טריגו
טריגונומטריה הגדרות הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות את הפונקציות הטריגונומטריות ניתן להגדיר באמצעות הקשרים בין הניצבים לבין היתר ובין הניצבים עצמם במשולש ישר זווית בלבד: לדוגמה :סינוס זווית ) BACאלפא( שווה ליחס בין הניצב aשממול הזווית ליתר .c הערה :במשולש ניתן להגדיר פונקציות טריגונומטריות וזוויות חדות בלבד. y 1 ניתן להגדיר פונקציות טריגונומטריות של זווית כלשהי במעגל בעל רדיוס R = 1 )המעגל הטריגונומטרי(: שיעורי הנקודה Aבמערכת צירים x-yהם cos αו sin α-בהתאם: 1 x -1 )מכיוון ש.(R = 1 - -1 הערות .1כאשר הנקודה Aנמצאת ברביע הראשון, שתי ההגדרות זהות: במשולש ישר זווית OAAxמתקיים: 116 .2הגדרת הפונקציות במעגל הטריגונומטרי אינה מוגבלת לזוויות חדות בלבד ,אלא לכל טווח הזוויות: 0°≥α≥360° מדידת הזוויות )מעלות ורדיאנים( רדיוס OAנקרא רדיוס התחלתי. אם סובבים רדיוס התחלתי נגד מגמת השעון, נחשבת הזווית חיובית )דוגמה :הזווית .(AOB הזווית שמתקבלת בסיבוב הרדיוס ההתחלתי במגמת השעון )לדוגמה ,הזווית (AOCנחשבת הזווית שלילית. קשתות וזוויות נמדדות במעלות או ברדיאנים. הגדרה :מעלה אחת ) (1°היא הזווית השווה ל- מהזווית של סיבוב שלם. דקה אחת )' (1שווה ל- של מעלה. שנייה אחת )" (1שווה ל- של דקה. זווית בת 10° הגדרה: רדיאן אחד הוא זווית מרכזית הנשענת על קשת המעגל שאורכה שווה לרדיוס: ∪ AB = OA = R מידת הזווית ברדיאנים מתקבלת כיחס של אורך הקשת ABשל מעגל בעל רדיוס כלשהו לגודל OA של רדיוס המעגל. - ∠AOBזווית בת 1רדיאן. 117 מדידת הזוויות – מעלות ורדיאנים )המשך( זוויות במעלות זוויות ברדיאנים הערה π :הוא מספר )יחס של היקף המעגל לקוטר( המתבטא בשבר עשרוני אינסופי: …π = 3.141593 בחישובים משתמשים בד"כ בערך מקורבπ ≈ 3.14 : נוסחת המעבר ממעלות לרדיאנים נוסחת המעבר מרדיאנים למעלות –Aגודל זווית במעלות - α ,גודל הזווית ברדיאנים דוגמאות זווית במעלות 57.3 דרך חישוב זווית ברדיאנים זווית ברדיאנים α A 1 1 דרך חישוב זווית במעלות 30 45 90 118 ערכי הפונקציות הטריגונומטריות של זוויות מיוחדות פונקציה x x ברדיאנים במעלות 0 0 0 לא מוגדר 1 1 0 0 1 1 0 לא מוגדר 0 -1 0 לא מוגדר -1 0 לא מוגדר 0 119 ערכי הפונקציות הטריגונומטריות (של זוויות מיוחדות )המשך פונקציה ctg x tg x cos x sin x זווית 2+ 3 2− 3 3 +1 2 2 3 −1 2 2 π 15 12 5 −1 4 π 18 10 5− 5 5 +1 5 +1 4 π 36 5 10 − 2 5 5 +1 5− 5 5 +1 10 − 2 5 2 2 5 +1 4 π 54 10 5 −1 10 + 2 5 5+ 5 10 + 2 5 5 −1 5 −1 4 2π 72 5 2+ 3 3 −1 3 +1 10 + 2 5 5 −1 5+ 5 5 −1 10 + 2 5 2 2 5 +1 10 − 2 5 10 − 2 5 2– 3 2 2 120 2 2 2 2 2 2 5π 75 12 סימני הפונקציות הטריגונומטריות של זוויות מיוחדות תחום זוויות רביע + + + + I - - - + II + + - - III - - + - IV פונקציות טריגונומטריות של זוויות גדולות 121 זהויות טריגונומטריות בסיסיות sin2 α + cos2 α = 1; tg α = sin α π , α ≠ (2n + 1), n∈Z; 2 cos α tg α = cos α , α ≠ πn, n∈Z; sin