אינפי 2 - Technion moodle
אינפי 2
פרופ׳ י .בנימיני
חורף תשס״ח
אלה רשימות מפורטות של ההרצאות .אין ספק שיש בהן טעויות רבות ,שגיאות
דפוס ,אי־בהירויות ואפילו טעויות מתמטיות .תודתי נתונה מראש לכל מי שיעביר
אלי הערות ותיקונים מכל סוג.
תוכן עניינים
1
חשבון אינטגרלי
1.1אינטגרל לא מסוים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2אינטגרל מסוים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3הקשר בין האינטגרל המסויים לפונקציה הקדומה.
1.4שימושים של האינטגרל המסוים . . . . . . . . . . . .
1.5חישוב האינטגרל המסוים . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6חישובים מקורבים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7אינטגרלים מוכללים . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
7
18
21
24
25
27
2
טורי מספרים
2.1מושגים כלליים . . . . . . . .
2.2טורים עם אברים חיוביים .
2.3טורים עם סימנים מתחלפים
2.4טורים עם אברים כלשהם .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
33
33
35
40
41
3
סדרות וטורים של פונקציות
3.1התכנסות במידה שווה של סדרות של
3.2טורי פונקציות . . . . . . . . . . . . . . .
3.3טורי חזקות . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4דוגמא לשימוש בטורי חזקות . . . . . .
פונקציות .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
49
49
55
57
64
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
66
66
71
72
77
78
. . . . .
הנשנה
. . . . .
. . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
83
83
85
87
91
. . . . . .
. . . . . .
לסירוגין.
. . . . . .
4פונקציות של כמה משתנים ממשיים
4.1המרחב האוקלידי ה־ n־ממדי . . .
4.2פונקציות ממשיות בכמה משתנים .
4.3חשבון דיפרנציאלי בכמה משתנים
4.4נגזרות מסדר גבוה . . . . . . . . . .
4.5אינטגרל התלוי בפרמטר . . . . . .
5
האינטגרל הכפול
5.1הגדרת האינטגרל הכפול . .
5.2האינטגרל הכפול והאינטגרל
5.3הנוסחה להחלפת משתנים .
5.4אינטגרלים מוכללים . . . . .
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
92
6אינטגרלים קוויים
6.1אורך קשת 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2אינטגרל קווי 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3משפט גרין 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
פרק 1
חשבון אינטגרלי
1.1
אינטגרל לא מסוים
R
נסמן ב־ f (x)dxפונקציה קדומה לפונקציה ,fכלומר פונקציה שנגזרתה היא
האינטגרל הלא מסוים של ) .fלפעמים נקצר
ונקרא לה גם
הפונקציה הנתונה ,f
R
R
את הסימון ונכתוב ) , f (xאו אפילו .( fבשלב זה יש להתייחס לסימון כאל
סימון בלבד .הוא אמנם נראה משונה ,אך ההסבר יבוא מאוחר יותר.
עלינו לטפל בשלוש שאלות:
קיום :שאלה זו תטופל בפרק על האינטגרל המסויים.
יחידות :אנו כבר יודעים את התשובה לשאלה זו .פונקציה קדומה נקבעת עד כדי
קבוע :אם ,F 0 = G0אז יש קבוע Cכך ש־ F (x) = G(x) + Cלכל ,xכי מהנתון
נובע שמתקיים ,(FR − G)0 = 0ולכן F − Gפונקציה קבועה.
באופן פורמלי f (x)dxהוא ,לכן ,סימון למשפחה של פונקציות הנבדלות זו
מזו בקבועים בלבד .אנחנו נציין Rאת הקבועים רק כשנטפל בפונקציות מפורשות,
כמו למשל . cos xdx = sin x + C
חישוב :זהו הנושא העיקרי בסעף זה .אנחנו נתאר מספר שיטות ,שכולן מבוססות
על כך שאינטגרציה היא ״הפעולה ההפוכה״ לפעולת הגזירה.
לינאריות
אם ל־ fול־ gיש פונקציות קדומות ,אז גם ל־ af + bgיש ,ומתקיים השוויון
Z
Z
Z
(af (x) + bg(x))dx = a f (x)dx + b g(x)dx
כי גוזרים את שני אגפי המשוואה עפ״י כלל הגזירה (aF + bG)0 = aF 0 + bG0
ומקבלים שלשניהם אותה נגזרת.
אינטגרלים מיידיים
כשלמדנו לחשב נגזרות פיתחנו לעצמנו ״טבלת נגזרות״ של אותן פונקציות
שאנו פוגשים לעתים קרובות ,למשל (xα )0 = αxα−1או .sin0 x = cos xכשנקרא
את הטבלה ״בכיוון ההפוך״ נקבל נוסחאות לפונקציות קדומות רבות ,למשל
3
R
. cos x = sin x + C
R
. cos12 x = tan x + C
R
. x−1 = ln |x| + C
R
β+1
= .β
xβ = xβ+1 + Cכאשר 6 −1
R
. ex dx = ex + C
R 1
. 1+x
2 = arctan x + C
R
1
) √1−xבידקו כי ,arcsin x+arccos x = π/2
= arcsin x+C = − arccos x+C
2
וכך שתי התשובות שנראות שונות זו מזו אכן נבדלות ,למעשה ,רק בקבוע(.
לפונקציות קדומות שאנחנו מקבלים ע״י ״הסתכלות בטבלה״ נקרא אינטגרלים
מידיים .זה איננו מושג מתמטי מדוייק ־ ואנשים שונים ״זוכרים״ טבלאות שונות
של אינטגרלים מיידיים.
אינטגרציה בחלקים
״נהפוך״ כעת את הנוסחה לנגזרת של המכפלה .(uv)0 = uv 0 + u0 vכשנבודד
את המחובר uv 0ונבצע אינטגרציה ,נקבל את הנוסחה הבאה שנקראת ״נוסחת
האינטגרציה בחלקים״
Z
Z
u0 v
דוגמאות.
)(i
uv 0 = uv −
.
R
0
לחישוב x ln xdxנשתמש ב־ u(x) = ln xו־ v (x) = xונקבל
Z
Z 2
x2
x 1
x2
x2
.
= x ln xdx
ln x −
= dx
ln x −
+C
2
2 x
2
4
R
R
R
)) . ln xdx = 1 ln xdx = x ln x − x x1 dx = x ln x − x + C (iiכאן השתמשנו
ב־ u(x) = ln xו־ .(v 0 (x) = 1
R
. exR sin xdxנבצע אינטגרציה בחלקים עם u = exו־ v 0 = sin xונקבל
)(iii
x
x
אינטגרציה נוספת בחלקים
ע״י
נחשב
האינטרגל
את
.−e
cos
x+
e
cos
xdx
את
R
עם u = exו־ v 0 = cos xונקבל שהוא שווה ל־ .ex sin xR− ex sin xdxוכשנאסוף
את כל המחוברים נקבל .2 ex sin xdx = ex sin x − ex cos x + C
R
) . cosn xdx (ivנסמן את האינטגרל ב־ ) .Fn (xנבצע אינטגרציה בחלקים עם
u = cosn−1 xו־ v 0 = cos xונשתמש בזהות sin2 x = 1 − cos2 xונקבל
Z
sin2 x cosn−2 dx
)x + (n − 1
n−1
sin x cos
= )Fn (x
Z
= sin x cosn−1 x + (n − 1) (1 − cos2 x) cosn−2 dx
³
´
)= sin x cosn−1 x + (n − 1) Fn−2 (x) − Fn (x
4
או ,אחרי העברה באגפים
Z
1
n−1
cosn xdx = sin x cosn−1 x +
cosn−2 xdx
n
n
Z
.
נותן לבסוף ,עפ״י הזוגיות של ,n Rתוצאה שבה
שימוש בנוסחה זו פעם אחרי פעם R
יש לחשב או את האינטגרל 1dx = xאו את . cos xdx = sin x
אינטגרציה ע״י הצבה
כאן ״הופכים״ את כלל השרשרת.(F (g(x))0 = F 0 (g(x))g 0 (x) ,
F 0 = fונבצע אינטגרציה נקבל כי
Z
f (g(x))g 0 (x)dx = F (g(x)) + C.
אם נסמן
דוגמאות.
2
R
. 2xex dxכאן נשתמש ב־ ) f (t) = etכלומר (F (t) = etוב־ = )g(x
)(i
2
) x2ואז ,(g 0 (x) = 2xונקבל שהאינטגרל הוא .F (g(x)) + C = ex + C
באופן מעשי איטגרציה ע״י הצבה מתבצעת כך :אנחנו מציבים y = x2
dy
וכותבים את הנגזרת של yבצורה = 2x
. dxכאן אנחנו ״מרמים״ ומתייחסים
dy
כעת
לביטוי הפורמלי dxכאילו היה מנה של מספרים וכותבים R y .dy = y2xdx
כותבים את האינטגרנד ואת dxבעזרת המשתנה yומקבלים e dy = e + C־
2
שאותו ״מתרגמים״ חזרה לשפת המשתנה xכ־ .ex + C
R
R
x
)) . e2xe +1 dx = y2dy+1 = arctan y + C = arctan ex + C (iiהצבנו y = exולכן
.(dy = ex dx
R
R sin x
R −dy
) . tan xdx = cosהצבנו y = cos xולכן
)(iii
= x dx
y = − ln | cos x| + C
.(dy = − sin xdx
)R 0 (x
) , ff (xכי
באופן כללי יותר מקבלים את הנוסחה dx = ln |f (x)| + C
)(iv
מציבים ) y = f (xואז dy = f 0 (x)dxוהאינטגרל הופך להיות
Z 0
Z
)f (x
dy
.
= dx
= ln |y| + C = ln |f (x)| + C
)f (x
y
האינטגרל
)R √ (vלעתים יש
√ לצרף שיטות אינטגרציה שונות .למשל ,לחישוב R
e x dxנציב ) t = xכלומר (x = t2ואז dx = 2tdtומקבלים , et 2tdtשאותו
מחשבים ע״י אינטגרציה בחלקים.
הערה .חישוב נגזרות הוא מאוד שיטתי ,וכשנתונה פונקציה מסובכת יש בידנו כללי
גזירה המאפשרים לחשב את נגזרתה ע״י רדוקציה לנגזרות של רכיביה הפשוטים.
חישוב הפונקציה הקדומה ,לעומת זאת ,איננו ״מובנה״ ודורש נסיון ודמיון .יתר על
5
2
כן ,יש פונקציות שנראות פשוטות מאד ,כמו למשל exאו , sinx xשאפשר להוכיח
שאי אפשר בכלל להציג את הפונקציה הקדומה שלהן כפונקציה אלמנטרית!
מצד שני הבדיקה אם חישוב של פונקציה קדומה הוא נכון היא מאד פשוטה:
גוזרים ובודקים שוויון לפונקציה הנתונה )כך שאין כל תרוץ לתשובה לא נכונה
בבחינה.(...
אינטגרציה של פונקציות רציונליות.
נשתמש בשתי עובדות אלגבריות :חלוקת פולינומים עם שארית ופירוק פולינומים
לגורמים אי פריקים )שהם כידוע מדרגה 1או .(2
חילוק המונה של פונקציה רציונלית במכנה שלה מאפשר את הצגתה כסכום
של פולינום ושל שבר שבו דרגת המונה קטנה מדרגת המכנה .אין בעיה לחשב
את האינטגרל של הפולינום ,ולכן נוכל להניח מעתה שהשבר הוא אכן כזה.
הפירוק לגורמים אי־פריקים הוא ,לעתים קרובות ,לא מעשי )כי אין נוסחאות
לחישובו( ,אבל לעתים הוא כן מעשי ־ ואפילו אולי נתון מראש.
דוגמא.
−2x+4
) (x2 +1)(x−1כבר נתון כשדרגת המונה קטנה מדרגת המכנה וכשהמכנה
השבר 2
−2x+4
A
B
Cx+D
מוצג כמכפלת גורמיו האי פריקים .נציג (x2 +1)(x−1)2 = x−1 + (x−1)2 + x2 +1
כאשר ) C = 2, D = 1, A = −2, B = 1הצגה זו נקראת ההצגה כסכום של שברים
חלקיים( .לכן
Z
−2x + 4
dx
(x2 + 1)(x − 1)2
Z
Z
Z
−2
1
2x + 1
dx +
dx
+
dx
2
x−1
)(x − 1
x2 + 1
1
−2 ln |x − 1| −
+ ln(x2 + 1) + arctan x + C.
x−1
=
=
אנחנו נסתפק בדוגמא האפיינית הזו ולא ניתן כאן את הנוסחאות הכלליות
להצגה כסכום של שברים חלקיים ולא נוכיח כי השיטה אכן תקפה באופן כללי.
משהצגנו את השבר בעזרת שברים חלקיים ,עלינו לדעת איך לחשב את
האינטגרלים שלהם .אחרי שינויי משתנה לינאריים הם יהיו בעלי אחת מהצורות
הבאות:
R
(x−a)−j+1
1
)) (x−a)j dx = −j+1 + C (iאו ln |x − a| + Cכאשר .(j = 1
(x2 +a2 )−j+1
−j+1
)(ii
)(iii
=
2x
(x2 +a2 )j dx
R
.
+C
R
1
−2j+1
cos2j−2 tdt
(x2 +a2 )j dx = a
R
)בעזרת ההצבה .(x = a tan t
ביטויים עם שרשים
בביטויים כאלה אפשר בדר״כ להעזר בזהויות טריגונומטריות ,למשל:
6
R
√R
.הציבו ,x = sin uואז dx = cos u duומקבלים . cos2 udu
1 − x2 dx
)(i
כעת נשתמש בזהות cos2 u = (1 + cos 2u)/2והאיטגרל הוא
Z
p
1
1
.
(1 + cos 2u)du = (u + sin 2u)/2 + C = (arcsin x + x 1 − x2 )/2 + C
2
2
√
) (iiאם נציב x = cos uב־ ) (iנקבל (− arccos x+x 1 − x2 )/2שהיא ,לכאורה,
תשובה שונה ,אך למעשה הן נבדלות רק בקבוע כי .arcsin x + arccos x = π/2
√
) (iiiאם יש ביטוי רציונלי המכיל a2 − x2מתבקש לנסות את ההצבה = x
a sin uאו .x = a cos u
R
dx
לדוגמא ,לחישוב
√2x−xנשלים לריבוע ונציב u = x − 1ואח״כ .y = cos u
2
√
בביטויים רציונליים המכילים a2 + x2כדאי לנסות את ההצבה = x
)(iv
a tan uולהשתמש בזהות .1 + tan2 u = cos12 u
√
) (ivבביטויים רציונליים המכילים x2 − a2כדאי לנסות את ההצבה .x = sina t
1.2
אינטגרל מסוים
נתונה קבוצה במישור .מהו שטחה? לשאלה זו שני פנים :השאלה האחת היא
עקרונית ,האם אפשר ,ואם כן אז איך ,להגדיר שטח של קבוצה מישורית כללית
או ,לפחות ,של קבוצות מסויימות? השאלה השניה היא איך מחשבים את השטח.
נקודת המוצא היא הגדרת שטח המלבן :אורך הבסיס כפול הגובה .מכאן
נקבל גם תשובה פשוטה למשולש :ע״י חיתוך והרכבה השטח זהה לחצי שטח
מלבן עם אותו בסיס ואותו גובה .אך מה עם עיגול? כבר ארכימדס נתן שיטה
לחישוב מקורב של שטח העיגול :נחסום בעיגול מצולע משוכלל עם nצלעות.
את שטחו קל לחשב ,כי הוא מורכב ממשולשים שאת שטחם אנו יודעים לחשב.
כאשר nגדול המצולע מכסה כמעט את כל העיגול ,ולכן שטח העיגול הוא הגבול,
כאשר ∞ → ,nשל שטחים אלה.
אנחנו נשתמש באותו רעיון כדי להגדיר את מושג השטח ,ונעשה זאת בשלב זה
רק לקבוצות המוגבלות בין הגרף של פונקציה לבין ציר ה־ x־ים) .כמובן שאח״כ
נוכל לטפל גם בקבוצות הניתנות לפירוק והרכבה מקבוצות כאלה ,ואפילו צורות
כלליות יותר(.
השטח המוגבל בין הגרף של fלקטע ] [a, bנקרא האינטגרל של fבקטע,
Rb
Rb
ונסמנו ב־ ) a fולפעמים ב־ .( a f (x)dx
הערות (i) .בשלב זה ,זהו רק סימון .הקשר שלו עם הפונקציה הקדומה )שהוא
אחד מההשגים הגדולים של המתמטיקה( יתברר רק בהמשך.
Rb
ה־ xבסימון a f (x)dxהוא רק שם למשתנה )כמו jבסכום מהצורה
)(ii
PN
( j=M ajואפשר להחליף את xבכל סימן אחר ,כגון y, t, sוכדומה.
האינטגרל הוא מספר ואינו תלוי ב־ !x
) (iiiהשטח שנגדיר יהיה שטח עם סימן :שטח מעל ציר ה־ x־ים יקבל סימן
חיובי ,ושטח מתחת לציר יקבל סימן שלילי.
7
הצורה הבסיסית שאנו יודעים את שטחה היא המלבן ,ולכן אבני הבנין
היסודיות בתורה שנפתח תהיינה פונקציות המגבילות צורה מלבנית :פונקציות
שהן קבועות בקטע .המקרה הכללי יטופל בשלושה צעדים עפ״י ה״מורכבות״ של
.f
צעד :1יהי Iקטע חסום )שיכול להיות סגור ,פתוח או חצי פתוח( עם קצוות a
ו־ ,bונניח ש־ fמקבלת את הערך הקבוע cבקטע .אז השטח ש־ fמגבילה
Rb
הוא )) c(b − aשהוא שלילי אם cשלילי( ,ולכן ). a f = c(b − a
צעד :2נניח ש־ fהיא ״פונקצית מדרגה״ ,כלומר ,הקטע ] [a, bמחולק ל־ n
קטעים חלקיים הנקבעים ע״י נקודות החלוקה ,a = a0 < a1 < . . . < an = bכך
ש־ fמקבלת ערך קבוע ciבקטע שבין ai−1ו־ ) aiאין זה חשוב אם f (ai ) = ci
או .(ci−1הגרף של fמגביל איחוד זר של מלבנים ,עם בסיסים באורך ai − ai−1
Rb
Pn
וגבהים ciבהתאמה ,ולכן ) . a f = i=1 ci (ai − ai−1
צעד :3בשלב הסופי והעיקרי ,שלפיתוחו יוקדש סעיף זה ,נשתמש בתהליך גבולי.
כמו ארכימדס נקרב את השטח המבוקש ע״י צורות ״פשוטות״ ,ודרך טבעית
לעשות זאת היא ע״י קירוב של השטח ע״י פונקציות מדרגה עם חלוקה מאוד
עדינה של ] [a, bוכאשר ערכה בקטע ה־ iהוא ,למשל.ci = f (ai ) ,
מסיבות מתמטיות יש צורך ביותר גמישות בבחירת הגבהים ,ciונבחר אותם
כערכים ) ci = f (tiשל fכשמרשים בחירה שרירותית של הנקודות ] .ti ∈ [ai−1 , ai
נפנה כעת להגדרות פורמליות.
סימונים.
חלוקה Pשל הקטע ] [a, bהיא קבוצה סופית } P = {aiשל נקודות בקטע כך
ש־ .a = a0 < a1 < · · · < an−1 < an = b
נסמן ב־ ∆i = ai − ai−1את אורך הקטע החלקי ה־ i־י ,כלומר את האורך
של ] .[ai−1 , ai
הקוטר של החלוקה Pהוא .λ(P ) = max ∆i
1≤i≤n
הגדרה .תהי fפונקציה המוגדרת בקטע ] .[a, bיהיו } P = {aiחלוקה של הקטע ו־
] .ti ∈ [ai−1 , aiסכום רימן של הפונקציה fביחס לחלוקה Pולבחירה tiהוא
X
= ) R(P, f, ti
f (ti )∆i
הגדרה .נאמר שהפונקציה fהמוגדרת בקטע ] [a, bהיא פונקציה אינטגרבילית רימן
בקטע ,ושהאינטגרל שלה הוא המספר ,Iאם לכל ε > 0יש δ > 0עם התכונה
הבאה :לכל חלוקה } P = {aiשל הקטע עם קוטר λ(P ) < δולכל בחירה של נקודות
] ,ti ∈ [ai−1 , aiסכום רימן המתאים יקיים
X
¯
¯
. ¯I −
f (ti )∆i ¯ < ε
את האינטגרל של fנסמן ב־ f
Rb
a
.
8
טענה .אם fאינטגרבילית בקטע ,אז היא חסומה בו.
הוכחה .נניח כי fאינה חסומה ,ואז לכל חלוקה Pיש קטע חלקי ] [aj−1 , aj
אינה חסומה .נבחר את ה־ ti־ים עבור i 6= jבאופן כלשהו ונסמן
¯שגם בו f
¯P
¯ = .A
¯ f (ti )∆i
i6=j
נבחר נקודה tjבקטע החלוקה ה־ j־י כך ש־
כי fאינה חסומה בקטע זה( ,ואז
1
) λ(P
) |f (tj )∆j | > A +יש כזו
¯
¯ n
¯
¯X
1
¯
¯
> f (ti )∆i ¯ ≥ |f (tj )∆j | − A
∞→
¯
¯
¯
λ(P
)
i=1
כאשר .λ(P ) → 0
דוגמאות.
)(i
לא כל פונקציה חסומה היא אינטגרבילית .פונקצית דיריכלה
(
כאשר xרציונלי 0
= )D(x
כאשר xאירציונלי 1
איננה אינטגרבילית ,כי לכל חלוקה נוכל לבחור את ה־ ti־ים כרציונלים )ואז
סכום רימן המתאים הוא ,(0או לבחור אותם אי־רציונלים )ואז הסכום הוא (1
־ והקוטר של החלוקה איננו רלבנטי כלל.
הדוגמא הזו אומרת ,בפרט ,שיש קבוצות במישור שאי אפשר כלל להגדיר להן
שטח בשיטה זו! )בקורסים מתקדמים יותר תראו אינטגרל כללי יותר ,אינטגרל
לבג ,ופונקצית דיריכלה כן תהיה אינטגרבילית עפ״י לבג .אך אפילו אז ,אם
דורשים שהמושג ״שטח״ יקיים מספר דרישות טבעיות מאוד ,עדיין יש קבוצות
שאי אפשר להגדיר עבורן שטח.(.
) (iiקשה מאוד להשתמש באופן ישיר בהגדרה של אינטגרביליות רימן ,כי זה
מצריך התייחסות לכל החלוקות ולכל הבחירות האפשריות של נקודות tiבקטעי
החלוקה ,ומטרתנו הבאה תהיה מציאת שיטות יעילות יותר .אך לפני שנעשה זאת
נביא דוגמא פשוטה שבה בבחירה מסוימת של החלוקות ושל הנקודות אכן ניתן
הגבול.
לחשב את
R1
0 xdx = 1/2מכיון שזה שטח של משולש ,ונבנה סכומי רימן שנותנים תוצאה
זו .לכל nנסתכל בסכום רימן של f (x) = xהמתאים לחלוקה האחידה ,שנסמנה
ב־ Pn
1
2
n−1
n
0
< =1
0 = < < ...
n
n
n
n
n
ולבחירה
i
n
= ) tiכלומר לקצוות הימניים של הקטעים החלקיים( .ואז
µ
¶ X
n
n
X
i i
i−1
i 1
)n(n + 1
= ) . R(P, f, ti
−
=
= ·
→ 1/2
n n
n
n n
2n2
i=1
i=1
9
נשים לב כי בדוגמא האחרונה ,λ(Pn ) → 0ולכן אילו ידענו שהפונקציה = )f (x
R1
xאינטגרבילית ,אז החישוב שעשינו היה אכן מראה ש־ . 0 xdx = 1/2הנושא
הבא שלנו יהיה ,לכן ,מציאת תנאים שיבטיחו אינטגרביליות של פונקציה.
הגדרה .תהי fחסומה בקטע ותהי } P = {aiחלוקה שלו .נסמן
)f (x
inf
ai−1 ≤x≤ai
;
= mi
sup
)f (x
ai−1 ≤x≤ai
= Mi
) (iסכום דרבו העליון של fביחס לחלוקה Pהוא
Mi ∆i
n
X
= ) . U (P, f
i=1
באופן דומה סכום דרבו התחתון הוא mi ∆i
Pn
i=1
= ) .L(P, f
) (iiהאינטגרל העליון של fעל ] [a, bהוא
Z
b
) f = inf U (P, f
P
.
a
בדומה לזה האינטגרל התחתון של fעל ] [a, bהוא ) f = supP L(P, f
Rb
a
.
נשים לב שאם m ≤ f (x) ≤ Mב־ ] [a, bאז
)M ∆i = M (b − a
n
X
≤ ) m∆i ≤ L(P, f ) ≤ U (P, f
i=1
n
X
= )m(b − a
i=1
לכל חלוקה ,Pולכן האינטגרל העליון והתחתון סופיים.
סימונים.
) (iנאמר שחלוקה } Q = {biהיא עידון של החלוקה } P = {aiאם .Q ⊃ P
העידון המשותף של החלוקות Pו־ P 0הוא החלוקה .Q = P ∪ P 0
)(ii
התנודה של הפונקציה fבקטע Iהיא .ω(f, I) = sup f − inf f
x∈I
x∈I
למה .תהי fחסומה בקטע ,Iונסמן ב־ Ωאת התנודה של fבקטע .תהיינה P, Qחלוקות
של Iכך ש־ Qעידון של .P
) L(P, f ) ≤ L(Q, f ) (iו־ ) .U (Q, f ) ≤ U (P, f
) (iiאם Qמתקבלת מ־ Pע״י הוספת mנקודות חלוקה ,אז
U (Q, f ) ≥ U (P, f ) − mλ(P )Ωו־
10
L(Q, f ) ≤ L(P, f ) + mλ(P )Ω
הוכחה .נוכיח רק את הטענות על סכומי דרבו התחתונים .ההוכחה לסכומים
העליונים דומה.
Qמתקבלת מ־ Pע״י סדרה של עידונים כשבכל אחד מהם מוסיפים בדיוק
נקודה אחת ,לכן די להוכיח את שני חלקי הלמה כאשר Qמתקבל מ־ Pע״י
הוספת נקודה אחת cהנמצאת ,למשל ,בקטע ה־ j־י) .נשים לב שבאגף ימין
של ) (iiמופיעות ,בשלבים השונים ,חלוקות שונות .אך כולן מעדנות את ,Pולכן
הקוטר שלהן אינו עולה על ) .(λ(P
כל המחוברים ב־ ) L(P, fו־ ) L(Q, fפרט לאלה המתאימים לקטע ה־ j־י
זהים .המחובר ה־ j־י ב־ ) L(P, fהוא ) ,mj (aj − aj−1ואם נסמן
)f (x
inf
c≤x≤aj
; )f (x
= k2
inf
aj−1 ≤x≤c
= k1
אז ב־ ) L(Q, fמופיעים במקומו שני המחוברים ) .k1 (c − aj−1 ) + k2 (aj − cעפ״י
ההגדרות ) mj ≤ min(k1 , k2ו־ ,max(k1 , k2 ) ≤ mj + Ωולכן
) k1 (c − aj−1 ) + k2 (aj − c) ≤ (mj + Ω)(aj − aj−1
) mj (aj − aj−1 ) + Ωλ(P
≤ ) mj (aj − aj−1
≤
כמבוקש.
מסקנה .תהי fחסומה בקטע .Iאז לכל שתי חלוקות Pו־ P 0של Iמתקיים
) L(P, f ) ≤ U (P 0 , f
הוכחה .תהי Qעידון משותף של Pושל .P 0עפ״י חלק ) (iשל הלמה נקבל כי
) L(P, f ) ≤ L(Q, f ) ≤ U (Q, f ) ≤ U (P 0 , f
משפט .תהי fחסומה בקטע ] ,[a, bאז התנאים הבאים שקולים:
)(i
fאינגרבילית רימן בקטע.
) (iiהאינטגרל העליון והאינטגרל התחתון של fשווים:
b
Z
f
b
Z
=f
a
a
) (iiiלכל εיש חלוקה Qשל הקטע כך ש־
0 ≤ U (Q, f ) − L(Q, f ) < ε
11
Rb
Rb
הוכחה .מהמסקנה נובע מיד כי , a f ≤ a fונראה תחילה את השקילות של
התנאים ) (iiו־ ).(iii
אם ) (iiמתקיים ,אז עפ״י הגדרת האינטגרל העליון והתחתון יש ,לכל ,ε > 0
Rb
Rb
Rb
חלוקות Pו־ P 0כך ש־ U (P, f ) ≤ a f + 2εוכך ש־ ,L(P 0 , f ) ≥ a f − 2ε = a f − 2ε
ולכן .U (P, f ) ≤ L(P 0 , f ) + εעפ״י ) (iבלמה נקבל שאם Qעידון משותף שלהן
אז גם ,U (Q, f ) ≤ L(Q, f ) + εו־ ) (iiiמתקיים.
אם ) (iiאינו מתקיים ,אז לכל חלוקה Qיתקיים
Z
b
f = ε0 > 0
Z
b
f−
a
≥ ) U (Q, f ) − L(Q, f
a
להוכחת השקילות של ) (iלתנאים האחרים ,נשים תחילה לב כי בהנתן חלוקה
Pאז כל סכום רימן עבור חלוקה זו מקיים ) ) L(P, f ) ≤ R(P, f, ti ) ≤ U (P, fכי
לכל בחירה של tiבקטע החלוקה ה־ i־י מתקיים .(mi ≤ f (ti ) ≤ Miיתר על כן,
אם כל ה־ mi־ים וה־ Mi־ים מתקבלים ,אפשר לבחור את ה־ ti־ים כנקודות בהן
הם מתקבלים ולקבל את ) L(P, fו־ ) U (P, fכסכומי רימן .גם אם מישהו מהם
אינו מתקבל אז עדיין אפשר ,בבחירות מתאימות של ה־ ti־ים ,לקרב כרצוננו את
) L(P, fו־ ) U (P, fע״י סכומי רימן המתאימים.
אינטגרבילית רימן¯ ,ואז בהנתן εנוכל לבחור חלוקה עדינה
כעת נניח ש־ f
¯¯ R b
¯
מספיק Pכך ש־ ¯R(P, f ) − a f ¯ < 2εלכל סכום רימן המתאים ל־ .Pע״ס
¯
¯
¯¯ R b
¯¯ R b
¯
¯
ההערה לעיל נקבל שגם ¯L(P, f ) − a f ¯ < 2εוגם ,¯U (P, f ) − a f ¯ < 2εותנאי
) (iiiמתקיים.
Rb
Rb
להפך ,ונניח ש־ ) (iiמתקיים ונסמן . a f = a f = I
נבחר חלוקה ∗ Pכך ש־ U (P ∗ , f ) < I + 2εונניח שיש בה mנקודות .נסמן
ε
.δ1 = 2mΩתהי Pחלוקה המקיימת
ב־ Ωאת התנודה של fבקטע ונבחר
∗
,λ(P ) < δ1ונסמן ב־ Qאת העידון המשותף של Pו־ Pונשים לב כי ב־ Qיש
לכל היותר mנקודות יותר מאשר ב־ .Pעפ״י הלמה )חלק ) (iiלאי השוויון השני
ו־ ) (iלרביעי( ועפ״י בחירת δ1נקבל כי כל סכום רימן המתאים ל־ Pיקיים
≤ U (P, f ) ≤ U (Q, f ) + mλ(P )Ω
ε
ε
< U (Q, f ) + ≤ U (P ∗ , f ) + < I + ε
2
2
) R(P, f
באופן דומה נמצא δ2כך שלכל חלוקה Pהמקיימת λ(P ) < δ2ולכל סכום
רימן המתאים לה יתקיים .R(P, f ) > I − εאם Pתקיים ) λ(P ) < min(δ1 , δ2
יתקיימו שני התנאים ביחד ,ולכן .|R(P, f ) − I| < ε
הערות (i) .נשים לב שקבלנו מההוכחה שאם fאינטגרבילית רימן אז
מתלכד עם האינטגרל העליון והתחתון.
f
Rb
a
) (iiאת השקילות של אינטגרביליות רימן לתנאי ) (iiiניתן לנסח בצורה הנוחה
הבאה ,שבה נשתמש בפועל:
12
P
fאינטגבילית רימן בקטע Iאםם לכל ε > 0יש חלוקה Qכך ש־ , ωi ∆i < ε
כאשר ) ωi = ω(Ii , fהוא התנודה של fבקטע החלוקה ה־ i־י ,Ii ,של .Q
במשפטים הבאים נשתמש בקריטריון שמצאנו כדי להראות שפונקציות חסומות
מטיפוסים מסויימים הן אינטגרביליות.
משפט .תהי fרציפה בקטע סגור ] ,[a, bאז היא אינטגרבילית שם.
הוכחה .נזכור מאינפי 1כי פונקציה רציפה בקטע סגור רציפה בו במידה שווה,
כלומר ,לכל ε > 0קיים ) δ = δ(εכך שלכל שתי נקודות x, yבקטע המקיימות
|x − y| < δמתקיים .|f (x) − f (y)| < ε
בפרט נקבל כי אם Pחלוקה המקיימת ,λ(P ) < δאז ωi < εלכל ,iולכן
X
X
ωi ∆i < ε
)∆i = ε(b − a
והביטוי ) ε(b − aקטן כרצוננו.
מהמשפט נובע שהפונקציה ,f (x) = xשראינו בדוגמא ,היא אכן אינטגרבילית,
ולכן החישוב שעשינו אכן מראה שהאינטגרל שלה הוא . 21
משפט .תהי fמונוטונית בקטע סגור ] ,[a, bאז היא אינטגרבילית שם.
הוכחה .נניח למשל ש־ fלא יורדת .נסתכל בחלוקה האחידה Pnשל הקטע ל־
∆i = b−aלכל ,iובקטע החלוקה ה־ i־י ] [ai−1 , ai
nקטעים חלקיים שווים ,ואז n
מתקיים ש־ ) mi = f (ai−1ו־ ) .Mi = f (aiולכן
¡X
¢
¢
¡b − a X
= f (ai ) − f (ai−1 ) ∆i
) f (ai ) − f (ai−1
n
¢
¡ )(b − a
f (b) − f (a) → 0
∞→n
n
=
ωi ∆i
X
=
משפט .אם fחסומה ויש לה רק מספר סופי של נקודות אי־רציפות ב־ ] ,[a, bאז f
אינטגרבילית בקטע.
הוכחה .כדי לפשט את הסימונים נניח שיש ל־ fרק נקודת אי רציפות אחת,
ונסמנה ב־ .cנניח גם כי cנקודה פנימית )ההוכחה דומה כשהיא נקודת קצה(.
נקבע .ε > 0היות ו־ fחסומה ,יש לה תנודה סופית ,Ωונבחר η > 0כך
רציפה ,ולכן אינטגרבילית .לכן יש
ש־ .2ηΩ < 3εבקטע ][a, c − η
P
הפונקציה P f
ε
)כאשר אנחנו מסמנים ב־ P
חלוקה Pשל ] [a, c − ηהמקיימות P ωi ∆i < 3
את הסכום על קטעי החלוקה .(P
P
באופן דומה יש חלוקה Sשל ] [c + η, bהמקיימת . S ωi ∆i < 3ε
13
נסתכל כעת בחלוקה Qהמתקבלת מצרוף שתי החלוקות Pו־ ,Sכשגם הקטע
] Ic = [c − η, c + ηהוא קטע בחלוקה .Qואז עפ״י בחירת ηנקבל
X
X
X
ωi ∆i + ωIc 2η +
ωi ∆i
= ωi ∆i
P
Q
ε
ε
+ 2ηΩ + < ε
3
3
Q
≤
נעבור כעת לדון בתכונות הבסיסיות של האינטגרל.
