3 תרגיל בית מס` - Technion moodle
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי 2מ' חורף תשע"ו הטכניון -מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למתמטיקה תרגיל בית מס' 3 ענו על כל השאלות הבאות .הקפידו לנמק היטב את שיקוליכם בכל חלקי הפתרון. )1מקור קרינה רדיואקטיבי מצוי בנקודה ) . A=(-1,1,3הקרינה בכל נקודה נתונה ע"י: 1 = )𝑧 𝑅(𝑥, 𝑦, (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 1)2 + (𝑧 − 3)2 + 1 א .באיזה כיוון תעוף ציפור הנמצאת בנקודה Aאם היא רוצה להקטין את הקרינה במהירות המקסימלית? 2 ב .באיזה כיוון יילך אדם הנמצא בנקודה Aעל המשטח 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 5אם הוא רוצה להקטין את הקרינה בקצב המקסימלי? מטפס הרים מצוי על קרקע המתוארת ע"י 𝑥 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 3בנקודה ).B=(1,1,1 ג .באיזה כיוון במרחב הוא יטפס אם ברצונו לטפס את הטיפוס הקשה ביותר? ד .תחת אותם התנאים ,לאיזה כיוון טיפס אם כוח המשיכה היה פועל בכיוון החיובי של ציר ?y )2א) נתונה המערכת: yu v x 2 y 2 0 xu v 2 y 2 v y 0 .1בדקו כי המערכת מגדירה שתי פונקציות סתומות u x, y ו- v x, y בסביבת הנקודה . x1 , y1 , u1 , v1 1,1,3,1 .2חשבו את הנגזרות החלקיות מסדר ראשון של שתי הפונקציות הסתומות בנקודה . 1,1 .3חשבו את . u xy'' 1,1 . ב) הוכיחו כי המשוואה z 3 xz y 0 מגדירה את ) z=z(x,yבסביבת הנקודה ()1,0,1 2 z וחשבו את )(1,0 . xy 𝑦 𝑥 )3נניח כי המשוואה 𝑓 (𝑧 , 𝑧 ) = 0מגדירה פונקציה סתומה )𝑦 .𝑧 = 𝑔(𝑥,הוכח שהפונקציה )𝑦 𝑧 = 𝑔(𝑥,מקיימת את המשוואה: 𝑧𝜕 𝑧𝜕 𝑥 𝑦+ 𝑧= 𝑥𝜕 𝑦𝜕 תוכלו להניח כי כל הפונקציות המופיעות בשאלה גזירות חלקית בכל סדר. )4לפניך שלושה סעיפים .כתוב את התשובה הסופית לכל אחד מהם .אין צורך לנמק. [ 10נקודות לכל השאלה] 𝑧𝑥 א) המשוואה 𝑒 + 𝑦 − 𝑧 = 0מגדירה פונקציה סתומה )𝑦 𝑧 = 𝑓(𝑥,בסביבת הנקודה ( .)0,1מהו ערכה של הנגזרת המכוונת של 𝑓 בכיוון ) (3, −4בנקודה (?)0,1 חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי 2מ' חורף תשע"ו הטכניון -מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למתמטיקה ב) תהי ) f(x,y,zפונקציה בעלת נגזרות חלקיות רציפות ב- 6 3 2 6 9 2 , , , v , , 7 7 7 11 11 11 u כיוונים ב- 3 3 ויהיו .מבין כל הנגזרות המכוונות של fבנקודה Pכלשהי ,הערך המקסימלי הוא 11כאשר גוזרים את fבכיוון . uמהו הערך f של ) ( P v ? ג) תהי f : 3 נתונה ע"י f ( x, y, z) axy 2 byz cx3 z 2 הנגזרת המכוונת המקסימלית של fבנקודה ) (1,2, 1היא בכיוון ) (0,0,1וערכה .נתון כי .32מהם הפרמטרים ? a,b,c בהצלחה !
© Copyright 2024