‫טריגונומטריה‬
‫הגדרות הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות‬
‫את הפונקציות הטריגונומטריות ניתן‬
‫להגדיר באמצעות הקשרים בין הניצבים‬
‫לבין היתר ובין הניצבים עצמם במשולש‬
‫ישר זווית בלבד‪:‬‬
‫לדוגמה‪ :‬סינוס זווית ‪) BAC‬אלפא( שווה‬
‫ליחס בין הניצב ‪ a‬שממול הזווית ליתר ‪.c‬‬
‫הערה‪ :‬במשולש ניתן להגדיר פונקציות‬
‫טריגונומטריות וזוויות חדות בלבד‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫ניתן להגדיר פונקציות טריגונומטריות של‬
‫זווית כלשהי במעגל בעל רדיוס ‪R = 1‬‬
‫)המעגל הטריגונומטרי(‪:‬‬
‫שיעורי הנקודה ‪ A‬במערכת צירים ‪ x-y‬הם‬
‫‪ cos α‬ו‪ sin α-‬בהתאם‪:‬‬
‫‪1 x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪-1‬‬
‫)מכיוון ש‪.(R = 1 -‬‬
‫‪-1‬‬
‫הערות‬
‫‪ .1‬כאשר הנקודה ‪ A‬נמצאת ברביע הראשון‪,‬‬
‫שתי ההגדרות זהות‪:‬‬
‫במשולש ישר זווית ‪ OAAx‬מתקיים‪:‬‬
‫‪116‬‬
‫‪ .2‬הגדרת הפונקציות‬
‫במעגל הטריגונומטרי אינה מוגבלת‬
‫לזוויות חדות בלבד‪ ,‬אלא לכל טווח‬
‫הזוויות‪:‬‬
‫‪0°≥α≥360°‬‬
‫מדידת הזוויות‬
‫)מעלות ורדיאנים(‬
‫רדיוס ‪ OA‬נקרא רדיוס התחלתי‪.‬‬
‫אם סובבים רדיוס התחלתי נגד מגמת השעון‪,‬‬
‫נחשבת הזווית חיובית‬
‫)דוגמה‪ :‬הזווית ‪.(AOB‬‬
‫הזווית שמתקבלת בסיבוב הרדיוס ההתחלתי‬
‫במגמת השעון )לדוגמה‪ ,‬הזווית ‪ (AOC‬נחשבת‬
‫הזווית שלילית‪.‬‬
‫קשתות וזוויות נמדדות במעלות או ברדיאנים‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬מעלה אחת )‪ (1°‬היא הזווית השווה‬
‫ל‪-‬‬
‫מהזווית של סיבוב שלם‪.‬‬
‫דקה אחת )'‪ (1‬שווה ל‪-‬‬
‫של מעלה‪.‬‬
‫שנייה אחת )"‪ (1‬שווה ל‪-‬‬
‫של דקה‪.‬‬
‫זווית בת ‪10°‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫רדיאן אחד הוא זווית מרכזית הנשענת על קשת‬
‫המעגל שאורכה שווה לרדיוס‪:‬‬
‫∪‬
‫‪AB = OA = R‬‬
‫מידת הזווית ברדיאנים מתקבלת כיחס של אורך‬
‫הקשת ‪ AB‬של מעגל בעל רדיוס כלשהו לגודל ‪OA‬‬
‫של רדיוס המעגל‪.‬‬
‫‪ - ∠AOB‬זווית בת ‪ 1‬רדיאן‪.‬‬
‫‪117‬‬
‫מדידת הזוויות‬
‫– מעלות ורדיאנים )המשך(‬
‫זוויות‬
‫במעלות‬
‫זוויות‬
‫ברדיאנים‬
‫הערה‪ π :‬הוא מספר )יחס של היקף המעגל לקוטר( המתבטא בשבר עשרוני אינסופי‪:‬‬
‫…‪π = 3.141593‬‬
‫בחישובים משתמשים בד"כ בערך מקורב‪π ≈ 3.14 :‬‬
‫נוסחת המעבר ממעלות לרדיאנים‬
‫נוסחת המעבר מרדיאנים למעלות‬
