‫מתמטיקה לפיזיקאים‬ ‫פרופ' שלמה הבלין‬ ‫‪ .21‬הדיפרנציאל השלם של פונקציה‪.‬‬ ‫נגדיר כדיפרנציאל השלם את השינוי בפונקציה הודות לשינוי זעיר ב‪ x-‬ב‪ ∆x -‬ולשנוי‬ ‫זעיר ב‪ y-‬ב‪∆y -‬‬ ‫כלומר‪:‬‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫[ ]‬ ‫) ‪∆f = f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ) = f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x + ∆x , y ) + f ( x + ∆x , y ) − f ( x , y‬‬ ‫אם נכפיל באגף ימין את האבר הראשון ב‪ ∆y -‬ונחלק ב‪ ∆y -‬וכן ניקח ‪ ∆y → 0‬וכן באבר‬ ‫השני נכפיל ונחלק ב‪ ∆x -‬נקבל‪:‬‬ ‫‪∂f‬‬ ‫‪∂f‬‬ ‫= ‪df‬‬ ‫‪dy +‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫)‪(21.1‬‬ ‫‪∂y‬‬ ‫‪∂x‬‬ ‫כלומר השינוי בפונקציה )‪ f(x,y‬הודות לשינויים אינפיניטסימליים ב‪ y -‬וב‪ x-‬ניתן ע''י הנוסחה הנ''ל ‪.‬‬ ‫גודל זה נקרא דיפרנציאל שלם‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬נוסחה )‪ (21.1‬אינה מדויקת עבור ‪ dx‬ו‪dy -‬‬ ‫סופיים ‪ .‬ככל ש ‪ dx‬ו‪ dy -‬קרובים יותר ל‪ -0‬הנוסחה יותר מדויקת‪.‬‬ ‫‪∂f‬‬ ‫חושב בנקודה ‪ x + dx‬ולא בנקודה ‪.x‬‬ ‫זה נובע מהעובדה ש‬ ‫‪∂y‬‬ ‫)‪U=U(x,y,z,...t‬‬ ‫באופן כללי אם נתונה פונקציה‬ ‫אזי הדפרנציאל השלם שלה יהיה‪:‬‬ ‫‪∂U‬‬ ‫‪∂U‬‬ ‫‪∂U‬‬ ‫‪∂U‬‬ ‫= ‪dU‬‬ ‫‪dx +‬‬ ‫‪dy +‬‬ ‫‪dz +...+‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪∂x‬‬ ‫‪∂y‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫לדוגמה‪ :‬נתונה פונקציה המתארת שטח מלבן ‪z=xy‬‬ ‫השינוי בשטח המלבן הודות לשינוי באורך וברוחב‬ ‫‪dy‬‬ ‫יהיה‪ ,‬לפי נוסחה )‪:(21.1‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫= ‪dz‬‬ ‫‪dx +‬‬ ‫‪dy = ydx + xdy‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪∂x‬‬ ‫‪∂y‬‬ ‫נבדוק עתה בדרך אחרת‪ ,‬נוסיף ל ‪dx - x‬‬ ‫ול ‪ . dy -y‬שטח של המלבן החדש יהיה‪:‬‬ ‫‪z = (x + dx)(y + dy)=xy + xdy + ydx + dxdy‬‬ ‫כלומר השנוי בשטח המלבן‪:‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫איור ‪20.6‬‬ ‫‪dz = xdy + ydx + dxdy‬‬ ‫‪dz = xdy +ydx‬‬ ‫ואילו אנו קבלנו‪:‬‬ ‫כפי שראינו למעלה הנוסחה שלנו מקורבת ומזניחים אברים מסדר גודל ‪ dxdy‬שהם קטנים ביותר‬ ‫כאשר ‪ dx‬ו‪ dy-‬הם אינפיניטסימליים‪.‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫נתונה הפונקציה‪:‬‬ ‫‪z = x 2 y 2 + 2 xy − 5x 4 − 11y 2‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫= ‪dz‬‬ ‫‪dx +‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪∂x‬‬ ‫‪∂y‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫‪= 2 xy 2 + 2 y + 20 x 3‬‬ ‫‪∂x‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫‪= 3 x 2 y 2 + 2 x − 22 y‬‬ ‫‪∂x‬‬ ‫‪dz = (2 xy 3 + 2 y − 20 x 3 )dx + (3x 2 y 2 + 2 x − 22 y )dy‬‬ ‫‪178‬‬ ‫מתמטיקה לפיזיקאים‬ ‫פרופ' שלמה הבלין‬ ‫נביא עתה שתי דוגמאות שימושיות‪:‬‬ ‫‪ .1‬ההספק הנבלע בנגד חשמלי בעל התנגדות ‪) R‬אום( שהמתח עליו ‪) V‬וולטים(‬ ‫‪V2‬‬ ‫= ‪) P‬ווט(‪.