A. Guillerand – BCPST 1 A Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Document de cours Thermodynamique – Chapitre 2 : Eléments de statique des fluides Plan du chapitre : Equation différentielle fondamentale de la statique des fluides dans le champ de pesanteur 1. Propriétés de la pression au sein d’un fluide 2. Equation différentielle fondamentale de la statique des fluides dans le champ de pesanteur II. Application aux fluides incompressibles 1. Equation de la statique des fluides incompressibles 2. Applications : mesures de pression 3. Application en géologie : principe de l’isostasie III. Application aux fluides compressibles 1. Résolution de l’équation différentielle dans le cadre des fluides compressibles – Cas de l’atmosphère isotherme 2. Dans quelle cadre peut-on négliger la variation de la pression d’un système gazeux en fonction de l’altitude ? Ce qu’il faut en retenir I. Notions Capacités exigibles Extrait du programme de seconde Pression dans un liquide au repos, Savoir que la différence de pression entre influence de la profondeur deux points d’un liquide dépend de la différence de profondeur Savoir Savoir-faire Lien entre pression et force pressante s’exerçant sur une surface plane pour laquelle la pression est uniforme Appliquer l’équation fondamentale de la statique des fluides dans le cas des fluides incompressibles Equation différentielle fondamentale de la statique des fluides Appliquer l’équation fondamentale de la statique des fluides dans le cas des fluides compressibles Equation de la statique des fluides incompressibles Liens internet intéressants : L’expérience de crève-tonneau de Pascal : Dans l’émission « on n’est pas que des cobayes » : http://www.france5.fr/emissions/on-n-est-pas-que-descobayes/experiences/eperience-3-defi-faire-exploser-le-tonneau-depascal_228679 A plus petite échelle : https://www.youtube.com/watch?v=Xbqd30vRJUI Fonctionnement des châteaux d’eau : https://www.youtube.com/watch?v=xx7BetY2hNk Principe du siphon : http://phymain.unisciel.fr/le-siphon/ Extrait du programme de BCPST1 Pression dans un fluide en équilibre Utiliser la relation pour un fluide incompressible ou compressible dans une atmosphère isotherme, dans un champ de pesanteur uniforme. Principe des vases communicants : https://www.youtube.com/watch?v=_4keJXSo5ko Principe du baromètre de Torricelli : https://www.youtube.com/watch?v=i4oTwkS3EXM Ordres de grandeurs : Dans l’eau la pression augmente d’un bar tous les bar de pression) Dans l’atmosphère : on perd Thermodynamique – Chapitre 2 : Eléments de statiques des fluides m (ex. à de la valeur de la pression tous les 1 m: A. Guillerand – BCPST 1 A Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Document de cours On parle souvent de la pression d’un gaz comme étant une grandeur caractérisant l’ensemble du système, alors que c’est une grandeur locale. En effet si un système gazeux est en équilibre, dans le champ de pesanteur, dans un récipient de petite taille alors la pression est quasi uniforme, mais si nous montons plus en altitude la pression diminue. 2. Equation différentielle fondamentale de la statique des fluides dans le champ de pesanteur Considérons maintenant une petite portion de ce fluide infinitésimale (échelle mésoscopique) de forme cubique, de hauteur élémentaire notée , appelée particule de fluide : En revanche la pression au sein d’un liquide ou d’un solide évolue très rapidement avec la profondeur de manière linéaire. L’objectif de ce chapitre est de caractériser ces variations de pression en fonction de l’altitude de manière quantitative dans les fluides (liquides et gaz) en équilibre (pas de mouvement d’ensemble) dans le champ de pesanteur terrestre. I. Equation différentielle fondamentale de la statique des fluides dans le champ de pesanteur 1. Propriétés de la pression au sein d’un fluide Considérons un fluide (liquide ou gaz) dans le champ de pesanteur et notons la pression en un point du fluide. Cette pression, a priori, dépend du point considéré. Propriétés : - La pression au sein d’un fluide dans le champ de pesanteur ne dépend que de l’altitude du point considéré. (démonstration en 2ème année) - Dans le fluide on peut définir des surfaces isobares (de même