פרק - 2פונקציות של מספר משתנים בפרק זה נעסוק בפונקציות שתחומן מורכב מזוגות סדורים של מספרים ממשיים או משלשה סדורה של מספרים ממשיים. הגדרה פונקציה 𝑓 של 2או 3משתנים מוגדרת ע"י 𝑓: 𝐷 → ℝכאשר: א - 𝐷 ⊆ ℝ2 .התחום הוא זוגות סדורים (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 או ב. 3 - 𝐷 ⊆ ℝהתחום הוא שלשות סדורות 3 (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ דוגמאות .𝑓 𝑥, 𝑦 = ln 𝑦 − 𝑥 2 − 1 .1נתונה הפונקציה 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ2 → ℝהמוגדרת ע"י: תחום ההגדרה של הפונקציה הוא 𝑦 − 𝑥 2 − 1 > 0 :כלומר ,𝑦 > 𝑥 2 + 1 ולכן𝑥, 𝑦 |𝑦 > 𝑥 2 + 1 : = 𝐷 .נשרטט את התחום 𝐷: y D x 𝑦𝑥ln 4− .2נתונה הפונקציה 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ2 → ℝהמוגדרת ע"י: 𝑦𝑥 = 𝑦 .𝑓 𝑥, תחום ההגדרה של הפונקציה הוא 4 − 𝑥𝑦 > 0 :וגם .𝑥𝑦 > 0 ולכן 𝑥𝑦 < 4 :וגם 𝑥, 𝑦 |𝑥𝑦 > 0 = 𝐷 .נשרטט את התחום 𝐷: y xy=4 D x © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים D 054-5-290106 1 xy=4 [email protected] .3נתונה הפונקציה 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ3 → ℝהמוגדרת ע”י𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 : = 𝑧 .𝑓 𝑥, 𝑦, תחום ההגדרה של הפונקציה הוא.𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 > 0 : ולכן𝑥, 𝑦, 𝑧 |𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 > 0 : = 𝐷 .נשרטט את התחום 𝐷: פונקציות בשני משתנים 𝑓(𝑥, 𝑦) - נתונה הפונקציה .𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ2 → ℝגרף הפונקציה )𝑦 𝑓(𝑥,מורכב מאוסף כל הנקודות 𝑦 , 𝑥, 𝑦, 𝑓 𝑥,כאשר לכל נקודה 𝐷 ∈ )𝑦 (𝑥,מותאם ערך )𝑦 𝑓(𝑥,המייצג את גובה הפונקציה במרחב. בצורה גרפית ,עבור כל נקודה )𝑦 (𝑥,במשטח 𝐷 נתון כלשהו במישור 𝑦 ,𝑥 −מתאימה הפונקציה 𝑓 ערך כלשהו במרחב .כלל הנקודות שמתאימה הפונקציה 𝑓 יוצרות משטח במרחב. )Z=f(x,y )f(x,y y D )(x,y x הגדרה – קווי גובה של פונקציה )𝒚 𝒇(𝒙, תהי פונקציה 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ2 → ℝומספר ממשי .𝑘 ∈ ℝנגדיר קבוצה 𝐷 ⊆ 𝑘 = 𝑦 𝑥, 𝑦 |𝑓 𝑥, = 𝑘𝐶. הקבוצה 𝑘𝐶 היא כל הנקודות בתחום 𝐷 שהפונקציה 𝑓 מתאימה להן את אותו הערך 𝑘. קבוצה 𝑘𝐶 נקראת קו גובה 𝑘 של הפונקציה © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים 𝑦 .𝑓 𝑥, 054-5-290106 2 [email protected] דוגמא נשרטט את מפת קווי הגובה של הפונקציה 𝑥 2 + 𝑦 2 נמצא את הקבוצה 𝑘𝐶 עבור הפונקציה הנתונה: כלומר ,קו הגובה 𝑘 של הפונקציה 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑦 .𝑓 𝑥, 𝑥, 𝑦 |𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑘 2 = 𝑘 = 𝑥, 𝑦 | 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑘𝐶. = 𝑦 𝑓 𝑥,הוא מעגל ברדיוס 𝑘 סביב ראשית הצירים .נמצא מספר קווי גובה עבור ערכי 𝑘 שונים ונשרטט אותם במישור 𝑦 :𝑥 − עבור 𝑘 = 0נקבל מעגל ברדיוס אפס ,כלומר . 𝑥, 𝑦 = 0 עבור 𝑘 = 1נקבל מעגל ברדיוס ,1כלומר .𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 וכן הלאה עבור 𝑘 > 0נקבל מעגל ברדיוס 𝑘 ,כלומר .𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑘 2 מפת קווי הגובה של הפונקציה 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑦 :𝑓 𝑥, y K=2 K=1 K=0 x ברור כי קיימים אינסוף קווי גובה מעגליים ברדיוסים שונים. © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים 054-5-290106 3 [email protected]
© Copyright 2024