α tg α ctg α = 1, α ≠ • 1 + tg2 α = 1 + ctg2 α = 1 cos α 2 πn , n∈Z; 2 , α≠ 1 sin 2 α π (2n + 1), n∈Z; 2 , α ≠ πn, n∈Z הצגת הפונקציות הטריגונומטריות באמצעות פונקציות טריגונומטריות אחרות פונקציה sin α cos α sin α sin α ± 1 − cos 2 α ± cos α ± 1 − sin 2 α cos α ± tg α ± ctg α ± sin α 1 − sin 2 α 1 − sin 2 α sin α ± ± tg α tg α ctg α ± 1 + tg 2 α 1 1 + tg 2 α ± 1 1 + ctg 2 α ctg α 1 + ctg 2 α 1 − cos 2 α cos α tg α 1 ctg α cos α 1 tg α ctg α 1 − cos α 2 122 פונקציות מחצית הזווית α 1 − cos α sin2 2 = 2 α α cos 2 2 α α 2 2 cos α = cos 2 – sin 2 sin α = 2sin α 1 + cos α cos 2 = 2 2 α sin α 1 − cos α tg 2 = = 1 + cos α sin α (α ≠ π (2n + 1), n∈Z) α 2 tg α = α 1 − tg 2 2 2 tg נוסחאות ההמרה של סכום והפרש הפונקציות הטריגונומטריות למכפלה sin α + sin = 2sin α −β α+β • cos 2 2 sin α + sin = 2cos α+β α −β • sin 2 2 cos α + cos = 2cos α −β α+β • cos 2 2 cos α + cos = 2sin α+β α+β α −β α −β • sin = 2sin • sin 2 2 2 2 cos α + sin α = 2 cos (45° – α) cos α – sin α = 2 sin (45° – α) tg α ± tg = sin(α ± β) cos α • cos β ctg α ± ctg = α, ≠ sin(α ± β) sin α • sin β π (2n – 1), n ∈ Z 2 α, ≠ πn, n ∈ Z 123 נוסחאות ההמרה של סכום והפרש הפונקציות הטריגונומטריות למכפלה α 1 + cos α = 2cos2 2 α 1 – cos α =2sin2 2 α 1 + sin α = 2cos (45°– 2 ) 2 α 1 – sin α = 2sin2(45°– 2 ) 1 + tg α = 1 – tg α = sin(45 + α) cos 45 cos α sin( 45 − α) cos 45 cos α 1 – tg2 α = 1 – ctg2 α = cos 2α cos 2 α ,α≠ cos 2α cos 2 α = 2 sin(45 + α) π , a ≠ + πn, n∈Z cos α 2 = 2 sin( 45 − α) π , a ≠ + πn, n∈Z cos α 2 π + πn, n∈Z 2 , α ≠ πn + πn, n∈Z נוסחאות ההמרה של מכפלת הפונקציות הטריגונומטריות לסכומם sin α sin β = 1 (cos(α – β) – cos (α + β)) 2 sin α cos β = 1 (sin(α – β) + sin (α + β)) 2 cos α cos β = 1 (cos(α – β) + cos (α + β)) 2 cos α sin β = 1 ⋅ (sin(β – α) + sin (β + α)) 2 125 הבעת הפונקציות הטריגונומטריות באמצעות טנגנס של מחצית זווית נוסחאות הורדת החזקה של הפונקציות הטריגונומטריות 126 , זווית כפולה,פונקציות מחצית הזווית ...זווית משולשת ועוד ctg tg cos פונקציה sin זווית ± 1 + cos α ± 1 − cos α 1 − cos α 1 + cos α 2 tg α 2 tg 2 α − 1 2ctg α 1 − tg α ctg 3α − 3ctgα 3tg α − tg 3α 3ctg α − 1 1 − 3tg α 2 2 2 α 2 cos α 2α 4cos3 α – 3cos α 3sin α – 4sin3 α 3α cos4 α – 6cos2 α • 4cos3 α • sin α – sin2 α + sin4 α – 4cos α • sin α ± 1 + cos α 2 cos2 α – sin2 ± 1 − cos α 2sin α • 2 tg α 2 3 4α :נוסחאות לטנגנס מחצית הזווית 1 − cos α sin α sin α 1 + cos α ± 1 − cos α 1 + cos α cos 2α :נוסחאות לקוסינוס של זווית כפולה 1 – 2sin2 α 2cos2 α – 1 127 cos2 α – sin2 α דוגמאות שימוש בנוסחאות הקשר בין פונקציות טריגונומטריות שימו לב: אם ידועה אחת מהפונקציות הטריגונומטריות של הזווית