‫משוואות מסדר ראשון‬
‫מכללת אורט בראודה ‪ -‬המחלקה למתמטיקה‬
‫משוואות דיפרנציאליות חלקיות וטורי פורייה ‪11122‬‬
‫יעקב לוצקי ולביא קרפ‬
‫דף תרגילים מספר ‪1‬‬
‫משוואות מסדר ראשון‬
‫‪ .1‬נתונה הפונקציה‬
‫‪jxj; jxj 1‬‬
‫‪jxj > 1‬‬
‫א‪ .‬שרטט את הגרף של )‪t‬‬
‫ב‪ .‬שרטט את הגרף של )‪2t‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪1‬‬
‫;‪0‬‬
‫(‬
‫= )‪.T (x‬‬
‫‪ T (x‬בזמנים ‪ t = 1 ,t = 0‬ו ‪.t = 2‬‬
‫‪ T (x‬בזמנים ‪ t = 1 ,t = 0‬ו ‪.t = 2‬‬
‫‪ ut + ux‬נתון על ידי )‪t‬‬
‫א‪ .‬הראה שפתרון כללי של המשוואה‬
‫כאשר ‪.f : R1 ! R1‬‬
‫ב‪ .‬השתמש בסעיף א׳ על מנת לפתור את בעיית ההתחלה‬
‫‪= 0‬‬
‫‪f (x‬‬
‫=‬
‫)‪,u(x; t‬‬
‫(‬
‫‪ut + 2ux = 0‬‬
‫‪:‬‬
‫‪u(x; 0) = 1+1x2‬‬
‫‪ .3‬נתונה בעיית התחלה‬
‫כאשר‬
‫‪jxj; jxj 1‬‬
‫‪jxj > 1‬‬
‫‪1‬‬
‫;‪0‬‬
‫(‬
‫‪ut + 4ux = 0‬‬
‫;‬
‫)‪u(x; 0) = T (x‬‬
‫(‬
‫= )‪.T (x‬‬
‫א‪ .‬חשב את הפתרון‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הישרים בהם הפתרון אינו ‪ ,C‬כלומר‪ ,‬נגזרות חלקיות מסדר ראשון אינם‬
‫רציפות‪.‬‬
‫‪ .4‬נתונה המשוואה‬
‫‪2uy = 0‬‬
‫‪3ux‬‬
‫)‪(1‬‬
‫א‪ .‬מצא משפחה של קווים ישרים עליהם הפתרון של )‪ (1‬הוא קבוע‪) .‬קווים אופייניים(‬
‫ב‪ .‬מצא פתרון כללי של המשוואה )‪.(1‬‬
‫ג‪ .‬מצא פתרון של המשוואה )‪ (1‬שמקיים את תנאי ההתחלה ‪.u(x; 0) = sin x‬‬
‫‪ .5‬התרגיל הזה דן בפתרון של בעיית התחלה לא הומוגנית‬
‫)‪ut + ux = f (x; t‬‬
‫;‬
‫)‪u(x; 0) = g(x‬‬
‫כאשר ) ‪2 C 1(R2 ) ,g 2 C 1(R1‬‬
‫‬
‫ לוצקי וקרפ‬
‫‪ f‬ו ‪. > 0‬‬
‫‪1‬‬
‫(‬
‫)‪(2‬‬
‫משוואות מסדר ראשון‬
‫א‪ .‬הראה שאם )‪ ,w(t) = u(x0 + t; t‬אז‬
‫‪dw‬‬
‫‪(t) = f (x0 + t; t):‬‬
‫‪dt‬‬
‫ב‪ .‬הסק מסעיף א׳ ש‬
‫‪f (x0 + s; s)ds:‬‬
‫‪Zt‬‬
‫‪0‬‬
‫‪w(t) = g(x0 ) +‬‬
‫ג‪ .‬הסק מסעיפים א׳ וב׳ שאם )‪ (x; t‬נמצא על הישר ‪t = x0‬‬
‫‪s); s) ds‬‬
‫‪(t‬‬
‫‪f (x‬‬
‫‪Zt‬‬
‫‪0‬‬
‫‪t) +‬‬
‫‪ ,x‬אז‬
‫‪u(x; t) = g(x‬‬
‫)‪(3‬‬
‫פתרון של בעיית התחלה )‪.(2‬‬
‫‪ .6‬משוואת העברה עם גורם דעיכה ‪.‬‬
‫א‪ .‬הראה שהפתרון של בעיית ההתחלה‬
‫‪ut + ux = u‬‬
‫;‬
‫)‪u(x; 0) = g(x‬‬
‫(‬
‫)‪(4‬‬
‫כאשר ) ‪ g 2 C 1 (R1‬ו ו קבועים חיוביים‪ ,‬ניתן על ידי‬
‫;‬
‫‪t‬‬
‫‪t)e‬‬
‫‪u(x; t) = g(x‬‬
‫כלומר‪ ,‬גל מתקדם דועך‪.‬‬
‫רמז‪ :‬הצב ‪ v = uet‬והראה ש ‪ v‬מקיימת את המשוואה‬
‫‪vt + vx = 0:‬‬
‫ב‪ .‬נניח כי בזמן ‪ t = 0‬הצינור נקי עבור ‪ ,x < 0‬והצינור מזוהם עם צפיפות ועבור‬
‫‪ .x 0‬כלומר ‪ u‬מקיים את בעיית ההתחלה )‪ (4‬עם‬
‫‪x0‬‬
‫‪:‬‬
‫‪x<0‬‬
‫;‬
‫;‪0‬‬
‫(‬
‫= )‪g(x‬‬
‫הראה שהפתרון אינו רציף עבור על הישר ‪t = 0‬‬