‬‬ ‫ניתן ע"י‬ ‫‪R‬‬ ‫נתון )וולט( ‪ V = 200‬ו )אום( ‪. R = 8‬‬ ‫מה יהיה השנוי בהספק אם מקטינים את ‪ V‬ב‪ -5‬וולט ואת ‪ R‬ב‪ -0.2‬אום?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪∂P‬‬ ‫‪∂P‬‬ ‫‪∂ P 2V‬‬ ‫=‬ ‫= ‪dP‬‬ ‫‪dV +‬‬ ‫‪dR‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪∂V‬‬ ‫‪∂R‬‬ ‫‪∂V‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2V‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪V2‬‬ ‫‪∂P‬‬ ‫= ‪dP‬‬ ‫‪dV − 2 dR‬‬ ‫‪=− 2‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪∂R‬‬ ‫נציב‪:‬‬ ‫‪dR = −0.2‬‬ ‫‪dV = −5‬‬ ‫‪R=8‬‬ ‫‪V = 200‬‬ ‫ונקבל‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪400‬‬ ‫= ‪dP‬‬ ‫‪( −5) − 2 ( −0.2) = −250 + 125 = −125‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫תשובה‪ :‬ההספק יורד ב ‪ 125‬ווט בקרוב‪.‬‬ ‫‪ .2‬ממדיו הנתונים של תיבת עץ הם ‪ 20,12,10‬ס"מ עם שגיאת מדידה של ‪ 0.05‬ס''מ בכל מדידה‪.‬‬ ‫מצא בקרוב את השגיאה הגדולה ביותר בשטח הפנים של הגוש ואת אחוז השגיאה בשטח אשר‬ ‫נגרמה ע''י השגיאות במדידות הנפרדות‪.‬‬ ‫שטח הפנים‬ ‫‪S = 2( xy + xz + yz ) , x = 10 , y = 12 , z = 20‬‬ ‫‪∂S‬‬ ‫‪∂S‬‬ ‫‪∂S‬‬ ‫‪dx +‬‬ ‫‪dy +‬‬ ‫= ‪dz‬‬ ‫‪∂x‬‬ ‫‪∂y‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫= ‪dS‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪= 2( y + z )dx + 2( x + z )dy + 2( x + y )dz‬‬ ‫השגיאה המכסימלית תהיה כאשר השגיאות במדידת האברים יהיו‬ ‫בעלי אותו סימן ‪ ,‬למשל חיובי‪.‬‬ ‫כלומר‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫איור ‪20.7‬‬ ‫‪dS = 2(10 + 12)0.05 + 2(10 + 20)0.05 + 2(12 + 20)0.05 = 8.4‬‬ ‫מכאן אם שטח הפנים הוא‬ ‫)ס"מ ‪ S = 2(10 ⋅ 12 + 10 ⋅ 20 + 12 ⋅ 20) = 1120 ( 2‬אזי‬ ‫עלולה להיות שגיאה בשטח הפנים‪:‬‬ ‫‪) S = 1120 ± 8.4( 2‬ס"מ‬ ‫‪8.4‬‬ ‫‪⋅ 100 = 0.75%‬‬ ‫‪1120‬‬ ‫‪179‬‬ ‫השגיאה באחוזים‪:‬‬ ‫מתמטיקה לפיזיקאים‬ ‫פרופ' שלמה הבלין‬ ‫‪ 21.1‬נגזרת שלמה‪.‬‬ ‫נעזר במה שלמדנו על נגזרות חלקיות עבור נגזרות רגילות‪.‬‬ ‫נתונה פונקציה )‪ z = f ( x , y‬ונניח ש‪ x -‬ו‪ y -‬הם כל אחד פונקציה של משתנה אחר‪ ,‬למשל ‪,t‬‬ ‫כלומר )‪ x=x(t‬ו )‪ y=y(t‬אזי ‪ z‬היא למעשה פונקציה של ‪ t‬בלבד‪ -‬משתנה בלתי תלוי אחד‪.‬‬ ‫אנו מעונינים למצוא את הנגזרת של ‪ z‬לפי ‪ . t‬דרך אחת לעשות זאת היא לבטא את ‪z‬‬ ‫‪dz‬‬ ‫באמצעות ‪ t‬בלבד ע''י שנציב )‪ y=y(t) ,x=x(t‬בפונקציה )‪ z=f(x,y‬ואז לחשב את‬ ‫‪dt‬‬ ‫בדרכים הרגילות‪.‬‬ ‫אם )‪ x(t‬ו‪ y(t)-‬הן פונקציות סתומות לא נוכל לגזור בדרך זו וחייבים להשתמש בנגזרות חלקיות‬ ‫כפי שיודגם להלן‪.‬‬ ‫נעזר בנוסחה של הדיפרנציאל השלם‪.