1. No category

‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪120 :‬‬
‫סטטיסטיקה תיאורית – טווח נתונים ומדדי מרכז‬
‫הנושא סטטיסטיקה נלמד בכיתה ח בשני סבבים‪:‬‬
‫הסבב הראשון‪ ,‬עסק בהצגת וארגון נתונים בייצוגים שונים‪ ,‬בשכיחות‪ ,‬ובשכיחות יחסית‪.‬‬
‫הסבב השני עוסק במדדים המאפיינים התפלגות של נתונים‪ :‬מדד פיזור‪ :‬טווח נתונים‪ ,‬ומדדי מרכז‪ :‬שכיח‪,‬‬
‫ממוצע‪ ,‬חציון‪.‬‬
‫בנושא ‪ 5‬חלקים‪ 6 :‬שיעורים‪.‬‬
‫המטרה‪ :‬התלמיד יחשב את טווח הנתונים ואת מדדי המרכז השונים כאשר נתונה התפלגות של נתונים‪.‬‬
‫שכיח וטווח נתונים‬
‫דוגמה ‪1‬‬
‫הפעילות תתבצע במליאת הכיתה עם שאלות מנחות של המורה כאשר הספרים סגורים‪.‬‬
‫מומלץ להציג את השאלה ולרשום את רשימת הנתונים על הלוח‪.‬‬
‫מומלץ לסרטט טבלה ריקה על הלוח‪ ,‬ולהשלים עם התלמידים‪.‬‬
‫בעמודה הימנית‪ :‬הנתונים על מספר שעות צפייה‪ :‬המספרים הנמצאים ברשימה הנתונה‪.‬‬
‫בעמודה השמאלית‪ :‬שכיחות של כל נתון‪ .‬למשל‪ ,‬המספר ‪ 2‬מופיע ברשימה הנתונה ‪ 3‬פעמים‪ .‬השכיחות‬
‫של המספר ‪ 2‬היא ‪ 3( .3‬ילדים צופים בטלוויזיה ‪ 2‬שעות‪).‬‬
‫נחזור ונזכיר מהו השכיח – הערך המופיע מספר הפעמים הגדול ביותר‪ .‬מוצאים אותו בטבלת השכיחויות‪.‬‬
‫שואלים‪ :‬מהו ההפרש בין הערך הנמוך ביותר (שהוא ‪ )1‬לערך הגבוה ביותר (שהוא ‪ ?)7‬ההפרש הוא ‪6‬‬
‫)‪.(7 – 1 = 6‬‬
‫‪ 6‬מכונה "טווח הנתונים"‪ :‬הוא מראה בכמה הנתון הגדול ביותר והנתון הקטן ביותר‪ ,‬מרוחקים זה מזה‪.‬‬
‫דוגמה ‪2‬‬
‫מציגים את "סיפור השאלה" – ההקשר‪ .‬רושמים את טבלת השכיחות הנתונה בשאלה‪.‬‬
‫שואלים‪ :‬מהו השכיח?‬
‫מהו טווח הנתונים?‬
‫מומלץ להפנות את התלמידים לפתור תרגילים ‪ 2 – 1‬שבעמוד הבא‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪127‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪121 :‬‬
‫תרגיל לפתרון במליאת הכיתה‬
‫הספרים סגורים‪ .‬מומלץ לרשום את רשימת הנתונים על הלוח‪.‬‬
‫שואלים‪ :‬מה השכיח?‬
‫מסרטטים טבלת שכיחויות על הלוח‪.‬‬
‫רושמים את הנתונים בעמודת "המספר" ואת השכיחויות בעמודת "השכיחות"‪.‬‬
‫בדוגמה זו יש שני שכיחים (‪ 1‬ו ‪( .)2 -‬נציין כי לא מקובל לציין את השכיח כאשר יש יותר משני שכיחים‪).‬‬
‫תרגילים‬
‫יבוצעו בכיתה או כשיעורי בית בהתחשב בפריסת התוכנית ובשיקולי המורה‪.‬‬
‫‪ .1‬שאלה מנחה‪ :‬מה ההתפלגות המוצגת בתרגיל זה?‬
‫בתרגיל זה מוצגת שכיחות של קבוצת מספרים בין ‪ 3‬ל‪.10 -‬‬
‫הנתונים הם המספרים ‪ 3‬עד ‪ .10‬השכיחות היא מספר הפעמים שמופיע כל אחד מהנתונים‪.‬‬
‫(א) סידור הנתונים בטבלה מקל על ההתמצאות‪.‬‬
‫(ב) בתרגיל זה יש שני שכיחים ‪ 7‬ו‪ .8 -‬כל אחד מהם מופיע ברשימת הנתונים ארבע פעמים‪.‬‬
‫(ג) טווח הנתונים‪ 7 :‬ההפרש בין הנתון הגדול ביותר ‪ 10‬לבין הנתון הקטן ביותר ‪.3‬‬
‫‪ .2‬הצגת הנתונים ברשימה כמו בתרגיל ‪ 1‬בהבדל שברשימה זו המספרים אינם מסודרים בסדר עולה או יורד‪.‬‬
‫ניתן לכתוב את הרשימה מחדש כאשר המספרים מסודרים בסדר עולה (או יורד)‪.‬‬
‫רשימת הנתונים מציגה את התפלגות תלמידי הכיתה על פי מספר הספרים שקראו בחודש האחרון‪.‬‬
‫(ב) השכיח‪( 4 :‬מופיע ‪ 5‬פעמים‪).‬‬
‫(ג) המספר הקטן ברשימה הוא ‪ .0‬המספר הגדול ביותר הוא ‪ .6‬טווח הנתונים‪.)6 – 0( 6 :‬‬
‫‪ .3‬בשאלה זו נתונה התפלגות המכירות של נעלי נשים לפי גודל הנעל‪ .‬הנתון הנבדק הוא מידת הנעל‪.‬‬
‫טווח הנתונים מתייחס להפרש בין מידת הנעל הגדולה ביותר למידת הנעל הקטנה ביותר‪.‬‬
‫טעות אפשרית היא חישוב ההפרש בין השכיחות הגבוהה ביותר לשכיחות הקטנה ביותר‪.‬‬
‫‪ .4‬בתרגיל זה מוצגת התפלגות הדירות בבית משותף על‪-‬פי גודל הדירה‪ .‬גודל הדירה נקבע על‪-‬פי מספר‬
‫החדרים בדירה‪ .‬בבית משותף זה דירות שמספר החדרים בהן הוא בין ‪ 2‬ל‪.5 -‬‬
‫טווח הנתונים‪.)5 – 2( 3 :‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪128‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪122‬‬
‫הממוצע‬
‫דוגמה ‪3‬‬
‫הפעילות תתבצע במליאת הכיתה עם שאלות מנחות של המורה כאשר הספרים סגורים‪.‬‬
‫רוב התלמידים מכירים את הממוצע באופן אינטואיטיבי‪ ,‬הרי התלמידים יודעים לחשב את ממוצע הציונים שלהם‬
‫בכל מקצוע‪ .‬כך שבדרך כלל פעילות זו היא רק חידוד המושג‪.‬‬
‫מומלץ לרשום על הלוח את הציונים של שלושת התלמידים‪ ,‬ולשאול‪ :‬מי הוא התלמיד הטוב ביותר? מדוע?‬
‫ננסה לאפיין את קבוצת הציונים של כל תלמיד באמצעות מספר אחד (מספר אמצעי) – הממוצע‪.‬‬
‫לחישוב ממוצע‪:‬‬
‫)א( יש למצוא את סכום כל הנתונים (לחבר את הערכים של כל התוצאות)‪.‬‬
‫)ב( לחלק במספר הנתונים‪.‬‬
‫תרגיל לפתרון במליאת הכיתה‬
‫חישוב ממוצע הגילים‪.‬‬
‫ברשימה ‪ 10‬גילים‪ .‬נחבר את כל הגילים שברשימה ונחלק ב‪.10 -‬‬
‫הפתרון‪.12.6 :‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪129‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪123‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .10 – 5‬חישוב ממוצע של קבוצת נתונים‪ .‬יישום ישיר של הנלמד בדוגמה ‪.3‬‬
‫מומלץ לפתור תרגיל אחד בכיתה ואת האחרים לתת כשיעורי בית‪.‬‬
‫דרך החישוב‪ :‬סכום כל הנתונים לחלק במספר הנתונים‪.‬‬
‫מומלץ לבקש מהתלמידים לכתוב את החישוב בתרגיל אחד‪ ,‬כאשר מציגים את שתי דרכי החילוק‬
‫על הלוח‪.‬‬
‫כתיבה באמצעות פעולת החילוק (‪ ):‬המחייבת שימוש בסוגריים‪.‬‬
‫כתיבה באמצעות קו שבר (אין צורך בסוגריים)‪ .‬נזכיר כי קו השבר דינו כדין סוגריים‪ :‬מבצעים תחילה‬
‫את הפעולות שבמונה ואת הפעולות שבמכנה ולבסוף את פעולת החילוק ביניהם‪.‬‬
‫‪ .11‬מומלץ לבצע במליאת הכיתה‪ .‬שילוב של ייצוג נתונים בדרכים שונות (נלמד בסבב הראשון של נושא‬
‫הסטטיסטיקה) עם חישוב הממוצע שנלמד בפרק זה‪.‬‬
‫הערה‪ :‬ככלל‪ ,‬לאוכלוסיית היעד של הספר‪ ,‬קשה לפענח מטלה מסוג חדש‪ .‬הם מרגישים בטוחים כאשר‬
‫ראו מטלה דומה קודם‪ ,‬ואז מיישמים ומחזקים את הידע ואת ההבנה‪.‬‬
‫לכן‪ ,‬לפני תרגיל מסוג חדש‪ ,‬כמו תרגיל זה‪ ,‬שלא ראו כמותו בהקשר של החומר הנוכחי‪ ,‬מומלץ לרשום‬
‫את הגרף ואת הטבלה על הלוח ולברר יחד איך מעבירים את המידע מהגרף לטבלה‪ ,‬ואיך מעבירים את‬
‫הנתונים מהטבלה לרשימה של מספרים כדי שיוכלו לחשב את הממוצע בסעיף ב‪.‬‬
‫חשוב מאד שיתמודדו עם מיומנויות בהקשרים שונים‪ .‬הלימוד הוא מרווח‪ ,‬ההבנה מתרחבת והזיכרון מתחזק‪.‬‬
‫ככל שיראו את אותו ידע בהקשרים שונים‪ ,‬כך ירחיבו את היכולת שלהם ליישמו במטלות שונות‪.‬‬
‫(א) התלמידים יעבירו את הנתונים מהגרף לטבלה‪.‬‬
‫(ב) ייתכן ויהיו תלמידים שההצגה בטבלה תקשה עליהם ויעדיפו לכתוב את הנתונים בשורה אחת לפני‬
‫חישוב הממוצע‪( .‬בהמשך ילמדו חישוב ממוצע כאשר הנתונים מוצגים בטבלת שכיחויות‪).‬‬
‫כמו בתרגילים הקודמים‪ ,‬לחישוב הממוצע נחשב את סכום כל הנתונים ונחלק במספר הנתונים‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬מספר הילדים הממוצע לדירה הוא ‪.3‬‬
‫‪ .12‬מהווה יישום נוסף למה שלמדו לבצע בתרגיל ‪(11‬ב)‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬ענת מקדישה בממוצע ‪ 1.67‬שעות להכנת שיעורי בית‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪130‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪124‬‬
‫תרגילים ‪ 19 – 13‬תרגול נוסף מאותו סוג‪ .‬יינתנו כעבודה נוספת או כשיעורי בית על פי שיקול דעתו‬
‫של המורה‪.‬‬
‫בשאלות מילוליות נבקש מהתלמידים לכתוב תשובה מילולית‪.‬‬
‫‪ .13‬חישוב ממוצע כאשר הנתונים מוצגים בטבלה כמו בשני התרגילים הקודמים‪.‬‬
‫‪ .19 – 14‬שאלו ת מילוליות בהן הנתונים כתובים בגוף השאלה ולא רשומים בשורה אחת‪.‬‬
‫ייתכן ויהיו תלמידים שיעדיפו לכתוב את הנתונים בשורה‪ ,‬כדי להקל על חישוב הממוצע‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪131‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪125‬‬
‫דוגמה ‪4‬‬
‫המטרה‪ :‬התלמיד ייחשב ממוצע של נתונים המוצגים בטבלת שכיחויות‪.‬‬
‫לימוד זה מהווה קפיצת מדרגה מבחינת תלמידי מיצוי‪ .‬כדי להקל על התלמידים נוסיף לטבלת השכיחויות‬
‫שורה שלישית בה נכתוב את המכפלה של כל תוצאה בשכיחות שלה‪.‬‬
‫חשוב שהתלמיד יבין את המשמעות של המספרים בכל שורה‪ .‬הטבלה מתמצתת בתוכה מידע רב‪ ,‬אבל עלולה‬
‫להיות עבור התלמיד אוסף מספרים ללא משמעות אם לא נתקדם צעד צעד‪ ,‬ונברר כל מהלך בזהירות רבה‪.‬‬
‫הפעילות תתבצע במליאת הכיתה עם שאלות מנחות של המורה כאשר הספרים סגורים‪.‬‬
‫מציגים מניע לצורך בהרחבה של טבלת השכיחות לחישוב ממוצע‪ :‬בדוגמה מספר גדול יותר של נתונים‬
‫מאשר בתרגילים הקודמים‪ ,‬דבר העלול לגרום לט עויות בחישוב‪ .‬ההצגה בטבלה מרוכזת יותר‪ :‬שתי השורות‬
‫הראשונות מרכיבות טבלת שכיחויות כפי שכבר בנינו בפרקים קודמים‪ .‬שואלים‪ :‬מה מציגים בשורה הראשונה?‬
‫מה מציגים בשורה השנייה? (השכיחויות)‪ .‬נבקש מהתלמידים להשלים את הטבלה ונבדוק במליאה‪.‬‬
‫בשלב זה לא נוסיף את עמודת הסכום – העמודה השמאלית בטבלה‪.‬‬
‫שואלים‪ :‬כיצד מחשבים את הממוצע? מחברים את כל התוצאות‪ .‬נבקש מהתלמידים לחבר‪ .‬יש להניח‬
‫שיהיו כאלו שיחברו את המספרים בשורת הציונים שבשורה הראשונה ללא התחשבות בשכיחויות שלהם‪.‬‬
‫במקרה זה‪ ,‬ניתן לבקש לחשב שוב את הממוצע אבל הפעם מתוך הרשימה הנתונה בשאלה‪ .‬מקבלים‬
‫תוצאות שונות‪ .‬מדוע התוצאות שונות? בחיבור התוצאות שבשורה הראשונה חיברנו רק ‪ 7‬מספרים (ולא ‪.)25‬‬
‫לא הייתה התחשבות במספר הפעמים של כל אחת מהתוצאות‪.‬‬
‫בשלב זה נוסיף את השורה השלישית‪ .‬למשל‪ ,‬השכיחות של הציון ‪ 90‬היא ‪( 4‬הציון ‪ 90‬מופיע ‪ 4‬פעמים)‪.‬‬
‫לכן יש להוסיף אותו לסכום המספרים ‪ 4‬פעמים‪ .‬נכתוב בשורה השלישית את המכפלה של ‪ 4‬ב‪.90 -‬‬
‫דהיינו‪ 360 ,‬ונוסיף באופן דומה את המכפלות של כל אחד מהציונים האחרים בשכיחות שלהם‪.‬‬
‫סכום כל המספרים הוא סכום המספרים שבשורה השלישית‪ .‬לחישוב הממוצע יש לחלק במספר הכולל של‬
‫התוצאות‪ .‬שואלים‪ :‬מהו מספר זה? כיצד נ מצא אותו? מומלץ להוסיף את הטור השמאלי בו יירשמו סך‪-‬כול‬
‫השכיחויות וסך ‪-‬כול המכפלות‪ .‬מחשבים את הממוצע‪.‬‬
‫עבודה טכנית‪ ,‬ללא הבנה‪ ,‬לא משאירה בזיכרון קישורי הבנה לשליפה במצבים נדרשים‪ ,‬ולכן לא יעילה‪.‬‬
‫לכן התעמקנו בהקניה כדי שיבינו את המשמעות של כל שלב בחישוב הממוצע‪.‬‬
‫תרגיל לפתרון במליאת הכיתה‬
‫חוזרים על כל התהליך שנעשה בדוגמה ‪ ,4‬כאשר הפעם כל תלמיד גם פותר במחברת שלו‪.‬‬
‫נבקש להוסיף שורה שלישית לטבלה עבור המכפלה של כל נתון בשכיחות שלו‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪132‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪126 :‬‬
‫תרגילים ‪ 25 – 20‬תרגול בחישוב ממוצע מתוך טבלת שכיחויות‪ .‬התלמידים יוסיפו שורה שלישית לכל טבלה‪.‬‬
‫מומלץ לתת לתלמידים לפתור את תרגיל ‪ 20‬בכוחות עצמם ולעבור על הפתרון במליאת הכיתה‪.‬‬
‫התרגילים הנוספים מהווים אימון נוסף של הנלמד‪ .‬התלמידים יפתרו בכיתה או בבית על‪-‬פי שיקול דעת המורה‪.‬‬
‫בבדיקת התרגילים במליאת הכיתה מומלץ להתייחס לשאלה "מה מציגה השכיחות‪"?...‬‬
‫כמו כן ניתן להפנות תשומת לב התלמידים לכך‪ ,‬שבניגוד לשורת השכיחויות‪ ,‬את הנתונים בטבלה מקובל‬
‫לכתוב בסדר עולה או יורד‪.‬‬
‫‪ .23‬הנתונים מאורגנים בטבלת שכיחויות‪ .‬בתרגילים האחרים נתונה טבלת שכיחויות ריקה‪.‬‬
‫התלמידים ישבצו בה את הנתונים שבשאלה‪ .‬בהתאם להנחיה בדוגמה‪ ,‬נבקש מהם להוסיף שורה‬
‫נוספת עבור המכפלות של כל נתון בשכיחות שלו‪ ,‬ולהוסיף טור משמאל עבור הסכומים‪.‬‬
‫‪ .24‬לאחר התנסות עצמית של התלמיד‪ ,‬מומלץ לבדוק במליאת הכיתה‪.‬‬
‫נפנה את תשומת לב התלמידים לכך שהכותרת מרמזת אילו מספרים יש לרשום בשורה הראשונה‪:‬‬
‫המספרים בשורה הראשונה הם ‪ 0‬עד ‪ .5‬בנוסף‪ ,‬ניתן להתייחס לסיכום המוזכר לעיל‪ :‬בשורת‬
‫הנתונים הנבדקים המספרים כתובים בדרך כלל בסדר עולה או יורד‪.‬‬
‫התלמידים ישלימו את הטבלה‪ .‬חסר הנתון לגבי מספר המשפחות שיש להן שני זוגות אופניים‪.‬‬
‫כיצד נמצא אותו?‬
‫נשאל האם בשאלה יש נתון שלא השתמשנו בו עד כה? המספר הכולל של המשפחות בשכונה (‪.)200‬‬
‫נחשב את המספר החסר (‪ 60‬משפחות)‪.‬‬
‫ל חישוב הממוצע נבקש מהתלמידים להוסיף שורה עבור המכפלות של כל נתון בשכיחות שלו‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪133‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪127‬‬
‫‪ .25‬כמו בשאלה הקודמת‪ ,‬נשאלת השאלה אילו מספרים יש לכתוב בשורה העליונה?‬
‫משכורת נמדדת בשקלים כך שיש לשער שהתלמידים ישבצו בשורה הראשונה את גובה‬
‫המשכורות של עובדים השונים‪.‬‬
‫דוגמה ‪5‬‬
‫הפעילות תתבצע במליאת הכיתה עם שאלות מנחות של המורה כאשר הספרים סגורים‪.‬‬
‫מטרת הדוגמה היא להראות כי הממוצע יכול להיות מספר מתוך הקבוצה‪ ,‬או מספר שאינו מתוך הקבוצה‪,‬‬
‫כולל מספר שאינו יכול להיות מספר מהקבוצה‪ .‬ניתן לחזור לתרגילים הקודמים ולמיין את הפתרונות בהתאם‬
‫לכתוב לעיל‪.‬‬
‫מומלץ לכתוב את נתוני השאלה על הלוח ולסרטט טבלה ריקה עם שלוש שורות‪.‬‬
‫ממלאים את הטבלה ביחד עם התלמידים ומחשבים את הממוצע – כמו התהליך שעשו בדוגמה ‪ 4‬ובתרגילים‬
‫שלאחריה‪.‬‬
‫דנים בתוצאה‪ :‬האם ייתכן כי למשפחה יש ‪ 2.635‬ילדים? ודאי שלא‪ .‬אין ‪ 2.635‬ילדים‪ .‬מספר ילדים הוא‬
‫מספר שלם שאינו שלילי‪ .‬אבל הממוצע במקרה זה הוא בכל זאת ‪.2.635‬‬
‫הממוצע יכול להיות מספר מתוך הקבוצה‪ ,‬מספר שאינו מתוך הקבוצה‪ ,‬וגם מספר שלא ייתכן (לא הגיוני) כי‬
‫יהיה מתוך הקבוצה‪.‬‬
‫ניתן לחזור לשאלות קודמות שפתרו התלמידים‪ ,‬כמו שאלה ‪ 24‬בה הממוצע שהתקבל היה ‪.2.165‬‬
‫האם ייתכן מספר כזה של זוגות אופניים?‬
‫גם בשאלה ‪ 25‬התקבל ממוצע שאינו מספר שלם‪ .‬הממוצע אינו מספר מתוך קבוצת הנתונים‪ .‬נשאל האם‬
‫יכול להיות נתון בקבוצת הנתונים‪ .‬למשל‪ ,‬כאשר הממוצע מייצג סכום כסף בשקלים‪,‬‬
‫יש משמעות בחיי היום‪-‬יום לספרה הראשונה שאחרי הנקודה העשרונית‪ :‬המשכורת הממוצעת היא ‪5333.33‬‬
‫שקלים‪ ,‬נעגל לספרה אחת אחרי הנקודה העשרונית ונקבל שהממוצע הוא ‪ 5333‬שקלים ו‪ 30 -‬אגורות‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪134‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪128‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .26‬תרגול ישיר של חישוב ממוצע‪ .‬הממוצע המתקבל‪ 33.89 :‬מספר שאינו יכול להיות מספר בקבוצה‬
‫(אין מספר לא שלם של תלמידים)‪.‬‬
‫‪ .27‬תרגול ישיר של חישוב ממוצע‪ .‬התלמידים יפתרו כשיעורי בית או בעבודת כיתה על פי שיקול דעת המורה‪.‬‬
‫‪ .28‬מומלץ לפתור במליאת הכיתה‪ .‬יש לשים לב לכך שבשורה השנייה מופיע מספר המארזים ולא מספר‬
‫הכולל של הנורות שנבדקו‪ .‬בנוסף‪ ,‬המספרים בשתי השורות שבטבלה הם מאותו סדר גודל‪ ,‬דבר העלול‬
‫לגרום לבלבול בין הנתונים לשכיחות‪.‬‬
‫מומלץ להתייחס לשני מספרי ה‪ "0" -‬שמופיעים בטבלת השכיחויות‪ .‬שאלות מנחות‪:‬‬
‫‪ ‬מה המידע המתקבל מה ‪ 0 -‬המופיע בשורה השנייה מתחת ל ‪( ? 4 -‬יש ‪ 0‬קופסאות עם ‪4‬‬
‫נרות פגומים‪ .‬כלומר‪ ,‬לא נמצאה אף קופסה עם ‪ 4‬נורות פגומים)‪.‬‬
‫‪ ‬מה המידע המתקבל מה ‪ 0 -‬שבשורה הראשונה? ה‪ 0 -‬בשורה הראשונה הוא אחד מהנתונים‬
‫הנבדקים‪ :‬מה מספר הקופסאות בהן יש ‪ 0‬נורות פגומות‪ ,‬דהיינו אין נורות פגומות‪.‬‬
‫יש ‪ 25‬קופסאות עם ‪ 0‬נרות פגומים‪ .‬כלומר ב‪ 25 -‬קופסאות לא נמצאו נורות פגומות‪.‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫(א) השכיח הוא ‪.0‬‬
‫(ב) נבדקו ‪ 32‬מארזים‪.‬‬
‫(ג) נמצאו ‪ 10‬נורות פגומות‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫נורות פגומות במארז‪ .‬המספר הממוצע של נורות פגומות במארז הוא כשליש‪.‬‬
‫(ד) בממוצע יש‬
‫‪32‬‬
‫האם זה מספר מתוך הנתונים שבשאלה? (לא‪ .‬בנתונים מספרים שלמים בלבד‪ .‬אין חלק של נורה‪).‬‬
‫האם מספר זה יכול להיות מספר בקבוצה זו (לא‪ .‬מספר הנורות הוא מספר שלם‪).‬‬
‫בתרגיל זה הממוצע הוא לא מספר בקבוצה ואינו מספר אפשרי‪.‬‬
‫(ה) נבדקו ‪ 32‬מארזים‪ ,‬בכל אחד מהם ‪ 10‬נורות‪ ,‬סך‪-‬הכול נבדקו ‪ 320‬נורות‪.‬‬
‫(ו) משמעות הממוצע‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫הם בקירוב‬
‫(‪ )1‬היגד נכון‪ .‬נחלק מונה ומכנה ב ‪ :3 -‬נקבל‬
‫‪32‬‬
‫‪10‬‬
‫ב‪ 3 -‬מתוך כל ‪ 10‬מארזים יש נורות פגומות‪.‬‬
‫(‪ )2‬היגד נכון‪ .‬כפי שמצאנו בסעיף (ה) נבדקו ‪ 320‬נורות‪ .‬מתוכן נמצאו ‪ 10‬נורות פגומות‪.‬‬
‫כלומר כ‪ 3 -‬מתוך כל ‪ 100‬נורות הן פגומות‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪135‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪129 :‬‬
‫החציון‬
‫‪10‬‬
