. מבוא לעיבוד אותות בפיזיקה ` ניסוי בפיזיקה רפואית למעבדת שנה ב :

‫ניסוי בפיזיקה רפואית למעבדת שנה ב' בפיזיקה‪ :‬מבוא לעיבוד אותות‪.‬‬
‫כמבוא תיאורטי למעבדה זו תידרשו להבין מספר עקרונות בתפקוד מערכת הלב וכלי הדם )המערכת‬
‫הקרדיו‪-‬וסקולרית(‪ ,‬ולהבין את אופן הביצוע הטכני של רישום אות ודגימתו למחשב‪ ,‬ואת העקרונות‬
‫המשמשים לחילוץ מידע מאות מחזורי המכיל רעש‪ .‬מטרתו העיקרית של ניסוי זה הינה עיבוד אותות‬
‫והבנה מעשית של טרנספורם פורייה‪.‬‬
‫הערה‪:‬‬
‫מטרת רישום הא‪.‬ק‪.‬ג שיתבצע במעבדה לימודית בלבד‪ .‬הרישום אינו מבוצע בהתאם‬
‫לקריטריונים הרפואיים של ביצוע רישומים כאלה‪ ,‬וסגל המדריכים והחניכים אינם מוסמכים‬
‫לבצע רישומים כאלה למטרה רפואית‪ .‬לפיכך אין להשתמש ברישום שיתבצע במהלך‬
‫המעבדה לביצוע דיאגנוזה כלשהי או לייחס לתוצאות שיתקבלו משמעויות קליניות כלשהן‪.‬‬
‫ספרות‬
‫הערה‪ :‬שימו לב כי המבוא שבגוף תדריך זה אינו מספק בנושא עיבוד האותות והסקירה נועדה לכוון‬
‫אותך לעיקרים הנדרשים להבנה מתוך הספרות המוזכרת ‪.‬‬
‫בתחום הפיזיולוגי לא נדרש רקע נוסף מעבר למתואר בתדריך‪.‬‬
‫שימו לב‪ ,‬יש לקרוא את התדריך במלואו‪ .‬יש לקרוא ולדעת מהן המדידות המתבצעות בניסוי ולהגיע‬
‫לניסוי עם תשובות לשאלות ההכנה של שני החלקים‪.‬‬
‫חובה‪ ,‬עיבוד אותות‪:‬‬
‫‪Porat, B., A Course in Digital Signal Processing, John Wi1ey & Sons, Inc.,1997‬‬
‫‪Signal sampling and reconstruction: Ch. 3, 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, pages 45-62.‬‬
‫‪A/D conversion, quantization error: Ch. 3.5, pages 62-71.‬‬
‫‪Sampling of random signals: Ch. 3.7, pages 74-79.‬‬
‫‪DFT: Ch. 4, 4.1, 4.8 pages 93-99, 112-114.‬‬
‫‪FFT: Ch. 5, 5.1, 5.8, pages 133-134, 154-155.‬‬
‫או‬
‫בועז פורת‪ ,‬עיבוד אותות ספרתי‪ ,‬הוצאת האוניברסיטה הפתוחה‪:‬‬
‫דגימה וחזרה על התמרת פורייה‪ :‬חלק ב' ‪ -‬עמ' ‪.42 - 41 ,38 - 36 ,24 - 1‬‬
‫התמרת פורייה הדיסקרטית )‪ (DFT‬והמהירה )‪ :(FFT‬חלק ב' ‪ -‬עמ' ‪.74 - 64 ,50 - 44‬‬
‫רשות‪ ,‬אנטומיה של המערכת הקרדיו‪-‬וסקולרית‪:‬‬
‫)השאלה מספריית רפואה ומדעי החיים( ‪Netter, Atlas of Anatomy.‬‬
‫רשות‪ ,‬רישום אותות א‪.‬ק‪.‬ג‪:‬‬
‫‪Malmivuo, Plonsey, Bioelectromagnetism. Chap. 2, 3, 6, 11, 15, 19.‬‬
‫‪Plonsey, Bioelectric Phenomena.‬‬
‫‪1‬‬
‫מבוא‬
‫חלק ראשון ‪ -‬רישום ועיבוד אותות אנלוגיים‬
‫התמרת פורייה של אותות רציפים‬
‫אות )‪ Y(t‬המקיים את התנאי‪:‬‬
‫)‪Y(t) = Y(t-T‬‬
‫ייקרא אות מחזורי בעל מחזור ‪ .T‬משפט פורייה מראה כי ניתן לתאר כל אות מחזורי באמצעות פירוק‬
‫לטור גלי סינוס בתדירויות שונות ובעוצמות שונות‪ .‬הניסוח המתמטי של משפט זה מגדיר את פירוק‬
‫פורייה‪:‬‬
‫∞‬
‫‪2nπt‬‬
‫‪2nπt‬‬
‫‪Y (t ) = a0 + ∑ (an cos‬‬
‫‪+ bn sin‬‬
‫‪) ; n = 1, 2, 3 ........‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪n =1‬‬
‫‪T‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a0 = ∫ Y (t )dt‬‬
‫‪T 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2nπt‬‬
‫‪Y (t ) ⋅ cos‬‬
‫‪dt‬‬
‫∫‬
‫‪T 0‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫= ‪an‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2nπt‬‬
‫‪bn = ∫ Y (t ) ⋅ sin‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪T 0‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫למעשה ביצענו בפירוק זה התמרה ממרחב הזמן )‪ Y(t‬למרחב התדר המיוצג ע"י המקדמים ‪ an‬ו ‪.bn -‬‬
‫משמע פירוק האות לרכיבי התדר השונים שבו‪ ,‬כך שכל אחד מהמקדמים ‪ an‬ו ‪ bn -‬מייצג את העוצמה‬
‫היחסית של רכיב התדר המתאים‪ .‬ע"י כך מאפשרת התמרת הפורייה ניתוח של תכולת התדר באות‬
‫המחזורי‪ .‬ניתן להרחיב את השימוש בפירוק זה גם לאותות סופיים בזמן וזאת ע"י הרחבת האות‬
‫באמצעות שכפולו לתחומי זמן נוספים‪.‬‬
‫הכללת התמרת פורייה לאותות )‪ f(t‬כלשהם נעשית ע"י שימוש באינטגרל פורייה‪:‬‬
‫∞‬
‫‪1‬‬
‫=)) ‪. F (ω )= F ( f (t‬‬
‫‪f (t ) exp(− iωt )dt‬‬
‫∞∫‪2π −‬‬
‫הפונקציה הרציפה )‪ F(ω‬היא ההרחבה של סט המקדמים הבדיד ‪ an‬ו‪ bn-‬והיא מתארת במרחב תדר‬
‫זוויתי‪ , ω = 2πν = 2π / T ,‬את התנהגות הפונקציה )‪ f(t‬הנתונה במרחב זמן‪.‬‬
