JENSENvuxutbildning
NpMaD vt2002 för Ma4
1(45)
Innehåll
Förord
2
NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2002
3
Del I, 7 uppgifter utan miniräknare
4
Del II, 8 uppgifter med miniräknare
6
Förslag på fullständiga lösningar
13
Del I: Digitala verktyg är
Del I # 1
(2/0)
Del I # 2
(2/0)
Del I # 3
(2/0)
Del I # 4
(1/0)
Del I # 5
(3/0)
Del I # 6
(2/0)
Del I # 7
(0/2)
INTE tillåtna
Beräkna integralen . . . . . .
Beräkna derivatan . . . . . .
Sinuskurva med fasförskjutning
Ekvationer med sin och cos . .
Integral . . . . . . . . . . . .
Bestämd integral . . . . . . .
Beräkna integral . . . . . . .
Del II: Digitala verktyg är
Del II # 8
(2/0)
Del II # 9
(2/0)
Del II # 10
(3/1)
Del II # 11
(2/1)
Del II # 12
(0/3)
Del II # 13
(0/3)
Del II # 14
(0/6/⊗)
Del II # 15
(2/4/⊗)
c G Robertsson
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
. .
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
23
23
24
25
27
31
33
36
38
. . .
. . .
. .
. . .
. . .
. . .
. . .
tillåtna
Differentialekvation . . . . . . .
Största vinkeln . . . . . . . . . .
Vatten rinner . . . . . . . . . . .
Flaggstång . . . . . . . . . . . .
Teckna integral samt bestäm area
Visa och beräkna . . . . . . . .
En skidbacke . . . . . . . . . . .
Ton och övertoner . . . . . . . .
buggar ⇒ [email protected]
.
.
.
.
.
.
.
13
13
14
16
17
18
20
22
.
.
.
.
2015-04-27
JENSENvuxutbildning
NpMaD vt2002 för Ma4
2(45)
Förord
Kom ihåg
• Matematik är att vara tydlig och logisk
• Använd text och inte bara formler
• Rita figur (om det är lämpligt)
• Förklara införda beteckningar
Du ska visa att du kan
• Formulera och utvecklar problem, använda generella metoder/modeller vid problemlösning.
• Analysera och tolka resultat, dra slutsatser samt bedöma rimlighet.
• Genomföra bevis och analysera matematiska resonemang.
• Värdera och jämföra metoder/modeller.
• Redovisa välstrukturerat med korrekt matematiskt språk.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-27
NpMaD vt 2002
Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4
kap. 3 § sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till utgången av juni
2002.
NATIONELLT KURSPROV I
MATEMATIK KURS D
VÅREN 2002
Anvisningar
Provtid
240 minuter för Del I och Del II tillsammans. Vi rekommenderar att du använder högst
60 minuter för arbetet med Del I.
Hjälpmedel
Del I: ”Formler till nationellt prov i matematik kurs C, D och E”.
Observera att miniräknare ej är tillåten på denna del.
Del II: Miniräknare och ”Formler till nationellt prov i matematik kurs C, D och E”.
Provmaterialet
Provmaterialet inlämnas tillsammans med dina lösningar.
Skriv ditt namn och komvux/gymnasieprogram på de papper du lämnar in.
Lösningar till Del I ska lämnas in innan du får tillgång till miniräknaren.
Redovisa därför ditt arbete på Del I på separat papper. Observera att arbetet med
Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
Provet
Provet består av totalt 15 uppgifter. Del I består av 7 uppgifter och Del II av 8
uppgifter.
Till några uppgifter (där det står Endast svar fordras) behöver bara ett kort svar
anges. Till övriga uppgifter räcker det inte med bara ett kort svar utan det krävs att
du skriver ned vad du gör, att du förklarar dina tankegångar, att du ritar figurer vid
behov och att du vid numerisk/grafisk problemlösning visar hur du använder ditt
hjälpmedel.
Uppgift 15 är en större uppgift, som kan ta upp till en timme att lösa fullständigt.
Det är viktigt att du försöker lösa denna uppgift. I uppgiften finns en beskrivning av
vad läraren ska ta hänsyn till vid bedömningen av ditt arbete.
Försök att lösa alla uppgifterna. Det kan vara relativt lätt att även i slutet av provet få
någon poäng för en påbörjad lösning eller redovisning. Även en påbörjad icke
slutförd redovisning kan ge underlag för positiv bedömning.
Poäng och
betygsgränser
Provet ger maximalt 43 poäng.
Efter varje uppgift anges maximala antalet poäng som du kan få för din lösning. Om en
uppgift kan ge 2 g-poäng och 1 vg-poäng skrivs detta (2/1). Några uppgifter är
markerade med ¤, vilket innebär att de mer än andra uppgifter erbjuder möjligheter att
visa kunskaper som kan kopplas till MVG-kriterierna i betygskriterier 2000.
Undre gräns för provbetyget
Godkänd:
12 poäng.
Väl godkänd:
24 poäng varav minst 6 vg-poäng.
Mycket väl godkänd: Kraven för Väl godkänd ska vara väl uppfyllda. Dessutom
kommer läraren att ta hänsyn till hur väl du löser ¤-uppgifterna.
Namn:
Komvux/gymnasieprogram:
Skola:
NpMaD vt 2002
Del I
Denna del består av 7 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare.
Dina lösningar på denna del görs på separat papper som ska lämnas in innan du
får tillgång till din miniräknare.
Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
3
1.
Beräkna ∫ ( x 2 + 4 x)dx
(2/0)
π
Beräkna f ′   då f ( x) = 2 sin x
3
(2/0)
0
2.
3.
Kurva A beskrivs av ekvationen y = 2 sin( x + 30°)
Ange en ekvation för kurva B.
4.
Endast svar fordras
(2/0)
Vilken eller vilka av nedanstående ekvationer har två lösningar
i intervallet 0 ≤ x ≤ π
A: cos x = − 0,3
B: sin x = 0,8
Endast svar fordras
(1/0)
NpMaD vt 2002
5.
Bestäm g (x) om g ′( x) = sin 3x + cos 2 x och g ( π) = 2
a
6.
Bestäm det positiva talet a så att
1
∫ x dx = 2
(3/0)
(2/0)
1
7.
y
4
3
2
1
1
2
3
x
Ovanstående diagram visar grafen till en funktion f (x ) vars
derivata är 1 + ln x
3
Beräkna med hjälp av diagrammet
∫ (1 + ln x ) dx
1
(0/2)
NpMaD vt 2002
5.
Bestäm g (x) om g ′( x) = sin 3x + cos 2 x och g ( π) = 2
a
6.
Bestäm det positiva talet a så att
1
∫ x dx = 2
(3/0)
(2/0)
1
7.
y
4
3
2
1
1
2
3
x
Ovanstående diagram visar grafen till en funktion f (x ) vars
derivata är 1 + ln x
3
Beräkna med hjälp av diagrammet
∫ (1 + ln x ) dx
1
(0/2)
NpMaD vt 2002
DEL II
Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras med miniräknare.
Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
8.
Visa att y = 10 e 2 x är en lösning till differentialekvationen y ′ − 2 y = 0
(2/0)
9.
En triangel har sidorna 5,0 cm, 6,0 cm och 7,0 cm.
Beräkna triangelns största vinkel.
(2/0)
10.
Vatten rinner med jämn hastighet ner i en från början tom behållare.
Nedanstående figur visar med vilken hastighet, y cm/s, vattennivån stiger i
behållaren.
a)
Hur lång tid tar det innan vattnet slutar rinna?