‬‬ ‫‪∂f‬‬ ‫‪∂f‬‬ ‫‪dx +‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪∂x‬‬ ‫‪∂y‬‬ ‫= ‪df‬‬ ‫‪ dx , dy‬הם שינויים זעירים הודות לשינוי ב ‪ dt‬והשינוי בפונקציה הוא ‪. df‬‬ ‫נחלק את שני האגפים ב‪ dt -‬ונקבל‪:‬‬ ‫)‪(21.2‬‬ ‫‪df‬‬ ‫‪∂ f dx ∂ f dy‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪dt ∂ x dt ∂ y dt‬‬ ‫‪df‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫לעתים קרובות דרך זו קלה הרבה יותר!‬ ‫היא הנגזרת השלמה של ‪ f‬לפי ‪ . t‬כלומר מצאנו דרך למצא נגזרת שלמה ע"פ נגזרות חלקיות‪.‬‬ ‫לדוגמה‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f ( x , y ) = arctg‬‬ ‫כאשר‪:‬‬ ‫‪−t‬‬ ‫‪−t‬‬ ‫‪x =e −e‬‬ ‫‪y =e +e‬‬ ‫‪∂f‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪⋅  − 2 ‬‬ ‫‪= e t + e −t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x ‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪∂ x  y‬‬ ‫‪  +1‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪∂f‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫=‬ ‫⋅‬ ‫‪= e t − e −t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪∂ y  y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪  +1‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪df‬‬ ‫‪−y‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪(e t + e − t ) + 2‬‬ ‫) ‪(e t − e − t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪y +x‬‬ ‫‪y +x‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪df‬‬ ‫‪(e t + e − t ) 2‬‬ ‫‪(e t − e − t ) 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=− t‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪( e + e − t ) 2 + (e t − e − t ) 2 ( e t + e − t ) 2 + (e t − e − t ) 2‬‬ ‫‪180‬‬ ‫מתמטיקה לפיזיקאים‬ ‫פרופ' שלמה הבלין‬ ‫נוסחה ‪ 21.1‬נקראת בשם חוק השרשרת‬ ‫באופן כללי אם נתונה פונקציה‪:‬‬ ‫)‪U = f (x,y,z,..‬‬ ‫כאשר כל משתנה פונקציה של ‪,t‬‬ ‫‪z = z(t) ...........‬‬ ‫אז‪:‬‬ ‫)‪y = y(t‬‬ ‫)‪x = x(t‬‬ ‫‪dU ∂ U dx ∂ U dy ∂ U dz‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+...‬‬ ‫‪∂ x dt ∂ y dt ∂ z dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫דוגמה נוספת‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫נתון‪:‬‬ ‫‪z = x + xe‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x = sin t‬‬ ‫‪y = ln t‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dy 1‬‬ ‫; ‪= 2x + e y‬‬ ‫; ‪= cos t‬‬ ‫=‬ ‫; ‪= xe y‬‬ ‫‪∂y‬‬ ‫‪∂x‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt t‬‬ ‫‪xe t‬‬ ‫‪dz ∂ z dx ∂ z dy‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪= (2 x + e t ) cos t +‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪dt ∂ x dt ∂ y dt‬‬ ‫אם נחוץ הרי במקרה זה אפשר לבטא הכל כפונקציה של ‪,t‬‬ ‫‪dz‬‬ ‫‪= (2 sin t + t ) cos t + sin t‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫כאשר ‪y‬‬ ‫)‪z = f ( x, y‬‬ ‫ישנו מקרה מיוחד וחשוב של נוסחת השרשרת‪ .