1. No category

Lukion
Calculus
4
MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot
Paavo Jäppinen
Alpo Kupiainen
Matti Räsänen
Otava
PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN
TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN
Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
1
Pikatesti (MAA8)
1.
Mikä on funktion f ( x ) =
4
x + 3 määrittelyjoukko?
Ratkaisu:
Funktio f ( x ) = 4 x + 3 on määritelty, kun x + 3 ≥ 0 eli kun x ≥ −3 . Määrittelyjoukko on [ − 3 , ∞ [.
2.
Derivoi.
1− x
a)
2
b) e
−
x
2
c) x (ln x )2
Ratkaisu:
1− x
1
a) D
=−
2
4 1− x
b) De
c) D x (ln x )2 = (ln x ) 2 + x · 2 ln x ·
3.
−
x
2
x
1 −
=− e 2
2
1
= ln x (ln x + 2)
x
Perheen menot kasvavat vuosittain 9 %. Kuinka pitkän ajan kuluttua menot ovat kaksinkertaistuneet?
Ratkaisu:
Merkitään perheen menoja kirjaimella m. Tällöin 1,09 t a = 2a , josta 1,09 t = 2 . Otetaan yhtälöstä puolittain logaritmi, jolloin t lg 1,09 = lg 2 . Ratkaisuksi tulee
lg 2
t=
≈ 8,04 .
Vastaus: noin 8 vuodessa
lg 1,09
4.
Ratkaise yhtälö. a)
7
x −1 = 2
b)
2
5
x
=3
Ratkaisu:
a) 7 x − 1 = 2 , josta x − 1 = 2 7 ja edelleen x = 129 .
b) Määrittelyehto
2
5
yhtälölle x
= 3 on x > 0. Korotetaan potenssiin
5
, jolloin saa2
5
daan x = 3 2 = 9 3 .
5.
Ratkaise yhtälö. a) 3 · 2 x = 96
b) e x − 2 =
1
e
Ratkaisu:
Vastaus: x = 5
a) 3 · 2 x = 96 , josta 2 x = 32 eli 2 x = 2 5
1
b) e x − 2 = eli e x −2 = e −1 , jolloin x – 2 = –1 ja x = 1.
e
© Lukion Calculus 4
2
6.
Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
Ratkaise yhtälö. a) log 2 x = 2
b) lg x 3 − lg x = 2
Ratkaisu:
a) log 2 x = 2 , x > 0. Logaritmin määritelmän mukaan x = 2 2 = 4 .
x3
= lg 10 2 ja edelx
leen lg x 2 = lg 10 2 . Yhtälön x 2 = 10 2 juurista kelpaa vain x = 10 .
b) Yhtälö lg x 3 − lg x = 2 , x > 0, voidaan kirjoittaa muotoon lg
7.
Määritä kaksidesimaalinen likiarvo luvulle ( g o f )( π) , kun f ( x ) = 3 x ja
g ( x ) = x2 − π .
Ratkaisu:
Kun f ( x ) = 3 x ja g ( x ) = x 2 − π , on yhdistetty funktio
( g o f )( x) = g ( f ( x)) = g (3 x ) = (3 x ) 2 − π .
Tällöin ( g o f )(π ) = g ( f (π )) = g (3 π ) = (3 π ) 2 − π ≈ − 0,997 . Vastaus: − 1,00
8.
Selvitä, ovatko funktiot f ( x ) =
2
3
x + 8 ja g ( x ) = x − 8 toistensa käänteisfunktioita.
3
2
Ratkaisu:
2
x + 8 kuvaaja on nouseva suora, joten funktio on aidosti kasvava.
3
Siis funktiolla f on käänteisfunktio.
2
3
3
y = x + 8 , josta x = x − 12 . Siis käänteisfunktio on f −1 ( x) = x − 12 .
3
2
2
2
3
Vastaus: Funktiot f ( x ) = x + 8 ja g ( x ) = x − 8 eivät ole toistensa käänteisfunkti3
2
oita.
Funktion f ( x ) =
9.