‫(‪ )3‬היגד שאינו נכון‪ .‬אבל רק ‪ 10‬מתוך ‪ 320‬נורות נמצאו פגומות‪ .‬כלומר‪,‬‬
‫‪320‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .‬כ‪ 3 -‬מאיות ולא ‪ 3‬עשיריות‪.‬‬
‫בערך‬
‫‪100‬‬
‫שהם‬
‫דוגמה ‪6‬‬
‫הקניה‪ :‬במליאה‪ .‬ספרים סגורים‪.‬‬
‫אומרים‪ :‬למדנו שני מדדי מרכז‪ :‬שכיח וממוצע‪ .‬היום נלמד מדד חדש שגם הוא מאפיין ערך אמצעי בקבוצת נתונים‪.‬‬
‫מדד זה נקרא חציון‪.‬‬
‫רושמים את רשימת הנתונים על הלוח‪.‬‬
‫שואלים‪ :‬האם מישהו רואה מילה מוכרת בתוך המילה "חציון"?" מגיעים למילה "חצי"‪.‬‬
‫אומרים‪ :‬נסדר את המספרים בסדר עולה (מהקטן לגדול)‪ ,‬או בסדר יורד‪.‬‬
‫בעזרת התלמידים מגיעים ל‪ 1 , 2 , 3 , 3 , 5 , 6 , 7 , 8 , 8 -‬או לרשימה המסודרת מהגדול לקטן‪.‬‬
‫ניתן להציג את החציון במקביל על שתי הסדרות ולראות‬
‫שבשתיהן אותו חציון‪.‬‬
‫רושמים על הלוח‪ :‬חציון הוא המספר שמחצית מהמספרים קטנים ממנו או שווים לו ומחצית מהמספרים גדולים‬
‫ממנו או שווים לו‪ .‬כמה מספרים יש ברשימה? (‪)9‬‬
‫מה הוא המספר החציוני? המספר הנמצא באמצע‪.‬‬
‫שומעים הצעות‪ ,‬חוזרים להגדרה‪ ,‬ומגיעים לכך ש‪ 5 -‬הוא החציון‪ :‬משמאלו ‪ 4‬מספרים ומימינו ‪ 4‬מספרים‪.‬‬
‫אם נמנה גם את המספר החציוני יש סך ‪-‬הכול ‪ 9‬מספרים‪.‬‬
‫תרגיל‬
‫עוברים את אותו תהליך עם קבוצת המספרים הנתונה‪ .‬מסדרים את המספרים בסדר עולה מהקטן לגדול‪.‬‬
‫‪ 13‬הוא המספר האמצעי ברשימה‪ .‬למספר הנמצא במקום האמצעי בקבוצה קוראים חציון או המספר החציוני‪.‬‬
‫מתבוננים בשתי הדוגמאות ושמים לב שהסיבה שיכולנו למצוא בקלות את המספר החציוני הוא שבקבוצה יש‬
‫מספר אי זוגי (‪ 9‬ו‪ )13 -‬של מספרים‪ :‬משני הצדדים של החציון ישנן שתי קבוצות בעלות אותו מספר של איברים‪.‬‬
‫אומרים‪ :‬נלמד בהמשך מה עושים כאשר יש מספר זוגי של מספרים בקבוצה‪.‬‬
‫הערה‪ :‬חשוב לטפטף את הרעיון שמספר זוגי של מספרים יצטרך טיפול אחר בהמשך‪ .‬זה טיבו של לימוד מרווח‪.‬‬
‫כזכור‪ ,‬תלמיד מהאוכלוסייה לה מיועד הספר מתקשים במליאות ארוכות‪ .‬לכן‪ ,‬בשלב זה כדאי לתת תרגול‪.‬‬
‫לפני שעוברים לדוגמה ‪ ,7‬ניתן לתת לתלמידים לפתור את תרגילים ‪.33 , 32‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪136‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪130‬‬
‫עבודה בזוגות‪ .‬בודקים במליאה‪.‬‬
‫ממשיכים ישירות לשתי דוגמאות נוספות‪.‬‬
‫הפעילות תתבצע במליאת הכיתה עם שאלות מנחות של המורה כאשר הספרים סגורים‪.‬‬
‫דוגמה ‪7‬‬
‫שונה משתי הדוגמאות הקודמות בכך שהפעם החציון ‪ 30‬זהה למספרים אחרים בקבוצה‪.‬‬
‫יש להדגיש שזה אפשרי‪ ,‬החציון הוא המספר הנמצא במקום האמצעי כאשר הנתונים כתובים בצורה מסודרת‪.‬‬
‫לחזור להגדרה המקורית של חציון ולראות כי משני הצדדים של המספר ‪ 30‬המוקף באדום‪ ,‬יש קבוצות בעלות‬
‫מספר שווה של איברים‪.‬‬
‫מדגישים שיש מספר אי ‪-‬זוגי של מספרים בקבוצה‪.‬‬
‫ממשיכים ישירות לדוגמה הבאה‪.‬‬
‫תרגיל‬
‫אותו תהליך כמקודם‪.‬‬
‫שמים לב כי אין מספר אמצעי‪ ,‬כי בקבוצת המספרים יש מספר זוגי של איברים‪.‬‬
‫החציון בקבוצה ב ת מספר זוגי של איברים הוא הממוצע של שני המספרים הנמצאים בשני המקומות האמצעיים‪.‬‬
‫הממוצע מקיים את הגדרת החציון‪ :‬משני הצדדים של ממוצע זה יש קבוצות בעלות מספר שווה של איברים‪.‬‬
‫‪10  13‬‬
‫מחשבים את הממוצע של שני המספרים האמצעיים‪:‬‬
‫‪ 11.5‬‬
‫‪2‬‬
‫החציון בדוגמה זו אינו מספר מתוך קבוצת המספרים הנתונה‪ .‬מכל צד של החציון יש שלושה נתונים‪.‬‬
‫בקבוצת המספרים הבאה‪ 2 , 13 , 15 , 20 , 20 , 25 , 26 , 30 :‬יש מספר זוגי של איברים – ‪.8‬‬
‫שני המספרים הנמצאים במקומות האמצעיים הם ‪ 20‬ו‪ 20 -‬הצבועים באדום‪ .‬הממוצע שלהם הוא ‪.20‬‬
‫החציון הוא ‪ , 20‬ובדוגמה זו הוא מספר מתוך קבוצת המספרים הנתונה‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .33 – 29‬תרגול ישיר של דוגמה ‪ .9‬להזכיר כי חייבים לסדר את המספרים בסדר עולה או יורד‪.‬‬
‫‪ .34‬תרגול ישיר של התרגיל במסגרת‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪137‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪131‬‬
‫‪ .35‬דרך הפתרון‪ :‬כמה מספרים בקבוצה המלאה? (‪)7‬‬
‫נתון כי החציון הוא ‪( .10‬האם החציון אמור להיות אחד מהמספרים בקבוצה? כן – כי יש מספר אי‪-‬זוגי‬
‫של מספרים)‪ .‬כדי לגלות את המספר החסר‪ ,‬מסדרים את המספרים‪ ,‬למשל בסדר עולה‪ ,‬ומדגישים את‬
‫החציון (בצבע או על‪-‬ידי הקפה שלו כמודגם כאן)‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫הרשימה המסודרת כאשר חסר בה מספר אחד היא‪5 8 10 12 15 ____ :‬‬
‫המספר ‪ 10‬הוא המספר האמצעי בקבוצה‪ .‬מימינו צריכים להיות ‪ 3‬מספרים ומשמאלו צריכים להיות‬
‫‪ 3‬מספרים‪.‬‬
‫המספר החסר הוא מספר הגדול או שווה ל‪.10 -‬‬
‫‪ .36‬הוא תרגיל לא שגרתי – מיועד לתלמידים מתקדמים יותר‪.‬‬
‫דרך הפתרון‪ :‬כמה מספרים בקבוצה המלאה? (‪)7‬‬
‫נתון כי החציון הוא ‪( .30‬האם החציון אמור להיות אחד מהמספרים בקבוצה? כן – כי יש מספר אי‪-‬זוגי‬
‫של מספרים)‪ .‬כדי לגלות את המספר החסר‪ ,‬מסדרים את המספרים‪ ,‬למשל בסדר עולה‪ ,‬ומדגישים את‬
‫החציון (בצבע או על‪-‬ידי הקפה שלו כמודגם כאן)‪.‬‬
‫הרשימה המסודרת כאשר חסר בה מספר אחד היא‪20 20 ____ 30 40 50 60 :‬‬
‫המספר ‪ 30‬הוא ה מספר האמצעי בקבוצה‪ .‬מימינו צריכים להיות ‪ 3‬מספרים ומשמאלו צריכים להיות‬
‫‪ 3‬מספרים‪.‬‬
‫המספר החסר הוא מספר הקטן או שווה ל‪ .30 -‬מתוך שלושת המספרים האפשריים‪ ,‬מספר זה הוא ‪.30‬‬
‫‪ .37‬דרך הפתרון כמו בתרגיל ‪.37‬‬
‫כמה מספרים בקבוצה? (‪ 6‬מספר זוגי של איברים)‬
‫איך מחשבים את החציון? החציון הוא ממוצע של שני המספרים האמצעיים בקבוצה‪.‬‬
‫מסדרים את המספרים (למשל בסדר עולה)‪ .‬הרשימה ה"מסודרת" עם מקום ריק עבור‬
‫‪.20 30 ___ 40 40 50‬‬
‫המספר החסר היא‪:‬‬
‫‪.20 30 40 ___ 40 50‬‬
‫או‪:‬‬
‫אחד משני המספרים האמצעיים בקבוצה הוא ‪ .40‬גם החציון הוא ‪ ,40‬כלומר‪ ,‬הממוצע של שני מספרים‬
‫אלו הוא ‪ .40‬המספר החסר חייב גם הוא להיות ‪.40‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪138‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪132‬‬
‫דוגמה ‪8‬‬
‫הקניה‪ :‬במליאה‪ ,‬ספר סגור והתלמידים פעילים‪.‬‬
‫דוגמה ‪ 8‬היא שאלה אינטגרטיבית בה מחשבים‪ ,‬מחזקים את זיכרון העל‪ ,‬ומתרגלים את כל שלושת מדדי המרכז‬
‫ואת מדד הפיזור – טווח הנתונים שלמדו בפרק זה‪.‬‬
‫טבלת השכיחות הפעם היא אנכית‪ .‬התלמידים התנסו בטבלאות אנכיות בפרקים בנושאים‪ :‬קריאת גרפים‬
‫ופונקציות‪,‬‬
‫גם בכיתה ז וגם בכיתה ח‪.‬‬
‫מכיוון שבפרק זה מרבית הטבלאות היו אופקיות העבודה בטבלה האנכית זקוקה לתמיכה של המליאה‪ .‬טבלאות‬
‫אנכיות הוצגו בתחילת הפרק בשאלות מילוליות ובכולן הנתונים היו בטור הימני והשכיחות בטור השמאלי‪.‬‬
‫בטבלה המוצגת כאן הנתונים בטור השמאלי והשכיחות מימין‪.‬‬
‫מומלץ להכתיב לתלמידים וגם לרשום את רשימת המספרים על הלוח‪ .‬כל תלמיד ימלא את טבלת השכיחות‪.‬‬
‫ויעבור לחישוב כל המדדים שלמדנו‪.‬‬
‫נשאל‪ :‬אלו מדדים למדנו? (טווח נתונים‪ ,‬שכיח‪ ,‬ממוצע‪ ,‬חציון)‪ .‬התלמידים יחשבו כל מדד במחברותיהם‪.‬‬
‫נזכיר כי בחישוב המ מוצע מתוך טבלת שכיחויות נהגנו להוסיף שורה עבור המכפלות של כל נתון בשכיחות שלו‪.‬‬
‫נעשה זאת גם כאן ו נוסיף מימין עמודה עבור מכפלות אלו‪.‬‬
‫נבדוק את תשובות התלמידים במליאה ונבקש מתלמידים להציג את פתרונותיהם על הלוח‪.‬‬
‫לחישוב החציון מומלץ לשאול באיזה מההצגות (רשי מת הנתונים הנתונה‪ ,‬הרשימה המסודרת‪ ,‬או הטבלה)‬
‫כדאי לחשב את החציון?‬
‫תרגילים‬
‫‪ .40 – 38‬חישוב של החציון‪ ,‬השכיח‪ ,‬והממוצע בכל אחת מהרשימות הנתונות‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪139‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪133‬‬
‫‪ .41‬פיקטוגרמה – חזרה על פענוח טבלה ועל חישוב מדדים‪ .‬מומלץ לתת לתלמידים לפתור‬
‫כעבודת כית ה או שיעורי בית‪ ,‬לפי שיקול דעת המורה (גם לפי שיקולי זמן)‪.‬‬
‫יש לשים לב לציור של מחצית הנעל המייצג ‪ 2‬זוגות נעליים (מחצית מ‪.)4 -‬‬
‫‪ .42‬חישוב השכיח‪ ,‬הממוצע והחציון של קבוצת נתונים‪.‬‬
‫מומלץ לשאול איזו היא דרך ההצגה הנוחה ביותר לחישוב הממוצע‪ ,‬השכיח‪ ,‬החציון?‬
‫את השכיח והממוצע ניתן לחשב ישירות מתוך הנתונים המילוליים או מתוך הטבלה‪.‬‬
‫לחישוב החציון יש לכתוב את הנתונים (מ ‪ 0 -‬עד ‪ )5‬מסודרים לפי גודל‪ ,‬תוך התחשבות בשכיחות שלהם‪:‬‬
‫‪0,0,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5‬‬
‫‪ 2‬פעמים‬
‫‪ 5‬פעמים‬
‫‪ 6‬פעמים‬
‫‪ 7‬פעמים‬
‫‪ 3‬פעמים ‪ 2‬פעמים‬
‫ברשימה יש ‪ 25‬נתונים‪ .‬החציון הוא המספר הנמצא במקום האמצעי‪ ,‬כלומר‪ ,‬במקום ה ‪ 12 :13 -‬נתונים‬
‫לפניו ו‪ 12 -‬נתונים אחריו‪ .‬במקום ה‪ 13 -‬נמצא המספר ‪( 3‬הצבוע באדום)‪ .‬החציון הוא ‪.3‬‬
‫ניתן לחשב את החציון גם מתוך הטבלה‪ .‬בשאלה ‪ 25‬נתונים‪ .‬המקום האמצעי הוא המקום ה‪.13 -‬‬
‫בשלוש השורות הראשונות של הטבלה תוצאות של ‪ 12‬נתונים‪ .‬החציון הוא הנתון שבשורה הרביעית‪.3 :‬‬
‫‪ .43‬דומה לתרגיל ‪ .42‬נוספה שאלה לגבי טווח הנתונים‪ .‬הנתונים הם מספר השערים‪ .‬השכיחות היא מספר‬
‫המשחקים‪ .‬הנתון הקטן ביותר הוא ‪ .0‬הנתון הגדול ביותר הוא ‪ .6‬טווח הנתונים הוא ‪.6‬‬
‫לחישוב ה חציון יש לסדר את הנתונים ברשימה מהקטן לגדול או להיפך‪ .‬ניתן גם לבדוק בטבלה‪ .‬בשאלה זו‬
‫מספר זוגי של איברים ולכן החציון שווה לממוצע של שני המספרים הנמצאים במקומות האמצעיים‪,‬‬
‫מקומות ‪ 5‬ו‪ .6 -‬במקום החמישי המספר ‪ 0‬ובמקום השישי המספר ‪.1‬‬
‫החציון הוא ‪.0.5‬‬
‫‪ .44‬שלא כמו בטבלאות שכיחויות אנכיות קודמות‪ ,‬בטבלה בתרגיל זה הנתונים כתו בים בעמודה הימנית‬
‫והשכיחויות בעמודה השמאלית‪ .‬חשוב לפני פתרון השאלה לברר שהתלמידים יודעים להבחין איזו היא עמודת‬
‫הנתונים ואיזו היא עמודת השכיחויות‪ .‬מידע בנוגע לכך כתוב בשורה הפותחת של השאלה‪..." :‬מתוארים‬
‫ציוני מבחן‪ ."...‬הנתונים הם הציונים‪ .‬השכיחויות הם מספרי התלמידים‪.‬‬
‫(ב) שאלה לגבי מספר התלמידים בכיתה‪ .‬נתון הנדרש לחישוב הממוצע‪.‬‬
‫(ג) לחישוב הממוצע נמליץ להוסיף עמודה משמאל עבור המכפלות של כל נתון בשכיחות שלו‪.‬‬
‫(ד) בחישוב החציון יש לסדר את הנתונים הנבדקי ם בסדר עולה או יורד‪ .‬הנתונים הנבדקים הם הציונים‪ .‬לכן‬
‫הרשימה המסודרת היא רשימת הציונים‪ .‬ייתכן שיהיו תלמידים שיהיה להם קושי להחליט אילו מספרים יהיו‬
‫ברשימה המסודרת‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪140‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪134 :‬‬
‫‪ .45‬מפתח תובנה חשובה‪ :‬יתכן שלקבוצות נתונים השונות זו מזו בהתפלגות הנתונים יש ממוצעים שווים‪.‬‬
‫מומלץ לפתור תרגיל זה במליאת הכיתה‪.‬‬
‫התלמידים יונחו לחשב את הממוצע ואת השכיח לכל אחת מקבוצות הנתונים‪.‬‬
‫בבדיקה במליאה מומלץ לערוך דיון‪ :‬בכל שלוש הכיתות אותו ממוצע‪ .‬אם כך האם בכל הכיתות הרכב שווה‬
‫של תלמידים? (לא)‪ .‬ניתן לבקש מהתלמידים לחשב גם את החציון‪ .‬לכל הכיתות אותו חציון ‪.70‬‬
‫האם לכל הקבוצות אותו שכיח? (לא)‪ .‬מידע המעיד על השוני בין הקבוצות‪.‬‬
‫ניתן להגיע למסקנה שמדד אחד אינו מספיק כדי לאפיין קבוצה של נתונים‪ .‬יש צורך במדדים נוספים‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬טווח הנתונים של הכיתות שונה‪ .‬בכיתה ז‪ 1‬טווח הנתונים הוא ‪.0‬‬
‫בכיתות ז‪ 2‬ו ‪ -‬ז‪ 3‬טווח הנתונים הוא ‪.60‬‬
‫מה ניתן להסיק מטווח נתונים השווה ל ‪? 0 -‬‬
‫נספר כי יש מדדים נוספים לפיזור שאת חלקם ילמדו בהמשך לימודי המתמטיקה‪.‬‬
‫‪( .46‬א) הצגה של הציונים של כל אחת מהכיתות בטבלת שכיחויות‪.‬‬
‫נשאל‪ :‬מהם הנתונים? מהן השכיחויות? התלמידים יבחרו בטבלה אנכית או אופקית‪.‬‬
‫נזכיר כי הנתון הנבדק מוצג על הציר האופקי והשכיחויות על הציר האנכי‪.‬‬
‫(ב‪ )1‬את השכיח נוח למצוא גם בהצגה בדיאגרמת העמודות וגם בהצגה בטבלה‪.‬‬
‫(ב‪ )2‬את חישוב הממוצע נוח יותר לבצע מההצגה בטבלה‪.‬‬
‫נזכיר להוסיף שורה שלישית (או עמודה) עבור המכפלות של כל אחד מהנתונים בשכיחות שלו‪.‬‬
‫‪ .47‬זאת שאלה חשובה משום שהיא מקדמת חשיבה‪.‬‬
‫ישנן שתי אפשרויות לפתור שאלה זו‪:‬‬
‫(א) על ידי שיקולי דעת מתמטיים בשיטת האלימינציה‪ :‬זו הדרך המועדפת כי היא מלמדת אסטרטגיית‬
‫פתרון חדשה‪ ,‬ומפתחת תובנה מספרית‪.‬‬
‫פתרון‪ :‬מומלץ לשאול‪ :‬האם המספרים מסודרים בסדר עולה או יורד? (כן)‪.‬‬
‫ניתן לראות כי בקבוצות (ב) ו ‪( -‬ג) החציון הוא ‪ .16‬בקבוצה (א) החציון הוא ‪ .20‬אינו מקיים‬
‫את הנדרש בשאלה‪.‬‬
‫האם סביר שהממוצע ב ‪( -‬ב) הוא ‪( ? 20‬לא‪ ,‬כי ‪ 4‬מתוך ‪ 5‬המספרים קטנים מ‪ ,20 -‬וחלקם‬
‫בהפרש די גדול ממנו‪( ,‬רחוקים מ ‪ , )20 -‬בעוד יש רק מספר אחד מעל ‪ 20‬והוא די קרוב אליו‪.‬‬
‫נבדוק את סדרה (ג) – בקבוצת מספרים זאת יש שלושה מספרים קטנים מ‪ 20 -‬אך קרובים אליו‪,‬‬
‫ומספר אחד (‪ )34‬הגדול ממנו בהרבה – יש סבירות גדולה שהממוצע הוא ‪ .20‬נחשב ונבדוק‪.‬‬
‫(ב) אפשרות אחרת לפתרון השאלה היא באמצעות חישוב של החציון ושל הממוצע של כל קבוצת נתונים‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪141‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪135 – 134 :‬‬
‫‪ .48‬מומלץ לפתור עצמאית בכיתה‪ ,‬לשמוע את פתרונות התלמידים‪ ,‬ולקיים דיון‪.‬‬
‫הזדמנות לחזק תובנה מספרית אודות מדדי המרכז‪.‬‬
‫מומלץ להפנות אותם לעיין בפתרון של תרגיל ‪ .47‬לציין ש שיקולי הדעת הם זהים רק שהפעם‬
‫יש להפעיל שיקול דעת גם אודות השכיח‪.‬‬
‫מומלץ לשאול‪ :‬מה הכי קל לבדוק בכל אחת מקבוצות המספרים? (שכיח וחציון)‪.‬‬
‫אם כך כתבו מהו השכיח ומהו החציון וחשבו את הממוצע‪ .‬בקבוצה (א) שני שכיחים ‪ 3‬ו‪ .5 -‬החציון ‪.4‬‬
‫בקבוצה (ב) השכיח ‪ .3‬החציון ‪ .3‬בקבוצה (ג) השכיח ‪ .3‬החציון ‪.3‬‬
‫קבוצה (א) לא עונה על דרישות השאלה‪ .‬אין צורך לחשב את הממוצע‪.‬‬
‫בקבוצות (ב) ו‪( -‬ג) נחשב את הממוצע‪ :‬בקבוצה (ב) הממוצע הוא ‪ .4‬קבוצה (ב) יכולה להיות‬
‫הקבוצה הנתונה‪.‬‬
‫נבדוק גם את הממוצע בקבוצה (ג)‪ .‬ייתכן שיש שתי תשובות נכונות‪ .‬גם בקבוצה (ג) הממוצע הוא ‪.4‬‬
‫קבוצות (ב) ו‪( -‬ג) יכולות להיות הקבוצה הנתונה‪.‬‬
‫עוד על הממוצע‬
‫תכונות נוספות על הממוצע‪:‬‬
‫‪‬‬
‫חישוב נתון חסר כאשר ידועים הנתונים האחרים והממוצע‪.‬‬
‫‪‬‬
‫חישו ב סכום כל התוצאות‪ ,‬כאשר ידוע הממוצע ומספר הנתונים בקבוצה‪.‬‬
‫‪ ‬ההשפעה של תוספת נתון או השמטת נתון (או נתונים) על הממוצע‪.‬‬
‫דוגמה ‪9‬‬
‫הקניה‪ :‬הפעילות תתבצע במליאת הכיתה עם שאלות מנחות של המורה כאשר הספרים סגורים‪.‬‬
‫מטרת חלק זה הוא ללמד למצוא נתון חסר בהינתן ממוצע וכל הנתונים האחרים‪.‬‬
‫מומלץ לכתוב על הלוח את נושא השיעור‪ :‬חישוב מספר חסר‪ ,‬ולומר לתלמידים‪:‬‬
‫כאשר הייתה נתונה קבוצת נתונים‪ ,‬חישבנו את הממוצע‪.‬‬
‫בתרגילים הבאים הממוצע ידוע‪ .‬בנוסף ידועים גם כל הנתונים פרט לאחד (או שניים)‪.‬‬
‫נלמד איך לחשב את הנתון החסר (הנתונים החסרים)‪.‬‬
‫נועם עשה שתי בחינות‪ .‬הממוצע היה ‪ .84‬באחד מהמבחנים הציון שלו היה ‪ ,79‬הוא שכח מה היה הציון השני‪.‬‬
‫נעזור לו למצוא את הציון השני‪.‬‬
‫נרשום את שני הציונים (על הלוח)‪ :‬ציון ראשון – ‪.79‬‬
‫ציון שני – ‪ .x‬ידוע גם הממוצע – ‪.84‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪142‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪135‬‬
‫נוכל לקשר את הציונים ואת הממוצע במשוואה ולפתור‪.‬‬
‫תשובה מילולית‪ :‬הציון של נועם במבחן השני הוא ‪.89‬‬
‫נבדוק אם אכן לשני הציונים ממוצע של ‪.84‬‬
‫שבדוגמה זו מחשבים ממוצע של שני ציונים בלבד (חישוב שהתלמידים מבצעים באופן ספונטני)‪ ,‬יש להניח שיהיו‬
‫תלמידים שיציעו חישוב בדרך אחרת ללא שימוש בנעלם ובמשוואה‪.‬‬
‫הממוצע של שני מספרים הוא המספר שההפרש בערך המוחלט בינו לבין שני המספרים הנתונים הוא שווה‪.‬‬
‫הציון ‪ 79‬קטן מהממוצע ‪ 84‬ב ‪ 5 -‬נקודות‪ .‬הציון השני צריך להיות גדול מהממוצע ב‪ 5 -‬נקודות‪.‬‬
‫הציון השני הוא ‪ .89‬חשוב לתת לתלמיד הרגשה טובה על פתרון יפה המגלה הבנה על משמעות הממוצע‪.‬‬
‫נעבור לדוגמה ‪ 10‬בה יש יותר משני נתונים‪ .‬גם כאן ניתן לפתור בדרך שהציג התלמיד אבל יש להתחשב ביותר‬
‫נתונים‪ ,‬עובדה העלולה להקשות על חישוב בדרך זו‪.‬‬
‫לאחר דוגמה ‪ , 10‬נחזור לפתרון בדרך אחרת והתלמידים יראו כי כאשר מספר הנתונים גדול כדאי לפתור‬
‫באמצעות נעלם ומשוואה‪.‬‬
‫דוגמה ‪10‬‬
‫שאלה דומה לזו שבדוגמה ‪ 9‬אלא שכאן מספר הנתונים בקובצה הוא ‪ ,5‬אחד מהם ערכו אינו ידוע ומסומן ב‪.x -‬‬
‫חישוב נתון אחד מתוך שניים כאשר הממוצע ידוע מבצעים ספונטנית ולא תמיד נותנים את הדעת על החשיבה‬
