הטרנספורמציות הגיאומטריות

‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ ©‬
‫‪1‬‬
‫העתקות האלמנטאריות ( הגיאומטריות)‬
‫‪5‬‬
‫‪n‬‬
‫העתקות הגיאומטריות הבסיסיות של המרחב‬
‫הם הטלות אורתוגונאליות ‪ ,‬שיקופים וסיבובים‪.‬‬
‫בפרק זה נדון במטריצות של הפעולות הנ "ל ‪ ,‬בקשרים ביניהם וכמובן גם בקשרים שביו הגיאומטריה‬
‫ולמטריצות העתקה‪.‬‬
‫נזכיר ‪ ,‬כי הנורמה במרחב‬
‫‪n‬‬
‫נקבעת ‪ ,‬כל עוד לא ציון אחרת ‪ ,‬על פי המכפלה הסקלרית הסטנדרטית‪.‬‬
‫‪ .1.5‬מטריצת הטלה אורתוגונאלית במרחב ‪ n‬‬
‫‪5.1.1‬‬
‫הטלה על תת מרחב חד ממדי‬
‫נניח כי ‪ ‬‬
‫‪ span a‬‬
‫האורתוגונאלי של‬
‫‪x‬‬
‫‪ U‬כאשר‬
‫‪a‬‬
‫‪n‬‬
‫וקטור נתון ב ‪ . ‬לכל‬
‫‪Px , x   n‬‬
‫זה ההיטל‬
‫על תת המרחב ‪ .U‬לפי מה שלמדנו בפרקים הקודמים ‪,‬‬
‫‪x‬‬
‫‪aaT‬‬
‫‪a‬‬
‫‪aT a‬‬
‫‪aT x‬‬
‫‪aT a‬‬
‫‪( . Px ‬‬
‫‪)1‬‬
‫מכאן אנו רואים שמטריצת ההטלה היא‬
‫‪aaT‬‬
‫‪aT a‬‬
‫דוגמה ‪.1‬‬
‫אם‬
‫‪( .P ‬‬
‫‪)2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ , a   1‬אז‬
‫‪ 3‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ 4 2 6 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1  ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪.P ‬‬
‫‪1 3 ‬‬
‫‪ 1 2 1 3  ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪14  ‬‬
‫‪14 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6 3 9 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪6.1.1‬‬
‫היטל על תת מרחב ממד גדול מאחד‬
‫נניח כי )‪ Col(A‬‬
‫‪ U‬כאשר‬
‫‪A‬‬
‫ליניארית‪ .‬ההיטל של‬
‫‪x  n‬‬
‫ניתן על ידי ˆ‬
‫‪ , Ax‬כאשר‬
‫‪Axˆ  AT x‬‬
‫‪T‬‬
‫מטריצה‬
‫‪ . A‬מכיוון שהעמודות של‬
‫‪n k‬‬
‫‪A‬‬
‫ממשית אשר העמודות שלה בלתי תלויות‬
‫̂‪x‬‬
‫זה פתרון של המערכת הנורמלית‬
‫בלתי תלויות ליניארית ‪ ,‬אז‬
‫‪rank(A)  k‬‬
‫ולכן‬
‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ ©‬
‫‪2‬‬
‫מהזהות )‪rank(AT A)  rank(A‬‬
‫‪AT A‬‬
‫אנו רואים שהדרגה של‬
‫הפיכה‪ .‬לכן ‪ ,‬ההיטל האורתוגונאלי‬
‫‪AT x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪Px‬‬
‫‪T‬‬
‫‪AT A‬‬
‫היא‬
‫‪k‬‬
‫ומכאן שהמטריצה‬
‫ניתן על ידי‬
‫‪‬‬
‫‪( , Px  Axˆ  A A A‬‬
‫‪)3‬‬
‫כלומר ‪,‬‬
‫‪AT‬‬
‫הערה‪ :‬אם ‪ 1‬‬
‫דוגמה ‪.2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ , k‬אז‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪aT a‬‬
‫נתונה המטריצה‬
‫פתרון‪ :‬תחילה נחשב‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪A A‬‬
‫‪T‬‬
‫‪( .P  A A A‬‬
‫‪1‬‬
‫‪T‬‬
‫‪)4‬‬
‫ואנו רואים ש (‪ ) 2‬זה מקרי פרטי ש (‪.) 4‬‬
‫‪ 1 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . A   1 1‬מצא את מטריצת ההטלה על ‪. Cal A‬‬
