1. No category

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin
Integraalifunktio
210. a) Jokin integraali funktio on esimerkiksi F ( x) =
b) Kaikki integraalifunktiot F ( x) =
Vastaus: a) F ( x) =
1 2
x − 3x
2
1 2
x − 3x + C , missä C on vakio
2
1 2
1
x − 3x b) F ( x ) = x 2 − 3x + C , C on vakio
2
2
211. Kaikki integraalifunktiot F ( x) = x + C , missä C on vakio
Kysytty integraalifunktio
F ( x) = x + C
F (0) = −1
−1 = 0 + C
C = −1
F ( x) = x + C = x − 1
Vastaus: F ( x) = x − 1
212. Funktio f (x) on funktion g(x) integraalifunktio, jos f '( x) = g ( x) ja funktioilla on
sama määrittelyjoukko.
1
Funktio f ( x) = x 4 + 2 x 2 + π
4
1
1
Derivaatta f ( x) = x 4 + 2 x 2 + π = ⋅ 4 x3 + 2 ⋅ 2 x = x3 + 4 x ≠ g ( x)
4
4
Vastaus: Ei
213. Funktion f ( x) = ln x + e integraalifunktion F (x) kohtaan x = e piirretyn tangentin
kulmakerroin on F '(e) = f (e) = ln e + e = e .
Vastaus: Kulmakerroin on e.
214. Funktion f ( x) = sin x 2 integraalifunktion F (x) kohtaan x =
π
π
) = sin(
π
) 2 = sin
π
2
piirretyn tangentin
= 1 . Tangentti ja normaali ovat
2
2
2
2
kohtisuorassa toisiaan vasten, joten kulmakertoimien tulo on −1. Normaali kulmakerroin on
siis −1.
kulmakerroin on F '(
)= f(
π
Vastaus: −1
147
Integroiminen
1
1
1 3 1
2
1
− ) dx = 2 x 2 dx − 1 dx = 2 ⋅
x − x + C = x3 − x + C
3
3
2 +1
3
3
3
1
1
1 2 1
1
[2 x − ( ) 2 ] dx = 2 x dx −
1 dx = 2 ⋅
x − x + C = x2 − x + C
3
9
1+1
9
9
215. a)
b)
∫
∫ (2 x
∫
2
∫
∫
∫
c)
1
∫ (2 x − 3 ) dx = ∫ (4 x
2
Vastaus: a)
216. a)
b)
c)
∫
∫
∫
3
2
−
4
1
1 3 4 1 2 1
4
2
1
x + ) dx = 4 ⋅
x − ⋅
x + x + C = x3 − x 2 + x + C
3
9
2 +1
3 1+1
9
3
3
9
2 3 1
x − x+C
3
3
8 x 2 dx = 2
∫
3
b) x 2 −
∫
∫
7
x
x4
dx =
Vastaus: a)
∫
1 4
−
x3 7
∫
2
b)
1+
1
2
+1
3
x
2
3
+C =
6
x x3 + C
5
1 3
4
x + C = x3 + C
2 +1
3
dx = x
6
x x3 + C
5
4 3 2 2 1
x − x + x+C
3
3
9
c)
x 2 dx = 2 x 3 dx = 2 ⋅
16 x 4 dx = 4 x 2 dx = 4 ⋅
3
1
x+C
9
−
5
21
5
− +1
1
21 x
dx =
x 21 + C =
+C
5
1621 x5
− +1
21
4 3
x +C
3
c)
21 x
1621 x5
+C
217. a)
1
1
1 3
1
1
x − 2x −
x −2+1 + C = x3 − 2 x
( x − ) 2 dx = ( x 2 − 2 − 2 ) dx = x 2 dx − 2 1 dx − x −2 dx =
x
−2 + 1
2 +1
3
x
∫
b)
∫
∫
∫
π
∫
π
∫ sin( 2 ) cos x dx = ∫ cos xdx = sin x + C , koska sin( 2 ) = 1
Vastaus: a)
1 3
1
x − 2x +
+C
3
2x
b) sin x + C
148
218.
∫ [sin( 2 ) + cos( 2 )] dx = ∫ (sin 2 + 2sin 2 cos 2 + cos
x
= ∫ [1 + sin(2 ⋅ )] dx
2
= ∫ 1 dx + ∫ sin x dx
x
x
2
2
x
x
x
x
)dx
2
2
sin 2 α + cos 2 α = 1, 2sin α cos α =
= x − cos x + C
Vastaus: x − cos x + C
219. Kaikki integraalifunktiot F ( x) =
1
∫ f ( x) dx = ∫ ex dx = e ⋅ 2 x
2
+C =
1 2
ex + C
2
Kysytty integraalifunktio
F ( x) =
1 2
ex + C
2
F (ln
Ne) = e
=1
1
e ⋅12 + C = e
2
1
C= e
2
1 2
1 2 1
F ( x ) = ex + C = ex + e
2
2
2
1
1
Vastaus: F ( x) = ex 2 + e
2
2
220. Kaikki integraalifunktiot F ( x) =
∫ f ( x) dx = ∫ cos x dx = sin + C
Kysytty integraalifunktio
F ( x) = sin x + C
sin
π
3
+C =
1
2
π
1
F( ) =
3
2
sin
π
3
=
3
2
1
3
C= −
2 2
1
3
−
2 2
1
1
Vastaus: F ( x ) = ex 2 + e
2
2
F ( x ) = sin x + C = sin x +
Yhdistetyn funktion ja paloittain määritellyn funktion integraalifunktio
221. Integroidaan
149
1
1 1
1
6(6 x + 14)5 dx = ⋅ (6 x + 14)6 + C = (6 x + 14)6 + C
∫
6
6 6
36
1
1
1
1
b) ∫ x 2 ( x 3 + 5)6 dx = ∫ 3 x 2 ( x3 + 5)6 dx = ⋅ ( x3 + 5)7 + C = ( x3 + 5)7 + C
3
3 7
21
1
1
1
1
1
+C
dx = ∫ 2(2 x + 5) −4 dx = ⋅ (2 x + 5) −3 + C = −
c) ∫
4
(2 x + 5)
2
2 −3
6(2 x + 5)3
a) ∫ (6 x + 14)5 dx =
1
1
−
1
1 1
2
3x 2 (1 + x 3 ) 2 dx = ⋅ (1 + x 3 ) 2 + C =
1 + x3 + C
∫
3
1
3
3
3
1+ x
2
1
1 3
1
6
(6 x + 14) + C b)
( x + 5)7 + C c) −
+C
Vastaus: a)
36
6(2 x + 5)3
21
x 2 dx
d)
∫
d)
2
1 + x3 + C
3
=
222. Integroidaan.
1
1
1
⎛ 1⎞
7e7 x dx + ⎜ − ⎟ ∫ (−7e−7 x )dx = e7 x − e −7 x + C
∫
7
7
7
⎝ 7⎠
2
2
2
1
1
1
1
⎛
⎞
b) ∫ ( xe x + e −3 x )dx = ∫ 2 xe x dx + ⎜ − ⎟ ∫ (−3e −3 x )dx = e x − e−3 x + C
2
2
3
⎝ 3⎠
a) ∫ (e7 x + e −7 x )dx =
5 + e2 x
5
⎛ 1⎞
dx = ∫ (5e −2 x + 1)dx = 5 ⋅ ⎜ − ⎟ ∫ (−2e−2 x )dx + ∫ 1dx = − e−2 x + x + C
2
2
e2 x
⎝
⎠
1
1
1 2 1
5
Vastaus: a) e7 x − e −7 x + C b) e x − e −3 x + C c) − e −2 x + x + C
7
7
2
3
2
c)
∫
223. Integroidaan.
1
1
1
1
5sin 5 xdx + ∫ 5cos 5 xdx = − cos 5 x + sin 5 x + C
5∫
5
5
5
1
⎛ 1⎞
b) ∫ [sin(2 x + π ) − cos(2π − 4 x) ] dx = ∫ 2sin(2 x + π )dx − ⎜ − ⎟ ∫ [ −4 cos(2π − 4 x) ] dx
2
⎝ 4⎠
1
1
= − cos(2 x + π ) + sin(2π − 4 x) + C
2
4
sin x
1
1
−3
dx = − ∫ − sin x cos xdx = − cos −2 x + C =
c) ∫
+C
cos3 x
2 cos 2 x
−2
1
1
1
1
Vastaus: a) − cos 5 x + sin 5 x + C b) − cos(2 x + π ) + sin(2π − 4 x) + C
2
4
5
5
1
c)
+C
2 cos 2 x
a) ∫ (sin 5 x + cos 5 x)dx =
224. Integroidaan.
2
1
dx = 2 ∫
dx = 2 ln x + 11 + C
a) ∫
x + 11
x + 11
150
x
1
6x
1
dx = ∫ 2
dx = ln 3 x 2 − 4 + C
−4
6 3x − 4
6
x4 + x2 − 3
1
3
1⎞
⎛
⎞
⎛
dx = ∫ ⎜ x + − 3 ⎟ dx = ∫ ⎜ x + ⎟ dx − ∫ 3 x −3 dx
c) ∫
3
x x ⎠
x⎠
x
⎝
⎝
1
1 −2
1
3
x + C = x 2 + ln x + 2 + C
= x 2 + ln x − 3 ⋅
2
2
2x
−2
1
1
3
Vastaus: a) 2 ln x + 11 + C b) ln 3x 2 − 4 + C c) x 2 + ln x + 2 + C
6
2
2x
b)
∫ 3x
2
3x + 7
dx
3x − 2
Suoritetaan jakolasku
225. a) Integraali ∫
Integroidaan
3x + 7
9 ⎞
3
⎛
∫ 3x − 2 dx = ∫ ⎜⎝1 − 3x − 2 ⎟⎠ dx = ∫ 1dx + 3∫ 3x − 2 dx = x + 3ln 3x − 2 + C
x 2 + 3x + 1
dx
x+3
Suoritetaan jakolasku
b) Integraali ∫
Integroidaan
x 2 + 3x + 1
1 ⎞
1 2
⎛
∫ x + 3 dx = ∫ ⎜⎝ x + x + 3 ⎟⎠ dx = 2 x + ln x + 3 + C
c)
6 x3 + 2 x 2 + 5 x + 4
dx
∫
3x − 2
Suoritetaan jakolasku
Integroidaan
Vastaus: a) x + 3ln 3 x − 2 + C
c)
b)
1 2
x + ln x + 3 + C
2
2 3
10
x + x 2 + 3x + ln 3x − 2 + C
3
3
226. Funktio f(x) = x3 + sin 3x
1
1
1
3sin 3 xdx = x 4 − cos 3 x + C
∫
3
4
3
Integraalifunktio, jonka kuvaaja kulkee pisteen (0,2) kautta.