‫שמאחורי הפתרון‪ .‬חישוב נתון מתוך מספר גדול יותר של נתונים‪ ,‬כאשר ידוע הממוצע והנתונים האחרים‪ ,‬אינו‬
‫ספונטני ו דורש חישובים הכוללים מספר גדול יותר של מספרים‪ .‬במקרה כזה שימוש בתכנים שנלמדו באופן‬
‫פורמלי יקל על פתרון השאלה‪.‬‬
‫ניעזר בנוסחה לחישוב ממוצע‪ ,‬נכתוב משוואה ונפתור‪.‬‬
‫בדוגמה ‪ 10‬ידועים ארבעה מתוך חמישה נתונים וידוע הממוצע‪ .‬יש למצוא את המספר החמישי‪.‬‬
‫לחישוב ממוצע מחלקים את סכום הנתונים במספר הכולל של הנתונים‪ .‬הנתון הלא ידוע אותו יש לחשב‪,‬‬
‫מסומן ב‪ . x -‬מציבים בנוסחה‪ .‬מחשבים ומקבלים את המספר החסר‪.‬‬
‫מומלץ לחשב כעת את הממוצע של כל חמישה המספרים כדי לוודא שהפתרון נכון‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫תרגול ישיר של הנלמד בדוגמאות ‪.10 – 9‬‬
‫את התרגיל לפתרון במליאת הכיתה ואת תרגילים ‪ 50 – 49‬ניתן לפתור בדרך חשבונית‪ .‬פתרון בדרך זו מעיד‬
‫על תובנה מתמטית‪ .‬למרות זאת‪ ,‬ניתנת הנחייה לפתור בדרך אלגברית של כתיבת משוואה מכיוון שיש להניח‬
‫שלתלמידים להם מיועד קשה יותר לפתור בדרך הדורשת תובנה מספרית‪.‬‬
‫פתרון אלגברי באמצעות משוואה מתאים לכל מספר שהוא של נתונים‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪143‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫תרגיל לפתרון במליאת הכיתה‪.‬‬
‫ניתן לפתור ספונטנית‪ :‬הממוצע ‪ .16‬המספר הידוע‪ 20 ,‬גדול ב‪ 4 -‬מהממוצע‪ .‬לכן המספר החסר‬
‫צריך להיות קטן ב ‪ 4 -‬מהממוצע‪ .‬המספר החסר הוא ‪.12‬‬
‫בדרך האלגברית‪ :‬נסמן את המספר החסר ב ‪.x -‬‬
‫‪x  20‬‬
‫‪ .‬נפתור את המשוואה ונקבל ‪.x = 12‬‬
‫נציב בנוסחה לחישוב הממוצע‪ 16 :‬‬
‫‪2‬‬
‫בכל דרך שבוחרים נבדוק את נכונות הפתרון על‪-‬ידי חישוב של הממוצע של המספרים שהתקבלו‪.‬‬
‫‪ .50 – 49‬התלמידים יפתרו עצמאית בדרך שיבחרו‪ .‬בדיוק כמו התרגיל שבמסגרת‪.‬‬
‫תרגיל לפתרון במליאת הכיתה‪.‬‬
‫תרגיל בו נתון ממוצע של ‪ 10‬מספרים‪ .‬שניים מהם‪ ,‬השווים בערכם‪ ,‬אינם ידועים ומיוצגים באמצעות ‪.x‬‬
‫‪ .51‬מומלץ לפתור במליאת הכיתה‪ .‬דרך הפתרון כבדוגמה ‪.10‬‬
‫ניתן לפתור ספונטנית‪ .‬הממוצע של שלוש הבנות הוא ‪ .82‬יעל קיבלה ‪ 5 ,87‬נקודות מעל לממוצע‪.‬‬
‫מיכל קיבלה ‪ 7 ,75‬נקודות מתחת לממוצע‪ .‬כדי לאזן את ההפרשים מהממוצע‪ ,‬דנה צריכה לקבל ‪2‬‬
‫נקודות מעל לממוצע‪ ,‬כלומר‪ .84 :‬נחשב את הממוצע ונבדוק‪.‬‬
‫‪ .53‬בכל סעיף יש שתי קבוצות של מספרים‪ .‬באחת הסדרות חסר מספר‪.‬‬
‫נתון כי לשתי הקבוצות יש אותו ממוצע‪ .‬נחשב את הממוצע של הקבוצה שכל המספרים בה ידועים‪.‬‬
‫את חישוב המספר החסר בקבוצה השנייה נעשה על פי הפתרון של דוגמה ‪.10‬‬
‫‪ .54‬יש לחשב את המספר הערך של ‪ x‬כאשר ידעו שהממוצע של קבוצת המספרים‪35 , 30 , 29 , x :‬‬
‫‪136‬‬
‫‪..‬‬
‫הוא ‪.32‬‬
‫‪55‬ג‪ .‬מהווה הכנה לדוגמה ‪ .11‬החידוש במטלה זו הוא השאלה בסעיף (ג)‪ :‬כמה מכוניות יש לכל דיירי הבית‬
‫המשותף ביחד? התלמידים עלולים לסכם את המספרים בעמודה של מספר המכוניות מבלי להתחשב‬
‫בשכיחות‪ .‬כמו בחישוב ממוצע מומלץ להוסיף עמודה עבור המכפלות של כלנתון בשכיחות שלו‪.‬‬
‫מספר המכוניות הכולל מתקבל מסכום המכפלות בעמודה זו‪.‬‬
‫מומלץ לתת לתלמידים להתמודד עם המטלה ולבדוק במליאה‪.‬‬
‫כמו בתרגיל ‪ ,44‬בטבלת השכיחויות‪ ,‬הנתונים בעמודה הימנית והשכיחויות בעמודה השמאלית‪.‬‬
‫חשוב לוודא שהתלמידים מבחינים בין השניים‪ .‬מידע לגבי הנתונים ניתן בשורה הפותחת את השאלה‪:‬‬
‫"‪...‬התפלגות מספר המכוניות של המשפחות‪.....‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪144‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪137‬‬
‫דוגמה ‪11‬‬
‫הקניה‪ :‬במליאה‪ .‬ספרים סגורים‪.‬‬
‫מטלה זו היא ברמת המשגה גבוהה יותר‪ .‬לא מתייחסים להתפלגות המכוניות של המשפחות‪ ,‬אלא לסך‪-‬כול‬
‫המשפחות‪ .‬חישוב סכום כל התוצאות‪ ,‬כאשר ידוע הממוצע ומספר הנתונים בקבוצה‪.‬‬
‫הנתונים בסיפור זה הם המספר הכולל של המשפחות והממוצע של מספר מכוניות למשפחה‪.‬‬
‫סך‪-‬כול המכוניות אינו ידוע‪ ,‬הוא הנעלם‪.‬‬
‫מתוך הנוסחה לחישוב הממוצע רואים כי לחישוב הממוצע מחלקים את סך ‪-‬כול המכוניות בסך‪-‬כול המשפחות‪.‬‬
‫כאשר יש לחשב את מספר המכוניות הכולל‪ .‬נסמן את מספר המכוניות הכולל ב ‪.x -‬‬
‫‪x‬‬
‫נציב בנוסחה לחישוב הממוצע‪ ,‬במקרה זה המונה אינו ידוע‪ .‬נכתוב‪:‬‬
‫‪‬הממוצע‬
‫מספר המ שפחות‬
‫‪x‬‬
‫נציב את הממוצע ואת המספר הכולל של המשפחות‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪15‬‬
‫נקבל‪ x = 2  15 :‬מספר המכוניות הכולל שווה למכפלה של הממוצע במספר המשפחות‪.‬‬
‫תשובה מילולית‪ :‬מספר המכוניות הכולל הוא ‪.30‬‬
‫נסכם‪:‬‬
‫מספר התוצאות ‪ ‬הממוצע = סכום של התוצאות‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫תרגיל לפתרון במליאת הכיתה‪.‬‬
‫יישום של דוגמה ‪ .11‬התלמידים יפתרו ותיערך בדיקה במליאה‪.‬‬
‫יית כן שלתלמידים יהיה קל יותר לפתור את התרגילים על ידי שימוש בנוסחה לחישוב הממוצע‪:‬‬
‫סכום הנתונים לחלק למספר הנתונים‪ .‬סכום הנתונים יסומן ב‪.x -‬‬
‫‪x‬‬
‫התלמידים יפתרו את המשוואה‪ 5,600 :‬‬
‫‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ .57 – 56‬יינתנו כעבודה עצמית בכיתה או שיעורי בית‪.‬‬
‫‪ .58‬כמו בתרגילים הקודמים‪ ,‬מחשבים את המשקל הכולל של כל הנוסעים במעלית‪.‬‬
‫(א) המשקל הכולל ‪ 825‬ק"ג‪.‬‬
‫(ב) המשקל הכולל ‪ 711‬ק"ג‪.‬‬
‫(ג) המשקל הכולל ‪ 732‬ק"ג‪.‬‬
‫(ד) המשקל הכולל ‪ 816‬ק"ג‪.‬‬
‫קבוצות (ב) ו‪( -‬ג) יכולות להשתמש במעלית‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪145‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪138‬‬
‫‪ .60 – 59‬שאלות נוספות‪ .‬הפתרון כמו בדוגמה ‪.11‬‬
‫במסגרת הפרק עוד על הממוצע‪ ,‬נלמד גם על ההשפעה על הממוצע של תוספת או השמטת נתון מקבוצת נתונים‪.‬‬
‫בשלב זה של הלימוד יש להניח כי התלמידים כבר פיתחו מידה של חוש לממוצע‪.‬‬
‫כאשר מוסיפים לקבוצת נתונים ערך הגדול מהממוצע‪ ,‬הממוצע יגדל‪.‬‬
‫כאשר מוסיפים לקבוצת נתונים ערך הקטן מהממוצע‪ ,‬הממוצע יקטן‪.‬‬
‫כאשר מוסיפים לקבוצת הנתונים ערך השווה לממוצע‪ ,‬הממוצע יישאר ללא שינוי‪.‬‬
‫מטרת המטלות בעמודים הבאים היא לחדד ולקדם תובנה זו‪.‬‬
‫בשאלות מסוג זה נבקש מהתלמידים להתייחס לשינוי‪ :‬האם גדל? האם קטן? או האם נשאר ללא שינוי?‬
‫מכיוון שבעמוד הקודם למדו לחשב את סכום כל התוצאות נבקש בחלק מהשאלות לענות גם על השאלה‪ :‬מה‬
‫יהיה הממוצע החדש לאחר השינוי‪.‬‬
‫דוגמה ‪12‬‬
‫המשך לתרגיל ‪ :60‬בתרגיל ‪ 60‬נתון היה ממוצע השערים של ‪ 15‬משחקים‪.‬‬
‫בדוגמה זו מספרים כי לקבוצה נוסף משחק‪ ,‬וידוע כי במשחק זה הקבוצה הבקיעה ‪ 4‬שערים‪ ,‬מספר הגדול‬
‫מממוצע השערים של ‪ 15‬המשחקים הקודמים‪.‬‬
‫(א) האם הממוצע השתנה? יש להניח כי התלמידים יענו כי הממוצע גדל‪.‬‬
‫(ב) חישוב הממוצע החדש‪:‬‬
‫הממוצע הישן ‪ ,2.4‬מספר הנתונים ‪ ,15‬נחשב את סכום כל הנתונים‪2.4∙15 = 36 :‬‬
‫מה הוא סכום הנתונים לאחר שנוסיף את תוצאת המשחק ה‪?16 -‬‬
‫התווסף נתון אחד ‪.4‬‬
‫הסכום של כל ‪ 16‬מהשחקים הוא‪.36 + 4 = 40 :‬‬
‫כמה נתונים יש לנו כעת? (‪)16‬‬
‫נחשב את הממוצע החדש (נחלק ‪ 40‬ב ‪ )16 -‬ונקבל‪.2.5 :‬‬
‫בסיום הדוגמה מומלץ לקיים דיון בהשפעה על הממוצע של תוספת נתון שערכו קטן מהממוצע‪ ,‬או של‬
‫תוספת נתון שערכו שווה לממוצע‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫תרגיל לפתרון במליאת הכיתה‪.‬‬
‫מומלץ לעודד את התלמידים לענות על סעיף (א) מבלי לחשב‪ .‬רק לאחר מכן לחשב את הממוצע החדש‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪146‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪139 – 138 :‬‬
‫‪ .61‬הוספה של ערך השווה לממוצע לא ישנה את הממוצע‪ .‬בסעיף (ב) התלמידים יחשבו‪.‬‬
‫מומלץ להציג על הלוח את החישוב ולהיעזר בפירוק לגורמים‪:‬‬
‫‪ .62‬ציון השווה לממוצע‪.84 :‬‬
‫‪34  9  34‬‬
‫)‪34(9  1‬‬
‫‪34  10‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 34‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪.‬‬
‫‪( .63‬א) הוספה של הנתון ‪ 80‬לקבוצת נתונים שהממוצע שלהם הוא ‪ ,75‬תגדיל את הממוצע‪.‬‬
‫(ב) האם כדי לענות על שאלה זו יש לחשב את הממוצע החדש לאחר הוספת הציון ‪?80‬‬
‫הוספה של שני הנתונים ‪ 80‬ו‪ 70 -‬לקבוצת נתונים שהממוצע שלהם הוא ‪ 75‬לא תשנה‬
‫את הממוצע מכיוון שממוצע הציונים שנוספו הוא ‪ 75‬כממוצע שהיה קודם לכן‪.‬‬
‫הוספה של ‪ 80‬ו ‪ 70 -‬היא כדין הוספה של פעמיים ‪.(80 + 70 = 2  75) 75‬‬
‫‪ .64‬בשתי הכיתות מספר הבנים שווה למספר הבנות‪ .‬תרומת הבנים בחישוב הממוצע שווה לתרומת הבנות‪.‬‬
‫בשתי הכיתות ממוצע הגובה של הבנים הוא שווה‪.‬‬
‫בכיתה ח‪ 2‬ממוצע הגובה של הבנות גדול יותר‪ .‬לכן גם הממוצע של כל תלמידי הכיתה בכיתה ח‪ 2‬גדול יותר‪.‬‬
‫על‪-‬פי שיקול דעת המורה‪ ,‬ניתן לבקש מהתלמידים לחשב את ממוצע הגובה בכל אחת מהכיתות‪.‬‬
‫‪ .65‬לקבוצה נתונים שהממוצע שלהם הוא ‪ ,163‬נוסף הנתון ‪ 159‬ונגרע הנתון ‪.171‬‬
‫ההפרש בין ‪ 171‬לממוצע הוא ‪ .8‬ההפרש בין ‪ 159‬לממוצע הוא ‪.4‬‬
‫סך‪-‬כול הגבהים בכיתה בתחילת השנה‪ ,‬שווה למכפלה של מספר התלמידים בגובה הממוצע‪.‬‬
‫לאחר השינוי‪ ,‬מסכום זה יש לחסר ‪ 8‬ולהוסיף ‪ .4‬הסכום הכולל של הגבהים של כל התלמידים יקטן ב‪.4 -‬‬
‫מספר התלמידים לא השתנה לכן לחישוב הממוצע החדש מחלקים את הסכום באותו מספר כמו קודם‪.‬‬
‫מסקנה‪ :‬הממוצע יקטן‪.‬‬
‫דרך אחר ת‪ :‬נבדוק את הממוצע בין הגבהים של התלמיד שעזב והתלמיד שנוסף‪ .‬ממוצע הגילים שלהם‬
‫‪171 159‬‬
‫( ‪ .‬הערך שנוסף קטן מהממוצע‪ ,‬לכן הממוצע יקטן‪.‬‬
‫הוא ‪ 165) .165‬‬
‫‪2‬‬
‫תכונות הממוצע‬
‫מטרת חלק זה לקדם תובנה נוספת על ממוצעים‪ :‬אם מחברים או מחסרים‪ ,‬כופלים או מחלקים כל אחד‬
‫מהנתונים בקבוצה במספר קבוע (שונה מ ‪ ,)0 -‬הממוצע גדל או קטן באותה מידה‪.‬‬
‫דוגמה ‪13‬‬
‫מומלץ לתת לתלמידים לפתור את שני הסעיפים שב דוגמה‪ .‬עובדים בזוגות‪ .‬בודקים במליאה‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪147‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪140 – 139 :‬‬
‫ואז שואלים את התלמידים‪ :‬האם יש קשר בין שתי קבוצות הנתונים?‬
‫(כן‪ ,‬כל מספר בקבוצה השנייה גדול ב‪ 10 -‬מהמספר המתאים לו בקבוצה הראשונה‪).‬‬
‫ומה הקשר בין ממוצעי קבוצות אלה?‬
‫(אותו קשר – הממוצע של המספרים שבקבוצה השנייה גדול ב‪ 10 -‬מהממוצע של המספרים שבקבוצה הראשונה‪).‬‬
‫תרגילים‬
‫תרגיל לפתרון במליאת הכיתה‪.‬‬
‫כמו בדוגמה ‪.13‬‬
‫‪ .66‬עוברים אותו תהליך שנעשה בפתרון הדוגמה‪.‬‬
‫(ב) בבניין השני גובה כל אחת מהתרומות היה גדול ב‪ 5 -‬שקלים מהממוצע של התרומות שבבניין הראשון‪.‬‬
‫(‪ )1‬חישוב הממוצע בדרך הרגילה‪.‬‬
‫(‪ )2‬חישוב הממוצע כאשר מתבססים על הממוצע בבניין הראשון‪.‬‬
‫מכיוון שגובה כל תרומה גדל ב‪ 5 -‬שקלים גם הממוצע יגדל ב‪ 5 -‬שקלים‪.‬‬
‫‪ .67‬הוזלה של כל פריט ב‪ 12 -‬שקלים‪ ,‬תקטין גם את הממוצע ב‪ 12 -‬שקלים‪.‬‬
‫הממוצע החדש‪ 44 :‬שקלים‪.‬‬
‫‪ .68‬ניתן כמו בתרגיל שבמסגרת לחשב את הממוצע של הציונים המקוריים‪ ,‬ואחר מכן לחשב את הממוצע של‬
‫‪.100 , 95 , 100 , 75 , 70 ,70 , 80 , 85 , 90‬‬
‫הציונים לאחר תוספת של ‪ 20‬נקודות‪:‬‬
‫או להסתמך על המסקנה שהתקבלה בדוגמה ‪ 13‬ובתרגילים הקודמים‪ :‬תוספת בונוס של ‪ 20‬נקודות‬
‫לכל ציון מגדילה גם את הממוצע ב‪ 20 -‬נקודות‪.‬‬
‫‪ .69‬שואלים‪ :‬אם היום יעל היא בת ‪ .10‬מה היה גילה לפני ‪ 4‬שנים? מה יהיה גילה בעוד ‪ 4‬שנים‪.‬‬
‫מגיעים למסקנה שלפני ‪ 4‬שנים הגילים של כל הבנות היו קטנים ב ‪ .4 -‬גם הממוצע היה קטן ב ‪.4 -‬‬
‫בעוד ‪ 4‬שנים כל הגילים יהיו גדולים ב‪ 4 -‬מהגיל הנוכחי‪ .‬גם הממוצע יגדל ב ‪.4 -‬‬
‫‪ .70‬תרגיל דומה לקודמים‪ .‬הוספה של ‪ ‬לכל אחד מהנתונים שבקבוצה‪ .‬גם הממוצע גדל ב‪. -‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪148‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪141‬‬
‫‪ .71‬מטרת ה תרגיל היא לחשוף את התלמיד לעובדה שגם כאשר מגדילים כל אחד מהנתונים בקבוצת מספרים‬
‫פי מספר קבוע‪ ,‬מתקבלת קבוצת מספרים שהממוצע שלה גדול פי אותו מספר מהממוצע המקורי‪.‬‬
‫התלמידים פותרים את התרגיל‪ .‬בודקים במליאה‪.‬‬
‫מגיעים למסקנה‪ :‬כאשר הגדילו כל אחד מהנתונים פי ‪ ,3‬גם הממוצע גדל פי ‪.3‬‬
‫‪ .72‬פותרים עצמאית‪.‬‬
‫‪ .74 – 73‬הגדלה או הקטנה של כל אחד מהנתונים באחוז מסוים של המספר‪.‬‬
‫לחישוב אחוז של מספר כופלים את המספר באחוז ומחלקים ב‪:100 -‬‬
‫האחוז‬
‫כלומר‪ ,‬הגדלה (הקטנה) פי‬
‫‪100‬‬
‫האחוז‬
‫‪‬המספר‬
‫‪100‬‬
‫של כל אחד מהנתונים‪.‬‬
‫כפי שלמדו בתרגילים ‪ ,72 – 71‬גם הממוצע גדל (קטן) פי אותו גודל‪:‬‬
‫האחוז‬
‫‪100‬‬
‫‪.‬‬
‫מה למדנו?‬
‫סיכום של תכונות הממוצע‪.‬‬
‫מומלץ לכל היגד‪ ,‬לפתור תרגיל מתאים‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪149‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪142‬‬
‫נחזור ונתרגל‬
‫אחוזים‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪.9‬‬
‫המרה מחלק של כמות לאחוזים של אותה כמות‪ ,‬באמצעות כפל של החלק ב‪.100 -‬‬
‫לתזכורת‪ ,‬נתונה דוגמה על דף תובנות‪ .‬בסעיף (ה) יש לעגל לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית‪.‬‬
‫מומלץ לחזור על כללי העיגול שנלמדו בכיתה ז‪( .‬קפיצה לגובה לכיתה ז חלק ב עמוד ‪).4‬‬
‫יש לכתוב את החלק שמהווה כל סוג של עצים מתוך כלל העצים שבפרדס‪ .‬על דף תובנות שאלה לגבי השלם‪.‬‬
‫השלם הוא סך ‪-‬כול העצים בפרדס‪ ,‬כלומר‪ 4,800 :‬עצים‪.(2,400 + 1,800 + 600) .‬‬
‫לאחר כתיבת החלק יש להמיר את החלק לאחוזים של אותה כמות (כמו בתרגיל ‪.)1‬‬
‫חישוב גובה ההנחה שהוא ערך האחוז‪ .‬מומלץ לבקש מהתלמידים לבצע חישוב זה בראש‪ 10% :‬של ‪80‬‬
‫ועוד ‪ 5%‬של ‪( .80‬שהם מחצית מהכמות שמקבלים בחישוב של ‪ 10%‬של ‪).80‬‬
‫מומלץ לפתור שאלה זו באמצעות חישוב בראש‪ .‬לבדיקה‪ :‬יחברו את כמויות השתילים שהתקבלו ויבדקו‬
‫אם הסכום הכולל הוא ‪.420‬‬
‫כמו שאלות קודמות‪ .‬גם כאן ניתן לבצע על ‪-‬ידי חישוב בראש‪ 10% :‬של ‪ 600‬ועוד ‪ 5%‬של ‪.600‬‬
‫מומלץ לפתור באמצעות חישוב בראש‪ .‬כמה הם ‪ 10%‬של ‪ .500‬ואז‪ :‬כמה הם ‪ 30%‬של ‪.500‬‬
‫תשובה מפתה‪( :‬א)‪ .‬אם זאת התשובה שתינתן נבקש מהתלמידים לחשב‪.‬‬
‫‪ 60%‬מ‪ 60 -‬הם ‪ 75% .36‬מ ‪ 75 -‬הם ‪.56.25‬‬
‫התשובה הנכונה‪( :‬ב) ‪.48‬‬
‫על התלמידים לחשב כמה הם ‪ 60%‬מ‪ .60 -‬התשובה ‪.36‬‬
‫בשלב הבא יש לחשב כמה אחוזים הם ‪ 36‬מתוך ‪ .75‬ניתן לסמן את האחוז ב ‪ .x -‬ולפתור משוואה‪:‬‬
‫‪75 x‬‬
‫‪ .‬מקבלים‪.x = 48 :‬‬
‫‪ x%‬מתוך ‪ 75‬הם ‪ .36‬מהו ‪ 36 ?x‬‬
‫‪100‬‬
‫פתרון בשלבים‪ .‬מומלץ לפתור באמצעות חישוב בראש‪ 10% .‬של ‪ 4,500‬הם ‪ .450‬אחרי ההעלאה‬
‫הראשונה משכורתו ‪ 4,950‬שקלים‪ .‬אחרי חצי שנה תוספת של ‪ 10%‬שהם ‪ 495‬שקלים‪ .‬המשכורת‬
‫החדשה‪ 5,445 :‬שקלים‪.‬‬
‫‪100%‬‬
‫‪x‬‬
‫טעות אפשרית‪ :‬חישוב העלאה של ‪.20%‬‬
‫‪80%‬‬
‫‪32‬‬
‫מציאת הערך השלם‪ .‬ניתן להיעזר בטבלה‪:‬‬
‫‪100‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ . x = 40 .‬משך השיעור‪ 40 :‬דקות‪.‬‬
‫כותבים את הפרופורציה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪80 32‬‬
‫בחישוב בראש‪ 80% :‬הם ‪ 32‬דקות‪ 20% .‬הם ‪ 8‬דקות (לחלק ל‪.)4 -‬‬
‫‪ 100%‬השיעור הוא ‪ 5‬פעמים ‪ 8‬כלומר ‪ 40‬דקות‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪150‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪143‬‬
‫‪ .10‬ניתן להיעזר בטבלה כמו בתרגיל ‪.9‬‬
‫אפשר גם באמצעות חישוב בראש‪ 20% :‬הם ‪( 100% .40‬גדול פי ‪ 5‬מ‪ )20% -‬הם ‪ 40‬כפול ‪,5‬‬
‫כלומר‪.200 ,‬‬
‫‪( .11‬א) גם כאן ניתן לפתור בראש‪ 25% .‬מכמות הם רבע של אותה כמות‪.‬‬
‫רבע של ‪ 16‬הם ‪.4‬‬
‫האורך לאחר ההגדלה‪ 20 :‬ס"מ‪.‬‬
‫רבע של ‪ 18‬הם ‪ .4.5‬האורך לאחר ההגדלה‪ 22.5 :‬ס"מ‪.‬‬
‫(ב) שטח המלבן הנתון‪:‬‬
‫‪ 288‬סמ"ר‪.(16  18) .‬‬
‫שטח המלבן המוגדל‪ 450 :‬סמ"ר‪.(20  22.5) .‬‬
‫שטח המלבן החדש גדול ב‪ 162 -‬סמ"ר משטח המלבן הנתון‪.‬‬
‫‪( .12‬א) כמו בשאלות הקודמות מומלץ לפתור באמצעות חישוב בראש‪.‬‬
‫הפתרון‪ :‬הספר נמכר בהנחה של ‪ 22‬שקלים‪ ,‬במחיר של ‪ 88‬שקלים‪.‬‬
‫(ב) הכמות השלמה כעת היא ‪ .88‬מחיר הספר חזר להיות ‪ 110‬שקלים‪ ,‬כלומר התייקר ב‪ 22 -‬שקלים‪.‬‬
‫בסעיף (א) הכמות השלמה היא ‪ 22 .110‬מתוך ‪ 88‬גדול יותר מ‪ 22 -‬מתוך ‪.110‬‬
