‫שעורי אינפי א' התשע"ד‬ ‫שם המורה‪:‬ד"ר גיורא דולה‬ ‫הישר הממשי‬ ‫קבוצת המספרים הטבעיים מסומנת והיא כוללת את המספרים ‪3,2,1‬‬ ‫וכן הלאה‪ .‬מסמנים } ‪  {1, 2,3,‬וזהו סימון מקובל של תורת הקבוצות‪.‬‬ ‫קבוצת הטבעיים‪ ,‬למרות היותה פשוטה וטבעית‪ ,‬לא מספיקה לצרכינו‪.‬‬ ‫למשל למשואה ‪ 3+x=1‬אין פתרון שהוא מספר טבעי‪ .‬לכן יש צורך‬ ‫להוסיף את ‪ 0‬ואת המספרים השליליים‪ ,‬ומקבלים } ‪.  {0, 1, 2, 3,‬‬ ‫הקבוצה החדשה נקראת קבוצת המספרים השלמים‪ .‬קבוצת השלמים‬ ‫כוללת בחובה את קבוצת הטבעיים כתת קבוצה (קבוצה חלקית)‪ .‬הסימון‬ ‫לקבוצה חלקית הוא ‪ , ‬ויש מקומות שמסמנים ‪. ‬‬ ‫ליחס בין קבוצה ובין קבוצה גדולה יותר קוראים יחס ההכלה בין‬ ‫קבוצות‪ .‬כאשר יש כזו הכלה (וגם במקרים כלליים יותר)‪ ,‬ניתן לחשוב על‬ ‫קבוצת כל האיברים שהם בקבוצה הגדולה אך לא נמצאים בקבוצה‬ ‫הקטנה יותר‪ .‬לקבוצה החדשה קוראים המשלים של הקבוצה הקטנה‬ ‫בתוך הקבוצה הגדולה‪ .‬למשל המשלים של הטבעיים בתוך הטבעיים‬ ‫מסומנים ומוגדרים על ידי } ‪  {0, 1, 2, 3,‬‬ ‫‪.‬‬ ‫גם קבוצת השלמים איננה מספיקה‪ ,‬ולמשל למשואה ‪ 3x=1‬אין פתרון‬ ‫שהוא מספר שלם‪ .‬לכן נאלצים להוסיף את כל השברים ומגדירים את‬ ‫קבוצת המספרים הרציונליים‪ ,‬שהיא קבוצת כל המספרים שהם מנות‬ ‫‪m‬‬ ‫של שני שלמים‪ ,‬וכאשר המכנה שונה מ‪ .0-‬נסמן }}‪ { , m  , n   {0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ .‬אז כל מספר שלם ניתן לראות כמספר רציונלי בעל מכנה שהוא ‪.3‬‬ ‫לכן ישנה הכלה ‪ . ‬קבוצת המספרים הרציונליים היא מבנה אשר‬ ‫באלגברה נקרא שדה‪ .‬למספרים הטבעיים ולמספרים השלמים אין מבנה‬ ‫של שדה‪.‬‬ ‫נתון רבוע שאורך הצלע שלו הוא ‪ .3‬ידוע כי אורך אלכסון של הרבוע הוא‬ ‫‪ .√2‬התוצאה הבאה היתה ידועה ליוונים כבר בעת העתיקה‪.‬‬ ‫משפט‬ ‫‪ √2‬איננו רציונלי‪ .‬נסוח אחר‪ :‬לכל שני מספרים שלמים ‪ n( m,n‬שונה מ‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ,)0‬מתקיים כי‬ ‫‪m‬‬ ‫‪   2.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫ההוכחה מסתמכת על העובדה שכל מספר רציונלי ‪ a/b‬ניתן להצגה בתור‬ ‫שבר ‪ ,c/d‬כאשר ‪ c,d‬זרים בזוגות‪ ,‬כלומר המספר היחיד המחלק את ‪c‬‬ ‫ואת ‪ d‬הוא ‪ .±3‬להצגה הזו נקרא הצגה זרה‪.