Algebra og tallforståelse –
fagdidaktiske spørsmål
En innledning til gruppediskusjon
Seminar for tilbydere av videreutdanning i matematikk
Utdanningsdirektoratet
Inger Christin Borge
Universitetet i Oslo
14. april 2015
Bakgrunn
«Norske elever er spesielt svake på oppgaver
som er knyttet til det å bruke matematisk
formalkompetanse som tall, aritmetikk og
algebra.» (NOU 2014: 7, s. 50)
(Grønmo, Onstad, Nilsen, Hole, Aslaksen & Borge, 2012)
Tall
Prestasjoner på
emneområder i
matematikk på 4. trinn i
TIMSS 2011 – noen
utvalgte land (ibid.).
Algebra
Prestasjoner på
emneområder i
matematikk på 8. trinn i
TIMSS 2011 – noen
utvalgte land
(ibid.).
Oppgave i Tall (TIMSS 2011),
middels nivå 8. trinn
Norge
36
Finland
72
Sverige
53
Australia
71
Italia
65
Japan
87
Slovenia
76
Int.gj.snitt
65
Algebra, 8. trinn høyt nivå
Norge
Finland
Sverige
Australia
Italia
Japan
Slovenia
Int.gj.snitt
55
74
62
62
51
76
58
47
Undervisningskunnskap i matematikk
(Ball, Thames & Phelps, 2008)
• Fagkunnskap
- allmenn
- spesialisert
- horisontkunnskap
• Fagdidaktisk kunnskap
- faglig innhold og elever
- faglig innhold og undervisning
- læreplan
Eksempel (Lochhead & Mestre, 1988)
Skriv en likning ved hjelp av variablene S og P
som representerer påstanden:
«Ved dette universitetet er det seks ganger så
mange studenter som professorer.»
Bruk S for antall studenter og P for antall
professorer.
Utfordringer
•
•
•
•
Fra tekst til algebraisk språk
Misoppfatninger (tallregning, algebra)
Struktur og betydning av algebraiske uttrykk
Symbolmanipulasjon
Diagnostisk undervisning.
Progresjon og dybde
• Progresjon (av lat. skride frem), utvikling,
fremskritt.
- Utvikling av ferdigheter i forhold til et mål;
viktig å vite hvor elevene er, slik at undervisning kan
tilpasses.
• Dybde («avstand til en overflate»); dyp
forståelse; internalisering.
- Krever tid, tålmodighet og modning; nytt
stoff kobles på og kan gi bedre forståelse av
gammelt stoff; se sammenhenger.
• Spiralprinsipp.
Elevers læring
• «Dybdelæring skaper vilkår for en god
progresjon i elevenes læringsarbeid.» (Sten
Ludvigsen, ppt Gardermoen sept. 2014)
• Dybdelæring øker muligheten for at elevene
kan bruke sin forståelse til problemløsing i nye
og ukjente sammenhenger (NRC 2000).
Dybdelæring (Learning knowledge deeply –
findings from cognitive science) (NOU 2014: 7; Sawyer 2006)
• Elevene relaterer nye ideer og begreper til tidligere
kunnskap og erfaringer.
• Elever organiserer egen kunnskap i begrepssystemer
som henger sammen.
• Elever ser mønstre og underliggende prinsipper.
• Elever vurderer nye ideer og knytter dem til
konklusjoner.
• Elever forstår hvordan kunnskap blir til gjennom dialog
og vurderer logikken i et argument kritisk.
• Elever reflekterer over sin egen forståelse og sin egen
læringsprosess.
Fra NOU 2014: 7 (jf. Sawyer, 2006)
• Dybdelæring handler om at elevene gradvis utvikler sin
forståelse av begreper og sammenhenger innenfor et
fagområde.
• Dybdelæring innebærer at elevene bruker sin evne til å
analysere, løse problemer og reflektere over egen læring til å
konstruere helhetlig og varig forståelse.
Undervisning
• «Prealgebra»
- variable størrelser
- parenteser
- regningsartenes prioritet
- hoderegning
- mønstre og regler
- ulike måter å finne svar
- likhetstegn
Rekkefølge?
Læreplan (LK06)
Eksempel: Kompetansemål i Tal og algebra:
Etter 7. trinn:
• stille opp og løyse enkle likningar og løyse opp og rekne med parentesar i addisjon,
subtraksjon og multiplikasjon av tal
Etter 10. trinn:
• løyse likningar og ulikskapar av første grad og
likningssystem med to ukjende og bruke dette til å løyse
praktiske og teoretiske problem
Etter 1P:
• forenkle fleirledda uttrykk og løyse likningar av første grad og enkle
potenslikningar
Etter 1T:
• omforme uttrykk og løyse likningar, ulikskapar og likningssystem av første og andre
grad og enkle likningar med eksponential- og logaritmefunksjonar, både ved
rekning og med digitale verktøy
Lærebøker
I TIMSS 2011 fikk lærerne spørsmål om de
bruker lærebok «som undervisningsgrunnlag»,
«som supplement» eller om de ikke bruker
lærebok.
• I matematikk på både 4. og 8. trinn svarer
over 90 % av lærerne at de bruker læreboka
som undervisningsgrunnlag. Det
internasjonale snittet her ligger rundt 75 %.
