‫תורת הקבוצות — תרגיל בית ‪7‬‬ ‫פתרונות‬ ‫חיים שרגא רוזנר‬ ‫י"ב באייר תשע"ד‬ ‫תקציר‬ ‫אקסיומות‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ZFC‬‬ ‫)לא כולל אקסיומת הבחירה(‪.‬‬ ‫מערכת אקסיומות‬ ‫‪ZFC‬‬ ‫אנו מציגים מערכת אקסיומות‪ ,‬ובעזרתן מגדירים את המושג קבוצה‪ .‬אם הצלחנו לתאר אובייקט כלשהו‬ ‫שאיננו מקיים את אחת האקסיומות האלו‪ ,‬הרי שנאמר שאובייקט זה איננו קבוצה‪.‬‬ ‫‪1.1‬‬ ‫אקסיומת‬ ‫הקבוצה הריקה‬ ‫אקסיומת ההיקפיות‬ ‫סכמת אקסיומות‬ ‫ההפרדה‬ ‫אקסיומת הקבוצה הריקה‪ ,‬אקסיומת ההיקפיות וסכמת ההפרדה‬ ‫אקסיומה קיימת קבוצה ריקה‪.‬‬ ‫אקסיומה קבוצות נקבעות על ידי איבריהן‪ .‬לשון אחר‪ x = y :‬א‪.‬ם‪.‬ם‪ .‬לכל ‪ z‬מתקיים ‪.z ∈ x ↔ z ∈ y‬‬ ‫סכמת אקסיומות אם ‪ A‬קבוצה‪ ,‬ו־‪ ϕ‬תכונה‪ ,‬אזי אוסף האיברים ב־‪ A‬המקיימים את התכונה ‪ ϕ‬הוא‬ ‫קבוצה‪ .‬לשון אחר‪ :‬תהי )‪ ϕ (x, y‬נוסחה )אולי עם עוד פרמטרים( ותהי ‪ A‬קבוצה‪ .‬אזי האוסף‬ ‫})‪ {x ∈ A: ϕ (x, A‬הוא קבוצה‪.‬‬ ‫מסקנה ‪ 1.1‬הקבוצה הריקה ∅ היא יחידה‪.‬‬ ‫תרגיל תהיינה ‪ A, B‬קבוצות‪ .‬הראו כי האוסף הבא הוא קבוצה‪x ∈ B} :‬‬ ‫‪or‬‬ ‫‪.A ∩ B = {x: x ∈ A‬‬ ‫פתרון ננסח את התכונה המתאימה ]‪ .ϕ (x, A, B) = [x ∈ A ∧ x ∈ B‬אזי לפי סכמת ההפרדה‬ ‫})‪ {x ∈ A: ϕ (x, A, B‬הוא קבוצה‪ .‬דרך נוספת‪ :‬נגדיר את הקבוצה כמופרדת מקבוצה ‪B‬‬ ‫במקום מקבוצה ‪ .A‬דרך נוספת‪ :‬ננסח את התכונה הבאה‪ ,χ (x, B) = [x ∈ B] :‬ואז נפריד‬ ‫מ־‪ .A ∩ B = {x ∈ A: χ (x, B)} :A‬‬ ‫∈‪x‬‬ ‫תרגיל תהיינה ‪ A, B‬קבוצות‪ .‬הראו כי האוסף הבא הוא קבוצה‪/ B} :‬‬ ‫‪and‬‬ ‫‪.A \ B = {x: x ∈ A‬‬ ‫∈ ‪ ,ϕ (x, B) = [x‬ונפריד מ־‪ .A \ B = {x ∈ A: ϕ (x, B)} :A‬‬ ‫פתרון ננסח ]‪/ B‬‬ ‫תרגיל נסמן על ידי ‪ V‬את מחלקת כל הקבוצות‪ .‬הוכיחו כי ‪ V‬איננה קבוצה‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫פתרון )הפרדוקס של ראסל( נניח בשלילה כי קיימת הקבוצה ‪ ,V‬קבוצת כל הקבוצות‪ .‬נסמן נוסחה‬ ‫∈ ‪ .ϕ (x) = [x‬אזי לפי סכמת ההפרדה קיימת הקבוצה })‪ .B = {x ∈ V : ϕ (x‬כעת נבדוק‬ ‫]‪/ x‬‬ ‫האם ‪ B ∈ B‬או לא‪ B .