pression) : ce sont des surfaces de même altitude (dans une première approximation : horizontales si elles sont de petite taille par rapport à la surface de la terre). - La pression ne présente pas de discontinuité au passage d’un milieu à un autre : à l’interface de deux fluides la pression est la même de part et d’autre. - La surface de séparation entre deux fluides non miscibles à l’équilibre est horizontale Figure 1 : Système d’étude Thermodynamique – Chapitre 2 : Eléments de statiques des fluides 2 A. Guillerand – BCPST 1 A Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Document de cours Equation fondamentale de la statique des fluides : On note : la pression en tout point de la surface inférieure de la particule de fluide Système 2 : surface inférieure de la particule en Bilan des forces : le poids de la colonne de fluide au dessus Par définition de la pression : la pression en tout point de la surface supérieure de la particule de fluide la différence de pression entre ces deux surfaces Expression de : la masse volumique de la particule de fluide (uniforme car taille infinitésimale accélération du champ de pesanteur La particule de fluide a une masse volumique uniforme notée infinitésimale) (valable car taille Démonstration : Attention ceci n’est pas une démonstration rigoureuse, mais elle permet de vous faire comprendre ce que signifie l’équation fondamentale précédente. La démonstration rigoureuse sera vue l’année prochaine. Remarques : - - - Par définition de la pression : La variation de pression en valeur absolue est égale au poids de la colonne de fluide comprise entre l’altitude et divisé par la surface de base de la colonne Analyse du signe dans l’équation fondamentale : si alors Si Si Système 1 : surface supérieure de la particule en Bilan des forces : le poids de la colonne de fluide au dessus - L’équation précédente est une équation différentielle alors alors Si on oriente vers le bas alors Thermodynamique – Chapitre 2 : Eléments de statiques des fluides 3 A. Guillerand – BCPST 1 A Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Document de cours Exemple d’application 1: évolution de la pression en plongée II. Application aux fluides incompressibles 1. Equation de la statique des fluides incompressibles Cette équation différentielle donne la variation élémentaire de la pression en fonction Résolvons l’équation différentielle dans le cadre des fluides incompressibles (liquides) Propriété : Justifiez l’habitude des plongeurs de dire que « la pression augmente d’un bar tous les m ». Fluide étudié : l’eau Ordre de grandeur : et Un fluide incompressible possède une masse volumique est uniforme. Résolution et équation de la statique des fluides incompressibles : intégrons cette équation entre des altitudes appartenant au même fluide incompressible. et , et étant deux points Que vaut la pression à de profondeur ? Avec (à la surface de l’eau) , par continuité Autrement dit : Remarque : Pensez toujours à vérifier la logique de ce que vous écrivez. Au sein d’un fluide un point un plus bas qu’un autre sa pression doit être plus importante. La pression en vaut la pression en colonne de fluide entre et plus la pression due à la Thermodynamique – Chapitre 2 : Eléments de statiques des fluides 4 A. Guillerand – BCPST 1 A Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Document de cours Exemple d’application 2 : principe des vases communicants Exemple d’application 3 : principe du siphon La technique du siphon s’utilise pour vider un récipient par le haut lorsqu’il est impossible de le renverser. Principe : Les différentes surfaces libres d’un même fluide soumis à la même pression sont dans un même plan horizontal quelque soit l’aire et la forme de la surface. Expérience de cours : Il faut remplir un tuyau d’eau entièrement et plonger une extrémité dans le récipient à vider. L’autre extrémité est placée dans le récipient vide servant à récupérer l’eau. Ce récipient doit être plus bas. Expérience de cours : Situation 1 : et sont soumis à la même pression : sont dans le même fluide compressible, à l’équilibre : . Donc on devrait avoir à l’équilibre et Mais , donc le fluide n’est pas à l’équilibre : le fluide se déplace dans le but d’atteindre l’équilibre : diminue jusqu’à Situation 2 : , le fluide n’est pas à l’équilibre : le fluide se déplace dans le but d’atteindre l’équilibre : augmente jusqu’à Démonstration : et et Donc le tuyau se vide. sont dans le même fluide compressible, à l’équilibre : sont soumis à la même pression : Donc Thermodynamique – Chapitre 2 : Eléments de statiques des fluides 5 A. Guillerand – BCPST 1 A Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Document de cours 2. Applications : mesures de pression Déterminer la hauteur maximale atteinte par le fluide dans le tube. a. Mesure intrinsèque de pression : barométrie Définition : En appliquant l’équation de la statique des fluides incompressibles pour et : La barométrie permet de mesurer la pression atmosphérique. Expérience : Un tube à essai est rempli d’eau et plongé à l’envers dans un récipient d’eau. On soulève le tube de manière à le sortir de l’eau. Tant que le bas du tube n’est pas hors de l’eau il reste rempli. Comment la mesure de Question : en imaginant le bécher et le tube à essai aussi grand qu’on le souhaite, le liquide peut-il monter infiniment dans le tube ? permet-elle de déterminer la pression atmosphérique ? Quelle serait la taille d’un baromètre de ce type à eau ? est toujours soumis à la pression atmosphérique : est toujours en contact avec le verre, il n’est donc pas soumis à la pression atmosphérique et Quel liquide utilisait-on ? Le mercure, car sa masse volumique est très importante sont ds le même fluide compressible, à l’équilibre : En montant le tube : , donc La valeur limite de la pression du point le tube quand est donc : . Le liquide ne monte plus avec (baromètre de Torricelli 1643) Nouvelle unité de mesure de pression : le millimètre de mercure Thermodynamique – Chapitre 2 : Eléments de statiques des fluides 6 A. Guillerand – BCPST 1 A Document de cours b. Mesure de différence de pression : manométrie Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Application numérique : eau et Définition : La manométrie permet de mesure une différence de pression entre une enceinte fermée contenant un gaz et la pression atmosphérique. Que faut-il faire pour mesurer des surpressions plus importantes sans que le système ne soit trop grand ? Il faut utiliser des liquides plus denses Exemple de manomètre à liquide : Montrer comment la mesure de entre le gaz et l’atmosphère. permet de déterminer la différence de pression est soumis à la pression du gaz : est soumis à la pression atmosphérique : et appartiennent au même fluide : On a donc : Représenter le système dans le cas d’un gaz en sous-pression par rapport à l’atmosphère. Remarque : Il existe maintenant des systèmes plus performants : des capteurs de pression utilisant des ressorts ou des membranes se déformant plus ou moins selon la différence de pression. Thermodynamique – Chapitre 2 : Eléments de statiques des fluides 7 A. Guillerand – BCPST 1 A Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Document de cours 3. Application en géologie : principe de l’isostasie Notion de solide ductile : En géologie les roches sont considérées comme des solides ductiles, c’est-à-dire des solides qui peuvent se déformer et donc se comporter comme des liquides si on leur applique une force modéré mais continue dans le temps. Démonstration : D’après la loi de la statique des fluides incompressibles, on peut écrire (en supposant constante) : On pourra donc utiliser l’équation de la statique des fluides incompressibles. Isostasie de la croûte terrestre : Or , et appartiennent à la surface de compensation : L’isostasie traduit l’état d’équilibre des roches de la croûte terrestre. En négligeant les variations de Cet équilibre implique qu’il existe en profondeur une surface de compensation en dessous de laquelle le globe est homogène. A cette profondeur, appelée profondeur de compensation la pression est uniforme, quelque soit les remaniements des couches en surface. Ainsi : avec l’altitude : Conséquence : Cela a pour conséquence, en première approximation, que la masse d’une colonne de roche (et d’eau si elle est présente en surface) de la surface de la Terre jusqu’à la surface de compensation est toujours la même, quelque soit l’altitude des reliefs. On a donc : (avec l’épaisseur