F(0) = 2
Integraalifunktio F ( x) = ∫ ( x 3 + sin 3x)dx = ∫ x3 dx +
151
1 4 1
⋅ 0 − cos(3 ⋅ 0) + C = 2
4
3
7
C=
3
1
1
7
Kysytty integraalifunktio F ( x) = x 4 − cos 3 x +
4
3
3
1
1
7
Vastaus: Kysytty integraalifunktio on F ( x) = x 4 − cos 3x + .
4
3
3
⎧−5 x + 10, kun x < 2
227. Funktio f ( x ) = 5 x − 10 = ⎨
⎩5 x − 10, kun x ≥ 2
Jatkuvan funktion itseisarvofunktio on jatkuva, joten sillä on integraalifunktio.
⎧ 5 2
⎪⎪− 2 x + 10 x + C1 , kun x < 2
Integraalifunktio F ( x) = ∫ f ( x)dx = ⎨
⎪ 5 x 2 − 10 x + C , kun x ≥ 2
2
⎪⎩ 2
Integraalifunktio on jatkuva kaikkialla, joten
F (2) = lim− F ( x) = lim+ F ( x)
x→2
x →2
5 2
5
5
⋅ 2 − 10 ⋅ 2 + C2 = − ⋅ 22 + 10 ⋅ 2 + C1 = ⋅ 22 − 10 ⋅ 2 + C2
2
2
2
5 2
5 2
⋅ 2 − 10 ⋅ 2 + C2 = − ⋅ 2 + 10 ⋅ 2 + C1
2
2
C2 = C1 + 20
Merkitään C1 = C.
⎧ 5 2
⎪⎪− 2 x + 10 x + C , kun x < 2
Integraalifunktio F ( x) = ⎨
⎪ 5 x 2 − 10 x + 20 + C , kun x ≥ 2
⎪⎩ 2
missä C on integroimisvakio.
⎧ 5 2
⎪⎪− x + 10 x + C , kun x < 2,
Vastaus: Integraalifunktio on F ( x) = ⎨ 2
⎪ 5 x 2 − 10 x + 20 + C , kun x ≥ 2.
⎪⎩ 2
⎧−4 x + 12, kun x ≥ 3
228. Funktio f ( x ) = 4 x − 12 = ⎨
⎩4 x − 12, kun x ≥ 3
Jatkuvan funktion itseisarvofunktio on jatkuva, joten sillä on integraalifunktio.
2
⎧−
⎪ 2 x + 12 x + C1 , kun x < 3
Integraalifunktio F ( x ) = ∫ f ( x)dx = ⎨ 2
⎪⎩2 x − 12 x + C2 , kun x ≥ 3
Integraalifunktio on jatkuva kaikkialla, joten
152
F (3) = lim− F ( x) = lim+ F ( x)
x →3
x →3
2 ⋅ 32 − 12 ⋅ 3 + C2 = −2 ⋅ 32 + 12 ⋅ 3 + C1 = 2 ⋅ 32 − 12 ⋅ 3 + C2
2 ⋅ 32 − 12 ⋅ 3 + C2 = −2 ⋅ 32 + 12 ⋅ 3 + C1
C2 = C1 + 36
Merkitään C1 = C.
2
⎧−
⎪ 2 x + 12 x + C , kun x < 3
Integraalifunktio F ( x ) = ⎨ 2
⎪⎩2 x − 12 x + 36 + C , kun x ≥ 3
missä C on integroimisvakio.
Integraalifunktio F, joka täyttää ehdon F(–2) = 0.
−2 ⋅ (−2) 2 + 12 ⋅ (−2) + C = 0
C = 32
2
⎪⎧−2 x + 12 x + 32, kun x < 3
Kysytty integraalifunktio F ( x) = ⎨ 2
⎪⎩2 x − 12 x + 44, kun x ≥ 3
2
⎪⎧−2 x + 12 x + 32, kun x < 3,
Vastaus: Integraalifunktio on F ( x ) = ⎨ 2
⎪⎩2 x − 12 x + 68, kun x ≥ 3.
⎧2 x + 2, kun x < 0
229. Funktio f : \ → \ , f ( x ) = ⎨ 3 x
⎩e + 1, kun x ≥ 0
R|x + 2 x + C , x < 0
Integraalifunktio F b x g = S 1
|T 3 e + x + D , x ≥ 0
2
3x
bg
Integraalifunktio, jonka kuvaaja kulkee pisteen (1,2) eli se toteuttaa ehdon F 1 = 2 , joten
1
D = 1 − e3 .
3
Koska integraalifunktio on jatkuva niin F 0 = lim F x = lim F x , josta seuraa, että
bg
C = D+
x → 0+
1
.
3
4 1 3
⎧ 2
⎪⎪ x + 2 x + 3 − 3 e , kun x < 0
Vastaus: F ( x ) = ⎨
⎪ 1 e3 x + x + 1 − 1 e3 , kun x ≥ 0
⎪⎩ 3
3
Määrätty integraali
230. Lasketaan integraalit.
3
3 1
1
⎛
⎞
a) ∫ (2 x 3 + x 2 + 5)dx = / ⎜ x 4 + x 3 + 5 x ⎟
−2 2
3
⎝
⎠
−2
153
bg
x → 0−
bg
=
3
b)
1 4 1 3
1
1
⎛1
⎞
⋅ 3 + ⋅ 3 + 5 ⋅ 3 − ⎜ ⋅ (−2) 4 + ⋅ (−2)3 + 5 ⋅ (−2) ⎟ = 69
2
3
3
6
⎝2
⎠
3
1
1 3 ⎛1
⎞
2(2 x + 1) 2 dx = / ⎜ (2 x + 1)3 ⎟
∫
2 −2
2 −2 ⎝ 3
⎠
1 ⎡1
1
2
⎤
= ⎢ (2 ⋅ 3 + 1)3 − (2 ⋅ (−2) + 1)3 ⎥ = 61 väärin
2 ⎣3
3
3
⎦
2
∫ (2 x + 1) dx =
−2
9
9
9
1
9⎛ 1
⎞
2 3
c) ∫ ( x + 2) 2 dx = ∫ ( x + 4 x + 4)dx = ∫ ( x + 4 x 2 + 4)dx = / ⎜ x 2 + 4 ⋅ x 2 + 4 x ⎟
1 2
3
⎝
⎠
1
1
1
⎛1
⎞
1 2
2 3
2 3
1
⋅ 9 + 4 ⋅ ⋅ 9 2 + 4 ⋅ 9 − ⎜ ⋅1 2 + 4 ⋅ ⋅12 + 4 ⋅ 1⎟ = 141 väärin laskettu
2
3
3
3
⎝2
⎠
=
Vastaus: a) 69
1
2
b) 61
6
3
c) 141
1
3
231. Lasketaan integraalit.
4
4
1
1 4 ⎡1
1
⎤ 1 ⎡1
⎤
a) ∫ (3 x − 4) 2 dx = ∫ 3(3x − 4) 2 dx = / ⎢ (3 x − 4)3 ⎥ = ⎢ (3 ⋅ 4 − 4)3 − (3 ⋅1 − 4)3 ⎥ = 57
1 3
3
3
3
3
3
⎣
⎦
⎣
⎦
1
1
3
3
3
3
3
3 ⎛ 3⎞
⎛ 3⎞
−2
−1
∫1 x 2 dx = ∫1 3x dx = 1/ ( −3x ) = /1 ⎜⎝ − x ⎟⎠ = − 3 − ⎜⎝ − 1 ⎟⎠ = 2
Vastaus: a) 57 b) 2
b)
1
x 2 − 3x + 5
∫0 x + 1 dx
Suoritetaan jakolasku
232. a) Integraali
Integroidaan
1 2
1
1 1
x − 3x + 5
9 ⎞
⎛
⎛ 2
⎞
=
dx
∫0 x + 1
∫0 ⎜⎝ x − 4 + x + 1 ⎟⎠ dx = /0 ⎜⎝ 2 x − 4 x + 9 ln x + 1 ⎟⎠
1
1
⎛1
⎞
= ⋅12 − 4 ⋅1 + 9 ln 1 + 1 − ⎜ ⋅ 02 − 4 ⋅ 0 + 9 ln 0 + 1 ⎟ = −3 + 9 ln 2
2
2
⎝2
⎠
ln 2
b)
∫
(e 2 x + e − x )dx =
0
1
2
ln 2
∫
0
ln 2
2e 2 x dx + (−1) ∫ −1e − x dx =
0
1 ln 2 2 x ln 2 − x
/ e − / e
0
2 0
=
(
) (
)
2
−1
1 2 ln 2 2⋅0
( e − e ) − ( e− ln 2 − e−0 ) = 12 eln 2 − 1 − eln 2 − 1 = 12 (4 − 1) − ⎛⎜⎝ 12 − 1⎞⎟⎠ = 2
2
5
5
5
0
0
0
5
c) ∫ ( x − 5 + x)dx = ∫ (− x + 5 + x)dx = ∫ 5dx = / 5 x = 5 ⋅ 5 − 5 ⋅ 0 = 25
0
1
Vastaus: a) −3 + 9 ln 2 b) 2 c) 25
2
154
233. Lasketaan integraalit.
4
4
1
1
4⎛
−
⎞
6x
dx = 3∫ 2 x ( x 2 + 9) 2 dx = 3 / ⎜ 2( x 2 + 9) 2 ⎟
a) ∫
2
0
x +9
⎝
⎠
0
0
4
= 6 / x2 + 9 = 6
0
b)
π
π
3
3
∫ cos 2 x sin xdx = ∫ (2 cos
0
(
)
42 + 9 − 02 + 9 = 12
π
3
π
3
x − 1) sin xdx = −2 ∫ − sin x cos xdx − ∫ sin xdx
2
0
2
0
0
=
π
π
π 1
π
1
⎛1
⎞ 3
⎛1
⎞
−2 / ⎜ cos3 x ⎟ − / ( − cos x ) = −2 ⎜ cos3 − cos3 0 ⎟ + cos − cos 0 =
0 3
0
3
3
3
3
12
⎝
⎠
⎝
⎠
1
Vastaus: a) 12 b)
12
3
234. Ratkaistaan yhtälö
a
1
∫ ( x − 3)dx = 7 2
2
1
⎛1
⎞
/ ⎜ x 2 − 3x ⎟ = 7
2 2
2
⎝
⎠
1 2
1
⎛1
⎞
a − 3a − ⎜ ⋅ 22 − 3 ⋅ 2 ⎟ = 7
2
2
⎝2
⎠
1 2
15
⋅2
a − 3a + 4 =
2
2
a 2 − 6a − 7 = 0
a
−(−6) ± (−6) 2 − 4 ⋅1 ⋅ (−7)
2 ⋅1
6 − 64
a1 =
= −1
2
6 + 64
a2 =
=7
2
a=
Vastaus: Vakio a on –1 tai 7.
