טורי פונקציות - 4 ק ר פ - אלון באומן – שיעורים פרטיים ומרתונים

‫פרק ‪ - 4‬טורי פונקציות‬
‫∞‬
‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫הטורים שראינו עד פרק זה‪ ,‬היו טורי מספרים בלבד מהצורה‬
‫‪.‬‬
‫נגדיר מושג חדש‪ ,‬טור של פונקציות המורכב מסדרה של פונקציות 𝑛𝑓 ‪ 𝑓1 , 𝑓2 , … ,‬המוגדרות‬
‫בתחום משותף 𝐷‪ .‬עבור 𝐷 ∈ 𝑥 מתקבלת סדרת המספרים‪:‬‬
‫עבור סדרה זו מגדירים טור‬
‫∞‬
‫𝑛𝑓 ‪𝑛=1‬‬
‫𝑥‬
‫הנקרא טור פונקציות‪.‬‬
‫∞‬
‫𝑛𝑓 ‪𝑛=1‬‬
‫אם הטור מתכנס נסמן‪𝑥 = 𝑆(𝑥) :‬‬
‫𝑥 𝑛𝑓 ‪.𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 , … ,‬‬
‫‪ .‬עבור כל 𝑥 עבורו טור המספרים המתאים מתכנס ל‪-‬‬
‫)𝑥(𝑆‪ ,‬נאמר כי 𝑥 זה שייך לתחום ההתכנסות‪.‬‬
‫𝑥‬
‫הפונקציה )𝑥(𝑆 היא סכום הטור‬
‫∞‬
‫𝑛𝑓 ‪𝑛=1‬‬
‫עבור כל 𝑥 בתחום ההתכנסות והיא נקראת‬
‫הפונקציה הגבולית או הסכום של הטור‪.‬‬
‫דוגמא‬
‫נתונה סדרה הפונקציות הבאה‪:‬‬
‫𝑛‬
‫⋯‪+‬‬
‫𝑥 ‪ln‬‬
‫𝑥‬
‫התחום המשותף של הפונקציות‬
‫‪2‬‬
‫‪+ ⋯+‬‬
‫𝑛 𝑥 ‪ln‬‬
‫𝑥‬
‫𝑥 ‪ln‬‬
‫𝑥 ‪ln‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑥‬
‫𝑥‬
‫𝑛‬
‫=‬
‫𝑥 ‪ln‬‬
‫𝑥‬
‫∞‬
‫∞‬
‫= 𝑥 𝑛𝑓‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫= 𝑥 𝑛𝑓 לכל ‪ 𝑛 ≥ 1‬הוא‪.𝐷 = 𝑥|𝑥 > 0 :‬‬
‫נמצא את תחום ההתכנסות של הטור ואת סכום הטור )𝑥(𝑆‪:‬‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫∞‬
‫𝑛‬
‫𝑥 ‪ln‬‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫הטור‬
‫𝑛‬
‫𝑥 ‪ln‬‬
‫∞‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑥‬
‫𝑛‬
‫=‬
‫𝑥 ‪ln‬‬
‫𝑥‬
‫∞‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫הוא טור הנדסי כאשר 𝑥 ‪ ,𝑞 = ln‬ולכן הטור מתכנס לכל ‪.−1 < ln 𝑥 < 1‬‬
‫‪1‬‬
‫כלומר הטור מתכנס לכל 𝑒 < 𝑥 < ‪.‬‬
‫𝑒‬
‫נחשב את סכום הטור )𝑥(𝑆‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑥 ‪ln‬‬
‫𝑥 ‪𝑥 1 − ln‬‬
‫∞‬
‫=‬
‫𝑛‬
‫𝑥 ‪ln‬‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑥‬
‫𝑛‬
‫=‬
‫𝑥 ‪ln‬‬
‫𝑥‬
‫∞‬
‫= 𝑥 𝑆‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫תרגילים‬
‫בכל אחד מטורי הפונקציות הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬מצא את התחום המשותף‬
‫‪.1‬‬
‫‪𝑥2‬‬
‫∞‬
‫𝑛 ‪𝑛=1 1+𝑥 2‬‬
‫‪.2‬‬
‫𝑛 𝑥 ‪sin‬‬
