מבוא לאנליזה פונקציונלית ־ 104276 ־ תרגול 5

‫מבוא לאנליזה פונקציונלית ־ ‪ 104276‬־ תרגול ‪5‬‬
‫שלומי גובר‪ ,‬אביב התשע"ה‬
‫‪ 28‬באפריל ‪2015‬‬
‫אופרטורים ליניארים‬
‫תזכורת מההרצאה‪:‬‬
‫תהי ‪ T : H → K‬העתקה ליניארית בין מרחבי הילברט‪.‬‬
‫•‬
‫‪||T x||K‬‬
‫‪||x||H‬‬
‫‪ .||T || = sup||x||H =1 ||T x||K = supx6=0‬אם ∞ < || ‪ ||T‬אז ‪ T‬נקרא חסום‪.‬‬
‫• ‪ T‬חסום אם"ם הוא רציף )כלומר ‪.(||xn − x|| → 0 ⇒ ||T xn − T x|| → 0‬‬
‫||‪x‬‬
‫‪supx∈D ||T‬‬
‫• יהי ‪ D‬תת מרחב צפוף של מרחב הילברט ‪ .H‬יהי ‪ T‬אופרטור ליניארי‬
‫המוגדר על ‪ D‬ומקיים = ||‪||x‬‬
‫ ‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪ .M‬אז קיים אופרטור חסום יחיד ˜‪ T‬המוגדר על ‪ H‬המקיים ‪ T˜ = M‬ו־ ‪ T x = T˜x‬לכל ‪.x ∈ D‬‬
‫• ∗ ‪ T‬הוא האופרטור היחיד המקיים )‪ (T x, y) = (x, T ∗ y‬לכל ‪ .x, y ∈ H‬נקרא האופרטור הצמוד של ‪.T‬‬
‫• ‪ T‬צמוד לעצמו אם ∗ ‪ ,T = T‬נורמלי אם ‪ T T ∗ = T ∗ T‬וחיובי אם ‪ (T x, x) ≥ 0‬לכל ‪.x ∈ H‬‬
‫• אופרטור לינארי חסום ‪ F : H → C‬נקרא פונקציונל לינארי‪.‬‬
‫• משפט ההצגה של ריס )‪ :(Riesz‬יהי ‪ F‬פונקציונל לינארי רציף על מרחב הילברט ‪ ,H‬אז קיים ‪ y ∈ H‬יחיד‬
‫המקיים )‪ F x = (x, y‬לכל ‪ .x ∈ H‬בנוסף מתקיים כי || ‪.||y|| = ||F‬‬
‫תזכורת מאלגברה ליניארית‪:‬‬
‫בסיס המל )‪ (Hamel‬של מרחב וקטורי ‪ V‬הוא תת־קבוצה בת"ל מקסימלית )קיים לפי הלמה של צורן(‪ .‬עבור בסיס‬
‫המל ‪ B = {bi }i∈I ⊂ V‬וקבוצה ‪{ui }i∈I ⊂ U‬קיימת העתקה ליניארית יחידה ‪ T : V → U‬המקיימת ‪T bi = ui‬‬
‫)מכיוון שכל איבר ב־ ‪ V‬ניתן לייצוג יחיד כצירוף ליניארי סופי של איברי ‪.(B‬‬
‫‪1‬‬
‫תרגיל ‪1‬‬
‫∞‬
‫יהי ‪ H‬מרחב הילברט עם בסיס א"נ ‪ {ei }n=1‬ויהי )‪.T ∈ B (H‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ .1‬הוכיחו כי ) ‪ . j (T ej , ei ) (x, ej ) = (T x, ei‬המטריצה )האינסופית( ) ‪ aij = (T ej , ei‬נקראת ההצגה המטריצית‬
‫של ‪.T‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪ .2‬מהי ההצגה המטריצית של אופרטור ההזזה לימין ` ‪? S ∈ B‬‬
‫‬
‫‪ .3‬עבור ֻ]‪ ,g ∈ C [0, 1‬מהי ההצגה המטריצית של ]‪ T ∈ B L2 [0, 1‬המוגדר על ידי ‪?T f = f · g‬‬
‫פתרון‬
‫‪ .1‬מסגירות‪ ,‬לכל ‪ x ∈ H‬מתקיים ‪(x, ej ) ej‬‬
‫‪P‬‬
‫) ‪j (T ej , ei ) (x, ej‬‬
‫‪j‬‬
‫‪P‬‬
‫= ‪ .x‬מרציפות ‪(x, ej ) T ej‬‬
‫‪P‬‬
‫‪j‬‬
‫= ‪ T x‬ומרציפות המ"פ נקבל‬