‫‪ .13‬חישוב בראש‪ 10% :‬מתוך ‪ 30‬הם ‪.3‬‬
‫‪ 10%‬מתוך ‪ 20‬הם ‪.2‬‬
‫תמר לקחה ‪ 6‬תפוחים ו ‪ 4 -‬אשכוליות‪ ,‬יחד ‪ 10‬פירות‪.‬‬
‫יעל לקחה ‪ 3‬תפוזים ו ‪ 6 -‬אשכוליות‪ ,‬יחד ‪ 9‬פירות‪.‬‬
‫‪ .14‬בחישוב בראש‪ :‬מוצר א‪ 10% :‬של ‪ 80‬הם ‪ 1% .8‬של ‪ 80‬הם ‪ 8% .0.8‬של ‪ 80‬הם ‪.6.4‬‬
‫‪ 18%‬של ‪ 80‬הם ‪ .(8 + 6.4) 14.4‬המחיר כולל מע"מ‪94.4 :‬‬
‫שקלים‪.‬‬
‫מחיר מוצר ב גדול פי ‪ 10‬ממחיר מוצר א‪.‬‬
‫כך גם המע"מ והמחיר כולל מע"מ‪.‬‬
‫מחיר מוצר ג גדול פי ‪ 2‬ממחיר מוצר ב‪.‬‬
‫‪14.4‬‬
‫‪144‬‬
‫‪288‬‬
‫כך גם המע"מ והמחיר כולל מע"מ‪.‬‬
‫‪ .15‬אחרי ההוזלה‪ ,‬הכמות השלמה קטונה יותר‪ .‬לכן היגד (ג) הוא הנכון‪ .‬ראו תרגיל ‪.12‬‬
‫‪94.4‬‬
‫‪944‬‬
‫‪1,888‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪151‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪144‬‬
‫אוריינות – שיפור ציון‬
‫שאלת אוריינות היא שאלה פתוחה עתירת מלל בה משולבים מספר נושאים‪.‬‬
‫המטרות (מתוך תכנית הלימודים)‪:‬‬
‫פיתוח ידע רחב‪ ,‬מקושר ושימושי בלימודי המתמטיקה‪ .‬מתמטיקה איננה אוסף של עובדות ופרוצדורות‪,‬‬
‫אלא מקצוע מועיל בלימוד של תופעות המתרחשות בטבע ובחברה‪ ,‬ובפתרון שאלות חשובות‪ ,‬כמו למשל שאלות‬
‫הקשורות לכלכלה‪ ,‬לתחבורה ולתרבות‪.‬‬
‫פיתוח יכולת קריאה והבנה של תוכן מתמטי בהקשרים משמעותיים‪.‬‬
‫פיתוח של היכולת להתבטא מילולית בנושאים מתמטיים‪.‬‬
‫מאפייני המשימה‪:‬‬
‫•‬
‫•‬
‫יישום מודל מתמטי לשאלה מציאותית‪.‬‬
‫שילוב של נושאים שונים‪ :‬קריאת גרפים‪ ,‬הפו נקציה הקווית‪ ,‬אחוזים‪.‬‬
‫•‬
‫המרות בין ייצוגים שונים‪ :‬מילולי‪ ,‬גרפי ואלגברי‪.‬‬
‫• בחינת שיקולי כדאיות‪.‬‬
‫(א) התאמה בין הגרף לבין התיאור המילולי‪.‬‬
‫מהתבוננות בגרפים‪ ,‬גרף (‪ )1‬הצבוע באדום מתחיל בנקודה )‪ .(0 , 10‬גרף (‪ )2‬מתחיל בראשית הצירים‪.‬‬
‫מומלץ לשאול את התלמידים מה המשמעות של נקודת החיתוך עם הציר האנכי‪( .‬התוספת לציון‪ :‬בגרף (‪)1‬‬
‫אין תוספת‪ ,‬בגרף (‪ )2‬תוספת של ‪ 10‬נקודות לציון)‪.‬‬
‫(יעזור בשאלה (ח) בה יש לכתוב את הפונקציה המתארת גרף זה‪).‬‬
‫גרף (‪ - )1‬דרך ב‪.‬‬
‫גרף (‪ - )2‬דרך א‪.‬‬
‫(ב) – (ז) שילוב של קריאת גרפים ושיקולי כדאיות‪.‬‬
‫(ב) נתבונן באנך בו שיעור ה‪ x -‬הוא ‪.80‬‬
‫הוא חותך את גרף (‪( )2‬הגרף הכחול) בנקודה )‪.(80 , 90‬‬
‫כלומר הציון על פי דרך א הוא ‪.90‬‬
‫יש להניח שיהיו תלמידים שיאמרו שאינם זקוקים לגרף‪.‬‬
‫אחרי שיתנו את התשובה נשאל‪:‬‬
‫כיצד רואים זאת בגרף?‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪152‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫(ג)‬
‫(ד)‬
‫‪144‬‬
‫הציון לאחר השיפור לפי דרך ב הוא ‪.90‬‬
‫אין צורך לתת את הציונים המשופרים אלא לקבוע מהי הדרך הכדאית יותר עבור דני? באיזו דרך הוא יקבל ציון גבוה יותר?‬
‫נעביר את האנך בנקודה בה ‪ x = 70‬ונבדוק איזה מהציונים המתקבלים בשתי הדרכים הוא גדול יותר (נמצא יותר גבוה)‪.‬‬
‫(ה) ניסוח מתמטי יותר הוא "מהו ‪ x‬עבורו בשני הגרפים יתקבלו תוצאות שוות?" חזרה על משמעות נקודת החיתוך של שני גרפים‪.‬‬
‫בשאלה זאת הפתרון הוא הנקודה )‪ .(50 , 60‬כלומר‪ ,‬תלמיד שציונו המקורי היה ‪ 50‬יקבל לאחר השיפור בכל אחת משתי הדרכים את הציון ‪.60‬‬
‫(ו)‬
‫בכל השאלות האלו חשוב לתת לתלמידים להתבטא ולהמליל את תשובותיהם תוך התייחסות לתוכן הפעילות‪.‬‬
‫מיכל מעדיפה לשפר את הציון שקיבלה לפי דרך ב‪ .‬מה ניתן לומר על הציון שקיבלה?‬
‫נתבונן שוב בנקודת החיתוך של שני הגרפים‪ .‬משמאל לנקודת החיתוך‪ ,‬שיפור בדרך א הוא כדאי יותר‪ ,‬מקבלים ציון גבוה יותר‪.‬‬
‫מימין לנקודת החיתוך שיפור בדרך ב הוא כדאי יותר‪.‬‬
‫(ז)‬
‫אם מיכל העדיפה את דרך ב משמעות הדבר שקיבלה ציון גבוה מ‪.50 -‬‬
‫אם בדרך ב עופר מקבל ציון גבוה יותר פירוש הדבר שקיבל ציון גבוה מ‪,50 -‬‬
‫יש להתבונן בחלק הגרף שמימין לנקודת החיתוך‪ .‬נבדוק היכן בערך ההפרש בין שתי הדרכים הוא ‪ 5‬נקודות‪.‬‬
‫הקטע בשחור מציין את ההפרש נבדוק מתי הוא שווה בערך ל ‪.5 -‬‬
‫יש להניח שעופר קיבל בערך את הציון ‪.80‬‬
‫אפשר לבקש מהתלמידים לחשב את הציון לאחר השיפור בשתי הדרכים ולוודא שקיבלו תשובה נכונה‪.‬‬
‫בדרך א‪ ,‬יקבל ‪ .90‬בדרך ב‪ ,‬יקבל ‪ .96‬התשובה סבירה‪.‬‬
‫(ח) מעבר מייצוג מילולי לייצוג אלגברי‪:‬‬
‫אם נסמן את הציון המקורי ב‪ x -‬ואת הציון לאחר השיפור ב ‪,y -‬‬
‫בדרך א הפונקציה היא‪.y = x + 10 :‬‬
‫בדרך ב‬
‫הפונקציה היא‬
‫‪.y = 1.2x‬‬
‫או מעבר מייצוג גרפי לייצוג אלגברי‪:‬‬
‫בגרף ‪ :1‬הקו עובר בראשית הצירים )‪ .(0 , 0‬נמצא נקודה נוספת שערכיה מספרים שלמים‪ ,‬למשל )‪.(50 , 60‬‬
‫ונמצא את משוואה הישר העובר דרך שתי נקודות אלו‪( .‬אנו יודעים כי ‪.)b = 0‬‬
‫בגרף ‪ :2‬הקו עובר בנקודה )‪ .(0 , 10‬נמצא נקודה נוספת שערכיה מספרים שלמים‪ ,‬למשל )‪.(50 , 60‬‬
‫ונמצא את משוואה הישר העובר דרך שתי נקודות אלו‪( .‬אנו יודעים כי ‪.)b = 10‬‬
‫מזמן חזרה על מציאת משוואה של קו ישר על‪-‬פי שתי נקודות‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪153‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪145‬‬
‫משוואות ושאלות מילוליות בשני נעלמים ממעלה ראשונה‬
‫הנושא נלמד בשלושה סבבים‪.‬‬
‫בסבב הראשון‪ :‬היכרות של משוואה בשני נעלמים ממעלה ראשונה‪.‬‬
‫מהו פתרון של משוואה כזאת‪.‬‬
‫פתרון של מערכת משוואות בשני נעלמים בדרך גרפית‪.‬‬
‫בסבבים השני והשלישי לומדים לפתור מערכות משוואות כאלו בדרכים אלגבריות‪.‬‬
‫פתרון של מערכות משוואות עם שברים ופתרון של מערכות משוואות מיוחדות‪ :‬מערכות משוואות שאין להן‬
‫פתרון ומערכות משוואות שיש להן אינסוף פתרונות‪.‬‬
‫מספר השיעורים של כל הסבבים הוא ‪.16‬‬
‫בפעילות הפתיחה התלמיד ילמד לזהות משוואה בשני נעלמים ממעלה ראשונה‪.‬‬
‫הקנייה‪ :‬הפעילות תתבצע במליאת הכיתה עם שאלות מנחות של המורה כאשר הספרים סגורים‪.‬‬
‫איזה הוא הנעלם או הנעלמים ? כמה נעלמים יש במשוואה בה מופיע אותו נעלם יותר מפעם אחת?‬
‫מה היא מעלת המשוואה? מה הוא המעריך הגבוה ביותר שבסיסו הוא הנעלם?‬
‫הצגה של משוואות עם נעלם אחד ועם שני נעלמים‪.‬‬
‫הצגה של משוואות ממעלה ראשונה ומשוואה אחת ממעלה שנייה‪.‬‬
‫מהו פתרון של משוואה בשני נעלמים ממעלה ראשונה?‬
‫במשוואה עם נעלם אחד הפתרון היה מספר‪.‬‬
‫במשוואה עם שני נעלמים הפתרון הוא זוג של מספרים‪ .‬ולכל משוואה יש אינסוף פתרונות‪ :‬אינסוף זוגות‬
‫של מספרים שהם פתרון של המשוואה‪.‬‬
‫במשוואה ‪ x + y = 10‬באחד מהפתרונות המוצעים ל ‪ x -‬ול ‪ y -‬ערכים שווים‪.‬‬
‫בפרק זה התלמיד ילמד שכל פתרון של משוואה בשני נעלמים ממעלה ראשונה הוא זוג סדור של מספרים‪,‬‬
‫ויזהה‪ ,‬מתוך קבוצה של זוגות סדורים‪ ,‬פתרונות של משוואה נתונה‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪154‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪146‬‬
‫דוגמה ‪1‬‬
‫נתונים ‪ 3‬זוגות מספרים ששניים מהם הם פתרון של המשוואה ואחד אינו פתרון‪.‬‬
‫בהמשך לדוגמה‪ ,‬נתונים ‪ 3‬זוגות נוספים של מספרים והתלמידים מתבקשים לבדוק אילו מהם הם פתרון של‬
‫המשוואה‪.‬‬
‫הפתרון הוא על‪-‬ידי הצבה של הערכים הנתונים במשוואה וחישוב‪ .‬אם מתקבל שוויון בין שני אגפי המשוואה‪,‬‬
‫זוג הערכים שהצבנו הוא פתרון של המשוואה‪ .‬אם לא מתקבל שוויון‪ ,‬הזוג שהוצב אינו פתרון של המשוואה‪.‬‬
‫בדוגמאות הפתורות חשוב להתייחס לצורת הכתיבה‪ .‬כתיבה של שורה מתחת לשורה עוזרת במניעת טעויות‬
‫העתקה‪.‬‬
‫(א) ‪( ,‬ג) הם פתרונות למשוואה הנתונה‪( .‬ב) אינו פתרון למשוואה זו‪.‬‬
‫אחרי פתרון התרגילים סיכום‪ :‬כל פתרון למשוואה בשני נעלמים הוא זוג של מספרים‪.‬‬
‫שאלה לתלמידים‪ :‬כמה פתרונות יש למשוואה בשני נעלמים?‬
‫המסקנה‪ :‬למשוואה שבדוגמה ‪ ,1‬יש אינסוף פתרונות‪.‬‬
‫חשוב להדגיש כי במושג אינסוף פתרונות אין הכוונה שכל זוג מספרים הוא פתרון של המשוואה‪.‬‬
‫יש אינסוף פתרונות הכוללים רק זוגות מסוימים‪.‬‬
‫דוגמה ‪2‬‬
‫מציגה כל פתרון כזוג סדור כאשר יש חשיבות לשמירה על סדר קבוע של זוג המספרים‪.‬‬
‫(נלמד קודם לכן בסימון נקודות במערכת צירים ובפרק הפונקציה‪).‬‬
‫ההסכם המקובל‪ :‬השיעור השמאלי בזוג הסדור שנקרא גם השיעור הראשון של הנקודה הוא ערך ה‪.x -‬‬
‫השיעור הימני בזוג הסדור שנקרא גם השיעור השני של הנקודה הוא ערך ה ‪.y -‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪155‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪147‬‬
‫דוגמה ‪3‬‬
‫התלמידים למדו כי פתרון של משוואה בשני נעלמים הוא זוג סדור של מספרים‪.‬‬
‫תלמידים יודעים לבדוק האם זוג סדור נתון של מספרים הוא פתרון למשוואה‪.‬‬
‫כאן ילמדו למצוא את פתרון המשוואה כאשר נתון ערכו של אחד מהנעלמים‪.‬‬
‫(מהווה גם חזרה על פתרון של משוואות בנעלם אחד)‪.‬‬
‫נתונה משוואה וערכו של אחד מהנעלמים‪ ,‬למשל ‪ .y‬יש לחשב את הערך של הנעלם השני ‪.x‬‬
‫החישוב הוא על‪-‬ידי הצבה של ערך הנעלם הנתון‪ ,‬פתרון משוואה בנעלם אחד‪ ,‬וכתיבת הפתרון כזוג סדור‬
‫של מספרים‪.‬‬
‫מציבים ‪ y = 7‬במשוואה הנתונה‪ .‬מקבלים משוואה בנעלם אחד‪.x – 14 = 10 :‬‬
‫פותרים את המשוואה ומקבלים ‪.x = 24‬‬
‫פתרון המשוואה הוא הזוג הסדור‪ .(24 , 7) :‬יש להקפיד על כתיבה נכונה‪ :‬המספר השמאלי בזוג הסדור‬
‫הוא הערך של ‪ ,x‬המספר הימני בזוג הסדור הוא הערך של ‪.y‬‬
‫כדי לוודא שהפתרון נכון‪ ,‬יש לבצע בדיקה‪ :‬מציבים את הערכים של ‪ x‬ו‪ y -‬במשוואה הנתונה‪,‬‬
‫ובודקים אם מתקבל שוויון נכון‪.‬‬
‫תרגיל לפתרון במליאת הכיתה‪.‬‬
‫(א) התלמיד יציב כל זוג סדור של מספרים המשוואה‪.‬‬
‫אם בהצבה מתקבל שוויון בין שני האגפים של המשוואה‪ ,‬הזוג הסדור הוא פתרון של המשוואה‪.‬‬
‫(ב) התלמיד יציע פתרון משלו‪.‬‬
‫(ג) בכל סעיף נתון ערך של אחד מהמספרים בזוג הסדור‪ .‬התלמיד יציב את הערך שנתון במשוואה‪,‬‬
‫ויחשב את הערך של המספר השני‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪156‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪148‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .1‬זיהוי של משוואות בשני נעלמים‪.‬‬
‫(א) זיהוי של ‪ 12‬משוואות שהן ממעלה ראשונה‪ ,‬מתוך ‪ 16‬המשוואות הנתונות‪.‬‬
‫(ב) זיהוי של משוואות בשני נעלמים שהן ממעלה ראשונה‪.‬‬
‫תרגיל זיהוי עם ביקורת עצמית‪ :‬בסעיף (א) התלמיד יודע שעליו לזהות ‪ 12‬משוואות כאלו‪.‬‬
‫בסיום התרגיל כתוב כי יש שש משוואות בשני נעלמים שהן ממעלה ראשונה‪.‬‬
‫"האם זיהיתם את שש המשוואות?"‬
‫אפשר לבקש מהתלמידים להציע משוואות משלהם לפי קריטריונים שנותן המורה‪ .‬לדוגמה‪,‬‬
‫כתבו משוואה בשני נעלמים ממעלה ראשונה בה המקדם של ‪ x‬הוא ‪ 3‬והמקדם של ‪ y‬הוא ‪.2‬‬
‫או‪ :‬כתבו מ שוואה בשני נעלמים ממעלה ראשונה בה המקדמים של שני הנעלמים הם מספרים נגדיים‪.‬‬
‫או‪ :‬כתבו משוואה בשני נעלמים שאינה ממעלה ראשונה‪.‬‬
‫‪ .7 – 2‬תרגול עצמי בכיתה או בבית‪ .‬בכיתה‪.‬‬
‫יישום ישיר של הנלמד בדוגמה ‪ :1‬מציבים את הערכים המתאימים של ‪ x‬ו‪ .y -‬מחשבים‪.‬‬
‫כאשר מתקבל שוויון‪ ,‬הערכים הנתונים עבור ‪ x‬ו‪ y -‬הם פתרון למשוואה‪.‬‬
‫כאשר לא מתקבל שוויון‪ ,‬הערכים הנתונים אינם פתרון למשוואה‪.‬‬
‫כמו בסעיף (א) של התרגיל שפתרו במליאת הכיתה‪.‬‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫‪( .2‬א) ‪( ,‬ב) ‪( ,‬ד)‪.‬‬
‫‪( .3‬ב) ‪( ,‬ד)‪.‬‬
‫‪( .4‬א) ‪( ,‬ג) ‪( ,‬ג)‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪157‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪149‬‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫‪( .5‬ב) ‪( ,‬ד)‪.‬‬
‫‪( .6‬א) ‪( ,‬ב) ‪( ,‬ג)‪.‬‬
‫‪ .7‬השוני בין שאלה זו לקודמות‪:‬‬
‫הזוגות‪ ,‬לגביהם יש לבדוק אם הם פתרון של המשוואה‪ ,‬כתובים כזוג סדור של מספרים‪.‬‬
‫נעלם אחד באגף ימין ונעלם שני באגף שמאל של המשוואה‪.‬‬
‫כדי למנוע בלבול‪ ,‬מעל לכל זוג כזה כתוב איזה מספר הוא ה‪ x -‬ואיזה הוא ה ‪( .y -‬למרות שלמדו על סדר זה‬
‫בפרקים על מערכת צירים והפונקציה)‪.‬‬
‫על התלמידים לבדוק‪ ,‬באמצעות הצבה וחישוב‪ ,‬כמו בתרגילים הקודמים‪ ,‬אילו מהזוגות הם פתרון למשוואה‪,‬‬
‫פתרון‪( :‬ב) ‪( ,‬ג) ‪( ,‬ד) הם פתרונות של המשוואה הנתונה‪.‬‬
‫‪ .8‬פתרון‪ :‬בסעיפים (א) ‪( ,‬ב) ‪( ,‬ו) ‪( ,‬ח) הזוג הנתון הוא פתרון של המשוואה‪.‬‬
‫‪ .9‬תרגול על פי דוגמה ‪.3‬‬
‫מימין לכל משוואה כתוב זוג סדור‪ .‬בזוג הסדור נתון הערך של אחד מהמספרים‪.‬‬
‫יש להציב במשוואה ולחשב את הערך של המספר השני‪ .‬אחד‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪158‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪150 :‬‬
‫‪ .10‬שאלה דומה לקודמות כאשר ההצגה שונה‪ .‬ליד כל משוואה נתונים שלושה זוגות סדורים‪.‬‬
‫על התלמיד לבדוק אילו מהם הם פתרון של המשוואה‪ .‬הצבה וחישוב כמו בתרגילים הקודמים‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫(‪)1‬‬
‫(‪)2‬‬
‫(‪)3‬‬
‫(‪)4‬‬
‫)‪(1 , 3‬‬
‫;‬
‫)‪(0 , 0‬‬
‫)‪(9 , 8) ; (2 , 1‬‬
‫)‪(2.5 , 12.5) ; (10 , 20‬‬
‫)‪(39 , 1‬‬
‫;‬
‫)‪(40 , 0‬‬
‫‪ .16 – 11‬תרגול על פי דוגמה ‪.3‬‬
‫‪(11‬ג) הצבה של מספר שלילי‪ .‬חשוב לשים לב להצבה הכוללת את הסימן‪.‬‬
‫יש להניח שחלק מהתלמידים יקבלו אחרי ההצבה‪.x – 2 = 10 :‬‬
‫נמליץ לתלמידים שלא לדלג על שלבים‪ :‬להציב במשוואה הנתונה וכאשר ההצבה היא של מספר שלילי‬
‫לכתוב אותו בסוגריים‪ .‬את החישובים לבצע רק לאחר ההצבה‪.‬‬
‫בהצבה נכונה מקבלים‪x – (–2) = 10 :‬‬
‫‪(12‬ב) ‪(13 ,‬ב) ‪(14 ,‬ג) הצבה של מספר שלילי‪ .‬הנחיה כמו בתרגיל ‪(11‬ג)‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪159‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪151‬‬
‫‪( .17‬תרגיל מקדים לתרגיל ‪ )18‬על התלמיד לכתוב משוואה משלו בשני נעלמים‪.‬‬
‫‪ .18‬יש לכתוב משוואה בשני נעלמים כאשר נתון פתרון המשוואה‪.‬‬
‫מומלץ לבדוק במליאה‪ .‬התלמידים יציגו את תשובותיהם על הלוח‪.‬‬
‫הצעה לפעילות בתרגיל זה‪:‬‬
‫לכתוב חלק של משוואה ולבקש מהתלמידים להוסיף את החסר‪.‬‬
‫לדוגמה‪:‬‬
‫בהצבה של הזוג הסדור )‪ (2 , 2‬מקבלים‪:‬‬
‫המשוואות המתאימות במקרים אלו הן‪:‬‬
‫‪x + ____ = 4‬‬
‫‪2+ 2 =4‬‬
‫‪x+y=4‬‬
‫לאחר מכן משוואות מהסוג‪:‬‬
‫‪3x – ___  y = 0‬‬
‫בהצבה של הזוג הסדור )‪ (2 , 2‬מקבלים‪:‬‬
‫‪32 – ____2 = 0‬‬
‫‪____2 + 42 = 20‬‬
‫נחשב‪:‬‬
‫‪6 – ___  2 = 0‬‬
‫‪____ 2 + 8 = 20‬‬
‫המספר החסר‪:‬‬
‫המשוואה המתאימה‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪____ – y = 0‬‬
‫‪2 – 2=0‬‬
‫‪x–y=0‬‬
‫או‬
‫או‪:‬‬
‫‪___  x + 4y = 20‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3x – 3y = 0‬‬
‫‪12‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6x + 4y = 20‬‬
‫‪.‬‬
‫מה למדנו?‬
‫סיכום של מהי משוואה בשני מעלמים ומהם הפתרונות שלה‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪160‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪152‬‬
‫ייצוג גרפי של משוואה בשני נעלמים‬
‫נושא זה הוא הכנה לפתרון בדרך גרפית של מערכת משוואות בשני נעלמים ממעלה ראשונה‪.‬‬
‫הקו הישר הוא הייצוג הגרפי של משוואה בשני נעלמים ממעלה ראשונה‪.‬‬
‫הייצוג הגרפי מוכר לתלמידים מנושא הפונקציות‪.‬‬
‫במסגרת הפרק על הפונקציה הקווית למדו לסרטט גרף של פונקציה קווית (קו ישר)‪.‬‬
‫מז מן חזרה על הפונקציה הקווית ושימוש בידע זה לפתרון מערכת של שתי משוואות בשני נעלמים‬
‫ממעלה ראשונה בדרך גרפית‪.‬‬
‫דוגמה ‪4‬‬
‫סרטוט של קו ישר כאשר הפעילות מובילה למסקנה‪:‬‬
‫כל הזוגות הסדורים שהם פתרון של משוואה בשני נעלמים ממעלה ראשונה נמצאים על קו ישר‪.‬‬
‫כל נקודה הנמצאת על הקו הישר היא פתרון של המשוואה‪.‬‬
‫ומכאן שהגרף של משוואה בשני נעלמים ממעלה ראשונה הוא קו ישר‪.‬‬
‫לסרטוט הגרף יש להעביר את הישר העובר דרך שתי נקודות הנמצאות על הישר‪.‬‬
‫מומלץ למצוא נקודה שלישית כדי לוודא שהפתרון נכון‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪161‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪153‬‬
‫דוגמה ‪5‬‬
‫יישום – דרך שתי נקודות עובר ישר אחד ויחיד‪ .‬לכן לסרטוט ישר‪ ,‬יש למצוא שתי נקודות המקיימות את משוואת‬
‫הישר‪ .‬מומלץ למצוא נקודה שלישית שתשמש כביקורת לנכונות הפתרון‪ .‬אם הנקודה השלישית נמצאת על‬
‫הישר המחבר את שתי הנקודות הראשונות‪ ,‬יש להניח שלא היו לנו טעויות חישוב והישר הוא הישר הנדרש‪.‬‬
‫נקודות ששיעוריהן מספרים שלמים נוח לסמן במערכת הצירים לסרטט את הישר העובר דרך נקודות אלו‪.‬‬
‫(אם פותחו הרגלים אחרים השתמשו בהם‪ ).‬הנקודות הנבחרות מוצגות בטבלה‪.‬‬