Valitse oikea vaihtoehto. Funktion f ( x ) = e − x + ln x toinen derivaatta (eli derivaatan
1
1
1
derivaatta) on a) e − x − 2 , b) e − x + 2 , c) − e − x − .
x
x
x
Ratkaisu:
Funktion f ( x ) = e − x + ln x toinen derivaatta (eli derivaatan derivaatta) on
1
1
Vastaus: a -kohta
f ' ' ( x) = D f ' ( x ) = D( − e − x + ) = e − x − 2 .
x
x
10.
Mitä arvoja funktio f ( x ) = x −
x saa välillä [0, 9]?
Ratkaisu:
Funktio f ( x ) = x − x on jatkuva välillä [0, 9] ja derivoituva välillä ]0, 9[. Derivaat1
1
ta f ′( x) = 1 −
saa arvon nolla, kun x = . Luvuista f (0) = 0, f (9) = 6 ja
4
2 x
© Lukion Calculus 4
Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
3
1
1
f ( ) = − keskimmäinen on suurin ja viimeinen pienin. Suljetulla välillä jatkuva
4
4
funktio saa pienimmän ja suurimman arvon ohella kaikki niiden väliset arvot, joten
1
funktio f saa välillä [0, 9] kaikki arvot − ≤ f ( x) ≤ 6 .
4
Kertauskoe 1 (MAA8)
1.
Derivoi.
a)
3
x
x
b) e x
Ratkaisu:
2
x
a) D 3 = D 3 x 2 = 3
3 x
x
1
c) D ln( 2 + x ) =
2.
b) D e x =
c) ln( 2 + x )
1 x
e
2
1
2 x
=
2x + 4 x
2+ x
Mikä on käyrän y = e3x sen tangentin yhtälö, joka kulkee origon kautta?
Ratkaisu:
Olkoon sivuamispiste ( x1 , y1 ) . Tangentin kulmakerroin on 3e3x1 =
y1 − 0 e3x1
. Yhtä=
x1 − 0
x1
1
lön ratkaisuna on x1 = , joten tangentin yhtälö on y = 3ex .
3
3.
Määritä funktion f ( x ) = x + 4 − x suurin ja pienin arvo, kun x ≥ −5 .
Ratkaisu:
Funktio f ( x ) = x + 4 − x on määritelty arvoilla x ≤ 4 . Funktio f on jatkuva välillä
1
, ja
[–5, 4] ja derivoituva välillä ]–5, 4[. Derivaatta on f ' ( x) = 1 −
2 4−x
1
3
= 0. Tämän juuriyhtälön ratkaisu on x = 3 .
f ' ( x ) = 0 , kun 1 −
4
2 4−x
3
4
Funktion arvo derivaatan nollakohdassa on f (3 ) = 4
f ( −5) = −2 sekä f(4) = 4.
1
4
ja välin päätepisteissä
3
4
Vastaus: Funktion f ( x ) = x + 4 − x suurin arvo on f (3 ) = 4
f ( −5) = −2 , kun x ≥ −5 .
4.
1
4
ja pienin
Osoita, että ln( x + 1) ≤ x , kun x > −1 .
© Lukion Calculus 4
4
Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
Ratkaisu:
On näytettävä, että ln( x + 1) − x ≤ 0 , kun x > −1 . Funktio f ( x ) = ln( x + 1) − x on
1
− 1 on kohdassa
määritelty ja jatkuva arvoilla x > −1 . Sen derivaatalla f ′ ( x ) =
x +1
x = 0 ainoa ääriarvokohta. Siinä funktio saa suurimman arvonsa 0. Näin ollen
f ( x ) ≤ 0 kaikilla arvoilla x > −1 .
5.
Ratkaise yhtälö f ( x ) = f ′( x ) , kun f ( x ) = x 2 x .
Ratkaisu:
Kun f ( x ) = x 2 x , on f ' ( x ) = 2 x + x 2 x ln 2 . Yhtälö f ( x ) = f ′( x ) eli
x 2 x = 2 x + x 2 x ln 2 saatetaan muotoon 2 x ( x − 1 − x ln 2) = 0 , josta 2 x = 0 on
1
identtisesti epätosi, ja yhtälön x − 1 − x ln 2 = 0 juuri on x =
.