‬היא קבוצה‪ ,‬ולכן היא שייכת לקבוצת כל הקבוצות ‪ .V‬לפיכך מתקיים‬ ‫‪ .B ∈ V‬כל שנותר לבדוק הוא האם )‪ ϕ (B‬או לא‪ .‬ראשית נניח כי )‪ .ϕ (B‬במקרה כזה‪B ,‬‬ ‫∈ ‪.ϕ (B) = [B‬‬ ‫מקיימת את כל התנאים כדי להיכלל ב־‪ ,B‬ולכן ‪ ,B ∈ B‬ובסתירה להנחה ]‪/ B‬‬ ‫∈ ‪,B‬‬ ‫לכן ההנחה כי )‪ ϕ (B‬איננה נכונה‪ .‬כעת נניח כי )‪ .¬ϕ (B‬במקרה כזה ברור שמתקיים ‪/ B‬‬ ‫כי ‪ B‬איננה מקיימת את הדרישה שלפיה הגדרנו את הקבוצה ‪ .B‬אלא שפירוש הנוסחא )‪¬ϕ (B‬‬ ‫הוא הפוך‪ ,‬שהרי הוא קובע ‪ .B ∈ B‬ולכן גם הנחה זו מביאה לסתירה‪ .‬אם כן‪ ,‬הגענו כאן לכך‬ ‫שכל אפשרות בשאלה האם ‪ B ∈ B‬מביאה אותנו לסתירה‪ ,‬ולכן אין אפשרות נכונה‪ .‬לפיכך‬ ‫ההנחה שהנחנו בשלילה מובילה לסתירה ואינה נכונה‪ ,‬ו־ ‪ V‬איננה קבוצה‪ .‬‬ ‫תרגיל מצאו את הסתירה בדרך ההוכחה הבאה‪ ,‬הוכחה שכל הקבוצות הקיימות הן ריקות‪.‬‬ ‫∈ ‪.B = {x ∈ A: x‬‬ ‫תהי ∅ =‪ A 6‬קבוצה‪ ,‬ונגדיר תת־קבוצה ‪ B‬של ‪ A‬על ידי }‪/ B‬‬ ‫קבוצה זו הוגדרה בעזרת סכמת ההפרדה‪ ,‬כאשר הנוסחא ‪ ϕ‬היא ‪ .¬x ∈ B‬מכיוון ש־‪A‬‬ ‫לא ריקה‪ ,‬ניתן לבחור ‪ x ∈ A‬כלשהו‪ .‬נבדוק האם ‪ x ∈ B‬או לא‪ .‬נניח ‪ .x ∈ B‬אזי‬ ‫∈ ‪ x‬אז ‪ x‬מקיים את הדרוש‬ ‫∈ ‪ ,x‬וזו סתירה‪ .‬מנגד‪ ,‬אם ‪/ B‬‬ ‫מהגדרת ‪ B‬אנו יודעים כי ‪/ B‬‬ ‫מאיברי ‪ ,B‬ולכן ‪ ,x ∈ B‬וגם זו סתירה‪ .‬מצאנו‪ ,‬אם כן כי כל האפשרויות לענות לשאלה‬ ‫"האם ‪ x‬הוא איבר של ‪ "?B‬אינן נכונות‪ ,‬וכך מצאנו סתירה להנחה בשלילה כי קיימת‬ ‫∅ =‪ .A 6‬המסקנה העולה היא כי כל קבוצה היא ריקה‪ .‬לפי אקסיומת ההיקפיות ניתן‬ ‫לקבוע כי יש רק קבוצה אחת‪ ,‬והיא הקבוצה הריקה‪.‬‬ ‫פתרון בנוסחא ‪ ϕ‬הצבנו את הקבוצה שאותה אנו מנסים להגדיר‪ .B ,‬לכן ההגדרה היא סיבובית‪ ,‬ולא‬ ‫ניתן להראות כי ‪ B‬שהצבנו היא קבוצה‪.‬‬ ‫לשון אחר‪ :‬ההנחה ש־‪ B‬מוגדרת היטב מבוססת על כך שההפרדה בוצעה כראוי‪ ,‬וכדי להפריד‬ ‫כראוי יש להציב רק קבוצות בנוסחא; אולם בשלב שבו בוצעה ההפרדה טרם הוכחנו כי ‪ B‬היא‬ ‫אכן קבוצה‪ .‬‬ ‫תרגיל תהי ‪ A‬קבוצה ותהי )‪ ϕ (x‬נוסחא‪ .