‫השימוש הנפוץ ביותר בהתמרת פורייה בפיזיקה‪ ,‬ובעיבוד אותות הוא לחישוב צפיפות העוצמה‬
‫הספקטרלית )‪ (power spectrum density‬של אות )או פשוט ספקטרום(‪ ,‬אשר מתארת את התפלגות‬
‫עוצמת האות במרחב תדר‪ .‬ספקטרום )‪ Φ(ω‬של אות )‪ f(t‬מוגדר באופן הבא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫∞‬
‫) ‪F (ω ) F * (ω‬‬
‫‪∫ f (t ) exp(−iωt )dt = 2π‬‬
‫∞‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫=)) ‪Φ (ω )=Φ ( f (t‬‬
‫כאשר )‪ F*(ω‬הוא הצמוד המרוכב של התמרת פורייה‪.‬‬
‫טרנספורם פורייה ההופכי )‪ (IFT – inverse Fourier transform‬המחזיר למרחב הזמן הוא‪:‬‬
‫∞‬
‫‪1‬‬
‫‪−1‬‬
‫=)) ‪. f (t ) = F ( F (ω‬‬
‫‪F (ω ) exp(iωt )dω‬‬
‫∞∫‪2π −‬‬
‫לא נתייחס כאן לתנאים המדוייקים לקיומה של ההתמרה )תנאי דיריכלה( ולא לתכונותיה‪ .‬נזכיר כאן‬
‫רק שהטווח כולל גם ערכי תדירויות שליליים‪ .‬וההתמרה סימטרית עבור אותות ממשיים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫דגימת אות אנלוגי ‪.Analog to digital (A/D) conversion -‬‬
‫מרבית האותות המייצגים מערכות טבעיות הם אותות אנלוגיים‪ .‬משמע אותות המשתנים בזמן בתחום‬
‫רציף של ערכים‪ ,‬ע"פ רוב בתחום חסום‪ .‬ביצוע פעולות רבות על אותות נעשה כיום באופן היעיל‪ ,‬המהיר‬
‫והזול ביותר באמצעים דיגיטליים המבוססים על מעבדים‪ ,‬זיכרונות ולוגיקת פעולה בינאריים‪ .‬בכלל זה‬
‫ניתן למנות את סוגי העיבודים הבאים על אותות שהם במקור אנלוגיים‪:‬‬
‫• ניתוח אותות ‪ -‬אמצעי ניתוח ב‪ Real time-‬וב‪ Off line-‬באמצעות מחשבים‪ ,‬מכשירי ניטור‬
‫אלקטרוניים )הכוללים מעבדים דיגיטליים(‪ ,‬מגברים ומסננים‪ .‬כל אלה משמשים לעיבוד אותות‬
‫במחקר‪ ,‬בתעשייה‪ ,‬בתקשורת‪ ,‬ברפואה‪ ,‬במוזיקה ועוד‪.‬‬
‫• אגירת אותות ‪-‬אגירה דיגיטלית של אותות אנלוגיים כגון אותות קול‪ ,‬תמונות‪ ,‬וידאו‪ ,‬אותות‬
‫פיזיולוגיים במחקר וברפואה‪ ,‬ועוד‪ .‬זאת באמצעות מדיות אגירה מגנטיות‪ ,‬אופטיות ואחרות‪.‬‬
‫• שידור אותות ‪ -‬שידור וממסור דיגיטלי של אותות אנלוגיים שונים )ראה בסעיפים לעיל(‪ .‬זאת תוך‬
‫שימוש במערכות טלפון דיגיטליות‪ ,‬מערכות וידאו וטלוויזיה בכבלים ועוד‪.‬‬
‫היות וכל האמצעים המוזכרים דיגיטליים נדרש לבצע דגימה של האות האנלוגי‪ :‬להמיר את האות‬
‫הרציף למרחב בדיד בציר הזמן והעוצמה‪ .‬הדגימה מאפשרת אגירה ועיבוד של האות במערכת‬
‫ממוחשבת בזכות העובדה שהאות מיוצג כעת ע"י מספר סופי של ערכים בכל פרק זמן‪ .‬הגבלת האות‬
‫למספר בדיד של ערכים מונעת את הצורך במספר ספרות אינסופי לרישום כל דגימה‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫תרשים ‪ :1‬תהליך דגימת אות אנלוגי‪ .‬האות האנלוגי המקורי רציף בזמן )‪ ,(a‬דגימת האות האנלוגי‬
‫בפרקי זמן מסוימים )‪ ,(b‬האות הדיגיטלי בדיד המתקבל מהדגימה )‪(c‬‬
‫אותות שנדגמו בפרקי זמן בעלי הפרש קבוע ‪ ∆tsampling‬נקראים אותות שנדגמו באופן שווה‬
‫)‪ .(evenly sampled‬רוב האותות הדיגיטליים באלקטרוניקה ופיזיקה נדגמים באופן שווה‪ .‬קצב‬
‫הדגימה או תדר הדגימה מוגדר כמספר הדגימות לשנייה ובמקרה של אות שנדגם באופן שווה הוא‪:‬‬
‫‪νsampling = 1/∆tsampling‬‬
‫אינטואיטיבית ברור כי לשם שיחזור האות הרציף מתוך האות הבדיד שנדגם‪ ,‬עלינו לדגום את האות‬
‫בקצב גדול ככל האפשר ולייצגו ע"י מספר ערכים גדול ככל האפשר‪ .‬וע"י כך האות הנדגם יהיה קרוב‬
‫לאות הרציף‪ .‬בפועל‪ ,‬ציוד הדגימה תמיד מוגבל מבחינה טכנית לקצבי דגימה נתונים ולמספר ביטים‬
‫שנוכל להקצות לכל דגימה )לרוב ‪ 16 - 8‬ביטים לדגימה(‪ .‬למרות זאת‪ ,‬ניתן לשחזר את הסיגנל המקורי‬
‫מתוך הסיגנל הרשום גם כאשר קצב הדגימה ומספר רמות הייצוג מוגבלים‪ .‬זאת כאשר הדגימה נעשית‬
‫תוך התחשבות בשתי מגבלות‪ (1) :‬משפט הדגימה של ניקוויסט ו‪ (2)-‬מדרגת דגימה מתאימה‪.‬‬
‫משפט הדגימה של ניקוויסט )‪ - (the Nyquist sampling theorem‬עבור תדר הדגימה הנתון‬
‫‪ νsampling‬התדר הגבוה ביותר ‪ νmax‬שניתן לגלות באות יהיה קטן או שווה למחצית תדר הדגימה‪:‬‬
‫‪νmax ≤ νsampling/2‬‬
‫אי עמידה בתנאי זה )מצב הקרוי ‪ – undersampling‬דגימה בתת‪-‬קצב( היא אחת האפשרויות לקבלת‬
‫תופעה המכונה ‪) Aliasing‬התחזות או קיפול תדרים(‪ .‬תופעה זו היא השתקפותם של רכיבי תדר‬
