1. No category

‫תרגיל ‪ .6‬חלק ב‪ :‬תתי מרחבים‪ .‬בסיס‪ ,‬מימד‪ ,‬סכום וחיתוך של מ"וו‪.‬‬
‫‪)1‬‬
‫א) הראו כי קבוצת המטריצות הסימטריות במרחב ) ‪ M 22 ( R‬מהווה תת מרחב‬
‫וקטורי מעל הממשיים וקבעו את המימד שלה‪ .‬הכלילו למטריצות בגודל ‪.n‬‬
‫ב) קבעו האם קבוצת המטריצות שאינן הפיכות במרחב ) ‪ M 22 ( R‬מהווה תת‬
‫מרחב וקטורי‪.‬‬
‫ג) יהי ‪ V‬מרחב הפולינומים ממעלה לכל היותר חמש מעל שדה המרוכבים‪.‬‬
‫מצאו בסיס ל ‪ V‬כמרחב וקטורי מעל הממשיים‪ .‬מה מימדו של ‪?V‬‬
‫תהא ‪ W‬תת הקבוצה של ‪ V‬המורכבת מפולינומים המקיימים‬
‫)‪ .p(x)=xp'(x)-2p''(x‬הראו כי ‪ W‬תת מרחב של ‪ V‬וקבעו עבורו בסיס‪.‬‬
‫‪ )2‬הראו אלגוריתם המוצא בסיס עבור תת המרחב )‪ Span(S‬במרחב וקטורי‬
‫‪ .V‬כאן ‪ S‬קבוצה כלשהיא ב ‪ .V‬הוכיחו את נכונות האלגוריתם‪.‬‬
‫רמז‪ :‬קבעו בסיס ב ‪ V‬וייצגו את איברי ‪ S‬באמצעות וקטורי הבסיס ‪.B‬‬
‫‪ )3‬הראו כי אם ‪ U‬ו ‪ W‬תתי מרחבים של מרחב ‪ V‬ואם איחודם מהווה תת‬
‫מרחב הרי ‪ U‬מוכל ב ‪ W‬או ש ‪ W‬מוכל ב ‪ .U‬האם ההפך נכון ?‬
‫‪ ) 4‬נתבונן בתתי מרחבים של ) ‪: M 22 ( R‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪ 1 2   2 1   1 1‬‬
‫‪U  {‬‬
‫‪ | a  b  c  d  0},V  Span(‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫)‪‬‬
‫‪c d ‬‬
‫‪ 2 1  1 2  0 0 ‬‬
‫א) מצא בסיס והמימד של ‪ U  V , U‬ושל ‪U V‬‬
‫ב) השלימו בסיס של ‪ U V‬לבסיס של ‪. U  V‬‬
‫‪ ) 5‬תהי ‪ W  ax3  bx2  cx  d a  b  c  d  0‬מרחב ווקטורי‪.‬‬
‫תהי )‪ U (k )  Span(kx3  x 2  x, x3  kx 2  x, x3  x 2  kx‬מרחב ווקטורי‪.‬‬
‫עבור אילו ערכים של פרמטר ‪ k‬מתקיים‬
‫א) ]‪. W  U (k )  C3[ x‬‬
‫ב) }‪. W  U (k )  {0‬‬
‫‪ )6‬ידוע כי הווקטורים ‪ a1 ,..., an‬בת"ל‪ .‬עבור כל ‪ n  3‬בדקו האם הווקטורים‬
‫) ‪ (a1  a2 ), (a2  a3 )..., (an1  an ), (an  a1‬בת"ל‪.‬‬
‫‪ )7‬הבסיס של מ"ו ‪ U‬הוא ) ‪ . BU  (u1 , u2‬הבסיס של מ"ו ‪ V‬הוא ) ‪. BV  (v1 , v2 , v3‬‬
‫ידוע כי }‪. U  V  {0‬‬
‫א) הוכיחו כי ‪ u1 , v3‬בת"ל‪.‬‬
‫ב) הוכיחו כי הבסיס של מ"ו ‪ U  V‬הוא ‪ BU  BV‬‬
‫‪. BU V‬‬
‫‪ ) 8‬יהיו ‪ U‬ו‪ W -‬תת‪-‬מרחבים של ) ‪ . M 22 (Q‬ידוע כי‪:‬‬
‫‪2   2 1‬‬
‫‪ 0 3  4‬‬
‫‪0 2‬‬
‫‪ ‬הם איברים של ‪. U‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬ו‪ -‬‬
‫‪ 1 0   6 0   4 2   2 1‬‬
‫‪3   1 2   0 1 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1 0‬‬
‫‪ ‬הם איברים של ‪. W‬‬
‫‪ ‬ו‪ -‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0 1   3 6   2 2   1 0 ‬‬
‫ו‪ U -‬אינו מוכל ב‪ W -‬ו‪ W -‬אינו מוכל ב‪. U -‬‬
‫מצאו בסיסם ומימדים עבור ‪ U W , U‬ו‪ . U  W -‬מהו המימד של ‪? W‬‬
‫‪ ) 9‬יהיו ‪ W1 , U‬ו‪ W2 -‬תת‪-‬מרחבים של מרחב ווקטורי נפרש סופית ‪ . V‬הוכיחו או‬
‫הפריכו‪:‬‬
‫א) אם ) ‪ dim(W1 )  dim(W2 )  dim(V‬אז }‪. W1 W2  {0‬‬
‫ב) אם ) ‪ dim(W1  W2 )  1  dim(W1  W2‬אז ‪ W1  W2‬וגם ( ‪ W1  W2‬או ‪) W2  W1‬‬
‫ג) אם ‪ U  W1  U  W2‬אז ‪. W1  W2‬‬
‫ד) אם ‪ U  W1  U  W2‬אז ) ‪. dim(W1 )  dim(W2‬‬
‫‪ ) 10‬בשאלה זו אנו עוסקים במרחב הפולינומים‬
‫}‪ , C4 [ x]  { f ( x)  a4 x 4  ...  a1 x  a0 | a4 ,..., a0  C‬ובתתי המרחב שלו‪:‬‬
‫}‪ U  { f ( x)  C4 [ x] | f (i)  0, f (i)  0‬ו‪. V  { f ( x)  C4 [ x] | f (1)  0, f (1)  0}-‬‬
‫א) מצאו בסיס של מרחב ווקטורי ‪ V‬כך ש‪ . U  V  C 4 [ x] -‬האם מרחב ווקטורי‬
‫‪ V‬כך ש‪ U  V  C 4 [ x] -‬יחיד? נמקו את התשובה‪.‬‬
‫ב) האם קיים בסיס ‪ B‬של ]‪ C4 [ x‬מורכב מפולינומים )‪ f ( x‬שמקיימים תנאי‬
‫‪ f (i)  0‬או ‪ . f (i)  0‬אם כן מצאו בסיס כזה אם לא נמקו‪.‬‬
‫ג) מצאו בסיס של מרחב ווקטורי ‪ U‬שמכיל פולינום ‪. x4  2 x2  1‬‬
‫‪ )11‬מה המימדים האפשריים של חיתוך המרחבים ‪ U‬ו ‪ W‬אם מימד כ"א מהם‬
‫הוא חמש ושניהם תתי מרחבים של מרחב שמונה מימדי ? הראו כי כל‬
‫אפשרות שאתם טוענים שאפשרית אכן מתממשת בדוגמא‪.‬‬