‫בחלק מהתרגילים משוואת הקו הישר מוצגת בצורה המפורשת‪y = mx + b :‬‬
‫בחלק מהתרגילים בצורה הסתומה‪.ax + by = c :‬‬
‫כאשר המשוואה מופיעה בצורה המפורשת נוח להציב מספר עבור ‪ ,x‬ולחשב את ‪( y‬כפי שלמדו בפונקציות)‪.‬‬
‫בהצגה הסתומה‪ ,‬כדאי להפעיל שיקולי דעת כדי לקבל נקודות ששיעוריהן מספר שלמים‪.‬‬
‫בדוגמה זו‪ ,‬למציאת נקודה אחת בחרנו להציב ‪ x = 0‬ולחשב את ‪ .y‬לבחירת נקודה שנייה בחרנו‬
‫להציב ‪ y = 0‬ולחשב את ‪ .x‬בנקודה השלישית המשמשת לביקורת מומלץ להציב מספר זוגי במקום ‪.x‬‬
‫מהתבוננות במשוואה רואים כי המקדם של ‪ x‬הוא ‪ ,3‬המקדם של ‪ y‬הוא ‪ ,2‬והמספר החופשי ‪.12‬‬
‫לאחר ההצבה פותרים משוואה‪ .‬כאשר מציבים מספר עבור ‪ x‬מתקבלת משוואה עם הנעלם ‪ .y‬בתהליך‬
‫הפתרון לחישוב ‪ ,y‬יהיה צורך לחלק במקדם של ‪ y‬שהוא ‪ .2‬לכן כדאי לבחור ולהציב במקום ‪ x‬מספר זוגי‪.‬‬
‫בטבלה שתי הנקודות שנבחרו צבועות באדום‪ .‬הנקודה השלישית משמשת כביקורת‪( .‬ניתן להחליף בין‬
‫התפקידים של הנקודות השונות‪).‬‬
‫תרגילים‬
‫תרגיל לפתרון במליאת הכיתה‪ :‬סרטוט גרף של המשוואה‪.‬‬
‫בטבלת הערכים המצורפת הצעות להצבה‪ .‬הצבה של ‪ 0‬במקום ‪,x‬‬
‫הצבה של ‪ 0‬במקום ‪,y‬‬
‫‪‬‬
‫‪.16‬‬
‫והצבה נוספת הנותנת נקודה ששיעוריה מספרים שלמים ‪ -‬קל יותר‬
‫לסמן במערכת הצירים נקודות ששיעוריהן מספרים שלמים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫בשורה הראשונה‪ :‬הציבו ‪ x = 0‬וחשבו את ‪ .y‬הנקודה )‪.(0 , –3‬‬
‫בשורה השנייה‪ :‬הציבו ‪ y = 0‬וחשבו את ‪ .x‬הנקודה )‪.(1 , 0‬‬
‫‪‬‬
‫שתי נקודות מספיקות כדי לסרטט גרף של פונקציה קווית‪.‬‬
‫מומלץ לבחור בנקודה נוספת לביקורת‪ :‬אם כל שלוש הנקודות נמצאות על קו ישר אחד יש להניח שלא טעינו‪.‬‬
‫בשורה השלישית הצבה נוספת לביקורת‪ :‬הציבו ‪ x = 2‬וחשבו את ‪ .y‬הנקודה )‪.(2 , 3‬‬
‫מסמנים את שלוש הנקודות במערכת הצירים‪ .‬מעבירים ישר דרך שלוש הנקודות‪ .‬הישר המתקבל הוא הגרף של המשוואה הנתונה‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪162‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪154‬‬
‫‪ .28 – 21‬תרגילים נוספים מאותו סוג‪.‬‬
‫לכל תרגיל מצורפת טבלה ובה ערכים מומלצים להצבה במשוואה‪.‬‬
‫‪.21‬‬
‫‪y + 3x = 6‬‬
‫‪.22‬‬
‫‪y=2+x‬‬
‫‪.23‬‬
‫‪y–x=5‬‬
‫‪y‬‬
‫‪6‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪–2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪–5‬‬
‫‪–4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫•‬
‫את הנקודה )‪ (–5 , 0‬לא ניתן לסמן במערכת הצירים הנתונה‪.‬‬
‫אפשרות א‪ :‬נגדיל את מערכת הצירים‪.‬‬
‫אפשרות ב‪ :‬נבחר נקודות אחרות‪.‬‬
‫למשל‪ .x = 1 ,‬נציב ונקבל‪ .y = 6 :‬הנקודה‪.(6 , 1) :‬‬
‫או‪ .x = –1 :‬נציב ונקבל‪ .y = 4 :‬הנקודה‪.(–1 , 4) :‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪163‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪.24‬‬
‫‪–y + 2x = 4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪–4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪–2‬‬
‫‪155‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כמו בתרגיל הקודם‪ ,‬לא ניתן לסמן את‬
‫הנקודה )‪ (0 , –4‬במערכת הצירים הנתונה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫נבחר נקודה אחרת‪(3 , 2) :‬‬
‫‪.25‬‬
‫‪2y = 6 + 3x‬‬
‫‪.26‬‬
‫‪y = –x + 4‬‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪–2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫בתרגיל זה התלמידים יבחרו את המספרים אותם יציבו‪.‬‬
‫המשוואה נתונה בצורה המפורשת כך שכל מספר שיבחרו ייתן‬
‫נקודות ששיעוריהן מספרים שלמים‪.‬‬
‫נבחר בנקודות שניתן לסמן אותן במערכת‬
‫הצירים הנתונה‪.‬‬
‫בטבלה הצעה להצבה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪164‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪.27‬‬
‫‪y + 2x = 2‬‬
‫התלמידים יבחרו את המספרים להצבה‪.‬‬
‫כאן מוצעת אפשרות אחת‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪–2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪156‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.28‬‬
‫‪y = 4 + 2x‬‬
‫התלמידים יבחרו את המספרים להצבה‪.‬‬
‫כאן מוצעת אפשרות אחת‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪6‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪–2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪165‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪157 :‬‬
‫מערכת של שתי משוואות בשני נעלמים‬
‫למדנו מה הוא פתרון של משוואה בשני נעלמים‪.‬‬
‫בפרק זה נלמד מהי מערכת משוואות בשני נעלמים ממעלה ראשונה ומה הוא פתרון של מערכת‬
‫משוואות בשני נעלמים‪.‬‬
‫במערכת משוואות בשני נעלמים יש שתי משוואות ובשתיהן יחד יש שני נעלמים‪.‬‬
‫(גם זוג המשוואות ‪ x = 4‬היא מערכת משוואות בשני נעלמים‪.‬‬
‫‪y=5‬‬
‫בשלב זה בשתי המשוואות כתובים שני נעלמים‪.‬‬
‫כל משוואה מהסוג ‪ y = 5‬ניתנת לכתיבה כמשוואה בשני נעלמים‪:‬‬
‫‪0·x + y = 5‬‬
‫)רק בתרגילים ‪ 34 – 33‬נפתור משוואות בהן באחת מהמשוואות כתוב רק נעלם אחד‪).‬‬
‫מה הוא פתרון של מערכת משוואות בשני נעלמים?‬
‫הזוג הסדור שהוא פתרון גם של המשוואה הא חת וגם של המשוואה השנייה הוא פתרון המערכת‪.‬‬
‫למציאת הפתרון של המערכת יש למצוא את הפתרון המשותף של שתי המשוואות‪.‬‬
‫הקניה‪ :‬במליאה‪ .‬ספרים סגורים‪.‬‬
‫המורה כותב את מערכת המשוואות על הלוח‪.‬‬
‫מב קשים מכל תלמיד למצוא פתרון למשוואה הראשונה‪ .‬כותבים את הפתרונות שהתלמידים מצאו על הלוח‪.‬‬
‫בודקים שניים מהפתרונות‪ .‬אם הפתרון המשותף לשתי המשוואות לא מופיע בין אלו שמצאו התלמידים‪ ,‬המורה‬
‫יוסיף אותו בתוספת שני פתרונות נוספים לרשימת הפתרונות‪.‬‬
‫חוזרים על אותו תהליך עם המשוואה השנייה‪.‬‬
‫שואלים‪ :‬האם בין הפתרונות הכתובים על הלוח יש פתרון שהוא גם פתרון של המשוואה הראשונה וגם של‬
‫המשוואה השנייה?‬
‫בודקים בשתי המשוואות‪.‬‬
‫אומרים‪ :‬הפתרון שהוא פתרון גם של המשוואה הראשונה וגם של המשוואה השנייה (הפתרון המשותף)‬
‫הוא פתרון של מערכת המשוואות הנתונה‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪166‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪158 :‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .30 – 29‬נתונה מערכת משוואות בשני נעלמים‪.‬‬
‫מתחת לכל משוואה נתונים חלק מהפתרונות שלה‪.‬‬
‫יש למצוא את הפתרון המשותף של שתי המשוואות‪ ,‬שהוא פתרון המערכת‪.‬‬
‫מומלץ לאחר זיהוי הפתרון להציב אותו בכל אחת משתי המשוואות המרכיבות את המערכת ולבדוק‪.‬‬
‫‪ .31‬נתונה מערכת משוואות‪.‬‬
‫מתחת למערכת המשוואות נתונים ארבעה זוגות סדורים של מספרים‪.‬‬
‫על התלמידים לזהות את הזוגות הסדורים שהם פתרון של משוואה (‪ ,)1‬את הזוגות הסדורים שהם פתרון‬
‫של משוואה (‪ ,)2‬ואת הפתרון של מערכת המשוואות הנתונה‪.‬‬
‫‪ .32‬נתונה מערכת משוואות‪.‬‬
‫מתחת למערכת המשוואות נתונים ארבעה זוגות סדורים של מספרים‪.‬‬
‫רק אחד מהם הוא פתרון של המערכת‪ .‬האחרים הם פתרון רק של אחת מהמשוואות‪.‬‬
‫יש להתאים כל פתרון למשוואה המתאימה ולמצוא את הפתרון של המערכת‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪167‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪159‬‬
‫פתרון גרפי של מערכת משוואות בשני נעלמים ממעלה ראשונה‬
‫פתרון של מערכת משוואות בשני נעלמים הוא הזוג הסדור שהוא פתרון של כל אחת מהמשוואות שבמערכת‪.‬‬
‫בפתרון הגרפי‪ ,‬נסרטט את שני הישרים‪ .‬הזוג הסדור המשותף לשני הישרים הוא שיעורי נקודת החיתוך‪.‬‬
‫דוגמה ‪6‬‬
‫הצגה של הדרך למציאת פתרון של מערכת משוואות בשני נעלמים בדרך גרפית‪.‬‬
‫הקניה‪ :‬במליאה‪ .‬ספרים סגורים‪.‬‬
‫מבצעים על הלוח‪ ,‬בשיתוף התלמידים‪ ,‬את התהליך המתואר בדוגמה‪.‬‬
‫לאחר סרטוט של שני הישרים במערכת צירים אחת‪ ,‬אומרים‪ :‬למדנו בשיעור הקודם כי פתרון של מערכת‬
‫משוואות הוא הפתרון המשותף של שתי המשוואות‪ .‬כיצד נזהה פתרון זה בתיאור הגרפי של מערכת המשוואות?‬
‫מומלץ לחזור על התהליך שבוצע בפתרון האלגברי לסרטט ישר אחד ולבקש מהתלמידים לתת פתרונות אפשריים‬
‫למשוואה המתאימה לגרף זה (נקודות על הגרף)‪ .‬לאחר מכן לסרטט את הגרף השני ולחזור על אותו תהליך‪.‬‬
‫ולתת פתרונות אפשריים למשוואה השנייה‪.‬‬
‫איזה הוא הפתרון המשותף? נקודת החיתוך של שני הגרפים‪.‬‬
‫גם כאן מומלץ לבצע בדיקה באמצעות הצבה של שיעורי הנקודה בכל אחת משתי המשוואות‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪168‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪160‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .33‬פתרון מערכת משוואות כאשר הישרים מסורטטים כבר במערכת הצירים‪.‬‬
‫על התלמידים להתאים לכל ישר את משוואתו‪ ,‬לזהות במערכת הצירים את נקודת החיתוך שהיא פתרון‬
‫המערכת‪.‬‬
‫להתאמה שבין ישר למשוואה נחזור לתכונות הקו הישר אותן למדו בפרק על הפונקציה הקווית‪.‬‬
‫התאמה על ‪-‬פי נקודת החיתוך עם ציר ה‪ y -‬שהיא )‪.(0 , b‬‬
‫ו‪/‬או ניעזר בשיפוע‪ :‬בפונקציה קווית עולה השיפוע )‪ (m‬הוא חיובי‪ ,‬בפונקציה קווית יורדת השיפוע שלילי‪.‬‬
‫שימוש בשיפוע נוח כאשר הפונקציה כתובה בצורה המפורשת‪.‬‬
‫כמובן‪ ,‬תמיד ניתן להציב ערכים עבור ‪( x‬או ‪ ,)y‬לחשב את ‪ ,y‬ולבדוק איזה הוא הישר המתאים‪.‬‬
‫‪ .35 – 34‬מציאת הפתרון (נקודת החיתוך) כרוכה בסרטוט עצמי של הישרים‪.‬‬
‫מערכת הצירים נתונה וכן נתונות טבלאות ערכים ובהן הצעות להצבה‪.‬‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫‪(1 , 2) .34‬‬
‫מבקשים מהתלמידים להציב ולבדוק‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪–1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(5 , 1) .35‬‬
‫מבקשים מהתלמידים להציב ולבדוק‪.‬‬
‫‪–4‬‬
‫‪–3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪169‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪161 :‬‬
‫‪ .36‬תרגיל נוסף כדוגמת הקודמים‪.‬‬
‫‪ .38 – 37‬הישרים המייצגים את אחת מהמשוואות מקבילים לצירים‪ .‬הזדמנות להציג גם מערכות אלו‬
‫כמערכת משוואות בשני נעלמים למרות שבאחת מהמשוואות מופיע רק נעלם אחד‪.‬‬
‫את המשוואה ‪ x = 1‬ניתן להציג כ‪.x + 0·y = 1 :‬‬
‫בתרגיל ‪ 34‬משוואה של פונקציה קבועה‪ ,‬עליה למדו בפרק על הפונקציה הקווית‪.‬‬
‫את המשוואה ‪ y = 5‬ניתן להציג כ‪.0x + y = 5 :‬‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫‪(3 , 2) .36‬‬
‫מבקשים מהתלמידים להציב ולבדוק‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫‪9‬‬
‫‪3‬‬
‫‪(1 , –3) .37‬‬
‫על הישר שמשוואתו ‪x = 1‬‬
‫נמצאות הנקודות שהשיעור הראשון‬
‫שלהן הוא ‪.1‬‬
‫ישר המאונך לציר ה ‪.x -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪–2‬‬
‫‪–3‬‬
‫‪–2‬‬
‫‪(4 , 5) .38‬‬
‫על הישר שמשוואתו ‪y = 5‬‬
‫נמצאות הנקודות שהשיעור השני‬
‫שלהן הוא ‪.5‬‬
‫ישר המקביל לציר ה ‪ x -‬וחותך‬
‫‪9‬‬
‫את ציר ה‪ y -‬בנקודה )‪.(0 , 5‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪170‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪162 :‬‬
‫עד כה מערכת המשוואות הייתה נתונה והיה צריך למצוא את פתרונה‪.‬‬
‫בפרק זה שאלות מילוליות המובילות למערכת משוואות בשני נעלמים ממעלה ראשונה‪.‬‬
‫דוגמה ‪7‬‬
‫הקניה‪ :‬במליאה‪ .‬הספרים סגורים‪.‬‬
‫המורה יכתוב את השאלה על הלוח ובשיתוף התלמידים יבצע את תהליך הפתרון כולו‪.‬‬
‫את השאלות ניתן לפתור גם באמצעות נעלם אחד אבל ניסוח השאלות מוביל לשימוש בשני נעלמים ולבנייה‬
‫של שתי משוואות‪.‬‬
‫שלא כמו במערכת משוואות אין להסתפק בפתרון המערכת אלא לתת תשובה מילולית לשאלה‪.‬‬
‫חשוב להתייחס לנושא הבדיקה‪ .‬הצבה במשוואות כדי לוודא שהתשובה נכונה אינה מספיקה‪.‬‬
‫יש להתייחס לתוכן השאלה ולבדוק אם הפתרון שהתקבל תואם את תוכן השאלה‪.‬‬
‫שלבי הפתרון‪ :‬כתיבה של שתי משוואות בשני נעלמים‪.‬‬
‫פתרון מערכת המשוואות‪ .‬בשלב זה בדרך גרפית (הדרך היחידה שנלמדה עד כה‪).‬‬
‫בפתרון מערכת המשוואות מתנתקים מתוכן השאלה ופותרים כפי שהוצג בפרק הקודם‪.‬‬
‫מתן תשובה מילולית לשאלה‪.‬‬
‫בדיקה‪.‬‬
‫מומלץ שימוש בצבעים כמודגם בדוגמה‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪171‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪163‬‬
‫תרגיל לפתרון במליאת הכיתה‪.‬‬
‫שאל ה מילולית‪ .‬הפתרון ושלבי הפתרון כמו בדוגמה ‪.7‬‬
‫תרגילים ‪:44 – 39‬‬
‫בכל אחת מהשאלות הבאות‪:‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫כתבו שתי משוואות בשני נעלמים המקיימות את תנאי השאלה‪.‬‬
‫פתרו את מערכת המשוואות בדרך גרפית‪.‬‬
‫כתבו תשובה מילולית לשאלה‪.‬‬
‫•‬
‫בדקו האם התשובה מקיימת את הסיפור שבשאלה‪.‬‬
‫בש אלות אלו פתרון באמצעות מערכת משוואות‪ ,‬משוואה אחת לסכום ומשוואה שנייה להפרש (כמו בדוגמה ‪.)7‬‬
‫בשתי השאלות הראשונות ‪ 40 – 39‬נעשה שימוש בצבעים כפי שנעשה בדוגמה‪.‬‬
‫בכל אחת מהשאלות ‪ 43 – 41‬נתונה הצעה לבחירה של הנעלמים‪.‬‬
‫שאלות ‪ 44 – 43‬התלמידים יסמנו אחד מהנעלמים ב‪ x -‬ואת השני ב‪ .y -‬יכתבו שתי משוואות ויפתרו‪.‬‬
‫מומלץ לפתור שאלות ‪ 39‬ו ‪ 41 -‬בכיתה ואת האחרות כעבודה עצמית בכיתה או בבית על פי שיקול דעתו‬
‫של המורה‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪172‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪164‬‬
‫דוגמה ‪8‬‬
‫דוגמה לשאלה העוסקת בשיקולי כדאיות‪.‬‬
‫בשאלות כאלו להצגה הגרפית יש ערך מוסף‪ :‬מקבלים אינפורמציה מתי כדאי לבחור בדרך אחת ומתי באחרת‪.‬‬
‫התלמידים נחשפו כבר לשאלות דומות בכיתה ז (קפיצה לגובה לכיתה ז‪ ,‬חלק ג‪ ,‬עמוד ‪,)194‬‬
‫ובכיתה ח (בספר זה בפעילות אוריינות עמוד ‪ ,144‬קפיצה לגובה לכיתה ח‪ ,‬חלק א‪ ,‬עמוד ‪.)169‬‬
‫הקניה‪ :‬במליאה‪ ,‬ספרים סגורים‪.‬‬
‫המורה יציג את שיטת התשלום בכל אחת מחברות המוניות‪.‬‬
‫בשיתוף התלמידים יתרגמו כל היגד למשוואה‪ .‬מומלץ לפני בניית המשוואות להציג מספר אפשרויות מספריות‪:‬‬
‫דני נסע במונית של חברת "המהיר"‪ .‬משך הנסיעה ‪ 20‬דקות‪ .‬כמה שילם?‬
‫תומר נסע בחברה זאת במשך ‪ 35‬דקות‪ .‬כמה שילם?‬
‫לאחר מספר דוגמאות מספריות מסוג זה יכלילו ויקבלו את המשוואה המבוקשת‪.‬‬
‫ניתן להציג את הדוגמאות המספריות בטבלה‪ .‬הצגה בטבלה מדגישה את הגדלים הקבועים ואת הגדלים‬
‫המשתנים‪ .‬בטבלה המוצגת הערכים הקבועים צבועים שחור‪,‬‬
‫המחיר‬
‫זמן הנסיעה‬
‫המשתנים צבועים בכחול‪.‬‬
‫נסמן את מחיר הנסיעה ב‪ .y -‬המשוואה‪.y = 10 + 2x :‬‬
‫באופן דומה יגיעו למשוואה המתארת את הקשר בין זמן הנסיעה‬
‫דני‬
‫תומר‬
‫בדקות‬
‫‪20‬‬
‫‪35‬‬
‫בשקלים‬
‫‪10 + 220‬‬
‫‪10 + 235‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪10 + 2x‬‬
‫למחיר בחברת המוניות "זהיר"‪.‬‬
‫הפתרון גרפי כפי שלמדו‪ .‬נקודת החיתוך של שני הישרים היא )‪.(5 , 20‬‬
‫המשמעות‪ :‬בשתי חברות המוניות מחיר נסיעה בת ‪ 5‬דקות הוא ‪ 20‬שקלים‪.‬‬
‫הכללה‬
‫הגרף מספק מידע נוסף‪:‬‬
‫לנסיעות קצרות של פחות מ‪ 5 -‬דקות כדאי לנסוע במונית של חברת המוניות "המהיר"‪.‬‬
‫לנסיעות שאורכן יותר מ‪ 5 -‬דקות כדאי לנסוע במונית של חברת המוניות "זהיר"‪.‬‬
‫כיצד רואים זאת בגרף? למשל‪ ,‬מעבירים קו אנכי לציר ה ‪ x -‬בנקודה )‪.(3 , 0‬‬
‫קו זה חותך את שני הגרפים‪ .‬נקודת החיתוך עם הקו האדום היא מתחת לנקודת החיתוך עם הקו הכחול‪ ,‬כלומר‬
‫שיעור ה ‪ y -‬בנקודת החיתוך עם הקו האדום קטן מנקודת החיתוך עם הגרף הכחול‪ .‬כלומר‪ ,‬מחיר הנסיעה‬
‫נמוך יותר‪.‬‬
‫באותו אופן מעבירים קו אנכי לציר ה‪ x -‬בנקודה כלשהי מימין לנקודת החיתוך של הגרפים‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪173‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪165‬‬
‫תרגיל לפתרון במליאת הכיתה‪.‬‬
‫שאלה נוספת העוסקת בשיקולי כדאיות‪.‬‬
‫הקניה‪ :‬במליאה‪ .‬ספרים סגורים‪ .‬הנחיות זהות לאלו שבדוגמה ‪.8‬‬
‫יש לשים לב להקצאות השונות שעל הצירים‪ .‬בדוגמה ‪ 8‬ההקצאה על ציר ה‪ y -‬היא ברווחים של ‪.5‬‬
‫מומלץ לשאול את התלמידים מדוע נבחרה הקצאה זאת‪.‬‬
‫בדוגמה ‪ 9‬ההקצאה על ציר ה‪ y -‬היא ברווחים של ‪ .100‬מדוע?‬
‫כמובן ניתן לבחור ביחידות אחרות‪ .‬רצוי שהבחירה תהיה כזאת שניתן יהיה לסרטט את הגרף של כל אחת‬
‫מהמשוואות באמצעות נקודות ששיעוריהן נקודות שמיקומן על הציר הוא בנקודות מפגש של קווי האורך‬
‫והרוחב שבמערכת הצירים‪.‬‬
‫בדוגמה זאת כדי לסרטט את הגרף של משוואה (‪ )1‬ניתן לבחור בנקודות‪(20 , 900) :‬‬