(1/0)
b)
Hur högt når vattennivån?
(2/0)
c)
Rita en skiss som visar hur behållaren kan se ut.
(0/1)
NpMaD vt 2002
11.
12.
13.
Över dörren till en butik sitter en flaggstång. Den hålls upp av ett stag med
längden 1,0 m. Butiksägaren ska flytta stagets väggfäste så att flaggstången
bildar vinkeln v = 30° med väggen. Väggfästet placeras rakt ovanför punkten P.
Bestäm avståndet mellan P och väggfästets nya läge.
(2/1)
Kurvorna y = e 0,2 x och y = x 2 innesluter tillsammans med y-axeln ett område
i första kvadranten. Teckna integralen för områdets area samt bestäm denna area
med minst tre värdesiffror.
(0/3)
a)
Visa att 1 + cos 4 x = 2 cos 2 2 x
b)
Beräkna det exakta värdet av integralen
(0/1)
π
8
∫ 2 cos
0
2
2 x dx
(0/2)
NpMaD vt 2002
14.
En skidbacke har fallhöjden 500 meter. Banprofilen ser du i bilden nedan.
Höjden y km är en funktion av sträckan x km.
Sambandet mellan y och x ges av
y = 0,5e − x
a)
2
,
0 ≤ x ≤ 2,5
Bestäm backens lutning för x = 0,8
(0/2)
Ett allmänt sätt att beskriva backar med liknande banprofil som ovan
ges av funktionen
2
y = 0,5e −ax , 0 ≤ x ≤ 2,5
där a är en positiv konstant.
b)
c)
Ställ upp en ekvation för bestämning av x-värdet i den punkt där
backar med en sådan banprofil är brantast.
Bestäm a så att backen är brantast för x = 1,0
(0/3/¤)
(0/1)
NpMaD vt 2002
Vid bedömningen av ditt arbete med uppgift nummer 15 kommer läraren att
•
ta extra hänsyn till:
• hur väl du redovisar ditt arbete
• om du gjort korrekta beräkningar
• hur långt mot en generell lösning du lyckas komma
• hur väl du använder det matematiska språket
• hur väl du motiverar dina resultat
15.
En ton låter olika då den spelas på orgel eller fiol. Detta beror på att klangen är
sammansatt av en grundton och flera så kallade övertoner. Övertonerna kan vara
olika starka och det är detta som ger instrumentets klangfärg.
Övertonernas perioder förhåller sig på ett enkelt sätt till grundtonen. Om vi väljer
en fiolsträng som exempel så kan den ge en ton som beskrivs med en summa av
termer a1 sin x + a2 sin 2 x + a3 sin 3x + ....... .
a1 sin x motsvarar grundtonen och sedan följer 1:a övertonen, 2:a övertonen osv.
• Figur 1 visar graferna till de funktioner som beskriver en
grundton ( y = a sin x) ,dess tredje överton ( y = b sin 4 x) samt den
ton som fås av dessa tillsammans ( y = a sin x + b sin 4 x) .
Bestäm konstanterna a och b.
Figur 1
NpMaD vt 2002
• Figur 2 visar grafen till funktionen y = 10 sin x + c sin 2 x
Funktionen beskriver en ton som består av en grundton och dess första
överton.
Bestäm konstanten c.
Figur 2
NpMaD vt 2002
• Figur 3 visar graferna till de funktioner som beskriver en grundton
y = 12 sin x , samt den ton y = 12 sin x + d sin kx som fås av grundtonen
tillsammans med en överton.
Bestäm konstanterna d och k.
Figur 3
• Antag att du har en figur som visar graferna till funktionerna y = p sin x
och y = p sin x + q sin nx , där n är ett heltal större än två.
Beskriv en generell metod för hur man kan bestämma konstanterna p, q
och n med hjälp av graferna.
(2/4/¤)
NpMaD vt 2002
Del I
vux
JENSEN
NpMaD
vt2002 att
förgenomföras
Ma4
Denna
delutbildning
består av 7 uppgifter
och är avsedd
utan miniräknare. 13(45)
Dina lösningar på denna del görs på separat papper som ska lämnas in innan du
får tillgång till din miniräknare.
Förslag
fullstmed
ändiga
Observerapå
att arbetet
Del II kanlösningar
påbörjas utan tillgång till miniräknare.
Del I # 1
(2/0)
Beräkna integralen
3
Beräkna ∫ ( x 2 + 4 x)dx
1.
(2/0)
0
4(8)
Använd FORMELSAMLINGEN
π
Beräkna f ′   då f ( x) = 2 sin x
3
Primitiva
Funktion
(2/0)
2.
funktioner
3.
Primitiv funktion
k
kx + C
x n ( n ≠ −1)
x n +1
+C
n +1
1
x
ln x + C
ex
ex + C
e
( x > 0)
e kx
+C
k
kx
a x ( a > 0, a ≠ 1)
ax
+C
ln a
sin x
− cos x + C
Kurva A beskrivs av ekvationen y = 2 sin( x + 30°)
cos x
sin x + C
Ange en ekvation för kurva B.
Endast svar fordras
(2/0)
4.
Vilken
vilka av nedanstående ekvationer har två lösningar
Lösningen
blir ellertal
Komplexa
i intervallet 0 ≤ x ≤ π
cos x = − 0,3
(x
+
x = dx
0,8 =
B: sin4x)
Representation
0
Z
3A:
2
3
x3 4x2
33 4 · 32
( +
) =
+
= 9 + 2svar
· 9 = 27
z3= x + i2y = re0iv = r3(cos v +2i sinEndast
v) där i 2 = fordras
−1
Svar Den bestämda integralen blir 27.
arg z = v
Argument
Absolutbelopp
c G
Robertsson
Konjugat
tan v =
(1/0)
y
x
z =buggar
r= ⇒
x [email protected]
+ y2
Om z = x + iy så z = x − iy
2015-04-27
får tillgång till din miniräknare.
Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
3
JENSENvuxutbildning
1.
Beräkna ∫ ( x 2 + 4 x)dx
NpMaD vt2002 för Ma4
14(45)
(2/0)
0
Del I # 2
2.
(2/0)
Beräkna derivatan
3(8)
π
Beräkna f ′   då f ( x) = 2 sin x
3
(2/0)
Differential- och integralkalkyl
Derivera
3.
f (x) = definition
2 sin x
f ( x) − f (a)
f ( a + h) − f ( a )
Derivatans
f ′(a ) = lim
= lim
h →0
x→a
x−a
h
Använd FORMELSAMLINGEN
Derivator
Funktion
Derivata
x n där n är ett reellt tal
nx n −1
ax ( a > 0 )
a x ln a
ln x ( x > 0 )
1
x
ex
ex
Kurva A beskrivs av ekvationen y = 2 sin( x + 30°)
kx
kx
Ange en ekvation för ekurva
B.
svar fordras
k ⋅ eEndast
4.
(2/0)
1
1
− 2
x
x
Vilken eller vilka av nedanstående ekvationer har två
lösningar
i intervallet 0 ≤ x ≤ π sin x
cos x
A: cos x = − 0,3
B: sin x = 0,8
Då blir
f 0 (x) = 2 cos x
c G Robertsson
Kedjeregeln
cos x
− sinEndast
x
svar fordras
tan x
1 + tan 2 x =
f (x) + g (x)
f ′(x) + g ′(x)
f ( x) ⋅ g ( x)
f ( x) ⋅ g ′( x) + f ′( x) ⋅ g ( x)
f ( x)
g ( x)
f ′( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g ′( x)
( g ( x ) ≠ 0)
(1/0)
1
cos 2 x
( g ( x)) 2
buggar ⇒ [email protected]
Om y = f ( z ) och z = g ( x) är två deriverbara funktioner
så gäller för y = f ( g ( x )) att
dy dy dz
= ⋅
y ′ = f ′( g ( x )) ⋅ g ′( x ) eller
dx dz dx
2015-04-27
JENSENvuxutbildning
NpMaD vt2002 för Ma4
15(45)
Beräkna
cos π3 . Använd FORMELSAMLINGEN (Du har ingen miniräknare i denna del.)