והרביע שבו נמצאת הזווית ,אפשר לחשב את כל הפונקציות האחרות של אותה הזווית. פתרון דוגמה 1 נתון: 2 3 5 3π <π<t 2 – = sin t הזווית tנמצאת ברביע ה.III - 16 3 = cos t = 1 – sin2t = 1 – 25 5 16 4 – = cos t =− 25 5 הסימן מינוס מופיע מכיוון שברביע הIII - 2 הקוסינוס הוא שלילי. מצאו.ctg t ,tg t ,cos t : sin t 3 4 3 = = − : − cos t 5 5 4 1 4 = tg t 3 דוגמה 2 = tg t = ctg t פתרון נתון: 2 8 1 = sin α = 1 – cos α = 1 – 9 3 8 2 2 – = sin α =− 9 3 2 1 3 = cos α 3π α∈ , 2π 2 הזווית αנמצאת ברביע ה.IV - מצאוctg α, tg α, sin α : 2 הסימן מינוס מופיע מכיוון שברביע הIV - הסינוס הוא שלילי. sin α 2 2 2 =− = tg α : = −2 2 cos α 3 3 1 1 2 2 = : =− tg α 2 2 3 4 128 = ctg α דוגמאות שימוש בנוסחאות הקשר בין פונקציות טריגונומטריות )המשך( דוגמה 3 נתון: פתרון tg x = –10 π <x<π 2 1 1 1 = = 2 1 + rg x 1 + 100 101 1 – = cos x 101 הסימן מינוס מופיע מכיוון שברביע ה II - הקוסינוס הוא שלילי. 1 = sin x = tg x • cos x 101 1 1 =− = ctg x tg x 10 = cos2x הזווית xנמצאת ברביע ה.II- מצאו.ctg x ,cos x ,sin x : מחזוריות הפונקציות הטריגונומטריות תנועה סיבובית של הנקודה הטריגונומטרי היא מחזורית: כל סיבוב שלם מחזיר את הנקודה לאותו מקום. מכיוון שמקום הנקודה במעגל קובע את הערכים של הפונקציות הטריגונומטריות של זווית הסיבוב, אלה גם חוזרים על עצמם לאחר סיבוב שלם אחד )או כמה סיבובים(. P במעגל לפונקציות סינוס וקוסינוס המחזור הקטן ביותר שווה ל 2π = 360°-רדיאן: )sin α = sin (α + 2πk … k = 0, ±1, ±2, )cos α = cos (α + 2πk 129 מחזוריות הפונקציות הטריגונומטריות )המשך( לפונקציות טנגנס וקוטנגנס המחזור הקטן ביותר שווה ל180°- או πרדיאן: מספר kמציין את מספר הסיבובים השלמים שאותם עברה הנקודה. אם kחיובי ) – (k > 0הנקודה מסתובבת נגד מגמת השעון ,אם kהוא שלילי -הנקודה מסתובבת בכיוון מגמת השעון. דוגמאות פתרון .1חשבו: sin 765° מציגים זווית של הפונקציה כמספר שלם של מחזורים ושארית הקטנה מהמחזור: 2 2 =sin765° = sin (2⋅360°+45°)=sin 45° 2 תשובה: 2 .2חשבו: )cos (-1170° פתרון = )cos (-1170°) = cos (1170° = cos (3⋅360° + 90°) = cos 90° = 0 את סימן המינוס משמיטים ,מכיוון שקוסינוס הוא פונקציה זוגית. תשובה.0 : 130 זוגיות ואי-זוגיות של פונקציות טריגונומטריות פונקציה בדיקת זוגיות זוגית -אי-זוגית אי-זוגית sin x cos x זוגית tg x אי-זוגית ctg x אי-זוגית דוגמאות 131 גרף ותכונות עיקריות של הפונקציה y = sin x תכונות הפונקציה y = sin x תחום ההגדרה כל המספרים הממשיים x R תחום הערכים :הפונקציה היא מוגבלת זוגי – אי-זוגי הפונקציה היא אי-זוגית: מחזוריות הפונקציה sin xהיא מחזורית המחזור הקטן ביותר: שורשים )נקודות האפס( תחומי חיוביות תחומי שליליות תחומי עלייה תחומי ירידה נקודות מקסימום נקודות מינימום 132 גרף ותכונות עיקריות של הפונקציה y = cos x תכונות הפונקציה y = cos x תחום ההגדרה כל המספרים הממשיים