משפט .תהיינה fו־ gפונקציות אינטגרביליות בקטע ] ,[a, bאז
) (iלכל α, β ∈ Rגם הפונקציה αf + βgאינטגרבילית בקטע ,ומתקיים
Z
b
g
Z
b
f +β
a
a
) (iiאם f ≤ gבקטע אז
a
Z
g
בפרט ,אם f ≥ 0אז f ≥ 0
a
b
(αf + βg) = α
b
Rb
Z
b
Z
≤f
a
a
,ואם m ≤ f (x) ≤ Mלכל xבקטע ,אז
Z
b
≤ )m(b − a
)f ≤ M (b − a
a
) (iiiאם a < c < bאז fאינטגרבילית בכל אחד מהקטעים החלקיים ] [a, cו־ ][c, b
ומתקיים
Z b
Z c
Z b
=f
f+
f
c
a
a
הוכחה .נקבע חלוקה Pונקודות tiבקטעי החלוקה ,ואז סכומי רימן של g ,fו־
αf + βgמקיימים
) R(P, αf + βg, ti ) = αR(P, f, ti ) + βR(P, g, ti
ואם f ≤ gאז
) R(P, f, ti ) ≤ R(P, g, ti
וכעת ) (iו־ ) (iiנובעים ע״י מעבר לגבול כאשר .λ(P ) → 0
להוכחת ) (iiiנוכיח תחילה ש־ fאינגרבילית בקטעים החלקיים ] [a, cו־ ]:[c, b
היות ו־ fאינטגרבילית ב־ ] [a, bיש לכל ε > 0חלוקה Pשל ] [a, bכך ש־
P
)∗(
ωi ∆i < ε
14
ע״י הוספת הנקודה cל־ Pהביטוי הזה רק יקטן ,ולכן בה״כ c ∈ Pוהחלוקה
Pמשרה חלוקות P1ו־ P2של ] [a, cו־ ] [c, bבהתאמה f .אינטגרבילית בקטעים
החלקיים כי גם חלוקות אלה תקיימנה את )∗( )כסכומים חלקיים מתאימים של
הסכום באגף שמאל(.
משהוכחנו שאגף ימין מוגדר היטב ,השוויון נובע ע״י מעבר לגבול בסכומי רימן,
כמו בהוכחת ) (iו־ ) ,(iiכשמשתמשים רק בחלוקות המכילות את הנקודה .c
Rb
ראינו במשפט כי אם f ≥ 0אז . a f ≥ 0בד״כ העובדה שיש
הערות(i) .
Rb
נקודה x0שבה f (x0 ) > 0אינה מספיקה כדי לקבל אי שוויון חריף , a f > 0
למשל ,אם fזהותית 0פרט לערך חיובי בנקודה הבודדת .x0אך אם fרציפה
אכן מתקבל אי שוויון חריף :אם f (x0 ) = c > 0אז מרציפות fנובע שיש סביבה
] [x0 − δ, x0 + δשבה מתקיים ,f (x) ≥ 2c > 0ולכן
c
>0
2
b
Z
Z
x0 +δ
f+
f ≥ 2δ
x0 +δ
x0 −δ
Z
f+
b
Z
=f
a
x0 −δ
a
כי כל המחוברים אי־שליליים ,והמחובר האמצעי גדול מ־ .2δ 2c
Rb
) (iiהאינטגרל a fהוגדר עבור .a < bבאופן פורמלי נגדיר כעת
b
Z
f
a
Z
f =−
b
a
הגדרה זו משחררת מהצורך להשגיח על סדר הגבולות ,וכל כללי האינטגרל
נשמרים .בפרט הנוסחה ב־ ) (iiiנשארת בתוקף ,ואם fאינטגרבילית בקטע
] [a, bאז לכל ] α, β, γ ∈ [a, bמתקיים
Z
β
f
γ
f+
γ
Z
β
Z
=f
α
α
בלי תלות בסדר של ) .α, β, γהוכיחו זאת כתרגיל!(.
את הוכחת המשפט הבא נשאיר כתרגיל
משפט .אם fאינטגרבילית בקטע ] ,[a, bואם g = fפרט למספר סופי של נקודות ,אז
Rb
Rb
גם gאינטגרבילית בקטע ומתקיים ש־ . a g = a f
נסיים את הפרק על אינגרל רימן בעוד כמה תוצאות על אינטגרביליות.
משפט .תהי fאינטגרבילית ב־ ] ,[a, bותהי ϕרציפה בקטע סגור Iהמכיל את הטווח
של ,fאז גם ההרכבה ϕ ◦ fאינטגרבילית ב־ ].[a, b
15
הוכחה .נקבע .ε > 0הפונקציה ϕרציפה בקטע סגור ,לכן היא חסומה בו ,ויש
לה תנודה סופית בקטע שנסמנה ב־ .Ωהיא גם רציפה ב־ Iבמ״ש ,ולכן יש
δ > 0כך שלכל s, t ∈ Iכך ש־ |s − t| < δמתקיים .|ϕ(s) − ϕ(t)| < εבה״כ נוכל
להניח כי .δ < ε
P
נבחר כעת חלוקה Pשל ] [a, bכך ש־ , ωif ∆i < δ 2כאשר ωifהיא התנודה
של fבקטע החלוקה ה־ i־י ,ונסמן ב־ ωiϕ◦fאת התנודה של ϕ◦fבקטע החלוקה
ה־ i־י.
המשפט יוכח כשנראה כי
P ϕ◦f
)∗(
)ωi ∆i < ε(b − a + Ω
לשם כך נסמן
}I2 = {i : ωif ≥ δ
;
}I1 = {i : ωif < δ
P
P
כאשר
1+
)∗( לשני סכומים חלקיים2 :
ונפרק את הסכום באגף שמאל שלP
P
הוא הסכום על ,i ∈ I2ונעריך כל אחד
הוא הסכום על ,i ∈ I1ו־ 2
1
מהסכומים האלה לחוד.
אם ,i ∈ I1אז עפ״י בחירת δנקבל כי ,ωiϕ◦f < εולכן
X X ϕ◦f
X
=
ωi ∆i < ε
)∆i ≤ ε(b − a
i∈I1
i∈I1
להערכת
P
2
1
נששתמש בכך ש־ ωif ≥ δלכל i ∈ I2ולכן
X f
X f
X
> δ2
≥ ωi ∆i
≥ ωi ∆i
δ∆i
i∈I2
i∈I2
וע״י חלוקה ב־ δנקבל כי ∆i < δ
∆i < δΩ < εΩ
P
i∈I2
X
,והיות ש־ ωiϕ◦f ≤ Ωלכל iנקבל
ωiϕ◦f ∆i ≤ Ω
X
i∈I2
i∈I2
=
X
2
הדוגמאות ) (iiו־ ) (iiiהבאות חשובות מאוד ומשתמשים בהן לעתים קרובות.
דוגמאות.
) (iאם נקח ,ϕ(t) = t2נקבל כי f 2אינטגרבילית לכל fאינטגרבילית) .ובאופן
דומה גם f nאינטגרבילית לכל fאינטגרבילית(.
אם fו־ gאינטגרביליות כך גם ,f gכי נציג
)(ii
הפונקציות באגף ימין אינטגרביליות ע״ס ).(i
(f +g)2 −f 2 −g 2
2
= ,f gוכל
) (iiiאם נקח | ,ϕ(t) = |tנקבל כי | |fאינטגרבילית לכל fאינטגרבילית .הפעלת
¯Rb ¯ Rb
≤ ¯ .¯ f
אי שוויון המשולש על סכומי רימן תיתן גם כי | |f
a
a
) (ivאם נקח ,ϕ(t) = 1/tנקבל כי 1/fאינטגרבילית לכל fאינטגרבילית כך
שיש c > 0באופן ש־ |f (x)| ≥ cלכל .x
16
הדוגמאות הקודמות מראות שביצוע פעולות ״אלגבריות״ על fשומר על
)(v
תכונת האינטגרביליות .אך ,כפי שהדוגמא הבאה מראה תהליכי גבול אינם
שומרים בהכרח על האינטגרביליות ,ויש לטפל בהם בזהירות רבה) .אנחנו נטפל
בתהליכי גבול כאלה בהמשך(.
נסדר את הרציונלים בקטע ] [0, 1בסדרה } ,{snונגדיר
(
כאשר } 0 x ∈ {s1 , . . . , sn
= )fn (x
אחרת 1
אז ה־ fn־ים אינטגרביליות )כי יש להן רק מספר סופי של נקודות אי רציפות(,
אך לכל ] x ∈ [0, 1מתקיים כי ) ,limn→∞ fn (x) = D(xכאשר Dהיא פונקצית
דיריכלה ,וכפי שראינו היא אינה אינטגרבילית.
הגדרה .קבוצה E ⊂ Rנקראת ״בעלת מידה 0״ אם לכל εיש כיסוי של Eע״י סדרת
קטעים )סופית או אינסופית( } {Inשסכום ארכיהם קטן מ־ .ε
דוגמאות.
כל קבוצה בת מניה היא בעלת מידה ,0כי נסמן את אבריה ב־ } ,{an
)(i
P
ε
ε
ε
ובהנתן εנגדיר ) ,In = (an − 2n+1 , an + 2n+1ואז סכום ארכיהם הוא = n≥1 2n
.ε
יש גם קבוצות לא בנות מניה שהן בעלת מידה .0בתרגיל תבנו קבוצה
)(ii
כזו :קבוצת קנטור.
הוכיחו כתרגיל שקטע לא מנוון ] [a, bאינו בעל מידה ) .0רמז :הוכיחו
)(iii
תחילה שאם הקטע מכוסה ע״י מספר סופי של קטעים ,אז סכום ארכיהם הוא
לפחות .b − aאח״כ הראו כי בה״כ אפשר להניח כי קטעי הכיסוי פתוחים,
והשתמשו בלמה של היינה־בורל כדי לעבור לתת כיסוי סופי(.
נסיים במשפט המאפיין באופן מלא מתי פונקציה היא אינטגרבילית.
משפט].לבג[ פונקציה חסומה fהמוגדרת בקטע Iהיא אינטגרבילית שם אםם קבוצת
נקודות אי הרציפות שלה היא בעלת מידה .0
הוכחה .נביא רק את ההוכחה של צד אחד של המשפט :אם קבוצת נקודות אי
הרציפות של ) fשנסמנה ב־ (Eהיא בעלת מידה ,0אז היא אינטגרבילית.
נסמן את ארכו ב־ |.|J
נסמן את התנודה של fב־ .Ωלכל קטע P J
נקבע ε > 0ונמצא חלוקה Pכך ש־ . wi ∆i < εלשם כך נגדיר כיסוי פתוח
של Iבאופן הבא :לכל נקודת רציפות x ∈ Iשל fנמצא קטע פתוח Ixהמכיל
ε
| .ω(f, Ix ) < 2|Iהאיחוד ∪Ixבוודאי מכסה את ,I \ Eוכדי לקבל
אותה כך ש־
Pנוסיף לכיסוי עוד סדרת קטעים פתוחים Inהמכסה את Eוכך
כיסוי של כל I
ε
ש־
. |In | < 2Ω
17
ע״ס הלמה של היינה־בורל יש לכיסוי הזה תת כיסוי סופי ,ונסמן ב־ Pאת
ע״י קצוות הקטעים בתת הכיסוי הסופי הזה.
החלוקה הנקבעת P
נבחין בשני סוגים של קטעי חלוקה .הסוג הראשון הוא
להערכת wi ∆i
קטעים המוכלים בקטע מהטיפוס .Ixבכל קטע כזה התנודה ωiשל fבקטע
ε
| 2|Iותרומתם הכוללת לסכום היא
קטנה מ־
ε X
ε
≤ ∆i
1
|2|I
2
≤ wi ∆i
X
1
כי סכום ארכיהם בודאי אינו עולה על אורך הקטע Iכולו.
הסוג השני הוא קטעים המוכלים בקטע מהטיפוס ,Inותרומתם הכוללת
לסכום היא
X
X
X
ε
wi ∆i ≤ Ω
∆i ≤ Ω
≤ | |In
2
2
2
P
ε
. |In | ≤ 2Ω
כי
יש אולי קטעי חלוקה שהם גם מסוג הראשון וגם מסוג השני ,ואלה נספרים
פעמיים ,ולכן
X
X
X
ε ε
≤ wi ∆i
wi ∆i +
wi ∆i < + = ε
1
2
2 2
הצד שהוכחנו של המשפט מכיל ,כמובן ,את המשפט שפונקציה חסומה עם
מספר סופי של נקודות אי־רציפות היא אינטגרבילית .כפי שהטענה הבאה מראה,
הוא מכיל גם את המשפט שפונקציה מונוטונית בקטע סגור היא אינטגרבילית.
טענה .לפונקציה מונוטונית בקטע סגור יש לכל היותר מספר בן מניה של נקודות אי־
רציפות
הוכחה .כזכור ,נקודות אי הרציפות של פונקציה מונוטונית הן נקודות קפיצה.
לכל nנסמן ב־ Cnאת קבוצת הנקודות שבהן יש ל־ fקפיצה גדולה מ־ 1/n
ונראה כי כל Cnהיא סופית .לכן קבוצת כל נקודות אי־הרציפות ,∪Cn ,בת מניה.
נניח כי fאינה יורדת והקטע הוא ] ,[a, bונסמן ב־ Jxאת הקפיצה של f
בנקודה ,xואז
X
1
≥ )f (b) − f (a
| Jx ≥ |Cn
n
x∈Cn
ולכן ∞ < )).|Cn | ≤ n(f (b) − f (a
1.3הקשר בין האינטגרל המסויים לפונקציה הקדומה.
Rx
= ) .F (xהפונקציה
תהי fאינטגרבילית בקטע ] [a, bונגדיר פונקציה חדשה f
Fמוגדרת היטב בקטע ,ונחקור את תכונותיה.
Rx
משפט .תהי fאינטגרבילית בקטע ] ,[a, bאז הפונקציה F (x) = a fרציפה בו.
a
18
הוכחה .אם fאינטגרבילית ב־ ] [a, bאז היא חסומה בו ונניח כי |f (x)| ≤ M
לכל ] .x ∈ [a, bנראה כי Fרציפה במ״ש .נקבע ε > 0ונבחר .δ = ε/Mאם
x < yמקיימות ,y − x < δאז
Z y
Z x
Z y
= )F (y) − F (x
f−
=f
f
x
a
a
ולכן
y
|f | ≤ M |y − x| < δM = ε
x
¯ Z
¯
≤ ¯¯ f
y
¯Z
¯
¯¯ = |). |F (y) − F (x
x
משפט].המשפט היסודי של החדו״א[ תהי fאינטגרבילית ב־ ] [a, bורציפה בנקודה ∈ x0
Rx
] ,[a, bאז F (x) = a fגזירה ב־ x0ומתקיים
) . F 0 (x0 ) = f (x0
)אם x0נקודת קצה של הקטע אז הנגזרת היא חד־צדדית(.
הוכחה .נבדוק נגזרת מימין .נבחר x > x0ונציג
Z x
Z x0
Z x
= ) . F (x) − F (x0
f−
=f
f
x0
a
נסמן ) Mx = sup f (tו־ )f (t
x0 ≤t≤x
a
inf
x0 ≤t≤x
= ,mxואז אי השוויונים
x
Z
≤ ) mx (x − x0
) f ≤ Mx (x − x0
x0
נותנים כי
) F (x) − F (x0
≤ mx
≤ Mx
x − x0
אך רציפות fב־ x0נותנת כי ) , lim+ mx = lim+ Mx = f (x0ולכן
x→x0
x→x0
) F (x) − F (x0
) = f (x0
x→x0 +
x − x0
lim
.
באופן דומה מראים כי ) .F−0 (x0 ) = f (x0
(
−1 x < 0
= )f (x
הערה .הנחת הרציפות של fב־ x0חיונית .למשל ,הפונקציה
1
x≥0
אינה רציפה בנקודה ,x0 = 0וחישוב ישיר מראה כי | ,F (x) = |xשאינה גזירה
בנקודה.
19
מסקנה .אם fרציפה ב־ ] [a, bאז יש לה פונקציה קדומה בקטע .פונקציה קדומה כזו
Rx
ניתנת ע״י הנוסחה .F (x) = a f
התחתון בהגדרת Fדוקא כקצה הקטע
הערות (i) .אין חשיבות לקביעת הגבול
Rx
.aאם נבחר איזושהי נקודה cבקטע ונגדיר F1 (x) = c fאז F1 −Fהיא הקבוע
Rc
a fולכן יש להן אותה נגזרת.
אם
אפשר להסתכל על האינטגרל גם כפונקציה של הגבול התחתון.
)(ii
Rx
Rb
G(x) = x fאז נוכל גם להציג G(x) = − b fולכן ).G0 (x) = −f (x
)R b(x
אם ) b(xפונקציה גזירה ואם H(x) = a fאז ))H(x) = F (b(x
)(iii
וכשגוזרים עפ״י כלל השרשרת מקבלים ).H 0 (x) = f (b(x))b0 (x
)R b(x
) (ivבאופן כללי יותר ,אם φ(x) = a(x) fאז )) φ(x) = F (b(x)) − F (a(xולכן
).φ0 (x) = f (b(x))b0 (x) − f (a(x))a0 (x
2
R
7x
d
. dx
למשלsin tdt = 14x sin(7x2 ) − (− sin x) sin(cos x) ,
cos x
המשפט הבא )והמשפט שלאחריו( הם תרגום של המשפט היסודי של החדוא
לנוסחה מעשית לחישוב האינטגרל המסויים
משפט].נוסחת ניוטון־לייבניץ[ תהי fרציפה ב־ ] [a, bותהי Gפונקציה קדומה שלה ,אז
b
Z
.
)f = G(b) − G(a
a
Rx
הוכחה .הפונקציה F (x) = a fגם היא פונקציה קדומה של ,fולכן יש קבוע C
כך ש־ .G = F + Cנציב ,x = aואז F (a) = 0נותן כי ),C = G(a) − F (a) = G(a
ולכן
Z b
.
)f = F (b) = G(b) − C = G(b) − G(a
a
Rb
נוסחת ניוטון לייבניץ מאפשרת לחשב את a fבלי חלוקות ובלי קירובים ־
פשוט מוצאים פונקציה הקדומה ל־ fומשתמשים בנוסחה .למשל
Z π
¯π
¯
sin xdx = − cos x¯ = − cos π − (− cos 0) = 2
.
0
0
למעשה ניתן להשתמש בנוסחה דומה גם בתנאים יותר כלליים ,ולהחליש את
הדרישה שהאינטגרנד הוא פונקציה רציפה.
20
משפט .תהי fאינטגרבילית ב־ ] [a, bונניח שיש פונקציה רציפה Gכך ש־ Gגזירה
ומקיימת ) G0 (x) = f (xלכל xבקטע פרט לקבוצה סופית } C = {ciשל נקודות .אז
Z
b
.
)f = G(b) − G(a
a
הוכחה .נתבונן בחלוקה } P = {aiהמעדנת את החלוקה הנקבעת ע״י ,Cואז בכל
קטע חלוקה Gמקיימת את תנאי משפט לגרנז׳ ,ולכן יש נקודה ] ti ∈ [ai−1 , aiכך
ש־
G(ai ) − G(ai−1 ) = G0 (ti )∆i = f (ti )∆i
ולכן
¢ X
= ) G(ai ) − G(ai−1
f (ti )∆i
¡X
= )G(b) − G(a
אך אגף ימין הוא סכום רימן של fולכן שואף ,כשהחלוקה Pמתעדנת ,ל־
Rb
. af
למשל G(x) = |x| ,רציפה ,גזירה פרט לנקודה הבודדת ,x0 = 0ונגזרתה שם
היא
(
−1 x < 0
0
= )G (x) = f (x
1
x>0
¯b
Rb
¯
ואכן ¯| a f = |xלכל .a, b
a
1.4שימושים של האינטגרל המסוים
) (iאפשר לחשב בעזרת אינטגרלים גם שטחים של קבוצות יותר כלליות .למשל,
השטח שבין שני גרפים ניתן לחישוב כהפרש השטחים שהם מגבילים .לדוגמא,
השטח )הגיאומטרי( שבין הגרפים של x2ושל x3מעל הקטע ] [0, 2הוא
(x3 − x2 )dx
2
Z
2
3
Z
1
3
(x − x )dx +
1
2
Z
2
= |x − x |dx
0
0
) (iiגוף נע לאורך הציר הממשי כשמהירותו בזמן tהיא ) v(tס״מ/לשניה .בזמן
t = 0הוא נמצא בנקודה .aאיפה הוא ימצא בזמן ?t = T
נסמן את מיקומו בזמן tב־ ) .S(tכידוע ) S 0 (t) = v(tולכן )בהנחה ש־ v
RT
פונקציה רציפה ,כך שנוסחת ניוטון לייבניץ תקפה( .S(T ) = a + 0 v(t)dt
הערה (a) .הגדרת האינטגרל כשלילי כשהפונקציה שלילית נראתה ״מלאכותית״
כשעסקנו בחישובי שטחים .כשאנחנו מסתכלים על הנוסחאות לאינטגרל כמבטאות
את מיקומו של הגוף זה מובן מאליו :הגוף נע ימינה כשהמהירות חיובית ושמאלה
כשהיא שלילית!
21
אם רוצים לחשב את הדרך הכוללת שהגוף עובר עד לזמן ) Tולא את מיקומו(
RT
אז הנוסחה היא . 0 |v(t)|dtלדוגמא ,נניח כי v(t) = sin tו־ .a = 0אז = ) S(T
,− cos Tשיכול להיות )עפ״י הערך של (Tחיובי ,שלילי או אפס .המרחק הכולל
RT
שהגוף יעבור עד לזמן Tהוא . 0 | sin t|dt
RT
) (bחשוב מאוד להבין את הנוסחה S(T ) = a + 0 v(t)dtגם עפ״י ההגדרה של
האינטגרל כגבול של סכומי רימן :נקח חלוקה עדינה 0 < t1 < . . . < tN = Tשל
הקטע ] ,[0, Tואז הגוף מועתק בקטע החלוקה ה־ i־י בערך ב־ ) ,v(ti )(ti − ti−1
PN
הוא קירוב של ההעתק הכללי האמיתי
ולכן סכום רימן ) i=1 v(ti )(ti − ti−1
בפרק הזמן שבין t = 0לבין .t = T
אבל מבחינה מתמטית סכום זה גם מקרב )עפ״י הגדרת האינטגרל( את
RT
האינטגרל . 0 v(t)dtולכן כשעוברים לגבול מקבלים כי האינטגרל מתלכד עם
ההעתק.
לחשוב
) (cזה גם המקום להסביר את הסימון לאינטגרל המסוים .דרך טובה
Pn
על האינטגרל המסוים היא כעל ״סכום רציף״ .נסתכל בסכום רימן i=1 f (ti )∆i
של fבקטע ] [a, bביחס לחלוקה מסוימת } .P = {aiכשהחלוקה הולכת ומתעדנת
המחוברים הולכים וקטנים ומספרם גדל .בגבול מחליפים את האורך )הקטן( ∆i
ב״אורך האיפיניטיסימלי״ ,dxאת המחוברים f (ti )∆iב״מחובר האיפיניטיסימלי״
f (x)dxואת המספור שלהם ,שהוא iבין 1ל־ ,nב״מספור רציף״ שהוא xבין
Rb
Pn
מוחלף בסימן האינטגרל aו־ ∆iמוחלף ב־
aלבין ) .bובאופן קליגרפי i=1
.(dxהאנלוגיה הזו הביאה להכללת ה־ dxבסימון.
יתר על כן ,לכל גורם בתוך האינטגרל יש יחידות :ל־ ) f (xיש היחידות של
fול־ dxהיחידות של ,∆iכלומר של .xבאופן כזה ל״סכום הרציף״ ,האינטגרל
Rb
Pn
, a f (x)dxיש אותן יחידות כמו לסכומי רימן . i=1 f (xi )∆i
Rb
בחישובי השטחים הן ל־ xוהן ל־ fיש יחידות אורך ,ולכן לאינטגרל f (x)dx
a
יש יחידות שטח .בדוגמא עם המהירות ל־ tיש יחידות זמן ול־ vיש יחידות
Rb
מהירות ,כלומר אורך/זמן ,ולכן לאינטגרל a v(t)dtיש יחידות אורך.
ההסתכלות על האינטגרל כסכום רציף היא מאוד אינטואיטיבית ויעילה,
ומהנדסים ופיסיקאים משתמשים בה לעתים קרובות .אנחנו נדגים זאת גם בחלק
מהדוגמאות הבאות.
) (iiiתיל )המזוהה מתמטית עם הקטע ] ([a, bהוא בעל צפיפות משתנה .נסמן
ב־ ) m(xאת המסה של הקטע ] ,[a, xואז צפיפות המסה בנקודה xניתנת ע״י
) ,ρ(x) = limh→0 m(x+h)−m(xכלומר ).ρ(x) = m0 (x
הקשר
h
אם נתונה הצפיפות ,ρ(x) ,אז Rעפ״י המשפט היסודי של החדו״א אפשר לשחזר
x
את המסה ע״י הנוסחה .m(x) = a ρ(t)dtהיחידות של ρהן מסה/אורך ,היחידות
של xהן אורך ,ושל mמסה.
בהסתכלות על האינטגרל כסכום רציף אנחנו מסכמים את המסה האיפיניטיסימלית,
,ρ(x)dxשל הקטע האיפיניטיסימלי ] [x, x + dxעבור כל ערכי xבין aבין .b
הערה .המכנה המשותף לדוגמאות בהן יופיע אינטגרל הוא שלגודל הפיסיקלי
שאותו מנסים לחשב )שטח ,העתק ,מסה וכו׳( יש שתי תכונות:
אדיטיביות ־ כשמפרקים קטע של המשתנה החפשי xלקטעים חלקיים ,הגודל
הכולל המבוקש )שטח ,העתק ,מסה( הוא סכום הגדלים בקטעים החלקיים.
22
מכפלה ־ כאשר הפונקציה הנתונה קבועה בקטע )גובה ,מהירות ,צפיפות( אז
הגודל המבוקש הוא מכפלת הקבוע באורך הקטעPn.
כשתכונות אלה מתקיימות הסכומים i=1 f (ti )∆iנותנים קירוב של התוצאה
המבוקשת ,כי הם מקרבים את fע״י פונקצית המדרגות המקבלת את הערך
הקבוע ) f (tiבקטע החלוקה ה־ i־י .אך הסכומים הם בדיוק סכומי רימן
Rb
המקרבים את . a f
דוגמא נוספת מאותו סוג :העבודה הנעשית כשגוף בעל מסת יחידה נע
)(iv
לאורך הקטע ] [a, bכאשר הכח הפועל עליו בנקודה xהוא ) .f (xאם הכח
) f (xהוא קבוע ,F1 ,אז העבודה היא המכפלה ) (b − a)F1בנירמול מתאים של
היחידות( ,כמו כן הסכום של העבודות בקטעים זרים נותן את העבודה הכוללת.
Rb
לכן כאשר fאינה קבועה העבודה הכוללת היא ״הסכום הרציף״ . a f (x)dx
Rb
) (vהערך הממוצע של fבקטע ] [a, bהוא ) a f (x)dx/(b−aוהממוצע המשוקלל
Rb
Rb
הוא , a f (x)w(x)dxכאשר פונקצית השקלול היא w(x) ≥ 0ו־ . a w(x)dx = 1
) (viתהי fפונקציה גזירה ברציפות בקטע ] ,[a, bאז האורך של הגרף שלה ניתן
Rbp
ע״י הנוסחה . a 1 + (f 0 (x))2 dxנראה זאת בשתי דרכים ,אך נתחיל בהגדרת
האורך של הגרף .נזכור כי אורך הקטע המחבר את הנקודות ) (a1 , a2ו־ ) (b1 , b2
¡
¢1
במישור הוא . (a1 − a2 )2 + (b1 − b2 )2 2
הגדרה .תהי fמוגדרת בקטע ] .[a, bלכל חלוקה סופית } P = {aiשל הקטע נסתכל
¢1
¡P
באורך (ai − ai−1 )2 + (f (ai ) − f (ai−1 ))2 2
של המצולע המקשר בין הנקודות
)) .(ai , f (aiאם הגבול
¢ 12
(ai − ai−1 )2 + (f (ai ) − f (ai−1 ))2
¡X
lim
λ(P )→0
קיים וערכו ,Lנאמר שלגרף של fיש אורך ,ושהאורך הוא .L
נראה כעת את הדרך המתמטית המדוייקת להוכחת הנוסחה .נשים לב
שבסימונים המקובלים שלנו ,ai − ai−1 = ∆iוכי ע״ס משפט לגרנז׳ ,יש < ai−1
ש־ .f (ai ) − f (ai−1 ) = f 0 (ti )∆iעפ״י ההנחות הפונקציה = )g(x
ti < aiכך p
1 + (f 0 (x))2רציפה ,ולכן אינטגרבילית .לכן נוכל להציג
Xp
1 + f 0 (ti )2 ∆i
=
¢ 12
(ai − ai−1 )2 + (f (ai ) − f (ai−1 ))2
¡X
Rb
Rbp
שהוא סכום רימן המתכנס לאינטגרל . a g(x)dx = a 1 + (f 0 (x))2 dx
הדרך האינטואיטיבית להוכחת הנוסחה היא להסתכל במשולש האיפיניטיסימלי
הוא
) [(x,אורך הקטע הזה p
ישר הזווית שבסיסו הוא הקטע ]))p f (x)), (x + dx, f (x
(dxוגבהו .f 0 (x)dxולכן אורך היתר הוא , (dx)2 + (f 0 (x)dx)2 = 1 + (f 0 (x))2 dx
ואורך הגרף הוא ״הסכום״ של כל ארכי היתרים האלה ״כשמסכמים״ על כל ה־
Rbp
x־ים ,כלומר . a 1 + (f 0 (x))2 dx
דוגמא.
23
ההיקף של מעגל היחידה .לשם כך נחשב את אורך הגרף של
נחשב את
√
הפונקציה f (x) = 1 − x2ב־ ] ,[−1, 1שהוא חצי ההיקף .בדוגמא זו = )f 0 (x
1
√ −x
1 + (f 0 (x))2 = 1−xואורך הגרף הוא
ולכן 2
1−x2
¯1
1
π −π
= arcsin x¯−1 = −
= π.
2
2
2
1−x
Z
1
√
−1
ולכן הקף המעגל כולו הוא .2π
בהמשך הקורס נדון בעקומים כלליים )שאינם בהכרח גרפים של פונקציות(
ונקבל נוסחה לחישוב ארכם.
חישוב האינטגרל המסוים
1.5
בחישוב של האינטגרל המסויים נשתמש בשיטות שפיתחנו למציאת הפונקציה
הקדומה )אינטגרציה בחלקים והצבה( ,אך נעשה זאת תוך התייחסות לגבולות
האינטגרל) .מבחינה מעשית זה לפעמים אפילו מפשט את החישוב(.
דוגמאות.
x
e sin xdx
)(i
Rπ
0
.נסמן את האינטגרל ב־ Iונבצע שתי אינטגרציות בחלקים
Z π
¯π Z π
¯
x
= e sin x¯ −
e cos xdx = −
ex cos xdx
0
0
0
½
¾
¯π Z π
¯
x
x
= − e cos x¯ +
}e sin xdx = −{−eπ − 1 + I
x
0
I
0
ולכן .I = (eπ + 1)/2
√R1
)(ii
) I = 0 1 − x2 dxזה השטח של רבע מעיגול היחידה( .נציב x = sin t
R π/2
2
ואז ,dx = cos tdtולכן .I = 0 cos tdt
ניתן שלוש שיטות לחישוב האינטגרל .I
א .נבצע אינטגרציה בחלקים ונקבל
¯π/2 Z
¯
¯cos t cos tdt = cos t sin t
+
π/2
sin t sin tdt
0
0
π
−I
2
ולכן
π
4
= (1 − cos2 t)dt
π/2
π/2
Z
=
Z
I
0
= 0+
0
= .I
ב .נשתמש בזהות cos2 t = (1 + cos 2t)/2ונקבל
sin 2t ´¯¯π/2
= π/4
¯
4
0
+
³t
2
π/2
Z
2
= (1 + cos 2t)/2dt
π/2
= cos tdt
0
24
Z
.
0
ג .במקום x = sin tנציב x = cos tונקבל sin2 tdt
R π/2
0
= sin2 tdt
עפ״י הזהות sin2 + cos2 = 1נקבל
Z π/2
Z π/2
Z π/2
= 2I
cos2 tdt +
= sin2 tdt
dt = π/2
0
ו־ ) .I = π/4שכנעו עצמכם כי sin2 tdt
בגרפים(.
1.6
0
0
R π/2
R π/2
0
= cos2 tdt
0
R0
π/2
.I = −
גם ע״י הסתכלות
חישובים מקורבים
כפי שהערנו כבר אין דרך שיטתית למציאת הפונקציה הקדומה .יתר על כן,
אפילו אם מוצאים פונקציה מפורשת ,כגון ,sin xכשמציבים את הגבולות התוצאה,
בדר״כ ,איננה מספר ״פשוט״ ויש להשתמש בשיטות קירוב לחישובו.
שיקולים אלה אומרים שעבודתנו לא הסתיימה עם המשפט היסודי של החדו״א
ועלינו ללמוד איך מחשבים את האינטגרל באופן מקורב.
דרך מתבקשת אחת היא לקרב את האינטגרנד בעזרת משפט טיילור ,ונראה
כי זה אכן מכשיר יעיל מאד.
דוגמא.
