1. No category

Gruppuppgifter 1
MMA132, Numeriska metoder, distans
Uppgifter märkta med ? redovisas
1. Läs om felkalkyl i enkla fall sidan 1.2-1.3. Givet
a = 1,23, Ea = 0,005
c = 0,00438 ± 0,5 · 10−5
b = 23,71, Eb = 0,003
d = 20,104 ± 0,2
Hur många korrekta decimaler och signifikanta siffror har närmevärdena? Hur många korrekta
decimaler och signifikanta siffror har närmevärdena?
2. Antag att alla givna siffor är korrekta för nedanstående värden:
a = 1,435171
c = 4,7556 · 10−5
b = 23,6212
d = 13,1
Skriv a, b, c och d med fyra korrekta siffror.
3. Låt x = 1,2 ± 0,3 och y = 8,2 ± 0,1 Beräkna z med absoluta och relativa felgränser i följande
fall:
a) z = x + y
b) z = 0,7x
c) z = 3x + 7y
4. Låt x = 7,2 ± 0,3 och y = 4,7 ± 0,1 Beräkna z med absoluta och relativa felgränser i följande
fall:
a) z = 0,4xy
b) z =
c) z =
?5.
6.
y
2x
x3 y 2
1000
(a) Låt x = 1,414 och y = 0,09125 vara värden givna med 4 korrekta siffror.
Ange z1 = x + y och z2 = x · y med rätt antal korrekta siffror.
(b) Låt x = 31,415 och y = 0,027182 vara värden givna med 5 korrekta siffror.
Ange z1 = x + y och z2 = x · y med rätt antal korrekta siffror.
√
a) Låt y = x + sin(x).Bestäm ett närmevärde på y om x ≈ 2,222 (3 korrekta decimaler).
Ge en bra felgräns för y och ange antalet korrekta decimaler och siffror i y.
b) Låt y = cos(t). Bestäm ett närmevärde på y om t = 0,02 ± 0,01. Ge en bra felgräns för y.
Tips: Använd 3 termer i Taylor-utvecklingen.
7. Låt y = 5e−x sin(t). Bestäm ett närmevärde på y om x ≈ 0,34 (2 korrekta decimaler) och
t ≈ 1,3 (1 korrekt decimal). Ge en bra felgräns för y och ange antalet korrekta decimaler och
siffror i y.
?8.
Låt f (x) = x3 − 15,1x2 + 10. Fyll i tredje kolumnen nedanstående tabell (det räcker med 4
korrekta siffror)
x
9,4
9,6
10,4
10,6
x̃
9
10
10
11
ef (x) = f (x̃) − f (x)
Ef ≈ |f 0 (x̃)|Ex
Notera att |x̃ − x| < 0,5 = Ex .
Uppskatta med hjälp av fortplantningsformeln Ef ≈ |f 0 (x̃)|Ex och fyll i fjärde kolumnen i
ovanstående tabell.
Ser du några problem med denna uppskattning?
Hur skulle du göra en bättre uppskattning?
9. Läs om kancellation och utskiftning sidan 1.5.
√
√
a) Beräkna 800,0001 − 800 på räknedosan. Beräkna också värdet av det ekvivalenta ut0,0001 √
trycket √800,0001+
. Varför blir resultaten olika? Vilket resultat är mest noggrant?
800
b) Låt x = 0,001 (exakt). Beräkna f (x) = 2 sin(x) − sin(2x) på räknedosan. Beräkna också
värdet av det ekvivalenta uttrycket f (x) = 4 sin(x) sin2 (0,5x). Varför blir resultaten olika?
Vilket resultat är mest noggrant?
10. Låt f (x) = π − | cos(x)| − x. Bestäm nollstället f (x) = 0 i intervallet [0, 3,2] med två signifikanta siffror med intervallhalveringsmetoden.
11. Antag att ekvationen 2 − x − ex = 0 har en lösning nära x = 0,45. Gör två iterationer med
Newton-Raphsons metod för att hitta lösningen och ange en feluppskattning för svaret.
12. Antag att ekvationen x = 5(1 − e−x ) har en lösning nära x = 5. Gör två iterationer med
sekantmetoden för att hitta lösningen och ange en feluppskattning för svaret.
?13.
Bestäm en lösning till ekvationen e 2 = e2 + x med minst 3 korrekta decimaler med NewtonRaphsons metod. Tips: Nollstället ligger mellan 0 och 2.
