‫הסתברות למתמטיקאים ־ תרגיל בית מס' ‪6‬‬ ‫‪ .1‬מצאו קבוצת בורל ‪ A‬ב ‪ RN‬כך שסדרה ‪ X1 , X2 , . . .‬של מ"מ ב"ת ש"ה מקיימת ‪(X1 , X2 , . . .) ∈ A‬כ"ב אם ההתפלגות של‬ ‫∈ )‪(X1 , X2 , . . .‬כ"ב לכל התפלגות אחרת‪.‬‬ ‫‪ X1‬היא )‪ N (0, 1‬אבל ‪/ A‬‬ ‫‪ .2‬יהיו ‪ X1 , X2 , . . .‬מ"מ ונסמן ‪ .Sn = X1 + X2 + . . . + Xn‬קבעו האם המאורעות הבאים הינם מאורעות זנב או מצאו דוגמה‬ ‫נגדית‪.‬‬ ‫)א( ‪ Sn‬סדרה מתכנסת‪.‬‬ ‫)ב( ‪ Sn‬סדרה חסומה‪.‬‬ ‫)ג( ‪lim inf Sn > 1‬‬ ‫)ד( ‪−−−−→ 0‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪Pn‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i=1 Xi‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Sn‬‬ ‫‪) .3‬א( יהיו ‪ X1 , X2 , .S. .‬מ"מ ב"ת‪ .‬נסמן ) ‪ ,F1n = σ (X1 , . . . , Xn‬אזי ∞‪ F1∞ = σ (E) ,F1n ↑ σ (X1 , X2 , . . .) = F1‬כאשר‬ ‫‪ .E = n F1n‬הוכיחו כי ‪ E‬היא אלגברה אבל לא בהכרח ‪σ‬־אלגברה‪.‬‬ ‫רמז‪ :‬היעזרו בספרות בינאריות‪.‬‬ ‫)ב( אם ‪σ‬־אלגברה היא ב"ת )בכל המאורעות( של אלגברה ‪ E‬אזי היא ב"ת ב )‪.σ (E‬‬ ‫‪ .4‬נסמן ב ‪ (Sn )n‬הילוך מקרי פשוט‪ .‬הוכיחו כי כ"ב מתקיים כי‪ lim inf n Sn = −∞ ,supn |Sn | = ∞ :‬ו ∞ = ‪,lim supn Sn‬‬ ‫}‪.sup {n : Sn = 0‬‬ ‫רמז‪ ,maxk (Skn+n − Skn ) = n :‬היעזרו בשאלה ‪.2‬‬ ‫‪ .5‬נתונה סדרה ‪ X1 , X2 , . . .‬של מ"מ ב"ת ש"ה כך ש‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= )‪ .P (X1 = −1) = P (X1 = 1‬נגדיר‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪Xn‬‬ ‫)‪n (n + 1‬‬ ‫‪p‬‬ ‫= ‪.Y‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫הוכיחו או הפריכו‪:‬‬ ‫)א( הטור ‪ Y‬מתכנס כ"ב‪.‬‬ ‫)ב( ∞ < }| ‪ E {|Y‬ו ‪.E {Y } = 0‬‬ ‫)ג( ‪P (|Y | < 10) ≥ 0.99‬‬ ‫‪ .6‬האם קיימים }‪ s1 , s2 , . . . ∈ {−1, 1‬כך שלכל ‪ k = 0, 1, 2, . . .‬הסדרות‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪sn sn+1 · · · sn+k‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫מתכנסות?‬ ‫∞‪P‬‬ ‫‪ .7‬יהיו ‪ X1 , X2 , . . .‬מ"מ ב"ת ‪ E {Xn } < ∞ ,Xn ≥ 0‬ו ∞ = } ‪. n=1 E {Xn‬‬ ‫∞‪P‬‬ ‫)א( האם נובע בהכרח כי ∞ = ‪ n=1 Xn‬כ"ב?‬ ‫)ב( כמו סעיף א'‪ ,‬כאשר נתון בנוסף כי ‪ Xn ≤ 1‬לכל ‪.n‬‬ ‫‪ .8‬נגדיר‬ ‫‪x2 ,‬‬ ‫‪|x| ,‬‬ ‫‪|x| < 1‬‬ ‫‪|x| ≥ 1‬‬ ‫(‬ ‫= )‪.ψ (x‬‬ ‫הוכיחו שאם ‪ X1 , X2 , . . .‬הם מ"מ ב"ת כך ש ‪ E {Xn } = 0‬ו ∞ < }) ‪E {ψ (Xn‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪n‬‬ ‫אזי ∞ < ‪Xn‬‬ ‫‪P‬‬ ‫כ"ב‪.‬‬