‬אם נתונה פונקציה‬ ‫הוא פונקציה של ‪ x‬כלומר ) ‪ . y = g ( x‬במקרה זה ‪ z‬היא פונקציה של משתנה ‪ x‬בלבד‬ ‫וע''י שנציב את ) ‪ y = g ( x‬ב‪ z -‬נקבל את ‪ z‬כפונקציה של ‪ x‬בלבד‪ .‬ואז ניתן לחשב‬ ‫‪dz‬‬ ‫במקרה זה אפשר להיעזר בנוסחת השרשרת‪.‬‬ ‫הנגזרת השלמה ‪.‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dz ∂z dx ∂z dy‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪dt ∂x dt ∂y dt‬‬ ‫אולם במקום ) ‪ y = y (t‬נציב ) ‪ y = y ( x‬ונקבל‪,‬‬ ‫)‪(21.3‬‬ ‫‪dz ∂ z ∂ z dy‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪dx ∂ x ∂ y dx‬‬ ‫‪dz ∂ z dx ∂ z dy‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪dx ∂ x dx ∂ y dx‬‬ ‫ניתן גם לקבל נוסחה זו ישר מנוסחת הדיפרנציאל השלם‪.‬‬ ‫נחלק ב‪ ∆x → 0 -‬ונקבל את )‪.(21.3‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫= ‪dz‬‬ ‫‪dx +‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪∂x‬‬ ‫‪∂y‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫מחושב ע''י גזירת )‪ f(x,y‬בעת ש‪ y -‬נלקח כקבוע‪.‬‬ ‫חשוב מאוד להבין את משמעות הסמלים הנ''ל ‪.‬‬ ‫‪∂x‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫היא הנגזרת הרגילה של )‪. y = g(x‬‬ ‫מחושב ע''י גזירת )‪ f(x,y‬כאשר ‪ x‬קבוע‪.‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪∂y‬‬ ‫‪dz‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫היא התוצאה המתקבלת מגזירת הפונקציה ‪ z‬התלויה למעשה ב‪ x-‬בלבד‪.‬‬ ‫‪181‬‬ ‫מתמטיקה לפיזיקאים‬ ‫פרופ' שלמה הבלין‬ ‫‪∂z‬‬ ‫‪dz‬‬ ‫שונה לחלוטין מהנגזרת החלקית‬ ‫שים לב‪ :‬הנגזרת הרגילה‬ ‫‪∂x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫והקשר ביניהם‬ ‫ניתן ע"י נוסחה )‪.(21.3‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נתונה הפונקציה‪:‬‬ ‫‪12 − x 2 − 4 y 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪y = x2‬‬ ‫כאשר‪:‬‬ ‫דרך אחת היא להציב את ‪ y‬ב‪ z-‬ולקבל ‪ z‬פונקציה של ‪ x‬בלבד ולגזור‪ .‬אולם לפי הנוסחה ‪21.2‬‬ ‫‪dz‬‬ ‫ללא הצבה‪.‬‬ ‫שהיא לעתים נוחה יותר נוכל לחשב‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪4y‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪∂x‬‬ ‫‪∂y‬‬ ‫‪3 12 − x 2 − 4 y 2‬‬ ‫‪3 12 − x 2 − 4 y 2‬‬ ‫=‪z‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪= 2x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dz ∂ z ∂ z dy‬‬ ‫‪x‬‬ ‫) ‪− x (1 + 8 y‬‬ ‫‪8 xy‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪dx ∂ x ∂ x dx‬‬ ‫‪3 12 − x − 4 y‬‬ ‫‪3 12 − x − 4 y‬‬ ‫‪3 12 − x 2 − 4 y 2‬‬ ‫‪dz‬‬ ‫לבין הנגזרות החלקיות‬ ‫למעשה יש לנו בנוסחה הנ''ל קשר בין הנגזרת השלמה‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫‪∂x‬‬ ‫‪∂y‬‬ ‫נוסחה זו חשובה מאוד ותתקלו בה רבות ‪ ,‬במיוחד בקורס על תרמודינמיקה‪.