‫גבוהים כרכיבי תדר נמוכים‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫תרשים ‪ :2‬תופעת ההתחזות‪ – a .‬ספקטרום העוצמה של אות סינוס בתדר ‪ 25‬הרץ שנדגם בתדר ‪100‬‬
‫הרץ‪ - b .‬ספקטרום העוצמה של אות סינוס בתדר ‪ 25‬הרץ שנדגם בתדר ‪ 40‬הרץ‪ .‬שימו לב שבמקרה‬
‫הזה רכיב התדר של ‪ 25‬הרץ משתקף סביב מחצית תדר הדגימה )‪ 20=40/2‬הרץ( ומופיע ב‪ 15-‬הרץ‪.‬‬
‫דגימה בתדר גבוה מתדר ניקוויסט פותרת בעיה זו‪ ,‬אך היא בזבזנית במשאבי הזיכרון הנדרש לאגירת‬
‫הדגימות‪ ,‬ומהירות העיבוד הנדרשת בדוגם‪.‬‬
‫מדרגת דגימה מתאימה ‪ -‬מדרגת הדגימה היא המרחק בין כל שתי רמות מתח במוצא )‪ (output‬הדוגם‪.‬‬
‫ערך המדרגה נקבע ע"י היחס בין תחום מתחי הדגימה לבין מספר רמות המתח של הדוגם‪ .‬באופן‬
‫עקרוני כל המרה של ערכים ממרחב רציף למרחב בדיד גורמת לאיבוד מידע‪ .‬אכן דגימה של האות לסט‬
‫ערכים בדידים בעלי הפרשים גדולים מדי ביניהם לא תאפשר שיחזור של ערכי האות המקוריים‪ .‬זאת‬
‫עקב 'העיגול' של ערכי האות המקורי באופן גס מדי‪ .‬הרעש שמוסיפה פעולת עיגול זו נקרא 'רעש‬
‫הקוונטיזציה' )ראו תרשים ‪ .(3‬בפועל‪ ,‬כל עוד רמת הרעש האקראי המתווסף לסיגנל ממקורות שונים‬
‫גדולה בעוצמתה מגובה מדרגת הדגימה‪ ,‬קיימת ממילא שגיאה בערכיו המקוריים של האות‪ ,‬שמידת‬
‫השגיאה שמוסיפה הדגימה זניחה‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫תרשים ‪ – a :2‬האות האנלוגי המקורי )קו כחול(‪ ,‬רמות מתח הדוגם )קוים שחורים מקווקווים(‬
‫והאות הבדיד )קו אדום(‪ – b .‬האות הדיגיטלי )נקודות אדומות( אשר נדגם מהאות האנלוגי‬
‫הבדיד וההפרש בינו לבין האות המקורי )רעש הקוונטיזציה – קוים כחולים(‪.‬‬
‫כל האמור לעיל תקף גם לגבי אותות תלויות במיקום )‪ f(x‬במקום אותות תלויות בזמן )‪ .f(t‬במקרה‬
‫הזה התמרת פורייה מתבצעת למרחב "מספר הגל" ‪ , k = 2π / λ‬כאשר ‪ λ‬הוא אורך הגל‪ .‬מושג מספר‬
‫הגל של אות תלוי במיקום )‪ f(x‬מקביל למושג תדירות הזוויתית ‪ ω‬עבור אות תלוי בזמן )‪.f(t‬‬
‫‪4‬‬
‫את תופעות ההתחזות והדיסקרטיזציה של רמות הדגימה קל להדגים בשני מימדים )ראו תרשים ‪.(4‬‬
‫עיבוד אותות דו‪-‬ממדים נקרא עיבוד תמונות‪ ,‬וכל החוקים של עיבוד אותות חד‪-‬ממדים תקפים גם‬
‫עבורו‪.‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫תרשים ‪ – a :4‬התמונה המקורית‪ – b .‬התמונה המקבלת מהתמונה המקורית בדגימה בתת‪-‬קצב‪.‬‬
‫שימו לב להעלמות פרטים קטנים )כלומר תדרים גבוהים( והחלפתם בפרטים גדולים )תדרים‬
‫נמוכים( בתמונה‪ – c .‬התמונה הנוצרת עקב דיסקרטיזציה של רמות הדגימה‪.‬‬
‫התמרת פורייה מהירה ‪.Fast Fourier Transform (FFT) -‬‬
‫הצורך בהתמרת פורייה ככלי בניתוח אותות מסוגים שונים הוא כאמור בסיסי )במדעים השונים‪,‬‬
‫ברפואה‪ ,‬בתעשייה‪ ,‬בתקשורת וכו'(‪ .‬מטבע הדברים מתבקש לבצע אותה גם באמצעות מערכות‬
‫אלקטרוניות וממוחשבות‪ .‬ההרחבה הראשונית הנדרשת היא הרחבת ההתמרה לאותות בדידים‪ .‬עבור‬
‫אות בדיד ]‪ (x0, x1, …, xN-1) x[n‬ניתן למצוא סדרת מספרים ]‪ (X0, X1, …, XN-1) X[j‬לפי הכלל‬
‫הבא‪:‬‬
‫‪N −1‬‬
‫‪ 2π ijn ‬‬
‫‪X [ j ] =∑ x[ n] exp −‬‬
‫‪‬‬
‫‪N ‬‬
‫‪‬‬
‫‪n=0‬‬
‫זו התמרת פורייה הבדידה )‪ (Discrete Fourier Transform - DFT‬של האות ]‪ .x[n‬במקרה כאשר‬
‫אות נדגם בפרקי זמן ‪ t = n∆tsampling‬בעלי הפרש ‪ ∆tsampling‬קבוע‪ ,‬ניתן לתרגם את המספרים הסידורים‬
‫‪ j = 0, 1,…, N-1‬לתדרים בדידים לפי הכלל הבא‪:‬‬
‫‪j ν sampling‬‬
‫‪j‬‬
‫= ‪νj‬‬
‫=‬
‫‪N ∆tsampling‬‬
‫‪N‬‬
‫‪2‬‬
‫סיבוכיות החישוב של התמרת פורייה הבדידה היא מסדר גודל של ‪) N‬כאשר ‪ N‬הוא מספר נקודות‬
‫הדגימה(‪ ,‬מכוון שכדי לייצר התמרת פורייה ב‪ N-‬נקודות במרחב תדר צריך בכל אחת מהן לסכום על ‪N‬‬
‫נקודות במרחב זמן‪ .‬אלגוריתם התמרת פורייה המהירה )‪ (Fast Fourier Transform - FFT‬מאפשר‬
‫ע"י איחוד חישובים לבצע את ההתמרה בדרגת סיבוכיות נמוכה יותר‪ .‬מידת הסיבוכיות הנמוכה‬
‫מאפשרת ביצוע פעולה זו במערכות הפועלות ב‪) .Real time-‬בניסוי נשתמש אמנם ב‪ FFT-‬באופן‬
‫ממוחשב‪ ,‬אך ב‪ Off line-‬בלבד(‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫סינון אותות‬
‫במקרים ניסיוניים רבים האות אליו אנחנו מתייחסים נמצא בתחום תדר כלשהו והוא מופרע ע"י‬
‫אותות בתחומי תדר שונים‪ .‬בעיבוד אותות המונח מסנן )‪ (Filter‬מתייחס על פי רוב לרכיב המאפשר‬