‫‪ .7‬נתונה המשוואה‬
‫‪=0‬‬
‫‪uy‬‬
‫‪3ux‬‬
‫א‪ .‬מצא פתרון כללי של )‪.(5‬‬
‫ב‪ .‬פותר את המשוואה )‪ (5‬עם תנאי ההתחלה‬
‫‬
‫ לוצקי וקרפ‬
‫‪2‬‬
‫‪.x‬‬
‫‪y2‬‬
‫)‪(5‬‬
‫‪.u(0; y) = e‬‬
‫משוואות מסדר ראשון‬
‫ג‪ .‬האם ניתן לפתור את המשוואה )‪ (5‬עם תנאי ההתחלה ‪.u(x; 2x) = e14x‬‬
‫ד‪ .‬האם ניתן לפתור את המשוואה )‪ (5‬עם תנאי ההתחלה ‪?u(x; x2 ) = ex‬‬
‫‪ .8‬נתונה המשוואה‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪= 1:‬‬
‫‪ux + uy‬‬
‫מצא פתרון כללי של )‪.(6‬‬
‫הראה שלמשוואה )‪ (6‬עם תנאי ההתחלה ‪ u(x; 2x) = x‬יש פתרון יחיד‪.‬‬
‫הראה שלמשוואה )‪ (6‬עם תנאי ההתחלה ‪ u(x; x) = x‬יש אינסוף פתרונות‪.‬‬
‫הסבר מדוע בסעיף ב׳ יש יחידות ואילו בסעיף ג׳ אין יחידות‪.‬‬
‫‬
‫ לוצקי וקרפ‬
‫‪3‬‬
‫)‪(6‬‬
‫משוואות מסדר ראשון‬
‫תשובות‬
‫‪1‬‬
‫א‪ .‬איור ‪ :1‬אדום ‪ ,t = 0‬כחול ‪ ,t = 1‬ירוק ‪t = 2‬‬
‫ב‪ .‬איור ‪ :2‬אדום ‪ ,t = 0‬כחול ‪ ,t = 1‬ירוק ‪t = 2‬‬
‫‪1‬‬
‫= )‪.u(x; t‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫א‪.u(x; t) = T (x 4t) .‬‬
‫ב‪ .‬הפונקציה ‪ T‬אינה גזירה בנקודות ‪ x = 0 ,x = 1‬ו ‪ ,x = 1‬לכן )‪ u(x; t‬אינה ‪C 1‬‬
‫לאורך הישרים ‪ x 4t = 0 ,x 4t = 1‬ו ‪.x 4t = 1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪.u(x; y) = sin( 2x+3‬‬
‫א‪ ;2x + 3y = C .‬ב‪ ;u(x; y) = F (2x + 3y) .‬ג‪2 ) .‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2t)2‬‬
‫‪1 + (x‬‬
‫‪tg (x‬‬
‫‪6‬‬
‫א‪t) .‬‬
‫‪8‬‬
‫א‪ ,u(x; y) = F (x y) + ax + by .‬כאשר ‪ ;a + b = 1‬ב‪;u(x; y) = x .‬‬
‫ג‪ ,u(x; y) = F (x y) + x .‬לכל ‪ F‬שמקיימת ‪;F (0) = 0‬‬
‫ד‪ .‬עקום ההתחלה הוא גם עקום אופייניי‪.‬‬
‫‬
‫ לוצקי וקרפ‬
‫‪;u(x; t) = e‬‬
‫ב‪ .‬על הקו ‪t = 0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ x‬הפתרון אינו רציף‪.‬‬
‫משוואות מסדר ראשון‬
‫פתרונות מלאים‬
‫‪6‬‬
‫א‪ .‬נשתמש ברמז ונציב ‪ .v(x; t) = u(x; t)et‬אז )‪ vx = etux ,vt = et(ut + u‬ולפי‬
‫הנתון‪ vt + vx = et(ut + ux + u) = 0 ,‬ו )‪ .v(x; 0) = u(x; 0) = g(x‬כלומר ‪ v‬מקיים‬
‫את משוואת העברה ההומוגנית‪ .‬לכן אנו יודעים ש )‪ v(x; t) = g(x t‬ומכאן ש‬
‫‪t):‬‬
‫‪t g (x‬‬
‫‪t) = e‬‬
‫‪t v (x‬‬
‫‪u(x; t) = e‬‬
‫הערה‪ :‬ראינו שפתרון של משוואת העברה זה גל מתקדם )‪t‬‬
‫הוא הגל הדועך ‪.g(x t)e t‬‬
‫ב‪ .‬על סמך סעיף א׳‪,‬‬
‫‪( t‬‬
‫‪e ; x t 0‬‬
‫‪:‬‬
‫= )‪u(x; t‬‬
‫;‪0‬‬
‫‪x t < 0‬‬
‫מכאן ברור שעל הקו ‪t = 0‬‬
‫‬
‫ לוצקי וקרפ‬
‫‪ x‬הפתרון אינו רציף‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ .g(x‬כעת הפתרון‬