תורת המידה - Or Sharir
תורת המידה 3בינואר 2017 מרצה :פרופ׳ יורם לסט מתרגל :אליק עולמי )([email protected] סוכם ע״י :אור שריר פניות לתיקונים והערות[email protected] : אתר הסיכומים שליhttp://notes.sharir.org : 1 תוכן עניינים Iהרצאות 3 1 הקדמה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 מרחבי מידה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1 מרחב מדיד . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 מרחב מידה 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אינטגרל לבג . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3.1 11 אינטגרציה של פונקציות מרוכבות 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 קבוצות בעלות מידה אפס . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5 משפט ההצגה של ריס ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Riesz 21 5.1 מבוא לטופולוגיה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5.2 משפט ההצגה 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 מידת לבג 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p מרחבי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 6 6.1 6.2 II אי שוויונות שימושיים 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p הגדרת מרחבי 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L תרגולים 7 33 תרגול . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09.11.2016 – 1 33 7.1 מנהלות 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 מוטיבציה לקורס 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 8 27 הרעיון של לבג . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 תרגול – 16.11.2016 – 2טכניקות של מדידות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 8.1 גבולות של קבוצות 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 תרגול – 23/11/201 – 3מידות חיוביות ואינטגרל לבג . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 10 תרגול – 30.11.2016 – 4משפטי התכנסות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2 חלק I הרצאות 1 הקדמה תורת המידה עוסקת במדידת ״גדלים״ של קבוצות .הדרך הכי נאיבית לעשות זאת היא באמצעות ספירת האיברים ,אבל ברגע שמטפלים בקבוצות אינסופיות השיטה הזאת נהפכית לבעייתית .מעבר למדידה של קבוצות ,השימוש העיקרי של מידות הוא לשם הגדרה מחדש של מושג האינטגרל כך שהוא יכול על קבוצת פונקציות רחבה יותר מאינטגרל רימן שנלמד באינפי .1 נתחיל מהגדרה כללית של מושג האורך עבור קבוצות של מספרים ממשיים .עבור קטע פתוח ההגדרה היא פשוטה .|(a, b)| = b−a מה נעשה עבור קבוצה כללית? תהיא A ⊆ Rאז נגדיר ∞ X |A| = inf ∞∪ ⊆ |Ij | | (∀j∃a, b ∈ R, Ij = (a, b)) ∧ A j=1 Ij j=1 נשים לב שהאינפימום תמיד קיים עבור קבוצה של מספרים ממשיים ולכן הביטוי הנ״ל מוגדר היטב )אבל אולי שווה לאינסוף(. עבור ) A = (a, bמתקבל אורך הקטע כפי שהגדרנו לפניכן .בנוסף נשים לב כי עבור קבוצה בת מנייה אז גודלה הוא אפס. הגודל הזה נקרא המידה החוציונית של לבג על .Rכביכול ההגדרה הזאת מספקת ,אבל אחת התכונות החשובות של גודל היא עקרון החיבוריות ,כלומר שעבור שתי קבוצות זרות A, B ⊆ Rמתקיים | .|A ∪ B| = |A| + |Bעבור הערך הנ״ל העקרון הזה אינו מתקיים ,למרות שכן מתקיים אי שוויון במקום | |A ∪ B| ≥ |A| + |Bכאשר הבעיה היא שלפעמים אי השוויון היא ממש. מסתבר שלא קיימת הגדרה עבור אורך שתקיים את העקרון הזה אם כל קבוצה היא מדידה ,ולכן נמצא הגדרה חדשה שלא תהיה מוגדרת לכל הקבוצות )אבל עדיין לקבוצה מאוד רחבה( ,והיא כן תקיים את העקרון הזה .למידה הזאת נקרא מידת לבג ולקבוצות עליהן היא חלה נקרא קבוצות מדידות לבג. 2 2.1 מרחבי מידה מרחב מדיד הגדרה 2.1מרחב טופולוגי הוא זוג ) (X, τכאשר Xקבוצה ו־ τאוסף תת־קבוצות של ) Xשייקראו קבוצות פתוחות( המקיים: • מתקיים שגם הקבוצה הריקה וגם כל המרחב שייכים ל־ .τ Tn • אם Vi ∈ τלכל i = 1, . . . , nאזי – i=1 Vi ∈ τ״כל חיתוך סופי של קבוצות פתוחות הוא קבוצה פתוחה״. • אם {Vα }α∈Aמשפחה כלשהי של קבוצות ב־ ) τיכולה להיות סופית ,בת מנייה או אפילו לא בת־מנייה( ,אזי .∪α∈A Vα ∈ τ הערה 2.2אם ) (X, τמרחב טופולוגי לרוב נדבר פשוט על ״X״ כמרחב טופולוגי בלי לציין במפורש את .τ דוגמאות: .1כל מרחב מטרי הוא מרחב טופולוגי עם ההגדרה הסטדנרטית של קבוצות פתוחות כפי שנלמדה באינפי )עבור כל נקודה בקבוצה קיים רדיוס rכך שהכדור הפתוח סביב הנקודה ברדיוס הזה מוכל בקבוצה(. S .2ה״קטע״ ]∞ [0, ∞) {∞} = [0,כאשר קבוצות פתוחות בו הן איחודי קטעים מהצורות ) (a, bוגם קטעים מהצורה ]∞ (a,או ). [0, a 3 הגדרה 2.3יהיה Xו־ Yמרחבים טופולוגיים ,אז הפונקציה f : X → Yנקראת רציפה אם״ם לכל קבוצה פתוחה V ⊆ Yהמקור שלה תחת ) f −1 (Vהיא קבוצה פתוחה ב־) Xכאשר } .(f −1 (V ) = {x|f (x) ∈ V ( ∞ x=0 דוגמא :נסתכל על הפונקציה ]∞ f : [0, 1] → [0,המוגדרת ע״י f (x) = 1וניתן להראות שהפונקציה הנ״ל היא x 6= 0 x רציפה תחת הטופןלוגיה של ]∞ [0,שהוגדרה לעיל ,בעוד הפונקציה f (x) = x1מעל כל Rאינה רציפה ב־. x = 0 הגדרה 2.4תהי Xקבוצה ,אוסף Mשל תת־קבוצות של Xייקרא σ־אלגברה )בדיבור ״סיגמה־אלגברה״( ב־ Xאם יש לו את התכונות הבאות: .X ∈ M .1 .2לכל A ∈ Mמתקיים ש־) Ac ∈ Mכאשר Acנקרא המשלים של Aומוגדר ע״י .(Ac = X\A ∞ ∞∪. .3עבור סדרה של קבוצות {An }n=1כך ש־ ,An ∈ Mאזי n=1 An ∈ M הערה 2.5ההבדל בין אלגברה ל־σ־אלגברה הוא שתנאי 3לעיל הוא על סדרות בנות מנייה במקום סדרות סופיות במקרה של אלגברה. דוגמא :לכל קבוצה Xניתן להגדיר: • } M = {∅, Xשהיא ה־σ־אלגברה הקטנה ביותר. • }) M = {A|A ⊆ Xכל תתי הקבוצות של (Xשהיא ה־σ־אלגברה הגדולה ביותר. הגדרה 2.6מרחב מדיד ) (measurable spaceהוא זוג ) (X, Mכאשר Xמרחב כלשהו ו־ Mהיא σ־אלגברה ב־ .Xבד״כ נאמר פשוט כי Xהוא מרחב מדיד ,ואברי Mנקראים קבוצו מדידות ב־.X הגדרה 2.7יהי Xמרחב מדיד ו־ Yמרחב טופולוגי .פונקציה f : X → Yתיקרא פונקציה מדידה אם לכל קבוצה פתוחה ,V ⊆ Yהמקור ) f −1 (Vהוא קבוצה מדידה ב־.X הערה 2.8חשוב לשים לב כי Yהוא לאו דווקא מרחב מדיד בעצמו )למרות שבד״כ הוא כן( ,והסיבה להגדרה של מרחב מדיד דווקא בצורה הזאת היא כי בד״כ נצטרך את מושג הגבול שמוגדר במרחב טופולוגי אבל לא במרחב מדיד )אלא אם הוא מרחב טופולוגי ומדיד כמובן(. טענה 2.9תהי σ M־אלגברה ב־ ,Xאזי: .∅ ∈ M .1 .2עבור כל סדרה סופית ,A1 , . . . , An ∈ Mמתקיים ש־ .∪ni=1 Ai ∈ M ∞ ∞∩ )אותו דבר גם עבור סדרה סופית(. .3אם (An )n=1סדרה אינסופית כך ש־ ,An ∈ Mאזי n=1 An ∈ M .4עבור A, B ∈ Mמתקיים ש־.A\B ∈ M הוכחה :נוכיח את תתי הסעיפים: .1נובע מכך ש־ ∅ = X cוכי לכל A ∈ Mמתקיים ש־.Ac ∈ M .2נובע מלקחת ∅ = · · · = An+1 = An+2וכך נגדיר סדרה אינסופית ) (Anולפי ההגדרה האיחוד שלהן שייך ל־.M 4 c ∞ c ∞∩ .עבור המקרה הסופי אז אפשר להוסיף עוד אינסוף עותקים של Xכמו בסעיף .3נובע מהשיוויון ) n=1 An = (∪n=1 An הקודם. .4נובע מ־ A\B = B c ∩ Aומהסעיף הקודם. משפט 2.10יהיו Yו־ Zמרחבים טופולוגיים ותהי g : Y → Zפונקציה רציפה .אזי: .1אם Xמרחב טופולוגי ,תהי f : X → Yפונקציה רציפה ונגדיר את ההרכבה ,h = g ◦ fאזי h : X → Zהיא גם כן פונקציה רציפה. .2אם Xמרחב מדיד ,תהי f : X → Yפונקציה מדידה ונגדיר את ההרכבה ,h = g ◦ fאזי h : X → Zהיא גם כן פונקציה מדידה. הוכחה :נוכיח את תתי הסעיפים: .1אם Vקבוצה פתוחה ב־ ,Zאז כיוון ש־ gרציפה אזי ) g −1 (Zהיא קבוצה פתוחה ב־ ,Yולכן ) f −1 g −1 (Vהיא גם כן קבוצה פתוחה כי גם fרציפה ,ולכן ) h−1 (V ) = f −1 g −1 (Vהיא גם כן פתוחה ב־ Xולכן hרציפה. .2באופן דומה ,כש־ fמדידה נובע שלכל Vפתוחה ב־ Zאזי ) g −1 (Vפתוחה ב־ Yוכיוון ש־ fמדידה אז ) f −1 g −1 (V היא קבוצה מדידה ב־ ,Xולכן ) h−1 (Vהיא גם כן קבוצה מדידה ולכן hהיא פונקציה מדידה. משפט 2.11יהיו u, vפונקציות מדידות ממשיות על מרחב מדיד ) Xכלומר u, v : X → Rכאשר Rעם הטופולוגיה הסטנדרטית( ותהי Φ : R2 → Yפונקציה רציפה כאשר Yמרחב טופולוגי ,ונגדיר h : X → Yע״י )) .h (x) = Φ (u (x) , v (xאזי hהיא מדידה. הוכחה :נגדיר )) f (x) = (u (x) , v (xאזי fהיא פונקציה מ־ Xל־ R2ו־ .h = Φ ◦ fלכן נובע מהמשפט הקודם שמספיק להוכיח ש־ fמדידה .אם Rמלבן פתוח במישור ,R2בעל צלעות מקבילות לצירים ,כלומר Rהוא מהצורה R = I1 × I2 עבור קטעים פתוחים ,I1 , I2 ⊂ Rאזי ) .f −1 (R) = u−1 (I1 ) ∩ v −1 (I2לכן במקרה זה ממדידות uו־ vנובע ש־)f −1 (R 2 ∞∪ = ,Vוהיות קבוצה מדידה .עבור קבוצה פתוחה כללית V ⊂ Rידוע שהיא איחוד בן מנייה של מלבנים כאלו ,כלומר i=1 Ri −1 −1 ∞ −1 ∞∪( f (V ) = f −1אז נובע ש־) f (Vהיא קבוצה מדידה ,ולכן fהיא מדידה. ש־) (Ri i=1 Ri ) = ∪i=1 f מסקנה 2.12יהי Xמרחב מדיד ,אזי: .1אם ,f = u + ivכאשר u, vפונקציות ממשיות מדידות על ,Xאזי fפונקציה מרוכבת ומדידה על ) Xכאשר חושבים על המישור המרוכב כעל מרחב טופולוגי(. .2אם f = u + ivפונקציה מרוכבת ומדידה על ,Xאזי גם | |u| , |vו־| |fהן פונקציות ממשיות ומדידות על .X .3אם fו־ gפונקציות מרוכבות ומדידות על ,Xאזי גם הסכום f + gוגם f · gהן גם פונקציות מרוכבות ומדידות על .X ( 1 x∈E = )) χE (xנקראת הפונקציה המציינת )או האופיינית ,באנגלית charac- .4אם Eקבוצה מדידה ב־ Xואם 0 x 6∈ E (teristicשל ,(Eאזי χEמדידה על .X 5 .5אם fפונקציה מרוכבת ומדידה על ,Xאזי קיימת פונקציה מרוכבת ומדידה αעל ,Xכך ש־ |α| = 1ו־| ) f = α · |fכאשר αלמעשה מציינת את הפאזה של .(f הוכחה :נוכיח את הסעיפים: .1נובע ממשפט 2.11עם .Φ (z) = z .2נובע ממשפט 2.10עם ).g (z) = |z| , g (z) = Im (z) , g (z) = Re (z .3עבור fו־ gממשיות זה נובע ממשפט 2.11עם Φ (s, t) = s + tאו . Φ (s, t) = s · tהמקרה המרוכב נובע לכן מסעיף 1 ו־ 2לעיל. .4נשים לב שמתקיים לכל ) Vבין אם היא פתוחה או לא(: ∧ 1 6∈ V ∧1∈V ∧ 1 6∈ V ∧1∈V 0 6∈ V 0 6∈ V 0∈V 0∈V ∅ E χ−1 = ) E (V E −c X וכיוון ש־ ∅, E, E −cו־ Xהן קבוצות מדידות אזי χEהיא פונקציה מדידה. .5תהיא } E = {X|f (x) = 0ויהי }) Y = C\ {0״המישור המנוקב״( .נגדיר ϕ : Y → Cע״י z ||z = ) .ϕ (zבנוסף נגדיר )(x |) α (x) = |ff (xולכן מתקיים ש־.|α (x)| = 1 )) .