de chaque couche à la verticale considérée) En multipliant par une surface correspondant à la section d’une colonne de roche, on fait apparaître la masse de la colonne : En négligeant les variations de : Conséquence : ajustement isostasique en cas d’érosion Modélisation géologique de la croûte terrestre En cas d’érosion superficielle, pour assurer l’isostasie de la croûte terrestre, les roches plus profondes se déplacent afin de compenser la perte de masse en surface. On parle d’ajustement isostasique. Thermodynamique – Chapitre 2 : Eléments de statiques des fluides 8 A. Guillerand – BCPST 1 A Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Document de cours b. Application au cas de l’atmosphère supposée isotherme III. Application aux fluides compressibles 1. Résolution de l’équation différentielle dans le cadre des fluides compressibles – Cas de l’atmosphère isotherme Modèle de l’atmosphère isotherme : - Nous allons reprendre l’équation différentielle de la statique des fluides et cette fois-ci la résoudre dans le cadre des fluides compressibles (gaz). On suppose l’atmosphère constitué d’un gaz parfait de masse molaire noté : - Propriété : - est indépendante de (modèle acceptable puisque l’épaisseur de l’atmosphère est très faible devant le rayon de la Terre) La température est supposée uniforme (ne dépend pas de l’altitude) a. Généralités Un fluide compressible possède une masse volumique non uniforme. Remarques : limites du modèle Nous ne pourrons pas déterminer d’équation générale pour les fluides compressibles car tout dépend de l’expression de la masse volumique en fonction de l’altitude. - Méthode générale : - Gaz parfait : pression de 0 à 1 bar donc modèle cohérent : hypothèse acceptable puisque l’épaisseur de l’atmosphère est très faible devant le rayon de la Terre : plus que discutable Appliquons la méthode précédente : On veut résoudre l’équation : - , mais n’est plus une constante : Déterminer l’expression de en fonction des variables, c’est-à-dire Remplacer dans l’équation différentielle Séparer les variables pour obtenir une équation de ce type : Résolution de l’équation différentielle pour connaitre l’évolution de la pression en fonction de l’altitude et/ou - Expression de en fonction des variables et/ou Par définition : Avec une fonction de uniquement (qui ne dépend pas de ) et fonction de uniquement (qui ne dépend pas de ). - une Intégrer de part et d’autre de l’équation (en choisissant des variables d’intégration cohérente en fonction du problème)* Remarque : a priori l’accélération de la pesanteur pourrait aussi dépendre de l’altitude, mais dans la plupart des cas on négligera ses variations. D’après la loi des gaz parfaits : Donc : On a bien l’expression en fonction de , les autres grandeurs étant des constantes. - Equation différentielle : Thermodynamique – Chapitre 2 : Eléments de statiques des fluides 9 A. Guillerand – BCPST 1 A - - Séparation des variables Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Document de cours et 2. Dans quelle cadre peut-on négliger la variation de la pression d’un système gazeux en fonction de l’altitude ? : Nous venons de montrer que la pression au sein d’un gaz évolue avec l’altitude, pourtant lorsqu’on étudie des systèmes gazeux dans une enceinte fermée on parle de la pression du gaz, supposant qu’elle est donc uniforme. Dans quel cadre a-t-on le droit d’effectuer cette approximation ? Intégration de part et d’autre : Calculons la variation d’altitude qui implique une variation de pression de : On prendra On veut : On peut souhaiter expression la pression à une altitude quelconque origine fixée : par rapport à une Conclusion : la pression et la masse volumique décroissent avec l’altitude de manière exponentielle Remarques : Conclusion : Cette formule est appelée formule du nivellement barométrique Le facteur exponentiel : est appelé facteur de Boltzmann Les enceintes gazeuses fermées que l’on étudie dépassent rarement des hauteurs de quelques mètres. On pourra donc supposer la pression uniforme sans crainte. Pour améliorer le modèle on peut affiner en analysant l’évolution de la température en fonction de l’altitude (cf. TD) Thermodynamique – Chapitre 2 : Eléments de statiques des fluides 10