2
לחישוב sin x dx
R1
0
נשתמש בנוסחת טיילור עבור sin t
t3
t5
t2n+1
+ ... ±
)+ Rn (t
!3! 5
!)(2n + 1
sin t = t −
2n+3
||t
עם שארית המקיימת
!).|Rn (t)| ≤ (2n+3
נציב ,t = x2נבצע אינטגרציה ונקבל
Z
n
o
x6
x10
x4n+2
x2 −
+
... ±
+ Rn (x2 ) dx
!3
!5
!)(2n + 1
0
1
1
1
1
−
+
... ±
+ En
!3 7 · 3! 11 · 120
!)(4n + 3) · (2n + 1
R 1 4n+6 dt
1
!).|En | ≤ 0 x(2n+3
!)= (4n+7)(2n+3
כאשר
1
2
1
Z
= sin x dx
0
=
משפט].כלל המלבן[ תהי fבעלת שתי נגזרות רציפות בקטע ] ,[a, bונסמן את אמצע
Rb
.c = a+bאז a f = f (c)(b − a) + Rכאשר השגיאה Rמקיימת
הקטע ב־ 2
(b − a)3
|)max |f 00 (x
]24 x∈[a,b
25
≤ |. |R
הוכחה .נשתמש בפיתוח טיילור מסדר 1סביב cונקבל כי
1
f (t) = f (c) + f 0 (c)(t − c) + f 00 (γt )(t − c)2
2
כאשר γtנקודת ביניים בין cלבין .tכעת נבצע אינטגרציה בין aל־ bונשים לב
כי המחובר השני באגף ימין יתאפס ,ואילו השלישי חסום ע״י
1
(b − a)3
= (t − c)2 dt
|)max |f 00 (x
2
]24 x∈[a,b
Z
b
a
1 00
|)f (γt )(t − c)2 dt ≤ max |f 00 (x
2
]x∈[a,b
Z
b
.
a
בעזרת כלל המלבן אפשר ,למשל ,להעריך את השגיאה בקירוב האינטגרל על
ידי סכומי רימן :כשנשתמש בו עם החלוקה האחידה אז האורך של כל קטע
ai − ai−1 = b−aונקבל כי
חלקי הוא n
´
X³
f (ci )(ai − ai−1 ) + Ri
ai
=f
i≤n
´
P³
P
ולכן ההפרש f (ci )(ai − ai−1 ) = − Ri
XZ
ai−1
f−
Rb
a
b
Z
=f
a
i≤n
= Eמקיים
3
( b−a
(b − a)3
) n
= |)max |f 00 (x
|)max |f 00 (x
]24 x∈[a,b
]24n2 x∈[a,b
. |E| ≤ n
נציג כעת שימוש אחר של כלל המלבן שידגים איך אינטגרלים מופיעים במקומות
לא צפויים מראש.
n
משפט].נוסחת סטירלינג[ 2πn nen
√
!n
≈ ! ,nכלומר,
. √2πn
nn → 1
en
הוכחה .אנחנו לא נוכיח כי הגבול הוא ,1אלא רק שיש קבועים α, β > 0כך ש־
! ,α ≤ (n+nוזה ינבע כשנראה שיש סדרה חסומה Enכך ש־ .n! = eEn
≤β
)1
−n
e
2
n
נקבע ,j ≥ 2ונציג עפ״י כלל המלבן
ln tdt = ln j + Rj
1
1
כאשר
=
x2
(j − 12 )2
1
<1
n
¶
=1−
max
1
] x∈[j− 2 ,j+ 12
1
1
−
j−1 j
µ
j+ 12
Z
j− 12
≤ | .24|Rjהסדרה Rj
n
n
Pn
j=2
X
X
1
1
=
< 1 2
j(j − 1) j=2
) (j − 2
j=2
וכעת נציג
26
= Anחסומה ,כי
n
X
j=2
≤ | .24|An
!
ln tdt − Rj
j+ 21
ÃZ
n
X
j− 12
= ln j
j=2
¯n+ 12
¯
ln xdx − An = (x ln x − x)¯ 1 − An
1+ 2
n
X
= )!ln(n
j=2
n+ 12
Z
=
1+ 21
1
1
1
1
= (n + ) ln(n + ) − (n + ) − Bn = (n + ) ln n − n + En
2
2
2
2
כאשר הסדרה
− Bn
1
2
−
3
2
ln 32 −
n+ 21
1
2 ) ln n
3
2
Bn = An +היא סדרה חסומה .נשים לב שגם הסדרה
En = (n +חסומה ,כי
1
1
1 n+ 1
= ) 2 → ln e 2
2n
2
1
2
= ln(1 +
n+
1
(n + ) ln
2
n
ולכן
1
1
. n! = e(n+ 2 ) ln n−n+En = nn+ 2 e−n Cn
1.7אינטגרלים מוכללים
עד עתה טיפלנו באינטגרלים של פונקציות חסומות בקטע חסום.
להכליל את האינטגרל למקרים בהם תנאים אלה אינם מתקיימים.
כעת נרצה
תהי fפונקציה המוגדרת בקרן )∞ [a,ואינטגרבילית בכל קטע חלקי ].[a, c
הגדרהZ c (i) .
limקיים נאמר שהאינטגרל המוכלל של fבקרן קיים )ובקיצור נאמר
אם הגבול f
a
∞→c
פשוט ש־ fאינטגרבילית בקרן( ,ונסמן
∞ Z
Z c
.
f = lim
f
∞→c
a
a
) (iiתהי fפונקציהZהמוגדרת בקטע ) [a, bואנטגרבילית בכל קטע חלקי ] .[a, cאם קיים
c
הגבול משמאל f
a
lim−נאמר שהאינטגרל המוכלל של fבקטע ] [a, bקיים )ובקיצור
c→b
נאמר פשוט ש־ fאינטגרבילית בקטע( ,ונסמן
c
Z
f
a
Z
b
f = lim−
c→b
.
a
באופן דומה מגדירים אינטגרל מוכלל בקרן שמאלית ,או בקטע סופי כשהסינגולריות
היא בקצה השמאלי.
27
אם הגבול קיים רק במובן הרחב והוא ∞) +או ∞ ,(−נאמר לפעמים כי האינטגרל
מתבדר ל־ ∞ )או ∞.(−
∞R
הערה .קיומו או אי קיומו של האינטגרל a fתלוי רק בהתנהגות של fבאינסוף
ולא בבחירת הנקודה ) aאולם ערכו של האינטגרל ,אם הוא קיים ,כן תלוי ,כמובן,
ב־ ,(aכי אם a < cאז
∞ Z
Z c
∞ Z
.
=f
f+
f
c
a
a
∞R
קיים בלי לציין כלל גבול תחתון .הערה דומה
לפעמים נאמר לכן כי f
תקפה ביחס לאינטגרל של פונקציה לא חסומה בקטע סופי.
דוגמאות.
) (iהאינטגרל sin x
∞ → .c
∞R
0
לא קיים ,כי ל־ sin x = cos c − 1
Rc
Rc
0
אין גבול כאשר
∞R
) (iiהאינטגרל 0 e−xמתכנס כי e−x = 1 − e−c → 1
∞R
) (iiiנבדוק את . 1 x−p
R c −1
אם p = 1אז ∞ → 1 x = ln cוהאינטגרל מתבדר.
Rc
1
1 x−p = −p+1והגבול כאשר ∞ → cלא קיים אם
אם p 6= 1אז )(c−p+1 − 1
1
p−1אם .p > 1
,p < 1והוא
R1
נבדוק את . 0 x−pכאן הבעיה היא ב־ ,0ועפ״י חישוב דומה ל־ )(iii
)(iv
R 1 −p
1
−p+1
x
=
(1
−
c
)
→
מקבלים
p
<
1
ועבור
מתבדר,
p
≥
1
ל־
האינטגרל
−p+1
c
1
1−pכאשר .c → 0
0
כאשר ∞ → .c
אם יש ל־ fמספר סינגולריות )ב־ ∞ ±או מימין או משמאל בנקודות סופיות(
יש לבדוק כל אחת מהן בנפרד ,והאינטגרל המוכלל קיים רק כאשר הוא קיים
בכל אחת מהן.
דוגמאות.
R1
∞R
האינטגרל 0 x−p dxלא קיים לאף ,pכי אם p ≥ 1אז x−p dx
)(i
R ∞ −p
מתכנס ,ואם p ≤ 1אז 1 x dxלא מתכנס.
R ∞ 2xdx
x22xאיזוגית ,ולכן ניתן היה לחשוב כי . −∞ x2 +1 = 0יתר על
)(ii
הפונקציה +1
R R 2xdx
כן ,אם לא נזהרים ,מחשבים כי −R x2 +1 = 0לכל ,Rואז ועוברים לגבול כאשר
∞ → Rאכן מקבלים .0
R ∞ 2xdx
∞R
R 0 2xdx
ו־
המוכללים
האינטגרלים
שני
כי
קיים,
−∞ x2xdxלא
2
2
אבל 2 +1
0 x +1
−∞ x +1
לא קיימים.
0
28
לא
לאינטגרל המוכלל יש התכונות הרגילות של האינטגרל:
Z
Z
Z
∞ Z
Z c
∞ Z
(f1 + f2 ) = f1 + f2
;
=f
f+
f
c
a
a
וכמו כן אם f ≤ gאז g
R
Z
f
;
Z
cf = c
R
≤. f
הוכחת המשפט הבא מיידית.
∞R
משפט].קריטריון קושי[ תהי fאינטגרבילית ב־ ] [a, bלכל ∞ < .a < bאזי f
¯ ¯Rb
אםם מתקיים תנאי קושי :לכל ε > 0יש B > aכך ש ¯ b12 f ¯ < εלכל .b2 > b1 > B
a
קיים
אינטגרלים מוכללים של פונקציות אי־שליליות.
משפט .תהי fאי־שלילית בקרן )∞ ,[a,ונסמן f
חסומה.
Rx
a
= ) .F (xאז
∞R
a
קיים אםם F
הוכחה .אי השליליות של fגוררת כי Fמונוטונית עולה ,וידוע כי לפונקציה
מונוטונית יש גבול אםם היא חסומה.
משפט פשוט זה )והאנלוג שלו לאינטגרל מוכלל בקטע סופי( הם המפתח לכך
שהטיפול באינטגרלים מוכללים של פונקציות בעלות סימן קבוע פשוט יותר מזה
של פונקציות כלליות :במקום לבדוק קיום גבול יש רק לבדוק חסימות! זה מודגם
היטב במשפט הבא:
משפט] .קריטריון ההשוואה[ .תהיינה fו־ gאי־שליליות בקרן )∞ [a,ואינטגרביליות ב־
אם קיים קבוע חיובי K >R 0כך ש־ ) 0 ≤ f (x) ≤ Kg(xלכל x
] [a, bלכל ∞ < R ∞ .a < b
∞
בקרן ,ואם האינטגרל a gקיים ,אז גם a fקיים ו־
∞ Z
∞ Z
.
f ≤K
g
a
Rx
הוכחה .נסמן F (x) = a fו־ g
,KGלכן גם Fחסומה.
Rx
a
a
= ) .G(xעפ״י הנתון Gחסומה ו־ ≤ 0 ≤ F
∞R
הערה .כדי שהאינטגרל a fיתכנס אין צורך ש־ ) 0 ≤ f (x) ≤ Kg(xיתקיים
לכל ,x ≥ aומספיק שזה יתקיים על איזשהי קרן חלקית )∞ ,[c,כלומר עבור
ערכי xשהם גדולים מספיק.
מסקנה .תהיינה f, g ≥ 0בקרן )∞ ,[a,אינטגרביליות בכל קטע סופי חלקי ,כך ש־
∞R
∞R
)f (x
קיים.
קיים אםם g
. limאם ∞ < 0 < Lאז f
=L
)x→∞ g(x
29
3L
2
)f (x
)g(x
L
2
הוכחה .לפי הגדרת הגבול נמצא c > aכך ש־
והמסקנה נובעת מהמשפט.
∞R
∞R
קיים.
קיים ,אז גם f
הוכחה דומה מראה שאם L = 0ו־ g
דוגמאות.
)(i
האינטגרל dx
−x2
e
∞R
<
<
< 0לכל ,x ≥ c
מתכנס .ואמנם האיטגרנד הוא פונקציה זוגית,
∞−
−x
≤ e
−x2
0 < eעבור
ולכן די לבדוק כי האינטגרל מתכנס Rבקרן ימנית ,אך
∞
∞ < ,1 ≤ xוראינו כבר כי 1 e−x dxמתכנס.
R1
0 sinxxdxמתכנס אםם .q < 2כי
)(ii
q
.
sin x
1
sin x
lim q
=1
= lim
q−1
x→0 x
x→0 x
x
R
xdxמתכנס ,וזה קורה אםם ,q −1 < 1
ועפ״י המסקנה האינטגרל מתכנס אםם q−1
כלומר כאשר .q < 2
R ∞ x−1 −t
.Γ(x) = 0 tזהו
הפונקציה Γמוגדרת עבור x > 0ע״י e dt
)(iii
אינטגרל של Rפונקציה חיובית על תחום אינסופי ,ויש לבדוק את ההתכנסות של
∞
. 1 tx−1 e−t dtכאשר x < 1הפונקציה גם אינה חסומה ב־ ,0לכן עלינו לבדוק
R 1 x−1 −t
. 0 t
בנפרד גם את ההתכנסות של e dt
R ∞ −t/2
x−1 −t
e
1 eמתכנס ,מקבלים
lim t e−t/2והיות שהאינטגרל dt
היות ש־ = 0
∞→t
R ∞ x−1 −t
1 tמתכנס.
שגם e dt
R1
עבור 0 ≤ t ≤ 1מתקיים כי 13 tx−1 ≤ tx−1 e−t ≤ tx−1ולכן 0 tx−1 e−t dtו־
R1
0 tx−1 dtמתכנסים או מתבדרים ביחד ־ והאינטגרל השני מתכנס לכל ,x > 0
ובפרט לכל .0 < x < 1
פונקצית Γמופיעה בענפים רבים של המתמטיקה כמו תורת המספרים ,הסתברות,
ועוד .נראה תכונה פשוטה שלה :לכל x > 0מתקיים
)Γ(x + 1) = xΓ(x
כי אינטגרציה בחלקים נותנת
∞ ¯∞ Z
¯
= )Γ(x + 1
tx e−t dt = −e−t tx ¯ +
xtx−1 e−t dt
0
0
0
∞ Z
= 0+x
)tx−1 e−t dt = xΓ(x
∞
Z
0
∞¯
¯
נשתמש כעת בכך ש־ t0 e−t dt = −e−t ¯ = 1
כי לכל kטבעי
0
∞R
0
= ) ,Γ(1ונקבל באינדוקציה
!). Γ(k) = (k − 1)Γ(k − 1) = . . . = (k − 1
בהמשך נחשב גם את ).Γ(1/2
30
אינטגרלים מתכנסים בהחלט ובתנאי
ההתכנסות של אינטגרל מוכלל של פונקציות אי שלילית תלויה ב״קצב הדעיכה״
של fבאינסוף ,או ב״קצב הגידול״ שלה בקטע סופי .כאשר fמקבלת גם ערכים
חיוביים וגם שליליים האינטגרל יכול להתכנס מסיבה נוספת :התרומות החיוביות
והשליליות של fיכולות לבטל חלקית אלה את אלה.
R
המוכלל ) fעל קרן Rאינסופית או על קטע סופי( מתכנס
שהאינטגרל
R
הגדרה .נאמר R
בהחלט אם | |fמתכנס .אם fמתכנס אך | |fלא מתכנס נאמר שההתכנסות היא
בתנאי.
משפט .אם אינטגרל מוכלל מתכנס בהחלט אז הוא מתכנס .כלומר ,אם ∞ < | |f
∞R
אז גם a fמתכנס ,ובאופן דומה לאינטגרל המוכלל על קטע סופי.
∞R
a
¯R
¯
Rb
¯ ¯ b
הוכחה .ההוכחה מיידית בעזרת קריטריון קושי .היות ו־ | ¯ b12 f ¯ ≤ b12 |fלכל
,b2 > b1הרי שאם בחירת b1 , b2 > Bמבטיחה כי אגף ימין קטן כרצוננו ,אז
בודאי שגם אגף שמאל קטן כרצוננו.
ניתן גם הוכחה נוספת שתבהיר יותר טוב מה באמת קורה .נסמן
(
(
f (x) f (x) ≥ 0
0
f (x) > 0
+
−
= ). f (x
;
= )f (x
0
f (x) < 0
−f (x) f (x) ≤ 0
+
ואילו .|f | = f + + f −אם
הפונקציות האלה אי־שליליות ו־ f −
שתי
R∞ f = f R−
∞R
∞
∞ < | a |fאז ממשפט ההשוואה גם a f +וגם a f −מתכנסים ,ואז מתכנס
גם
∞ Z
∞ Z
∞ Z
+
−
.
=f
f −
f
a
a
a
דוגמאות.
)(i
∞R
cos x
x2 dx
1
sin x
x dx
1
)(ii
בחלקים
∞R
מתכנס בהחלט כי
1
x2
≤
|| cos x
x2
ו־ ∞ <
dx
x2
∞R
. 1
מתכנס ,אך לא בהחלט .לבדיקת ההתכנסות נבצע אינטגרציה
∞ Z
sin x
∞¯¯ − cos x
cos x
= dx
dx
¯ −
x
x
x2
1
1
Z
∞
1
והאינטגרל האחרון מתכנס עפ״י )) .(iהשתמשנו כאן בכתיבה פורמלית של נוסחת
האינטגרציה בחלקים כשהגבול העליון הוא ∞ .משמעות הנוסחה ־ והוכחתה! ־
היא שלוקחים גבול כאשר ∞ → bבביטויים המתקבלים כשהגבול העליון הוא .(b
R ∞ sin2 x
האינטגרל אינו מתכנס בהחלט כי | sin x| ≥ sin2 xונראה כי dx
R1∞ cosx2x
R∞ 1
2
1−cos 2x
מתבדר :נשתמש בזהות
= ,sin xואז ∞ = 1 2x dxואילו 2x dx
2
1
31
sin x
x dx
מתכנס ,כפי שרואים ע״י אינטגרציה בחלקים כמו בהוכחה ש־
המשפט הבא יכליל את השיטה שבה הראנו כי
sin x
x dx
∞R
1
∞R
1
מתכנס.
מתכנס.
Rx
משפט].דיריכלה[ תהי fרציפה בקרן )∞ [a,כך שהפונקציה F (x) = a f (t)dtחסומה
∞R
בקרן .תהי gגזירה בקרן כך שהאינטגרל | a |g 0קיים ,וכך ש־ . lim g(x) = 0אז
∞→x
∞R
האינטגרל המוכלל a f gמתכנס.
מונוטונית בקרן חלקית )∞ ,[c,כי אז יש ל־ g 0סימן
בפרט התנאי מתקיים
∞ Rכאשר R ∞ g
קבוע ,ולכן ). b |g 0 | = ± b g 0 = ∓g(b
הוכחה .אינטגרציה בחלקים נותנת
¯x Z x
x
¯
f (t)g(t)dt = F (t)g(t)¯ −
F (t)g 0 (t)dt
a
a
Z
a
המחובר הראשון סופי כי lim g(x) = 0ו־ Fחסומה .המחובר השני מתכנס
∞→x
∞R
∞R
בהחלט ,כי |F (x)| ≤ Cלכל xולכן ∞ < . a |F (t)g 0 (t)|dt ≤ C a |g 0 (t)|dt
דוגמא ) (iiהתקבלה עבור f (x) = sin xו־ .g(x) = x−1
32
פרק 2
טורי מספרים
2.1
מושגים כלליים
נתונה סדרת מספרים ,a1 , a2 , . . . , aj , . . .ונרצה לסכם את כל אבריה ולדבר על
הסכום האינסופי
∞
X
= a1 + a2 + a3 + . . .
ai
i=1
Pn
ונעשה זאת ע״י תהליך גבולי .נסמן ב־ ai
האברים הראשונים בסדרה.
∞P
,{S
מתכנס כאשר סדרת הסכומים החלקיים שלוn } ,
הגדרה .נאמר שהטור k=1 ak
∞P
מתכנסת .אם גבולה הוא lim Sn = Sנאמר שסכום הטור הוא Sונסמן . k=1 ak = S
i=1
= Snאת הסכום החלקי של n
∞→n
אם lim Snלא קיים נאמר שהטור מתבדר.
∞→n
המינוח האנגלי הוא ) sequenceסדרה( ו־ ) seriesטור(.
דוגמאות.
)(i
טור גיאומטרי אינסופי q k−1
∞
P
= .1 + q + q 2 + q 3 + . . .
k=1
כאשר q 6= 1הסכומים החלקיים הם
1 − qn
1−q
אם |q| < 1אז הגבול
= . Sn = 1 + q + q 2 + q 3 + . . . + q n−1
1
1−q
=
1−q n
n→∞ 1−q
lim Sn = limקיים ,ולכן
1
1−q
= q k−1
∞→n
∞
X
.
k=1
מתקבלים
מתבדר .בפרט עבור P∞ q = ±1
אם |q| ≥ 1הגבול לא קיים ,והטור ∞P
ו־ . n=1 (−1)n = −1 + 1 − . . .
הטורים המתבדרים n=1 1 = 1 + 1 + . . .
33
)(ii
הטור
∞P
1
)k=1 k(k+1
מתכנס וסכומו ,1כי נציג את האבר הכללי בצורה
1
1
1
= −
)k(k + 1
k k+1
= ak
ולכן
¶
n µ
X
n
X
1
1
1
=
−
)k(k + 1
k k+1
k=1
k=1
¶ µ
¶ µ
¶
µ
¶
µ
1 1
1 1
1
1
1
+
−
+
−
+ ... +
−
1−
2
2 3
3 4
n n+1
1
1−
→1
n+1
=
Sn
=
=
)סכום שבו ניתן להציג ,ak = bk − bk−1ולכן (bk − bk−1 ) = bn − b0
n
P
= ak
k=1
n
P
,
k=1
נקרא ״סכום טלסקופי״(.
P 1
הטור √
מתבדר כי
)(iii
j
n
X
√
1
1
∞→√ ≥n· √ = n
n
j
j=1
= . Sn
התכונות היסודיות של טורים מתקבלות ע״י תרגום של התוצאות האנלוגיות
לסדרות .לא ניתן את ההוכחה המידית למשפט הבא.
P
P
מתכנס,
מתכנס אז לכל מספר ממשי cגם הטור cak
Pהטור ak
משפט (i) .אם
וסכומו הוא .c ak
P
P
P
מתכנסים ,אז גם ) (ak + bkמתכנס וסכומו הוא
ו־ bk
הטורים ak
) P(iiאם P
) . ak + bkהכיוון ההפוך אינו נכון כמובן .תנו דוגמא נגדית!(
P
מתכנס אםם לכל ε > 0קיים ) N = N (εכך שלכל
)) (iiiקריטריון קושי( .הטור ak
m > n > Nמתקיים
¯
¯
¯ m
¯
¯ X
¯
¯¯ .
aj ¯¯ = |Sm − Sn | < ε
¯ ¯j=n+1
דוגמאות.
)(i
הטור
1
j2
P
מתכנס ,כי
µ
¶
m
m
X
X
1
1
1
1
≤
=
−
j2
j(j − 1) j=n+1 j
j+1
j=n+1
j=n+1
=
1
1
1
−
<
<ε
n+1 m+1
n+1
=
m
X
34
aj
m
X
j=n+1
בתנאי ש־ .n + 1 > 1/ε
) (iiהטור ההרמוני
,m = 2nואז
1
k
P
מתבדר כי אינו מקיים את תנאי קושי :בהנתן nנבחר
2n
X
1
1
1
·≥n
= 6→ 0
k
2n
2
.
k=n+1
משפט .אם הטור ak
∞
P
מתכנס אז .lim ak = 0
k=1
הוכחה .נציג an = Sn − Sn−1 → S − S = 0
להדגיש שהמשפט נותן רק תנאי הכרחי שאיננו מספיק .ראינו למשל
חשוב P 1
שהטור √
והטור ההרמוני מתבדרים ,למרות שסדרת אבריהם שואפת לאפס.
k
הערה .שינוי של מספר סופי מאברי הטור אינו משפיע על התכנסותו או התבדרותו) .כאשר
כמובן ,להשפיע על ערך הסכום(.
הטור מתכנס השינוי יכולP∞ ,
לטור מהצורה rm = k=m+1 akנקרא ״זנב של הטור״ )או ״שארית הטור״(
P
. akע״ס ההערה מקבלים שהטור המקורי מתכנס אםם הזנבות שלו הם טורים
מתכנסים ,ובמקרה זה . lim rm = 0
∞→m
2.2טורים עם אברים חיוביים
מוכללים בקרן אינסופית.
לטיפול באינטגרלים ∞ R
הטיפול בטורים אינסופיים דומה מאד∞P
כאינטגרל 1 f (x)dxעבור הפונקציה f
למעשה ,ניתן להציג כל טור k=1 ak
המוגדרת ע״י
f (x) = akכאשר xבקטע ). [k, k + 1
כמו שעשינו באינטגרלים מוכללים ,גם כאן נטפל תחילה בטורים עם אברים
בעלי סימן קבוע ,ובה״כ נניח שהם חיוביים .המפתח לכך שהטיפול בטורים עם
אברים בעלי סימן קבוע פשוט יותר מהטיפול בטורים כלליים הוא המשפט הבא
משפט .אם an ≥ 0לכל ,nאז an
סדרה חסומה.
P
מתכנס אםם סדרת הסכומים החלקיים Snהיא
הוכחה .מאי השליליות של ה־ an־ים נובע שהסדרה Snמונוטונית עולה ,וידוע כי
לסדרה מונוטונית יש גבול אםם היא חסומה.
35
המשפט מאפשר בדיקת ההתכנסות של טור חיובי ע״י בדיקה פשוטה יותר ־
)לטורים עם אברים חיוביים בלבד!(
חסימות .אנחנו גם נשתמש P
עלינו רק לבדוק P
לטור מתבדר.
לטור מתכנס וב־ ∞ = an
בסימון ∞ < an
משפט] .קריטריון ההשוואה[ .יהיו an
קבוע חיובי K > 0כך שלכל n
P
ו־ bn
P
טורים עם אברים אי־שליליים .אם קיים
0 ≤ an ≤ Kbn
P
P
מתכנס ו־ bn
מתכנס ,אז גם an
ואם הטור bn
P
an ≤ K
P
.
PN
PN
הוכחה .נסמן ב־ AN = n=1 anו־ BN = n=1 bnאת הסכומים החלקיים
של הטורים .עפ״י הנתון BNסדרה חסומה ו־ 0 ≤ AN ≤ KBNלכל ,Nלכן גם
ANחסומה ולכן מתכנסת .אי השוויון בין סכומי הטורים נובע ממעבר לגבול.
P
אין צורך
הערה .להתכנסות הטור an
שיש Nכך שזה יתקיים רק לכל > N
ברור שאז אי השוויון בין הסכומים אינו
גם למשפטים רבים בהמשך ובדר״כ לא
לדרוש כי 0 ≤ an ≤ Kbnלכל nומספיק
,nכלומר עבור nגדולים מספיק ־ אך
חייב להתקיים .הערה דומה תהיה נכונה
נציין אותה במפורש.
המסקנה המיידית הבאה נוחה מאד לשימוש.
מסקנה .נניח כי an , bnחיוביים וכי = L
P
מתכנס.
אםם bn
an
n→∞ bn
. limאם ∞ < 0 < Lאז an
3L
2
<
an
bn
<
L
2
P
מתכנס
< 0לכל ,n ≥ N
הוכחה .לפי הגדרת הגבול נמצא Nכך ש־
והמסקנה נובעת מהמשפט.
P
P
מתכנס.
מתכנס ,אז גם an
הוכחה דומה מראה שאם L = 0ו־ bn
דוגמאות.
)(i
P 1
n2
P
n
n
מתכנס ,כי לכל n > 1מתקיים ש־ < 2
n
הטור n3 −1
´ ³3 −1 .n2
מתכנס .לחילופין ,נשתמש במסקנה ובכך ש־ .lim n3n−1 n12 = 1
< 0והטור
¡1¢
P
לכל x > 0קטן מתקיים ,x/2 < sin x < xולכן הטורים החיוביים sin n
)¡ 1 ¢(ii
P 1
P1
P
בהתאמה ,וראינו כי הטור
ו־
הטורים
כמו
מתנהגים
sin
n2
n
ו־ P 1 n2
P 1
ואילו
מתבדר,
מתכנס.
n2
ההרמוני n
sin x
לחילופין ,אפשר להשתמש במסקנה כי .limx→0 x = 1
מבחני ההתכנסות הבאים הם מאוד שימושיים .שניהם נובעים בקלות ממשפט
ההשוואה כאשר משווים עם טור גיאומטרי מתכנס.
משפט .יהיו anחיוביים.
36
השורש )קושי([ אם קיימים 0 < q < 1ו־ Nכך ש־ an ≤ q
)] (iמבחן P
מתכנס.
אז הטור an
√
n
לכל ,n ≥ N
)ד׳אלמבר([ אם קיימים 0 < q < 1ו־ Nכך ש־ ≤ q
)] (iiמבחן המנה P
מתכנס.
,n ≥ Nאז הטור an
an+1
an
לכל
הוכחה .בלי הגבלת הכלליות .N = 1
נעלה את אי השוויון בחזקת nונקבל כי
)(i
הכללי של טור גיאומטרי מתכנס.
n
,an ≤ qואגף ימין הוא האבר
) (iiרואים באידוקציה כי ,an ≤ a1 q n−1ושוב אגף ימין הוא האבר הכללי של
טור גיאומטרי מתכנס.
√
הערה .תנאי המשפט שקולים לכך ש־ lim sup n an < 1או ,בהתאמה ,לכך ש־
.lim sup aan+1במקרים שהגבולות קיימים )ואין צורך לעבור לגבולות חלקיים(,
<1
n
פשוט מחשבים את הגבול.
דוגמאות.
P
n
n
2
+4
)(i
מתכנס כי מאי השוויונים 2n + 4n < 2 · 4nו־
3n +5n
כי
נובע
r
r
n + 4n
n
4
n 2 · 4
n 2
.
<
→ < 1.
n
n
n
3 +5
5
5
)(ii
P An
!n
מתכנס לכל ,A > 0כי → 0 < 1
A
n+1
3n + 5n > 5n
. aan+1
=
n
√
n
אי השוויון החריף q < 1חשוב ,והתנאי החלש יותר an < 1
הערות(i) .
<
1
לכל ) nאו
( aan+1אינו מספיק ואינו נותן שום אינפורמציה .לדוגמא ,אם
n
√
P
√
מתכנס ו־
an = n12ו־ bn = n1אז n an < 1וגם n bn < 1לכל ,nאך an
P
an+1
bn
bn+1לכל .(n
מתבדר! )ובאופן דומה גם an < 1ו־ bn < 1
√
הפוכים״ ,למשל ,אם ,lim sup n an = q > 1או אם
) (iiאפשר לנסח ״משפטים
P
מתבדר .אין טעם לנסות ולזכור אותם בע״פ
lim inf aan+1אז הטור an
=q>1
n
־ בכולם הסיבה להתבדרות היא ״טריביאלית״ ־ האבר הכללי אינו שואף לאפס
־ ובדוגמאות קונקרטיות קל לראות זאת ישירות.
השימוש במבחן המנה מוגבל כי אפשר להשתמש בו רק כאשר כל ה־
)(iii
an־ים )החל ממקום מסוים( חיוביים ממש .מבחינה זו וודאי שמבחן השורש כללי
יותר ,אך למעשה הוא חזק ממבחן המנה במובן בסיסי יותר :אם מתקיימים
aan+1לכל ,nאז גם לכל k
תנאי מבחן המנה ,כלומר ,אם ≤ q < 1
n
ak
a2 a3
·
· · ...
≤ a1 q k−1
a1 a2
ak−1
37
· ak = a1
p
k
√
k
ולכן a1 q k−1 ≤ q1 < 1
מבחן השורש.
כלומר ,אם כי מבחן המנה הוא לעתים נוח יותר לשימוש ,הרי שבאופן עקרוני
כל פעם שאפשר להשתמש בו אז ההתכנסות היתה נובעת גם משימוש במבחן
השורש.
≤ ak
אם רק kגדול מספיק ,ומתקיימים גם תנאי
טורים חיוביים ומונוטוניים
כאשר מוסיפים להנחת החיוביות של ה־ an־ים גם את ההנחה שהסדרה an
מונוטונית יורדת ,מקבלים מבחני התכנסות )או התבדרות( חזקים בהרבה.
נתחיל בדוגמא פשוטה הנותנת תנאי הכרחי חזק יותר מאשר an → 0להתכנסות
טורים כאלה.
משפט .תהי } {anסדרה אי שלילית ויורדת .אם הטור an
P
מתכנס אז . lim nan = 0
∞→n
הוכחה .המונוטוניות וקריטריון קושי עבור m = 2nנותנים כי
aj → 0
2n
X
≤ na2n
j=n+1
ולכן גם ,2na2n → 0ומהמונוטוניות נובע כי למעשה .nan → 0
המשפט נותן רק תנאי הכרחי שאינו מספיק .נראה בהמשך כי
(i) P
הערות.
1
1
1
.n n ln
=
→
0
ש־
למרות
מתבדר
n
ln n
n ln n
) (iiהמשפט נותן הוכחה נוספת שהטור ההרמוני מתבדר :הסדרה n−1יורדת
אך .n · n−1 6→ 0
המשפט הבא נותן קשר פורמלי בין התכנסות של טור להתכנסות אינטגרל
מוכלל.
עולה בקרן ,x ≥ 0ואינטגרבילית
משפט] .מבחן האינטגרל[ תהי fפונקציה חיובית לא∞ Z
∞P
בכל קטע חלקי ] .[0, bאז האינטגרל המוכלל f (x)dx
מתכנס אםם הטור )k=1 f (k
0
מתכנס.
אם הטור והאינטגרל מתכנסים אז
)f (k
∞
X
∞
Z
≤ )f (k
≤ f (x)dx
0
k=0
38
∞
X
k=1
.
הוכחה .נסמן )f (k
n
P
= .Snהפונקציה fיורדת ,ולכן )f (k + 1) ≤ f (x) ≤ f (k
k=1
כאשר ] .x ∈ [k, k + 1אינטגרציה בקטע נותנת כי )f (x)dx ≤ f (k
k+1
R
≤ ),f (k + 1
k
וכשנסכם את אי השוויונות האלה עבור 0 ≤ k < nנקבל
)f (k
n−1
X
≤ f (x)dx
n−1
X Z k+1
k
k=0
≤ )f (k + 1
k=0
או
n−1
X
k=0
n
Z
≤ Sn
f (x)dx ≤ f (0) + Sn−1
0
כלומר ,הסדרה Snחסומה )ולכן הטור מתכנס( אםם סדרת האינטרלים f
חסומה )ולכן האינטגרל מתכנס(.
∞
∞
∞R
P
P
.
≤ f (k) ≤ f
מעבר לגבול נותן כי )f (k
k=0
Rn
0
k=1
0
דוגמאות.
המשפט ,בצירוף השיטות שפיתחנו לחישוב והערכת אינטגרלים ,מאפשר בדיקה
פשוטה לטורים רבים.
R ∞ dx
מתכנס עבור p > 1ומתבדר עבור .p ≤ 1לכן גם
) (iראינו
Pשהאינטגרל xp
1
מתכנס עבור p > 1ומתבדר עבור .p ≤ 1
הטור np
P 1
מתכנס .נציב באינטגרל
נבדוק לאילו ערכים של qהטור
)(ii
q
)R ∞ dyk(ln k
R ∞ dx
dx
המתכנס אםם .q > 1
את
ונקבל
dy
=
ואז
,y
=
ln
x
את
yq
x
x(ln x)q
P
1
מתכנס.
)(iii
בדקו כתרגיל עבור אלו ערכי qהטור k ln k(ln ln k)q
משפט] .מבחן הכיווץ[ תהי } {anסדרה חיובית יורדת .אז הטורים an
מתכנסים או מתבדרים ביחד.
Pn
= Snוב־ 2j a2j
Pk
P
ו־ 2n a2n
P
הוכחה .נסמן ב־ aj
של שני הטורים.
נניח תחילה כי הטור המכווץ מתכנס ,כלומר שה־ Tk־ים סדרה חסומה ,ונסמן
ב־ Tאת סכום הטור .היות שה־ Sn־ים סדרה עולה ,הרי שכדי לראות שזו סדרה
חסומה די להראות שיש לה תת סדרה חסומה .ואמנם ,מהמונוטוניות של ה־ an־
ים נובע כי
j=1
j=1
= Tkאת הסכומים החלקיים
= a1 + a2 + · · · + a2k
= a1 + (a2 + a3 ) + (a4 + . . . + a7 ) + · · · + (a2k−1 + . . . + a2k −1 ) + a2k
≤ a1 + 2a2 + 4a4 + . . . + 2k−1 a2k−1 + a2k ≤ a1 + Tk−1 + a2k ≤ T + 2a1
39
S2k
בכיוון ההפוך נעריך באופן דומה
a1 + a2 + . . . + a2k
=
) a1 + a2 + (a3 + a4 ) + (a5 + . . . a8 ) + . . . + (a2k−1 +1 + · · · a2k
Tk
a1 + a2 + 2a4 + 4a8 + . . . + 2k−1 a2k = a1 +
2
=
S 2k
≥
ומחסימות Snנקבל שגם הסדרה Tkחסומה.
דוגמאות.
