית האינטגרלית ב‪.) ]0,1] -‬‬
‫‪ )9‬נתונה קבוצה }‪ S  {1, 2 x  1, 6 x 2  6 x  1‬ב‪. P2 [ R ] -‬‬
‫בדוק האם הקבוצה ‪ S‬אורתוגונלית?‬
‫האם היא בסיס אורתוגונלי? האם היא אורתונורמלית?‬
‫האם היא בסיס אורתונורמלי?‬
‫במידה והקבוצה אורתוגונלית אך לא אורתונורמלית ‪ ,‬נרמל אותה‪.‬‬
‫(ענה ביחס למכפלה הפנימית האינטגרלית ב‪) ]0,1] -‬‬
‫‪1 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )10‬נתונה קבוצה ] ‪1 1   M 3 [ R‬‬
‫‪0 1  ‬‬
‫‪‬‬
‫בדוק האם הקבוצה ‪ S‬אורתוגונלית?‬
‫‪ 2 4 6   1 0 0   1‬‬
‫‪‬‬
‫‪S   0 2 4  ,  0 1 0  ,  0‬‬
‫‪ 0 0 2   0 0 0   0‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫האם היא בסיס אורתוגונלי ?‬
‫האם היא אורתונורמלית? האם היא בסיס אורתונורמלי?‬
‫במידה והקבוצה אורתוגונלית אך לא אורתונורמלית ‪ ,‬נרמל אותה‪.‬‬
‫ענה ביחס למכפלה הפנימית הסטנדרטית של המטריצות ‪.‬‬
‫תשובות‬
‫‪‬‬
‫‪ 2,1, 4 ‬‬
‫‪1, 2,1  3, 2,1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪S‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ )1‬ב‪ .‬‬
‫‪6‬‬
‫‪14 ‬‬
‫‪ 22  12   4 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪24‬‬
‫‪13, 1, 7    2,1, 4   3 1, 2,1   3, 2,1 )2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪2a  b  4c‬‬
‫‪a  2b  c‬‬
‫‪3a  2b  c‬‬
‫‪ 2,1, 4  ‬‬
‫‪1, 2,1 ‬‬
‫‪ 3, 2,1 )3‬‬
‫‪21‬‬
‫‪6‬‬
‫‪14‬‬
‫‪ cos x cos 2x cos 3x ‬‬
‫‪S ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ )5‬הקבוצה אורתוגונלית‪ ,‬הקבוצה לא אורתונורמלית‪,... ,‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0.5 ‬‬
‫‪ 0.5‬‬
‫‪ 1 cos x sin x cos 2 x sin 2 x ‬‬
‫‪S ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ )6‬הקבוצה אורתוגונלית‪ ,‬הקבוצה לא אורתונורמלית‪,... ,‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )7‬הקבוצה אורתוגונלית‪ ,‬הקבוצה מהווה בסיס אורתוגונלי‪ ,‬הקבוצה אינה אורתונורמלית‪,‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪S ‬‬
‫‪ 2, 4, 4  ,  4, 1, 1 ,‬‬
‫‪ 0, 2, 2 ‬‬
‫‪8‬‬
‫‪18‬‬
‫‪ 36‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )8‬הקבוצה לא אורתוגונלית‬
‫‪)9‬‬
‫הקבוצה אורתוגונלית‪ ,‬הקבוצה מהווה בסיס אורתוגונלי‪ ,‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪S  1, 3  2 x  1 , 5 6 x 2  6 x  1‬‬
‫‪ )10‬הקבוצה אורתוגונלית‪ ,‬הקבוצה אינה בסיס אורתוגונלי‪ ,‬הקבוצה לא אורתונורמלית‪,‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 4 6‬‬
‫‪1 0 0‬‬
‫‪ 1 1 1 ‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪S ‬‬
‫‪0 2 4,‬‬
‫‪0 1 0  ,‬‬
‫‪0 1 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 80  0 0 2  2  0 0 0  6  0 0 1  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ההיטל של וקטור‬
‫‪ )1‬מצא את מקדם פורייה ‪ c‬ואת ההיטל של )‪v  (1, 2, 2‬‬
‫לאורך )‪ w  (0,1, 1‬ב‪. R 3 -‬‬
‫‪ )2‬מצא את מקדם פורייה ‪ c‬ואת ההיטל של )‪v  (1, 2, 2, 0‬‬
‫לאורך )‪ w  (0, 2, 1, 2‬ב‪ . R 4 -‬מסמנים גם )‪. proj (v, w‬‬
‫‪ )3‬מצא את מקדם פורייה ‪ c‬ואת ההיטל של ‪p( x )  2 x  1‬‬
‫לאורך ‪ q( x )  x 2‬במרחב הפולינומים עם המכפלה‬
‫הפנימית האינטגרלית ב‪. [0,1] -‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )4‬מצא את מקדם פורייה ‪ c‬ואת ההיטל של ‪‬‬
‫‪3 4‬‬
‫‪ 1 2‬‬
‫‪ B  ‬במרחב המטריצות הממשיות מסדר ‪2‬‬
‫לאורך ‪‬‬
‫‪ 1 0 ‬‬
‫עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית‪.‬‬
‫תשובות‬
‫‪pro  v, w  cw  0 , c  0 )1‬‬
‫‪)2‬‬
‫‪)3‬‬
‫‪)4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 0,2, 1,2  , c ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5 2‬‬
‫‪proj  p, q   c  q  x   x , c ‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1  1 2‬‬
‫‪proj  A,B  cB  ‬‬
‫‪ ,c ‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3  1 0 ‬‬
‫‪proj  v, w   cw  ‬‬
‫תהליך גרהם שמידט‬
‫‪U  span (1, 2, 3), (4,5, 6), (7,8, 9)  R3‬‬
‫‪ )1‬נתון‪:‬‬
‫מצא בסיס אורתונורמלי ל‪. U -‬‬
‫‪.‬‬
‫‪U  span (2, 2, 2, 2), (1,1, 2, 4), (1, 2, 4, 3)  R4‬‬
‫‪ )2‬נתון‪:‬‬
‫מצא בסיס אורתונורמלי ל‪. U -‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )3‬נתון‪ . U  span{4, x, x 2 , x 3 }  P3 [ x ] :‬מצא בסיס אורתונורמלי ל‪U -‬‬
‫בהתייחס למכפלה הפנימית האינטגרלית בקטע ]‪. [-1,1‬‬
‫‪ 1 2   1 2   0 2  ‬‬
‫‪U  span ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫]‪  M 2 [R‬‬
‫‪3 4   1 0   1 1  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )4‬נתון‪:‬‬
‫מצא בסיס אורתונורמלי ל‪ U -‬בהתייחס למכפלה הפנימית הרגילה‬
‫של המטריצות‪.‬‬
‫תשובות‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪Bortonormal  ‬‬
‫‪1,2,3 ,‬‬
‫‪ 4, 1,2  )1‬‬
‫‪21‬‬
‫‪ 15‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2, 2, 2, 2  , w   1, 1,0, 2  , w  1,3, 6, 2  ‬‬
‫‪  w1 ‬‬
‫‪ )2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪16‬‬
‫‪6‬‬
‫‪50 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪Bortonormal‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3x  1‬‬
‫‪5 x  3x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪Bortonormal   wˆ1 ‬‬
‫‪, wˆ 2 ‬‬
‫‪, wˆ 3 ‬‬
‫‪, wˆ 4 ‬‬
‫‪ )3‬‬
‫‪32‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7 ‬‬