α (x) = ϕ (f (x) + χE (xאם x ∈ Eאזי ,α (x) = 1ואם x 6∈ Eאזי היות ו־ ϕרציפה על Yו־ Eמדידה )מושאר כתרגיל להוכיח ש־ Eאכן מדידה( ,אזי αהיא מדידה בתור חיבור והרכבה של פונקציות מדידות כפי שהוכחנו לפניכן. משפט 2.13אם Fאוסף כלשהו של תת־קבוצות של קבוצה כלשהי ,Xאזי קיימת σ־אלגברה ∗ Mשל Xשהיא ה־σ־אלגברה הקטנה ביותר המכילה את M∗ .Fכנ״ל נקראת ה־σ־אלגברה הנוצרת ע״י .F הוכחה :תהי Ωמשפחת כל ה־σ־אלגבראות של Xהמכילות את .Fהיות וה־σ־אלגברה שהיא אוסף כל תתי הקבוצות של X תמיד שייכת ל־ ,Ωאזי Ωאינה ריקה .תהי ∗ Mהחיתוך של כל אברי .(M∗ = ∩M∈Ω M) Ωברור ש־ ∗ F ⊂ Mוש־ ∗ Mמוכלת ∞ בכל σ־אלגברה של Xהמכילה את .Fנותר להראות ש־ ∗ Mעצמה )כפי שהגדרנו( היא σ־אלגברה .אם (An )n=1סדרה בת ∞ ∗ ∞∪ לכל M ∈ Ωאזי מנייה כך ש־ An ∈ Mואם M ∈ Ωאזי An ∈ Mלכל nולכן גם .∪n=1 An ∈ Mהיות ו־n=1 An ∈ M ∞ ∗ מתקיים גם כי .∪n=1 An ∈ Mבאופן דומה ניתן להראות גם שתי התכונות האחרות בהגדרה של σ־אלגברה מתקיימות עבור ∗ ,Mולכן היא בעצמה σ־אלגברה. הגדרה 2.14יהי Xמרחב טופולוגי ,קבוצות בורל ) (Borelהן אברי ה־σ־אלגברה הנוצרת ע״י הקבוצות הפתוחות ב־.X טיפוסים מוסיימים של קבוצות בורל: • קבוצה נקראת Gδאם היא חיתוך בן מנייה של קבוצות פתוחות ) δמייצגת חיתוכים ו־ Gקבוצות פתוחות(. • קבוצה נקראת Fσאם היא איחוד בן מנייה של קבוצות סגורות ) σמצייגת איחודים ו־ Fקבוצות סגורות(. • ניתן לדבר גם על קבוצות כמו Gδσשהוא איחוד בן מנייה של קבוצות ,Gδאו למשל Fσδσשהוא איחוד בן מנייה של קבוצות ) Fσδכלומר איחוד של חתוך של איחודים של קבוצות פתוחות(. דוגמאות: 6 1 1 ∞ ולכן הקטע ) [a, bהוא גם Fσוגם ∞∩ = ),[a, b .1עבור |a − b| > 1אפשר לרשום n=1 a − n , b = ∪n=1 a, b − n .Gδבאופן יותר טריוויאלי } {aעבור a ∈ Rהיא גם כן ) Gδחיתוך כל הקטעים ( a − n1 , a + n1וגם {a}) Fσ בעצמה סגורה(. p p − exp )(−q , + exp )(−q .2עבור p, q ∈ Nנגדיר ∞∩ = L = Ip,qובנוסף n=1 ∪q≥n ∪1 ≤ p ≤ q Ip,q q q (p, q) = 1 L בנוסף .G קבוצת היא מספרי Liouville )הכוונה של (p, q) = 1היא שמדובר בשבר מצומצם( הנקראים δ גםn o ∞ pn pn זו בדיוק קבוצת כל המספרים ] α ∈ [0, 1שעבורם יש סדרה qnעם (pn , qn ) = 1כך ש־< α − qn n=1 ) .exp (−qnניתן להראות ש־ Lקבוצה צפופה ,לא בת מנייה והיא בעלת ״מידה אפס״ )במובן שהמידה החיצונית של לבג מתאפסת עליה( .זה נכון כי מתקיים )חסם עליון באמצעות אורכי הקטעים(: X q · 2 · exp (−q) → 0 ≤ ∪q≥n ∪1 ≤ p ≤ q Ip,q ∞→n q≥n (p, q) = 1 וכיוון שחיתוך של קטעים שאורכם שואף לאפס אז האורך של כל החיתוך הוא אפס. הגדרה 2.15אם X, Yמרחבים טופולוגיים f : X → Y ,נקראת מדידה בורל ,או פונקציית בורל ,אם היא מדידה ביחס ל־σ־אלגברה של קבוצות בורל ב־.X תרגיל :כל פונקציה רציפה בין מרחבים טופולוגיים היא פונקציית בורל משפט 2.16יהיו ) (X, Mמרחב מדיד Y ,מרחב טופולוגי ,ו־ ,f : X → Yאזי: Ω = E ⊆ Y |f −1 (E) ∈ M .1היא σ־אלגברה ב־ .Y .2אם fמדידה ו־ Eקבוצת בורל ב־ ,Yאזי .f −1 (E) ∈ M S .3אם ]∞ ) Y = [−∞,כלומר המרחב }∞ (−∞, ∞) {−∞,עם קבוצות פתוחות ) ,([−∞, a), (b, ∞], (a, bו־∈ )]∞ f −1 ((a, Mלכל ,a ∈ Rאזי fמדידה. .4אם fמדידה Z ,מרחב טופולוגי g : Y → Z ,פונקציית בורל ו־ ,h = g ◦ fאזי h : X → Zהיא מדידה. הוכחה :נוכיח את הטענות: .1נובע מיידית מהקשרים: • .f −1 (Y ) = X ∈ M • f −1 (Y \A) = X\f −1 (A) ∈ M ∞ −1 ∞∪( .f −1 • ) (Ai i=1 Ai ) = ∪i=1 f .2יהי Ωכמו ב־) .(1ממדידות fנובע ש־ Ωמכיל את כל הקבוצות הפתוחות ב־ ,Yולכן היות ו־ Ωהיא σ־אלגברה אז נובע ש־ Ωמכיל את כל קבוצות הבורל ב־ .Y .3יהי .Ω = E ⊆ [−∞, ∞] |f −1 (E) ∈ Mלכל a ∈ Rמתקיים: 1 1 ∞ [−∞, a) = ∪n=1 −∞, a − ∞∪ = , ∞]c n=1 (a − n n 7 והיות ש־ Ωהיא σ־אלגברה )ע״פ ) ,((1נובע [−∞, a) ∈ Ωלכל ,a ∈ Rולכן גם מתקיים: ∀ − ∞ < a < b < ∞ → (a, b) = [−∞, b) ∩ (a, ∞] ∈ Ω היות וכל קבוצה פתוחה ב־]∞ [−∞,היא איחוד בן מנייה של קטעים מהצורה ]∞ ) [−∞, a), (a, b) , (b,תרגיל( ,אז נובע שכל קבוצה פתוחה היא ב־ ,Ωומכאן ש־ fמדידה. .4תהי V ⊆ Zפתוחה ,אזי ) g −1 (Vהיא קבוצת בורל ב־ Yו־ ) .h−1 (V ) = f −1 g −1 (Vעתה נובע מ־) (2ש־ .h−1 (V ) ∈ M ∞ הגדרה 2.17תהי (fn )n=1סדרת פונקציות ממשיות מורחבות ,דהיינו ]∞ ) fn : X → [−∞,ל־]∞ [−∞,קוראים הישר המורחב המספרים הממשיים המורחבים – .(extended realsנגדיר ))inf fn (x) := inf (fn (x n n ))sup fn (x) := sup (fn (x n n ))lim inf fn (x) := lim inf (fn (x n n ))lim sup fn (x) := lim sup (fn (x ∞→n ∞→n אם בכל נקודה xקיים הגבול )) ,limn→∞ (fn (xאזי מוגדרת גם פונקציית הגבול הנקודתית )),(limn→∞ fn ) (x) := limn→∞ (fn (x ∞ ובמקרה כזה אומרים ש־ (fn )n=1מתכנסת נקודתית לגבול ,limn→∞ fnונובע ש־ .limn→∞ fn = lim supn→∞ fn = lim inf n→∞ fn הערה 2.18שתי הערות לגבי ההגדרות לעיל: .1נשים לב שתמיד מתקיים ש־) ,inf n fn = − (supn −fnובאותו אופן ) .lim inf n→∞ fn = − (lim supn→∞ −fnלכן מספיק לרוב לדון ב־ supוב־.lim sup .2על גבול נקודתי אפשר כמובן לדבר גם עבור פונקציות מרוכבות ואז קיום הגבול שקול לקיומו בנפרד עבור החלק הממשי והחלק המדומה. משפט 2.19אם קיימת סדרת פונקציות ]∞ fn : X → [−∞,הן פונקציות מדידות ,אזי sup fnו־ lim sup fnהן פונקציות מדידות. ( ∞ x=α דוגמא: x 6= α פונקציה שמקבל אינסוף בכל המספרים הרציונליים ,אבל היא עדיין מדידה .אבל אפשר לראות שהיא גבול נקודתי של פונקציות רציפות )ולכן מדידות( ולכן לפי המשפט היא אכן מדידה. 1 (α−x)2 = ) ,gα (xויהיו ∞ {αn }n=1 סידור של הרציונליים ב־] ,[0, 1ונגדיר )2−n gαn (x ∞P n=1 = ) .f (xזאת הוכחה :לכל ,α ∈ Rמתקיים כי −1 ∞∪ = )]∞ ((α, )]∞ n=1 fn ((α, −1 sup fn n מכאן ,לפי סעיף ) (3של המשפט הקןדם supn fn ,מדידה ,היות ו־ lim supn fn = inf n supk≥n fkומכאן נובע שגם lim supn→∞ fnמדידה. 8 הגדרה 2.20בהינתן ]∞ f, g : X → [−∞,נגדיר: })(max {f, g}) (x) = max {f (x) , g (x })(min {f, g}) (x) = min {f (x) , g (x כמו כן לכל ]∞ f : X → [−∞,נגדיר את }f + = max {f, 0 }f − = − min {f, 0 כאשר f +נקראת החלק החיובי של fו־ f −נקראת החלק השלילי של ,fוהן פונקציות אי־שליליות )מקבלות ערכים ב־]∞ ,([0, ומתקיים ש־ f = f + − f −ו־ .|f | = f + + f − טענה 2.21אם f = g − hכך ש־ g ≥ 0וגם ,h ≥ 0אזי f + ≤ gוגם .f − ≤ h הערה 2.22במובן מסויים הטענה לעיל מראה שהייצוג הנ״ל של פונקציה ע״י הפרש של שתי פונקציות הוא אופטימלי. הוכחה f ≤ g :מחיוביות fו־ ,gוכיוון ש־ g ≥ 0אז ,f + = max {f, 0} ≤ gובדומה ניתן להראות כי .f − ≤ h מסקנה 2.23מסקנות מהמשפט האחרון: ∞ .1תהי (fn )n=1סדרת פונקציות מרוכבות מדידות המתכנסת לגבול נקודתי ,אזי הגבול הנ״ל הוא פונקציה מרוכבת מדידה. .2אם ]∞ f, g : X → [−∞,מדידות ,אזי גם } f + ,min {f, g} ,max {f, gו־ f −הן מדידות. הוכחה :נוכיח את המסקנות: .1ברור מהמשפט אחרון ומההסתכלו בנפרד על חלק ממשי וחלק מדומה. .2ניקח f1 = f, f2 = gועבור שאר הפונקציות ∞ f3 = f4 = · · · = −אזי ,max {f, g} = supn fnובאופן דומה עבור שאר המקרים. הגדרה 2.24פונקציה מרוכבת sעל מרחב מדיד Xנקראת פונקציה פשוטה ) (Simple Functionאם הטווח שלה כולל מספר סופי של נקודות. α1 , . . . , αPהם הערכים שמקבלת פונקציה פשוטה sונגדיר } ) Ai := {x|s (x) = αiכלומר ) ,(Ai = s−1 (αi הערה 2.25אם n n אזי .s = i=1 αi χAiראינו כי פונקציה אופיינית היא מדידה אם״ם הקבוצה שמגדירה אותה היא קבוצה מדידה ,ולכן קל n ראות ש־ sמדידה אם״ם כל הקבוצות {Ai }i=1הן מדידות )תרגיל(. ∞ משפט 2.26תהי ]∞ f : X → [0,מדידה ,אזי קיימת סדרת פונקציות פשוטות (sn )n=1על Xכך שמתקיים: .0 ≤ s1 ≤ s2 ≤ · · · ≤ f .1 limn→∞ sn = f .2כגבול נקודתי. 9 הוכחה :נתחיל בלהראות איך נביע את פונקציית הזהות f (t) = tכסדרת פונקציות פשוטות .נגדיר ,δn = 2−nולכל t ∈ R ו־ n ∈ Nקיים k = kn (t) ∈ Nיחיד כך ש־ .kδn ≤ t < (k + 1) δnנגדיר עכשיו ( kn (t) δn 0 ≤ t < n = )ϕn (t n ∞≤n≤t אזי כל ϕnהיא פונקציית בורל )פשוטה( על ]∞ ,[0,ומתקיים tδn ≤ ϕn (t) < tלכל 0 ≤ t ≤ nוגם מתקיים ש־≤ 0 ≤ ϕ1 ,ϕ2 ≤ · · · ≤ tוכן (limn→∞ ϕn ) (t) = tלכל ]∞ .t ∈ [0, תהי fכלשהי פונקציה מדידה ונגדיר כעת את ,sn = ϕn ◦ fוכיוון ש־ ϕnפשוטה אז גם ההרכבה snפשוטה ,ומקיימות את )(1 ו־) (2באופן מיידי ,וע״פ משפט קודם )סעיף ) (4של המשפט האחרון( הן מדידות. 2.2 מרחב מידה הגדרה 2.27מידה חיובית ) (Positive Measureעל σ־אלגברה Mהיא פונקציה ]∞ µ : M → [0,שיש לה את התכונה הבאה ∞ Pלכל משפחה בת מנייה M ⊇ {An }n=1של קבוצות זרות זו לזו )כלומר ∅ = (n 6= m ⇒ An ∩ Am )הנקראת σ־אדיטיביות(: ∞ ∞∪( .µכמו כן ,נניח שקיימת A ∈ Mשעבורה ∞ < )) µ (Aאנחנו ניראה בהמשך שתנאי = ) n=1 An מתקיים ש־) n=1 µ (An זה שקול לכך ש־.(µ (∅) = 0 הגדרה 2.28מידה מרוכבת ) (complex measureעל σ־אלגברה Mהיא פונקציה µ : M → Cשיש לה את תוכנת ה־σ־ אדיטיביות כפי שהוגדרה עבור מידה חיובית לעיל. הגדרה 2.29מידה ממשית ) real measuresאו לפעמים (signed measureהיא מקרה פרטי של מידה מרוכבת. הערה 2.30רק מידה חיובית יכולה לקבל את הערך ״∞״ .כשאומרים מידה )בד״כ( מתכוונים למידה חיובית. הגדרה 2.31מרחב מידה ) (Measure Spaceהוא מרחב מדיד יחד עם מידה חיובית המוגדרת על ה־σ־אלגברה המתאימה. דהיינו ,זוהי שלשה סגורה ) (X, M, µכאשר Xקבוצה כלשהיσ M ,־אלברה ב־ ,Xו־ µמידה חיובית על .M הערה 2.32מרחב מידה מוגדר רק עבןר מידה חיובית ולא עבור המידות האחרות .אין דבר כזה ״מרחב מידה חיובית״. משפט 2.33תהי µמידה חיובית על σ־אלגברה ,Mאזי: .µ (∅) = 0 .1 P n µ (∪ni=1 Ai ) = i=1 µ (Ai ) .2אם A1 , . . . , Anקבוצות זרות זו לזו. .3אם A, B ∈ Mו־ A ⊆ Bאזי ).µ (A) ≤ µ (B ∞∪ = ,Aאזי ). µ (An ) → µ (A .4אם An ∈ M ,A1 ⊆ A2 ⊆ A3 ⊆ . . .וגם n=1 An ∞→n ∞∩ = Aוגם ∞ < ) ,µ (A1אזי ).µ (An ) → µ (A .5אם n=1 An ,An ∈ M ,A1 ⊇ A2 ⊇ A3 ⊇ . . . ∞→n הערה 2.34חוץ מתוכנה ) ,(3הכל נכון גם למידות מרוכבות .תכונה ) (2נקראת אדיטיביות )או אדיטיביות סופית( .תכונה )ג( נקראת מונוטונית. הוכחה :נוכיח כל סעיף בנפרד: 10 .1ניקח A ∈ Mשעבורה ∞ < ) ,µ (Aונסתכל על הסדרה ∅ = A2 = A3 = . . .כאשר ,A1 = Aאזי מתכונת ה־σ־אדיטיביות מתקיים 1 ∞ X )∅( µ (Ai ) = µ (A) + µ ∞ X = ∞∪( µ ) i=1 Ai = )0 > µ (A i=1 i=1 והערך היחידי שיקיים את אי השוויון הנ״ל הוא אם .µ (∅) = 0 .2ניקח פשוט ∅ = An+1 = An+2 = . . .