−p
−p
P
מתכנס אם ורק אם
n
Pיורדת ,ולכן הטור
n
p Pהסדרה
לכל > 0
)(i
מתכנס .אבל זהו טור גיאומטרי עם ,q = 21−p
הטור 2n · 2−np = (21−p )n
והוא מתכנס אםם ,21−p = q < 1כלומר אםם .p > 1
P
1
1
מתכנס אםם
)(ii
לכל p > 0הסדרה n(ln n)pיורדת ,ולכן הטור n(ln n)p
P n
P 1
1
1
מתכנס .ע״ס ) (iזה קורה אםם .p > 1
2 · 2n (ln 2n )p = (ln 2)p
הטור np
P
1
1
)(iii
מתכנס
לכל p > 0הסדרה n ln n(ln ln n)pיורדת ,ולכן הטור n ln n(ln ln n)p
P n
P
1
1
מתכנס .ע״ס ) (iiהטור
= 2 · 2n (ln 2n )(ln ln 2n )p
הטור
אםם
ln 2·n·(ln 2+ln n)p
הזה מתכנס אםם .p > 1
באותה שיטה אפשר להמשיך ולטפל בביטויים מתאימים עם איטרציות מכל
סדר של .ln
2.3טורים עם סימנים מתחלפים לסירוגין.
P
משפט].לייבניץ[ אם an > 0סדרה מונוטונית יורדת לאפס אז הטור (−1)n+1 an
וסכומו Sמקיים P∞ .0 < S < a1
זנב הטור rm = n=m+1 (−1)n+1 anמקיים |rm | < am+1וסימנו .(−1)m
מתכנס
הוכחה .להוכחת ההתכנסות נציג
) . S2n−1 = a1 − (a2 − a3 ) − (a4 − a5 ) − . . . − (a2n−2 − a2n−1
כל הפרש ak − ak+1הוא חיובי ,ולכן S2n−1 < a1והסדרה } {S2n−1יורדת .חישוב
דומה נותן כי
S2n = (a1 − a2 ) + (a3 − a4 ) + · · · + (a2n−1 − a2n ) > 0
וכי S2nעולה .כמו כן S2n = S2n−1 + a2n > S2n−1ו־ ,a2n → 0ולכן מתקיימים
תנאי הלמה של קנטור ויש לשתי הסדרות גבול משותף שנסמנו ב־ ,Sכלומר
הטור מתכנס וסכומו .Sההערכה 0 < S < a1נובעת ממעבר לגבולP∞ .
ההערכה לזנב נובעת ממה שכבר הוכחנו ,כי גם rm = n=m+1 (−1)n+1 an
הוא טור עם סימנים מתחלפים לסירוגין.
40
דוגמא.
P (−1)n
מתכנס לכל ) p > 0ולא ,כמו הטור בלי השמת הסימנים ,רק
הטור
np
ל־ .(p > 1זו הקדמה טובה לנושא הבא שבו נטפל :השמת סימנים יכולה הביא
לצמצומים שיגרמו להתכנסות הטור.
בחישובים מעשיים מחליפים טורים אינסופיים בסכומים חלקיים
הערות(i) .
מספיק רחוקים .כדי לדעת את שגיאת החישוב יש להעריך את | ,|rmומשפט
לייבניץ אכן נותן הערכה כזו.
)(ii
הנחת המונוטוניות חשובה .לדוגמא נגדיר
כאשר j = 2k − 1איזוגי
כאשר j = 2kזוגי
ואז
(
1/k
= aj
1/k 2
2n
X
n
n
X
1 X 1
j+1
=
= (−1) aj
−
∞→
k
k2
j=1
k=1
. S2n
k=1
2.4טורים עם אברים כלשהם
P
מתכנס בהחלט אם הטור | |an
הגדרה .נאמר שהטור an
מתכנס ־ אך לא בהחלט ־ נאמר שהוא מתכנס בתנאי.
P
מתכנס .אם הטור an
P
משפט .טור מתכנס בהחלט הוא טור מתכנס) .הכיוון ההפוך אינו נכון כמובן :הטור
P (−1)n
מתכנס אך אינו מתכנס בהחלט(.
n
הוכחה .נסמן
an > 0
an ≤ 0
(
0
−
= an
−an
;
an ≥ 0
an < 0
(
an
+
= . an
0
−
+
−
.|an | = a+אם
ואילו n + an
הטורים האלה אי־שליליים ו־ n − an
P −an = aP
שני P
+
מתכנסים ,ואז מתכנס
וגם an
אז ממשפט ההשוואה גם an
∞ < | |an
גם
X
X
X
−
.
= an
a+
−
a
n
n
41
דוגמא.
P xn
מתכנס ומתי הוא מתכנס בהחלט.
נבדוק עבור אילו x־ים הטור הטור n
עבור |x| > 1האבר הכללי לא שואף לאפס ,ולכן הטור מתבדר ועבור |x| < 1
הטור מתכנס בהחלט.
עבור x = 1זה הטור ההרמוני המתבדר ,ואילו עבור x = −1הטור מתכנס )טור
לייבניץ( ,אך לא בהחלט.
הערה .מבחני ההתכנסות לטורים חיוביים נותנים ,ע״י מעבר מ־ anל־ | ,|an
מבחנים דומים להתכנסות בהחלט ,ואנחנו נשתמש בהם באופן חפשי.
אינטגרציה בחלקים היתה מכשיר חשוב בטיפול באינטגרלים מוכללים המתכנסים
בתנאי .הלמה הבאה היא אנלוג דיסקרטי לנוסחה זו.
למה] .נוסחת הסכימה בחלקים[ תהיינה } {anו־ } {bnסדרות כלשהן ,ונסמן B0 = 0ו־
.Bn = b1 + b2 + . . . + bnאז
) Bi (ai+1 − ai
n−1
X
ai bi = an Bn −
i=1
n
X
i=1
Rx
)נשים לב שע״י החלפת anב־ bn ,fב־ ai+1 − ai ,gב־ Bn ,f 0ב־ g
Rb
Rb
וסכומים באינטגרלים אכן מתקבלת הנוסחה .( a f g = f (b)G(b) − a Gf 0
a
= )G(x
הוכחה.
ai Bi−1
n
X
i=1
(ai+1 − ai )Bi
n−1
X
ai Bi −
n
X
= ) ai (Bi − Bi−1
i=1
n
X
=
i=1
ai+1 Bi = an Bn −
i=1
n−1
X
i=0
ai Bi −
n
X
ai bi
n
X
i=1
=
i=1
כאשר בשוויון האחרון השתמשנו ב־ .B0 = 0
P
הוא טור חסום אם קיים קבוע Mכך שלכל n ≥ 1
נאמר שהטור Pn bn
מתקיים ש־ .| k=1 bk | ≤ M
P
P
טור חסום ונניח כי an → 0ושהטור | |an+1 − an
bnP
משפט] .משפט דיריכלה[ יהי
מתכנס.
מתכנס .אז גם הטור an bn
P
בוודאי מתקיים אם הסדרה anמונוטונית ,כי
|a
−
a
|
<
n+1
n
P
נשים לב שהתנאי ∞P
כסכום טלסקופי.
אז | |an+1 − an | = | (an+1 − an )| = |a1
42
הוכחה .נסמן
בחלקים
Pi=1
i=1 bi
= ) Biו־ ,(B0 = 0ונניח כי |Bi | ≤ Mלכל .iעפ״י סכימה
) Bi (ai+1 − ai
n−1
X
ai bi = an Bn −
i=1
n
X
i=1
אבל ) an Bn → 0כי an → 0ו־ Bnחסומה( ,ואילו הטור ) Bi (ai+1 − ai
בהחלט כי
X
X
.
|Bi (ai+1 − ai )| ≤ M
∞ < | |ai+1 − ai
P
מתכנס
דוגמאות.
1
n
הוא מקרה פרטי של המשפט כאשר
משפט
)(i
לייבניץ P
חסום(.
) (−1)nואז הטור (−1)n
P sin nθ
מתכנס לכל מספר קבוע .θעבור θ = 0אין מה להוכיח,
) (iiהטור
n
ולכן נניח כי .θ 6= 0
הסדרה n1יורדת לאפס ,לכן ע״ס משפט דיריכלה יש רק לבדוק שהטור
P
חסום ,ונחשב ביטוי זה בעזרת מספרים מרוכבים:
sin nθ
נזכור את הנוסחה ,eiα = cos α + i sin αובפרט ) .sin α = Im(eiαנוסיף גם
מחובר )שהוא ממילא אפס( המתאים ל־ n = 0ונקבל
!
ÃN
µ i(N +1)θ
¶
N
X
X
e
−1
inθ
e
= Im
sin nθ = Im
eiθ − 1
n=0
n=0
כסכום של טור גיאומטרי .נזכור כעת כי
(N + 1)θ
2
sin
(N +1)θ
2
= 2iei
−(N +1)θ
2
eiα −e−iα
2i
− ei
2i
(N +1)θ
2
ei
= anו־ = bn
= sin αונקבל כי
(N +1)θ
2
ובאותו אופן .eiθ − 1 = 2ieiθ/2 sin θ2מנת הסינוסים
החלק המדומה של המקדם הוא
ei(N +1)θ − 1 = 2iei
(N +1)θ
2
θ
2
sin
sin
ממשית ,ואילו
´ ³ (N +1)θ−θ
Nθ
2
Im ei
= sin
2
ומכאן נקבל כי לכל N
¯
¯ ¯
¯
¯ ¯
N
¯X
¯ ¯ ¯ sin N θ sin (N +1)θ ¯ ¯ 1
¯
¯
¯
¯ ¯
¯
2
2
¯ .
¯ = ¯sin nθ
¯≤¯
¯
¯
¯ ¯
¯ ¯ ¯ sin θ2
sin θ2
n=0
P sin nθ
√
מתכנס לכל θקבוע .כאן הסדרה
) (iiiאם n
< | |cnאז הטור n+cn
P
איננה בהכרח מונוטונית ,אך נראה שהיא מקיימת ∞ < | . |an+1 − anלשם כך
נראה כי לכל n > 3מתקיים
¯
¯
¯
¯¯ 1
12
1
||cn − cn+1 − 1
−
≤ 3/2
¯¯ = | |an+1 − an
≤
n + 1 + cn+1
| n + cn ¯ |n + 1 + cn+1 | · |n + cn
n
1
n+cn
43
P 1
. n3/2
וההתכנסות תנבע מהתכנסות הטור
√
√
ואמנם |cn − cn+1 − 1| < 2 n + 1 < 3 n ,ואילו אי השוויונים
2
ו־ |n + 1 + cn+1 | ≥ n2נותנים כי .|n + 1 + cn+1 | · |n + cn | ≥ n4
n
2
≥ | |n + cn
פעולות מותרות על טורים
פעולת החיבור היא פעולה אסוציאטיבית וקומוטטיבית ,והיא דיסטריבוטיבית
ביחס לכפל .הפעלת חוקים אלה על סכומים סופיים נותנת את הכללים הבאים:
א .אפשר לשים בסכום סוגריים כרצוננו:
) ak = (a1 + . . . + an1 ) + (an1 +1 + . . . + an2 ) + . . . + (ank +1 + . . . + an
n
X
k=1
לכל .1 ≤ n1 < n2 < . . . < nk < n
n
n
P
P
לכל פרמוטציה πשל }.{1, . . . , n
= ak
בaπ(k) .
k=1
k=1
Ã
!
¶ m
µ n
nm
P
P
P
ak
= bj
גwi .
,כאשר ה־ wi־ים הם כל המכפלות האפשריות
i=1
j=1
k=1
) ak bjמסודרות בסדר כלשהו(.
האם כללים אלה נשמרים גם לסכומים אינסופיים?
משפט .אם הטור an
הסכום.
P
מתכנס ,אז בכל השמת סוגריים מתקבל טור מתכנס ־ ולאותו
Pn
= Snאת הסכום החלקי ה־ n־י של הטור ללא
הוכחה .נסמן ב־ k=1 ak
הסוגרים ,וב־ Sאת סכום הטור.
ונסמן ,Ak = ank +1 + . . . + ank+1ואז הטור
נקבע 0 = n0 < n1 < n2 . . .
P
Pסוגריים הוא . Akנסמן את סדרת הסכומים החלקיים
המתקבל בהצבת
m
= .Tmהסדרה } {Tmהיא תת־סדרה של סדרת הסכומים
שלו ב־ k=0 Ak
החלקיים של הטור המקורי ) Snכי (T0 = Sn1 ; T1 = Sn2 ; . . . ; Tk−1 = Snk
ומאחר שהסדרה } {Snמתכנסת ל־ ,Sכך גם } .{Tk
Pהסרת סוגריים ,היא בדר״כ אסורה .למשל ,אם = an
הפעולה ההפוכה ־
אינו מתכנס ,אך אם נשים בסוגריים כל זוג מהטיפוס
(−1)nאז הטור an
a2n − a2n−1נקבל טור של אפסים.
הסיבה היא שבלי הסוגריים מתקבלים גם סכומים חלקיים )שלא היו בטור
עם סוגריים( שבהם אין צמצומים .לכן המשפט הבא איננו מפתיע.
P
מופיעים אברים בעלי אותו
כך שבכל סוגריים
משפט .אם מוסיפים סוגריים לטור an
P
סימן ,ואם הטור עם הסוגריים מתכנס ,אז גם הטור המקורי , an ,מתכנס ־ ולאותו
הסכום.
44
Pn
Pהחלקי ה־ n־י של הטור ללא
= Snאת הסכום
הוכחה .נסמן ב־ k=1 ak
A
=
a
+.
.
.+a
כאשר
,
A
ב־
הסוגריים
עם
הטור
הסוגרים .נסמן את
nk +1
nk+1
Pk
Pmk
ואת סדרת הסכומים החלקיים שלו ב־ .Tm = k=0 Akעפ״י ההנחה הטור Ak
מתכנס ,ונסמן את סכומו ב־ .Aנשים לב שמהתכנסות הטור נובע כי .Ak → 0
בהנתן ,nנקבע mכך ש־ ,nm + 1 ≤ n ≤ nm+1ונציג
aj = Tm−1 + βn
כאשר aj
Pn
j=nm +1
n
X
j=nm +1
Ak +
m−1
X
= Sn
k=1
= .βnואז
|Sn − A| ≤ |Tm−1 − A| + |βn | ≤ |Tm−1 − A| + |Am | → 0
לפני שנעבור למשפטים הבאים נזכיר שהגדרנו
(
an ≥ 0
0
an > 0
−
;
= an
an < 0
−an an ≤ 0
P +
P
ו־
מתכנס בהחלט אםם שני הטורים החיוביים
,a±והטור an
ואז 0
n ≥P
P + an P
−
a−
מתכנסים .אם הטור מתכנס בתנאי אך לא בהחלט אז = an
= an
n
∞.
נעבור לדון בשינוי סדר המחוברים בטור אינסופי.
(
an
+
= an
0
משפט .אם משנים את סדר המחוברים בטור מתכנס בהחלט ,אז הטור החדש מתכנס ־
ולאותו הסכום.
P
Pתהי πפרמוטציה )כלומר,
מתכנס בהחלט ונסמן את סכומו ב־ .S
הוכחה .נניח כי an
.S
הוא
ושסכומו
מתכנס
a
שגם
להוכיח
וצריך
,N
של
ועל(
חח״ע
העתקה
)π(n
P
P + P −
= , an
שהטור חיובי .ואמנם נציג an − an
להניח
נוכל
כי
תחילה
נראה
P
P +
P
= ) , aπ(nולכן די באמת להראות ששני הטורים באגף
aπ(n) − a−
ואז )π(n
ימין מתכנסים )ולאותם סכומים(.
Pn
Pk
נסמן ב־ Sk = i=1 aiוב־ ) Tn = i=1 aπ(iאת הסכומים החלקיים של שני
הטורים.
נקבע nונסמן }) .k = max{π(1), π(2), . . . , π(nמהחיוביות של ה־ an־ים נובע
כי
Tn = aπ(1) + aπ(2) + . . . + aπ(n) ≤ a1 + a2 + . . . ak ≤ S
Pוגבולה Tמקיים .T ≤ S
ולכן הסדרה המונוטונית } {Tnחסומה,
כטור המתקבל משינוי סדר המחוברים
שיקול דומהP,כשמסתכלים על an
של הטור ) , aπ(nמראה כי ,S ≤ Tולכן .T = S
P
טור מתכנס בתנאי )כלומר ,הוא מתכנס ־ אך לא בהחלט(.
משפט].רימן[ יהי an
אז לכל מספר ממשי Sאפשר לסדר מחדש את אברי הטור כך שיתקבל טור מתכנס
שסכומו הוא .Sיתר על כן ,אפשר גם לסדר את אברי הטור באופן שהטור שמתקבל
מתכנס ל־ ∞ או ל־ ∞ −או שאיננו מתכנס כלל.
45
P
P
+
,a−ואז = qn
הוכחה .כדי לפשט את הכתיבה נסמן an = pnו־ n = qn
∞ ,ובודאי ש־ .pn , qn → 0
P
יהי n1 ≥ 1הקטן ביותר כך ש־ ) A1 = p1 + . . . + pn1 > Sיש כזה כי = pn
∞( .ואז p1 + . . . + pn1 −1 ≤ Sולכן ,S < A1 = (p1 + . . . + pn1 −1 ) + pn1 ≤ S + pn1
ובפרט
|S − A1 | ≤ pn1
= pn
כעת m1 ≥ 1הקטן ביותר כך ש־ ) A1 − (q1 + . . . + qm1 ) < Sיש כזה כי
יהי P
∞ = ,( qnונסמן .A2 = q1 + . . . qm1ואז ,A1 − A2 < S ≤ A1 − A2 + qm1ו־
|S − (A1 − A2 )| ≤ qm1
נמשיך באינדוקציה ונגדיר 0 = n0 < n1 < n2 < . . .ו־ < 0 = m0 < m1 < m2
. . .כך שאם נסמן
nj+1
P
כאשר k = 2j + 1איזוגי pn
n=nj +1
= Ak
mP
j+1
כאשר ) k = 2(j + 1זוגי qn
n=mj +1
אז
¯
¯
n
¯
¯
X
¯
¯
(−1)k Ak ¯ < αn
¯S −
¯
¯
k=1
כאשר αn = pniאו qmiבהתאם לזוגיות של .nהיות ו־ ,pni , qmi → 0נקבל
∞→n
P
Pהוא .S
מתכנס וסכומו
כי הטור (−1)k Ak
ע״י שינוי סדר המחוברים והשמת סוגריים,
הטור הזה מתקבל מהטור an
אבל בכל סוגר יש אברים בעלי אותו סימן )חיובי אם nאיזוגי ושלילי אם הוא
זוגי( ,ולכן מהתכנסות הטור המסודר מחדש עם הסוגריים נובעת גם התכנסותו
ללא הסוגריים.
את הסיפא של המשפט מוכיחים בשיטה דומה )הוכיחו זאת כתרגיל!(.
מכפלת טורים
P
P
P
מתכנסים בהחלט אז גם הטור wk
ו־ bj = B
משפט .אם הטורים ai = A
שאבריו הם כל המכפלות האפשריות ,{ai bj }i,j≥1כשהן מסודרות בסדר כלשהו ,מתכנס
־ וסכומו הוא .W = AB
הוכחה .ע״י הסתכלות בנפרד בסכומי האברים החיוביים ובסכומי האברים השליליים
של שני הטורים )באופן דומה למה שעשינו בהוכחת המשפט על שינוי סדר
המחוברים( נוכל ,בה״כ ,להניח שכל הטורים הם בעלי אברים חיוביים.
46
Pm
Pm
נסמן את הסכומים החלקיים של הטורים ב־ Bm = j=1 bj ,Am = i=1 ai
Pn
ו־ Wn = k=1 wkבהתאמה ,ונסמן ב־ ) k(i, jאת האינדכס kכך ש־ .ai bj = wk
נקבע כעת nונסמן } ,m = max{max(i, j) : k(i, j) ≤ nכלומר mהוא
האינדכס הגדול ביותר ) iאו (jשמופיע באחת המכפלות המגדירות את האברים
.{wk }k≤nמחיוביות האברים מקבלים לכן כי
à m ! m
X
X
≤ w1 + . . . + wn
ai
bj = Am Bm ≤ AB
i=1
j=1
P
חסום ולכן מתכנס ,וסכומו מקיים .W ≤ AB
כלומר ,הטור החיובי wn
נפנה להוכחת אי השוויון ההפוך .בהנתן mנגדיר }.n = max{k(i, j) : i, j ≤ m
כלומר n ,הוא האינדכס הקטן ביותר כך שכל המכפלות {ai bj }i,j≤mמופיעות בין
nה־ wk־ים הראשונים.
מחיוביות האברים ועפ״י הגדרת nמקבלים כי Am Bm ≤ Wn ≤ Wולכן גם
בגבול .AB ≤ W
ללא ההנחה שהטורים מתכנסים בהחלט למשפט אין משמעות כי
הערותP (i) .
)ולכן יש חשיבות לסדר הסכימה(:
בהחלט
מתכנס
שאיננו
בודאי
wP
אז הטור n
P
. Pa+נקבע j0כך ש־ ) bj0 > 0יש
אינו
הטור ai
מתכנס בהחלט ,ולכןi = ∞P
P +
. wn+ ≥ i a+
כזה כי ∞ = bj
( ,ואז ∞ = i bj0
Pסידור אחד ״קנוני״ שבו טור המכפלה
Pגם אין
יתר על כן ,לא נוכיח זאת אך
ו־ . bj
תמיד יתכנס לכל זוג טורים ai
מכפלת הטור היא ע״י השמת סוגריים
)(ii
דרך נוחה ,לפעמים ,לסכם את P
כאשר
״לאורך אלכסונים״ ,כלומר על הטור dn
X
X
X
= dn
= ai bj
= ai bn−i
an−i bi
i
i
i+j=n
דוגמא.
∞P
xn
!n=0 n
)שאנו יודעים שהוא
נראה בהמשך כי לכל xממשי סכום הטור
מתכנס בהחלט( הוא .exנראה כי ex ey = ex+yע״י הכפלת טורים.
נסכם ,כפי שמוצע בהערה ,עפ״י האלכסונים ונקבל
∞ !Ã
!
∞Ã
∞
X yn
X
X xi y j
X xn
=
!n
!n
!i! j
n=0
n=0 i+j=n
n=0
אבל עפ״י נוסחת הבינום
¶ n µ
1 X n i n−i
(x + y)n
=
xy
=
n! i=0 i
!n
n
X
X xi y j
1
=
xi y n−i
!i
!j
i!(n
−
!)i
i=0
i+j=n
47
ומקבלים כי
Ã
x y
e e =
∞
X
xn
n!
n=0
!Ã
∞
X
yn
n!
n=0
!
48
=
∞
X
(x + y)n
= ex+y
n!
n=0
פרק 3
סדרות וטורים של פונקציות
3.1התכנסות במידה שווה של סדרות של פונקציות
נתונה סדרת פונקציות } .{fnבכל נקודה xשבה כולן מוגדרות נרצה לבדוק אם
∞}) {fn (xמתכנסת או מתבדרת.
סדרת המספרים n=1
דוגמאות.
)(i
.x
הפונקציות
x
x2 +n2
= ) fn (xמוגדרות בכל הישר ו־ limn→∞ fn (x) = 0לכל
) (iiהפונקציות fn (x) = xnמוגדרות בכל הישר ומקיימות limn→∞ fn (x) = 0
אם ) x ∈ (−1, 1וכן .limn→∞ fn (1) = 1
עבור כל ה־x־ים האחרים הסדרה המספרית }) {fn (xאינה מתכנסת.
הגדרה .תהי fnסדרת פונקציות המוגדרות בקטע .Iנאמר שהסדרה מתכנסת נקודתית
∞}) {fn (xמתכנסת,
לפונקציה fבקטע אם לכל נקודה x ∈ Iהסדרה המספרית n=1
כלומר ,לכל xבקטע ולכל ε > 0קיים ) N = N (x, εכך ש־ |fn (x) − f (x)| < εלכל
.n > N
בהגדרת ההתכנסות הנקודתית התאמנו לכל εמספר ) ,N = N (x, εובדר״כ
הוא תלוי ב־ .xכלומר סדרת המספרים ) fn (xמתקרבת למספר ) f (xבקצב
שונה בנקודות שונות .חשיבות רבה יש למקרה המיוחד שבו אפשר לבחור את N
כך שלא יהיה תלוי ב־ xאלא רק ב־ .εבמקרה זה קצב ההתקרבות של fnל־
fהוא אחיד בכל הקטע.
הגדרה .תהי fnסדרת פונקציות המוגדרות בקטע .Iנאמר שהסדרה מתכנסת לפונקציה
fבמידה שווה )במ״ש( בקטע אם לכל ε > 0קיים )) N = N (εהתלוי רק ב־ (εכך ש־
|fn (x) − f (x)| < εלכל n > Nולכל .x ∈ I
מבחינה גיאומטרית fn → fבמ״ש אם לכל ε > 0מתקיים שאם nגדול
מספיק אז כל הגרף של fnמוכל ברצועה ברוחב 2εשמרכזה הוא הגרף של .f
49
כפי שנראה בהמשך ,העובדה שכל הגרף של fn״קרוב״ לכל הגרף של fתאפשר
לנו להסיק שכאשר ל־ fn־ים יש תכונות מסוימות )כגון רציפות או אינטגרביליות(
אז גם ל־ fיש אותן תכונות.
דוגמאות.
) (iהסדרה fn (x) = x21+nמתכנסת במ״ש לפונקציה f (x) = 0על כל הישר.
כי בהנתן ε > 0נבחר N = 1/εואז לכל n > Nמתקיים
1
1
1
< ≤
<ε
x2 + n
n
N
<. 0
סדרת הפונקציות fn (x) = xnאמנם מתכנסת נקודתית ב־ ) (−1, 1ל־
)(ii
,0אך ההתכנסות איננה במידה שווה .כדי לראות זאת נבחר ε0 = 14ונראה
p
שלכל nיש xnכך ש־ .fn (xn ) > 14ובאמת ,נבחר למשל ,xn = n 1/2ואז
.fn (xn ) = 21 > 14
הלמה הפשוטה הבאה היא למעשה ניסוח אחר להגדרה.
למה .תהיינה fnמוגדרות בקטע .Iאז התנאים הבאים שקולים:
) (iהסדרה fnמתכנסת במ״ש לפונקציה fבקטע .I
).bn = supx∈I |fn (x) − f (x)| → 0 (ii
) (iiiיש קבועים an ≥ 0כך ש־ an → 0וכך ש־ |fn (x) − f (x)| ≤ anלכל xבקטע.
הוכחה .ברור שהתנאים ) (iiו־ ) (iiiשקולים וגוררים התכנסות במ״ש .להפך ,אם
fn → fבמ״ש אז ההגדרה אומרת ש־ .bn → 0
הבדיקה אם סדרה נתונה fnמתכנסת במ״ש בקטע Iתעשה בשני שלבים:
שלב :1בדיקה שהסדרה מתכנסת נקודתית ־ וזהוי הפונקציה הגבולית .f
שלב :2שימוש בלמה כדי לבדוק אם fnאכן מתכנסת במ״ש לפונקציה fשמצאנו.
דוגמאות.
x
fn (x) = 1+nxמתכנסת במ״ש על כל הישר .הגבול הנקודתי
)(i
הסדרה 2 + x
של הסדרה הוא ,f (x) = xועלינו לבדוק את ההתנהגות של |).supx∈R |fn (x)−f (x
±1
x
√ = .xכמו כן
(fn − f )(x) = 1+nxמתאפסת רק ב־
נקבע ,nואז הנגזרת של 2
n
לכל nקבוע ,limx→±∞ |fn (x) − f (x)| = 0ולכן | |fn − fאכן מקבלת מכסימום
בנקודות אלה ,ומתקיים
¯
µ
¯¶
¯
¯ ±1
1
. max |fn (x) − f (x)| = ¯¯(fn − f ) √ ¯¯ = √ → 0
x∈R
n
∞→2 n n
50
) (iiהסדרה ) fn (x) = xn (1 − xnמתכנסת נקודתית בקטע ] [0, 1ל־ 0ונראה
שההתכנסות איננה במ״ש .ובאמת
1
6→ 0
4
= ) max |fn (x) − f (x)| = max xn (1 − xn
0≤x≤1
כי המכסימום של ) t(1 − tבקטע ] [0, 1הוא
0≤x≤1
1
4
)ומתקבל ב־
1
2
= ,(tונציב .t = xn
הדוגמא הטיפוסית המדגימה באופן ברור את ההבדל בין התכנסות
)(iii
נקודתית להתכנסות במ״ש היא סדרה מהטיפוס
0 ≤ x ≤ n1
nαn x
fn (x) = 2αn − nαn x n1 ≤ x ≤ n2
0
אחרת
המתכנסת נקודתית ל־ 0לכל בחירה של המספרים ,αnאך מתכנסת במ״ש אםם
.max fn (x) = αn → 0
נשאיר כתרגיל את הוכחת המשפט החשוב הבא
משפט] .תנאי קושי[ הסדרה fnמתכנסת במ״ש ל־ fבקטע Iאםם לכל εיש ) Nהתלוי
ב־ εבלבד( כך שלכל n, m > Nמתקיים |fn (x) − f m(x)| < εלכל .x ∈ I
הערה .בענפים רבים של מתמטיקה ,מדע וטכנולוגיה אנחנו זקוקים ל״מדד של
קירבה״ בין שתי פונקציות .התכנסות במ״ש קשורה לדרך טבעית מאוד למדידת
הקירבה :שתי פונקציות fו־ gתחשבנה ל״קרובות זו לזו״ בקטע Iאם הגרפים
שלהן ״קרובים״ זה לזה ,או ,באופן יותר מתמטי ,אם }sup{|f (x) − g(x)| : x ∈ I
״קטן״.
כדי להדגים זאת נתאר שתי בעיות פשוטות של ״בקרה״:
) (iבמשך תהליך ייצור הטמפרטורה האידאלית הרצויה בזמן tצריכה להיות
) h(t־ אבל סטיות עד לגודל εמהטמפרטורה האידיאלית עדיין מותרות ואינן
פוגמות במוצר .תפקידו של המהנדס הוא לתכנן מנגנון בקרה שיבטיח שהטמפרטורה
בפועל ,f (t) ,תהיה ε־קרובה ,בכל זמן tבמשך הייצור ,לערך ב־ tשל הפונקציה
האידאלית .h
) (iiתקציב המדינה בשנה מסויימת קובע את הוצאות הממשלה ) h(tבחודש ,t
אך החלטת הממשלה גם מתירה סטיות עד לגודל מסויים .תפקידו של הממונה
על התקציבים הוא לדאוג שההוצאה בפועל ,f (t) ,תקיים שהסטיה המירבית
מההוצאה המתוכננת ,כלומר } ,sup{|f (t) − g(t)| : 1 ≤ t ≤ 12עומדת בדרישות
שהוצבו ע״י הממשלה.
בשתי הדוגמאות המדד להצלחה הוא ה״קירבה״ של הגרפים ,והתכנסות במ״ש
פרושה שע״י בחירת nגדול מספיק אפשר לשלוט בקירבה הזו ,ולהקטין אותה
כרצוננו.
הדוגמאות הבאות מראות שתכונות חשובות של פונקציות ,כגון רציפות או
אינטגרביליות ,אינן נשמרות בהתכנסות נקודתית לגבול.
51
דוגמאות.
) (iהפונקציות הרציפות fn (x) = xnמתכנסות נקודתית בקטע ] [0, 1לפונקציה
הלא רציפה
(
0 x 6= 1
= ). f (x
1 x=1
)(ii
נסתכל בסדרת הפונקציות הבאות בקטע ][0, 1
(
x = pqכך ש־ 0 q ≤ n
= ). Dn (x
אחרת 1
לכל nקבוע זוהי פונקציה חסומה ,והיא רציפה פרט למספר סופי של נקודות,
ולכן אינטגרבילית .אך הגבול הנקודתי של הסדרה הוא פונקצית דיריכלה שאינה
אינטגרבילית.
כשהגבול הנקודתי הוא פונקציה אינטגרבילית בקטע Iלא נובע מכך כי
) (iiiגם R
R
.limn→∞ I fn = I fלמשל ,בדוגמא ) (iiiלמעלה Rמתקיים כי fRn → 0נקודתית
בקטע ] I = [0, 1לכל בחירה של ,αnולכן . I f = 0אך I fn = αnובבחירות
מתאימות של αnנקבל סדרה αnשאינה מתכנסת ,או שהיא מתכנסת לגבול
שונה מאפס.
לעומת זאת ,התכנסות במ״ש כן מבטיחה רציפות )או אינטגרביליות( של
פונקצית הגבול .שימו לב איך משתמשים בהוכחות בכך שבהתכנסות במ״ש כל
הגרף של fnקרוב באופן אחיד לגרף של .f
משפט .תהי fnסדרת פונקציות המתכנסת במ״ש ל־ fבקטע .Iאם כל ה־ fnרציפות
בנקודה x0אז גם fרציפה ב־ .x0בפרט ,אם fnרציפות בכל הקטע אז גם fרציפה
בו.
הוכחה .נקבע ε > 0ועלינו למצוא δ > 0כך שאם |x−x0 | < δאז < |) |f (x)−f (x0
.εנעשה זאת בשני שלבים:
בשלב הראשון נבחר ,Nע״ס ההתכנסות במ״ש ,כך ש־ |fN (x) − f (x)| < ε/3
לכל xבקטע.
בשלב השני ננצל את הרציפות של fNבנקודה x0ונמצא δ > 0כך שלכל x
בקטע המקיים |x − x0 | < δמתקיים .|fN (x) − fN (x0 )| < ε/3
זהו ה־ δ > 0המבוקש ,כי כשנצרף את אי השוויונים נקבל שאם |x − x0 | < δ
אז
≤
|) |f (x) − fN (x)| + |fN (x) − fN (x0 )| + |fN (x0 ) − f (x0
ε
< 3 =ε
3
52
|) |f (x) − f (x0
משפט .תהי fnסדרת פונקציות אינטגרביליות בקטע ] [a, bהמתכנסת במ״ש ל־ f
Rb
Rb
בקטע .אז גם fאינטגרבילית בקטע ומתקיים ש־ .lim a fn = a fיתר על כן ,אם
Rx
Rx
נגדיר Fn (x) = a fnו־ ,F (x) = a fאז Fn → Fבמ״ש בקטע.
הוכחה .נניח לשם פשטות הסימון כי הקטע הוא ] ,[0, 1ונראה תחילה ש־ f
אינטגרבילית .נקבע εונבחר ,Nע״ס ההתכנסות במ״ש ,כך ש־ |fN (x)−f (x)| < ε
Pחסומה ,בוודאי שגם fחסומה ,ונראה איך למצוא
לכל xבקטע .היות ש־ fN
חלוקה עבורה . ωi ∆i < 3ε
בשלב השניPננצל את האינטגרביליות של fNונמצא חלוקה Pעבורה מתקיים
)כאשר ωiNהם התנודות של fNבקטעי החלוקה .(P
כי ωiN ∆i < ε
להערכת ωiנעשה חישוב דומה לזה שנעשה במשפט הקודם .נקבע x, yכלשהם
בקטע החלוקה ה־ i־י ,ואז
|)|f (x) − f (y
|)≤ |f (x) − fN (x)| + |fN (x) − fN (y)| + |fN (y) − f (y
< 2ε + ωiN
P
P
ולכן גם ,ωi ≤ 2ε + ωiNו־ . ωi ∆i ≤ 2ε + ωiN ∆i < 3ε
R1
R1
כעת נראה כי . 0 fn → 0 fנקבע ε > 0ונמצא ) N = N (εכך שלכל n > N
מתקיים |fn (t) − f (t)| < εלכל .tלכן
¯Z 1
¯
Z 1
Z 1
¯
¯
¯¯ .
fn −
≤ ¯¯ f
|fn (t) − f (t)|dt < ε
0
0
0
הטענה האחרונה נובעת מחישוב דומה :לכל n > Nולכל ] x ∈ [0, 1מתקיים
Z x
≤ |). |Fn (x) − F (x
|fn (t) − f (t)|dt < εx ≤ ε
0
ראינו שהתכנסות במ״ש של סדרת פונקציות רציפות גוררת שהגבול אף הוא
רציף .ההיפך כמובן אינו נכון )בדקו שאתם מכירים דוגמא!( .מתברר שכאשר
ההתכנסות היא מונוטונית )כלומר או שמתקיים ) fn (x) ≤ fn+1 (xלכל nולכל x
בתחום ,או ש־ ) fn (x) ≥ fn+1 (xלכל nולכל ,(xאז ההתכנסות כן חייבת להיות
במ״ש:
משפט] .דיני[ נניח שסדרת פונקציות רציפות fnמתכנסת באופן מונוטוני לפונקציה רציפה
fבקטע סגור ] ,[a, bאז ההתכנסות היא במ״ש.