155
235. Ratkaistaan t yhtälöstä.
3
⎛ 2x ⎞
− 1⎟ dx = 6
3
4
⎠
1
t
∫ ⎜⎝
1
2
t
3
⎛1
⎞
/ ⎜ x2 − x ⎟ = 6
1 3
4
1 ⎝
⎠
2
⎛ 1 ⎛ 3 ⎞ 2 3 ⎞ 27
1 2
t − t − ⎜ ⋅⎜ ⎟ − ⎟ =
⎜3 ⎝2⎠ 2⎟ 4
3
⎝
⎠
1 2
t −t −6 = 0
3
t 2 − 3t − 18 = 0
⋅3
− (−3) ± (−3) 2 − 4 ⋅1 ⋅ (−18)
2 ⋅1
3 − 81
t1 =
= −3
2
3 + 81
=6
t2 =
2
t=
Vastaus: Vakion t arvoilla –3 ja 6.
⎧ x + 5, kun − 5 ≤ x ≤ 4
⎪
236. Funktio f ( x) = ⎨ a
on jatkuva kohdassa x = 4, kun funktion
, kun x > 4
⎪
⎩ x
arvo kohdassa x = 4 on yhtä suuri kuin funktion raja-arvo tässä kohdassa.
f (4) = lim− f ( x) = lim+ f ( x)
x→4
x →4
4+5 = 4+5 =
a
9=
2
a=6
a
4
⋅2
⎧ x + 5, kun − 5 ≤ x ≤ 4
⎪
Funktio f ( x) = ⎨ 6
, kun x > 4
⎪
⎩ x
Kuvaaja
y
4
3
2
1
–5 –4 –3 –2 –1
–1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 x
156
Integraali
9
∫
4
f ( x)dx =
−4
4
9
1
1
3
1
4 ⎡2
−
⎤ 9⎡
⎤
dx = ∫ ( x + 5) 2 dx + ∫ 6 x 2 dx = / ⎢ ( x + 5) 2 ⎥ + / ⎢6 ⋅ 2 x 2 ⎥
4
4
−
x
⎣3
⎦ ⎣
⎦
4
−4
9
∫
−4
6
x + 5dx + ∫
4
3
1
3
3
1
1
⎡2
⎤ 9⎡
⎤ 2
2
1
= / ⎢ ( x + 5) 2 ⎥ + / ⎢12 x 2 ⎥ = (4 + 5) 2 − (−4 + 5) 2 + 12 ⋅ 9 2 − 12 ⋅ 4 2 = 29
4
−4 3
3
3
3
⎣
⎦ ⎣
⎦
4
1
Vastaus: Vakio a = 6. Integraalin arvo on 29 .
3
x
237. Funktio F(x) = ∫ 2t + 8 dt
0
⎧−2t − 8, kun x < −4
Poistetaan itseisarvomerkit 2t + 8 = ⎨
⎩2t + 8, kun x ≥ −4
1° Kun x < –4
x
−4
x
0
0
−4
−4
x
0
−4
Integraali F(x) = ∫ 2t + 8 dt = ∫ (2t + 8)dt + ∫ (−2t − 8)dt = / (t 2 + 8t ) + / (−t 2 − 8t )
= (−4) 2 + 8 ⋅ (−4) − 0 + (− x 2 − 8 x) − ⎡⎣ −(−4) 2 − 8 ⋅ (−4) ⎤⎦ = − x 2 − 8 x − 32
2° Kun x ≥ –4
x
x
x
Integraali F(x) = ∫ 2t + 8 dt = ∫ (2t + 8)dt = /(t 2 + 8t ) = x 2 + 8 x
0
0
0
⎧−
⎪ x − 8 x − 32, kun x < −4
Integraalifunktio F(x) = ⎨ 2
⎪⎩ x + 8 x, kun x ≥ −4
Piirretään funktion kuvaaja.
2
y
40
30
20
10
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
–10
1
2
3
4
x
–20
–30
–40
2
⎪⎧− x − 8 x − 32, kun x < −4,
Vastaus: Integraalifunktio on F(x) = ⎨ 2
⎪⎩ x + 8 x, kun x ≥ −4.
238. Määritetään derivaatta x:n suhteen.
x2
(
)
a) D ∫ (et + t 2 )dt = 2 x e x + ( x 2 ) 2 = 2 xe x + 2 x5
0
2
2
157
x
x
x
⎡0
⎤
⎡ 2x
⎤
b) D ∫ (et + t 2 )dt = D ⎢ ∫ (et + t 2 )dt + ∫ (et + t 2 )dt ⎥ = D ⎢ − ∫ (et + t 2 )dt + ∫ (et + t 2 )dt ⎥
2x
0
0
⎣⎢ 2 x
⎦⎥
⎣⎢ 0
⎦⎥
2
2
2
= −2 ⎡⎣e 2 x + (2 x) 2 ⎤⎦ + 2 x ⎡ e x + ( x 2 ) 2 ⎤ = −2e2 x − 2(2 x) 2 + 2 xe x + 2 x5
⎣
⎦
2
2
2
= 2 xe x − 2e 2 x + 2 x5 − 8 x 2
2
2
Vastaus: a) 2 xe x + 2 x5 b) 2 xe x − 2e 2 x + 2 x 5 − 8 x 2
t2 +1
239. Merkitään F(t)= ∫ t 2 + 1 dt , jolloin F'(t) =
Funktio f ( x ) = F ( 3x ) − F ( x )
bg
bg
Derivaatta f ' x = 3F '( 3x ) − F ' x = 3
( 3x )
2
+ 1 − x 2 + 1 > 0 kaikilla reaaliluvuilla,
joten funktio f on aidosti kasvava kaikilla reaaliluvuilla eikä sillä ole ääriarvoja.
Vastaus: f ' ( x ) = 3
( 3x )
2
+ 1 − x 2 + 1 , funktiolla f ei ole ääriarvoja
Pinta-ala
240. a) Käyrä y = 6x2 + 5x + 1
y
y = 6x2 + 5x + 1
2
1
–1
1
2
x
Integroimisrajat 6x2 + 5x + 1 = 0
−5 ± 52 − 4 ⋅ 6 ⋅1
2⋅6
−5 − 1
1
x1 =
=−
12
2
1
−5 + 1
x2 =
=−
12
3
Korkeus h(x) = 0 – (6x2 + 5x + 1) = –6x2 – 5x – 1
Pinta-ala
x=
158
−
b
A=
1
3
−
∫ h( x)dx = ∫ (−6 x
a
−
1
2
2
1
3
5
⎛
⎞
− 5 x − 1)dx = / ⎜ −2 x 3 − x 2 − x ⎟
1
2
− ⎝
⎠
2
3
2
3
2
1
⎛ 1⎞ 5 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎡
⎛ 1 ⎞ 5 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎤
= −2 ⋅ ⎜ − ⎟ − ⋅ ⎜ − ⎟ − ⎜ − ⎟ − ⎢ −2 ⋅ ⎜ − ⎟ − ⋅ ⎜ − ⎟ − ⎜ − ⎟ ⎥ =
⎝ 3 ⎠ 2 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎣⎢
⎝ 2 ⎠ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ 216
b) Käyrä y = x3 – x
y
4
3
y = x3 – x
2
1
h1(x)
–1
1
x
2
h2(x)
–1
Integroimisrajat
x3 – x = 0
x (x2 – 1) = 0
x =0
tai
x2 – 1 = 0
x = ±1
Korkeus h1(x) = x3 – x – 0 = x3 – x
Korkeus h2(x) = 0 – (x3 – x) = –x3 + x
Pinta-ala
0
1
0 1
⎛ 4 1 2 ⎞ 1⎛ 1 4 1 2 ⎞
3
3
∫a h( x)dx = −∫1 ( x − x)dx + ∫0 (− x + x)dx = −/1 ⎜⎝ 4 x − 2 x ⎟⎠ + 0/ ⎜⎝ − 4 x + 2 x ⎟⎠
1
1 ⎞
1
⎛1
⎞ ⎛ 1
= 0 − ⎜ ⋅ (−1) 4 − ⋅ (−1) 2 ⎟ + ⎜ − ⋅14 + ⋅12 ⎟ − 0 =
4
2
4
2
2
⎝
⎠ ⎝
⎠
1
1
Vastaus: Pinta-ala on a)
b) .
216
2
b
A=
159
241. Suora y = 4x + 9
Paraabeli y = 3x2 – 2x
y
22
20
18
16
14
12
10
8
h(x)
6
4
2
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
x
Integroimisrajat
⎧ y = 3x 2 − 2 x
⎨
⎩ y = 4x + 9
2
3x − 2 x = 4 x + 9
3x 2 − 6 x − 9 = 0
:3
x2 − 2x − 3 = 0
−(−2) ± (−2) 2 − 4 ⋅1 ⋅ (−3)
2 ⋅1
2 − 16
= −1
x1 =
2
2 + 16
x2 =
=3
2
2
Korkeus h(x) = 4x + 9 – (3x – 2x) = –3x2 + 6x + 9
Pinta-ala
x=
b
A=
3
∫ h( x)dx = ∫ (−3x
a
2
+ 6 x + 9)dx = / ( − x3 + 3x 2 + 9 x )
−1
3
−1
= −33 + 3 ⋅ 32 + 9 ⋅ 3 − ⎡⎣ −(−1)3 + 3 ⋅ (−1) 2 + 9 ⋅ (−1) ⎤⎦ = 32
Vastaus: Pinta-ala on 32.
160
242. Käyrä x2 + y = 3
y = –x2 + 3
Suora x + y = 1
y = –x + 1
y
4
3
2
1
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
x
–1
–2
Integroimisrajat
⎧ y = − x2 + 3
⎨
⎩ y = −x +1
2
−x + 3 = −x +1
x2 − x − 2 = 0
−(−1) ± (−1) 2 − 4 ⋅1 ⋅ (−2)
2 ⋅1
1− 9
= −1
x1 =
2
1+ 9
=2
x2 =
2
2
Korkeus h(x) = –x + 3 – (–x + 1) = –x2 + x + 2
Pinta-ala
b
2
2
1
⎛ 1
⎞
A = ∫ h( x)dx = ∫ (− x 2 + x + 2)dx = / ⎜ − x3 + x 2 + 2 x ⎟
−1
3
2
⎝
⎠
a
−1
x=
1
1
1
1
⎡ 1
⎤
= − ⋅ 23 + ⋅ 22 + 2 ⋅ 2 − ⎢ − ⋅ (−1)3 + ⋅ (−1) 2 + 2 ⋅ (−1) ⎥ = 4
3
2
2
2
⎣ 3
⎦
1
Vastaus: Pinta-ala on 4 .