‬הוכיחו את קיום הקבוצות‬ ‫})‪= {x ∈ A: ϕ (x‬‬ ‫‪A1‬‬ ‫})‪= {x ∈ A: ¬ϕ (x‬‬ ‫‪A2‬‬ ‫הראו כי לכל איבר ‪ a‬ב־‪ A‬מתקיים בדיוק אחד מהשניים‪:‬‬ ‫• ‪a ∈ A1‬‬ ‫• ‪.a ∈ A2‬‬ ‫הסיקו כי על ידי ההפרדה ניתן להפריד את ‪ A‬לשתי קבוצות זרות‪ ,‬זו שמקיימת את ‪ ϕ‬וזו שאינה‬ ‫מקיימת את ‪.ϕ‬‬ ‫פתרון הקבוצות מוגדרות לפי אקסיומת ההפרדה‪ .‬יהי ‪ ,a ∈ A‬אזי מתקיים בדיוק אחד מהשנים )‪ϕ (x‬‬ ‫או )‪ ,¬ϕ (x‬ובהתאם מתקיים בדיוק ‪ a ∈ A1‬או ‪ .a ∈ A2‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫אקסיומת הזוגות‬ ‫אקסיומות בנייה‪ :‬הזוגות‪ ,‬האיחוד‪ ,‬ההחלפה‪ ,‬החזקה‪.‬‬ ‫אקסיומה תהיינה ‪ x, y‬קבוצות‪ .‬אזי האוסף }‪ {x, y‬הוא קבוצה‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.2‬זוג סדור ‪ ha, bi‬הוא הקבוצה }}‪ .ha, bi = {a, {a, b‬לזוג זה התכונה ‪ha1 , b1 i = ha2 , b2 i‬‬ ‫א‪.‬ם‪.‬ם‪ a1 = a2 .‬וכן ‪ .b1 = b2‬הזוג הסדור מוגדר בעזרת שימוש חוזר באקסיומת הזוגות‪.‬‬ ‫תרגיל נביט בנסיון אחר להגדיר את הזוג הסדור‪ .‬ננסה להגדיר }}‪ .ha, bi = {a, {b‬בעזרת הגדרה‬ ‫נסיונית זו‪ ,‬מצאו דוגמא נגדית לתכונה ‪ ha1 , b1 i = ha2 , b2 i‬א‪.‬ם‪.‬ם‪ a1 = a2 .‬וכן ‪.b1 = b2‬‬ ‫פתרון ניקח }}∅{{ = ‪ .a2 = b2 = {∅} ,b1 = ∅ ,a1‬ואז‬ ‫‪ha1 , b1 i = {{{∅}} , {∅}} = {{∅} , {{∅}}} = ha2 , b2 i‬‬ ‫אקסיומת האיחוד‬ ‫אך על אף זאת‪ ,‬מתקבלת הסתירה ‪ .b1 6= b2 ,a1 6= a2‬‬ ‫‪S‬‬ ‫אקסיומה תהי ‪ F‬קבוצה‪ .‬אזי }‪ F = {x: ∃y, x ∈ y ∧ y ∈ F‬היא קבוצה‪.‬‬ ‫תרגיל בנו קבוצה בת ‪ 3‬איברים‪.‬‬ ‫פתרון דרך ההיסק נתונה בטבלה‪ .‬אנו משתמשים כאן חזור והשתמש באקסיומת הזוגות‪ ,‬וכן במסקנה‬ ‫‪ 1.1‬ובאקסיומת האיחוד‪.‬‬ ‫מספר צעד‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫תוצאה‬ ‫∅‬ ‫}∅{‬ ‫}}∅{{‬ ‫}}}∅{{{‬ ‫}}∅{ ‪{∅,‬‬ ‫}}}∅{ ‪{{{{∅}}} , {∅,‬‬ ‫}}∅{ ‪{{{∅}} , ∅,‬‬ ‫נימוק‬ ‫מסקנה‬ ‫זיווג של ‪ 1‬עם ‪.1‬‬ ‫זיווג של ‪ 2‬עם ‪.2‬‬ ‫זיווג של ‪ 3‬עם ‪.3‬‬ ‫זיווג של ‪ 1‬עם ‪.2‬‬ ‫זיווג של ‪ 4‬עם ‪.5‬‬ ‫איחוד של ‪.6‬‬ ‫‪1.1‬‬ ‫מצאנו‪ ,‬אם כן‪ ,‬כי קיימת הקבוצה }}∅{ ‪ .