1. Bestäm avst˚andet mellan planen π1 : x - 3y

MÄLARDALENS HÖGSKOLA
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Avdelningen för tillämpad matematik
Examinator: Lars-Göran Larsson
TENTAMEN I MATEMATIK
MAA123 Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt. TEN4
Datum: 17 augusti 2015
Skrivtid: 3 timmar
Hjälpmedel: Inga
Detta prov är avsett för examinationsmomentet TEN6 eller alternativt (det äldre) TEN4. Provet består av fem stycken om
varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 4 poäng. För godkänd-betygen 3, 4, och 5 krävs
erhållna poängsummor om minst 9, 13 respektive 17 poäng. Om den erhållna poängen benämns Sb , och den vid tentamen
TEN5/TEN3 erhållna Sa , bestäms graden av sammanfattningsbetyg på en slutförd kurs enligt
Sa ≥ 11, Sb ≥ 9
Sa ≥ 11, Sb ≥ 9
och
Sa + 2Sb ≤ 41
→
42 ≤ Sa + 2Sb ≤ 53
→
4
Sa + 2Sb ≥ 54
→
5
och
3
Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade
i den ordning som uppgifterna är givna i.
1.
Bestäm avståndet mellan planen
π1 : x − 3y − 4z + 5 = 0 och π2 : (x, y, z) = (r − 2s, 3r − 2s, −2r + s).
Ekvationerna för planen är givna i ett HON-system.
2.
Lös ekvationen
|z − i| =
√
2 |z + 1|
och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.
3.
Bestäm en ekvation för den linje λ som innehåller skärningspunkten mellan
linjerna
(
λ1 : (x, y, z) = (−3 + 2t, −5 + 4t, 1 − 3t),
λ2 : (x, y, z) = (−2 + t, 9 − 2t, −2 − t),
och som är vinkelrät mot var och en av dem. (HON-system)
4.
Bestäm de matriser X som löser ekvationen




2
0
3
1 3
 0 −1
1  X = 2 2  .
−1
0 −1
3 1
5.
Vektorerna e1 , e2 , e3 utgör en bas. Bestäm de värden på β som innebär att de
två vektorerna
3e1 + (β + 2)e2 + (β − 1)e3
och
βe1 + e2 + (1 − β)e3
är parallella. Ange även i respektive fall av parallellitet explicit den relation
som råder mellan vektorerna.
MÄLARDALENS HÖGSKOLA
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Avdelningen för tillämpad matematik
Examinator: Lars-Göran Larsson
1.
2.
TENTAMEN I MATEMATIK
MAA123 Grundläggande vektoralgebra
BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN
Läsår: 2014/15
Tentamen TEN6 / TEN4 – 2015-08-17
POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifter
Avstånd ( 1 ,  2 ) 
1p: Korrekt, på ett eller annat sätt, konstaterat (visat) att de
två planen är parallella, och utifrån detta korrekt insett att
avståndet dem emellan är detsamma som avståndet
mellan det ena planet och en godtycklig punkt i det andra
1p: Korrekt bestämt en vektor u som kan representeras av
den riktade sträckan P1 P2 där P1 är en punkt i planet  1
och P2 är en punkt i planet  2 , samt korrekt bestämt ett
uttryck för den ortogonala projektionen av u på en
normalvektor n till planen (allt i syfte att kunna
bestämma avståndet mellan planen)
1p: Korrekt beräknat den ortogonala projektionen av u på n
1p: Korrekt beräknat det sökta avståndet som längden av den
ortogonala projektionen av u på n
5
26
l.e
z  2  i  2 , dvs en cirkel med
medelpunkten  2  i och radien 2
1p: Korrekt ansatt z som x  iy , där x, y  R , och sedan
korrekt tolkat ekvationen som ekvivalent med ekvationen
x 2  ( y  1) 2  2 ( x  1) 2  y 2
1p: Korrekt omskrivit ekvationen till en mer tolkningsbar
form, dvs till ( x  2) 2  ( y  1) 2  2 2  z  2  i  2
1p: Korrekt deltolkat ekvationen som en cirkel med radien 2
1p: Korrekt deltolkat ekvationen som att cirkeln har medelpunkten  2  i , samt korrekt i det komplexa talplanet
skissat cirkeln
3.
 : ( x, y, z)  (1, 3,  5)  t (10 ,1, 8)
tR
2p: Korrekt bestämt koordinaterna för skärningspunkten
mellan 1 och  2
1p: Korrekt från ekvationerna för de två linjerna tolkat vad
som är vektorer parallella med linjerna, samt korrekt
utifrån valda vektorer bestämt en vektor v som är
vinkelrät mot både 1 och  2
1p: Korrekt formulerat en ekvation för linjen 
1 (2)
4.
  10  6 


3
 5
 7
5 

Scenario 1
1p: Korrekt visat att matrisen A i den givna ekvationen
AX  B är inverterbar, och korrekt utifrån detta dragit
slutsatsen att matrisroten X är entydig
1p: Korrekt bestämt inversen till matrisen A
1p: Korrekt bestämt uttrycket för matrisroten X till A 1 B
1p: Korrekt beräknat matrisroten A 1 B
Scenario 2
1p: Korrekt noterat att varje matrisrot X till ekvationen är av
typ 3 2 , korrekt ansatt elementen i en sådan matrisrot,
och korrekt initierat ett lösningsförfarande med en utökad
koefficientmatris på formen ( A | B) (här skrivet som en
blockmatris)
3p: Korrekt löst ekvationen genom att genomföra de Gausseliminationer som kan sammanfattas enligt
(A | B) ~  ~ ( I | A 1B) , och sedan korrekt tolkat den
högra delen av blockmatrisen som den enda rot X som
ekvationen har
5.
Vektorerna är parallella om
(  3)  (  1)
Om   3 så är u   v och om
  1 så är u  3 v , där u och v är den
första respektive den andra av de två
givna vektorerna
1p: Korrekt formulerat en testekvation u  k v för
huruvida de två givna vektorerna är parallella, och sedan
korrekt utifrån att vektorerna e1 , e 2 , e 3 utgör en bas och
därmed är linjärt oberoende dragit slutsatsen att alla de tre
koefficienterna i en sortering m.a.p. e1 , e 2 , e 3 måste vara
lika med noll
2p: Korrekt från det uppkomna ekvationssystemet dragit slutsatsen att om och endast om   3 eller   1 så är den
första vektorn parallell med den andra
1p: Korrekt i de två fallen sammanfattat relationerna mellan
vektorerna
2 (2)