1 − ln 2
6.
Äänen voimakkuus L desibeleinä voidaan laskea yhtälöstä L = 10 lg( I ⋅ 1012 ) , jossa I
on äänen intensiteetti ( W / m2 ).
a) Musiikkiesityksen aikana mitattiin äänen intensiteetiksi 5, 0 ⋅ 10−8 W / m2 . Ilmoita
äänen voimakkuus desibeleinä.
b) Eräs toimistokone aiheuttaa pahimmillaan 40 desibelin äänitason. Tehokkuuden
takia halutaan hankkia vielä toinen kone, mutta työsuojelumääräysten mukaista 45
desibelin rajaa ei saa ylittää. Voidaanko lisäkone määräysten rajoissa asentaa?
Ratkaisu:
a) Sijoitetaan yhtälöön L = 10 lg( I ⋅ 1012 ) intensiteetin I lukuarvo 5, 0 ⋅ 10−8 , jolloin
L = 10 lg(5, 0 ⋅ 10−8 ⋅ 1012 ) ≈ 47 . Äänen voimakkuus on 47 dB.
b) Yhden toimistokoneen aiheuttaman äänen intensiteetti voidaan päätellä yhtälöstä
40 = 10 lg( I ⋅ 1012 ) . Huomataan, että I = 10−8 (W / m2 ) , sillä 10 lg(10 −8 ⋅ 1012 ) =
10 lg 104 = 10 ⋅ 4 = 40 . Kahden koneen aiheuttaman äänen kokonaisintensiteetti olisi
2 ⋅ 10−8 W / m2 . Tällöin äänitaso olisi L = 10 lg( 2 ⋅ 10−8 ⋅ 1012 ) dB ≈ 43 dB , joten toinen
kone voidaan hankkia.
7.
ln x
, kun 0 < x ≤ e . Osoita, että käänteisfunktio f −1 on olemassa, ja
2x
määritä ( f −1 ) ′ ( 0) .
Olkoon f ( x ) =
Ratkaisu:
ln x
2(1 − ln x )
derivaatta f ′ ( x ) =
on positiivinen välillä 0 < x < e ,
2x
4 x2
joten f on aidosti kasvava ja f −1 on olemassa välillä 0 < x ≤ e . Käänteisfunktion derivaatta on laskettava kohdassa y = 0 . Sitä vastaava x:n arvo on 1, joten
1
1
( f −1 ) ′ ( 0) =
=
= 2.
f ′ (1) 0, 5
Funktion f ( x ) =
© Lukion Calculus 4
Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
8.
5
B
Suunnistajan on edettävä kuvan mukaisessa
tilanteessa kohdasta A rastille B. Tietä käyttäessään hän juoksee nopeudella 15 km/h,
mutta poiketessaan tieltä vain nopeudella 12
km/h. Miten suunnistajan on valittava reitti
A
päästäkseen mahdollisimman pian rastille
B?
600 m
tie
1200 m
Ratkaisu:
Suunnistaja juoksee tietä pitkin matkan
x (km) ja sitten suoraan rastille B. Tähän
kuluva aika (h) on
B
600 m
x
1200 - x
A
(1,2 − x) 2 + 0,6 2
x
tie
t ( x) =
+
1200 m
15
12
1
1
=
x+
x 2 − 2,4 x + 1,8 , 0 ≤ x ≤ 1,2.
15
12
x − 1, 2
1
Merkitään derivaatta t ′ ( x ) = +
nollaksi ja ratkaistaan saatu
2
15 12 x − 2 , 4 x + 1, 8
yhtälö sievennetystä muodosta 9 x 2 − 21, 6 x + 7 , 2 = 0 , jolloin saadaan x = 0, 4 . Luvuista t ( 0) , t (1, 2 ) ja t ( 0, 4 ) viimeksi mainittu on pienin. Nopein reitti kulkee siis tietä pitkin 400 m ja sitten suoraan B:hen.
Kertauskoe 2 (MAA8)
1.