?14.
Bestäm en lösning till ekvationen 7e−y = 5 med minst 3 korrekta decimaler med sekantmetoden. Tips: Funktionen har två nollställen. Ett mellan 0 och 1 och ett mellan 0 och -1.
x
x
2
15. Beräkna hur många iterationer med intervallhalveringsformeln som skulle behövas för att hitta
ett nollställe för funktionen f (x) = 3x2 + sin(x − 11) − ecos(ln(x)) i intervallet [0,2] med 4
signifikanta decimaler.
Tips: Om din miniräknare inte har log2 så gäller log2 (a) = log(a)
log(2) där log är logaritmen avseende
på valfri bas.
16.
a) Gör minst tre iterationer för att beräkna roten till ekvationen x = 0,2 cos(x) med fixpunktsmetoden och gör feluppskattning (metodoberoende).
b) Beräkna en rot till ekvationen x = 3 cos(x) med minst 2 korrekta decimaler med fixpunktsmetoden (ekvationen måste först skrivas om för att få konvergens).
17. Läs om Newton-Raphsons modifierade metod sidan 2.7. Lös x = 1 − 0,8 sin(x) med denna
metod. Använd f 0 (a) ≈ f 0 (x0 ).
Lösningar och svar
1.
a
b
c
d
korrekta
decimaler
2
2
5
0
signifikanta
siffror
3
4
3
2
2. Om vi skriver ut de olika värdena med 4 korrekta siffror får vi
b = 2,362 · 101
a = 1,435
c = 4,756 · 10−5
det är inte möjligt att skriva d med fyra korrekta siffor då vi endast har tre korrekta siffror ifrån
början.
3. Låt x = 1,2 ± 0,3 och y = 8,2 ± 0,1.
a) Med z = x + y får vi approximationen z̃ = x̃ + ỹ = 1,2 + 8,2 = 9,4 och den absoluta
felgränsen
Ez = Ex + Ey = 0,3 + 0,1 = 0,4.
Den relativa felgränsen blir
Rz =
Ez
0,4
=
= 0,043.
z̃
9,4
b) Med z = 0,7x får vi approximationen z̃ = 0,7x̃ = 0,7 · 1,2 = 0,84 och den absoluta
felgränsen
Ez = 0,7Ex = 0,7 · 0,3 = 0,21.
Den relativa felgränsen blir
Rz =
Ez
0,21
=
= 0,25.
z̃
0,84
c) Med z = 3x + 7y får vi approximationen z̃ = 3x̃ + 7ỹ = 3 · 1,2 + 7 · 8,2 = 61 och den
absoluta felgränsen
Ez = 3Ex + 7Ey = 3 · 0,3 + 7 · 0,1 = 1,6.
Den relativa felgränsen blir
Ez
1,6
=
= 0,026.
z̃
61
Observera att här har vi avrundat uppåt för säkerhets skull.
Rz =
4. Låt x = 7,2 ± 0,3 och y = 4,7 ± 0,1.
a) Med z = 0,4xy får vi approximationen z̃ = 0,4x̃ỹ = 0,4 · 7,2 · 4,7 = 13,536 och den
relativa felgränsen
Rz = Rx + Ry =
Ex Ey
0,3 0,1
+
=
+
= 0,063.
x̃
ỹ
7,2 4,7
Observera att här har vi avrundat uppåt för säkerhets skull. Den absoluta felgränsen blir
Ez = Rz z̃ = 0,063 · 13,536 = 0,86.
Observera att här har vi avrundat uppåt för säkerhets skull.
b) Med z =
y
får vi approximationen z̃ =
2x
Rz = Rx + Ry =
ỹ
2x̃
=
4,7
2·7,2
= 0,3264 och den relativa felgränsen
Ex Ey
0,3 0,1
+
=
+
= 0,063.
x̃
ỹ
7,2 4,7
Observera att här har vi avrundat uppåt för säkerhets skull. Den absoluta felgränsen blir
Ez = Rz z̃ = 0,063 · 0,3264 = 0,021.
Observera att här har vi avrundat uppåt för säkerhets skull.
x3 y 3
7,23 · 4,72
c) Med z =
får vi approximationen z̃ =
= 8,245 och den relativa fel1000
1000
gränsen
0,3
0,1
Ex Ey
+
=3·
+2·
= 0,168.