‫‪ –A‬גודל זווית במעלות‪ - α ,‬גודל הזווית ברדיאנים‬
‫דוגמאות‬
‫זווית‬
‫במעלות‬
‫‪57.3‬‬
‫דרך חישוב‬
‫זווית‬
‫ברדיאנים‬
‫זווית‬
‫ברדיאנים‬
‫‪α‬‬
‫‪A‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫דרך חישוב‬
‫זווית‬
‫במעלות‬
‫‪30‬‬
‫‪45‬‬
‫‪90‬‬
‫‪118‬‬
‫ערכי הפונקציות הטריגונומטריות‬
‫של זוויות מיוחדות‬
‫פונקציה‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫ברדיאנים‬
‫במעלות‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫לא מוגדר‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫לא מוגדר‬
‫‪0‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪0‬‬
‫לא מוגדר‬
‫‪-1‬‬
‫‪0‬‬
‫לא מוגדר‬
‫‪0‬‬
‫‪119‬‬
‫ערכי הפונקציות הטריגונומטריות‬
(‫של זוויות מיוחדות )המשך‬
‫פונקציה‬
ctg x
tg x
cos x
sin x
‫זווית‬
2+ 3
2− 3
3 +1
2 2
3 −1
2 2
π
15   
 12 
5 −1
4
π
18   
 10 
5− 5
5 +1
5 +1
4
π
36   
5
10 − 2 5
5 +1
5− 5
5 +1
10 − 2 5
2 2
5 +1
4
π
54   
 10 
5 −1
10 + 2 5
5+ 5
10 + 2 5
5 −1
5 −1
4
 2π 
72   
 5 
2+ 3
3 −1
3 +1
10 + 2 5
5 −1
5+ 5
5 −1
10 + 2 5
2 2
5 +1
10 − 2 5
10 − 2 5
2–
3
2 2
120
2 2
2 2
2 2
 5π 
75   
 12 
‫סימני הפונקציות הטריגונומטריות‬
‫של זוויות מיוחדות‬
‫תחום זוויות‬
‫רביע‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪I‬‬
‫‪-‬‬
‫‪-‬‬
‫‪-‬‬
‫‪+‬‬
‫‪II‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪-‬‬
‫‪-‬‬
‫‪III‬‬
‫‪-‬‬
‫‪-‬‬
‫‪+‬‬
‫‪-‬‬
‫‪IV‬‬
‫פונקציות טריגונומטריות‬
‫של זוויות גדולות‬
‫‪121‬‬
‫זהויות טריגונומטריות בסיסיות‬
sin2 α + cos2 α = 1;
tg α =
sin α
π
, α ≠ (2n + 1), n∈Z;
2
cos α
tg α =
cos α
, α ≠ πn, n∈Z;
sin α
tg α
ctg α = 1, α ≠
•
1 + tg2 α =
1 + ctg2 α =
1
cos α
2
πn
, n∈Z;
2
, α≠
1
sin 2 α
π
(2n + 1), n∈Z;
2
, α ≠ πn, n∈Z
‫הצגת הפונקציות הטריגונומטריות‬
‫באמצעות פונקציות טריגונומטריות אחרות‬
‫פונקציה‬
sin α
cos α
sin α
sin α
± 1 − cos 2 α
±
cos α
± 1 − sin 2 α
cos α
±
tg α
±
ctg α
±
sin α
1 − sin 2 α
1 − sin 2 α
sin α
±
±
tg α
tg α
ctg α
±
1 + tg 2 α
1
1 + tg 2 α
±
1
1 + ctg 2 α
ctg α
1 + ctg 2 α
1 − cos 2 α
cos α
tg α
1
ctg α
cos α
1
tg α
ctg α
1 − cos α
2
122
‫פונקציות מחצית הזווית‬
α 1 − cos α
sin2 2 =
2
α
α
cos
2
2
α
α
2
2
cos α = cos 2 – sin 2
sin α = 2sin
α 1 + cos α
