1. No category

Luvun 13 laskuesimerkit
Esimerkki 13.1
Olkoon Cavendishin vaa'an pienen pallon massa
ja suuren pallon
m1 = 0.0100 kg
m2 = 0.500 kg (molempia kaksi kappaletta).
Fg pallot kokevat lähinnä olevan
Miten suuren gravitaatiovoiman
pallon vaikutuksesta kun pienen ja ison pallon välimatka on
0.0500
m
?
Gm1 m2
r2
6.67 × 10−11 Nm2 /kg2 · 0.0100
(0.0500 m)2
Fg
=
Fg
= 1.33 × 10−10
=
N
.
kg · 0.500 kg
Esimerkki 13.2
Oletetaan nyt, että otamme kaksi pallukkaa edellisestä esimerkistä
ja sijoitamme ne avaruuteen kauas muista kappaleista. Jos pallukat
ovat taas
0.0500
m
päässä toisistaan, niin miten suuret
kiihtyvyydet niiden välinen gravitaatiovoima aiheuttaa?
Fg 1.33 × 10−10 N
=
= 1.33 × 10−8 m/s2
m1
0.0100 kg
F
1.33 × 10−10 N
a2 = g =
= 2.66 × 10−10 m/s2
m2
0.500 kg
a1 =
Vaikka pallukoihin kohdistuva gravitaatiovoima on sama, on
kevyemmän pallukan kiihtyvyys paljon suurempi!
Esimerkki 13.3
Minkä voiman Aurinko kohdistaa Maahan? Maan massa on
ME
kg
M = 1.99 × 1030 kg
AU = 149.6 × 106 km = 1.496 × 1011 m
= 5.97 × 1024
etäisyys on r = 1
, Auringon massa
,
.
Fg
=
GMe M
r2
Nm2/kg2 · 5.97 × 1024 kg · 1.99 × 1030 kg
(1.496 × 1011 m)2
Fg = 3.54 × 1022 N
70 kg
0.415 N
=
6.67 × 10−11
.
Entä ihmiseen? Jos ihmisen massaksi oletetaan n.
Auringon kohdistama voima on ainoastaan
Maan aiheuttamasta painosta!
, niin
, n. 0.6 %
Esimerkki 13.4
Marsin säde on
rM = 3.40 × 106 m ja sen massa
mM = 6.42 × 1023 kg. Marsiin laskeutuvan luotaimen paino
Maassa on
a)
6.0 ×
39200
106
m
N
. Laske sen paino ja kiihtyvyys
Marsin pinnan yläpuolella (suunnilleen samalla
korkeudella kuin Marsin kuu Phobos)
b) Marsin pinnalla.
a) Luotaimen massa saadaan sen painosta Maassa:
m=
w
g
=
39200 N
= 4000
9.80 m/s2
kg
a)-kohdan tapauksessa etäisyys Marsin keskipisteeseen on
r = 6.0 × 106 m + 3.40 × 106 m = 9.4 × 106 m.
Tästä saadaan painoksi
Fg
Fg
=
6.67 × 10−11
= 1940
N
Nm2/kg2 · 6.42 × 1023 kg · 4000 kg
(9.4 × 106 m)2
Kiihtyvyys tässä pisteessä Marsin yläpuolella on
gM =
Fg
m
=
1940 N
= 0.48
4000 kg
b) Marsin pinnalla puolestaan saadaan
kiihtyvyys
gM = 3.7 m/s
2
.
Fg
m/s2
= 15000
N
ja
Esimerkki 13.5
Jules Vernen kirjassa Maasta Kuuhun (1865) kolme astronauttia
lähetetään Kuuhun aluksella, joka ammutaan liikkeelle valtavalla
tykillä.
a) Laske mikä nopeus suoraan ylöspäin ammuttavalla kuulalla on
lähtöhetkellä oltava, jotta se saavuttaisi korkeuden, joka on sama
kuin Maan säde?
b) Laske pakonopeus, ts. nopeus, jolla kuula ei enää palaa Maahan.
Ilmanvastus ja Maan pyöriminen jätetään nyt huomioimatta.
a) Maan säde,
RE
= 6.38 × 106
m mE = 5.97 × 1024 kg
ja
r1 = RE
r2 = 2RE , missä nopeus on nolla:
Kuula siis lähtee Maan pinnalta
ja saavuttaa korkeuden
K1 + U1 = K2 + U2
Gm m
1 2
mv1 + − E
2
RE
.
