1. No category

MAA11 Lukuteoria­8.notebook
May 18, 2015
1
MAA11 Lukuteoria­8.notebook
May 18, 2015
Kertaus
Logiikkaa
• deduktio ja induktio
• atomilauseet ja konnektiivit
• lauseen suomentaminen ja formalisoiminen
• totuusarvot ja ­taulut
• tautologiat, loogisesti ekvivalentit lauseet
• avoimet lauseet
• kvanttorit
• lauseen ratkaiseminen
2
MAA11 Lukuteoria­8.notebook
May 18, 2015
Tehtävä: Formalisoidaan lause ja muodostetaan totuustaulu: Hymyillään, ja jos ei tavata, niin ei hymyillä.
A = "hymyillään", B = "tavataan".
Formalisointi: Totuustaulu:
3
MAA11 Lukuteoria­8.notebook
May 18, 2015
Tehtävä: Lue mahdollisimman yksinkertaisesti:
a) x (x > 0)
b) x y (xy = 0)
c) x ( √x ∈ R)
a) On olemassa positiivisia lukuja.
b) On olemassa sellainen luku x, että sen tulo minkä tahansa luvun y kanssa on 0.
c)
Minkään luvun neliöjuuri ei ole reaaliluku.
4
MAA11 Lukuteoria­8.notebook
May 18, 2015
Joukko­oppia
• alkio ja joukko
• tyhjä joukko
• osajoukko
• joukkojen yhdiste, leikkaus ja erotus
• perusjoukko ja komplementti
5
MAA11 Lukuteoria­8.notebook
May 18, 2015
Tehtävä: Olkoon perusjoukkona R ja A = [1, 3] ja B = ]2, 4[.
A ∪ B = A ∩ B = A \ B = A = 6
MAA11 Lukuteoria­8.notebook
May 18, 2015
Tehtävä: Olkoon A = { n | n on parillinen } ja B = { 0, 1 } Mitkä väitteistä ovat totta?
A ⊂ B
B ⊂ A
Osajoukon määritelmä: A ⊂ B tarkoittaa sitä, että jokainen A:n alkio on myös B:n alkio.
A ⊂ Z
B ⊂ B
∅ ⊂ A
7
MAA11 Lukuteoria­8.notebook
May 18, 2015
Tehtävä: Ratkaise lause 2x2 = x kokonaislukujen joukossa.
8
MAA11 Lukuteoria­8.notebook
May 18, 2015
Tehtävä: Onko päättely pätevää?
Nenä vuotaa tarkalleen silloin, kun koivu kukkii. Siispä koivu ei kuki tai nenä vuotaa. 9
MAA11 Lukuteoria­8.notebook
May 18, 2015
Tehtävä: Formalisoi lauseet
jokainen kokonaisluku on positiivinen
jokainen positiivinen luku on kokonaisluku
on olemassa positiivisia kokonaislukuja
ainakin yksi kokonaisluku a on sellainen, että kaikilla kokonaisluvuilla b pätee ab = 0
jokaista kokonaislukua a kohti on olemassa sellaisia kokonaislukuja b, että ab = 1
10