‫= ) ‪ .(T x, ei‬כשהמרחב סוף ממדי‪ A = aij ,‬היא המטריצה המייצגת של ‪.T‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫}‪ .ei = 0, 0, . . . , 0, |{z‬בבסיס‬
‫‪ .2‬נזכר כי )‪ S (x1 , x2 , x3 , . . .) = (0, x1 , x2 , . . .‬נבחר את הבסיס ‪1 , 0, . . .‬‬
‫‪place i‬‬
‫זה ‪.(Sej , ei ) = δj+1,i‬‬
‫‪‬‬
‫···‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪A=‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ .3‬נבחר את הבסיס ‪ . e2πinx n∈Z‬בבסיס זה‬
‫‪ˆ 1‬‬
‫‪ˆ 1‬‬
‫‪2πimx‬‬
‫‪−2πinx‬‬
‫= ) ‪(T em , en‬‬
‫‪e‬‬
‫‪g (x) e‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪e2πi(m−n)x g (x) dx‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪´1‬‬
‫אם נסמן ‪ ak = 0 e2πikx g (x) dx‬אז‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪··· ‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫···‬
‫‪a−1‬‬
‫‪a0‬‬
‫‪a1‬‬
‫···‬
‫‪a−1‬‬
‫‪a0‬‬
‫‪a1‬‬
‫···‬
‫‪a−1‬‬
‫‪a0‬‬
‫‪a1‬‬
‫···‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .‬‬
‫‪‬‬
‫··· ‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪A=‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫יהי ‪ {ei }i∈I‬בסיס א"נ למרחב הילברט ‪ .H‬ותהי ‪ {yi }i∈I‬תת קבוצה של מרחב הילברט ‪ .K‬הוכיחו או הפריכו‪:‬‬
‫‪ .1‬קיים אופרטור ליניארי ‪ T : H → K‬המקיים ‪∀i T ei = yi‬‬
‫‪ .2‬קיים אופרטור ליניארי חסום ‪ T : H → K‬המקיים ‪∀i T ei = yi‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ {||T ei ||}i∈I‬חסומה אז ‪ T‬הוא חסום‪.‬‬
‫‪ .4‬אם ‪ {||yi ||}i∈I‬אורתוגונלית חסומה אז קיים אופרטור ליניארי ‪ T : H → K‬חסום יחיד המקיים ‪.∀i T ei = yi‬‬
‫‪2‬‬
‫פתרון‬
‫‪ .1‬כן‪ {ei }i∈I .‬היא קבוצה בת"ל ולכן מוכלת בבסיס המל ‪ .B‬נוכל לקבוע את ‪ T‬כרצוננו על ‪.B \ {ei }i∈I‬‬
‫‪ .2‬לא‪ .‬דוגמא נגדית‪ :‬עבור ‪ K = R‬ו־ ‪ ,I = N‬לא קיים ‪ T : H → R‬חסום המקיים ‪) T en = n‬מכיוון ש־‬
‫∞ → ‪.(||T en || = n‬‬
‫‪ .3‬לא‪ .‬דוגמא נגדית‪ :‬נגדיר ‪ T ei = 0‬לכל ‪ i‬ועבור ‪ B) x ∈ B \ {ei }i∈I‬בסיס המל( נקבע ‪ T .T x = 1‬אינו רציף‬
‫ולכן אינו חסום‪.‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪ .4‬נכון‪ T .‬חסומה על } ‪ Span {ei‬מכיוון שעבור } ‪j=1 (x, ei ) ej ∈ Span {ej‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‬