‬‬ ‫נניח בשלילה שיש מספר רציונלי שרבועו הוא ‪ ,2‬ונעבור להצגה זרה‪ .‬אם‬ ‫נגיע לסתירה אז נצטרך לשלול את זה שיש שיש מספר שרש רציונלי ל‪,2-‬‬ ‫כלומר כל סתירה תוכיח את המשפט‪ .‬אז נעבור להצגה זרה של ‪.√2‬‬ ‫כלומר מניחים שיש טבעיים זרים ‪ m,n‬כך ש ‪ .(m/n)2=2‬נעביר אגפים‬ ‫ונקבל כי ‪.m2=2n2‬‬ ‫קימות עבור ‪ m‬שתי אפשרויות‪ .‬או שהוא זוגי או אי זוגי‪ .‬אם ‪ m‬היה‬ ‫איזוגי אז גם ‪ m2‬היה אי זוגי‪ .‬זה היה סותר את השויון ‪ ,m2=2n2‬כיון‬ ‫שאגף ימין מתחלק ב‪.2-‬‬ ‫לכן ‪ m‬חיב להיות זוגי‪ .‬לכן חיב להיות ‪ k‬טבעי כך שמתקיים ‪ ,m=2k‬ולכן‬ ‫‪ .m2=4k2‬נציב ונקבל ‪ . 2n2=m2=4k2‬ולכן נצמצם ונקבל ‪.n2=2k2‬‬ ‫שוב עבור ‪ n‬קימות שתי אפשרויות זוגי ואי זוגי‪ ,‬ולכן הוא חיב להיות זוגי‪.‬‬ ‫קבלנו סתירה כי גם ‪ m‬וגם ‪ n‬חיבים להיות זוגיים‪ ,‬ולכן הם אינם זרים‬ ‫בסתירה לכך שהם נבחרו להיות זרים‪.‬‬ ‫מסקנה שורש ‪ 2‬הוא איננו מספר רציונלי‪.‬‬ ‫המספרים הממשיים‬ ‫נשלים את המספרים הרציונליים על ידי הוספת שרש ‪ ,2‬שרש ‪ 1‬ועוד‬ ‫ונקבל את המספרים הממשיים המסומנים באות ‪ .R‬נקבל הכלה של‬ ‫‪ . ‬נקבל גם } ‪  { 2, 3, 2 2,  , e‬‬ ‫‪ .‬המשלים היא‬ ‫קבוצות‬ ‫קבוצה אינסופית ורשמנו רק חלק מאיבריה‪.‬‬ ‫הישר הממשי‬ ‫נציר ישר ונסמן עליו שתי נקודות שתסומנה ‪ 0‬ו ‪ .3‬אז לכל נקודה על‬ ‫הישר מתאים מספר ממשי‪ ,‬ונאמר שהישר הוא הישר הממשי‪.‬‬ ‫קטעים‪ ,‬קרניים‬ ‫נתונים שני מספרים ממשיים ‪ .a<b‬נסמן בסימון ]‪ [a.b‬את קבוצת כל‬ ‫המספרים הממשיים אשר הם גדולים או שוים ל‪ a-‬וקטנים שוים ל‪,b-‬‬ ‫ובסימונים }‪ . [a, b]  {x, a  x  b‬הקבוצה ]‪ [a,b‬קרויה הקטע הסגור בין ‪a‬‬ ‫ו‪.b-‬‬ ‫עבור ‪ a<b‬מוגדר גם הקטע הפתוח‪ ,‬על ידי }‪ . (a, b)  {x, a  x  b‬נשים לב‬ ‫כי }‪. [a, b]  (a, b)  {a, b‬‬ ‫ובאותה מידה מוגדרים קטעים חצי פתוחים וחצי סגורים‪,‬‬ ‫}‪ (a, b]  {x, a  x  b‬וגם }‪ . [a, b)  {x, a  x  b‬נשים לב כי }‪[a, b]  (a, b]  {a‬‬ ‫}‪. [a, b]  [a, b)  {b} (a, b]  (a, b)  {b} [a, b)  (a, b)  {a‬‬ ‫קרנים הן מושג דומה‪ ,‬ומוגדרות כך }‪ . [a, )  {x, a  x‬נקראת קרן סגורה‪,‬‬ ‫}‪ (a, )  {x, a  x‬נקראת קרן פתוחה‪ . (, a]  {x, x  a} ,‬נקראת קרן‬ ‫סגורה‪ ,‬ו }‪ (, a)  {x, x  a‬נקראת קרן פתוחה‪ .