8(8)
Exakta
värden
Vinkel v
(grader)
0°
(radianer)
0
sin v
0
cos v
1
tan v
30°
π
6
1
2
0
3
2
1
3
45°
π
4
1
2
1
2
1
60°
π
3
3
2
1
2
90°
π
2
120°
2π
3
3
2
1
−
2
2
1
−
2
3 Ej def. − 3
−1
1
0
135°
3π
4
1
150°
5π
6
1
2
180°
3
2
1
−
3
−1
−
π
0
0
Vi får
π
π
1
f 0 ( ) = 2 · cos = 2 · = 1
3
3
2
Svar f 0 ( π3 ) = 1.
c G Robertsson
13-01-24
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-27
© Skolverket
3
1.
Beräkna ∫ ( x 2 + 4 x)dx
(2/0)
0
JENSENvuxutbildning
NpMaD vt2002 för Ma4
π
2.
Beräkna f ′   då f ( x) = 2 sin x
3
Del I # 3
(2/0)
16(45)
(2/0)
Sinuskurva med fasförskjutning
3.
NpMaD vt 2002
Del I
Denna del består av 7 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare.
Dina lösningar på denna del görs på separat papper som ska lämnas in innan du
får tillgång till din miniräknare.
Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
3
Kurva A beskrivs
av ekvationen y = 2 sin( x + 30°)
1.
Beräkna ∫ ( x 2 + 4 x)dx
Ange en ekvation
för kurva B.
0
Endast svar fordras
(2/0)
(2/0)
 π  nedanstående
Enligt
beskrivs
med
= 2lösningar
sin(x + 30◦ ) och då (2/0)
x = −30◦
4. uppgiften
Vilken
eller
vilka
hary två
f ′ avkurva
2.
Beräkna
x) =(heldragen)
2 sin xekvationer
 då f (A
3
◦
◦


≤ π) = 0, se figuren. För kurva B (streckad) gäller att kurvan
intervallet
så gäller iatt
sin(−300 ≤+x 30
◦
passerar noll då x = 15 . Enligt uppgiften ska vi ange en ekvation för kurva B. En möjlig
− 0,3− 15◦ ).
ekvation A:
är ycos
= 2x =sin(x
B:3. sin x = 0,8
Endast svar fordras
(1/0)
Svar y = 2 sin(x − 15◦ )
Kurva A beskrivs av ekvationen y = 2 sin( x + 30°)
Ange en ekvation för kurva B.
Endast svar fordras
(2/0)
Kommentar Det finns naturligtvis fler möjliga svar, y = 2 sin(x − 15◦ + n · 360◦ ).
Det går naturligtvis också att beskriva kurva B med cosinus då sin x = cos(x − 90◦ )
alternativt sin(x + 90◦ ) = cos x.
4.
c G Robertsson
Vilken eller vilka av nedanstående ekvationer har två lösningar
i intervallet 0 ≤ x ≤ π
A: cos x = − 0,3
B: sin x = 0,8
buggar ⇒ [email protected]
Endast svar fordras
2015-04-27
(1/0)
JENSENvuxutbildning
NpMaD vt2002 för Ma4
Kurva A beskrivs av ekvationen y = 2 sin( x + 30°)
Ange en ekvation för kurva B.
Endast svar fordras
Del I # 4
(1/0)
17(45)
(2/0)
7(8)
Ekvationer med sin och cos
Vilken eller vilka av nedanstående ekvationer har två lösningar
i intervallet 0 ≤ x ≤ π
Trigonometri
4.
= − 0,3
a
sin v =
B: sin x = 0,8
c
b
cos v =
c
a
Använd FORMELSAMLINGEN
tan v =
b
A: cos x
Definitioner
(1/0)
Endast svar fordras
Enhetscirkeln
sin v = y
cos v = x
tan v =
y
x
sin A sin B sin C
=
=
Rita alltid enhetscirkel när
med sin, cos eller tan.
a du har
b ekvationer
c
Sinussatsen
Cosinussatsen x
2
= b 2 + c 2 − 2bc cos A
=a−0,3
Lösning 1
Areasatsen
Trigonometriska
formler
T=
ab sin C
2
Lösning 2
y = 0,8
Lösning 1
sin 2 v + cos 2 v = 1
sin(v + u ) = sin v cos u + cos v sin u
sin(v − u ) = sin v cos u − cos v sin u
Lösning 2 cos(v + u ) = cos v cos u − sin v sin u
Fallet A:
Fallet B:
cos(vhar
− uen
) = cos
u + sin v sin
cos x = −0,3
rotvicos
intervallet
0 u≤ x ≤ π (0◦ ≤ x ≤ 180◦ ).
sin x = 0,8 har två rötter i intervallet 0 ≤ x ≤ π.
sin 2v = 2 sin v cos v
Svar Ekvationen sin x = 0,8 har två
rötter
cos 2 v − sin 2 v

cos 2v =  2 cos 2 v − 1

2
1 − 2 sin v
c G Robertsson
i intervallet 0 ≤ x ≤ π.
(1)
(2)
(3)
buggar ⇒ [email protected]
a sin x + b cos x = c sin( x + v ) där c = a 2 + b 2 och tan v =
Cirkelns
ekvation
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2
2015-04-27
b
a
JENSENvuxutbildning
Del I # 5
5.
NpMaD vt2002 för Ma4
(3/0)
18(45)
Integral
NpMaD vt 2002
Bestäm g (x) om g ′( x) = sin 3x + cos 2 x och g ( π) = 2
(3/0)
4(8)
Integrera g 0 (x). Använd FORMELSAMLINGEN.
a
1
6.
Bestäm det positiva talet a så att ∫ dx = 2
x
Primitiva
1
Funktion
funktioner
(2/0)
Primitiv funktion
k
kx + C
x n ( n ≠ −1)
x n +1
+C
n +1
7.
y
1
x
4
ex
3
ex + C
2
e kx
+C
k
e kx
ln x + C
1
a x ( a > 0, a ≠ 1)
1
2
( x > 0)
ax
+C
ln
a
x
3
− cos x + C
sin x
cos x
sin x + C
Ovanstående diagram visar grafen till en funktion f (x ) vars
derivata är 1 + ln x
3
Beräkna med hjälp av diagrammet
Komplexa tal
∫ (1 + ln x ) dx
(0/2)
1
g 0 (x) = sin 3x + cos 2x
− cos 3x sin 2x
g(x) =
+ z = x+
+iyC= reiv = r (cos v + i sin v) där i 2 = −1
Representation
3
2
Bestäm C.
− cos 3π
sin 2π
g(π) = 2 =
+
+ Cy
3
2
v=
tan
arg
z
=
v
Argument
| {z }
| {z }
x
cos 3π=cos π=−1
sin 2π=sin 0=0
I FORMELSAMLINGEN finns exakta värden på sinus, cosinus och tangens för några olika vinklar.