‫העברת השתנויות בתחום תדרים מסוים ומונע או מחליש אותות הנמצאים בתחום תדרים אחר‪.‬‬
‫המסנן יכול לאפשר העברה של תדרים נמוכים )‪ ,(low-pass filter - LPF‬תדרים גבוהים )‪– HPF‬‬
‫‪ ,(high-pass filter‬לאפשר להעביר תחום מסויים )‪ (band-pass filter – BPF‬או למנוע העברת תחום‬
‫מסויים )‪.(band-stop filter‬‬
‫מימושם של פילטרים המופעלים על אותות אנלוגיים נעשה בחומרה‪ .‬והיישום הפשוט ביותר שלו יכול‬
‫להתבצע באמצעות מערכת קבלים ונגדים‪) .‬ראה מעגלים אופיניים בתדריך ניסוי מעגלי זרם חילופין ‪.(I‬‬
‫שני הפרמטרים הבסיסיים המייצגים כל אחד מ‪ 4-‬סוגי הפילטרים הם‪:‬‬
‫• התדר האופייני ‪ - νc‬תדר ה‪ cutoff-‬במקרה של ‪ LPF‬ו‪ HPF-‬ותדר שיא במקרה של ‪.Band filters‬‬
‫• איכות עקום ההעברה ‪ - Q‬פרמטר זה מגדיר את איכות העברת התדרים המצויים בפס ההעברה‪,‬‬
‫החל מ‪ ,νc-‬ומידת 'מחיקתם' של התדרים מעבר לו‪ .‬פרמטר זה נקבע ע"י‪:‬‬
‫‪Q = ∆ω/νc‬‬
‫כאשר ‪ ∆ω‬מייצג את תחום הביניים )בין קיטעון להעברה( ונקבע בדרך כלל ע"פ המרחק בין נקודות‬
‫מחצית הגובה של עקום ההענות‪ .‬ככל שתגובת הפילטר תלולה יותר )קרובה יותר לתגובת מדרגה(‬
‫איכות הפילטר‪ ,‬בהיבט זה‪ ,‬גבוהה יותר‪.‬‬
‫בניסוי בו תעבדו מופעלים המסננים על אות הדגום לפיכך אלו הם פילטרים דיגיטליים‪ .‬פילטרים‬
‫דיגיטליים אינם ממומשים באמצעות מערכות קבלים ונגדים‪ .‬במערכת בה נשתמש המימוש נעשה‬
‫בתוכנה‪ .‬לא נדון כאן בעקרונות המימוש של מסננים כאלה ואינך נדרש להכיר היטב את אופן פעולתם‪.‬‬
‫נציין רק כי פילטר דיגיטלי מופעל באופן טורי על כל אחת מדגימות האות וממיר אותה בערך שמתקבל‬
‫תוך שימוש בדגימות סביב הדגימה המטופלת אשר מוכפלות במספר מקדמים‪ .‬סדרת המקדמים‬
‫ומספר המקדמים המופעלים על כל דגימה קובע את סוג הפילטר ואיכותו‪ .‬על פי רוב ככל שמספר‬
‫המקדמים המופעלים גדול יותר‪ ,‬ערך ה‪ Q-‬גדול יותר‪.‬‬
‫המאפיין החשוב ביותר של פילטר דיגיטלי )ובאופן כללי‪ ,‬פילטר כלשהו( הינו פונקצית תגובת התדרים‬
‫)או פונקצית הענות התדרים – ‪ ,(frequency response function‬אשר מראה את היחס בין ספקטרום‬
‫האות המסונן לבין ספקטרום האות המקורי‪ .‬דוגמא לפונקצית תגובת התדרים ולתוצאות הפעלת‬
‫הפילטר המאופיין על ידיה מוצגת בתרשים הבא‪:‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫תרשים ‪ – a :5‬האות המקורי אשר מכיל סכום חמישה אותות סינוס בעלי תדירות ומשרע שונים‬
‫ורעש לבן‪ .‬אחד האותות סינוס הוא בעל תדירות ‪ 52‬הרץ‪ – b .‬פונקצית הענות התדרים של פילטר צר‬
‫מסוג ‪ bandpass‬מסביב ל‪ 52-‬הרץ‪ – c .‬האות המתקבל מהאות המקורי באמצעות הפעלת הפילטר‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫משפט רוחב הפס‬
‫באופן כללי‪ ,‬אותות אמיתיים אינם אינסופיים‪ ,‬אלא מוגבלים בזמן‪ ,‬כלומר נמשכים פרק זמן ‪ ∆t‬סופי‪.‬‬
‫ניתן להראות‪ ,‬כי פרק הזמן ‪ ∆t‬קשור לרוחב הפס ‪ ∆ω‬במרחב התדר ע"י המשפט הבא‪:‬‬
‫‪. ∆t ⋅ ∆ω ≥ 2π‬‬
‫אי שוויון זה נקרא משפט רוחב הפס )‪ .(bandwidth theorem‬עיקרון זה‪ ,‬יחד עם העובדה‬
‫שחלקיקים מיוצגים ע"י פונקציות גל‪ ,‬מוביל לעקרון אי הוודאות של הייזנברג במכניקה קוונטית‪.‬‬
‫למשפט רוחב הפס יש משמעות פיסיקלית עמוקה‪ :‬לא ניתן להגביל אות בזמן מבלי להגדיל את רוחב‬
‫הפס שלו‪.‬‬
‫במקרים רבים אחרים יש צורך בחקירת אות )‪ f(t‬בפרק זמן ‪ ∆t‬מוגבל‪ .‬מצב זה שקול להכפלת האות‬
‫בפונקציה הנקראת פונקצית חלון )‪ ,(window function‬אשר במקרה הפשוט ביותר שווה ל‪ 1-‬לאורך‬
‫פרק הזמן ‪ ∆t‬הנקרא רוחב חלון הזמן‪ ,‬ול‪ 0-‬מחוץ לקטע זה‪ .‬בפועל טרנספורם פורייה של האות יהיה‬
‫קונבולוציה של טרנספורם פורייה של האות המקורי ושל פונקציית החלון‪.‬‬
‫חלק שני‪ -‬רישום ועיבוד אותות א‪.‬ק‪.‬ג )‪(ElectroCardioGram‬‬
‫אנטומיה תפקודית של הלב‬
‫מערכת הלב וכלי הדם )המערכת הקרדיו‪-‬וסקולרית ‪ (CV -‬היא המערכת האמונה על אספקת הדם‬
‫וחילופו לכל אברי הגוף‪ .‬תתי המערכות המרכזיות במערכת זו הן‪ :‬הריאות המשמשות לקליטת חמצן‪,‬‬
‫כלי הדם )העורקים והורידים( המשמשים להסעת הדם‪ ,‬והלב המשמש כמשאבה המפיצה את הדם‬
‫בחלקי הגוף ולאחר מכן שואבת אותו חזרה ודוחפת אותו אל הריאות‪ .‬בניסוי זה נתמקד ברישום‬
‫פעילות הלב ולפיכך נתמקד בתפקודו‪.‬‬