ונשתמש ב־σ־אדיטיביות ותכונה ) (1לעיל. .3נשים לב ש־) B = A ∪ (B\Aו־∅ = ) A ∩ (B\Aולכן מ־) (2נובע כי ).µ (B) = µ (A) + µ (B\A) ≥ µ (A .4נסמן B1 = A1ו־ Bn = An \An−1עבור ,n = 2, 3, . . .אזי Bn ∩Bm = ∅ ,Bn ∈ Mאם ,n 6= mומתקיים An ∪ni=1 Bi ∞∪ = .Aעתה מתקיים וכן i=1 Bi ) µ (Bi ) µ (Bi n X i=1 ∞ X = ) µ (An = )µ (A i=1 ולפי ההגדרה של טור אינסופי ai Pn i=1 ∞→ai = limn ∞P i=1 קיבלנו כי ).µ (An ) → µ (A ∞∪ = A1 \Aולכן .5נסמן ,Cn = A1 \Anאזי µ (Cn ) = µ (A1 ) − µ (An ) ,C1 ⊆ C2 ⊆ . . .ו־ n=1 Cn )(3 ) µ (A1 ) − µ (A) = µ (A1 \A) = lim µ (Cn ) = µ (A1 ) − lim µ (An ∞→n ∞→n שמוכיח את הטענה. דוגמאות: .1לכל קבוצה ,Xנגדיר ל־ E ⊆ Xאת המידה ) µ (Eבתור מספר הנקודות בקבוצה ) Xכאשר היא אולי מחזירה ∞(. µהזאת נקראת מידת המנייה על ,Xוניתן להגדירה לכל σ־אלגברה ב־.X ( 1 x0 ∈ E = ) .µ (Eמידה זאת נקראת ״המידה האטומית ב־ x0״ או ״מידת דירק ב־ x0״ .2תהי xo ∈ Xונגדיר 0 x0 6∈ E או ”.“unit point mass 3 אינטגרל לבג (Lebesgueתהי µמידה חיובית )על σ־אלגברה Mב־ .(Xעבור פונקציה מדידה פשוטהs : X → , הגדרה ) 3.1אינטגרל לבג P–n ]∞ [0,מהצורה ,s = i=1 αi χAiמגדירים לכל :E ∈ M )αi µ (Ai ∩ E n X i=1 Z = sdµ E כאשר ייתכן כי ,αi = 0ובמידה ו־∞ = ) µ (Ai ∩ Eאז מתקיים .0 · ∞ = 0 11 עבור ]∞ f : X → [0,מדידה ו־ ,E ∈ Mמגדירים Z Z f dµ = sup sdµ : s is simple and 0 ≤ s ≤ f E E כאשר הביטוי הנ״ל נקרא אינטגרל לבג של fעל Eביחס למידה .µ I1 , Pכאשר בכל חלק אנחנו של fלחלקים . . . , In הערה 3.2במובן מסויים ההגדרה לעיל שקולה לבחירת חלוקה של הטווח n בוחרים נקודה מייצגת , αi ∈ Iiואז אנו מקרבים את האינטגרל עם הביטוי ) . i=1 αi µ f −1 (Iiהגדרה זו מזכירה לכן את אינטגרל רימן ,כאשר שם חילקנו את ציר ה־) xבמקום את ציר ה־ (yומצאנו גובה מלבן מייצג למלבן היושב על כל קטע בחלוקה. תכונות שקל לבדוק: R R .1אם 0 ≤ f ≤ gאזי . E f dµ ≤ E gdµ R R .2אם f ≥ 0ו־ A ⊆ Bאזי . A f dµ ≤ B f dµ .3אם .4אם .5אם .6אם R R f ≥ 0ו־ Cקבוע כך ש־∞ < 0 ≤ cאזי . E c · f dµ = c E f dµ R f (x) = 0לכל x ∈ Xאזי ) E f dµ = 0אפילו אם ∞ = ).(µ (E R µ (E) = 0אזי ) E f dµ = 0אפילו אם ∞ = ) f (xלכל .(x ∈ E R R f ≥ 0אזי . E f dµ = X χE f dµ טענה 3.3יהיו sו־ tפונקציות פשוטת מדידות אי־שליליות על .Xנגדיר לכל E ∈ Mאת הגודל sdµ היא מידה על ,Mוכמוכן ,מתקיים Z Z Z )∗( = (s + t) dµ sdµ + tdµ X X R E = ) ,ϕ (Eאזי )·( φ X . הוכחה S :מהצורה αi χAi Pn i=1 ∞ ∞∪ ,אזי = .sאם {En }n=1 ⊆ Mכאשר ∅ = En ∩ Emל־ n 6= mו־n=1 En = E )αi µ (Ai ∩ E n X Z = )ϕ (E = sdµ E i=1 ∞∪( ∩ αi µ (Ai )) n=1 En n X = i=1 ∞∪( αi µ )) n=1 (Ai ∩ En n X = i=1 ) µ (Ai ∩ En ∞ X αi n X n=1 i=1 ∞ X n X ) αi µ (Ai ∩ En n=1 i=1 ∞ X ) ϕ (En = = )(i )(ii = n=1 כאשר ) (iנובע מה־σ־אדיטיביות של ,µו־) (iiכי מדובר בסכום אינסופי של איברים אי־שליליים ולכן ניתן לשנות את סדר הסכימה .היות וברור ש־ ϕ (∅) = 0אז נובע ש־ ϕהיא אכן מידה. 12 תהי כעת βj χBj Pm j=1 = tונגדיר ,Eij = Ai ∩ Bjאזי Z ) (s + t) dµ = (αi + βj ) µ (Eij Eij Z Z sdµ + ) tdµ = αi µ (Eij ) + βj µ (Eij Eij Eij ולכן השוויון )∗( מתקיים עם Eijבמקום .Xהיות ו־ Xהוא איחוד מהצורה X = ∪ 1 ≤ i ≤ n Eijוהקבוצות Eijהו זרות 1≤j≤m זו לזו ,התוצאה )∗( נובעת מיידית מהחלק הראשון של הטענה ,כלומר מכך שמתקיים ש־= ϕ (X) = ϕ ∪ 1 ≤ i ≤ n Eij 1≤j≤m Pn,m ) . i,j=1 ϕ (Eij ∞ משפט ) 3.4משפט ההתכנסות המונוטונית של לבג( תהי {fn }n=1סדרת פונקציות מדידות על ,Xונניח Rש־)א( ≤ )0 ≤Rf1 (x ∞ ≤ f2 (x) ≤ . . .לכל ,x ∈ Xו־)ב( ) fn (x) → f (xלכל .x ∈ Xאזי fמדידה ומתקיים ש־. X fn dµ → X f dµ ∞→n ∞→n R R R הוכחה :היות ו־ X fn dµ ≤ X fn+1 dµאז יש ]∞ α ∈ [0,כך ש־ X fn dµ → αכי לכל סדרה מונוטונית עולה יש גבול ∞→n R R הרחב )אולי אינסוף( .ע״פ משפט קודם fמדידה ,והיות ש־ fn ≤ fלכל nאז נובע כי X fn dµ ≤ X f dµלכל nולכן במובן R .α ≤ X f dµתהי כעת sפונקציה מדידה ופשוטה כך ש־ ,0 ≤ s ≤ fיהי Cקבוע כך ש־ ,0 < c < 1ונגדיר את הקבוצה ∞∪ = X }) En = {x|fn (x) ≥ c · s (xוקל לוודא כי ,En ∈ Mובנוסף מתקיים .E1 ⊆ E2 ⊆ . . .מהגדרת Enנובע כי n=1 En )כי אם f (x) = 0אזי c · s (x) = 0וכן fn (x) = 0כך ש־ .x ∈ E1אחרת ,f (x) > 0אזי ) c · s (x) < f (xולכן x ∈ Enל־n מספיק גדול( ,ומתקיים: Z Z Z Z ≥ fn dµ ≥ fn dµ · c · sdµ = c sdµ En En X En R לכל c < 1נובע כיsdµ R נובע ש־ .α ≥ c X sdµהיות וזה נכון R ומסעיף ) (4ממשפט 2.33 אז בפרט זה נכון עבור ה־ . X f dµ = sup X sdµ : s is simple and 0 ≤ s ≤ f משפט 3.5אם ]∞ fn : X → [0,פונקציות מדידות ל־ n = 1, 2, . . .וגם )fn (x fn dµ ∞ Z X X ∞P n=1 R X ≥ .αכיוון שזה נכון לכל sכנ״ל, = ) f (xלכל ,xאזי Z = f dµ X n=1 דהיינו: fn dµ ∞ Z X X ! = dµ n=1 fn ∞ X n=1 Z X )כלומר למעשה אנו מוכיחים כי ניתן להחליף את סדר הגבולות /הסכימה( ∞ ∞ 00 0 הוכחה :נראה תחילה כי המשפט נכון עבור סכום סופי .יהיו {si }i=1וגם {si }i=1סדרות מונוטוניות של פונקציות מדידותR 0 s dµ = כי נובע 3.3 טענה פי על .s → f + f אזי ,s = s + פשוטות כך ש־ s0i → f1ו־ .s00i → f2נגדיר s00i i 1 2 i i X i 13 R R . X s0i dµ + X s00i dµבנוסף ,על פי משפט 3.4מתקיים כי Z Z → si dµ (f1 + f2 ) dµ ZX f1 dµ ZX → s0i dµ X Z f2 dµ X Z → s00i dµ X X R R R ולכן מהטענה הקודמת מתקיים כי . X (f1 + f2 ) dµ = X f1 dµ + X f2 dµ R PN R כעת נגדיר ,gN = f1 + . . . + fN :אזי ע״י הפעלת אינדוקציה על מה זה עתה הראינו ,נובע. X gN dµ = n=1 X fn dµ : ∞ הסדרה {gN }N =1מתכנסת באופן מונוטונית עולה ל־ ,fולכן נובע Z Z fn dµ = lim = gN dµ f dµ N Z X X ∞→ N X X n=1 ∞ Z X fn dµ = lim ∞→ N X n=1 כאשר בשוויון הימני השתמשנו במשפט .3.4 מסקנה 3.6אם aij ≥ 0עבור ,i, j ∈ Nאזי aij ∞ ∞ X X = aij j=1 i=1 ∞ X ∞ X i=1 j=1 הוכחה :נגדיר פונקציות ]∞ fi : N → [0,ע״י .fi (j) = aijתהי µמידת המנייה על Nעם ה־σ־אלגברה של כל תת־הקבוצות של .Nאזי: ! ∞ X ∞ ∞ ∞ X X X = aij )fi (j i=1 ! dµ fi j=1 ∞ X Z = )∗( N i=1 fi dµ )fi (j aij j=1 i=1 ∞ Z X i=1 N ∞ X ∞ X i=1 j=1 ∞ X ∞ X = )∗∗( = = i=1 j=1 כאשר ב־)∗( השתמשנו בכך שאינטגרל לפי המידה וה־σ־אלגברה שהגדרנו שקול לסכום האינסופי על כל Nב־)∗∗( הפעלנו את משפט .3.5 הערה 3.7באופן יותר כללי מתקיים שעבור כל ]∞ X ,f : X → [0,קבוצה כלשהי ,מתקיים Z X = )f (x f (x) dµ X x∈X 14 עבור µשהיא מידת המנייה על Xעם ה־σ־אלגברה של כל תת־הקבוצות של .Xכאשר הגדרנו ( n ) X X f (x) = sup f (xi ) |∃n ∈ N∀i ∈ [n] , xi ∈ X i=1 x∈X למה ) 3.8הלמה של (Fatouיהיו ]∞ fn : X → [0,לכל n = 1, 2, . . .פונקציות מדידות ,אזי Z Z lim inf fn dµ ≤ lim inf fn dµ ∞→n X ∞→n X R R הוכחה :נגדיר ) gk (x) = inf i≥k fi (xלכל k ∈ Nו־ .x ∈ Xאזי gk ≤ fkולכן X gk dµ ≤ X fk dµלכל .k ∈ Nכמו כן, ,0 ≤ g1 ≤ g2 ≤ . . .מתקיים ש־ gkמדידה לפי משפט ,2.19וגם ) .gk (x) → lim inf n→∞ fn (xע״פ משפט ההתכנסות ∞→k המונוטונית מתקיים Z Z → gk dµ lim inf fn dµ ∞→n עתה התוצאה נובעת מ־fk dµ R X ≤ gk dµ R X X ∞→k X כי Z Z fn dµ ≥ lim inf gk dµ k→∞ X Z gk dµ = lim k→∞ X Z lim inf fn dµ = ∞→n lim inf ∞→n X X משפט 3.9נניח ש־]∞ f : X → [0,פונקציה מדידה ,ונגדיר לכל קבוצה מדידה f dµ :E ∈ M ,Mולכל פונקציה מדידה כלשהי ]∞ g : X → [0,מתקיים: Z Z = gdϕ (g · f ) dµ X R E = ) .ϕ (Eאזי ϕמידה על X הערה 3.10ניתן לכתוב את מסקנת המשפט באופן הבא .dϕ = f dµזה כתיב פורמלי לכך ש־(gf ) dµ מדידה. R = gdϕ R לכל g ≥ 0 R ∞P הוכחה :יהיו E1 , E2 , . . .קבוצות זרות זו לזו ב־ Mשאיחודן הוא .Eמתקיים χE f = j=1 χEj fוכן ϕ (E) = X χE f dµ R .ϕ (Ej ) = X χEj f Pעתה לפי משפט החלפת סדר סכימה ואינטגרציה )משפט (3.5מתקבל ש־= )ϕ (E ובאופן דומה ∞ ) , j=1 ϕ (Ejשמוכיח את תכונת ה־σ־אדיטיביות .בנוסף נשים לב כי ϕ (∅) = 0ובכך סיימנו להראות כי ϕהיא אכן מידה. היות ומתקיים Z χE f dµ Z = f dµ X Z = )dϕ = ϕ (E E Z = χE dϕ E X R R אז נובע כי X gdϕ = X (gf ) dµעבור g ≡ χEלכל .E ∈ Mמכאן ,קל לראות כי השוויון מתקיים גם עבור כל פונקציה חיובית ,מדידה ופשוטה ) gכי זאת קומבינציה סופית של פונקציות אופייניות( .המקרה הכללי נובע לכן מכך שכל g ≥ 0מדידה היא גבול של סדרה מונוטונית עולה של פונקציות פשוטות ,ומתוך משפט ההתכנסות המונוטונית של לבג )משפט .(3.4 15 3.1 אינטגרציה של פונקציות מרוכבות הגדרה 3.11בהינתן מידה חיובית Mעל מרחב מדיד ,Xנסמן Rב־)) L1 (µאו גם ) L1 (X, dµאו ) (L1 (X, µאת אוסף הפונקציות המרוכבות המדידות fעל Xשעבורן מתקבל ∞ < . X |f | dµאברי ) L1 (µנקראים ״פונקציות אינטגרביליות Lebesgueביחס ל־µ״. הערה 3.12נשים Rלב כי .L1 6= L1כאשר L1הוא המרחב הנורמי של קבוצת מחלקות השקילות של פונקציות ממשיות שמקיימות 1 ∞ < . X |f | dµיש לשים לב שבספר של רודין משתמשים תמיד בסימון L1ומשנה לו את ההגדרה תוך כדי הספר. הגדרה 3.13אם f = u + ivכך ש־ u, vפונקציות ממשיות מדידות על ,Xואם ) ,f ∈ L1 (µאזי נגדיר את האינטגרל של f ביחס ל־ µעל Eבתור: Z Z Z Z Z = f dµ u+ dµ − u− dµ + i v + dµ − i v − dµ E E E E E לכל קבוצה מדידה ,E ⊆ Xכאשר נזכיר כי ) u+ = max (u, 0ו־).u− = − min (u, 0 הערה 3.14מספר הערות: f = u+ − u− + iv + − iv − .1 .2מתקיים ש־| 0 ≤R u± ≤ |u| ≤R |fוגם | ,0 ≤ v ± ≤ |u| ≤ |fולכן כל ארבעת האינטגרלים שבהגדרה הם סופיים )כי ∞ < ( X |f | dµולכן E f dµמוגדר היטב ומספר מרוכב )ולא תערובת של האובייקט ∞ עם רחיבים סופיים ממשיים / מדומים(. R הגדרה 3.15לעיתים מגדירים גם אינטגרלים עבור פונקציות ]∞ f : X → [−∞,ע״י f + dµ − E f − dµ שלפחות אחד מהאינטגרלים בסכום הוא סופי .במקרה כזה האינטגרל יכול קבל ערכים בכל ]∞ .[−∞, R E = f dµ R E בתנאי משפט 3.16יהיו ) f, g ∈ L1 (µו־ ,α, β ∈ Cאזי ) αf + βg ∈ L1 (µומתקיים: Z Z Z (αf + βg) dµ = α f dµ + β gdµ X X X כלומר ) L1 (µהוא מרחב וקטורי מעל ) Cביחס לחיבור וכפל בסקלר נקודתיים( והאינטגרל הוא פונקציונל לינארי מעל המרחב הוקטורי ).L1 (µ הוכחה :ראינו ש־ αf + βgהיא מדידה .נשים לב ש־ Z Z Z Z ≤= |αf + βg| dµ |(|α| |f | + |β| |g|) dµ = |α ||f | dµ + |β ∞ < |g| dµ X ∞< ∞< X X ולכן ).αf + βg ∈ L1 (µ עתה נוכיח כי האינטגרל הוא פונקציונל לינארי .