Absolutbelopp
c G
Robertsson
Konjugat
Räknelagar
z = r = x2 + y2
Ombuggar
z = x⇒[email protected]
iy så z = x − iy
z1z2 = r1r2 (cos(v1 + v2 ) + i sin(v1 + v2 ))
z
r
2015-04-27
JENSENvuxutbildning
NpMaD vt2002 för Ma4
19(45)
5
3
− cos 3x sin 2x 5
g(x) =
+
+ .
3
2
3
Svar Se föregående rad.
C =
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-27
NpMaD vt 2002
JENSENvuxutbildning
NpMaD vt2002 för Ma4
5.
Bestäm g (x) om g ′( x) = sin 3x + cos 2 x och g ( π) = 2
Del I # 6
(2/0)
Bestämd integral
a
1
∫ x dx = 2
Bestäm det positiva talet a så att
6.
20(45)
(3/0)
(2/0)
1
4(8)
Lös integralen. Använd FORMELSAMLINGEN.
7.
Primitiva
funktioner
Funktion
y
Primitiv funktion
kx + C
4
k
x n +1
+C
n +1
x n ( n ≠ 3−1)
2
1
x
ln x + C
( x > 0)
1
ex
1
2
ex + C
3
x
e kx
+C
k
e kx
ax
x
( agrafen
> 0, a till
≠ 1)en funktion f (x+) Cvars
Ovanstående diagramavisar
ln a
derivata är 1 + ln x
3
sin x
− cos x + C
Beräkna med hjälp av diagrammet (1 + ln x ) dx
∫
(0/2)
1
sin x + C
cos x
Z a
h
Komplexa
tal
1
1
x
dx =
ln x
ia
1
= ln a − |{z}
ln 1 = ln a
noll
Enligt uppgiften ska vi bestämma a så attiv integralen blir 2. Alltså
bestäm a så att
Representation
z = x + iy = re = r (cos v + i sin v) där i 2 = −1
ln a = 2
Använd FORMELSAMLINGEN.
y
tan v =
arg z = v
Argument
x
Absolutbelopp
c G Robertsson
z = r = x2 + y2
buggar ⇒ [email protected]
Konjugat
Om z = x + iy så z = x − iy
Räknelagar
z1z2 = r1r2 (cos(v1 + v2 ) + i sin(v1 + v2 ))
2015-04-27
Potenser
a a =a
a b = (ab)
x x
(a ) = a
ay
x
ax
a
= 
x
b
b
x
1
an = n a
ax
a0 = 1
JENSENvuxutbildning
NpMaD vt2002 för
Ma4
a ( k n − 1)
n −1
2
Geometrisk
a + ak + ak + ... + ak
=
där k ≠ 1
summa
k −1
Logaritmer
Absolutbelopp
eln a =
|{z}
a
y = 10 x ⇔ x = lg y
y = e x ⇔ x = ln y
lg x + lg y = lg xy
lg x − lg y = lg
x
y
21(45)
lg x p = p ⋅ lg x
om a ≥ 0
a
e2 a = − a om a < 0

Svar a = e2 .
13-01-24
c G Robertsson
© Skolverket
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-27
Bestäm g (x) om g ′( x) = sin 3x + cos 2 x och g ( π) = 2
5.
(3/0)
a
1
vuxutbildning
JENSEN
6.
Bestäm
det positiva talet a NpMaD
så att ∫ vt2002
dx = 2 för Ma4
x
1
Del I # 7
(0/2)
22(45)
(2/0)
Beräkna integral
7.
y
4
3
2
1
1
2
3
x
Ovanstående diagram visar grafen till en funktion f (x ) vars
derivata är 1 + ln x
3
Beräkna med hjälp av diagrammet
∫ (1 + ln x ) dx
(0/2)
1
Här behövs inte formelsamlingen. Läs i figuren. Integralen blir:
Z
3
3
(1 + ln x) dx = f (x)
1
1
= f (3) − f (1) = 3,3
|{z} |{z}
4,3
1
Svar Integralen blir 3,3.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-27
NpMaD vt 2002
DEL II
vux
JENSEN
vt2002att
förgenomföras
Ma4
Denna delutbildning
består av 8 uppgifterNpMaD
och är avsedd
med miniräknare.
Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
Del II # 8
8.
(2/0)
23(45)
3(8)
Differentialekvation
Visa att y = 10 e 2 x är en lösning till differentialekvationen y ′ − 2 y = 0
Differential- och integralkalkyl
Derivera
f ( x) − f (a)
a)
f (cm.
h) −7,0
(a +och
Derivatans
definition
9.
En triangel
har sidornaf ′5,0
6,0f cm
= lim
= lim
(a ) cm,
2x
h →0
x→a
x−a
h
y =triangelns
10 · e största vinkel.
Beräkna
Använd FORMELSAMLINGEN. Där finns:
(2/0)
(2/0)
10.
Vatten rinner med jämn
hastighet ner i en från början
tom behållare.
Funktion
Derivata
Derivator
Nedanstående figur visar med vilken hastighet, y cm/s, vattennivån stiger i
behållaren.
x n där n är ett reellt tal
nx n −1
ax ( a > 0 )
a x ln a
ln x ( x > 0 )
1
x
ex
ex
e kx
k ⋅ e kx
1
x
−
1
2
x
Derivatan blir:
d
y 0 = 10 ·
e2x = 10 · 2 · e2x = 2 · 10
· e2x
cos
} =x2 · y
| {z
dx sin x
y
Differentialekvationens vänsterled
cos x blir noll.
− sin x
0
y − 2y = 2 · y − 2y
a)
Hur lång tid tar det innan vattnet slutar rinna?
y = 10 e2x är alltså en lösning till differentialekvationen. 2
1
1 + tan x =
tan x
b)
Hur högt når vattennivån?
cos 2 x
(1/0)
c)
Rita en skiss som
f (visar
x ) + ghur
( x )behållaren kan sef ut.
′(x) + g ′(x)
Svar Se ovan.
(0/1)
Kedjeregeln
c G Robertsson
f ( x) ⋅ g ( x)
f ( x) ⋅ g ′( x) + f ′( x) ⋅ g ( x)
f ( x)
g ( x)
f ′( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g ′( x)
( g ( x ) ≠ 0)
(2/0)
( g ( x)) 2
Om y =buggar
f ( z )⇒och
z = g ( x) är två deriverbara funktioner
[email protected]
så gäller för y = f ( g ( x )) att
dy dy dz
= ⋅
y ′ = f ′( g ( x )) ⋅ g ′( x ) eller
dx dz dx
2015-04-27
DEL II
a
sin
v
=
Denna del består av 8 uppgifter
och är avsedd att genomföras med miniräknare.
c
Observera att arbetet med bDel II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
cos v =
c
vux
JENSEN
utbildningtan v = a NpMaD vt2002 för Ma4
b
8.
Visa att y = 10 e 2 x är en lösning till differentialekvationen y ′ − 2 y = 0
Definitioner
Del II # 9
9.
Enhetscirkeln
(2/0)
24(45)
(2/0)
Största vinkeln
sin v = y
En triangel har sidorna 5,0 cm, 6,0 cm och 7,0 cm.
Beräkna triangelns
cos vstörsta
= x vinkel.
(2/0)
y
tan v =
Använd cosinussatsen. Den finns
i FORMELSAMLINGEN.
x
10. Vatten rinner med jämn hastighet ner i en från början tom behållare.
Nedanstående figur visar med vilken hastighet, y cm/s, vattennivån stiger i
sin A sin B sin C
behållaren.