‫‪ 1 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪3 3 ‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫‪3 9 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪T‬‬
‫‪ . A‬אז‬
‫‪1  3 3 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪18  3 9 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪AT A‬‬
‫‪‬‬
‫ו‬
‫‪ 1 2‬‬
‫‪1 0 1 ‬‬
‫‪  9 3  3 12 3  1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪.P ‬‬
‫‪  0 2 0 ‬‬
‫‪ 1 1  3 3  3‬‬
‫‪6 3 2‬‬
‫‪18 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 0 1 ‬‬
‫‪1 2  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪7.1.1‬‬
‫תכונות מטריצת ההטלה‬
‫טענה ‪.1‬‬
‫תהי‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪AT‬‬
‫‪P‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪P  A AT A‬‬
‫כאשר העמודות של‬
‫‪.P‬‬
‫‪T‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ Px  x‬אם ורק אם ) ‪. x  Col(P‬‬
‫‪.P‬‬
‫‪A‬‬
‫בלתי תלויות ליניארית‪ .‬אז‬
‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ ©‬
‫‪3‬‬
‫‪AT  P‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AT ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪AT  A AT A‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AT   A AT A‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AT A AT A‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ A AT A‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪P 2   A AT A‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪T‬‬
‫‪‬‬
‫‪T‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪P   A AT A AT   A  AT A  AT‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪T ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ A  AT A  AT  A AT A AT  P‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪T‬‬
‫ניתן להבין תכונה זו גם ללא הוכחה פורמלית ‪ ,‬מכיוון שאם הווקטור‬
‫הוא אינו משתנה על ידי ההטלה‪ .‬ובצורה פורמלית ‪,‬‬
‫לכן אם‬
‫‪P‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ , P‬אז‬
‫‪x‬‬
‫) ‪x  Col(P‬‬
‫שייך ל ) ‪ , Col(P‬אז‬
‫אם ורק אם‬
‫‪ Pz‬‬
‫‪ . Px  P 2z  Pz  x‬‬
‫טענה ‪ .2‬כל מטריצה ריבועית ‪P‬‬
‫היטל אורתוגונאלי על ) ‪. Col(P‬‬
‫שמקיימת א‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬על סמך הגדרת ההיטל האורתוגונאלי צריך לכל‬
‫(‪) i‬‬
‫) ‪ Col(P‬‬
‫(‪) ii‬‬
‫) ‪ x  Px   Col(P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ; P‬ב‪.‬‬
‫‪x  n‬‬
‫‪PT  P‬‬
‫היא מטריצה של‬
‫להראות ‪:‬‬
‫‪; Px‬‬
‫‪.‬‬
‫הטענה )‪ (i‬ברור שמתקיימת‪ .‬לגבי )‪ , (ii‬לכל ) ‪ , y  Cal(P‬מתקיים לפי טענה ‪ y 1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪T‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪Py  PT x  Px‬‬