‬‬ ‫‪f ( x, y) = 0‬‬ ‫קשר חשוב נוסף המתקבל מהנוסחה הנ''ל במקרה הפרטי‪:‬‬ ‫‪z = f ( x, y) = 0‬‬ ‫נוכל לכתוב‪:‬‬ ‫‪dz ∂ z ∂ z dy‬‬ ‫=‪0‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ z‬היא פונקציה קבועה ולכן‪:‬‬ ‫‪dx ∂ x ∂ y dx‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪= ∂x‬‬ ‫)‪(21.4‬‬ ‫ומכאן‪:‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪∂y‬‬ ‫זה גם קשר חשוב בתרמודינמיקה‪.‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x + y − 13 = 0‬‬ ‫נתונה הפונקציה‪:‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫חשב‪:‬‬ ‫?=‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪∂ x = − 2x‬‬ ‫=‬ ‫‪∂z‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪3y 2‬‬ ‫‪∂y‬‬ ‫אפשר גם בדרך אחרת‪ .‬נגזור את שני האגפים לפי ‪. x‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪2 x + 3y 2‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪182‬‬ ‫מתמטיקה לפיזיקאים‬ ‫פרופ' שלמה הבלין‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪=− 2‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪3y‬‬ ‫שים לב‪ :‬הנגזרת השלמה של פונקציה קבועה מתאפסת‪ ,‬אולם הנגזרות חלקיות ‪,‬לא דווקא‪.‬‬ ‫‪ 21.2‬נוסחת השרשרת במספר משתנים‪.‬‬ ‫נתונה פונקציה ) ‪ z = f ( x , y‬כאשר ‪ x‬ו‪ y-‬הם פונקציה של מספר משתנים‪ .‬לצורך פשטות‬ ‫‪∂z‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫נניח ) ‪ y = y ( s, t ) . x = x ( s, t‬אנו מעונינים לחשב את‬ ‫‪∂s‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫אם נחזור לדפרנציאל השלם‪ ,‬נוסחה ‪,21.1‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫= ‪dz‬‬ ‫‪dx +‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪∂x‬‬ ‫‪∂y‬‬ ‫נחלק ב‪ ∆s -‬השואף לאפס כאשר ‪ t‬קבוע‪ ,‬ונקבל‬ ‫‪∂z ∂z∂x ∂z∂y‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪∂s ∂x ∂s ∂y ∂s‬‬ ‫באופן דומה ‪ :‬נחלק ב‪ ∆t -‬השואף לאפס כאשר ‪ s‬קבוע ונקבל‪:‬‬ ‫‪∂z ∂z ∂x ∂z ∂y‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪∂t ∂x ∂t ∂y ∂t‬‬ ‫קבלנו אפוא את הנגזרות החלקיות של ‪ z‬לפי ‪ t‬ולפי ‪ . s‬אלו הן נוסחאות השרשרת ‪.‬‬ ‫אפשר לקבל נוסחאות אלו בדרך אחרת‪ ,‬כלהלן‪:‬‬ ‫נשתמש בקשר‪:‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫= ‪dz‬‬ ‫‪dx +‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪∂x‬‬ ‫‪∂y‬‬ ‫מכיון ש‪ z -‬פונקציה של ‪ s‬ו‪ z = z ( s, t) ,t-‬נקבל‪:‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫= ‪dz‬‬ ‫‪ds +‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪∂s‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫באופן הבא; נחשב ‪ dy‬ו‪ dx -‬מתוך‪:‬‬ ‫ואת‬ ‫נזהה את‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪∂s‬‬ ‫) ‪x = x ( s, t‬‬ ‫) ‪y = y ( s, t‬‬ ‫‪∂x‬‬ ‫‪∂x‬‬ ‫= ‪dx‬‬ ‫‪ds +‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪∂s‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪∂y‬‬ ‫‪∂y‬‬ ‫= ‪dy‬‬ ‫‪ds +‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪∂s‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫נציב בדיפרנציאל השלם‪:‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫‪dx +‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪∂x‬‬ ‫‪∂y‬‬ ‫‪∂ z ∂ x‬‬ ‫‪∂ x  ∂ z ∂ y‬‬ ‫‪∂y ‬‬ ‫‪ds +‬‬ ‫‪dt  +‬‬ ‫‪ds +‬‬ ‫‪dt ‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪∂x ∂s‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪∂y ∂s‬‬ ‫‪∂t ‬‬ ‫= ‪dz‬‬ ‫‪ ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y‬‬ ‫‪ ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ dt‬‬ ‫‪ ds + ‬‬ ‫‪∂ x ∂ t ∂ y ∂ t ‬‬ ‫‪∂ x ∂ s ∂ y ∂ s‬‬ ‫‪183‬‬ ‫מתמטיקה לפיזיקאים‬ ‫פרופ' שלמה הבלין‬ dz = ∂z ∂z ds + dt ∂s ∂t :(21.1) ‫אם נשווה נוסחה זו לנוסחה‬ :‫נוכל לזהות‬ ∂z ∂z∂x ∂z∂y = + ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s ∂z ∂z∂x ∂z∂y = + -‫ו‬ ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t :‫דוגמאות‬ z = 4x − 9 y 2 x= s t 2 :‫נתון‬ y = s2 + t 2 ∂z ∂z ; ∂t ∂s ∂z ∂z∂x ∂z∂y = + = ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s :‫חשב‬ 1 8x 8s 8 x + ( −18 y ) ⋅ 2 s = − 36 ys = 2 − 36( s 2 + t 2 ) s t t t ∂z ∂z∂x ∂z∂y = + = ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t s2 8 xs  s 8 x  − 2  + ( −18 y )2t = − 2 − 36 yt = −8 3 − 36 s 2 + t 2 t  t  t t .‫נראה עתה איך אפשר לבצע חשובי נגזרות כאלו בדרך השניה‬ :‫לדוגמה‬ :‫נתון‬ y = s − t x = cos( s + t ) z = x ⋅ y ∂ z ∂ z ; :‫חשב‬ ∂ t ∂ s :‫ניקח דיפרנציאל שלם של כל משואה‬ ∂z ∂z dz = dx + dy = ydx + xdy ∂x ∂y ∂x ∂x dx = ds + dt = cos( s + t )ds + cos( s + t )dt ∂s ∂t ( dy = ∂y ∂y ds + dt = ds − dt ∂s ∂t 184 ) ‫מתמטיקה לפיזיקאים‬ ‫פרופ' שלמה הבלין‬ :‫ ונקבל‬dz -‫ ב‬dy -‫ ו‬dx ‫נציב‬ dz = y cos( s + t )(ds + dt ) + x (ds − dt ) = ( y cos( s + t ) + x )ds + ( y cos( s + t ) − x )dt dz = :(21.1) ‫ע''י השואה לדיפרנציאל השלם‬ ∂z ∂z ds + dt ∂s ∂t :‫נקבל‬ ∂z = y cos( s + t ) + x ∂s ∂z = y cos( s + t ) − x ∂t :‫דוגמה נוספת‬ :‫נתון‬ U = x + 2 xy − y ln z 2 z = 2t dU = y = s- t2 x = s + t2 :‫נחשב את כל הדיפרנציאלים‬ ∂U ∂U ∂U dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z = (2 x + 2 y )dx + (2 x − ln z )dy − ∂x ∂x ds + dt = ds + 2tdt ∂s ∂t ∂y ∂y dy = ds + dt = ds − 2tdt ∂s ∂t ∂z ∂z dz = ds + dt = 2 dt ∂s ∂t y dz z dx = dU -‫נציב ב‬ dU = (2 x + 2 y )(ds + 2tdt ) + (2 x − ln z )(ds − 2tdt ) − [ ] = (4 x + 2 y − ln z )ds + 8 yt − ( 2 x − ln z ) 2t − 2 y t dt ∂U = 4 x + 2 y − ln z ∂s ∂U  2y 2y   = 4 yt + 2t  ln z −  −   ∂t  z  t  185 y 2dt z