‫∞‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫‪𝑥2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪3𝑥 4‬‬
‫∞‬
‫𝑛 ‪𝑛=1 1+𝑥 4‬‬
‫ב‪ .‬מצא את תחום ההתכנסות‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪1‬‬
‫ג‪ .‬חשב את סכום הטור )𝑥(𝑆‬
‫‪[email protected]‬‬
‫פתרונות‬
‫‪.2‬‬
‫‪ .1‬א‪ .‬כל 𝑥‬
‫ב‪ .‬כל 𝑥‬
‫‪0 𝑥=0‬‬
‫= 𝑥 𝑆‬
‫ג‪.‬‬
‫‪1 𝑥≠0‬‬
‫א‪𝑥 ≠ 0 .‬‬
‫𝑘𝜋‪𝑥 ≠ + 2‬‬
‫‪2‬‬
‫𝜋‬
‫ב‪𝑥 ≠ − + 2𝜋𝑘 .‬‬
‫𝜋‬
‫‪.3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑥≠0‬‬
‫לכל ‪𝑘 ∈ ℤ‬‬
‫ג‪.‬‬
‫𝑥 ‪sin‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑥 ‪1−sin‬‬
‫‪𝑥2‬‬
‫א‪ .‬כל 𝑥‬
‫ב‪ .‬כל 𝑥‬
‫‪0 𝑥=0‬‬
‫= 𝑥 𝑆‬
‫ג‪.‬‬
‫‪3 𝑥≠0‬‬
‫= 𝑥 𝑆‬
‫הגדרה – התכנסות במידה שווה‬
‫תהי‬
‫סדרה של פונקציות המוגדרות בתחום 𝐷‪ ,‬ותהי 𝑓 פונקציה במוגדרת בקטע זה‪.‬‬
‫𝑛𝑓‬
‫𝑛𝑓‬
‫הסדרה‬
‫מתכנסת לפונקציה 𝑓 במידה שווה בקטע 𝐷 אם ורק אם לכל ‪ 𝜀 > 0‬קיים מספר‬
‫טבעי 𝑁 כל שלכל 𝑁 > 𝑛 מתקיים‪𝑓𝑛 𝑥 − 𝑓(𝑥) < 𝜀 :‬‬
‫משפט – משפט ה‪ 𝐌 -‬של ווינשטראס (תנאי מספיק להתכנסות במידה שווה)‬
‫תהי‬
‫𝑛𝑓‬
‫סדרה של פונקציות המוגדרות בתחום 𝐷‪ .‬נניח כי‬
‫המקיימת‪ 𝑓𝑛 (𝑥) ≤ 𝑎𝑛 :‬לכל ‪ 𝑛 ∈ ℕ‬ולכל 𝐷 ∈ 𝑥‪ ,‬והטור‬
‫א‪ .‬לכל 𝐷 ∈ 𝑥 הטור‬
‫ב‪ .‬הטור‬
‫𝑥‬
‫∞‬
‫𝑛𝑓 ‪𝑛=1‬‬
‫𝑥‬
‫∞‬
‫𝑛𝑓 ‪𝑛=1‬‬
‫∞‬
‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫𝑛𝑎‬
‫סדרה של מספרים‬
‫מתכנס אזי‪:‬‬
‫מתכנס בהחלט‪.‬‬
‫מתכנס במידה שווה‪.‬‬
‫דוגמא‬
‫נראה כי הטור‬
‫) 𝑥𝑛( ‪∞ arctan‬‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫‪𝑛5‬‬
‫מתכנס במידה שווה לכל ‪.𝑥 ∈ ℝ‬‬
‫התחום המשותף 𝐷 לכל הפונקציות‬
‫) 𝑥𝑛( ‪arctan‬‬
‫‪𝑛5‬‬
‫= 𝑛𝑓 הוא כל ‪ .𝑥 ∈ ℝ‬מתקיים‪:‬‬
‫)𝑥𝑛(‪arctan‬‬
‫)𝑥𝑛(‪arctan‬‬
‫‪𝜋 1‬‬
‫≤‬
‫≤‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫𝑛‬
‫𝑛‬
‫‪2 𝑛5‬‬
‫הטור‬
‫‪1‬‬
‫∞‬
‫‪𝑛=1 𝑛 5‬‬
‫𝜋‬
‫‪2‬‬
‫מתכנס‪ ,‬ולכן ע"פ משפט ה‪ 𝑀 -‬של ווינשטראס‪ ,‬הטור‬
‫) 𝑥𝑛( ‪∞ arctan‬‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫‪𝑛5‬‬
‫מתכנס‬
‫במידה שווה‪.‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪2‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫משפט‬
‫תהי‬
‫𝑛𝑓‬
‫∞‬
‫𝑛𝑓 ‪𝑛=1‬‬
‫סדרה של פונקציות רציפות בתחום 𝐷‪ ,‬והטור‬
‫מתכנס במידה שווה‬