‬עוד נשים לב לקשרים‬ ‫שכאלו ]‪ . [a, )  (, b]  [a, b‬יש עוד אבל כתבנו רק חלק‪.‬‬ ‫קבוצה ממשית‬ ‫קבוצה ‪ A‬תקרא קבוצה ממשית אם היא חלקית לקבוצה‬ ‫‪.‬‬ ‫חסימות‬ ‫קבוצה ממשית ‪ A‬תקרא חסומה מלעיל (בארמית מלמעלה) אם קים‬ ‫מספר ממשי ‪ M‬כך שמתקיים ) ‪ . ( x  A)  ( x  M‬אם לא קים כזה ‪M‬‬ ‫אומרים כי ‪ A‬איננה חסומה מלעיל‪ M .‬קרוי חסם מלעיל של ‪.A‬‬ ‫קבוצה ממשית ‪ A‬תקרא חסומה מלרע (בארמית מלמטה) אם קים מספר‬ ‫ממשי ‪ K‬כך שמתקיים )‪ . ( x  A)  ( K  x‬אם לא קים כזה ‪ K‬אומרים כי‬ ‫‪ A‬איננה חסומה מלרע‪ K .‬קרוי חסם מלרע של ‪.A‬‬ ‫קבוצה ממשית ‪ A‬תקרא חסומה אם היא חסומה מלעיל ומלרע‪.‬‬ ‫דוגמאות‬ ‫כל הקטעים בין ‪ a‬ל‪ , b-‬בין אם הם פתוחים או סגורים או חצי פתוחים‬ ‫וחצי סגורים‪ ,‬חסומים מלעיל על ידי ‪ b‬וחסומים מלרע על ידי ‪.a‬‬ ‫הקרניים )‪ [a, ), (a, ‬חסומות מלרע על ידי ‪ a‬ואינן חסומות מלעיל‪.‬‬ ‫הקרניים‬ ‫)‪(, b],(, b‬‬ ‫חסומות מלעיל על ידי ‪ b‬ואינן חסומות מלרע‪.‬‬ ‫הטבעיים היא קבוצה חסומה מלרע על ידי ‪ 0‬אך לא חסומה מלעיל‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫היא קבוצה חסומה מלעיל על ידי ‪ 0‬אך לא חסומה מלרע‪.‬‬ ‫חסמים עליונים ותחתונים‪.‬‬ ‫אם ‪ M‬הוא חסם מלעיל של הקבוצה הממשית ‪ ,A‬אז גם ‪ M+1‬הוא חסם‬ ‫מלעיל‪ .‬השאלה הקשה יותר היא האם קים חסם מלעיל של ‪ A‬הקטן מ‪-‬‬ ‫‪ .M‬אותה שאלה קימת עבור חסם מלרע‪ .‬אם ‪ K‬חסם מלרע של ‪ ,A‬האם‬ ‫קים לו חסם מלרע גדול ממנו‪.‬‬ ‫אקסיומת השלמות‪.‬‬ ‫א‪ .‬נתונה קבוצה ממשית חסומה מלעיל ‪ .A‬אז קבוצת חסמי המלעיל‬ ‫של ‪ A‬מכילה אבר קטן ביותר‪ ,‬כלומר חסם מלעיל שכל מספר‬ ‫שקטן ממנו איננו חסם מלעיל‪ .‬חסם זה נקרא חסם עליון של ‪A‬‬ ‫ובלועזית ‪.supremum‬‬ ‫ב‪ .‬נתונה קבוצה ממשית חסומה מלרע ‪ .A‬אז קבוצת חסמי המלרע‬ ‫של ‪ A‬מכילה אבר גדול ביותר‪ .‬חסם זה נקרא חסם תחתון‬ ‫ובלועזית ‪.Infimum‬‬ ‫אקסיומת אוקלידס‪.‬‬ ‫לכל מספרים ממשיים חיוביים ‪ a,b‬קים מספר טבעי ‪ n‬כך שמתקיים‬ ‫‪.b<na‬‬ ‫הוכחה כי אקסיומת אוקלידס נובעת מאקסיומת השלמות‪.‬‬ ‫נניח בשלילה כי אקסיומת אוקלידס לא מתקיימת ונגיע למסקנה כי‬ ‫אקסיומת השלמות לא מתקיימת‪.