מבוא למשוואות דיפרנציאליות חלקיות ־ 80711

‫מבוא למשוואות דיפרנציאליות חלקיות ־ ‪80711‬‬
‫אור דגמי‪[email protected] ,‬‬
‫‪ 23‬בינואר ‪2013‬‬
‫אתר אינטרנט‪http://digmi.org :‬‬
‫סיכום הרצאות של פרופ׳ מתניה בן־ארצי בשנת לימודים ‪.2013‬‬
‫ספר לימוד של פינצ׳ובר־רובינשטיין ־ מבוא למד״ח )ספר בעברית מהטכניון‪ .‬הוא גם יצא באנגלית‬
‫‪ (Cambridge U. Press, Pinchover Rubinstein‬מומלץ להשתמש באנגלית‪ ,‬אבל יש רק אחד בספריה‬
‫והוא שמור‪ .‬בעברית יש מספר עותקים‪.‬‬
‫יהיה בוחן אמצע ומבחן סופי שיתבסס על תרגילים מהשיעורי בית שאינם להגשה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪I‬‬
‫משוואות מסדר ראשון‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫סיסמה כללית‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫משוואה לינארית וקוואזי־לינארית‬
‫‪ 2.1‬המשוואה הלינארית הכללית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫משפט הקיום והיחידות למשוואות קוואזי־לינאריות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪2.1.1‬‬
‫‪ 2.2‬קווים קרקטריסטיים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.3‬דוגמה למשוואה לינארית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.4‬דוגמה של משוואה קוואזי לינארית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11‬‬
‫‪12‬‬
‫‪3‬‬
‫פתרון חלש‬
‫‪ 3.1‬מהו פתרון חלש? ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.2‬דוגמה של שימוש בפתרון חלש עם משוואת בורגרס ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.2.1‬דוגמאות לפתרונות חלשים במשוואת ‪. . . . . . . . . . . . . . . . uy + uux = 0 Burgers‬‬
‫‪ 3.3‬פתרון לא יחיד ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.4‬חוק השימור הכללי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪14‬‬
‫‪14‬‬
‫‪14‬‬
‫‪17‬‬
‫‪18‬‬
‫‪20‬‬
‫‪II‬‬
‫‪23‬‬
‫משוואת הגלים‬
‫‪4‬‬
‫משוואת הגלים במימד יחיד‬
‫‪ 4.1‬הגדרת המשוואה ‪. . . . . . .‬‬
‫‪ 4.2‬הפתרון הכללי למשוואת הגלים‬
‫‪ 4.3‬פתרון ספציפי ‪. . . . . . . . .‬‬
‫‪ 4.4‬יציבות פתרונות ‪. . . . . . . .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪24‬‬
‫‪24‬‬
‫‪24‬‬
‫‪26‬‬
‫‪27‬‬
‫‪5‬‬
‫משוואת הגלים ב ‪Rn‬‬
‫‪ 5.1‬הכללה למימד גבוהה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 5.2‬ממוצעי פונקציות )ממוצעים כדוריים( ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 5.3‬ממשוואת ‪ Darboux‬אל משוואת הגלים‪ .‬או‪ :‬משוואת ‪. . . . . . . . . . Euler-Poisson-Darboux‬‬
‫‪30‬‬
‫‪30‬‬
‫‪30‬‬
‫‪31‬‬
‫אופטרטורים מדרגה כלשהי‪ ,‬משטחים קרקטריסטיים ומשפט ‪Cauchy-Kowalewski‬‬
‫‪35‬‬
‫‪III‬‬
‫‪6‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫במה מדובר?‬
‫‪ 6.1‬מולטי־אידקסים ‪. . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫אופרטור ‪. . . . . . . :D‬‬
‫‪6.1.0.1‬‬
‫משפט הבינום‪. . . . . . :‬‬
‫‪6.1.0.2‬‬
‫פולינום טיילור מסדר ‪:m‬‬
‫‪6.1.0.3‬‬
‫הפיתוח המולטינומי‪. . . :‬‬
‫‪6.1.0.4‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪36‬‬
‫‪36‬‬
‫‪36‬‬
‫‪36‬‬
‫‪37‬‬
‫‪37‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪7‬‬
‫פונקציות אנליטיות ממשיות‬
‫‪7.1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪42‬‬
‫טורים במוטלי אינדקס ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪42‬‬
‫‪7.1.1‬‬
‫‪7.1.2‬‬
‫הגדרה ודוגמאות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫טור חזקות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪42‬‬
‫‪43‬‬
‫‪7.1.3‬‬
‫‪7.1.4‬‬
‫עקרונות השוואה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫משפט ההרכבה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪45‬‬
‫‪46‬‬
‫משפט ‪Cauchy-Kovalewski‬‬
‫‪ 8.1‬המקרה הכללי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪48‬‬
‫‪48‬‬
‫‪IV‬‬
‫‪9‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫משוואת ‪ Laplace‬ו‪ Poisson :‬ב ‪Rn‬‬
‫‪54‬‬
‫משוואת ‪Laplace‬‬
‫‪55‬‬
‫‪9.1‬‬
‫פונקציות הרמוניות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 9.1.1‬ובחזרה לממוצעים‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...‬‬
‫‪55‬‬
‫‪55‬‬
‫‪9.2‬‬
‫‪9.3‬‬
‫משפט הערך הממוצע )חלק ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2‬‬
‫משפט המקסימום החזק ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪57‬‬
‫‪57‬‬
‫‪ 10‬בעיית דיריכלה )‪(Dirichlet‬‬
‫‪ 10.1‬נוסחאת ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Green‬‬
‫‪60‬‬
‫‪60‬‬
‫‪ 10.2‬הגדרת הפתרון היסודי ב ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rn‬‬
‫‪ 10.2.1‬נגזרות ‪ x‬של )‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Γ (x − y‬‬
‫‪61‬‬
‫‪61‬‬
‫‪ 10.3‬פונקציית גרין ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 10.3.0.1‬שאלה? ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪V‬‬
‫‪ Green‬וגרעין ‪ Poisson‬לכדור )‪BR (0‬‬
‫‪63‬‬
‫‪65‬‬
‫‪10.3.1‬‬
‫פונקציית‬
‫‪. . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪65‬‬
‫‪10.3.2‬‬
‫‪ 10.3.1.1‬גרעין ‪ Poisson‬של )‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BR (0‬‬
‫הסימטריה של פונקציית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Green‬‬
‫‪66‬‬
‫‪67‬‬
‫‪ 10.3.3‬סיכום‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . :‬‬
‫‪ 10.4‬עובדות לגבי גרעין ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Poisson‬‬
‫‪70‬‬
‫‪70‬‬
‫‪ 10.5‬תכונות גרעין ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Poisson‬‬
‫‪ 10.5.1‬מסקנות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪70‬‬
‫‪71‬‬
‫‪ 10.6‬בעיית דיריכלה בתחום כללי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪72‬‬
‫‪80‬‬
‫משוואת החום‬
‫‪ 11‬משוואת החום על רגל אחת‬
‫‪ 11.1‬מה היה עד כה? ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪81‬‬
‫‪81‬‬
‫‪ 11.2‬ממשוואת החום על תחום חסום ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 11.3‬משפט המקסימום מינימום למשוואת החום ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪82‬‬
‫‪82‬‬
‫‪ 11.4‬פתרון משוואת החום ב ‪ t ≥ 0‬ו ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x ∈ R‬‬
‫‪ 11.5‬עקרון ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Duhamel‬‬
‫‪84‬‬
‫‪86‬‬
‫‪3‬‬
‫חלק ‪I‬‬
‫משוואות מסדר ראשון‬
‫‪4‬‬
23/10/2012
5
‫פרק ‪1‬‬
‫סיסמה כללית‬
‫במד״ח מחפשים פונקציה נעלמת‪ ,‬ממש כמו שבמשוואות אלגבריות מחפשים מספר )או סדרה של מספרים(‪ .‬ולכן‬
‫משוואה של סדר ראשון תהיה מהצורה‪:‬‬
‫‪F (x, y, u (x, y) , ux (x, y) , uy (x, y)) = 0‬‬
‫כאשר )‪ u (x, y‬הפונקציה הנעלמת ו‪ ux , uy :‬הנגזרות החלקיות לפי ‪ x, y‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫הערה ‪ 1.0.1‬נשים לב שלקחנו את המקרה ״הכי פשוט״‪ ,‬כלומר שני משתנים בלתי תלויים‪.‬‬
‫דוגמה ‪: 1.0.2‬‬
‫‪x sin (y) eu(x,y) + ux (x, y)2 u (x, y) + ux uy = 0‬‬
‫המטרה למצוא את הפונקציה ‪ u‬המקיימת משוואה זו‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫פרק ‪2‬‬
‫משוואה לינארית וקוואזי־לינארית‬
‫נתחיל במקרה הלינארי‪ ,‬כלומר‪:‬‬
‫)‪a (x, y) ux + b (x, y) uy = c0 (x, y) u (x, y) + c1 (x, y‬‬
‫משוואה זו נקראת משוואה לינארית מכיוון שהיא לינארית ב ‪.u, ux , uy‬‬
‫הגדרה ‪ 2.0.3‬משוואה קוואזי־לינארית‪ :‬משוואה קוואזי לינארית‪:‬‬
‫)‪a (x, y, u) ux + b (x, y, u) uy = c (x, y, u‬‬
‫‪P‬‬
‫כלומר‪ ,‬היא תלויה לינארית רק בנגזרות ‪ .ux , uy‬אבל לא בהכרח תלויה לינארית ב‪.u‬‬
‫דוגמה ‪ : 2.0.4‬נתבונן במשוואה לינארית פשוטה‪:‬‬
‫)‪ux (x, y) = c0 (x, y) u + c1 (x, y‬‬
‫אנו רוצים לפתור את המשוואה במישור ‪ c0 (x, y) , c1 (x, y) .x, y‬נתונות במישור כולו וחלקות‪ .‬דהיינו‪ ,‬קיימות‬
‫שנצטרך‪.‬‬
‫הנגזרות מכל סדר‬
‫´‬
‫‪− x c (ξ,y)dξ‬‬
‫‪ e x0 0‬ונקבל‪:‬‬
‫נכפול ב‪:‬‬
‫‬
‫´‬
‫‪∂ − ´xx c0 (ξ,y)dξ‬‬
‫‪− x c (ξ,y)dξ‬‬
‫‪e 0‬‬
‫‪u (x, y) = e x0 0‬‬
‫)‪· c1 (x, y‬‬
‫‪∂x‬‬
‫ומהמשפט היסודי של החשבון האינפינטסימלי נקבל כי‪:‬‬
‫)‪c1 (t, y) dt + g (y‬‬
‫‪c0 (ξ,y)dξ‬‬
‫‪´t‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪−‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ˆx‬‬
‫= )‪u (x, y‬‬
‫‪c0 (ξ,y)dξ‬‬
‫‪´x‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪−‬‬
‫‪e‬‬
‫כלומר‪ ,‬כל ‪ y‬הוא ״פרמטר״‪.‬‬
‫ובכך‪ ,‬נקבל את )‪ u (x, y‬אם נדע את )‪ .g (y‬כלומר‪ ,‬אם נקח ‪ x = 0‬ונחליט ‪ x0 = 0‬נקבל כי‪:‬‬
‫)‪u (0, y) = g (y‬‬
‫במילים אחרות‪ g (y) ,‬הנתונה לגמרי לבחירתנו תייצג את ערכי )‪ u (x, y‬על הציר ‪.x = 0‬‬
‫מסקנה ‪2.0.5‬‬
‫״תנאי ההתחלה״ של המשוואה הוא פונקציה‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫פרק ‪ .2‬משוואה לינארית וקוואזי־לינארית‬
‫‪ .2.1‬המשוואה הלינארית הכללית‬
‫הערה ‪ x0 2.0.6‬שהשתמשנו באינטגרציה לא חייב להיות קבוע‪ ,‬הוא יכול להיות תלוי ב‪ y‬במקרה בו לא נתונה לנו‬
‫הפונקציה ‪ u‬ב‪ x = 0‬אלא נתון על עקום כלשהו‪ .‬ואז אנו יכולים לפרש את )‪ g (y‬בעזרת שימוש ב ‪ x0‬שונים לפי ‪.y‬‬
‫אם אותו ‪ y‬חוזר פעמיים בעקום‪ ,‬אז ייתכן והמצב יניב סתירה‪ .‬מכיוון שלכל ‪ y‬שנתון ע״י העקום עליו אנו יודעים‬
‫את ‪ u‬הוא מתפתח לפי הערך בנקודה‪ .‬על כן‪ ,‬ייתכן כי אם אותו ‪ y‬חוזר פעמיים בעקום הנתון הערכים לא יתאימו‬
‫להתפתחות‪ .‬כלומר‪ g (y) ,‬יכולה להיות נתונה על קו החותך פעם אחת בלבד כל ישר אופקי )מקביל לציר ‪.(x‬‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪ : 2.0.7‬גם בדוגמה זו נדון במשוואה לינארית‪ ,‬ואף פשוטה יותר‪:‬‬
‫‪ux + uy = 0‬‬
‫משוואה זו בניגוד לקודמת היא בפירוש לא משוואה רגילה‪ .‬ראשית נחפש משהו דמוי הקווים שהיו לנו בדוגמה‬
‫הראשונה‪.‬‬
‫אבחנה‪:‬‬
‫למעשה‪:‬‬
‫‪ ux + uy‬הינה הנגזרת הכיוונית בכיוון האלכסון ‪ .x = y‬נקח את הוקטור )‪ ,α (1, 1‬המשוואה שלנו היא‬
‫‪α∇u = 0‬‬
‫ולכן‪ u ,‬קבועה על כל קו מהצורה ‪ y = x + c‬כאשר ‪ .c ∈ R‬כלומר‪ u ,‬למעשה היא למעשה פונקציה לא של ‪ x, y‬אלא‬
‫של ‪ y − x‬דהיינו‪ .u (x, y) = u0 (y − x) :‬כלומר‪ ,‬בהינתן )‪ ,u0 (c‬לכל ‪ c ∈ R‬הפתרון יהיה )‪.u (x, y) = u0 (y − x‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫‪c‬‬
‫כלומר נקבל כי‪:‬‬
‫נניח ‪,u0 (c) = c2‬‬
‫‬
‫‬
‫נקודת החיתוך עם‬
‫‪.c = −‬‬
‫‪y=0‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪ ,u (x, y) = (y − x‬ובפרט כאשר ‪ y = 0‬מתקיים‪ u (x, 0) = x2 :‬כאשר‪:‬‬
‫הערה ‪ 2.0.8‬נבחין כי אנו גם בדוגמה זו‪ ,‬יכולים לקחת קו אחר‪.‬‬
‫ניתן להסיק את ערכו של ‪ c‬מתוך חיתוך עם קו ‪ Γ‬ובתנאי ש ‪ Γ‬חותך כל ‪ y = x + c‬בדיוק פעם אחת‪ .‬למשל ‪ Γ‬יכול‬
‫להיות‪.{x > 0, y = 0} ∪ {y ≥ 0, x = 0} :‬‬
‫כעת‪ ,‬נסתכל מהכיוון השני‪ .‬תהי )‪ u0 (c‬פונקציה כלשהי‪ .‬נסתכל ב‪ .u (x, y) := u0 (y − x) :‬אז‪:‬‬
‫(‬
‫)‪ux (x, y) = u′0 (y − x) · (−1‬‬
‫‪uy (x, y) = u′0 (y − x) · 1‬‬
‫⇓‬
‫‪ux (x, y) + uy (x, y) = 0‬‬
‫‪2.1‬‬
‫המשוואה הלינארית הכללית‬
‫כפי שכבר ציינו‪ ,‬המשוואה הלינארית הכללית הינה‪:‬‬
‫)‪a (x, y) ux + b (x, y) uy = c0 (x, y) u (x, y) + c1 (x, y‬‬
‫נחשוב על הפתרון )‪ u = u (x, y‬כמשטח ב ‪ .R3‬הרי‪ ,‬פונקציה בשני משתנים מתארת משטח ב ‪.R3‬‬
‫מה הנורמל למשטח הזה? נסמנו ))‪) N (x, y, u (x, y‬אבל לא ננרמל אותו(‪ .‬אנו יכולים לקחת נורמל כזה בצורה‪:‬‬
‫)‪N (x, y) = (ux (x, y) , uy (x, y) , −1‬‬
‫מדוע? המשטח )‪ z = u (x, y‬ניתן לכתיבה כ‪ .u (x, y)−z = 0 :‬מהו ווקטור מאונך למשטח גובה כללי ‪?ϕ (x, y, z) = 0‬‬
‫זהו כמובן )‪.∇ϕ (x, y, z‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ .2.1‬המשוואה הלינארית הכללית‬
‫פרק ‪ .2‬משוואה לינארית וקוואזי־לינארית‬
‫אז במשטח שלנו ‪ ϕ (x, y, z) = u (x, y) − z‬הגרדיאנט הוא כמובן‪:‬‬
‫)‪N (x, y) = (ux (x, y) , uy (x, y) , −1‬‬
‫ואז‪ ,‬המשוואה הכללית ניתנת לכתיבה בצורה הבאה‪:‬‬
‫‪N · (a (x, y) , b (x, y) , c0 (x, y) u (x, y) + c1 (x, y)) = 0‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫)‪K(x,y‬‬
‫‪24/10/2012‬‬
‫במילים אחרות‪ ,‬הוקטור )‪) K (x, y‬בנקודה ))‪ ((x, y, u (x, y‬משיק למשטח הפתרון‪.‬‬
‫‪ 2.1.1‬משפט הקיום והיחידות למשוואות קוואזי־לינאריות‬
‫כפי שראינו כבר‪ ,‬המשוואה הקוואזי לינארית היא‪:‬‬
‫)‪(2.1.1‬‬
‫)‪a (x, y, u) ux + b (x, y, u) uy = c (x, y, u‬‬
‫נתונים‪ :‬קו חלק ב ‪) R3‬לצורך משוואות מסדר ראשון‪ ,‬נגדיר חלק בתור ‪ (C 2‬מהצורה‪,Γ (s) = (x0 (s) , y0 (s) , u0 (s)) :‬‬
‫)‪.s ∈ (a, b‬‬
‫משפט ‪2.1.1‬‬
‫‪a (Γ (s)) y0′‬‬
‫נניח כי ‪ a, b, c‬הן פונקציות חלקות בסביבה של נקודה ) ‪ .Γ (s0‬נניח כי קיים ‪ δ > 0‬כך שמתקיים התנאי ‪(s)−‬‬
‫‪ b (Γ (s)) x′0 (s) 6= 0‬עבור )‪ .s ∈ (s0 − 2δ, s0 + 2δ‬אזי‪ ,‬קיימת סביבה של })‪ {Γ (s) | s ∈ (s0 − δ, s0 + δ‬שבה‬
‫קיים פתרון יחיד למשוואה )‪ (2.1.1‬המקיים‪.u (x0 (s) , y0 (s)) = u0 (s) :‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסתכל במערכת המשוואות הרגילות‪:‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫‪‬‬
‫))‪ dt x (t, s) = a (x (t, s) , y (t, s) , u (t, s‬‬
‫‪d‬‬
‫))‪dt y (t, s) = b (x (t, s) , y (t, s) , u (t, s‬‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫))‪dt u (t, s) = c (x (t, s) , y (t, s) , u (t, s‬‬
‫‪‬‬
‫)‪x (0, s) = x0 (s‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪y (0, s) = y0 (s‬‬
‫‪‬‬
‫)‪u (0, s) = u0 (s‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‪‬‬
‫‪s ∈ s0 − 23 δ, s0 + 23 δ‬‬
‫לפי משפט הקיום והיחידות של מד״ר‪ ,‬קיים ‪ ε0 > 0‬כך שהפתרונות קיימים ויחידים עבור ‪ −ε0 < t < ε0‬ו‪:‬‬
‫‪ .s ∈ s0 − 32 δ, s0 + 23 δ‬פתרונות אלה הם פונקציות ‪ C 2‬בתחום הזה של )‪.(t, s‬‬
‫הפתרונות האלה הם קווים ב ‪ R3‬העוברים דרך ‪) Γ‬לפחות ל ‪.(t = 0‬‬
‫הגדרה ‪ 2.1.2‬קווים אלה נקראים הקווים הקרקטריסטיים של )‪.(2.1.1‬‬
‫‬
‫‬
‫אנו רוצים להראות שהקבוצה ‪ (x (t, s) , y (t, s) , u (t, s)) , t ∈ (−ε0 , ε0 ) , s ∈ s0 − 23 δ, s0 + 32 δ‬היא המשחט‬
‫הפותר‪ ,‬בהסתייגות שאולי נצטרך לצמצם את קטעי ‪.s, t‬‬
‫מה שעלינו לעשות כמובן הוא להחליף את )‪ (t, s‬ב )‪ .(x, y‬נחשב את היעקוביאן‪:‬‬
‫ ‪ ∂x ∂x‬‬
‫‬
‫)‪∂ (x, y‬‬
‫‪a (x (t, s) , y (t, s) , u (t, s)) ∂x‬‬
‫‪∂t‬‬
‫‪∂s‬‬
‫‪∂s‬‬
‫= )‪J (t, s‬‬
‫= ‪= ∂y ∂y‬‬
‫‪b (x (t, s) , y (t, s) , u (t, s)) ∂y‬‬
‫)‪∂ (t, s‬‬
‫‪∂t‬‬
‫‪∂s‬‬
‫‪∂s‬‬
‫נחשב את הדטרמיננטה של היעקוביאן בנקודה ‪.t = 0‬‬
‫)‪det J (t, s) |t=0 = a (Γ (s)) y0′ (s) − b (Γ (s)) x′0 (s‬‬
‫‪9‬‬
‫פרק ‪ .2‬משוואה לינארית וקוואזי־לינארית‬
‫‪30/10/2012‬‬
‫‪ .2.1‬המשוואה הלינארית הכללית‬
‫בגלל התנאי במשפט‪ ,‬ידוע ממשפט הפונקציות הסתומות כי עברו ‪ 0 < ε < ε0‬ו ‪ δ > 0‬מספיק קטן‪ ,‬אכן ניתן להפוך‬
‫את הפונקציות ))‪ (t, s) 7→ (x (t, s) , y (t, s‬עבור ‪ .s0 − δ, s < s0 + δ , −ε < t < ε‬כאשר התמונה היא משטח חלק‬
‫שעליו )‪ t = t (x, y‬ו‪ .s = s (x, y) :‬ואז‪ ,‬נגדיר ))‪.u (x, y) = u (t (x, y) , s (x, y‬‬
‫היא מוגדרת יפה וחלק על ‪ D) (x, y) ∈ D‬הוא התחום עליו הפונקציה ההפוכה עובד(‪ ,‬נראה שהיא פתרון של המשוואה‬
‫)‪.(2.1.1‬‬
‫= ) ‪a (x, y, u (x, y)) ux (. . .) + b (. . .) uy (. . .) = a (ut tx + us sx ) + b (ut ty + us sy‬‬
‫) ‪ut (atx + bty ) + us (asx + bsy‬‬
‫‪∂t‬‬
‫‪∂t‬‬
‫אבל ‪ a = xy‬ו ‪ b = yt‬לכן‪= 1 :‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫= ‪ .atx + bty = xt tx + yt ty‬וכמו כן‪= 0 :‬‬
‫‪∂s‬‬
‫‪∂t‬‬
‫= ‪asx + bsy = xt sx + yt sy‬‬
‫))‪= ut = c (x, y, u (x, y‬‬
‫אבחנה‪ :‬קו שמשיקו )‪ (a, b, c‬מאונך לאנך של הישר הפותר‪ .‬כלומר⇐ משיק למשטח‪ .‬מכיוון ש‪(a, b, c) (ux , uy , −1) = :‬‬
‫‪ .0‬הקווים הנ״ל אמורים להיות אבני הבניין של המשטח של הפתרון‪.‬‬
‫נרצה להראות יחידות של הפתרון‪.‬‬
‫נניח כי קיים משטח פותר )‪ z = f (x, y‬המוגדר בסביבת )) ‪ (x0 (s0 ) , y0 (s0‬ונראה כי הוא מתלכד עם המשטח שבנינו‪.‬‬
‫נסתכל עבור ‪ s‬בסביבה קטנה של ‪ s0‬בפונקציה‪:‬‬
‫))‪Ψ (t, s) = u (t, s) −f (x (t, s) , y (t, s‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫} ‪| {z‬‬
‫הקווים האופייניים‬
‫נגזור כפונקציה של ‪ t‬ונקבל‪:‬‬
‫=‬
‫}‪|{z‬‬
‫כיוון ש ‪f‬פתרון של )‪(2.1.1‬‬
‫הפתרון שבנינו‬
‫= ‪Ψt (t, s) = ut (t, s) − fx xt − fy yt‬‬
‫))‪ut (t, s) − fx · a (x (t, s) , y (t, s) , f (t, s)) − fy · b (x (t, s) , y (t, s) , f (t, s‬‬
‫))‪ut (t, s) − c (x (t, s) , y (t, s) , f (t, s)) = c (t, s, u (t, s)) − c (t, s, f (t, s‬‬
‫כאשר ))‪ .f (t, s) = f (x (t, s) , y (t, s‬לכן‪:‬‬
‫)‪(2.1.2‬‬
‫))‪Ψt = c (t, s, u (t, s)) − c (t, s, u (t, s) − Ψ (t, s‬‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫|‬
‫הגדרת ‪Ψ‬‬
‫לכן‪ Ψ (·, s) ,‬מקיימת משוואה דיפרנציאלית רגילה מסדר ראשון )‪.(2.1.2‬‬
‫‪u0 (s) − u0 (s) = 0‬‬
‫=‬
‫}‪|{z‬‬
‫בגלל התנאי ההתחלה‪f |Γ = u0 (s) :‬‬
‫))‪Ψ (0, s) = u (0, s) − f (x (0, s) , y (0, s‬‬
‫מצד שני‪ ,‬הפונקציה ≡ ‪ 0‬מקיימת את )‪ (2.1.2‬באופן טריוויאלי‪ .‬לכן‪ ,‬בגלל יחידות מד״ר ‪ Ψ (t, s) ≡ 0‬כפונקציה של‬
‫‪ .t‬נניח כי התנאי ‪ .ay0′ − bx′0 |S0 6= 0‬לכן היעקוביאן יהיה רגולי בסביבה של ‪ s0‬על ‪ Γ‬ולכן גם עבור )‪ (t, s‬מספיק‬
‫קרובים ל) ‪ .(0, s0‬ואז נוכל לקבל פתרון יחיד בסביבה מספיק קטנה של )) ‪.(x0 (s0 ) , y0 (s0‬‬
‫הערה ‪ 2.1.3‬מה בעצם אומר התנאי באופן גיאומטרי?‬
‫הוא אומר כי הוקטור‪:‬‬
‫)))‪(a (x0 (s) , y0 (s) , u0 (s)) , b (x0 (s) , y0 (s) , u0 (s‬‬
‫איננו מקביל לווקטור ))‪ (x′0 (s) , y0′ (s‬במישור‪.‬‬
‫הראשון הוא השלכה של המשיק לקרקטריסטיקה היוצאת מ ‪ (x0 (s) , y0 (s) , u0 (s)) ∈ Γ‬על ‪.R‬‬
‫לכן‪ ,‬התנאי אומר שההשלכות של הקרקטריסטיקה ו‪ Γ‬הן טרנסוורסליות )יש בניהן זווית לא טריוויאלית‪ ,‬לא אפס(‬
‫לכל ‪ s‬בקטע הפרמטרי )על ‪ .(Γ‬ולכן‪ ,‬התנאי נקרא תנאי הטרנסוורסליות‪.‬‬
‫בקיצור‪ Γ ,‬איננו קרקטריסטי עבור שום ‪ s‬בסביבה ‪.s0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ .2.2‬קווים קרקטריסטיים‬
‫‪2.2‬‬
‫פרק ‪ .2‬משוואה לינארית וקוואזי־לינארית‬
‫קווים קרקטריסטיים‬
‫המקרה ה״פרטי״ של משוואה קוואזי־לינארית הוא כמובן המשוואה הלינארית‪:‬‬
‫)‪(2.2.1‬‬
‫)‪a (x, y) ux + b (x, y) uy = c0 (x, y) u + c1 (x, y‬‬
‫המשוואות הקרקטריסטיות‪:‬‬
‫))‪= a (x (t, s) , y (t, s‬‬
‫))‪= b (x (t, s) , y (t, s‬‬
‫)‪dx(t,s‬‬
‫‪dt‬‬
‫)‪dy(t,s‬‬
‫‪dt‬‬
‫(‬
‫עומדות בפני עצמן‪.‬‬
‫הקווים הקרקטריסטיים נקבעים )במישור ‪ (x, y‬ללא תלות ב )‪!u0 (s‬‬
‫מהי המשמעות שלהם?‬
‫לאורך כל קו כזה‪ ,‬הפתרון מתקדם ״באופן עצמאי״‪ .‬כלומר‪:‬‬
‫))‪= c0 (x (t, s) , y (t, s)) u (t, s) + c1 (x (t, s) , y (t, s‬‬
‫)‪du (t, s‬‬
‫‪| dt‬‬
‫} ‪{z‬‬
‫אגף שמאל ב )‪(2.2.1‬‬
‫‪ s‬פרמטר!‬
‫‪31/10/2012‬‬
‫נזכור כי‪ x (t, s) , y (t, s) :‬כבר ידועים‪ .‬זאת משוואה לינארית מסדר ראשון ל )‪ u (t, s‬כפונקציה של ‪ .t‬וביודענו את‬
‫)‪ u (0, s) = u0 (s‬אנו יודעים את )‪ u (t, s‬לכל )‪.t ∈ (−ε, ε‬‬
‫‪2.3‬‬
‫דוגמה למשוואה לינארית‬
‫נחזור להתבונן במוושאה כמעט והכי פשוטה‪:‬‬
‫‪uy + cux = 0‬‬
‫נתונה‪:‬‬
‫)‪u (x, 0) = h (x‬‬
‫ו‪ c ∈ R‬קבוע‪.‬‬
‫הקווים האופיניים הם‪:‬‬
‫‪du‬‬
‫‪=0‬‬
‫} ‪|dt{z‬‬
‫)‪u(t,s)=h(s‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪= 1,‬‬
‫} ‪|dt{z‬‬
‫‪y(t,s)=t‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪=c ,‬‬
‫} ‪|dt{z‬‬