די להראות בנפרד כי Z Z Z )(1 = (f + g) dµ f dµ + gdµ X ZX ZX )(2 (αf ) dµ = α f dµ X X 16 X כדי להראות את ) (1די להראות ל־ fו־ gממשיות כי המקרה המרוכב נובע מההגדרה כחיבור וחיסור פונקציות ממשיות .נסמן ,h = f + gאזי h+ − h− = f + − f − + g + − g −ולכן .h+ + f − + g − = f + + g + + h−עתה ע״פ משפט החלפת סדר סכימה ואינטגרציה על פונקציות חויביות )משפט :(3.5 Z Z Z Z Z Z + − − + + h dµ + f dµ + = g dµ f dµ + g dµ + h− dµ X X X X X X Z Z Z Z Z Z ⇒ h+ dµ − = h− dµ f + dµ − f − dµ + g + dµ − g − dµ X X X X X X R R R R ועל כן הראינו כי . (f + g) = h = f + g R R לגבי ) :(2עבור R 3 α ≥ 0אז ) (2נובע מההגדרה ומהתכונה X cf dµ = c X f dµעבור פונקציות חיוביות .וע״י קשרים + מהסוג (−v) = v −קל לראות כם את המקרה .α = −1נותר עתה רק להראות עבור ,α = iונסתכל על :f = u + iv Z Z = (if ) dµ (iu − v) dµ X ZX Z = ⇒ Definition (−v) dµ + i udµ X X Z Z =− vdµ + i udµ X ZX Z 2 udµ + i vdµ i = −1 ⇒ = i X Z X =i f כך ע״י חיבור המקרים α ≥ 0 ,α = −1ו־ α = iעם ) (1נובע ) (2לכל .α ∈ C R R משפט 3.17אם ) ,f ∈ L1 (µאזי . X f dµ ≤ X |f | dµ הוכחה :נסמן f dµ ולכן R X = ,zאזי קיים מספר מרוכב αשעבורו |α| = 1ו־| .αz = |zתהי ) ,u = Re (αfאזי | u ≤ |αf | = |f Z Z Z f dµ = αz = α = f dµ (αf ) dµ X X X Z = )∗( udµ ZX ≤ |f | dµ X כאשר )∗( כי αf dµ R X חייב להיות ממשי מהשוויון לערך המוחלט. ∞ משפט ) 3.18משפט ההתכנסות הנשלטת של לבג – (Dominated Convergence Theoremתהי {fn }n=1סדרת פונקציות מדידות ומרוכבות על Xכך שהגבול ) f (x) = limn→∞ fn (xקיים לכל .x ∈ Xאם קיימת פונקציה ) 0 ≤ g ∈ L1 (µכך ש־) |fn (x)| ≤ g (xלכל x ∈ Xולכל ) n ∈ Nועל כן fnאינטגרבילית מהחסימות( ,אזי ) f ∈ L1 (µומתקיים: Z lim |fn − f | dµ = 0 ∞→n X וכן Z f dµ Z = fn dµ X lim X 17 ∞→n הוכחה :היות ו־ |f | ≤ gו־ fמדידה ,אז ) .f ∈ L1 (µהיות ו־ ,|fn − f | ≤ 2gניתן להפעיל את הלמה של ) Fatouלמה (3.8על הפונקציות החיוביות | 2g − |fn − fולקבל: Z Z = 2gdµ lim (2g − |fn − f |) dµ X ∞→X n Z ≤ lim inf (2g − |fn − f |) dµ ∞→n X Z Z = 2gdµ + lim inf − |fn − f | dµ ∞→n ZX Z X = 2gdµ − lim sup |fn − f | dµ X היות ו־2gdµ R X ∞→n X סופי ,ניתן לחסר אותו משני אגפי אי השוויון לעיל ,ולקבל: Z lim sup |fn − f | dµ ≤ 0 ∞→n X R ומכאן ש־ .limn→∞ X |fn − f | dµ = 0על פי משפט 3.17נובע: Z Z Z Z fn dµ − ≤ f dµ = (fn − f ) dµ |fn − f | dµ → 0 ∞→n X ולכן f dµ 4 R X = fn dµ R X X X X ∞→.limn קבוצות בעלות מידה אפס הגדרה 4.1תהי Pתכונה )או עובדה( שעשוייה להתקיים או שלא להתקיים בנקודה .x ∈ Xאם µמידה על σ־אלגברה M ב־ ,Xואם קיימת קבוצה N ∈ Mכך ש־ µ (N ) = 0וגם התכונה Pמתקיימת לכל ,x ∈ X\Nאז נאמר ש־ Pמתקיימת ״כמעט בכל מקום ביחס ל־][µ״ )לפעמים נכתב בתור ״כ.ב.מ[µ] .״ .באנגלית כותבים almost everywhere w.r.t. µאו בקצרה רושמים a.e. w.r.t. µויותר בקצרה רושמים ] .(a.e. [µבמידה וברור מהי ,µאז נאמר פשוט ש־ Pמתקיימת כ.ב.מ .(a.e.) .עבור ,E ∈ Mניתן גם לדבר על כך ש־ Pמתקיימת ״כ.ב.מ .על [µ] E״ אם היא מתקיימת בכל .x ∈ E\N הערה 4.2האות Nמסמנת בד״כ קבוצות ממידה אפס כי קבוצות כאלו לעיתים נקראות .null setsבנוסף ,יש שאומרים כמעט תמיד )באנגלית ,(almost alwaysאך שימוש זה פחות נפוץ ופחות מומלץ. דוגמא :אם f, gפונקציות מדידות ,ואם ,µ ({x|f (x) 6= g (x)}) = 0אז נאמר ש־ f = gכ.ב.מ .[µ] .במקרה כזה גם נכתוב כי f ∼ gכאשר ״∼״ מייצג בהקשר הזה את יחס השקילות בין fל־ .gתזכורת :יחס שקילות ∼ מקיים שלוש תכונות, וטרנזיטיביות .f ∼ g ∧ g ∼ h ⇒ f ∼ h רפלקסיביות ,f ∼ fסימטריות f ∼R g ⇐⇒ g ∼ f R אם ,f ∼ gאזי לכל E ∈ Mמתקיים כי . E f dµ = E gdµ הערה 4.3ניתן להרחיב את המושג של קבוצות בעלות מידה אפס לקבוצות מחוץ ל־ Mולהגדיר ש־ µ (N ) = 0אם״ם ⊆ N E ∈ Mו־.µ (E) = 0 הגדרה 4.4מידה µנקראת שלמה ) (completeאם לכל קבוצה Nממידה אפס )כפי שהוגדרה לעיל( מתקיים ש־.N ∈ M כלומר אם ה־σ־אלגברה מכילה את כל הקבוצות שהן בעלות מידה אפס במובן המורחב. משפט 4.5יהי ) (X, M, µמרחב מידה ,ותהי ∗ Mאוסף כל תת־הקבוצות Eשל Xשעבורן קיימות קבוצות A, B ∈ Mכך ש־ A ⊆ E ⊆ Bו־ ,µ (B\A) = 0ונגדיר במצב זה ) .µ (E) = µ (Aאזי M∗ ,היא σ־אלגברה ו־ µהיא מידה על ∗.M 18 הערה 4.6המידה µעל ∗ Mהמתקבלת בדרך זו היא שלמה .בפרט ∗ Mנקראת ״השלמת µ״ ) (µ-completionשל .M הוכחה :נבדוק תחילה ש־ µמוגדרת היטב לכל ∗ .E ∈ Mנניח ש־ A ⊆ E ⊆ Bוגם A1 ⊆ E ⊆ B1כך ש־A1 , A, B1 , B ∈ M וגם .µ (B\A) = µ (B1 \A1 ) = 0היות ו־ ,A\A1 ⊆ E\A1 ⊆ B1 \A1נובע µ (A\A1 ) = 0ולכן ) .µ (A) = µ (A ∩ A1באותו אופן ) µ (A1 ) = µ (A1 ∩ Aולכן ) .µ (A) = µ (A1לכן µמוגדרת היטב על ∗.M נבדוק ש־ ∗ Mהיא σ־אלגברה X ∈ M∗ (i) :כי ∗ (ii) .M ⊆ Mאם A ⊆ E ⊆ Bאזי ,B c ⊆ E c ⊆ Acהיות וגם ∞ c ∗ ∗ c c c ∞∪ = A ,A \B = A ∩ B = B\Aאז נובע שלכל E ∈ Mאז גם (iii) .E ∈ Mאם i=1 Ai ,E = ∪i=1 Ei ,Ai ⊆ Ei ⊆ Bi ∞∪ = ,Bאזי A ⊆ E ⊆ Bומתקיים: ו־ i=1 Bi ∞ ∞∪ = B\A ) i=1 (Bi \A) ⊆ ∪i=1 (Bi \Ai היות ולאיחוד בן מנייה של קבוצות בעלות מידה אפס יש מידה אפס ,נובע ,µ (B\A) = 0ולכן ∗ .E ∈ Mבמילים אחרות ,אם ∞ ∗ ∗ ∞∪ .לסיכום ,ראינו ש־ ∗ Mהיא σ־אלגברה. {Ei }i=1 ⊆ Mאזי i=1 Ei ∈ M ∞ נותר להראות ש־ µהיא מידה על ∗ ,Mכלומר ש־ µהיא σ־אדיטיבית על ∗ :Mיהי ∗ {Ei }i=1 ⊆ Mקבוצות זרות זו לזו ,ויהיו ∞ B, A, E, Ai , Biכמו קודם ,אזי גם {Ai }=1קבוצות זרות זו לזו ולכן נובע: ) µ (Ei ∞ X i=1 = ∗def. of M ) µ (Ai ∞ X i=1 = σ- additive )µ (A = ∗def. of M )µ (E הגדרה 4.7בהינתן מרחב מידה ) (X, M, µו־ E ∈ Mשעבור .µ (E c ) = 0נאמר שהפונקציה f : E → Yהיא פונקציה מדידה על Xאם מתקיים ש־ f −1 (V ) ∩ Eקבוצה מדידה לכל Vפתוחה .אם למשל ,Y = Cניתן להגדיר f (x) = 0לכל x ∈ E c על ״פונקציה מדידה המוגדרתRכ.ב.מR[µ] .על X״ .עבור פונקצייה ולקבל פונקציה מדידה ל Xבמובן הישן .בפרט :ניתן לדבר R מרוכבת כזו נאמר גם שהיא ב־) L1 (µאם ∞ < E |f (x)| dµובמקרה כזה נגדיר. X f dµ = E f dµ : P∞ R ∞ ש־∞ < , n=1 X |fRn | dµאזי {fn }n=1סדרת פונקציות מרוכבות מדידות 1המוגדרות כ.ב.מ [µ] .על R,Xכך∞P משפט 4.8תהי ∞P הטור ) f (x) = n=1 fn (xמתכנס כ.ב.מ [µ] .על f ∈ L (µ) ,Xומתקיים גם . X f dµ = n=1 X fn dµ ∞ הערה 4.9גם אם {fn }n=1מוגדרות על כל ,Xעדיין התכנסות הטור )fn (x כ.ב.מ.[µ] . ∞P n=1 ולכן עצם המוגדרות של fמובטחים רק ∞P c ∞∩ = ,x ∈ Sאזי = ) ϕ (xכל n=1 Sn הוכחה :תהי Snהקבוצה עליה מוגדרת fnכך ש־ .µ (Sn ) = 0נגדיר |)n=1 |fn (x .µ (S c ) = 0ע״פ משפט החלפת סדר סכימה ואינטגרציה לפונקציות חיוביות )משפט ,(3.5מתקיים: Z ∞ Z X = ϕdµ ∞ < |fn | dµ S S n=1 ∞P ולכן אם נגדיר }∞ < ) E = {x ∈ S|ϕ (xאז נובע ש־ .µ (E c ) = 0הטור ) n=1 fn (xמכנס בהחלט לכל ,x ∈ Eולכן לכל x ∈ Eמתקיים כי ) f (xמוגדרת היטב ומתקיים ) ,|f (x)| ≤ ϕ (xולכן ) .f ∈ L1 (µעבור ,gN = f1 + f2 + . . . + fNוכמובן מתקיים ש־ |gN | ≤ ϕוגם ) gN (x) → f (xלכל ,x ∈ Eולכן ממשפט ההתכנסות הנשלטת )משפט (3.18נובע: ∞→ N Z gN dµ E N Z X fn E n=1 fn dµ Z f dµ = lim ∞→ N E = lim ∞→ N ∞ Z X E n=1 19 = היות ו־ ,µ (E c ) = 0אז ניתן בתחום האינטגרציה להחליף את Eב־.X משפט 4.10מתקיים הטענות הבאות: R .1אם ]∞ f : X → [0,מדידה E ∈ M ,ו־f dµ = 0 R .2אם ) f ∈ L1 (µואם E f dµ = 0לכל ,E ∈ Mאזי f (x) = 0כ.ה.מ [µ] .על .X R R .3אם ) f ∈ L1 (µואם , X f dµ = X |f | dµאזי קיים קבוע αכך ש־| αf = |fכ.ב.מ [µ] .על .X E ,אזי f (x) = 0כ.ב.מ [µ] .על .E הוכחה :נוכיח את הטענות: .1נגדיר 1 n > ) An = x ∈ E|f (xלכל nטבעי ,אזי Z ≤ f dµ f dµ = 0 Z An E 1 ≤ ) µ (An n ∞∪ = } ,{x ∈ E|f (x) > 0נובע .µ ({x ∈ E|f (x) > 0}) = 0 ולכן .µ (An ) = 0היות ו־ n=1 An R .2נסמן ,f = u + ivוגם } .E = {x : u (x) ≥ 0החלק הממשי של E f dµשקול ממש ל־ E u+ dµולכן u+ dµ = 0 E ומ־) (1נובע כי u+ = 0כ.ב.מ .[µ] .באותו אופן מראים גם ש־ u− = v + = v − = 0כ.ב.מ.[µ] . R .3נגדיר את ,αעם |α| = 1להיות שעבורו | αz = |zעבור ,z = X f dµובנוסף ) .u = Re (αfראינו כי Z Z Z Z f dµ = α = f dµ = αf dµ udµ R X X X R X R R R ולכן לפי ההנחה נובע כי , X udµ = X |f | dµומכאן גם , X (|f | − u) dµ = 0היות ו־ ,|f | − u ≥ 0אז נובע מ־)(1 ש־ |f | − u = 0כ.ב.מ ,[µ] .כלומר ש־ |f | = uכ.ב.מ [µ] .ולכן | Re (αf ) = |αfכ.ב.מ .[µ] .מכאן | αf = |αf | = |f כ.ב.מ.[µ] . משפט 4.11נניח ש־∞ < ) S ⊆ C ,f ∈ L1 (µ) ,µ (Xקבוצה סגורה ו־f dµ .µ (E) > 0אזי f (x) ∈ Sכ.ב.מ.[µ] . R E 1 )µ(E ≡ ) S 3 AE (fלכל E ∈ Mעם הוכחה :יהי ∆ עיגול סגור בעל מרכז αורדיוס r > 0במשלים של .Sהיות ו־ S cקבוצה פתוחה ולכן הוא איחוד בן מנייה של עיגולים כאלה ,די להראות ש־ µ (E) = 0עבור )∆( .E = f −1נניח בשלילה ש־ ,µ (E) > 0אזי: Z 1 = ||AE (f ) − α (f − )α dµ µ (E) E Z 1 ≤ |f − α| dµ ≤ r µ (E) E וזה לא ייתכן כי AE (f ) ∈ Eולכן לא בתוך העיגול ולכן .µ (E) = 0 ∞ משפט 4.12תהי {Ek }k=1סדרת קבוצות מדידות ב־ Xשעבורה ∞ < ) µ (Ek ∞ לכל היות במספר סופי מתוך הקבוצות .{Ek }k=1 20 ∞P k=1 ,אזי כמעט כל x ∈ Xביחס ל־ µנמצא ∞ הוכחה :תהי Aקבוצת ה־x־ים שנמצאים באינסוף קבוצות מתוך .{Ek }k=1נראה ש־ .µ (A) = 0נגדיר )χEk (x לכל ,x ∈ Xאזי x ∈ Aאם״ם ∞ = ) .g (xאבל χEk (x) dµ χEk (x) dµ Z X ∞ X k=1 ∞ XZ X ∞ < ) µ (Ek k=1 ∞ X ∞P k=1 = )g (x Z = gdµ X = = k=1 ולכן ) g ∈ L1 (µונובע ש־∞ < ) g (xכ.ב.מ ,[µ] .ונובע ש־.µ (A) = 0 הערה 4.13מספר הערות: .1אם ∞ < ) µ (Xאזי קיים גם כיוון שני למשפט )תרגיל( .דהיינוµ (Ek ) < ∞ , במקרה כזה המשפט נקרא ״הלמה של Borel-Cantelli׳׳. ∞P k=1 אם״ם Aלעיל מקיימת .µ (A) = 0 ∞ ∞∩ = .Aקיים גם המושג של קבול תחתון = lim inf k→∞ Ek .2את Aניתן לבטא כ־ k=1 ∪k=n Ek = lim supk→∞ Ek ∞ ∞∪ ,זוהי הקבוצה שכל נקודה בה נמצאת בכל ה־ Ek־ים פרט אולי למספר סופי. n=1 ∩k=n Ek משפט ההצגה של ריס )(Riesz 5 5.1 מבוא לטופולוגיה הגדרה 5.1יהי Yמרחב טופולוגי: E ⊆ Y .1נקראת סגורה אם E cפתוחה. .2הסגור של ,Eמסומן ע״י ̄ ,Eהוא הקבוצה הסגורה הקטנה הביותר המכילה את ) Eקל להראות כי הוא תמיד קיים(. K ⊆ Y .3נקראת קומפקטית אם מכל כיסוי פתוח של Kניתן למצוא תת־כיסוי סופי .