1. No category

‫תורת החישוביות – ‪ – 236343‬תרגיל בית ‪3‬‬
‫‪ 28‬בנובמבר ‪2015‬‬
‫• ההגשה ביחידים עד ליום ב' ‪ ,21/12‬בשעה ‪ ,12:30‬לתא הקורס שבקומה ‪.1‬‬
‫• שאלות על תוכן התרגיל נא להפנות לאוהד ‪ ,snufsan@cs‬בקשות דחייה ועניינים מנהלתיים נא להפנות לעמי ‪.amipaz@cs‬‬
‫שאלה ‪ – 1‬קבלה גמישה )אביב תשע"ג‪ ,‬אמצע(‬
‫כזכור‪ ,‬עבור מכונת טיורינג ‪ ,M‬הגדרנו את שפת המכונה‪ ,L (M ) ,‬להיות אוסף הקלטים שהמכונה עוצרת עליהם במצב מקבל‪ .‬קלט‬
‫שהמכונה עוצרת עליו במצב דוחה‪ ,‬או אינה עוצרת עליו כלל‪ ,‬אינו חלק משפת המכונה‪.‬‬
‫בשאלה זו נגדיר עבור מכונה ‪ M‬את השפה שהמכונה "מקבלת בגמישות"‪ :Flex-L (M ) ,‬עבור מילה ∗‪ ,w ∈ Σ‬יתקיים ∈ ‪w‬‬
‫) ‪ Flex-L (M‬אם מתקיים אחד משני התנאים הבאים‪:‬‬
‫‪ M .1‬עוצרת על ‪ w‬במצב מקבל‪ ,‬או‪:‬‬
‫‪ ,M .2‬בריצתה על ‪ ,w‬מבצעת אינסוף צעדי ‪) S‬לאו דווקא רצופים(‪.‬‬
‫נגדיר את‬
‫‪A‬‬
‫להיות מחלקת כל השפות הניתנות לקבלה בגמישות‪ ,‬כלומר‬
‫}קיימת מ"ט ‪ M‬כך ש־) ‪.A = {L | L = Flex-L (M‬‬
‫‪ .1‬הוכיחו \ הפריכו‪⊆ A :‬‬
‫‪RE‬‬
‫‪ .2‬הוכיחו \ הפריכו‪∈ A :‬‬
‫‪HP‬‬
‫‪ .3‬הוכיחו \ הפריכו‪L=3 ∈ A :‬‬
‫‪ .4‬תנו דוגמה )מפורשת( לשפה שאינה שייכת ל־‪ .A‬הוכיחו‪.‬‬
‫∈ ‪ ?L‬נמקו‪.‬‬
‫‪ .5‬תהי }) ‪ .L = {hM i | ∈ Flex-L (M‬האם ‪ L ∈ RE\R ,L ∈ R‬או ‪/ RE‬‬
‫שאלה ‪ – 2‬סיווג שפות‬
‫לכל שפה ‪ Li‬מעל }‪ Σ = {0, 1‬להלן‪ ,‬האם ‪ ?Li ∈ R‬האם ‪ ?Li ∈ RE‬הוכיחו תשובתכם‪.‬‬
‫‪} .1‬קיימים ‪ 100‬קלטים אותם ‪ M‬מקבלת | ‪.L1 ={hM i‬‬
‫‪} .2‬קיימים ‪ 100‬קלטים עליהם ‪ M‬לא עוצרת | ‪.L2 ={hM i‬‬
‫‪} .3‬קיימים ‪ 100‬קלטים שבריצתה עליהם ‪ M‬לא מבצעת יותר מ־‪ 100‬צעדים ימינה | ‪.L3 ={hM i‬‬
‫‪.L4 = {hM i | |L (M ) ∩ Lε | = ∞} .4‬‬
‫‪.L5 = {(hM1 i , hM2 i) | hM1 i ∈ L (M2 ) , hM2 i ∈ L (M1 )} .5‬‬
‫∈ ‪.L6 = {(hM1 i , hM2 i) | hM1 i ∈ L (M2 ) , hM2 i‬‬
‫‪/ L (M1 )} .6‬‬
‫‪ M } .7‬לא דוחה אף קלט | ‪.L7 ={hM i‬‬
‫‪ fM } .8‬היא על | ‪.L8 ={hM i‬‬
‫‪L9 = {hM i | HP ≤ L (M )} .9‬‬
‫‪1‬‬
‫שאלה ‪ – 3‬ווריאציות על משפט רייס‬
‫משפט רייס ל־‪coRE‬‬
‫נגדיר תכונה של שפות ב־‪ coRE‬להיות תת קבוצה של שפות ‪.S ⊆ coRE‬‬
‫תכונה ‪ S‬תקרא לא טריוויאלית אם ∅ =‪ S 6‬וגם ‪.S 6= coRE‬‬
‫בהינתן תכונה ‪ ,S‬נגדיר }‪.LS = {hM i |L (M ) ∈ S‬‬
‫‪ .1‬הוכיחו‪/‬הפריכו‪ :‬עבור כל תכונה ‪ S‬טריוויאלית מתקיים ‪.LS ∈ R‬‬
‫‪ .2‬נסחו משפט המאפיין את כל התכונות ‪ S‬של שפות‬
‫ב־‪coRE‬‬
‫∈ ‪ LS‬והוכיחו אותו‪.‬‬
‫עבורן מתקיים ‪/ R‬‬
‫משפט רייס לפונקציות‬