‫‪x(t,s)=s+ct‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫)‪u (x, y) = h (x − cy‬‬
‫נבדוק‪:‬‬
‫‪= h′ (. . .) · 1‬‬
‫)‪= h′ (. . .) (−c‬‬
‫כלומר אם נציב במשוואה אכן נקבל ‪.0‬‬
‫‪11‬‬
‫‪ux‬‬
‫‪uy‬‬
‫‪ .2.4‬דוגמה של משוואה קוואזי לינארית‬
‫פרק ‪ .2‬משוואה לינארית וקוואזי־לינארית‬
‫הפתרון הנ״ל קבוע על כל קו מהצורה ‪ .x − cy = k = const‬כלומר‪ ,‬על כל אחד מהקווים המקבילים של המשפחה‬
‫‪. dx‬‬
‫‪ ,x = cy + k‬או ‪dy = x‬‬
‫‪. dx‬‬
‫במילים אחרות‪ ,‬הפתרון הוא ״גל נוסע״ במהירות ‪dy = c‬‬
‫נשים לב כי‪:‬‬
‫)‪(x′0 (s) , y0′ (s)) = (1, 0‬‬
‫)‪(a, b) = (c, 1‬‬
‫כלומר‪ ,‬מתקיים תנאי הטרנסוורסליות‪.‬‬
‫‪2.4‬‬
‫דוגמה של משוואה קוואזי לינארית‬
‫נרצה קצת לסבך את העניינים‪ ,‬נעבור למשוואה הקוואזי־לינארית‪:‬‬
‫)‪(2.4.1‬‬
‫‪uy + uux = 0‬‬
‫משוואה זו נקראת משוואת ‪ .Burgers‬היא קוואזי־לינארית‪ ,‬לכן שוב אם‪ u (x, 0) = h (x) :‬ו )‪ h (x‬חלקה‪ ,‬אזי קיים‬
‫פתרון יפה בסביבת ‪ .y = 0‬כאשר מתקיים תנאי הטרנסוורסליות כאשר‪:‬‬
‫)‪(x′0 (x) , y0′ (s)) ≡ (1, 0) ∦ (a (x0 (s) , y0 (s) , u0 (s)) , b (. . .)) ≡ (u0 (s) , 1‬‬
‫לכן מתקיים תנאי הטרנסוורסליות תמיד כיוון שהקאורדינטה השניה תמיד יש ‪.1‬‬
‫אנו רוצים לפתור בשיטה של הוכחת המשפט‪ ,‬אבל ראשית נביט בנקודת מבט גיאומטרית‪.‬‬
‫במקרה הזה ‪ c = u‬שזה מוזר‪ .‬לאורך הקו ששיפועו ‪ u‬הפונקציה הפותרת ‪ u‬תהא קבועה‪ .‬לכן הקו חייב להיות‬
‫ישר ושיפועו יהיה ‪ u‬איפה שהוא התחיל‪ ,‬כלומר בחיתוך עם ציר ה‪ ,x‬נגדיר נקודה כזו בתור ‪ s0 = x0‬כלומר‪ ,‬שיפועו‬
‫) ‪.u (x0 , 0) = h (x0‬‬
‫נניח כעת כי יש לנו ‪ x1 < x0‬כך ש ) ‪ h (x1 ) > h (x0‬אבל נשים לב שבמקרה כזה תיהיה לנו התנגשות של הקווים‬
‫בנקודה החיבור‪ ,‬ולכן כאן נשבר לנו הפתרון מכיוון שאז‪:‬‬
‫(‬
‫) ‪h (x1‬‬
‫=‪u‬‬
‫) ‪h (x0‬‬
‫זה מראה לנו שלא תמיד קיים פתרון לכל זמן‪.‬‬
‫כעת נפתור את זה בשיטה הקודמת‪:‬‬
‫‪dx‬‬
‫)‪= u (t, s‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪du‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪dt‬‬
‫= )‪a (x, y, u‬‬
‫מכאן נובע‪ ,‬כי )‪) y (t, s) = t ,u (t, s) = h (s‬מכיוון שבזמן ‪ t = 0‬הוא שווה ‪ (0‬ולבסוף‪.x (t, s) = s + th (s) :‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫))‪u (x, y) = h (x − yu (x, y‬‬
‫זוהי משוואה סתומה ל )‪ u (x, y‬שיש לה פתרון חלק עבור סביבה קטנה של קטע )‪ (α, β‬סופי לכל ‪ α < β ∈ R‬בגלל‬
‫משפט הפונקציות הסתומות‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫פרק ‪ .2‬משוואה לינארית וקוואזי־לינארית‬
‫‪ .2.4‬דוגמה של משוואה קוואזי לינארית‬
‫בדוגמה הקודמת הפתרון של )‪ u (x, y) = h (x − cy‬היה פתרון יפה לכל )‪ (x, y‬כאשר רמת החלקות שלו )הרגולריות‬
‫שלו( זהה לזו של ‪ h‬הנתונה‪.‬‬
‫‪06/11/2012‬‬
‫מצד שני‪ ,‬ראינו כי זה גל נוסע במקום לדבר על כמה חלקות יש‪ ,‬אנו רוצים לדבר על המב ההפוך‪ .‬כאשר ‪,h (x) = 1‬‬
‫‪ u (x, 0) = 1‬עבור ‪ x < 0‬ואילו‪ u (x, 0) = 0 :‬עבור ‪ x > 0‬ונקבל למעשה פונקציית מדרגה אשר פותרת את המשוואה‬
‫על אף שאיננו יודעים כיצד לגזור אותה‪.‬‬
‫איך אנו רואים את החילוץ של ‪ u‬בעזרת משפט הפונקציות הסתומות? נסמן‪ .G (x, y, u) = u − h (x − yu) :‬ואז אנו‬
‫‪ ∂G‬כלומר‪:‬‬
‫דורשים‪ .G (x, y, u) = 0 :‬לשם שימוש במשפט הפונקציות הסתומות לחליוץ ‪ u‬נדרש ‪∂u 6= 0‬‬
‫‪1 + h′ y 6= 0‬‬
‫כלומר‪ ,‬כל זמן ש‪ y 6= − h1′ :‬ניתן לפתור ולקבל את )‪ .u (x, y‬נניח כי ) ‪ h (s1 ) > h (s2‬כאשר ‪ .s1 < s2‬אבל אז‬
‫השיפוע של הקו הקרקטריסטי של ‪ s2‬יהיה גדול יותר כאשר אנו מתקדמים ב ‪) y‬למעשה ב‪ (t‬ועל כן הקווים יחתכו‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪b‬‬
‫‪x‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪s1‬‬
‫‪s2‬‬
‫) ‪h(s1 ) > h(s2‬‬
‫באופן כללי‪ ,‬אם ‪ h′ (s) < 0‬אזי הקרקטיסטיקה המתחילה ב ‪ s1‬תחתוך את זאת המתחילה ב ‪ s2‬אם ‪.s2 > s1‬‬
‫‬
‫‬
‫אם נחזור לתנאי )‪ y = − h′1(s‬אזי ה״שבר״ יקרה ב‪:‬‬
‫)‪ .0 < yc = min − h′1(s‬כלומר‪ ,‬קיים פתרון קלאסי‬
‫‪s∈R‬‬
‫‪.0 ≤ y < yc‬‬
‫נחזור )עבור ‪ (0 < y < yc‬למשוואה הסתומה‪ .u (x, y) = h (x − yu (x, y)) :‬אנו יודים כי ניתן לגזור‪:‬‬
‫))‪ux (x, y) = h′ (x − yu (x, y)) (1 − yux (x, y)) ⇒ ux (x, y) [1 + yh′ (x − yu (x, y))] = h′ (x − yu (x, y‬‬
‫כל זמן ש ‪ 1 − yh′ (x − yu (x, y)) 6= 0‬ניתן לחשב את ‪.ux‬‬
‫‪13‬‬
‫פרק ‪3‬‬
‫פתרון חלש‬
‫‪3.1‬‬
‫מהו פתרון חלש?‬
‫בהמשך לדגומה בסוף הפרק הקודם‪ ,‬אנו מעוניינים בפתרון שיהיה קיים מעבר ל ‪ .(y > yc ) y = yc‬ולכן נצטרך להגדיר‬
‫פתרון חלש )‪.(weak solution‬‬
‫נרשום את משוואת ‪ (uy + uux = 0) Burgers‬בצורה‪:‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪u x=0‬‬
‫‪2‬‬
‫הערה ‪ 3.1.1‬הסימן‬
‫‬
‫‪x‬‬
‫‪uy +‬‬
‫‪ u2‬משמעותו גזירה של ‪ u2‬לפי ‪ ,x‬דהיינו‪= 2uux :‬‬
‫‬
‫‪x‬‬
‫‪. u2‬‬
‫נחשוב על ‪ u‬כפתרון קלאסי המאפשר שימוש במשפטי אינפי‪ ,‬בפרט המשפט היסודי‪ ,‬ונבצע אינטגרציה על קטע‬
‫‪ [a, b] ⊆ Rx‬עבור ‪ 0 < y‬קבוע‪.‬‬
‫)‪(3.1.1‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪u (b, y) − u (a, y) = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪u (ξ, y) dξ +‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪a‬‬
‫∂‬
‫‪∂y‬‬
‫הגדרה ‪) 3.1.2‬לא באמת הגדרה פורמלית(‬
‫אם השיוויון הנ״ל מתקיים לכל ‪ a, b ∈ R‬ולכל ‪ y ∈ R+‬נאמר כי )‪ u (x, y‬היא פתרון חלש של המשוואה ‪.uy +uux = 0‬‬
‫בפרט‪ u (x, y) ,‬לא חייבת אפילו להיות רציפה‪.‬‬
‫‪3.2‬‬
‫דוגמה של שימוש בפתרון חלש עם משוואת בורגרס‬
‫לדוגמה‪ ,‬נניח שאנו נמצאים במסגרת של מלבן ‪:(a, b) × (y1 , y2 ) ⊆ R2‬‬
‫‪14‬‬
‫ פתרון חלש‬.3 ‫פרק‬
‫ דוגמה של שימוש בפתרון חלש עם משוואת בורגרס‬.3.2
y
y2
b
y1
b
x = γ (y)
x
b
b
a
b
‫ בשני החלקים של המלבן‬.x = γ (y) ‫ שהוא בעל קפיצה לאורך קו חלק‬u (x, y) ‫ומניחים כי קיים פתרון חלש‬
.‫ חלקה‬u (x, y) ‫)המופרדים ע״י הקו( הפונקציה‬
:3.1.1 ‫לפי‬


γ(y)
ˆ
ˆb
∂ 
1
 1
2
u (ξ, y) dξ  + u (b, y) − u (a, y) = 0
u (ξ, y) dξ +

∂y
2
2
a
γ(y)
:‫לכן‬
γ(y)
ˆ
1
+
−
γ (y) u γ (y) , y +
− u2 (ξ, y) ξ dξ − γ ′ (y) u γ (y) , y +
|
{z
} a | 2 {z
{z
}
|
}
h´
i
´ γ(y)
∂
b
‫לפי המשוואה‬
∂
]
∂y [ a
∂y
γ(y)
′
ˆb
γ(y)
−
1
1
1 2
2
2
u (ξ, y) ξ dξ + u (b, y) − u (a, y) = 0
2
2
2
:‫ולכן‬
h i 1 2
✘
−
+
2
−
✘✘
γ ′ (y) u γ (y) , y − u γ (y) , y −
u (a,
y) −
u γ (y) , y − ✘
2
2 1
✟
✟
✟
✟
1
✘
2
+
2
✟y)2 − 1 u (a,
✟y)
✘✘
u (b,
y) − u γ (y) , y
+ u✟(b,
=0
✘
✟
2
2
2
✟
✟
h i 1 2 1 2
γ ′ (y) u γ (y)− , y − u γ (y)+ , y − u γ (y)− , y + u γ (y)+ , y = 0
2
2
:‫ לכן נבודד אותו‬γ ′ (y) ‫מייטב עניינינו הוא ב‬
2
2
−
+
i
u
γ
(y)
,
y
−
u
γ
(y)
,
y
1h 1
−
+
=
u γ (y) , y + u γ (y) , y
γ ′ (y) = ·
2 u γ (y)− , y − u γ (y)+ , y
2
15
‫פרק ‪ .3‬פתרון חלש‬
‫‪ .3.2‬דוגמה של שימוש בפתרון חלש עם משוואת בורגרס‬
‫‪ ,( dx‬נמצא את המסקנה הגיאומטרית הבאה‪:‬‬
‫אם משווים זאת עם שיפוע הקרקטריסטיקות )דהיינו )‪dy = u (x, y‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪γ (y‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ : u γ (y)+ , y‬שיפוע‬
‫‪b‬‬
‫‪y‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ : u γ (y)− , y‬שיפוע‬
‫‪x‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪+‬‬
‫‪−‬‬
‫‪.u γ (y) , y > u γ (y) , y‬‬
‫‪{z‬‬
‫| }‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫|‬
‫חיובי בציור‬
‫שלילי בציור‬
‫כלומר שיפוע קו האי־הרציפות הוא ממוצע השיפועים האופיינים משני צדדיו‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 3.2.1‬פתרון )‪ u (x, y‬שיש לו את המבנה הזה )קו אי־רציפות חלק המבדיל שני תחומים חלקיים של ‪ ,(u‬נקרא‬
‫גל הלם )‪.(shock wave‬‬
‫הערה ‪ 3.2.2‬העובדה ש‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪i‬‬
‫ ‪1h‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫= )‪γ ′ (y‬‬
‫‪u γ (y) , y + u γ (y) , y‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(3.2.1‬‬
‫נקראת ‪.Rankine-Hugoniot‬‬
‫הערה ‪ 3.2.3‬הקווים הקרקטריסטיים )האופייניים( יכולים להראות כקווים אקוסטיים‪ .‬כלומר שיפועם הוא מהירות‬
‫התנועה של ההפרעה‪.‬‬
‫כי מהירות גל ההלם היא ממוצע מהירויות ההפרעות משני צדדיו‪ .‬בהנחה‬
‫)‪(3.2.1‬‬
‫‪RH‬‬
‫תנאי‬
‫אומר‬
‫מנקודת מבט זאת‪,‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫שהייתה לנו‪:‬‬
‫‪+‬‬
‫‪−‬‬
‫‪−‬‬
‫‪ .u γ (y) , y > u γ (y) , y‬כלומר‪ ,‬קו ההלם הוא סבסוני )‪ (subsonic‬ביחס לאחוריו ) )‪(γ (y‬‬
‫‪+‬‬
‫וסופרסוני )‪ (supersonic‬ביחס למצב שלפניו ) )‪ .(γ (y‬סוני⇐ מתייחס לשיפוע הקרקטריסטיקה‪.‬‬
‫הערה ‪ 3.2.4‬חוק השימור )‪) (balance law‬ומכאן ‪= 0‬‬
‫‪x‬‬
‫‬
‫‪u2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.(uy +‬‬
‫נחשוב על )‪ (3.1.1‬בתורה הבאה‪ u (x, y) :‬היא איזושהי צפיפות חומר כך ש ‪u (ξ, y) dξ‬‬
‫‪´b‬‬
‫מבטא את כמות החומר‬
‫‪a‬‬
‫בקטע ]‪ [a, b‬בזמן ‪u (ξ, y) dξ .y‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪07/11/2012‬‬
‫∂‬
‫‪∂y‬‬
‫הוא לכן קצב ההשתנות של הכמות הזאת‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪2 u (b, y‬‬
‫לכן מבטא את הכמות‬
‫הזורמת ימינה דרך ‪) b‬כלומר מה שיוצא מהקטע( וכן ‪ 12 u (a, y)2‬הכמות הזורמת ימינה דרך ‪) a‬כלומר מה שנכנס(‪.‬‬
‫תרגילים ‪ ,1-13‬בסעיף ‪ 2.10‬עמוד ‪.67‬‬
‫נתבונן שוב במקרה של ‪ .uy + ux = 0‬אנו רוצים להבין מה המשמעות של הפתרון‪ u (x, 0) = 1 :‬עבור ‪ x < 0‬ו‪:‬‬
‫‪ u (x, 0) = 0‬עבור ‪.x > 0‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪16‬‬
‫פרק ‪ .3‬פתרון חלש‬
‫‪ .3.2‬דוגמה של שימוש בפתרון חלש עם משוואת בורגרס‬
‫לדבר זה קוראים הפיסיקאים קוראים לו מדרגה מתקדמת‪.‬‬
‫לשם כך‪ ,‬נשתמש בפתרון חלש‪ ,‬נבצע אינטגרציה ב ‪ x‬ונדרוש‪:‬‬
‫‪u (ξ, y) dξ + u (b, y) − u (a, y) = 0‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪a‬‬
‫אם קיים קו קפיצה חלק )‪) x = γ (y‬למעשה הקו האדום באיור( אז‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫⇒ ‪u (ξ, y) dξ  + u (b, y) − u (a, y) = 0‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫)‪γ(y‬‬
‫)‪γ(y‬‬
‫ˆ‬
‫‪u (ξ, y) dξ +‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪∂y ‬‬
‫)‪γ(y‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫ ‪h‬‬
‫‬
‫‬
‫ˆ ‪i‬‬
‫)‪✿ −uξ (ξ, y‬‬
‫✘✘ )‪✿ −uξ (ξ, y‬‬
‫✘‬
‫‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫✘‬
‫‪γ (y) u γ (y) , y − u γ (y) , y +‬‬
‫✘‪uy‬‬
‫⇒ ‪(ξ, y)dξ + u (b, y) − u (a, y) = 0‬‬
‫✘‪uy‬‬
‫‪(ξ, y)dξ +‬‬
‫✘‬
‫✘‬
‫‪′‬‬
‫‪a‬‬
‫)‪γ(y‬‬
‫ ‪h‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‪i h‬‬
‫‬
‫‬
‫‪i‬‬
‫‪+‬‬
‫‪✘ + u (b,‬‬
‫✘‬
‫‪✘ u (a,‬‬
‫✘‬
‫✘‬
‫✘‬
‫✘✘‬
‫✘✘‬
‫✘ ‪γ (y) u γ (y)− , y − u γ (y)+ , y − u γ (y)− , y −‬‬
‫‪u (b,‬‬
‫‪y)−‬‬
‫‪u (a,‬‬
‫)‪y‬‬
‫✘‪✘✘ y) − u γ (y) , y +‬‬
‫⇒ ‪✘✘ y) = 0‬‬
‫ ‪h‬‬
‫‬
‫‬
‫‪i‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪γ ′ (y) u γ (y) , y − u γ (y) , y = u γ (y) , y − u γ (y) , y ⇒ γ ′ (y) ≡ 1‬‬
‫‪′‬‬
‫‪3.2.1‬‬
‫דוגמאות לפתרונות חלשים במשוואת ‪uy + uux = 0 Burgers‬‬
‫הדוגמה הראשונה שנרצה להתבונן בה היא‪:‬‬
‫‪x≤0‬‬
‫‪0≤x≤α‬‬
‫‪x≥α‬‬
‫‪x‬‬
‫‪α‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪h (x) = 1 −‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪h(x‬‬
‫‪x‬‬
‫‬
‫אנו מצפים לפתרון קלאסי אם ‪.y < yc = min − h1′ = α‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪du‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪=u‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫כמו שכבר ראינו‪:‬‬
‫)‪x (t, s) = s + th (s‬‬
‫‪y (t, s) = t‬‬
‫)‪u (t, s) = h (s‬‬
‫‪17‬‬
‫פרק ‪ .3‬פתרון חלש‬
‫‪ .3.3‬פתרון לא יחיד‬
‫)‪u (x, y) = h (x − tu‬‬
‫‪y‬‬
‫‪b‬‬
‫‪α‬‬
‫‪y‬‬
‫‪b‬‬
‫‪x‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪x α‬‬
‫)‪= u (x, y‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪α‬‬
‫‪= x−y+y‬‬
‫‪= x−y‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪α‬‬
‫‪1−‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪y‬‬
‫‬
‫‪x0 1 −‬‬
‫‪α‬‬
‫‬
‫‬
‫‪x−y‬‬
‫‪x − 1−‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1 − αx‬‬
‫)‪x 1 − αy − (x − y‬‬
‫‪x − x0‬‬
‫‪α‬‬
‫‬
‫‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫= )‪u (x, y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1 − ya y‬‬
‫‪1 − αy‬‬
‫כלומר החל מהנקודה ‪ α‬הקווים הקרקטריסטיים עולים למעלה בניצב לציר ה‪ x‬ואילו כל היתר נראים כי‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪α‬‬
‫‪x‬‬
‫‪b‬‬
‫‪x α‬‬
‫‪13/11/2012‬‬
‫)בירקרק הקרקטריסטיקות בתחום ‪ ,0 < x < α‬בכחול היתר‪ ,‬הקו האדום הוא הגל הלם(‬
‫כלומר‪ ,‬כל הקרקטריסטיקות מתכנסות לנקודה )‪ (α, α‬ושם הן נפגשות‪.‬‬
‫‪+‬‬
‫‪ u (x, y) = x−α‬לפחות כאשר ‪ y < yc = α‬לא נדון בזה השיעור‪ ,‬הטענה‬
‫מה קורה כאשר ‪ ?α → 0‬הפתרון שלנו‪y−α :‬‬
‫היא שב ‪ 0‬נקבל ‪ 12‬וביתר נקבל ‪ 0, 1‬כמו בדוגמה עם המדרגה‪.‬‬
‫‪ 3.3‬פתרון לא יחיד‬
‫כעת נרצה לעבור להתבונן על מקרה דומה רק קצת שונה‪:‬‬
‫‪x≤0‬‬
‫‪0≤x≤α‬‬
‫‪x≥α‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪α‬‬
‫‪1‬‬
‫‪18‬‬
‫‪‬‬
‫= )‪h (x‬‬
‫פרק ‪ .3‬פתרון חלש‬
‫‪ .3.3‬פתרון לא יחיד‬
‫)‪h(x‬‬
‫‪x‬‬
‫הדברים הברורים‪ u ≡ 0 :‬עבור ‪ x ≤ 0‬וכל ‪ .y ≥ 0‬עבור ‪ x ≥ α‬הקרקטרסיסטיקות הן בשיפוע ‪ 1‬ונושאות ערך‬
‫‪ ,u = 1‬כלומר ‪ u (x, y) = 1‬אם ‪.x ≥ y + α‬‬
‫‬
‫כעת‪ ,‬אם ‪ 0 < x0 < α‬אזי ‪ u = xα0‬ולאורך הקו ‪ x = x0 + xα0 y = x0 1 + αy‬נקבל‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫= ‬
‫‪α+y‬‬
‫‪1 + αy α‬‬
‫= )‪u (x, y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪b‬‬
‫‪α‬‬
‫במקרה הזה‪ ,‬אין לנו ערך קריטי ‪ !yc‬והפתרון ממשיך להיות רציף לכל ‪.y > 0‬‬
‫כאשר ‪ , y ≫ 1‬אנו מקבלים כי הפונקציה )‪ h (x‬הולכת ו״מתרווחת״ באופן לינארי‪ .‬במקום שהעליה תסתיים ב ‪ ,α‬היא‬
‫מסתיימת ב ‪.y + α‬‬
‫הגדרה ‪ 3.3.1‬פתרון כזה נקרא ״גל התרווחות״ )‪.(rarefaction expansion wave‬‬
‫נסתכל בפתרון הגבולי ‪ .α → 0+‬אם נתבונן בתמונה של הקרקטריסטיקות‪ ,‬כל הקווים באגף הימני מתקרבים לאפס‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. α+y‬‬
‫באופן דומה ניתן באופן פורמלי להשאיף את ‪ α‬לאפס ב‬
‫הפתרון הגבולי יהיה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 x ≤ 0‬‬
‫‪u (x, y) = xy 0 ≤ x ≤ y‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 x≥y‬‬
‫כלומר הפתרון הקרקטריסטי הוא‪:‬‬
‫‪x=y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫= )‪u(x, y‬‬
‫‪u(x, y) = 0‬‬
‫‪u(x, y) = 1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪19‬‬
‫פרק ‪ .3‬פתרון חלש‬
‫‪ .3.4‬חוק השימור הכללי‬
‫נבחין כי בתחום הירקרק‪ ,‬השיפוע של הקרקטריסטיקה הוא השיפוע של הקו המחבר את הראשית לנקודה )‪.(x, y‬‬
‫הגדרה ‪ 3.3.2‬הפתרון )‪ u (x, y‬נקרא גל התרווחות מרוכז )‪.(centered rarefaction‬‬
‫תרגיל‪ :‬לוודא שזה פתרון חלש‪.‬‬
‫מה בדבר פתרון עם קפיצה? כלומר קו אי רציפות‪ .‬כאשר ‪ u ≡ 0‬בכל התחום ה״שמאלי״ לקו הקפיצה ו ‪ u ≡ 1‬מימין‬
‫לקו הקפיצה‪ .‬כלומר‪ ,‬פתרון עם קפיצה )‪ x = γ (y‬כאשר ‪ . 12 =γ ′ y‬ניתן לראות כי גם זה פתרון חלש לפי ‪.(3.2.1) RH‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫מסקנה ‪3.3.3‬‬
‫הפתרון הראשון שראינו‪ ,‬וגם הפתרון עם הקפיצה הם שני פתרונות חלשים לאותו תנאי התחלה‪:‬‬
‫(‬
‫‪1 x>0‬‬
‫= )‪u (x, 0‬‬
‫‪0 x<0‬‬
‫כלומר‪ ,‬הגדרת הפתרון החלש גרמה לאי־יחידות‪ .‬למעשה‪ ,‬ה״פתרון הנכון״ הוא הראשון‪ .‬ה״טבע״ אומר אם אין צורך‬
‫בקפיצה‪ ,‬אל תשתמש בה‪.‬‬
‫אנו נגע בהמשך מה המשמעות של ה״טבע״‪ ,‬מכיוון שכן יש לו אנלוג מתמטי‪.‬‬
‫היחידות המתימטית נובעת מהתנאי הבא‪ :‬בכל קפיצה ״מותרות״ הקקטיסטיקות ״נכנסות״ לקפיצה כאשר ↑ ‪ y) y‬גדל(‪.‬‬
‫זהו תנאי האנטרופיה של ‪.(Lax entropy law) Lax‬‬
‫‪ 3.4‬חוק השימור הכללי‬
‫מלים אחדות על חוק השימור הכללי )‪:(Conservation Law‬‬
‫)‪(3.4.1‬‬
‫‪∂u u + ∂x (F (u)) = 0‬‬
‫הערה ‪ 3.4.1‬ל‪.F (u) = 12 u2 ,Burgers‬‬
‫במידה ו ‪ F‬פונקציה חלקה של ‪ ,u ∈ R‬אז מכלל השרשרת‪:‬‬
‫‪∂y u + F ′ (u) ∂x u = 0‬‬
‫לכן לפתרון חלק‪ ,‬הקרקטריסטיה היא‪:‬‬
‫‪du‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dx‬‬
‫)‪= F ′ (u‬‬
‫‪dt‬‬
‫במילים אחרות‪ ,‬הפתרון )החלק( מקיים ‪ u‬קבועה לאורך הקו‪:‬‬
‫‪dx‬‬
‫)‪= F ′ (u‬‬
‫‪dy‬‬
‫כלומר‪ ,‬הקווים הקרקטריסטיים במישור ‪ x, y‬יהיו קווים ישרים‪.‬‬
‫‪20‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪ .3.4‬חוק השימור הכללי‬
‫‪P‬‬
‫פרק ‪ .3‬פתרון חלש‬
‫דוגמה ‪ : 3.4.2‬גם אם היה מדובר ב‪:‬‬
‫‪∂y u + cos u∂X u = 0‬‬
‫במקרה זה‪:‬‬
‫)‪F (u) = sin (u‬‬
‫ואז אם הם נחתכים‪ ,‬לא יתקיים יותר )כלומר ל ‪ y‬גדול יותר( פתרון חלק‪.‬‬
‫אחרי־כן‪ ,‬יהיה פתרון עם קפיצות‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 3.4.3‬פתרון חלש‪ :‬פתרון חלש )‪ u (x, y‬הוא פתחון חסום‪ ,‬רציף למקוטעין‪ ,‬המקיים לכל ‪ y > 0‬ולכל ∈ ‪a < b‬‬
‫‪:R‬‬
‫‪u (ξ, y) dξ + F (u (b, y)) − F (u (a, y)) = 0‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪a‬‬
‫אם הפתרון כולל קפיצה )‪ x = γ (y‬שמשני צדדיה הפתרון חלק‪ ,‬ו ‪ ,a < γ (y) < b‬נקבל כי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪γ(y‬‬
‫ˆ‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪u (ξ, y) dξ  + F (u (b, y)) − F (u (a, y)) = 0‬‬
‫‪∂y ‬‬
‫‪u (ξ, y) dξ +‬‬
‫‪a‬‬
‫)‪γ(y‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪[−∂ξ F (u (ξ, y))] dξ + F (u (b, y)) − F (u (a, y)) = 0‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫)‪γ(y‬‬
‫ˆ‬
‫‪[−∂ξ F (u (ξ, y))] dξ +‬‬
‫‪a‬‬
‫)‪γ(y‬‬
‫‪+‬‬
‫‬
‫‪+‬‬
‫‪−‬‬
‫‪′‬‬
‫‪γ (y) u − u‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪±‬‬
‫‪u± = u γ (y) , y‬‬
‫כעת‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‬
‫✘‬
‫✘‬
‫✘‬
‫✘‬
‫✘‪F‬‬
‫✘‪(u‬‬
‫✘ ‪(a,✘y)) +‬‬
‫✘‪F‬‬
‫✘‪(u‬‬
‫✘‪(b,‬‬
‫✘ ‪y)) − F u+ +‬‬
‫✘‪F‬‬
‫✘‪(u‬‬
‫✘‪(b,‬‬
‫✘ ‪y)) −‬‬
‫✘‪F‬‬
‫✘‪(u‬‬
‫‪(a,✘y)) = 0‬‬
‫✘ ‪γ ′ (y) u− − u+ − F u− −‬‬
‫לכן קיבלנו‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‬
‫‪γ ′ (y) u− − u+ − F u− − F u+ = 0‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫) ‪F (u ) − F (u‬‬
‫])‪[F (u‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫‪u −u‬‬
‫]‪[u‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫= )‪γ ′ (y‬‬
‫מידת הקפיצה‬
‫כלומר הכוונה בצעד האחרון היא שכיוון הקפיצה לא חשוב‪ ,‬העיקר שזה יהיה קונסיסטנטי‪ .‬כמו כן‪ ,‬אנו לא מחלקים‬
‫באפס כי יש קפיצה‪.‬‬
‫‪21‬‬
‫‪ .3.4‬חוק השימור הכללי‬
‫‪P‬‬
‫פרק ‪ .3‬פתרון חלש‬
‫דוגמה ‪: 3.4.4‬‬
‫‪2 1 +‬‬
‫‬
‫‬
‫])‪[F (u‬‬
‫‪1 + 2‬‬
‫‪1 2‬‬
‫=‬
‫‪− u−‬‬
‫‪u‬‬
‫‪u − u− u+ + u−‬‬
‫⇒ ‪u‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫]‪[u‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= )‪F (u‬‬
‫תנאי האנטרופיה )של ‪ (Lax‬יגיד כי קפיצה תהיה מותרת במקרה זה רק אם הקרקטריסטיקות ״נכנסות״ לקפיצה כאשר‬
‫‪ y‬גדל‪ .‬כיוון שהשיפועים הם הם ) ‪ ,F ′ (u− ) , F ′ (u+‬אז אנו צריכים שהתנאי יהיה‪.F ′ (u− ) > γ (y) > F ′ (u+ ) :‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪ : 3.4.5‬זאת אומרת‪ ,‬אם ‪ F (u) = 21 u2‬במקרה של בורגרס‪ ,‬אז‪ .u− > u+ :‬כלומר‪ ,‬הקפיצה היא רק‬