‫לב הוא איבר העשוי רקמת שריר ומופרד לשני חלקים )ימני ושמאלי( המתפקדים כשתי משאבות‪.‬‬
‫'המשאבה' השמאלית )החדר ‪ ,Ventricle -‬והעלייה ‪ Atrium -‬השמאליים( משמשת לשאיבת הדם‬
‫המחומצן מן הריאות והפצתו באיברי הגוף‪ .‬החדר והעלייה הימניים מבצעים את שאיבת הדם מן‬
‫הפריפריה והזרקתו לריאות‪ .‬תפוקת הלב היא כ‪ 5-‬ליטר\דקה‪ .‬פעולתו המכנית של הלב נעשית‬
‫באמצעות עירור חשמלי של תאי רקמת השריר‪ .‬פעילות חשמלית בכל אחד מחללי הלב נעשית‬
‫בסינכרוניזציה וגורמת לכיווץ החדר או העלייה בכל פעימה של הלב‪ .‬האות החשמלי המתפתח בלב‬
‫הוא האות הנרשם ברישום הא‪.‬ק‪.‬ג‪.‬‬
‫הפעילות החשמלית של הלב‬
‫פעילות הלב היא כאמור פעולת שאיבה‪ .‬זו מתבצעת ע"י הפעלה חשמלית של תאי שריר הלב‪ ,‬הפעלה‬
‫שגורמת לכיווצם‪ .‬נתאר תחילה את אופי הפעילות החשמלית ברמת התא הבודד‪ .‬לאחר מכן יוסברו‬
‫אופן התפשטות הפעילות החשמלית ע"פ רקמת השריר‪ ,‬והאפקט המסתכם של אזורי הלב המופעלים‬
‫בזה אחר זה‪.‬‬
‫חלק מתאי הגוף הם תאים שהפעלתם מבוססת על עירור חשמלי כחלק מהפעלת כלל הרקמה לה הם‬
‫שייכים‪ .‬בין תאים אלה ניתן למנות את תאי העצב‪ ,‬חלק מהתאים במערכת העיכול ותאי השריר‪ .‬כל‬
‫תא שריר נמצא בשיווי משקל אלקטרוכימי ביחס לסביבתו‪ ,‬שיווי המשקל הוא כזה שמתח התא שלילי‬
‫ביחס לסביבה החוץ תאית‪ .(∆V ~ -70mV) ,‬בשלבים שונים של הפעלת הלב החשמלית יונים שונים‬
‫עוברים דרך קרום התא )‪ (membrane‬ובכך הפוטנציאל של התא משתנה )ראו תרשים ‪ .(6‬הפעלת התא‬
‫כרוכה בעלייה מהירה של המתח התוך תאי ביחס לסביבה )עד לערך של ‪ (∆V ~ +50mV‬ולאחר מכן‬
‫נפילה הדרגתית של המתח‪ ,‬בחזרה לערך המנוחה שלו‪ ,‬זהו פוטנציאל הפעולה של התא‪ .‬כל תהליך‬
‫השינוי של פוטנציאל הפעולה אורך כ‪ 300msec -‬בתאי שריר הלב‪.‬‬
‫כעת נבחן את אופן הולכת האות ברמת האיבר כולו‪ .‬פעימת הלב מתחילה מהאיזור הנקרא קשר‬
‫הסינוס )‪ (Sinus/Sino-Atrial or SA node‬אשר ממוקם בבסיס וריד בחלקו העליון של החדר הימני‪.‬‬
‫קשר הסינוס מורכב מתאים בעלי יכולת עירור עצמית‪ .‬תאים אלה מייצרים באופן עצמאי פוטנציאלי‬
‫פעולה במחזוריות של כ ‪ 70 -‬מחזורים בדקה‪ .‬תכונה זו הופכת את קשר הסינוס לקוצב לב‪ .‬מאזור‬
‫הסינוס מתקדמת האקטיבציה ע"פ העליות‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫תרשים ‪ :6‬פוטנציאל הקרום התאי כפונקציה של זמן‪ .‬חצים בחלק הפנימי של העקומה מסמנים את‬
‫היונים היוצאים מתוך התא‪ ,‬חצים בחלק החיצוני של העקומה מסמנים את היונים הנכנסים לתוך‬
‫התא‪ .‬מתוך ‪Mandy C. Leonard, & Michael L. Militello, Pharmacotherapy Update, 2002‬‬
‫בגבול בין החדרים לעליות נמצא קשר ה‪ .(Atrio-Ventricular node) AV-‬לאזור זה קצב עירור עצמי‬
‫של ‪ 50‬מחזורים בדקה‪ ,‬אולם כאשר הוא מעורר ממקור בקצב גבוה יותר‪ ,‬הוא עוקב אחרי המקור‬
‫המאלץ תנודה בקצב הגבוה‪ .‬בלב תקין ה‪ AV node -‬הוא נקודת המעבר היחידה של האקטיבציה מן‬
‫העליות לחדרים )פתולוגיה אפשרית היא קיום מסילות הולכה העוקפות את ה‪. (AV node -‬‬
‫האות החשמלי מתקדם הלאה מן ה‪ AV node -‬דרך המחיצה שבין שני החדרים באמצעות צביר‬
‫הסיבים המשותף‪ .‬ממנו מתפצלת מסילת ההולכה לשני צבירי ענפים בצד הימני והשמאלי של המחיצה‬
‫בין החדרים‪ .‬מאוחר יותר מתפצלת מערכת זו למערכת הסיבים המתבדרת אל דפנותיהם הפנימיים של‬
‫החדרים‪ .‬מהירות הולכת האות המתקדם בעליות היא נמוכה )‪ 1 - 0.05‬מ\ש( ולאחר מכן בחדרים היא‬
‫גבוהה )‪ 3.5 - 3‬מ\ש(‪ .‬מהירות ההולכה הגבוהה בחדרים מאפשרת סינכרוניזציה מכנית גבוהה אשר‬
‫גורמת לכיווץ יעיל של הלב ולחץ דחיפה גבוה‪ .‬מהירות ההולכה הגבוהה‪ ,‬והסינכרוניזציה מתרחשות‬
‫דווקא בחדרים‪ ,‬מכיוון שתפוקת הלב תלויה בעיקר ביעילות כיווץ החדרים ולא בכיווץ העליות‪.‬‬
‫פעילות הלב בכל פעימה אינה לפיכך פולס רגעי אלא תהליך הכולל עירור חשמלי של איזורים שונים‪ .‬כל‬
‫איזור מופעל בזמן אחר‪ ,‬ובהתאם לדומיננטיות שלו‪ ,‬בעצמה אחרת‪ .‬לפיכך‪ ,‬רישום של הפוטנציאל בין‬
‫שתי נקודות משני צידי הלב מבטא את סכום הפעילויות של אזורי הלב השונים כפי שהוא מסתכם‬
‫בהתאם להפרשי פאזות העירור והפרשי העוצמות ביניהם‪ .‬בתרשים ‪ 7‬ניתן לראות את התוצאה של‬
‫סיכום זה בפעילות לב תקינה בפעימה בודדת‪.‬‬
‫רישום חשמלי של פעילות הלב ‪ -‬רישום א‪.‬ק‪.‬ג‬
