Nummer 8-10
H. Aschehoug & Co
Sehesteds gate 3, 0102 Oslo
Tlf: 22 400 400
www.aschehoug.no
Hvorfor styrker man algebra i skolen?
 Det klages over at begynnerstudenter ved ulike høgskoler/universiteter har
for dårlig grunnlag innen matematikk, og spesielt innen algebra.
Eksempler: Lærerutdanning, ingeniørutdanning.
 Internasjonale komparative studier av elevers matematikkunnskaper viser at
norske elever har lavere kompetanse innen algebra enn innen andre
områder av matematikken, sammenliknet med andre land som har en
ressurssituasjon noenlunde på høyde med den norske.
Eksempler: TIMSS 8. trinn, TIMSS Advanced 13. trinn (populasjon R2 i
Norge), PISA.
Fra norsk rapport TIMSS 2011 og TIMSS Advanced 2008 (neste)
Hvorfor styrker man algebra i skolen?
(forts.)
 Norske undersøkelser bekrefter inntrykket fra de internasjonale studiene.
Eksempel: Norsk matematikkråds test av begynnerstudenters kompetanse i
matematikk (NMR-testen)
 Algebraen på ungdomstrinnet oppleves som lite meningsfull av mange
elever. Lærere har lenge rapportert at dette feltet er den delen av
matematikken som det er vanskeligst å motivere elevene for.
Hvorfor styrker man algebra i skolen?
(forts.)
 Konklusjon: «Tradisjonen» for undervisning av algebra på norsk
ungdomstrinn fungerer dårlig. Dette gjelder både i forhold til land vi kan
sammenlikne oss med ressursmessig, og i forhold til undervisning av andre
emner innenfor matematikken.
 «Skylden» for dette ligger antakelig ikke hos den enkelte lærer. Det er her
snakk om en tradisjon nedfelt gjennom læreplaner, lærebøker osv. Mangler
ved matematikkundervisningen på tidligere trinn kan også spille en vesentlig
rolle.
 Samtidig er algebra grunnleggende for videre utdanninger som krever
matematikk. Det er innenfor dette området mye av potensialet for
progresjon innen abstraksjonsevne og matematisk tenkning ligger.
 Algebraisk tenkning som generalisering av tallregning er viktig for alle
elever.
Hva er problemet?
 Algebra blir for mange norske elever et ganske meningsløst spill med
symboler. Målet er å få riktig svar, altså å respondere med de riktige
symbolkombinasjonene.
 Eksempel: Konkret tolkning av variable som objekter. Det kan være
fristende å forklare forenklingsoppgaver som
4a  b  5b  2a  2a  6b
ved å si at a står for appelsin og b for banan.
 Senere kommer imidlertid elevene bort i forenklingsoppgaver av typen
ab  b b(a  1)

 a 1
b
b
Her fungerer tolkningen med appelsiner og bananer svært dårlig.
Algebra i Nummer
 Vi legger stor vekt på forskjellen mellom det som er funnet på og det som er
funnet ut i matematikken.
 Det som er funnet på, er definisjoner, terminologi, skrivemåter (notasjon) og
så videre. Eksempler:
3a  a  a  a
a3  a  a  a
 Det som er funnet ut, er matematiske setninger («teoremer») som krever en
begrunnelse (et bevis). Eksempler: Pytagoras setning, faktorenes orden er
likegyldig, formelen for arealet av en trekant, at vinkelsummen i en trekant
er 180 grader.
Algebra i Nummer (forts.)
 I innlæringsfasen legger vi stor vekt på arbeid med regneuttrykk der det
inngår mer enn èn regneoperasjon, men der det ikke inngår bokstaver.
 Eksempel: 12 barn er i et rom. Så kommer 5 barn til inn. Deretter får alle
barna i rommet 3 plommer hver. Hvor mange plommer fikk alle barna til
sammen?
 «Mellomtrinnsføring»:
12  5  17
3  17  51
 Føring med ett sammensatt regneuttrykk:
3  (12  5)  3  17  51
 Arbeidet med sammensatte regneuttrykk der det kun inngår tall, gir en
mellomstasjon på veien fra regneuttrykk med kun en regneoperasjon og kun
tall, til uttrykk med både variable og flere operasjoner.
Algebra i Nummer (forts.)
 Eksempel på regneuttrykk med to regneoperasjoner og variable:
a  ( x  5)
Algebra i Nummer (forts.)
Mest vanlig i Norge:
En operasjon,
ingen bokstaver
Flere
operasjoner,
bokstaver
Nummer:
En operasjon,
ingen bokstaver
Flere
operasjoner, men
kun konkrete tall
Flere
operasjoner,
bokstaver
Struktur i Nummer 9 kap 1 (Algebra)
 1A handler om «funnet på»-siden av algebra. Det gjennomgås systematisk
hva ulike algebraiske uttrykk betyr slik de er skrevet. Herunder: Regler for
bruk av parenteser, «usynlige» parenteser og regnerekkefølge.
 1B handler om 10 grunnleggende algebraiske lover. Disse representerer
«funnet ut»-siden av algebra. Fremstillingen kulminerer med en oversikt
over alle de 10 reglene og opplegg for hvordan klassen kan lage en plakat
med oversikt over dem alle.
 1C tar for seg bruk av de 10 grunnleggende reglene fra 1B, inkludert
teknikken med å sette inn regneuttrykk for hver av variablene i reglene.
 1D, 1E og 1F tar for seg henholdsvis arbeid med å lage formler, arbeid med
likninger og arbeid med ulikheter.
De 10 lovene i seksjon 1B (side 42)
1
2
a b  b a
a  (b  c)  (a  b)  (a  c)
3
a  (b  c)  (a  b)  (a  c)
4
a  (b  c)  (a  b)  c
5
a  (b  c)  a  b  c
7
a b ab
 
c c
c
8
a b a b
 
c c
c
9
a a c

b bc
10
6
a  (b  c)  a  b  c
a c a c
 
b d bd
Arbeidssekvens i kapittel 1B
Alle de 10 lovene behandles på samme måte. Målet med dette er at elevene skal
forstå hva en algebraisk lov er gjennom å se likhetene.
Sekvensen er slik (se side 22 utdelt særtrykk):
 En utforskende oppgave der målet er å oppdage loven
 En oppsummering av mønsteret loven beskriver, og selve loven satt opp i en
viktigboks
 En «generisk» regnefortelling som forklarer hvorfor loven er riktig.
Konstruksjonsmetode: Finn en tolkning av venstre side i hver lov.
Tolkningen vi da kunne overføres til høyre side, og elevene vil kunne se at de
to sidene representerer to ulike måter å regne ut det samme på.
 En oppgave som fokuserer på det «generiske» aspektet ved
regnefortellingen, ved at elevene får i oppdrag å endre tallene etc.
Eksempel: Lov 7 (addisjon av brøker)
a b ab
 
c c
c
For å begrunne denne ved en regnefortelling, tar vi utgangspunkt i venstre side
av loven. Der utføres to divisjoner, og resultatene adderes.
Vi trenger altså en kontekst der resultatene av to divisjoner legges sammen.
Med andre ord: Vi må lage en uoppstilt oppgave som kan besvares ved å utføre
to divisjoner og deretter addere resultatene.
1C: Bruk av lovene
Sentralt poeng:
Hver bokstav (variabel) i de algebraiske lovene
kan erstattes med et uttrykk.
Se eksempel 16 side 49.
Oppgave:
1.49 (se løsningsforslag i lærerens bok)