‫לפונקציה 𝑆‪ ,‬אזי הפונקציה 𝑆 פונקציה רציפה בתחום 𝐷‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫לגבי כל אחד מהטורים בתרגיל הקודם‪ ,‬קבע האם הוא מתכנס במידה שווה או לא‪ ,‬ונמק‪.‬‬
‫פתרונות‬
‫‪ .1‬לא‬
‫‪ .2‬כן‬
‫‪ .3‬לא‬
‫משפט – אינטגרציה איבר איבר‬
‫תהי‬
‫𝑛𝑓‬
‫סדרה של פונקציות אינטגרביליות בקטע ]𝑏 ‪ [𝑎,‬והטור‬
‫∞‬
‫𝑛𝑓 ‪𝑛=1‬‬
‫מתכנס במידה שווה‬
‫לסכום )𝑥(𝑆‪ ,‬אזי הפונקציה )𝑥(𝑆 אינטגרבילית בקטע ]𝑏 ‪ [𝑎,‬ומתקיים‪:‬‬
‫∞‬
‫𝑏‬
‫𝑥𝑑 )𝑥( 𝑛𝑓‬
‫𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫∞‬
‫= 𝑥𝑑 )𝑥( 𝑛𝑓‬
‫𝑏‬
‫‪𝑎 𝑛=1‬‬
‫משפט – גזירה איבר איבר‬
‫תהי‬
‫𝑛𝑓‬
‫סדרה של פונקציות גזירות בקטע 𝐼 המתכנס לפונקציה 𝑆‪ ,‬כלומר )𝑥(𝑆 = 𝑥‬
‫לכל 𝐼 ∈ 𝑥‪ .‬נניח כי הפונקציות‬
‫𝑛𝑓‬
‫∞‬
‫𝑛𝑓 ‪𝑛=1‬‬
‫גזירות בקטע 𝐼 וטור הנגזרות מתכנס במידה שווה‬
‫בקטע 𝐼‪ ,‬אזי‪:‬‬
‫‪ .1‬הטור‬
‫∞‬
‫𝑛𝑓 ‪𝑛=1‬‬
‫מתכנס במידה שווה בקטע 𝐼‬
‫‪ .2‬מתקיים‪:‬‬
‫‪′‬‬
‫∞‬
‫)𝑥( ‪𝑓𝑛′‬‬
‫=‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫∞‬
‫)𝑥( 𝑛𝑓‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪3‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫דוגמא‬
‫עבור הטור‬
‫‪2‬‬
‫)𝑥 𝑛( ‪∞ sin‬‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫‪𝑛 8 +1‬‬
‫נראה כי הוא מתכנס במידה שווה לכל ‪ 𝑥 ∈ ℝ‬ונבדוק האם ניתן לבצע‬
‫גזירה איבר איבר‪.‬‬
‫התחום המשותף 𝐷 לכל הפונקציות‬
‫)𝑥 ‪sin (𝑛 2‬‬
‫‪𝑛 8 +1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑛4‬‬
‫הטור‬
‫‪1‬‬
‫∞‬
‫‪𝑛=1 𝑛 4‬‬
‫‪1‬‬
‫)𝑥 ‪sin(𝑛2‬‬
‫≤‬
‫‪𝑛8 + 1‬‬
‫‪𝑛8 + 1‬‬
‫מתכנס‪ ,‬ולכן ע"פ משפט ה‪ 𝑀 -‬של ווינשטראס‪ ,‬הטור‬
‫‪2‬‬
‫)𝑥 𝑛( ‪∞ sin‬‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫‪𝑛 8 +1‬‬
‫שווה לכל ‪ .𝑥 ∈ ℝ‬נסמן‪:‬‬
‫הטור‬
‫≤‬
‫= 𝑛𝑓 הוא כל ‪ .𝑥 ∈ ℝ‬מתקיים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫)𝑥 𝑛( ‪∞ sin‬‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫‪𝑛 8 +1‬‬
‫‪2‬‬
‫)𝑥 𝑛( ‪∞ sin‬‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫‪𝑛 8 +1‬‬
‫מתכנס במידה‬
‫= 𝑥 𝑆‪.‬‬
‫הוא טור מתכנס במידה שווה של פונקציות גזירות לכל ‪ ,𝑥 ∈ ℝ‬ולכן ניתן‬
‫לבצע גזירה איבר איבר‪:‬‬
‫‪cos(𝑛2 𝑥) 𝑛2‬‬
‫‪𝑛8 + 1‬‬
‫הטור‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑛)𝑥 𝑛( ‪∞ cos‬‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫‪𝑛 8 +1‬‬