=0+
GmE m −
2RE
Mistä saadaan
v1 =
s
=
= 7900
m/s
6.67 × 10−11
.
s
GmE
RE
Nm2/kg2 · 5.97 × 1024 kg
6.38 × 106 m
b) Meille riittää, että kuula saavuttaa juuri ja juuri
äärettömyyden, eli sen nopeus lähenee nollaa kun etäisyys lähenee
ääretöntä. Tällöin siis sekä
K2 = 0 ja U2 = 0. Tällöin saamme
mekaanisen energian säilymislaista
1 2
Gm m
mv1 + − E
2
RE
=0
eli
v1 =
s
=
s
2GmE
RE
2 · 6.67 × 10−11 Nm2 /kg2 · 5.97 × 1024
6.38 × 106 m
= 1.12 × 104
m/s
kg
.
Tämä tulos voidaan yleistää mille tahansa pallosymmetriselle
M ja säde R , pakonopeus
massajakaumalle, jonka massa on
vesc =
Maan tapauksessa se on em.
Jupiterille n.
60
km/s
r
11.2
2GM
R
km/s
, Marsille n.
5
km/s
ja
.
Maan pyörimistä voidaan hyödyntää lähettämällä satelliitti Maata
kiertävälle radalle Maan pyörimissuuntaan (itään) mahdollisimman
lähellä päiväntasaajaa, tällöin tarvittava nopeus pienenee.
Esimerkki 13.6
Massaltaan
1000
kg
oleva satelliitti kiertää ympyräradalla, jonka
korkeus maanpinnasta on
300
km
.
a) Mikä on satelliitin ratanopeus, periodi ja kiihtyvyys?
b) Kuinka paljon on pitänyt tehdä työtä, jotta satelliitti on saatu
radalleen?
c) Kuinka paljon lisää olisi tehtävä työtä, jotta satelliitti pääsisi
pakenemaan Maan kiertoradalta?
Käytetään Maan strategisille mitoille arvoja
mE
= 5.97 ×
1024
kg
RE
= 6380
km
ja
.
a) Satelliitin radan säde on nyt
r = 6380 km + 300 km = 6.68 × 106 m. Ympyräratanopeuden
kaavasta saamme
v=
r
GmE
r
s
=
6.67 × 10−11
Nm2/kg2 · 5.97 × 1024 kg
6.68 × 106 m
Eli
v = 7720 m/s.
Kiertoaika puolestaan on
T
T
= 5440
=
2π r
=
v
s = 90.6 min
2π · 6.68 × 106
7720 m/s
m
.
Radiaalikiihtyvyys
arad
=
v2
r
=
m/s)2 = 8.92 m/s2
6.68 × 106 m/s
(7720
b) Vaadittu työ vastaa erotusta mekaanisessa kokonaisenergiassa
tilanteessa, jossa satelliitti on radallaan verrattuna alkutilanteeseen,
jossa se on maanpinnalla. Ympyräradalla olevalle satelliitille
johdettiin äsken
E2 = −
=−
6.67 × 10−11
= −2.99 × 1010
J
Gme m
2r
Nm2/kg2 · 5.97 × 1024 kg · 1000 kg
2 · 6.68 × 106 m
.
Kun satelliitti pötköttelee maanpinnalla, sen mekaaninen energia on
Gme m E1 = K1 + U1 = 0 + −
RE
=−
6.67 × 10−11
= −6.25 × 1010
J
.
Nm2/kg2 · 5.97 × 1024 kg · 1000 kg
6.38 × 106 m
Vaadittu työ on siis
W
= E2 − E1 = −2.99 × 1010
= 3.26 × 1010
J
J − (−6.25 × 1010 J)
.
c) Jotta satelliitti pääsisi karkaamaan äärettömyyteen, sen
mekaanisen kokonaisenergian on oltava nolla. Toisin sanoen
vaadittava lisätyö olisi nyt
2.99 × 1010
J
.
Esimerkki 13.7
Tarkastellaan nyt esimerkinomaisesti Keplerin 2. lakia. Tarkastellaan
dt , jolloin planeetan ja Auringon yhdysviivan
d θ verran. Aikaväli oletetaan niin lyhyeksi,
että planeetan etäisyys r ei käytännössä muutu. Tällöin voimme
kirjoittaa yhdysviivan pyyhkäisemän pienen sektorin pinta-alalle dA
pientä aikaväliä
suunta muuttuu kulman
(pintanopeus):
dA 1 2 d θ
= r
dt 2 dt
~
v
sin φ,
Merkitään nyt planeetan ratanopeuden
paikkavektoria vastaan
kohtisuoraa komponenttia
missä
v⊥ = v
φ
on kulma
planeetan paikkavektorin (tai yhdysviivan) ja nopeusvektorin välillä.
dt on rd θ, joten
v⊥ = rd θ/dt . Sijoittamalla edellä olleeseen kaavaan saamme
dA 1
= rv sin φ
dt 2
Toisaalta rv sin φ on vektorin ~
r × ~v suuruus ja
liikemäärämomentin määritelmähän on ~
L = ~r × m~v .
