Práctico de Lógica 1. Sea p :“hace frío”y q: “está lloviendo”, describir con un enunciado verbal lo siguiente (a) ~𝑝 (d) 𝑝 ∧ 𝑞 (g) 𝑞 (b) 𝑝 ∧ 𝑞 (e) 𝑝 (h) 𝑞 ∨∼ 𝑝 (c) 𝑝 ∨ 𝑞 (f) 𝑝 𝑞 (i) 𝑝 ∧∼ 𝑞 ∼𝑞 (j) ∼∼ 𝑞 𝑝 (k) ∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞 𝑝 (l) 𝑝 𝑞 2. Escribir los siguientes enunciados en forma simbólica (a) El es alto y delgado. (b) El es alto pero no es delgado (c) Es falso que él es alto o delgado (d) El no es ni alto ni delgado (e) El es alto, o él es alto y delgado (f) No es verdad que él es bajo o que no es delgado 3. Determinar el valor de verdad de cada uno de los siguientes enunciados (a) París está en Inglaterra o Londres está en Francia. (b) París está en Inglaterra o Londres está en Inglaterra. (c) Si 3+2 = 7 entonces 4+4 = 8 (d) No es verdad que 2 +2 = -1, si y solo si, 4-1 = 2 (e) Es falso que si París está en Inglaterra, entonces Londres está en Francia 4. Hallar la tabla de verdad de cada proposición 𝑝∧𝑞 ∼ 𝑝∧𝑞 ∼ 𝑝 ∼𝑞 𝑝∨𝑞 ∼ 𝑝 ∧ 𝑞 ∨∼ 𝑞 5. Verificar por tablas de verdad (a) ∼ 𝑝 ∧ 𝑞 ≡∼ 𝑝 ∨∼ 𝑞 (b) ∼ 𝑝 ∨ 𝑞 ≡∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞 (c) ∼ 𝑝 𝑞 ≡ 𝑝 ∧∼ 𝑞 (d) ∼ 𝑝 𝑞 ≡𝑝 (e) ∼∼ 𝑞 ≡ 𝑞 ∼ 𝑞 ≡∼ 𝑝 𝑞 𝑝 𝑝 𝑝 𝑞 ∨∼ 𝑝 ∼𝑞 ∼ 𝑞 ∨ 𝑟 ∧∼ 𝑞 ∨ 𝑝 ∼𝑟 6. Usando los resultados del ejercicio 5, simplificar las siguientes expresiones a. ∼ 𝑝 ∨∼ 𝑞 b. ∼ ∼ 𝑝 𝑞 c. ∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞 e. d. ∼ ∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞 f. ∼ ∼ 𝑝 ∼ ∼𝑝 𝑞 ∼𝑞 7. Simplificar los siguientes enunciados (a) No es verdad que las rosas son rojas implica que las violetas son azules (b) No es verdad que hace frio y está lloviendo (c) No es verdad que el es bajo y simpático. (d) No es verdad que hace frio o que está lloviendo (e) No es verdad que si está lloviendo entonces hace frio (f) No es verdad que las rosas son rojas siy solo si las violetas son azules 8. Demostrar las siguientes equivalencia lógicas (a) Propiedad asociativa 𝑝 ∧ 𝑞 ∧ 𝑟 ≡ 𝑝 ∧ 𝑞 ∧ 𝑟 . (b) Propiedad distributiva 𝑝 ∨ 𝑞 ∧ 𝑟 ≡ 𝑝 ∨ 𝑞 ∧ 𝑝 ∨ 𝑟 (c) 𝑝 ∨ 𝑞 ≡∼ ∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞 (d) 𝑝 𝑞∧𝑟 ≡ 𝑝 𝑞 ∧ 𝑝 𝑟 Distributiva de la implicación respecto de la conjunción. 9. Haciendo uso del algebra de proposiciones, simplificar las expresiones (a) 𝑝 ∨ 𝑞 ∧∼ 𝑝 (b) 𝑝 ∨ 𝑝 ∧ 𝑞 (c) ∼ 𝑝 ∨ 𝑞 ∨ ∼ 𝑝 ∧ 𝑞 10. Una proposición 𝑃 se dice que implica lógicamente una proposición 𝑄 y se escribe 𝑃 𝑄 si se verifica una de las tres condiciones siguientes: a. ∼ 𝑃 ∨ 𝑄 es una tautología b. 𝑃 ∧∼ 𝑄 es una contradicción c. 𝑃 𝑄 es una tautología En base a la definición dada decir si es verdadero o falso (1) 𝑝 (3)𝑝 𝑝 𝑞 11. Hallar y simplificar (a) Contrarrecíproca de la contrarrecíproca de 𝑝 (b) Contrarrecíproca de la recíproca de 𝑝 𝑞 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 (2) 𝑝 𝑝∨𝑞 (c) Contrarecíproca de la contraria de 𝑝 𝑞 12. Averiguar la contrarrecíproca de cada proposición (a) Si Juan es poeta, entonces es pobre. (b) Solo si Marcos estudia, pasará el examen. (c) Es preciso que nieve para que Enrique esquíe (d) Si 𝑥 es menor que cero, entonces 𝑥 no es positivo 13. Sea 𝑝 𝑥 : 𝑥 + 2 > 5, establecer si 𝑝 𝑥 es o no una función lógica sobre cada uno de los siguientes conjuntos (a) ℕ Conjunto de los números naturales (b) ℂ Conjunto de los números complejos (3) 𝑀 = −1, −2, −3, … Justifique su respuesta 14. Determinar el valor de verdad de cada uno de los siguientes enunciados, justificando la respuesta. El conjunto universal es el de los números reales a. ∀𝑥, 𝑥 = 𝑥 b. ∃𝑥, 𝑥 2 = 𝑥 c. ∃𝑥, 𝑥 3 = 𝑥 d. ∃𝑥, 𝑥 + 2 = 𝑥 15. Negar los enunciados del ejercicio 14 16. Dado 𝐴 = 1,2,3,4,5 , hallar el valor de verdad de los siguientes enunciados (justifique) (1) ∃𝑥 ∈ 𝐴 , 𝑥 + 3 = 10 (2) ∀𝑥 ∈ 𝐴 , 𝑥 + 3 < 10 (2) ∃𝑥 ∈ 𝐴 , 𝑥 + 3 < 5 (4) ∀𝑥 ∈ 𝐴 , 𝑥 + 3 ≤ 7 17. Negar los enunciados del ejercicio 16 18. Negar los enunciados (1) ∀𝑥 𝑝 𝑥 ∧ ∃𝑦 𝑞(𝑦) (2) ∃𝑥 𝑝 𝑥 ∨ ∀𝑦 𝑞(𝑦) 19. Negar los siguientes enunciados (1) Si hay un motín, alguien es muerto. (2) Es de día y todo el mundo se ha levantado 20. Hallar un contraejemplo para cada uno de los enunciados siguientes. 𝐵 = 2,3,4,5,6,7,8,9 (1) ∀𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥 + 5 < 12 (2) ∀𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥 𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 (2) ∀𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥 2 > 1 (4) ∀𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