cos 2 =
2
2
α
sin α
1 − cos α
tg 2 =
=
1 + cos α
sin α
(α ≠ π (2n + 1), n∈Z)
α
2
tg α =
α
1 − tg 2
2
2 tg
‫נוסחאות ההמרה של סכום והפרש הפונקציות‬
‫הטריגונומטריות למכפלה‬
sin α + sin  = 2sin
α −β
α+β
• cos
2
2
sin α + sin  = 2cos
α+β
α −β
• sin
2
2
cos α + cos  = 2cos
α −β
α+β
• cos
2
2
cos α + cos  = 2sin
α+β
α+β
α −β
α −β
• sin
= 2sin
• sin
2
2
2
2
cos α + sin α =
2 cos (45° – α)
cos α – sin α =
2 sin (45° – α)
tg α ± tg  =
sin(α ± β)
cos α • cos β
ctg α ± ctg  =
α,  ≠
sin(α ± β)
sin α • sin β
π
(2n – 1), n ∈ Z
2
α,  ≠ πn, n ∈ Z
123
‫נוסחאות ההמרה של סכום והפרש הפונקציות‬
‫הטריגונומטריות למכפלה‬
α
1 + cos α = 2cos2 2
α
1 – cos α =2sin2 2
α
1 + sin α = 2cos (45°– 2 )
2
α
1 – sin α = 2sin2(45°– 2 )
1 + tg α =
1 – tg α =
sin(45 + α)
cos 45 cos α
sin( 45 − α)
cos 45 cos α
1 – tg2 α =
1 – ctg2 α =
cos 2α
cos 2 α
,α≠
cos 2α
cos 2 α
=
2 sin(45 + α)
π
, a ≠ + πn, n∈Z
cos α
2
=
2 sin( 45 − α)
π
, a ≠ + πn, n∈Z
cos α
2
π
+ πn, n∈Z
2
, α ≠ πn + πn, n∈Z
‫נוסחאות ההמרה של מכפלת הפונקציות‬
‫הטריגונומטריות לסכומם‬
sin α sin β =
1
(cos(α – β) – cos (α + β))
2
sin α cos β =
1
(sin(α – β) + sin (α + β))
2
cos α cos β =
1
(cos(α – β) + cos (α + β))
2
cos α sin β =
1
⋅ (sin(β – α) + sin (β + α))
2
125
‫הבעת הפונקציות הטריגונומטריות‬
‫באמצעות טנגנס של מחצית זווית‬
‫נוסחאות הורדת החזקה של‬
‫הפונקציות הטריגונומטריות‬
‫‪126‬‬
,‫ זווית כפולה‬,‫פונקציות מחצית הזווית‬
...‫זווית משולשת ועוד‬
ctg
tg
cos
‫פונקציה‬
sin
‫זווית‬
±
1 + cos α
±
1 − cos α
1 − cos α
1 + cos α
2 tg α
2 tg 2 α − 1
2ctg α
1 − tg α
ctg 3α − 3ctgα
3tg α − tg 3α
3ctg α − 1
1 − 3tg α
2
2
2
α
2
cos α
2α
4cos3 α – 3cos α
3sin α – 4sin3 α
3α
cos4 α – 6cos2 α •
4cos3 α • sin α –
sin2 α + sin4 α
– 4cos α • sin α
±
1 + cos α
2
cos2 α – sin2
±
1 − cos α
2sin α
•
2
tg
α
2
3
4α
:‫נוסחאות לטנגנס מחצית הזווית‬
1 − cos α
sin α
sin α
1 + cos α
±
1 − cos α
1 + cos α
cos 2α :‫נוסחאות לקוסינוס של זווית כפולה‬
1 – 2sin2 α
2cos2 α – 1
127
cos2 α – sin2 α
‫דוגמאות שימוש בנוסחאות הקשר‬
‫בין פונקציות טריגונומטריות‬
‫שימו לב‪:‬‬
‫אם ידועה אחת מהפונקציות הטריגונומטריות של הזווית והרביע‬