‬‬ ‫ואכן נניח בשלילה כי קימים ‪ a,b‬ממשיים חיוביים כך שלכל ‪ n‬טבעי‬ ‫‪ .na≤b‬נגדיר את הקבוצה }‪ .C={na,n⋲N‬אז ‪ C‬קבוצה ממשית ו‪ b‬הוא‬ ‫חסם מלעיל שלה‪ ,‬ולכן לפי אקסיומת השלמות יש לה חסם עליון ‪ .d‬אם‬ ‫נראה כי ‪ d-a‬גם הוא חסם מלעיל של ‪ C‬נקבל סתירה כיון ש ‪ d‬אמור‬ ‫להיות קטן ביותר‪ .‬כיון ש ‪ d‬חסם מלעיל לכל ‪ n‬מתקיים כי ‪(n+1)a⋲C‬‬ ‫ולכן ‪ (n+1)a≤d‬ולכן לכל ‪ n‬מתקיים ‪ ,na≤d-a‬כלומר אכן ‪ d-a‬חסם‬ ‫מלעיל של ‪ C‬הקטן מ ‪ ,d‬סתירה‪.‬‬ ‫סדרות‬ ‫סדרה היא פונקציה ‪ . ‬את ההגדרה נבין אחרי שנדון בנושא‬ ‫הפונקציות‪ ,‬בעתיד‪ .‬בינתיים נסתפק בעובדה שבכל סדרה יש אבר ראשון‪,‬‬ ‫שני שלישי וכן הלאה‪ .‬האבר הראשון יסומן ‪ ,a1‬השני ‪ ,a2‬וכן הלאה‪.‬‬ ‫נסמן את איברי הסדרה במישור‪ ,‬כאשר נסמן את הנקודה ‪ an‬כך ש ‪,x=n‬‬ ‫ו‪.y= an‬‬ ‫חסימות סדרות‪.‬‬ ‫הסדרה }‪ { an‬נקראת חסומה אם קבוצת ה‪– y-‬ים שלה חסומה‪ .‬כנ"ל‬ ‫מוגדרת סדרה חסומה מלעיל ומלרע‪.‬‬ ‫דוגמאות‬ ‫הסדרה ‪ an=n‬חסומה מלרע אך לא מלעיל‪.‬‬ ‫הסדרה ‪ bn=-n‬חסומה מלעיל אך לא מלרע‪.‬‬ ‫הסדרה ‪ cn=(-1)nn‬לא חסומה מלרע ולא מלעיל‪.‬‬ ‫הסדרה ‪ dn=1/n‬חסומה מלרע ומלעיל‪.‬‬ ‫עליה וירידה של סדרות‬ ‫נגיד כי הסדרה }‪ { an‬עולה‪ ,‬אם לכל ‪ n‬מתקיים ‪ . an <an+1‬נגיד כי‬ ‫הסדרה }‪ { an‬עולה במובן הרחב אם לכל ‪ n‬מתקיים ‪ . an ≤an+1‬נגיד כי‬ ‫הסדרה }‪ { an‬עולה החל ממקום מסוים אם קים ‪ ,0<K‬כך שלכל ‪K<n‬‬ ‫מתקיים ‪ . an <an+1‬נגיד כי הסדרה }‪ { an‬עולה במובן הרחב החל‬ ‫ממקום מסוים אם קים ‪ ,0<K‬כך שלכל ‪ K<n‬אם לכל ‪ n‬מתקיים‬ ‫‪. an ≤an+1‬‬ ‫כל ההגדרות הבאות תקפות גם לסדרות יורדות כאשר התנאי הדרוש הוא‬ ‫‪an+1 ≤an‬‬ ‫דוגמאות‬ ‫‪ .3‬הסדרה ‪ an=n‬עולה‪.‬‬ ‫‪ .2‬הסדרה ‪ an=0,1,1,2,2,3,3,‬עולה במובן הרחב‪ .‬אחרי שנלמד‬ ‫אודות פונקצית הערך השלם נוכל לכתוב את הנוסחה‬ ‫‪ .1‬הסדרה‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪an   ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫יורדת ממקום מסוים‪ ,‬ואכן נקבל כי‬ ‫‪a1  1  1, a2  2 1.414, a3  3 1.44229, a4  4  2  a2 , a5  5 1.379‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.‬כלומר ‪.K=3‬‬ ‫גבול של סדרה‬ ‫אחד המושגים החשובים בחשבון אינפיניטיזימלי הוא מושג הגבול של‬ ‫סדרה‪ .