Toisaalta kohtisuora siirtymä lyhyenä aikavälinä
Näin ollen saamme
dA 1
L
=
|~r × m~
v| =
dt 2m
2m
(1)
Keplerin havainto pintanopeuden vakioisuudesta tarkoittaa siis sitä,
että planeetan liikemäärämomentti säilyy. Ja toisin päin - Keplerin
2. lain voi johtaa liikemäärämomentin säilymisen perusteella.
Planeetan liikemäärämonentin säilyminen on itse asiassa ilmeistä.
Liikemäärämomentin muutoksellehan on aiemmin kirjoitettuna
d ~L
~
=~
τ = ~r × F
dt
Planeetan tapauksessa paikkavektori r osoittaa kohti planeettaa,
toisaalta Aurinkoon osoittava voimavektori on sille
vastakkaissuuntainen, jolloin vektoritulo
d ~L/dt = 0.
~ = 0,
~r × F
ts.
Liikemäärämomentti on vakio paitsi suuruudeltaan, niin myös
vektorimuodossa. Tämä tarkoittaa sitä, että koska vektori
~
L = ~r × m~v
on kohtisuorassa vektoreita
~r
ja
~
v
vastaan, tapahtuu
planeetan liike paikka- ja nopeusvektoreiden määrittämässä tasossa,
ratatasossa.
Aurinkokunnassamme kaikkien planeettojen ratatasot ovat melko
lähellä toisiaan, mikä kertoo yhtä jos toista aurinkokunnan
syntyprosessista.
(Wikimedia Commons: Mintz)
Esimerkki 13.8
Asteroidi Pallaksen rataperiodi on
eksentrisyys
4.62
vuotta ja sen radan
e = 0.233. Mikä on sen radan isoakselin puolikas ja
mitkä ovat asteroidin minimi- ja maksimietäisyydet Auringosta?
Auringon massa
mS = 1.99 × 1030 kg.
Isoakselin puolikas saadaan laskettua Keplerin 3. laista kun
kiertoaika tunnetaan:
T
2π a3/2
= √
GmS
→
a=
GmS T 2
4π 2
! 1/ 3
= 4.15 × 1011
m
(jahka kiertoajan syöttää edelliseen sekunteina)
Ellipsirataa esittävästä kaavakuvasta näemme, että radan
rp = a(1 − e ) ja kauimmassa
ra = a(1 + e ). Toisin sanoen
lähimmässä pisteessä, perihelissä
pisteessä, aphelissä
rp = (1 − 0.233) · 4.15 × 1011 m = 3.18 × 1011 m
ra = (1 + 0.233) · 4.15 × 1011 m = 5.12 × 1011 m
Esimerkki 13.9
Halleyn komeetta liikkuu Auringon ympäri pitkin eksentistä rataa,
jonka perihelietäisyys on
5.26 ×
109
km
8.75 × 107
km
ja aphelietäisyys
. Mikä on radan isoakselin puolikas, eksentrisyys ja
kiertoaika?
Aiemmin esillä olleen kuvan perusteella tiedämme, että periheli- ja
aphelietäisyyksien summa on
a=
8.75 × 107
2a.
Siis
km + 5.26 × 109 km = 2.67 × 109 km
2
Perihelietäisyys
rp = a(1 − e ), mistä saamme
e =1−
rp
a
=1−
8.75 × 107
2.67 × 109
km = 0.967
km
Rataperiodi taas saadaan Keplerin 3. laista:
T
m
2π · (2.67 × 1012 )3/2
2 π a 3/ 2
= p
= √
2 / 2 · 1.99 × 1030
GmS
6.67 × 10−11
= 2.38 × 109
Nm kg
s = 75.5 vuotta
.
kg
Esimerkki 13.10
Jos Aurinko muuttuisi (vastoin kaikkea tähtien kehitystä koskevaa
tietoamme) yllättäen mustaksi aukoksi, niin mikä olisi sen
Schwarzschildin säde? Mitä maapallolle tällöin tapahtuisi?
RS =
=
2GM
c2
2 · 6.67 × 10−11 Nm2 /kg2 · 1.99 × 1030
3.0 × 108 m/s
kg = 2.95 km
Maa kiertäisi edelleen radallaan, mutta täällä tulisi varsin kylmä.