הוכחה .נניח בה״כ שהסדרה יורדת ,וע״י החלפתה ב־ fn − fנוכל גם להניח כי
.f ≡ 0נניח בשלילה ש־ fnאינה מתכנסת במ״ש ל־ 0בקטע ] ,[a, bונמצא ,ε0 > 0
אינדכסים n1 < . . . < nk < . . .ונקודות xnkבקטע ] [a, bכך ש־
fnk (xnk ) > ε0
53
)יש כאלה כי .(max |fn (x)| 6→ 0הסדרה האינסופית } {xnkחסומה ,ולכן ע״ס
בולצ׳אנו ווירשטראס יש לה תת־סדרה מתכנסת ].xnkl → x0 ∈ [a, b
נקבע כעת mכלשהו ,ואז בגלל המונוטוניות ,מתקיים לכל nk > mכי
fm (xnk ) ≥ fnk (xnk ) ≥ ε0
ומרציפות fmנובע כי ,fm (x0 ) = lim fm (xnkl ) ≥ ε0וזה נכון לכל ,mבסתירה
להנחה ש־ .limm→∞ fm (x0 ) = 0
תרגיל :הוכיחו את המשפט בעזרת הלמה של היינה בורל .רמז :לכל xבקטע
מיצאו nxכך ש־ ,fnx (x) < ε/2וקטע פתוח Ixסביב xשבו .fnx < εאח״כ
השתמשו בהיינה בורל.
ראינו שגבול במ״ש של פונקציות רציפות או אינטגרביליות הוא רציף או
אינטגרבילי בהתאמה .האם גם גזירות נשמרת? התשובה היא שלילית כי אפשר
לעשות שינויים גדולים מאוד בשיפועים של הגרף של פונקציה בלי לשנות בהרבה
את ערכיה.
דוגמאות.
)(i
הפונקציות
1
n
1
n
≥ ||x
≤ ||x
(
||x
1
2n
+
nx2
2
= )fn (x
מתכנסות במ״ש על כל הישר לפונקציה | .f (x) = |xהן גזירות בכל נקודה,
אך הגבול אינו גזיר בנקודה ) .x = 0יש פונקציות רציפות שאינן גזירות באף
נקודה ,והבניות הסטנדרטיות שלהן הן כגבולות במ״ש של פונקציות שהן גזירות
בכל מקום .ראו גם בדוגמאות אחרי משפט ווירשטראס על התכנסות במ״ש של
טורים(.
) (iiגם כשהגבול fגזיר סדרת הנגזרות אינה חייבת להתכנס לנגזרת .f 0למשל,
2
נקח ,fn (x) = sinnn xואז הן מתכנסות במ״ש ל־ ,f ≡ 0אך ,fn0 (x) = 2n cos n2 x
וסדרה זו אינה מתכנסת במ״ש כלל )ואפילו לא נקודתית(.
המשפט הבא מטיל תנאים נוספים על הסדרה המספיקים כדי להבטיח שהנוסחה
) (lim fn )0 = lim(fn0תהיה תקפה ,אך למעשה התנאים הם כאלה שהמשפט הוא
מסקנה מיידית מהמשפט על אינטגרציה.
משפט .תהי fnסדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות בקטע Iכך ש־
) (iיש נקודה x0שבה הסדרה המספרית }) {fn (x0מתכנסת.
) (iiהסדרה fn0מתכנסת במידה שווה על .I
אז הסדרה fnמתכנסת במידה שווה על ,Iגבולה שיסומן ב־ fגזיר ,ומתקיימת
הנוסחה .f 0 = lim fn0
54
פונקציות רציפות גם
הוכחה .נסמן את הגבול של ה־ fn0־ים ב־ .ϕכגבול Rבמ״ש
של R x
x
0
ϕרציפה ,וע״ס המשפט על אינטגרציה lim x0 fn (t)dt = x0 ϕ(t)dtוההתכנסות
היא במ״ש.
Rx
מצד שני ) ,fn (x) = x0 fn0 (t)dt + fn (x0ולכן גם הסדרה ) fn (xמתכנסת במ״ש
וגבולה הוא
Z x
= )f (x
ϕ(t)dt + C
x0
כאשר ) .C = lim fn (x0ע״ס המשפט היסודי של החדו״א .f 0 = ϕ
3.2טורי פונקציות
P
מתכנס נקודתית )או במ״ש( בקטע ,Iוסכומו הוא
נאמר שטור הפונקציות fn
PN
הפונקציה ) ,S(xאם סדרת הסכומים החלקיים שלו ,SN (x) = n=1 fn (x) ,היא
סדרה מתכנסת נקודתית )או במ״ש( וגבולה הוא .S
P
הוא,
תנאי הכרחי )אך לא מספיק( להתכנסות נקודתית )או במ״ש( של fn
כמובן ,ש־ fn → 0נקודתית )או במ״ש(.
ההגדרה נעשתה בעזרת התכנסות של סדרות של פונקציות ,ולכן לכל המשפטים
שהוכחנו על סדרות מתכנסות של פונקציות יש משפטים מקבילים על טורי
פונקציות ,הנובעים מהם באופן פורמלי ואין צורך להוכיחם מחדש.
P
אםם לכל εיש ) Nהתלוי ב־ ε
מתכנס במ״ש בקטע I
משפט] .תנאי קושי[ הטור fn
Pm
בלבד( כך שלכל m > k > Nמתקיים | n=k fn (x)| < εלכל .x ∈ I
P
טור פונקציות המתכנס במ״ש לפונקציה Sבקטע .Iאם כל ה־ fn־ים
משפט .יהי fn
רציפות בנקודה x0אז גם Sרציפה ב־ .x0בפרט ,אם fnרציפות בכל הקטע אז גם S
רציפה בו.
P
מתכנס במ״ש
fP
Pפונקציות אינטגרביליות בקטע Iכך
משפט .תהיינה fn
שהטור n
R P
R
= . I fn
f
ש־
ומתקיים
בקטע
אינטגרבילית
S
=
בקטע .אז גם fn
n
I
משפט] .דיני[ תהיינה fnפונקציות רציפות אי־שליליות כך שהטור fn
בקטע סגור Iלפונקציה רציפה .Sאז ההתכנסות היא במ״ש.
P
מתכנס נקודתית
משפט .תהי fnסדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות בקטע Iכך ש־
P
מתכנס.
) (iיש נקודה x0שבה הטור ) fn (x0
P 0
מתכנס במידה שווה על .I
) (iiהטור fn
P
מתכנס במ״ש על ,Iסכומו פונקציה גזירה ,ומתקיימת הנוסחה
fn P
אז גם הטור
P 0
= .( fn )0
fn
55
המשפט הבא הוא המשפט היחיד שנביא שהוא מיוחד לטורים.
בקטע Iושיש קבועים Mkכך ש־
משפט] .ויירשטראס[ נניח שהפונקציות fnמוגדרות P
מתכנס אז גם טור הפונקציות
|fk (x)| ≤PMkלכל .x ∈ Iאם טור המספרים Mk
מתכנס בהחלט ובמ״ש בקטע.
fn
P
מתכנס בהחלט ע״ס מבחן ההשואה,
הוכחה .לכל xקבוע הטור המספרי )fn (x
ולכן מתכנס .נסמן את הסכום ב־) S(xועלינו להוכיח כי SN → Sבמ״ש .ובאמת
¯
¯X
X
X
¯
¯
≤ |)|fn (x
Mn → 0
≤ ¯)fn (x
¯ = |)|S(x) − SN (x
n>N
כי הטור Mn
P
n>N
n>N
מתכנס.
דוגמאות.
P
מתכנס במ״ש )ניקח במשפט .(Mn = 2−nשימו לב
) (iהטור 2−n sin 3n x
שאין לנו נוסחה מפורשת לפונקצית הסכום ,אך ידוע לנו שהיא רציפה )כסכום
במ״ש של טור פונקציות רציפות( .זוהי למעשה דוגמא ידועה מאד :ווירשטראס
הראה שפונקציה רציפה זו אינה גזירה באף נקודה!
P n
מתכנס במ״ש בכל קטע מהצורה ] [−r, rכאשר < 0 < r
הטור x
)(ii
) 1כאן ניקח (Mn = rnולכן סכומו פונקציה רציפה ב־ ) .(−1, 1למעשה זהו טור
1
. 1−xכשנבצע איטגרציה אבר אבר נקבל כי
גיאומטרי אינסופי וסכומו ידוע לנו:
לכל 0 < t < 1
Z
Z
∞
t
X tn+1
X t
¯t
1
=
= xn dx
)= − ln(1 − x)¯0 = − ln(1 − t
n+1
0
0 1−x
n=0
וכשנציב t = 1/2ונקבל את הנוסחה המעניינת
1
(n+1)2n+1
P
= .ln 2 = − ln 12
) (iiiמשפט ווירשטראס נותן תוצאה חזקה של התכנסות בהחלט ובמ״ש ,ויש
P (−1)n
כמובן טורים מתכנסים במ״ש שאינם מתכנסים בהחלט .למשל הטור x+n
מתכנס במ״ש על ] [0, 1כי לכל xקבוע זהו טור לייבניץ ,ולכן השארית ה־ m־ית
מקיימת
1
1
= |)|rm (x)| ≤ |fm+1 (x
≤
<ε
x+m+1
m+1
אם רק .m > 2/εהערכה זו נכונה לכל ] x ∈ [0, 1ולכן ההתכנסות היא במ״ש.
אבל הטור הזה אינו מתכנס בהחלט לאף .x
56
3.3טורי חזקות
∞P
טור חזקות הוא טור מהצורה . n=0 an (x − x0 )nטורי חזקות הם הכללה של
פולינומים לסכומים אינסופיים ,ויש להם תכונות מאד מיוחדות.
לשם פשטות הסימונים נבצע הזזה ב־ ,x0וכך נרשום בד״כ אתPהטענות
∞
,xPכלומר ,נסתכל בטורים מהצורה . n=0 an xn
למקרה המיוחד שבו 0 = 0
מתכנס בנקודה .x = 0מה עוד אפשר לאמר על
כל טור חזקות an xn
תחום ההתכנסות?
דוגמאות.
P xn
מתכנס לכל x־ וההתכנסות היא במ״ש בכל קטע סופי
הטור
)(i
¯ ¯ xn ¯ n!¯ rn
P rn
¯
¯
¯
¯
מתכנס לכל rעפ״י מבחן
] .[−r, rכי
לכל xבקטע והטור !n
!n! ≤ n
המנה .הטענה נובעת כעת ממשפט ווירשטראס.
P n
מתכנס בקטע ) (−1, 1ומתבדר עבור .|x| ≥ 1
) (iiראינו שהטור x
xn
n
הוא הקטע ).[−1, 1
) (iiiתחום ההתכנסות של הטור
P n n
מתבדר לכל ,x 6= 0כי אם
) (ivהטור n x
האיבר הכללי בטור אינו שואף לאפס.
1
||x
n n
≥ nאז ,|n x | ≥ 1ולכן
בכל הדוגמאות תחום ההתכנסות הוא קטע סימטרי סביב אפס )שיכול גם
להיות כל הישר ,או קטע מנוון ל־ 0בלבד( ,פרט אולי לאי סימטריה בהתכנסות
בנקודות הקצה .הלמה והמשפט הבאים אומרים שזה המצב הכללי.
P
מתכנס בנקודה ,x = αאז לכל | 0 ≤ r < |αהטור מתכנס
למה .אם הטור an xn
בהחלט ובמ״ש בקטע ].[−r, r
P
מתכנס ,ולכן האבר הכללי שלו שואף לאפס .בפרט זו
הוכחה .הטור an αn
n
סדרה חסומה ויש Mכך ש־ |an α | ≤ Mלכל .nאם | |x| ≤ r < |αאז
¯ x ¯n
¯ r ¯n
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯ |an xn | = |an αn | ¯ ¯ ≤ M
α
α
¯¯r
שהוא איבר כללי של טור גיאומטרי אינסופי עם ,q = ¯ α ¯ < 1ולכן הטור מתכנס
והלמה נובעת ממשפט ווירשטראס.
P
יש מספר ∞ ≤ ,0 ≤ Rהנקרא רדיוס התכנסות של
משפט .לכל טור חזקות an xn
הטור ,כך שהטור מתכנס בקטע ) (−R, Rומתבדר עבור ) |x| > Rכאשר ∞ = R
הפירוש הוא שהטור מתכנס לכל xו־ R = 0פירושו שהטור איננו מתכנס לאף .(x 6= 0
בנקודות x = ±Rעצמן הטור יכול או להתכנס או להתבדר.
יתר על כן ,אם 0 ≤ r < Rאז הטור מתכנס בהחלט ובמ״ש בקטע ].[−r, r
57
הוכחה .ההוכחה נובעת בקלות מהלמה :נסמן ב־ Eאת קבוצת כל הנקודות x
עבורן הטור מתכנס .ע״ס הלמה ל־ Eיש התכונה הגיאומטרית שאם α ∈ Eואם
| 0 ≤ r < |αאז הקטע ] [−r, rמוכל כולו ב־ Eולכן Eמכילה איחוד של קטעים
סימטריים סביב אפס )שהואו קטע סימטרי( ,ויכולה להכיל ,או לא להכיל ,גם
את נקודות הקצה.
למעשה קל לבדוק ש־ Rניתן ע״י הנוסחה }.R = sup{|x| : x ∈ E
המשפט הבא ייתן לנו נוסחאות מפורשות לחישוב רדיוס ההתכנסות.
משפט .יהי an xn
P
טור חזקות ונסמן
| |an+1
| |an
µ = lim
p
n
| |an
;
λ = lim sup
אז
)(i
1
λ
= .R
|
lim |a|an+1קיים אז
) (iiאם
|n
1
µ
= .R
הערה .חלק ) (iiנובע למעשה מחלק ) ,(iכי ראינו כבר )בזמן הדיון במבחני
p
|
lim |a|an+1קיים אז גם | lim n |anקיים
השורש והמנה להתכנסות טורים( שאם
|n
ושווה לו.
חלק ) (iiגם חלש יותר כי הוא דורש קיום של גבול ואינו מסתפק בגבול עליון
או בגבול תחתון .יחד עם זאת הוא מאד נוח לשימוש כאשר הוא ישים.
p
.lim sup n |an xn0 | = λ|x0 | P
הוכחת המשפט (i) .נקבע ,x0ואז
מתכנס כאשר λ|x0 | < 1והוא מתבדר
עפ״י מבחן השורש הטור an xn0
כאשר .λ|x0 | > 1
ההוכחה של ) (iiנעשית באופן דומה ע״י שימוש במבחן המנה.
דוגמאות.
P xn
רדיוס ההתכנסות של
)(i
הנוסחאות.
|
1
. |a|an+1כדי לראות ש־ λ = 0נשתמש בהערכה
= n+1
µ = 0כי → 0
|n
!n
הוא ∞ = .R
s
1
= (n/2)−1/2 → 0.
(n/2)n/2
)(ii
)(iii
n
1
≤
!n
נוכיח זאת בעזרת שתי
r
n
.
P n
ושל
רדיוסי ההתכנסות של x
P n n
הוא 0עפ״י נוסחת השורש.
רדיוס ההתכנסות של n x
xn
n
58
הם 1עפ״י שתי הנוסחאות.
)(iv
אם
1
n
2
n
כאשר nזוגי
כאשר nאיזוגי
(
= an
|
|
,lim inf |a|an+1ולמספרים אלה אין כל קשר לרדיוס
lim sup |a|an+1ו־ = 12
אז = 2
|n
|n
ההתכנסות האמיתי שהוא ) R = 1כפי שנובע ממבחן השורש(.
P∞ nj
P
הוא
רדיוס ההתכנסות של , x2nאו באופן כללי יותר של
)(v
j=1 x
,R = 1ובדוגמאות אלה יש אכן להשתמש בנוסחת השורש עם הגבול העליון כי
√
lim n anלא קיים.
כפי שראינו טור החזקות אינו חייב להתכנס בנקודות הקצה .±Rראינו גם
כי לכל 0 ≤ r < Rהטור מתכנס במ״ש בקטע ] ,[−r, rאך אינו חייב להתכנס
במ״ש בקטע ) .(−R, Rהמשפט הבא מקשר בין ההתכנסות בנקודות קצה לבין
ההתכנסות במ״ש בכל תחום ההתכנסות.
P
טור עם רדיוס התכנסות ∞ < .0 < Rאז הטור מתכנס בנקודה
משפט .יהי an xn
x = Rאםם הוא מתכנס במ״ש בקטע ) ,[0, Rובמקרה זה ההתכנסות היא ,למעשה,
במ״ש בכל הקטע ].[0, R
טענה דומה תקפה ביחס לנקודה x = −Rולקטע ].(−R, 0
הוכחה .נטפל רק בנקודה x = Rובקטע ) .[0, Rנניח תחילה שהטור ai Ri
מתכנס ונקבע .0 ≤ x ≤ Rנשתמש בנוסחה של סכימה בחלקים
) Bk (αk+1 − αk
m−1
X
αk βk = αm Bm −
k=n
m
X
k=n
¡ x ¢k
Pk
βi = ai Ri , αPו־ .Bk = i=n βi
כאשר
k = R
i
ולכן לכל ε > 0קיים ) N = N (εכך שלכל
מתכנס,
a
R
הטור
i
¯P
¯
¯ k
¯
מתקיים ש־ .|Bk | = ¯ i=n ai Ri ¯ < εנקבע 0 ≤ x ≤ Rונקבל כי
¯ ¯
¯
¯
m−1
m
¯ ¯¡ ¢
¯X
³¡ ¢
¯´
X
¢
¡
¢
¡
k
m
k+1
k
¯
¯
¯
¯
x
x
x
x
Bm −
Bk R
− R
¯ =
(ak Rk ) R
¯=¯ R
¯
¯ ¯
¯
¯
k=n
≤ε
¡ x ¢n
R
=ε
k=n
´ ¡ x ¢k+1
R
P
−
³¡ ¢
x k
R
ε
m−1
X
+
¡ x ¢m
R
ε
k>n>N
¯
¯
m
¯X
¯
¯
¯
¯ ak xk
¯
¯
¯
k=n
≤
k=n
הערכה זו נכונה לכל 0 ≤ x ≤ Rולכן ע״ס קריטריון קושי הטור an xn
מתכנס במ״ש בקטע ].[0, R
P
מתכנס במ״ש בקטע ) ,[0, Rאז לכל ε > 0קיים )N = N (ε
אם הטור¯Pm
להפך¯ ,
כך ש־ ¯ k=n ak xk ¯ < εלכל 0 ≤ x < Rולכל .m > n > Nנקבע את mו־ n
ואז
¯
¯
¯
¯
m
m
¯X
¯
¯X
¯
¯
¯
¯k
¯k
¯ ak R ¯ = lim−
ak x ¯ ≤ ε
¯
¯
¯ ¯ x→R
¯
k=n
k=n
P
מקיים את תנאי קושי ,ולכן מתכנס.
כלומר הטור an Rn
59
כפי שכבר אמרנו ,פונקציות המתוארות ע״י טור חזקות מתכנס הן בעלות
תכונות מיוחדות )וכדי לעמוד עליהן באופן יסודי יש לעבור למישור המרוכב
ולהסתכל על טורי חזקות מרוכבים ,כפי שתעשו בקורס בפונקציות מרוכבות(.
המשפט הבא מראה שביחס לרציפות ,גזירות ואינטגרביליות אפשר להתייחס
אליהן כאל סכומים סופיים ,כלומר ,כאילו היו פולינומים.
משפט .נתון טור an xn
P
בעל רדיוס התכנסות Rונסמן את סכומו ב־ ) .f (xאז
) (iהפונקציה fרציפה בתחום ההתכנסות של הטור.
P∞ an n+1
n=0 n+1הוא ,Rולכל 0 ≤ r < Rהפונקציה
x
) (iiרדיוס ההתכנסות של הטור
fאינטגרבילית בקטע ] [−r, rומתקיים
Z x
X an
)∗(
= f (t)dt
xn+1
n+1
0
אם הטור הנתון מתכנס ב־ ) x = Rאו ,(x = −Rאז הנוסחה )∗( תקפה גם בנקודה
זו.
∞P
) (iiiרדיוס ההתכנסות של הטור nan xn−1
) (−R, Rומתקיים
X
= )f 0 (x
nan xn−1
n=1
הוא ,Rהפונקציה fגזירה בקטע
)∗∗(
אם טור הנגזרות מתכנס ב־ ) x = Rאו ,(x = −Rאז גם הטור המקורי מתכנס
בנקודה זו ו־ )∗∗( תקפה שם )לנגזרת החד צדדית(.
) (ivהפונקציה fגזירה מכל סדר בקטע ) (−R, Rולכל pטבעי מתקיים
n(n − 1) · . . . · (n − p + 1)an xn−p
(m + p)(m + p − 1) · . . . · (m + 1)am+p xm
∞
X
n=p
∞
X
=
)f (p) (x
=
m=0
ולכל הטורים האלה יש אותו רדיוס התכנסות .R
הוכחה (i) .אם |x0 | < rנבחר rכך ש־ .|x0 | < r < Rהטור מתכנס במ״ש ב־
] [−r, rולכן fרציפה שם ,ובפרט ב־ .x0
אם הטור מתכנס גם בנקודה ) x = Rאו (x = −Rאז ההתכנסות היא במ״ש
ב־ ]) [0, Rאו ] ,([−R, 0ולכן fרציפה גם ב־ ±Rבהתאמה.
√
) lim n n = 1 (iiולכן
p
¯r
¯
p
| lim sup n+1 |an
¯ n+1 ¯ an
n+1
√
lim sup
=
lim
sup
| |an
= ¯ ¯ n+1
lim n+1 n + 1
n
³
´ n+1
p
1
=
| lim sup n |an
=
R
60
xn+1
n+1
הטענות האחרות נובעות מכך ש־
)(iii
= tn dt
Rx
0
ומאינטגרציה איבר־איבר.
חישוב רדיוס ההתכנסות דומה ל־ ):(ii
p
p
√
1
n
= | |(n + 1)an+1 | = lim n n + 1 · lim sup n |an+1
R
lim sup
גם שאר הטענות נובעות באופן דומה ל־ ).(ii
)(iv
חלק ) (ivנובע מחלק ).(iii
P
= ) f (xבקטע ) ,(−R, Rונציב x = 0בנוסחה שבחלק )(iv
נניח כי an xn
)(n
של המשפט ,ואז נקבל כי f (0) = n(n − 1) · . . . · 1 · anאו
n = 0, 1, . . .
כלומר
−R < x < R
)f (n) (0
,
!n
= an
∞
X
f (n) (0) n
= ). f (x
x ,
!n
n=0
נוסחה זו קשורה באופן הדוק לנוסחת טיילור עם שארית האומרת שאם f
גזירה n + 1פעמים בסביבת הנקודה x = 0אז f = Tn + Rnבסביבה ,כאשר Tn
פולינום טיילור ממעלה nו־ Rnהשארית ,והם ניתנים ע״י
)f (n+1) (c) (n+1
x
!)(n + 1
;
= )Rn (x
xk
n
X
)f (k) (0
!k
= )Tn (x
k=0
עבור איזשהו c = cxבין 0ל־ .x
קשר זה נותן לנו את המפתח לדיון בשאלה החשובה הבאה :נתונה פונקציה
fהמוגדרת בסביבת .x = 0באיזה תנאים אפשר להציג אותה שם כסכום של
טור חזקות? אם יש הצגה כזו אז הסכום החלקי ה־ n־י הוא בדיוק פולינום
טיילור Tnשלה ,ולכן ניסוח שקול לשאלה הוא מתי .Rn (x) → 0
תנאי מוקדם לקיום הצגה כזו הוא ש־ fצריכה להיות גזירה אינסוף פעמים,
אך תנאי הכרחי זה אינו מספיק.
דוגמא.
הפונקציה
x 6= 0
x=0
( 1
e− x2
= )f (x
0
גזירה איסוף פעמים וכפי שנראה מיד f (n) (0) = 0לכל .nלכן Tn ≡ 0לכל nו־
Rn = fלכל ,nובוודאי ש־ .Rn (x) 6→ 0
נראה כעת באינדוקציה כי f (n) (0) = 0לכל .nעבור n = 1
61
1
e− h2 − 0
)f (h) − f (0
= lim
h→0
h→0
h
h
1
s
lim h1 = lim s2 = 0
s→∞ e
h→0 e h2
lim
=
)f 0 (0
=
בשלב האינדוקציה מראים תחילה )באינדוקציה!( שלכל nיש פולינומים Pn , Qn
Pn (x) − 12
כך ש־ e x
f (n) (x) = Qלכל .x 6= 0ואז ,באופן דומה למקרה n = 1מראים
)n (x
כי
)f (n) (h) − f (n) (0
)(n+1
. f
(0) = lim
=0
h→0
h
משפט .תהי fגזירה מכל סדר ב־ ) (−r, rונניח שיש קבוע Mכך שלכל nולכל |x| < r
¯ )¯ (n
)P (k
k
מתקיים ¯f (x)¯ ≤ M n
)¯ f k!(0מקיים
x
החזקות
טור
של
R
ההתכנסות
רדיוס
אז
.
¯
) .R ≥ rהתנאי בוודאי מתקיים אם יש קבוע C = Crכך ש־ ¯f (n) (x)¯ ≤ Cלכל
|x| < rולכל .(n
הוכחה .נקבע ,|x| < rואז עפ״י נוסחת השארית בפיתוח טיילור יש נקודה cבין
0ל־ xכך ש־
)¯ (n+1
¯
¯f
(c) n+1 ¯¯ M n+1 rn+1
¯¯ = |)|Rn (x
x
¯ < (n + 1)! → 0
!)(n + 1
כי לכל קבוע Aמתקיים .lim Am /m! = 0
P
= ) ,f (xאנחנו קוראים לטור ״טור
אם יש ל־ fהצגה כטור חזקותan xn ,
Pבאופן כללי יותר ,אם יש ל־ fהצגה כטור חזקותf (x) = ,
טיילור של f״.
, an (x − x0 )nאנחנו קוראים לטור ״טור טיילור של fסביב הנקודה x0״.
שימו לב שלעתים קרובות תחום ההתכנסות של הטור חלקי ממש לתחום שבו
fמוגדרת.
דוגמאות.
).f (x) = ex (i
כאן f (n) (x) = exלכל .nולכן לכל r > 0מתקיים ש־ |f (n) (x)| ≤ erלכל
,|x| ≤ rכלומר ∞ = .Rכמו כן f (n) (0) = 1לכל ,nולכן לכל xמתקיים
∞
X
xn
!n
0
= xn
∞
X
)f (n) (0
!n
62
0
= . ex
1
!n
∞P
מהנוסחה מקבלים ש־
ואז נקבע Nונציג
N
∞
³p X
´
X
1
1
−
!= N
!. N
q
!n
!n
0
0
= eהוא אי רציונלי ,כי נניח בשלילה ש־
p
q
= ,e
N +1
אך זה בלתי אפשרי אם ,N > qכי אגף שמאל הוא שלם ואגף ימין הוא
מספר חיובי קטן מאחד ,מכיוון ש־
∞
∞
X
X
1
1
1
≤
=
n! j=1 (N + 1)j
N
!. N
N +1
).f (x) = sin x (ii
כאן ) f (n) (xהוא ± sin xאו ,± cos xובפרט |f (n) (x)| ≤ 1לכל xולכל n
ולכן ∞ = .Rכמו כן f (2m) (0) = ± sin 0 = 0ואילו = f (2m+1) (0) = (−1)m cos 0
(−1)mולכן לכל xמתקיים
∞
X
(−1)m x2m+1
!)(2m + 1
m=0
תרגיל :הראו כי
(−1)m x2m
!)(2m
∞P
m=0
= ). sin(x
= .cos x
הערה .שימו לב כי כשמפתחים פונקציה fלטור חזקות הטור יכול להתכנס רק
1
1−xמוגדרת לכל ,x 6= 1אך
בקטע חלקי לתחום הגדרתה של הפונקציה .למשל
הטור שלה מתכנס רק ב־ ).(−1, 1
∞P
1
. 1−x
) (iiiהטור k=0 xkהוא טור גיאומטרי שמתכנס עבור |x| < 1לפונקציה
ע״י גזירה איבר איבר נקבל נוסחאות חדשות:
!0
Ã
µ
¶0
∞
∞
∞
X
X
X
1
1
k−1
k
=
kx
=
.
x
(m + 1)xm
=
=
(1 − x)2
1−x
m=0
k=1
גזירה נוספת נותנת
!0
(m + 1)xm
k=0
∞
X
Ã
¶0
=
m=0
(n + 2)(n + 1)xn
∞
X
= (m + 1)mxm−1
n=0
תרגיל :חשבו את טורי טיילור של
)(iv
1
(1 − x)2
µ
∞
X
=
2
(1 − x)3
=
m=1
1
(1−x)p
לכל pטבעי.
אפשר גם לקבל נוסחאות מעניינות ע״י אינטגרציה איבר איבר .למשל
Z x
∞ Z x
∞
∞
X
X
X
xk+1
xk
dt
=
= tk dt
=
= ). − log(1 − x
k+1
k
0
0 1−t
k=1
k=0
k=0
63
k+1
P
. (−1)k
כאן יש גם תוספת :הטור מתכנס גם עבור x = −1כי זהו טור לייבניץ
כשימוש לנוסחה נשים לב שהיא תקפה גם עבור x = −1ולכן
= log 2
X (−1)k+1
k
.
¯
¯ (−1)k+1
יתר על כן ,ע״ס משפט לייבניץ מקבלים כי ¯ < N1+1
k
1
1000צריך
קצב התכנסות איטי .כדי לקבל טעות קטנה מ־
חישוב דומה )או ההצבה (t = −xנותנים כי
(−1)k+1 xk
k
¯
P
¯
) .¯log 2 − k≤Nזהו
אלף אברים!(.
∞P
.log(1 + x) = k=1
שימו לב כי הטורים של ) log(1 ± xאינם מתכנסים עבור ,|x| > 1ולכן
מאפשרים חישוב של log sרק עבור .0 < s ≤ 2עבור sגדול יותר נפתור
1+x
x = s−1וכי ,0 < x < 1ולכן
את המשוואה ,s = 1−xונקבל כי s+1
¶
)= log(1 + x) − log(1 − x
∞
X
x2j−1
2j − 1
j=1
=2
∞
X
xk
k
+
1+x
1−x
µ
= log
∞
X
(−1)k+1 xk
k=1
k
log s
=
k=1
P ¡ 3 ¢2j−1 ±
.log 7 = 2
למשל ,אם s = 7אז x = 34ו־ )(2j − 1
4
הנוסחה הזו מאפשרת חישוב מהיר ויעיל יותר של log sגם עבור .1 < s ≤ 2
P ¡ 1 ¢2j−1 ±
.log 2 = 2טור זה
למשל עבור s = 2נקבל ,x = 13ולכן )(2j − 1
3
k+1
P
. (−1)k
מתכנס הרבה יותר מהר מ־
P
1
1
1+tעבור .|t| < 1
1−xונקבל (−1)n t2n
נציב x = −t2בטור עבור
)(v
= 2
אינטגרציה איבר איבר נותנת
Z x
∞ Z x
∞
X
X
dt
(−1)n x2n+1
n 2n
= arctan x
=
)(−1
t
dt
=
2
2n + 1
0 1+t
n=0 0
n=0
עבור .|x| < 1הטור מתכנס גם עבור ,x = ±1ולכן מתכנס במ״ש על ].[−1, 1
בפרט ,עבור x = 1נקבל
∞
X (−1)n
π
1 1 1
= )= arctan(1
= 1 − + − + ...
4
2n
+
1
3 5 7
0
.
3.4דוגמא לשימוש בטורי חזקות
משוואה דיפרנציאלית היא משוואה שבה הנעלם הוא פונקציה ,שנסמנה ב־ = y
) ,y(xוהמשוואה נותנת קשרים בין yלבין נגזרותיה .למשל.y 2 +ex y 0 −xy 00 = sin x ,
זה נושא חשוב מאוד שתלמדו באופן שיטתי בקורסים במד״ר ומד״ח .כאן נדגים
64
רק שיטה אחת ,המשתמשת בטורי חזקות ,לפתרון משוואה מאוד פשוטה,y 0 = y ,
שאנחנו אפילו מכירים את פתרונה :אם ננרמל y(0) = 1אז .y = ex
)המתקיימים
תורת המשוואות הדיפרנציאליות מבטיחה שבמקרים מסויימים ∞P
כאן( הפתרון למשוואה ניתן לתיאור כטור חזקות .נכתוב לכן ,y(x) = n=0 an xn
וננסה לחשב את המקדמים .an
∞P
∞P
נגזור את הטור ונקבל כי ,y 0 (x) = n=1 nan xn−1 = n=0 (n + 1)an+1 xn
ונשווה את המקדמים של xnבשני האגפים של המשוואה .y = y 0באפן כזה
נהפוך את המשוואה הדיפרנציאלית לאוסף )אינסופי( של משוואות מספריות:
...
; a2 = 3a3 ; . . .
an = (n + 1)an+1
a1 = 2a2
;
;
a0 = a1
וכשנתחיל מהנתון a0 = y(0) = 1ונמשיך באופן אידוקטיבי נקבל
...
1
1
= a2
3
2·3
ומוכיחים באינדוקציה כי
= a3
1
!n
;
1
1
= a1
2
2
= ,anולכן = ex
65
= a2
P xn
!n
= .y
;
a1 = a0 = 1
פרק 4
פונקציות של כמה משתנים
ממשיים
עד עכשיו טיפלנו בפונקציות של משתנה אחד ,אך תופעות בטבע תלויות בדר״כ
בכמה משתנים .למשל ,התפלגות הטמפרטורה של גוף מרחבי תלויה במיקום )שהוא
בעצמו נתון ע״י שלושה משתנים( ובזמן ,כלומר ע״י פונקציה ) ,T (x, y, z, tכאשר
x, y, zהן הקואורדינטות של הנקודה ו־ tהוא הזמן.
בפרק זה נעסוק בפונקציות של כמה משתנים ממשיים ,נכליל את מה שלמדנו
על פונקציות של משתנה אחד ונטפל בתופעות חדשות המיוחדות לפונקציות כאלה.