=
=
Sinussatsen
a
b
c
Cosinussatsen
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
Areasatsen
T=
ab sin C
2
Trigonometriska
formler
sin 2 v + cos 2 v = 1
Största vinkeln är mitt emot längsta sidan. Cosinussatsen ger:
sin(v + u ) = sin v cos u + cos v sin u
2
2
7,0 = 6,0 + 5,02 − 2 · 6,0 · 5,0 · cos A
u −25cos
sin u 12
) = 2sin v cos
6,02 +sin(
5,0v2 −−u7,0
36 +
−v49
1
cos A =
=
=
= = 0,2
2 · cos(
6,0 ·v 5,0
5
+ u ) = cos v cos u 60
− sin v sin u 60
−1
◦
A = cos (0,2) = 1,37 rad = 78
cos(v är
− u1,37
) = cos
v cos u + alternativt
sin v sin u 78◦ .
Svar Den största vinkeln
radianer
a)
sintar
2v det
= 2 innan
sin v cos
v
Hur lång tid
vattnet
slutar rinna?
(1/0)
b)
cos 2 v − sin 2 v (1)
Hur högt når vattennivån?

2
v
cos
2
(2) kan se ut.
=
−1
 2 cos
Rita en skiss som visar
hurvbehållaren

2
(3)
1 − 2 sin v
(2/0)
c)
a sin x + b cos x = c sin( x + v ) där c = a 2 + b 2 och tan v =
Cirkelns
ekvation
b
a
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2
13-01-24
c G Robertsson
(0/1)
© Skolverket
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-27
Visa att y = 10 e 2 x är en lösning till differentialekvationen y ′ − 2 y = 0
8.
JENSENvuxutbildning
NpMaD vt2002 för Ma4
9.
En triangel har sidorna 5,0 cm, 6,0 cm och 7,0 cm.
Beräkna triangelns största vinkel.
Del II # 10
10.
a)
(3/1)
(2/0)
25(45)
(2/0)
Vatten rinner
Vatten rinner med jämn hastighet ner i en från början tom behållare.
Nedanstående figur visar med vilken hastighet, y cm/s, vattennivån stiger i
behållaren.
a)
Hur lång tid tar det innan vattnet slutar rinna?
(1/0)
b)
Hur högt når vattennivån?
(2/0)
c)
Rita en skiss som visar hur behållaren kan se ut.
(0/1)
Efter 62 sekunder slutar nivån att stiga enligt figuren.
Svar a.)
62 sekunder.
Kommentar: I uppgiften står det Vatten rinner med jämn hastighet. Då kan vattnet
inte sluta rinna eftersom hastigheten ska vara jämn. Nivån i behållaren kan inte vara
högre än behållaren (39,75 cm enligt deluppgift b). Problemet borde vara annorlunda
formulerat, exempelvis: Efter hur lång tid slutar nivån att stiga.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-27
JENSENvuxutbildning
Deluppgift b)
NpMaD vt2002 för Ma4
26(45)
Vattennivån h är
x
Z
h(x) =
y(x) dx
0
där y(x) är givenZav grafen i uppgiften.
Vi ska Zberäkna högsta nivån h(62).
Z 55
62
62
y(x) dx =
y(x) dx +
y(x) dx =
h(62) =
55
0
0
= 0,5 · (55 − 0) + 1,75 · (62 − 55) = 39,75
|
{z
} |
{z
}
0,5 · 55=27,5
Svar b)
1,75 · 7=12,25
Nivån når 39,75 cm.
Deluppgift c)
Figuren visar hur behållaren kan se ut. Dessutom visas nivåändring
och nivå som funktion av tid.
cm
cm/s
39,75
39,75
27,5
27,50
1,75
0,50
0,00
0
55 62
s
0,0
0
55 62
s
0
55 62
Behållaren kan naturligtvis se ut på många olika sätt.
39,75
27,50
0
Svar c)
55 62
Se figur ovan.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-27
JENSENvuxutbildning
Del II # 11
NpMaD vt2002 för Ma4
(2/1)
27(45)
Flaggstång
NpMaD vt 2002
11.
7(8)
Trigonometri
Definitioner
a
c
b
cos v =
Över dörren till en butik
c sitter en flaggstång. Den hålls upp av ett stag med
längden 1,0 m. Butiksägaren
ska flytta stagets väggfäste så att flaggstången
a
v =° med väggen. Väggfästet placeras rakt ovanför punkten P.
= 30
bildar vinkeln vtan
b
Bestäm avståndet mellan P och väggfästets nya läge.
Enhetscirkeln
sin v =
sin v = y
12. Kurvorna y = e 0,2 x och y = x 2 innesluter tillsammans med y-axeln ett område
Lösningi första
1, cosinussatsen
cos vTeckna
=x
kvadranten.
integralen för områdets area samt bestäm denna area
med minst tre värdesiffror.
y
tan v = där finns cosiussatsen som lyder
Använd FORMELSAMLINGEN
x
2
Visa att 1sin
+ cos
x =B2 cossin
2Cx
A 4sin
=
=
Sinussatsen
a
b
c
b)
Beräkna det exakta värdet av integralen
Cosinussatsen
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
13.
a)
(2/1)
(0/3)
(0/1)
π
8
∫
Areasatsen 2 cos
2
0
Trigonometriska
formler
c G Robertsson
2Tx d=x
ab sin C
2
(0/2)
sin 2 v + cos 2 v = 1
sin(v + u ) = sin v cos u + cos v sin u
buggar ⇒ [email protected]
sin(v − u ) = sin v cos u − cos v sin u
cos(v + u ) = cos v cos u − sin v sin u
cos(v − u ) = cos v cos u + sin v sin u
2015-04-27
JENSENvuxutbildning
NpMaD vt2002 för Ma4
28(45)
Kalla det sökta avståndet för x. Cosinussatsen ger då
30}◦
1,02 = 1,22 +x2 − 2 · 1,2 · x · cos
| {z
|{z}
√
3
2
1,44
√
0 = x2 − 1,2 · 3 · x + 0,44.
pq-formeln ger
p
√
x1,2 = 0,6 · 3 ± 0,62 · 3 − 0,44 = 1,04 ± 0,8
x1 = 1,84
x2 = 0,24
Svar Avståndet ska vara 1,84 eller 0,24 meter.
7(8)
Lösning 2, sinussatsen
Inför beteckningar enligt figuren.
Trigonometri
Definitioner
B
a
c
b
cos v =
c
a
tan v =
b
sin v =
p = 1,0
a
Enhetscirkeln
A
b = 1,2
sin v = y
cos v = x
P
Använd FORMELSAMLINGEN
y där finns sinussatsen som lyder
tan v =
x
Sinussatsen
sin A sin B sin C
=
=
a
b
c
Cosinussatsen
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
Areasatsen
T=
Trigonometriska
formler
ab sin C
2
sin 2 v + cos 2 v = 1
sin(v + u ) = sin v cos u + cos v sin u
c G Robertsson
⇒ [email protected]
u − cos v sin u
sin(v − u ) =buggar
sin v cos
cos(v + u ) = cos v cos u − sin v sin u
cos(v − u ) = cos v cos u + sin v sin u
sin 2v = 2 sin v cos v
2015-04-27
JENSENvuxutbildning
NpMaD vt2002 för Ma4
29(45)
7(8)
Sinussatsen ger
Trigonometri
sin 30◦
sin B
=
1,0
Definitioner
1,2
a
sin 30 = 0,5 sin v =
c
sin B = 0,6.
