מבוא לאנליזה פונקציונלית ־ 104276 ־ תרגול 5
מבוא לאנליזה פונקציונלית ־ 104276־ תרגול 5
שלומי גובר ,אביב התשע"ה
28באפריל 2015
אופרטורים ליניארים
תזכורת מההרצאה:
תהי T : H → Kהעתקה ליניארית בין מרחבי הילברט.
•
||T x||K
||x||H
.||T || = sup||x||H =1 ||T x||K = supx6=0אם ∞ < || ||Tאז Tנקרא חסום.
• Tחסום אם"ם הוא רציף )כלומר .(||xn − x|| → 0 ⇒ ||T xn − T x|| → 0
||x
supx∈D ||T
• יהי Dתת מרחב צפוף של מרחב הילברט .Hיהי Tאופרטור ליניארי
המוגדר על Dומקיים = ||||x
.Mאז קיים אופרטור חסום יחיד ˜ Tהמוגדר על Hהמקיים T˜ = Mו־ T x = T˜xלכל .x ∈ D
• ∗ Tהוא האופרטור היחיד המקיים ) (T x, y) = (x, T ∗ yלכל .x, y ∈ Hנקרא האופרטור הצמוד של .T
• Tצמוד לעצמו אם ∗ ,T = Tנורמלי אם T T ∗ = T ∗ Tוחיובי אם (T x, x) ≥ 0לכל .x ∈ H
• אופרטור לינארי חסום F : H → Cנקרא פונקציונל לינארי.
• משפט ההצגה של ריס ) :(Rieszיהי Fפונקציונל לינארי רציף על מרחב הילברט ,Hאז קיים y ∈ Hיחיד
המקיים ) F x = (x, yלכל .x ∈ Hבנוסף מתקיים כי || .||y|| = ||F
תזכורת מאלגברה ליניארית:
בסיס המל ) (Hamelשל מרחב וקטורי Vהוא תת־קבוצה בת"ל מקסימלית )קיים לפי הלמה של צורן( .עבור בסיס
המל B = {bi }i∈I ⊂ Vוקבוצה {ui }i∈I ⊂ Uקיימת העתקה ליניארית יחידה T : V → Uהמקיימת T bi = ui
)מכיוון שכל איבר ב־ Vניתן לייצוג יחיד כצירוף ליניארי סופי של איברי .(B
1
תרגיל 1
∞
יהי Hמרחב הילברט עם בסיס א"נ {ei }n=1ויהי ).T ∈ B (H
P
.1הוכיחו כי ) . j (T ej , ei ) (x, ej ) = (T x, eiהמטריצה )האינסופית( ) aij = (T ej , eiנקראת ההצגה המטריצית
של .T
2
.2מהי ההצגה המטריצית של אופרטור ההזזה לימין ` ? S ∈ B
.3עבור ֻ] ,g ∈ C [0, 1מהי ההצגה המטריצית של ] T ∈ B L2 [0, 1המוגדר על ידי ?T f = f · g
פתרון
.1מסגירות ,לכל x ∈ Hמתקיים (x, ej ) ej
P
) j (T ej , ei ) (x, ej
j
P
= .xמרציפות (x, ej ) T ej
P
j
= T xומרציפות המ"פ נקבל
= ) .(T x, eiכשהמרחב סוף ממדי A = aij ,היא המטריצה המייצגת של .T
} .ei = 0, 0, . . . , 0, |{zבבסיס
.2נזכר כי ) S (x1 , x2 , x3 , . . .) = (0, x1 , x2 , . . .נבחר את הבסיס 1 , 0, . . .
place i
זה .(Sej , ei ) = δj+1,i
···
.
.
0
0
0
0
0
0
1
1
A=
0
.
.
.
.
.3נבחר את הבסיס . e2πinx n∈Zבבסיס זה
ˆ 1
ˆ 1
2πimx
−2πinx
= ) (T em , en
e
g (x) e
= dx
e2πi(m−n)x g (x) dx
0
0
´1
אם נסמן ak = 0 e2πikx g (x) dxאז
.
···
.
.
.
.
.
.
.
.
···
a−1
a0
a1
···
a−1
a0
a1
···
a−1
a0
a1
···
.
.
.
.
.
.
.
.
.