Rz = 3Rx + 2Ry =
x̃
ỹ
7,2
4,7
Den absoluta felgränsen blir
Ez = Rz z̃ = 0,168 · 8,245 = 1,39.
Observera att här har vi avrundat uppåt för säkerhets skull.
6.
a) Enligt felfortplantningsformeln: Ey ≈ |y 0 |Ex ≈ 0,2707 · 0,0005 ≈ 0,00014 ≈ 0,0002,
y = 2,2860 ± 0,0002. 3 korrekta decimaler, 4 korrekta siffror.
00
b) Enligt felfortplantningsformeln med två termer: Ey ≈ |y 0 |Et + |y2 | Et2 ≈ 0,02 · 0,01 + 1 ·
0,012
2 ≈ 0,00025 ≈ 0,0003, y = 0,9998 ± 0,0003. 3 korrekta decimaler, 3 korrekta siffror.
7. Löses enklast genom att använda den flerdimensionella varianten av felfortplantningsformeln
(sidan 1.4 i Egnesund)
n
X
Ef ≈
Ei |fxi (x)|
i=1
på y = f (x,t) = 5e−x sin(t) med x = (x̃,t̃) = (0,34, 1,3)
Ey ≈ |fx (x̃,t̃)|Ex +|ft (x̃,t̃)|Et = |−5e−0,34 sin(1,3)|·0,005+|5e−0,34 cos(1,3)|·0,05 ≈ 0,0647
Alternativ lösning: y = 5e−x sin(t) = a(x)b(t)
Kan då konstatera att Ry = Ra + Rb ≈
Ea
|ã|
+
Eb
|b̃|
Med Ea ≈ |a0 (x̃)|Ex och Eb ≈ |b0 (t̃)|Et fås
Ry = Ra + Rb ≈
| − 5e−0,34 |0,005 | cos(1,3)|0,05
+
= 0,005 + | tan 1,3| · 0,05 ≈ 0,1851
|5e−0,34 |
| sin(1,3)|
9. Resultaten kan bli olika på olika räknedosor. MATLAB ger:
√
√
a) 800,0001− 800 ≈ 28,28427301522880−28,28427124746190 ≈ 0,000001767766896421108
(ca 14 decimaler, dvs 9 korrekta siffror).
0,0001 √
√
≈ 0,000001767766897723655 (ca 16 korrekta siffror, mest noggrant).
800,0001+ 800
b) f (0,001) = 2 sin(0,001) − sin(2 · 0,001) ≈ 9,999997501071444 · 10−10 ,
f (0,001) = 4 sin(0,001) sin2 (0,5 · 0,001) ≈ 9,999997500000248 · 10−10 (mest noggrant).
Det är alltid uttrycket utan subtraktion som är mest noggrannt eftersom det inte kan ske någon
cancellation.
10. x ≈ 2.4
11. x2 = 0.442854, feluppskattning: Ex =
12. x2 = 4.96511, feluppskattning: Ex =
Ez
|f 0 (x2 )|
Ez
|f 0 (x2 )|
=
=
|f (x2 )|
|f 0 (x2 )|
|f (x2 )|
|f 0 (x2 )|
≤ 0.5 · 10−5
≤ 0.5 · 10−5
15. x ≈ 0.56898
16. Här behöver vi inte bry oss om den specifika funktionen, utan vi kan direkt använda oss av
formeln Exn = 2b−a
n+1 .
Exn =
b−a
b−a
⇒ 2n+1 =
⇒ n = log2
2n+1
Exn
b−a
Exn
−1
Då vi har 4 signifikanta decimaler så är Exn = 0,5 · 10−4 .
b−a
n = log2
− 1 = 14,29
Exn
Då vi bara kan göra ett helt antal iterationer så avrundar vi svaret uppåt n = 15.
17.
a) Till exempel x0 = 0,2, x1 ≈ 0,1960133, x2 ≈ 0,19617016, x3 ≈ 0,19616405.
f (x) = x − 0,2 cos(x), Ea ≈
|f (x3 )|
≈ 2,3 · 10−7
|f 0 (x3 )|
b) Ekvationen har flera rötter. Vi väljer den rot som ligger i intervallet [0,π]. I detta intervall
är ekvationen ekvivalent med x = G(x) = arccos( x3 ) som ger konvergens för fixpunktsmetoden. Låt t ex
x0 = 1, x1 = 1.23095, x2 = 1,14799, x3 = 1,17812
Rätt rot: x ≈ 1,17012.