4.1המרחב האוקלידי ה־ n־ממדי
דרך נוחה מאוד להסתכל על פונקציות של כמה משתנים היא להסתכל עליהן
כפונקציות של משתנה אחד ,שהוא וקטור n־ ממדי .נתחיל ,לכן ,בהבנת המבנה
של המרחב האוקלידי ה־ n־ממדי.Rn ,
n
R
המרחק בין שתי נקודות ) P = (p1 , . . . , pnו־ ) Q = (q1 , . . . , qnב־
יסומן ע״י
à n
! 12
X
= ). d(P, Q
(pi − qi )2
i=1
¢1
¡Pn
2 2
,נסמן ב־ ,kP kונקרא לו הנורמה של
את המרחק של Pמהראשית,
i=1 pi
.Pנשים לב כי .d(P, Q) = kP − Qk
למרחק יש התכונות הבאות:
סימטריות.d(P, Q) = d(Q, P ) :
)(i
חיוביות d(P, Q) ≥ 0 :ו־ d(P, Q) = 0אםם .P = Q
)(ii
)(iii
אי שוויון המשולש.d(P, R) ≤ d(P, Q) + d(Q, R) :
שני החלקים הראשונים טריביאליים ,ולהוכחת השלישי נצטרך הכנות נוספות.
66
המכפלה הפנימית של שני וקטורים ב־ Rnניתנת ע״י הנוסחה
pi qi
n
X
= . hP, Qi
i=1
לפעמים מסמנים את המכפלה הפנימית גם ב־ ) (P, Qאו ב־ .P · Qנשים לב כי
.hP, P i = kP k2
למכפלה הפנימית יש התכונות הבאות ,ששלוש הראשונות מיידיות:
)(i
)(ii
סימטריות.hP, Qi = hQ, P i :
חיוביות hP, P i ≥ 0 :ו־ hP, P i = 0אםם .P = 0
לינאריות) hα1 P1 + α2 P2 , Qi = α1 hP1 , Qi + α2 hP2 , Qi :ובאופן דומה
)(iii
בקואורדינטה השניה( .בפרט מקבלים ,ע״י כתיבה מפורשת של הנוסחאות ופתיחת
הסוגריים ,כי
. kP + Qk2 = kP k2 + kQk2 + 2hP, Qi
אי שוויון קושי־שוורץ ,|hP, Qi| ≤ kP k kQk :ויש שוויון אםם יש מספר λ
)(iv
כך ש־ Q = λPאו ש־ .P = 0
הוכחת אי שוויון קושי־שוורץ :נניח כי .P, Q 6= 0לכל tמתקיים
0 ≤ ktP + Qk2 = t2 kP k2 + 2thP, Qi + kQk2
ואגף ימין הוא פולינום ריבועי במשתנה הממשי tשנסמנו ב־ ) .f (tפולינום כזה
יכול להיות בעל סימן קבוע רק כאשר הדיסקרימיננטה שלו אי־חיובית ,כלומר
כאשר
2
(2hP, Qi) − 4kP k kQk ≤ 0
ואחרי העברה באגפים והוצאת שורש זהו אי השוויון המבוקש.
אם יש שוויון ,אז הדיסקרימיננטה היא 0ולמשוואה הריבועית יש שורש יחיד,
.f (t0 ) = 0כשנציב אותו נקבל כי ,kt0 P + Qk2 = 0ולכן ,t0 P + Q = 0כלומר
.Q = −t0 P
הוכחת אי שוויון המשולש .לכל שני ווקטורים Aו־
קושי שוורץ ,כי
Bמתקיים ,ע״ס אי שוויון
2
)kA + Bk2 = kAk2 + 2hA, Bi + kBk2 ≤ kAk2 + 2kAk kBk + kBk2 = (kAk + kBk
כלומר ,kA + Bk ≤ kAk + kBk ,ולכן
= kP − Rk = k(P − Q) + (Q − R)k
)d(P, R
)≤ kP − Qk + kQ − Rk = d(P, Q) + d(Q, R
בעזרת המרחק נוכל להכליל מושגים רבים מהישר הממשי למרחב האוקלידי.
נסמן ב־ } B(P, r) = {Q ∈ Rn : d(P, Q) < rאת הכדור הפתוח ברדיוס rעם
67
מרכז .Pכדורים כאלה ישמשו כהכללה הטבעית של קטע פתוח ,או של סביבה
של נקודה על הישר.
אפשר גם להסתכל על סביבות מסוגים אחרים ,כגון קוביה פתוחה שמרכזה
ב־ Pושאורך צלעה הוא 2r
}1 ≤ i ≤ n
; C = {Q = (q1 , . . . , qn ) ∈ Rn : |qi − pi | < r
או ,באופן כללי יותר ,על תיבה שאורך צלעותיה הוא 2riבהתאמה ,כלומר על
הקבוצה המוגדרת ע״י אי השוויונות .|qi − pi | < ri
הערה .מבחינות רבות זה לא ישנה לנו איזה מין סביבה ניקח כי אי השוויון
| n max |qi − pi
√
≤
´ 12
(qi − pi )2
³X
≤ | max |qi − pi
מראה שכל כדור סביב Pמכיל ומוכל בתיבות בגדלים מתאימים.
המושג הבסיסי בפיתוח החשבון האינפיניטיסימלי במשתנה אחד היה מושג
הגבול .אחרי שהגדרנו את מושג המרחק במרחב האוקלידי ההכללה ברורה
הגדרה .נאמר שסדרת נקודות Pk ∈ Rnמתכנסת לנקודה Pאם ,d(Pn , P ) → 0ובלשון
:ε, Nאם לכל ε > 0יש Nכך ש־ d(Pn , P ) < εלכל .n > N
הטענה הבאה תיתן לנו דרך נוחה מאד לבדוק אם סדרת נקודות מתכנסת.
כדי לפשט את הסימונים ננסח ונוכיח אותה רק ל־ .n = 2
טענה .הסדרה ) Pk = (xk , ykמתכנסת לנקודה ) P = (x, yאםם xk → xו־ .yk → y
הוכחה .ההוכחה נובעת מיידית מאי השוויונות
√
¡
¢1
}|max{|xk − x|, |yk − y|} ≤ (xk − x)2 + (yk − y)2 2 ≤ 2 max{|xk − x|, |yk − y
נאמר שקבוצה A ⊂ Rnהיא חסומה אם היא מוכלת באיזשהו כדור) .בדקו
שכל סדרה מתכנסת היא חסומה(.
משפט].משפט בולצ׳נו־ווירשטראס[ לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת.
הוכחה .כדי לפשט את הסימונים נוכיח את המשפט רק ל־ ,n = 2ונסמן את
אברי הסדרה ב־ ) .Pk = (xk , yk
מחסימות הסדרה נובע שגם סדרת המספרים xkהיא סדרה חסומה ,ולכן
ע״ס המקרה החד ממדי של המשפט יש לה תת סדרה מתכנסת .xkj
נסתכל כעת על הסדרה .ykjגם זו סדרה חסומה ,ולכן יש לה תת סדרה
מתכנסת .ykjmתת הסדרה המבוקשת היא ,Pkjmכי הסדרה xkjmמתכנסת )כתת
סדרה של סדרה מתכנסת( ועפ״י הבחירה גם ykjmמתכנסת.
68
באופן אנלוגי למקרה החד־ממדי מגדירים סדרת קושי ומוכיחים שסדרת קושי
היא סדרה מתכנסת.
הגדרה (i) .נאמר שהנקודה Pהיא נקודה פנימית של הקבוצה Cאם יש סביבה של
) Pכדור או תיבה( המוכלת כולה ב־ .Cלדוגמא ,הנקודות ה״פנימיות״ של כדור )או
קטע במקרה החד ממדי(.
) (iiקבוצה תקרא פתוחה אם כל נקודותיה פנימיות .למשל כדור או תיבה פתוחים.
) (iiiנאמר שהנקודה Pהיא נקודה מבודדת של הקבוצה Cאם יש סביבה של P
שאיננה מכילה אף נקודה של Cפרט ל־ .Pלמשל הנקודה 1בסדרה } .{ n1
) (ivנאמר שהנקודה Pהיא נקודת הצטברות של הקבוצה Cאם כל סביבה של P
מכילה נקודה של Cשונה מ־ .Pלמשל 0היא נקודת הצטברות של הסדרה } ) { n1ושימו
לב ש־ Pאינה חייבת להשתייך לקבוצה ,(Cאו של הקטע ].[0, 1
) (vקבוצה תקרא סגורה אם היא מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה .למשל
כדור או תיבה סגורים.
) (viנאמר שהנקודה Pהיא נקודת שפה של הקבוצה Cאם אינה נקודה פנימית של
Cוגם אינה נקודה פנימית של המשלים של .C
אם Pנקודת הצטברות של Cאז למעשה כל סביבה שלה
הערות(i) .
מכילה אינסוף נקודות של .Cכי אילו היה כדור פתוח ) B(P, rהמכיל רק
מספר סופי P1 , . . . , Pnשל נקודות מ־ Cהשונות מ־ ,Pהיינו מגדירים = ε
} ,min{r, min1≤i≤n kP − Pi kואז הכדור הפתוח ) B(P, εלא היה יכול להכיל אף
נקודה של Cפרט לנקודה היחידה Pעצמה ־ אם היא בכלל שייכת לקבוצה) .ציירו
את ההוכחה!(.
) (iiקבוצה Cהיא פתוחה אםם משלימתה סגורה .כי אם Cפתוחה ו־ P ∈ C
אז יש סביבה של Pהמוכלת כולה ב־ ,Cולכן Pאינה יכולה להיות נקודת
הצטברות של המשלים של ,Cכלומר המשלים מכיל את כל נקודות ההצטברות
שלו ־ ולכן הוא קבוצה סגורה .הוכחת הכיוון ההפוך דומה.
הקוטר של קבוצה Cהוא }.diam(C) = sup{d(P, Q) : P, Q ∈ C
שני החלקים של המשפט הבא הם הכללות פשוטות של המקרה החד־ממדי.
משפט] (i) .הלמה של קנטור[ אם Ckסדרת קבוצות סגורות וחסומות ב־ Rnכך ש־
Ck+1 ⊂ Ckאז ∅ = .∩Ck 6אם גם diam(Ck ) → 0אז החיתוך ∩Ckמכיל בדיוק נקודה
אחת.
)] (iiמשפט היינה־בורל[ תהי Cתיבה סגורה ,אז לכל כיסוי פתוח של Cיש תת־כיסוי
סופי.
הוכחה (i) .לכל kנבחר נקודה .Pk ∈ Ckהקבוצה C1חסומה ,וכל הקבוצות
האחרות מוכלות בה ,לכן הסדרה Pkחסומה .עפ״י משפט בולצ׳אנו ווירשטראס
יש לה תת סדרה מתכנסת .נניח כי Pkj → Pונוכיח שהנקודה Pנמצאת בחיתוך.
69
ואמנם ,אם נקבע ,kאז כל ה־ Pkj־ים ,פרט למספר סופי מהן ,נמצאות ב־ Ck־
אבל Ckסגורה ,ולכן גם הגבול Pנמצא ב־ .Ck
אם גם diam(Ck ) → 0לא ייתכן שהחיתוך יכיל שתי נקודות ,Q 6= Pכי אז
היינו מקבלים שלכל kמתקיים ,diam(Ck ) ≥ kP − Qk > 0בסתירה להנחה.
) (iiלא ניתן את ההוכחה ,שהיא אנלוגית להוכחה במקרה החד ממדי )בשיטת
״אריה במדבר״( .נעיר רק שהמשפט נכון לכל קבוצה סגורה וחסומה ,Cולא רק
לתיבה סגורה :נבחר תיבה סגורה T ⊃ Cונוסיף לכיסוי הנתון } {Uαאת הקבוצה
הפתוחה .R \ Cמקבלים כיסוי פתוח של התיבה ,Tולכן ע״ס המקרה הפרטי של
תיבה יש תת כיסוי סופי של T־ והוא מכסה את Cגם אם נשמיט ממנו את
.R \ C
יש לנו כעת את ״השפה המתמטית״ הדרושה להגדרת הרציפות של פונקציות
בין קבוצות חלקיות של מרחבים אוקלידיים.
הגדרה .תהי Dקבוצה חלקית כלשהי ב־ ,Rnותהי .f : D → Rmנאמר ש־ fרציפה
בנקודה P ∈ Dאם לכל ε > 0יש δ > 0כך שאם Q ∈ Dמקיימת ,kQ − P k < δאז
.kf (P ) − f (Q)k < ε
הערות (i) .כמו ביחס לפונקציות של משתנה אחד ,הגדרה זו שקולה להגדרה
בעזרת סדרות f :רציפה בנקודה P ∈ Dאםם לכל סדרה של נקודות Pk ∈ D
המתכנסת לנקודה Pמתקיים שהסדרה ) f (Pkמתכנסת ל־ ) .f (P
הסימונים שהכנסנו מאוד יעילים .שימו לב שהמרחקים וההתכנסויות
)(ii
במקור ובתמונה הם במרחבים שונים )כי בדר״כ ,(m 6= nאך הכתיבה היא
״כללית״ ודומה מאוד לכתיבה במקרה החד־ממדי .למרות האנלוגיה המלאה הזו
בכתיבה ,הרי ,כפי שנראה בהמשך ,במרחב ממימד גדול מ־ 1יש ״יותר כיוונים״
להתקרב לנקודה Pוהגיאומטריה של התכנסות ושל גבולות יותר מסובכת מאשר
בישר.
מההגדרה נובע באופן ישיר )כמו במקרה החד ממדי( שאם ההרכבה
)(iii
G ◦ Fמוגדרת היטב ,ואם Fרציפה בנקודה Pו־ Gרציפה בנקודה ) ,F (Pאז
G ◦ Fרציפה בנקודה .P
עיקר העיסוק שלנו בקורס זה יהיה בפונקציות ממשיות של כמה משתנים,
כלומר בפונקציות f : D → Rכאשר .D ⊂ Rnאך בהגדרות הבאות נתעניין
דוקא בפונקציות מקטע I ⊂ R1לתוך .Rn
הגדרה .יהי I ⊂ R1קטע .פונקציה רציפה γ : I → Rnנקראת מסילה לתוך .Rn
אם ] I = [a, bקטע סגור ,אז לנקודות ) γ(aו־ ) γ(bנקרא נקודת ההתחלה ונקודת
הסיום )בהתאמה( של .γ
אם ) γ(a) = γ(bאז המסילה נקראת סגורה.
התמונה של γהיא עקום מסויים ב־ ,Rnודרך טובה לחשוב על המסילה היא
שחלקיק נע על פני העקום הזה כך שבזמן tהוא נמצא בנקודה ) .γ(tשימו לב
שאנחנו מתייחסים כאן לפונקציה γולא ,כפי שהיה טבעי אולי לחשוב ,רק לעקום
שהוא תמונתו .באופן כזה אותו עקום מתואר ע״י הרבה מסילות.
70
לדוגמא γ(t) = (cos t, sin t) ,עבור 0 ≤ t ≤ 2πהיא מסילה במישור שהעקום
שהיא מתארת הוא מעגל היחידה .גם ) γ(t) = (cos 2t, sin 2tעבור 0 ≤ t ≤ π
מתאר את אותו עקום ,וגם ) γ(t) = (cos t, sin tעבור 0 ≤ t ≤ 5πמתאר אותו ,אך
שתי המסילות הראשונות עוברות על המעגל פעם אחת )והמסילה השניה מתארת
תנועה במהירות כפולה מהראשונה( ,והשלישית מתארת הקפה של המעגל פעמיים
וחצי.
הגדרה .קבוצה חלקית D ⊂ Rnנקראת קשירה מסילתית אם לכל שתי נקודות P, Qב־
Dיש מסילה γ : [a, b] → Dכך ש־ γ(a) = Pו־ ) .γ(b) = Qונאמר ש־ γמקשרת
בין Pו־ .(Q
קבוצה פתוחה וקשירה מסילתית נקראת תחום.
הקבוצות הקשירות מסילתית בישר הן רק קטעים .במימד גבוה יש קבוצות
רבות כאלה ,והנחת הקשירות המסילתית תהיה התחליף הטבעי כשנרצה להכליל
משפטים על פונקציות רציפות או גזירות בקטע לפונקציות רציפות או גזירות
בקבוצות חלקיות של .Rn
4.2
פונקציות ממשיות בכמה משתנים
לשם פשטות נצטמצם מעתה לפונקציות של שני משתנים ונכתוב ).z = f (x, y
הגרף של פונקציה כזו }) {(x, y, z) ∈ R3 : z = f (x, yהוא ״משטח״ דו ממדי
במרחב התלת ממדי .הקבוצות } {(x, y) : f (x, y) ≡ cנקראות קווי הגובה של
) .fחישבו על מפה טופוגרפית(.
דוגמאות.
) .f (x, y) = x + y (iזוהי פונקציה לינארית שהגרף שלה הוא מישור .קו הגובה
שלה המתאים לערך cהוא הישר ) .x + y = c״שרטטו״ את הגרף של .(f
f (x, y) = x2xyעבור ) .(x, y) 6= (0, 0כדי לחשב את קו הגובה שלה
)(ii
+y 2
xy
המתאים לערך cצריך לפתור את המשוואה . x2 +y2 = cבמקום לעשות זאת
נשים פשוט לב שהפונקציה קבועה על כל ישר )מנוקב בראשית( מהצורה ,y = λx
λ
) c = 1+λו־ c = 0על ציר ה־ yהמנוקב בראשית( .
וערכה עליו הוא 2
זו דוגמא טובה כדי להראות שמושג הגבול בכמה משתנים אכן יותר מורכב
מהמקרה החד ממדי .על הישרים השונים דרך הראשית מתקבלים ערכים שונים,
והגבול בראשית לא קיים! )איך נראה הגרף של הפונקציה?(
)(iii
<1
x2 y
x2 +y 2
||xy
x2 +y 2
= ) f (x, yעבור ).(x, y) 6= (0, 0
כאן ,limx,y→0 f (x, y) = 0כי
לכל ,x, yולכן אפילו רק x → 0מספיק כדי ש־ → 0
.x x2xy
+y 2
אחד המכשירים שנשתמש בהם כדי להבין ולנתח את המבנה של פונקציה
) f (x, yהוא לקבוע את הערך של אחד המשתנים )למשל לקבוע (x0ולהסתכל
על ) f (x0 , yכפונקציה של המשנה האחר ,y ,בלבד.
באופן גיאומטרי הפעולה שאנחנו עושים היא צמצום של הפונקציה לאיזשהו
ישר המקביל לצירים הראשיים .הבנה של כל הצמצומים האלה נותן כלי להבנה
71
של המבנה של הפונקציה כולה .אך הבנה זו היא בדר״כ חלקית בלבד .למשל,
בדוגמא ) ,(iiלכל הפונקציות ) f (x0 , yו־ ) f (x, y0יש אי רציפות סליקה ב־ ,0
ואם נגדיר ,f (0, 0) = 0הן תהיינה כולן רציפות ־ אך לפונקציה המקורית אין
כלל גבול בראשית.
g
f
סכום ,מכפלה ,מנה )כשהמכנה שונה מאפס( והרכבה R2 → R → Rשל
פונקציות רציפות היא פונקציה רציפה .גם המשפטים הבאים על פונקציות רציפות
תקפים בכמה משתנים.
משפט] .משפט ערך הביניים[ תהי fרציפה בקבוצה קשירה מסילתית .Dאם P0 , P1 ∈ D
מקיימות ש־ ) f (P0 ) < α < f (P1עבור איזשהו מספר ,αאז יש נקודה Qב־ Dכך ש־
.f (Q) = α
הוכחה .הקבוצה Dקשירה מסילתית ,ולכן יש מסילה ) γ(tבקטע ] [0, 1כך ש־
γ(t) ∈ Dלכל tוכך ש־ γ(0) = P0ו־ .γ(1) = P1ההרכבה )) g(t) = f (γ(tהיא
פונקציה רציפה בקטע ומקיימת ) g(0) < α < g(1ולכן ,עפ״י משפט ערך הביניים
במשתנה אחד ,יש t0בקטע כך ש־ g(t0 ) = αונבחר ) .Q = γ(t0
לא ניתן את ההוכחות של שני המשפטים הבאים .ההוכחות חזרות על
ההוכחות במקרה החד־ממדי תוך שימוש במשפט בולצ׳אנו ווירשטראס )או היינה
בורל( עבור קבוצות ב־ .Rn
משפט] .משפט ווירשטראס[ תהי fרציפה בקבוצה סגורה וחסומה .Dאז fחסומה
ומקבלת ב־ Dמכסימום ומינימום.
נאמר ש־ fרציפה במידה שווה בקבוצה Dאם לכל ε > 0יש ) δ > 0התלוי
רק ב־ (εכך ש־ |f (P ) − f (Q)| < εלכל P, Q ∈ Dהמקיימות .kP − Qk < δ
משפט .תהי fרציפה בקבוצה סגורה וחסומה .Dאז fרציפה שם במדה שווה.
4.3
חשבון דיפרנציאלי בכמה משתנים
הגדרה .הנגזרת החלקית של fלפי xבנקודה ) (x0 , y0היא
∂f
) f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0
(x0 , y0 ) = lim
∆x→0
∂x
∆x
ונסמן גם ) fx (x0 , y0או ) fx0 (x0 , y0או ) .D1 f (x0 , y0הנגזרת החלקית
,yמוגדרת באופן דומה.
∂f
∂y
לפי המשתנה
∂f
y
y−1
לדוגמא ,אם ) f (x, y) = xyעבור (x > 0אז
. ∂f
∂x = yxו־ ∂y = x ln x
קיום הנגזרות החלקיות אינו חזק כמו קיום נגזרת במשתנה אחד )ונסביר
זאת בפירוט מיד( .הוא נותן אינפורמציה על קצב הגידול של הפונקציה רק
72
בכיוונים הראשיים ,וזה לא מספיק אפילו להבטחת הרציפות שלה .ראינו למשל
שהפונקציה
(
xy
)(x, y) 6= (0, 0
2
2
f (x, y) = x +y
0
)(x, y) = (0, 0
איננה רציפה בראשית ,אך = 0
הראשיים.
∂f
)∂x (0, 0
=
∂f
)∂y (0, 0
כי fזהותית אפס על הצירים
במשתנה אחד קיום נגזרת בנקודה x0אומר שהפונקציה משתנה באופן רגולרי
בסביבת הנקודה :יש לגרף משיק )ששיפועו ) ,(f 0 (x0והפונקציה ניתנת לקירוב טוב
ע״י פונקציה לינארית ־ ראינו באינפי 1שפונקציה של משתנה אחד היא גזירה
) limt→0 ε(tכך שמתקיים
בנקודה x0אםם יש קבוע Aופונקציה ) ε(tכך ש־ t = 0
)f (x0 + ∆x) = f (x0 ) + A∆x + ε(∆x
)(4.1
ובמקרה זה ) .A = f 0 (x0
קיום נגזרות חלקיות בנקודה Pאומר רק שהפונקציה משתנה באופן מאד
רגולרי בכיוונים הראשיים בסביבת הנקודה ,ושלגרפים של הצמצומים שלה לישרים
דרך הנקודה המקבילים לצירים יש משיקים )ששיפועיהם הם ) fx0 (Pו־ ) .(fy0 (P
אך זה לא מספיק כדי לתאר את התנהגות הפונקציה בכיוונים אחרים ,ובפרט
זה לא אומר שהיא ניתנת לקירוב טוב ע״י פונקציה לינארית .האנלוג הדו־ממדי
המלא לגזירות הוא קיום מישור משיק לגרף בנקודה ,Pוההגדרה הבאה היא
הניסוח האנליטי לכך.
הגדרה .פונקציה ) f (x, yהיא דיפרנציאבילית בנקודה ) P = (x0 , y0אם יש קבועים Aו־
) lims,t→0 √ε(s,tבאופן שמתקיים
Bופונקציה ) ε(s, tכך ש־ = 0
s2 +t2
)f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) = f (P ) + A∆x + B∆y + ε(∆x, ∆y
)(4.2
p
הערות (i) .שימו לב כי (∆x)2 + (∆y)2הוא המרחק בין הנקודה ) P = (x0 , y0
לבין הנקודה ) ,(x0 + ∆x, y0 + ∆yוהגדרת הדיפרנציאביליות ( )4.2אנלוגית לגמרי
לנוסחה ( )4.1במקרה החד־מימדי.
)(ii
המישור המשיק לגרף של fבנקודה Pהוא המישור
∂f
∂f
(P )(x − x0 ) +
) (P )(y − y0
∂x
∂y
. z = f (P ) +
יהיה לנו נוח ,לעתים ,לכתוב את תנאי הדיפרנציאביליות בצורה קצת שונה
למה .הפונקציה ) f (x, yדיפרנציאבילית בנקודה ) P = (x0 , y0אםם יש קבועים Aו־
Bופונקציות ) α(s, tו־ ) β(s, tכך ש־ ,lims,t→0 α(s, t) = lims,t→0 β(s, t) = 0וכך
שמתקיים
. f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) = f (P ) + A∆x + B∆y + α(∆x, ∆y)∆x + β(∆x, ∆y)∆y
73
הוכחה .נוכיח רק שתנאי הלמה גוררים דיפרנציאביליות )וזה גם הכיוון שבו
נשתמש בהמשך( .השלימו כתרגיל את הכיוון השני.
√
, α(s,t)s+β(s,t)t
→
0
כי
לבדוק
נגדיר ,ε(s, t) = α(s, t)s + β(s, t)tויש רק
s2 +t2
p
√
2
ובאמת ,עפ״י אי שוויון קושי שוורץ ,|α(s, t)s + β(s, t)t| ≤ α + β 2 s2 + t2
הגורם הראשון שואף לאפס ,והשני מצטמצם עם המכנה.
הערה .חישוב ישיר אומר כי לפונקציה דיפרנציאבילית יש נגזרות חלקיות
∂f
) f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0
)A∆x + ε(|∆x|, 0
(P ) = lim
= lim
=A
∆x→0
∆x→0
∂x
∆x
∆x
. ∂f
ובאופן דומה ∂y (P ) = B
הכיוון ההפוך לא נכון .בדקו למשל עפ״י ההגדרה שהפונקציה
(
xy
)(x, y) 6= (0, 0
2
2
f (x, y) = x +y
0
)(x, y) = (0, 0
איננה דיפרנציאבילית ב־ )) .(0, 0בהמשך נראה שפונקציה דיפרנציאבילית היא
רציפה ,וראינו שהפונקציה הזו איננה רציפה בראשית(.
בהגדרת הנגזרות החלקיות בדקנו את קצב השתנות הפונקציה בשני כיוונים
מסויימים שנקבעו בבחירה שרירותית של מערכת הצירים .נגדיר כעת נגזרות
בכיוון כללי.
הגדרה .יהי V 6= 0וקטור ב־ .Rnהנגזרת המכוונת של fבנקודה Pבכיוון Vהיא
∂f
) f (P + tV ) − f (P
(P ) = lim+
∂V
t
t→0
ונשתמש גם בסימון ) .DV f (P
באופן גיאומטרי רואים שקיום מישור משיק מבטיח קיום ישרים משיקים
לפונקציה בכל הכיוונים .המשפט הבא אומר זאת באופן אנליטי ,ואף נותן את
הנוסחה לחישוב הנגזרות המכוונות.
משפט .אם fדיפרנציאבילית בנקודה ) P = (x0 , y0אז קיימות לה הנגזרות המכוונות ב־
,Pוהנגזרת המכוונת שלה בכיוון ) V = (v, wניתנת ע״י הנוסחה
∂f
) (P ) = vfx (P ) + wfy (P
∂V
.
הווקטור )) (fx (P ), fy (Pנקרא הגרדיאנט של fב־ ,Pוהוא מסומן ע״י ) .∇f (P
∂f
. ∂V
בסימון זה הנוסחה היא (P ) = h∇f (P ), V i
74
הוכחה.
) fx (P ) · tv + fy (P ) · tw + ε(tV
t
) ε(tV
h∇f (P ), V i +
−→ h∇f (P ), V i
t t→0
=
) f (P + tV ) − f (P
t
=
הערה .ל־ ) ∇f (Pיש משמעות גיאומטרית חשובה .זהו הכיוון שבו יש ל־ fקצב
גידול מכסימלי בנקודה .Pואמנם ,לכל ווקטור יחידה Vמתקיים ,עפ״י אי שוויון
קושי שוורץ ,אי השוויון
DV f (P ) = h∇f (P ), V i ≤ k∇f (P )k kV k
ויש בו שוויון אםם Vו־ ) ∇f (Pהם באותו כיוון.
טענה .אם fדיפרנציאבילית בנקודה ) ,(x0 , y0אז היא רציפה שם.
הוכחה.
0
→−
∆x,∆y→0
)f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ) = A∆x + B∆y + ε(∆x, ∆y
ראינו שקיום נגזרות חלקיות אינו גורר רציפות ,ולכן בודאי שאינו גורר דיפרנציאביליות.
מתברר שאם הנגזרות החלקיות קיימות לא רק בנקודה ,אלה גם בסביבה שלה,
ואם הן רציפות בנקודה ,אז fאכן דיפרנציאבילית שם.
משפט .אם יש ל־ fנגזרות חלקיות בסביבה של הנקודה ) (x0 , y0ואם הן רציפות ב־
) ,(x0 , y0אז fדיפרנציאבילית שם.
הוכחה .נציג
) f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0
©
© ª
ª
=
) f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 + ∆y) + f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0
ונטפל בכל מחובר בנפרד.
עפ״י משפט לגרנז׳ יש ,0 < θ1 < 1התלוי ב־ ∆x ,y0 ,x0ו־ ,∆yכך ש־
f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 + ∆y) = fx (x0 + θ1 ∆x, y0 + ∆y) · ∆x
ולכן נוכל להציג את המחובר הראשון בצורה fx (x0 , y0 )∆x+α(∆x, ∆y)∆xכאשר
α(∆x, ∆y) = fx (x0 + θ1 · ∆x, y0 + ∆y) − fx (x0 , y0 ) → 0
75
מכיוון ש־ fxרציפה ב־ ) .(x0 , y0
באופן דומה
= ) f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0
=
fy (x0 , y0 + θ2 ∆y) · ∆y
fy (x0 , y0 )∆y + β(∆x, ∆y)∆y
כאשר .β(∆x, ∆y) = fy (x0 , y0 + θ2 ∆y) − fy (x0 , y0 ) → 0
הערה .התנאי במשפט מספיק בלבד ,ונגזרות חלקיות של פונקציה דיפרנציאבילית
אינן צריכות להיות רציפות .למשל ,הפונקציה
¶
µ
(x2 + y 2 ) sin √ 1
)(x, y) 6= (0, 0
x2 +y 2
= )f (x, y
0
)(x, y) 6= (0, 0
∂f
)∂x (x, 0
limx→0לא קיים ולכן
דיפרנציאבילית ב־ )) (0, 0ניקח ,(A = B = 0אך
fxבוודאי לא רציפה.
אם יש ל־ fנגזרות חלקיות רציפות בתחום ,Dנאמר לפעמים ש־ fגזירה
ברציפות ב־ .D
המשפט שהוכחנו מפתיע מאוד .האינפורמציה הנתונה דנה לכאורה רק בהשתנות
של הפונקציה בכיווני הצירים הראשיים ,אך המסקנה היא על מבנה הפונקציה
כולה ־ המישור המשיק מקרב את הפונקציה היטב בכל הכיוונים! ההסבר הוא
שתנאי הרציפות של הנגזרות החלקיות ״מכריח״ את הפונקציה להתנהג באופן
רגולרי ,אך קשה לראות באופן גיאומטרי איך זה קורה ,וההוכחה היא מתמטית
טכנית )שימוש במשפט לגרנז׳( ואיננה תורמת להבנה אינטואיטיבית של התופעה.
משפט] .כלל השרשרת[ תהי fדיפרנציאבילית בתחום קשיר מסילתית ,Dונניח שהפונקציות
הן פונקציות גזירות )לפי (tומקיימות ש־ (x(t), y(t)) ∈ Dלכל .tאז הפונקציה
¡ x(t), y(t)¢
) F (t) = f x(t), y(tגזירה ,ונגזרתה היא
dF
∂f dx ∂f dy
=
·
+
·
dt
∂x dt
∂y dt
או ,בכתיבה אחרת.F 0 = fx · x0 + fy · y 0 ,
הוכחה .מהרציפות והגזירות של ) x(tו־ ) y(tנובע כי אם
)∆y = y(t + ∆t) − y(t
;
)∆x = x(t + ∆t) − x(t
∆y
∆t
0
. ∆xהיות ש־ f
ו־ )∆t → x (t
אז כאשר ∆t → 0גם ,∆x, ∆y → 0וכן )→ y 0 (t
דיפרנציאבילית ב־ ,Dנציג
¡
¢
¡
¢
)F (t + ∆t) − F (t) = f x(t + ∆t), y(t + ∆t) − f x(t), y(t
¢
¢
¡ ∂f
¡ ∂f
=
x(t), y(t) · ∆x +
x(t), y(t) · ∆y + α · ∆x + β · ∆y
∂x
∂y
76
כאשר ע״ס האמור בפתיחה .α(∆x, ∆y), β(∆x, ∆y) → 0ולכן
∆t→0
∆F
∆x
∆y
∆x
∆y
· = fx
· + fy
·+α
·+β
−→ fx · x0 + fy · y 0
∆t
∆t
∆t
∆t
∆t ∆t→0
.
הערה .תהי )) γ(t) = (x(t), y(tמסילה .נאמר שהמסילה גזירה אם הפונקציות
) x(tו־ ) y(tגזירות .במקרה זה נסמן ) .γ(t)0 = (x(t)0 , y(t)0במונחים אלה כלל
השרשת הוא
d
0
.
f (γ(t)) = h∇f (γ(t)), γ (t)i
dt
תחום פתוח¡ וקשיר מסילתית,
לפני המסקנה הבאה נציין )ללא הוכחה( שאם ¢ D
אז לכל שתי נקודות P, Qבתחום יש מסילה גזירה ) γ(t) = x(t), y(tהמוכלת
כולה ב־ Dכך ש־ γ(0) = Pו־ .γ(1) = Q
מסקנה .אם fגזירה ברציפות בתחום קשיר מסילתית Dכך ש־ fx ≡ fy ≡ 0בתחום,
אז fקבועה ב־ .D
¡
¢
) γ(t) = x(t), y(tהמוכלת כולה ב־
¡
הוכחה .אם P, Q ∈ Dאז יש מסילה גזירה¢
Dכך ש־ γ(0) = Pו־ ,γ(1) = Qונסמן ) .F (t) = f γ(tעפ״י הנתון
dF
= fx · x0 + fy · y 0 ≡ 0
dt
ולכן Fקבועה ומתקיים ) ,F (0) = F (1כלומר ).f (P ) = f (Q
4.4
נגזרות מסדר גבוה
הנגזרת חלקית fxשל ,fיכולה גם היא להיות בעלת נגזרות חלקיות (fx )xאו־
,(fx )yונסמן אותן ב־ fxxו־ fxyבהתאמה .באופן דומה נסמן fyxו־ .fyy
לנגזרות fxyו־ fyxקוראים הנגזרות המעורבות מסדר שני.
דוגמא.
(
2
2
xy xx2 −y
+y 2
= ) f (x, yאז כאשר
0
)(x, y) 6= (0, 0
בדר״כ .fxy 6= fyxלמשל ,אם
)(x, y) = (0, 0
) [y(x2 −y2 )+xy(2x)](x2 +y2
= ) ,fx (x, yובפרט
) (x, y) 6= (0, 0מתקיים
(x2 +y 2 )2
(∆y)3 · (∆y)2
= −∆y
(∆y)4
77
. fx (0, ∆y) = −
והיות ש־
)f (∆x, 0) − f (0, 0
0
fx (0, 0) = lim
= lim
=0
∆x→0
∆x→0 ∆x
∆x
מקבלים
−∆y − 0
)fx (0, ∆y) − fx (0, 0
= = lim
= −1
∆y→0
∆y
∆y
. (fx )y (0, 0) = lim
∆y→0
חישוב דומה )או שימוש בזהות ) (f (x, y) = −f (y, xמראה ש־ .(fy )x (0, 0) = 1
כלומר ).(fx )y (0, 0) 6= (fy )x (0, 0
אך מתברר שהשוויון fxy = fyxדוקא כן מתקיים בתנאים מאוד רחבים.