Derivoi.
b) e− x
a) x x
2
c) 3 3 + 3 x
Ratkaisu:
a) D x x =
2.
3
D x2
=
3
2
x
b) D e− x = −2 xe− x
Ratkaise yhtälö. a) e 2 x −1 = 1
2
b)
3
2
c) D 3 3 + 3 x =
x 2 − 11 = −2
1
3
( 3 + 3 x )2
c) lg x + lg( 2 x + 1) = 0
Ratkaisu:
a) e 2 x−1 = 1 , kun 2 x − 1 = 0 . Tällöin x =
1
.
2
b) 3 x 2 − 11 = −2 . Tällöin x 2 − 11 = ( −2) 3 , josta x 2 = 3 ja edelleen x = ± 3
c) Yhtälön lg x + lg( 2 x + 1) = 0 määrittelyehdot ovat x > 0 ja 2 x + 1 > 0 eli yhdistettynä x > 0 . Kirjoitetaan yhtälö muotoon lg x ( 2 x + 1) = lg 1 , josta x ( 2 x + 1) = 1 ja
1
1
edelleen 2 x 2 + x − 1 = 0 . Tämän juuret ovat x = −1 tai x = . Näistä vain x =
2
2
kelpaa ratkaisuksi.
© Lukion Calculus 4
6
3.
Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
Olkoon f ( x ) = x + 2 ja g ( x ) = ( x + 2 )2 .
a) Muodosta funktio f −1 ja piirrä funktioiden f ja f −1 kuvaajat samaan koordinaatistoon.
b) Muodosta funktio fog ja ilmoita sen pienin arvo.
Ratkaisu:
a) Koska f ' ( x ) = 2 > 0 , on funktio f ( x ) = x + 2 on
aidosti kasvava. Siis sillä on käänteisfunktio. Yhtälöstä
y = x + 2 ratkeaa x = y − 2 . Käänteisfunktio on siis
f
−1
y
y=x+2
( x) = x − 2 .
1
y=x
x
1
b) ( f o g )( x ) = f ( g ( x )) = f (( x + 2) 2 ) = ( x + 2) 2 + 2
y=x-2
= x 2 + 4 x + 6 . Funktion esitysmuodosta
( f o g )( x ) = ( x + 2) 2 + 2 näkee, että pienin arvo on
( f o g )(−2) = ( −2 + 2) 2 + 2 = 2 .
4.
Määritä funktion g ( x ) = −2 x x + 3 ääriarvot.
Ratkaisu:
Funktio g ( x ) = −2 x x + 3 on jatkuva, kun x ≥ −3 , ja derivoituva, kun x > −3 .
1
x
g ' ( x) = −2 x + 3 − 2 x ·
= −2 x+3−
. Derivaatta on nolla, kun
2 x+3
x+3
x
−2 x+3−
= 0 . Tämän juuriyhtälön ratkaisu on x = −2 .
x+3
-3
Derivaatan merkkikaavion perusteella funktion
minimi on g( −3) = 0 ja maksimi g( −2 ) = 4 .
g '(x)
-2
+
g (x)
x
min
5.
Tutki funktion f ( x ) =
maks
x
monotonisuutta ja määritä funktion ääriarvot. Piirrä
ln x
funktion kuvaaja.
Ratkaisu:
x
on arvoilla x > 0 , x ≠ 1, määritelty ja
ln x
ln x − 1
jatkuva. Sen derivaatan f ′ ( x ) =
nollakohta on e. Sii(ln x )2
nä funktiolla on minimi f ( e) = e . Derivaatan merkkitutkimus osoittaa, että funktio on aidosti vähenevä väleillä 0, 1
ja 1, e sekä aidosti kasvava välillä e, ∞ .
Funktio f ( x ) =
© Lukion Calculus 4
y
y= x
1
1
x
Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
6.
7
Suomen asukasluku vuonna 1900 oli noin 2,7 miljoonaa. Sen arveltiin kasvavan
funktion f (t ) = k · e 0,008 t esittämällä tavalla, kun k on alkuarvo ja t aika vuosina.
a) Laske funktion antama vuoden 2007 väkiluku.
b) Minä vuonna väkiluku mallin mukaan ylitti neljän miljoonan rajan?
c) Mikä oli mallin mukaan väestön kasvunopeus vuonna 2000?