x ∈ R תחום הערכים ] : y ∈ [ 1, -1הפונקציה היא מוגבלת זוגי – אי-זוגי הפונקציה היא זוגיתcos (-x) = cos x : מחזוריות הפונקציה cos xהיא מחזורית המחזור הקטן ביותר2π : שורשים )נקודות האפס( תחומי חיוביות תחומי שליליות תחומי עלייה תחומי ירידה נקודות מקסימום נקודות מינימום 133 גרף ותכונות עיקריות של הפונקציה y = tg x תכונות הפונקציה y = tg x תחום ההגדרה כל המספרים הממשיים ,מלבד המספרים תחום הערכים כל ציר המספרים; הפונקציה היא בלתי מוגבלת זוגי – אי-זוגי הפונקציה היא אי-זוגיתtg (-x) = -tg x : מחזוריות הפונקציה tg xהיא מחזורית. המחזור הקטן ביותרπ : שורשים )נקודות האפס( תחומי חיוביות תחומי שליליות תחומי עלייה 134 גרף ותכונות עיקריות של הפונקציה y = ctg x תכונות הפונקציה y = ctg x תחום ההגדרה כל המספרים הממשיים ,מלבד המספרים x = π + πk, k ∈ Z תחום הערכים כל ציר המספרים; הפונקציה היא בלתי מוגבלת זוגי – אי-זוגי הפונקציה היא אי-זוגיתctg (-x) = -ctg x : מחזוריות הפונקציה ctg xהיא מחזורית. המחזור הקטן ביותרπ : ctg (x + πk) = ctg x, k ∈ Z שורשים )נקודות האפס( תחומי חיוביות תחומי שליליות תחומי ירידה 135 משוואות טריגונומטריות המשוואה כוללת סינוסים ו/או קוסינוסים בלבד. דוגמאות: משוואה הומוגנית ממעלה שנייה מהסוג: משוואה הומוגנית ראשונה ממעלה מהסוג: משוואה מהסוג: וכדומה. שיטת פתרון שיטת פתרון אפשר להפוך את המשוואה למשוואה ריבועית )או דו-ריבועית( לגבי סינוס )או קוסינוס( מחלקים את שני האגפים בcos x - )בתנאי שהוא אינו שווה לאפס(. מחלקים את שני האגפים ב- מקבלים: מקבלים משוואה ריבועית לגבי טנגנס: נוסחאות שיטת פתרון נוסחאות נוסחאות 143 שיטת פתרון מציבים ומקבלים משוואה ריבועית לגבי טנגנס. נוסחאות משוואות טריגונומטריות המשוואות הבסיסיות cos x = a sin x = a הערה :למשוואות האלה קיים פתרון רק במקרים שבהם הערך המוחלט של aלא גדול מ:1- cot x = a tan x = a הערה :למשוואות האלה קיים פתרון לכל הערכים של .a .Iהמשוואה הבסיסית sin x = a הפתרון על פי השרטוט לשתי הזוויותα1 , ו ,α2 -ערך הסינוס שווה ל:a - מכיוון שפונקצית סינוס היא מחזורית בעלת מחזור של ,2πkלמשוואה sin x = aשתי קבוצות שורשים מהסוג: 144 .IIהמשוואה הבסיסית cos x = a הפתרון על פי השרטוט לשתי הזוויות α ,ו-α - ערך הקוסינוס שווה ל:a - מכיוון שפונקצית הקוסינוס היא מחזוריות בעלת מחזור של ,2πkלמשוואה cos x = a שתי קבוצות שורשים מהסוג: פתרון המשוואות הבסיסיות sin x = aוcos x = a - במקרים מיוחדים פתרון פתרון משוואה 145 משוואה פתרון המשוואות הבסיסיות במקרים מיוחדים )המשך( sin x = a פתרון משוואה ו- פתרון .IV -IIIהמשוואות הבסיסיות לשתי המשוואות הפתרונות קיימים תמיד ,לכל הערכים של ,aמכיוון שתחום הערכים של הפונקציות – כל המספרים הממשיים. על פי הגרפים ,מספר הפתרונות הוא אינסופי )הפונקציות מחזוריות( ,ואפשר לכתוב אותם בנוסחה אחת לכל משוואה: 146 tg x = a cos x = a משוואה ו- ctg x = a פתרון המשוואות הבסיסיות