‫קפיצה יורדת‪ ,‬המקרה הראשון שראינו‪.‬‬
‫דוגמה ‪ : 3.4.6‬נסתכל שוב במשוואה )‪ .(Burgers) (2.4.1‬נכפיל ב ‪:u‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪1 3‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪u‬‬
‫‪u‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫אזי תנאי ‪ (3.2.1) RH‬לקפיצה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪1 +‬‬
‫) ‪2 (u+ ) + u+ u− + (u−‬‬
‫‪u + u−‬‬
‫=‪6‬‬
‫‪+‬‬
‫‪−‬‬
‫‪3‬‬
‫‪u +u‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫= ‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫) ‪(u+ ) − (u−‬‬
‫‪(u+ )2 − (u− )2‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1 3‬‬
‫‪u‬‬
‫‪′‬‬
‫= ‪γ (y) = 31 2‬‬
‫‪2u‬‬
‫במילים אחרות‪ ,‬תנאי ‪ (3.2.1) RH‬לשיפוע הקפיצה אינו אינווריאנטי תחת פעולות אלגבריות פשוטות על המשוואה‪.‬‬
‫לכן‪ ,‬המשוואה עצמה צריכה להיות נתונה‪.‬‬
‫‪14/11/2012‬‬
‫‪22‬‬
‫חלק ‪II‬‬
‫משוואת הגלים‬
‫‪23‬‬
‫פרק ‪4‬‬
‫משוואת הגלים במימד יחיד‬
‫‪4.1‬‬
‫הגדרת המשוואה‬
‫משוואת הגלים הינה‪:‬‬
‫‪utt − c2 uxx = 0‬‬
‫)‪(4.1.1‬‬
‫‪ c > 0‬קבוע‪.‬‬
‫אם )‪ v (x, t‬פתרון חלק ) ‪ (C 2‬של ‪ ,vt − cvx = 0‬נגזור לפי ‪:t‬‬
‫‪vtt − c (vt )x = 0‬‬
‫אבל ‪ vt = cvx‬מהמשוואה‪ ,‬לכן קיבלנו כי‪:‬‬
‫‪vtt − c (cvx )x = 0 ⇒ vtt − c2 vxx = 0‬‬
‫כלומר‪ v ,‬היא פתרון משוואת הגלים‪ .‬כלומר מי שפותר את המשוואה שכבר הכרנו‪ ,‬למעשה פותר את משוואת הגלים‪.‬‬
‫כתרגיל‪ ,‬ניתן להראות כי גם ‪ vt + cvx = 0‬פותר את משוואת הגלים‪.‬‬
‫אז במקום לכתוב את משוואת הגלים ניתן לתוב‪:‬‬
‫‪(ut − cux ) (ut + cux ) = 0‬‬
‫וזה כמעט נכון‪ ,‬אבל לא באמת נקבל את משוואת הגלים‪ ,‬אלא‪:‬‬
‫‪u2t − c2 u2x = 0‬‬
‫וזו משוואת האיקונל‪ ,‬שנדבר עליה‪.‬‬
‫‪4.2‬‬
‫הפתרון הכללי למשוואת הגלים‬
‫נניח כי )‪ u (x, t‬פתרון קלאסי בכל ‪ .R2‬נגדיר שינוי משתנים‪:‬‬
‫‪x + ct‬‬
‫‪x − ct‬‬
‫‪24‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪ξ‬‬
‫‪η‬‬
‫פרק ‪ .4‬משוואת הגלים במימד יחיד‬
‫‪ .4.2‬הפתרון הכללי למשוואת הגלים‬
‫כך ש‪ .u (x, t) = w (ξ, η) :‬זאת אומרת‪:‬‬
‫) ‪ut = wξ ξt + wη ηt = wξ · c − cwη = c (wξ − wη‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪utt = c (wξξ c + wξη (−c) − wηξ c − wηη (−c)) = c2 (wξξ + wηη ) − 2c2 wξη‬‬
‫כמו כן‪:‬‬
‫‪ux = wξ ξx + wη ηx = wξ + wη‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪uxx = wξξ + wξη + wηξ + wηη = (ωξξ + wηη ) + 2wξη‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫‪utt − c2 uxx = −4c2 wξη = 0‬‬
‫דהיינו‪ w (ξ, η) :‬מקיימת‪!wξη ≡ 0 :‬‬
‫מסקנה ‪4.2.1‬‬
‫)‪ wξ (ξ, η‬איננה פונקציה של ‪ ,η‬מכיוון שנגזרתה לפי ‪ η‬מתאפסת‪.‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫)‪wξ (ξ, η) = f (ξ‬‬
‫ואז‪:‬‬
‫‪ξ‬‬
‫)‪f (ξ) dξ +G (η‬‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫)‪=F (ξ‬‬
‫ˆ‬
‫= )‪w (ξ, η‬‬
‫|‬
‫וקיבלנו למעשה‪:‬‬
‫טענה ‪4.2.2‬‬
‫כל פתרון חלק של משוואת הגלים נתון ע״י‪:‬‬
‫)‪u (x, t) = F (x + ct) + G (x − ct‬‬
‫)‪ F (x + ct‬קבוע על כל קו מהצורה‪) x + ct = k :‬למעשה‪ ,‬מדובר בפרופיל נוסע במהירות ‪ G (x − ct) .(−c‬קבוע על‬
‫כל קו מהצורה ‪.x − ct = k‬‬
‫שתי משפחות הקווים האלה מהוות את משפחת הקרקטריסטיקות של המשוואה‪.‬‬
‫הערה ‪ 4.2.3‬אלה הן משפחות הקרקטריסטיקות של ‪.vt ± cvx = 0‬‬
‫צורת ניסוח‪:‬‬
‫כל פתרון של משוואת הגלים מורכב משני גלים נוסעים במהירויות ‪.±c‬‬
‫‪25‬‬
‫‪ .4.3‬פתרון ספציפי‬
‫פרק ‪ .4‬משוואת הגלים במימד יחיד‬
‫‪ 4.3‬פתרון ספציפי‬
‫ראינו כי הפתרון הכללי הוא‪:‬‬
‫)‪(4.3.1‬‬
‫)‪u (x, t) = F (x + ct) + G (x − ct‬‬
‫כיצד נמצא פתרון ספציפי של המשוואה? נשים לב כי כל בחירה של )‪ F, G ∈ C 2 (R‬תיתן פתרון של המשוואה‪ .‬גם‬
‫אם ‪ F‬תהיה לא רציפה זה יהיה פתרון )חלש(‪.‬‬
‫נחפש פתרון )‪ u (x, t‬כך ש‪:‬‬
‫)‪u (x, 0) = f (x‬‬
‫ו ‪ .x ∈ R‬אנו בכל המישור‪ ,‬אין לנו תנאי שפה‪ .‬בפרט‪ ,‬בהצבת ‪ t = 0‬ב)‪ (4.3.1‬יש לנו‪:‬‬
‫)‪f (x) = u (x, 0) = F (x) + G (x‬‬
‫אבל זה לא מספיק לנו‪ ,‬כי צריך למצוא ‪ .F, G‬לכן‪ ,‬נצטרך עוד נתון שהוא‪:‬‬
‫)‪ut (x, 0) = g (x‬‬
‫הערה ‪ ux 4.3.1‬לא יעזור לנו כי גם כך יש לנו את )‪ ,f (x‬הנגזרת שלו לא נותנת לנו מידע נוסף‪.‬‬
‫הערה נוספת שלי‪ :‬גם ‪ ut‬במשוואת הגלים‪ ,‬בפיתוח הניוטוני‪ ,‬נותן לנו את המהירות של הגל בנקודה‪ ,‬מידיעת המהירות‬
‫והמיקום נדע כיצד הוא מתקדם‪.‬‬
‫)‪ut (x, t) = cF ′ (x + ct) − cG′ (x − ct‬‬
‫ובפרט‪:‬‬
‫))‪g (x) = ut (x, 0) = C (F ′ (x) − G′ (x‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫])‪g (β) dβ = c [F (x) − G (x)] − c [F (0) − G (0‬‬
‫‪ˆx‬‬
‫‪0‬‬
‫כעת‪ ,‬יש לנו שתי משוואות‪ ,‬ואיתן ניתן לחלץ את ‪ F‬ואת ‪: G‬‬
‫‪´x‬‬
‫])‪ g (β) dβ = c [F (x) − G (x)] − c [F (0) − G (0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫))‪cf (x) = c (F (x) + G (x‬‬
‫מחיבור המשוואות נקבל‪:‬‬
‫])‪g (β) dβ = 2cF (x) − c [F (0) − G (0‬‬
‫‪ˆx‬‬
‫‪cf (x) +‬‬
‫‪0‬‬
‫ומחיסורן נקבל‪:‬‬
‫])‪g (β) dβ = 2cG (x) + c [F (0) − G (0‬‬
‫‪26‬‬
‫‪ˆx‬‬
‫‪0‬‬
‫‪cf (x) −‬‬
‫ יציבות פתרונות‬.4.4
‫ משוואת הגלים במימד יחיד‬.4 ‫פרק‬
:‫ את כלל המשוואות‬2c‫נחלק ב‬
(
1
2f
1
2f
(x) +
(x) −
1
2c
1
2c
´x
g (β) dβ = F (x) −
´0x
g (β) dβ = G (x) +
0
1
2
1
2
[F (0) − G (0)]
[F (0) − G (0)]
:‫לכן‬
F (x + ct) =
G (x − ct) =
1
1
1
[F (0) − G (0)] + f (x + ct) +
2
2
2c
x+ct
ˆ
g (β) dβ
0
1
1
1
− [F (0) − G (0)] + f (x − ct) −
2
2
2c
x−ct
ˆ
g (β) dβ
0
:‫ועל כן‬
f (x + ct) + f (x − ct)
1
u (x, t) = F (x + ct) + G (x − ct) =
+
2
2c
x+ct
ˆ
g (β) dβ
x−ct
:D’Alembert ‫כלומר קיבלנו את נוסחאת‬
f (x + ct) + f (x − ct)
1
u (x, t) =
+
2
2c
x+ct
ˆ
(4.3.2)
g (β) dβ
x−ct
.u (x, 0) = f (x) , ut (x, 0) = g (x) ‫בהינתן‬
.‫ או התחלה טהורה‬,Cauchy ‫בעיה כזו נקראת בעיית‬
‫יציבות פתרונות‬
4.4
‫ יציבות פתרונות‬4.4.1 ‫משפט‬
:‫ כך שאם‬δ > 0 ‫ קיים‬T > 0 ‫ ובהינתן‬ε > 0 ‫בהינתן‬
f − f˜
∞
+ kg − g̃k∞ + F − F̃ ∞,T
F − F̃ ∞,T
:=
< δ ⇒ ku − ũk∞,T < ε
.x, t ‫הנורמות של פונקציות ב‬
sup F (x, t) − F̃ (x, t)
x∈R
|t| < T
.f˜, g̃, F̃ ‫ הוא הפתרון המתאים ל‬u ‫ו‬
:‫הוכחה‬
1
1
u (x, t) = (f (x + ct) + f (x − ct)) +
2
2c
27
x+ct
ˆ
x−ct
1
g (ξ) dξ +
2c
ˆ
Gx,t
F (x, t) dxdt
27/11/2012
‫‪ .4.4‬יציבות פתרונות‬
‫≤ ‪dxdt‬‬
‫פרק ‪ .4‬משוואת הגלים במימד יחיד‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫ ̃‪F − F‬‬
‫‪∞,T‬‬
‫ˆ‬
‫‪Gx,t‬‬
‫‪x+ct‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪kg − g̃k∞ dξ +‬‬
‫‪2c‬‬
‫‪x−ct‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2c‬‬
‫∞‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪δ + T δ + δ · 2cT · T = δ 1 + T + T‬‬
‫‪2c‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫כלומר‪ ,‬עבור‬
‫‪ε‬‬
‫) ‪(1+T + 12 T 2‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫˜‪|u (x, t) − ũ (x, t)| ≤ f − f‬‬
‫< ‪ δ‬נקבל כי הנ״ל קטן מ‪ ε‬כנדרש‪.‬‬
‫הערה ‪ 4.4.2‬אם אנו מעוניינים להעריך את )‪ (u − ũ) (x, t‬רק עבור ‪ x ∈ I = (a, b) ⊆ R‬ו‪ |t| < T :‬אזי מספיק‬
‫להניח קטנות עבור ˜‪ g − g̃ ,f − f‬ו ̃‪ F − F‬בתחום התלות של ‪ .I‬כלומר‪ ,‬בטרפז שבסיסו‪ .(a − cT, b + CT ) :‬וצדדיו‬
‫מחברים את‪ (a − cT, 0) → (a, T ) :‬ו‪.(b + cT, 0) → (b, T ) :‬‬
‫לכל הדברים האלה קוראים ״מהירות ההתפשטות הסופית״‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 4.4.3‬פתרון חזק‪ :‬תהי )‪ ũ (x, t‬פונקציה רציפה ב ‪ .R × R‬נאמר כי )‪ ũ (x, t‬היא פתרון חזק )‪ (strong‬של‬
‫∞‬
‫משוואת הגלים ההומוגנית‪ ,‬אם קיימת סדרה ‪ {ũm (x, t)}n=1‬של פתרונות קלאסיים ) ‪ (C 2‬של המשוואה ההומוגנית‬
‫כך ש‪ ũn (x, t) → ũ (x, t) :‬במ״ש על כל קבוצה קומפקטית של ‪.R × R‬‬
‫משפט ‪4.4.4‬‬
‫תהיינה )‪ f˜, g̃ ∈ C (R‬אזי קיים פתרון חזק יחיד )‪ ũ (x, t‬שמקיים את תנאי ההתחלה ̃‪.f˜, g‬‬
‫∞‬
‫הוכחה‪ :‬נקח סדרות )‪ {fn , gn }n=1 ⊆ C ∞ (R‬כך ש‪ fn → f˜ :‬ו‪ gn → g̃ :‬במ״ש על כל קטע ‪) .[a, b] ⊆ R‬למה קיים‬
‫כזה? כתרגיל!(‬
‫יהי })‪{un (x, t‬הפתרון ההומוגני הקלאסי היחיד עבור ‪ un (x, t) .fn , gn‬נתון ע״י )‪.(4.3.2‬‬
‫‪x+ct‬‬
‫ˆ‬
‫‪gn (ξ) dξ‬‬
‫‪x−ct‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪un (x, t) = (fn (x + ct) + fn (x − ct)) +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2c‬‬
‫∞‬
‫ברור כי })‪ {ũn (x, t‬היא קושי בכל קומפקטית של ‪ .R×R‬לכן‪ {un (x, t)}n=1 :‬מתכנסת במידה שווה בכל קומפקטית‬
‫לפונקציה )‪ .u (x, t‬ולכן )‪ u (x, t‬הוא פתרון חזק לפי הגדרה‪.‬‬
‫בנוסף על כך‪:‬‬
‫)‪u (x, 0) ← ũn (x, 0) = fn (x) → f˜ (x‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫)‪u (x, 0) = f˜ (x‬‬
‫ומה קורה עם ‪ ?g‬נחזור אל זה מחר‪ ,‬לחשוב על זה עד אז‪.‬‬
‫‪28‬‬
‫פרק ‪ .4‬משוואת הגלים במימד יחיד‬
‫‪ .4.4‬יציבות פתרונות‬
‫הערה ‪ 4.4.5‬חזרנו לזה ב‪.28/11/2012‬‬
‫כאמור‪:‬‬
‫‪x+ct‬‬
‫ˆ‬
‫)‪gn (ξ) dξ −→ u (x, t‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪x−ct‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪un (x, t) = (fn (x + ct) + fn (x − ct)) +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫וברור כי )‪ u (x, 0) = f˜ (x‬אבל מה עם הנגזרת? איך אנו מראים את התנאי ההתחלה? נגזור לפי ‪ t‬ונקבל‪:‬‬
‫‪c‬‬
‫‪1‬‬
‫∂‬
‫‪un (x, t) = (fn′ (x + ct) − fn′ (x − ct)) +‬‬
‫])‪[cgn (x + ct) + cgn (x − ct‬‬
‫‪∂t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2c‬‬
‫מזה כשה לנו להגיע למשהו‪ ,‬אבל‪ ,‬זהו פתרון קלאסי ולכן‪ ,‬אנו יכולים להסתכל בכל נקודה‪ ,‬בפרט ‪ t = 0‬ואז נקבל‪:‬‬
‫∂‬
‫)‪un (x, t) |t=0 = gn (x) → g̃ (x‬‬
‫‪∂t‬‬
‫הנגזרת לא בהכרח קיימת‪ ,‬הרי ‪ u‬רק רציפה‪ ,‬לא בהכרח גזירה‪ .‬מה שכן נשמר זה העקבה )‪.(trace‬‬
‫נראה יחידות‬
‫∞‬
‫נניח כי ‪ {vn (x, t)}n=1‬היא סידרה אחרת של פתרונות קלאסיים המתכנסים ל )‪ v (x, t‬במ״ש על כל קומפקט וכך ש‪:‬‬
‫∂‬
‫‪ . ∂t‬צריך להראות כי‪ .u (x, t) = v (x, t) :‬ובאמת‪ ,‬נסתכל על הסידרה‪:‬‬
‫)‪ vn (x, 0) → f˜ (x‬וגם‪vn (x, 0) → g̃ (x) :‬‬
‫})‪ ,{un (x, t) − vn (x, t‬הפונקציות הן כולן פתרונות של המשוואה ההומוגנית )עקרון הסופרפוזיציה(‪ .‬בנוסף לכך‪:‬‬
‫‪un (x, 0) − vn (x, 0) −→ 0‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫במ״ש על כל קטע חסום‪ .‬וגם‪:‬‬
‫∂‬
‫‪(un (x, 0) − vn (x, 0)) −→ 0‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪∂t‬‬
‫אזי‪ ,‬לפי משפט היציבות‪ un (x, t) − vn (x, t) −→ 0 ,‬במ״ש על כל קומפקט של ‪.R × R‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪29‬‬
‫פרק ‪5‬‬
‫משוואת הגלים ב ‪Rn‬‬
‫‪5.1‬‬
‫הכללה למימד גבוהה‬
‫משוואת הגלים ההומוגנית ב ‪ Rn‬היא‪:‬‬
‫‪utt − c2 ∆x u (x, t) = 0‬‬
‫כאשר אנו מחפשים פתרון )‪ u (x, t‬כאשר ‪ x ∈ Rn‬ו ‪ .t ∈ R‬ומתקיים תנאים ההתחלה‪ ut (x, 0) = g (x) :‬ו‪:‬‬
‫)‪.u (x, 0) = f (x‬‬
‫‪5.2‬‬
‫ממוצעי פונקציות )ממוצעים כדוריים(‬
‫הגדרה ‪ 5.2.1‬ממוצעי פונקציות )ממוצעים כדוריים(‪ :‬תהי )‪ h (x‬פונקציה חלקה ב ‪ Rn‬ונגדיר‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪h (y) dSy‬‬
‫= )‪Mh (x, r‬‬
‫‪ωn rn−1 |y−x|=r‬‬
‫‬
‫‬
‫כאשר ‪ .r > 0‬ומתקיים‪) ωn = S n−1 :‬כלומר‪ ,‬מידת הספירה ברדיוס ‪.(r‬‬
‫נשנה קואורדינטות‪ y = x + rξ :‬כאשר ‪ .|ξ| = 1‬נקבל‪:‬‬
‫‪h (x + rξ) dSξ‬‬
‫ˆ‬
‫‪|ξ|=1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ωn‬‬
‫= )‪Mh (x, r‬‬
‫נוסחה זו מוגדרת לכל ‪ r ∈ R‬הפונקציה )‪ Mh (x, r‬חלקה ב ‪ x‬וב ‪ r‬וזוגית ב ‪ .r‬דהיינו‪Mh (x, −r) = Mh (x, r) :‬‬
‫הערה ‪ ,Mh (x, 0) = h (x) 5.2.2‬וכמו כן‪0 :‬‬
‫∂‬
‫= ‪∂r Mh (x, r) |r=0‬‬
‫)נגזרת של פונקציה זוגית(‪.‬‬
‫גזירה‪:‬‬
‫‪gradξ (h (x + rξ)) · ~ndSξ‬‬
‫ˆ‬
‫‪|ξ|=1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ωn r‬‬
‫= ‪hxi (x + rξ) ξi dSξ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫ˆ‬
‫‪|ξ|=1 i=1‬‬
‫‪1‬‬
‫∂‬
‫= )‪Mh (x, r‬‬
‫‪∂r‬‬
‫‪ωn‬‬
‫כאשר ‪ ~n‬הוא נורמל יחידה חיצוני‪ .‬אבל נבחין כי זה מתחיל להריח לנו כמו משפט גאוס‪ ,‬יש לנו אינטגרל על מעטפת‬
‫של פונקציה וקטורית‪ .‬ולכן‪:‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪· r2‬‬
‫= ‪∆ξ h (x + rξ) dξ‬‬
‫‪∆x h (x + rξ) dξ‬‬
‫=‬
‫}‪|{z‬‬
‫‪ωn r |ξ|≤1‬‬
‫‪ωn r‬‬
‫‪|ξ|≤1‬‬
‫‪y = x + rξ‬‬
‫‪dy = rn dξ‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪ˆr‬‬
‫‪r1−n‬‬
‫‪r‬‬
‫‪h (y) dSy‬‬
‫‪· r−n‬‬
‫‪∆x dρ‬‬
‫= ‪∆x h (y) dy‬‬
‫‪ωn‬‬
‫‪ωn‬‬
‫‪|y−x|=ρ‬‬
‫‪|y−x|≤r‬‬
‫‪0‬‬
‫‪30‬‬
‫פרק ‪ .5‬משוואת הגלים ב ‪ .5.3 Rn‬ממשוואת ‪ Darboux‬אל משוואת הגלים‪ .‬או‪ :‬משוואת ‪Euler-Poisson-Darboux‬‬
‫הצעד האחרון‪ ,‬הוא מעבר לקואורדינטות פולריות‪ .‬כעת נבחין כי‪:‬‬
‫)‪dρ · ρn−1 Mh (x, ρ‬‬
‫‪ˆr‬‬
‫‪∆x‬‬
‫‪1−n‬‬
‫ˆ‬
‫‪h (y) dSy = r‬‬
‫‪|y−x|=ρ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫)‪Mh (x,ρ‬‬
‫‪1‬‬
‫·‬
‫‪ωn ρn−1‬‬
‫|‬
‫‪n−1‬‬
‫‪dρ · ρ‬‬
‫‪ˆr‬‬
‫‪∆x‬‬
‫‪1−n‬‬
‫‪=r‬‬
‫‪0‬‬
‫וכל זה כאמור עבור ‪ .r > 0‬כלומר‪ ,‬קילבנו עד כה‪:‬‬
‫)‪dρ · ρn−1 Mh (x, ρ‬‬
‫‪ˆr‬‬
‫∂‬
‫‪Mh (x, r) = r1−n ∆x‬‬
‫‪∂r‬‬
‫‪0‬‬
‫נכפיל ב ‪ rn−1‬ונגזור לפי ‪ r‬על מנת לקבל‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫∂‬
‫)‪rn−1 Mh (x, r) = ∆x rn−1 Mh (x, r‬‬
‫‪∂r‬‬
‫∂‬
‫‪∂r‬‬
‫מהמשפט היסודי‪ ,‬המקום היחידי שנשאר בו ‪ r‬זה בגבול של האינטגרל‪ .‬אבל ‪ r‬לא מושפע ב ‪ ∆x‬ולכן‪:‬‬
‫))‪= rn−1 ∆x (Mh (x, r‬‬
‫‬
‫∂‬
‫נחלק ב ‪ ,rn−1‬אבל קודם נגזור את )‪Mh (x, r‬‬
‫‪rn−1 ∂r‬‬
‫∂‬
‫‪∂r‬‬
‫)‪Mh (x, r) = ∆x Mh (x, r‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫‬
‫‪∂2‬‬
‫∂ ‪n−1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∂r‬‬
‫‪r ∂r‬‬
‫‬
‫ומשוואה זו נקראת משוואה ‪.Darboux‬‬
‫‪ 5.3‬ממשוואת ‪ Darboux‬אל משוואת הגלים‪ .‬או‪ :‬משוואת ‪Euler-Poisson-‬‬
‫‪Darboux‬‬
‫יהי )‪ u (x, t‬פתרון קלאסי של משוואת הגלים ההומוגנית‪ .‬נניח )‪ t) h (x) = u (x, t‬פרמרטר(‪.‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪u (x + rξ, t) dSξ‬‬
‫= )‪Mu (x, r, t‬‬
‫‪ωn |ξ|=1‬‬
‫ו‪:‬‬
‫)‪Mu (x, 0, t) = u (x, t‬‬
‫ונרשות את משוואת ‪:Darboux‬‬
‫= ‪∆x u (x + rξ, t) dSξ‬‬
‫ˆ‬
‫‪|ξ|=1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ωn‬‬
‫= )‪Mu (x, r, t) = ∆x Mu (x, r, t‬‬
‫‬
‫‪∂2‬‬
‫∂ ‪n−1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪∂r2‬‬
‫‪r ∂r‬‬
‫‬
‫אבל אנו דנים על משוואת הגלים! לכן‪:‬‬
‫‪1 ∂2‬‬
‫)‪Mu (x, r, t‬‬
‫‪c2 ∂t2‬‬
‫= ‪u (x + rξ, t) dSξ‬‬
‫ˆ‬
‫‪|ξ|=1‬‬
‫‪1 ∂2‬‬
‫‪∂2‬‬
‫= ‪u (x + rξ, t) dSξ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∂t‬‬
‫‪ωn c2 ∂t2‬‬
‫‪31‬‬
‫ˆ‬
‫‪|ξ|=1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ω n c2‬‬
‫פרק ‪ .5‬משוואת הגלים ב ‪ .5.3 Rn‬ממשוואת ‪ Darboux‬אל משוואת הגלים‪ .‬או‪ :‬משוואת ‪Euler-Poisson-Darboux‬‬
‫כלומר קיבלנו‪:‬‬
‫‪∂2‬‬
‫)‪Mu (x, r, t‬‬
‫‪∂t2‬‬
‫‪28/11/2012‬‬
‫= )‪Mu (x, r, t‬‬
‫‬
‫∂ ‪n−1‬‬
‫‪∂2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪∂r2‬‬
‫‪r ∂r‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪c‬‬
‫ולמשוואה זו נקרא‪.Euler-Poisson-Darboux :‬‬
‫את המשוואה הנ״ל אפשר לפתור‪ ,‬מדובר בפתרונות של פונקציות בסל ועוד דברים מכוערים‪ .‬אבל לא נעשה זאת‪.‬‬
‫כעת נבחין כי עבור משוואת הגלים‪:‬‬
‫(‬
‫)‪Mu (x, r, 0) = Mf (x, r‬‬
‫∂‬
‫)‪∂t Mu (x, r, 0) = Mg (x, r‬‬
‫נתמקד במקרה של ‪ n = 3‬ונקבל‪:‬‬
‫‪∂2‬‬
‫)‪Mu (x, r, t‬‬
‫‪∂t2‬‬
‫= )‪Mu (x, r, t‬‬
‫‬
‫‪∂2‬‬
‫∂ ‪2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∂r‬‬
‫‪r ∂r‬‬
‫‬
‫‪c2‬‬
‫‬
‫‬
‫∂‬
‫∂‬
‫‪∂2‬‬
‫= )‪Mu (x, r, t) + r Mu (x, r, t) = 2 Mu (x, r, t) + r 2 Mu (x, r, t‬‬
‫‪∂r‬‬
‫‪∂r‬‬
‫‪∂r‬‬
‫‬
‫‪ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫∂ ‪r‬‬
‫∂ ‪2‬‬
‫‪1 ∂2‬‬
‫∂‬
‫))‪Mu (x, r, t) = 2 2 Mu (x, r, t) = 2 2 (rMu (x, r, t‬‬
‫‪+‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∂r‬‬
‫‪r ∂r‬‬
‫‪c ∂t‬‬
‫‪c ∂t‬‬
‫‪∂2‬‬
‫∂‬
‫= ))‪(rMu (x, r, t‬‬
‫‪∂r2‬‬
‫‪∂r‬‬
‫כלומר קיבלנו‪:‬‬
‫‪∂2‬‬
‫‪1 ∂2‬‬
‫‪(rM‬‬
‫‪(x,‬‬
‫‪r,‬‬
‫))‪t‬‬
‫=‬
‫))‪(rMu (x, r, t‬‬
‫‪u‬‬
‫‪∂r2‬‬
‫‪c2 ∂t2‬‬
‫כלומר זוהי משוואת הגלים! )יש לבדוק שהמשוואה מתקיים גם ל ‪ r < 0‬על בסיס זוגיות )‪.(Mu (x, r, t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∂2‬‬
‫∂ ‪2‬‬
‫‪(rM‬‬
‫‪(x,‬‬
‫‪r,‬‬
‫))‪t‬‬
‫‪−‬‬
‫‪c‬‬
‫‪(rMu (x, r, t)) = 0‬‬
‫‪u‬‬
‫‪∂t2‬‬
‫‪∂r2‬‬
‫לכן‪ ,‬הפונקציה )‪ rMu (x, r, t‬ל ‪ x ∈ R3‬קבוע ו‪ (r, t) ∈ R × R :‬מקיימת את משוואת הגלים החד־מימדית ב ‪.r, t‬‬
‫עכשיו‪ ,‬נוסחת דלאמברד )‪ (4.3.2‬נותנת‪:‬‬
‫‪r+ct‬‬
‫ˆ‬
‫‪ρMg (x, ρ) dρ‬‬
‫‪r−ct‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪rMu (x, r, t) = [(r + ct) Mf (x, r + ct) + (r − ct) Mf (x, r − ct)] +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2c‬‬
‫נקח ‪ ,t > 0‬אנו רוצים להשאיף את ‪ r → 0‬על מנת לקבל את )‪ .u (x, t‬עבור ‪ r < ct‬מזוגיות ‪ M‬נקבל‪:‬‬
‫‪ct+r‬‬
‫ˆ‬
‫‪ρMg (x, ρ) dρ‬‬
‫‪ct−r‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪rMu (x, r, t) = [(r + ct) Mf (x, r + ct) − (ct − r) Mf (x, ct − r)] +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2c‬‬
‫)בגלל אי זוגיות של הביטוי באינטגרל נקבל כי‪ρMg (x, ρ) dρ = 0 :‬‬
‫‪ct−r‬‬
‫´‬
‫( נחלק ב ‪ r‬ונקבל‬
‫‪r−ct‬‬
‫‪ct+r‬‬
‫ˆ‬
‫‪ρMg (x, ρ) dρ‬‬
‫‪ct−r‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪[(r + ct) Mf (x, r + ct) − (ct − r) Mf (x, ct − r)] +‬‬
‫‪2r‬‬
‫‪2cr‬‬
‫‪32‬‬
‫= )‪Mu (x, r, t‬‬
‫‪ .5.3‬ממשוואת ‪ Darboux‬אל משוואת הגלים‪ .‬או‪ :‬משוואת ‪ Euler-Poisson-Darboux‬פרק ‪ .5‬משוואת הגלים ב ‪Rn‬‬
‫אבל נבחין כי כל פונקציה‪:‬‬
‫)‪z (ct + r) − z (ct − r‬‬
‫)‪−→ z ′ (ct‬‬
‫‪r→0‬‬
‫‪2r‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫∂‬
‫‪1‬‬
‫= )‪lim Mu (x, r, t‬‬
‫)‪(sMf (x, s)) |s=ct + ✁ct · Mg (x, ct‬‬
‫‪∂s‬‬
‫‪✁c‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫‪r→0+‬‬
‫)‪u(x,t‬‬
‫)ערך הפונקציה במקרה של ‪ ρ = ct‬מכיוון שהאינטגרל מצטמצם ואנו מחלקים את אורך האינטגרל(‪ .‬נחליף קצת את‬
‫הסימון ‪ s = ct‬ונקבל‪:‬‬
‫∂ ‪1‬‬
‫)‪(✁ctMf (x, ct)) + tMg (x, ct‬‬
‫‪✁c ∂t‬‬
‫= )‪u (x, t‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫"‬
‫‪#‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫∂‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫= )‪u (x, t‬‬
‫‪f (x + ctξ) dSξ +‬‬
‫‪g (x + ctξ) dSξ‬‬
‫‪∂t ωn |ξ|=1‬‬
‫‪ωn |ξ|=1‬‬
‫‪04/12/2012‬‬
‫וזוהי נוסחת ‪.Kirchoff‬‬
‫תזכורת קלה‪ ,‬קיבלנו‪:‬‬
‫!‬
‫‪f (y) dSy‬‬
‫ˆ‬
‫‪|y−x|=ct‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4πc2 t‬‬
‫∂‬
‫‪g (y) dSy +‬‬
‫‪∂t‬‬
‫‪|y−x|=ct‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫= )‪u (x, t‬‬
‫‪4πc2 t‬‬
‫‬
‫אם ‪ u (x, t) ∈ C 2 R3 × R‬אזי נוסחאת ‪ Kirchoff‬נותנת את הפתרון )יחידות הפתרון החד־מימדי ב ‪ .(r‬בשלב‬
‫מאוחר יותר‪ ,‬נוכיח את יחידות הפתרון )בעזרת שיטת האנרגייה(‪.‬‬
‫נרשום גם‪:‬‬
‫!‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫∂‬
‫‪2‬‬
‫= )‪u (x, t‬‬
‫‪g (x + ctξ) (ct) dSξ +‬‬
‫‪f (x + ctξ) (ct)2 dSξ‬‬
‫‪4πc2 t |ξ|=1‬‬
‫‪∂t 4πc2 t |ξ|=1‬‬
