‫אוניברסיטת בן־גוריון בנגב – המחלקה למתמטיקה‬ ‫חדו״א להנדסת מכונות ‪ – (201–1–9711) 1‬סמסטר א׳ תשע״ה‬ ‫תרגיל ‪ – 1‬פתרונות‬ ‫‪) .1‬א( )‪− cos(x‬‬ ‫)ב( )‪− sin(x‬‬ ‫)ג( )‪− sin(x‬‬ ‫)ד( )‪ − sin(x‬כאשר‬ ‫‪kπ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪.k ∈ Z ,x 6‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪ .n! < (n+1‬בסיס האידוקציה‪ :‬כאשר ‪,n = 2‬‬ ‫‪) .2‬ג( נוכיח באינדוקציה שלכל ‪ n > 1‬מתקיים כי‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .2 = 2! < 32‬הנחת האינדוקציה‪ :‬נניח שהטענה נכונה עבור ‪ n > 1‬מסויים‪ ,‬נוכיח עבור ‪,n + 1‬‬ ‫כלומר נוכיח כי‬ ‫‪(n+2)n+1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫< !)‪.(n + 1‬‬ ‫‪(n + 1)n‬‬ ‫‪(n + 1)n+1‬‬ ‫‪(n + 2)n+1‬‬ ‫=‬ ‫<‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫· )‪(n + 1‬‬ ‫הנחת האינדוקציה‬ ‫<‬ ‫!‪(n + 1)! = (n + 1) · n‬‬ ‫וזה מוכיח את הטענה‪.‬‬ ‫‬ ‫‪n+1 n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫≤ !‪ .n‬בסיס האידוקציה‪ :‬כאשר ‪,n = 2‬‬ ‫)ד( נוכיח באינדוקציה שלכל ‪ n > 1‬מתקיים כי‬ ‫‪ .2 = 2! < ( 23 )2 = 94‬הנחת האינדוקציה‪ :‬נניח שהטענה נכונה עבור ‪ n > 1‬מסויים‪ ,‬נוכיח עבור‬ ‫‪n+1‬‬ ‫‪ .(n + 1)! < n+2‬קודם כל‪ ,‬נובע משאלה מס׳ ‪ 2‬סעיף א׳ )שנקרא‬ ‫‪ ,n + 1‬כלומר נוכיח כי‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ x = n+1‬שמתקיים כי‬ ‫אי־שיוויון ברנולי( כאשר‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= 2.‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫אזי‬ ‫‪(n + 1)n+1‬‬ ‫=‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫· )‪> 1 + (n + 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫· )‪(n + 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫‬ ‫‪1+‬‬ ‫הנחת האינדוקציה‬ ‫<‬ ‫‪n+1‬‬ ‫=‬ ‫‪n+2‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫!‪(n + 1)! = (n + 1) · n‬‬ ‫ונובע מהאי־שיוויון )‪ (1‬לעיל כי‬ ‫‪(n + 1)n+1‬‬ ‫‪(n + 2)n+1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(n + 2)n+1‬‬ ‫=‬ ‫·‬ ‫‪.‬‬ ‫<‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪n+1‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪2n+1‬‬ ‫‪2n+1‬‬ ‫‪n+2‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫לכן‬ ‫‬ ‫‪n+2 n+1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫< !)‪ (n + 1‬והטענה הוכח‪.‬‬ ‫‪— .3‬‬ ‫√ √‬ ‫‪) .4‬א( ]‪[− 2, 2‬‬ ‫)ב( ] ‪[ 61 , 14‬‬ ‫)ג( )‪(−2.3, −1.7‬‬ ‫)ד( )∞ ‪(−∞, −5) ∪ (15,‬‬ ‫)ה( ) ‪(−∞, − 12‬‬ ‫)ו( ]‪[−5, 5‬‬ ‫‪) .5‬א( ]‪[−2, 2‬‬ ‫)ב( ]‪(−∞, 0‬‬ ‫)ג( }‪{x ∈ R | x 6= 0‬‬ ‫)ד( }‪{x ∈ [−1, ∞) | x 6= πk, ∀k ∈ Z‬‬ ‫)ה( )∞ ‪(−1,‬‬ ‫‬ ‫)‪(1‬‬ ‫ ∞‬ ‫‬ ‫‪S‬‬ ‫)ו( ‪4k 2 π 2 , (2k + 1)2 π 2‬‬ ‫‪k=0‬‬ ‫)ז( )‪[ π4 + kπ, π2 + kπ‬‬ ‫∞‬ ‫‪S‬‬ ‫∞‪k=−‬‬ ‫‪) .6‬א( אי זוגית‬ ‫)ב( זוגית‬ ‫)ג( לא זוגי ולא אי זוגי‬ ‫)ד( אי זוגי‬ ‫)ה( זוגי‬ ‫)ו( אי זוגי‬ ‫)ז( לא זוגי ולא אי זוגי‬ ‫‪ .7‬הרכבה־ זוגית‬ ‫כפל־ אי זוגי‬ ‫‪ g(x)2‬זוגית‬ ‫‪) .8‬א(‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫≤‪0≤y‬‬ ‫)ב( ‪−1 ≤ y ≤ 1‬‬ ‫‪2‬‬