‫‪y  0T y  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪T‬‬
‫‪‬‬
‫‪T‬‬
‫‪‬‬
‫‪y  x  Px‬‬
‫‪‬‬
‫‪ , Py‬לכן‬
‫‪ x  Px ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪T‬‬
‫‪ Px  P 2x‬‬
‫‪‬‬
‫על סמך טענה ‪ 2‬נגדיר ‪:‬‬
‫הגדרה ‪.1‬‬
‫‪.x‬‬
‫כל מטריצה ריבועית ‪ , P‬שמקיימת‬
‫הטלה אורתוגונאלית‪.‬‬
‫‪ P 2  P‬ו ‪PT  P‬‬
‫נקראת מטריצת‬
‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ ©‬
‫‪4‬‬
‫טענה ‪.3‬‬
‫אם‬
‫) ‪Nul(P‬‬
‫הוכחה‪ :‬ברור ש‬
‫‪P‬‬
‫מטריצת הטלה אורתוגונאלית ‪ ,‬אז‬
‫‪ I P‬‬
‫‪ Q‬מטריצת הטלה על‬
‫‪.‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪T‬‬
‫‪ .Q‬כעת ‪,‬‬
‫‪ I  2P  P 2  I  P  Q‬‬
‫ומכאן ש ‪ Q‬מטריצת הטלה על ) ‪ . Col(Q‬לפי טענה ‪x  Col(Q ) 1‬‬
‫‪. Px  0  x  Px  x  Qx  x‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ I P‬‬
‫‪.Q‬‬
‫אם ורק אם‬
‫הערה‪ :‬לכל הטלה ‪I  P , P‬‬
‫הליניארית ומהעובדה ש ‪ P‬סימטרית ‪ ,‬נקבל‬
‫זה ההיטל על המשלים האורתוגונאלי‪ .‬מהמשפט היסודי של האלגברה‬
‫) ‪ Nul(PT )  Nul(P‬‬
‫דוגמה ‪.3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪. Col(P‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫מצא את מטריצת ההיטל על המישור ‪.   x   : 2x 1  x 2  3x 3  0‬‬
‫‪n‬‬
‫פתרון‪ :‬אפשרות אחת לפתרון היא למצוא בסיס של המישור וממנו לבנות מטריצה‬
‫‪A‬‬
‫ולאחר זאת‬
‫‪T‬‬
‫לחשב את מטריצת ההיטל לפי הנוסחה (‪ .) 4‬בדרך זו אנו צרכים להפוך את המטריצה ‪A A‬‬
‫ובנוסף לבצע כפל ביין שלוש מטריצות‪ .‬פתרון פשוט יותר הוא להתייחס אל המישור‬
‫‪‬‬
‫כמשלים‬
‫האורתוגונאלי של תת המרחב שנפרש על ידי הנורמל של המישור ‪ ,‬ואז אנו מחשבים את ההיטל על‬
‫תת מרחב שנפרש על ידי הנורמל באמצעות הנוסחה הפשוטה (‪ , ) 2‬ולאחר מכאן אנו משתמשים‬
‫בטענה ‪ .3‬ובכן ‪ ,‬הנורמל הוא‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ N   1‬וההיטל על ‪ span N‬הוא‬
‫‪ 3‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 4 2 6 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪T‬‬
‫‪.P ‬‬
‫‪NN‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪14 ‬‬
‫‪NT N‬‬
‫‪6 3 9 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫היטל על ‪: ‬‬
‫‪1 0 0 ‬‬
‫‪ 4 2 6 ‬‬
‫‪ 10 2 6 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪.Q  I  P  0 1 0  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪13‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 0 1  14  6 3 9  14  6 3 5 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הגדרה ‪.2‬‬
‫( היפר מישור)‪ :‬יהי‬
‫‪N‬‬
‫וקטור ב‬
‫‪n‬‬
‫‪ . ‬תת המרחב‬
‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ ©‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪( x  n : NT x  0‬‬