‫שזה אותה משוואה כמו קודם‪ ,‬רק בנרמול לכדור יחידה‪ .‬כעת‪:‬‬
‫!‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪t‬‬
‫∂‬
‫‪t‬‬
‫‪g (x + ctξ) dSξ +‬‬
‫‪f (x + ctξ) dSξ‬‬
‫=‬
‫‪4π |ξ|=1‬‬
‫‪∂t 4π |ξ|=1‬‬
‫וזוהי המשוואה שקיבלנו ומסומנת‪ .‬נבצע את הגזירה ונקבל‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪X‬‬
‫‪∂f‬‬
‫‪(x + ctξ) ξi dSξ‬‬
‫‪|ξ|=1 i=1 ∂xi‬‬
‫ˆ‬
‫‪t‬‬
‫‪3π‬‬
‫‪f (c + ctξ) dSξ +‬‬
‫ˆ‬
‫‪|ξ|=1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪g (x + ctξ) dSξ +‬‬
‫ˆ‬
‫‪|ξ|=1‬‬
‫‪t‬‬
‫‪4π‬‬
‫=‬
‫נזכור כי במקרה החד מימדי אם ‪ f ∈ C 2‬ו ‪ g ∈ C 1‬אז ‪) u ∈ C 2‬כלומר פתרון קלאסי(‪ .‬כאן אנו קצת בבעיה בגלל‬
‫שכבר גזרנו את ‪ f‬וגם עם ‪ g‬יש לנו קצת בעיה‪ .‬לכן נדרשים תנאים קצת יותר חזקים‪:‬‬
‫טענה ‪5.3.1‬‬
‫‬
‫אם ‪ f ∈ C 3 R3‬ו‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫‪R‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫‪ g ∈ C‬אזי ‪R × R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ u ∈ C‬הוא פתרון קלאסי הניתן ע״י ‪) Kirchoff‬של המשוואה‬
‫‪33‬‬
‫‪ .5.3‬ממשוואת ‪ Darboux‬אל משוואת הגלים‪ .‬או‪ :‬משוואת ‪ Euler-Poisson-Darboux‬פרק ‪ .5‬משוואת הגלים ב ‪Rn‬‬
‫ההומוגנית עם תנאי ההתחלה(‪.‬‬
‫אפקט אחד שיש לנו הוא איבוד נגזרת אחת במעבר מתנאי ההתחלה לפתרון )‪.(Focussing‬‬
‫האפקט השני הוא עקרון הויגנס החזק‪ .‬אם נסתכל על נקודה )‪ (x, t‬ונרצה לשאול מה הוא ‪ u‬בנקודה הזו? אז נרצה‬
‫ללכת אחרוה לכל הנקודות על הספירה ברדיוס ‪) ct‬בזמן ‪ .(t = 0‬ה ‪ u‬בנקודה זו מושפע מהערכים ההתחלתיים‬
‫בספירה הזאת‪.‬‬
‫עקרון הויגנס אומר‪ :‬נניח כי ‪ f, g‬הן בעלות תומך קומפקטי‪ ,‬כעבור מספיק זמן הספירות יהיו מחוץ לתומך‪ .‬אזי‬
‫‪ u (x, t) ≡ 0‬לכל ‪ x‬עבור ‪ t‬מספיק גדול‪ .‬כמו כן‪ ,‬עבור ‪ t‬מספיק קטן ו ‪ x‬מחוץ לתומך‪ ,‬נקבל כי ‪ u (x, t) = 0‬גם כן‪.‬‬
‫כלומר‪.{y, u (x, t) 6= 0} ⊆ ξ ∈ S 2 , x + ctξ ∈ {supp f } ∪ {supp g} :‬‬
‫במילים אחרות‪ ,‬תהי‪ K ⊆ R3 :‬קבוצה קומפקטית‪ .‬אזי קיים ‪ t0 > 0‬כך ש ‪ u (x, t) ≡ 0‬לכל ‪ x ∈ K‬ולכל ‪x > t0‬‬
‫)בתנאי ש ‪ supp f‬ו ‪ supp g‬קומפקטיות(‪.‬‬
‫‪34‬‬
‫חלק ‪III‬‬
‫אופטרטורים מדרגה כלשהי‪ ,‬משטחים‬
‫קרקטריסטיים ומשפט ‪Cauchy-Kowalewski‬‬
‫‪35‬‬
‫פרק ‪6‬‬
‫במה מדובר?‬
‫מסתכלים במשוואה‪:‬‬
‫‪Aα Duα = C‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪Lu‬‬
‫‪α‬‬
‫‪6.1‬‬
‫מולטי־אידקסים‬
‫אנחנו לוקחים ‪) α ∈ Nn‬אצלנו ‪ N‬כולל את ה‪ .(0‬כלומר‪ α ,‬יכול להיות )‪ .α = (1, 0, 2, 7‬כלומר ) ‪.α = (α1 , . . . , αn‬‬
‫כמו כן נגדיר‪:‬‬
‫‪|α| = α1 + . . . + αn‬‬
‫אם ‪ x ∈ Rn‬אז‪:‬‬
‫‪αn‬‬
‫‪1‬‬
‫‪xα = xα‬‬
‫‪1 · . . . · xn‬‬
‫‪ 6.1.0.1‬אופרטור ‪:D‬‬
‫‪ D‬הוא האופרטור‪:‬‬
‫‬
‫∂‬
‫∂‬
‫‪,...,‬‬
‫‪∂x1‬‬
‫‪∂xn‬‬
‫‬
‫=‪D‬‬
‫ו‪:‬‬
‫‪Dα u = D1α1 · . . . · Dnαn u‬‬
‫‪6.1.0.2‬‬
‫משפט הבינום‪:‬‬
‫!‪α‬‬
‫‪xβ y γ‬‬
‫!‪β! + γ‬‬
‫‪X‬‬
‫‪β, γ‬‬
‫‪β+γ =α‬‬
‫‪36‬‬
‫‪α‬‬
‫= )‪(x + y‬‬
‫פרק ‪ .6‬במה מדובר?‬
‫‪ .6.1‬מולטי־אידקסים‬
‫‪ 6.1.0.3‬פולינום טיילור מסדר ‪:m‬‬
‫‪X 1‬‬
‫‪(Dα f ) (0) xα‬‬
‫!‪α‬‬
‫‪|α|≤m‬‬
‫≈ )‪f (x‬‬
‫‪ 6.1.0.4‬הפיתוח המולטינומי‪:‬‬
‫!‪X m‬‬
‫‪xα‬‬
‫!‪α‬‬
‫=‬
‫‪m‬‬
‫) ‪(x1 + . . . + xn‬‬
‫‪|α|=m‬‬
‫כעת נחזור למשוואה‪ .‬כאשר )‪ Aα (x‬הן מטריצות ‪ N × N‬ו ‪ u (x) ∈ Rn‬וכן‪) C (x) ∈ Rn :‬המערכת הלינארית‬
‫הכללית(‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪: 6.1.1‬‬
‫)‪ex1 ∂x22 u1 + ∂x21 x2 u2 = c1 (x‬‬
‫)‪∂x1 u2 + 7∂x32 x1 u2 = c2 (x‬‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫עבור האיבר הראשון נקבל‪:‬‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪e 1‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪Aα‬‬
‫)‪α = (0, 2‬‬
‫עבור האיבר האחרון )עם ‪ (∂ 3‬נקבל‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪0 0‬‬
‫= ‪α = (1, 2) Aα‬‬
‫‪0 7‬‬
‫בהינתן משטח ‪ S : ϕ (x1 , . . . , xn ) ≡ 0‬ו ‪ .Dϕ 6= 0‬נרצה לתת נתונים על ‪ u |S‬כך ש‪Aα Dα u = C :‬‬
‫‪P‬‬
‫= ‪ Lu‬יהיה‬
‫‪α‬‬
‫פתרון יחיד ‪ u‬בסביבת ‪ S‬המקיים את התנאים על ‪.S‬‬
‫נשים לב שבמקרה ש ‪ .S : xn ≡ 0‬אם ניתן ‪ u |S‬אזי אין חופש בחירה לגבי ‪ .D1 u |S + . . . + Dn−1 u |S‬כך שעבור‬
‫נתוני ‪ u‬על ‪ S‬חייבים להתקיים תנאי קומפטיבילות מתאימים‪.‬‬
‫)למשל‪ ,‬בהינתן ‪ u |S‬אזי כל הנגזרות המשיקיות על ‪ S‬ידועות(‪ .‬לכן‪ ,‬בקצרה‪ ,‬הנתונים של ‪ u‬על ‪ S‬יכולים להינתן רק‬
‫ע״י ‪ u |S‬והנגזרות החלקיות על ‪.S‬‬
‫‪P‬‬
‫= ‪ ,Lu‬נגדיר כנתוני קושי )‪ (Cauchy-data‬על ‪ S‬את ערכי ‪u‬‬
‫הגדרה ‪ 6.1.2‬בשביל המערכת ‪Aα Dα u = C‬‬
‫‪α‬‬
‫ונגזרותיה הנורמליות עד סדר ‪) m − 1‬ועד בכלל(‪.‬‬
‫הגדרה ‪6.1.3‬‬
‫‪ S .1‬ייקרא משטח לא קרקטריסטי של הבעיה אם ניתן לחשב את כל הנגזרות ‪ Dα u, |α| = m‬מתוך המשוואה‬
‫ונתוני קושי‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ S .2‬ייקרא משטח קרקטריסטי אם הוא לא לא קרקטריטסי‪) .‬כן‪ ,‬כן‪ ,‬דאבל לא(‪.‬‬
‫דוגמה ‪: 6.1.4‬‬
‫‪Di2 u = 0‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−c‬‬
‫‪Dn2 u‬‬
‫כלומר‪ α = (0, . . . , 0, 2) :‬ובמקרה של ‪ Di‬נקבל כי ה ‪ α‬הוא )‪ (0, . . . , 0, 2, 0, . . . , 0‬ו ‪.Aα = −c2‬‬
‫בהינתן המשטח ‪ .S : xn = 0‬נתוני קושי הם‪ ,u (x1 , . . . , xn−1 , 0) :‬אבל צריך גם נגזרות אז‪.uxn (x1 , . . . , xn−1 , 0) :‬‬
‫לכן זהו משטח לא קרקטריסטי מכיוון ש ‪ uxi xi‬ניתן לחישוב כיוון שהוא משיק למשחט ‪.S‬‬
‫‪37‬‬
‫‪ .6.1‬מולטי־אידקסים‬
‫פרק ‪ .6‬במה מדובר?‬
‫תרגיל‪ :‬נניח ‪ ,n = 2‬ונסתכל במשוואה ‪ .ut + cux = 0‬מיהם הקווים הישרים )דרך )‪ ( (0, 0‬שאינם קרקטריסטיים‪.‬‬
‫הערה ‪ 6.1.5‬נתוני קושי כאן הם ‪.u‬‬
‫‪P‬‬
‫נחזור לאופרטור שלנו ‪ Lu = α Aα Duα‬והמשטח ‪ .S : ϕ (x) ≡ 0‬ראשית‪ ,‬נניח כי‪ .S : xn = 0 :‬אזי הנגזרת‬
‫הנורמלית מסדר ‪ m‬ניתנת ע״י ‪ Dα‬כאשר )‪ .α (0, . . . , 0, m‬ולכן‪ ,‬מתוך ‪ Lu = C‬ונתוני ‪ u‬על ‪ u |xn =0‬נוכל לחלץ את‬
‫‪m‬‬
‫‪ Dn.‬אם‪:‬‬
‫‪u |xn =0‬‬
‫‪det (Aα (x1 , . . . , xn−1 , 0)) 6= 0‬‬
‫מסקנה ‪6.1.6‬‬
‫המשטח }‪ S : {xn = 0‬הוא לא־קרקטריסטי אם״ם‪:‬‬
‫‬
‫‪det A(0,...,0,m) (x1 , . . . , xn−1 , 0) 6= 0‬‬
‫המקרה הכללי‪Dn ϕ |S 6= 0 :‬‬
‫נכניס שינוי קואורדינטות כדלקמן‪:‬‬
‫‪1≤i≤n−1‬‬
‫‪i=n‬‬
‫‪xi‬‬
‫) ‪ϕ (x1 , . . . , xn‬‬
‫(‬
‫= ‪yi‬‬
‫נסמן‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪=‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫‪1‬‬
‫‪∂ϕ‬‬
‫‪∂xn‬‬
‫‬
‫‪i,k‬‬
‫‪∂yk‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫‬
‫‪∂y‬‬
‫=‬
‫‪∂x‬‬
‫=‪J‬‬
‫הערה ‪ 6.1.7‬שימוש במשפט הפונקציה הסתומה‪.‬‬
‫אזי ניתן לרשום )כלל השרשרת(‪:‬‬
‫‪JDy‬‬
‫∂ ‪X ∂yk‬‬
‫‪= JDy‬‬
‫‪∂xi ∂yk‬‬
‫=‬
‫‪Dx‬‬
‫=‬
‫‪Dxi‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪α‬‬
‫) ‪Dxα = (JDy‬‬
‫ונקבל כי‪:‬‬
‫‪α‬‬
‫‪Aα (x (y)) (JDy ) u‬‬
‫‪05/12/2012‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪Lu‬‬
‫כעת‪ ,‬המשטח ‪ S‬עבר להיות ‪ .yn = 0‬לכן‪ ,‬המשטח ‪ S‬יהיה לא קרקטריסטי אם המטריצה המקדמת של ‪ Dymn u‬תהיה‬
‫לא סינגולרית‪) .‬מכיוון שמשטח לא קרקטריסטי בקואורדינות ‪ ⇐⇒ x‬משטח לא קרקטריסטי בקואורדינטות ‪.(y‬‬
‫שאלה‪:‬‬
‫האם קיים פתרון? האם הוא יחיד?‬
‫הבעיה הראשונה‪:‬‬
‫האם ניתן לחשב את הנגזר הנורמלית מסדר ‪ m‬של ‪ u‬על ‪ ,S‬מתוך ידיעת )‪ C (x‬ונתוני קושי?‬
‫‪38‬‬
‫‪ .6.1‬מולטי־אידקסים‬
‫פרק ‪ .6‬במה מדובר?‬
‫התושבה‪ :‬ראשית נניח כי ‪) ϕ (x1 , . . . , xn ) = xn‬כך ש ‪ S‬הוא ‪ .(xn ≡ 0‬במקרה זה‪ ,‬הנגזרת הנורמלית היא ‪.Dnm u‬‬
‫ולכן נוכל לחשבה אם‪ det A(0,...,0,m) (x) 6= 0 :‬ו ‪.(xn = 0) x ∈ S‬‬
‫שנית‪ ,‬נניח באופן כללי ש‪ Dn ϕ 6= 0‬כך שהשינוי‬
‫‪1 ≤ i ≤ qn − 1‬‬
‫‪i=n‬‬
‫‪xi‬‬
‫) ‪ϕ (x1 , . . . , xn‬‬
‫(‬
‫= ‪yi‬‬
‫נותן מערכת קואורדינטות חדשה עם יעקוביאן‪:‬‬
‫‪1≤i,k≤n‬‬
‫‬
‫‪∂yk‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫‬
‫=‪J‬‬
‫שהוא רגולרי‪ .‬כיצד נראה ‪ L‬בקואורדינטות החדשות? אנו יודעים כי‪:‬‬
‫‪Dx = JDy‬‬
‫כאשר ‪ Dx‬הם וקטור עמודות‪ .‬ולכן‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫‪α‬‬
‫))‪Aα (x (y)) (JDy ) u (x (y‬‬
‫= ‪Aα Dxα‬‬
‫‪|α|≤m‬‬
‫עכשיו‪ ,‬ירדנו למעשה למקרה הקודם‪ ,‬כי המשטח ‪ S‬הוא ‪.yn = 0‬‬
‫לכן‪ ,‬עלינו‪ ,‬בהצגה החדשה‪ ,‬למצוא את המטריצה המקדמת את‬
‫‪X‬‬
‫= ‪Lu‬‬
‫‪|α|≤m‬‬
‫‪.Dymn‬‬
‫נשים לב כי אם ניקח‪:‬‬
‫)‪η = (0, . . . , 0, 1‬‬
‫אזי‪ ,‬המטריצה‪:‬‬
‫‪Aα η α‬‬
‫‪X‬‬
‫‪|α|=m‬‬
‫נבחין כי‪:‬‬
‫‪α‬‬
‫‪n−1 αn‬‬
‫‪η α = η1α1 · . . . · ηn−1‬‬
‫)‪ηn ⇒ η α 6= 0 ⇐⇒ α (0, . . . , 0, m‬‬
‫ואז ‪ .η α = 1‬כלומר המטריצה‪:‬‬
‫)‪Aα η α = A (0, . . . , 0, m‬‬
‫‪X‬‬
‫‪|α|=m‬‬
‫במקרה של הקואורדינטות ב‪ y‬נפעל כך‪:‬‬
‫‪ .1‬החלק שיתן ‪ |α| = m‬בגזירה נתון ע״י‪:‬‬
‫‪α‬‬
‫) ‪Aα (x (y)) (JDy‬‬
‫‪X‬‬
‫‪|α|=m‬‬
‫כאשר לא גוזרים את ‪!J‬‬
‫‪ .2‬כדי לקבל את המטריצה המקדמת את ‪ Dymn‬נפעל עם אותו )‪ .η = (0, . . . , 0, 1‬כלומר המטריצה המקדמת‬
‫המבוקשת היא‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫‪α‬‬
‫))‪Aα (x (y‬‬
‫)‪(Jη‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫פונקציה של ‪y‬ממשית‬
‫‪|α|=m‬‬
‫‪αn‬‬
‫‪1‬‬
‫‪(Jη)α = (Jη)α‬‬
‫‪1 · . . . · (Jη)n‬‬
‫‪39‬‬
‫פרק ‪ .6‬במה מדובר?‬
‫‪ .6.1‬מולטי־אידקסים‬
‫כאשר )‪ .η = (0, . . . , 0, 1‬מיהו ‪) ?Jη‬וקטור(‬
‫‪‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪n‬‬
‫‪∂x1‬‬
‫‪.. ‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪‬‬
‫‪∂yn ‬‬
‫‪∂xi ‬‬
‫‪.. ‬‬
‫‪‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪∂yn‬‬
‫‪∂xn‬‬
‫‪‬‬
‫‪... ...‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪∂yk‬‬
‫‪‬‬
‫=‪J‬‬
‫‪= . . . . . .‬‬
‫‪‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪... ...‬‬
‫וזהו ‪) Jη‬העמודה האחרונה( ) ‪ yn = ϕ (x1 , . . . , xn‬ו‪ .Jη = Dϕ :‬ולכן המטריצה המבוקשת בקואורדינטות ‪x‬‬
‫היא‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫‪α‬‬
‫))‪Aα (x) (Dϕ (x‬‬
‫‪|α|=m‬‬
‫כאשר ‪ .x ∈ S‬מטריצה זו על ‪ S‬צריכה להיות רגולרית כדרישת מינימום לקיום פתרון‪.‬‬
‫מסקנה ‪6.1.8‬‬
‫)למעשה משפט(‬
‫תנאי הכרחי לקיום פתרון קלאסי בסביבת ‪ S‬הוא ש‪:‬‬
‫‪‬‬
‫כלומר‪ S ,‬חייב להיות לא קרקטריסטי‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪α‬‬
‫= ‪Aα (x) (Dϕ (x)) ‬‬
‫‪6 0‬‬
‫‪X‬‬
‫‪‬‬
‫‪det ‬‬
‫‪|α|=m‬‬
‫דוגמה ‪: 6.1.9‬‬
‫)‪a (x, y) uy + b (x, y) ux = c (x, y‬‬
‫ראשית‪ .n = 2 ,‬זו לא מערכת‪ N = 1 ,‬ו‪.m = 1 :‬‬
‫ולכן‪ ,‬משטח לא קרקטריסטי‪:‬‬
‫‪ϕ (x, y) = 0‬‬
‫חייב לקיים‪:‬‬
‫‪∂ϕ‬‬
‫‪∂ϕ‬‬
‫)‪+ b (x, y‬‬
‫‪6= 0‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪∂x‬‬
‫)‪a (x, y‬‬
‫כלומר ‪ .(a, b) ⊥∇ϕ‬כלומר )‪ (a, b‬איננו משיק לקו ‪ S .S‬הוא קרקטריסטי אם )‪ (a, b‬הוא משיק שלו‪.‬‬
‫‪40‬‬
‫‪ .6.1‬מולטי־אידקסים‬
‫‪P‬‬
‫פרק ‪ .6‬במה מדובר?‬
‫דוגמה ‪ : 6.1.10‬משוואת הגלים ב ‪:Rn‬‬
‫‪utt − c2 ∆x u = 0‬‬
‫מה שנהוג לסמן הוא‪:‬‬
‫‪ux0 x0 − c2 ∆x u = 0‬‬
‫כאשר החלפנו את ‪ t‬ב ‪ x0‬ולכן המימד הוא ‪.n + 1‬‬
‫‪ S = ϕ (x, x0 ) = 0‬יהיה לא קרקטריסטי אם )‪.(m = 2 ,N = 1‬‬
‫‪6= 0‬‬
‫‪2‬‬
‫ ‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪∂ϕ‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪− c2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∂ϕ‬‬
‫‪∂x0‬‬
‫‬
‫לכן‪ ,‬המשטח ‪ S : ϕ (x0 , . . . , xn ) = 0‬הוא קרקטריסטי אם‪:‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪2‬‬
‫ ‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪∂ϕ‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−c‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∂ϕ‬‬
‫‪∂x0‬‬
‫‬
‫אם בפרט נרשום‪:‬‬
‫‪ϕ (t, x) = t − ψ (x) = 0‬‬
‫)כלומר‪ .(S : t = ψ (x) :‬אזי התנאי הקרקטריסטי הוא‪:‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪11/12/2012‬‬
‫וזו היא משוואה האיקונל )‪.(eikonal‬‬
‫|‪ ψ (x) = |x‬נקבל כי‪⇒ |x| = ct :‬‬
‫אם ניקח ‪c‬‬
‫|‪|x‬‬
‫‪c‬‬
‫‪2‬‬
‫ ‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪∂ψ‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫‪c2‬‬
‫‪i=1‬‬
‫= ‪ t‬הוא למעשה חזית האור‪.‬‬
‫‪41‬‬
‫פרק ‪7‬‬
‫פונקציות אנליטיות ממשיות‬
‫‪ 7.1‬טורים במוטלי אינדקס‬
‫‪7.1.1‬‬
‫הגדרה ודוגמאות‬
‫‪cα‬‬
‫‪X‬‬
‫‪α‬‬
‫כאשר ‪ α ∈ Nn‬ו ‪ .cα ∈ R‬נאמר כי הטור מתכנס אם‪|cα | < ∞ :‬‬
‫‪P‬‬
‫אי־שליליים ולכן מתכנס ללא תלות בסדר‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ .‬הטור הזה הוא סכום בן־מנייה של איברי‬
‫‪α‬‬
‫דוגמה ‪: 7.1.1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x‬‬
‫‪(e‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x)e‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i=1‬‬
‫=‬
‫!‬
‫‪i‬‬
‫‪xα‬‬
‫‪i‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪αi =0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪Y‬‬
‫= ‪xα‬‬
‫‪i=0‬‬
‫בתנאי ש ‪. max |xi | < 1‬‬
‫‪1≤i≤n‬‬
‫כאשר נסמן‪ e = (1, . . . , 1) ∈ Nn :‬ואז‪:‬‬
‫) ‪e − x = (1 − x1 , . . . , 1 − xn‬‬
‫וגם‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪e‬‬
‫) ‪(e − x) = (1 − x) · . . . · (1 − xn‬‬
‫ולכן השיוויון האחרון בדוגמה‪.‬‬
‫‪42‬‬
‫‪X‬‬
‫‪α‬‬
‫‪ .7.1‬טורים במוטלי אינדקס‬
‫‪P‬‬
‫פרק ‪ .7‬פונקציות אנליטיות ממשיות‬
‫דוגמה ‪: 7.1.2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪e‬‬
‫)‪(e − x‬‬
‫‪Dβ‬‬
‫כאשר ‪) β ∈ Nn‬מדובר בנגזרת( ולכן נקל כי‪:‬‬
‫!‪α‬‬
‫‪xα−β‬‬
‫!)‪(a − β‬‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫‪α≥β‬‬
‫דרך נוספת לגזור היא‪:‬‬
‫!‪β‬‬
‫‪(e − x)e+β‬‬
‫ולכן נקבל‪:‬‬
‫!‪β‬‬
‫!‪α‬‬
‫= ‪xα−β‬‬
‫‪e+β‬‬
‫!)‪(α − β‬‬
‫)‪(e − x‬‬
‫‪P‬‬
‫‪X‬‬
‫‪α≥β‬‬
‫כאשר ‪.|xi | < 1‬‬
‫דוגמה ‪ : 7.1.3‬נרצה לחשב את הטור הבא‪:‬‬
‫‪xα‬‬
‫!|‪X |α‬‬
‫!‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫נזכור כי ‪ .|α| = α1 + . . . + αn‬ולכן‪:‬‬
‫∞‬
‫‪∞ X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪j! α X‬‬
‫‪j‬‬
‫= ) ‪(x1 + . . . + xn‬‬
‫= ‪x‬‬
‫!‪α‬‬
‫) ‪1 − (x1 + . . . + xn‬‬
‫‪j=0‬‬
‫‪j=0‬‬
‫=‬
‫‪|α|=j‬‬
‫‪7.1.2‬‬
‫טור חזקות‬
‫‪P‬‬
‫הגדרה ‪ 7.1.4‬טור חזקות )סביב ‪ (x = 0‬הוא טור‪. cα xα :‬‬
‫‪α‬‬
‫טענה ‪7.1.5‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫אם הטור מתכנס בנקודה ‪ z ∈ R‬אזי הוא מתכנס לכל ‪ x ∈ R‬כך ש | ‪ |xi | ≤ |zi‬לכל )‪.(1 ≤ i ≤ n‬‬
‫הוכחה‪ :‬הטור מתכנס‪ ,‬פירושו ש‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫∞ < | ‪|cα | |z α‬‬
‫‪α‬‬
‫ואז זה גורר כי‪:‬‬
‫∞ < | ‪|cα | |xα‬‬
‫‪X‬‬
‫‪α‬‬
‫הגדרה ‪ 7.1.6‬תהי )‪ f (x‬פונקציה מוגדרת בתחום פתוח ‪ .ΩP⊆ Rn‬נאמר כי ‪ f‬אנליטית )אנליטית ממשית( בנקודה‬
‫‪α‬‬
‫= )‪ f (x‬לכל ‪) x ∈ Ny‬עבור מקדמים קבועים ‪cα‬‬
‫‪ y ∈ Ω‬אם קיימת סביבה ‪ Ny ⊆ Ω‬של ‪ y‬כך ש‪cα (x − y) :‬‬
‫‪α‬‬
‫אך תלויים ב ‪.(y‬‬
‫אם ‪ f‬אנליטית לכל ‪ y ∈ Ω‬נאמר כי ‪ f‬אנליטית ב ‪.Ω‬‬
‫‪43‬‬
‫פרק ‪ .7‬פונקציות אנליטיות ממשיות‬
‫‪ .7.1‬טורים במוטלי אינדקס‬
‫הערה ‪ f 7.1.7‬יכולה להיות פונקציה ווקטורית שאז האנליטיות מוגדרת לכל רכיב‪.‬‬
‫טענה ‪7.1.8‬‬
‫תהי ‪ f‬אנליטית ב ‪ .Ω‬אזי‪(Ny ) :‬‬
‫∞‬
‫‪.f ∈ C‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח ‪ y = 0 ∈ Ω‬ונסתכל ב ‪cα z α‬‬
‫‪P‬‬
‫‪α‬‬
‫אשר לפי ההנחה מתכנס עבור ‪ .|z| < δ‬בפרט‪ ,‬הטור מתכנס ל ‪z ∈ Rn‬‬
‫כך ש ‪ zi 6= 0‬לכל ‪. 1 ≤ i ≤ n‬‬
‫נקח ‪ x‬בסביבה של ‪ 0‬כך ש | ‪ |xi | < |zi‬לכל ‪.1 ≤ i ≤ n‬‬
‫לכן‪ ,‬קיים ‪ 0 < q < 1‬כך ש | ‪ |xi | ≤ q |zi‬לכל ‪.i‬‬
‫נתבונן ב‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫!‪α‬‬
‫ ‪|cα | q |a−β| z α−β‬‬
‫!)‪(α − β‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ X‬‬
‫≤ ) ‪Dβ (cα xα‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α≥β‬‬
‫מכיוון ש‪:‬‬
‫ ‪ α−β‬‬
‫‬
‫‬
‫‪x‬‬
‫ ‪ ≤ q |α−β| z α−β‬‬
‫נמשיך‪:‬‬
‫| ‪|z α‬‬
‫!‪α‬‬
‫‪|cα | q |α−β| β‬‬
‫)‪(α − β‬‬
‫| ‪|z‬‬
‫אנו יודעים כי‪|cα | |z α | < ∞ :‬‬
‫‪P‬‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫‪α≥β‬‬
‫= ‪ µ‬ולכן‪:‬‬
‫‪α‬‬
‫‪µ X‬‬
‫!‪α‬‬
‫!‪α‬‬
‫‪µ X‬‬
‫|‪|α−β‬‬
‫‪q‬‬
‫=‬
‫= ‪(qe)α−β‬‬
‫| ‪|z β‬‬
‫!)‪(α − β‬‬
‫| ‪|z β‬‬
‫!)‪(α − β‬‬
‫‪α≥β‬‬
‫!‪β‬‬
‫‪1‬‬
‫!‪µβ‬‬
‫‪µ‬‬
‫‪= β‬‬
‫‪|z β | (e − qe)e+β‬‬
‫|‪|z | (1 − q)n+|β‬‬
‫‪α≥β‬‬
‫≤‬
‫בפרט‪ ,‬ע״י גזירה פורמלית מכל סדר מקבלים התכנסות בהחלט כל קומפקט של הקובייה | ‪ |xi | < |zi‬עבור ‪.1 ≤ i ≤ n‬‬
‫תזכורת ‪ 7.1.9‬אם ‪gj‬‬
‫∞‬
‫‪P‬‬
‫‪j=0‬‬
‫= ‪ g‬טור פונקציות גזירות מכל סדר ב ‪ Ω ⊆ Rn‬וכך שהטור וכל נגזרותיו מתכנס בהחלט‬
‫ובמידה שווה בכל קומפקט חלקי ל‪ ,Ω‬אזי‪ g ∈ C ∞ (Ω) :‬ונגזרותיה מתקבלות ע״י גזירה פורמלית‪ .‬ולכן זה סיים את‬
‫הוכחת הטענה‪.‬‬
‫בנוסף לכך‪:‬‬
‫כאשר‬
‫סימון‪:‬‬
‫‪µ‬‬
‫‪(1−q)n‬‬
‫= ‪ M‬ו‪ r = min ((1 − q) |zi |) :‬עבור ‪.i ≤ i ≤ n‬‬
‫אם ‪ f‬מקיימת את‬
‫טענה ‪7.1.10‬‬
‫ ‪ β‬‬
‫‬
‫!‪ D f (x) ≤ M β‬‬
‫|‪r|β‬‬
‫!‪Mβ‬‬
‫|‪r |β‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫≤ )‪ Dβ f (x‬ב ‪ x‬מסויים‪ ,‬נגיד כי היא במחלקה )‪.CM,r (x‬‬
‫תהי )‪ f ∈ C ∞ (Ω‬וכך שלכל ‪ y ∈ Ω‬קיימת סביבה ‪ Ny‬של ‪ y‬כך ש‪ f ∈ CM,r (x) :‬לכל ‪M > 0 ,r > 0 ) .x ∈ Ny‬‬
‫התלויים כמובן ב ‪ .(Ny‬אזי ‪ f‬אנליטית ב‪ .Ω‬ומתקיים לכל ‪:y ∈ Ω‬‬
‫‪(x − y)α‬‬
‫)‪X (Dα f ) (y‬‬
‫!‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪44‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫פרק ‪ .7‬פונקציות אנליטיות ממשיות‬
‫‪ .7.1‬טורים במוטלי אינדקס‬
‫עבור ‪ x‬בסביבה מספיק קטנה של ‪.y‬‬
‫הערה ‪ 7.1.11‬זו הטענה ההפוכנה לטענה הקודמת‪.‬‬
‫בנוסף לכך‪:‬‬
‫)‪Dα f (0‬‬
‫!‪α‬‬
‫= ‪Cα‬‬
‫הערה ‪ 7.1.12‬עקרון ההמשכה )‪ :(unique continuation‬אם ‪ f‬אנליטית ב ‪ Ω‬קשיר‪ ,‬ועבור ‪ y ∈ Ω‬קיים‬
‫‪ Dβ f (y) = 0‬לכל ‪ β ∈ Nn‬אזי‪.f ≡ 0 :‬‬
‫הוכחה‪ :‬ברור ש ‪ f ≡ 0‬בסביבה של ‪ y0‬בגלל פיתוח לטור חזקות‪ .‬נסתכל ב‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪Ω1 = x | Dβ f (x) = 0 ∀β‬‬
‫ואילו‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪Ω2 = Ω\Ω1 = x | ∃β, Dβ f (x) 6= 0‬‬
‫‪ Ω1‬פתוחה בגלל האנליטיות‪ .‬ואילו ‪ Ω2‬פתוחה בגלל רציפות‪ .‬ובגלל קשירות נקבל כי ‪.Ω1 = Ω‬‬
‫הערה ‪ 7.1.13‬פונקציות אנליטיות מסמנים ‪ C ω‬כדי להבדיל אותן מ ∞ ‪.C‬‬
‫‪ 7.1.3‬עקרונות השוואה‬
‫הגדרה ‪ 7.1.14‬תהיינה )‪ f, F ∈ C ∞ (Ω‬ונניח כי ‪ . 0 ∈ Ω‬נאמר כי ‪) f ≪ F‬בנקודה ‪ (0‬אם לכל ‪ α ∈ Nn‬מתקיים‪:‬‬
‫)‪|Dα f (0)| ≤ Dα F (0‬‬
‫טענה ‪7.1.15‬‬
‫תנאי הכרחי ומספיק לכך ש )‪ f ∈ CM,r (0‬הוא ‪ f ≪ ϕ‬כאשר‪:‬‬
‫‬
‫‪ β‬‬
‫‬
‫!‪D f (0) ≤ M β‬‬
‫|‪r |β‬‬
‫‪Mr‬‬
‫) ‪r−(x1 +...+xn‬‬
‫‬
‫= )‪) ϕ (x‬עבור ‪.(|xi | + . . . + |xn | < r‬‬
‫= )‪CM,r (0‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם נגזור את ‪ ϕ‬נקבל‪:‬‬
‫!‪M rα‬‬
‫|‪1+|α‬‬
‫]) ‪[r − (x1 + . . . + xn‬‬
‫!‪M α‬‬
‫|‪r|α‬‬
‫= )‪Dα ϕ (x‬‬
‫= )‪Dα ϕ (0‬‬
‫‪45‬‬
‫פרק ‪ .7‬פונקציות אנליטיות ממשיות‬
‫‪ .7.1‬טורים במוטלי אינדקס‬
‫מסקנה ‪7.1.16‬‬
‫אם בנוסף לכך ‪ f (0) = 0‬הרי התנאי ההכרחי ומספיק הוא ש‪:‬‬
‫‪Mr‬‬
‫) ‪M (x1 + . . . + xn‬‬
‫= ‪−M‬‬
‫) ‪r − (x1 + . . . + xn‬‬
‫) ‪r − (x1 + . . . + xn‬‬
‫= ‪f ≪ϕ−M‬‬
‫הערה ‪ 7.1.17‬ברור כי אם ‪) f ≪ F‬בנקודה ‪ (0‬אזי גם באותה נקודה ‪ Dβ f ≪ Dβ F‬לכל ‪.β ∈ Nn‬‬