‫או )‪ (10 , 450‬שגם אותה ניתן לסמן במערכת הצירים בדיוק סביר‪.‬‬
‫בסרטוט הגרף של משוואה (‪ )2‬נבחר בנקודות‪(20 , 900) :‬‬
‫בדוגמה זו פתרון חלקי‪ .‬נתונים ההיגדים והסרטוט‪.‬‬
‫)‪(10 , 550‬‬
‫)‪(0 , 0‬‬
‫)‪.(0 , 0‬‬
‫במסגרת ההקניה מומלץ לבנות את המשוואות ולסרטט את הגרפים המתאימים על הלוח בשיתוף פעולה‬
‫של התלמידים‪ .‬לאחר מכן לפתוח את הספר ולענות על השאלות הנוספות כאשר נעזרים בסרטוט שבספר‬
‫שיש להניח שהוא מדויק יותר‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .46 – 45‬יישום ישיר של הדוגמאות‪.‬‬
‫להלן הפתרונות‪.‬‬
‫‪ .45‬המשוואות‪:‬‬
‫‪y = 200 + 20x‬‬
‫‪y = 250 + 15x‬‬
‫‪(1) y = 200 + 20x‬‬
‫‪(2) y = 250 + 15x‬‬
‫נקודות אפשריות לסרטוט הישרים‬
‫(‪(0 , 200) (5 , 300) (10 , 400) :)1‬‬
‫(‪(0 , 250) (10 , 400) :)2‬‬
‫תשובה‪( :‬א) בהשאלה של ‪ 10‬סרטים התשלום בשני המסלוליים יהיה שווה‪.‬‬
‫(ב) לאדם השואל פחות מ‪ 10 -‬סרטים לחודש כדאי לבחור במסלול א‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪174‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪166‬‬
‫‪ .46‬המשוואות‪:‬‬
‫‪(1) y = 90x‬‬
‫‪(2) y = 1,200 + 50x‬‬
‫נקודות אפשריות לסרטוט הישרים‬
‫)‪(0 , 90‬‬
‫)‪(10 , 900‬‬
‫(‪:)1‬‬
‫(‪:)2‬‬
‫)‪(0 , 1,200) (10 , 1,700‬‬
‫עבור ‪ 30‬שיעורי נהיגה התשלום בשני בתי הספר שווה‪.‬‬
‫(ג)‬
‫מעל ‪ 30‬שיעורים‪.‬‬
‫‪ .47‬בתרגיל זה כיוון הפוך‪ :‬נתונים הגרפים ועל התלמיד לתרגם כל גרף למשוואה מתאימה‪.‬‬
‫מומלץ לפתור את סעיפים (א) – (ב) במליאת הכיתה‪.‬‬
‫שואלים‪ :‬מה המשמעות של נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה‪.y -‬‬
‫התשלום הקבוע‪ :‬בגרף האדום אין תשלום קבוע‪ .‬בגרף הכחול‬
‫תשלום קבוע של ‪ 400‬שקלים‪.‬‬
‫נבחר על כל גרף נקודה ששיעוריה מספרים שלמים‪.‬‬
‫הגרף האדום עובר דרך ראשית הצירים‪ .‬משוואתו מהסוג ‪.y = mx‬‬
‫נקודה על הגרף שיעוריה מספרים שלמים )‪ . (2 , 100‬נתרגם למילים‪ :‬עבור ‪ 2‬ביקורים‬
‫משלמים ‪ 100‬שקלים‪ .‬התשלום לביקור אחד הוא ‪ 50‬שקלים‪.‬‬
‫המשוואה‪.y = 50x :‬‬
‫נקודת החיתוך של הגרף הכחול עם ציר ה‪ y -‬היא )‪.(0 , 400‬‬
‫המשוואה היא‪ .y = mx + 400 :‬נקודה על הגרף שיעוריה מספרים‬
‫שלמים‪ .(10 , 500) :‬נתרגם למילים‪ :‬עבור ‪ 10‬שיעורים משלמים ‪ 500‬שקלים‪ ,‬מתוכם ‪ 400‬שקלים‬
‫הם תשלום קבוע‪ .‬המחיר לכל ביקור הוא ‪ 10‬שקלים‪( .‬או מציבים במשוואה ונחשב את ‪ m‬כפי שלמדו‬
‫במציאת הייצוג האלגברי של הפונקציה הקווית)‪ .‬המשוואה‪.y = 400 + 10x :‬‬
‫(ג) דני מבקר במכון הכושר ‪ 10‬פעמים בחודש‪.‬‬
‫(ד) יוסי מבקר במכון הכושר יותר מ‪ 10 -‬פעמים בחודש‪.‬‬
‫(ה) ההפרש בתשלום עבור מי שמבצע ‪ 5‬ביקורים בחודש הוא ‪ 200‬שקלים‪.(450 – 250) .‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪175‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪167‬‬
‫מערכות משוואות מיוחדות – פתרון גרפי‬
‫המטרה‪ :‬פתרון של מערכת משוואות שאין לה פתרון ופתרון של מערכת משוואות שיש לה אינסוף פתרונות‪.‬‬
‫דוגמה ‪9‬‬
‫פתרון מערכת משוואות שאין לה פתרון‪.‬‬
‫הקניה‪ :‬במליאה‪ .‬ספרים סגורים‪.‬‬
‫תהליך הפתרון זהה לדרך הפתרון של מערכת משוואות בשני נעלמים שכבר נלמד קודם לכן‪.‬‬
‫בשיתוף התלמידים‪ ,‬מציאת שתי נקודות המקיימות את המשוואה ונקודה שלישית לביקורת‪ ,‬וסרטוט הישרים‬
‫במערכת צירים‪.‬‬
‫כפי שנלמד‪ ,‬פתרון המערכת הוא הזוג הסדור של נקודת החיתוך של שני הישרים‪.‬‬
‫לאחר ביצוע תהליך הפתרון מומלץ לחזור לספר ואת הדיון על הפתרון לבצע מול הספר בו (יש להניח) סרטוט‬
‫מדויק יותר‪.‬‬
‫מתקבלים שני ישרים מקבילים‪ .‬המשמעות אין נקודת חיתוך‪ ,‬כלומר אין נקודה שהיא משותפת לשני הישרים‪.‬‬
‫המסקנה‪ :‬למערכת משוואות זאת אין פתרון‪ :‬אין זוג מספרים שהוא פתרון גם של המשוואה האחת וגם של‬
‫המשוואה השנייה‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .49 – 48‬יישום ישיר של הנלמד בדוגמה ‪.9‬‬
‫ליד כל תרגיל מערכת צירים שתשמש לפתרון התרגיל‪.‬‬
‫)‪(0 , 8‬‬
‫‪‬‬
‫הצגת הפתרונות‪:‬‬
‫‪ .48‬אין פתרון למערכת זו‪.‬‬
‫‪‬‬
‫)‪(4 , 0‬‬
‫‪ ‬‬
‫)‪(0 , 6‬‬
‫)‪(3 , 0‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪176‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪168‬‬
‫‪ .49‬אין פתרון למערכת זו‪.‬‬
‫‪(0 , 7‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪(7 , 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪(0 , 4‬‬
‫)‪(4 , 0‬‬
‫דוגמה ‪10‬‬
‫פתרון מערכת משוואות שיש לה אינסוף פתרונות‪.‬‬
‫הקניה‪ :‬במליאה‪ .‬ספרים סגורים‪.‬‬
‫בתהליך הפתרון‪ ,‬מקבלים שני ישרים ה מכסים זה את זה‪ ,‬למעשה‪ ,‬לאחר סרטוט הישר האחד‪ ,‬נקבל שהישר‬
‫השני מכסה ב דיוק את הראשון‪ .‬בתהליך ההקניה‪ ,‬נתון הייצוג הגרפי של ישר אחד‪ ,‬ועל התלמידים להוסיף‬
‫למערכת הצירים את הישר השני‪ .‬סרטוט של ישר אחד מפחית את האפשרויות לטעות ומאפשר להתמקד‬
‫רק בסרטוט הישר השני ובמשמעות של מה שהתקבל‪ :‬האם טעיתי? ננסה שוב‪ ,‬קיבלתי שוב את אותו ישר‪,‬‬
‫מה המשמעות?‬
‫כפי שנלמד‪ ,‬פתרון המערכת הוא הזוג הסדור של נקודת החיתוך של שני הישרים‪.‬‬
‫המשמעות ‪ :‬כל הנקודות שעל הישר הן פתרון גם של המשוואה הראשונה וגם של המשוואה השנייה‪.‬‬
‫המסקנה‪ :‬למערכת משוואות זאת יש אינסוף פתרונות‪.‬‬
‫חשוב להדגיש‪ :‬המשמעות של אינסוף פתרונות כאן אינו זהה למשמעות של אינסוף פתרונות במשוואה עם‬
‫נעלם אחד‪ .‬במשוואה עם נעלם אחד‪ ,‬המשמעות של אינסוף פתרונות היא שכל מספר השייך לקבוצת ההצבה‬
‫הוא פתרון של המשוואה‪( .‬קפיצה לגובה לכיתה ח חלק א עמודים ‪.)239 – 236‬‬
‫במערכת משוואות עם שני נעלמים‪ :‬לא כל זוג מספרים הוא פתרון של מערכת המשוואות‪ .‬רק זוגות מספרים‬
‫מסוימים‪ ,‬שהם פתרון של כל אחת מהמשוואות‪ ,‬כלומר הם שיעורי נקודות הנמצאים על הישר שהוא הייצוג‬
‫הגרפי של שתי המשוואות‪ ,‬הם פתרונות של מערכת המשוואות‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪177‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪169 :‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .53 – 50‬על התלמידים לסמן את המצב ההדדי של הישרים שהם הייצוגים הגרפיים של שתי המשוואות‬
‫שבמערכת‪ :‬ישרים נחתכים‪ ,‬ישרים מקבילים‪ ,‬או ישרים מתלכדים‪.‬‬
‫המטרה‪ :‬קישור בין מספר הפתרונות למצב ההדדי שבין הישרים‪.‬‬
‫התלמידים יסרטטו את הישרים במערכת הצירים הנתונה ויסמנו את המצב ההדדי המתאים לכל אחת‬
‫ממערכות המשוואות‪.‬‬
‫בסיום התרגיל‪ ,‬מומלץ לערוך דיון שיעסוק בשאלה‪ :‬האם ניתן לדעת מתוך התבוננות באופי המשוואות‬
‫(מבלי לסרטט) את המצב ההדדי המתאים?‬
‫(דיון כזה מז מן חזרה והעמקה בתכונות ובפעולות שנלמדו בעבר‪ :‬סידור המשוואות בצורה שונה מזו הנתונה‬
‫בספר‪ ,‬השוואה בין המ שוואות תוך התבוננות במקדמים‪ ,‬חזרה על משמעות המושג‪ :‬משוואות שקולות‪.‬‬
‫כך שהתלמידים יקבלו ערך מוסף מדיון מתמטי מסוג זה‪ ,‬גם אם לא כולם יפנימו את הקשר שבין מקדמי‬
‫המשוואות‪ ,‬המצב ההדדי של הישרים‪ ,‬ומספר הפתרונות של מערכת המשוואות‪).‬‬
‫‪ .50‬המקדמים במשוואה (‪ )1‬גדולים פי ‪ 3‬מהמקדמים המתאימים שבמשוואה (‪ .)2‬כלומר‪,‬‬
‫המשוואות הן משוואות שקולות‪ ,‬משוואה אחת מתקבלת מהמשוואה השנייה באמצעות ביצוע פעולה‬
‫מותרת של כפל ב ‪ .3 -‬לשתי המשוואות בדיוק אותם פתרונות‪ .‬המצב ההדדי של הישרים‪ :‬מקבילים‪.‬‬
‫‪ .51‬משוואה (‪ )2‬מתקבלת ממשוואה (‪ )1‬באמצעות כפל ב ‪ 2 -‬של כל המקדמים‪ .‬המשוואות שקולות‪.‬‬
‫למערכת המשוואות יש אינסוף פתרונות‪ .‬המצב ההדדי‪ :‬ישרים מקבילים‪.‬‬
‫‪ .52‬המשוואות אינן שקולות‪ .‬אין פעולה מותרת באמצעותה ניתן לעבור ממשוואה אחת למשוואה השנייה‪.‬‬
‫המצב ההדדי‪ :‬הישרים נחתכים‪ .‬שיעורי נקודת החיתוך הם הפתרון‪ .‬למערכת המשוואות פתרון אחד בלבד‪.‬‬
‫‪ .53‬האם קיימים שני מספרים ‪ x‬ו‪ ,y -‬שההפרש ביניהם הוא ‪ 7‬וגם ההפרש ביניהם הוא ‪ ? 3‬לא ייתכן‪.‬‬
‫למערכת משוואות זו אין פתרון‪ .‬המצב ההדדי‪ :‬הישרים מקבילים‪.‬‬
‫הפתרונות הגרפיים בעמוד הבא‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪178‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪. 50‬‬
‫‪. 51‬‬
‫‪. 52‬‬
‫‪. 53‬‬
‫‪169‬‬
‫)‪(1‬‬
‫)‪(1‬‬
‫)‪(2‬‬
‫הפתרון‪)3 , 2( :‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪‬‬
‫‪169‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪179‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪170‬‬
‫נתבונן תחילה‬
‫מטרת הפעילויות להרגיל את התלמידים לחשוב לפני שמתחילים בביצוע‪.‬‬
‫זאת הזדמנות לפיתוח התובנה המספרית‪.‬‬
‫מערכות משוואות בהן הישרים הם ישרים מקבילים מציגות מצב בלתי אפשרי כמו למשל‪ ,‬סכום של אותם שני‬
‫מספרים נותן תשובות שונות וכדומה‪( .‬ראו הנחייה לתרגיל ‪.)49‬‬
‫במערכות משוואות בהן הישרים מתלכדים‪ ,‬משוואה אחת היא כפולה (במספר שונה מ‪ )0 -‬של המשוואה השנייה‪.‬‬
‫הפעילויות המוצגות בעמוד זה הן בהמשך לדיון שנערך ב פתרון תרגילים ‪.49 – 46‬‬
‫את הפעילויות יבצעו במליאת הכיתה‪.‬‬
‫א‪ .‬נתונה מערכת משוואות ולידה התיאור הגרפי המתאים‪ .‬על התלמידים להתבונן במערכת המשוואות‪,‬‬
‫לבדוק את הקשר בין שתי המשוואות‪ ,‬המצב ההדדי שבין הישרים ולקבוע את מספר הפתרונות של כל‬
‫המערכת‪.‬‬
‫התלמידים יכתבו את מספר הפתרונות של כל אחת ממערכות משוואות אלו‪,‬‬
‫בדיון בכיתה מבקשים מהתלמידים להתבונן בשלוש מערכות המשוואות שבשורה הראשונה‪ .‬בכולן‬
‫הגרפים הם ישרים מקבילים‪ .‬מה משותף לכל שתי משוואות המרכיבות כל מערכת? בשתי המשוואות‪,‬‬
‫המקדמים של ‪ x‬ו‪ y -‬הם זהים‪ .‬המספר החופשי שונה‪.‬‬
‫במערכת המשוואות האמצעית‪ :‬במשוואה הראשונה הסכום של ‪ x‬ו‪ y -‬הוא ‪ 4‬ובמשוואה השנייה סכום‬
‫זה הוא )‪ .(–2‬הייתכן?‬
‫במערכת המשוואות שמשמאל‪ :‬באחת המשוואות ההפרש בין ‪ y‬ל‪ x -‬הוא ‪ ,2‬ובמשוואה השנייה‬
‫הפרש זה הוא )‪ . (–3‬הייתכן?‬
‫במערכת המשוואות שמימין‪ y :‬שווה לסכום של ‪ 2x‬ו‪ ,1 -‬וגם לסכום של ‪ 2x‬ו‪.4 -‬‬
‫הייתכן?‬
‫ניתן בשלב זה לבקש מהתלמידים לכתוב מערכת משוואות משלהם‪ ,‬שגם בפתרון הגרפי שלה מקבלים‬
‫שני ישרים מקבילים‪ .‬למערכות כאלו אין פתרון‪.‬‬
‫נעבור למערכות המשוואות שבקבוצה השנייה‪ .‬בשתי המערכות האמצעית וזו שמימין מסורטט רק ישר אחד‪.‬‬
‫מה המשמעות? ישר זה הוא גם הייצוג הגרפי של המשוואה הראשונה וגם הייצוג הגרפי של המשוואה השנייה‪.‬‬
‫נבקש מהתלמידים להתבונן במשוואות המרכיבות את המערכת‪ .‬משוואה אחת מתקבלת ממשוואה שנייה‬
‫באמצעות כפל (חילוק) באותו מספר (שונה מ ‪ .)0 -‬שתי המשוואות שבמערכת הן משוואות שקולות‪.‬‬
‫בייצוג הגרפי של מערכת המשוואות שמשמאל מתקבלים שני ישרים נחתכים‪ .‬למערכת זו פתרון אחד‪.‬‬
‫נפנה את התלמידים לסעיף (ב) כדי לקבוע את המצב ההדדי של המערכות הנותרות כאשר לא נתון סרטוט מלווה‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪180‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪171 :‬‬
‫‪ .54‬התאמה בין מערכות משוואות לבין תיאורים גרפיים‪.‬‬
‫כדי לבצע את ההתאמה ניתן לבקש מהתלמידים לפתור כל מערכת בדרך גרפית‪.‬‬
‫לחילופין‪ ,‬ניתן לנצל תרגיל זה לפיתוח התובנה המספרית‪:‬‬
‫מערכת (א)‪ :‬במשוואה אחת‪ :‬סכום של שני מספרים הוא ‪ .1‬במשוואה שנייה סכום אותם שני מספרים‬
‫הוא ‪.4‬‬
‫האם ייתכן? אין פתרון‪ .‬הישרים מקבילים‪.‬‬
‫גם במערכת (ג) מצב דומה‪ :‬ההפרש בין אותם שני מחוברים שווה גם ‪ 3‬וגם ‪ .1‬מצב שלא ייתכן‪.‬‬
‫הישרים מקבילים‪.‬‬
‫כדי להחליט איזה מהגרפים בהם מוצגים ישרים מקבילים מתאים למערכת (א) ואיזה מתאים למערכת (ג)‪,‬‬
‫נבדוק את שיפוע הישרים‪ :‬חיובי או שלילי‪ ,‬ו‪/‬או את נקודות החיתוך עם ציר ה‪.y -‬‬
‫קל יותר לקבוע פרמט רים אלו כאשר המשוואות כתובות בצורה המפורשת‪.y = mx + b .‬‬
‫למערכת (א) מתאים גרף (‪.)1‬‬
‫למערכת (ג) מתאים גרף (‪.)2‬‬
‫מערכת (ב)‪ :‬סכום של שני מספרים שווה להפרש של אותם שני מספרים‪.‬‬
‫האם ייתכן? אם כן באיזה מקרה? כאשר המחובר השני )‪ (y‬הוא ‪ .0‬כשמוסיפים ‪ ,0‬או כשמחסרים ‪,0‬‬
‫מתקבלת אותה תוצאה‪ .‬נקודה זו בה ‪ y = 0‬היא נקודת החיתוך של שני הישרים‪ .‬מתאים לגרף (‪.)5‬‬
‫מערכת (ד)‪ :‬המשוואה שנייה היא כפולה (פי ‪ )2‬של משוואה ראשונה‪ .‬המשוואות שקולות‪.‬‬
‫הייצוג הגרפי של שתיהן הוא אותו ישר‪ .‬מתאים לגרף (‪.)6‬‬
‫מערכות (ה – ו)‪ :‬אין קשר מיוחד בין המשוואות‪ .‬המשוואות אינן שקולות‪ .‬פתרון אחד‪ .‬נפתור ונבדוק‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫ההתאמה‪:‬‬
‫א–‪1‬‬
‫ד–‪6‬‬
‫ב–‪5‬‬
‫ה–‪3‬‬
‫ג–‪2‬‬
‫ו –‪4‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪181‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪172‬‬
‫תרגילים‬
‫ייפתרו על פי שיקול דעת המורה‪.‬‬
‫‪ .55‬במערכת המשוואות מסורטטים יש רים‪ .‬ליד כל ישר כתובה המשוואה המתאימה‪.‬‬
‫בכל סעיף על התלמידים לבחור בזוג משוואות שמספר הפתרונות של המערכת שהם יוצרים נתון בשאלה‪.‬‬
‫שיקולי הדעת בהתאם להנחיות שנתנו בשלושת העמודים הקודמים‪.‬‬
‫הפתרונות‪:‬‬
‫(א) ישרים מקבילים‪:‬‬
‫(ב) – (ג)‬
‫‪y=x+2‬‬
‫‪x–y=3‬‬
‫ישרים נחתכים‪:‬‬
‫יש ארבע מערכות משוואות אפשריות‪ .‬מתחת לכל מערכת כתוב הפתרון שלה‪. .‬‬
‫‪y=x+2‬‬
‫‪y=x+2‬‬
‫‪x–y=3‬‬
‫‪x–y=3‬‬
‫‪y = –4x + 7‬‬
‫‪y + 1x = 12‬‬
‫‪y = –4x + 7‬‬
‫‪y + 1x = 12‬‬
‫)‪(1 , 3‬‬
‫)‪(4 , 6‬‬
‫)‪(2 , –1‬‬
‫)‪(6 , 3‬‬
‫‪ .56‬משימות דומות לאלו שבשאלה ‪ .55‬לא מצורף סרטוט‪ .‬הפתרון על סמך התבוננות באופי המשוואות‪.‬‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫‪x + y = 10‬‬
‫(א)‬
‫‪x + y = 20‬‬
‫במערכת שתי משוואות המתארות את הסכום של ‪ x‬ו‪.y -‬‬
‫(ב)‬
‫סכום זה שווה גם ‪ 20‬וגם ‪ .10‬האם ייתכן?‬
‫‪x + y = 10‬‬
‫‪5x + 5y = 50‬‬
‫המקדמים של המשוואה השנייה הם כפולה (פי ‪ )5‬של מקדמי המשוואה הראשונה‪.‬‬
‫המשוואות שקולות‪.‬‬
‫אפשר גם לחלק את המשוואה השנייה ב‪ . 5 -‬נקבל את המשוואה הראשונה‪ .‬לשתי המשוואות אותם פתרונות‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪182‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪173‬‬
‫דוגמה ‪ :11‬בסיום הפרק מוצגות ‪ 3‬מערכות משוואות‪.‬‬
‫המטרה‪ :‬באמצעות פתרון גרפי אין אפשרות להגיע לפתרון מדויק‪.‬‬
‫הקניה ‪ :‬המורה יחלק את הכיתה לשלוש קבוצות‪ .‬כל קבוצה תתמודד עם פתרון של מערכת משוואות אחת‪.‬‬
‫לאחר מספר דקות של התנסות התלמידים יציגו את הסרטוטים שבצעו על הלוח‪.‬‬
‫יש להניח כי התלמידים לא הצליחו להגיע לנקודת החיתוך של שני הישרים‪.‬‬
‫במערכת משוואות (א)‪ :‬יש קושי בסרטוט מדויק‪ .‬במשוואה אחת שיעורי הנקודות הם מספרים דו ספרתיים‪.‬‬
‫במשוואה השנייה שיעורי הנקודות הם מספרים תלת ספרתיים‪.‬‬
‫יש קושי בקביעת הערכים על שני הצירים ובסרטוט מדויק של שני הישרים‬
‫באותה מערכת צירים‪.‬‬
‫במערכת משוואות (ב)‪ :‬שיעורי נקודת החיתוך אינם מספרים שלמים‪,‬‬
‫במערכת משוואות (ג)‪ :‬נקודת החיתוך נמצאת מחוץ לסרטוט סביר המסתמך על הנקודות המוצעות בספר‪.‬‬
‫הקושי במציאת הפתרון מביא לצורך בדרכים נוספות לפתרון מערכות משוואות בשני נעלמים ממעלה ראשונה‪.‬‬
‫הדרכים הנוספות תלמדנה בהמשך‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪183‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪174‬‬
‫אוריינות – אולמות תצוגה‬
‫מתוך "הפעילויות לטיפוח אוריינות מתמטית‪ ,‬משרד החינוך התרבות והספורט"‪.‬‬
‫הפעילות מותאמת לאוכלוסיית היעד של הספר‪.‬‬
‫מאפייני המשימה‪:‬‬
‫•‬
‫יישום מודל מתמטי לשאלה מציאותית‪.‬‬
‫•‬
‫חישובי שטחים וחישובי היקפים‪.‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫סידור מצולעים על פי היקפיהם‪.‬‬
‫סידור מצולעים על פי שטחם‪.‬‬
‫הבנת העיקרון לפיו שינוי בהיקף מצולע אינו גורר בהכרח שינוי בשטח‪ .‬ושינוי בשטח אינו גורר בהכרח‬
‫שינוי בהיקף‪.‬‬
‫• בחינת שיקולי כדאיות‪( .‬תרגום לעלות‪).‬‬
‫(א) האולמות בעלי השטח הגדול יותר הם אולמות (‪ )1‬ו ‪.)4( -‬‬
‫ניתן לחשב את השטח של כל אחד מהאולמות בנפרד‪.‬‬
‫אפשר גם להתבונן תחילה‪ .‬בהשוואה בין אולמות (‪ , )3( , )2‬ו‪ :)4( -‬אולם (‪ )4‬צורתו מלבן‪.‬‬
‫ששטחו ‪ 80‬מ"ר (מכפלת צלעות סמוכות‪).‬‬
‫אולמות (‪ )2‬ו‪ )3( -‬הם מלבנים שנגרע מהם חלק כלשהו‪ ,‬כלומר שטחם קטן משטח אולם (‪.)4‬‬
‫אולם (‪ :)1‬מורכב משני אולמות‪ .‬מהמלבן שצלעותיו ‪ 8‬ו‪ 10 -‬מטרים‬
‫(ב)‬
‫נגרע מלבן שצלעותיו ‪ 3‬ו‪ 5 -‬מטרים‪ .‬אבל מלבן זה נוסף מימין‪.‬‬
‫כלומר שטח האולם כולו שווה לשטח אולם (‪.)4‬‬