{{{∅}} , ∅,‬בקבוצה זו יש שלושה איברים שונים‪ ,‬כנדרש‪.‬‬ ‫‬ ‫תרגיל בנו קבוצה בת ‪ 4‬איברים‪ .‬מומלץ להמשיך את המספור מהשאלה הקודמת‪.‬‬ ‫פתרון נמשיך את הספירה מהפתרון הסמוך‪.‬‬ ‫מספר צעד‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫תוצאה‬ ‫}}}∅{ ‪{{{{∅}} , ∅,‬‬ ‫}}}∅{ ‪{{{{{∅}} , ∅, {∅}}} , {{{∅}} , ∅,‬‬ ‫}}}∅{ ‪{∅, {∅} , {{∅}} , {{{∅}} , ∅,‬‬ ‫נימוק‬ ‫זיווג של ‪ 7‬עם ‪7‬‬ ‫זיווג של ‪ 7‬עם ‪.8‬‬ ‫איחוד של ‪.9‬‬ ‫בשלב ‪ 10‬מצאנו קבוצה בת ארבעה איברים‪ ,‬כמבוקש‪ .‬‬ ‫סכמת אקסיומות‬ ‫ההחלפה‬ ‫סכמת אקסיומות תהי ‪ A‬קבוצה‪ ,‬ותהי )‪ ϕ (x, y‬נוסחה‪ ,‬אשר היא כלל התאמה חד־ערכי על איברי ‪.A‬‬ ‫לשון אחר‪ ,‬לכל ‪ x ∈ A‬קיים ויחיד ‪ y‬כך ש־)‪ .ϕ (x, y‬אזי תמונת ‪ ,ϕ‬האוסף })‪,{y: ∃x ∈ A, ϕ (x, y‬‬ ‫הוא קבוצה‪.‬‬ ‫תרגיל נניח כי )‪ ϕ (x, y‬היא נוסחא המקיימת‪ :‬לכל ‪ x‬קיים לכל היותר ‪ y‬אחד כך ש־)‪ .ϕ (x, y‬לשון‬ ‫אחר‪:‬‬ ‫)‪∀x∀y∀z (ϕ (x, y) ∧ ϕ (x, z) → y = z‬‬ ‫הוכיחו כי לכל קבוצה ‪ A‬קיימת הקבוצה ‪ B‬כך שלכל ‪ x ∈ A‬אם קיים ‪ y ∈ A‬כך ש־)‪ϕ (x, y‬‬ ‫אזי קיים ‪ y ∈ A‬כך ש־)‪ ϕ (x, y‬וגם ‪.y ∈ B‬‬ ‫‪3‬‬ ‫פתרון נפריד מ־‪ A‬את הקבוצה של ‪x‬־ים עבורם קיים ‪ y‬כזה‪ ,‬ואז נחליף אותם‪ .‬ניזקק לנוסחא‬ ‫]))‪ .φ (x) = [∃y (ϕ (x, y‬נפריד באמצעותה את הקבוצה })‪ .X = {x ∈ A: ϕ (x‬כעת‪ ,‬על‬ ‫הקבוצה ‪ X‬מתקיים לכל ‪ x ∈ X‬קיים ויחיד ‪ y‬כך ש־)‪ .ϕ (x, y‬לכן ניתן להחליף קבוצה זו‪,‬‬ ‫ולקבל‬ ‫})‪B = {y: ∃x ∈ Aϕ (x, y‬‬ ‫קבוצה זו מקיימת הדרוש‪ .‬‬ ‫אקסיומת קבוצת‬ ‫החזקה‬ ‫אקסיומה תהי ‪ A‬קבוצה‪ .‬אזי האוסף }‪ P (A) = {x: x ⊆ A‬הוא קבוצה‪.‬‬ ‫תרגיל בנו‪ ,‬בדרך מהירה ככל האפשר‪ ,‬קבוצה בת ‪ 128‬איברים‪ .‬בנו‪ ,‬בדרך מהירה ככל האפשר‪ ,‬קבוצה‬ ‫בת ‪ 127‬איברים‪.