‫‪ 7.1.4‬משפט ההרכבה‬
‫משפט ‪ 7.1.18‬משפט ההרכבה‬
‫תהיינה )‪ f, F ∈ C ∞ (Ω‬כאשר ‪ Ω ⊆ Rn‬וכך ש ‪ .f (0) = F (0) = 0‬תהיינה )‪ g, G ∈ C ∞ (I‬כאשר ‪ I ⊆ R‬ו ‪.0 ∈ I‬‬
‫נניח כי ‪ f ≪ F‬ב‪ 0 ∈ Ω‬ו ‪ g ≪ G :‬ב ‪ 0 ∈ I‬אזי‪ g ◦ f ≪ G ◦ F :‬ב ‪.0 ∈ Ω‬‬
‫הוכחה‪ :‬בגלל גזירת שרשרת‪:‬‬
‫‬
‫‪Dα (g ◦ f ) = Pα Dγ g (f ) , Dβ f‬‬
‫כאשר |‪ |β| , |γ| ≤ |α‬ו ‪ Pα‬פולינום במקדמים אי־שליליים‪.‬‬
‫‬
‫‪Dα (G ◦ F ) = Pα Dγ G (F ) , Dβ F‬‬
‫בנקודה ‪ 0 ∈ Ω‬קיים ‪ f (0) = F (0) = 0‬ולכן גם‪ g ◦ f (0) = G ◦ F (0) = 0 :‬ולכן ברור‪:‬‬
‫)‪|Dα (g ◦ f ) (0)| ≤ Dα (G ◦ F ) (0‬‬
‫‪12/12/2012‬‬
‫תזכורת משיעור קודם‪ ...‬טענה ‪7.1.19‬‬
‫‪ f‬אנליטית ⇒⇐ לכל ‪) S ≪ Ω‬קומפקטית( קיים ‪ M, r > 0‬כך ש )‪.∀y ∈ S, f ∈ CM,r (y‬‬
‫הגדרה ‪ 7.1.20‬נניח ‪ .0 ∈ Ω‬אזי‪) (f majorized by F ) f ≪ F :‬ב ‪ (0‬אם‪:‬‬
‫)‪∀α ∈ Nn |Dα f (0)| ≤ Dα F (0‬‬
‫והייתה לנו את הטענה‪:‬‬
‫טענה ‪7.1.21‬‬
‫)‪ f ∈ CM,r (0‬אם״ם‪ f ≪ ϕ :‬כאשר‪:‬‬
‫‪Mr‬‬
‫) ‪r−(x1 +...+xn‬‬
‫= )‪.ϕ (x‬‬
‫מסקנה ‪7.1.22‬‬
‫)‪ f ∈ CM,r (0‬ו‪ f (0) = 0 :‬אם״ם‪:‬‬
‫) ‪M(x1 +...+xn‬‬
‫) ‪r−(x1 +...+xn‬‬
‫= ‪.f ≪ ϕ − M‬‬
‫וכמו כן‪ ,‬הראנו את משפט ההרכבה‪.‬‬
‫טענה ‪7.1.23‬‬
‫‪ y ∈ Ω‬ו‪ g : R → R .f (y) = v ∈ R :‬חלקה בסביבת ‪ .v‬נניח כי‪ f ∈ CM,r (y) :‬ו‪ .g ∈ Cµ,ρ (v) :‬אזי‪:‬‬
‫))‪ h (x) := g ◦ f (x) = g (f (x‬מקיימת‪:‬‬
‫‪46‬‬
‫‪ρr‬‬
‫)‪(y‬‬
‫‪h∈C‬‬
‫‪M, M +ρ‬‬
‫פרק ‪ .7‬פונקציות אנליטיות ממשיות‬
‫‪ .7.1‬טורים במוטלי אינדקס‬
‫הוכחה‪ :‬נרשום‪:‬‬
‫))‪h (y + x) = g (v + f (x + y) − f (y)) = g ∗ (f ∗ (x‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫)‪f (y + x) − f (y) ∈ CM.r (0‬‬
‫)‪g (v + u) ∈ Cµ,ρ(0‬‬
‫= ‪f ∗ (x) :‬‬
‫= )‪g ∗ (u‬‬
‫) ‪M (x1 + . . . + xn‬‬
‫) ‪r − (x1 + . . . + xn‬‬
‫‪µρ‬‬
‫= )‪≪ ϕ (u‬‬
‫‪ρ−u‬‬
‫= ‪≪ ϕ−M‬‬
‫∗‪f‬‬
‫∗‪g‬‬
‫במקרה של ∗ ‪.u ∈ R ,g‬‬
‫על כן‪:‬‬
‫)) ‪µρ (r − (x1 + . . . + xn‬‬
‫‪µρr‬‬
‫‪µρ‬‬
‫=‬
‫≪‬
‫)‪(x‬‬
‫) ‪ρr − (ρ + M ) (x1 + . . . + xn‬‬
‫) ‪ρr − (ρ + M ) (x1 + . . . + xn‬‬
‫‪ρ− ϕ −M‬‬
‫≪ )‪h (y + x‬‬
‫מדוע המעבר האחרון נכון? מכיוון ש‪:‬‬
‫‪µρr‬‬
‫) ‪µρ (x1 + . . . + xn‬‬
‫)) ‪µρ (r − (x1 + . . . + xn‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫) ‪ρr − (ρ + M ) (x1 + . . . + xn‬‬
‫) ‪ρr − (ρ + M ) (x1 + . . . + xn ) ρr − (ρ + M ) (x1 + . . . + xn‬‬
‫אבל נבחין כי הפונקציה השניה )זו שמחסירים( היא ״טיפוס״ של ״ ‪ϕ − M‬״ עבור ”‪ ”M, r‬מתאימים‪ .‬ועל כן‪ ,‬היא‬
‫מתאפסת ב‪ 0‬וכל הנגזרות שלה כולן אי שליליות‪ .‬ולכן‪ ,‬השמטתה רק מגדילה את הנגזרות של אגף ימין‪ .‬כלומר‪:‬‬
‫‪µρr‬‬
‫‪ρ+M‬‬
‫) ‪− (x1 + . . . + xn‬‬
‫לכן‪ ,‬ה”‪ ”r‬שלנו הוא‪:‬‬
‫‪ρr‬‬
‫‪ρ+M‬‬
‫‪ρr‬‬
‫‪ρ+M‬‬
‫)) ‪µρ (r − (x1 + . . . + xn‬‬
‫‪µρr‬‬
‫≪‬
‫=‬
‫) ‪ρr − (ρ + M ) (x1 + . . . + xn‬‬
‫) ‪ρr − (ρ + M ) (x1 + . . . + xn‬‬
‫וה” ‪ ”M‬שלנו הוא פשוט ‪.µ‬‬
‫משפט ‪7.1.24‬‬
‫תהי ‪ f‬אנליטית )בסביבת ‪ f (y) = v ,(y‬ו ‪ g‬אנליטית )בסביבת ‪ .(v‬אזי ))‪ g ◦ f = g (f (x‬אנליטית )בסביבת ‪.(x = 0‬‬
‫הערה ‪ 7.1.25‬באופן כללי‪ f ,‬אנליטית ו ‪ g‬אנליטית ⇐ ‪ g ◦ f‬אנליטית בכל סביבה שבה היא מוגדרת )לא קוראים את‬
‫הסוגריים(‪.‬‬
‫‪18/12/2012‬‬
‫‪47‬‬
‫פרק ‪8‬‬
‫משפט ‪Cauchy-Kovalewski‬‬
‫‪8.1‬‬
‫המקרה הכללי‬
‫משפט ‪ 8.1.1‬משפט ‪Cauchy-Kovalewski‬‬
‫נתונה המערכת הקוואזי לינארית‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫)‪(8.1.1‬‬
‫‪Dα u = f x, Dβ u β‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‪β‬‬
‫‬
‫‬
‫‪Aα x, Dβ u‬‬
‫‪X‬‬
‫‪|α|≤m‬‬
‫כאשר ‪ |β| ≤ m − 1‬והמטריצות‪ u ∈ RL :‬ו‪ Aα :‬מטריצות ‪.L × L‬‬
‫ ‪ β‬‬
‫נתון משטח ‪ Γ : ϕ (x1 , . . . , xn ) = 0‬כך ש ‪ ∇ϕ 6= 0‬ועליו תנאי קושי של ‪ D u |β|≤m−1‬באופן קומפטיבילי )לחילופין‪,‬‬
‫‬
‫∂‬
‫‪∂ m−1‬‬
‫‪.( u, ∂ν‬‬
‫‪u, . . . , ∂ν‬‬
‫‪u‬‬
‫נניח כי‪:‬‬
‫‬
‫‪ n β o‬‬
‫‪ Aα x, D u β‬ו‪:‬‬
‫‪ f x, Dβ u‬הן פונקציות אנליטיות של המשתנים שלהן‪ .‬כלומר‪ ,‬עבור ‪ x‬בסביבה‬
‫‪.1‬‬
‫‪α‬‬
‫‪ β‬‬
‫‬
‫ ‪ β‬‬
‫‪) 0 ∈ Γ‬אני מניחים כאן ש ‪ 0 ∈ Γ‬לצורך נוחות( ו ‪ D u‬בסביבת )‪. D u (0‬‬
‫‪ .2‬הפונקציה ) ‪ ϕ (x1 , . . . , xn‬אנליטית‪.‬‬
‫‪ .3‬נתוני קושי ‪ Dβ u |Γ‬בסביבת ‪ 0‬אנליטיים‪ .‬דהיינו‪ ,‬בלי הגבלת הכלליות‪ xn = ψ (x1 , . . . , xn−1 ) :‬על המשטח‬
‫בסביבת ‪ ,0‬כאשר ‪ ψ‬אנליטית‪ .‬ואז‪ Dβ u |Γ ,‬מובטאות בעזרת ‪ x1 , . . . , xn‬והן אנליטיות )בסביבת ‪ 0 ∈ Rn−1‬ו‪:‬‬
‫‪.(ψ (0) = 0‬‬
‫נניח כי ‪) Γ‬בסביבת ‪ (x = 0‬איננו קרקטריסטי‪ .‬כלומר‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‪X‬‬
‫‬
‫‪Aα x, Dβ u |β|≤m−1 (Dϕ)α  6= 0‬‬
‫‪det ‬‬
‫‪‬‬
‫‪|α|=m‬‬
‫‬
‫‪∂ m‬‬
‫‪. ∂ν‬‬
‫עבור ‪ x ∈ Γ‬בסביבת ‪ .x = 0‬תנאי זה מבטיח כי מתוך הנתונים ניתן לחלץ את ‪u |Γ‬‬
‫אזי‪ :‬קיים פתרון אנליטי יחיד ל )‪ (8.1.1‬בסביבת ‪ x = 0‬המקיים את תנאי קושי על ‪) Γ‬בסביבת ‪.(x = 0‬‬
‫‬
‫‬
‫הערה ‪ 8.1.2‬הכוונה בסימון ‪ Dβ u β‬הם כל ה‪ β‬אשר מקיימים את התנאי‪ .‬זאת אומרת ‪ β‬הוא לא קבוע כאן‪ .‬זאת‬
‫סתם דרך להגיד שהמשתנים זה כל הנגזרות אשר עולות על דעתנו‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬מתחילים בסדרת רדוקציות‪:‬‬
‫‪ .1‬נגדיר קואורדינטה ) ‪ yn = xn − ψ (x0 , . . . , xn−1‬ואז‪ .Γ : xn ≡ 0 :‬נבחין כי ההנחות ממשיכות להתקיים‬
‫)למשל אנליטיות המקדמים( בגלל אנליטיות פעולת ההרכבה‪.‬‬
‫‪ .2‬כל תנאי קושי )על ‪ (xn ≡ 0‬הם אפס זהותית‪ .‬נתונים לנו ) ‪) Dβ u (x1 , . . . , xn−1‬מספר סופי של נזגרות‪ ,‬אנו‬
‫‪48‬‬
‫פרק ‪ .8‬משפט ‪Cauchy-Kovalewski‬‬
‫‪ .8.1‬המקרה הכללי‬
‫גם גוזרים את ‪ (!xn‬נבנה פולינום אלה הנגזרות שלו‪:‬‬
‫‪u (x1 , . . . , xn−1 ) xjn‬‬
‫‪j‬‬
‫∂‬
‫‪∂xn‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫!‪j‬‬
‫‪m−1‬‬
‫‪X‬‬
‫= ) ‪P (x1 , . . . , xn‬‬
‫‪j=0‬‬
‫זהו פולינום ב ‪ xn‬לא במשתנים האחרים‪ .‬אזי נתוני קושי של ‪ ≡P‬נתוני קושי של ‪ .u‬ו ‪ P‬אנליטית ב ‪x1 , . . . , xn‬‬
‫)למעשה‪ ,‬היא פולינום ב ‪ ,xn‬אבל לא באחרים(‪ .‬ולכן‪ ,‬נחליף את ‪ u‬ב ‪ u − P‬שהיא נעלם חדש‪.‬‬
‫‪ .3‬נעבור למערכת מסדר ראשון ע״י הגדרת ‪ uβ = Dβ u‬בתור נעלמים נוספים‪ .‬לווקטור הנעלמים החדש נקרא‪:‬‬
‫‪ .ũ u, {uβ }b‬אזי )‪ (8.1.1‬נרשמת כך‪:‬‬
‫)̃‪Aα (x, ũ) Dα u = f (x, u‬‬
‫‪X‬‬
‫‪|α|≤m‬‬
‫אבל אנו רוצים לכתוב מערכת ב ̃‪ ,u‬כלומר להפטר מ ‪ .Dα u‬עבור ‪ |α| < m‬אזי הוא ב ̃‪ .u‬מה עם ‪?|α| = m‬‬
‫נרשום‪:‬‬
‫) ‪ũ = (u1 , . . . , uN‬‬
‫כאשר ‪ uN‬הוא זה שבו‪:‬‬
‫‪ , uN = Dxm−1‬כלומר ה ‪ β‬שלו היא‪ .β = (0, . . . , 0, m − 1) :‬אנו יודעים כי‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫)̃‪Dxmn uN = bN (x, u‬‬
‫בגלל האי קרקטריסטיקות‪ .‬נקח ‪ .j < N‬מה ניתן לכתוב על ‪ uj = Dβ u ?Dxn uj‬כאשר ‪ βℓ > 0‬כאשר‬
‫‪ .1 ≤ ℓ ≤ n − 1‬אז מה ניתן להגיד על ‪?Dxn uj‬‬
‫‪Dxn u j = Dxℓ u k‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ℓ‬‬
‫{|}‪z‬‬
‫או איזשהו ‪ .um‬כאשר‪ uk = Dβ u :‬כאשר )‪ . β = β − 0, . . . , 1 , . . . , 0 + (0, . . . , 0, 1‬תנאי קושי ל‬
‫‪ uj‬יודעים‪.‬‬
‫קיבלנו מערכת‪:‬‬
‫)̃‪Dxn uN = bN (x, u‬‬
‫‪Dxn u j = Dxℓ u k‬‬
‫(‬
‫את המערכת הזו ניתן לרשום בצורה‪:‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪XX‬‬
‫‪∂uj‬‬
‫‪∂uk‬‬
‫=‬
‫)‪aijk (z‬‬
‫)‪+ bj (z‬‬
‫‪∂xn‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪o‬‬
‫כאשר ) ‪ z = (x1 , . . . , xn−1 , u1 , . . . , uN‬ו‪aijk (z) :‬‬
‫מטריצות ‪.N × N‬‬
‫למה ‪ xn‬לא נכלל? כי נהפוך את ‪ xn‬לנעלם ‪ r‬ע״י משוואה נוספת שתהיה ‪ Dxn r ≡ 1‬ו‪.r |xn =0 = 0 :‬‬
‫אם נתייחס לכל ‪ L‬הרכיבים של ה ‪ u1 , . . . , uN‬נוכל לשנות סימון כך ש‪ (u1 , . . . , uN ) :‬סקלרים‪ .‬המקדמים )‪(z‬‬
‫)‪ bj (z‬אנליטים ב ‪ z‬בסביבת ‪ .z = 0 ∈ Rn−1+N‬עלינו לחפש פתרון אנליטי ‪ {uj (x)}1≤j≤N‬למערכת זו בסביבת‬
‫‪.x = 0 ∈ Rn‬‬
‫‪aijk‬ו‬
‫בהנחה שקיים פתרון כזה‪:‬‬
‫צעד א׳‪ :‬מתקיים‪:‬‬
‫‬
‫)‪Dzβ aijk (0) , Dzγ bj (0) , Dδ uk (0‬‬
‫‪Dxn Dα uj (0) = Pα‬‬
‫כאשר ‪ Pα‬פולינום פעל מקדמים אי־שליליים‪ |β| , |γ| ≤ |α| ,‬ו‪ |δ| ≤ |α| + 1 :‬ו‪.δn ≤ αn :‬‬
‫‪49‬‬
‫פרק ‪ .8‬משפט ‪Cauchy-Kovalewski‬‬
‫‪ .8.1‬המקרה הכללי‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪: 8.1.3‬‬
‫‪α = (0, . . . , 0, 1) ⇒ Dα = Dxn‬‬
‫במקרה זה קיבלנו ‪ |α| = 1‬ו‪.|δ| = 2 :‬‬
‫טענה ‪8.1.4‬‬
‫‪α‬‬
‫ניתן כך לחשב את כל הנגזרות )‪ Dxn D uj (0‬לכל מולטיאינדקס ‪.α‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪ .αn‬אם ‪ αn = 0‬אזי ידועות כל הנגזרות‪ Dα Dxn uj :‬על ‪.xn = 0‬‬
‫אם ‪ αn = 1‬וכל ‪ αℓ = 0‬כאשר ‪ ℓ ≤ n − 1‬אז‪:‬‬
‫‪n−1 N‬‬
‫‪∂uk X X i‬‬
‫‪∂uk‬‬
‫‪+‬‬
‫‪ajk (0)·Dxn‬‬
‫)‪(0)+Dxn bj (. . .) (0‬‬
‫‪∂xi i=1‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫·))‪Dxn aijk (x1 , . . . , xn−1 , u1 (x) , . . . , un (x‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪XX‬‬
‫= )‪Dxn Dxn uj (0‬‬
‫‪i=1 k=1‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪∂uk‬‬
‫∂‬
‫∂‬
‫‪k‬‬
‫‪Dxn ∂u‬‬
‫)‪ Dxn bj (. . .‬ידוע מכיוון שהוא תלוי ב ‪ . ∂xn uℓ‬גם‪ Dxn ∂xi (0) :‬ידוע‪ ,‬מכיוון ש‪∂xi (0) = ∂xi Dxn uk (0) :‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ aijk (x1 , . . . , xn−1 , u1 (x) , . . . , un (x)) · ∂u‬ידוע‬
‫וזוהי נגזרת ‪ xi‬של ‪k‬‬
‫‪ Dxn u‬הידוע על ‪ .xn = 0‬ולבסוף גם‪∂xi :‬‬
‫‬
‫‪∂ajk‬‬
‫‪∂uk‬‬
‫‪∂uℓ‬‬
‫‪.( ∂zℓ+n−1‬‬
‫‪∂xn‬‬
‫) ‪∂xi‬‬
‫כעת אנו יודעים עד ‪ αn ≤ q‬וכעת נבחן את ‪ αn = q‬ונקבל ‪ αn = q + 1‬מהאגף השמאלי של‪.Dxn Dα uj (0) :‬‬
‫צעד ב׳‪:‬‬
‫נניח כי מסתכלים במערכת‪:‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪XX‬‬
‫‪∂Uj‬‬
‫‪∂Uk‬‬
‫=‬
‫)‪Aijk (z‬‬
‫)‪+ Bj (z‬‬
‫‪∂xn‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪19/12/2012‬‬
‫כאשר‪ z = (x1 , . . . , xn−1 , U1 , . . . , Un ) :‬כאשר ‪) aijk ≪ Aijk‬ב‪ (z = 0‬ו‪.bj ≪ (Bj ) :‬‬
‫‪50‬‬
‫פרק ‪ .8‬משפט ‪Cauchy-Kovalewski‬‬
‫‪ .8.1‬המקרה הכללי‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪ : 8.1.5‬נתבונן רגע בדוגמה כדי לחזור לעצמינו‪ .‬נניח ‪ n = 3 ,L = 2‬ו ‪ m = 2‬אזי‪:‬‬
‫ ‬
‫ ‬
‫ ‬
‫‪u1‬‬
‫‪u1‬‬
‫‪u1‬‬
‫)‪+ f (x, u1 , u2 , Dx1 u1 , Dx2 u1 , Dx3 u1 , . . .‬‬
‫‪+ A(0,1,1) Dx2 2 ,x3‬‬
‫‪= A(2,0,0) Dx2 1 ,x1‬‬
‫‪Dx2 3‬‬
‫‪u2‬‬
‫‪u2‬‬
‫‪u2‬‬
‫)כמובן שיכולים להיות עוד נגזרות כאן‪ ,‬אבל זה מספיק לבינתיים(‪.‬‬
‫נבחין כי האיבר הראשון‪ ,‬הוא‪:‬‬
‫‪ 1,1‬‬
‫‬
‫‪A(2,0,0) (. . .) A1,2‬‬
‫)‪(2,0,0) (. . .‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫אנו רוצים לכתוב אותו כאוסף של סקלארים‪ .‬כלומר‪:‬‬
‫‪1,2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Dx3 (Dx3 u1 ) = Dx2 3 u1 = A1,1‬‬
‫‪(2,0,0) (x, . . .) Dx1 ,x1 u1 + A(2,0,0) (. . .) Dx1 x1 u2 + . . .‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫נעלם‬
‫‪A1,1‬‬
‫) ‪(2,0,0) (x, . . .) Dx1 (Dx1 u1 ) + . . . . . . + Dx1 (Dx1 u2‬‬
‫ה ) ‪ (Dx1 ui‬נהפכלים לנעלמים‪.‬‬
‫כעת‪ ,‬האיבר השני מימין בשורה העליונה )כלומר ‪u1‬־ים(‬
‫‪1,2‬‬
‫‪Dx2 3 u1 = A1,1‬‬
‫) ‪(0,1,1) (x, . . .) Dx2 (Dx3 u1 ) + A(0,1,1) (x, . . .) Dx2 (Dx3 u2‬‬
‫הערה ‪ 8.1.6‬זו לא באמת משוואה נפרדת‪ ,‬זה צריך להיות באותה משוואה‪ .‬יש כאן בלאגן‪.‬‬
‫ולכן אנו מקבלים כי‪:‬‬
‫)נעלם( ‪. . . Dxi‬‬
‫‪N X‬‬
‫‪2‬‬
‫‪X‬‬
‫= )נעלם( ‪Dx3‬‬
‫‪k=1 i=1‬‬
‫כעת נזכר כי הגענו לביטוי‪:‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪XX‬‬
‫‪∂uj‬‬
‫‪∂uk‬‬
‫=‬
‫)‪aijk (z‬‬
‫)‪+ bj (z‬‬
‫‪∂xn‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪k=1‬‬
‫כאשר ) ‪ ,z = (x1 , . . . , xn−1 , u1 , . . . , uN‬כל הנעלמים שכוללים את כל רכיבי ה ‪ Dβ u‬כאשר ‪.|β| ≤ m − 1‬‬
‫אם קיים פתרון אנליטי בסביבת ‪ z = 0‬אזי‪:‬‬
‫ ‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫)‪Dxn Dα uj (0) = Pα Dzβ aijk (0) , [Dγ bj ] (0) , Dδ uk (0‬‬
‫עם כל התנאים על ‪ γ, δ, β‬שציינו‪ .‬לכן‪ ,‬באופן סוקססיבי‪ ,‬ניתן לחשב את כ נגזרות )‪.(Dα uj ) (0‬‬
‫כמו כן‪ ,‬אמרנו כי אם ‪) aijk ≪ Aijk‬נשלט ב ‪ z = 0‬ו‪ (xn = 0 :‬לכןל ‪ 1 ≤ j ≤ N‬וגם‪.bj ≪ Bj :‬‬
‫ואם יש פתרון ל‪:‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪XX‬‬
‫∂‬
‫∂‬
‫= ‪Uj‬‬
‫)‪Aijk (z‬‬
‫)‪Uk (x) + Bj (z‬‬
‫‪∂xn‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪k=1‬‬
‫ותנאי התחלה ‪ Uj |Γ = 0‬בסביבה של ‪ z = 0‬אזי קיים פתרון אנליטי ל‪:‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪XX‬‬
‫‪∂uj‬‬
‫‪∂uk‬‬
‫=‬
‫)‪aijk (z‬‬
‫)‪+ bj (z‬‬
‫‪∂xn‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪51‬‬
‫פרק ‪ .8‬משפט ‪Cauchy-Kovalewski‬‬
‫‪ .8.1‬המקרה הכללי‬
‫הפתרון הזה הוא יחיד בסביבה בגלל למת ההמשכה שהרי כל נגזרותיו נקבעות ב‪.0‬‬
‫מכיוון ש ‪ aijk (. . .) , bj‬אנליטיות ב ‪ z = 0‬אזי הן באיזשהו )‪ .CM,r (0‬כלומר‪ ,‬כולן נשלטות ע״י ≡‬
‫)‪.ϕM,r (z‬‬
‫‪i‬‬
‫ניקח את כל ה ‪ Ajk , Bj‬בתור ‪.ϕ‬‬
‫!‬
‫‪25/12/2012‬‬
‫∂‬
‫‪Uk‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪XX‬‬
‫‪i=1 k=1‬‬
‫‪1+‬‬
‫‪Mr‬‬
‫) ‪r−(x1 +...+xn−1 +u1 +...+uN‬‬
‫‪Mr‬‬
‫∂‬
‫= )‪Uj (x‬‬
‫‪∂xn‬‬
‫) ‪r − (x1 + . . . + xn−1 + U1 + . . . + UN‬‬
‫וזה עבור ‪.1 ≤ j ≤ N‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪Uj (x1 , . . . , xn−1 , 0) ≡ 0‬‬
‫ננסה פתרון אנליטי מהצורה‪:‬‬
‫) ‪Uj (x) ≡ V (X, Y‬‬
‫כך ש‪:‬‬
‫‪∀j X = x1 + . . . + xn−1 Y = xn‬‬
‫נקבל כי‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫∂‬
‫‪∂V‬‬
‫‪Mr‬‬
‫)‪1 + N (n − 1‬‬
‫= ) ‪V (X, Y‬‬
‫‪∂Y‬‬
‫‪r − X − NV‬‬
‫‪∂X‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪V (X, 0) ≡ 0‬‬
‫)‪M rN (n − 1‬‬
‫)‪r − X (t, s) − N V (t, s‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Mr‬‬
‫)‪r − X (t, s) − N V (t, s‬‬
‫∂‬
‫= )‪X (t, s‬‬
‫‪∂t‬‬
‫∂‬
‫= )‪Y (t, s‬‬
‫‪∂t‬‬
‫∂‬
‫= )‪V (t, s‬‬
‫‪∂t‬‬
‫כמו כן‪:‬‬
‫‪s‬‬
‫‪0‬‬
‫= )‪X (0, s‬‬
‫= )‪Y (0, s‬‬
‫‪0‬‬
‫= )‪V (0, s‬‬
‫בעזרת החלפת משתנה ) ‪ (t, s) → (X, Y‬נקבל‪V (t, s) → V (X, Y ) :‬‬
‫‪52‬‬
‫פרק ‪ .8‬משפט ‪Cauchy-Kovalewski‬‬
‫‪ .8.1‬המקרה הכללי‬
‫הערה ‪8.1.7‬‬
‫‪a ux + buy = c‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪∂t‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪q‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫= ) ‪V (X, Y‬‬
‫‪r − X − (r − X) − 2nN M rY‬‬
‫‪Nn‬‬
‫אנליטית בסביבת ‪.X = Y = 0‬‬
‫תוספת למשפט‪ :‬סיימנו להוכיח כי אם ‪ Γ‬לא קרקטריסטי ב ‪) x = 0 ∈ Γ‬ביחס לנתוני ‪ (Cauchy‬אז קיים פתרון אנליטי‬
‫יחיד בסביבת ‪ .x = 0‬יהי עכשיו ‪ K ⋐ Γ‬מקטע של ‪ Γ‬כך שלכל נקודה ‪ y ∈ K ⊆ Γ‬קיימת סביבה )פיסת‬
‫משטח( ‪ Γy‬שאינה קרקטריסטית‪.‬‬
‫בקיצור‪ ,‬סביבה של ‪ K‬ב‪ Γ‬שאינה קרקטריסטית‪ .‬אזי לכל נקודה ‪ y ∈ K‬קיימת סביבה ‪ Σy ∈ Rn‬שבה קיים‬
‫פתרון יחיד )זה המשפט שהוכחנו(‪.‬‬
‫מספר סופי של סביבות כאלה‪ Σy1 , . . . , ΣyL :‬מכסות את ‪ K‬והפתרון בקבוצת החפיפה ‪ Σyi ∩ Σyj‬חייבים‬
‫להתלכד )בגלל היחידות הפתרון האנליטי(‪ .‬לכן הפתרון המבוקש הוא פשוט איחוד הפתרונות בכל ‪.Σyi‬‬
‫‪53‬‬
IV ‫חלק‬
Rn‫ ב‬Poisson :‫ ו‬Laplace ‫משוואת‬
54
‫פרק ‪9‬‬
‫משוואת ‪Laplace‬‬
‫‪9.1‬‬
‫פונקציות הרמוניות‬
‫‪ Ω ⊆ Rn‬תחום )פתוח קשיר(‬
‫הגדרה ‪ 9.1.1‬פתרון קלאסי )כלומר‪ (C 2 (Ω) :‬של ‪ ∆u = 0‬ייקרא פונקציה הרמונית‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 9.1.2‬אם )‪ u ∈ C 2 (Ω‬ו‪ ∆u ≥ 0 :‬נאמר כי ‪ u‬סבהרמונית‪.‬‬
‫אם )‪ u ∈ C 2 (Ω‬ו ‪ ∆u ≤ 0‬נאצר כח תן סופרהרמונית‪.‬‬
‫‪9.1.1‬‬
‫ובחזרה לממוצעים‪...‬‬
‫תהי ‪ u‬פונקציה הרמונית ותהי )‪.Mu (x, r‬‬
‫תזכורת ‪ 9.1.3‬נקח פונקציה )‪ ,h ∈ C 2 (Ω‬ואז הגדרנו‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪h (x + rξ) dSξ‬‬
‫‪|ξ|=1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ωn‬‬
‫=‪Mn (x, r) :‬‬
‫)הממוצע על ספירה ברדיוס ‪ .(r‬הכוונה ש ‪.B (x, r) ⊆ Ω‬‬
‫‪∇ξ h (x + rξ) ξ dSξ‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫∂‬
‫)‪∂ν h (x + rξ‬‬
‫על השפה ‪|ξ| = 1‬‬
‫ˆ‬
‫‪|ξ|=1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ωn r‬‬
‫= ‪∇x h (x + rξ) · ξdSξ‬‬
‫ˆ‬
‫∂‬
‫‪1‬‬
‫= )‪Mh (x, r‬‬
‫‪∂r‬‬
‫‪ωn‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪ωn r‬‬
‫‪|ξ|=1‬‬
‫וכעת ממשפט גאוס‪:‬‬
‫‪∆x (x + rξ) dξ‬‬
‫ˆ‬
‫‪|ξ|≤1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ωn r‬‬
‫= ‪∆ξ (x + rξ) dξ‬‬
‫‪|ξ|≤1‬‬
‫=‬
‫כלומר‪ ,‬מהצבת משתנה ‪ y = rξ + x‬נקבל‪:‬‬
‫= ‪h (y) dSρ dρ‬‬
‫‪|y−x|=ρ‬‬
‫= ‪dρ‬‬
‫!‬
‫‪h (y) dSρ‬‬
‫ˆ ‪ˆr‬‬
‫‪0‬‬
‫‪r1−n‬‬
‫‪∆x‬‬
‫= ‪h (y) dy‬‬
‫‪ωn‬‬
‫‪|y−x|≤r‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪|y−x|=ρ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ωn ρn−1‬‬
‫‪ r‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‬
‫‪r1−n ∆x  ρn−1 Mn (x, ρ) dρ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪55‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪ρ‬‬
‫‪ˆr‬‬
‫‪0‬‬
‫‪∆x‬‬
‫∂‬
‫‪r −n‬‬
‫‪r ∆x‬‬
‫= )‪Mh (x, r‬‬
‫‪∂r‬‬
‫‪ωn‬‬
‫‪1−n‬‬
‫‪r‬‬
‫פרק ‪ .9‬משוואת ‪Laplace‬‬
‫‪ .9.1‬פונקציות הרמוניות‬
‫נכפיל את שני האגפים ב ‪ rn−1‬ונקבל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ r‬‬
‫ˆ‬
‫∂‬
‫‪rn−1 Mh (x, r) = ∆x  ρn−1 Mh (x, ρ) dρ‬‬
‫‪∂r‬‬
‫‪0‬‬
‫נגזור שוב לפי ‪ r‬ונקבל‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫∂‬
‫∂‬
‫))‪rn−1 Mh (x, r) = ∆x rn−1 Mh (x, r) = rn−1 (∆x Mh (x, r‬‬
‫‪∂r‬‬
‫‪∂r‬‬
‫כעת‪ ,‬אם ‪ h ≡ u‬פונקציה הרמונית אזי‪:‬‬
‫‪✿0‬‬
‫✘‬
‫✘✘‬
‫✘‬
‫✘‬
‫∆‬
‫‪u‬‬
‫‪(x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪rξ)dξ‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪x‬‬
‫✘‬
‫✘‬
‫‪|ξ|=1‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪ωn‬‬
‫= )‪∆x Mu (x, r‬‬
‫מכיוון ש ‪ u‬הרמונית‪ .‬ולכן‪ ,‬אם )‪ u ∈ C 2 (Ω‬הרמונית ב ‪ Ω‬אזי‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫∂‬
‫∂ ‪n−1‬‬
‫‪r‬‬
‫‪Mu (x, r) ≡ 0‬‬
‫‪∂r‬‬
‫‪∂r‬‬
‫במילים אחרות‪:‬‬
‫∂‬
‫)‪Mu (x, r) ≡ β (x‬‬
‫‪∂r‬‬
‫‪rn−1‬‬
‫)עבור ‪ .(r > 0‬עם זאת‪ ,‬נזכר כי במקרה הכללי‪ .Mh (x, 0) = h (x) :‬ו‪:‬‬
‫ˆ‬
‫∂‬
‫‪1‬‬
‫= ‪Mh (x, r) |r=0‬‬
‫‪∇x h (x + rξ) ξdSξ −→ 0‬‬
‫‪r→0‬‬
‫‪∂r‬‬
‫‪ωn |ξ|=1‬‬
‫מכיוון ש ‪.|∇x h (x + rξ) − ∇x h (x)| −→ 0‬‬
‫‪r→0‬‬
‫ולכן‪ ,‬במקרה שלנו‪ ,‬כאשר ‪ r → 0‬נקבל כי‪:‬‬
‫∂‬
‫‪Mu (x, r) → 0‬‬
‫‪∂r‬‬
‫‪rn−1‬‬
‫אבל )‪ β (x‬לא תלויה ב‪ .r‬לכן נקבל כי ‪ .β (x) ≡ 0‬ולכן‪:‬‬
‫∂‬
‫‪Mu (x, r) ≡ 0‬‬
‫‪∂r‬‬
‫מסקנה ‪9.1.4‬‬
‫אם )‪ u ∈ C 2 (Ω‬הרמונית ב‪ Ω‬אזי לכל ‪ x ∈ Ω‬נקבל כי‪:‬‬
‫)‪Mu (x, r) ≡ γ (x‬‬
‫לכל ‪ .r > 0‬אבל‪ .Mu (x, r) −→ u (x) ,‬ולכן‪:‬‬
‫‪r→0‬‬
‫משפט ‪9.1.5‬‬
‫אם )‪ u ∈ C 2 (Ω‬הרמונית ב‪ ,Ω‬אזי בכל נקודה היא שווה לממוצע שלה על ספירה כלשהי המרוכזת ב‪.x‬‬
‫המשפט ההפוך הינו‪:‬‬
‫‪56‬‬
‫פרק ‪ .9‬משוואת ‪Laplace‬‬
‫‪ .9.2‬משפט הערך הממוצע )חלק ‪(2‬‬
‫משפט ‪9.1.6‬‬
‫‪2‬‬
‫נניח כי )‪ u ∈ C (Ω‬מקיימת את תוכנת הממוצע‪) u = Mu (x, r) :‬לכל ‪ x ∈ Ω‬ולכל ‪ (r ≥ 0‬אזי ‪ u‬הרמונית‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬לפי‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫∂‬
‫∂ ‪n−1‬‬
‫‪r‬‬
‫)‪Mh (x, r) = ∆x rn−1 Mh (x, r‬‬
‫‪∂r‬‬
‫‪∂r‬‬
