‫אוניברסיטת ת"א‬ ‫סמסטר א'‪ ,‬תשע"ד‬ ‫תרגיל בית ‪ 2‬במבני נתונים‬ ‫תזכורת‪ :‬על כל התשובות להיות מנומקות‪.‬‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫נתון לנו מבנה נתונים‪ ,‬ובו פעולה בודדת – )(‪ .func‬נתון לנו‪ ,‬שזמן הריצה ‪ amortized‬של פעולת ‪ func‬הוא )‪.O(1‬‬ ‫הראו חסם עליון הדוק ככל שתוכלו לזמן הריצה של פעולת ‪ func‬במקרה הגרוע ביותר‪ ,‬כפונקציה של מספר הקריאות‬ ‫לפעולה עד כה‪.‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫בהרצאה ראינו מימוש של מחסנית בתוך מערך עם הכפלות‪ ,‬שמאפשר זמן ‪ amortized‬קבוע לפעולה‪.‬‬ ‫א‪ .‬נשנה את המבנה‪ ,‬כך שכשהמערך מתמלא נכפיל את גודלו פי (‪ ,)α+1‬במקום להכפיל פי ‪ .2‬הראו שזמן הריצה‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ amortized‬לפעולה הוא כעת‬ ‫ב‪ .‬נשנה את המבנה‪ ,‬כך שכשהמערך מתמלא‪ ,‬נקצה מערך גדול ב‪( β-‬קבוע) תאים‪ ,‬ונעתיק אליו את תוכן המערך‪.‬‬ ‫כלומר‪ ,‬במקום להגדיל כפלית פי ‪ ,2‬אנחנו מגדילים חיבורית ב‪ .β -‬הראו‪ ,‬שזמן הריצה ‪ amortized‬לפעולה הוא‬ ‫כמו זמן הריצה הגרוע ביותר לפעולה‪ .‬במילים אחרות‪ ,‬הראו שסדרה של ‪ n‬פעולות דורשת )‪ Θ(n2‬זמן‪.‬‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫‪ .1‬בכדי לשפר את יעילות המונה נשתמש בספרות ‪( 0, +1, -1‬במקום רק ב‪ 0-‬ו‪ .)1-‬ערכו של מספר המיוצג ע"י‬ ‫מוגדר להיות‪:‬‬ ‫סדרת הספרות‬ ‫‪‬‬ ‫למשל ‪ 1 0 -1‬הינו ייצוג של‬ ‫‪.‬‬ ‫פעולת ‪ increment‬של מספר בייצוג כזה מתבצעת באופן דומה לביצועה במערכת המספרים הרגילה‪.‬‬ ‫מוסיפים ‪ 1‬לספרה הימנית ביותר‪ .‬אם ערכה הפך ל‪ ,2-‬הוא משתנה ל‪ 0-‬וגוררים את העודף לספרה הבאה‬ ‫משמאל‪ Decrement .‬מתבצע בצורה דומה‪ :‬מורידים ‪ 1‬מהספרה הימנית ביותר‪ ,‬אם ערכה הפך ל‪,(-2)-‬‬ ‫הופכים אותו ל‪ ,0-‬וגוררים את החוסר )‪ (-1‬לספרה שמשאל‪ .‬דוגמא‪ :‬המספר ‪ 1 0 -1‬פחות ‪ ,1‬נקבל ‪.1 -1 0‬‬ ‫כעת נוסיף לו ‪ 1‬ונקבל ‪ .1 -1 1‬שימו‪-‬לב שקיבלנו שתי צורות שונות לייצוג של ‪ ,1 0 -1 :3‬ו‪.1 -1 1 -‬‬ ‫נגדיר את עלות הפעולה להיות מספר הספרות המשתנות כאשר מבצעים את הפעולה‪ .‬הוכיחו‪ ,‬כי בייצוג‬ ‫שכזה העלות של סדרה של ‪ n‬פעולות ‪ increment‬ו‪ decrement-‬כאשר מתחילים ממונה שערכו ‪ 0‬היא‬ ‫)‪.O(n‬‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫‪ .1‬נתונה הפעולה הבאה ‪ . op‬מתחילים עם ‪ i=0‬ומפעילים את ‪ n op‬פעמים‪ ,‬מה היא העלות ‪amortized‬‬ ‫לפעולת ‪ op‬בסדרה?‬ ‫)(‪op‬‬ ‫‪i=i+1‬‬ ‫‪if (i = 2k for an integer k) then‬‬ ‫‪for j = 0 to 2*i‬‬ ‫‪do some work in constant time‬‬ ‫‪end for‬‬ ‫‪end if‬‬