‫שבו נמצאת הזווית‪ ,‬אפשר לחשב את כל הפונקציות האחרות‬
‫של אותה הזווית‪.‬‬
‫פתרון‬
‫דוגמה ‪1‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3π‬‬
‫<‪π<t‬‬
‫‪2‬‬
‫– = ‪sin t‬‬
‫הזווית ‪ t‬נמצאת ברביע ה‪.III -‬‬
‫‪16‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪cos t = 1 – sin2t = 1 –  ‬‬
‫‪25‬‬
‫‪5‬‬
‫‪16‬‬
‫‪4‬‬
‫– = ‪cos t‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪25‬‬
‫‪5‬‬
‫הסימן מינוס מופיע מכיוון שברביע ה‪III -‬‬
‫‪2‬‬
‫הקוסינוס הוא שלילי‪.‬‬
‫מצאו‪.ctg t ,tg t ,cos t :‬‬
‫‪sin t  3   4  3‬‬
‫= ‪= −  : − ‬‬
‫‪cos t  5   5  4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫=‬
‫‪tg t 3‬‬
‫דוגמה ‪2‬‬
‫= ‪tg t‬‬
‫= ‪ctg t‬‬
‫פתרון‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪sin α = 1 – cos α = 1 –  ‬‬
‫‪9‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2 2‬‬
‫– = ‪sin α‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪9‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪cos α‬‬
‫‪ 3π‬‬
‫‪‬‬
‫‪α∈  , 2π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫הזווית ‪ α‬נמצאת ברביע ה‪.IV -‬‬
‫מצאו‪ctg α, tg α, sin α :‬‬
‫‪2‬‬
‫הסימן מינוס מופיע מכיוון שברביע ה‪IV -‬‬
‫הסינוס הוא שלילי‪.‬‬
‫‪sin α‬‬
‫‪2 2 2‬‬
‫‪=−‬‬
‫= ‪tg α‬‬
‫‪: = −2 2‬‬
‫‪cos α‬‬
‫‪3 3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪: =−‬‬
‫‪tg α 2 2 3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪128‬‬
‫= ‪ctg α‬‬
‫דוגמאות שימוש בנוסחאות הקשר‬
‫בין פונקציות טריגונומטריות )המשך(‬
‫דוגמה ‪3‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫פתרון‬
‫‪tg x = –10‬‬
‫‪π‬‬
‫‪<x<π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪1 + rg x 1 + 100 101‬‬
‫‪1‬‬
‫– = ‪cos x‬‬
‫‪101‬‬
‫הסימן מינוס מופיע מכיוון שברביע ה ‪II -‬‬
‫הקוסינוס הוא שלילי‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪sin x = tg x • cos x‬‬
‫‪101‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪=−‬‬
‫= ‪ctg x‬‬
‫‪tg x‬‬
‫‪10‬‬
‫= ‪cos2x‬‬
‫הזווית ‪ x‬נמצאת ברביע ה‪.II-‬‬
‫מצאו‪.ctg x ,cos x ,sin x :‬‬
‫מחזוריות הפונקציות הטריגונומטריות‬
‫תנועה סיבובית של הנקודה‬
‫הטריגונומטרי היא מחזורית‪:‬‬
‫כל סיבוב שלם מחזיר את הנקודה לאותו מקום‪.‬‬