משפט .אם שתי הנגזרות החלקיות המעורבות fxy , fyxקיימות בתחום ורציפות בו ,אז הן
שוות.
הוכחה .אפשר להוכיח את המשפט ,ואפילו משפט כללי יותר ,באופן ישיר )ראו
בספר של מייזלר( .אנחנו נדחה את ההוכחה ,וניתן אותה בסעיף הבא בעזרת
אינטגרלים התלויים בפרמטר.
4.5אינטגרל התלוי בפרמטר
הנגזרות החלקיות של פונקציה של שני משתנים מתקבלות כאשר ״מקפיאים״ את
הערך של משתנה אחד וגוזרים אותה עפ״י המשתנה האחר .באופן דומה נוכל גם
Rb
לבצע אינטגרציה עפ״י משתנה אחד ולקבל פונקציה חדשה F (u) = a f (x, u)dx
התלויה רק במשתנה האחר .למשתנה uמתייחסים לפעמים כאל פרמטר ,ומכאן
השם אינטגרל התלוי בפרמטר.
משפט .תהי fרציפה במלבן ] .[a, b] × [α, βאז הפונקציה f (x, u)dx
פונקציה רציפה בקטע ].[α, β
Rb
a
= ) F (uהיא
הוכחה .נקבע .ε > 0הפונקציה fרציפה בקבוצה סגורה וחסומה )מלבן סגור(,
ולכן היא רציפה שם במ״ש ויש ) δ = δ(εכך ש־ |f (P ) − f (Q)| < εלכל P, Q
במלבן המקיימות .d(P, Q) < δ
תהיינה כעת ] u1 , u2 ∈ [α, βכך ש־ .|u1 −u2 | < δאז גם d((x, u1 ), (x, u2 )) < δ
ולכן
b
Z
)εdx = ε(b − a
b
Z
< |f (x, u1 ) − f (x, u2 )|dx
a
≤ |) . |F (u1 ) − F (u2
a
78
למעשה נכון משפט כללי יותר
משפט .תהי fמוגדרת במלבן ] .[a, b] × [α, βאם fרציפה במלבן אז הפונקציה
Rt
F (s, t, u) = s f (x, u)dxרציפה בתיבה ].[a, b] × [a, b] × [α, β
בפרט ,אם ] A, B : [α, β] → [a, bהן שתי פונקציות רציפות ,אז גם הפונקציה
)R B(u
ϕ(u) = A(u) f (x, u)dxהיא פונקציה רציפה בקטע ].[α, β
הוכחה .לשם פשטות נניח שהגבול התחתון קבוע ,ונסתכל בפונקציה של שני
Rt
משתנים .F (t, u) = a f (x, u)dx
נקבע ,ε > 0ונציג את ) F (t + ∆t, u + ∆u) − F (t, uכסכום
Z
t+∆t
f (x, u + ∆u)dx
¢
f (x, u + ∆u) − f (x, u) dx +
¡
t
t
Z
a
ונעריך כעת כל מחובר בנפרד.
את המחובר הראשון נעריך כמו במשפט הקודם .מרציפות במ״ש נמצא δ
כך ש־ |f (P ) − f (Q)| < εלכל P, Qבמלבן המקיימות .d(P, Q) < δואז אם
|u1 − u2 | < δאז
t
Z
.
)|f (x, u1 ) − f (x, u2 )|dx < ε(t − a) ≤ ε(b − a
a
להערכת המחובר השני נשתמש בכך שפונקציה רציפה בקבוצה סגורה וחסומה
היא פונקציה חסומה ,ונמצא Mכך ש־ |f (x, y)| ≤ Mלכל ) (x, yבמלבן .ואז
¯Z
¯
¯ t+∆t
¯
¯
¯
¯ .
f (x, u + ∆u)dx¯ ≤ M |∆t| −→ 0
∆t→0
¯ t
¯
הרציפות של ϕנובעת מהחלק הראשון ומהרציפות של הרכבת פונקציות
רציפות.
נעבור כעת לגזירה של האינטגרל עפ״י הפרמטר.
משפט] .כלל הגזירה מתחת לסימן האינטגרל[ תהי fמוגדרת במלבן ] [a, b] × [α, βכך
Rb
∂fרציפות .אז הפונקציה F (u) = a f (x, u)dx
ש־ fגזירה עפ״י ,yוכך ש־ fו־ ∂y
גזירה בקטע ] ,[α, βונגזרתה ניתנת ע״י הנוסחה
)∂f (x, u
dx
∂y
b
Z
a
79
dF
.
= )(u
du
הוכחה .על פי משפט לגרנז׳ יש ) θ = θ(u, x, ∆uעם 0 < θ < 1כך ש
∂f
(x, u + θ∆u) · ∆u dx
∂y
עפ״י המשפט הקודם
)∂f (x, u
dx
∂y
b
Z
a
b
Z
£
¤
= f (x, u + ∆u) − f (x, u) dx
a
Z
b
= . ∆F
a
)∂f (x,y
∂y dx
Rb
a
= ) G(yהיא פונקציה רציפה ,ולכן
)∂f (x, u + θ∆u
= )dx = G(u + θ∆u) −→ G(u
∆u→0
∂y
b
Z
a
∆F
=
.
∆u
כמו ביחס לרציפות ,גם כאן יש משפט כללי יותר.
משפט .תהי fמוגדרת במלבן ] [a, b] × [α, βכך ש־ fגזירה עפ״י ,yוכך ש־ fו־
Rt
∂fרציפות במלבן .אז הפונקציה F (s, t, u) = s f (x, u)dxדיפרנציאבילית בתיבה
∂y
].[a, b] × [a, b] × [α, β
בפרט ,אם הפונקציות ] A, B : [α, β] → [a, bהן שתי פונקציות גזירות ,אז גם
)R B(u
הפונקציה ϕ(u) = A(u) f (x, u)dxגזירה בקטע ] [α, βונגזרתה ניתנת ע״י הנוסחה
)∂f (x, u
dx
∂y
)B(u
Z
)A(u
dϕ
.
(u) = B 0 (u)f (B(u), u) − A0 (u)f (A(u), u) +
du
הוכחה .נוכיח את הדיפרנציאביליות של Fע״י כך שנראה שהיא גזירה עפ״י
שלושת המשתנים ,וכי נגזרותיה החלקיות רציפות בתיבה.
)R t (x,u
∂F
, ∂u (s, t, u) = s ∂f ∂yוזו פונקציה רציפה
ואמנם ,עפ״י המשפט הקודם dx
∂fועפ״י המשפט על רציפות.
בתיבה עפ״י הנחת הרציפות של ∂y
בחישוב שתי הנגזרות החלקיות האחרות ערך הפרמטר קבוע ,ולכן נשתמש
במשפט היסודי של החדו״א ונקבל כי
∂F
)(s, t, u) = −f (s, u
∂s
;
∂F
)(s, t, u) = f (t, u
∂t
ועפ״י הנתון אלה פונקציות רציפות.
הגזירות של ,ϕוהנוסחה לנגזרתה נובעות מכלל השרשרת.
Rb
= ) F (yאינטגרבילית בקטע ] ,[α, βאז לאינטגרל
f (x, y)dx
אם הפונקציה
הגדרה´ .
R β ³R b
שלה α a f (x, y)dx dyנקרא אינטגרל נשנה של .fבאופן דומה אפשר גם לבצע
´
R b ³R β
את האינטגרציות בסדר הפוך ,ולקבל את האינטגרל הנשנה . a α f (x, y)dy dx
a
80
מתברר שבתנאים די כלליים שני האינטגרלים הנשנים שווים) .איפורמציה
נוספת עליהם נקבל בפרק על האינטגרל הכפול( .אנחנו נוכיח רק מקרה מאוד
פשוט.
משפט .אם fרציפה במלבן ] ,[a, b] × [α, βאז
!
Z b ÃZ β
b
= f (x, y)dx dy
f (x, y)dy dx
!
α
a
β
.
a
הוכחה .נגדיר שתי פונקציות של המשתנה t
¶
Z b µZ t
;
= )ψ(t
f (x, y)dy dx
α
ÃZ
Z
α
!
Z t ÃZ
b
f (x, y)dx dy
a
= )ϕ(t
a
α
ונראה שהן שוות ,ובפרט ) ϕ(β) = ψ(βכמבוקש .היות ש־ ) ,ϕ(α) = ψ(αדי
שנראה ש־ ,ϕ0 = ψ 0ולשם כך נשתמש במשפטים שלמדנו.
Rb
הפונקציה F (y) = a f (x, y)dxרציפה ,ולכן עפ״י המשפט היסודי של החדו״א
Z
Z b
d t
0
= ). ϕ (t
= )F (y)dy = F (t
f (x, t)dx
dt α
a
Rt
שוב עפ״י המשפט היסודי של החדו״א ,הפונקציה G(x, t) = α f (x, y)dyגזירה
∂Gרציפה ,ולכן גזירה מתחת לסימן האינטגרל
עפ״י tונגזרתה )∂t (x, t) = f (x, t
נותנת כי גם
Z b
Z b
Z b
d
∂G
= )ψ 0 (t
= G(x, t)dx
= (x, t)dx
)f (x, t
dt a
a ∂t
a
כמבוקש.
דוגמא.
xb −xa
log x dx
R1
. 0לשם כך נשים לב כי =
נקבע 0 < a < bונחשב את
Rb
, a xy dyוע״י החלפת סדר האינטגרציה נקבל כי
Z 1 ³Z b
Z b³Z 1
´
´
= xy dy dx
xy dx dy
0
a
a
Z b
´ ³ xy+1 ¯x=1
dy
b+1
¯
= dy
= log
¯
y + 1 x=0
y
+
1
a
+1
a
=
0
b
Z
xb − xa
dx
log x
1
xb −xa
log x
Z
0
=
a
נחזיר כעת חוב מהסעיף הקודם ונוכיח את המשפט הבא
משפט .אם שתי הנגזרות החלקיות המעורבות fxy , fyxקיימות בתחום Dורציפות בו ,אז
הן שוות.
81
´
הוכחה .נחשב תחילה את האינטגרל הנשנה fyx (x, y)dx dy
R β ³R b
α
a
כאשר המךבן
] R = [a, b] × [α, βמוכל ב־ D
Rb
הפונקציה ) ϕ(y) = a fx (x, y)dx = f (b, y) − f (a, yגזירה ,וחישוב ע״י גזירה
Rb
מתחת לסימן האינטגרל מראה שנגזרתה היא ,ϕ0 (y) = a fx,y (x, y)dxולכן
!
Z ÃZ
Z
)ϕ0 (y)dy = ϕ(β) − ϕ(α
b
β
=
fyx (x, y)dx dy
α
)f (b, β) − f (a, β) − f (b, α) + f (a, α
β
α
a
=
חישוב דומה מראה שגם
!
β
Z b ÃZ
)fxy (x, y)dy dx = f (b, β) − f (a, β) − f (b, α) + f (a, α
α
´
´
R b ³R β
כלומר האינטגרלים fyx (x, y)dx dy = a α fxy (x, y)dy dx
a
R β ³R b
a
שווים.
α
נניח בשלילה שיש נקודה Pו־ δ > 0כך ש־ fxy (P ) > fyx (P ) + 2δואז,
מרציפות הנגזרות המעורבות ,נקבל שיש מלבן קטן ] R = [a, b] × [α, βשמרכזו
ב־ Pויש קבוע Kכך שלכל Qבמלבן מתקיימים אי השוויונים fxy (Q) ≥ Kו־
.fyx (Q) ≤ K − δלכן
!
!
Z ÃZ
Z ÃZ
β
b
β
b
≤ |fyx (x, y)dx dy ≤ (K − δ)|R| < K|R
fxy (x, y)dy dx
α
a
a
בסתירה לכך ששני האינטגרלים שווים.
82
α
פרק 5
האינטגרל הכפול
נתונה פונקציה של שני משתנים המוגדרת בתחום .Dמהו הנפח המוגבל בין
הגרף שלה לבין מישור ה־ ?x, yכשחישבנו שטחים אבן הבנין היסודית היתה
המלבן ששטחו הוא מכפלת אורכי הצלעות .בחישוב נפחים הצורה הבסיסית היא
תיבה ,ונפחה הוא מכפלת אורכי הצלעות.
5.1הגדרת האינטגרל הכפול
נניח תחילה כי הפונקציה מוגדרת במלבן .Rניצור חלוקה Pשל R = ∪Rij
למלבנים חלקיים ע״י חלוקות של הצלעות ונסמן ב־ ∆xiוב־ ∆yjבהתאמה את
האורכים של קטעי החלוקות האלה .שטח המלבן Rijיסומן ב־ .|Rij | = ∆xi ∆yj
הקוטר של החלוקה הוא } .λ(P ) = max{∆xi , ∆yj
i;j
הגדרה .תהי fמוגדרת במלבן Rויהיו } P = {Rijחלוקה של Rו־ .tij ∈ Rijסכום
רימן של הפונקציה fביחס לחלוקה Pולבחירה tijהוא
X
X
= ) . R(P, f, tij
= | f (tij )|Rij
f (tij )∆xi ∆yj
הגדרה .נאמר שהפונקציה fהמוגדרת במלבן Rהיא פונקציה אינטגרבילית רימן ב־ ,R
ושהאינטגרל שלה הוא המספר ,Iאם לכל ε > 0יש δ > 0עם התכונה הבאה :לכל
חלוקה } P = {Rijשל Rעם קוטר λ(P ) < δולכל בחירה של נקודות ,tij ∈ Rijסכום
רימן המתאים יקיים
X
¯
¯
. ¯I −
f (tij )|Rij |¯ < ε
RR
את האינטגרל של fנסמן ב־ . R f
הוכחת הטענה הבאה דומה למקרה החד ממדי ,ולא ניתן אותה.
טענה .אם fאינטגרבילית במלבן ,אז היא חסומה בו.
83
תהי fחסומה במלבן Rותהי } P = {Rijחלוקה שלו .נסמן
)mij = inf f (x
x∈Rij
;
). Mij = sup f (x
x∈Rij
הסכום העליון והסכום התחתון של fהמתאימים לחלוקה Pהם
X
X
= ) U (P, f
| Mij |Rij
;
= ) L(P, f
| mij |Rij
i,j
i,j
יש
וכמו במקרה החד ממדי fאינטגבילית רימן במלבן Rאםם לכל P ε > 0
חלוקה Qכך ש־ ,U (Q, f ) − L(Q, f ) < εאו במילים אחרות, ωij |Rij | < ε ,
כאשר ωijהוא התנודה ωij = ω(Rij , f ) = Mij − mijשל fבמלבן .Rij
המשפט הבא נובע מקריטריון זה באופן דומה למקרה החד ממדי ,ולא ניתן
את ההוכחה.
משפט .תהי fרציפה במלבן סגור ,אז היא אינטגרבילית שם.
כדי להגדיר את האינטגרל בתחומים כלליים יותר ,וכדי להוכיח את האינטגרביליות
בתנאים רחבים יותר מרציפות ,נצטרך להגדיר קבוצות בעלות שטח אפס.
במישור היא בעלת שטח אפס אם לכל εיש כיסוי של Fע״י
הגדרה .נאמר שקבוצה P F
מלבנים Rkכך ש־ . |Rk | < ε
לדוגמא ,קבוצות בנות מניה ,קטעים ,איחוד בן מניה של קבוצות עם שטח
אפס ,גרף של פונקציה רציפה של משתנה אחד )כי די לבדוק עבור פונקציה
רציפה בקטע סגור ,ואז משתמשים ברציפות במ״ש ־ השלימו את ההוכחה!(.
הערה .שימו לב כי בהגדרה אפשר לדרוש שהמלבנים יהיו סגורים ,או פתוחים,
או כלשהם .כמו כן אם Fקבוצה בעלת שטח אפס שהיא סגורה וחסומה ,אז
ניתן לכסותה ע״י מספר סופי של מלבנים ששטחם הכולל קטן כרצוננו.
משפט] .לבג[ תהי fחסומה במלבן ,Rאז היא אינטגרבילית במלבן אםם קבוצת נקודות
אי הרציפות שלה היא בעלת שטח אפס.
הגדרה .תהי fפונקציה חסומה בקבוצה חסומה Dבמישור .יהי Rמלבן המכיל את D
ונרחיב את fלכל Rע״י הגדרתה כאפס ב־ .R \ Dנאמר ש־ fאינטגרבילית ב־ D
אם הרחבתה ל־ Rאינטגרבילית שם) .ברור שההגדרה אינה תלויה בבחירה של .(R
הגדרה .נאמר שקבוצה חסומה Dבמישור היא קבוצה בעלת שטח אם הפונקציה שהיא
זהותית 1על Dואפס אחרת היא אינטגרבילית .השטח של ,Dשיסומן ב־ ) ,A(Dהוא
RR
. D1
84
נזכיר כי השפה ,∂D ,של קבוצה Dהיא אוסף הנקודות xבמישור כך שכל
סביבה של xמכילה נקודות הן מהקבוצה Dוהן ממשלימתה .נשים לב כי ∂D
היא תמיד קבוצה סגורה.
נשים לב כי קבוצת נקודות אי הרציפות של הפונקציה שהיא זהותית 1על D
ואפס אחרת היא בדיוק .∂Dולכן מקבלים
מסקנה .קבוצה חסומה Dהיא בעלת שטח אםם שפתה ,∂D ,היא בעלת שטח אפס.
הוכחה .נקבע מלבן R ⊃ Dויש לבדוק מתי הפונקציה שהיא זהותית 1על D
ואפס על המשלים היא אינטגרבילית .אך זו בדיוק השפה של Dולכן ע״ס משפט
לבג היא אינטגרבילית אםם יש ל־ ∂Dשטח אפס.
המשפט הבא מרכז את התכונות הבסיסיות של האינטגרל הכפול .ההנחה
במשפט היא שכל הקבוצות בעלות שטח .ההוכחות ישירות ,ולא ניתן אותן.
משפט (i) .אם fו־ gאינטגרבליות ב־ ,Dכך גם ,af + bgומתקיים
ZZ
ZZ
ZZ
.
(af + bg) = a
f + b
g
D
D
D
RR
Dאז . D f ≥ 0באופן כללי יותר ,אם f ≥ g
) (iiאם f ≥ 0
אינטגרבלית ב־ RR
RR
אינטגרבליות ב־ Dאז , D f ≥ D gובפרט ,אם m ≤ f ≤ Mב־ Dאז
ZZ
≤ ). m · A(D
)f ≤ M · A(D
D
¯ ¯RR
) (iiiאם fאינטגרבלית ב־ ,Dכך גם | ,|fומתקיים ¯ |f | ≥ ¯ D f
RR
D
.
) (ivאם fחסומה ב־ Dואם ,A(D) = 0אז fאינטגרבילית ב־ ,Dו־ f = 0
RR
D
.
ב־ D1וב־ D2 RRאז היאRRאינטגרבלית ב־ ,D1 ∪ D2ואם
) (vאם fאינטגרבלית RR
,A(D1 ∩ D2 ) = 0אז . D1 ∪D2 f = D1 f + D2 f
5.2האינטגרל הכפול והאינטגרל הנשנה
נעבור כעת לחישוב האינטגרל הכפול .מתברר שבתנאים מאוד רחבים הוא
מתלכד עם האינטגרל הנשנה ,וכך נוכל להשתמש לחישובו בשיטות שפיתחנו
לחישוב של אינטגרלים חד־ממדיים.
משפט .תהי fפונקציה אינטגרבילית במלבן ] ,R = [a, b]×[c, dונניח שלכל xהאינטגרל
Rd
I(x) = c f (x, y)dyקיים .אז הפונקציה ) I(xאינטגרבילית בקטע ] [a, bוקיים השוויון
!
ZZ
Z ÃZ
b
d
=f
f (x, y)dy dx
c
85
a
.
R
הוכחה .נקבע חלוקות } {xiו־ } {ykשל הקטעים ] [a, bו־ ] [c, dבהתאמה .נסמן
ב־ Rikאת המלבנים החלקיים שהן יוצרות ,וב־ Mikו־ mikאת הסופרמום
והאינפימום של fב־ .Rik
לכל iנבחר .xi−1 ≤ ξi ≤ xiהיות ש־ mik ≤ f (ξi , y) ≤ Mikלכל ≤ yk−1 ≤ y
Rd
P m R yk
I(ξi ) = c f (ξi , y)dy = k=1 yk−1מקיים
,ykנקבל כי האינטגרל f (ξi , y)dy
Mik ∆yk
m
X
≤ ) mik ∆yk ≤ I(ξi
k=1
k=1
נכפיל ב־ ∆xiונסכם על ,iונקבל כי
X
≤ mik ∆yk ∆xi
I(ξi )∆xi
i
) Mik A(Rik
X
m
X
.
= Mik ∆yk ∆xi
i,k
XX
k
i
k
i
=
) mik A(Rik
X
i,k
XX
≤
RR
RR
P
אבל לפי הגדרת , R fגם ) mik A(Rik ) ≤ R f ≤ i,k Mik A(Rik
¯Z Z
¯
n
¯
¯ X
X
¯
¯
¯ .
f−
≤ ¯ I(ξi )∆xi
) (Mik − mik )A(Rik
¯ R
¯
P
i,k
,ולכן
i=1
i,k
נקבע כעת .ε > 0אגף ימין קטן מ־ εאם רק ) max(∆xi , ∆ykקטן מספיק )כי
fאינטגרבילית( ,אך אגף שמאל לא תלוי כלל בחלוקה של .[c, d]RRקבלנו לכן כי
סכומי רימן של ) I(xמתכנסים ,כפי שטוען המשפט ,ל־ . R f
³
´
Rd Rb
, cוהמשפט
משפט אנלוגי נכון ,כמובן גם לאינטגרל הנשנה f (x, y)dx dy
a
נכון גם לאינטגרציה על קבוצה כללית בעלת שטח ,כי ממילא האינטגרל מוגדר
ע״י הרחבת הפונקציה כאפס למלבן .הרחבה זו פשוטה במיוחד כאשר D
הוא תחום המוגבל ע״י שני גרפים של פונקציות רציפותD = {(x, y); x ∈ :
}) .[a, b] : α(x) ≤ y ≤ β(xלתחום כזה נקרא תחום נורמלי )ביחס לציר
ה־ .(xתחום כזה הוא בעל שטח ,כי לשפתו ,המורכבת מהגרפים של הפונקציות
ומשני קטעים אנכיים ,יש שטח אפס .והנוסחה המתקבלת היא
!
ZZ
Z ÃZ
b
)β(x
=f
f (x, y)dy dx
a
)α(x
.
D
דוגמאות.
)(i
אם Dהוא המשולש שקודקודיו הם ) (0, 1) ,(1, 0והראשית ,אז
¶
Z 1 µZ 1−x
2
2
= (x + xy)dxdy
(x + xy)dy dx
0
µ
¶1−x
¶
Z 1µ
xy 2
x x3
x2 y +
= dx
−
dx
2 y=0
2
2
0
86
0
1
D
Z
=
0
ZZ
האינטגרציה״.
) (iiכאשר התחום נורמלי בשני הכיוונים ,יש לעתים חשיבות ל״סדר
RR p
נניח ,למשל ,ש־ Dהוא רבע מעגל היחידה ברביע החיובי ,ונחשב את . D 1 − y 2
´
R 1 ³R √1−x2 p
, 0 0אך החישוב יוצא מסובך.
אם כתוב אותו בצורה 1 − y 2 dy dx
לעומת זאת אם נבצע האינטגרציה בסדר ההפוך נקבל
!
Z 1 ÃZ √1−y2 p
Z 1
2
.
= 1 − y dx dy
(1 − y 2 )dy
0
0
0
RR
כדוגמא נוספת מאותו סוג נחשב את D ex/yכאשר Dהוא המשולש
)(iii
R 1 ¡R y x/y ¢
שקודקודיו הם ) (0, 1) ,(1, 1והראשית .נציג אותו כ־ , 0 0 e dx dyונקבל
1
Z
(ey − 1)dy
³
´y
yex/y
= dy
´
אך בסדר ההפוךex/y dy dx ,
x
0
.
x=0
0
R 1 ³R 1
1
Z
0
,אין בכלל פונקציה אלמנטרית שתתאר את
האינטגרל הפנימי!
5.3
הנוסחה להחלפת משתנים
נסתכל על הנוסחה להחלפת משתנה )הצבה( במשתנה אחד .אם → ]ϕ : [a, b
Rβ
Rb
] [α, βפונקציה עולה אז , α f (t)dt = a f (ϕ(s))ϕ0 (s)dsואם הפונקציה ϕיורדת
Rβ
Ra
סדר הגבולות מתהפך ומקבלים . α f (t)dt = b f (ϕ(s))ϕ0 (s)dsכתיבה אחידה
לשני המקרים היא
Z
b
f (ϕ(s))|ϕ0 (s)|ds
β
Z
= f (t)dt
a
.
α
dt
?| dsזהו היחס המקומי
מהי המשמעות הגיאומטרית של הגורם |)| = |ϕ0 (s
שבו ϕמשנה אורכים :ה״מכנה״ | |dsהוא האורך של ״קטע אינפיניטיסימלי״
בסביבת הנקודה ,sואילו ״המונה״ | |dtהוא האורך האינפיניטיסימלי של תמונתו
אינפיניטיסימלי .באופן יותר פורמלי ,נוסחת לגרנז׳ אומרת ש־
של אותו ¯קטע
¯
¯ )¯ ϕ(s+∆s)−ϕ(s
¯ .אגף שמאל הוא יחס האורכים בין קטע ותמונתו ,וכעת
|)¯ = |ϕ0 (c
∆s
עוברים לגבול.
נעבור לשני משתנים .נניח כי Dו־ Rתחומים ב־ R2וכי ϕ : D → Rהעתקה
חח״ע ,ונציג ) .ϕ(s, t) = (x, yבאנלוגיה למקרה החד ממדי צריכה להתקבל נוסחה
מהצורה הבאה
ZZ
ZZ
= f (x, y)dxdy
f (ϕ(s, t))[ ? ]dtds
D
87
R
כאשר במקום ] ? [ צריך לעמוד ביטוי שייצג את היחס המקומי שבו ϕמשנה
שטחים ,ונראה מה צריך להיות ביטוי זה .הטיפול שלנו בנושא זה יהיה יותר
אינטואיטיבי .באינפי 3תחזרו לנושא זה ,ותוכיחו באופן מדוייק את כל הנוסחאות
ב־ Rnל־ nכללי.
הגדרה .יהיו Dו־ Rשני תחומים ב־ ,R2ותהי ϕ : D → Rהעתקה חח״ע ועל .נציג
) ϕ(s, t) = (x, yונניח שהפונקציות ) x(s, tו־ ) y(s, tהן פונקציות בעלות נגזרות חלקיות
בתחום .Dאז הדיטרמיננטה
¶ µ ∂x ∂x
∂s
∂t
det ∂y ∂y
∂t
נקראת היעקוביאן של ϕותסומן ב־
∂xy
∂st
∂s
או ) Jϕאו פשוט Jכאשר ϕידוע(.
נשים לב
שהיעקוביאן הוא בעצמו פונקציה של שני המשתנים sו־ ,tולענייננו הוא ישמש
כתחליף לנגזרת במקרה החד ממדי.
הדוגמא הבאה תהיה הבסיס להבנה של משמעות היעקוביאן.
דוגמא.
µ
¶
a b
= , Aכלומר
נניח כי ϕהיא פונקציה לינארית הניתנת ע״י המטריצה
c d
¶ µ ∂x ∂x
∂s
∂t
∂yהיא פשוט
x(s, t) = as + btו־ .y(s, t) = cs + dtאז המטריצה
∂y
המטריצה הנתונה ,Aוהיעקוביאן הוא פשוט ).det(A
¶
להעתקה כללית ϕהמטריצה
∂x
∂t
∂y
∂t
∂t
∂s
µ ∂x
∂s
∂y
∂s
היא ״הקירוב הלינארי״ הטוב ביותר
של ההעתקה ϕבסביבת הנקודה ) .(s, tכדי לעמוד על המשמעות הגיאומטרית
של היעקוביאן נבדוק מה המשמעות הגיאומטרית של הדיטרמיננטה כשההעתקה
היא בדיוק לינארית )ולא רק בקירוב(.
טענה .אם Aמטריצה הפיכה ,אז |) | det(Aהוא שטח המקבילית הנוצר ,ע״י העמודות
שלה ,כלומר ,השטח של תמונת ריבוע היחידה תחת הטרנספורמציה .A : R2 → R2
¶
µ
a c
הוכחה .נניח כי
b d
אינה משנה את שטח המקבילית ,ואינה משנה את הערך המוחלט של הדיטרמיננטה.
ולכן נוכל להניח ,בה״כ ,כי ,b = 0ואז הדיטרמיננט הוא ,adוזה גם שטח
המקבילית ,כי בסיסה באורך | ,|aוגובהה |.|d
= .Aהפעלת סיבוב )כלומר ,הכפלה במטריצה אורתוגונולית(,
כעת מתברר לנו מה צריך להיות מקדם שינוי השטחים :נחלק את התחום D
ריבוע
לריבועים קטנים מאוד .אם ϕדיפרנציאבילית ,אז היא ניתנת לקירוב ¶בכל
µ
כזה ע״י טרנספורמציה לינארית שהמטריצה שלה היא הערך של
∂x
∂t
∂y
∂t
∂x
∂s
∂y
∂s
באחד מקודקודי הריבוע ,שנסמנו ב־ .Pלכן הריבוע עובר לתחום שהוא כמעט
88
מקבילית ששטחה |) .|Jϕ (Pוכשעוברים לגבול )כשקוטר הריבועים שואף לאפס(,
נקבל כי היחס המקומי שבו ϕמשנה שטחים הוא הפונקציה | .|Jϕ
כך ״הוכחנו״ את הנוסחה לשינוי משתנה באינטגרל:
משפט .יהיו Dו־ Rשני תחומים ב־ ,R2ותהי ϕ : D → Rהעתקה חח״ע ועל .אם נסמן
) ,ϕ(s, t) = (x, yואם הפונקציות ) x(s, tו־ ) y(s, tדיפרנציאביליות ב־ ,Dאז
¯
¯
ZZ
ZZ
¯ ¯ ∂xy
¯ dtds
¯¯ ))f (ϕ(s, t
= f (x, y)dxdy
.
¯ ∂st
D
R
דוגמא.
y−x
y+x
RR
T eכאשר Tהוא המשולש } .{x, y ≥ 0; x + y ≤ 1לשם
נחשב את dxdy
t−s
,y = t+sולכן
ו־
x
=
ואז
,y
+
x
=
t
ו־
כך נציב y − x = s
2
2
¯
¯
¶ µ 1 −1
¯ )¯ ∂(x, y
1
2
¯ = det 21
=
¯¯ .
1
¯
)∂(s, t
2
2
2
התמונה של Dתחת ההעתקה היא המשולש } ,D = {|s| ≤ t ≤ 1ולכן
¶
Z µZ t
s
1
1 1
t
= e dsdt
e ds dt
2
2 0
D
−t
Z
´
1 1 ³ s ¯¯t
1
1
) te t s=−t dt = (e −
2 0
4
e
ZZ
s
t
=
dxdy
y−x
y+x
ZZ
e
T
=
= Jϕומתקיים כי
באינפי 3תלמדו שאם גם ϕ−1דיפרנציאבילית ,אז 6 0
.Jϕ−1 = J1ϕלפעמים קל יותר להשתמש בנוסחה זו ולחשב בפועל את Jϕ−1
במקום את .Jϕ
דוגמא.
נחשב את שטח התחום המוגבל ע״י ארבע ההיפרבולות
}. D = {s, t > 0; 1 ≤ st ≤ 2; 3 ≤ s2 − t2 ≤ 4
נציב x = stו־ .y = s2 − t2התמונה של Dע״י ההעתקה היא
}. D0 = { (x, y) : 1 ≤ x ≤ 2, 3 ≤ y ≤ 4
החד חד ערכיות נובעת נובעת מכך שהעקומות st = const.הן היפרבולות שאינן
חותכות זו את זו ,וכל היפרבולה כזו חותכת היפרבולה מהטיפוס s2 − t2 = const.
בדיוק בנקודה אחת.
89
השטח המבוקש הוא
¯
¯
ZZ
ZZ
¯ )¯ ∂(s, t
¯ dxdy
= ). A(D
= 1 · dsdt
¯¯ · 1
¯ )∂(x, y
D
D0
)∂(s,t
) ∂(x,yקשה לחשב ,כי לשם כך צריך לחלץ באופן מפורש את
את היעקוביאן
µ
¶
t
s
2
2
) ∂(x,yולכן
s, tכפונקציות של .x, yאבל ) ∂(s,t) = 2s −2t = −2(s + t
¯
¯
¯ )¯ ∂(s, t
1
1
¯
¯
¯ ∂(x, y) ¯ = 2(s2 + t2 ) = 2py 2 + 4x2
כי .(s2 + t2 )2 = (s2 − t2 )2 + 4s2 t2 = y 2 + 4x2ולסיכום
!
ZZ
Z 4 ÃZ 2
dx
p
= ). A(D
= dsdt
dy
2
2
D
3
1 2 y + 4x
קואורדינטות קטביות :הצבה חשובה מאוד היא העתקת המעבר לקואורדינטות
קטביות ) (x, y) = (r cos θ, r sin θהמעתיקה את } {r ≥ 0 ; 0 ≤ θ ≤ 2πבאופן
״כמעט״ חח״ע על כל מישור ה־ :x, yהנקודות ״הרעות״ מרוכזות בקרניים ≥ {r
} 0 ; θ = 0ו־ } {r ≥ 0 ; θ = 2πהמועתקות על הקרן } .{x ≥ 0קרניים אלה
הן קבוצות בעלות שטח אפס ,ואינן משנות את ערכי האינטגרלים ,ולכן נוכל
להשתמש בהצבה זו באופן חפשי.
היעקוביאן של ההעתקה הוא
µ
¶ µ
¶
)∂(x, y
x xθ
cos θ −r sin θ
= det r
=
=r
yr yθ
sin θ r cos θ
)∂(r, θ
ולכן נקבל כי לכל תחום Dבמישור
ZZ
f (r cos θ, r sin θ)rdrdθ
ZZ
= f (x, y)dxdy
D0
.
D
דוגמא.
אם Dהוא העיגול ברדיוס Rשמרכזו בראשית ,אז שטחו הוא
!
ZZ
ZZ
Z 2π ÃZ R
R2
= πR2
.
= dxdy
= rdrdθ
rdr dθ = 2π
2
D
D0
0
0
90
5.4אינטגרלים מוכללים
הטיפול באינטגרלים מוכללים אנלוגי למקרה החד־ממדי .נטפל לדוגמא במקרה
ש־ Dתחום מישורי לא חסום ונסמן }.DR = {P ∈ D : kP k ≤ R
במישור ואינטגרבילית בכל תחום חסום בעל
הגדרה .תהי fמוגדרת בתחום לא חסום D
RR
שטח .E ⊂ Dנאמר שהאינטגרל המוכלל D fקיים וערכו Iאם לכל¯ εRR> 0יש ¯ Rכך
שלכל קבוצה בעלת שטח Eהמקיימת D ⊃ E ⊃ DRמתקיים כי .¯I − E f ¯ < ε
אם f ≥ 0די לבדוק כי f → I
∞→n
חסומות Enכך ש־ .∪En = D
RR
עבור איזושהי סדרה עולה של קבוצות
En
דוגמא.