בפרט ,אם Yקופקטית ,אזי Yנקרא מרחב טופולוגי קומפקטי. .4סביבה של נקודה p ∈ Yהיא קבוצה פתוחה המכילה את .p Y .5נרא מרחב האוסדורף ) (Hausdorffאם לכל p, q ∈ Yכך ש־ ,p 6= qקיימות סביבות p ∈ Uו־ q ∈ Vכך ש־∅ = .U ∩ V Y .6נקרא קומפקטי מקומית ) (locally compactאם לכל נקודה p ∈ Yיש סביבה שהסגור שלה קומפקטי. Y .7נקרא σ־קומפקטי ) (σ-compactאם Yהיא איחוד בן מנייה של קבוצות קומפקטיות. .8פונקצייה f : Y → Cנקראת בעלת תומך קומפקטי אם יש K ⊆ Yקומפקטית כך ש־ f (x) = 0ל־.x 6∈ K נסמן ב־) Cc (Yאת אוסף הפונקציות הרציפות בעלות תומך קומפקטי על ) Yזהו לא סימון אוניברסלי ,לפעמים משתמשים גם ב־) .(C0 (Yקל לראות כי ) Cc (Yהוא מרחב וקטורי. הערה :באופן כללי הסגור של } {x|f (x) 6= 0נקרא התומך של .f הערה 5.2מספר ההערות על ההגדרות הנ״ל: 21 .1מרחב טופולוגי קומפקטי הוא קומפקטי מקומית. .2ב־ Rnהקבוצות הקומפקטיות הן בדיוק אלו שהן סגורות וחסומות )משפט היינה־בורל(. Rn .3הוא מרחב האוסדורף שהוא גם קומפקטי מקומית וגם σ־קומפקטי. .4ברור שכל מרחב מטרי הוא מרחב האוסדורף. משפט 5.3אם Xמרחב טופולוגי ו־ F ⊆ K ⊆ Xכאשר Kקומפקטית ו־ Fסגורה ,אזי Fקומפקטית. מסקנה 5.4אם A ⊆ Bול־ Bיש סגור קומפקטי ,אזי גם ל־ Aיש סגור קומפקטי. משפט 5.5אם Xמרחב האוסדורף K ⊆ X ,קומפקטית ו־ ,p ∈ K cאזי יש קבוצות פתוחות U, W ⊆ Xכך ש־ K ⊆ W ,p ∈ U ו־∅ = .U ∩ W מסקנה 5.6שתי מסקנות מהמשפט הקודם: .1קבוצה קומפקטית במרחב האוסדורף היא סגורה. .2במרחב האוסדורף אם Fסגורה ו־ Kקומפקטית ,אזי F ∩ Kקומפקטית. משפט 5.7אם } {Kαאוסף קבוצות קומפקטיות במרחב האוסדורף וגם מתקיים כי ∅ = ,∩α Kαאזי קיים גם תת־אוסף סופי מתוך } {Kαשהוא בעל חיתוך ריק. משפט 5.8אם Uקבוצה פתוחה במרחב האוסדורף קומפקטי מקומית ו־ K ⊆ Uקומפקטית ,אזי יש קבוצה פתוחה Vבעלת סגור קומפקטי כך ש־ .K ⊆ V ⊆ V̄ ⊆ U הגדרה 5.9יהיו Xמרחב טופולוגי ו־]∞ .f : X → [−∞, f .1נקראת סמי־רציפה מלרע ) (lower semi-continuousאם לכל ,α ∈ Rהקבוצה } {x|f (x) > αהיא פתוחה. f .2נקראת סמי־רציפה מלעיל ) (upper semi-continuousאם לכל ,α ∈ Rהקבוצה } {x|f (x) < αהיא פתוחה. הערה 5.10הערות: f .1היא רציפה אם״ם היא גם סמי־רציפה מלעיל וגם סמי־רציפה מלרע. .2פונקציה אופיינית של קבוצה פתוחה היא סמי־רציפה מלרע. .3פונקציה אופיינית של קבוצה סגורה היא סמי־רציפה מלעיל. .4אם } {fαמשפחת פונקציות סמי־רציפות מלרע ,אזי supα fαסמי־רציפה מלרע. אם } {fαמשפחת פונקציות סמי־רציפות מלעיל ,אזי inf α fαסמי־רציפה מלעיל. משפט 5.11יהיו X, Yמרחבים טופולוגיים ו־ f : X → Yרציפה ,אזי לכל K ⊆ Xקומפקטית f (K) ,קומפקטית. מסקנה 5.12הטווח של כל ) f ∈ Cc (Xהוא קבוצה קומפקטית ב־.C סימונים )עבור מרחב טופולוגי :( X • הסימון K ≺ fמשמעו ש־ Kקבוצה קומפקטית ∀x ∈ X, 0 ≤ f (x) ≤ 1 ,f ∈ Cc (X) ,ו־ f (x) = 1ל־.x ∈ K • הסימון f ≺ Vמשמעו ש־ Vקבוצה פתוחה ,∀x ∈ X, 0 ≤ f (x) ≤ 1 ,f ∈ Cc (X) ,והתומך ש־ fמוכל ב־ .V 22 • הסימון K ≺ f ≺ Vמשמעו שמתקיימים שני התנאים לעיל ,כלומר גם K ≺ fוגם .f ≺ V משפט ) 5.13הלמה של (Urysohnאם Xמרחב האוסדורף קומפקטי מקומית V ,פתוחה ו־ K ⊆ Vקומפקטית ,אזי קיימת ) f ∈ Cc (Xכך ש־ .K ≺ f ≺ V הערה 5.14למעשה המשפט הזה מאפשר לנו לקרב פונקציות אופייניות של קבוצות קומפקטיות ע״י פונקציות רציפות. משפט 5.15יהיו V1 , . . . , Vnקבוצות פתוחות במרחב האוסדורף קומפקטי מקומית Xותהי K ⊆ Xקבוצה קומפקטית כך ש־ ,K ⊆ ∪ni=1 Viאזי קיימות פונקציות hi ≺ Viעבור i = 1, . . . , nכך ש־ h1 (x) + . . . + hn (x) = 1לכל .x ∈ K הערה 5.16אוסף } {h1 , . . . , hnכנ״ל נקרא חלוקה של היחידה על Kהכפופה לכיסוי } .{V1 , . . . , Vn 5.2 משפט ההצגה משפט ) 5.17משפט ההצגה של – Rieszניסוח במרחב שאינו σ־קומפקטי( יהי Xמרחב האוסדורף קומפקטי מקומית ויהי Λ פונקצינל לינארי חיובי על ) .Cc (Xאזי ,קיימת σ־אלגברה Mב־ Xשמכילה את כל קבוצות בורל ב־ Xוקיימת מידה חיובית יחידה µעל ,Mכך שמתקיימים התנאים הבאים: f dµ .1 R X = Λfלכל ).f ∈ Cc (X µ (K) < ∞ .2לכל K ⊆ Xקומפקטית. µ (E) = inf {µ (V ) |E ⊆ V, V is open} .3לכל .E ∈ M µ (E) = sup {µ (K) |K ⊆ E, K is compact} .4לכל E ∈ Mשעבורה ∞ < ) µ (Eוכן עבור כל Eפתוחה. .5אם A ⊆ E ,E ∈ Mו־ µ (E) = 0אזי ) A ∈ Mכלומר µהיא מידה שלמה(. הערה 5.18הערות על המשפט: .1פונקציונל לינארי על ) Cc (Xנקרא חיובי אם Λ (f ) ≥ 0לכל .f ≥ 0 .2תהי µמידת בורל על מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית ,אזי µנקראת רגולרית אם לכל קבוצה מדידה :E }µ (E) = inf {µ (V ) |E ⊆ V, V is open כאשר התכונה הנ״ל בפני עצמה נקראת רגולריות חיצונית .באופן דומה: }µ (E) = sup {µ (K) |K ⊆ E, K is compact נקראת רגולריות פנימית. במשפט הנ״ל ל־ µיש את תכונת הרגולריות החיצונית ,אבל לגמרי את תכונת הרגולריות הפנימית )רק על קבוצות ממידה סופית(. מקומית ו־σ־קומפקטי, מסקנה ) 5.19משפט ההצגה של – Rieszניסוח במרחב σ־קומפקטי( יהי Xמרחב האוסדורף קומפקטי R ויהי Λפונקציונל לינארי חיובי על ) .Cc (Xאזי ,קיימת מידת בורל רגולרית יחידה µעל ,Xכך ש־ Λf = X f dµלכל .f ∈ Cc הערה 5.20קיים משפט נוסף הנקרא משפט ההצגה של Rieszשמראה שבמרחב מכפלה פנימית ,Vלכל פונקציונל לינארי )f (x קיים איבר w ∈ Vכך שלכל x ∈ Vמתקיים כי .f (x) = hw, xiנשים לב כי אם Xהוא קבוצה סופית בגודל nעם הדיסקרטית ,אז כל Rפונקציה על Xהיא רציפה ,ולכן ) Cc (Xאיזומורפי ל־ ,Rnולכל מידה ,µמתקיים למעשה כי הטופולוגיה Pn ) X f dµ = i=1 f (ai ) µ (aiכאשר } ,X = {a1 , . . . , anכלומר אם נסמן ) xi = f (aiו־) wi = µ (aiאז נקבל כי לפי המשפט מתקיים כי ,Λf = hx, wiבדיוק לפי המשפט על מרחבי מכפלה פנימית. 23 הוכחה) :המשפט( נוכיח תחילה יחידות .דהיינו ,נניח שבתנאי המשפט קיימות שתי מידות µ1 , µ2המקיימות את תנאים ) (1עד ) ,(5ונראה כי .µ1 = µ2מתוך ) (4ו־) (3נובע שמספיק להראות כי ) µ1 (K) = µ2 (Kלכל Kקומפקטיות .נקבע Kקומפקטית, אזי ע״פ ) (2ו־) (3נובע שיש Vפתוחה ,K ⊆ V ,כך ש־ .µ2 (V ) < µ2 (K) +ע״פ הלמה של Urylsohnיש K ≺ f ≺ V )) (f ∈ Cc (Xולכן Z Z Z Z = )µ1 (K ≤ χK dµ1 = f dµ1 = Λf ≤ f dµ2 XV dµ2 = µ2 (V ) < µ2 (K) + X X X X כאשר השתמשנו כאן ברציפות ,fובכך ש־ .χK ≤ f ≤ χVמכאן ) .µ1 (K) ≤ µ2 (Kהיות ובאותו אופן )החלפת 1ו־ (2נובע גם ) ,µ2 (K) ≤ µ1 (Kרואים ש־) µ1 (K) = µ2 (Kולכן הוכחנו את היחידות )בדרך אגב ,ראינו פה גם ש־) (1גורר את ).((2 כעת נבנה את µו־ .Mלכל קבוצה פתוחה Vב־ Xנגדיר } µ (V ) = sup {Λf |f ≺ V )∗( ולכל E ⊆ Xנגדיר לפי תנאי ):(3 }µ (E) = inf {µ (V ) |E ⊆ V ∧ V is open )∗∗( היות ו־)∗( מבטיח ) µ (V1 ) ≤ µ (V2אם ,V1 ⊆ V2ברור ש־)∗∗( מגדיר היטב את ) µ (Eכי הוא מתאחד עם )∗( ל־ Eפתוחה .נגדיר כעת את MFלהיות אוסף תת־הקבוצות Eשל Xשמקיימות את שני התנאים הבאיםµ (E) < ∞ : וגם } .µ (E) = sup {µ (K) |K ⊆ E, K is compactעתה נגדיר את Mלהיות אוסף תת הקבוצות Eשל Xשמקיימות E ∩ K ∈ MFלכל Kקומפקטית .נותר כעת להראות של־ Mול־) µעל (Mיש את התכונות הדרושות. ראשית ברור ש־ µמונוטונית )כי אם A ⊆ Bאזי ) ,(µ (A) ≤ µ (Bוש־ µ (E) = 0גורר כי E ∈ MFולכן E ∈ Mולכן תנאי ) (5מתקיים .בנוסף ברור שתנאי ) (3מתקיים על פי ההגדרה .ההוכחה מכאן ואלך תתבסס על סדרת טענות: ∞P ∞ ∞∪( µלכל {Ei }i=1כך ש־ Ei ⊆ Xלכל ) iדהיינו µ ,מידה חיצונית על ≤ ) i=1 Ei .1טענה ) :1תת־אדיטיביות( ) µ (Ei .(X הוכחה :נראה תחילה ) µ (V1 ∪ V2 ) ≤ µ (V1 ) + µ (V2ל־ V1ו־ V2פתוחות .נבחר ,g ≺ V1 ∪ V2אזי יש פונקציות h1 , h2 1 כך ש־ hi ≺ Viעבור } i ∈ {1, 2ו־ h1 (x) + h2 (x) = 1על התומך של ,gלכן hi g ≺ Viו־ ,g = h1 g + h2 gולכן: i=1 ) Λg = Λ (h1 g) + Λ (h2 g) ≤ µ (V1 ) + µ (V2 היות וזה נובע לכל ,g ≺ V1 ∪ V2נובע כי ) .µ (V1 ∪ V2 ) ≤ µ (V1 ) + µ (V2 אם ∞ = ) µ (Eiלאיזשהו ,iהטענה ברורה .אחרת ,∀i, µ (Ei ) < ∞ ,ויהי , > 0אזי קיימות קבוצות פתוחות Ei ⊆ Vi −i ∞∪ = Vונבחר ,f ≺ Vהיות ו־ fבעלת תומך קומפקטי ,נובע שיש n כך ש־ µ (Vi ) < µ (Ei ) + 2לכל .iתהי i=1 Vi n סופי כך ש־ .f ≺ ∪i=1 Viעתה ,ע״י הפעלת אינדוקציה על ) ,µ (V1 ∪ V2 ) ≤ µ (V1 ) + µ (V2נובע כי ) µ (Ei ∞ X −i µ (Ei ) + 2 = + i=1 ∞ X ≤ ) µ (Vi i=1 ∞ X i=1 ≤ ) µ (Vi n X i=1 ∞∪ ,נובע כי: היות וזה נכון לכל f ≺ Vוהיות ש־ i=1 ⊆ V ) µ (Ei ∞ X ∞∪( µ i=1 Ei ) ≤ µ (V ) ≤ + i=1 כיוון ש־ נבחר שרירותית ,אז הטענה נובעת מאי השוויון לעיל. 1מקרה פרטי של טענה שרשמו בעקבות הלמה של Urylsohn 24 ≤ ) µ (∪ni=1 Vi ≤ Λf .2טענה :2אם Kקומפקטית ,אזי K ∈ MFו־} ) µ (K) = inf {Λf : K ≺ fולכן בפרט ∞ < ) ,µ (Kכך שתנאי ) (2של המשפט מתקיים(. הוכחה :אם K ≺ fו־ ,0 < α < 1נגדיר } ,Vα = {x|f (x) > αאזי Vαפתוחה K ⊆ Vα ,ו־ αg ≤ fלכל ,g ≺ Vαולכן: µ (K) ≤ µ (Vα ) = sup {Λg|g ≺ Vα } ≤ α−1 Λf עתה ,ע״י לקיחת הגבול ,α → 1נובע µ (K) ≤ Λfובפרט ∞ < ) ,µ (Kוברור שגם n o µ (K) = sup µ K̃ |K̃ ⊆ K, K̃ is compact כלומר .K ∈ MF ,אם , > 0יש Vפתוחה ,K ⊆ Vכך ש־ ) µ (V ) < µ (K) +מהגדרת .(µע״פ הלמה של Urylsohn יש K ≺ f ≺ Vולכן Λf ≤ µ (V ) < µ (K) +ומכאן נובעת הטענה. .3טענה :3לכל קבוצה פתוחה Vמתקיים .µ (V ) = sup {µ (K) |K ⊆ V, K is compact} :בפרט כל קבוצה פתוחה V שעבורה ∞ < ) µ (Vהיא ב־ .MF הוכחה :יהי α ∈ Rכך ש־) .α < µ (Vקיים f ≺ Vכך ש־ α < Λfונסמן Kבתור התומך של .fאם Wקבוצה פתוחה כך ש־ ,K ⊆ Wאזי f ≺ Wולכן ) Λf ≤ µ (Wולכן) α < Λf ≤ µ (K) :כי ) µ (Kהוא האינפימום על ) .(µ (Wכלומר, לכל ) α < µ (Vיש K ⊆ Vקומפקטית כך ש־ µ (K) ≥ αומכאן ברור שנובעת הטענה. ∞P ∞∪ = Eעבור סדרה E1 , E2 , . . .של קבוצות זרות זו לזו ב־ ,MFאזי ) .µ (E) = i=1 µ (Eiאם .4טענה :4נניח ש־ i=1 Ei בנוסף ∞ < ) µ (Eאזי .E ∈ MF הוכחה :נראה תחילה ) µ (K1 ∪ K2 ) = µ (K1 ) + µ (K2עבור K1ו־ K2קומפקטיות וזרות זו לזו ,ונסמן משווה זו ב־)∗(. ע״פ הלמה של Urylsohnיש ) f ∈ Cc (Xכך ש־ f (x) = 1על K1ו־ f (x) = 0על K2וגם .2 0 ≤ f ≤ 1ע״פ טענה קודמת ,יש ) g ∈ Cc (Xכך ש־ K1 ∪ K2 ≺ gו־) ,Λg < µ (K1 ∪ K2וכמו כן מתקיים K1 ≺ f gו־,K2 ≺ (1 − f ) g ומלינאריות Λנובע: µ (K1 ) + µ (K2 ) ≤ Λ (f g) + Λ (g − f g) = Λg < µ (K1 ∪ K2 ) + וכיוון שהנ״ל נכון לכל ,אזי ) .