2
161
243. Paraabeli x = 2y2 + 4y + 3
Suora x = 3y + 4
y
4
3
2
1
–1
–1
1
2
4
3
5
6
7
8
9
x
–2
–3
–4
Integroimisrajat
⎧x = 2 y2 + 4 y + 3
⎨
⎩x = 3y + 4
2y2 + 4y + 3 = 3y + 4
2y2 + y – 1 = 0
−1 ± 12 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−1)
2⋅2
−1 − 9
= −1
y1 =
4
−1 + 9 1
=
y2 =
4
2
2
Korkeus h(y) = f(y) – g(y) = 3y + 4 – (2y + 4y + 3) = –2y2 – y + 1
Paraabelin ja x-akselin väliin jäävän segmentin ala
y=
1
2
1
2
1
⎛ 2
⎞
A = ∫ h( y )dy = ∫ (−2 y − y + 1)dy = / ⎜ − y 3 − y 2 + y ⎟
−1
3
2
⎝
⎠
a
−1
b
3
2
2
2 ⎛1⎞ 1 ⎛1⎞ 1 ⎡ 2
1
1
⎤
= − ⋅ ⎜ ⎟ − ⋅ ⎜ ⎟ + − ⎢ − ⋅ (−1)3 − ⋅ (−1) 2 + (−1) ⎥ = 1
3 ⎝2⎠ 2 ⎝2⎠ 2 ⎣ 3
2
8
⎦
1
Vastaus: Ala on 1 .
8
244. Funktio f(x) = x2 – 1
Derivaatta f ′(x) = 2x
Integraalifunktio F(x) =
∫ f ( x)dx = ∫ ( x
2
− 1)dx =
⎛ 2⎞
Käyrä y = F(x) kulkee pisteen ⎜ 2, ⎟ kautta.
⎝ 3⎠
162
1 3
x − x+C
3
2
3
1 3
2
⋅2 − 2+C =
3
3
C=0
1 3
Integraalifunktio F(x) = x − x
3
F (2) =
y
8
6
4
2
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
x
–2
–4
–6
–8
Integroimisrajat
1 3
⎧
⎪y = x − x
3
⎨
⎪⎩ y = 2 x
1 3
x − x = 2x
3
1 3
x − 3x = 0
3
1
x( x 2 − 3) = 0
3
x=0
tai
1 2
x −3 = 0
3
x2 = 9
x = ±3
Kuvaajat ovat symmetriset y-akselin suhteen.
1
⎛1
⎞
Korkeus h(x) = 2 x − ⎜ x3 − x ⎟ = − x3 + 3 x
3
⎝3
⎠
Pinta-ala
b
3
3
3 ⎞
3
1
⎛ 1
⎞
⎛ 1
⎡ 1
⎤
A = 2∫ h( x)dx = 2 ∫ ⎜ − x 3 + 3 x ⎟ dx = 2 / ⎜ − x 4 + x 2 ⎟ = 2 ⎢ − ⋅ 34 + ⋅ 32 − 0 ⎥ = 13
0
3
2 ⎠
2
2
⎠
⎝ 12
⎣ 12
⎦
a
0⎝
1
Vastaus: Ala on 13 .
2
163
245. Käyrät y = 4 – x2 ja y = 1 −
x2
4
y
4
3
2
1
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
x
–1
–2
Integroimisrajat
⎧ y = 4 − x2
⎪
⎨
x2
⎪ y = 1−
4
⎩
2
x
4 − x2 = 1 −
4
3 2
4
x =3 ⋅
4
3
x2 = 4
x=±
Kuvaajat ovat symmetriset y-akselin suhteen.
⎛ x2 ⎞
3
Korkeus h(x) = 4 − x 2 − ⎜1 − ⎟ = − x 2 + 3
4 ⎠
4
⎝
Pinta-ala
2
2
⎛ 3
⎞
⎛ 1
⎞
⎡ 1
⎤
A = 2∫ h( x)dx = 2 ∫ ⎜ − x 2 + 3 ⎟ dx = 2 / ⎜ − x3 + 3x ⎟ = 2 ⎢ − ⋅ 23 + 3 ⋅ 2 − 0 ⎥ = 8
0
4
⎠
⎝ 4
⎠
⎣ 4
⎦
0⎝
a
Vastaus: Ala on 8.
b
246. Paraabeli y = 2x2 – x + 2 sekä suorat y = 0, x = a ja x = a + l
y
4
3
2
1
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
x
–1
164
Integroimisrajat x = a ja x = a + l
Korkeus h(x) = 2x2 – x + 2 – 0 = 2x2 – x + 2
Pinta-ala
b
a +1
a +1 2
1
⎛
⎞
A(a) = ∫ h( x)dx = 2 ∫ ( 2 x 2 − x + 2 ) dx = / ⎜ x3 − x 2 + 2 x ⎟
a
2
⎝3
⎠
a
a
2
1
1
13
⎡2
⎤
(a + 1)3 − (a + 1) 2 + 2(a + 1) − ⎢ a 3 − a 2 + 2a ⎥ = 2a 2 + a +
3
2
2
6
⎣3
⎦
Alan pienin arvo
Derivaatta A′(a) = 4a +1
Derivaatan nollakohta A′(a) = 0
4a +1 = 0
1
a=−
4
Kulkukaavio
=
1
–
4
A′(a)
a
A(a)
min
2
1
⎛ 1⎞
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 13
Pienimmän alueen pinta-ala A ⎜ − ⎟ = 2 ⋅ ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + = 2
24
⎝ 4⎠
⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ 6
1
1
.
Vastaus: Ala on pienin vakion arvolla a = − . Ala on 2
24
4
y2 = 2x + l
1
1
x = y2 −
2
2
Suora x – y – l = 0
x=y+l
Piirretään kuvio.
247. Käyrä
y
4
3
2
1
–4 –3 –2 –1
–1
1
2
3
4
5
6
7
x
–2
–3
–4
Integroimisrajat
165
⎧ y2 = 2x +1
⎨
⎩x = y +1
y2 = 2(y + 1) + 1
2
y – 2y – 3 = 0
−(−2) ± (−2) 2 − 4 ⋅1 ⋅ (−3)
2 ⋅1
2 − 16
y1 =
= −1
2
2 + 16
y2 =
=3
2
1⎞
1
3
⎛1
Korkeus h(y) = f(y) – g(y) = y + 1 − ⎜ y 2 − ⎟ = − y 2 + y +
2⎠
2
2
⎝2
Paraabelin ja x-akselin väliin jäävän segmentin ala
b
3
3
3⎞
1
3 ⎞
⎛ 1
⎛ 1
A = ∫ h( y )dy = ∫ ⎜ − y 2 + y + ⎟ dy = / ⎜ − y 3 + y 2 + y ⎟
−1
2
2
6
2
2 ⎠
⎠
⎝
a
−1 ⎝
1
1
3
1
3
1
⎡ 1
⎤
= − ⋅ 33 + ⋅ 32 + ⋅ 3 − ⎢ − ⋅ (−1)3 + ⋅ (−1) 2 + ⋅ (−1) ⎥ = 5
6
2
2
2
2
3
⎣ 6
⎦
1
Vastaus: Ala on 5 .
3
y=
248. Käyrät y = e3x ja y = ex
Suora y = e3
y
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
–2
–1
1
2
3
4
5
6
x
Integroimisrajat
⎧⎪ y = e3 x
⎨
3
⎪⎩ y = e
e3x = e3
x=1
166
⎧⎪ y = e x
⎨
3
⎪⎩ y = e
ex = e3
x=3
Korkeus h1(x) = e3x – ex
Korkeus h2(x) = e3 – ex
Pinta-ala
1
3
1 1
3
⎛ 3x
x
x
x ⎞
x
3x
3
3
∫a h( x)dx = ∫0 (e − e )dx + ∫1 (e − e )dx = /0 ⎜⎝ 3 e − e ⎟⎠ + 1/ ( e x − e )
1
4
2
⎛1
⎞
= e3⋅1 − e1 − ⎜ e3⋅0 − e0 ⎟ + e3 ⋅ 3 − e3 − ( e3 ⋅1 − e1 ) = e3 + ≈ 27, 45
3
3
3
3
⎝
⎠
4
2
Vastaus: Ala on e3 + ≈ 27, 45 .
3
3
b
A=
⎡ π 9π ⎤
249. Käyrät y = sin x ja y = cos x välillä ⎢ , ⎥
⎣4 4 ⎦
y
2
1
–2π
π
–π
2π
x
–1
Integroimisrajat
sin x = cos x
tan x = 1
tan x = tan
x=
π
4
|: cos x
π
4
+ n ⋅π , n ∈ ]
π 5π
9π
⎡ π 9π ⎤
Välille ⎢ , ⎥ kuuluvat integroimisrajat ,
ja
4
4
4
4
4
⎣
⎦
Käyrien rajoittaman kaksiosaisen alueen ala.
b
A=
5π
4
9π
4
4
5
4
∫ h( x)dx = π∫ (sin x − cos x)dx + ∫π (cos x − sin x)dx
a
5π
4
9π
4
π
5π
4
= / ( − cos x − sin x ) + / ( sin x + cos x )
4
167
5π
5π ⎛
π
π⎞
9π
9π ⎛
5π
5π ⎞
− sin
− ⎜ − cos − sin ⎟ + sin
+ cos
− ⎜ sin
+ cos
⎟
4
4 ⎝
4
4⎠
4
4 ⎝
4
4 ⎠
= 4 2 ≈ 5, 66
= − cos
Vastaus: Ala on 4 2 .
250. Käyrä y = cos x, −
π
2
π
≤x≤
2
y
2
1
–2π
–π
–a a
π
2π
x
–1
Käyrän y = cos x, −
π
2
≤x≤
π
2
ja x-akselin väliin jäävän alueen ala
Käyrä on symmetrinen y-akselin suhteen.
Integroimisrajat 0 ja
π
2
Korkeus h(x) = cos x
π
Käyrän y = cos x, 0 ≤ x ≤
π
b
A=
2
π
2
ja x-akselin väliin jäävän alueen ala
π
2
∫ h( x)dx = ∫ cos xdx = / ( sin x ) = sin 2 − sin 0 = 1
a
0
0
Määritetään vakio a siten, että suorien x = –a ja x = a väliin jää puolet käyrän ja x-akselin
rajoittamasta pinnasta. Tällöin käyrän välillä [0,a] ja x-akselin rajoittaman alueen pinta-ala
1
on .
2
1
2
a
1
∫0 cos xdx = 2
A=
a
/(sin x) =
0
1
2
168
sin a − sin 0 =
1
2
sin a = sin
a=
π
Vastaus: Vakio on a =
6
π
0≤a≤
6
π
6
π
6
.