‫מכיוון שמקום הנקודה במעגל קובע את הערכים‬
‫של הפונקציות הטריגונומטריות של זווית הסיבוב‪,‬‬
‫אלה גם חוזרים על עצמם לאחר סיבוב שלם אחד‬
‫)או כמה סיבובים(‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫במעגל‬
‫לפונקציות סינוס וקוסינוס המחזור הקטן ביותר שווה ל‪ 2π = 360°-‬רדיאן‪:‬‬
‫)‪sin α = sin (α + 2πk‬‬
‫… ‪k = 0, ±1, ±2,‬‬
‫)‪cos α = cos (α + 2πk‬‬
‫‪129‬‬
‫מחזוריות הפונקציות הטריגונומטריות‬
‫)המשך(‬
‫לפונקציות טנגנס וקוטנגנס‬
‫המחזור הקטן ביותר שווה ל‪180°-‬‬
‫או ‪ π‬רדיאן‪:‬‬
‫מספר ‪ k‬מציין את מספר הסיבובים‬
‫השלמים שאותם עברה הנקודה‪.‬‬
‫אם ‪ k‬חיובי )‪ – (k > 0‬הנקודה‬
‫מסתובבת נגד מגמת השעון‪ ,‬אם ‪ k‬הוא‬
‫שלילי ‪ -‬הנקודה מסתובבת בכיוון מגמת‬
‫השעון‪.‬‬
‫דוגמאות‬
‫פתרון‬
‫‪ .1‬חשבו‪:‬‬
‫‪sin 765°‬‬
‫מציגים זווית של הפונקציה כמספר שלם של‬
‫מחזורים ושארית הקטנה מהמחזור‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪sin765° = sin (2⋅360°+45°)=sin 45°‬‬
‫‪2‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .2‬חשבו‪:‬‬
‫)‪cos (-1170°‬‬
‫פתרון‬
‫= )‪cos (-1170°) = cos (1170°‬‬
‫‪= cos (3⋅360° + 90°) = cos 90° = 0‬‬
‫את סימן המינוס משמיטים‪ ,‬מכיוון שקוסינוס הוא‬
‫פונקציה זוגית‪.‬‬
‫תשובה‪.0 :‬‬
‫‪130‬‬
‫זוגיות ואי‪-‬זוגיות של פונקציות טריגונומטריות‬
‫פונקציה‬
‫בדיקת זוגיות‬
‫זוגית ‪ -‬אי‪-‬זוגית‬
‫אי‪-‬זוגית‬
‫‪sin x‬‬
‫‪cos x‬‬
‫זוגית‬
‫‪tg x‬‬
‫אי‪-‬זוגית‬
‫‪ctg x‬‬
‫אי‪-‬זוגית‬
‫דוגמאות‬
‫‪131‬‬
‫גרף ותכונות עיקריות של‬
‫הפונקציה ‪y = sin x‬‬
‫תכונות הפונקציה ‪y = sin x‬‬
‫תחום ההגדרה‬
‫כל המספרים הממשיים ‪x  R‬‬
‫תחום הערכים‬
‫‪ :‬הפונקציה היא מוגבלת‬
‫זוגי – אי‪-‬זוגי‬
‫הפונקציה היא אי‪-‬זוגית‪:‬‬
‫מחזוריות‬
‫הפונקציה ‪ sin x‬היא מחזורית‬
‫המחזור הקטן ביותר‪:‬‬
‫שורשים )נקודות האפס(‬
‫תחומי חיוביות‬
‫תחומי שליליות‬
‫תחומי עלייה‬
‫תחומי ירידה‬
‫נקודות מקסימום‬
‫נקודות מינימום‬
‫‪132‬‬
‫גרף ותכונות עיקריות של‬
‫הפונקציה ‪y = cos x‬‬
‫תכונות הפונקציה ‪y = cos x‬‬
‫תחום ההגדרה‬
‫כל המספרים הממשיים ‪x ∈ R‬‬
‫תחום הערכים‬
‫]‪ : y ∈ [ 1, -1‬הפונקציה היא מוגבלת‬
‫זוגי – אי‪-‬זוגי‬
‫הפונקציה היא זוגית‪cos (-x) = cos x :‬‬
‫מחזוריות‬
‫הפונקציה ‪ cos x‬היא מחזורית‬
‫המחזור הקטן ביותר‪2π :‬‬