‫‪)5‬‬
‫נקרא היפר מישור (או מישור )‪.‬‬
‫מדוגמה ‪ 3‬אנו מסיקים ‪:‬‬
‫ההיטל האורתוגונאלי על היפר מישור עם נורמל‬
‫‪NNT‬‬
‫‪1‬‬
‫‪T‬‬
‫‪N N‬‬
‫‪N‬‬
‫ניתן על ידי‬
‫‪( .Q  I ‬‬
‫‪)6‬‬
‫כעת נדון בקשר ביין הניצבות של שביין שני תתי מרחבים ומטריצות ההטלות שלהם‪.‬‬
‫יהיו ‪ U‬ו ‪ W‬שני תתי מרחבים ב‬
‫טענה ‪.4‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ . ‬יהיו‬
‫‪P‬‬
‫ו ‪ Q‬ההטלות האורתוגונאליות‬
‫עליהם בהתאמה‪ .‬אז‬
‫‪( . PQ  QP  0  W  U‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח‬
‫‪0‬‬
‫‪0w  0‬‬
‫‪ , PQ‬אז לכל‬
‫‪)7‬‬
‫‪ u U‬ו ‪ w W‬מתקיים ש ‪ w , Pu  u‬‬
‫‪  Qw   u P Q  w  u PQ  w  u‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪ Qw‬ולכן‬
‫‪T‬‬
‫‪( . u w  Pu‬‬
‫‪)8‬‬
‫בכיוון השני ‪ ,‬אם ‪ , w W‬אז מכיוון ש ‪ U‬ניצב ל ‪ ,W‬אז ההיטל שלו על ‪ U‬הוא אפס ולכן‬
‫‪ . Pw  0‬במיוחד כאשר ‪w  Qx‬‬
‫באופן דומה משיגים שגם ‪ .QP  0‬‬
‫ומכאן ש‬
‫‪PQx  0‬‬
‫לכל‬
‫‪ n‬‬
‫‪ , x‬כלומר‬
‫‪0‬‬
‫‪. PQ‬‬
‫‪ .2.5‬שיקופים‬
‫מטריצת השיקוף מעתיקה וקטור ‪ x‬לשיקוף שלו ביחס למישור ‪ ,‬או תת מרחב אחר‪ .‬נסמן את המטריצה‬
‫הזאת ב ‪R‬‬
‫ונבדוק מה הן התכונות של המטריצה ‪. R‬‬
‫א‪ .‬אם נשקף את הווקטור ‪ x‬פעמיים ביחס לאותו מישור ‪ ,‬אז נקבל בחזרה את אותו הווקטור ‪,‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ . R Rx  x‬כלומר ‪ I‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.R‬‬
‫ב‪ .‬אורך הווקטור אינו משתנה על ידי השיקוף ‪Rx  x ,‬‬
‫תכונה זו היא מטריצה אורתוגונאלית ‪R  RRT  I :‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .‬אנו יודעים שמטריצה שמקיימת‬
‫‪T‬‬
‫‪.R‬‬
‫מהתכונות א ' ו ב ' אנו מקבלים ‪ RT I  RT R2  RT R R  R‬‬
‫הגדרה ‪.3‬‬
‫(מטריצת שיקוף)‪ :‬מטריצה ריבועית ‪ R‬כך ש ‪R  I‬‬
‫‪T‬‬
‫‪.R‬‬
‫ושמקיימת‬
‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ ©‬
‫‪6‬‬
‫‪( R2  I‬‬
‫‪RT  T‬‬
‫‪)9‬‬
‫נקראת מטריצת שיקוף‪.‬‬
‫נבדוק כעת את הקשר שביין שיקוף להטלה‪ .‬יהי ‪R‬‬
‫שיקוף ביחס למישור‬
‫מישור‪ .‬מכיוון ש ‪ , Rx  x‬אז ‪ Rx , x , 0‬ו ‪x  Rx‬‬
‫)‪ x‬‬
‫‪ 1 (Rx‬זה ההיטל האורתוגונאלי של‬
‫‪2‬‬
‫‪x  Rx  x  ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫? ואמנם ‪ ,‬אם‬
‫הם קודקודים של מעוין‪ .‬לכן האלכסונים שלו‬
‫נציב לווקטור ‪Rx  x ‬‬
‫נחתכים בזווית ישרה ‪ ,‬כלומר הווקטור ‪Rx  x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫ו‬
‫‪P‬‬
‫ההיטל על אותו‬
‫‪ . 21‬זה מצביע על כך ש‬
‫על המישור ‪ . ‬אנו צרכים לבדוק האם‬
‫‪‬‬
‫‪ , y‬אז‬
‫‪y‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪T‬‬
‫‪xT y  Rx‬‬
‫וזאת מכיוון ש‬
‫‪R‬‬
‫זה‬
‫שיקוף וכעת‬