251. Paraabeli y = x2
Suora y = a
y
4
3
2
1
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
x
Integroimisrajat
⎧ y = x2
⎨
⎩y = a
x2 = a |
,a≥0
x= ± a
Korkeus h(x) = f(x) – g(x) = a – x2
Alue on symmetrinen y-akselin suhteen.
Paraabelin ja x-akselin väliin jäävän segmentin ala on
A=
32
3
2 ∫ (a − x 2 )dx =
32
3
a
0
:2
a
1 ⎞ 16
⎛
/ ⎜ ax − x3 ⎟ =
0
3 ⎠ 3
⎝
1
16
a a − ( a )3 − 0 =
3
3
169
32
3
2
16
a a=
3
3
⋅
3
2
2
3
a2 = 8
() 3 , a ≥ 0
a=4
Vastaus: Vakio on a = 4.
Tilavuus
252.
y
4
3
y = 1x
2
2
1
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
x
–1
–2
b
V = π ∫ [ f ( x)]2 dx
a
4
4
4 1
1
1
= π ∫ ( x) 2 dx = π ∫ ( x 2 )dx = π / ( x3 )
−
1 12
−1 2
−1 4
1
1
= π [ ⋅ 43 − ⋅ (−1)3 ]
12
12
65π
=
12
65π
Vastaus: Tilavuus on
.
12
253.
y
5
y = 4x
4
3
2
1
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
x
–1
170
b
V = π ∫ [ f ( x)]2 dx
a
1
1
1
= π ∫ (4 x ) 2 dx = π ∫ (42 x )dx = π /(
0
0
0
1
⋅ 42 x )
2 ln 4
1
1
⋅ 42⋅1 −
⋅ 4 2⋅0 ]
2 ln 4
2 ln 4
15π
=
2 ln 4
15π
Vastaus: Tilavuus on
.
2 ln 4
= π[
254.
y
5
2x 4 + x 2
y=
4
3
2
1
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
x
–1
b
V = π ∫ [ f ( x)]2 dx
a
=π
2
4
2 2
∫ ( 2 x + x ) dx = π
0
2
∫ (2 x
0
4
2 2
1
+ x 2 )dx = π / ( x5 + x3 )
0 5
3
2
1
= π [ ⋅ ( 2)5 + ⋅ ( 2)3 − 0]
5
3
34π 2
=
15
Vastaus: Tilavuus on
34π 2
.
15
171
255.
y
f(x) = 3 + sinx
4
3
2
1
1
2
3
4
x
Tilavuus
π
V = π ∫ (3 + sin x ) 2 dx
0
π
= π ∫ (9 + 6 sin x + sin 2 x) dx
0
π
= π ∫ (9 + 6 sin x +
0
1
2
1
sin 2 x = [1 − cos(2 x)]
2
1
− cos 2 x )dx
2
19
1
= π /( x − 6 cos x − sin 2 x )
0 2
4
19π
1
19
1
= π[
− 6 cos π − sin 2π − ( ⋅ 0 − 6 cos 0 − sin(2 ⋅ 0))]
2
4
2
4
19π
1
= π[
− 6 ⋅ (−1) − ⋅ 0 − (0 − 6 ⋅1 − 0)]
2
4
19π 2
=
+ 12π
2
π
Vastaus: Tilavuus on
19π 2
+ 12π .
2
256.
Paraabelin huippu on y-akselilla, koska huipun x-koordinaatti on
yhtälö on muotoa y = ax 2 + c .
Sijoitetaan x = 1, y = 0
a ⋅ (1) 2 + c = 0
c = −a
Joten paraabelin yhtälö on muotoa y = ax 2 − a
172
−1 + 1
= 0 ja paraabelin
2
y
y = 7,5x2 – 7,5
1
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
x
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
Paraabelin ja x-akselin rajoittaman alueen pinta-ala on 10, joten
1
∫ (ax
2
− a )dx = −10
−1
1
/ ( ax3 − ax) = −10
3
1 3
1
⋅1 ⋅ a − a ⋅1 − [ ⋅ (−1)3 ⋅ a − a ⋅ (−1)] = −10
3
3
4
− a = −10
3
30
a=
4
30 2 30
x −
Paraabelin yhtälö on y =
4
4
Pyörähdyskappaleen tilavuus
1
−1
b
V = π ∫ [ f ( x)]2 dx
a
1
= 2π ∫ (
0
= 2π (
1
1 900
30 2 30 2
900 4 1800 2 900
1800 3 900
)dx = 2π /(
x − ) dx = 2π ∫ (
x −
x +
x5 −
x +
x)
0
4
4
16
16
80
48
16
0 16
900 5 1800 3 900
⋅1 −
⋅1 +
⋅1 − 0)
80
48
16
= 60π
Vastaus: Tilavuus on 60π .
257.
Ratkaistaan yhtälöistä x.
y = x3
x=3 y
integrointirajat y = 8 ja y = 0
173
y
8
7
y = x3
6
5
4
3
2
1
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
x
Tilavuus
8
V = π ∫ ( 3 y ) 2 dy
0
8
2
3
= π ∫ y dy
0
8
3
5
3
= π /( y )
0 5
5
5
3 3 3 3
= π ( ⋅8 − ⋅ 0 )
5
5
96π
=
5
Vastaus: Tilavuus on
96π
.
5
258.
Ratkaistaan yhtälöistä x.
y2 = (x + 4)3
x=
3
y2 − 4
integrointirajat y = 8 ja y = 0
174
y
10
8
6
4
y2 = (x + 4)3
–8
–6
–4
2
–2
2
4
6
8
10
x
–2
–4
–6
–8
–10
Tilavuus
8
V = π ∫ ( 3 y 2 − 4) 2 dy
0
2
3
8
= π ∫ ( y − 4) 2 dy
0
4
3
8
2
3
= π ∫ ( y − 8 y + 16) dy
0
24 53
= π /( y −
y + 16 y )
0 7
5
7
3
24 53
= π ( ⋅ 83 −
⋅ 8 + 16 ⋅ 8 − 0)
5
7
8
=
3
7
3
1024π
35
Vastaus: Tilavuus on
1024π
.
35
259.
Poikkileikkausneliön sivun pituus on y = 3 1 −
Poikkileikkausneliön ala on ( 3 1 −
x2
.
16
x2 2
9 x2
) = 9−
.
16
16
175
Integrointirajoina ovat ellipsin y = 3 1 −
3 1−
1−
x2
ja x-akselin leikkauspisteet.
16
x2
=0
16
x2
=0
16
x 2 = 16
x = ±4
3
2
1− x
16
y
⎛
x2 ⎞
3
⎝⎜ x, 1− 16 ⎟⎠
3
2
1− x
16
x
x
Tilavuus on
b
4
a
−4
V = ∫ A( x)dx = ∫ (9 −
4
4
9 x2
9 x2
3
3
)dx = 2 ∫ (9 −
)dx = 2 /(9 x − x 3 ) = 2(9 ⋅ 4 − ⋅ 43 − 0) = 48
0
16
16
16
16
0
Vastaus: Tilavuus on 48.
260.
Asetetaan kappaleen pohjan keskipiste origoon, jolloin poikkileikkauskolmion etäisyys
origosta on y = 1 − d, missä d on poikkileikkauskolmion etäisyys avaruuskappaleen
huipusta.
y=1−d
d=1−y
Poikkileikkauskolmion pinta-ala korkeudella y = 1 − d
(d 2 ) 2 3 d 4 3 (1 − y ) 4 3
A=
=
=
4
4
4
d2
d
1
d2
176
Tilavuus on
b
1
a
0
V = ∫ A( y )dy = ∫ (
1
(1 − y ) 4 3
3
)dy =
(1 − y ) 4 dx
4
4 ∫0
31 1
1 3
3
=
/ − (1 − y )5 = − ⋅
[(1 − 1)5 − (1 − 0)5 ] =
0
4
5
5 4
20
Vastaus: Tilavuus on
3
.
20
Integraalilaskennan sovelluksia
261.
t2
s = ∫ v(t )dt
| t1= 0 s, t2= t s, v(t) = 49 − 49 ⋅ 0,8187t
t1
t
= ∫ (49 − 49 ⋅ 0,8187t )dt
0
49
⋅ 0,8187t )
ln 0,8187
49
49
= 49t −
⋅ 0,8187t − (49 ⋅ 0 −
⋅ 0,8187 0 )
ln 0,8187
ln 0,8187
49
49
= 49t −
⋅ 0,8187t +
ln 0,8187
ln 0,8187
t
= /(49t −
0
t2
s = ∫ v(t )dt
| t1= 0 s, t2=10 s, v(t) = 49 − 49 ⋅ 0,8187t
t1
= 49 ⋅10 −
49
49
⋅ 0,818710 +
ln 0,8187
ln 0,8187
≈ 278
Vastaus: a) 49t −
49
49
⋅ 0,8187t +
b) 278 m
ln 0,8187
ln 0,8187
177
262.
a)
v(t)
45
40
v(t) = 3 + 0,1t 2
35
30
25
20
15
10
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
t
b)
Ala
20
20
1
1
980
2
(3
+
0,1
t
)
dt
=
/ (3t + ⋅ 0,1 ⋅ t 3 ) = 3 ⋅ 20 + ⋅ 0,1 ⋅ 203 =
≈ 327
∫0
0
3
3
3
Pinta-ala ilmaisee bakteerien kokonaismäärän, joten 20 tunnin aikana bakteeripopulaatio
kasvaa 327 miljoonaa.
Vastaus: b) Pinta-ala on 327, joten 20 tunnin aikana bakteeripopulaatio kasvaa 327
miljoonaa.
263.
Keskiarvo
b
12
1
1
(0, 2t 3 − 5t 2 + 38t + 20)dt
f (t )dt =
∫
12 − 0 ∫0
b−a a
1 12 1
5
38
/ ( ⋅ 0, 2t 4 − t 3 + t 2 + 20t )
0
12 4
3
2
1 1
5
38
= ( ⋅ 0, 2 ⋅124 − ⋅123 + ⋅122 + 20 ⋅12 − 0)
12 4
3
2
= 1132,8
=
≈ 1130
Vastaus: 1 130 kovakuoriaista
178
264.
Ylemmän puoliympyrän yhtälö y = 1 − x 2
y
1
y=
1 − x2
–1
1
x
–1
Alueen pinta-ala eli yksikköympyrän puolikas A =
b
x=
=
=
1
π
2
2
π
1
xf ( x)dx
A ∫a
1
∫ (x ⋅
1 − x 2 )dx
−1
1
∫ (x ⋅
1 − x 2 )dx
−1
3
1
/ [− (1 − x 2 ) 2 ]
π −1 3
3
3
2
= − [(1 − 12 ) 2 − (1 − 02 ) 2 ]
3π
2
=
3π
≈ 0, 212
=
2
1
b
y=
=
1
π
1 1
[ f ( x)]2 dx
A ∫a 2
1
1
∫ 2(
1 − x 2 ) 2 dx
−1
2
1
2 1
= ⋅ ∫ (1 − x 2 )dx
π 2 −1
=
1
1
1
/( x − x3 )
3
π −1
179
π
2
1
1
[1 − ⋅13 − (−1 − ⋅ (−1)3 )]
3
3
π
4
=
3π
≈ 0, 42
2 4
Vastaus: Painopiste on (
,
).