tg x = aו- במקרים מיוחדים פתרון פתרון משוואה 147 ctg x = a משוואה פתרון משוואות טריגונומטריות .1המשוואות המובאות למשוואות ריבועיות דרך הפתרון .1להביא את המשוואה לביטוי הכולל פונקציה אחת בלבד. .2לפתור משוואה ריבועית לגבי אותה הפונקציה. דוגמה: פתרון: 2 במקום x cosמציבים את ביטויו באמצעות סינוס ,ומקבלים: פותחים סוגריים: מגדירים נעלם חדש: מקבלים משוואה ריבועית: פותרים אותה: אין פתרון תשובה: 148 .3לפתור משוואה בסיסית מהסוג: sin x = a cos x = a tg x = b ctg x = a .2המשוואות שבהן אפשר לפרק אגף שמאל לגורמים דוגמה: פתרון הגורם השני: פתרון המשוואה: .3משוואה הומוגנית )אחידה( מהמעלה הראשונה הגדרה :המשוואה מהסוג a sinx + b cosx +c = 0נקראת משוואה טריגונומטרית הומוגנית מהמעלה הראשונה. דרך הפתרון: לאחר חלוקת שני האגפים ב cos x -מתקבלת משוואה פשוטה לגבי טנגנסa⋅tg x + b = 0 : דוגמה: פתרון המשוואה: 149 משוואה הומוגנית מהמעלה השנייה.4 נקראתa⋅sin2x + b sinx⋅cosx + d = 0 המשוואה מהסוג .cos x- וsin x משוואה הומוגנית ממעלה שנייה לגבי :הגדרה :דרך הפתרון .d⋅1 = d⋅(sin x + cos x) :( בצורה הבאהd ≠ 0 )במקרה שלd מציגים את 2 2 . ומקבלים כתוצאה משוואה ריבועית לגבי טנגנסcos2x -מחלקים את שני האגפים ב :דוגמה :פתרון :תשובה a sinx + b cosx = c פתרון המשוואה מהסוג.5 .( באמצעות משתנה עזרa≠0, b≠0, c≠0) : מחלקים את שני האגפים בשורש:דרך הפתרון :קיבלנו משוואה בסיסית נשתמש בנוסחה של קוסינוס :ההפרש : חדשהϕ נגדיר זווית 150 .5פתרון המשוואה מהסוג a sinx + b cosx = c ) (a≠0, b≠0, c≠0באמצעות משתנה עזר )דוגמה(. פתרו משוואה: נרשום נתונים ונחשב שורש: נחלק את שני האגפים של המשוואה ב:10 - נגדיר זווית ϕחדשה באמצעות הקוסינוס: והסינוס שלה: נציב במשוואה: נשתמש בנוסת קוסינוס הפרש הזוויות: קיבלנו משוואה בסיסית; פותרים אותה ומקבלים תשובה סופית: .6פתרון המשוואה מהסוג a sinx + b cosx = 0 פתרו משוואה: ברור שקוסינוס אינו שווה לאפס: cos x ≠ 0 אחרת היינו מקבלים מהמשוואה גם ,sin x = 0 מה שלא יכול להתקיים בו-זמנית. נחלק את שני האגפים ב:cos x - נמצא טנגנס הזווית ,נפתור משוואה בסיסית ,ונקבל תשובה: 151 פתרון משולשים ביטוי משפט משפט סינוסים Rהוא רדיוס המעגל החוסם. משפט קוסינוסים תיכון - קטע המחבר קודקוד עם אמצע הצלע מולו. ביטוי לאורך תיכון המועבר מקודקוד :A גובה - אנך היורד מקודקוד לצלע ממול. ביטוי לאורך הגובה היורד מקודקוד :A חוצה זווית – קטע שקצותיו בקודקוד הזווית ובצלע שמולה ,והוא חוצה את הזווית. ביטוי לאורך חוצה הזווית :A 152 פתרון משולשים ביטוי )המשך( שרטוט משפט טנגנסים רדיוס מעגל חסום - pחצי היקף של המעגל. שטח משולש = משפט ֶגרון שטח משולש: - pחצי היקף של המעגל כאשר a = b = cאז: 153 פתרון משולשים באמצעות משפטים מטריגונומטריה נתון פתרון מצא את הזוויות ∠Bו ∠C -מחשבים בעזרת המחשבון. את הזווית ∠Aמחשבים בעזרת המחשבון. את הזווית ∠Bמחשבים בעזרת המחשבון. 154
© Copyright 2024