µ (E1 ) + µ (E2 ) ≤ µ (K1 ∪ K2מטענה 1מתקיים גם אי השוויון בכיוון ההפוך ,ומכך נובע השוויון ב־)∗(. במקרה ש־∞ = ) ,µ (Eהטענה מתקיימת באופן טריוויאלי ע״פ טענה .1אחרת ∞ < ) ,µ (Eונבחר . > 0היות ו־ ,Ei ∈ MFאז קיימות קבוצות קומפקטיות Hi ⊆ Eiכך ש־ .µ (Hi ) > µ (Ei ) − 2−iלכן ,ע״י לקיחת Kn = ∪ni=1 Hi ואינדוקציה על )∗( נובע: ! n n X X = ) µ (E) ≥ µ (Kn > ) µ (Hi µ (Ei ) − i=1 i=1 ∞P ≥ ) .µ (Eמטענה 1ראינו שמתקיים אי השוויון ולכל , > 0ולכןi=1 µ (Ei ) : כיוון שהנ״ל נכון לכל P∞n ∈ N ההפוך ,ולכן מתקבל ) .µ (E) = i=1 µ (Eiכדי לראות ש־∞ < ) µ (Eגורר E ∈ MFנשים לב שאם < )µ (E PN ∞ ,אזי לכל > 0קיים Nשעבורו ) ,µ (E) ≤ + i=1 µ (Eiולכן ,µ (E) ≤ µ (KN ) + 2ומכאן = )µ (E } ,sup {µ (K) |K ⊆ E, K is compactולכן .E ∈ MF .5טענה :5אם E ∈ MFו־ , > 0אזי יש Kקומפקטית ו־ Vפתוחה כך ש־ K ⊆ E ⊆ Vו־ < ).µ (V \K הוכחה :ברור שיש K ⊆ E ⊆ Vכך ש־ ,µ (V ) − 2 < µ (E) < µ (K) + 2היות ש־ V \Kפתוחה אז נובע מטענה 3 ש־ ,V \K ∈ MFולכן לפי טענה 4מתקיים µ (K) + µ (K\V ) = µ (V ) < µ (K) +ולכן ∞ < ) .µ (K\V .6טענה :6אם B, A ∈ MFאזי .A\B, A ∪ B, A ∩ B ∈ MF הוכחה :אם , > 0נובע מטענה 5שיש קבוצות קומפקטיות Kiופתוחות Viכך ש־ K1 ⊆ A ⊆ V1ו־ ,K2 ⊆ B ⊆ V2 כאשר < ) µ (Vi \Kiעבור .i = 1, 2היות ו־) A\B ⊆ V1 \K2 ⊆ (V1 \K1 ) ∪ (K1 \V2 ) ∪ (V2 \K2אז נובע מטענה 1 כי .µ (A\B) ≤ + µ (K1 \V2 ) +היות ו־ K1 \V2היא תת קבוצה קומפקטית של ,A\Bנובע מכך ש־ A\Bמקיימת את התנאי הדרוש להיות ב־ .MFהיות ו־ ,A ∪ B = (A\B) ∪ Bאז נובע מטענה 4ש־ .A ∪ B ∈ MFהיות וגם ) A ∩ B = A\ (A\Bאז נובע גם כי .A ∩ B ∈ MF 2נובע מכך שמדובר במרחב האוסדורף ,ולכן ניתן להפריד קבוצות קומפקטיות זרות ע״י קבוצות פתוחות שמכילות כל אחת מהן 25 .7טענה M :7היא σ־אלגברה ב־ Xהמכילה את כל קבוצות בורל. הוכחה :תהי Kקומפקטית .אם ,A ∈ Mאזי ) Ac ∩ K = K\ (A ∩ Kולכן ) Ac ∩ K ∈ MFכהפרש קבוצת ב־ ,(MF כלומר A ∈ Mגורר גם .Ac ∈ M n−1 ∞∪ = Aכאשר .Ai ∈ Mנגדיר B1 = A1 ∩ Kול־ n > 1נגדיר ,Bn = (An ∩ K) \ ∪i=1 Biאזי נניח כעת i=1 Ai ∞ ∞∪ = ,A ∩ Kולכן נובע מטענה 4 B מתקיים .(6 טענה על )אינדוקציה M ב־ זרות קבוצות סדרת {Bn }n=1היא F n=1 n ש־ ,A ∩ K ∈ MFולכן .A ∈ M לבסוף ,אם Cסגורה ,אזי C ∩ Kהיא קבוצה קומפקטית ,ולכן C ∩ K ∈ MFולכן .C ∈ Mבפרט X ,בתור קבוצה סגורה מקיים .X ∈ Mעל כן הראינו כי Mהיא σ־אלגברה המכילה את כל הקבוצות הסגורות ,ולכן גם את כל קבוצות בורל. .8טענה MF :8כוללת בדיוק את אברי Mשעבורם µסופית )וזה מוכיח את תנאי ) (4של המשפט(. הוכחה :אם ,E ∈ MFאז נובע מטענות 2ו־ 6ש־ E ∩ K ∈ MFלכל Kקומפקטית ,ולכן ) E ∈ Mכלומר .(MF ⊆ M נניח ש־ E ∈ Mו־∞ < ) µ (Eונבחר . > 0קיימת קבוצה פתוחה E ⊆ Vעם ∞ < ) .µ (Vע״פ טענות 3ו־ 5יש קבוצה קומפקטית K ⊆ Vעם ∞ < ) .µ (V \Kהיות ו־ E ∩ K ∈ MFאז יש קבוצה קומפקטית H ⊆ E ∩ Kכך ש־ .µ (E ∩ K) < µ (H) +היות ו־) E ⊆ (E ∩ K) ∪ (V \Kכאשר E ∩ Kו־ V \Kהן זרות ,אז µ (E) ≤ µ (E ∩ K) + µ (V \K) < µ (H) + 2 וכיוון ש־ שרירותי אז Eמקיימת את התכונה הדרושה כך ש־ .E ∈ MF .9טענה µ :9היא מידה על .M הוכחה :נובע מיידית מטענות 4ו־) 8כי σ־אדיטיביות מתקיימת באופן טריוויאלי כאשר אחת הקבוצות ממידה אינסופית, והמקרים האחרים נובעים מה־σ־אדיטיביות שהוכחנו עבור MFבטענה .(4 R .10טענה :10לכל ) ,f ∈ Cc (Xמתקיים כי ) Λf = X f dµדהיינו ,מתקיים תנאי (1) Rבמשפט(. הוכחה :ראשית ,מספיק להראות כי לכל ) f ∈ Cc (Xממשית מתקיים :Λf ≤ X f dµכי אז ל־ fכזאת נובע גם ש־ Z Z ≤ −Λf (−f ) dµ = − f dµ X R ≥ ,Λfומכאן f dµ R X = ,Λfומהלינאריות של Λוהאינטגרל אז השוויון מתקיים גם לכל )f ∈ Cc (X ולכן f dµ מרוכבת. בהינתן ) f ∈ Cc (Xממשית ,תהי Kהתומך הקומפקטי של ,fויהי ] [a, bקטע המכיל את הטווח של .fיהי > 0כלשהו, n ונבחר {yi }i=0כך ש־ < yi − yi−1וגם .y0 < a < y1 < . . . < yn = bנגדיר Ei = {X|yi−1 < f (x) ≤ yi } ∩ K עבור .i = 1, . . . , nהיות ו־ fרציפה היא מדידה בורל ולכן הקבוצות Eiהן קבוצות בורל זרות ,שאיחודן הוא .Kלכן יש .x Pכמו כן ,יש fPלכל ∈ Vi i = 1, . . . , nPוכך ש־ (x) < yi + µ (Vi ) < µ (EPעבור קבוצות פתוחות Ei ⊆ Viכך ש־ i ) + n n = ) .µ (K) ≤ Λ ( i hi פונקציות hi ≺ Viכך ש־ i=1 hi = 1על Kולכן f = i hi fומטענה 2נובע ש־) Λ (hi היות ו־ hi f ≤ (yi + ) hiוכן ) yi − < f (xעל ,Eiנובע: X X Λhi n X |(|a| + yi + ) Λhi − |a i=1 n X i=1 = (yi + ) Λhi n X i=1 ≤ ) Λ (hi f n X i=1 n X = Λf n n X X = )− |a| µ (K (yi − ) µ (Ei ) + 2µ (K) + ) (|a| + yi + (|a| + yi + ) µ (Ei ) + n n i=1 i=1 i=1 Z ≤ ] f dµ + [2µ (K) + |a| + b + ≤ X היות ו־ שרירותי אזי f dµ R X ≤ .Λf עובדה) :משפט שלא נוכיח( יהי Xמרחב האוסדורף קומפקטי מקומית שבו כל קבוצה פתוחה היא σ־קומפקטית ,ותהי µמידת בורל על Xבעלת התכונה ש־∞ < ) µ (Kלכל קבוצה קומפקטית ,Kאזי µרגולרית. 26 5.3 מידת לבג R אינטגרל רימן Rk f dxמוגדר היטב וסופי לכל f ∈ Cc Rkומגדיר פונקציונל לינארי על .Cc Rkניתן להגדיר את מידת לבג )״dx״ או ״dm״( על Rkבתורה המידה )מידת הבורל או ההשלמה שלה( המתקבלת ממשפט ההצגה של Rieszעבור הפונקציונל הנ״ל .למידה זו התכונות הבאות: .1עבור תיבה Wב־ Rkמתקיים כי ) .m (W ) = vol (W .2אינווריאנטיות להזזות ) m (E + x) = m (E) :(Translation Invarianceלכל קבוצה מדידה Eו־ .x ∈ Rk .3לכל טרנספורמציה לינארית P : Rk → Rkמתקיים.m (T E) = |det T | m (E) : עובדה) :משפט שלא נוכיח( אם µמידת בורל חיובית על Rkשהיא אינווריאנטית להזזות ומקיימת ∞ < ) µ (Kלכל K קומפקטית ,אזי קיים קבוע cכך ש־) µ (E) = c · m (Eלכל קבוצת בורל .E ⊆ Rk עובדה) :נחשוב כאן על מידת לבג כמידה שלמה( לכל קבוצה בעלת מידת לבג חיובית על הישר ,קיימות תת־קבוצות שאינן מדידות לבג. 6 6.1 מרחבי Lp אי שוויונות שימושיים הגדרה 6.1פונקציה ממשית ) ϕ : (a, b) → Rכאשר ∞ ≤ ,−∞ ≤ a < bכלומר יכול להיות על כל הישר( נקראת קמורה אם לכל x, y ∈ Rו־] λ ∈ [0, 1מתקיים )ϕ ((1 − λ) x + λy) ≤ (1 − λ) ϕ (x) + λϕ (y זה שקול לכך )ϕ(u)−ϕ(t ש־ u−t ≤ )ϕ(t)−ϕ(s t−s לכל .a < s < t < u < bאם ϕגזירה אז היא קמורה אם״ם ).∀s < t, ϕ0 (s) ≤ ϕ0 (t משפט 6.2אם ϕקמורה על ) (a, bאזי היא רציפה שם )הערה :הכרחי ש־) (a, bיהיה קטע פתוח לשם כך(. פונקציה ממשית f ∈ L R משפט ) 6.3אי־שוויון (Jensenתהי µמידה חיובית על מרחב מדיד Ωכך ש־ ,µ (Ω) = 1ותהי )R (Ω, dµ המקיימת a < f (x) < bלכל .x ∈ Ωאם ϕ : (a, b) → Rפונקציה קמורה על ) ,(a, bאזי .ϕ Ω f dµ ≤ Ω (ϕ ◦ f ) dµ הערה 6.4המשפט נכון גם במרים בהם ∞ a = −או ∞ = .bייתכן גם ש־) ϕ ◦ f 6∈ L1 (µואז (ϕ ◦ f ) dµ המוכלל וערכו ∞ ,ואי השוויון מתקיים באופן טריוויאלי. הוכחה :נסמן f dµ R Ω = ,tאזי a < t < bונסמן )ϕ(u)−ϕ(t u−t לכל ) u ∈ (t, bמתקיים ≥ β וע״י הצבת ) s = f (xל־:x ∈ Ω )ϕ(t)−ϕ(s t−s .β = supa<s<tמתקיים כי ≤ β )ϕ(t)−ϕ(s t−s R Ω קיים במובן לכל ) s ∈ (a, tוכן ולכן ) ϕ (s) ≥ ϕ (t) + β (s − tלכל ) .s ∈ (a, βמכאן ϕ (s) − ϕ (t) − β (s − t) ≥ 0 ϕ (f (x)) − ϕ (t) − β (f (x) − t) ≥ 0 אינטגרציה של זה על ,Ωנותנת: f dµ − β · 0 ≥ 0 Z Z (ϕ ◦ f ) dµ − ϕ Ω 27 Ω דוגמאות: 2 .1 xdx 1 0 R ≥ x2 dx R1 0 וקל לחשב ולבדוק כי אי השוויון אכן מתקיים ,כאשר 1 4 1 2 x2 = 2 = 2 0 xdx R 1 0 R1 3 1 ו־ . 0 x2 dx = x3 = 31 0 R f dµ ≤ exp (f ) dµ אזי ,ϕ )(x = exp )(x .2ניקח Ω Ω ו־ ,f (pi ) = xi ,µ ({pi }) = n1מקבלים R 1 )) (exp (x1 ) + . . . + exp (xn n .expעבור למשל } ) Ω = {p1 , . . . , pnקבוצה סופית( ≤ 1 ) (x1 + . . . + xn n exp וע״י הצב של ) yi = exp (xiנובע 1 ) (y1 + . . . + yn n 1 ≤ (y1 · y2 · · · yn ) n שנקרא גם אי שוויון הממוצעים. הגדרה p, q ∈ (0, ∞) 6.5נקראים ״אקספוננטים צמודים״ אם ) p + q = p · qבאופן שקול ,( p1 + 1q = 1כאשר בפועל זה מתקיים כאשר ∞ < 1 < pו־∞ < .1 < qמקרה מיוחד חשוב הוא .p = q = 2אם p → 1אז ∞ → ,qולכן באופן מוכלל גם 1ו־∞ נחשבים בתור ״אקספוננטים צמודים״. משפט 6.6יהי qו־ qאקספוננטים צמודים ,כאשר ∞ < .1 < pיהי Xמרחב מידה עם מידה ,µויהיו ]∞ f, g : X → [0, מדידות .אזי מתקיימים: .1אי שוויון :Hölder p1 Z q1 f p dµ · g q dµ X Z Z ≤ f gdµ X X .2אי שוויון :Minkowski p1 Z p1 Z p1 p p p (f + g) dµ ≤ f dµ + g dµ X Z X X הערה 6.7אי שוויון Hölderלמקרה p = q = 2נקרא .Cauchy-Schwartz 1 1 R R הוכחה :נסמן RA = X f p dµ pו־ .B = X g q dµ qאם Aאו Bשווים לאפס ,אזי הפונקציה המתאימה היא אפס כמעט בכל מקום ,ולכן גם , X f gdµ = 0ואי השוויון מתקיים באופן טריוויאלי .באופן דומה אם Aאו Bשווים לאינסוף )ואף אחד לא שווה לאפס( ,אז שוב מתקיים אי השוויון באופן טריוויאלי .על כן ,נוכל להצטמצם במקרה ש־∞ < 0 < Aו־∞ < .0 < B f ,G = Bg , F = Aאזי נגדיר Z Z = F p dµ Gq dµ = 1 X X עבור x ∈ Xשעבורו ∞ < ) 0 < F (xו־∞ < ) ,0 < G (xיש מספרים ממשיים s, tכך ש־= ) (x + ) .exp (s/pהיות ו־ , p1 + 1q = 1נובע מקמירות הפונקציה האקספוננציאלית ש־)≤ p1 exp (s) + 1q exp (t שוויון ,(Jensenולכן לכל x ∈ Xמתקיים: exp (t/q) , F t q 1 1 p q ))(F (x)) + (G (x p q 28 ≤ )F (x) G (x s p = )G (x ) expע״פ אי אינטגרציה על שני האגפים נותנת לכן = 1 1 q + 1 p R R ≤ , F Gdµכלומר , X f gdµ ≤ A · Bולכן הוכחנו את אי־שוויון .Hölder להוכחת אי־שוויון ,Minkowskiנכתוב: p−1 )g (f + g p p−1 )(f + g) = f (f + g אזי מאי־שוויון ,Hölderכאשר ,(p − 1) q = pנובע q1 dµ (p−1)q p1 Z )(f + g Z p p−1 ≤ dµ f dµ Z )f (f + g X X וגם: p1 Z q1 (p−1)q g p dµ )(f + g dµ Z ≤ dµ p−1 Z )g (f + g X X X מחיבור שני אי השוויונות הנ״ל מתקבל p1 Z p1 # Z q1 p p + g dµ f dµ )(f + g "Z p X X Z p ≤ (f + g) dµ X )∗( X אגף שמאל חיובי ממש )לא אפס( ,ואגף ימין סופי )כי מקמירות ) h (t) = tpעבור (t ≥ 0נובע עתה ,די לדון במקרה בו p f +g 1 כי ) ≤ 2 (f p + g p .( 2היות ומסופיות אגף ימין של )∗( נובעת סופיות אגף שמאל ,ניתן לחלק את שני אגפי )∗( 1 R p ב־ , X (f + g) qולכן נקבל: p1 g p dµ p1 Z + Z f p dµ X p1 ≤ p Z )(f + g X X דהיינו ,קיבלנו את אי־שוויון .Minkowski 6.2 הגדרת מרחבי Lp הגדרה 6.8יהי Xמרחב מידה עם מידה )חיובית( µו־∞ < .0 < pלכל f : X → Cמדידה ,נגדיר את נורמת Lpשל fבתור: p1 p Z |f | dµ X = ||f ||p הגדרה 6.9נסמן ב־)) Lp (µאו ) Lp (X, dµאו Lp Rkאם X = Rkו־ µמידת לבג( את אוסף הפונציות המדידות כנ״ל )המוגדרות על כל Xאו רק כ.