3π 3π
=
1
265.
a)
Funktio on tiheysfunktio, jos
1) f ( x) ≥ 0, x ∈ \
2) funktion kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala on 1.
Tutkitaan täyttääkö funktio f tiheysfunktion ehdot.
3
x(10 − x) ≥ 0, kun 0 ≤ x ≤ 10 , joten ehto 1 täyttyy.
500
2) Lasketaan kuvaajan ja x-akselin jäävän alueen pinta-ala.
1) f(x) =
y
0,15
0,14
0,13
0,12
0,11
0,10
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
y=
1
2
3
4
5
6
7
3 x(10 − x)
500
8
9 10
x
Kuvaaja yhtyy x-akseliin muualla paitsi välillä 0 ≤ x ≤ 10 , joten riittää laskea ala välillä
0 ≤ x ≤ 10 .
10
A=
3
3
10
∫ ( 500 x(10 − x)dx = 500 / (5x
0
0
2
1
3
1000
− x3 ) =
(500 −
− 0) = 1 , joten ehto 2
3
500
3
täyttyy.
Koska ehdot täyttyvät, funktio on tiheysfunktio.
180
b)
Todennäköisyys P(5 < x < 9) saadaan laskemalla kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen
pinta-ala välillä 5 < x < 9.
P(5 < x < 9)=
9
3
3
9
∫ ( 500 x(10 − x)dx = 500 /(5x
5
5
2
1
3
729
1
59
− x3 ) =
[5 ⋅ 81 −
− (5 ⋅ 25 − ⋅125)] =
= 0, 472
3
500
3
3
125
Vastaus: b) P(5 < x < 9) = 0,472
266.
a
x
r
r
Lasketaan korkeudella x olevan kuusikulmion kärjen etäisyys a pystyakselista Pythagoraan
lauseella.
a2 + x2 = r 2
a = r 2 − x2
a on tasasivuisen kolmion sivu, joten korkeudella x olevan kuusikulmion pinta-ala on
( r 2 − x2 )2 3 3 3 2
a2 3
= 6⋅
=
(r − x 2 )
4
4
2
Teltan tilavuus
A( x) = 6 ⋅
r
V=
∫
0
3 3 2
(r − x 2 )dx
2
3 3r 2
1
/(r x − x3 )
2 0
3
3 3 2
1
(r ⋅ r − ⋅ r 3 − 0)
=
2
3
= r3 3
=
Vastaus: r 3 3
181
267.
Asetetaan pallon keskipiste origoon ja reikä x-akselin suuntaisesti.
Reiän pituus h = 2a, a >0
y
y2 + x2 = R2
y=r
R
r
(a, 0)
x
Renkaan tilavuus saadaan pyörähdyskappaleen tilavuuden ja ympyrälieriön tilavuuden
erotuksena.
Integrointirajat
a2 + r 2 = R2
a2 = R2 − r 2
Kappaleen tilavuus
a
a
a
a
1
V = 2π ∫ ( R 2 − x 2 ) 2 dx − 2π ∫ r 2 = 2 π ∫ ( R 2 − x 2 − r 2 )dx = 2π /( R 2 x − x3 − r 2 x)
0
3
0
0
0
a
1
= 2π /[( R 2 − r 2 ) x − x3 ]
0
3
a
1 3
2
= 2π / a x − x ]
0
3
1
= 2π [a 2 a − ⋅ a 3 − 0]
3
2 3
= 2π ⋅ ⋅ a
3
4π a 3
=
3
1
4π ⋅ ( h)3
2
=
3
π h3
=
6
Vastaus:
a2 = R2 − r 2
2a = h
π h3
6
182
Harjoituskoe 1
1. Funktio f ( x) on funktion g ( x) integraalifunktio, jos f '( x) = g ( x) ja funktioiden f ( x) ja
g ( x) määrittelyjoukot ovat samat. Polynomifunktioina kumpienkin funktioiden
määrittelyjoukko on koko reaalilukujen joukko.
Funktio f ( x) = 2 x3 − a 2 x + a
Derivaatta f '( x) = 6 x 2 − a 2
Ehto
g ( x) = 6 x 2 − 2a
f '( x) = g ( x)
6 x 2 − a 2 = 6 x 2 − 2a
− a 2 = −2a
− a 2 + 2a = 0
a(−a + 2) = 0
a=0
−a+2 = 0
a=2
tai
Vastaus: a = 0 tai a = 2
2. a)
1
∫(2 x
2
+ 3 x + 7) dx =
1 1 3
1
1
3
⋅ x + 3 ⋅ x 2 + 7 ⋅ x + C = x3 + x 2 + 7 x + C
2 3
2
6
2
1
1 1
1
2 x( x 2 − π )5 dx = ⋅ ( x 2 − π )6 + C = ( x 2 − π )6 + C
2
2 6
12
b)
∫ x( x
c)
∫ (sin x + x cos x ) dx = ∫ sin x dx + 2 ∫ 2 x cos x
2
− π )5 dx =
∫
1
2
Vastaus: a)
∫
1
dx = − cos x + sin x 2 + C
2
1 3 3 2
1 2
( x − π )6 + C
x + x + 7 x + C b)
12
6
2
1
3. a)
2
1
∫
1
c) − cos x + sin x 2 + C
2
1
x da = x 1 da = x / a = x(1 − 0) = x
0
0
0
b)
e
∫
1
1
e
e
1
1
ln x dx − ( − ln x3 ) dx = ln x3 dx + ( − ln x3 ) dx
3x
3x
3
∫
e
∫
1
e
∫
= (ln x3 +
1
∫
1
1
− ln x3 ) dx
3x
183
e
e
1
1 1
dx =
dx
=
3x
3 x
∫
∫
1
1
1e
= / ln x
31
1
1
= (ln e − ln1) =
3
3
Vastaus: a) x
0
4.
∫
−1
1
3
b)
x3 + 2 x − 1
dx
x+2
Koska osamäärää
x3 + 2 x − 1
ei voida integroida, suoritetaan jakolasku jakokulmassa.
x+2
x2 − 2x + 6
x+2
x3
+ 2x −1
3
∓ x ∓ 2x
2
− 2 x2 + 2 x
±2 x 2 ± 4 x
6x − 1
∓ 6 x ∓ 12
− 13
0
∫
−1
x3 + 2 x − 1
dx =
x+2
=
0
∫ (x
2
∫ (x
2
−1
0
−1
0
− 2x + 6 −
13
) dx
x+2
0
− 2 x + 6) dx − 13
1
∫ x + 2 dx
−1
0
1
1
= / ( x3 − 2 ⋅ x 2 + 6 x) − 13 / ln x + 2
−1 3
−1
2
1
= 0 − [ (−1)3 − (−1) 2 + 6 ⋅ (−1)] − 13 ⋅ (ln 0 + 2 − ln −1 + 2 )
3
1
= 7 − 13ln 2
3
1
Vastaus: 7 − 13ln 2
3
184
5. Suora x − y = 0 eli y = x ja paraabeli x 2 = 2 − y eli y = − x 2 + 2
Leikkauspisteet
y
3
⎧⎪ y = x
⎨
2
⎪⎩ y = − x + 2
y = –x + 2
− x2 + 2 = x
–4
–3
y=x
2
2
–2
1
–1
1
2
3
4
–1
− x2 − x + 2 = 0
–2
2
x=
−(−1) ± (−1) − 4 ⋅ (−1) ⋅ 2
2 ⋅ (−1)
1+ 3
= −2, jolloin y1 = x1 = −2
−2
1− 3
= 1, jolloin y2 = x2 = 1
x2 =
−2
Käyrien leikkauspisteet ovat (1, 1) ja (−2, −2)
x1 =
Paraabeli kulkee suoran yläpuolella (kuva) välillä [−2, 2].
Kysytty pinta-ala
1
A=
∫
1
( f ( x) − g ( x)) dx =
−2
1
∫ (− x
2
+ 2 − x) dx
−2
1
1
= / (− x3 + 2 x − x 2 )
−2
3
2
1 3
1 2
1
1
1
= (− ⋅1 + 2 ⋅1 − ⋅1 ) − [− ⋅ (−2)3 + 2 ⋅ (−2) − ⋅ (−2) 2 ] = 4
3
2
3
2
2
1
Vastaus: Pinta-ala on 4
2
6. Käyrien y = ln x , x = 0 , kun 0 ≤ y ≤ 1 välinen alue pyörähtää y-akselin ympäri.
y
y = ln x
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
–1
–2
–3
Integrointi suoritetaan muuttujan y suhteen.
185
5
x
y = ln x
x = ey
Maljan tilavuus
1
Vmalja
1
1
1
= π ( f ( y )) dy = π (e ) dy = π 2e2 y dy
2
∫
∫
0
∫
y 2
0
0
1 1
1
1
1
= π /(e 2 y ) = π (e 2⋅1 − e 2⋅0 ) = π e2 − π
2 0
2
2
2
Juoman tilavuus, kun korkeus puolet maljan korkeudesta
1
2
1
2
∫
∫
V juoma = π ( f ( y )) dy = π (e y ) 2 dy =
0
=
0
1
2
1
2
1
π 2e2 y dy
2
∫
0
1
1
2⋅
2⋅
1
1
1
1
π / (e 2 y ) = π (e 2 − e 2 ) = π e − π
2 0
2
2
2
Tilavuuksien suhde
1
1
1
πe − π
π (e − 1)
V juoma
1
2 = 2
= 2
=
⋅100 % ≈ 27 %
1
1
1
Vmalja
π e2 − π
π (e 2 − 1) e + 1
2
2
2
Vastaus:
1
⋅100 % ≈ 27 %
e +1
7. Lasketaan käyrien f ( x) = sin x ja g ( x) = sin 2 x leikkauspisteet, kun x ∈ [ 0, π ] .
sin x = sin 2 x
sin x − sin 2 x = 0
sin x(1 − sin x) = 0
sin x = 0
1 − sin x = 0
tai
sin x = sin 0
sin x = 1
x = n ⋅π
Leikkauspisteet välillä [0, π] ovat 0,
x=
π
2
ja π .