‫ומכך ש )‪ Mu (x, r) = u (x‬לכל ‪ r > 0‬נקבל כי‪:‬‬
‫‬
‫‪∀r > 0 0 ≡ ∆x rn−1 u (x) ⇒ ∆x u (x) ≡ 0‬‬
‫‪ 9.2‬משפט הערך הממוצע )חלק ‪(2‬‬
‫אנו יודעים כי‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪u (y) dSy‬‬
‫‪|y−x|=ρ‬‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫)‪Mu (x,ρ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ωn ρn−1‬‬
‫|‬
‫= )‪u (x‬‬
‫נכפיל ב ‪ ρn−1‬ונבצע אינטגרציה על ]‪ [0, r‬לפי ‪:ρ‬‬
‫‪u (y) dy‬‬
‫‪|y−x|≤r‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪ωn‬‬
‫= ‪dρ‬‬
‫!‬
‫‪ˆr‬‬
‫ˆ‬
‫‪u (y) dSρ‬‬
‫‪|y−x|=ρ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪u (x) dρ‬‬
‫‪ωn‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪ρ‬‬
‫‪ˆr‬‬
‫‪0‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‪u (y) dy‬‬
‫‪|y−x|≤r‬‬
‫ˆ‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪r‬‬
‫=‬
‫‪n‬‬
‫‪ωn‬‬
‫)‪u (x‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‪u (y) dy‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ωn n‬‬
‫‪r‬‬
‫} ‪|n{z‬‬
‫ˆ‬
‫‪|y−x|≤r‬‬
‫= )‪u (x‬‬
‫נפח הכדור ברדיוס ‪r‬‬
‫כלומר קיבלנו את‪:‬‬
‫משפט ‪ 9.2.1‬משפט הערך הממוצע )גרסה ‪(2‬‬
‫אם )‪ u ∈ C 2 (Ω‬הרמונית ב‪ Ω‬אזי )‪ = u (x‬הממוצע של ‪ u‬על כל כדור ‪B (x, r) ⊆ Ω‬‬
‫אנחנו קיבלנו את הגרסה השניה )ממוצע על כדורים( מתוך הראשונה )ממוצע על ספירות(‪.‬‬
‫שאלה‪ :‬אם ‪ u‬מקיימת תכונת הממוצע על כדורים‪ ,‬האם אפשר להוכיח כי היא מקיימת את תכונת הממוצע על ספירה?‬
‫‪ 9.3‬משפט המקסימום החזק‬
‫משפט ‪ 9.3.1‬משפט המקסימום החזק‬
‫‪57‬‬
‫פרק ‪ .9‬משוואת ‪Laplace‬‬
‫‪ .9.3‬משפט המקסימום החזק‬
‫תהי )‪ u (x) ∈ C 2 (Ω‬הרמונית ב‪ .Ω‬ותהי ‪ x0 ∈ Ω‬כך ש‪:‬‬
‫})‪u (x0 ) = max {u (x‬‬
‫‪x∈Ω‬‬
‫אזי ‪ u ≡ const‬ב ‪.Ω‬‬
‫הוכחה‪) :‬להוכחה אלטרנטיבית‪ ,‬וחזקה יותר עבור סאב־הרמוניות‪ ,‬אפשר להסתכל בסיכומים של ספקטרלית ב‪.(2.4‬‬
‫אם ‪ u‬מקיימת את תכונת הממוצע וערכה ב ‪ ≤y‬ערכה בכל )‪ z ∈ B (y, ρ‬עבור ‪ ρ > 0‬מסויים‪ ,‬אזי )‪ u ≡ u (y‬ב‬
‫)‪.B (y, ρ‬‬
‫‬
‫‬
‫לכן‪ ,‬הקבוצה‪ y | u (y) = max u (x) :‬היא פתוחה‪ ,‬ואינה ריקה כי לפי הנחה ‪ x0‬שייכת אליה‪.‬‬
‫‪x∈Ω‬‬
‫מצד שני‪ ,‬ברור כי היא סגורה )יחסית( ב‪ .Ω‬בגלל רציפות‪) .‬הקבוצה }‪ {u ≡ k‬סגורה לכל ‪ u‬רציפה(‪ .‬כיוון ש ‪ Ω‬תחום‬
‫קשיר‪ ,‬הקבוצה היא כל ‪.Ω‬‬
‫מסקנה ‪ 9.3.2‬משפט המינימום החזק‬
‫אם )‪ u ∈ C 2 (Ω‬הרמונית ו‪ u (x0 ) = min {u (x) | x ∈ Ω} :‬ו ‪ x0 ∈ Ω‬אזי ‪ u = const‬ב ‪.Ω‬‬
‫‪01/01/2013‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסתכל על ‪ .−u‬ואז מעקרון המקסימום החזק סיימנו‪.‬‬
‫נבחין כי פתרון של משוואת לפלס‪ ,‬כלומר‪:‬‬
‫‪∆u = 0‬‬
‫הוא למעשה סוג מסויים של פתרונות של משוואת הגלים‪:‬‬
‫‪utt − c2 ∆u = 0‬‬
‫כאשר למעשה‪:‬‬
‫)‪u (x, t) = u (x‬‬
‫זה פתרון שנקרא ‪ ,Steady state‬פתרון של גל עומד‪.‬‬
‫או התכנסות של פתרון שהוא מתייצב‪.‬‬
‫משפט ‪ 9.3.3‬עקרון המקסימום\מינימום החלש‬
‫‬
‫נניח כי ‪ Ω‬תחום חסום ותהי ‪ u ∈ C 2 (Ω) ∩ C Ω‬אזי‪ max u = max u :‬וגם‪:‬‬
‫‪x∈∂Ω‬‬
‫‪x∈Ω‬‬
‫‪min u = min u‬‬
‫‪x∈∂Ω‬‬
‫‪x∈Ω‬‬
‫במילים אחרות‪ u ,‬אינה עולה ב ‪ Ω‬ואינה יורדת ב ‪ Ω‬מעל או מתחת לערכה המקסימלי )או המינימלי( על השפה ‪.∂Ω‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח )‪ .u (x0 ) > max u (x‬אזי קיים ‪ x ∈ Ω‬כך ש‪:‬‬
‫‪x∈∂Ω‬‬
‫)‪u (x) = max u (x‬‬
‫‪x∈Ω‬‬
‫∈ ‪.(x‬‬
‫)בגלל קיום ‪ x0‬ברור כי‪/ ∂Ω :‬‬
‫ואז‪ ,‬העקרון החזק אומרי כי‪ u (x) ≡ u (x) :‬וזאת סתירה כי גם‪) u |∂Ω ≡ u (x) :‬רציפות(‪.‬‬
‫לכן‪ ,‬אין ‪ x0 ∈ Ω‬כך ש‪u (x0 ) > max u (x) :‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫‪58‬‬
‫פרק ‪ .9‬משוואת ‪Laplace‬‬
‫‪ .9.3‬משפט המקסימום החזק‬
‫הערה ‪ 9.3.4‬יתר על כן‪ ,‬אם קיים‪ u (x0 ) = max u (x) :‬ו‪ x0 ∈ Ω :‬אז‪:‬‬
‫‪x∈∂Ω‬‬
‫)‪u (x0 ) = max u (x‬‬
‫‪Ω‬‬
‫אז‪ ,‬העיקרון החזק יגיד כי‪.u (x) ≡ u (x0 ) :‬‬
‫‬
‫נניח כי ‪ Ω‬חסום ו‪ ∂Ω‬חלקה‪ .‬האם בהינתן )‪ ϕ ∈ C (∂Ω‬קיימת ‪ u ∈ C 2 (Ω) ∩ C Ω‬הרמונית כך ש‪.u |∂Ω = ϕ :‬‬
‫‬
‫יחידות‪ :‬אם קיימת ‪ u‬כזאת אזי היא יחידה‪ ,‬שהרי אחרת גם‪ v (x) :‬כזאת אזי‪ u − v ∈ C 2 (Ω) ∩ C Ω :‬הרמונית‬
‫ב ‪ Ω‬ו‪.u − v |∂Ω ≡ 0 :‬‬
‫אבל אז‪ ,‬מעקרון המקסימום\מינימום החלש נקבל כי‪.u − v ≡ 0 :‬‬
‫שאלה? האם קיום )‪ u (x‬כזאת לא נובע כבר ממשפט ‪?Cauchy-Kovalewski‬‬
‫תשובה‪ :‬ראשית‪ ,‬על ‪ ∂Ω‬להיות אנליטית‪ .‬כלומר‪) xn = ψ (x1 , . . . , xn−1 ) :‬בסביבה קטנה של ‪ (y ∈ ∂Ω‬כאשר ‪ψ‬‬
‫אנליטית‪.‬‬
‫שנית‪ ,‬ברור שמקדמי המשוואה‪ ∆u = 0 :‬הם אנליטיים‪.‬‬
‫כמו כן‪ ,‬נדרש כי )) ‪ ϕ |∂Ω = ϕ (x1 , . . . , xn−1 , ψ (x1 , . . . , xn−1‬תהיה אנליטית‪.‬‬
‫ולבסוף‪ ,‬צריך שמהקטע )סביב ‪ y ∈ ∂Ω‬יהיה לא־קרקטריסטי‪ .‬כלומר‪:‬‬
‫‪xn − ψ (x1 , . . . , xn−1 ) = 0‬‬
‫נזכר כי הדרישה לקרקטריסטיות תהא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫במקרה שלנו‪:‬‬
‫‪Aα (x) (Dϕ)α  = 0‬‬
‫‪X‬‬
‫‪‬‬
‫‪det ‬‬
‫‪|α|=m‬‬
‫‪∆ = ∂x1 x1 + . . . + ∂xn xn‬‬
‫כלומר‪ ,‬כדי שהמשטח לא יהיה קרקטריסטי נדרוש‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(−∂xi ψ) + 1 6= 0‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫כלומר‪ ,‬אין בכלל משטחים קרקטריסטיים במקרה של משוואת לפלס‪.‬‬
‫לכן‪ ,‬ניתן לעשות זאת מכיוון שלכל סביבה של השפה נקבל פתרון‪ ,‬וכך נמשיך‪.‬‬
‫‪59‬‬
‫פרק ‪10‬‬
‫בעיית דיריכלה )‪(Dirichlet‬‬
‫‪ Ω ⊆ Rn‬תחום חסום‪ ,‬קשיר‪ ∂Ω ,‬חלקה‪.‬‬
‫‪10.1‬‬
‫נוסחאת ‪Green‬‬
‫משפט ‪ 10.1.1‬נוסחאת ‪Green‬‬
‫תהיינה‪:‬‬
‫‬
‫‪u, v ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 Ω‬‬
‫כלומר‪ ,‬הנגזרות )‪ Du, Dv ∈ C 1 (Ω‬ניתנות להמשכה רציפה ל ‪.Ω‬‬
‫אזי‪:‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪∂v‬‬
‫‪∂u‬‬
‫‪− u dS‬‬
‫= ‪(v∆u − u∆v) dx‬‬
‫‪v‬‬
‫‪∂ν‬‬
‫‪∂ν‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫כאשר‬
‫∂‬
‫‪∂ν‬‬
‫הנגזרת הנורמלית בכיוון החיצוני‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫)‪∇ (v∇u‬‬
‫‪−∇v · ∇u‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫‪= ∇v∇u + v∆u‬‬
‫מלייבניץ‬
‫= ‪v∆u‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫‪∇v∇u‬‬
‫ˆ‬
‫‪∇ (v∇u) −‬‬
‫ˆ‬
‫‪(∇ (u∇v)) −‬‬
‫‪Ω‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪v∆u‬‬
‫‪Ω‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫ובחילופי תפקידים‪:‬‬
‫‪∇v · ∇u‬‬
‫‪Ω‬‬
‫ובחיסור המשוואות )ושימוש במשפט הדיברגנץ\גאוס( נקבל‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪u∇v · ~ν dS‬‬
‫‪v ∇u‬‬
‫‪| {z· ~ν} dS −‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫‪∂u‬‬
‫‪∂ν‬‬
‫‪60‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫ˆ‬
‫‪∂Ω‬‬
‫= ‪u∇v‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫= ‪v∆u − u∇v‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫פרק ‪ .10‬בעיית דיריכלה )‪(Dirichlet‬‬
‫‪ .10.2‬הגדרת הפתרון היסודי ב ‪Rn‬‬
‫‪10.2‬‬
‫הגדרת הפתרון היסודי ב ‪Rn‬‬
‫בהינתן ‪ x, y ∈ Rn‬נגדיר‪:‬‬
‫‪n>2‬‬
‫‪n=2‬‬
‫‪2−n‬‬
‫‪1‬‬
‫|‪(2−n)ωn |x − y‬‬
‫‪1‬‬
‫|‪2π log |x − y‬‬
‫(‬
‫= )‪Γ (x − y‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‪ .ωn = S n−1‬אנו קוראים ל ‪ Γ‬הפתרון היסודי של ∆‪.‬‬
‫‪∆x Γ (x − t) = δy‬‬
‫‪10.2.1‬‬
‫נגזרות ‪ x‬של )‪Γ (x − y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−n‬‬
‫‪(xi − yi ) |x − y| , x 6= y, i = 1, . . . , n‬‬
‫‪ωn‬‬
‫= )‪Di Γ (x − y‬‬
‫עבור‪ .n ≥ 2 :‬מכיוון ש‪:‬‬
‫∂ ‪∂r‬‬
‫·‬
‫‪∂xi ∂r‬‬
‫= ‪Di‬‬
‫כאשר |‪ . r = |x − y‬ולכן‪:‬‬
‫‪xi − yi‬‬
‫‪∂r‬‬
‫=‬
‫‪∂xi‬‬
‫|‪|x − y‬‬
‫כעת‪ ,‬הנגזרת השני‪:‬‬
‫‪o‬‬
‫‪1 n‬‬
‫‪|x − y|2 δij − n (xi − yi ) (xj − yj ) |x − y|−n−2‬‬
‫‪ωn‬‬
‫= )‪Di,j Γ (x − y‬‬
‫מדוע? נניח כי ‪:i 6= j‬‬
‫‪1‬‬
‫‪(xi − yi ) (−n) |x − y|−1−n · (xj − yj ) |x − y|−1‬‬
‫‪ωn‬‬
‫= )‪Di,j Γ (x − y‬‬
‫וזה בדיוק מה שכתבנו להעיל‪.‬‬
‫תרגיל‪ :‬לבדוק במקרה של ‪.i = j‬‬
‫עבור ‪:x 6= y‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n X‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−n−2‬‬
‫‪−n‬‬
‫|‪(xi − yi ) |x − y‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪n |x − y| −‬‬
‫‪ωn‬‬
‫‪ωn i=1‬‬
‫עבור ‪ x 6= y‬מכייון שהסכום‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫|‪(xi − yi ) = |x − y‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫נבחין כי‪:‬‬
‫‪−n‬‬
‫|‪|Di,j Γ (x − y)| ≤ C |x − y‬‬
‫‪61‬‬
‫= )‪∆x Γ (x − y‬‬
‫פרק ‪ .10‬בעיית דיריכלה )‪(Dirichlet‬‬
‫‪ .10.2‬הגדרת הפתרון היסודי ב ‪Rn‬‬
‫עבור איזשהו קבוע ‪ . C‬כלומר‪ ,‬זה לא אינטגרבילי ליד ‪ y‬אבל‪:‬‬
‫‪1−n‬‬
‫|‪|Di Γ (x − y)| ≤ C |x − y‬‬
‫כן אינטגרבילי ליד ‪.y‬‬
‫‪2−n‬‬
‫|‪|Γ| ≤ C |x − y‬‬
‫נקח כדור קטן‪ Bρ (y) ⊆ Ω :‬כדור ברדיוס ‪ ρ > 0‬וממורכז ב ‪.y‬‬
‫‬
‫נקח‪ u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 Ω :‬ונפעיל את נוסחאת גרין על )‪) Ω\Bρ (y‬כפונקציות של ‪:(x‬‬
‫‬
‫ˆ ‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪∂u‬‬
‫)‪∂Γ (x − y‬‬
‫‪∂Γ‬‬
‫‪∂u‬‬
‫=‪✿ 0‬‬
‫✘‬
‫✘‪✘x‬‬
‫‪Γ‬‬
‫‪−u‬‬
‫‪+‬‬
‫‪−u‬‬
‫✘ ‪Γ∆u −‬‬
‫‪Γ‬‬
‫∆‪u‬‬
‫‪Γ‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫‪∂Bρ (y) ∂νx‬‬
‫‪∂Ω ∂νx‬‬
‫)‪Ω\Bρ (y‬‬
‫נרצה לקחת ‪.ρ → 0‬‬
‫נבחין כי המידה של השפה של )‪ Bρ (y‬מתהנגת כמו ‪ ,ρn−1‬מכיוון ש‪:‬‬
‫‪|∂Bρ (y)| = ωn ρn−1‬‬
‫ולפי הערכות על ‪:Γ‬‬
‫ˆ‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪∂u‬‬
‫‬
‫‬
‫‪Γ‬‬
‫‪dS ≤ Cρn−1 ρ2−n −→ 0‬‬
‫‬
‫‪ρ→0‬‬
‫ ‪ ∂Bρ (y) ∂νx‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‪ ∂u‬‬
‫‪ max ∂ν‬שהוא סופי‪.(u ∈ C 2 ,‬‬
‫כאשר ‪ C‬תלוי ב ‪) u‬כלומר‪ :‬‬
‫‪x‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫ˆ‬
‫‪∂Γ‬‬
‫)‪∂Γ (x − y‬‬
‫‪u‬‬
‫‪dSx − lim‬‬
‫‪u‬‬
‫‪−u‬‬
‫‪dSy‬‬
‫‪lim‬‬
‫= ‪Γ∆u‬‬
‫‪Γ‬‬
‫‪ρ→0‬‬
‫)‪ρ→0 Ω\B (y‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫‪∂Bρ (y) ∂νx‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫‪ρ‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫נחשב את‪:‬‬
‫‪∂Γ‬‬
‫‪dSy‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪u‬‬
‫‪ρ→0 ∂B (y) ∂νx‬‬
‫‪ρ‬‬
‫ˆ‬
‫נשים לב כי‪:‬‬
‫∂‬
‫∂‬
‫‪1‬‬
‫‪1−n‬‬
‫‪Γ (x − y) = − Γ (x − y) = −‬‬
‫|‪|x − y‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫‪∂r‬‬
‫‪ωn‬‬
‫)הנורמל החיצוני הפונה לכיוון ‪.(y‬‬
‫מצד שני‪:‬‬
‫)‪u |∂Bρ (y) → u (y‬‬
‫במידה שווה על הספירה‪ .‬אזי‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪∂Γ‬‬
‫‪1−n‬‬
‫)‪ωn ρn−1 ρ1−n = −u (y‬‬
‫· )‪dSy = u (y‬‬
‫‪−‬‬
‫|‪|x − y‬‬
‫‪dSx = u (y) −‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪u‬‬
‫‪ρ→0 ∂B (y) ∂νx‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪∂Bρ (y‬‬
‫‪ρ‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫לסיכום‪:‬‬
‫)‪dSx + u (y‬‬
‫‬
‫‪∂u‬‬
‫)‪∂Γ (x − y‬‬
‫‪−u‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫)‪Γ (x − y‬‬
‫‬
‫ˆ‬
‫‪∂Ω‬‬
‫= ‪Γ (x − y) ∆u (x) dx‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪dSx‬‬
‫‬
‫‪∂u‬‬
‫)‪∂Γ (x − y‬‬
‫‪−u‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫)‪Γ (x − y‬‬
‫‬
‫ˆ‬
‫‪∂Ω‬‬
‫וזוהי נוסחת ההצגה הבסיסת של תורת הפוטנציאל‪.‬‬
‫‪62‬‬
‫‪Γ (x − y) ∆u (x) dx −‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫= )‪u (y‬‬
‫פרק ‪ .10‬בעיית דיריכלה )‪(Dirichlet‬‬
‫‪ .10.3‬פונקציית גרין‬
‫מסקנה ‪10.2.1‬‬
‫‪2‬‬
‫תהי )‪ , u ∈ C02 (Ω‬כלומר )‪ u ∈ C (Ω‬ובעלת תומך קומפקטי ב ‪) Ω‬במילים אחרות ‪ u ≡ 0‬בסביבה של ‪.(∂Ω‬‬
‫אינטגרל השפה = ‪) 0‬כי ‪ (u |∂Ω , ∇u |∂Ω = 0‬ואז‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪Γ (x − y) ∆u (x) dx‬‬
‫= )‪u (y‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪02/01/2013‬‬
‫ואם היינו פיסיקאים‪ ,‬היינו מעבירים את הלאפלאסיאן שמאלה‪ ,‬והיינו מקבלים בדיוק את הקטע ש)‪ ∆Γ (x − y‬היא בעצם‬
‫הדלתא של דיראק‪.‬‬
‫הערה ‪ 10.2.2‬בקשר לבחנים‪ .‬למה הפתרון של משוואה הגלים יחיד?‬
‫נתבונן במקרה‪:‬‬
‫‪uyy − c2 ∆u = 0‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪u (x, 0) = 0‬‬
‫‪ut (x, 0) = x3‬‬
‫נבחין כי הפתרון הוא‪:‬‬
‫‪u (x, t) = tx3‬‬
‫יחידות הפתרון‪ ,‬נובעת מכך שפתרון חזק ראינו שיש לכל היותר אחד‪ ,‬ופתרון קלאסי הוא בהכרח חזק‪.‬‬
‫כמו כן‪ ,‬בהוכחה של קירכהוף‪ ,‬אמרנו שאם יש פתרון קלאסי הוא ניתן ע״י קירכהוף‪.‬‬
‫ועכשיו בחזרה לבעיית דיריכלה‪...‬‬
‫‬
‫נזכור כי אמרנו כי אם‪ u ∈ C (Ω) ∩ C 1 Ω :‬כאשר ‪ Ω ⊆ R‬חסום ו ‪ ∂Ω‬חלקה‪ .‬אזי‪:‬‬
‫‬
‫ ˆ‬
‫ˆ‬
‫∂‬
‫∂‬
‫)‪Γ (x − y) − Γ (x − y‬‬
‫‪u (x) dSx‬‬
‫)‪u (x‬‬
‫‪Γ (x − y) ∆u (x) dx +‬‬
‫= )‪u (y‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫מסקנה ‪10.2.3‬‬
‫אם )‪ u ∈ C 2 (Ω‬הרמונית‪ ,‬אזי ‪ u‬אנליטית )למעשה‪ ,‬אין צורך בחסימות ‪ Ω‬או בהנחה על ‪.(∂Ω‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ x0 ∈ Ω‬וכדור ‪ B2R (x0 ) ⊆ Ω‬וגם הסגור שלו ב‪ .Ω‬נפעיל את ההצגה על ) ‪ .B2R (x0‬אז‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫ˆ‬
‫)‪∂u (x‬‬
‫)‪∂Γ (x − y‬‬
‫‪dSx‬‬
‫)‪− Γ (x − y‬‬
‫= )‪u (y‬‬
‫)‪u (x‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫) ‪∂B2R (x0‬‬
‫עבור ) ‪ |y − x| ≥ R ,y ∈ BR (x0‬ל‪ .x ∈ ∂B2R (x0 ) :‬אבל אז ברור כי האינטגרנד הוא פונקציה אנליטית ב‪:‬‬
‫) ‪ y ∈ BR (x0‬הנמצאת ב )‪ CM,r (x‬עבור ) ‪ x ∈ ∂B2R (x0‬כאשר ‪ M, r > 0‬לא תלויים ב ‪.x‬‬
‫‪ 10.3‬פונקציית גרין‬
‫נחזור לדון ב ‪ Ω‬חסום ו ‪ ∂Ω‬חלקה‪.‬‬
‫‬
‫תהי ‪ h ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 Ω‬פונקציה הרמונית כלשהי‪ .‬נכתוב עבורה את נוסחת ההצגה‪:‬‬
‫‬
‫ ˆ‬
‫)‪∂h (x‬‬
‫∂‬
‫‪dSx‬‬
‫)‪Γ (x − y) − Γ (x − y‬‬
‫= )‪h (y‬‬
‫)‪h (x‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫‪63‬‬
‫פרק ‪ .10‬בעיית דיריכלה )‪(Dirichlet‬‬
‫‪ .10.3‬פונקציית גרין‬
‫הערה ‪ 10.3.1‬האיבר הראשון נעלם מכיוון ש ‪ h‬הרמונית!‬
‫אנו כרגע לא נתעסק איתה‪...‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫נכתוב גם את נוסחאת ‪ Green‬עבור ‪ h‬ו‪ u ∈ C (Ω) ∩ C Ω :‬כללית‪.‬‬
‫ ˆ ‬
‫‬
‫‬
‫ˆ‬
‫‪∂u‬‬
‫‪∂h‬‬
‫‪0‬‬
‫✿‬
‫✘‬
‫✘‬
‫✘‬
‫=‬
‫‪u∆h − h∆u dx = −‬‬
‫‪h∆udx‬‬
‫)‪− h (x‬‬
‫)‪u (x‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫ˆ‬
‫הערה ‪ 10.3.2‬שוב‪ ∆h = 0 ,‬מכיוון ש ‪ h‬הרמונית‪...‬‬
‫נכתוב זאת כך‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪∂h‬‬
‫‪∂u‬‬
‫)‪u (x‬‬
‫‪dSx‬‬
‫)‪− h (x‬‬
‫‪h∆udx +‬‬
‫=‪0‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫נתבונן בנוסחאת ההצגה של ‪:u‬‬
‫‬
‫‬
‫∂‬
‫∂‬
‫)‪u (x‬‬
‫‪Γ (x − y) ∆u (x) dx +‬‬
‫= )‪u (y‬‬
‫)‪Γ (x − y) − Γ (x − y‬‬
‫‪u (x) dSx‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫ונחבר את שתי המשוואות יחד‪ .‬נקבל‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫∂‬
‫‪∂u‬‬
‫)‪u (x‬‬
‫‪[h (x) + Γ (x − y)] −‬‬
‫])‪[h (x) + Γ (x − y‬‬
‫‪∆u (x) [h (x) + Γ (x − y)] dx +‬‬
‫= )‪u (y‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫נבחין כי הסוגר המרובע בכל מקום‪ ,‬היא תמיד אותה פונקצייה!‬
‫‬
‫הנוסחא הנ״ל נכונה לכל פונקציה הרמונית ‪.h ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 Ω‬‬
‫כעת‪ ,‬לכל ‪ y‬נקח )‪ hy (x‬כזאת כך ש )‪ hy (x) = −Γ (x − y‬לכל ‪ .x ∈ ∂Ω‬אזי‪ ,‬הפונקציה‪:‬‬
‫)‪G (x, y) = hy (x) + Γ (x − y‬‬
‫מקיימת את התכונות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬היא הרמונית ב‪.x ∈ Ω\ {y} :‬‬
‫‪ G (x, y) ≡ 0 .2‬עבור ‪ x ∈ ∂Ω‬ו‪.y ∈ Ω :‬‬
‫הגדרה ‪ 10.3.3‬פונקציה )‪ G (x, y‬המקיימת את התכונות הנ״ל נקראת פונקצייה ‪ Green‬של ‪ .Ω‬והיא מוגדרת על‬
‫‪.(x, y) ∈ Ω × Ω‬‬
‫מסקנה ‪10.3.4‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫אם )‪ G (x, y‬פונקציית ‪ Green‬של ‪ Ω‬אזי לכל ‪ u ∈ C (Ω) ∩ C Ω‬מתקיים‪:‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫∂‬
‫‪G (x, y) dSx‬‬
‫= )‪u (y‬‬
‫‪G (x, y) ∆u (x) dx +‬‬
‫)‪u (x‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫∂‬
‫)‪∂νx G (x, y‬‬
‫הגדרה ‪ 10.3.5‬הפונקציה‬
‫)הגרעין מוגדר על ‪.((x, y) ∈ ∂Ω × Ω‬‬
‫= )‪ K (x, y‬עבור ‪ x ∈ ∂Ω‬ו‪ y ∈ Ω :‬נקראת גרעין ‪ Poisson‬של ‪.Ω‬‬
‫‪64‬‬
‫פרק ‪ .10‬בעיית דיריכלה )‪(Dirichlet‬‬
‫‪ .10.3‬פונקציית גרין‬
‫‪ 10.3.0.1‬שאלה?‬
‫‪08/01/2013‬‬
‫אם ) ‪ Ω = BR (x0‬האם ניתן למצוא את )‪?G (x, y‬‬
‫טענה ‪10.3.6‬‬
‫אם קיים גרעין ‪ Poisson‬אזי‪:‬‬
‫‪K (x, y) dSx = 1‬‬
‫ˆ‬
‫‪∂Ω‬‬
‫לכל ‪.y ∈ Ω‬‬
‫הוכחה‪ :‬נקח ‪ .u (x) ≡ 1‬נקבל‪:‬‬
‫‪K (x, y) dSx‬‬
‫ˆ‬
‫‪∂Ω‬‬
‫∂‬
‫= ‪G (x, y) dSx‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫ˆ‬
‫=‪1‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫כנדרש‪.‬‬
‫‪ 10.3.1‬פונקציית ‪ Green‬וגרעין ‪ Poisson‬לכדור )‪BR (0‬‬
‫נחזור לשאלה בנוגע לפונקציית ‪ Green‬וגרעין ‪ Poisson‬לכדור )‪.BR (0‬‬
‫טענה ‪10.3.7‬‬
‫פונקציית ‪ Green‬של )‪ BR (0‬נתונה ע״י‪:‬‬
‫)‪(10.3.1‬‬
‫‪y 6= 0‬‬
‫‪y=0‬‬
‫‬
‫)‪(x − y‬‬
‫|‪|y‬‬
‫‪R‬‬
‫‬
‫‪Γ (x − y) − Γ‬‬
‫)‪Γ (x) − Γ (R‬‬
‫(‬
‫= )‪G (x, y‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2−n‬‬
‫|‪|x‬‬
‫)‪ωn (2 − n‬‬
‫= )‪Γ (x‬‬
‫עבור ‪) n ≥ 3‬מתקיים‪ .(Γ (x) = Γ (|x|) :‬ונסמן‪ Γ (R) = Γ (ξ) :‬כאשר ‪.|ξ| = R‬‬
‫וכמו כן‪ y :‬היא נקודת השיקוף של ‪ y‬ביחס ל )‪ ,BR (0‬כלומר‪ |y| · |y| = R2 :‬ו‪ 0, y, y :‬הן קו־לינאריות )יושבות על ישר‬
‫אחד(‪.‬‬
‫∈ ‪) z = y‬אם )‪ .(y ∈ BR (0‬נקבל כי‬
‫הוכחה‪ :‬אנו יודעים כי‪ Γ (x − z) :‬הרמונית ב‪ .Rn \ {z} :‬בפרט‪ ,‬עבור )‪/ BR (0‬‬
‫)‪ Γ (x − y‬הרמונית ב)‪.BR (0‬‬
‫‬
‫‬
‫ולכן‪ ,‬גם‪:‬‬
‫|‪ Γ |y‬הרמונית ב )‪) BR (0‬מכיוון שאם )‪ h (x‬הרמונית גם ))‪ h (γ (x − a‬הרמונית(‪.‬‬
‫)‪R (x − y‬‬
‫‬
‫‬
‫|‪ hy (x) = −Γ |y‬מקיימת את תנאי ההגדרה‪ .‬כלומר‪ ,‬נשאר‬
‫לכן‪ ,‬נשאר להראות כי הפונקציה ההרמונית‪:‬‬
‫)‪R (x − y‬‬
‫להוכיח כי ‪ G (x, y) = 0‬לכל )‪.x ∈ ∂BR (0‬‬
‫במילים אחרות‪ ,‬עבור ‪ |x| = R‬צריך להוכיח כי‬
‫‬
‫‬
‫|‪|y‬‬
‫)‪(x − y‬‬
‫‪Γ (x − y) = Γ‬‬
‫‪R‬‬
‫כאשר ‪.0 6= |y| < R‬‬
‫הערה ‪ 10.3.8‬במקרה ‪ y = 0‬הנ״ל טריוויואלי‪.‬‬
‫צריך להראות כי‪:‬‬
‫‪2−n‬‬
‫|‪|y‬‬
‫|‪|x − y‬‬
‫‪R‬‬
‫‬
‫‪65‬‬
‫=‬
‫‪2−n‬‬
‫|‪|x − y‬‬
‫פרק ‪ .10‬בעיית דיריכלה )‪(Dirichlet‬‬
‫‪ .10.3‬פונקציית גרין‬
‫משיקולים גיאומטרים )דמיון משולשים וכו׳ כאשר מסתכלים על ‪ y, x, y‬בתור קודקודים‪ ,‬לעשות את זה כתרגיל(‪ .‬נקבל‬
‫כי‪:‬‬
‫‪R‬‬
‫|‪|x − y‬‬
‫|‪|y‬‬
‫= |‪|x − y‬‬
‫)‪∀x ∈ ∂BR (0‬‬
‫‪2‬‬
‫נסתכל במישור המרוכב‪ ,‬ואז ‪ y = w‬ואז ‪) y = Rw‬כאשר ‪ w‬הוא צמוד מרוכב( ו ‪ .x = Reiθ‬ואז‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪ iθ‬‬
‫‬
‫‪Re − w‬‬
‫‪|w| Reiθ − w‬‬
‫‪|w| Reiθ − w‬‬
‫|‪|w‬‬
‫|‪|y‬‬
‫‬
‫=‬
‫=‬
‫ =‬
‫=‬
‫‪iθ‬‬
‫‪iθ‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪iθ‬‬
‫|‪|Re − w‬‬
‫| ‪|wRe − R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫✚‪e‬‬
‫✚‪R‬‬
‫| ‪ |w − Re−iθ‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪2−n‬‬
‫|‪|y‬‬
‫|‪|x − y‬‬
‫‪R‬‬
‫‬
‫= ‪|x − y|2−n‬‬
‫ובכך‪ ,‬הוכחה הטענה‪.‬‬
‫‪ 10.3.1.1‬גרעין ‪ Poisson‬של )‪BR (0‬‬
‫הצעד הבא הוא לחשב את גרעין ‪ Poisson‬ל )‪.BR (0‬‬
‫∂‬
