1. No category

MAA11 Logiikka­4.notebook
April 14, 2015
Joukko­opin alkeita
(joukko­oppi, mängdtheori, set theory, die Mengenlehre, la théorie des ensembles, ...)
"Määritelmä:" Joukko on mikä tahansa sellainen kokoelma alkioita, josta voi aina selvittää, kuuluuko joku tietty alkio kyseiseen kokoelmaan. Esimerkki: Luokassa tällä hetkellä olevat oppilaat muodostavat joukon, jonka alkioita oppilaat ovat. Kyseessä todella on joukko, sillä voimme aina tarkistaa, onko joku nimeltä mainittu opiskelija luokassa.
1
MAA11 Logiikka­4.notebook
April 14, 2015
Joukon esitystavat
alkioiden luetteleminen:
A = {0, 1, 2, 3, 4}
B = {2, 4, 6, ...}
joukon säännön ilmoittaminen: C = {x | 1 < x < 3}
D = {x | x opiskelee Askolan lukiossa}
2
MAA11 Logiikka­4.notebook
April 14, 2015
Reaalilukuvälit
[a, b] = {x | a ≤ x ≤ b}
]a, b[ = {x | a < x < b}
[a, ∞[ = {x | x ≥ a}
(suljettu väli)
a
b
(avoin väli)
a
b
a
jne.
3
MAA11 Logiikka­4.notebook
April 14, 2015
Huomautus: Alkio ei voi kuulua joukkoon "monta kertaa". Joukon alkioilla ei myöskään ole mitään järjestystä. Vain sillä on merkitystä, kuuluuko jokin alkio joukkoon vai eikö.
Siis esimerkiksi {1, 1, 1, 2, 2, 3} = {1, 2, 3} = {3, 2, 1}.
4
MAA11 Logiikka­4.notebook
April 14, 2015
Merkintöjä: joukko: A, B, ...
x on joukon A alkio:
x ∈ A
x ei ole joukon A alkio:
x ∉ A
joukon A alkioiden lukumäärä:
tyhjä joukko eli joukko, jossa ei ole yhtään alkiota:
("x kuuluu joukkoon A")
N(A)
∅
5
MAA11 Logiikka­4.notebook
April 14, 2015
Esimerkki: Jos A = {0, 1, 2, 3, 4}, niin 2 ∈ A,
5 ∉ A
ja
N(A) = 5.
6
MAA11 Logiikka­4.notebook
April 14, 2015
Määritelmä: Joukko B on joukon A osajoukko eli B ⊂ A, jos jokainen B:n alkio on myös A:n alkio. B ⊂ A
C
A
C ⊄ A
B
D
D ⊄ A
7
MAA11 Logiikka­4.notebook
April 14, 2015
Esimerkki: A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {2, 3}
C = {2, 3, 4, 5}
Nyt B ⊂ A ja B ⊂ C mutta esimerkiksi C ⊄ A.
Huom.! Kaikille joukoille A pätee, että A A ja myös ∅ A. Siis jokainen joukko (myös tyhjä joukko!) on itsensä osajoukko. Toisaalta tyhjä joukko on jokaisen joukon (myös itsensä!) osajoukko.
Tee s. 55­­56 tehtävät 6, 12 ja 13.
8
MAA11 Logiikka­4.notebook
April 14, 2015
Joukkojen välisiä operaatioita ("laskutoimituksia")
A
yhdiste: leikkaus:
B
A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
A
B
erotus:
A \ B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}
A
B
9
MAA11 Logiikka­4.notebook
Esimerkki: A = {0, 1, 2, 3, 4}, April 14, 2015
B = {2, 3, 4, 5}
yhdiste A ∪ B =
leikkaus A ∩ B = erotus A \ B = 10
MAA11 Logiikka­4.notebook
April 14, 2015
Määritelmä: Perusjoukko on laajin mahdollinen joukko, jonka osajoukkoja tietyssä tilanteessa käsiteltävät joukot ovat. Merkintä: X.
Esimerkki: Jos tilastotieteilijä tutkii suomalaisten kulutustottumuksia, hän pitää perusjoukkona kaikkien suomalaisten joukkoa. 11
MAA11 Logiikka­4.notebook
April 14, 2015
Komplementti:
A = X \ A X
A
= { x | x ∈ X ja x ∉ A }
Esimerkki: X = {1, 2, 3, 4, 5, 6},
A = {2, 4, 6}
A = X = ∅ =
Tee s. 55­­56 tehtävät 2, 3, 5, 7, 8, 10, 11.
12
MAA11 Logiikka­4.notebook
April 14, 2015
A
B
A
B
A
B
X
A
13
MAA11 Logiikka­4.notebook
April 14, 2015
Kotitehtävät: Opiskele s. 48­­54. Tee tehtävät 1, 3, 5, 7, 8 ja 14.
14