186
π
2
+ n ⋅ 2π
y
1
y = sin2x
π
1
2
x=π
2
–1
3
4
x
y = sinx
Funktioiden suuruusjärjestys leikkauspisteiden välissä saadaan selville esimerkiksi
sijoittamalla jokin välille kuuluva arvo tai perustamalla päättely kuvaajaan. Funktioiden
f ( x) = sin x ja g ( x) = sin 2 x suuruusjärjestys voi vaihtua vain leikkauspisteissä.
π
1
1
π
=
> = sin 2 .
4
4
2 2
π
3π
1
1
3π
=−
< = sin 2
.
Kun x ∈] , π [ sin x < sin 2 x , koska esimerkiksi sin
4
2
4
2
2
Kun x ∈]0,
2
[ , sin x > sin 2 x , koska esimerkiksi sin
π
Pinta-ala
π
π
2
∫
2
∫
π
A = (sin x − sin x) dx + (sin 2 x − sin x ) dx
0
cos 2 x = 1 − 2sin 2 x eli sin 2 x =
1 1
− cos 2 x
2 2
2
π
π
2
∫
= (sin x −
0
1 1
1 1
+ cos 2 x )dx + ( − cos 2 x − sin x) dx
2 2
2 2
π
∫
2
π
2
= / (− cos x −
0
π 1
1
1
1
x + sin 2 x) + / ( x − sin 2 x + cos x)
π 2
2
4
4
2
1 π 1
π
1
1
1
1
− ⋅ + sin(2 ⋅ ) − [− cos 0 − ⋅ 0 + sin(2 ⋅ 0) + [ ⋅ π − sin(2 ⋅ π ) − cos π ] −
2 2 2 4
2
2
4
2
4
1 π 1
π
π
[ ⋅ − sin(2 ⋅ ) + cos ]
2 2 4
2
2
= − cos
=−
π
4
π
+1−
π
4
+1 = 2 −
π
2
Yksikkönä neliömetri eli A= (2 −
Vastaus: (2 −
π
2
π
2
) a ≈ 0,43 a
) a ≈ 0,43 a
187
8. Käyrä y 2 = ( x − 1)( x − 2)( x + 3)
y2 = (x – 1)(x– 2)(x + 3)
y
4
3
2
1
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
x
–1
–2
–3
–4
Yhtälön vasen puoli on ei-negatiivinen. Haetaan nollakohdat ja tehdään merkkikaavio.
( x − 1)( x − 2)( x + 3) = 0
x = 1 tai x = 2 tai x = −3
Merkkikaavio
( x − 1)( x − 2)( x + 3)
x
–3
1
x = −4 : (−4 − 1)(−4 − 2)(−4 + 3) = −30 < 0
2
x = 0 : (0 − 1)(0 − 2)(0 + 3) = 6 > 0
x = 1,5 : (1,5 − 1)(1,5 − 2)(1,5 + 3) = −1,125 < 0
x = 3 : (3 − 1)(3 − 2)(3 + 3) = 12 > 0
Ainoa mahdollinen umpinainen silmukka syntyy välille [−3, 1].
Tilavuus
1
V =π
∫
1
y 2 dx = π
−3
1
∫
−3
1
( x − 1)( x − 2)( x + 3) dx = π
∫ (x
3
− 7 x + 6) dx
−3
1
7
= π / ( x 4 − x 2 + 6 x)
−3 4
2
1 4 7 2
1
7
= π { ⋅1 − ⋅1 + 6 ⋅1 − [ ⋅ (−3) 4 − ⋅ (−3) 2 + 6 ⋅ (−3)]}
4
2
4
2
= 32π
Vastaus: 32π
188
Harjoituskoe 2
1. Lasketaan integraalit.
4
4
1
3
4⎛
1 ⎞
a) ∫ (3 − x ) 2 dx = ∫ (9 − 6 x 2 + x)dx = / ⎜ 9 x − 4 x 2 + x 2 ⎟
1
2 ⎠
⎝
1
1
3
3
⎛
1
1 ⎞
1
= 9 ⋅ 4 − 4 ⋅ 4 2 + ⋅ 42 − ⎜ 9 ⋅1 − 4 ⋅12 + ⋅ 12 ⎟ = 6
2
2 ⎠
2
⎝
11
1
1
1
1
−
⎤
1
1 11 ⎡
2
2
2
2
2(2
3)
/
2(2
3)
(2
11
3)
(2
3
3)
x
dx
x
+
=
+
=
⋅
+
−
⋅
+
=2
⎢
⎥
∫3 2 x + 3 2 ∫3
23⎣
⎦
1
Vastaus: Integraali on a) 6
b) 2.
2
11
b)
dx
=
2. Ratkaistaan yhtälöt.
⎛ 3x ⎞
− 1⎟ dx = 7
2
⎠
2
t
∫ ⎜⎝
a)
t 3
⎛
⎞
/ ⎜ x2 − x ⎟ = 7
2 4
⎝
⎠
3 2
⎛3
⎞
t − t − ⎜ ⋅ 22 − 2 ⎟ = 7
4
4
⎝
⎠
3 2
t −t −8 = 0
4
3t 2 − 4t − 32 = 0
⋅4
−(−4) ± (−4) 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ (−32)
2⋅3
4 − 400
2
t1 =
= −2
6
3
4 + 400
t2 =
=4
6
a
dx
1
∫1 x x = 1 3
t=
b)
a
−
3
∫ x 2 dx =
1
4
3
1
− ⎞
⎛
4
/ ⎜ −2 x 2 ⎟ =
1
⎝
⎠ 3
a
−2a
−
1
2
−
1
− (−2 ⋅1 2 ) =
−2a
−
1
2
4
3
=−
2
3
: (−2)
189
1
2
1
3
1
1
=
a 3
1 1
=
a 9
a=9
a
Vastaus: a) t = −2
−
=
() 2
2
tai t = 4 b) a = 9
3
1
3. Funktio g (t ) = ∫ (2 x − 3)dx = / ( t 2 − 3t ) = 12 − 3 ⋅1 − ( t 2 − 3t ) = −t 2 + 3t − 2
1
t
t
Koska ∫ f (t )dt = t + 5t − 4t , niin f(t) = 3t2 + 10t – 4
3
2
Ratkaistaan yhtälö f(t) = g(t)
3t 2 + 10t − 4 = −t 2 + 3t − 2
4t 2 + 7t − 2 = 0
−7 ± 7 2 − 4 ⋅ 4 ⋅ (−2)
2⋅4
−7 − 81
t1 =
= −2
8
−7 + 81 1
=
t2 =
8
4
t=
Vastaus: t = –2 tai t =
1
4
4. Funktio f(x) = 3 – 2x
Integraalifunktio F(x) = 3x – x2 + C
1
3
, kun f(x) = 3 – 2x= 0 eli x =
4
2
3
1
⎛ ⎞
F ⎜ ⎟ = 10
4
⎝2⎠
Integraalifunktion suurin arvo on 10
2
3 ⎛3⎞
1
3 ⋅ − ⎜ ⎟ + C = 10
2 ⎝2⎠
4
C =8
Integraalifunktio F(x) = 3x – x2 + 8
Lasketaan käyrän y = F(x) ja suoran y = 4 rajoittaman alueen ala.
190
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
–4 –3 –2 –1
1
2
3
4
5
x
Integroimisrajat
⎧ y = 3x − x 2 + 8
⎨
⎩y = 4
3x − x 2 + 8 = 4
x 2 − 3x − 4 = 0
−(−3) ± (−3) 2 − 4 ⋅ 1⋅ (−4)
2 ⋅1
3 − 25
= −1
x1 =
2
3 + 25
x2 =
=4
2
Korkeus h(x) = 3x – x2 + 8 – 4 = 3x – x2 + 4
Pinta-ala
b
4
4 3
1
⎛
⎞
A = ∫ h( x)dx = ∫ (3x − x 2 + 4)dx = / ⎜ x 2 − x3 + 4 x ⎟
−1 2
3
⎝
⎠
−1
a
3
1
1
5
⎡3
⎤
= ⋅ 42 − ⋅ 43 + 4 ⋅ 4 − ⎢ ⋅ (−1) 2 − ⋅ (−1)3 + 4 ⋅ (−1) ⎥ = 20
2
3
2
3
6
⎣
⎦
5
Vastaus: Integraalifunktio on F(x) = 3x – x2 + 8. Ala on 20 .
6
5. Funktio f(x) = (2x + 1)ln x
x2
Integraalifunktio F ( x) = ( x 2 + x) ln x − − x
2
1
Integraalifunktio derivaatta F '( x) = (2 x + 1) ln x + ( x 2 + x) − x − 1 = (2 x + 1) ln x
x
2
x
Koska F ′(x) = f(x), niin F ( x) = ( x 2 + x) ln x − − x on funktion f(x) = (2x + 1)ln x eräs
2
integraalifunktio.
x=
191
e
e⎛
⎞
x2
Lasketaan integraali ∫ (2 x + 1) ln xdx = / ⎜ ( x 2 + x) ln x − − x ⎟
1
2
⎝
⎠
1
= (e 2 + e) ln e −
⎛
⎞ e2 + 3
e2
12
− e − ⎜ (12 + 1) ln1 − − 1⎟ =
2
2
2
⎝
⎠
e2 + 3
.
2
Vastaus: Integraalin arvo on
6. Suora y = 4 – x
x=4–y
Käyrä 2x = y2 – 4y
y
5
4
3
2
1
–3 –2 –1
–1
h(y)
1
2
3
4
5
6
7
8
x
–2
Integroimisrajat
⎧y = 4 − x
⎨
2
⎩2 x = y − 4 y
1 2
y − 2 y . Sijoitetaan ylempään yhtälöön.
2
⎛1
⎞
y = 4 − ⎜ y2 − 2 y ⎟
⎝2
⎠
Alemmasta yhtälöstä saadaan x =
1 2
y − y−4 = 0
2
y2 − 2 y − 8 = 0
⋅2
−(−2) ± (−2) 2 − 4 ⋅1 ⋅ (−8)
2 ⋅1
2 − 36
y1 =
= −2
2
2 + 36
y2 =
=4
2
1
⎛1
⎞
Korkeus h(y) = f(y) – g(y) = 4 − y − ⎜ y 2 − 2 y ⎟ = − y 2 + y + 4
2
⎝2
⎠
Käyrien väliin jäävän segmentin ala
y=
192
4
4
1
⎛ 1
⎞
⎛ 1
⎞
A = ∫ h( y )dy = ∫ ⎜ − y 2 + y + 4 ⎟ dy = / ⎜ − y 3 + y 2 + 4 y ⎟
2
−
2
6
2
⎝
⎠
⎝
⎠
a
−2
1
1
1
⎡ 1
⎤
= − ⋅ 43 + ⋅ 42 + 4 ⋅ 4 − ⎢ − ⋅ (−2)3 + ⋅ (−2) 2 + 4 ⋅ (−2) ⎥ = 18
6
2
6
2
⎣
⎦
b
Vastaus: Ala on 18.