‫‪y   0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪T‬‬
‫‪y  21  xT y  Rx‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x  Rx ‬‬
‫‪T‬‬
‫טענה ‪.5‬‬
‫א‪ .‬אם‬
‫ב‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫מטריצת הטלה ‪ ,‬אז‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪R  2P  I‬‬
‫אם ‪ R‬מטריצת שיקוף‪ ,‬אז ‪R  I ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Rx  x ‬‬
‫‪T‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪. x‬‬
‫מטריצת שיקוף‪.‬‬
‫‪P ‬‬
‫מטריצת הטלה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬ברור ששתי המטריצות סימטריות‪.‬‬
‫‪I‬‬
‫א‪ .‬צריך לבדוק האם מתקיים‬
‫‪2‬‬
‫‪ ? R‬ואמנם ‪ ,‬מכיוון ש‬
‫‪ 4P 2  4P  I  I‬‬
‫ב‪.‬‬
‫צריך לבדוק האם מתקיים‬
‫‪P‬‬
‫‪ R  I   P‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪P‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2R  I ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ , P‬אז‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪I‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. R  2P  I‬‬
‫‪ ? P‬ואמנם ‪ ,‬מכיוון ש‬
‫‪R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪ , R‬אז‬
‫‪ R  I  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.P ‬‬
‫על סמך טענה ‪ 5‬אנו יכולים בקלות לחשב את מטריצת השיקוף על היפר מישור עם נורמל ‪ . N‬לפי (‪, )6‬‬
‫ההיטל הוא‬
‫‪NNT‬‬
‫‪1‬‬
‫‪T‬‬
‫‪N N‬‬
‫‪2‬‬
‫‪I ‬‬
‫‪ . P‬לכן‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 2P  I  2  I  T NNT   I  I  T NNT‬‬
‫‪N N‬‬
‫‪N N‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫שיקוף ביחס ל היפר מישור‬
‫‪‬‬
‫‪: NT x  0‬‬
‫‪x  ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪:‬‬
‫‪.R‬‬
‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ ©‬
‫‪7‬‬
‫‪NNT‬‬
‫דוגמה ‪.4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( .R  I ‬‬
‫‪T‬‬
‫‪N N‬‬
‫מצא את מטריצת השיקוף ביחס למישור‬
‫פתרון‪ :‬הנורמל‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪. N   1‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪)10‬‬
‫‪‬‬
‫‪:2x1  x2  3x 3  0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x  ‬‬
‫‪.‬‬
‫אז‬
‫‪ 1 0 0‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ 6 4 12‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. R  0 1 0  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪12‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 14 ‬‬
‫‪0 0 1 14  3‬‬
‫‪ 12 6 4 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫דוגמה ‪.5‬‬
‫נתונה המטריצה‬