‬הסימון המקובל ‪an  L‬‬ ‫‪ lim‬הוא ‪ ,‬ומיד ניתן ונסביר את ההגדרה‬ ‫‪n‬‬ ‫המדויקת‪ ,‬אך נתחיל עם הגדרה אינטואיטיבית ודוגמאות‪.‬‬ ‫הגרף של הסדרה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪an ‬‬ ‫הוא חלק מהגרף של הפונקציה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f ( x) ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫ורואים לפי אופי הגרף כי ככל ש‪ n‬הולך וגדל‪ y ,‬מתקרב ל‪.0-‬‬ ‫הגרף של הסדרה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪an  ‬‬ ‫הוא חלק מהגרף של הפונקציה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f ( x)  ‬‬ ‫‪ ,‬וגם‬ ‫כאן רואים לפי אופי הגרף כי ככל ש‪ n‬הולך וגדל‪ y ,‬מתקרב ל‪.0-‬‬ ‫לגרף של הסדרה‬ ‫‪(1) n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪an ‬‬ ‫קשה יותר למצוא פונקציה ממשית שהוא‬ ‫חלק ממנה‪ .‬כאן הגרף מורכב כך שחצי מהנקודות שלו הן מתוך הגרף‬ ‫הקודם‪ ,‬וחצי אחר מהגרף שלפני הקודם‪ ,‬ולכן גם כאן ככל ש‪ n‬הולך וגדל‪,‬‬ ‫‪ y‬מתקרב ל‪ .0-‬ואגב הגרף של הסדרה הוא חלק מהגרף של הפונקציה‬ ‫‪(1  2n)‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫(‪sin‬‬ ‫‪. f ( x) ‬‬ ‫דוגמא של סדרה חסרת גבול‪ ,‬נביט על ‪ . an  (1)n‬אז עבור אינסוף ‪-n‬ים‬ ‫ערך ה‪ -y‬של הסדרה הוא ‪ ,3‬ועבור אינסוף ערכים אחרים הוא ‪ ,-1‬ולכן‬ ‫אין ערך יחיד של ‪ y‬שאליו הסדרה מתקרבת בגובה‪.‬‬ ‫הערך המוחלט של ‪ ,x‬המסומן |‪ ,|x‬מוגדר כמרחק שבין ‪ x‬וראשית‬ ‫הצירים‪ .‬יש לערך מוחלט התכונות הבאות‪:‬‬ ‫‪.x=0‬‬ ‫א‪|x|=0 ,0≤|x| .‬‬ ‫ב‪.|xy|=|x||y| .‬‬ ‫ג‪( .‬אי שויון המשולש) |‪.|x+y|≤|x|+|y‬‬ ‫‪.-a≤x≤a‬‬ ‫ד‪|x|≤a .‬‬ ‫נביט באי השויון ‪ .|x-L|<ε :‬הוא שקול לאי השויון ‪ - ε <x-L< ε‬אשר‬ ‫שקול לאי השויון ‪.L- ε <x< L+ε‬‬ ‫דוגמאות לסדרות מתכנסות ומבוא להגדרת הגבול‪.‬‬ ‫הסדרות‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪an  , bn  2 , cn  n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫שלשתן מתכנסות לגובה ‪ .3‬נגדיר‬ ‫‪ .L=1,ε=0.01‬אז אי השויון ‪ .|x-L|<ε‬שקול לאי השויון ‪0.99 <x<1.01‬‬ ‫‪ .