‫יש למצוא את האולם שהיקפו הגדול ביותר כדי שניתן יהיה להציג יותר‬
‫אולם (‪) 1‬‬
‫פריטים בחלונות הראווה‪ .‬נחשב את היקפי האולמות‪.‬‬
‫אולם (‪)1‬‬
‫אולם (‪:)1‬‬
‫ההיקף שווה לסכום ההיקפים של המצולע הכחול והמלבן האדום‪.‬‬
‫היקף המצולע הכחול שווה להיקף אולם (‪ )4‬הצבוע בירוק‪ ,‬שצלעותיו ‪ 8‬ו‪10 -‬‬
‫מטרים‪ .‬אורך חלונות הראווה של אולם (‪ )1‬שווה לסכום ההיקפים של אולם (‪)4‬‬
‫אולם (‪)4‬‬
‫והמלבן האדום‪ .‬סך‪-‬הכול ‪ 52‬מטרים‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪184‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪174‬‬
‫אין צורך לחשב את אורך חלונות הראווה של אולם (‪ )4‬מכיוון שברור שהוא קטן מזה של אולם (‪.)1‬‬
‫לשני האולמות שטחים שווים אבל היקפים שונים‪.‬‬
‫מה אורך חלונות הראווה באולמות (‪ )2‬ו ‪?)3( -‬‬
‫היקף אולם (‪ )2‬שווה להיקף אולם (‪.)4‬‬
‫לאולמות (‪ )2‬ו‪ )4( -‬היקפים שווים אבל שטחים שונים‪.‬‬
‫אולם (‪)2‬‬
‫היקף אולם (‪ :)3‬גדול יותר מהיקף אולמות (‪ )2‬ו ‪.)4( -‬‬
‫אולם (‪)3‬‬
‫את הצלע הצבועה באדום ניתן להמיר בקטע המקוטע הצבוע באדום‪,‬‬
‫כך היקף האולם שווה להיקף המלבן שצלעותיו ‪ 8‬ו ‪ 10 -‬מטרים‬
‫ובנוסף יש להוסיף את אורך שתי הצלעות הצבועות בכחול‪.‬‬
‫היקף האולם‪ :‬היקף המלבן ‪ 36‬מטרים ועוד פעמיים ‪ 6‬מטרים‪ ,‬סך ‪-‬הכול ‪ 48‬מטרים‪.‬‬
‫מסקנה‪ :‬באולם (‪ )1‬אורך חלונות הראווה הוא הגדול ביותר‪.‬‬
‫(ג) התשובה‪ :‬אולם (‪.)1‬‬
‫שילוב של התשובות של סעיפים (א) ו‪( -‬ב)‪.‬‬
‫בסעיף (א) מצאנו כי אולמות (‪ )1‬ו‪ ) 4( -‬שטחים שווים והם בעלי השטח הגדול יותר‪ .‬מבין שני אולמות אלו יש לבחור באולם שאורך חלונות הראווה שלו הוא הארוך יותר‪.‬‬
‫בסעיף (ב) מצאנו כי באולם (‪ )1‬אורך חלונות הראווה הוא הגדול ביותר‪.‬‬
‫(ד) חישוב עלות השכירות של אולם (‪ ,)2‬כאשר המחיר מורכב ממחיר למ"ר שטח ומחיר מטר אורך חלונות ראווה‪.‬‬
‫שטח האולם‪ 71 :‬מ"ר‪ .‬שטח המלבן פחות שטח הריבוע שנגרע מהמלבן‪.‬‬
‫היקף חלונות הראווה‪ 36 :‬מטרים‪.‬‬
‫העלות הכוללת‬
‫‪ 3,560‬שקלים‪.‬‬
‫)‪)71  40 + 36  20 = 3,560‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪185‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪175‬‬
‫בחנו את עצמכם‬
‫תרגילי חזרה‪ .‬בכל פעילות של נחזור ונתרגל תרגילים העוסקים בנושא אחד (לעיתים שניים)‪.‬‬
‫בקובץ זה אוסף תרגילים מנושאים שונים‪.‬‬
‫מו מלץ לתת לתלמידים עבודה שבועית של כשמונה עד עשרה תרגילים‪ ,‬לבדוק את העבודות ולהעלות במליאת‬
‫הכיתה שאלות בהן התעוררו קשיים‪ .‬אם מספר התלמידים שהתקשו בפתרון היא קטנה‪ ,‬מומלץ‪ ,‬כאשר התלמידים‬
‫עובדים עצמאית (או בזוגות) בכיתה‪( ,‬או במסגרת שיעורים פרטניים) לכנס קבוצה זו ולעבוד איתם על השאלות‬
‫הבעייתיות‪.‬‬
‫שאלות ‪ 6 – 1‬עוסקות בכתיבת יחס‪ ,‬חלק של שלם‪ ,‬אחוזים‪ ,‬והסתברות‪ .‬בכל השאלות יש לדעת את השלם ואת‬
‫החלק או את שני החלקים שסכומם הוא השלם‪ .‬לכל שאלה מילולית יש לנסח תשובה מילולית ולא להסתפק בחישוב‪.‬‬
‫ניתן לפני שניגשים לפתרון השאלות להקדיש כ‪ 20 -‬דקות מהשיעור לחזרה תוך פתרון שאלות דומות‪.‬‬
‫‪ .1‬שאלה בסיסית בהסתברות‪ .‬הטלת קובייה כאשר על פאותיה רשומים שמות ימי החול של השבוע‪ ,‬על כל פאב‬
‫שם אחר (ולא מספרים)‪ .‬לקובייה ‪ 6‬פאות‪ .‬לכן ההסתברות שהיא תיפול על פאה מסוימת היא ‪.‬‬
‫(א) ימים המתחילים באות "ר"‪ :‬ראשון ורביעי‪ .‬ההסתברות ‪. = ‬‬
‫(ב) ימים המתחילים באות "ש"‪ :‬שני‪ ,‬שלישי‪ ,‬שישי‪( .‬רק ימי חול)‪. :‬‬
‫‪ .2‬חלוקה ביחס‪ .‬נפנה תלמידים מתקשים לעמודים המתאימים בספר לעבור על הדוגמאות הרלבנטיות‪.‬‬
‫(קפיצה לגובה לכיתה ח חלק א עמודים ‪.)62 – 59‬‬
‫‪( .3‬א) כמה הם ‪ 4.5‬מתוך ‪ ? 12‬הקושי הוא בעיסוק במספרים שאינם שלמים‪.‬‬
‫‪4.5‬‬
‫להרחיב ולצמצם (אם ניתן) עד שמקבלים שבר מצומצם‪.‬‬
‫נמליץ לכתוב את השבר עם המספרים הנתונים‪:‬‬
‫‪12‬‬
‫הרחבה‪ :‬ניתן להרחיב באמצעות ביטול הנקודה העשרונית‪ .‬ביטול הנקודה העשרונית פירושו כפל פי ‪.10‬‬
‫‪3‬‬
‫‪45‬‬
‫‪ .‬מצמצמים ב ‪( :15 -‬אפשר ב ‪ 5 -‬ואחר כך ב‪ .)3 -‬מקבלים‪. :‬‬
‫כופלים מונה ומכנה פי ‪ .10‬מקבלים‪:‬‬
‫‪120‬‬
‫‪8‬‬
‫ניתן גם להרחיב את השבר פי ‪ .2‬ולאחר מכן לצמצם ב‪.3 -‬‬
‫(ב) המרה לאחוזים של אותו שלם‪ .‬כפל פי ‪ .100‬מקבלים‪. 37.5% :‬‬
‫‪ .4‬כתיבת היחס בסדר המופיע בניסוח המילולי‪ .‬ראשית יש לחשב את אורך חלק הדרך שעדיין נשאר‪.‬‬
‫היחס‪ 80 : 350 :‬היחס המצומצם‪.8 : 35 :‬‬
‫‪35  52‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .5‬חישוב ערך האחוז‪ .‬כמה הם ‪( 35%‬השלמה של ‪ 65%‬ל ‪ )100% -‬מ‪ ? 52 -‬התרגיל‪ 18.2 :‬‬
‫‪100‬‬
‫תשובה‪ :‬שטח האגמים בפארק הוא ‪ 18.2‬קמ"ר‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪186‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪175 :‬‬
‫‪( .6‬א) היחס הנדרש ‪ .120 : 3‬היחס המצומצם ‪.1 : 40‬‬
‫(ב) בשעה ‪ 60‬דקות‪ .‬המדפסת מדפיסה ‪ 2,400‬עמודים בשעה‪.‬‬
‫(ג) פרופורציה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪40 1,000‬‬
‫נכתוב משוואה ונקבל ‪ 1,000‬עמודים יודפסו במשך ‪ 25‬דקות‪ .‬ניתן להיעזר בטבלה‪:‬‬
‫זמן בדקות‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫מספר דפים‬
‫‪1,000‬‬
‫‪40‬‬
‫תרגילים ‪ :8 – 7‬חזקות‪.‬‬
‫‪ .7‬כתיבה בכתיב חזקות‪.‬‬
‫‪ .8‬סידור חזקות מהקטן לגדול‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪; (–5‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪; (–3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪; 5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3 ; –3‬‬
‫‪2‬‬
‫בכל החזקות המעריך הוא ‪ .2‬חזקה שהמעריך שלה הוא ‪ 2‬היא תמיד חיובית‪.‬‬
‫שיקולי הדעת‪ :‬מהו בסיס החזקה? (חיובי או שלילי‪ ,‬או מי יותר גדול‪).‬‬
‫‪32‬‬
‫‪(–3)2‬‬
‫‪–32‬‬
‫בסיס החזקה הוא ‪.3‬‬
‫החזקה היא חיובית ‪9‬‬
‫בסיס החזקה הוא )‪ .(–3‬החזקה היא חיובית ‪9‬‬
‫)‪(33‬‬
‫)‪(–3)(–3‬‬
‫בסיס החזקה הוא ‪ .3‬סימן המינוס אינו חלק מבסיס החזקה‪.‬‬
‫‪ 32‬הם ‪ 9‬והמינוס שלפני החזקה נשאר במקומו‪ .‬כלומר מקבלים ‪.–9‬‬
‫‪.‬‬
‫שיקולים דומים לגבי ‪ 52‬ו‪(–5)2 -‬‬
‫סידור מהקטן לגדול‪:‬‬
‫הקטן ביותר‪,–32 :‬‬
‫אחר כך‬
‫‪,32 = (–3)2 = 9‬‬
‫והכי גדול‬
‫‪.52 = (–5)2 = 25‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪187‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪176‬‬
‫הנושא ‪ :‬יחס‪.‬‬
‫(א) בספרייה ‪ 3‬מתוך כל ‪ 4‬ספרים הם ספרי קריאה‪ :‬מתוך כל ‪ 4‬ספרים‪ 3 ,‬הם ספרי קריאה ואחד‬
‫הוא ספר לימוד‪ .‬היחס בין ספרי הלימוד לספרי הקריאה הוא ‪.1 : 3‬‬
‫‪3‬‬
‫(ב) ניסוח אחר‪ :‬כמה הם‬
‫‪4‬‬
‫‪ .10‬הנושא‪ :‬נפח ושטח פנים של תיבה‪.‬‬
‫מתוך ‪ ? 3,820‬לחישוב חלק משלם כופלים את החלק בשלם‪.‬‬
‫צלע כל אחד הריבועים אותם גוזרים מפינות המלבן היא באורך ‪ 10‬ס"מ‪.‬‬
‫בונים תיבה‪ .‬מהו בסיס התיבה? מה גובה התיבה? מהן מידות התיבה?‬
‫בסיס התיבה הוא המלבן ששטחו צבוע תכלת‪.‬‬
‫הקטעים הצבועים אדום הם באורך שווה‪ .‬אורך כל קטע ‪ 30‬ס"מ )‪.(50 – 210‬‬
‫הקטעים הצבועים בכחול הם באורך שווה‪ .‬אורך כל קטע ‪ 20‬ס"מ )‪.(40 – 210‬‬
‫הבסיס הוא מלבן שמידותיו ‪ 30‬ו‪ 20 -‬ס"מ‪.‬‬
‫מה גובה המלבן? לבניית התיבה מקפלים את המלבנים שנשארו לאחר ארבעת גזירת הריבועים‪.‬‬
‫גובה המלבן הוא הקטע הצבוע בחום‪ .‬הוא שווה באורכו לאורך‬
‫צלע הריבוע שגזרנו‪ 10 :‬ס"מ‪.‬‬
‫נפח התיבה שווה לשטח הבסיס כפול הגובה‪.‬‬
‫נפח התיבה הוא ‪ 6,000‬סמ"ק‪(203010) .‬‬
‫יש לשים לב ליחידות המידה המתאימות‪.‬‬
‫‪ .11‬חישובי שטחים ופישוט ביטוי אלגברי‪.‬‬
‫ניתן לחלק את המצולע למלבנים‪.‬‬
‫מוצעות שתי אפשרויות‪.‬‬
‫ניתן לחשב את שטח המצולע באמצעות‬
‫הפרש שטחים‪ :‬שטח המלבן האדום פחות שטח הריבוע שצלעותיו‬
‫צבועות בכחול‪.‬‬
‫‪ .12‬מומלץ לחזור על סדר פעולות החשבון בדגש על ביטויים בהם‬
‫פעולות חזקה והוצאת שורש‪.‬‬
‫‪ .13‬שברים‪ .‬מומלץ לחזור ‪ .1‬בחיבור שברים מחברים מונים של שברים בעלי מכנים שווים‪.‬‬
‫‪ .2‬המכנה המשותף‪ :‬מכפלת המכנים הנתונים או המכנה המשותף הקטן ביותר‪.‬‬
‫‪ .3‬מניעת הכללת יתר‪ :‬מכפלת שברים שווה למנה של מכפלת המונים במכפלת המכנים‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪188‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪177‬‬
‫‪ .14‬פתרון משוואות‪ .‬הערות לתרגילים נבחרים‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫(‪ )6( , )3( , )2‬מומלץ לכתוב את המשוואה כך שכל המחוברים בה ייכתבו כשברים‪ :‬לדוגמה (‪:)2‬‬
‫‪5 ‬‬
‫‪1‬‬
‫תלמידים נוטים לשכוח שיש לכפול במכנה המשותף גם את השלם‪.‬‬
‫(‪ )5‬מי נוס לפני הסוגריים‪ :‬טעות נפוצה היא חוסר תשומת לב לסימנים‪ .‬במשוואה זו כופלים כל אחד‬
‫מהמחוברים שבתוך הסוגריים ב‪.(–2) -‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫מהשטח‪.‬‬
‫‪ .15‬אחוזים‪ 4 .‬משבצות מתוך ‪ 20‬מושחרות‪ .‬השטח המושחר מהווה‬
‫‪‬‬
‫‪20 5‬‬
‫ממירים לאחוזים על‪-‬ידי כפל ב ‪.100 -‬‬
‫‪ .16‬סטטיסטיקה‪ .‬מומלץ לחזור על המושגים הקשורים בפרק זה לפני פתרון התרגיל‪.‬‬
‫(א) מומלץ לבדוק תמיד אם שובצו כל הנתונים‪ ,‬בשאלה זו האם סך‪-‬כול השכיחויות הוא ‪.24‬‬
‫(ב) – ( ד) שכיחות ושכיחות יחסית‪.‬‬
‫(ה) יש להניח כי לחישוב הצ יון החציוני‪ ,‬התלמידים יעדיפו לכתוב את סדרת המספרים בסדר עולה (או יורד)‪.‬‬
‫בשאלה ‪ 24‬נתונים‪ .‬בכתיבת המספרים בסדר עולה או יורד יש סיכוי גדול לטעויות מומלץ לשאול האם ניתן‬
‫למצוא את הציון החציוני ללא סידור הנתונים‪.‬‬
‫בשאלה ‪ 24‬נתונים (מספר זוגי)‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪8‬‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫החציון שווה לממוצע של שני הנתונים הנמצאים במקומות האמצעיים‪ :‬מקומות ‪.13 – 12‬‬
‫נבדוק‪ .‬נסכם את השכיחויות שבטבלה משמאל לימין‪ .‬את הציונים ‪ 70 , 60 , 50‬קיבלו ‪ 11‬תלמידים‪.‬‬
‫תלמיד מספר ‪ 12‬קיבל ציון ‪ .80‬גם תלמיד מספר ‪ 13‬קיבל ציון ‪ .80‬הממוצע של שני ציונים אלו גם הוא ‪.80‬‬
‫הציון החציוני הוא ‪.80‬‬
‫מומלץ לשאול האם ייתכן כי גם הציון הממוצע יהיה ‪ 7( ?80‬תלמידים קיבלו ציון נמוך ב‪ 10 -‬נקודות מ‪.80 -‬‬
‫רק ‪ 4‬תלמידים קיבלו ציון גבוה ב‪ 10 -‬נקודות מ‪ 3 .80 -‬תלמידים קיבלו ציון נמוך ב‪ 20 -‬נקודות מ‪.80 -‬‬
‫רק תלמיד אחד קיבל ציון גבוה ב‪ 20 -‬נקודות מ‪ .80 -‬ולא התחשבנו כלל במספר התלמידים שקיבלו ציון ‪.50‬‬
‫לסיכום‪ :‬הציון הממוצע נמוך מ‪ .80 -‬נעבור לסעיף הבא ונחשב‪).‬‬
‫(ו) ייתכן ויהיו תלמידים שיחברו את הנתונים ללא התחשבות בשכיחות‪ .‬לתלמידים אלו נמליץ להוסיף‬
‫שורה שלישית בה יכתבו את המכפלות של כל נתון בשכיחות שלו‪.‬‬
‫‪ .17‬שכיחות ושכיחות יחסית‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪189‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪178‬‬
‫‪ .18‬שכיחות ושכיחות יחסית‪.‬‬
‫‪ .19‬פירוק לגורמים‪ .‬פירוק לגורמים של ביטוי אלגברי על‪-‬ידי הוצאת גורם משותף מחוץ לסוגריים‪.‬‬
‫הצגה של שלוש אפשרויות‪ .‬שתי אפשרויות הן לביטויים שניתן להמשיך ולפרק‪.‬‬
‫סיכום‪ :‬בפירוק לגורמים בדרך כלל נשאף לבצע פירוק מקסימלי‪ ,‬כלומר להגיע לביטוי שלא ניתן להמשיך‬
‫ולפרק אותו לגורמים‪.‬‬
‫‪ .20‬שילוב של חישוב היקף של מצולע‪ ,‬תרגום שאלה מילולית למשוואה ופתרון משוואה‪.‬‬
‫בסרטוט לא נתונים גדלים של חלק מהצלעות‪ .‬אבל הסימונים בסרטוט מעידים על כך שבמצולע יש ארבע‬
‫צלעות ושוות באורכן‪ .‬אורך כל קטע הוא ‪.x + 2‬‬
‫סכום האורכים של כל צלעות המצולע הוא ‪ 126‬ס"מ‪ .‬כותבים משוואה‪.‬‬
‫פותרים את המשוואה ומחשבים את ‪.x‬‬
‫לחישוב האורכים של צלעות המצולע‪ ,‬יש להציב את הערך של ‪ x‬ביטויים המייצגים את אורך הצלעות ולחשב‪.‬‬
‫נדרשת תשובה מילולית‪ :‬האורכים של צלעות המצולע הם‪ :‬ארבע צלעות הן באורך ‪ 9‬ס"מ‪,‬‬
‫הצלע החמישית אורכה ‪ 49‬ס"מ‪ ,‬והצלע השישית אורכה ‪ 41‬ס"מ‪.‬‬
‫בדיקה‪.49 + 41 + 49 = 126 :‬‬
‫‪ .21‬סטטיסטיקה והסתברות‪ .‬שאלה דומה לשאלה ‪ .16‬בהבדל שהנתונים מוצגים בטבלה‪.‬‬
‫לחישוב שכיחויות יחסיות ולחישוב הממוצע יש לדעת את סכום השכיחויות‪ .‬בתרגיל ‪ 16‬הסכום היה נתון‪.‬‬
‫כאן נסכם את כל השכיחויות ונקבל שמספר הנבחנים הוא ‪.32‬‬
‫החידוש סעיף (ה) בו יש לחשב הסתברות‪ .‬ההסתברות שווה לשכיחות היחסית‪.‬‬
‫‪ .22‬סטטיסטיקה‪ .‬שאלה דומה לשאלה ‪.16‬‬
‫כיצד נדע מה שורת הנתונים ומה שורת השכיחויות?‬
‫נחזור לכתוב בשאלה‪ :‬מה הנתון הנבדק? (מספר החדרים בדירה‪ .‬שורת הנתונים היא מספר החדרים)‪.‬‬
‫השכיחות‪ :‬כמה דירות בבית המשותף הן בגודל של כל אחד מהנתונים‪.‬‬
‫לא נתון סכום השכיחויות אבל בסעיף (א) מתבקשים לחשב אותו‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪190‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪179 :‬‬
‫‪.23‬‬
‫‪.24‬‬
‫‪.25‬‬
‫‪.26‬‬
‫‪.27‬‬
‫שכיחות ושכיחות יחסית‪.‬‬
‫שכיחות יחסית‪ .‬השכיחות‪ ,‬כפי ש באה לידי ביטוי בדיאגרמת העוגה‪ ,‬מעידה על מספר הפאות עליהן רשום‬
‫כל אחד מהמספרים ‪.3 , 2 , 1‬‬
‫את הקובייה הטילו מספר רב של פעמים‪ .‬ההסתברות לקבלת תוצאה שווה לשכיחות היחסית במספר רב של‬
‫ניסויים‪ .‬את דיאגרמת העוגה ניתן לחלק ל‪ 6 -‬גזרות שוות שטח‪.‬‬
‫השכיחות היחסית של כל תוצאה כפי שבאה לידי ביטוי בדיאגרמת העוגה‪:‬‬
‫השכיחות היחסית של "‪ "1‬היא ‪ .‬השכיחות היחסית של "‪ "2‬היא ‪.‬‬
‫השכיחות היחסית של "‪ "3‬היא ‪.‬‬
‫לקובייה יש ‪ 6‬פאות‪( .‬כמספר הגזרות שוות השטח שבדיאגרמת העוגה)‪.‬‬
‫לכן המספר "‪ "1‬כתוב על ‪ 3‬מפאות הקובייה‪ .‬המספר "‪ "2‬כתוב על פאה אחת‪ ,‬והמספר "‪ "3‬על‬
‫שתי פאות של הקובייה‪.‬‬
‫משוואות וזוויות קודקודיות‪ .‬נוודא שהתלמידים מזהים את הזוויות (שגודלן נתון באמצעות ביטויים אלגבריים)‬
‫כזוויות קדקודיות‪ .‬נבקש מהתלמידים לבדוק בארגז הכלים מה התכונה המיוחסת לזוויות אלו‪.‬‬
‫התלמידים יכתבו משוואה המתארת שוויון בין שני הביטויים הנתונים‪ .‬יפתרו את המשוואה ויחשבו את ‪.x‬‬
‫חשוב לבדוק שנתנו תשובה לשאלה‪ :‬מה גודל הזוויות? אצל רבים מהתלמידים בחישוב ‪ x‬הם מסיימים את‬
‫המטלה‪ .‬כדי לחשב את גודל הזוויות יש להציב את ‪ x‬באחד מהביטויים ולחשב את גודל הזווית‪.‬‬
‫לבדיקה יציבו את ‪ x‬גם בביטוי השני כדי לוודא שמתקיימת התכונה‪ :‬זוויות קדקודיות הן זוויות שוות‪.‬‬
‫חישובי זוויות באמצעות פתרון משוואות‪ .‬נפנה לארגז הכלים למציאת תכונות ומשפטים לחישוב הנדרש‪.‬‬
‫(א) סכום הזוויות במשולש הוא ‪.180‬‬
‫(ב) ‪ x‬היא זווית במשולש הקטן שמימין‪ .‬המשולש הוא שווה שוקיים‪.‬‬
‫מה ידוע לנו על הזוויות של המשולש שווה השוקיים?‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫במשולש שווה שוקיים‪ ,‬זוויות הבסיס שוות‪ .‬נסמן ב‪ x -‬את זווית הבסיס השנייה‪.‬‬
‫לא ניתן עדיין לחשב את זוויות משולש זה‪ .‬נבדוק את הקשר בין שני המשולשים‪.‬‬
‫לשני המשולשים זוויות קדקודיות‪ .‬זוויות קדקודיות הן זוויות שוות‪ .‬נסמן ב‪ x -‬גם את הזווית הקדקודית‪.‬‬
‫במשולש השמאלי ידוע גודלן של שתיים מהזוויות‪ .‬כיצד נחשב את גודל הזווית השלישית (‪.)x‬‬
‫סכום הזוויות במשולש הוא ‪ .180‬נחשב את ‪.x‬‬
‫הפונקציה הקווית‪ .‬ההתאמה על‪-‬פי נקודת החיתוך עם ציר ה‪ (0,b) :y -‬ושיפוע הפונקציה ‪ :m‬חיובי או שלילי‪.‬‬
‫לישר האדום שיפוע ‪ m‬חיובי‪ .‬מתאים לפונקציה (א)‪ .‬שני הישרים האחרים הם יורדים‪ m :‬שלילי‪.‬‬
‫הישר הירוק חותך את ציר ה‪ y -‬בנקודה בה ‪ b‬חיובי‪ .‬הישר הכחול חותך את ציר ה ‪ y -‬בנקודה בה ‪ b‬שלילי‪.‬‬
‫הישר הירוק מתאים לפונקציה (ב)‪ .‬הישר הכחול מתאים לפונקציה (ג)‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪191‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪180‬‬
‫‪ .28‬הפונקציה הקווית‪ .‬ההתאמה על‪-‬פי נקודת החיתוך עם ציר ה‪ (0,b) :y -‬ושיפוע הפונקציה ‪.m‬‬
‫כל הישרים עולים – ‪ m‬חיובי‪ .‬לא ניתן לבצע את ההתאמה על פי החיוביות או השליליות של השיפוע‪.‬‬
‫נקודת החיתוך עם ציר ה ‪ .(0,b) :y -‬הישר האדום חותך את ציר ה‪ y -‬בנקודה בה ‪ b‬גדול יותר‪.‬‬
‫הישר האדום מתאים לפונקציה (ג)‪.‬‬
‫הישרים הכחול והירוק חותכים את ציר ה ‪ y -‬באותה נקודה‪ .‬לשניהם אותו ‪ .b‬נבדוק את השיפוע‪.‬‬
‫ישר בעל שיפוע גדול יותר הוא תלול יותר‪ .‬בפונקציה (א) השיפוע הוא ‪ .3‬בפונקציה (ב) השיפוע הוא ‪.2‬‬
‫הישר הכחול שהוא תלול יותר‪ ,‬שיפועו גדול יותר מתאים לפונקציה (א)‪ .‬הישר הירוק לפונקציה (ב)‪.‬‬