‫שורשים )נקודות האפס(‬
‫תחומי חיוביות‬
‫תחומי שליליות‬
‫תחומי עלייה‬
‫תחומי ירידה‬
‫נקודות מקסימום‬
‫נקודות מינימום‬
‫‪133‬‬
‫גרף ותכונות עיקריות של‬
‫הפונקציה ‪y = tg x‬‬
‫תכונות הפונקציה ‪y = tg x‬‬
‫תחום ההגדרה‬
‫כל המספרים הממשיים‪ ,‬מלבד המספרים‬
‫תחום הערכים‬
‫כל ציר המספרים; הפונקציה היא בלתי מוגבלת‬
‫זוגי – אי‪-‬זוגי‬
‫הפונקציה היא אי‪-‬זוגית‪tg (-x) = -tg x :‬‬
‫מחזוריות‬
‫הפונקציה ‪ tg x‬היא מחזורית‪.‬‬
‫המחזור הקטן ביותר‪π :‬‬
‫שורשים )נקודות האפס(‬
‫תחומי חיוביות‬
‫תחומי שליליות‬
‫תחומי עלייה‬
‫‪134‬‬
‫גרף ותכונות עיקריות של‬
‫הפונקציה ‪y = ctg x‬‬
‫תכונות הפונקציה ‪y = ctg x‬‬
‫תחום ההגדרה‬
‫כל המספרים הממשיים‪ ,‬מלבד המספרים‬
‫‪x = π + πk, k ∈ Z‬‬
‫תחום הערכים‬
‫כל ציר המספרים; הפונקציה היא בלתי מוגבלת‬
‫זוגי – אי‪-‬זוגי‬
‫הפונקציה היא אי‪-‬זוגית‪ctg (-x) = -ctg x :‬‬
‫מחזוריות‬
‫הפונקציה ‪ ctg x‬היא מחזורית‪.‬‬
‫המחזור הקטן ביותר‪π :‬‬
‫‪ctg (x + πk) = ctg x, k ∈ Z‬‬
‫שורשים )נקודות האפס(‬
‫תחומי חיוביות‬
‫תחומי שליליות‬
‫תחומי ירידה‬
‫‪135‬‬
‫משוואות טריגונומטריות‬
‫המשוואה כוללת‬
‫סינוסים ו‪/‬או‬
‫קוסינוסים בלבד‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫משוואה הומוגנית‬
‫ממעלה שנייה‬
‫מהסוג‪:‬‬
‫משוואה הומוגנית‬
‫ראשונה‬
‫ממעלה‬
‫מהסוג‪:‬‬
‫משוואה מהסוג‪:‬‬
‫וכדומה‪.‬‬
‫שיטת פתרון‬
‫שיטת פתרון‬
‫אפשר להפוך את‬
‫המשוואה‬
‫למשוואה ריבועית‬
‫)או דו‪-‬ריבועית(‬
‫לגבי סינוס )או‬
‫קוסינוס(‬
‫מחלקים את שני‬
‫האגפים ב‪cos x -‬‬
‫)בתנאי שהוא אינו‬
‫שווה לאפס(‪.‬‬
‫מחלקים את שני‬
‫האגפים‬
‫ב‪-‬‬
‫מקבלים‪:‬‬
‫מקבלים משוואה‬
‫ריבועית לגבי‬
‫טנגנס‪:‬‬
‫נוסחאות‬
‫שיטת פתרון‬
‫נוסחאות‬
‫נוסחאות‬
‫‪143‬‬
‫שיטת פתרון‬
‫מציבים‬
‫ומקבלים משוואה‬
‫ריבועית לגבי‬
‫טנגנס‪.‬‬
‫נוסחאות‬
‫משוואות טריגונומטריות‬
‫המשוואות הבסיסיות‬
‫‪cos x = a‬‬
‫‪sin x = a‬‬
‫הערה‪ :‬למשוואות האלה קיים פתרון רק‬
‫במקרים שבהם הערך המוחלט של ‪ a‬לא‬
‫גדול מ‪:1-‬‬
‫‪cot x = a‬‬
‫‪tan x = a‬‬
‫הערה‪ :‬למשוואות האלה קיים פתרון לכל‬
‫הערכים של ‪.a‬‬
‫‪ .I‬המשוואה הבסיסית ‪sin x = a‬‬
‫הפתרון‬
‫על פי השרטוט לשתי הזוויות‪α1 ,‬‬
‫ו‪ ,α2 -‬ערך הסינוס שווה ל‪:a -‬‬
‫‪‬‬
‫מכיוון שפונקצית סינוס היא מחזורית בעלת מחזור‬