Ratkaisu:
a) Vuoden 1900 väkiluku 2,7 miljoonaa saadaan yhtälöstä f (t ) = k · e 0, 008 t arvolla
t = 0 . Tällöin f (0) = k = 2,7 miljoonaa. Väkiluku vuonna 2007 on
f (107 ) = 2,7 · 10 6 · e 0, 008 · 107 ≈ 6,4 · 10 6 . Vastaus: 6,4 miljoonaa
b) Ratkaistaan yhtälö 2,7 · 10 6 · e 0, 008 · t ≈ 4,0 · 10 6 kirjoittamalla se ensin muotoon
4,0
4,0
e 0,008t =
. Tästä 0,008t = ln
ja t ≈ 49,1 . Neljän miljoonan raja ylitettiin
2,7
2,7
vuonna 1949.
c) Kasvunopeus on f ' (t ) = 0,008 · 2,7 · 10 6 · e 0, 008 · t = 2,16 · 10 4 · e 0, 008 · t ja vuonna
2000 kasvunopeus on f ' (100) = 2,16 · 10 4 · e 0, 008 ·100 ≈ 48 000 asukasta/vuosi.
7.
Missä kulmassa käyrät y =
2
ja y = x 2 + 3 leikkaavat toisensa?
x
Ratkaisu:
Käyrien y =
2
ja y = x 2 + 3 yhteisten pisteiden x-koordinaatit saadaan yhtälön
x
2
= x 2 + 3 ratkaisuina. Korotetaan yhtälö neliöön ja saatetaan sitten muotoon
x
x4 + 3x2 − 4 = 0 . Saatu bikvadraattinen yhtälö ratkaistaan merkitsemällä z = x2 , jolloin z2 + 3z − 4 = 0. Tämän yhtälön juuret ovat z = 1 ja z = −4 , mikä merkitsee, että
x2 = 1 tai x 2 = −4 . Ratkaisuista vain x = 1 toteuttaa alkuperäisen yhtälön.
2
x
Kun lasketaan derivaattojen − 2 ja
arvot kohdassa x = 1 , saadaan käyrien
x
x2 + 3
1
yhteiseen pisteeseen asetettujen tangenttien kulmakertoimet −2 ja . Koska näiden
2
tulo on −1, tangentit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, joten käyrät leikkaavat toisensa suorassa kulmassa.
8.
On todettu, että eräässä teollisuusprosessissa aineen lämpötila noudattaa ajan funktiona yhtälöä
l ( t ) = − e0,5t + 2, 2t 2 + 0, 7t + 34, 7 , 0 ≤ t ≤ 10
Lämpötilan yksikkö on 1°C ja ajan 1 s.
a) Selvitä graafisesti, millä hetkellä lämpötila on korkeimmillaan ja kuinka korkea se
silloin on.
b) Millä hetkellä lämpötilan kasvunopeus on suurin?
© Lukion Calculus 4
8
Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
Ratkaisu:
a) Alla vasemmalla on funktion l (t ) = −e 0,5t + 2,2t 2 + 0,7t + 34,7 kuvaaja. Sen
huippu (8,7 s, 130 °C) voidaan jäljittää graafisesti.
b) Alla oikealla on derivaatan l ′(t ) = −0,5e 0,5t + 4,4t + 0,7 kuvaaja. Siitä voidaan jäljittää kohta t = 5,7 (s), jossa lämpötilan kasvunopeus on suurin. (Käyrän ja x-akselin
leikkauskohdasta voi varmistaa myös funktion maksimikohdan 8,7 (s).)
Huomautus: Funktion maksimikohta ja -arvo saadaan monilla graafisilla laskimilla suoraan niiden
ääriarvotoiminnolla.
°C l
120
100
80
y
60
y = l '(t)
40
20
20
2
© Lukion Calculus 4
4
6
8
t
10 s
2
-20
4
6
8
10 t