‫רישום חשמלי של פעילות הלב מבוסס על העובדה שהגוף הוא רקמה מוליכה ושהפוטנציאלים‬
‫המתפתחים בלב יתבטאו כפוטנציאלים וזרמים ע"פ כל נפח הגוף‪ .‬הצמדת אלקטרודות מוליכות ביו כל‬
‫שתי נקודות משני צידי הלב סוגרת למעשה מעגל שבו הפרש מתחים בין שתי הנקודות המבטא את‬
‫פעילות הלב‪ .‬רישום הלב בזוית כלשהי מכונה ‪ .Lead‬מונח ‪ Lead‬מגדיר שלש אלקטרודות באוריינטציה‬
‫כלשהי ביחס למיקום הלב‪ .‬השלשיה מורכבת משתי אלקטרודות המגדירות את הציר החשמלי בו‬
‫נרשם המתח‪ ,‬ואלקטרודה שלישית המשמשת כהארקה‪ ,‬ומאפשרת שימוש במתח הגוף כמתח ייחוס‬
‫שביחס אליו חוסר פעילות יתואר ע"י פוטנציאל ‪.0‬‬
‫ככלל‪ ,‬בהשוואה לאותות אלקטרופיזיולוגיים אחרים כגון אלה של השרירים‪ ,‬המוח ומערכת העצבים‪,‬‬
‫אות הלב הוא החזק ביותר‪ .‬לפיכך‪ ,‬האלקטרודות המשטחיות בהן מקובל להשתמש מספקות לשם‬
‫קבלת יחס אות לרעש טוב‪) .‬למעשה אות הלב הוא כה חזק עד שברישומים אלקטרופיזיולוגיים אחרים‬
‫הוא מהווה הפרעה שנידרש לסננה(‪.‬‬
‫את האלקטרודות ניתן לחבר בקונפיגורציות שונות ובהתאם לקונפיגורציה אות הא‪.‬ק‪.‬ג‪ .‬יירא בצורה‬
‫שונה‪ .‬תרשים ‪ 8‬מציג את שלושת הקונפיגורציות הבסיסיות של חיבור האלקטרודות‪ .‬במעבדה נעבוד‬
‫‪8‬‬
‫בקונפיגורציה השמאלית – כלומר "פלוס" בשקע כתף ימין‪" ,‬מינוס" בשקע כתף שמאל‪ ,‬והארקה‬
‫מתחת לצלעות בצד ימין‪ .‬אם מתקבל אות שלילי יש פשוט להפוך את הכיוון החיובי והשלילי‪.‬‬
‫תרשים ‪ :7‬האות החשמלי של הלב ומקורו‬
‫תרשים ‪ :8‬שלושת ה‪ Leads-‬הבסיסיים‪.‬‬
‫בחינת אות הא‪.‬ק‪.‬ג‪.‬‬
‫בבחינת אות הא‪.‬ק‪.‬ג מקובל להתייחס לעוצמות השונות ולמישכי הזמן השונים באמצעות התייחסות‬
‫לשלושה שיאים )ראו תרשים ‪ .(7‬נקודת השיא המסומנת ב‪ P-‬מתייחסת לעירור החשמלי של העליות‬
‫ומציינת את התכווצות העליות‪ .‬שלשית ה‪ Q-R-S-‬מציינת את ‪ 3‬נקודות המגדירות את השיא המרכזי‬
‫של מחזור הלב‪ .‬שיא זה מתייחס לעירור החשמלי של החדרים‪ ,‬והוא מציין את התכווצותם‪ .‬תהליך‬
‫‪ Q-S-R‬כולל גם את שלב הרפיית העליות‪ .‬לסיום‪ ,‬מתייחס גל ה‪ T-‬להרפיית החדרים‪.‬‬
‫כמו חן בניתוח אות הא‪.‬ק‪.‬ג‪ .‬מתייחסים למחזוריות ולסנכרון האות‪ .‬קצב הלב יכול לנוע מ‪50 - 40-‬‬
‫פעימות לדקה )בשינה(‪ ,‬עד לכ‪ 200 - 190-‬פעימות לדקה במאמץ‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫המערכת הניסיונית‬
‫מערכת ה‪ Biopack-‬לדגימת אותות פיזיולוגיים שתשתמשו בה בניסוי מורכבת מן היחידות הבאות‪:‬‬
‫• תוכנת ‪ - Acknowledge‬תוכנת ממשק באמצעותה תפקדו על יחידות הדגימה‪ ,‬תקבעו את ערוצי‬
‫הדגימה בעזרתם תעבדו‪ ,‬ותוכלו לצפות בזמן אמת באותות אותם אתם דוגמים‪ .‬התוכנה מקושרת‬
‫לכרטיס ‪ SCSI‬המותקן במחשב‪ ,‬שהוא החומרה שבאמצעותה מתבצע הפיקוד על יחידת הדגימה‪.‬‬
‫תרשים ‪ :9‬מערכת ה‪.Biopack-‬‬
‫• ‪ - MP-100‬יחידת הממשק המרכזית‪ ,‬קולטת את האותות מיחידות ההגברה והסינון ומבצעת‬
‫דגימה של האותות‪ .‬קצב הדגימה נשלט ע"י המחשב‪ .‬האותות שנדגמו מועברים בערוץ דיגיטלי‬
‫למחשב‪ .‬נתוני היחידה החשובים לענייננו‪:‬‬
‫• התחום הדינמי של האותות בכניסת הדוגם הוא ‪. ±10V‬‬
‫• רזולוציית הדוגם ‪ 16 -‬ביט‪.‬‬
‫• ‪ - UIM100A‬משמשת לדגימה של אותות אנלוגיים וכוללת ‪ 16‬ערוצים דו‪-‬קוטביים )באמצעות‬
‫שקעי "הבננה"( לכניסת אותות‪.‬‬
‫• ‪ - ECG100B‬משמשת לדגימת אות א‪.‬ק‪.‬ג‪ .‬וכוללת שלוש כניסות לשני קוטבי ה‪ Leads-‬ולהארקה‪.‬‬
‫היחידה כוללת גם ‪ 4‬מתגים לברירת פרמטרי הדגימה‪:‬‬
‫• הגברה ‪ -‬בחר את הערך ‪.x5000‬‬
‫• סינון ‪ -‬בחר את הערכים‪.LPF - Off, HPF - 0.05Hz :‬‬
‫• סוג האות שיידגם ‪ -‬בחר את האפשרות ‪ .Norm‬האפשרות ‪ R‬מתייחסת לסינון כל‬
‫רכיבי אות הא‪.‬ק‪.‬ג‪ .‬למעט גל ה ‪.R -‬‬
‫על הדופן העליונה של היחידה אפשר לקבוע את הערוץ הלוגי אל תוכו יידגם אות הא‪.‬ק‪.‬ג‪.‬‬
‫• ‪ - RSP100B‬יחידה המשמשת לדגימת אותות נשימה ממוצא חגורת החזה‪ .‬כוללת שלוש כניסות‬
‫המתחברות לחגורת החזה‪ .‬להלן ערכי המתגים שתבחר‪.‬‬
‫• הגברה ‪ -‬בחר את הערך ‪.x100‬‬
‫• סינון ‪ -‬בחר את הערכים‪.LPF - 10Hz, HPF - 0.05Hz :‬‬
‫תרשים ‪ .10‬יחידות הממשק שונות )למעלה – ‪ ,MP100‬למטה משמאל לימין ‪,UIM100A -‬‬
‫‪.(RSP100B ,ECG100B‬‬
‫‪10‬‬
‫• סט אלקטרודות הא‪.‬ק‪.‬ג ‪ -‬האלקטרודות מודבקות על מדבקות מרוחות בג'ל אלקטרוליטי מוליך‪.‬‬