b
◦
cos v =
c
a
tan v =
Använd FORMELSAMLINGEN
b
Enhetscirkeln
sin v = y
cos v = x
tan v =
y
x
sin A
sin B
sin C
=
=
RitaSinussatsen
alltid enhetscirkel när
med sin, cos eller tan.
a du har
b ekvationer
c
Cosinussatsen
Areasatsen
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
Lösning 2ab sin Cy = 0,6
Trigonometriska
formler
T=
Lösning 1
2
sin 2 v + cos 2 v = 1
sin(v + u ) = sin v cos u + cos v sin u
sin(v − u ) = sin v cos u − cos v sin u
Ekvationen sin B = 0,6cos(
harv två
oändligt med n · 360◦ )
+ u ) olika
= cos vlösningar
cos u − sin(egentligen
v sin u
◦
B1 = 36,9
cos(v − u ) = cos v cos u + sin v sin u
B2 = 180 − 36,9◦
sin 2v = 2 sin v cos v
Vi får nu
A1 = 180◦ − 30◦ − 36,9◦ = 113,1◦
2
◦ 2 v (1)
v − sin
A2 = 180◦ − 30◦cos
− (180
− 36,9◦ ) = 6,9◦

cos 2v =  2 cos 2 v − 1
(2)
Sinussatsen ger

2
(3)
1 − 2 sin v
a sin x + b cos x = c sin( x + v ) där c = a 2 + b 2 och tan v =
c G Robertsson
Cirkelns
ekvation
13-01-24
buggar ⇒ [email protected]
b
a
2015-04-27
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2
© Skolverket
JENSENvuxutbildning
NpMaD vt2002 för Ma4
30(45)
sin 113, 1◦
sin 30◦
=
a1
1,0
sin 30◦
sin 6, 9◦
=
a2
1,0
och
sin 113,1◦
0,920
= 1,84
=
sin 30◦
0,500
sin 6,9◦
0,120
= 0,24
=
=
◦
sin 30
0,500
a1 =
a2
Svar Avståndet ska vara 1,84 eller 0,24 meter.
Kommentar
Så här ser lösningarna ut.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-27
Över dörren till en butik sitter en flaggstång. Den hålls upp av ett stag med
längden 1,0 m. Butiksägaren ska flytta stagets väggfäste så att flaggstången
väggen. Väggfästet
vinkeln v = 30° medNpMaD
vuxutbildning
JENSENbildar
vt2002 förplaceras
Ma4 rakt ovanför punkten P. 31(45)
Bestäm avståndet mellan P och väggfästets nya läge.
(2/1)
Del II # 12
12.
(0/3)
Teckna integral samt bestäm area
Kurvorna y = e 0,2 x och y = x 2 innesluter tillsammans med y-axeln ett område
i första kvadranten. Teckna integralen för områdets area samt bestäm denna area
med minst tre värdesiffror.
(0/3)
Gör en enkel skiss över området med hjälp av grafritande miniräknare eller för hand.
13.
2
a)
Visa att 1 + cos 4 x = 2 cos 2 2 x
b)
x2 exakta värdet av integralen
Beräkna det
π
1.5
e0.2x
8
∫ 2 cos
1
(0/1)
2
2 x dx
(0/2)
0
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
Vi ska integrera funktionen f (x) = e0,2 x − x2 från x = 0 till x = xA där xA är
skärningspunkten mellan de två linjerna. Integralen blir
Z
xA
A =
0,2 x
[e
0
e0,2 x x3
− x ] dx =
−
0,2
3
2
x A
.
0
För att bestämma xA måste vi lösa ekvationen
0 = e0,2 xA − x2A .
Denna ekvation måste lösas numeriskt.
Kommandon till Texas-räknare
Y=
mata in funktion(er)
GRAPH
rita graf
WINDOW
välj fönster, standard är
Xmin = −10, Xmax = 10, Ymin = −10, Ymax = 10
i detta problem är det lämpligare med
Xmin = 0, Xmax = 2, Ymin = 0, Ymax = 2
TRACE
ger cursorns x− och y−koordinat på kurva
2ND CALC
välj intersect i denna uppgift för att bestämma skärningspunkt
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-27
JENSENvuxutbildning
NpMaD vt2002 för Ma4
32(45)
Den numeriska lösningen blir
xA = 1,11833
dessa siffror framräknade med programmet MATLAB
Integralen blir
0,2 x
1,11833
e
x3
0
e0,2·1,1183 1,11833
e0
A =
−
+
= 0,78705
=
−
−
0,2
3 0
0, 2
3
0,
2
3
| {z } | {z } |{z} |{z}
6,2533
0,46622
0
5
Svar Integralen är 0,787.
Den äldre kursen MaD
6(7)
I den äldre kursen MaD ingick numeriska metoder. Newton-Raphsons metod är en metod
att NUMERISKA
bestämma rötter
till ekvationer. Den finns i FORMELSAMLINGEN som hör till MaD.
METODER
Ekvationslösning
Newton-Raphsons iterationsformel: x n +1 = x n −
Integraler
Intervallet a0 ≤ x ≤ an delas in i n delintervall.
f ( xn )
f ′( x n )
f (x) = e0,2 xMittpunkten
− x2
i varje delintervall betecknas x1 , x2 , ... , xn
a
0
0,2 x
f (x) = 0,2 · e
−2·x
a − a0
( f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xn ) )
Rektangelmetoden: ∫ f ( x)dx = n
n
Gör en tabell och iterera några steg. aTag startvärdet
x1 = 1. Andra startvärden fungerar
a
säkert också.
an − a0
n
0
n
Trapetsmetoden:
n
xn
1 1,00000
2 1,12610
3 1,11836
TRIGONOMETRI
4 1,11833
Definitioner
∫ f ( x)dx =
( f (a0 ) + 2 f (a1 ) + 2 f (a2 ) + ... + 2 f (an−1 ) + f (an ))
0
n −f (x )/f 0 (x ) x
af (xn )
f (xn )
d2=
n
n
n+1 = xn + d
0,22140 -1,75572
0,12610
1,12610
-0,01551 -2,00169
-0,00775
1,11836
-0,00006 -1,98658
-0,00003
1,11833
-0,00000 -1,98652
-0,00000
1,11833
0
ABC är en rätvinklig triangel.
Newton-Rapsons metod konvergerar snabbt med lösningen
xA = 1,11833
a ⎛ motstående katet ⎞
sin A =
cos A =
c
b
⎟
hypotenusan ⎟⎠
⎛ närliggande katet ⎞
⎟⎟
⎜⎜
⎝ hypotenusan ⎠
tan A =
a
c
⎛ motstående katet ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ närliggande katet ⎠
b
⎜⎜
⎝
OP är radie i en enhetscirkel.
Koordinaterna för P är ( x1 , y1 )
sin v = y1
c G Robertsson
cos v = x1
tan v =
y1
x1
sin A
sin B
b
A
a
c
B
y
P(x1,y1)
buggar ⇒ [email protected]
sin C
C
v
o
2015-04-27
x
Bestäm avståndet mellan P och väggfästets nya läge.
(2/1)
a
sin v =
c
b
cos v =
2
12. Kurvorna y = e 0,2 x och
c y = x innesluter tillsammans med y-axeln ett område
första
kvadranten. Teckna
integralenvt2002
för områdets
area samt bestäm denna area 33(45)
a NpMaD
JENSENivux
utbildning
för Ma4
tan v =
med minst tre värdesiffror.
(0/3)
b
Definitioner
Del II # 13
13.