‬‬ ‫פתרון‬ ‫מספר צעד‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫קבוצה‬ ‫∅ = ‪X1‬‬ ‫)∅( ‪X2 = P (X1 ) = P‬‬ ‫))∅( ‪X3 = P (X2 ) = P (P‬‬ ‫)))∅( ‪X4 = P (X3 ) = P (P (P‬‬ ‫))))∅( ‪X5 = P (X4 ) = P (P (P (P‬‬ ‫∈ ∅ ‪X6 = {x ∈ X5 :‬‬ ‫}‪/ x ∧ ∅ 6= x‬‬ ‫) ‪X7 = P (X6‬‬ ‫}∅ =‪X8 = {x ∈ X7 : x 6‬‬ ‫מספר איברים‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2 =1‬‬ ‫‪21 = 2‬‬ ‫‪22 = 4‬‬ ‫‪24 = 16‬‬ ‫‪16 ÷ 2 − 1 = 7‬‬ ‫‪27 = 128‬‬ ‫‪128 − 1 = 127‬‬ ‫נימוק לקיומה של הקבוצה‬ ‫מסקנה ‪1.1‬‬ ‫הפרדה מ־‪ 5‬באמצעות נוסחא‪.‬‬ ‫הפרדה מ־‪ 7‬באמצעות נוסחא‪.‬‬ ‫השתמשנו בכך שעבור ‪ X‬סופית‪ .|P (X)| = 2|X| ,‬בשלבים ‪ 6‬ו־‪ 8‬הפרדנו באמצעות נוסחא‪ .‬יש‬ ‫להסביר את החשבון שהביאנו למספר האיברים המתאים‪ .‬ובכן‪ ,‬לכל איברי )‪ P (4‬מתחלקים לשני‬ ‫‪ S‬המכילים את הקבוצה הריקה ואלו שאינם‪ .‬קל לייצר התאמה חח"ע ועל ביניהם‪ ,‬על ידי‬ ‫סוגים‪ :‬אלו‬ ‫∈ ∅ מחלק את העוצמה בשניים‪ .‬בין ‪) 8‬או ‪ (128‬האיברים הנותרים‪,‬‬ ‫}}∅{ ‪ .x 7→ {x,‬לכן התנאי ‪/ x‬‬ ‫הורדנו איבר ספציפי‪ ,‬את ∅‪ .‬‬ ‫תרגיל הראנו בכיתה כי לכל ‪ .P (X) * X ,X‬הסיקו כי לא קיימת קבוצת כל הקבוצות ‪.V‬‬ ‫פתרון נניח בשלילה קיום ‪ .V‬אזי לפי אקסיומת קבוצת החזקה קיימת גם הקבוצה ) ‪ .P (V‬כל איבר‬ ‫בקבוצה זו ) ‪ Y ∈ P (V‬הוא תת־קבוצה של ‪ .V‬בפרט הוא קבוצה‪ ,‬ומקיים ‪ .Y ∈ V‬הראנו כאן‬ ‫כי ‪ ,P (V ) ⊆ V‬ובניגוד לטענה מהכיתה‪ .‬‬ ‫‪1.3‬‬ ‫אקסיומות נוספות‬ ‫בסעיף זה נביא אקסיומות שהן פחות אינטואיטיביות‪ .‬חלקן מוגדרות בעזרת מושגים מהאקסיומות‬ ‫הקודמות‪.‬‬ ‫אקסיומת האינסוף‬ ‫אקסיומה קיימת קבוצה ‪ I‬כך ש־‪ ∅ ∈ I‬וכן לכל ‪ a ∈ I‬גם ‪.S (a) = a ∪ {a} ∈ I‬‬ ‫מסקנה ‪ 1.3‬בעזרת הפרדה מקבוצה זו‪ ,‬ניתן להראות כי קיימת קבוצת הסודרים הטבעיים ‪.ω‬‬ ‫‪4‬‬ ‫אקסיומת היסוד‬ ‫אקסיומה לכל קבוצה לא ריקה ‪ A‬קיים איבר מינימלי ליחס השייכות‪.‬‬ ‫לשון אחר‪ :‬בכל קבוצה לא ריקה ‪ A‬קיים איבר ‪ a ∈ A‬כך שאין איבר ‪ b ∈ A‬המקיים ‪.b ∈ a‬‬ ‫בניסוח פורמלי‪:‬‬ ‫∈ ‪∀A [A = ∅ ∨ ∃a ∈ A∀b ∈ A (b‬‬ ‫])‪/ a‬‬ ‫אקסיומת היסוד נועדה למנוע מצבים מוזרים ומקרים פתולוגיים‪.‬‬ ‫תרגיל הראו‪ ,‬לכל אחת מהקבוצות הבאות‪ ,‬כי הן מקיימות את אקסיומת היסוד‪:‬‬ ‫‪.∅ .1‬‬ ‫‪.{∅} .2‬‬ ‫‪.