ב.מ [µ] .על (Xשעבורן ∞ < .||f ||pאם µמידת המנייה על Xנסמן את ) Lp (X, µב־),lp (X ובמקרה זה הנורמה שקולה ל: ! p1 p |)|f (x X x∈X 29 = ||f ||p הגדרה 6.10עבור ]∞ f : X → [0,מדידה ,נגדיר את הסופרמום העיקרי ) (essential supremumשל gבאופן הבא .נגדיר תחילה: S = M ∈ R|µ g −1 ((M, ∞]) = 0 ואז: =S ∅ 6 ∅=S inf S ∞ ( = ess sup g ובאופן שקול: }) ess sup g = sup {M ∈ R|∃Y ⊆ X, (µ (Y ) > 0) ∧ (x ∈ Y → f (x) ≥ M עבור f : X → Cמדידה ,נסמן | ||f ||∞ = ess sup |fבתור ״נורמת אינסוף״ ונסמן ב־) L∞ (X, dµ)) L∞ (µוכו׳( את מרחב הפונקציות המרוכבות המדידות שעבורן ∞ < ∞|| .||fאברי ) L∞ (µנקראים ״פונקציות מדידות חסומות עיקרית״ )essentially .(bounded measurable functions הערה 6.11מספר הערות: |f (x)| ≤ λ .1כ.ב.מ [µ] .אם״ם ∞|| .λ ≥ ||f .2כמו עבור pסופי ,מסמנים ב־) l∞ (Xאת ) L∞ (X, dµבמקרה ש־ µמידת המנייה על .X משפט 6.12אם p, qאקספוננטים צמודים f ∈ Lp (µ) ,1 ≤ p ≤ ∞ ,ו־) ,g ∈ Lq (µאזי ) f g ∈ L1 (µומתקיים: ||f · g||1 ≤ ||f ||p · ||g||q הוכחה :עבור ∞ < 1 < pזה נובע מאי־שוויון ,Hölderעבור | |fו־|) |gכאשר | .(|f g| = |f | |gאם ∞ = ,pאזי |)|f (x) g (x)| = |f (x)| · |g (x)| ≤ ||f ||∞ |g (x מתקיים כ.ב.מ ,[µ] .ולכן Z |g| dµ = ||f ||∞ ||g||1 X Z ∞|| |f · g| dµ ≤ ||f X = ||f g||1 ובאותו אופן עבור ,p = 1כאשר ∞ = .q משפט 6.13אם ∞ ≤ 1 ≤ pו־) ,f, g ∈ Lp (µאזי ) f + g ∈ Lp (µומתקיים .||f + g||p ≤ ||f ||p + ||g||p הוכחה :ל־∞ < 1 < pזה נובע מאי־שוויון מינקובסקי כי p (|f | + |h|) dµ Z p Z ≤ |f + g| dµ המקרה ש־ p = 1או ∞ = pמושאר כתרגיל. משפט 6.14אם ∞ ≤ f ∈ Lp (µ) ,1 ≤ pו־ ,α ∈ Cאזי ) αf ∈ Lp (µומתקיים .||αf ||p = |α| ||f ||p 30 הוכחה :טריוויאלי )תרגיל(. מסקנה 6.15לכל ∞ ≤ 1 ≤ pמתקיים כי ) Lp (µהוא מרחב וקטורי מעל .C הערה 6.16נשים לב כי ||·||pאיננה נורמה על ) !Lp (µייתכן כי ||f − g||p = 0עבור שתי פונקציות שונות .בפועל מתקיים כי ||f − g||p = 0אם״ם ,f ∼ gכלומר f = gכ.ב.מ) [µ] .וזאת לכל ∞ ≤ .(1 ≤ pעתה ננסה ״לתקן״ מצב זה ולקבל מרחבים. הגדרה ) Lp (µ) 6.17או ) Lp (X, dµוכו׳( לכל ∞ ≤ 1 ≤ pהוא אוסף מחלקות השקילות של פונקציות ב־) Lp (µתחת יחס השקילות של שוויון כ.ב.מ.[µ] . איבר האפס ב־) Lp (µהוא }] .{f ∈ Lp |f (x) = 0 a.e. [µבאופן דומה עבור ) f ∈ Lp (µכלשהי ,האיבר המקביל ב־)Lp (µ הוא }] .F = {g ∈ Lp (µ) |g (x) = f (x) a.e. [µנשים לב שלכל Fכנ״ל נוכל להגדיר ,||F ||p = ||f ||pונשים לב כי זה מוגדר הייטב כי לכל g ∈ Fמתקיים כי .||g||p = ||f ||pחיבור וכפל בסקלר ב־) Lp (µמוגדרים באופן טבעי :אם } F = {f ∈ F ו־} ,G = {g ∈ Gאזי } αF = {αf : f ∈ Fו־} ,F + G = {f + g|f ∈ F, g ∈ Gונשים לב כי על אף שהוגדרו כקבוצות ניתן להראות כי הן מחלקות שקילות ו־).αF, F + G ∈ Lp (µ טענה Lp (µ) 6.18כפי שהוגדר לעיל הוא מרחב ווקטורי מעל .Cיתר על כן ||·||p ,היא נורמה על ) ,Lp (µולכן הוא מרחב נורמי. הערה 6.19נשים לב כי ) Lp (µהוא גם מרחב מטרי עם המטריקה המושרית .d (F, G) = ||F − G||p הערה 6.20מוקבל לדבר על ) f ∈ Lp (µעבור פונקציות קונקרטיות ,אבל יש להבין כי הכוונה בהקשר זה היא ),f ∈ Lp (µ כאשר היא מהווה נציג למחלקת שקילות ב־ ,Lpו״לעבוד״ ישירות עם הפונקציות ולחשוב על אברי ) Lp (µכפונקציות כאשר מבינים את f ∼ gבתור שוויון. משפט 6.21לכל ∞ ≤ 1 ≤ pולכל מידה חיובית Lp (µ) ,µהוא מרחב מטרי שלם. הערה 6.22אם למשל ] µ ,X = [0, 1מידה לבג על ,Xאזי f R∈ L1 (µ) |f is continuousהוא תת־מרחב של )) Lp (µכאשר הכוונה היא אוסף מחלקות השקילות כך שבכל מחלקה קיימת פונקצייה רציפה( ,ו־ ||f ||1 = |f | dXהוא אינטגרל רימן לפונקציה רציפה .אם היינו מגדירים את הקבוצה הזאת ישיורת מאינטגרל רימן ללא מחלקות שקילות ,אז מדובר במרחב נורמי לא שלם, וזה לא טריוויאלי לאמר כי ההשלמה שלו הוא מרחב פונקציות או מרחב מחלקות שלמות .למעשה המשפט לעיל מראה שההשלמה של קבוצת הפונקציות הרציפות אם נורמה סופית הוא )) Lp (µבשילוב עם צפיפות(. ∞ ∞ במקרה ש־∞ < .1 ≤ pתהי ) {fn }n=1 Lp (µסדרת קושי .קיימת תת־סדרה {fnk }k=1שעבורה הוכחה :נדון תחילה . ∀k ∈ N, fnk+1 − fnk < 2−kנגדיר: N X fn − fnk k+1 fn − fnk k+1 k=1 ∞ X = gN =g k=1 p gNנובע שגם ,||g|| ≤ 1כי מאי־שוויון מינקובסקי נובע ||gN ||p < 1לכל ,N ∈ Nולכן מהלמה של Fatouמופעלת על Z Z p1 p1 p1 p p |g| dµ = (lim inf gN ) dµ = lim inf (gN ) dµ p p = lim inf ||gN || ≤ 1 p1 p gN dµ 31 Z Z Fatuo’s lemma ⇒ ≤ lim inf ∞P בפרט ,נובע ש־∞ < ) g (xכ.ב.מ [µ] .ולכן הטור) f = fn1 + k=1 fnk+1 − fnk :כאשר fהוא סימון פורמלי לסכום הטור( מתכנס בהחלט כ.ב.מ ,[µ] .ונסמן ב־) f (xאת הפונקציה המדידה המוגדרת ע״י סכום הטור הנ״ל )ניתן להגדיר f (x) = 0 PN −1 בנקודות בהן הטור לא מתכנס( .נשים לב שהיות ו־ ,fnN = fn1 + k=1 fnk+1 − fnkאז מתקיים כי )fnk (x) → f (x ∞ )גבול נקודתי( כ.ב.מ ,[µ] .ולכן גם ) f (xהיא פונקציה מדידה .עתה נראה ש־ fהנ״ל היא גבול ב־) Lp (µשל .{fn }n=1יהי , > 0אזי יש N > 0כך ש־ < ||fn − fm ||pלכל ) n, m > Nההגדרה של סדרת קושי( .לכן ,לכל m > Nנובע מהלמה של Fatouש־ Z Z p p |f − fm | dµ ≤ lim inf |fnk − fm | dµ ≤ p ∞→k ולכן קיבלנו ש־ < ,||f − fm ||pוהיות ש־ ,f = (f − fm ) + fmאז נובע ש־) f ∈ Lp (µוכן , ||f − fm ||p → 0כלומר fm → f לפי הנורמה. ∞ נעבור למקרה ∞ = .pתהי ) {fn }n=1 ⊂ L∞ (µסדרת קושי ,ונגדיר: } ∞|| Ak = {x| |fk (x)| > ||fk } ∞|| Bm,n = {x| |fn (x) − fm (x)| > ||fn − fm ותהי ) ,E = ∪k,m,n (Ak ∪ Bm,nאזי – µ (E) = 0זה נובע מכך ש־ ∞||·|| מוגדר לפי הסופרמום העיקרי ,שמהווה חסם עליון ∞ לכל הנקודות מלבד קבוצה ממידה אפס .בנוסף ,על המשלים של ,Eהסדרה {fn }n=1מתכנסת היא סדרת קושי במידה שווה, ולכן מתכנסת במידה שווה לפונקציה חסומה ) fונגדיר f (x) = 0עבור .(x ∈ Eכעת f ∈ L∞ (µ) ,ומתקים ,||f − fn ||∞ → 0 כלומר fn → fלפי הנורמה ∞||·||. ∞ ∞ מסקנה 6.23אם ∞ ≤ 1 ≤ pואם {fn }n=1סדרת קושי ב־) Lp (µבעלת גבול ,fאזי ל־ {fn }n=1יש תת־סדרה שמתכנסת נקודותית ל־) f (xכ.ב.מ.[µ] . משפט 6.24תהי Sאוסף הפונקציות המרוכבות המדידות הפשוטות על Xשעבורן ∞ < )} ,µ ({x : s (x) 6= 0אזי לכל < 1 ≤ p ∞ מתקיים כי Sצפופה ב־).Lp (µ ∞ הוכחה :ראשית ,ברור ש־) .S ⊆ Lp (µנניח ש־) Lp (µ) 3 f ≥ 0כלומר fממשית ואי־שלילית( ותהי {sn }n=1סדרת פונקציות פשוטות המקרבת את f״מלמטה״ כפי שראינו במשפטים קודמים .היות ו־ ,0 ≤ sn ≤ fאז נובע ש־)) sn ∈ Lp (µכי p (||sn ||p ≤ ||f ||pולכן .sn ∈ Sהיות ו־ |f − sn | ≤ f pאז נובע ממשפט ההתכנסות הנשלטת ש־,||f − sn ||p → ||f − f ||p = 0 ∞ ולכן fהיא קבול של ) {sn }n=1לפי הנורמה( ובפרט fבסגור של Sב־) .Lp (µהמקרה המרוכב נובע מכאן ע״י פירוק f לקומבינצייה לינארית של פונקציות אי־שליליות. משפט ) 6.25משפט (Lusinתהי µמידת בורל רגולרית חיובית על מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית ,Xבעלת התכונה ש־∞ < ) µ (Kלכל Kקומפקטית ,ותהי fפונקציה מרוכבת מדידה על ,Xכך ש־ f (x) = 0ל־ x 6∈ Aעבור A ⊆ X בעלת ∞ < ) ,µ (Aאזי לכל > 0יש ) g ∈ Cc (Xכך ש־ < )})) µ ({x|f (x) 6= g (xכמו כן ,ניתן לבחור את gכך ש־|).(supx∈X |g (x)| ≤ supx∈X |f (x ∞ הוכחה :נניח תחילה ש־ 0 ≤ f < 1וש־ Aקומפקטית .תהי {sn }n=1סדרת פונקציות פשוטות המקיימת 0 ≤ s1 ≤ s2 ≤ . . . ≤ f כך ש־) ,∀x ∈ X, sn (x) → f (xוקל לוודא שקיימת פונקציות כאלו כך ש־ sn − sn−1 = 2−n χTnלקבוצה מדידה Tnלכל ∞→n t1 =Pו־ tn = sn − sn−1ל־ ,n ≥ 2אזי 2n tnהוא בדיוק ) N 3 n ≥ 2סדרה כנ״ל בנינו במשפט קודם ובתרגיל( .נסמן s1 ∞ פונקציה אופיינית של הקבוצה המדידה ,Tnומתקיים f (x) = n=1 tn (x) :לכל .x ∈ X תהי Vקבוצה פתוחה כך ש־ A ⊆ Vוגם ̄ Vקומפקטית )כאשר ̄ Vהוא הסגור של .(Vמהרגולריות של המידה µנובע ∞ ∞ שקיימות קבוצות קומפקטיות {Kn }n=1וקבוצות פתוחות ,{Vn }n=1כך ש־ Kn ⊆ Tn ⊆ Vn ⊆ Vוגם µ (Vn \Kn ) < 2−n ∞ כלשהו שבחרנו מראש .מהלמה של Urysohnנובע שיש פונקציות {hn }n=1כך ש־ ,Kn ≺ hn ≺ Vnונגדיר עבור P∞ > 0 ) ,∀x ∈ X, g (x) = n=1 2−n hn (xאזי הטור מתכנס במידה שווה על Xולכן ) g (xפונקציה רציפה .כמו כן ,התומך של g 32 −n ∞∪ .היות הוא ב־ ̄ ,Vהיות ו־)hn (x) = tn (x 2מתקיים חוץ מאשר על ,Vn \Knנובע ש־) g (x) = f (xמחוץ ל־) n=1 (Vn \Kn ו־ = 2−n ∞ X < ) µ (Vn \Kn ∞ X ∞∪( µ ≤ )) n=1 (Vn \Kn n=1 n=1 נובע המשפט למקרה שבו 0 ≤ f < 1וש־ Aקומפקטית. מכאן ,ברור גם שהמשפט מתקיים לכל פונקציה מרוכבת וחסומה )עבור Aקומפקטית( ,כי פונקציה כזאת היא קומבינציה לינארית של ארבע פונקציות המקיימות .0 ≤ f < 1כדי לעבור לקבוצה Aשאיננה בהכרח קומקפטית ,אז נשים לב שאם ∞ < ) ,µ (Aאזי יש K ⊆ Aקומפקטית שעבורה ) µ (A\Kקטנה כרצוננו )מהרגולריות של ,(µואז ניתן להשתמש במה שהוכחנו עבור Kכנ״ל. אם fפונקציה מדידה שאיננה חסומה ,נשים לב שעבור } Bn = {x|f (x) > nמתקיים בהכרח ש־ µ (Bn ) → 0ומחוץ ל־ Bn ∞→n fשווה לפונקציה החסומה (1 − χBn ) fואז מהפעלת המשפט עבור (1 − χBn ) fאז הוא נובע גם עבור fכי (1 − χBn ) f = f חוץ מעל קבוצה ממידה קטנה כרצוננו. ( z |z| ≤ R להוכחת הטענה בסוגריים ,נגדיר } R = sup {|f (x)| |x ∈ Xו־ ,ϕ (z) = Rzאזי ϕרציפה מ־ Cעל הדיסק ברדיוס ||z >R ||z .Rאם gמקיימת את המשפט ו־ ,g1 = ϕ ◦ gאזי g1מקיימת את המשפט וגם את התנאי המבוקש. חלק II תרגולים תרגול 09.11.2016 – 1 7 7.1 מנהלות משקל התרגילים בקורס הוא 20%אם ציון התרגילים גדול מציון הבחינה ,ואחרת .10%ציון התרגילים יקבע על פי 80% התרגילים הטובים ביותר )כנראה 8או 9תרגילים( .תרגילים עודפים יתנו בונוס ישיר לציון הסופי כאשר כל תרגיל תורם Assignment . Grade of 100יום הגשת התרגילים כנראה יהיה בימי רביעי .התרגילים הולכים להיות יותר קשים מרוב הקורסים. הקורס עוקב אחרי הספר Real and Complex Analysisמאת .Walter Rudin 7.2 מוטיבציה לקורס .1אינטגרל רימן לא מספיק טוב )א( אם מסתכלים על )] ,H ([a, bמרחב הפונקציות האינטגרבליות לפי רימן ,לא משנה איזה מרחב מטרי ניתן לו הוא לא יהיה שלם. )ב( התנהגות לא מספיק טובה ביחס לגבולות .