(0/3)
Enhetscirkeln
Visa och beräkna
a)
2
Visa att sin
1 + vcos
= 4y x = 2 cos 2 x
b)
Beräkna det
cos exakta
v = x värdet av integralen
π
8
∫
(0/1)
y
tan v =
x
2 cos 2 2 x dx
(0/2)
0
Sinussatsen
sin A sin B sin C
=
=
a
b
c
Cosinussatsen
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
a) Visa att . . . (variant 1)
(0/1)
ab sin C
Använd
FORMELSAMLINGEN.
Den formel vi ska visa “finns” i FORMELSAMLINGEN.
T=
Areasatsen
2
Trigonometriska
formler
sin 2 v + cos 2 v = 1
sin(v + u ) = sin v cos u + cos v sin u
sin(v − u ) = sin v cos u − cos v sin u
cos(v + u ) = cos v cos u − sin v sin u
cos(v − u ) = cos v cos u + sin v sin u
sin 2v = 2 sin v cos v
cos 2 v − sin 2 v (1)

cos 2v =  2 cos 2 v − 1
(2)

2
(3)
1 − 2 sin v
a sin x + b cos x = c sin( x + v ) där c = a 2 + b 2 och tan v =
b
a
Cirkelns
ekvation
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2
Substituera ν mot 2x och flytta −1 i formeln
cos 2ν = 2 cos2 α − 1
från13-01-24
högerled till vänsterled. Vi får då
1 + cos 4x = 2 cos2 2x.
Vilket skulle visas.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
© Skolverket
2015-04-27
JENSENvuxutbildning
NpMaD vt2002 för Ma4
34(45)
a) Visa att . . . (variant 2)
(0/1)
Rita en enhetscirkeln och inför beteckningar enligt följande.
C
B
α
α
O
D
A
Enligt definition av enhetscirkeln är
|OA| = 1
|OC| = 1
Enligt definition av cosinus (se FORMELSAMLINGEN) så gäller att
cos 2α = |OD| = 1 − |DA|
Betrakta den rätvinkliga triangeln OAB. Där gäller
π
6 OAB =
−α
2
I den rätvinkliga triangeln ACD gäller att
6 ACD = α
|AC| = |AB| + |BC| = 2 sin α
| {z } | {z }
sin α
sin α
Beräkna längden av DA
|DA| = |AC| · sin α = 2 · sin2 α
| {z }
2 sin α
vilket ger
2
2
cos 2α = |OD| = 1 − 2 · sin
| {z α} = 2 · cos α − 1.
| {z }
2
1−|DA|
1−cos α
Flytta −1 till vänsterledet och substituera α mot 2x.
1 + cos 4x = 2 · cos2 2x
vilket är den efterfrågade identiteten.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-27
JENSENvuxutbildning
NpMaD vt2002 för Ma4
35(45)
b) Beräkna integralen
(0/2)
Beräkna integralen
Z π/8
2 cos2 2x dx
0
Använd substitutionen
2 cos2 2x = 1 + cos 4x.
Integralen blir
Z π/8
(1 + cos 4x) dx
4(8) 0
Använd FORMELSAMLINGEN, där finns
Primitiva
funktioner
Funktion
Primitiv funktion
k
kx + C
x n ( n ≠ −1)
x n +1
+C
n +1
1
x
ln x + C
ex
ex + C
e kx
e kx
+C
k
a x ( a > 0, a ≠ 1)
ax
+C
ln a
sin x
− cos x + C
cos x
sin x + C
( x > 0)
Integralen blir
π/8
Z π/8
Komplexa
tal
sin 4x
π sin π2
π 1
(1 + cos 4x) dx = (x +
)
= +
−0−0= +
4
8
4
8 4
0
0
z = x + iyπ= rei1v = r (cos v + i sin v) där i 2 = −1
Den bestämda integralen blir + .
8 4
Representation
Svar
c GArgument
Robertsson
Absolutbelopp
y
tan v =
argbuggar
z = v ⇒ [email protected]
x
z = r = x2 + y2
2015-04-27
JENSENvuxutbildning
Del II # 14
14.
NpMaD vt2002 för Ma4
36(45)
(0/6/⊗) NpMaD
Envt skidbacke
2002
En skidbacke har fallhöjden 500 meter. Banprofilen ser du i bilden nedan.
Höjden y km är en funktion av sträckan x km.
Sambandet mellan y och x ges av
y = 0,5e − x
a)
2
,
0 ≤ x ≤ 2,5
Bestäm backens lutning för x = 0,8
(0/2)
Ett allmänt sätt att beskriva backar med liknande banprofil som ovan
ges av funktionen
2
y = 0,5e −ax , 0 ≤ x ≤ 2,5
där a är en positiv konstant.
b)
c)
Ställ upp en ekvation för bestämning av x-värdet i den punkt där
backar med en sådan banprofil är brantast.
Bestäm a så att backen är brantast för x = 1,0
Deluppgift a.)
Derivera:
(0/3/¤)
(0/1)
Att bestämma lutningen för x = 0,8 betyder att beräkna y 0 (0,8).
2
y(x) = 0, 5 e−x .
Vi får:
2
y 0 (x) = 0,5 · (−2x) e−x = −x e−x
2
och
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-27
JENSENvuxutbildning
NpMaD vt2002 för Ma4
37(45)
y 0 (0,8) = −0,8 e−0,64 = −0,42
Svar a.) Den sökta lutningen är y 0 (0,8) = −0,42
Deluppgift b.) Derivera
2
y(x) = 0,5 e−ax .
Vi får:
2
2
y 0 (x) = 0,5 · (−2ax) e−ax = −ax e−ax
som beskriver lutningen som funktion av x. För att finna maximal lutning deriverar vi
y 0 (x) och får:
2
2
2
2
y 00 (x) = −a e−ax + [−ax (−2ax)e−ax ] = −a e−ax + 2a2 x2 e−ax
2
= [2ax2 − 1]a |e−ax
{z } .
>0
Sätt denna derivata till noll för att finna extremvärden. Vi får
0 = 2ar
· x2 − 1
1
x1,2 = ±
2a
q
1
eftersom 0 ≤ x ≤ 2,5 enligt uppgiften.
Vi väljer den positiva roten x1 = 2a
Svar b.) Ekvationen för att bestämma x-värdet där backen är brantast är
2ax2 − 1 = 0.
Deluppgift c.) För att få maximal lutning då x = 1,0 ska följande gälla
0 = 2a · 1,02 − 1
alltså
a = 0,5
Svar c.) Med a = 0,5 får backen maximal lutning för x = 1,0.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-27
NpMaD vt 2002
Vid bedömningen av ditt arbete med uppgift nummer 15 kommer läraren att
•
ta extra hänsyn till:
JENSENvuxutbildning
NpMaD vt2002 för Ma4
38(45)
• hur väl du redovisar ditt arbete
• om du gjort korrekta beräkningar
generell lösningTon
du lyckas
komma
Del II• #hur15långt mot en(2/4/⊗)
och
övertoner
• hur väl du använder det matematiska språket
Uppgiften
består
av motiverar
3 figurer dina
och resultat
4 olika delfrågor
• hur
väl du
15.
En ton låter olika då den spelas på orgel eller fiol. Detta beror på att klangen är
sammansatt av en grundton och flera så kallade övertoner. Övertonerna kan vara
olika starka och det är detta som ger instrumentets klangfärg.