‫∞‬
‫=‬
‫הטור‬
‫∞‬
‫)𝑥 ‪sin(𝑛2‬‬
‫‪𝑛8 + 1‬‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫=‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫)𝑥 ‪sin(𝑛2‬‬
‫‪𝑛8 + 1‬‬
‫= 𝑥 𝑆‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫הוא טור הנגזרות‪ .‬נראה כי הוא מתכנס במידה שווה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑛2‬‬
‫‪1‬‬
‫∞‬
‫‪𝑛=1 𝑛 2‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫∞‬
‫‪′‬‬
‫=‬
‫‪𝑛2‬‬
‫‪𝑛8‬‬
‫≤‬
‫‪𝑛2‬‬
‫‪𝑛8 + 1‬‬
‫≤‬
‫‪cos(𝑛2 𝑥) 𝑛2‬‬
‫‪𝑛8 + 1‬‬
‫מתכנס‪ ,‬ולכן ע"פ משפט ה‪ 𝑀 -‬של ווינשטראס‪ ,‬הטור‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑛)𝑥 𝑛( ‪∞ cos‬‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫‪𝑛 8 +1‬‬
‫מתכנס‬
‫במידה שווה לכל ‪.𝑥 ∈ ℝ‬‬
‫קיבלנו‪:‬‬
‫א‪ .‬הטור‬
‫‪2‬‬
‫)𝑥 𝑛( ‪∞ sin‬‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫‪𝑛 8 +1‬‬
‫ב‪ .‬הפונקציות‬
‫𝑛𝑓‬
‫ג‪ .‬טור הנגזרות‬
‫מתכנס במידה שווה לכל ‪.𝑥 ∈ ℝ‬‬
‫גזירות לכל ‪.𝑥 ∈ ℝ‬‬
‫‪cos (𝑛 2 𝑥)𝑛 2‬‬
‫‪𝑛 8 +1‬‬
‫∞‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫מתכנס במידה שווה לכל ‪.𝑥 ∈ ℝ‬‬
‫ולכן ע"פ משפט גזירה איבר איבר ניתן לבצע גזירה איבר איבר בטור‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫)𝑥 𝑛( ‪∞ sin‬‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫‪𝑛 8 +1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ .1‬מציאת התחום המשותף של סדרת פונקציות‬
‫הקטן ביותר של 𝑛 הפונקציות בסדרה‪.‬‬
‫𝑥 𝑛𝑓 הוא תחום ההגדרה המשותף‬
‫‪ .2‬חישוב הסכום 𝑥 𝑆 אפשרי רק כאשר ניתן לחשב את סכום טור המספרים‬
‫המתקבל עבור כל ערך של 𝑥‪( .‬טור הנדסי או טור טלסקופי)‪.‬‬
‫‪ .3‬משפט ה‪ 𝑀 -‬של ווינשטראס הוא תנאי מספיק להתכנסות במידה שווה של‬
‫טור פונקציות‪ ,‬כלומר אם תנאיו מתקיימים אז הטור אכן מתכנס במידה‬
‫שווה‪ ,‬אך אם תנאיו אינם מתקיימים אין זה מעיד על התכנסות או‬
‫התבדרות טור הפונקציות‪.‬‬
‫∞ גורר רציפות של‬
‫‪ .4‬התכנסות במידה שווה של טור פונקציות )𝑥( 𝑛𝑓 ‪𝑛=1‬‬
‫פונקציית הסכום )𝑥(𝑆‪ .‬תוצאה זו עוזרת להוכיח שטור פוקציות אינו‬
‫מתכנס במידה שווה כאשר פונקציית הסכום )𝑥(𝑆 אינה רציפה‪.‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪5‬‬
‫‪[email protected]‬‬