‫של ‪ ,2πk‬למשוואה ‪ sin x = a‬שתי קבוצות שורשים מהסוג‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪144‬‬
‫‪ .II‬המשוואה הבסיסית ‪cos x = a‬‬
‫הפתרון‬
‫על פי השרטוט לשתי הזוויות‪ α ,‬ו‪-α -‬‬
‫ערך הקוסינוס שווה ל‪:a -‬‬
‫מכיוון שפונקצית הקוסינוס היא מחזוריות‬
‫בעלת מחזור של ‪ ,2πk‬למשוואה ‪cos x = a‬‬
‫שתי קבוצות שורשים מהסוג‪:‬‬
‫פתרון המשוואות הבסיסיות ‪ sin x = a‬ו‪cos x = a -‬‬
‫במקרים מיוחדים‬
‫פתרון‬
‫פתרון‬
‫משוואה‬
‫‪145‬‬
‫משוואה‬
‫פתרון המשוואות הבסיסיות‬
‫במקרים מיוחדים )המשך(‬
‫‪sin x = a‬‬
‫פתרון‬
‫משוואה‬
‫ו‪-‬‬
‫פתרון‬
‫‪ .IV -III‬המשוואות הבסיסיות‬
‫לשתי המשוואות הפתרונות קיימים‬
‫תמיד‪ ,‬לכל הערכים של ‪ ,a‬מכיוון שתחום‬
‫הערכים של הפונקציות –‬
‫כל המספרים הממשיים‪.‬‬
‫על פי הגרפים‪ ,‬מספר הפתרונות הוא‬
‫אינסופי )הפונקציות מחזוריות(‪ ,‬ואפשר‬
‫לכתוב אותם בנוסחה אחת לכל משוואה‪:‬‬
‫‪146‬‬
‫‪tg x = a‬‬
‫‪cos x = a‬‬
‫משוואה‬
‫ו‪-‬‬
‫‪ctg x = a‬‬
‫פתרון המשוואות הבסיסיות ‪ tg x = a‬ו‪-‬‬
‫במקרים מיוחדים‬
‫פתרון‬
‫פתרון‬
‫משוואה‬
‫‪147‬‬
‫‪ctg x = a‬‬
‫משוואה‬
‫פתרון משוואות טריגונומטריות‬
‫‪ .1‬המשוואות המובאות למשוואות ריבועיות‬
‫דרך הפתרון‬
‫‪ .1‬להביא את המשוואה‬
‫לביטוי הכולל פונקציה‬
‫אחת בלבד‪.‬‬
‫‪ .2‬לפתור משוואה ריבועית‬
‫לגבי אותה הפונקציה‪.‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫במקום ‪x‬‬
‫‪ cos‬מציבים את ביטויו‬
‫באמצעות סינוס‪ ,‬ומקבלים‪:‬‬
‫פותחים סוגריים‪:‬‬
‫מגדירים נעלם חדש‪:‬‬
‫מקבלים משוואה ריבועית‪:‬‬
‫פותרים אותה‪:‬‬
‫אין פתרון‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪148‬‬
‫‪ .3‬לפתור משוואה בסיסית‬
‫מהסוג‪:‬‬
‫‪sin x = a‬‬
‫‪cos x = a‬‬
‫‪tg x = b‬‬
‫‪ctg x = a‬‬
‫‪ .2‬המשוואות שבהן אפשר לפרק אגף שמאל לגורמים‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫פתרון‬
‫הגורם השני‪:‬‬
‫פתרון המשוואה‪:‬‬
‫‪ .3‬משוואה הומוגנית )אחידה( מהמעלה הראשונה‬
‫הגדרה‪ :‬המשוואה מהסוג ‪ a sinx + b cosx +c = 0‬נקראת‬
‫משוואה טריגונומטרית הומוגנית מהמעלה הראשונה‪.‬‬
‫דרך הפתרון‪:‬‬
‫לאחר חלוקת שני האגפים ב‪ cos x -‬מתקבלת משוואה פשוטה‬
‫לגבי טנגנס‪a⋅tg x + b = 0 :‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫פתרון המשוואה‪:‬‬
‫‪149‬‬
‫ משוואה הומוגנית מהמעלה השנייה‬.4