Övertonernas perioder förhåller sig på ett enkelt sätt till grundtonen. Om vi väljer
en fiolsträng som exempel så kan den ge en ton som beskrivs med en summa av
termer a1 sin x + a2 sin 2 x + a3 sin 3x + ....... .
a1 sin x motsvarar grundtonen och sedan följer 1:a övertonen, 2:a övertonen osv.
• Figur 1 visar graferna till de funktioner som beskriver en
grundton ( y = a sin x) ,dess tredje överton ( y = b sin 4 x) samt den
ton som fås av dessa tillsammans ( y = a sin x + b sin 4 x) .
Bestäm konstanterna a och b.
Figur 1
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-27
JENSENvuxutbildning
NpMaD vt2002 för Ma4
39(45)
NpMaD vt 2002
• Figur 2 visar grafen till funktionen y = 10 sin x + c sin 2 x
Funktionen beskriver en ton som består av en grundton och dess första
överton.
Bestäm konstanten c.
Figur 2
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-27
JENSENvuxutbildning
NpMaD vt2002 för Ma4
40(45)
NpMaD vt 2002
• Figur 3 visar graferna till de funktioner som beskriver en grundton
y = 12 sin x , samt den ton y = 12 sin x + d sin kx som fås av grundtonen
tillsammans med en överton.
Bestäm konstanterna d och k.
Figur 3
• Antag att du har en figur som visar graferna till funktionerna y = p sin x
och y = p sin x + q sin nx , där n är ett heltal större än två.
Beskriv en generell metod för hur man kan bestämma konstanterna p, q
och n med hjälp av graferna.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
(2/4/¤)
2015-04-27
JENSENvuxutbildning
NpMaD vt2002 för Ma4
41(45)
Delfråga 1
Figuren visar graferna till de funktioner som beskriver grundtonen (y = a sin x
streckad ) tredje övertonen (y = b sin 4x
punkstreckad)
samt den ton som fås av dessa tillsammans (y = a sin x + b sin 4x).
Bestäm konstanterna a och b.
12
8
max
4
max
max
max
0
0◦
90◦
180◦
270◦
360◦
-4
-8
-12
Grundtonens period är 360◦ och tonens första maximum är vid 90◦ . Tredje övertonens
◦
period är 360
= 90◦ . Grundtonens amplitud a = 10 och övertonens amplitud b = 4.
4
Svar delfråga 1
c G Robertsson
a = 10 och b = 4.
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-27
JENSENvuxutbildning
NpMaD vt2002 för Ma4
42(45)
Delfråga 2
Figuren visar grafen till funktionen y = 10 sin x + c sin 2x. Funktionen beskriver en ton
som består av en grundton och dess första överton.
Bestäm konstanten c.
12
8
4
0
0◦
30◦ 60◦ 90◦ 120◦ 150◦ 180◦ 210◦ 240◦ 270◦ 300◦ 330◦ 360◦
-4
-8
-12
Parametern c i funktionen
y = 10 sin x + c sin 2x
ska bestämmas. För att bestämma en parameter behövs en ekvation och denna ekvation
kan fås genom att läsa av y i grafen för något x. Alla x utom de x där sin 2x = 0 duger,
x = 0◦ , x = 90◦ , x = 180◦ eller x = 270◦ fungerar alltså inte. Välj något x som fungerar
bra ur numerisk synpunkt, alltså som enkelt kan läsas av i grafen med god noggrannhet.
Punkterna (30◦ ; 9,3), (60◦ ; 13) och (120◦ ; 4,3) verkar OK. Det räcker med en punkt.
Att välja x = 1◦ fungerar ur matematisk synpunkt men inte från ett verkligt praktiskt
numeriskt perspektiv.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-27
JENSENvuxutbildning
NpMaD vt2002 för Ma4
43(45)
8(8)
I FORMELSAMLINGEN finns exakta värden för några olika vanliga vinklar.
Exakta
värden
Vinkel v
(grader)
0°
(radianer)
0
sin v
0
cos v
1
tan v
30°
π
6
1
2
45°
π
4
1
3
2
1
0
3
2
1
2
1
60°
π
3
3
2
1
2
90°
π
2
120°
2π
3
3
2
1
−
2
2
1
−
2
3 Ej def. − 3
−1
1
0
135°
3π
4
1
150°
5π
6
1
2
180°
3
2
1
−
3
−1
−
π
0
0
De tre olika punkterna från grafen ger ungefär samma svar på c.
Punkten (30◦ ; 9,3)
√
3
2
1
2
z }| {
z }| {
9,3 = 10 sin 30◦ + |{z}
c · sin 60◦ .
4,9652
◦
Punkten (60 ; 13) ger
√
√
3
2
3
2
z }| {
z }|
{
◦
13,0 = 10 sin 60 + |{z}
c · sin 120◦ .
5,0111
◦
Punkten (120 ; 4,3) ger
√
√
− 3
2
3
2
z }| {
z }| {
4,3 = 10 sin 120◦ + |{z}
c · sin 240◦ .
5,0348
Det är svårt att få ett exakt svar.
Svar delfråga 2
c ≈ 5.
Kommentar Kontrollera gärna svaret genom att rita graferna med hjälp av en
grafritande miniräknare.
c G Robertsson
13-01-24
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-27
© Skolverket
JENSENvuxutbildning
NpMaD vt2002 för Ma4
44(45)
Delfråga 3
Figuren visar graferna till de funktioner som beskriver en grundton y = 12 sin x, samt
den ton som fås av grundtonen tillsammans med en överton, y = 12 sin x + d sin kx.
Bestäm parametrarna d och k i funktionen.
12
max
8
max
min
4
0
0◦
90◦
180◦
360◦
270◦
-4
max
-8
-12
min
min
Grundtonen, y = 12 sin x, är ritad med en streckad linje. Den sammansatta tonen,
y = 12 sin x + d sin k x, är ritad med en heldragen linje.
Grundtonens teckenväxling är +− i intervallet i intervallet 0◦ till 360◦ , perioden är 360◦ .
Funktionen
d sin k x = y − 12 sin x
har teckenväxlingen + − + − +− i intervallet 0◦ till 360◦ vilket betyder att k = 3.
Återstår att bestämma d i y = 12 sin x + d sin k x. Detta kan ske med samma strategi
som i deluppgift 2.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-27
JENSENvuxutbildning
NpMaD vt2002 för Ma4
45(45)
Punkten (90◦ ; 8) är lämplig.
sin 270◦ =−1
sin 90◦ =1
z }| {
z }| {
8 = 12 sin 90◦ + |{z}
c · sin(3 · 90◦ ) .
c=4
Svar delfråga 2
d = 4.
Kommentar Kontrollera gärna svaret genom att rita graferna med hjälp av en
grafritande miniräknare.
Delfråga 4
Antag att du har en figur som visar graferna till funktionerna y = p sin x och
y = p sin x + q sin nx , där n är ett heltal större än två. Beskriv en generell metod för hur
man kan bestämma konstanterna p, q och n med hjälp av graferna.
Börja med att bestämma teckenväxlingarna hos
q sin n x = y − p sin x
på intervallet 0◦ till 360◦ . Antalet par +− ger parametern n. För att bestämma de två
återstående parametrarna p och q behövs två obeoende ekvationer. Välj två lämpliga
punkter ur grafen och lös ekvationssystemet. Med lämpliga punkter menas att
ekvationssystemet ska ge en lösning med god numerisk noggrannhet.
Svar
• Delfråga 1
a = 10 och b = 4.
• Delfråga 2
c = 5.
• Delfråga 3
d = 4 och k = 3
• Delfråga 4
Se ovan.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-27