‫)‪G (x, y‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫= )‪K (x, y‬‬
‫כאשר )‪.x ∈ ∂BR (0‬‬
‫‪xi‬‬
‫‪1‬‬
‫‪|x|1−n‬‬
‫‪ωn‬‬
‫‪R‬‬
‫= )‪Di Γ (x‬‬
‫כאשר ‪.|x| = R‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X xi 1‬‬
‫∂‬
‫‪xi − yi‬‬
‫= )‪Γ (x − y‬‬
‫‪|x − y|1−n‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫‪R ωn‬‬
‫|‪|x − y‬‬
‫‪i=1‬‬
‫כעת‪:‬‬
‫‪ X‬‬
‫|‪1−n |y‬‬
‫‬
‫‪n‬‬
‫✓‬
‫|‪xi |y‬‬
‫|‪|y‬‬
‫|‪|y‬‬
‫= ) ‪✓R (xi − yi‬‬
‫= )‪(x − y‬‬
‫)‪(Di Γ‬‬
‫)‪(x − y‬‬
‫|‪|y‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R R‬‬
‫‪R‬‬
‫✓‬
‫‪i=1‬‬
‫|‪✓R |x − y‬‬
‫‬
‫‬
‫‪n‬‬
‫‪2−n‬‬
‫|‪X xi 1 |y‬‬
‫‪−n‬‬
‫) ‪|x − y| (xi − yi‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪R‬‬
‫‪n‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‬
‫‪∂xi Γ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪xi‬‬
‫‪R‬‬
‫‪i=1‬‬
‫=‬
‫‬
‫|‪|y‬‬
‫)‪(x − y‬‬
‫‪R‬‬
‫‬
‫∂‬
‫‪Γ‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫אנו בעצם עושים הכללה של פרק ‪ .8.1 − 8.2‬תרגילים שיש לעשות ‪.4, 5‬‬
‫ולכן‪ ,‬עבור )‪ BR (0‬נקבל כי‪:‬‬
‫"‬
‫‪#‬‬
‫‪ 2−n‬‬
‫‬
‫‪n‬‬
‫|‪|y‬‬
‫|‪|y‬‬
‫‪1 X xi‬‬
‫‪−n‬‬
‫‪−n‬‬
‫‪|x − y| (xi − yi ) −‬‬
‫) ‪|x − y| (xi − yi‬‬
‫= )‪(x − y‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ωn i=1 R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪66‬‬
‫‬
‫∂‬
‫∂‬
‫‪Γ (x − y)−‬‬
‫‪Γ‬‬
‫= )‪K (x, y‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫פרק ‪ .10‬בעיית דיריכלה )‪(Dirichlet‬‬
‫‪ .10.3‬פונקציית גרין‬
‫כעת נזכר כי‪|x − y|−n :‬‬
‫‪−n‬‬
‫|‪|y‬‬
‫‪R‬‬
‫‬
‫=‬
‫‪−n‬‬
‫|‪|x − y‬‬
‫|‪|y‬‬
‫‪R‬‬
‫‬
‫= ‪ |x − y|−n‬ולכן‪:‬‬
‫‪#‬‬
‫"‬
‫"‬
‫‪ 2‬‬
‫‪✟#‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪−n X‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫✟‪2‬‬
‫‪X‬‬
‫✟‬
‫✓‬
‫‪1‬‬
‫‪|x‬‬
‫‪−‬‬
‫|‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫|‪|y‬‬
‫|‪|y‬‬
‫‪R‬‬
‫|‪|y‬‬
‫✓‬
‫‪i‬‬
‫✟‬
‫=‬
‫‪(xi − yi ) −‬‬
‫✘ ‪x2i −‬‬
‫✘‪xi‬‬
‫✟‪yi − 2 x2i + ✓2 x‬‬
‫‪·|x − y|−n‬‬
‫= ) ‪(xi − yi‬‬
‫= ‪i · ✓2 yi‬‬
‫‪ωn‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫✟‬
‫✓‬
‫‪n‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫|‪✓|y‬‬
‫✟‬
‫"‬
‫‪#‬‬
‫"‬
‫‪#‬‬
‫‪n‬‬
‫‪−n X‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−n h‬‬
‫‪i‬‬
‫|‪|x − y‬‬
‫|‪|y‬‬
‫|‪|x − y‬‬
‫✚ |‪|y‬‬
‫|‪|x − y‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪x2i − 2 x2i‬‬
‫✚ ‪R2 − 2‬‬
‫|‪R2 − |y‬‬
‫= ‪R2‬‬
‫‪ωn‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ωn‬‬
‫‪ωn‬‬
‫✚‪R‬‬
‫✚‬
‫‪i=1‬‬
‫כאשר אנו משתשים בכך ש‬
‫‪R2‬‬
‫‪|y|2‬‬
‫= |‪ |y‬ולכן‪:‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪|y|2 i‬‬
‫= ‪yi‬‬
‫כלומר‪ ,‬לסיכום‪:‬‬
‫‪−n‬‬
‫‪2‬‬
‫|‪R2 − |y‬‬
‫‪R‬‬
‫·‬
‫|‪|x − y‬‬
‫‪ωn‬‬
‫= )‪K (x, y‬‬
‫עבור ‪ |x| = R‬ו‪.|y| < R :‬‬
‫בפרט‪ .K (x, y) > 0 ,‬כזכור‪ ,‬הראינו את הטענה‪:‬‬
‫‪K (x, y) dSx = 1‬‬
‫ˆ‬
‫‪∂Ω‬‬
‫בז׳רגון‪ K (x, y) ,‬נקרא גרעין סומאביליות חיובי )ב‪ x‬לכל )‪.(y ∈ BR (0‬‬
‫‬
‫‬
‫אם )‪ u ∈ C 2 (BR (0)) ∩ C 1 BR (0‬הרמונית אזי‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫|‪R2 − |y‬‬
‫‪−n‬‬
‫‪|x − y| dSx‬‬
‫‪Rωn‬‬
‫· )‪u (x‬‬
‫)‪∂BR (0‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪u (x) K (x, y) dSx‬‬
‫ˆ‬
‫= )‪u (y‬‬
‫)‪∂BR (0‬‬
‫הערה ‪ 10.3.9‬הנוסחה הזאת נכונה ל ‪.n ≥ 2‬‬
‫טענה ‪10.3.10‬‬
‫נחזור ל ‪ Ω ⊆ Rn‬חסום כללי‪ .‬אם קיים גרעין ‪ Poisson‬של ‪ .K (x, y) ,Ω‬אזי לכל ‪ x ∈ ∂Ω‬מתקיים‪ K (x, y) :‬הרמונית‬
‫ב ‪.y ∈ Ω‬‬
‫הוכחה‪) :‬בהמשך נוכיח הוכחה כללית‪ .‬כרגע נראה עבור הכדור )‪.(BR (0‬‬
‫במקרה של )‪ Ω = BR (0‬נרי‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫∂‬
‫|‪|y‬‬
‫∂‬
‫‪Γ (x − y) −‬‬
‫‪Γ‬‬
‫)‪(x − y‬‬
‫= )‪K (x, y‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫‪R‬‬
‫נבחין כי עבור המקרה הראשון אין לנו בעיה‪ ,‬הרי יש סימטריה בין ‪ x‬ל ‪ .y‬לכן אם היא הרמונית ב ‪ x‬קל וחומר שהיא‬
‫הרמונית ב ‪.y‬‬
‫וגם הגורם השני הרמוני‪ ,‬לא הראנו את זה‪ ,‬זה בחישוב ישיר וזה תרגיל מסובך שמתניה לא רוצה לעשות‪ ,‬אנו נראה‬
‫בהמשך את המקרה הכללי ולכן זה מיותר‪.‬‬
‫אבל נבחין כעת כי אם )‪ u (x‬מספיק יפה על השפה‪ ,‬אנו יכולים להכניס את הגזירה לתוך האינטגרל‪ ,‬ולכן מהטענה‬
‫הנ״ל אנו נקבל כי ‪ u‬הרמונית לפי ‪ y‬מכיוון ש ‪ K‬הרמונית לפי ‪.y‬‬
‫‪10.3.2‬‬
‫הסימטריה של פונקציית ‪Green‬‬
‫יהי ‪ Ω ⊆ Rn‬תחום חסום חלק שעבורו קיימת פונקציית ‪.x ∈ Ω, y ∈ Ω .G (x, y) ,Green‬‬
‫טענה ‪10.3.11‬‬
‫אם ‪ x, y ∈ Ω‬אזי‪.G (x, y) = G (y, x) :‬‬
‫‪67‬‬
‫פרק ‪ .10‬בעיית דיריכלה )‪(Dirichlet‬‬
‫‪ .10.3‬פונקציית גרין‬
‫נשים לב‪ G (x, y) ,‬לא מוגדרת עבור ‪.x = y‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהיינה ‪ y 6= z ∈ Ω‬וניקח כדורים קטנים )‪ .Bρ (y) , Bρ (z‬נסתכל על הפונקציית )‪ G (x, y‬ו )‪ G (x, z‬שהן‬
‫הרמוניות ב })‪ x ∈ Ω\ {Bρ (y) ∪ Bρ (z‬לכן‪ ,‬מנוסחת גרין‪:‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪∂v‬‬
‫‪∂u‬‬
‫= )‪(u∆v − v∆u‬‬
‫‪u‬‬
‫‪−v‬‬
‫‪∂ν‬‬
‫‪∂ν‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‬
‫∂‬
‫∂‬
‫)‪G (x, y) − G (x, y‬‬
‫‪G (x, z) dSx‬‬
‫)‪G (x, z‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫‬
‫ˆ‬
‫=‪0‬‬
‫)})‪∂(Ω\{Bρ (y)∪Bρ (z‬‬
‫על השפה החיצונית ‪ ,∂Ω‬האינטגרנד מתאפס )כי פונקציית גרין מתאפסת על השפה(‪ .‬לכן‪ ,‬נשאר לחשב את האינטגרל‬
‫רק על השפה של איחוד הכדורים‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫ˆ‬
‫∂‬
‫∂‬
‫)‪G (x, y) − G (x, y‬‬
‫‪G (x, z) dSx‬‬
‫)‪G (x, z‬‬
‫=‪0‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫))‪∂(Bρ (y)∪Bρ (z‬‬
‫בכדור )‪ Bρ (y‬הפונקציות )‪ G (x, z‬ו‪:‬‬
‫∂‬
‫)‪∂νx G (x, z‬‬
‫רציפות )וחלקות( ב ‪ x‬ואילו‪:‬‬
‫‪|G (x, y)| ≤ C |x − y|2−n‬‬
‫)עבור ‪ ρ > 0‬קטן(‪ .‬לכן כאשר ‪:ρ → 0‬‬
‫∂‬
‫‪G (x, z) dSx −→ 0‬‬
‫‪ρ→0‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫ˆ‬
‫)‪G (x, y‬‬
‫)‪∂Bρ (y‬‬
‫כי‪ .|∂Bρ (y)| ∝ ρn−1 :‬כלומר‪:‬‬
‫∂‬
‫‪G (x, z) dSx‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫)‪G (x, y‬‬
‫ˆ‬
‫)‪∂Bρ (z‬‬
‫∂‬
‫‪G (x, y) dSx = lim‬‬
‫‪ρ→0‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫)‪G (x, z‬‬
‫ˆ‬
‫)‪∂Bρ (y‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪ρ→0‬‬
‫‪09/01/2013‬‬
‫כעתת נחשב את‪:‬‬
‫∂‬
‫‪G (x, y) dSx‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫)‪G (x, z‬‬
‫ˆ‬
‫)‪∂Bρ (y‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪ρ→0‬‬
‫קיים‪:‬‬
‫∂‬
‫∂‬
‫])‪G (x, y) = − [Γ (x − y) + hy (x‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫‪∂r‬‬
‫כאשר ‪ r‬הוא קואורדינטת המרחק מהמרכז ‪) y‬והגזירה כפונקציה של ‪(x‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪r1−n‬‬
‫∂‬
‫∂‬
‫‪2−n‬‬
‫‪r‬‬
‫‪+ hy (x) = −‬‬
‫‪−‬‬
‫)‪hy (x‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪∂r (2 − n) ωn‬‬
‫‪ωn‬‬
‫‪∂r‬‬
‫‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪ 1−n‬‬
‫‬
‫ˆ‬
‫‪r‬‬
‫∂‬
‫∂‬
‫= ‪G (x, y) dSx‬‬
‫‪G (x, z) −‬‬
‫‪−‬‬
‫= ‪hy (x) dSx‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫‪ωn‬‬
‫‪∂r‬‬
‫)‪∂Bρ (y‬‬
‫‪ 1−n‬‬
‫‬
‫ˆ‬
‫‪ρ‬‬
‫∂‬
‫‪G (x, z) −‬‬
‫‪−‬‬
‫= ‪hy (x) ωn ρn−1 dθ‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪∂r‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪S‬‬
‫‬
‫‬
‫ˆ‬
‫∂‬
‫‪n−1‬‬
‫‪dθ‬‬
‫‪G (x, z) 1 +‬‬
‫‪−‬‬
‫‪hy (x) ωn ρ‬‬
‫‪∂r‬‬
‫‪S n−1‬‬
‫‪68‬‬
‫)‪G (x, z‬‬
‫ˆ‬
‫)‪∂Bρ (y‬‬
‫פרק ‪ .10‬בעיית דיריכלה )‪(Dirichlet‬‬
‫‪ .10.3‬פונקציית גרין‬
‫הערה ‪x = y + ρθ 10.3.12‬‬
‫∂‬
‫אבל נבחין כי )‪hy (x‬‬
‫‪ ∂r‬רציפה וחסומה ב )‪ .Bρ (y‬אבל מכיוון שהיא מוכפלת ב‪ ρ‬וגם )‪ G (x, y‬רציפה וחסומה בכדור‪,‬‬
‫אז בהשאפת ‪ ρ‬לאפס נקבל‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫∂‬
‫∂‬
‫‪n−1‬‬
‫)‪G (x, z) dθ = ωn G (y, z‬‬
‫‪dθ = −‬‬
‫‪lim‬‬
‫)‪G (x, z‬‬
‫‪G (x, y) dSx = − lim‬‬
‫‪G (x, z) 1 +‬‬
‫‪hy (x) ωn ρ‬‬
‫)‪ρ→0 ∂B (y‬‬
‫‪ρ→0 S n−1‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫‪∂r‬‬
‫‪S n−1‬‬
‫‪ρ‬‬
‫אבל נזכור כי גם ראינו כי‪:‬‬
‫∂‬
‫‪G (x, z) dSx −→ 0‬‬
‫‪ρ→0‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫מכיוון ש‬
‫∂‬
‫)‪∂νx G (x, z‬‬
‫)‪G (x, y‬‬
‫ˆ‬
‫)‪∂Bρ (y‬‬
‫פונקציה רציפה וגם כי‪:‬‬
‫‪|G (x, y)| < Cρ2−n‬‬
‫מכיוון ש ‪ |hy (x)| ≤ C‬חסומה‪ .‬אבל ‪ dSx = ωn ρn−1 dθ‬ואז אנחנו נקבלים שנשאר רק ‪ ,ρ‬וזה כמובן שואף לאפס‪.‬‬
‫באופן דומה‪ ,‬אנו נקבל ש‪:‬‬
‫ˆ‬
‫∂‬
‫)‪G (x, z) dSx = ωn G (z, y‬‬
‫‪lim‬‬
‫)‪G (x, y‬‬
‫)‪ρ→0 ∂B (z‬‬
‫‪∂ν‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ρ‬‬
‫ומהשיוויון בינהם נקבל‪:‬‬
‫)‪G (z, y) = G (y, z‬‬
‫כנדרש‪.‬‬
‫מסקנה ‪10.3.13‬‬
‫)‪ G (x, y‬לכל ‪ x ∈ Ω‬הרמונית ב ‪ y‬ב }‪.Ω\ {x‬‬
‫הוכחה‪ :‬הרי‪ G (x, y) = G (y, x) ,‬והרי הלאפלאסיאן לפי המשתנה הראשון שווה לאפס‪ ,‬ולכן במקרה הזה‪:‬‬
‫‪∆y G (y, x) = 0‬‬
‫טענה ‪10.3.14‬‬
‫∂‬
‫)‪∂νx G (x, y‬‬
‫= )‪ K (x, y‬הרמונית ב ‪ y‬עבור ‪ x ∈ ∂Ω‬ול ‪. y ∈ Ω‬‬
‫הוכחה‪ :‬נקח ‪ x0‬נקודה על השפה‪ .‬מכיוון ש‪ ∂Ω‬חלקה‪ ,‬הרי בסביבת ‪ x‬ניתן למצוא קואורדינטות ‪β ∈ R ,θ ∈ Rn−1‬‬
‫)‪ β‬זה הקו הניצב לשפה‪ ,‬ו‪ θ‬מתאר נקודה על השפה(‪ .‬כך ש‪:‬‬
‫∂‬
‫∂‬
‫= )‪ϕ (x‬‬
‫)‪ϕ (β, θ‬‬
‫‪∂νx‬‬
‫‪∂β‬‬
‫)‪ x‬בסביבת ‪.(x0‬‬
‫בפרט‪:‬‬
‫∂‬
‫‪G ((β, θ) , y) |β=0‬‬
‫‪∂β‬‬
‫= )‪K (x, y‬‬
‫)‪ β = 0‬נותנת נקודה על ‪ .(∂Ω‬לכן‪ ,‬כעת‪:‬‬
‫‬
‫∂‬
‫∂‬
‫∂‬
‫= ‪G ((β, θ) , y) |β=0‬‬
‫= ‪∆y (G (β, θ) , y) |β=0‬‬
‫‪0=0‬‬
‫‪∂β‬‬
‫‪∂β‬‬
‫‪∂β‬‬
‫‪69‬‬
‫‬
‫‪∆y K (x, y) = ∆y‬‬
‫פרק ‪ .10‬בעיית דיריכלה )‪(Dirichlet‬‬
‫‪ .10.4‬עובדות לגבי גרעין ‪Poisson‬‬
‫‪ 10.3.3‬סיכום‪:‬‬
‫עבור הכדור )‪ BR (0‬מתקבל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫|‪R2 − |y‬‬
‫‪|x − y|−n‬‬
‫‪ωn R‬‬
‫= )‪K (x, y‬‬
‫‪ |y| < R‬ו ‪.|x| = R‬‬
‫אזי‪ ,‬אם ‪ u‬הרמונית ב ‪ Ω‬תחום כך ש‪ BR (0) ⊆ Ω :‬מתקבל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫|‪R2 − |y‬‬
‫‪|x − y|−n u (x) dSx‬‬
‫‪ωn R‬‬
‫‪|x|=R‬‬
‫ˆ‬
‫= )‪u (y‬‬
‫אם לא הרמונית‪ ,‬יתווסף אינטגרל‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪G (x, y) ∆u (x) dx‬‬
‫)‪BR (0‬‬
‫‪15/01/2013‬‬
‫‪10.4‬‬
‫עובדות לגבי גרעין ‪Poisson‬‬
‫‪ ∆y K (x, y) = 0 .1‬לכל ‪.|x| = R‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ .2‬אם )‪ u ∈ C 2 (BR (0)) ∩ C 1 BR (0‬אז‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪K (x, y) u (x) dSx‬‬
‫= )‪u (y‬‬
‫)‪∂BR (0‬‬
‫‪ 10.5‬תכונות גרעין ‪Poisson‬‬
‫‪ K (x, y) > 0 .1‬לכל ‪.|y| < R ,|x| = R‬‬
‫´‬
‫‪ ∂BR (0) K (x, y) dSx = 1 .2‬לכל ‪.|y| < R‬‬
‫‪ .3‬הגבול‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪K (x, y) dSx = 0‬‬
‫}‪∂BR (0)∩{|x−x0 |>δ‬‬
‫‪lim‬‬
‫)‪y→x0 ∈∂BR (0‬‬
‫הגדרה ‪ 10.5.1‬גרעין )‪ K (x, y‬המקיים את התכונות הנ״ל נקרא גרעין סומביליות חיובי‪.‬‬
‫הערה ‪ 10.5.2‬גרעין סומביליות חיובי הוא בקירוב הדלתא של דיראק‪.‬‬
‫משפט ‪10.5.3‬‬
‫תהי ))‪) ϕ (x) ∈ C 0 (∂BR (0‬רציפה על השפה(‪ .‬אזי הפונקציה‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪K (x, y) ϕ (x) dSx‬‬
‫=‪uϕ (y) :‬‬
‫)‪∂BR (0‬‬
‫היא הרמונית בתוך )‪ BR (0‬ומתכנסת ל ) ‪ ϕ (x0‬כאשר )‪.y → x0 ∈ ∂BR (0‬‬
‫‪70‬‬
‫פרק ‪ .10‬בעיית דיריכלה )‪(Dirichlet‬‬
‫‪ .10.5‬תכונות גרעין ‪Poisson‬‬
‫במילים אחרות‪:‬‬
‫‬
‫‪uϕ (y) |y| < R‬‬
‫)‪∈ C 0 BR (0‬‬
‫‪ϕ (y) |y| = R‬‬
‫(‬
‫= )‪ũϕ (y‬‬
‫הוכחה‪ :‬העובדה ש )‪ uϕ (y‬הרמונית ב )‪ BR (0‬נובע מההרמוניות של )‪ K (x, y‬לפי ‪) .y‬וגזירה בתוך האינטגרל(‪.‬‬
‫עכשיו‪ ,‬נקח )‪ y → x0 ∈ ∂BR (0‬ונכתוב‪:‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪K (x, y) (ϕ (x) − ϕ (x0 )) dSx‬‬
‫= ) ‪uϕ (y) − ϕ (x0‬‬
‫)‪∂BR (0‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪K (x, y) (ϕ (x) − ϕ (x0 )) dSx +‬‬
‫‪K (x, y) (ϕ (x) − ϕ (x0 )) dSx‬‬
‫}‪∂BR (0)∩{|x−x0 |>δ‬‬
‫}‪∂BR (0)∩{|x−x0 |≤δ‬‬
‫}‬
‫נבחין כי‪:‬‬
‫‪{z‬‬
‫‪I2‬‬
‫‪K (x, y) dSx −→ 0‬‬
‫‪y→x0‬‬
‫}‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫‪I1‬‬
‫ˆ‬
‫‪∂BR (0)∩|x−x0 |>δ‬‬
‫|‬
‫|)‪|I1 | ≤ 2 max |ϕ (x‬‬
‫)‪∂BR (0‬‬
‫כאשר המעבר האחרון הוא מהתכונה השלישית של הגרעין‪.‬‬
‫וכמו כן‪:‬‬
‫‪✿1‬‬
‫✘‬
‫✘✘‬
‫✘‬
‫✘‬
‫|) ‪|I2 | ≤ max |ϕ (x) − ϕ (x0‬‬
‫‪✘K✘(x, y) dSx‬‬
‫‪|x−x0 |≤δ‬‬
‫✘‪✘R‬‬
‫)‪(0‬‬
‫‪✘∂B‬‬
‫ˆ‬
‫יהי ‪ , ε > 0‬בגלל הרציפות של ‪ ϕ‬קיים ‪ δ > 0‬כך שאם‪ |x − x0 | < δ :‬אז ‪.|ϕ (x) − ϕ (x0 )| < ε‬‬
‫נקח ‪ δ‬כנ״ל ואז נקבל כי‪:‬‬
‫‪lim |I1 | = 0‬‬
‫‪y→x0‬‬
‫‪lim |I2 | ≤ ε‬‬
‫‪y→x0‬‬
‫ולכן‪ ,‬מכך נובע כי‪:‬‬
‫‪lim sup |uϕ (y) − ϕ (x0 )| ≤ ε‬‬
‫‪y→x0‬‬
‫אבל זה לכל ‪ .ε‬ולכן סיימנו‪ .‬כי זה אומר ש ) ‪ uϕ (y) → ϕ (x0‬כאשר ‪.y → x0‬‬
‫‪ 10.5.1‬מסקנות‬
‫‪ Ω ⊆ Rn‬תחום קשיר‪.‬‬
‫משפט ‪10.5.4‬‬
‫תהי )‪ u ∈ C 0 (Ω‬בעלת תכונת הממוצע‪ .‬כלומר‪ :‬לכל ‪ x ∈ Ω‬מתקיים‪ u (x) = Mu (x, ρ) :‬לכל ‪ ρ > 0‬מספיק קטן‬
‫)תלוי ב ‪ .(x‬אזי ‪ u‬הרמונית ב ‪.Ω‬‬
‫הוכחה‪ :‬נקבע ‪ x ∈ Ω‬ותהי )‪ vρ (y‬פהפונקציה ההרמונית ב )‪ Bδ (y‬כך ש )‪ vρ (y) = u (y‬כאשר ‪.|y − x| = ρ‬‬
‫)‪ u (y) , vρ (y‬בעלות תכונת הממוצע בכדור‪ .‬נתבונן ב‪:‬‬
‫)‪w = u (y) − vρ (y‬‬
‫היא בעלת תכונת הממוצע ומתאפסת על השפה‪ .‬ולכן היא שווה לאפס‪.‬‬
‫כלומר‪ u (y) ≡ vρ (y) :‬בכדור )‪.Bρ (x‬‬
‫‪71‬‬
‫פרק ‪ .10‬בעיית דיריכלה )‪(Dirichlet‬‬
‫‪ .10.6‬בעיית דיריכלה בתחום כללי‬
‫משפט ‪10.5.5‬‬
‫∞‬
‫תהי ‪ {uk }k=1‬סדרה של פונקציות הרמוניות ב‪ Ω‬כך ש‪ uk (x) → u (x) :‬במ״ש על כל קומפקט ‪) Λ ⋐ Ω‬כלומר ‪Λ ⊆ Ω‬‬
‫קומפקטי(‪.‬‬
‫אזי ‪ u‬הרמונית ב‪.Ω‬‬
‫הוכחה‪ :‬נקח ‪ Bρ (a) ⊆ Ω‬ואז נתבונן ב‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪K (x, y) uk (x) dSx‬‬
‫= )‪uk (y‬‬
‫)‪∂Bρ (a‬‬
‫עבור‪ |x − a| = ρ :‬מכיוון ש‪ uk (x) → u (x) :‬במ״ש‪ .‬עבור‬
‫‪ρ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪K (x, y) u (x) dSx‬‬
‫< |‪ |y − a‬כאשר ∞ → ‪ k‬אנו נקבל כי זה שואף ל‪:‬‬
‫ˆ‬
‫= )‪u (y‬‬
‫)‪Bρ (a‬‬
‫אבל היא הרמונית ב‪.y‬‬
‫‪ 10.6‬בעיית דיריכלה בתחום כללי‬
‫‪ Ω ⊆ Rn‬תחום קשיר חסום‪.‬‬
‫תזכורת ‪ 10.6.1‬אם )‪ h ∈ C 0 (Ω‬אזי‪:‬‬
‫‪h (x + ρξ) dSξ‬‬
‫ˆ‬
‫‪|ξ|=1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ωn‬‬
‫= )‪Mh (x, ρ‬‬
‫הגדרה ‪ 10.6.2‬תהי )‪ u ∈ C 0 (Ω‬נאמר כי ‪ u‬היא סאבהרמונית ב‪ Ω‬אם לכל ‪ x ∈ Ω‬קיים ‪ ρx ≥ 0‬כך ש‪ux (x) ≤ :‬‬
‫)‪ Mu (x, ρ‬לכל ‪.ρ < ρx‬‬
‫טענה ‪10.6.3‬‬
‫אם )‪ u ∈ C 2 (Ω‬ו ‪ ∆u ≥ 0‬אזי ‪ u‬סאבהרמונית ב ‪.Ω‬‬
‫הוכחה‪ :‬עבור )‪ h ∈ C 2 (Ω‬כללית או יכולים לכתוב כי‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪ωn ρ‬‬
‫}‪∇ξ h (x + ρξ) · ξdSξ |{z‬‬
‫=‬
‫משפט גאוס‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫✄‪· ρ2‬‬
‫= ‪∆ξ h (x + ρξ) dξ‬‬
‫‪∆x h (x + ρξ) dξ‬‬
‫‪ωn ρ |ξ|≤1‬‬
‫‪ωn ρ‬‬
‫‪|ξ|≤1‬‬
‫✁‬
‫‪|ξ|=1‬‬
‫= ‪∇x h (x + ρξ) · ξdSξ‬‬
‫בפרט‪ ,‬במקרה של ‪ h = u‬עבור ‪ ∆u ≥ 0‬מתקבל‪:‬‬
‫∂‬
‫‪Mu (x, ρ) ≥ 0‬‬
‫‪∂ρ‬‬
‫כלומר‪ ,‬הפונקציה )‪ Mu (x, ρ‬עולה ב‪ .ρ‬ובפרט‪:‬‬
‫)‪u (x) = Mu (x, 0) ≤ Mu (x, ρ‬‬
‫עבור ‪ .ρ > 0‬ולכן ‪ u‬סאבהרמונית לפי הגדרה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 10.6.4‬נסמן ב )‪ σ (Ω‬את משפחת הפונקציות הסאבהרמוניות ב ‪.Ω‬‬
‫‪72‬‬
‫ˆ‬
‫‪|ξ|=1‬‬
‫∂‬
‫‪1‬‬
‫= )‪Mh (x, ρ‬‬
‫‪∂ρ‬‬
‫‪ωn‬‬
‫פרק ‪ .10‬בעיית דיריכלה )‪(Dirichlet‬‬
‫‪ .10.6‬בעיית דיריכלה בתחום כללי‬
‫טענה ‪10.6.5‬‬
‫‬
‫אם ‪ u ∈ σ (Ω) ∩ C 0 Ω‬אזי‪:‬‬
‫)‪max u (x) = max u (x‬‬
‫‪x∈∂Ω‬‬
‫‪x∈Ω‬‬
‫הערה ‪ 10.6.6‬זהו עקרון המקסימום החלש לפונקציות סאבהרמוניות‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬בשלילה‪ ,‬קיים ‪ x0 ∈ Ω‬כך ש‪:‬‬
‫)‪max u (x) = u (x0 ) > max u (x‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫אבל נזכור‪ ,‬כי ) ‪ u (x0‬קטנה מהממוצע של ספירות סביבה‪ .‬בגלל הסאבהרמוניות‪ u (x0 ) ≡ u (x) :‬בסביבה מלאה של‬
‫‪ x0‬לכןף‬
‫‬
‫‬
‫‪x ∈ Ω, u (x) = max u‬‬
‫‪Ω‬‬
‫פתוחה וסגורה‪ .‬ולכן‪.u (x) ≡ const :‬‬
‫הגדרה ‪ 10.6.7‬תהי )‪ u ∈ C 0 (Ω‬ו ‪ .Bρ (y) ⊆ Ω‬אזי נגדיר‪:‬‬
‫)‪x ∈ Ω\Bρ (y‬‬
‫הפונקציה ההרמונית בכדור )‪Bρ (y‬‬
‫)‪u (x‬‬
‫שערכי השפה שלה הם )‪u (x‬‬
‫(‬
‫= )‪uy,ρ (x‬‬
‫טענה ‪10.6.8‬‬
‫אם )‪ u ∈ σ (Ω‬ו ‪ Bρ (y) ⊆ Ω‬אזי‪:‬‬
‫‪ u (x) ≤ uy,ρ (x) .1‬לכל ‪x ∈ Ω‬‬
‫‪uy,ρ ∈ σ (Ω) .2‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬אם )‪ x ∈ Ω\Bρ (y‬אזי )‪ u (x) = uy,ρ (x‬לפי הגדרה‪ .‬לעומת זאת‪ ,‬בתוך הכדור‪ Bρ (y) ,‬הפונקציה ‪u (x) −‬‬
‫)‪ uy,ρ (x‬היא בעלת תכונת הממוצע כי ‪ uy,ρ‬הרמונית‪ .‬ושווה זהותית ל ‪ 0‬על השפה לפי הבנייה‪ .‬ולכן‪ ,‬מעקרון‬
‫המקסימום החלש‪ ,‬המקסימום החלש יגיד כי‪ u (x) − uy,ρ ≤ 0 :‬לכל )‪ .x ∈ Bρ (y‬כנדרש‪.‬‬
‫‪ .2‬ברור כי )‪ uy,ρ (z) ≤ Muy,ρ (z, θ‬ל ‪ θ > 0‬מספיק קטן‪ .‬אם )‪ z ∈ Ω\Bρ (y‬שהרי שם‪uy,ρ (z) = u (z) ∈ :‬‬
‫)‪ .σ (Ω‬כמו כן ‪ ,‬אם )‪ z ∈ Bρ (y‬אזי ‪ uy,ρ‬הרמונית שם ולכן בוודאי סאבהרמונית‪ .‬נשאר לבדוק מה קורה על‬
‫השפה של הכדור‪ .‬במקרה של ‪) |z − y| = ρ‬כלומר )‪ (z ∈ ∂Bρ (y‬אזי‪:‬‬
‫)‪≤ Mu (z, θ) ≤ Muy ,ρ (z, θ‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫)‪u∈σ(Ω‬‬
‫כאשר המעבר הראשון הוא מ‪.1‬‬
‫טענה ‪10.6.9‬‬
‫אם )‪ u ∈ σ (Ω‬ו ‪ Bρ (y) ⊆ Ω‬אזי )‪.u (y) ≤ Mu (y, ρ‬‬
‫‪73‬‬
‫}‪uy,ρ (z) |{z‬‬
‫)‪= u (z‬‬
‫הגדרה‬
‫פרק ‪ .10‬בעיית דיריכלה )‪(Dirichlet‬‬
‫‪ .10.6‬בעיית דיריכלה בתחום כללי‬
‫הערה ‪ 10.6.10‬לפי ההגדרה הטענה נכונה עבור ‪ ρ > 0‬מספיק קטן )בלבד(‪ .‬אנו רוצים להוכיח לכל ‪.ρ‬‬
‫הוכחה‪ :‬אנו יודעים שבתנאים הנ״ל‪:‬‬
‫)‪u (y) ≤ uy,ρ (y) = Muy,ρ (y, ρ) = Mu (y, ρ‬‬
‫מכיוון שהן מתלכדות על שפה של הכדור‪.‬‬
‫טענה ‪10.6.11‬‬
‫)‪ u ∈ C 0 (Ω‬היא הרמונית אם״ם ‪.u, −u ∈ σΩ‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם הרמונית‪ ,‬אזי )‪ u, −u ∈ σ (Ω‬באופן טריוויאלי‪.‬‬
‫להפך‪ ,‬ל ‪ u‬ול‪ −u‬תכונת ה≥ מהממוצע‪ .‬ולכן ל ‪ u‬תכונת הממוצע )העברת אגפים וזה‪ .(...‬ולכן הן הרמוניות‪.‬‬
‫תהי )‪ ϕ ∈ C 0 (∂Ω‬נגדיר משפחה‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪Ω | u (x) ≤ ϕ (x) x ∈ ∂Ω‬‬
‫‬
‫‬
‫‪σϕ Ω = σ (Ω) ∩ u ∈ C 0‬‬
‫הערה ‪ .σϕ (Ω) 6= ∅ 10.6.12‬כי אם נקח ‪.u ≡ const < min ϕ‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫טענה ‪10.6.13‬‬
‫‬
‫תהיינה ‪ .u1 , . . . , uk ∈ σϕ Ω‬אזי‪:‬‬
‫‬
‫‪v := max {u1 , . . . , uk } ∈ σϕ Ω‬‬
‫‬
‫הוכחה‪ :‬ראשית‪ ,‬כל האיברים ב ‪ σϕ Ω‬חסומים ע״י‪) max ϕ :‬מתכונת המקסימום החלש של פונקציות סאבהרמוניות(‪.‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫‬
‫לכן‪) v ∈ C 0 Ω ,‬רציפות וחסומות(‪ .‬וכמובן‪.v |∂Ω ≤ ϕ :‬‬
‫אם ‪ y ∈ Ω‬אזי‪:‬‬
‫})‪v (y) = max {ui (y)} ≤ max {Mu1 (y, ρ) , . . . , Muk (y, ρ‬‬
‫עבור ‪ ρ > 0‬מספיק קטן )כי ‪ ui‬סאבהרמוניות(‪.‬‬
‫)‪≤ Mv (y, ρ‬‬
‫‪16/01/2013‬‬
‫ולכן לפי הגדרה )‪.v ∈ σ (Ω‬‬
‫ולכן היא מקיימת את כל התכונות‪ ,‬ולכן ‪Ω‬‬
‫‬
‫‪.v ∈ σϕ‬‬
‫‬
‫‪u ∈ σϕ Ω ≤ max ϕ‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫הקבוצה לא ריקה מכיוון ש‪:‬‬