נראה כי π
√
2
= e−x dx
∞R
∞−
¶
dx dy
−x2 −y 2
= .Iלשם כך נציג
∞
µZ
Z
∞
e
¶
= dy
∞−
µ
¶
∞¯¯ 1 −r2
rdr dθ = 2π − e
¯ =π
2
0
−r 2
∞−
∞
−y 2
Z 2π µZ
e
∞
Z
dx
e
0
91
e
∞−
= dxdy
0
−x2
∞
Z
=
∞−
ZZ
−x2 −y 2
=
e
R2
2
I
פרק 6
אינטגרלים קוויים
בפרק זה נרחיב תחילה בנושא של מסילות ,ואח״כ נעבור לאינטגרלים של פונקציות
ושל שדות וקטוריים עליהן .לשם פשטות הכתיבה נצטמצם ל־ .n = 2הטיפול
ברוב הנושאים ל־ nכללי אנלוגי לגמרי.
6.1
אורך קשת
נזכור כי מסילה היא פונקציה רציפה γ : I → Rnכאשר I ⊂ R1קטע .אם
] I = [a, bקטע סגור ,אז לנקודות ) γ(aו־ ) γ(bנקרא נקודת ההתחלה ונקודת
הסיום )בהתאמה( של .γהמסילה נקראת סגורה אם ) .γ(a) = γ(bהיא נקראת
פשוטה אם γחח״ע ,והיא נקראת מסילה סגורה פשוטה אם ) γ(s) = γ(tמתקיים
עבור s 6= tרק בקצוות.
כפי שאמרנו ,אנו מבחינים בין המסילה ,שהיא הפונקציה ,γלבין תמונתה,
שנקרא לה העקום המתואר ע״י .γאותו עקום יכול ,כמובן ,להיות מתואר ע״י
פונקציות שונות .לצרכינו ,לא נרצה לעתים להבחין בין מסילות המתקבלות זו
מזו ע״י שינוי משתנה מונוטוני ממש.
הגדרה .נאמר שהמסילות γ : I → Rnו־ β : J → Rnהן שקולות אם יש פונקציה
רציפה ומונוטונית ממש ϕמ־ Iעל Jכך ש־ )).γ(t) = β(ϕ(t
נשים לב שלמסילה יש ״מגמה״ )או כיוון( .המסילה מתחילה ב־ ,t = a
ומסתיימת ב־ .t = bלמסילות שקולות יכולה להיות אותה מגמה )כאשר ϕעולה
ממש( ,או מגמות הפוכות )כאשר ϕיורדת ממש(.
הגדרה .תהיינה γ : [a, b] → Rnו־ β : [c, d] → Rnשתי מסילות כך שמתקיים
המסילה γ ∗ β : [a, b + d − c] → Rnהמוגדרת ע״י
) .γ(b) = β(cהצרוף שלהן הוא (
)γ(t
a≤t≤b
= .γ ∗ β
β(t − b + c) b ≤ t ≤ b + d − c
באופן גיאמטרי ,עוברים לאורך המסילה ,γוכשבסיומה מגיעים לנקודת ההתחלה
של β־־ עוברים עליה.
92
אם γמסילה סגורה ,אז היא מפרידה את המישור לשני חלקים ,החלק
״הפנימי״ של תמונתה ,שהוא חסום ,והחלק ״החיצוני״ שאיננו חסום .זה מובן
מאליו לעקומים שאנחנו מציירים בדר״כ ואנו נשתמש בעובדה זו באופן חפשי,
אבל ההוכחה הכללית היא לגמרי לא פשוטה ,והמשפט שמבטיח זאת ,משפט
ג׳ורדן ,הוא מאבני הדרך בהתפתחות הטופולוגיה .משפט זה מאפשר לנו לדבר
על תחומים עם או בלי ״חורים״.
הגדרה .תחום D ⊂ R2נקרא פשוט קשר אם לכל מסילה סגורה ופשוטה γב־ ) Dכלומר,
שתמונתה מוכלת ב־ ,(Dגם הפנים של γמוכל כולו ב־ .D
באופן אינטואיטיבי ,זה אומר שאפשר ״לכווץ״ את התמונה של γלנקודה
מבלי לצאת מהתחום .Dלדוגמא ,כל קבוצה קמורה היא פשוטת קשר ,ולעומת
זאת אם מוציאים ממנה נקודה פנימית ,היא כבר איננה פשוטת קשר :אי אפשר
לכווץ ב־ Dמעגל קטן המקיף את הנקב .גם זו טענה מאוד אינטואיטיבית ,אך
הוכחתה נעשית למעשה בעזרת איטגרלים קוויים!
נפנה כעת להגדרת האורך של מסילה .תהי γ : [a, b] → R2מסילה .לכל
חלוקה } P = {a = t0 < t1 < . . . < tq = bנסתכל באורך שלPהמסילה הפוליגונלית
העוברת דרך הנקודות ) ,γ(tkכלומר ב־ . kγ(tk ) − γ(tk−1 )k
P
הגדרה .האורך ,l(γ) ,של γהוא ,sup kγ(tk ) − γ(tk−1 )kכאשר הסופרמום נלקח על
כל החלוקות האפשריות של הקטע .נאמר שהמסילה היא בעלת אורך אם יש לה אורך
סופי.
ההוכחות של הטענות הבאות נובעות ישירות מההגדרות ולא ניתן אותן) .השלימו
כתרגיל!(
טענה (i) .למסילות שקולות יש אותו האורך.
) (iiאם γ ∗ βמוגדר ,אז ).l(γ ∗ β) = l(γ) + l(β
) (iiiתהי γמסילה המוגדרת בקטע ] ,[a, bונסמן ב־ γtאת הצמצום של γלקטע
החלקי ] .[a, tנסמן ב־ ) s(t) = l(γtאת האורך של הצמצום הזה .אז הפונקציה sרציפה
ומונוטונית עולה ,והיא איננה עולה ממש רק אם יש קטע חלקי שבו γקבועה.
ניתן כעת נוסחה מפורשת לחישוב האורך .ניזכר תחילה בנוסחה לאורך של
Rbp
הגרף של פונקציה גזירה ) a 1 + (f 0 (t))2 dtראו בפרק על אינטגרלים( .גרף
p
של פונקציה fהוא ,כמובן ,מסילה .γ(t) = (t, f (t)) :הביטוי 1 + (f 0 (t))2הוא
בדיוק ,kγ 0 (t)kוזו גם הנוסחה למסילות גזירות כלליות.
משפט .תהי γ : I → R2 Rמסילה גזירה ברציפות .אז האורך שלה ניתן ע״י הנוסחה
.l(γ) = I kγ 0 (t)kdt
הוכחה .נקבע חלוקה tkונשתמש בסימון ∆xk = x(tk ) − , ∆k = tk − tk−1
) x(tk−1ו־ ) .∆yk = y(tk ) − y(tk−1עפ״י משפט לגרנז׳ יש נקודות ckו־ dk
93
בקטע החלוקה ה־ i־י כך ש־ ∆xk = x0 (ck )∆tkוכך ש־ .∆yk = y 0 (dk )∆tkלכן
¢ 12
∆tk
¢ 12
(∆xk )2 + (∆yk )2
(x0 (ck ))2 + (y 0 (dk ))2
¡X
¡X
=
kγ(tk ) − γ(tk+1 )k
X
=
ונציג ביטוי זה כסכום של שני מחוברים .הראשון הוא
∆tk
¢ 21
kγ 0 (t)k
(x0 (ck ))2 + (y 0 (ck ))2
R
¡X
= (x0 (t))2 + (y 0 (t))2 dt
R p
שמתכנס לאינטגרל
השני הוא
o
¡X n
¡ ¢1
¢1
(x0 (ck ))2 + (y 0 (dk ))2 2 − (x0 (ck ))2 + (y 0 (ck ))2 2 ∆tk
I
I
כמבוקש .המחובר
הסוגריים המשולבות )ל־ kקבוע( נשתמש באי השוויון
שבתוך
ולהערכת הביטוי
¯
¯
1
¯1
¯ 12
האלמנטרי ) ¯a − b 2 ¯ ≤ |a − b| 2הוכיחו אותו!( ,ונקבל שהמחובר ה־ k־י חסום
1
ע״י .|(y 0 )2 (dk ) − (y 0 )2 (ck )| 2
מרציפות במ״ש של הפונקציה ) (yעל Iנוכל ,בהנתן ,ε > 0לבחור חלוקה
מספיק כך שכל מחובר כזה קטן מ־ ,εואז המחובר השני קטן מ־
עדינה
P
|.ε ∆tk = ε|I
0 2
הערה .הנוסחה תקפה גם בתנאים יותר כלליים ,ובפרט כאשר γגזירה ברציפות
פרט למספר סופי של נקודות.
ראינו שאם אין קטעים שעליהם γקבועה ,אז פונקצית האורך ))s(t) = l(γ(t
היא רציפה ומונוטונית ממש ,ולכן יכולה לשמש בהצגה פרמטרית שקולה .אם
חושבים על המסילה כמתארת מיקום של חלקיק בזמן ,tאז כשההצגה היא
בעזרת פרמטר האורך זה אומר שמהירות התנועה היא :1בפרק זמן tהחלקיק
עובר מרחק .t
הנגזרת ) γ 0 (tשל מסילה γבזמן tהיא וקטור בכיוון המשיק לעקום בנקודה.
הוא מתאר את המהירות של החלקיק הנע במסילה בזמן .tאם הפרמטריזציה
היא עפ״י האורך ,אז .kγ 0 (t)k ≡ 1זה ברור משיקולים פיסיקליים ,ונובע מתמטית
Rt
מכך שבמקרה זה הפרמטר נע בקטע ] ,[0, Lומתקיים ש־ ,s(t) = 0 kγ 0 (τ )kdτ = t
וכשניגזור את המשוואה נקבל .s0 (t) = kγ 0 (t)k = 1
6.2אינטגרל קווי
הנושא העיקרי שבו נטפל יהיה אינטגרלים קוויים של שדות ווקטוריים ,אך נתחיל
מהמקרה הפשוט של אינטגרל קווי של פונקציה סקלרית.
תהי γ : [a, b] → R2מסילה ,ותהי fפונקציה ממשית המוגדרת על תמונת
המסילה) .בדר״כ fמוגדרת באיזשהו תחום ,Dו־ γהיא מסילה ב־ .(Dמהו
״שטח הוילון״ התלוי על הגרף של fמעל ?γאנחנו כבר יודעים איך לגשת
94
לבעיה מסוג זה :נחלק את הקטע ] [a, bבחלוקה עדינה ונבחר נקודה tiבקטע
Pנסמן ב־ liאת אורך קטע המסילה ה־ i־י ,ונקרב את השטח
החלוקה ה־ i־י.
ע״י . f (γ(ti ))liוכעת נעבור לגבול כאשר הפרמטר של החלוקה שואף לאפס.
ה־
אם נניח גם ש־ γמסילה גזירה ברציפות ,אז האורך של קטע המסילה P
i־י הוא בקירוב ,kγ 0 (ti )kliולכן השטח הכולל הוא בקירוב , f (γ(ti ))kγ 0 (ti )kli
Rb
0
. a f (γ(t))kγלאינטגרל הזה נקרא
ובגבול נקבל את הנוסחה לשטח שהיא R (t)kdt
האינטגרל הקווי של fעל המסילה ,γונסמנו . γ fברור מהבניה שהאינטגרל הזה
איננו תלוי בפרמטריזציה של המסילה )ונוכיח זאת מייד גם ע״י כלל השרשרת(.
כמקרה פרטי מקבלים שהאורך של מסילה מתקבל ,כמובן ,כאינטגרל של
הפונקציה שהיא זהותית .1
דוגמא.
נחשב את האינטגרל של f (x, y) = 1 + x3על המסילה )γ(t) = (cos3 t, sin3 t
כאשר ) .0 ≤ t ≤ π2לצייר את המסילה ואת ה״וילון״!(.
כאן ) ,γ 0 (t) = 3(− cos2 t sin t, sin2 t cos tולכן
kγ 0 (t)k2 = 9(cos4 t sin2 t + sin4 t cos2 t) = 9 sin2 t cos2 t
כלומר ,kγ 0 (t)k = 3 sin t cos tוהאינטגרל הוא
cos3 t
)3 sin t cos tdt
3
(1 +
Z
π
2
.
0
המסילה ו־ ]ϕ : [α, β] → [a, b
טענה .אם )) γ(t) = δ(ϕ(tהן פרמטריזציות שונותRשל R
גזירה ברציפות )וכמובן על ומונוטונית ממש( אז . δ f = γ f
הוכחה .נניח בה״כ ש־ ϕעולה .עפ״י כלל השרשת ) ,γ 0 (t) = δ 0 (ϕ(t))ϕ0 (tוההצבה
) s = ϕ(tתתן לכן
f (δ(ϕ(t)))kδ 0 (ϕ(t))kϕ0 (t)dt
Z
β
Z
b
0
= f (δ(s))kδ (s)kds
α
Z
f
=
a
β
0
= f (γ(t))kγ (t)kdt
γ
Z
f
δ
Z
=
α
בפרט יהיה נוח להשתמש בפרמטר האורך ,ואם γ : [0, L] → R2נתונה ע״י
פרמטר האורך הנוסחה המתקבלת היא
L
Z
f (γ(s))ds
Z
=f
0
95
.
γ
הערות (i) .הנוסחה לאינטגרל והטענה נכונות גם בתנאים כלליים יותר ,למשל,
אם המסילות רק גזירות פרט למספר סופי של נקודות.
) (iiנוח לעתים להשתמש במשפט הקירוב הבא ,שאותו לא נוכיח .אם Dתחום
יש סדרת מסילה גזירות מכל
פתוח ,ואם fרציפה בו ,אז לכל מסילה R γבתחום R
סדר ,γnכך ש־ γn → γבמ״ש וכך ש־ . γn f → γ f
כאשר רוצים Hלהדגיש בסימון שהאינטגרציה היא על מסילה סגורה ,γ
)(iii
מסמנים אותו ע״י . γ f
נעבור כעת לאינטרלים קוויים של שדות וקטוריים ,כלומר של פונקציות של n
משתנים שערכיהם הם ווקטורים nממדיים .אנחנו נטפל בשדות דו ממדיים ,וכל
שדה כזה ניתן לכתיבה בצורה )) F (x, y) = (f1 (x, y), f2 (x, yוהוא נקרא רציף ,או
גזיר ,אם שתי הפונקציות f1ו־ f2הן כאלה.
שדות וקטוריים מופיעים הרבה ״בטבע״ ,למשל זרימה מתוארת ע״י שדה כזה,
כאשר ) F (x, yהוא מהירות הנוזל בנקודה )) .(x, yהמהירות היא וקטור ,ואנו
מתייחסים הן לכיוונו והן לגדלו( .באופן דומה נוכל לדבר על שדה כוח ,או על
שדה חשמלי.
נניח שחלקיק עם מסת יחידה נע במסילה γבשדה כוח .Fמהי העבודה
הנעשית? נתחיל במקרה הפשוט שבו γהיא קטע ,והשדה Fהוא קבוע .אם
הכוח הוא בכיוון הקטע ,אז העבודה )שהיא סקלר( היא המכפלה של גודל הכוח
באורך הקטע .אם הכוח הוא בכיוון אחר ,אז נפרק אותו כסכום F = G + Hשל
ווקטור Gמקביל לקטע ווקטור Hהניצב לו ,והעבודה נעשית רק מרכיב הכוח
Gול־ Hאין כל תרומה.
נזכור שאם V1ו־ V2וקטורי יחידה ניצבים ,אז הההצגה של Wבעזרתם
ניתנת ע״י הנוסחה
W = hV1 , W iV1 + hV2 , W iV2
ואותנו יעניין רק הרכיב בכיוון המסילה ,כי בכל נקודה על המסילה לרכיב בכיוון
הניצב למסילה אין תרומה לעבודה.
למסילה חלקה כללית γכיוון המסילה בנקודה tהוא כיוון המשיק ),γ 0 (t
ואורכה האינפיניטיסימלי שם הוא .kγ 0 (t)kdtלכן אם Fשדה ווקטורי כללי,
העבודה שנעשית במעבר על פני קטע המסילה האיפיניטיסימלי יהיה
)γ 0 (t
i × kγ 0 (t)kdt = hF, γ 0 (t)idt
kγ 0 (t)k
hF,
Rb
והעבודה הכוללת היא . a hF, γ 0 (t)idtוזו תהיה ההגדרה הכללית לאינטגרל הקווי
של שדה ווקטורי.
הגדרה .יהי Dתחום ותהי γמסילה חלקה )פרט למספר סופי של נקודות( בתחום .יהי
Fשדה וקטורי רציף בתחום .Dאז האינטגרל הקווי של Fעל המסילה מוגדר להיות
R
Rb
. a hF, γ 0 (t)idtלעתים קרובות נשתמש בסימון . γ F
כתיבה מפורשת של המכפלה הפנימית מציגה את האינטגרל כסכום של שני
אינטגרלים סקלריים :אם )) γ(t) = (x(t), y(tכאשר ] t ∈ [a, bואם ) ,F = (f1 , f2
96
אז
f2 (γ(t))y 0 (t)dt
Z
b
f1 (γ(t))x0 (t)dt +
a
b
Z
Z
.
= F
γ
a
בפרט ,עפ״י כלל השרשרת ,האינטגרל איננו תלוי בפרמטריזציה של γבתנאי
נסמן
שהמגמה נשמרת )ורק הסימן משתנה כאשר המגמה מתהפכת( .אם
R
x0 (t)dt = dxו־ ,y 0 (t)dt = dyנכתוב את האינטגרל גם בצורה . γ f1 dx + f2 dy
R
R
R
ברור כי . γ ∗βF = γ F + β F
דוגמאות.
) (iנסתכל במסילה ) γ(t) = (cos t, sin tעבור ,0 ≤ t ≤ 2πובשדה = )F (x, y
באפן גיאומטרי השדה ניצב למסילה בכל נקודה ,ולכן צריך להתקבל כי
)R .(x, y
. γ F = 0ובאמת
2π
Z
2π
0
(cos t (− sin t) + sin t cos t)dt = 0
Z
= hF (γ(t)), γ (t)idt
0
Z
= F
0
.
γ
) (iiעם אותה מסילה נבחר כעת .F (x, y) = (−y, x)Rכעת השדה באותו כיוון
כמו המסילה ויש לצפות כי , γ F 6= 0ובאמת
(sin2 t + cos2 t)dt = 2π
Z
2π
0
2π
Z
= hF (γ(t)), γ (t)idt
0
Z
= F
0
.
γ
התוצאה גם ברורה באופן גיאומטרי :בנקודות על המסילה ערך הפונקציה וערך
המשיק למסילה הם אותו ווקטור ־ וזהו ווקטור יחידה ,ולכן hF (γ(t)), γ 0 (t)i = 1
לכל .t
האינטגרל באמת אינו תלוי בפרמטריזציה של המסילה √ .חשבו את
)(iii
האינטגרל של Fמדוגמא ) (iiעל ) γ(t) = (cos t2 , sin t2עבור .0 ≤ t ≤ 2π
הגדרה .שדה ווקטורי Fהמוגדר בתחום Dנקרא שדה משמר אם F = 0
סגורה ב־ .D
H
γ
לכל מסילה
למשל בשדה הכובד של כדור הארץ ,העבודה הנעשית כשהולכים לאורך
מסלול סגור כלשהו בחיפה ,היא אפס.
אנחנו נרצה לאפיין שדות משמרים ,ונתחיל בלמה פשוטה שהיא ,למעשה ,רק
ניסוח אחר לכך ששדה הוא משמר.
למה .יהי RFשדה ווקטורי המוגדר בתחום .Dאז Fשדה משמר ב־ Dאםם האינטגרלים
הקוויים γ Fאינם תלויים בבחירת המסילה γאלא רק בנקודות הקצה שלה.
97
הוכחה .נניח שהשדה משמר וכי γ1ו־ γ2שתי מסילות עם אותן נקודות קצה.
נסמן ב־ −γ2את המסילה γ2כשהולכים בה בכיוון ההפוך ,ואז הצירוף = γ
) γ1 ∗ (−γ2הוא מסילה סגורה ,ולכן
I
Z
Z
=. 0
F−
F
= F
γ2
γ
γ1
R
להפך ,אם האינטגרלים γ Fאינם תלויים בבחירת המסילה ואם → ]γ : [a, b
Dמסילה סגורה ,נבחר נקודה a < c < bונציג γ = γ1 ∗ γ2כאשר γ1ו־ γ2הן
מתחילות ונגמרות באותן
החלקיים .ואז γR1ו־ −γR2
H
הצמצומים של R γלקטעים R
נקודות ,ולכן γ1 F = − γ2 Fו־ . γ F = γ1 F + γ2 F = 0
הגדרה .יהי Fשדה ווקטורי המוגדר בתחום .Dנאמר שפונקציה ממשית fהיא פוטנציאל
לשדה Fאם .f = ∇F
לדוגמא ,הפונקציה
1
x2 +y 2
√ = ) f (x, yהיא פוטנציאל לשדה
)−(x,y
3
(x2 +y 2 ) 2
= ).F (x, y
מתי יש ל־ Fפונקצית פוטנציאל? המשפט הפשוט הבא נותן תנאים הכרחיים.
משפט .יהי ) F = (f1 , f2שדה רציף בתחום ,Dותהי fפונקצית פוטנציאל ל־ .F
∂f2
∂x
1
. ∂f
= ∂y
) (iאם יש ל־ fi־ים נגזרות חלקיות רציפות אז
R
) (iiלכל מסילה γ : [a, b] → Dמתקיים כי )) . γ F = f (γ(b)) − f (γ(aבפרט
R
האינטגרל הקווי γ Fאינו תלוי במסילה אלא רק בנקודות הקצה שלה והשדה משמר.
הוכחה(i) .
)(ii
עפ״י המשפט על נגזרות מעורבות
∂f2
∂x
=
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂y∂x
=
1
. ∂f
= ∂y
עפ״י כלל השרשרת
d
))f (γ(t))dt = f (γ(b)) − f (γ(a
dt
b
Z
= hF (γ(t)), γ 0 (t)idt
a
Z
b
Z
= F
a
.
γ
דוגמא.
נחשב את ydx + xdy
ההגדרה מקבלים
R
γ
כאשר
tπ
) 2
4
γ(t) = ( t4 , sin3עבור .0 ≤ t ≤ 1עפ״י
tπ
tπ π ¢
tπ t4
+ 3 sin2
cos
dt
2
4
2
2 2
t3 sin3
¡
Z
1
.
0
זה אולי לא נורא ,אבל בטח לא נעים .למזלנו יש לשדה הנתון )F (x, y) = (y,Rx
פוטנציאל .f (x, y) = xy :ולכן . γ ydx + xdy = f ( 14 , 1) − f (0, 0) = 14
98
משפט .יהי ) F = (f1 , f2שדה רציף בתחום קשיר מסילתית .Dאז השדה Fמשמר ב־
Dאםם יש ל־ Fפוטנציאל ב־ .D
הוכחה .כיוון אחד כבר ראינו .נניח כעת שהשדה משמר ונקבע נקודה .Pלכל
נקודה ) Q = (x, yנבחר מסילה γהמתחילה ב־ Pומסתיימת ב־ ,Qונגדיר
R
.f (Q) = γ Fזו הגדרה טובה ,כי האינטגרל ב״ת בבחירת המסילה .נראה כי
. ∂f
∂x = f1
נסתכל בנקודה ) Q1 = (x + ∆x, yובמסילה ) δ(t) = (x + t∆x, yכאשר ≤ 0
.t ≤ 1תמונת המסילה δהיא הקטע הישר בין Qל־ ,Q1והצירוף γ ∗ δהוא
מסילה בין Pל־ ,Q1ולכן
hF (δ(t)), δ 0 (t)idt
Z
1
Z
= F
0
Z
= F
δ
Z
F−
γ
´
f1 (x + t∆x, y) · ∆x + f2 (x + t∆x, y) · 0 dt
=
)f (Q1 ) − f (Q
γ∗δ
Z 1³
=
0
Z
1
∆x
f1 (x + t∆x, y)dt
=
0
נחלק ב־ ∆xונשאיף אותו לאפס ,ונקבל )מרציפות (f1כי
1
Z
)f1 (x, y)dt = f1 (x, y
Z
1
→ f1 (x + t∆x, y)dt
0
0
)f (Q1 ) − f (Q
=
∆x
מכיון ש־ ) f1 (x, yלא תלוי כלל ב־ .t
אם יש לשדה Fפוטנציאל ,אז ההוכחה נותנת למעשה דרך לחישובו :ערכו ב־
Qמתקבל ע״י אינטגרציה של השדה לאורך איזשהי מסילה מהנקודה הקבועה
Pאל .Qבאופן מעשי עושים זאת אחרת .נתאר זאת ע״י דוגמא ,וכדי להדגים
יותר טוב את השיטה ,נמצא פוטנציאל לשדה תלת ממדי.
דוגמא.
נמצא פוטנציאל לשדה ) .F = (y cos xy − z sin xz, x cos xy, −x sin xzונשים
∂f
∂fi
∂xאכן מתקיימים.
לב תחילה שהתנאים ההכרחיים = ∂xji
j
, ∂fולכן לכל x, yקבועים יש קבוע
הפוטנציאל fצריך לקיים כי ∂z = −x sin xz
) c(x, yכך ש־ ).f (x, y, z) = cos xz + c(x, y
0
,x cos xy = ∂fולכן יש קבוע התלוי ב־ xכך שמתקיים
באופן דומה )∂y = cy (x, y
) ,c(x, y) = sin xy + c(xכלומר .f (x, y, z) = cos xz + sin xy + c(x) ,״למזלנו״ זה
פתרון לשאלה ואפשר לקחת ) c(xכקבוע.
ההצלחה בדוגמא לא היתה מובטחת ,כי התנאי על הנגזרות איננו מספיק.
ואילו לא היה לשדה פוטנציאל ,לא היינו יכולים למצוא פונקציה ) c(xכך שהנגזרת
של ) f (x, y, z) = cos xz + sin xy + c(xעפ״י xהיתה .f1נסתכל בשתי דוגמאות:
דוגמאות.
99
עפ״י חוקי ניוטון כח הכובד של כדור הארץ פרפורציונלי הפוך למרחק
)(i
)−(x,y,z
ממרכזו ,כלומר הוא ניתן ,עד כדי קבוע ,ע״י השדה .F (x, y, z) = 2 2 2 3
לשדה זה יש פוטנציאל
1
x2 +y 2 +z 2
(x +y +z ) 2
√ = ) ,f (x, y, zולכן השדה משמר בתחום בו
הוא מוגדר ,כלומר במרחב המנוקב בראשית.
)(ii
לעומת זאת ,השדה
∂f1
∂y
∂f2
∂x
)(−y,x
x2 +y 2
= ) F (x, yמוגדר במישור המנוקב בראשית,
)בדקו!( אך איננו משמר בתחום זה ,כי נבחר = )γ(t
=
ומקיים שם
R
R 2π
) (cos t, sin tעבור ,0 ≤ t ≤ 2πואז . γ F = 0 1dt = 2π
אבל השדה כן משמר בתחומים חלקיים מתאימים .למשל ,בחצי המישור
הימני } {x > 0פונקצית פוטנציאל ניתנת ע״י .arctan xy
למעשה השדה בדוגמא ) (iiמשמר בכל תחום שאיננו מכיל את הראשית.
כשהתחום Dהוא פשוט קשר ,התנאי על הנגזרות הוא גם תנאי מספיק לכך
שהשדה ישמר ,ולכן בתחום כזה קיים פוטנציאל ויש לנו שיטה ״מובטחת״ לחישובו.
משפט .יהי Dתחום פשוט קשר ויהי ) F = (f1 , f2שדה רציף ב־ Dכך שיש ל־ Fנגזרות
∂f2
1
. ∂f
חלקיות .אז השדה Fמשמר אםם ∂y = ∂x
המשפט נובע מיידית ממשפט גרין שלו מוקדש הסעיף הבא.
נאמר שהשדה Fמשמר מקומית בתחום Dאם לכל נקודה Pב־ Dיש
∂f2
1
∂fהוא
סביבה המוכלת ב־ Dשבה Fמשמר .מהמשפט נובע שהתנאי ∂y = ∂x
הכרחי ומספיק לכך שהשדה משמר מקומית ,כי לכל Pנוכל לקחת כסביבה
המתאימה עיגול קטן שמרכזו ב־ Pוהמוכל כולו ב־ .Dעיגול כזה הוא פשוט
קשר ,ולכן השדה משמר בו.
6.3משפט גרין
משפט].משפט גרין[ תהי γמסילה גזירה סגורה ופשוטה המכוונת בכיוון המתמטי החיובי,
ויהי Dהפנים של העקום המוגדר ע״י .γיהי ) F = (f1 , f2שדה רציף בסביבה של D
ושפתו כך שיש ל־ f1 , f2נגזרות חלקיות רציפות .אז
¶
I
ZZ µ
∂f2
∂f1
.
= F
−
dxdy
∂x
∂y
γ
D
הוכחה .לא נוכיח את המשפט למסילות כלליות ,אך מה שנוכיח מספיק לשימושים
במתמטיקה ובפיסיקה.
נטפל תחילה בתחום Dנורמלי ביחס לשני הצירים .היות ו־ Dנורמלי ביחס
לציר ה־ x־ים יש פונקציות ϕ < ψהמגדירות אותו בקטע ] ,[a, bואפשר להציג
100
את γכצרוף של ארבע מסילות .עבור 1 ≤ j ≤ 4נסמן
))(t, ϕ(t
a≤t≤b
(b, (1 − t)ϕ(b) + tψ(b)) 0 ≤ t ≤ 1
= )γj (t
(t,
))ψ(t
a≤t≤b
(a, (1 − t)ϕ(a) + tψ(a)) 0 ≤ t ≤ 1
ואז ) .γ = γ1 ∗ γ2 ∗ (−γ3 ) ∗ (−γ4נחשב ״חצי״ מהנוסחה במשפט גרין .נשים לב
כי dx = 0על γ2ועל γ4וכי dx = dtעל γ1ועל .γ3לכן
´
f1 (t, ϕ(t)) − f1 (t, ψ(t)) dt
³
Z
b
Z
Z
= f1 dx
γ3
a
!
ZZ
∂f1
∂f1
(t, s)ds dt = −
∂y
D ∂y
f1 dx −
γ1
Z ÃZ
)ψ(t
Z
f1 dx
=
γ
b
= −
)ϕ(t
a
באופן דומה ,מהנורמליות ביחס לציר ה־ y־ים נקבל כי
והנוסחה במשפט מקבלת כסכום של שתי הנוסחאות האלה.
∂f2
∂x
R
RR
, γ f2 dy = D
ההכללה לתחומים כלליים יותר תהיה פורמלית לגמרי .נניח כי Dהוא איחוד
של מספר תחומים נורמליים הנחתכים רק בשפתם .למשל ,D = D1 ∪ D2כאשר
ה־ Di־ים הם שני עיגולים קטומים המחוברים לאורך הקטימה .משפט גרין ידוע
מהתחומים בנפרד ,ונסכם את הנוסחאות .באגף אחד נקבל את
אחד
לנו על כל ´
R
R
RR ³ 2
∂f1
, D ∂fובשני נקבל את . γ1 F + γ2 Fאך נשים לב כי
−
הביטוי dxdy
∂x
∂y
קטעי המסילות המשותפים Rל γ1
ולכן הסכום הוא בדיוק . γ F
ו־ γ2הם בכיוונים מנוגדים ולכן מתבטלים,
באופן דומה נוכל לטפל בתחום עם ״חורים״ )וכיווני המסילות בחורים נקבעים
תמיד כך שהתחום נמצא משמאל למסילה( ,למשל כאשר Dטבעת ,ואז שפתה
מורכבת משתי מסילות .במקרה זה נוסיף קטע המקשר בינהן ,וקטע זה ,ביחד
עם שני המעגלים שהם שפת הטבעת ,יגדירו מסילה המקיפה את Dכשיש בו
״חריץ״ .הקטע הנוסף נספר פעמיים ־ ועם כיוונים מנוגדים ,ולכן האינטגרלים
לאורכו מצמצמים זה את זה ,ומתקבלת הנוסחה.
דוגמאות.
)(i
יהי Dהמשולש שקודקודיו הם ) (0, 0), ( π2 , 0), ( π2 , 1ותהי שפתו .γאז
Z
ZZ
.
= (y − sin x)dx + cos xdy
(− sin x − 1)dxdy = . . .
γ
D
x
)(ii
.F (x, y) = ( x2−yהוא משמר באופן מקומי )למשל,
נזכור את השדה ) +y 2 , x2 +y 2
y
הפוטנציאל בחצי המישור הימני הוא .(f (x, y) = arctan xאבל השדה אינו משמר,
כי ראינו שאם γהיא מעגל היחידה )כשעוברים עליו פעם אחת בכיוון המתמטי
101
R
החיובי( ,אז . γ F = 2πזו גם התוצאה לכל מסילה אחרת γהמקיפה את
הראשית פעם אחת ,כי השדה משמר בתחום המוגבל ע״י γוע״י מעגל קטן סביב
הראשית.
אם עוברים על המעגל )או על המסילה האחרת( kפעמים האינטגרל הוא
.2kπזה מאפשר לנו לתת נוסחה המחשבת את ה״אינדכס״ של מסילה γבמישור,
כלומר את מספר הפעמים שהיא מקיפה את הראשית:
Z
−ydx
1
xdy
.
+ 2
2π γ x2 + y 2
x + y2
משפט גרין נותן נוסחה חשובה לחישוב השטח של תחום
משפט .יהי Dתחום שבו תקף משפט גרין ,ותהי γשפתו .אז השטח של Dניתן ע״י כל
אחד מהאינטגרלים הבאים
Z
Z
Z
1
= |. |D
= xdy = − ydx
−ydx + xdy
2 γ
γ
γ
הוכחה .משתמשים במשפט גרין עם השדות ) ,F (x, y) = (0, xאו ) (−y, 0או
∂f1
1
2
∂fבתחום .D
) 2 (−y, xבהתאמה ,ושלושתם מקיימים ש־ ∂x − ∂y ≡ 1
לנוסחה הזו יש חשיבות מעשית רבה במדידות.
השטח של Dרק עפ״י שפתו!
היא מאפשרת לדעת את
דוגמאות.
) (iנחשב את שטח עיגול היחידה .כאן ) γ(t) = (cos t, sin tעבור ,0 ≤ t ≤ 2π
ולכן השטח הוא
Z
Z
1
1 2π
.
= −ydx + xdy
(sin2 t + cos2 t)dt = π
2 γ
2 0
2
2
) (iiנחשב את השטח המוגבל ע״י x 3 + y 3 = 1ברביע החיובי .השפה מורכבת
מהמסילה ) γ(t) = (cos3 t, sin3 tעבור ,0 ≤ t ≤ π/2ומהקטעים γ1ו־ γ2
המקשרים את הראשית עם ) (1, 0ו־ ) (0, 1בהתאמה .אבל y = dy = 0על
,γ1ו־ x = dx = 0על ,γ2ולכן השטח הוא
(3 sin4 t cos2 t + 3 cos4 t sin2 t)dt
sin2 2tdt = . . .
π/2
Z
0
3
= cos t sin tdt
8
2
0
π/2
Z
2
102
π/2
Z
0
1
2
3
2
Z
=
−ydx + xdy
γ
=
1
2
© Copyright 2024