‫ברישומים שתבצעו‪ ,‬מיקום המדבקות יהיה קבוע‪ .‬ההחלפה בין שלושת ה‪ Leads-‬השונים תעשה‬
‫ע"י חיבור קוטב )או הארקה( אחר למדבקות השונות בכל פעם‪.‬‬
‫תרשים ‪ .11‬סט אלקטרודות הא‪.‬ק‪.‬ג ‪.‬‬
‫• חגורת החזה לרישום אות נשימה ‪ -‬המערכת מורכבת מנגד גמיש‪ .‬מתיחת החגורה גורמת‬
‫להתארכות הנגד‪ ,‬הדבר גורם לשינוי בהתנגדות הנגד‪ .‬השינוי בהתנגדות זו נמדד כשינוי במתח‬
‫הנופל על נגד‪.‬‬
‫תרשים ‪ .12‬חגורת החזה לרישום אות נשימה‬
‫שאלות הכנה‬
‫עיבוד אותות‬
‫‪ .1‬בצעו התמרת פורייה רציפה עבור האותות המחזוריים הבאים‪:‬‬
‫• אות משולש ) ‪ f (t ) = t‬עבור ‪ f (t ) = −t + T , 0 ≤ t ≤ T / 2‬עבור ‪:( T / 2 ≤ t ≤ T‬‬
‫• אות מרובע ) ‪ f (t ) = a‬עבור ‪ f (t ) = −a , 0 ≤ t ≤ T / 2‬עבור ‪:( T / 2 ≤ t ≤ T‬‬
‫‪11‬‬
‫• אות שן מסור ) ‪ f (t ) = t‬עבור ‪:( 0 ≤ t ≤ T‬‬
‫‪ .2‬שרטטו סכמטית את ספקטרום האותות מסעיף ‪.1‬‬
‫‪ .3‬בצעו טרנספורם ‪ DFT‬עבור האות הסופי הבא‪:‬‬
‫‪.f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3, f(4) = 3, f(5) = 2, f(6) = 1, f(7) = 0‬‬
‫‪ .4‬הוכיחו את תנאי ‪ Nyquist‬ואת תופעת ה‪.Aliasing-‬‬
‫‪ .5‬סיכמו בקצרה את ההבדלים בין ‪ FFT‬ל‪ ,DFT-‬החסרונות והיתרונות של כל אחד מהם‪.‬‬
‫מהי הסיבוכיות של כל אחד מהם?‬
‫ביצוע ניסוי ‪ :1‬דגימת אותות מלאכותיים‬
‫בחלק זה תשתמשו ב‪ FFT-‬למדידת אות פשוט‪ .‬כמו כן תכירו את השפעת פרמטרי הדגימה )קצב‬
‫דגימה‪ ,‬דגימה בתחום דינמי‪/‬ברוויה( על תוצאתה ואת השפעתם של מסננים בהם תשתמש‪.‬‬
‫שים לב‪ :‬חלק ניכר מעיבוד התוצאות נדרש לבצע באמצעות התוכנה – במעבדה!‬
‫ביצוע החיבורים‬
‫מחולל האותות )‪ (Function generator‬ומערכת הדגימה מחוברים לחשמל‪ ,‬הדליקו אותם‪ .‬חברו את‬
‫מוצא מחולל האותות לכניסת אחד הערוצים האנלוגיים של הדוגם )יחידת ה ‪.(UIM-100A -‬‬
‫תרשים ‪ .13‬מחולל האותות )ימין( וספק המתח )שמאל(‪.‬‬
‫הכנת תוכנת ה‪ ACQ -‬לדגימה‬
‫התאימו את תוכנת ה‪ ACQ -‬לדגימת אות אנלוגי בודד‪ .‬בחרו בתוכנה את הערוץ הפיזי אליו חיברת את‬
‫מחולל האותות‪ ,‬ובחרו עבורו את ‪ 3‬האפשרויות המוצעות לניטור )דגימה‪ ,‬מדידה‪ ,‬ותצוגה(‪.‬‬
‫קבעו את קצב הדגימה להיות ‪ 1000‬דגימות\שניה‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫קבעו את משך הדגימה להיות ‪ 10‬שניות‪.‬‬
‫הגדירו את אופן הכתיבה ככתיבה לזיכרון‪) .‬בתום כל הרצה רצויה שמור את הקובץ הרצוי(‪.‬‬
‫ביצוע מדידות‬
‫צרו אות סינוס בתדר ‪ .150Hz‬אתחלו את הדוגם וקבלו אות סינוס בציר הזמן‪ .‬שנו באופן הדרגתי את‬
‫אמפליטודת האות המיוצר ובהתאם את סקלת העוצמות של התצוגה )השתמשו גם בכפתור הנחתת‬
‫האותות שבמחולל(‪ .‬בחנו את המתרחש בעוצמות גבוהות מאוד או נמוכות מאוד‪.‬‬
‫חזרו לדגימה בתחום דינמי נכון‪ ,‬בו אתם מנצלים נכון את רוחב מתחי הדגימה‪ .‬דגמו את האות‪ .‬בצעו‬
‫‪ FFT‬על האות ובחנו האם הוא מתאים למצופה‪ .‬שנו את תצוגת הטרנספורם בין תצוגה לינארית‬
‫)מדידת עוצמה ב ‪ ,(mV‬לבין תצוגה לוגריתמית )מדידת עוצמה ב ‪.(dB‬‬
‫‪ .1‬גל משולש וגל מרובע‬
‫• בצעו דגימה של גל משולש וגל מרובע בתדר ‪ 40Hz‬ובצע ‪ FFT‬על האותות‪ .‬ודאו שאתם מזהים את‬
‫רכיבי התדר השונים של האותות‪.‬‬
‫• מדדו את נתוני האותות במרחב הזמן )עוצמה וזמן מחזור( ובמרחב התדר )תדרים ועוצמות של‬
‫רכיבי התדר( והדפיסו את התצוגות במרחב הזמן והתדר )תצוגה לינארית(‪.‬‬
‫‪ .2‬דגימה בתת קצב‬
‫• שנו את קצב הדגימה ל‪ 500-‬דגימות לשנייה ודגמו במשך ‪ 10‬שניות אותות סינוס בתדרים ‪1100,‬‬
‫‪ .350, 300, 200, 150Hz‬מדדו במדויק את התדרים וזמני המחזור המתקבלים‪.‬‬
‫• הדפיסו את תצוגת האות הדגום בבסיסי הזמן והתדר באחד התדרים שמעל תדר ניקוויסט ובאחד‬
‫התדרים שמתחת לתדר ניקוויסט‪.‬‬
‫‪ .3‬ביצוע ‪ FFT‬בחלונות זמן משתנים‬
‫• השתמשו באחד מאותות הסינוס בהם קצב הדגימה היה מעל קצב ניקוויסט‪ .‬בצעו ‪ FFT‬על קטע‬
‫זמן באורך ‪ 5‬שניות‪ .‬מדדו את התדירות‪ ,‬רוחב הפיק והעוצמה של האות‪ .‬ולאחר מכן בצעו‬
‫‪ Zooming‬וחיזרו על המדידה בחלונות זמן קטנים והולכים )‪ 0.5‬שנ'‪ 0.05 ,‬שנ'(‪.‬‬
‫‪ .4‬מסננים‬
‫• דגמו אות מרובע בתדר ‪ 50‬הרץ למשך מספר שניות בתדר הדגימה של ‪ 1000‬הרץ‪ .‬בתפריט‬
‫הטרנספורם )‪ (Transform->Filters‬הגדירו פילטר ‪ bandpass‬בתחום תדרים צר סביב התדר‬