5 ⎧
5
⎧
⎪⎪−2 x + 5 − 1, kun x < 2 ⎪⎪−2 x + 4, kun x < 2
7. Funktio f(x) = |2x – 5| – 1 = ⎨
=⎨
⎪2 x − 5 − 1, kun x ≥ 5
⎪2 x − 6, kun x ≥ 5
⎪⎩
⎩⎪
2
2
Jatkuvan funktion itseisarvofunktio on jatkuva, joten sillä on integraalifunktio.
5
⎧ 2
⎪⎪− x + 4 x + C1 , kun x < 2
Integraalifunktio F ( x) = ∫ f ( x)dx = ⎨
⎪ x 2 − 6 x + C , kun x ≥ 5
2
⎪⎩
2
Integraalifunktio on jatkuva kaikkialla, joten
⎛5⎞
F ⎜ ⎟ = lim− F ( x) = lim+ F ( x)
5
⎝ 2 ⎠ x→ 5
x→
2
2
2
2
2
2
2
5
5
5
⎛5⎞
⎛5⎞
⎛5⎞
⎜ ⎟ − 6 ⋅ + C2 = − ⎜ ⎟ + 4 ⋅ + C1 = ⎜ ⎟ − 6 ⋅ + C2
2
2
2
⎝2⎠
⎝2⎠
⎝2⎠
5
5
⎛5⎞
⎛5⎞
⎜ ⎟ − 6 ⋅ + C2 = − ⎜ ⎟ + 4 ⋅ + C1
2
2
2
2
⎝ ⎠
⎝ ⎠
25
C2 = C1 +
2
Merkitään C1 = C.
5
⎧ 2
⎪⎪− x + 4 x + C , kun x < 2
Integraalifunktio F ( x) = ⎨
⎪ x 2 − 6 x + 25 + C , kun x ≥ 5
⎪⎩
2
2
missä C on integroimisvakio.
Integraalifunktio F, joka täyttää ehdon F(4) = 6.
25
42 − 6 ⋅ 4 + + C = 6
2
3
C=
2
193
3
5
⎧ 2
− x + 4 x + , kun x <
⎪⎪
2
2
Kysytty integraalifunktio F ( x) = ⎨
5
2
⎪ x − 6 x + 14, kun x ≥
⎪⎩
2
Piirretään käyrä y = F(x)
y
8
7
6
5
4
3
2
1
–4 –3 –2 –1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
Lasketaan integraali.
6
6
6 1
⎛ 3
⎞
2
2
∫3 F ( x)dx = ∫3 ( x − 6 x + 14 ) dx = /3 ⎜⎝ 3 x − 3x + 14 x ⎟⎠
1
⎛1
⎞
= ⋅ 63 − 3 ⋅ 62 + 14 ⋅ 6 − ⎜ ⋅ 33 − 3 ⋅ 32 + 14 ⋅ 3 ⎟ = 24
3
⎝3
⎠
3
5
⎧ 2
⎪⎪− x + 4 x + 2 , kun x < 2
Vastaus: Integraalifunktio on F ( x) = ⎨
⎪ x 2 − 6 x + 14, kun x ≥ 5
⎪⎩
2
Integraalin arvo 24.
y ja 8x = y2 rajoittavat alueen.
8. Käyrät x =
y
7
6
5
4
3
2
1
–2 –1
–1
1
2
3
4
5
6
7
x
194
a) Alue pyörähtää x-akselin ympäri.
Tilavuus
2
2
2
2
2
2 1
⎛
⎞
Vx = π ∫ ( 8 x ) 2 dx − π ∫ ( x 2 ) 2 dx = π ∫ 8 xdx − π ∫ x 4 dx = π /(4 x 2 ) − π / ⎜ x5 ⎟
0
0 5
⎝
⎠
0
0
0
0
⎛1
⎞ 48π
= π ( 4 ⋅ 2 2 − 0 ) − π ⎜ ⋅ 25 − 0 ⎟ =
5
⎝5
⎠
b) Alue pyörähtää y-akselin ympäri.
195
Tilavuus
2
4
4
4
4
4 1
⎛ y2 ⎞
⎛ y4 ⎞
Vy = π ∫ ( y ) 2 dy − π ∫ ⎜ ⎟ dy = π ∫ ydy − π ∫ ⎜ ⎟ dy = π /( y 2 ) − π
0 2
0
0⎝ 8 ⎠
0
0 ⎝ 64 ⎠
⎛1
⎞
⎛ 1
⎞ 24π
⋅ 45 − 0 ⎟ =
= π ⎜ ⋅ 42 − 0 ⎟ − π ⎜
5
⎝2
⎠
⎝ 320
⎠
4
⎛ 1 5⎞
/⎜
y ⎟
0 320
⎝
⎠
48π 24π 48π 5
2
=
=
:
:
5
5
5 24π 1
48π
24π
Vastaus: Tilavuudet ovat a) Vx =
b) Vy =
. Tilavuuksien suhde on Vx : Vy = 2:1.
5
5
Tilavuuksien suhde Vx : Vy =
Harjoituskoe 3
1.
a)
∫ (x
3
− 6 x 2 + 10 x − 6) dx =
1 4
x − 2 x3 + 5 x 2 − 6 x + C
4
b)
0
0
−1
−1
0
2
2
3
2
3
2
∫ (3x + 1) dx = ∫ (9 x + 6 x + 1)dx = / (3x + 3x + x) = 3 ⋅ 0 + 3 ⋅ 0 + 0 − [3 ⋅ (−1) + 3 ⋅ (−1) − 1] = 1
Vastaus: a)
−1
1 4
x − 2 x 3 + 5 x 2 − 6 x + C b) 1
4
2.
f ( x) = ∫ (1 − 5 x 4 )dx = x − x 5 + C
3 − 35 + C = −231
C =9
Vastaus: f ( x) = − x5 + x + 9
196
3.
Integrointirajoina ovat leikkauspisteiden x-koordinaatit
2x = − x2 + 5x
x 2 − 3x = 0
x( x − 3) = 0
x = 0 tai x = 3
y
y = 2x
7
6
y = –x2 + 5x
5
4
3
2
1
–2
–1
1
2
3
4
5
6
x
–1
3
3
0
0
A = ∫ (− x 2 + 5 x − 2 x)dx = ∫ (− x 2 + 3x)dx
1
3
1
3
9
= /(− x 3 + x 2 ) = − ⋅ 33 + ⋅ 32 − 0 =
0
3
2
3
2
2
3
Vastaus:
9
2
4.
a)
∫e
1− 2 x
dx = −
1
∫e
2
1− 2 x
1
(−2)dx = − e1− 2 x + C
2
b)
∫
1 − 2 x dx = −
Vastaus: a) −
1
2
1
3
3
1
1 2
1
2
2
2
−
x
⋅
−
dx
=
−
−
x
+
C
=
−
−
x
+C
(1
2
)
(
2)
[
(1
2
)
]
(1
2
)
2∫
2 3
3
3
1
3
e1− 2 x + C b) − (1 − 2 x) 2 + C
5.
a)
π
4
π
4
1
1
π
1
π
1
∫ sin 2 xdx = π/ (− 2 cos 2 x) = − 2 cos(2 ⋅ 4 ) − [− 2 cos(2 ⋅ 6 )] = 4
π
6
6
197
b)
a
∫
1
x
1
a
−
dx = 4
1
∫ x 2 dx = 4
1
a
/2 x = 4
.
1
2 a −2 1 = 4
a =3
a=9
1
Vastaus: a)
b) 9
4
6.
2x2 − 5x + 2y − 10 = 0
5
y = − x2 + x + 5
2
Derivaatta
5
y ' = −2 x +
2
Tangentin kulmakerroin k
−2x + 3y − 6 = 0
2
y = x+2
3
2
k ⋅ = −1
3
3
k=−
2
Tangentin sivuamispiste
5
3
−2 x + = −
2
2
x=2
5
y = −22 + ⋅ 2 + 5 = 6
2
Tangentin yhtälö
3
y − 6 = − ( x − 2)
2
3
y = − x+9
2
198
y
10
y = −3x + 9
2
9
8
7
(2, 6)
6
5
4
3
2
y = −x 2 + 5 x + 5
2
1
–2 –1
–1
1
2
3
4
5
6
7
x
Pinta-ala
2
A = ∫ [−
0
3
5
x + 9 − (− x 2 + x + 5)]dx
2
2
2
= ∫ ( x 2 − 4 x + 4)dx
0
1
= /( x3 − 2 x 2 + 4 x)
0 3
1
= ⋅ 23 − 2 ⋅ 2 2 + 4 ⋅ 2 − 0
3
8
=
3
2
8
3
Vastaus:
7.
Leikkauspisteet
sin x =
x=
3
2
π
3
tai x = π −
π
3
=
2π
3
199
y
1
2__
π
3
π
_
3
π
x
Tilavuus
V =π
2π
3
∫ (sin x)
π
2
dx − π
3
2π
3
3
∫(
π
2
) 2 dx
3
1
sin 2 x = [1 − cos(2 x)]
2
=π
2π
3
2π
3
1
3
=π
3
∫ [ (1 − cos 2 x)]dx − π π∫ ( 4 )dx
π 2
3
2π
3
1
1
∫ (− 4 − 2 cos 2 x)dx
π
3
2π
3
= π / (−
π
3
= π [−
= π [−
1
1
x − sin 2 x)
4
4
1 2π 1
2π
1 π 1
π
) − (− ⋅ − sin(2 ⋅ ))]
⋅
− sin(2 ⋅
4 3 4
3
4 3 4
3
π
6
π
−
1
3
π 1 3
(−
) − (− − ⋅
)]
4
2
12 4 2
3
]
12 4
π2 π 3
=−
+
12
4
= π [−
+
Vastaus: Tilavuus on −
π2
12
+
π 3
4
.
200
8.
Määritetään korkeudella y olevan tasakylkisen suorakulmaisen poikkileikkauskolmion ala.
Pisteen A koordinaatit ovat ( 3 − y , y ) .
Kateetin AB pituus on 1 −
3
− y = 1− 3 y , y > 0
Korkeudella y olevan tasakylkisen suorakulmaisen poikkileikkauskolmion ala
1
2
1
1
A( y ) = (1 − 3 y ) 2 = (1 − 2 y 3 + y 3 )
2
2
Tilavuus
1
1
2
1
11
3 34 3 53
1
3 34 3 35
3
3
(1
−
2
y
+
y
)
dy
=
/(
y
−
y
+
y
)
=
(1
−
⋅1 + ⋅1 − 0) = 0, 05
∫0 2
20
2
5
2
2
5
y = −x3
1,0
B
A
y
1,0
(0, 0)
1,0
Vastaus: 0,05 m3
201