‫ נקראת‬a⋅sin2x + b sinx⋅cosx + d = 0 ‫המשוואה מהסוג‬
.cos x-‫ ו‬sin x ‫משוואה הומוגנית ממעלה שנייה לגבי‬
:‫הגדרה‬
:‫דרך הפתרון‬
.d⋅1 = d⋅(sin x + cos x) :‫( בצורה הבאה‬d ≠ 0 ‫ )במקרה של‬d ‫מציגים את‬
2
2
.‫ ומקבלים כתוצאה משוואה ריבועית לגבי טנגנס‬cos2x -‫מחלקים את שני האגפים ב‬
:‫דוגמה‬
:‫פתרון‬
:‫תשובה‬
a sinx + b cosx = c ‫ פתרון המשוואה מהסוג‬.5
.‫( באמצעות משתנה עזר‬a≠0, b≠0, c≠0)

:‫ מחלקים את שני האגפים בשורש‬:‫דרך הפתרון‬

  












 
 
 



 




 


 


:‫קיבלנו משוואה בסיסית‬


‫נשתמש בנוסחה של קוסינוס‬
:‫ההפרש‬

 
  
 :‫ חדשה‬ϕ ‫נגדיר זווית‬



150
‫‪ .5‬פתרון המשוואה מהסוג ‪a sinx + b cosx = c‬‬
‫)‪ (a≠0, b≠0, c≠0‬באמצעות משתנה עזר )דוגמה(‪.‬‬
‫פתרו משוואה‪:‬‬
‫נרשום נתונים ונחשב שורש‪:‬‬
‫נחלק את שני האגפים של המשוואה ב‪:10 -‬‬
‫נגדיר זווית ‪ ϕ‬חדשה באמצעות הקוסינוס‪:‬‬
‫והסינוס שלה‪:‬‬
‫נציב במשוואה‪:‬‬
‫נשתמש בנוסת קוסינוס הפרש הזוויות‪:‬‬
‫קיבלנו משוואה בסיסית; פותרים‬
‫אותה ומקבלים תשובה סופית‪:‬‬
‫‪ .6‬פתרון המשוואה מהסוג ‪a sinx + b cosx = 0‬‬
‫פתרו משוואה‪:‬‬
‫ברור שקוסינוס אינו שווה לאפס‪:‬‬
‫‪cos x ≠ 0‬‬
‫אחרת היינו מקבלים מהמשוואה גם‬
‫‪,sin x = 0‬‬
‫מה שלא יכול להתקיים בו‪-‬זמנית‪.‬‬
‫נחלק את שני האגפים ב‪:cos x -‬‬
‫נמצא טנגנס הזווית‪ ,‬נפתור משוואה‬
‫בסיסית‪ ,‬ונקבל תשובה‪:‬‬
‫‪151‬‬
‫פתרון משולשים‬
‫ביטוי‬
‫משפט‬
‫משפט סינוסים‬
‫‪ R‬הוא רדיוס המעגל החוסם‪.‬‬
‫משפט קוסינוסים‬
‫תיכון ‪-‬‬
‫קטע המחבר קודקוד עם אמצע הצלע‬
‫מולו‪.‬‬
‫ביטוי לאורך תיכון המועבר מקודקוד‬
‫‪:A‬‬
‫גובה ‪-‬‬
‫אנך היורד מקודקוד לצלע ממול‪.‬‬
‫ביטוי לאורך הגובה היורד מקודקוד ‪:A‬‬
‫חוצה זווית –‬
‫קטע שקצותיו בקודקוד הזווית ובצלע‬
‫שמולה‪ ,‬והוא חוצה את הזווית‪.‬‬
‫ביטוי לאורך חוצה הזווית ‪:A‬‬
‫‪152‬‬
‫פתרון משולשים‬
‫ביטוי‬
‫)המשך(‬
‫שרטוט‬
‫משפט טנגנסים‬
‫רדיוס מעגל חסום‬
‫‪ - p‬חצי היקף של המעגל‪.‬‬
‫שטח משולש‬
‫=‬
‫משפט ֶגרון‬
‫שטח משולש‪:‬‬
‫‪ - p‬חצי היקף של המעגל‬
‫כאשר ‪ a = b = c‬אז‪:‬‬
‫‪153‬‬
‫פתרון משולשים באמצעות משפטים מטריגונומטריה‬
‫נתון‬
‫פתרון‬
‫מצא‬
‫את הזוויות ‪ ∠B‬ו‪ ∠C -‬מחשבים בעזרת המחשבון‪.‬‬
‫את הזווית ‪ ∠A‬מחשבים בעזרת המחשבון‪.‬‬
‫את הזווית ‪ ∠B‬מחשבים בעזרת המחשבון‪.‬‬
‫‪154‬‬