אם יש לנו סדרת פונקציות fn → fנקודתית ,אם fnאינטגרבילית אז לא בטוח ש־ fתהיה אינטגרבילית ,גם תחת תנאים שאמורים לגרום ל־ f״להתנהג יפה״. .2לפתח תורת אינטגרציה אבסטרקטית על מרחבים כלליים יותר :במהלך הקורס נראה שאפשר להגדיר אינטגרציה על סדרות )כלומר סכומים( ,או על חבורות. .3לדעת להתמודד ולתת גודל לקבוצות ״מוזרות״ 33 7.2.1 הרעיון של לבג נניח כי יש לנו פונקציה על הקטע ] .[0, 1לפי רימן נוכל ע״י חלוקה של השטח מתחת הפונקציה למלבנים כאשר הבסיס שלהם על ציר ה־ ,xואם הפונקציה אינטגרבילית אז הסכום של השטחים מתכנס לערך ככל שהחלוקה נהיית יותר ויותר עדינה .לעומת זאת, הרעיון של לבג היה להסתכל על חלוקה של ציר ה־ yבמקום ציר ה־ ,xכאשר גבהי המלבנים נקבעים מראש לפי החלוקה ,ואנחנו פונקציה mשלוקחת קבוצה ונותנת לה גודל מלבן .אם נסתכל על מסתכלים על הקטעים בציר ה־ xשמתאימים לכל גובה של Pn i , )כלומר מידה( ,אז נוכל להגדיר את האינטגרל באופן הבא: .Sn = n=1 ni m f −1 i−1במילים ,במקום לחלק את x n n לקטעים ולכל קטע לתת ערך שמתאים לגובה המלבן ,אנחנו מחלקים את הגדלים האפשריים של מלבנים ,ולכל מלבנים ״סופרים״ את מספר ה־x־ים שעבורם ) f (xבגובה המלבן .הבעיה בגישה זו שצריך להגדיר את mכך שנוכל לתת גודל גם לקבוצות לא טריוויאליות. לאור הרעיון של לבג לניסוח מחדש של האינטגרל ,מהן הדרישות שנרצה ממידה? .1פונקציה אי־שלילית המוגדרת על חלק מתתי הקבוצות של ,Rכלומר ]∞ .m : A ⊆ P (R) → [0, P ∞ σ .2־אדיטיביות :אם (An )n=1סדרות של קבוצות זרות בזוגות ,אזי ) .m (∪An ) = n m (An .3נניח ש־∞ < ) m (Xאז בהינתן קבוצה ,A ∈ Aאם אנחנו יודעים את ) m (Aאז נרצה להיות מסוגלים לדעת גם את ) ,m (Acכאשר מתקיים ש־).m (A) + m (Ac ) = m (X 8 תרגול – 16.11.2016 – 2טכניקות של מדידות יהי ) (X, Fמרחב מדיד .בהינתן ]∞ ,f : X → [0,אז היא מדידה אם לכל קבוצה פתוחה ]∞ J ⊆ [0,אז .f −1 (J) ∈ F טענה 8.1יהי ) (X, Fמרחב מדיד ונתונה פונקציה מדידה fn : X → Rמדידה ,אזי הקבוצה }A = {x ∈ X| lim fn (x) exists מדידה. הוכחה :הדרך לתקוף את הבעיה היא ע״י המרת התנאי שבהגדרת הקבוצה לפעולות על קבוצות מדידות ,כאשר התנאי ״קיים״ בד״כ שקול לאיחוד ו״לכל״ שקול לחיתוך. נזכר עתה בתנאי קושי לקיום גבול ב־ .∀ > 0∃N ∈ N s.t.∀n, m > N, |fn (x) − fm (x)| < :xנבחר ספציפי כך ש־ = k1 ונכתוב את התנאי מחדש . ∀k ∈ N∃N ∈ N s.t.∀n, m > N, |fn (x) − fm (x)| < k1 :עתה בעזרת התנאי הזה נוכל לכתוב את Aבצורה יותר מפורשת: Anmk { |} 1 < |)x| |fn (x) − fm (x k z A = ∩k∈N ∪N ∈N ∩n,m>N נותר להראות עתה ש־ Anmkמדידה .הפונקציה |) g = |fn (x) − fm (xמדידה )בתור חיבור מדידות והרכבה עם ערך מוחלט שהוא מדיד( ,ולכן מהגדרה Anmk = g −1 −∞, k1מדידה וסיימנו. ניתן גם להוכיח את המשפט באופן הבא :הוכחה :נוכיח ש־ Acמדידה .לצורך הפשטות נניח שקיים C > 0כך ש־< |)∀n∀x |fn (x .Cאבחנה lim fn (x) :לא קיים אם״ם ) .lim inf n fn (x) < lim supn fn (xכבר הראינו בכיתה כי lim inf n fnו־ lim supn fn הן מדידות .נוכל עתה לכתוב כי } .Ac = {x| lim inf fn < lim sup fn אבחנה ,∃q ∈ Q, a < q < b ⇐⇒ a < b ∈ R :ולכן נוכל לכתוב: })Ac = ∪q∈Q {x| lim inf fn (x) < q < lim sup fn (x }= ∪q∈Q {x| lim inf fn (x) < q} ∩ {x| lim sup fn (x) > q עתה כל אחת משתי הקבוצות לעיל היא מדידה ושוב הראינו כי Aמדידה. 34 8.1 גבולות של קבוצות הגדרה 8.2נתונה קבוצה Xו־)) An ∈ P (Xכאשר ) P (Xהיא קבוצת תתי הקבוצות של (Xאזי lim inf An = ∪n∈N ∩m>n∈N Am n lim sup An = ∩n∈N ∪m>n∈N Am n כאשר lim infלמעשה מכיל את כל ה־x־ים ששייכים רק למספר סופי של קבוצות בסדרה ) ,(Anבעוד lim supמכיל את כל ה־x־ים ששייכים למספר אינסופי של קבוצות בסדרה ) ,(Anכלומר ה־x־ים השכיחים .אם lim sup An = lim inf Anאז נגדיר .lim An = lim sup An דוגמאות: • נסתכל על A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ . . .אזי הגבול קיים ומתקיים .lim An = ∪n An • יהיו A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ . . .ואז מתקיים כי .lim An = ∩An • )בתרגיל הבית( lim inf χAn = χlim inf An • אם Anמדידות אז כך גם lim inf Anו־ . lim sup An דוגמא :תהי f : [0, 1] → Rמדידה בורל .אזי } A = {x|f is continuous at xמדידה )להוכיח אותו הדבר על גזירות כתרגיל(. הוכחה :נוכיח ש־ Acמדידה בורל .אבחנה f :לא רציפה ב־ xאם״ם קיים > 0כך שכל δ > 0קיים קטע ] x ∈ [p, qכך ש־ p, q ∈ Qו־ q − p < δוגם .sup[p,q] f (x) > inf [p,q] f (x) + עתה נגדיר לכל :m, n ) 1 1 ∧ sup f > inf f + ]m [p,q n ][p,q ( < |[p, q] |p, q ∈ Q ∧ |p − q = Bmn ונשים לב ש־ Bmnהיא מדידה בתור איחוד בן מנייה של קטעים .עתה לפי האבחנה xהיא נקודת אי רציפות אם״ם קיים nכך ש־ x ∈ Bmnאינסוף פעמיים ,ולכן A = ∪n∈N lim supm Bmnולכן מדידה. 9 תרגול – 23/11/201 – 3מידות חיוביות ואינטגרל לבג מידה חיובית אם היא מקיימת את תכונת ה־σ־ הגדרה 9.1יהי מרחב מידה ) .(X, Fהפונקציה ]∞ µ : F → [0,תקרא P אדיטיביות ,כלומר לכל סדרת קבוצות An ∈ Fזרות זו לזו ,מתקיים ) ,µ (∪n An ) = n µ (Anכאשר נניח כי .µ (∅) = 0 תכונות: .1אם A1 ⊆ A2 ⊆ . . .אז ) lim µ (An ) = µ (∪An .2אם A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ . . .וגם ∞ < ) µ (A1אזי ) .lim µ (An ) = µ (∩n An הערה 9.2התכונות הנ״ל נובעות מתוך הנחת ה־σ־אדיטיביות .אם היינו דורשים רק אדיטיביות אז הן לא היו מתקיימות. דוגמאות: .1תהי Xקבוצה לא ריקה .נסתכל על )) F = P (Xקבוצת כלPתתי הקבוצות של ,(Xותהי ]∞ ,f : X → [0,אזי f מגדיר מידה ]∞ µf : P (X) → [0,המוגדרת ע״י ).µf (A) = x∈A f (x 35 )א( אם f ≡ 1אזי µfנקראת אינסוף( .בד״כ X = Nאו )ב( נניח שקיים x0 ∈ Xכך x0 ∈ A ) ,(Diracכלומר x0 6∈ A ״מידת המנייה״ ,כלומר ) µ1 (A) = #Aמספר האיברים בקבוצה אם סופית ,אחרת .X = Qנשים לב כי אינטגרל לבג תחת מידה זאת הוא פשוט סכום של סדרה. ( 0 x 6= x0 ש־ = ) ,f (xאז המידה המתקבלת נקראת מידת דלתא של דירק 1 x = x0 ( 1 = ).δx0 (A 0 Pו־) ,F = P (Xאזי כל מידה חיובית על Xהיא מהצורה µfלעיל )ניתן ללא הוכחה( .כלומר )ג( אם Xבת מנייה ,µ = µf = x∈X f (x) · δxכאשר למעשה יש פה טענה חבויה שצירוף לינארי של מידות הוא גם מידה. .2דחיפה ) (push-forwardשל מידה :יהיו ) (X1 , F1ו־) (X2 , F2מרחבים מדידים ,ובנוסף קיימת ]∞ .µ : F1 → [0, תהי f : X1 → X2כך ש־ f −1 (A) ∈ F1לכל .A ∈ F2אזי נגדיר ]∞ (f∗ µ) : F2 → [0,ע״י = )(f∗ µ) (A ).µ f −1 (A )א( משפט חילוף משתנה :יהי ) (X, F, µמרחב מידה (Y, M) ,מרחב מדיד ,ו־ f : X → Yכמקודם אזי לכל ]∞ g : Y → [0,מדידה מתקיים Z Z = )gd (f∗ µ g ◦ f dµ Y X במקרה ש־ ,X = Y =RRnו־ µ = mתהי מידת לבג )תרם הוגדרה פורמלית( ,אז ניראה כי f∗ m = f˜ · m כאשר .(f · m) (A) = A f dmבפועל מתקיים כי ) f˜ = det (Dfכאשר Dfהוא היעקוביאן של .f .3יהי ) (X, Fמרחב מדיד ,ותהי E ⊂ Fכך ש־ ,∅, X ∈ Eותהי ]∞ ρ : E → [0,כך ש־) ρ (∅) = 0ונחשוב על ρבתור אורך הקטע( .נגדיר מידה חיצונית ע״י o nX ρ (Ei ) | {Ei } ⊂ E and it is an open cover of A µ∗ (A) = inf לכל ).A ∈ P (X הגדרה ) 9.3אינטגרל לבג( יהי ) (X, Fמרחב מידה .פונקציה פשוטה sמוגדרת ע״י λi χAi ונגדיר Z n X = sdµ ) λi µ (Ai i=1 X i=1 עבור ]∞ f : X → [0,מדידה נגדיר Pn = sעבור Ai ∈ Fו־,λi ≥ 0 Z sdµ|0 ≤ s ≤ f and s is simple Z f dµ = sup X X הערה 9.4ההגדרה לעילה טובה כי הוכחנו שקיימת סדרת פונקציות פשוטות snשמתכנסת נקודתי ל־ .f ! n n2 −1 X = sn } k2−n χ{k2−n ≤f ≤(k+1)2−n } + nχ{n≤f k=1 36 10 תרגול – 30.11.2016 – 4משפטי התכנסות שאלה :יהי ) (X, M, µמרחב מידה ,ו־]∞ fn : X → [0,מדידות כך ש־ ) fn → fנקודתית( .האם f dµ R X → fn dµ R X ? (X,מרחב מידה סופי )כלומר ∞ < ) (µ (Xו־)∞ fn : X → [0,מדידות כאשר ) fn → fבמידה שווה(, טענה R 10.1אם )R M, µ אזי . X fn dµ → X f dµ R R R כאשר השתמשנו פהRבמובלע במשפט ההתכנסות הוכחה) :סקיצה( נתחיל מ־ R X fn dµ − X f dµ = X (fn − f ) dµ ≤ (fn − f ) dµ |f − f | dµ מכאן האינטגרל(. של באדיטיביות המונוטונית )כי השתמשנו > נבחר Nכך 0 בהינתן . X n X R R שלכל n > Nמתקיים כי < |)) |fn (x) − f (xבגלל הבמ״ש( ולכן . X |fn − f | dµ ≤ X dµ = µ (X) → 0 3מקרים גנריים שאין התכנסות) :ביחס למידה שתגדיר בעתיד אינטגרל שמתלקד עם אינטגרל רימן( R .1בריחה אופקית ל־∞ fn = χ[n,n+1] :ו־ X = Rאזי fn → 0נקודתית אבל . X fn = 1 R .2בריחה רוחבית ל־∞ fn = n1 χ[0,n] :ו־ X = Rאזי fn → 0במ״ש אבל . X fn = 1 R .3בריחה אנכית ל־∞ fn = nχ[ 1 , 2 ] :ו־ X = Rאזי fn → 0נקודתית אבל . X fn = 1 n n אם fnסדרה מונוטונית את מקרים 3־ 1לעיל לא יכולים להתרחש .באותו אופן אם קיימת ) g ∈ L1 (Xו־|.|fn | ≤ |g למה ) 10.2הלמה של פאטו (Fatuoיהי ) (X, M, µמרחב מידה ו־]∞ fn : X → [0,מדידות אזי Z Z fn dµ lim inf fn dµ ≤ lim inf X n n X מידה) (Y, M) ,מרחב טופולוגי?( ו־ f : X → Yכך שלכל A ∈ Mמתקיים כי .f −1 (A) ∈ F הגדרה 10.3יהי ) (X, F, µמרחב הגדרנו ]∞ (f∗ µ) : M → [0,ע״י ).(f∗ µ) (A) = µ f −1 (A משפט ) 10.4חילוף משתנה( בתנאים לעיל ,לכל ]∞ g : Y → [0,מדידה ,אזי Z = )gd (f∗ µ g ◦ f dµ X Z Y הוכחה :נוכיח את המשפט בשלושה שלבים: .1נוכיח עבור פונקציה מציינת ,כלומר עבור g = χAכך ש־.A ∈ M Z Z = )χA d (f∗ µ) = (f∗ µ) (A) = µ f −1 (A χf −1 (A) dµ Y X Z = (χA ◦ f ) dµ X כאשר המעבר האחרון הוא בגלל ש־ ) χf −1 (A) = χA ◦ fטענה טריוויאלית וקלה לבדיקה(. Pn .2נוכיח עבור g = s = i=1 λi χAiעבור λi ∈ R+ו־ – Ai ∈ Aנובע ישירות מ־) (1ומלינאריות האינטגרל. 37 . נקודתיתsn → g כך ש־0 ≤ sn ≤ g ראינו בכיתה שקיימת סדרת פונקציות פשוטות. מדידהg : Y → [0, ∞] נניח.3 Z Z gd (f∗ µ) = lim sn d (f∗ µ) Y Y n Z (Monotonic convergence) ⇒ = lim sn d (f∗ µ) n ZY (2) ⇒ = lim (sn ◦ f ) dµ n X Z (Monotonic convergence) ⇒ = lim sn ◦ f dµ n ZX = (g ◦ f ) dµ X אזי,n לכלfn ≤ g כך ש־0 ≤ g ∈ L1 (X) מדידות ונניח שקיימתfn : X → [0, ∞] )פאטו מהופך( תהי10.5 למה Z Z lim sup fn dµ ≤ lim sup fn dµ n אבל R X X X n R lim inf gn ≤ lim inf n X gn יודעים כיR פאטו אנוR מהלמה של.gn =R g − fn : X → [0, ∞] נגדיר:הוכחה . שמוכיח את הטענהlim inf X gn dµ = X gdµ − lim sup X fn dµ וגםlim inf gn = g − lim sup fn R . E f dµ < מתקיים כיµ (E) < δ כך ש־E ∈ F כך שלכלδ > 0 > קיים0 אזי לכל.f ∈ L1 (X) 10.6 טענה 38
© Copyright 2024