‫‪ 1 2 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. R   2‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2 2 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫וודא ש‬
‫‪R‬‬
‫מטריצת שיקוף ומצא את תת המרחב שביחס אליו נעשה השיקוף‪.‬‬
‫פתרון‪ :‬ברור ש‬
‫‪R‬‬
‫סימטרית וחישוב מראה ש‬
‫נעשה השיקוף אם ורק אם‬
‫‪x‬‬
‫‪I‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ . R‬הווקטור‬
‫‪x‬‬
‫שייך לתת המרחב שביחס אליו‬
‫אינו משתנה על ידי השיקוף‪ .‬כלומר ‪,‬‬
‫‪( . Rx  x‬‬
‫המשוואה (‪ ) 11‬מובילה למערכת משוואות‬
‫‪R  I  x  0‬‬
‫‪)11‬‬
‫‪ ,‬שזה שקול ל‬
‫‪ 2 2 2 0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 0‬‬
‫‪.  2 2‬‬
‫‪ 2 2 2 0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ ©‬
‫‪8‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪. N   1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪ ‬‬
‫מכאן שהשיקוף הוא ביחס למישור עם נורמל‬
‫הערה‪ :‬אם הווקטור‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫אינו משתקף ‪ ,‬כלומר ‪,‬‬
‫עם ערך עצמי ‪ . 1‬לפיכך ‪ ,‬אם‬
‫‪R‬‬
‫שיקוף הערכים העצמיים הם‬
‫וקטור עצמי של‬
‫מטריצת שיקוף ביחס למישור ‪ , ‬אז כל וקטור שנמצא במישור הוא‬
‫וקטור עצמי עם ערך עצמי ‪ . 1‬והנורמל למישור‬
‫‪1‬‬
‫מקיים את המערכת (‪ , ) 11‬אז‬
‫‪x‬‬
‫‪R‬‬
‫‪N‬‬
‫הוא וקטור עצמי עם ערך עצמי ‪ . 1‬למטריצת‬
‫ו ‪. 1‬‬
‫‪ .3.5‬סיבובם‬
‫מטריצה ריבועית‬
‫‪A‬‬
‫היא מטריצת סיבוב עם היא אורתוגונאלית‬
‫( ‪A  AAT  I‬‬
‫במישור‬
‫‪2‬‬
‫במרחב‬
‫‪3‬‬
‫ראינו שמטריצת הסיבוב בזווית‬
‫‪T‬‬
‫‪ ) A‬ובנוסף‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪. det(A‬‬
‫היא‬
‫‪ sin  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪cos  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪cos ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ sin ‬‬
‫המצב שונה כי תמיד הסיבוב הוא סביב ציר מסיום שאינו משתנה על ידי הסיבוב‪ .‬אם‬
‫זה סיבוב סביב ציר בכיוון ‪ , a‬אז‬
‫‪Aa  a‬‬
‫והסיבוב הוא במישור אשר ‪ a‬הוא הנורמל שלו‪ .‬נציג‬
‫תחילה את הסיבובים סביב הצירים הראשיים‪.‬‬
‫סיבוב סביב ציר ה‪:x -‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ sin  ‬‬
‫‪cos  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪, Px   0 cos ‬‬
‫‪0 sin ‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ ©‬
‫‪9‬‬
‫סיבוב סביב ציר ה‪:y -‬‬
‫‪0 sin  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪0 cos  ‬‬
‫‪‬‬
‫סיבוב סביב ציר ה‪:z -‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪8.1.1‬‬
‫‪ cos ‬‬
‫‪‬‬
‫‪,P  ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪y‬‬
‫‪  sin ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ sin ‬‬
‫‪cos ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪cos ‬‬
‫‪‬‬
‫‪. P   sin ‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪‬‬
‫הקשר ביין סיבובי ושיקופים‬
‫טענה ‪.6‬‬
‫יהיו‬
‫‪a‬ו‪b‬‬
‫למישור עם הנורמל‬
‫שני וקטורים ב‬
‫‪a‬‬
‫ויהי‬
‫‪Rb‬‬
‫‪3‬‬
‫אשר הזווית ביניהם היא ‪ . ‬יהי‬
‫‪Ra‬‬
‫שיקוף ביחס‬
‫שיקוף ביחס למישור על הנורמל ‪ . b‬אז‬
‫‪( A  RbRa‬‬
‫סיבוב בזווית‬
‫‪2‬‬
‫סביב‬
‫מסקה ‪.1‬‬
‫‪ ab‬‬
‫‪)12‬‬
‫‪.c‬‬
‫באמצעות השיקופים ניתן לבנות את כל העתקות האלמנטאריות (הטלות‬
‫וסיבובים )‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬אני אתן הוכחה פורמאלית‪ .‬ניתן להראות טענה זו גם על סמך שיקולים גיאומטריים בלבד‪.‬‬
‫מכיוון ש‬
‫‪ Ra‬ו ‪Rb‬‬
‫הם מטריצות אורתוגונאליות ‪ ,‬אז‬
‫‪det(A)  det(Ra )det(Rb )  (1)2  1‬‬
‫שנמצאים במישור עם הנורמל‬
‫במישור עם הנורמל ‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫גם אורתוגונאלית ‪,‬‬
‫ולכן‬
‫‪A‬‬
‫אינם משתנים על ידי השיקוף‬
‫מטריצת סיבוב‪ .‬הווקטורים‬
‫‪Ra‬‬
‫והווקטורים שנמצאים‬
‫אינם משתנים על ידי השיקוף ‪ , R‬לכן הווקטור‬
‫‪b‬‬
‫‪ab‬‬
‫שנמצא בחיתוך‬
‫‪A‬‬
‫של שני המישורים אינו משתנה על ידי ‪RbRa‬‬
‫ידי (‪ ) 12‬הוא סיבוב במישור אשר ‪ a  b‬הוא הנורמל שלו‪ .‬נותר להראות שהסיבוב הוא בזווית‬
‫‪T‬‬
‫‪ . 2‬אז ניקח וקטור יחידה ‪ x‬ששייך למישור שבו מתבצע הסיבוב ‪ ) x (a  b)  0 ( ,‬ונראה‬
‫שהזווית ביין ‪ x‬ל ‪ Ax‬היא ‪ , 2‬כלומר‬
‫וזהו ציר הסיבוב‪ .‬כעת אנו יודעים ש‬
‫) ‪( . x (Ax)  cos(2‬‬
‫‪T‬‬
‫אנו יכולים להניח שגם‬
‫‪a‬ו‪b‬‬
‫הם וקטורי יחידה‪ .‬נסמן את הזווית ביניהם ב ‪ , ‬אז‬
‫שינתן על‬
‫‪)13‬‬
‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ ©‬
‫‪10‬‬
‫‪( . a b  cos ‬‬
‫‪T‬‬
‫‪)14‬‬
‫לפי הנוסחה (‪, ) 10‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪. Ra x  x  2a aT x‬‬
‫נפעיל כעת את (‪ ) 10‬עם הנורמל‬
‫‪b‬‬
‫על ‪: Ra x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ x  2a  a x   2b  b x   4b  b a  a x ‬‬
‫‪Ax  Rb (Ra x)  x  2a a x  2bbT x  2a aT x‬‬
‫‪T‬‬
‫כעת ‪ ,‬הווקטורים‬
‫ו ‪ x‬נמצאים באותו מישור‪ .‬אם הזווית ביין ‪ x‬ל ‪ a‬היא ‪ , ‬אז הזוית ביין ‪ x‬ל‬
‫‪b ,a‬‬
‫‪ b‬היא ‪ ,   ‬כלומר מתקיים ש ‪xT a  cos ‬‬
‫‪x  a  b 1‬‬
‫‪T‬‬
‫‪.‬‬
‫ו ) ‪ . x b  cos(  ‬ובנוסף נשתמש בנתונים ש‬
‫‪T‬‬
‫‪ ,‬ב (‪ ) 14‬ובנוסחאות טריגונומטריות ונקבל‬
‫‪   ‬‬
‫‪ 4 xT a xT b bT a‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2 xT b‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪xT Ax  xT x  2 xT a‬‬