‫‪X‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫||‪|(x, ei )| ||yj || ≤ M ||x‬‬
‫= ‪(x, ei ) T ej‬‬
‫ = ||‪||T x‬‬
‫‬
‫‪ j=1‬‬
‫‪j=1‬‬
‫= ‪ x‬מתקיים‬
‫אנו יודעים כי קיימת הרחבה חסומה יחידה של ‪ T‬על ‪.H‬‬
‫תרגיל ‪ 3‬־ לא הוספק‬
‫יהי ]‪ .g ∈ C [0, 1‬נגדיר ]‪ Tg : P C [0, 1] → P C [0, 1‬על ידי )‪.Tg f (t) = f (t) g (t‬‬
‫‪ .1‬הראו כי ניתן להרחיב את ‪ Tg‬לאופרטור ליניארי חסום ]‪ .T : L2 [0, 1] → L2 [0, 1‬וחשבו את || ‪||T‬‬
‫‪ .2‬האם ‪ T‬צמוד לעצמו? נורמלי?‬
‫‪ .3‬הוכיחו או הפריכו‪ :‬קיים ]‪ 0 6= f ∈ L2 [0, 1‬עבורו מתקיים || ‪.||T f || = ||T || · ||f‬‬
‫פתרון‬
‫‪ .1‬לכל ]‪f ∈ P C [0, 1‬מתקיים‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫|| ‪|f (t)| dt = ||g||∞ ||f‬‬
‫‪1‬‬
‫ˆ‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫|‪|f (t) g (t)| dt =≤ sup[0,1] |g‬‬
‫‪0‬‬
‫= || ‪||Tg f‬‬
‫‪0‬‬
‫|| ‪||Tg f‬‬
‫ולכן ∞||‪||f || ≤ ||g‬‬
‫מתקיים ) ‪1 − n1 g (t0‬‬
‫]‪ .sup06=f ∈P C[0,1‬נראה כי יש שוויון‪ .‬לכל ‪ n ∈ N‬קיים תת־קטע ]‪ [an , bn ] ⊂ [0, 1‬בו‬
‫> )‪ g (t‬נגדיר ] ‪ .fn = χ[an ,bn‬מתקיים‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪g (t) dt‬‬
‫) ‪1 − n1 ||g||∞ (bn − an‬‬
‫|| ‪||Tg fn‬‬
‫‪1‬‬
‫‪an‬‬
‫‪= ´ bn‬‬
‫≥‬
‫‪= 1−‬‬
‫∞||‪||g‬‬
‫|| ‪||fn‬‬
‫‪bn − an‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1dt‬‬
‫‪an‬‬
‫‪´ bn‬‬
‫ולכן‬
‫|| ‪||Tg f‬‬
‫∞||‪= ||g‬‬
‫|| ‪||f‬‬
‫]‪||Tg || = sup06=f ∈P C[0,1‬‬
‫מכיוון ש־ ]‪ P C [0, 1‬צפוף ב־ ]‪ ,L2 [0, 1‬וממשפט שראינו בהרצאה‪ ,‬ניתן להרחיב את ‪ Tg‬לאופרטור חסום על‬
‫כל ‪.L2‬‬
‫‪ .2‬ראינו בהרצאה כי ‪ Tg∗ = Tg‬ולכן‬
‫• ‪ T‬צמוד לעצמו אם"ם ‪ g‬ממשית‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫• ‪ Tg∗ Tg f = f |g| = Tg Tg∗ f‬ולכן ‪ T‬נורמלי‪.‬‬
‫‪ .3‬לא נכון‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫תרגיל ‪ 4‬־ לא הוספק‬
‫יהי )‪ T ∈ B (H, K‬אופרטור בעל הופכי ‪ T −1‬חסום‪ .‬הראו כי ‪inf||x||=1 ||T x|| > 0‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫פתרון נתון כי ‪ T −1‬חסום ולכן לכל ‪ y ∈ K‬מתקיים ||‪ .T −1 k ≤ T −1 ||k‬ולכן לכל ‪ x = T −1 k ∈ H‬עם‬
‫‬
‫‬
‫נורמה ‪ 1‬מתקיים ||‪ 1 = ||x|| ≤ T −1 ||T x‬ולכן ‪.||T x|| ≥ ||T 1−1 || > 0‬‬
‫‪4‬‬