‫‪v (x) ≡ c, v ∈ σϕ (Ω) , c ≤ min ϕ‬‬
‫נסמן‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪wϕ := sup u ∈ σϕ Ω‬‬
‫‪74‬‬
‫פרק ‪ .10‬בעיית דיריכלה )‪(Dirichlet‬‬
‫‪ .10.6‬בעיית דיריכלה בתחום כללי‬
‫נבחין כי‪:‬‬
‫‪min ϕ ≤ wϕ (x) ≤ max ϕ‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫התוכנית שלנו‪:‬‬
‫‪ .1‬להראות ש )‪ wϕ (x‬הרמונית ב ‪.Ω‬‬
‫‪ .2‬לבדוק באיזו מידה ‪.wϕ |∂Ω = ϕ‬‬
‫ראשית נבחין בעוד תכונות של פונקציות הרמוניות‪:‬‬
‫ ‬
‫ ‪R 2 − y 2‬‬
‫‪1‬‬
‫·‬
‫‪R |x − y|n‬‬
‫‪K (x, y) = . . .‬‬
‫אם ‪ u‬הרמונית ב )‪:BR (0‬‬
‫‪K (x, y) u (x) dSx‬‬
‫ˆ‬
‫= )‪u (y‬‬
‫)‪BR (0‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫· ‪∂yj K (x, y) |y=0 u (x) dSx = . . .‬‬
‫‪R2 ∂yj‬‬
‫= ‪|y=0 u (x) dSx‬‬
‫‪R‬‬
‫‪|x‬‬
‫‪−‬‬
‫‪y|n‬‬
‫)‪∂BR (0‬‬
‫)‪BR (0‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪1 xj‬‬
‫‪xj − yj‬‬
‫‪1‬‬
‫‪· u (x) dSx‬‬
‫|‬
‫‪u‬‬
‫)‪(x‬‬
‫‪dS‬‬
‫=‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫·‬
‫‪R‬‬
‫‪...‬‬
‫‪y=0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪n+1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪|x‬‬
‫‪−‬‬
‫|‪y‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪|x‬‬
‫‪−‬‬
‫|‪y‬‬
‫)‪∂BR (0‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪∂yj u (y) |y=0‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫|)‪∂yj u (y) |y=0 ≤ C/R · max |u (x‬‬
‫)‪∂BR (0‬‬
‫כאשר ‪ C‬קבוע‪.‬‬
‫מסקנה ‪10.6.14‬‬
‫אם ‪ u‬הרמונית בכדור )‪ BR (0‬אזי במרכז הכדור מתקיים‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫|)‪· max |u (x‬‬
‫)‪R ∂BR (0‬‬
‫≤ | ‪|∇u (y) |y=0‬‬
‫משפט ‪10.6.15‬‬
‫תהי ‪ u‬הרמונית ב‪ .Ω‬ותהי ‪ ξ ∈ Ω‬כך ש )‪d (ξ) = dist (ξ, ∂Ω‬‬
‫אזי‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫·‬
‫‪max‬‬
‫|)‪|u (x‬‬
‫)‪d (ξ) − δ x∈∂Bdξ−δ (ξ‬‬
‫≤ |)‪|∇u (ξ‬‬
‫מסקנה ‪10.6.16‬‬
‫יהי ‪ Ω′ ⋐ Ω‬תחום מוכל קומפקטית ב‪.Ω‬‬
‫∞‬
‫פונקציות הרמוניות החסומות במידה שווה על כל תחום המוכל קומפקטית ב‪.Ω‬‬
‫תהיינה ‪ {uk }k=1‬סדרה∞‬
‫של ‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫אזי קיימת תת סדרה ‪ ukj j=1‬המתכנסת במידה שווה לפונקציה )‪ u (x‬על ‪ .Ω‬בהכרח )‪ u (x‬הרמונית ב ‪.Ω‬‬
‫‪75‬‬
‫פרק ‪ .10‬בעיית דיריכלה )‪(Dirichlet‬‬
‫‪ .10.6‬בעיית דיריכלה בתחום כללי‬
‫במילים אחרות‪ :‬סידרה חסומה של פונקציות הרמוניות ⇐ תת סדרה מתכנסת במ״ש‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם‪:‬‬
‫‬
‫‪dist Ω′ , ∂Ω = d > 0‬‬
‫אזי‪:‬‬
‫‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫< ) ‪x | dist (x, Ω′‬‬
‫‬
‫= ‪Ω′′‬‬
‫הוא תחום פתוח‪ Ω′′ ⋐ Ω .‬ו ‪.Ω′ ⋐ Ω‬‬
‫אזי‪ ,‬לפי ההנחה‪:‬‬
‫∞ < |)‪sup |uk (x‬‬
‫‪k, x∈Ω′′‬‬
‫לפי המשפט‪:‬‬
‫∞ < |)‪sup |∇uk (x‬‬
‫‪x∈Ω′ ,k‬‬
‫מכיוון ש ‪ x ∈ Ω′‬גורר כי‪.B d (x) ⊆ Ω′′ :‬‬
‫‪4‬‬
‫‬
‫‬
‫∞‬
‫לכן‪ ,‬לפי משפט ‪ Arzela-Ascoli‬קיימת תת סדרה ‪ ukj j=1‬המתכנסת במידה שווה ב ‪.Ω′‬‬
‫ואנו יודעים כי אם יש כזו‪ ,‬אז היא מתכנסת לפונקציה הרמונית‪ .‬ולכן סיימנו‪.‬‬
‫נחזור שוב ל‪:‬‬
‫})‪{u (x‬‬
‫‪sup‬‬
‫= )‪wϕ (x‬‬
‫)‪u∈σϕ (Ω‬‬
‫כאשר ‪ .x ∈ Ω‬אנו רוצים להוכיח ראשית כי ‪ wϕ‬הרמונית‪ .‬יהי ‪ .Bρ (ξ) ⊆ Ω‬תהי )‪ {xk } ⊆ Bρ (ξ‬סדרת נקודות‪.‬‬
‫) ‪wϕ (xk ) = lim ↑ ukj (xk‬‬
‫∞→‪j‬‬
‫‬
‫)גבול עולה( כאשר ‪.ukj ∈ σϕ Ω‬‬
‫לכל ‪ j‬טבעי נקח‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪o‬‬
‫)‪vj (x) = max u1j (x) , u2j (x) , . . . , ujj (x‬‬
‫‬
‫אזי ‪) vj ∈ σϕ Ω‬לפי הטענה שאומרת שהמקסימום נמצא שם(‪ .‬ולכל ‪ k‬נקבל כי יהיה מודבר בסדרה עולה‪:‬‬
‫) ‪lim ↑ vj (xk ) = wϕ (xk‬‬
‫∞→‪j‬‬
‫כעת‪ ,‬כל ‪ vj‬היא סאבהרמונית‪.‬‬
‫נחליף כל )‪ vj (x‬ב‪) vj,ξ,ρ (x) = λj (x) :‬הפונקציה שהיא הרמונית ב )‪ Bρ (ξ‬ושווה ל ‪ vj‬מחוצה לו‪ ξ, ρ ,‬קבועים(‪.‬‬
‫נזכר כי‪:‬‬
‫‬
‫)‪σϕ Ω ∋ λj (x) ≥ vj (x‬‬
‫וברור כי‪:‬‬
‫) ‪lim ↑ λj (xk ) = wϕ (xk‬‬
‫∞→‪j‬‬
‫‪76‬‬
‫פרק ‪ .10‬בעיית דיריכלה )‪(Dirichlet‬‬
‫‪ .10.6‬בעיית דיריכלה בתחום כללי‬
‫∞‬
‫אבל ‪ {λj (x)}j=1‬סדרת פונקציות הרמוניות חסומות במ״ש )ע״י ‪ min, max ϕ‬על השפה(‪.‬‬
‫ולכן‪ ,‬קיימת תת סדרה מתכנסת במש ב )‪ Bρ (ξ‬לפונקציה הרמונית )‪ .W (x‬נשים לב כי )‪ W (x‬וודאי תלויה בבחירה‬
‫הנקודות ‪ xk‬ובתת־סידרה‪.‬‬
‫נוסף‪ ,‬לכך ) ‪ W (xk ) = Wϕ (Xk‬לכל ‪ .k‬תהי )‪ η ∈ Bρ (ξ‬ונבחר ראשית סדרה ‪ xk → η‬נניח גם כי ‪ .x1 = η‬נקבל‬
‫)‪ W (x‬מתאים‪ .‬אזי‪ .W (xk ) = wϕ (xk ) :‬אבל )‪ W (x1 ) = W (xk ) → W (η‬וגם )‪ .wϕ (xk ) → wϕ (η‬כלומר‪,‬‬
‫)‪ wϕ (x‬פונקצי רציפה בכדור )‪.Bρ (ξ‬‬
‫כלומר‪ wϕ (x) ∈ C 0 (Ω) ,‬מכיוון שזה נכון לכל כדור‪ .‬עכשיו‪ ,‬נוכיח כי ‪ wϕ‬הרמונית‪.‬‬
‫ניקח } ‪ {xk‬סידרה צפופה בכדור )‪ .Bρ (ξ‬נקבל )‪ W̃ (x‬הרמונית מתאימה‪ .‬כאשר‪:‬‬
‫‪∀k‬‬
‫) ‪wϕ (xk ) = W̃ (xk‬‬
‫אבל ‪ wϕ‬רציפה בכדור ב ̃‪ W‬רציפה‪ .‬מכיוון ש ‪ xk‬צפופה אנו מקבלים כי בכדור‪:‬‬
‫)‪wϕ (x) ≡ W̃ (x‬‬
‫הרמונית ב )‪ .x ∈ Bρ (ξ‬אבל זה היה כדור כלשהו‪ .‬ולכן סיימנו‪.‬‬
‫נשאר לברר את היחס של )‪ wϕ (x‬ל )‪ ϕ (x‬בשביל ‪.x ∈ ∂Ω‬‬
‫‬
‫הגדרה ‪ 10.6.17‬תהי ‪ η ∈ ∂Ω‬ותהי )‪ .Qη (x) ∈ C 0 Ω ∩ σ (Ω‬נאמר כי )‪ Qη (x‬היא פונקציית מחסום )‪Barrier‬‬
‫‪ (function‬בנקודה ‪ η‬אם‪:‬‬
‫}‪Qη (η) = 0, Qη (x) < 0, x ∈ ∂Ω\ {η‬‬
‫נתונה הפונקציה‪ .ϕ (x) ∈ C 0 (∂Ω) :‬עבור ‪ ,ε > 0‬נגדיר‪:‬‬
‫)‪u (x) = ϕ (η) − ε + KQη (x‬‬
‫כאשר ‪ K ≫ 1‬ייבחר בהמשך‪ .‬ברור כי )‪) u ∈ σ (Ω‬כי )‪.(KQη ∈ σ (Ω‬‬
‫‪u (η) = ϕ (η) − ε + KQη (η) = ϕ (η) − ε‬‬
‫קיימת סביבה ‪ U‬של ‪ η‬ב ‪ ∂Ω‬כך ש ‪ x ∈ U‬אז‪ :‬היות ו‪ .u (x) ≤ ϕ (η) − ε :‬אזי גם‪ .u (x) ≤ ϕ (x) :‬על הקבוצה‬
‫הקומפקטית ‪ Qη (x) < 0 ,∂Ω\U‬ולכן ‪.Qη (x) < −β < 0‬‬
‫ע״י בחירת ‪ K ≫ 1‬מספיק גדול נוכל לקבל‪:‬‬
‫‪u (x) ≤ ϕ (x) , x ∈ ∂Ω\U‬‬
‫ולסיכום‪:‬‬
‫)‪x ∈ ∂Ω, u (x) ≤ ϕ (x‬‬
‫‬
‫‪ u ∈ σϕ Ω‬לכן‪ wϕ (x) ≥ u (x) :‬לכל ‪ .x ∈ Ω‬נסתכל עכשיו על הגבול של )‪ wϕ (x‬כאשר ‪ x ∈ Ω‬מתקרבת ל ‪.η‬‬
‫‪lim inf wϕ (x) ≥ lim u (x) = ϕ (η) − ε‬‬
‫‪x→η‬‬
‫‪x→y‬‬
‫לכל ‪ .ε > 0‬ולכן‪:‬‬
‫)‪lim inf wϕ (x) = ϕ (η‬‬
‫‪x→η‬‬
‫‪77‬‬
‫פרק ‪ .10‬בעיית דיריכלה )‪(Dirichlet‬‬
‫‪ .10.6‬בעיית דיריכלה בתחום כללי‬
‫נשאר להראות כי‪:‬‬
‫)‪lim sup wϕ (x) ≤ ϕ (η‬‬
‫‪x→η‬‬
‫נסתכל ב ‪ .w−ϕ‬נבחין כי‪:‬‬
‫‪v‬‬
‫‪inf‬‬
‫)‪−v∈σ−ϕ (Ω‬‬
‫‪sup‬‬
‫=‪u‬‬
‫)‪u∈σ−ϕ (Ω‬‬
‫‪−w−ϕ = −‬‬
‫‬
‫אם ‪ −v ∈ σ−ϕ Ω‬אזי ראשית זה אומר כי )‪ −v ∈ σ (Ω‬וגם‪.−v |∂Ω ≤ −ϕ :‬‬
‫‬
‫)‪ u ∈ σ (Ω‬ו‪) u |∂Ω ≤ ϕ :‬כאשר ‪ .(u ∈ σϕ Ω‬היות וסכום שני סאבהרמוניות הוא סאבהרמוני‪ ,‬נקבל כי‪:‬‬
‫)‪u − v ∈ σ (Ω‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪u − v |∂Ω ≤ ϕ + (−ϕ) = 0‬‬
‫אחרות‪ u (x) ≤ v (x) ,‬לכל ‪) x ∈ Ω‬עקרון המקסימום החלש לפונקציות סאבהרמוניות(‪ .‬כלומר כל ‪ v‬אשר‬
‫במילים ‬
‫מקיימת ‪ −v ∈ σ−ϕ Ω‬היא גדולה מכל ‪.u ∈ σϕ Ω‬‬
‫לכן )‪ −w−ϕ (x‬שהיא ‪ inf‬על ‪ v‬כנ״ל היא גדולה או שווה מ ‪ . sup‬כלומר‪:‬‬
‫)‪u∈σϕ (Ω‬‬
‫)‪−w−ϕ (x) ≥ wϕ (x‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫)‪lim sup wϕ (x) ≤ lim sup (−w−ϕ (x)) = − lim inf w−ϕ (x) ≤ ϕ (η‬‬
‫‪x→η‬‬
‫‪x→η‬‬
‫‪x→η‬‬
‫ולסיכום‪ ,‬אם ב‪ η ∈ ∂Ω‬יש פונקציית מחסום‪ .‬אזי )‪ wϕ (x‬רציפה כאשר ‪) x → η‬מתוך ‪ (Ω‬והגבול = )‪.ϕ (η‬‬
‫‬
‫אם‪ ,‬לכן‪ ,‬פונקציית מחסום קיימת בכל נקודת שפה של ‪ ,Ω‬אזי ‪ wϕ (x) ∈ C 0 Ω‬ו‪:‬‬
‫‪wϕ (x) = ϕ (x) , x ∈ ∂Ω‬‬
‫ובכך‪ ,‬נפתרה בבעיי ‪ Dirichlet‬ל‪.Ω‬‬
‫נשאר להראות את הקיום של פונקציית מחסום ב ‪.η ∈ ∂Ω‬‬
‫הקיום‪ ,‬תלוי בגיאומטריה של ‪ ∂Ω‬בסביבת ‪.η‬‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪ : 10.6.18‬נניח שניתן למצוא כדור )‪ Br (y‬כך ש }‪.Br (y) ∩ Ω = {η‬‬
‫נזכר כי‪ .Γ (x − y) < 0 :‬נגדיר‪) Qη (x) = −Γ (x − y) + Γ (r) :‬פונקציה כדורית(‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪r2−n < 0‬‬
‫)‪ωn (2 − n‬‬
‫= )‪Γ (r‬‬
‫נבחין כי עבור‪ |x − y| > r :‬מתקיים‪:‬‬
‫‪|Γ (x − y)| < |Γ (r)| ⇒ Γ (r) − Γ (x − y) < 0‬‬
‫‬
‫אבל )‪ Qh (x‬הרמונית ולכן היא בוודאי )‪ ∈ σ (Ω‬וגם היא ב ‪) C 0 Ω‬מכיוון שהבעיה היחידה שלה היא ב ‪ y‬אשר‬
‫נמצא בחוץ(‪.‬‬
‫לכן )‪ Qη (x‬פונצקיית מחסום ב ‪.η‬‬
‫‪78‬‬
‫פרק ‪ .10‬בעיית דיריכלה )‪(Dirichlet‬‬
‫‪ .10.6‬בעיית דיריכלה בתחום כללי‬
‫הגדרה ‪ 10.6.19‬נאמר כי ל ‪ Ω‬תכונת הכדור )החיצוני( אם בכל נקודה ‪ η ∈ ∂Ω‬ניתן לבנות כדור ) ‪ Brη (yη‬כך ש‬
‫}‪) Brη (yη ) ∩ Ω = {η‬אז יש לנו פונקציית מחסום(‪.‬‬
‫מסקנה ‪10.6.20‬‬
‫אם ל ‪ Ω‬תכונת הכדור החיצוני‪ ,‬אזי בעיית ‪ Dirichlet‬נפתרת באופן יחיד‪.‬‬
‫הערה ‪ 10.6.21‬ל‪ Ω‬תכונת הכדור החיצוני אם בכל נקודה ‪ η ∈ ∂Ω‬קיים על־מישור תומך‪ ,‬כלומר על מישור ‪ P‬כך ש‪:‬‬
‫‪ Ω‬נמצא מצד אחד של ‪.P‬‬
‫‪23/01/2013‬‬
‫‪79‬‬
‫חלק ‪V‬‬
‫משוואת החום‬
‫‪80‬‬
‫פרק ‪11‬‬
‫משוואת החום על רגל אחת‬
‫‪11.1‬‬
‫מה היה עד כה?‬
‫דיברנו על משוואת הגלים‪:‬‬
‫‪utt − c2 ∆u = 0‬‬
‫על משוואת לפלאס‪:‬‬
‫‪∆u = 0‬‬
‫ונרצה גם לדבר קצת על משוואת החום‪:‬‬
‫‪ut = ∆u‬‬
‫נבחין כי במשוואת החום‪ ,‬הזמן כן חשוב‪ ,‬אנחנו לא יכולים להחזיר את הזמן אחורה‪ .‬כאן ‪.t ≥ 0‬‬
‫נתון )‪ u0 (x) = u (x, 0‬כאשר ‪ x ∈ Rn‬ו )‪ u0 (x‬אנליטי‪ .‬האם המשטח ‪ x = 0‬הוא קרקטריסטי?‬
‫‪xn+1 = ϕ (x1 , . . . , xn+1 ) ≡ 0‬‬
‫תנאי הקרקטריסטי‪:‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪!α‬‬
‫‪∇x1 ,...,xn+1 ψ‬‬
‫‪X‬‬
‫‪α‬‬
‫כאשר במקרה של המשוואה שלנו ‪ .|α| = 2‬ומתקיים‪:‬‬
‫)‪α = (. . . 0 2 0 . . .‬‬
‫נבדוק‪:‬‬
‫?‬
‫‪=0‬‬
‫‪2‬‬
‫ ‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪∂ψ‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫‪i=1‬‬
‫אבל זה שווה ל ‪ ,xn+1‬ולכן‪ ,‬המשטח ‪ t = 0‬הוא קרקטריסטי‪.‬‬
‫הסיבה שזה שונה מהלפלאסיאן‪ ,‬זה שחסרה לנו נגזרת אחת‪.‬‬
‫אבל‪ ,‬למרות שהמשטח קרקטריסטי ומשפט קושי־קובלבסקי לא נותן לנו כמעט וכלום‪ ,‬יש לנו פתרון עבור ‪.t ≥ 0‬‬
‫‪81‬‬
‫‪ .11.2‬ממשוואת החום על תחום חסום‬
‫‪11.2‬‬
‫פרק ‪ .11‬משוואת החום על רגל אחת‬
‫ממשוואת החום על תחום חסום‬
‫אנו נשארים פה עם ההגדרה של )‪ u0 (x‬לצורך ההמשך‪.‬‬
‫סימון‪:‬‬
‫נסמן‪) QT = Ω × (0, T ] :‬צילינדר החום(‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 11.2.1‬נאמר כי )‪ u (x, t‬הוא פתרון קלאסי ב ‪ QT‬אם‪:‬‬
‫‪ .1‬הנגזרות‪ ut , uxi xi ∈ C (QT ) :‬ומתקיימת המשוואה‪.‬‬
‫‬
‫‪ ,u ∈ C QT .2‬ו )‪ u (x, 0) = u0 (x‬כאשר ‪.x ∈ Ω‬‬
‫‪ u (x, t) = b (x, t) .3‬עבור ‪ x ∈ ∂Ω‬ו ‪ b (x, t) .T ≥ t ≥ 0‬פונקציה רציפה‪.‬‬
‫ואנו לוקחים במקרה הזה ∞ < ‪ .T‬אפשר לדבר לכל זמן‪ ,‬אבל אז אנו פשוט מדברים על איחודים של ‪T‬־ים עולים‪.‬‬
‫הערה ‪ ut (x, t) 11.2.2‬ניתנת להמשכה רציפה עד ‪.t = T‬‬
‫‪ 11.3‬משפט המקסימום מינימום למשוואת החום‬
‫משפט ‪ 11.3.1‬משפט המקסימום\מינימום למשוואת החום‬
‫יהי )‪ u (x, t‬פתרון קלאסי של משוואת החום‪ .‬אזי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ max (u0 (x)) , max b (x, t) ‬‬
‫‬
‫ ‪max‬‬
‫‪max‬‬
‫‪(x,t)∈∂QT‬‬
‫‪x∈Ω‬‬
‫= ‪u (x, t) , (x, t) ∈ QT‬‬
‫‪min‬‬
‫‪min  min (u0 (x)) , min b (x, t) ‬‬
‫‪(x,t)∈∂QT‬‬
‫‪x∈Ω‬‬
‫המשוואה שלנו כאמור היא‪:‬‬
‫‪ut − ∆u = 0‬‬
‫‬
‫הוכחה‪ :‬נניח ראשית‪ ,‬כי )‪ v (x, t‬היא פונקציה כך ש ‪ vt , vxi xi‬רציפות ב ‪ QT‬ו ‪ .v ∈ C QT‬ומתקיים ב ‪ QT‬ש‪:‬‬
‫‪vt − ∆v < 0‬‬
‫אזי‪ ,‬אם קיימת ] ‪ (x0 , t0 ) ∈ Ω × (0, T‬כך ש‪max v (x, t) :‬‬
‫‪(x,t)∈QT‬‬
‫= ) ‪.v (x0 , t0‬‬
‫מתקיים שבנקודה זו‪:‬‬
‫‪vt (x0 , t0 ) ≥ 0‬‬
‫)אחרת הגענו מנקודה חמה יותר(‪ .‬וגם מתקיים‪:‬‬
‫‪∆v (x0 , t0 ) ≤ 0‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪vt − ∆v (x0 , t0 ) ≥ 0‬‬
‫וזו סתירה‪ ,‬כי ‪.vt − ∆v < 0‬‬
‫המסקנה היא‪ ,‬ש )‪max v (x, t‬‬
‫‪(x,t)∈QT‬‬
‫‬
‫שווה ל‪max v (x, t) , max v (x, 0) :‬‬
‫‪x∈Ω‬‬
‫‪82‬‬
‫‬
‫] ‪∂Ω×[0,T‬‬
‫‪.max‬‬
‫‪ .11.3‬משפט המקסימום מינימום למשוואת החום‬
‫פרק ‪ .11‬משוואת החום על רגל אחת‬
‫כעת‪ ,‬תהי )‪ u (x, t‬פתרון קלאסי של משוואת החום ונסתכל ב ‪ v (x, t) = u (x, t) + ε |x|2‬כאשר ‪ .ε > 0‬אזי‬
‫)‪ .vt = u (t‬אבל ‪.∆v = ∆u + ε2n‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪vt − ∆v = ut − ∆u − 2nε = −2nε < 0‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪b (x, t) + ε |x|2‬‬
‫‪max‬‬
‫] ‪(x,t)∈∂Ω×[0,T‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪max v (x, t) = max max u0 (x) + ε |x|2 ,‬‬
‫‪x∈Ω‬‬
‫‪(x,t)∈QT‬‬
‫≤ )‪max u (x, t‬‬
‫‪(x,t)∈QT‬‬
‫‪2‬‬
‫אבל |‪ |x‬חסום על ‪) Ω‬ההנחה היא ש ‪ Ω‬תחום חסום(‪ .‬אבל האי שיוויון הנ״ל נכון לכל ‪ ε‬לכן נקבל כי‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪max u (x, t) = max max (u0 (x)) ,‬‬
‫‪max‬‬
‫))‪(b (x, t‬‬
‫] ‪(x,t)∈∂Ω×[0,T‬‬
‫‪(x,t)∈QT‬‬
‫‪x∈Ω‬‬
‫כנדרש‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 11.3.2‬משפט היחידות למשוואת החום‬
‫יש לכל היותר פתרון קלאסי אחד למשוואה ב ‪.QT‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח ש ‪ u1 , u2‬שני פתרונות‪ ,‬אזי גם ‪ u1 − u2‬פתרון לבעיית החום‪ .‬אבל כעת‪ ,‬עם תנאי התחלה ושפה ששווים‬
‫זהותית לאפס‪.‬‬
‫ממשפט המקסימום )והמינימום‪ ,‬שוב מכניסים שם מינוס כדי לקבל מינימום‪ (...‬נקבל כי‪:‬‬
‫‪u1 − u2 ≡ 0‬‬
‫קיום ‪ + u‬גבול ∞ → ‪ t‬יגרור ‪.∆u = 0‬‬
‫נראה כעת הוכחה אלטנרנטיבית ליחידות הפתרון‪ :‬הוכחה‪ :‬נניח ‪ u = u1 − u2‬הפרש פתרונות‪ .‬יש לנו‪:‬‬
‫‪ut − ∆u = 0‬‬
‫נכפול את המשוואה ב )‪ u (x, t‬וניקח את האינטגרל על ‪ .QT‬נקבל‪:‬‬
‫‪∆u (x, t) u (x, t) dxdt = 0‬‬
‫ˆ ‪ˆT‬‬
‫ˆ ‪ˆT‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Ω‬‬
‫∂‬
‫‪u (x, t) u (x, t) dxdt −‬‬
‫‪∂t‬‬
‫‪Ω‬‬
‫נבחין כי‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‬
‫‬
‫‪ˆT‬‬
‫‪1 d‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪u (x, t) dx dt‬‬
‫= ‪u dxdt‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 dt‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪0‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ ‪✿0 1‬‬
‫✘‬
‫‪1‬‬
‫✘‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫✘‬
‫✘‬
‫‪(x,‬‬
‫)‪0‬‬
‫‪dx‬‬
‫=‬
‫‪u (x, T ) dx‬‬
‫✘‬
‫✘‬
‫‪2 ✘Ω‬‬
‫‪2 Ω‬‬
‫ˆ‬
‫‪2‬‬
‫‪u (x, T ) dx −‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫∂‬
‫‪∂t‬‬
‫ˆ ‪ˆT‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪0‬‬
‫∂‬
‫= ‪u (x, t) u (x, t) dxdt‬‬
‫‪∂t‬‬
‫‪Ω‬‬
‫=‬
‫נטפל באינטגרל השני‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∇ (u∇u) − |∇u| dxdt‬‬
‫ˆ ‪ˆT‬‬
‫‪Ω‬‬
‫= ‪∆u (x, t) u (x, t) dxdt‬‬
‫‪0‬‬
‫‪83‬‬
‫ˆ ‪ˆT‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪0‬‬
‫ˆ ‪ˆT‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ .11.4‬פתרון משוואת החום ב ‪ t ≥ 0‬ו ‪x ∈ R‬‬
‫פרק ‪ .11‬משוואת החום על רגל אחת‬
‫כאשר אנו משתמשים בזהות‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫|‪u∆u = ∇ (u∇u) − |∇u‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪✯0‬‬
‫✟✟‬
‫✟‬
‫‪|∇x u (x, t)| dx +‬‬
‫‪−‬‬
‫‪u ∇u‬‬
‫‪· ν} dSx dt‬‬
‫✟‪| {z‬‬
‫‪Ω‬‬
‫✟✟ ‪∂Ω‬‬
‫‪∂u‬‬
‫‪∂x‬‬
‫✟✟‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪2‬‬
‫‪ˆT‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫אנו מניחים במעבר הזה כי ‪ .∇u ∈ C QT‬אבל זה מתאפס גם כי ‪ u = 0‬על השפה )הרי חיסור פתרונות(‪.‬‬
‫ולכן קיבלנו סה״כ כי‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪|∇u (x, t)| dxdt = 0 ⇒ ∇u (x, t) ≡ 0‬‬
‫ˆ ‪ˆT‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪2‬‬
‫‪u (x, T ) dx +‬‬
‫‪0‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫ב ‪ .QT‬וגם השני חייב להתאפס‪ ,‬מכיוון שמדובר באינטגרלים של דברים חיוביים‪.‬‬
‫‪ 11.4‬פתרון משוואת החום ב ‪ t ≥ 0‬ו ‪x ∈ R‬‬
‫כלומר‪ ,‬אנו מחפשים פתרון ל ‪ ut = uxx‬כאשר )‪ .u (x, 0) = u0 (x‬אנו מניחים לפחות ש )‪ u0 (x‬רציפה וחסומה על‬
‫‪.R‬‬
‫וכאמור‪ ,‬מתקיים‪:‬‬
‫‪ut − uxx = 0‬‬
‫הגדרה ‪ 11.4.1‬גרעין החום )‪ G (x, t‬הוא הפונקציה‪:‬‬
‫‪1 − x2‬‬
‫‪e 4t‬‬
‫√ = )‪G (x, t‬‬
‫‪4πt‬‬
‫כאשר ‪.t > 0‬‬
‫משפט ‪11.4.2‬‬
‫בתנאים האלה‪ ,‬הפונקציה‪:‬‬
‫‪G (x − y, t) u0 (y) dy‬‬
‫ˆ‬
‫= )‪u (x, t‬‬
‫‪R‬‬
‫היא פתרון קלאסי של המשוואה ב )∞ ‪ (x, t) ∈ R × (0,‬ומקיימת‪:‬‬
‫)‪lim u (ξ, t) = u0 (ξ‬‬
‫‪t→0+‬‬
‫לכל ‪.ξ ∈ R‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪e‬‬
‫‪2t‬‬
‫‪4πt‬‬
‫‬
‫ ‪x2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪e− 4t‬‬
‫√‬
‫‪− + 2‬‬
‫‪2t 4t‬‬
‫‪4πt‬‬
‫‪2‬‬
‫‪− x4t‬‬
‫√‬
‫‪84‬‬
‫=‬
‫)‪Gx (x, t‬‬
‫=‬
‫)‪Gxx (x, t‬‬
‫‪ .11.4‬פתרון משוואת החום ב ‪ t ≥ 0‬ו ‪x ∈ R‬‬
‫פרק ‪ .11‬משוואת החום על רגל אחת‬
‫כמו כן‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪x2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 x2‬‬
‫‪1‬‬
‫·‬
‫‪e− 4t‬‬
‫√‪+‬‬
‫√ ‪Gt (x, t) = −‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4πt 2t‬‬
‫‪4πt 4t‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫)‪Gt (x, t) = Gxx (x, t‬‬
‫כלומר‪ ,‬היא מקיימת את משוואת החוםץ כעת‪:‬‬
‫‪G (x − y, t) u0 (y) dy‬‬
‫ˆ‬
‫= )‪u (x, t‬‬
‫‪R‬‬
‫נקבל כי‪:‬‬
‫‪✿0‬‬
‫✘‬
‫✘✘✘‬
‫✘‬
‫✘‬
‫✘∆✘‪(∂t −‬‬
‫‪x ) G (x − y, t)u0 (y) dy = 0‬‬
‫✘✘ ‪R‬‬
‫ˆ‬
‫‪∂u‬‬
‫= ‪− ∆x u‬‬
‫‪∂t‬‬
‫נשאר לכן להוכיח כי‪:‬‬
‫)‪∀ξ ∈ R, lim u (ξ, t) = u0 (ξ‬‬
‫‪t→0+‬‬
‫לשם כך‪ ,‬נתבונן בתכונות )‪.G (x, t‬‬
‫‪ G (x, t) > 0 .1‬לכל )∞ ‪.(x, t) ∈ R × (0,‬‬
‫´‬
‫‪ R G (x, t) dx = 1 .2‬לכל ‪.t > 0‬‬
‫‪ .3‬לכל ‪ δ > 0‬מתקיים‪:‬‬
‫‪G (x, t) dx −→+ 0‬‬
‫‪t→0‬‬
‫= ‪tdy‬‬
‫√‬
‫‪2‬‬
‫‪e−y‬‬
‫‪t‬‬
‫ˆ‬
‫‪2‬‬
‫‪e−y dt −→ 0‬‬
‫‪t→0‬‬
‫‪|y|> √δt‬‬
‫√‬
‫‪1‬‬
‫√‬
‫=‬
‫}‪|{z‬‬
‫✄‪4π t‬‬
‫√‬
‫√ ‪x=y‬‬
‫‪t‬‬
‫‪dx = dy t‬‬
‫ˆ‬
‫‪|y|>δ/‬‬
‫‪|x|>δ‬‬
‫ˆ‬
‫‪x2‬‬
‫‪e− 4t dx‬‬
‫ˆ‬
‫‪|x|<δ‬‬
‫‪1‬‬
‫√ = ‪G (x, t) dx‬‬
‫‪4πt‬‬
‫‪|x|>δ‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫√‬
‫‪4π‬‬
‫הערה ‪ 11.4.3‬זו פונקציה בונה לדלתא של דיראק‪...‬‬
‫כלומר‪ G ,‬הוא גרעין סומאביליות חיובי‪ ,‬וזה סוף ההוכחה‪.‬‬
‫נזכיר זאת‪.‬‬
‫‪G (ξ − y, t) (u0 (y) − u0 (ξ)) dy‬‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫‪I2‬‬
‫= ‪G (ξ − y, t) (u0 (y) − u0 (ξ)) dy‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪G (ξ − y, t) (u0 (y) − u0 (ξ)) dy +‬‬
‫‪|ξ−y|≥δ‬‬
‫ˆ‬
‫= )‪u (ξ, t‬‬
‫‪|ξ−y|<δ‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫‪I1‬‬
‫|‬
‫כעת נבחין כי ‪ .I2 −→ 0‬ואילו נבחין כי עבור ‪ ,I1‬יהי ‪ ε > 0‬נתון‪ ,‬ניקח ‪ δ > 0‬כך ש ‪ |u (y) − u (ξ)| < ε‬לכל‬
‫‪t→0‬‬
‫‪ .|y − ξ| < δ‬ולכן‪ ,‬נקבל כי‪ |I1 | < ε :‬כנדרש‪.‬‬
‫לסיכום‪ ,‬קיבלנו פתרון קלאסי המתכנס ל )‪ u0 (ξ‬כאשר‬
‫‪ t → 0+‬לכל ‪ ,ξ ∈ R‬בהנחת רציפות וחסימות ‪.u0‬‬
‫הערה ‪ 11.4.4‬בלי תנאים נוספים‪ ,‬פתרון זה אינו יחיד‪.‬‬
‫‪85‬‬
‫‪ .11.5‬עקרון ‪Duhamel‬‬
‫פרק ‪ .11‬משוואת החום על רגל אחת‬
‫‪ 11.5‬עקרון ‪Duhamel‬‬
‫משפט ‪ 11.5.1‬עקרון ‪Duhamel‬‬
‫נסתכל במשוואת החום הלא הומוגנית‪:‬‬
‫)‪ut − ∆u = f (x, t‬‬
‫אזי‪ ,‬בתנאים מתאימים על )‪ ,f (x, t‬הפונקציה‪:‬‬
‫‪G (x − y, t − s) f (y, s) dyds‬‬
‫ˆ ‪ˆt‬‬
‫= )‪u (x, t‬‬
‫‪R‬‬
‫‪0‬‬
‫הוא פתרון קלאסי של המשוואה ומקיימת ‪ u (x, t) → 0‬כאשר ‪ t → 0‬לכל ‪.x‬‬
‫הערה ‪ 11.5.2‬להשוות למשוואת הגלים הלא הומוגנית‪.‬‬
‫‪86‬‬