‫‪ 1  2 cos   2 cos (   )  4 cos  cos(   )cos ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1  2 cos2   2 cos  cos   sin  sin ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 4 cos  cos  cos  cos   sin  sin ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1  2 cos2   2 cos2  cos2   sin2  sin2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1  2 cos   sin    2 sin  sin ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ 1  2 cos2  cos2   1  2 sin2  sin2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1  2 sin2 ‬‬
‫) ‪ cos(2‬‬
‫כלומר (‪ ) 13‬מתקיים וזה מסיים את ההוכחה‪.‬‬
‫‪9.1.1‬‬
‫‪‬‬
‫חישוב מטריצת הסיבוב‬
‫בסעיף זה נדון כיצד לחשב את מטריצת הסיבוב כאשר המישור וזווית הסיבוב נתונים‪ .‬הנוסחה (‪) 13‬‬
‫אינה יעילה כאן משום שקשה לחשב את הנורמלים‬
‫‪a‬ו‪b‬‬
‫כאשר הנורמל של המישור והזווית נתונים‪.‬‬
‫להבדיל מהטלות ושיקופים ‪ ,‬כאן אין נוסחה פשוטה לחישובים‪ .‬הדרך הפשוטה ביותר מתבססת על בסיס‬
‫אורתונורמלי ששנים מווקטורי הבסיס פורשים את המישור‪ .‬נציג דרך זו בדוגמה הבאה‪.‬‬
‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ ©‬
‫‪11‬‬
‫דוגמה ‪.6‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ ‬‬
‫מצא את מטריצת הסיבוב בזווית ‪ ‬סביב הציר בכיוון ‪  1‬ונגד כיוון‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ ‬‬
‫השעון‪.‬‬
‫פתרון‪ :‬נחפש בסיס אורתונורמלי של ‪ 3‬‬
‫כך ששניים מווקטורי הבסיס פורשים את המישור‪ .‬המישור‬
‫ניתן על ידי‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. x   3 :2x 1  x 2  2x 3  0‬‬
‫‪ 1  1‬‬
‫‪   ‬‬
‫אז הווקטורים ‪  0 ‬ו ‪  4 ‬הם גם בסיס של המישור וגם אורתוגונאליים‪ .‬לפיכך הבסיס האורתו‬
‫‪ 1  1‬‬
‫‪   ‬‬
‫נורמאלי המתאים עברונו הוא‬
‫‪ 1   1   2  ‬‬
‫‪  2   3 2   3  ‬‬
‫‪( .   0  ,  3 4 2  ,  31  ‬‬
‫‪  1   1   2  ‬‬
‫‪  2   3 2   3  ‬‬
‫‪)15‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נסמן את וקטורי הבסיס האורתונורמלי (‪ ) 15‬ב ‪ q 2 , q 1‬ו ‪ q 3‬נציב ‪ q1, q 2, q 3‬‬
‫הסיבוב נסמן ב ‪ . A‬מכיוון ש ‪ Q‬בסיס אורתונורמלי ו ‪q 3‬‬
‫‪ Q‬ואת מטריצת‬
‫הוא ציר הסיבוב ‪ ,‬אז‬
‫‪Aq1  cos  q1  sin  q 2  0q 3‬‬
‫‪( . Aq 2   sin  q1  cos  q 2  0q 3‬‬
‫‪Aq 3  0q1  0q 2  1q 3‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪3‬‬
‫יהי ‪ , x  ‬אז ‪ . x   q 1   q   q 3  Q   ‬נשלב זאת עם (‪ ) 16‬ונקבל‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪)16‬‬
© ‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ‬
)17 ( ,
12
 
 
Ax  AQ      Aq 1   Aq 2   Aq 3 
 
 
  cos  q1  sin  q 2  0q 3    sin  q1  cos  q 2  0q 3   q 3

 
 q  cos    sin    q  sin    cos    q 
1
2

3
cos   sin  0   

 
 Q  sin 
cos  0    

0
0 1   

 
, ‫כלומר‬
cos   sin  0 


AQ  Q  sin 
cos  0 

0
0 1


‫או‬
)18
cos   sin  0 
cos   sin  0 

 1


cos  0  Q  Q  sin 
cos  0  QT
( . A  Q  sin 


0
0 1
0
0 1