(Grønmo, Borge & Onstad, 2013)
Norge
Matematikk 4. trinn
Sverige
Naturfag 4. trinn
Int. gj.snitt
80
70
70
60
60
50
50
40
40
30
30
20
20
10
10
0
0
Matematikk 8. trinn
Norge
Naturfag 8. trinn
Sverige
Int. gj.snitt
Bruker ikke lærebok
80
Som supplement
90
Som undervisningsgrunnlag
90
Bruker ikke lærebok
100
Som supplement
100
Som undervisningsgrunnlag
Bruker ikke lærebok
Som supplement
Som undervisningsgrunnlag
Bruker ikke lærebok
Som supplement
Som undervisningsgrunnlag
Bruk av lærebøker: lærersvar TIMSS 2011
Eksempel (Grunntall 8-10)
8. trinn, kap. 10 (s. 289)
Likninger og ulikheter
9. trinn, kap. 3 (s. 77)
Likninger
10. trinn, kap. 3 (s. 107)
Likninger, ulikheter og
problemløsning
«Mål for det du skal lære: «Mål for det du skal lære: «Mål for det du skal lære:
• løse likninger ved å
• løse likninger ved å
• løse likninger uten
bruke flyttebruke flyttebrøkledd
bytteregelen,
bytteregelen,
• løse likninger med ett
multiplikasjonsregelen
multiplikasjonsregelen
eller flere brøkledd
og divisjonsregelen
og divisjonsregelen
• sette prøve på svaret i
• løse større likninger ved • løse større likninger ved
en likning
å bruke flere av reglene
å bruke flere av reglene • løse
i samme likning
i samme likning
andregradslikninger
• kontrollere om
• kontrollere om
• løse ulikheter
løsningen er riktig
løsningen er riktig
• bruke kreativitet og
• løse ulikheter»
• løse
fantasi for å løse
andregradslikninger»
problemer
• bruke en likning for å
løse problemer»
Åtte «high-leverage»
undervisningspraksiser i matematikk
(NCTM, 2014)
• Sette matematiske mål for å fokusere læringen
• Implementere oppgaver som fremmer resonnering og
problemløsning
• Bruke og se sammenhenger mellom ulike matematiske
representasjoner
• Legge til rette for meningsfylte matematiske diskusjoner
• Stille hensiktsmessige spørsmål
• Bygge flytende prosedyrekunnnskap fra begrepsforståelse
• Støtte elevenes produktive strev for å lære matematikk
• Få innsikt i elevenes forståelse og bruk denne
Eksempel (jf. Lee & Lee 2009)
Finn tre positive hele tall som følger etter
hverandre på tallinja slik at summen er 72.
Bruk hvilken metode du vil.
Noen spørsmål:
• Tall og algebra i Matematikk 1 og 2; hva og
hvordan?
• Hva bør være horisontkunnskap i tall og algebra
for de som underviser på 1-7? 8-10? 11-13?
• Gode undervisningspraksiser og eksempler på
varierte arbeidsmetoder i tall og algebra?
• Hvordan motivere algebra på ungdomstrinnet?
Referanser
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Bakke, I. N. & Bakke, B. Grunntall 8-10. Drammen: Elektronisk Undervisningsforlag.
Ball, D. L., Thames, M. H & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching: What makes it special?
Journal of Teacher Education 59, s. 389-407.
Grønmo, L. S., Onstad, T., Nilsen, T. , Hole, A., Aslaksen, H. & Borge, I. C. (2012). Framgang men langt fram.
Norske elevers prestasjoner i matematikk og naturfag i TIMSS 2011. Oslo: Akademika forlag.
Grønmo, L. S., Borge, I. C. & Onstad, T. (2013), Hvor står vi – hvor går vi? I Grønmo, L. S. & Onstad, T. (Eds.):
Opptur og nedtur. Kap. 8. Oslo: Akademika forlag.
Lee, P. Y. & Lee, N. H. (Eds.) (2009). Teaching Secondary School Mathematics. A Resource book. (Second
Edition, Updated.) Singapore: McGraw-Hill Education.
LK06. Læreplanverket for Kunnskapsløftet 2006. Læreplan i matematikk fellesfag. Nedlastet 12.04.2015
fra http://www.udir.no/kl06/MAT1-04/
Lochhead, J. & Mestre, J. (1988), From words to algebra: Mending misconceptions. I Coxford, A. (Ed.) The
ideas of algebra: K-12 (s. 127-135). Reston, VA: NCTM.
NRC (National Research Council) (2000). How people learn. Brain, mind, experience and school. Expanded
Edition. Washington D.C.: National Academy Press.
NCTM (National Council of Teachers of Mathematics) (2014). Principles to Actions: Ensuring
Mathematical Success for All. Reston, VA: NCTM.
NOU (Norges offentlige utredninger) 2014: 7 Elevenes læring i fremtidens skole. Kunnskapsdepartementet.
Sawyer, K. R. (2006). «Introduction: The New Science of Learning.» I Sawyer, K. R. The Cambridge
Handbook of The Learning Sciences. New York: Cambridge Univeristy Press.