1. משוואות מסדר ראשון
משוואות מסדר ראשון מכללת אורט בראודה -המחלקה למתמטיקה משוואות דיפרנציאליות חלקיות וטורי פורייה 11122 יעקב לוצקי ולביא קרפ דף תרגילים מספר 1 משוואות מסדר ראשון .1נתונה הפונקציה jxj; jxj 1 jxj > 1 א .שרטט את הגרף של )t ב .שרטט את הגרף של )2t .2 1 ;0 ( = ).T (x T (xבזמנים t = 1 ,t = 0ו .t = 2 T (xבזמנים t = 1 ,t = 0ו .t = 2 ut + uxנתון על ידי )t א .הראה שפתרון כללי של המשוואה כאשר .f : R1 ! R1 ב .השתמש בסעיף א׳ על מנת לפתור את בעיית ההתחלה = 0 f (x = ),u(x; t ( ut + 2ux = 0 : u(x; 0) = 1+1x2 .3נתונה בעיית התחלה כאשר jxj; jxj 1 jxj > 1 1 ;0 ( ut + 4ux = 0 ; )u(x; 0) = T (x ( = ).T (x א .חשב את הפתרון. 1 ב .מצא את הישרים בהם הפתרון אינו ,Cכלומר ,נגזרות חלקיות מסדר ראשון אינם רציפות. .4נתונה המשוואה 2uy = 0 3ux )(1 א .מצא משפחה של קווים ישרים עליהם הפתרון של ) (1הוא קבוע) .קווים אופייניים( ב .מצא פתרון כללי של המשוואה ).(1 ג .מצא פתרון של המשוואה ) (1שמקיים את תנאי ההתחלה .u(x; 0) = sin x .5התרגיל הזה דן בפתרון של בעיית התחלה לא הומוגנית )ut + ux = f (x; t ; )u(x; 0) = g(x כאשר ) 2 C 1(R2 ) ,g 2 C 1(R1 לוצקי וקרפ fו . > 0 1 ( )(2 משוואות מסדר ראשון א .הראה שאם ) ,w(t) = u(x0 + t; tאז dw (t) = f (x0 + t; t): dt ב .הסק מסעיף א׳ ש f (x0 + s; s)ds: Zt 0 w(t) = g(x0 ) + ג .הסק מסעיפים א׳ וב׳ שאם ) (x; tנמצא על הישר t = x0 s); s) ds (t f (x Zt 0 t) + ,xאז u(x; t) = g(x )(3 פתרון של בעיית התחלה ).(2 .6משוואת העברה עם גורם דעיכה . א .הראה שהפתרון של בעיית ההתחלה ut + ux = u ; )u(x; 0) = g(x ( )(4 כאשר ) g 2 C 1 (R1ו ו קבועים חיוביים ,ניתן על ידי ; t t)e u(x; t) = g(x כלומר ,גל מתקדם דועך. רמז :הצב v = uetוהראה ש vמקיימת את המשוואה vt + vx = 0: ב .נניח כי בזמן t = 0הצינור נקי עבור ,x < 0והצינור מזוהם עם צפיפות ועבור .x 0כלומר uמקיים את בעיית ההתחלה ) (4עם x0 : x<0 ; ;0 ( = )g(x הראה שהפתרון אינו רציף עבור על הישר t = 0 .7נתונה המשוואה =0 uy 3ux א .מצא פתרון כללי של ).(5 ב .פותר את המשוואה ) (5עם תנאי ההתחלה לוצקי וקרפ 2 .x y2 )(5 .u(0; y) = e משוואות מסדר ראשון ג .האם ניתן לפתור את המשוואה ) (5עם תנאי ההתחלה .u(x; 2x) = e14x ד .האם ניתן לפתור את המשוואה ) (5עם תנאי ההתחלה ?u(x; x2 ) = ex .8נתונה המשוואה א. ב. ג. ד. = 1: ux + uy מצא פתרון כללי של ).(6 הראה שלמשוואה ) (6עם תנאי ההתחלה u(x; 2x) = xיש פתרון יחיד. הראה שלמשוואה ) (6עם תנאי ההתחלה u(x; x) = xיש אינסוף פתרונות. הסבר מדוע בסעיף ב׳ יש יחידות ואילו בסעיף ג׳ אין יחידות. לוצקי וקרפ 3 )(6 משוואות מסדר ראשון תשובות 1 א .איור :1אדום ,t = 0כחול ,t = 1ירוק t = 2 ב .איור :2אדום ,t = 0כחול ,t = 1ירוק t = 2 1 = ).u(x; t 2 ב. 3 א.u(x; t) = T (x 4t) . ב .הפונקציה Tאינה גזירה בנקודות x = 0 ,x = 1ו ,x = 1לכן ) u(x; tאינה C 1 לאורך הישרים x 4t = 0 ,x 4t = 1ו .x 4t = 1 y .u(x; y) = sin( 2x+3 א ;2x + 3y = C .ב ;u(x; y) = F (2x + 3y) .ג2 ) . 4 2t)2 1 + (x tg (x 6 אt) . 8 א ,u(x; y) = F (x y) + ax + by .כאשר ;a + b = 1ב;u(x; y) = x . ג ,u(x; y) = F (x y) + x .לכל Fשמקיימת ;F (0) = 0 ד .עקום ההתחלה הוא גם עקום אופייניי. לוצקי וקרפ ;u(x; t) = e ב .על הקו t = 0 4 xהפתרון אינו רציף. משוואות מסדר ראשון פתרונות מלאים 6 א .נשתמש ברמז ונציב .v(x; t) = u(x; t)etאז ) vx = etux ,vt = et(ut + uולפי הנתון vt + vx = et(ut + ux + u) = 0 ,ו ) .v(x; 0) = u(x; 0) = g(xכלומר vמקיים את משוואת העברה ההומוגנית .לכן אנו יודעים ש ) v(x; t) = g(x tומכאן ש t): t g (x t) = e t v (x u(x; t) = e הערה :ראינו שפתרון של משוואת העברה זה גל מתקדם )t הוא הגל הדועך .g(x t)e t ב .על סמך סעיף א׳, ( t e ; x t 0 : = )u(x; t ;0 x t < 0 מכאן ברור שעל הקו t = 0 לוצקי וקרפ xהפתרון אינו רציף. 5 .g(xכעת הפתרון
© Copyright 2024