‫תהי ‪ F‬מחלקת הפונקציות הניתנות לחישוב‪ .‬נגדיר תכונה של פונקציות ב ־ ‪ F‬להיות קבוצה של פונקציות ‪ .S ⊆ F‬תכונה ‪ S‬תיקרא‬
‫"לא טריביאלית" אם ∅ =‪ S 6‬וגם ‪ .S 6= F‬בהינתן תכונה ‪ S‬נגדיר }‪.LS = {hM i |fM ∈ S‬‬
‫∈ ‪.LS‬‬
‫משפט רייס לפונקציות‪ :‬תהא ‪ S‬תכונה לא טריביאלית של פונקציות‪ .‬אזי ‪/ R‬‬
‫‪ .1‬הוכח שעבור תכונה ‪ S‬טריביאלית ‪.LS ∈ R‬‬
‫∈ ‪?LS‬‬
‫‪ .2‬הוכח את משפט רייס לפונקציות‪ .‬האם ניתן להוסיף תנאי על ‪ S‬כך ש ־ ‪/ RE‬‬
‫שאלה ‪ – 4‬וריאציות על סיבוכיות קולמוגורוב )אביב תשע"ג‪ ,‬מועד ג'(‬
‫נגדיר את הגרסאות הבאות של סיבוכיות קולמוגורוב‪:‬‬
‫• )‪ K1 (x‬הוא מספר המצבים המינימלי של מ"ט חד־סרטית עם א"ב }‪ Σ = {0, 1‬המקבלת את השפה }‪.{x‬‬
‫• )‪ K2 (x‬הוא מספר המצבים המינימלי של מ"ט חד־סרטית עם א"ב כלשהו אשר על קלט ‪ ε‬פולטת את ‪.x‬‬
‫הוכיחו \ הפריכו‪:‬‬
‫∗‬
‫‪ K1 .1‬חסומה‪ ,‬כלומר קיים ‪ c > 0‬כך שלכל }‪ x ∈ {0, 1‬מתקיים ‪.K1 (x) ≤ c‬‬
‫∗‬
‫‪ K2 .2‬חסומה‪ ,‬כלומר קיים ‪ c > 0‬כך שלכל }‪ x ∈ {0, 1‬מתקיים ‪.K2 (x) ≤ c‬‬
‫‪ K1 .3‬ניתנת לחישוב‪.‬‬
‫שאלה ‪ – 5‬וריאציות על הגדרת ‪NP‬‬
‫*** מומלץ לפתור שאלה זו אחרי ההרצאה של ה־‪ ,14/12‬בה תוגדר המחלקה ‪*** .NP‬‬
‫כזכור‪ ,‬הגדרנו את ‪ NP‬כאוסף כל השפות ‪ L‬כך שקיים יחס ‪ S‬שהוא חסום פולינומית‪ ,‬ניתן לזיהוי פולינומי ו־}‪.L = {x|∃y : (x, y) ∈ S‬‬
‫בשאלה זו נבחן דרישות אלו ודרישות נוספות שניתן )או לא ניתן( להחיל על ‪.S‬‬
‫לצורך פשטות‪ ,‬נאמר שהיחס ‪ S‬מגדיר את השפה ‪ L‬אם }‪.L = {x|∃y : (x, y) ∈ S‬‬
‫‪ .1‬הראו כי אם דורשים כי ‪ S‬יהיה חסום פולינומית אך לא דורשים שיהיה ניתן לזיהוי פולינומי‪ ,‬ניתן להגדיר גם שפות שאינן‬
‫ב־‪ NP‬באמצעות ‪.S‬‬
‫‪ .2‬הראו כי אם דורשים כי ‪ S‬יהיה ניתן לזיהוי פולינומי אך לא דורשים שיהיה חסום פולינומית‪ ,‬ניתן להגדיר גם שפות שאינן‬
‫ב־‪ NP‬באמצעות ‪.S‬‬
‫‪ S .3‬ייקרא חד־חד ערכי אם ‪ (x2 , y) ∈ S‬וגם ‪ (x1 , y) ∈ S‬גוררים ‪ .x1 = x2‬הוכיחו‪/‬הפריכו‪ :‬לכל‬
‫פולינומית‪ ,‬ניתן לזיהוי פולינומי וחד־חד ערכי המגדיר את ‪.L‬‬
‫‪NP‬‬
‫∈ ‪ L‬קיים ‪ S‬חסום‬
‫‪ S .4‬ייקרא מונוטוני ממש אם לכל ‪ x1 , x2 , y‬כך ש־| ‪ |x1 | ≤ |x2‬וגם ‪ (x1 , y) ∈ S‬מתקיים ‪ .(x2 , y) ∈ S‬הוכיחו‪/‬הפריכו‪ :‬לכל‬
‫‪ L ∈ NP‬קיים ‪ S‬חסום פולינומית‪ ,‬ניתן לזיהוי פולינומי ומונוטוני ממש המגדיר את ‪.L‬‬
‫‪ .5‬יחס ‪ S‬ייקרא מונוטוני אם לכל ‪ x1 , x2 , y1 , y2‬כך ש־| ‪ (x1 , y1 ) ∈ S ,|x1 | ≤ |x2‬ו־‪ (x2 , y2 ) ∈ S‬מתקיים | ‪.|y1 | ≤ |y2‬‬
‫הוכיחו‪/‬הפריכו‪ :‬לכל ‪ L ∈ NP‬קיים ‪ S‬חסום פולינומית‪ ,‬ניתן לזיהוי פולינומי ומונוטוני המגדיר את ‪.L‬‬
‫‪2‬‬