{{∅} , {∅, {∅}}} .3‬‬ ‫שימו לב! נתבקשתם להוכיח כי האקסיומה מתקיימת עבור הקבוצות האלו‪ ,‬אין צורך להראות‬ ‫כי כל האיברים מקיימים את האקסיומה‪.‬‬ ‫פתרון‬ ‫‪ .1‬באופן ריק‪ ,‬כי האקסיומה טוענת רק על קבוצות לא ריקות‪.‬‬ ‫∈ ‪.b‬‬ ‫∈ ‪ b‬מתקיים ‪/ ∅ = a‬‬ ‫‪ .2‬ניקח }∅{ ∈ ∅ = ‪ ,a‬ובאמת לכל }∅{ ‪/‬‬ ‫∈ ‪ .b‬‬ ‫‪ .3‬ניקח }∅{ = ‪ ,a‬ובאמת לכל ‪ b‬בקבוצה הנתונה‪ ,b 6= ∅ ,‬ולכן ‪/ {∅} = a‬‬ ‫תרגיל האם תיתכן הקבוצה }‪ A = {A0 , A1 , A2 , . . . , Ai , . . . : i ∈ ω‬כך שלכל ‪ i ∈ ω‬מתקיים ∈ ‪Ai+1‬‬ ‫‪?Ai‬‬ ‫∈ ‪ .y‬אם כן‪ ,‬יהי ‪ x‬זה נתון‪ .‬אזי הוא‬ ‫פתרון לא‪ .‬לפי אקסיומת היסוד‪ ,‬קיים ‪ x ∈ A‬כך שלכל ‪/ x ,y ∈ A‬‬ ‫∈ ‪ ,¬ (Ai+1‬ובסתירה לאקסיומת‬ ‫שווה ל־ ‪ ,Ai‬עבור ‪ i‬מסוים‪ .‬כעת‪ Ai+1 ∈ A ,‬איננו מקיים ) ‪/ Ai‬‬ ‫היסוד‪ .‬אי לכך‪ ,‬קבוצה זו אינה מקיימת את אקסיומת היסוד ואיננה קיימת במערכת ‪ .ZFC‬‬ ‫תרגיל הוכיחו‪ ,‬בעזרת אקסיומת היסוד‪ ,‬כי לא קיימת קבוצת כל הקבוצות ‪ .V‬שימו לב להבדל בין‬ ‫הוכחה זו לבין הפרדוקס של ראסל והתרגיל לפי קבוצת החזקה‪.‬‬ ‫פתרון נניח בשלילה קיום ‪ .V‬אזי לפי אקסיומת הזוגות קיימת } ‪ .{V‬נפעיל על קבוצה זו את אקסיומת‬ ‫היסוד‪ ,‬ונקבל כי ‪ ,a = V‬אבל גם ‪ ,b = V‬כי זו קבוצה עם איבר יחיד‪ ,‬ומתקיים ‪.b = V ∈ V = a‬‬ ‫אם כן‪ ,‬מצאנו כאן סתירה לאקסיומת היסוד‪ ,‬ולכן לא קיימת הקבוצה ‪ .V‬‬ ‫תרגיל האם קיימות קבוצות ‪ A, B‬המקיימות ‪?A ∈ B ∈ A‬‬ ‫הדרכה השתמשו באקסיומת הזוגות‪.‬‬ ‫פתרון יהיו ‪ A, B‬נתונות‪ .‬אזי לפי זיווג קיימת }‪ .C = {A, B‬נפעיל עליה את אקסיומת היסוד‪ ,‬ונגלה‬ ‫כי יש שתי אפשרויות ל־‪.a‬‬ ‫∈ ‪.B‬‬ ‫∈ ‪ .b‬בפרט‪/ A ,‬‬ ‫• ‪ .a = A‬ואז לכל ‪/ a ,b ∈ C‬‬ ‫∈ ‪.A‬‬ ‫∈ ‪ .b‬בפרט‪/ B ,‬‬ ‫• ‪ .a = B‬ואז לכל ‪/ a ,b ∈ C‬‬ ‫∈ ‪ ,B‬ובסתירה לשאלה שלנו‪ .‬‬ ‫∈ ‪ A‬או ‪/ A‬‬ ‫לסיכום‪ ,‬מתקיים ‪/ B‬‬ ‫אקסיומת הבחירה‬ ‫אקסיומה ‪S‬לכל קבוצה ‪ F‬של קבוצות לא ריקות‪ ,‬יש פונקציית בחירה על ‪ ,F‬כלומר פונקציה → ‪f : F‬‬ ‫‪ F‬המקיימת‪ :‬לכל ‪.f (A) ∈ A ,A ∈ F‬‬ ‫‪5‬‬