‫הראשי‪ .‬בחרו במספר מקדמים ‪ .11‬בדקו את אופן פעולת הפילטר על האות‪ .‬הדפיסו את תצוגת‬
‫האות המקורי ואת תצוגת תוצאות הפעלת הפילטר‪.‬‬
‫• הגדירו פילטר ‪ bandpass‬בתחום תדרים צר סביב רכיב תדר אחר כלשהו של האות המקורי‪ .‬בדקו‬
‫את אופן פעולת הפילטר על האות‪ .‬הדפיסו את תצוגת האות המקורי ואת תצוגת תוצאות הפעלת‬
‫הפילטר על האות‪.‬‬
‫• הגדירו פילטר ‪ bandpass‬בתחום תדרים צר בין רכיבי התדר של האות המקורי‪ .‬בדקו את אופן‬
‫פעולת הפילטר על האות‪ .‬הדפיסו את תצוגת האות המקורי ואת תצוגת תוצאות הפעלת הפילטר‬
‫על האות‪.‬‬
‫ביצוע ניסוי ‪ :2‬רישום אות א‪.‬ק‪.‬ג ואות הנשימה‬
‫‪ .1‬קבלת ואפיון אות הא‪.‬ק‪.‬ג‬
‫• חיברו בעזרת המדריך את האלקטרודות בקונפיגורציה המתוארת לעיל )כלומר "פלוס" בשקע כתף‬
‫ימין‪" ,‬מינוס" בשקע כתף שמאל‪ ,‬ו"גראונד" מתחת לצלעות בצד ימין(‪ .‬אם מתקבל אות שלילי יש‬
‫פשוט להפוך את הכיוון החיובי והשלילי‪ .‬הפעילו את התכנה ודגמו את האות על פני ‪ 30‬שניות‪.‬‬
‫עליכם לראות את אות הא‪.‬ק‪.‬ג‪ .‬האופייני‪.‬‬
‫• לאחר שקיבלתם את האות האופייני והדפסתם אותו – מדדו את המרחק הממוצע בין פולס לפולס‬
‫)לדוגמה בין פיק ‪ R‬לפיק ‪ R‬הבא(‪ ,‬כלומר‪ ,‬את זמן המחזור של פעילות הלב‪.‬‬
‫• מדדו גם את גובה פיק ה‪ R-‬הממוצע‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫• התמקדו על אחד המחזורים של פעילות הלב והדפיסו אותו‪.‬‬
‫• הפעילו טרנספורם פורייה על האות ומדדו את תדר האות‪ .‬שימו לב‪ :‬בספקטרום המתקבל‬
‫מקסימום העוצמה נופלת על תדירות ‪ 0‬הרץ!‬
‫• צאו לפעילות ספורטיבית קלה )רדו ועלו במדרגות(‪ .‬קבלו את אות הא‪.‬ק‪.‬ג ומדדו את זמן המחזור‪,‬‬
‫התדר )דרך ‪ (FFT‬וגובה פיק ה‪ R-‬הממוצע‪.‬‬
‫‪ .2‬קבלת ואפיון אות הנשימה‬
‫• חברו בעזרת המדריך את חגורת מדידת הנשימה‪ .‬מדוד את האות המתקבל במשך דקה‪ .‬הסק את‬
‫זמן המחזור ואת תדירות )דרך ‪ (FFT‬אות הנשימה‪.‬‬
‫• פתחו שני חלונות עבור שני ערוצים נפרדים ומדוד את אות הא‪.‬ק‪.‬ג‪ .‬ואות הנשימה במקביל‪ .‬הדפיסו‬
‫את התוצאות‪.‬‬
‫עיבוד תוצאות וסיכום‬
‫‪ .1‬גל משולש וגל מרובע‬
‫• חשבו את התדירות של גל משולש וגל מרובה מזמני המחזור אשר מדדתם עבורם‪ .‬השוו את‬
‫התדירויות האלו לתדירויות של הרכיב הראשי שמדדתם דרך ‪.FFT‬‬
‫• חשבו את העוצמות היחסיות של רכיבי התדר של גל משולש וגל מרובע‪ .‬בנו גרף של העוצמות‬
‫היחסיות שחישבתם כנגד העוצמות היחסיות התיאורטיות‪ .‬התאימו קו ליניארי לנקודות‬
‫המתקבלות והשוו את שיפועו ל‪.1-‬‬
‫‪ .2‬דגימה בתת‪-‬קצב‬
‫• סכמו בטבלה את התדירויות וזמני המחזור שמדדתם עבור אותות סינוס בדגימה בתדרים שונים‪.‬‬
‫• הסבירו איכותית ומתמטית את אופן התחזותם כתלות ביחס בין תדר האות הדגום לבין קצב‬
‫הדגימה‪.‬‬
‫‪ .3‬ביצוע ‪ FFT‬בחלונות זמן משתנים‬
‫• סכמו בטבלה את התדירויות‪ ,‬רחבי הפיק והעוצמות שמדדתם דרך ‪ FFT‬עבור חלונות זמן שונים‪.‬‬
‫• הסבירו מתמטית את התופעה שהתקבלה עם הקטנת חלון הזמן עליו בוצע ה ‪ ,FFT -‬תוך הצגת‬
‫הקשר בין גודל החלון שהצגת לבין הרזולוציה המתקבלת במרחב התדר‪.‬‬
‫• האם ישנן סיבות לביצוע ‪ FFT‬בחלון זמן קטן?‬
‫‪ .4‬מסננים‬
‫• הסבירו איכותית את תוצאות הפעלת הפילטרים השונים על האות‪.‬‬
‫‪ .5‬קבלת ואפיון אות הא‪.‬ק‪.‬ג‪.‬‬
‫• השוו בין זמני המחזור שמדדתם לתדרים שקיבלתם דרך ‪.FFT‬‬
‫• חישבו את הדופק בפעימות לדקה לפני ואחרי פעילות פיזית‪ .‬האם הוא מתאים לדופק המצוין‬
‫ברקע תיאורטי?‬
‫• תנו הסבר פיזיולוגי לשינוי בא‪.‬ק‪.‬ג‪ .‬עקב פעילות ספורטיבית על סמך המדידות של הדופק ועוצמת‬
‫הפיק ‪.R‬‬
‫• השתמשו במחזור פעילות הלב המוגדל שהדפסתם ובתרשים ‪ 7‬וזהו את השלבים האופייניים‬
‫בפעילות הלב‪ .‬סמנו אותם באותיות המתאימות‪.‬‬
‫• תנו הסבר להופעת מקסימום העוצמה בתדר ‪ 0‬הרץ שצפיתם בה במהלך הניסוי‪.‬‬
‫‪ .6‬קבלת ואפיון אות הנשימה‬
‫• השוו בין זמני המחזור שמדדתם לתדרים שקיבלתם דרך ‪.FFT‬‬
‫• חישבו את קצב הנשימה בנשימות לדקה‪ .‬האם הוא מתאים לקצב הנשימה המצופה )מבוגר מעל‬
‫גיל ‪ 18‬במנוחה‪ 12-20 :‬נשימות לדקה(?‬
‫• האם יש מודולציות של אות הנשימה באות הא‪.‬ק‪.‬ג‪ ?.‬האם יש קשר בין גובה פיק ה‪ R-‬לפאזה של‬
‫אות הנשימה? אם כן‪ ,‬תנו הסבר פיזיולוגי לכך‪.‬‬
‫‪14‬‬