‫בחינה בקורס משחקים לא־שיתופיים‬ ‫שנת תשע"ד‪ ,‬מועד א'‪2.7.2014 ,‬‬ ‫מרצה‪ :‬אילון סולן‬ ‫• ענו על כל השאלות הבאות‪ .‬אם בתשובתכם אתם משתמשים במשפטים או בתוצאות שהוכחו‬ ‫בכיתה‪ ,‬יש לנסח במדויק משפטים‪/‬תוצאות אלו‪ .‬אין צורך להגדיר מושגים שהוגדרו בכיתה‬ ‫ושבהם אתם משתמשים בהוכחה‪.‬‬ ‫• נמקו את כל תשובותיכם‪ .‬תשובות לא מנומקות לא תקבלנה ניקוד מלא‪.‬‬ ‫• אסור השימוש בכל חומר עזר למעט מחשבון‪.‬‬ ‫• זמן הבחינה‪ 3 :‬שעות‪ .‬בבחינה ‪ 4‬שאלות וניתן לצבור לכל היותר ‪ 102‬נקודות‪ .‬הציון בבחינה‬ ‫הוא המינימום בין סך הנקודות שצברתם ו־‪.100‬‬ ‫שאלה ראשונה )‪ 26‬נקודות(‬ ‫‪ .1‬הגדירו את המושג שיווי משקל נאש במשחק בצורה אסטרטגית‪ 4) .‬נקודות(‬ ‫‪ .2‬במשחק שני השחקנים הבא התשלומים הרשומים באחד מתאי המטריצה הם פרמטרים‪ .‬לכל‬ ‫‪ x, y ∈ R‬רשמו את כל שיוויי המשקל במשחק‪ 22) .‬נקודות(‬ ‫שחקן‬ ‫שחקן‬ ‫‪II‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪0, 0‬‬ ‫‪x, y‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪1, 1‬‬ ‫‪0, 0‬‬ ‫‪I‬‬ ‫שאלה שנייה )‪ 4‬נקודות(‬ ‫‪ .1‬הגדירו את המושג "משחק חוזר ‪T‬־שלבי‪ 4) ".‬נקודות(‬ ‫שאלה שלישית )‪ 35‬נקודות(‬ ‫נתבונן במשחק שני השחקנים סכום האפס הבא‪ .‬טבע בוחר אחת משתי מטריצות תשלומים‪:‬‬ ‫מטריצת התשלומים א' נבחרת בהסתברות ‪ 31‬ומטריצת התשלומים ב' נבחרת בהסתברות ‪. 32‬‬ ‫• אם נבחרת מטריצת התשלומים א'‪ ,‬בהסתברות ‪ 12‬מגלים לשחקן ‪ 1‬שזו המטריצה שנבחרה‬ ‫ובהסתברות ‪ 21‬לא מגלים לו דבר‪ .‬לשחקן ‪ 2‬לא מגלים דבר‪.‬‬ ‫• אם נבחרת מטריצת התשלומים ב'‪ ,‬בהסתברות ‪ 14‬מגלים לשחקן ‪ 2‬שזו המטריצה שנבחרה‬ ‫ובהסתברות ‪ 43‬לא מגלים לו דבר‪ .‬לשחקן ‪ 1‬לא מגלים דבר‪.‬‬ ‫שחקן‬ ‫שחקן‬ ‫שחקן‬ ‫‪II‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪T‬‬ ‫שחקן‬ ‫‪I‬‬ ‫‪II‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪B‬‬ ‫מטריצה א‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫מטריצה ב‬ ‫ענו על השאלות הבאות‪:‬‬ ‫‪ .1‬תארו את המשחק כמשחק בצורה רחבה‪ 10) .‬נקודות(‬ ‫‪ .2‬תארו את המשחק כמשחק בייזיאני‪ 10) .‬נקודות(‬ ‫‪ .3‬מצאו במשחק שיווי משקל בייזיאני‪ 15) .‬נקודות(‬ ‫שאלה רביעית )‪ 37‬נקודות(‬ ‫‪ .1‬נסחו את משפט שפלי אודות משחקים סטוכסטיים שני שחקנים סכום אפס‪ 4) .‬נקודות(‬ ‫גרף מכוון הוא זוג )‪ (V, E‬שבו ‪ V‬הוא קבוצת קדקודים סופית ו־‪ E‬הוא קבוצת קשתות מכוונות‪.‬‬ ‫במילים אחרות‪ E ⊆ V × V ,‬ואיבר ‪ e = (v1 , v2 ) ∈ E‬הוא קשת מהקדקוד ‪ v1‬לקדקוד ‪.v2‬‬ ‫משחק על גרף הוא משחק שני שחקנים סכום אפס הנתון על ידי‪:‬‬ ‫• גרף מכוון )‪ (V, E‬המקיים שלכל קדקוד ‪ v ∈ V‬הקבוצה ‪ E‬מכילה את הקשת )‪ ;(v, v‬במילים‬ ‫אחרות‪ ,‬לכל קדקוד קיימת קשת עצמית המצביעה מהקדקוד לעצמו‪ .‬הקבוצה ‪ E‬עשויה להכיל‬ ‫גם קשתות שאינן קשתות עצמיות‪.‬‬ ‫• פונקציה }‪ i : V → {1, 2‬המתאימה לכל קדקוד את אחד משני השחקנים‪.‬‬ ‫• פונקציה ‪ u : V → R‬המתאימה תשלום לכל קדקוד‪.‬‬ ‫• קדקוד התחלתי ‪.v 0 ∈ V‬‬ ‫המשחק מתנהל באופן הבא‪:‬‬ ‫• המשחק מתנהל בשלבים ומתחיל בקדקוד ‪.v 0‬‬ ‫• בכל שלב ‪ t ∈ N‬התחרות נמצאת בקדקוד מסוים‪.v t ,‬‬ ‫–‬ ‫–‬ ‫–‬ ‫שחקן ‪ 2‬משלם לשחקן ‪ 1‬את הסכום ) ‪.u(v t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫השחקן ) ‪ i(v‬בוחר את אחת הקשתות היוצאות מהקדקוד ‪ v‬שנסמנה )‪.(v , vb‬‬ ‫השלב הנוכחי מסתיים והמצב בשלב העוקב‪ ,‬שלב ‪ ,t + 1‬הוא ‪:= vb‬‬ ‫ענו על השאלות הבאות‪:‬‬ ‫‪ .2‬תארו משחק על גרף כמשחק סטוכסטי‪ 7) .‬נקודות(‬ ‫‪t+1‬‬ ‫‪.v‬‬ ‫‪ .3‬הוכיחו שלכל שחקן יש אסטרטגיה אופטימלית שהיא טהורה וסטציונרית‪ 18) .‬נקודות; רמז‪:‬‬ ‫היזכרו בתרגיל על בעיות החלטה מרקוביות(‬ ‫‪ .4‬נניח ששני השחקנים נוקטים אסטרטגיות אופטימליות סטציונריות טהורות‪ .‬האם בהכרח‬ ‫קיים קדקוד ∗ ‪ v‬ומספר טבעי ‪ t0 ∈ N‬כך שלכל ‪ t ≥ t0‬מתקיים ∗ ‪ ?v t = v‬הראו על ידי‬ ‫דוגמה נגדית שהדבר אינו נכון‪ 8) .‬נקודות(‬ ‫בהצלחה!‬