···
A=
תרגיל 2
יהי {ei }i∈Iבסיס א"נ למרחב הילברט .Hותהי {yi }i∈Iתת קבוצה של מרחב הילברט .Kהוכיחו או הפריכו:
.1קיים אופרטור ליניארי T : H → Kהמקיים ∀i T ei = yi
.2קיים אופרטור ליניארי חסום T : H → Kהמקיים ∀i T ei = yi
.3אם {||T ei ||}i∈Iחסומה אז Tהוא חסום.
.4אם {||yi ||}i∈Iאורתוגונלית חסומה אז קיים אופרטור ליניארי T : H → Kחסום יחיד המקיים .∀i T ei = yi
2
פתרון
.1כן {ei }i∈I .היא קבוצה בת"ל ולכן מוכלת בבסיס המל .Bנוכל לקבוע את Tכרצוננו על .B \ {ei }i∈I
.2לא .דוגמא נגדית :עבור K = Rו־ ,I = Nלא קיים T : H → Rחסום המקיים ) T en = nמכיוון ש־
∞ → .(||T en || = n
.3לא .דוגמא נגדית :נגדיר T ei = 0לכל iועבור B) x ∈ B \ {ei }i∈Iבסיס המל( נקבע T .T x = 1אינו רציף
ולכן אינו חסום.
Pn
.4נכון T .חסומה על } Span {eiמכיוון שעבור } j=1 (x, ei ) ej ∈ Span {ej
2
X
n
n
X
2
2
2
|||(x, ei )| ||yj || ≤ M ||x
= (x, ei ) T ej
= ||||T x
j=1
j=1
= xמתקיים
אנו יודעים כי קיימת הרחבה חסומה יחידה של Tעל .H
תרגיל 3־ לא הוספק
יהי ] .g ∈ C [0, 1נגדיר ] Tg : P C [0, 1] → P C [0, 1על ידי ).Tg f (t) = f (t) g (t
.1הראו כי ניתן להרחיב את Tgלאופרטור ליניארי חסום ] .T : L2 [0, 1] → L2 [0, 1וחשבו את || ||T
.2האם Tצמוד לעצמו? נורמלי?
.3הוכיחו או הפריכו :קיים ] 0 6= f ∈ L2 [0, 1עבורו מתקיים || .||T f || = ||T || · ||f
פתרון
.1לכל ]f ∈ P C [0, 1מתקיים
2
2
|| |f (t)| dt = ||g||∞ ||f
1
ˆ
2
2
ˆ
1
2
||f (t) g (t)| dt =≤ sup[0,1] |g
0
= || ||Tg f
0
|| ||Tg f
ולכן ∞||||f || ≤ ||g
מתקיים ) 1 − n1 g (t0
] .sup06=f ∈P C[0,1נראה כי יש שוויון .לכל n ∈ Nקיים תת־קטע ] [an , bn ] ⊂ [0, 1בו
> ) g (tנגדיר ] .fn = χ[an ,bnמתקיים
g (t) dt
) 1 − n1 ||g||∞ (bn − an
|| ||Tg fn
1
an
= ´ bn
≥
= 1−
∞||||g
|| ||fn
bn − an
n
1dt
an
´ bn
ולכן
|| ||Tg f
∞||= ||g
|| ||f
]||Tg || = sup06=f ∈P C[0,1
מכיוון ש־ ] P C [0, 1צפוף ב־ ] ,L2 [0, 1וממשפט שראינו בהרצאה ,ניתן להרחיב את Tgלאופרטור חסום על
כל .L2
.2ראינו בהרצאה כי Tg∗ = Tgולכן
• Tצמוד לעצמו אם"ם gממשית.
2
• Tg∗ Tg f = f |g| = Tg Tg∗ fולכן Tנורמלי.
.3לא נכון.
3
תרגיל 4־ לא הוספק
יהי ) T ∈ B (H, Kאופרטור בעל הופכי T −1חסום .הראו כי inf||x||=1 ||T x|| > 0
פתרון נתון כי T −1חסום ולכן לכל y ∈ Kמתקיים || .T −1 k ≤ T −1 ||kולכן לכל x = T −1 k ∈ Hעם
נורמה 1מתקיים || 1 = ||x|| ≤ T −1 ||T xולכן .||T x|| ≥ ||T 1−1 || > 0
4
© Copyright 2024