‫תרגיל מספר ‪5‬‬
‫פתרון‬
‫‪ .1‬יהי ‪ a  0‬מספר אי‪-‬רציונלי‪ .‬הוכיחו כי גם ‪ a‬אי רציונלי‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח בשלילה כי ‪ a‬הוא רציונלי‪ .‬אזי ‪ a  a  a‬ולכן ‪ a‬היה‬
‫רציונלי (הוכחנו בכיתה כי מכפלה של מספרים רציונליים היא מספר רציונלי)‪.‬‬
‫סתירה! ‪‬‬
‫‪ .2‬יהיו ‪ a, b, c, d‬מספרים רציונליים‪ .‬הוכיחו כי ‪ a  b 2  c  d 2‬אם ורק אם‬
‫‪ a  c‬וגם ‪. b  d‬‬
‫הוכחה‪ :‬ראשית‪ ,‬אם ‪ a  c‬וגם ‪ b  d‬אז ברור כי ‪ . a  b 2  c  d 2‬עתה‬
‫נוכיח את הכיוון השני‪ :‬נניח כי ‪ a  b 2  c  d 2‬ונוכיח כי ‪ a  c‬וגם‬
‫‪ . b  d‬ע"פ ההנחה מתקיים ‪ . a  b 2  c  d 2‬ולכן‬
‫‪ . a  c  d 2  b 2  d  b 2‬נסמן ‪ p  a  c‬ו‪ . q  d  b -‬כלומר‬
‫‪ . p  q 2‬נרצה להוכיח כי ‪ . p  q  0‬נשים לב כי ‪ p, q‬הם מספרים‬
‫רציונליים (הוכחנו בכיתה כי הפרש של רציונליים הוא מספר רציונלי‪ ,‬וע"פ‬
‫ההנחה‪ a, b, c, d ,‬מספרים רציונליים )‪ .‬עתה‪ ,‬נראה קודם כי ‪ . q  0‬נניח‬
‫‪p‬‬
‫בשלילה כי ‪ . q  0‬נחלק את המשוואה ב‪ q -‬ונקבל ‪ 2‬‬
‫‪q‬‬
‫‪ .‬נשים לב כי אגף‬
‫שמאל הוא מספר רציונלי (הוכחנו בכיתה כי מנה של רציונליים היא מספר‬
‫רציונלי!)‪ .‬זאת סתירה לכך ש‪ 2 -‬אי‪-‬רציונלי‪ .‬לכן ‪ . q  0‬נציב במשוואה‬
‫‪ p  q 2  0‬ונקבל כי גם ‪ p  0‬כנדרש ‪‬‬
‫‪ .3‬מצאו דרך לסדר את אוסף כל השלשות של המספרים הטבעיים‪:‬‬
‫‪a, b, c  N ‬‬
‫‪. a, b, c ‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫ניתן ל"סדר" את השלשות בעיקרון דומה לסידור הזוגות (תרגיל קודם)‪,‬‬
‫כלומר על פי סכום השלשה‪ .‬החל מ‪ 3 -‬ואילך‪ .‬בכל סכום נתון סידור השלשות‬
‫יהיה לקסיקוגרפי‪ .‬לדוגמה‪ ,‬עבור סכום השווה ל‪:5-‬‬
‫)‪(1,1,3), (1, 2, 2), (1,3,1‬‬
‫)‪(2,1, 2), (2, 2,1‬‬
‫)‪(3,1,1‬‬