‫‪ .29‬משוואת הפונקציה הקווית‪y = mx + b :‬‬
‫(א) בשאלה נתון הערך של ‪ m‬והערך של ‪ .b = 2 ,m = 6 .b‬מציבים במשוואת הישר‪.y = 6x + 2 :‬‬
‫(ב) – (ג) בשאלות אלו נתון ערכו של ‪ .b‬השיפוע לא ידוע‪.‬‬
‫ההפר ש ב ‪y -‬‬
‫‪.m ‬‬
‫מחשבים באמצעות הנוסחה‪:‬‬
‫ההפר ש ב ‪x -‬‬
‫מציבים את הערכים של ‪ m‬ו‪ b -‬במשוואת הישר‪ ,‬כמו בסעיף (א)‪.‬‬
‫(ג) – (ה) יש לחשב גם את ‪ m‬וגם את ‪ .b‬חישוב ‪ m‬כמו בסעיפים קודמים‪.‬‬
‫חישוב ‪ :b‬הצבה של הערך של ‪ m‬ושיעורי אחת מהנקודות הנתונות במשוואת הישר‪.‬‬
‫מקבלים משוואה עם הנעלם ‪ .b‬פותרים את המשוואה ומחשבים את ‪.b‬‬
‫בחישוב ‪ m‬ו ‪ b -‬לא מסיימים את המטלה בה יש לכתוב את משוואת הישר‪.‬‬
‫‪ .30‬חלוקה ביחס חלקו ‪ 60‬ביחס של ‪.2 : 3‬‬
‫‪ .31‬הפונקציה הקווית‪ .‬זיהוי הייצוג האלגברי של פונקציה המוצגת בטבלה‪.‬‬
‫מהתבוננות בטבלה רואים כי מדובר בפונקציה קווית‪ .‬נבקש מהתלמידים להסביר‪ .‬הערכים של ‪ x‬המוצגים‬
‫בטבלה הם סדרת מספרים שההפרש ביניהם הוא ‪ .1‬מה קורה לערכים של ‪ ?y‬כאשר הערך של ‪ x‬גדל‬
‫ביחידה אחת הערך של ‪ y‬קטן ב ‪ 2 -‬יחידות‪ ,‬כלומר‪ ,‬גדל ב‪ .(–2) -‬כלומר‪ ,‬השיפוע הוא )‪.m = (–2‬‬
‫ניתן לחשב את השיפוע כפי שחושב בתרגיל ‪ .29‬לבחור שתי נקודות מהטבלה ולהציב בנוסחה‪.‬‬
‫לחישוב ‪ b‬ניתן לבחור באחת מהנקודות המוצגות בטבלה ויחד עם השיפוע שחישבנו נחשב את ‪( .b‬תרגיל ‪)29‬‬
‫דרך מומלצת‪ :‬מהו ‪ ? b‬אפשרויות לחישוב‪ :‬נוסיף לטבלה שורה עליונה בה נחשב את שיעורי הנקודה‬
‫)___ ‪ .(0 ,‬נציב ‪ .x = 0‬מהו ‪ ? y‬גדול ב ‪ 2 -‬מהערך של ‪ y‬המתאים ל ‪ .x = 1 -‬כלומר ‪ .y = 4‬נקודת‬
‫החיתוך עם ציר ה‪ y -‬היא )‪ .b = 4 .(0 , 4‬משוואת הפונקציה היא‪.y = –2x + 4 :‬‬
‫אפשרויות אחרות‪ :‬נציב את שיעורי הנקודות המוצגות בטבלה בכל אחת מהמשוואות הנתונות ונגלה את‬
‫המשוואה מתאימה‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪192‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪181‬‬
‫‪.32‬‬
‫‪.33‬‬
‫‪.34‬‬
‫‪.35‬‬
‫‪.36‬‬
‫הפונקציה הקווית‪ .‬זיהוי נקודות הנמצאות על גרף הפונקציה על‪-‬ידי הצבה של שיעורי הנקודה במשוואת‬
‫הפונקציה‪ .‬חשוב להבהיר שתיתכן יותר מתשובה נכונה אחת ויש לבדוק את כל הנקודות הנתונות‪.‬‬
‫הפונקציה הקווית‪ .‬מציאת הישרים העוברים דרך נקודה נתונה על ‪-‬ידי הצבת שיעורי הנקודה הנתונה בכל‬
‫אחת ממשוואות הישרים הנתונים‪ .‬כמו בתרגיל הקודם חשוב להבהיר שתיתכן יותר מתשובה נכונה אחת‬
‫ויש לבצע הצבה בכל אחד מהישרים הנתונים‪.‬‬
‫דמיון משולשים‪ .‬נפנה לארגז הכלים למציאת תכונות של משולשים דומים‪.‬‬
‫זיהוי קדקודים מתאימים וצלעות מתאימות ייעשה על פי סדר הרישום של הקדקודים בכתיב הדמיון‪:‬‬
‫הקדקודים ‪ A‬ו‪ D -‬הם קדקודים מתאימים – רשומים ראשונים בכתיב הדמיון‪ ,‬הקדקודים ‪ B‬ו‪ E -‬הם‬
‫קדקודים מתאימים‪ ,‬הקדקודים ‪ C‬ו ‪ F -‬הם קדקודים מתאימים במשולשים דומים‪.‬‬
‫(א) ‪ AB‬ו‪ DE -‬הן צלעות מתאימות במשולשים דומים‪( .‬או על‪-‬פי הסדר בו הם כתובים בכתיב הדמיון‪ ,‬או‬
‫על ‪-‬פי גודל הזוויות בשני המשולשים‪ .‬שתי צלעות אלו הן מול זוויות שוות בנות ‪.45‬‬
‫‪7‬‬
‫‪.‬‬
‫יחס הדמיון שווה ליחס בין שתי צלעות מתאימות‪ 2 .‬‬
‫‪3.5‬‬
‫(ב) צלעות ‪ BC‬ו ‪ EF -‬הן צלעות מתאימות במשולשים דומים‪ .‬מדוע? יחס הדמיון הוא ‪ .2‬כל צלע של‬
‫‪ ABC‬גדולה פי ‪ 2‬מהצלע המתאימה של ‪ .EF = 5 .DEF‬לכן ‪ BC‬אורכה ‪ 10‬ס"מ‪.‬‬
‫הנחיות בעמוד הבא‪.‬‬
‫פישוט ביטויים אלגבריים על ‪-‬ידי שימוש בחוק הפילוג‪ ,‬בחוק הפילוג המורחב‪ ,‬ובכינוס מחוברים דומים‪.‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫‪ ‬מומלץ לכתוב כל שלב בשורה נפרדת‪ ,‬שורה מתחת לשורה‪ .‬מונע טעויות העתקה במעבר משלב לשלב‪.‬‬
‫‪ ‬ב יישום חוק הפילוג המורחב מומלץ לבצע את המכפלות בסדר קבוע וכך למנוע שמכפלה אחת מופיעה‬
‫פעמיים‪ ,‬ומכפלה אחרת בכלל נשכחה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬חשוב לשים לב לכך שבמכפלה של נעלם בעצמו‪ :‬לדוגמה‪ ,xx ,‬יהיו תלמידים שיכתבו ‪ x‬במקום ‪.x‬‬
‫מתלמידים המבצעים טעויות כאלו נבקש לכתוב כל מכפלה עם כל הגורמים שבמכפלה ורק בשלב הבא‬
‫= )‪2x(x+1) + 3(1 – x2‬‬
‫לבצע את המכפלות‪ .‬למשל‪ ,‬בתרגיל (א)‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪(xx = x‬‬
‫‪2xx + 2x1 + 31 – 3x = 2x + 2x + 3 – 3x2 = 2x + 3 – x2‬‬
‫‪ ‬מינוס לפני הסוגריים‪ :‬טעות נפוצה היא חוסר תשומת לב לסימנים‪ .‬ראו התייחסות בתרגיל ‪.14‬‬
‫בתרגיל (‪ )6‬נמליץ לתלמידים לבצע קודם את המכפלות (לפי הסכמי סדר פעולות החשבון)‪ ,‬להשאיר‬
‫סוגריים‪ ,‬ורק בשלב הבא להתייחס לחיסור ולשנות סימנים‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪193‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪181‬‬
‫)‪(x + 2)(y + 1) – ((x – 1)(x – 2)) = xy + x + 2y + 2 – (x2 – 2x – x + 2‬‬
‫‪ .35‬שטח משולש ושטח מלבן‪ .‬הצעות לפתרון‪:‬‬
‫המשולש הנתון הוא משולש שווה שוקיים שאורך הבסיס שלו הוא ‪ 6‬ס"מ ואורך הגובה לבסיס ‪ 8‬ס"מ כמודגם בסרטוט (א)‪.‬‬
‫שטח המשולש הוא ‪ 24‬סמ"ר‪ ,‬המכפלה של אורך הבסיס באורך הגובה לבסיס לחלק ל‪.2 -‬‬
‫(א)‬
‫(ג)‬
‫(ב)‬
‫‪4‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪6‬‬
‫שטח משולש ישר זווית שווה למכפלה‬
‫של אורכי הניצבים לחלק ל ‪.2 -‬‬
‫נסרטט משולש ישר זווית שאורכי‬
‫הניצבים שלו הם ‪ 6‬ו‪ 8 -‬ס"מ‪.‬‬
‫אפשרויות נוספות‪ :‬משולשים ישרי זווית‬
‫שמכפלת אורכי הניצבים שלו היא ‪.48‬‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫שטח המשולש הנתון הוא ‪ 24‬סמ"ר‪.‬‬
‫שטח מלבן שווה למכפלת האורכים‬
‫של שתי צלעות סמוכות‪.‬‬
‫פתרונות אפשריים‪ :‬כל מלבן שמכפלת‬
‫האורכים של הצלעות הסמוכות שלו‬
‫היא ‪.24‬‬
‫אפשרויות‪:‬‬
‫מלבן שאורך צלעותיו ‪ 4‬ס"מ ‪ ,‬ו‪ 6 -‬ס"מ‪.‬‬
‫מלבן שאורך צלעותיו ‪ 3‬ס"מ ‪ ,‬ו‪ 8 -‬ס"מ‪.‬‬
‫מלבן שאורך צלעותיו ‪ 2‬ס"מ ‪ ,‬ו‪ 12 -‬ס"מ‪.‬‬
‫מלבן שאורך צלעותיו ‪ 1‬ס"מ ‪ ,‬ו‪ 24 -‬ס"מ‪.‬‬
‫ומלבנים נוספים שאורך צלעותיהם אינם‬
‫מספרים שלמים‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫יש לסרטט משולש מוקטן דומה למשולש‬
‫הנתון‪ ,‬בו כל אחת מהצלעות קטנה פי ‪2‬‬
‫מהצלע המתאימה שבמשולש הנתון‪.‬‬
‫נקטין את בסיס המשולש ואת הגובה פי ‪.2‬‬
‫בסיס המשולש המוקטן ‪ 3‬ס"מ‪.‬‬
‫הגובה לבסיס במשולש המוקטן ‪ 4‬ס"מ‪.‬‬
‫חשוב את שטח המשולש המוקטן‪.‬‬
‫מה קיבלתם?‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪194‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪182‬‬
‫‪ .37‬שילוב של שאלה מילולית בה יש להפעיל שיקולי כדאיות‪ ,‬הפונקציה הקווית‪ ,‬קריאת גרפים‪.‬‬
‫(א) התאמה בין הניסוח המילולי של השאלה לבין הייצוג האלגברי‪.‬‬
‫נסמן את מספר הספרים המושאלים ב‪ .x -‬בהצעה ב נדרש תשלום קבוע עליו מתווסף תשלום‬
‫התלוי במספר הספרים המושאלים‪ .‬הצעה זו מתאימה לפונקציה (‪.)2‬‬
‫הצעה א בה לא נדרש תשלום קבוע מתאימה לפונקציה (‪.)1‬‬
‫(ב) הסכום הקבוע הוא ‪ ,30‬שאינו מותנה ב‪ .x -‬כדאי להתייחס לכך שבמשוואה זו שהיא משוואה של‬
‫פונקציה קווית הוחלף סדר המחוברים‪ .‬היא כתובה בצורה ‪ .y = b + mx‬האם זה משנה? מדוע היא‬
‫כתובה בשונה מהצורה המקובלת? יש להניח שחישוב התשלום מתוך הייצוג המילולי יתחיל בסכום ‪,30‬‬
‫עליו יתווסף התשלום על פי מספר הספרים המושאלים‪.‬‬
‫(ג) סרטוט הגרפים שהם קווים ישרים‪ .‬הגרף של פונקציה (‪ )1‬עובר בראשית הצירים‪.‬‬
‫הגרף של פונקציה (‪ )2‬עובר בנקודה )‪ – (0 , 30‬גם כאשר מספר הספרים המושאלים הוא ‪ ,0‬יש‬
‫לשלם את הסכום הקבוע של ‪ 30‬שקלים‪.‬‬
‫לסרטוט קו ישר נדרשות שתי נקודות‪ .‬נמצא נקודה נוספת הנמצאת על כל אחד מהישרים‪.‬‬
‫(מומלץ למצוא גם נקודה שלישית כדי לוודא שלא נעשתה טעות‪).‬‬
‫את הנקודות ניתן להציג בטבלה‪.‬‬
‫פונקציה (‪)1‬‬
‫פונקציה (‪)2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪30‬‬
‫‪40‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪0‬‬
‫‪6‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4‬‬
‫(ד) יעל קוראת ‪ 5‬ספרים בחודש‪( .‬מסומן על ‪-‬ידי הקו המודגש)‪.‬‬
‫התשלום לפי הצעה א‪ ,‬המיוצגת באמצעות הקו הכחול‬
‫•‬
‫• •‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫הוא ‪ 75‬שקלים – הנקודה הצבועה בכתום‪.‬‬
‫התשלום לפי הצעה ב‪ ,‬המיוצגת באמצעות הקו האדום הוא ‪ 60‬שקלים – הנקודה הצבועה בירוק‪.‬‬
‫ליעל כדאי לבחור בהצעה ב‪.‬‬
‫(ה) שרון קוראת ‪ 2‬ספרים בחודש‪( .‬מסומן על ‪-‬י די קו הצבוע בחום‪ ).‬לשרון כדאי לבחור בהצעה א‪.‬‬
‫בסעיפים (ד) – (ה) במקום להתבונן בגרפים‪ ,‬ניתן לבצע חישוב על‪-‬ידי הצבה במשוואות המייצגות את‬
‫שתי הפונקציות‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪195‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪182‬‬
‫‪ .38‬שילוב של שאלה מילולית‪ ,‬והפונקציה הקווית‪.‬‬
‫הייצוג האלגברי דומה לזה שבשאלה ‪.37‬‬
‫‪ .39‬קבוצת הצבה‪.‬‬
‫נתונים ביטויים אלגבריים עם ביטויים במכנה‪ .‬קבוצת ההצבה היא קבוצת המספרים אותם ניתן להציב בביטוי‪.‬‬
‫אסור לחלק ב‪ .0 -‬הצבה המביאה לכך שהמכנה שווה ‪ 0‬היא בלתי אפשרית‪.‬‬
‫בכל סעיף נבדוק עבור אילו ערכים המכנה הוא ‪ .0‬קבוצת ההצבה מכילה את כל המספרים פרט לאילו שבהצבתם מתקבל ‪ 0‬במכנה‪.‬‬
‫(א) הביטוי במכנה הוא ‪ .x2‬המכנה שווה ‪ 0‬כאשר ‪ .x = 0‬קבוצת ההצבה כוללת את כל המספרים פרט ל‪ .0 -‬ניתן לכתוב‪ :‬קבוצת ההצבה ‪.x  0‬‬
‫(ב) הביטוי במכנה הוא ‪ .x – 2‬המכנה שווה ‪ 0‬כאשר ‪ .x – 2 = 0‬נפתור משוואה זו ונקבל ‪.x = 2‬‬
‫קבוצת ההצבה כוללת את כל המספרים פרט ל‪.2 -‬‬
‫ניתן לכתוב‪.x  2 :‬‬
‫(ג)‬
‫הביטוי במכנה הוא ‪ .x + 8‬המכנה שווה ‪ 0‬כאשר ‪ .x + 8 = 0‬נפתור משוואה זו ונקבל ‪ .x = –8‬קבוצת ההצבה כוללת את כל המספרים פרט ל‪.–8 -‬‬
‫ניתן לכ תוב‪.x  –8 :‬‬
‫ניתן להסתפק בכתיבה מילולית של קבוצת ההצבה‪.‬‬
‫‪ .40‬שברים אלגבריים‪.‬‬
‫בכל ביטוי אלגברי עם ביטוי אלגברי במכנה יש להתייחס לקבוצת ההצבה‪.‬‬
‫בתרגיל זה במכנה הביטוי‪ .6x – 2 :‬המכנה שווה ‪ 0‬כאשר ‪ .6x – 2 = 0‬נפתור משוואה זו ונקבל ‪.x = ‬‬
‫קבוצת ההצבה כוללת את כל המספרים פרט ל‪. -‬‬
‫פישוט הביטוי באמצעות פירוק לגורמים של המונה ופירוק לגורמים של המכנה‪ ,‬וצמצום אם ניתן‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪12x  4x‬‬
‫)‪4x 2( 3x  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2x 2‬‬
‫‪6x  2‬‬
‫)‪2( 3x  1‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫‪ ‬הפירוק לגורמים יהיה מקסימלי‪ .‬ניתן לבצע אותו בשלבים‪ .‬נפרק לגורמים בשלבים את המונה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪12x – 4x = 4(3x – x ) = 4x(3x – x) = 4xx(3x – 1‬‬
‫לאחר ביצוע פירוק לגורמים בשלבים‪ ,‬ניתן להגיע למסקנות כי כאשר בכל המחוברים מופיעה חזקה של ‪ ,x‬הגורם המשותף הוא חזקה שהבסיס שלה הוא כבסיס‬
‫החזקה שבכל המחוברים‪ ,‬והמעריך שלה הוא המעריך הקטן ביותר מבין המעריכים שבכל המחוברים‪ .‬בתרגיל זה‪ ,‬במחוברים החזקות‬
‫המשותף הוא ‪.x2‬‬
‫‪ .x2 , x3‬הגורם‬
‫‪ ‬הגורם המשותף הגדול ביותר במונה הוא ‪ .4x2‬הגורם המשותף במכנה הוא ‪ .2‬כאשר מוציאים גורם משותף זה מחוץ לסוגריים‪ ,‬מה נשאר בתוך הסוגריים?‬
‫בתוך הסוגריים היה סכום (הפרש) ונשאר סכום (הפרש)‪ .‬המחובר שנשאר יהיה כזה שכאשר נחזור ונכפול בגורם המשותף נקבל את הביטוי המקורי‪ .‬לכן המחובר‬
‫שנשאר הוא ‪ .1‬בפתיחת סוגריים כופלים כל מחובר בגורם שמחוץ לסוגריים‪ .‬הפעולה ההפוכה‪ :‬הוצאת גורם משותף מחוץ לסוגריים מתבצעת על‪-‬ידי חילוק של המחובר‬
‫הנתון בגורם המשותף‪ .‬ביטוי לחלק בעצמו שווה ‪1‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪196‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪183‬‬
‫‪ .45 – 41‬שאלות תנועה‪.‬‬
‫‪ .42 – 41‬חזרה על הקשרים שבין מהירות‪ ,‬זמן ודרך‪ .‬בכל שאלות התנועה מניחים כי מהירות הנסיעה היא‬
‫מהירות קבועה‪ .‬יש להקפיד על התאמה של יחידות המידה‪.‬‬
‫‪ .41‬מכונית נסעה במהירות קבועה של ‪ 85‬קמ"ש‪ .‬בכל שעה עוברת המכונית מרחק של‬
‫‪ 85‬ק"מ‪ .‬הדרך (המרחק) שווה למכפלה של המהירות בזמן‪.‬‬
‫‪ .42‬נתונים המרחק – ‪ 20‬ק"מ והזמן – ‪ 5‬שעות‪ .‬בהנחה שהקבוצה הלכה במהירות קבועה‪,‬‬
‫בכל שעה עברה הקבוצה מרחק של ‪ 4‬ק"מ‪ .‬המהירות ‪ 4‬קמ"ש (קילומטר לשעה)‪.‬‬
‫בשאלות התנועה הבאות מומלץ לסרטט תרשים המתאר את הדרך וכיווני התנועה‪ .‬את הנתונים להציג בטבלה‪.‬‬
‫באר שבע‬
‫נהריה‬
‫אילת‬
‫‪.43‬‬
‫משאית‬
‫לחישוב הדרך נכפול מהירות בזמן‪.‬‬
‫מכונית‬
‫דרך‬
‫בק"מ‬
‫משאית‬
‫מהירות‬
‫בקמ"ש‬
‫‪60‬‬
‫זמן‬
‫בשעות‬
‫‪4‬‬
‫‪460=240‬‬
‫מכונית‬
‫‪80‬‬
‫‪3‬‬
‫‪380=240‬‬
‫המרחק בין באר שבע לאילת הוא ‪ 240‬ק"מ‪ .‬המרחק בין באר שבע לנהריה גם בוא ‪ 240‬ק"מ‪.‬‬
‫אילת ונהריה נמצאות באותו מרחק מבאר שבע‪.‬‬
‫‪ .44‬מכונת נוסעת מ נקודה אחת לשנייה‪ .‬הדרך כולה מורכבת משני קטעים‪ .‬בקטע הראשון המכונית נסעה‬
‫במשך שעתיים במהירות קבועה של ‪ 80‬קמ"ש‪ .‬בחלק השני של הדרך המכונית נסעה ‪ 3‬שעות‬
‫במהירות קבועה של ‪ 90‬קמ"ש‪ .‬תרשים הדרך מוצג ליד השאלה‪.‬‬
‫נציג את הנתונים בטבלה‪.‬‬
‫דרך‬
‫זמן‬
‫מהירות‬
‫בק"מ‬
‫בשעות‬
‫בקמ"ש‬
‫את המרחק מחשבים על‪-‬ידי המכפלה של‬
‫‪2‬‬
‫‪80‬‬
‫קטע ראשון‬
‫‪280=160‬‬
‫המהירות בזמן‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪90‬‬
‫קטע שני‬
‫‪390=270‬‬
‫אורך הדרך כולה שווה לסכום הדרכים שעברה‬
‫המכונית בשני קטעי הדרך‪ .160 + 270 = 430 :‬המרחק שעברה המכונית הוא ‪ 430‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ .45‬תרשים דומה לזה שבשאלה ‪ .44‬לא ידועה‬
‫דרך‬
‫זמן‬
‫מהירות‬
‫בק"מ‬
‫בשעות‬
‫בקמ"ש‬
‫מהירות הנסיעה בקטע הדרך השני‪ .‬נסמן ב‪.x -‬‬
‫‪4‬‬
‫‪90‬‬
‫קטע ראשון‬
‫‪490=360‬‬
‫נתון אורך הדרך כולה‪.‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫קטע שני‬
‫נכתוב משוואה לסכום הדרכים בשני קטעי הדרך‪:‬‬
‫‪ .360 + 2x = 520‬נפתור ונקבל‪ . x = 70 :‬תשובה‪ :‬מהירות הנסיעה בקטע הדרך השני הייתה ‪ 70‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪183‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪197‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫מספר עמוד בספר לתלמיד‪:‬‬
‫‪ .49 – 46‬אחוזים‪.‬‬
‫‪ .46‬היקף המכירות ירד מ‪ 600 -‬ל‪ .300 -‬כלומר ירד ב ‪.300 -‬‬
‫‪ 300‬מתוך ‪ 600‬הם חצי והאחוזים ‪.50%‬‬
‫‪ .47‬חולצה שמחירה היה ‪ 120‬שקלים התייקרה ב ‪ .20% -‬מחיר החולצה האחוזים לאחר ההתייקרות‪.120% :‬‬
‫‪120‬‬
‫‪ 120%‬מ ‪ 120 -‬הם ‪ 144‬‬
‫‪100‬‬
‫‪ . 120 ‬מחיר החולצה לאחר ההתייקרות הוא ‪ 144‬שקלים‪.‬‬
‫ניתן לחשב את סכום ההתייקרות‪ ,‬כמה הם ‪ 20%‬מתוך ‪ .120‬ולהוסיף למחיר המקורי של החולצה‪.‬‬
‫את החישוב ניתן לבצע גם באמצעות חישוב בראש‪ 10% .‬מ ‪ 120 -‬הם ‪ 12‬שקלים‪ 20% .‬מ‪ 120 -‬הם ‪ 24‬שקלים‪.‬‬
‫מחיר החולצה אחרי ההתייקרות הוא ‪ 120 + 24 = 144‬שקלים‪.‬‬
‫‪ .48‬מחיר הכניסה לפארק עלה מ‪ 40 -‬שקלים ל‪ 52 -‬שקלים‪ .‬התייקרות של ‪ 12‬שקלים‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪300‬‬
‫‪12 3‬‬
‫‪.  100 ‬‬
‫‪ 12‬מתוך ‪ 40‬הם‬
‫ובאחוזים‪ ,‬כופלים פי ‪ 37.5% :100‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪40 8‬‬
‫‪ .49‬מחיר הספר כולל ‪ 30%‬רווח הוא ‪ 91‬שקלים‪ .‬הספר נמכר ב‪ 130% -‬אחוז מהמחיר בו נקנה‪.‬‬
‫‪130 91‬‬
‫איזה סכום הוא ה‪ ? 100% -‬ניתן לחשב זאת באמצעות פרופורציה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪100‬‬
‫‪x‬‬
‫נפתור את המשוואה ונקבל‪ .x = 70 :‬המחיר בו נקנה הספר‪ 70 :‬שקלים‪.‬‬
‫הרווח על מכירת הספר ‪ 21‬שקלים‪.(91 – 70) .‬‬
‫‪ .50‬ביטויים אלגבריים‪.‬‬
‫הצבה בביטוי ‪.a2‬‬
‫בהצבה של כל מספר שונה מ‪ 0 -‬מתקבל תמיד מספר חיובי‪.‬‬
‫(א) בהצבה של מספר זוגי יתקבל מספר זוגי‪.‬‬
‫(ב) בהצבה של מספר אי‪-‬זוגי יתקבל מספר אי‪-‬זוגי‪.‬‬
‫(ג) בהצבה של ‪ a = 10‬או ‪ a = –10‬מקבלים ‪ .100‬בהצבה של מספר הגדול מ‪ 10 -‬או מספר הקטן מ‪ (–10) -‬מקבלים מספר גדול מ‪.100 -‬‬
‫(ד) בהצבה של ‪ x = 0‬מקבלים ‪ .0‬בהצבה של ‪ x = 1‬או ‪ x = –1‬מקבלים ‪ .1‬בהצבה של מספר בין )‪ (–1‬ל ‪ 1 -‬מקבלים תוצאה שהיא בין ‪ 0‬ל‪.1 -‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪‬כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה"‬
‫‪198‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