‬עבור הסדרה הראשונה אי השויון איננו מתקיים עבור ‪ 300‬האיברים‬ ‫הראשונים‪ ,‬אך מתקיים עבור כל האיברים מ‪ 303‬ואילך‪ .‬עבור הסדרה‬ ‫השניה אי השויון איננו מתקיים עבור ‪ 30‬האיברים הראשונים אך‬ ‫מתקיים עבור כל האיברים מ‪ 33‬ואילך‪ ,‬ועבור השלילשית לא מתקיים‬ ‫עבור ‪ 6‬הראשונים וכן עבור השביעי ואילך‪.‬‬ ‫כעת נכתוב את ההגדרה הבאה‪:‬‬ ‫]) ‪[lim an  L]  [  0, K  0,(n  K )  (| an  L | ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫כלומר‪ ,‬עבור כל אפסילון חיובי יש ‪ K‬מספר סופי של איברים שאולי לא‬ ‫מקיימים את אי השויון ‪ ,‬אבל כל האיברים החל מהאיבר ה‪ ,3+K-‬כן‬ ‫מקיימים את אי השויון‪ .‬המספר ‪ K‬תלוי בסדרה ‪ a‬או ‪ b‬כפי שראינו‬ ‫קודם‪ ,‬אבל גם באפסילון‪ .‬ככל שאפסילון קטן‪ ,‬המספר ‪ K‬גדל‪ ,‬כי יש‬ ‫יותר איברים שלא מקימים את אי השויון‪.‬‬ ‫טענה‬ ‫נתון קבוע ממשי ‪ c‬ונתונה הסדרה הקבועה ‪ .an=c‬אז מתקיים ‪an  c‬‬ ‫‪.  lim‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫הוכחה‬ ‫כיון שלכל ‪ ,an–c=0 ,n‬הרי שלכל ‪ ,ε>0‬אי השויון ‪ | an  c | 0  ‬מתקיים‬ ‫לכל ‪ ,n‬כלומר ללא פסולים‪.‬‬ ‫משפטי אריתמטיקה של גבולות‬ ‫משפט (חבור)‬ ‫נתונות שתי סדרות‬ ‫‪ lim an  L,  lim bn  M‬‬ ‫‪ , an , bn‬ונתון כי‬ ‫‪an  bn )  L  M‬‬ ‫(‪.  lim‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫הוכחה‬ ‫צריך להראות כי ]) ‪ .   0, K  0,(n  K )  (| (an  bn )  ( L  M ) | ‬יהי‬ ‫נתון ‪ .   0‬אז לפי הנתון (עבור ‪ )  / 2‬נובע כי קים ‪ K1‬כך ש‬ ‫)‪ . (n  K1 )  (| an  L |  / 2‬באותה צורה נובע כי קים ‪ K2‬כך ש‬ ‫)‪ . (n  K2 )  (| bn  M |  / 2‬נגדיר }‪ . K=max{K1,K2‬אז מתקיים כי‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ ,‬אז נובע כי‬ ‫‪(n  K )  (| an  L |  / 2)  (| an  L |  / 2) ‬‬ ‫) ‪(| (an  bn )  ( L  M ) || (an  L)  (bn  M ) || (an  L) |  | (bn  M ) |  / 2   / 2  ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫כדרוש‪.‬‬ ‫משפט (חסור)‬ ‫נתונות שתי סדרות ‪ , an , bn‬ונתון כי‬ ‫‪an  bn )  L  M‬‬ ‫(‪.  lim‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫הוכחה (תרגיל הביתה להגשה)‬ ‫‪ lim an  L,  lim bn  M‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ ,‬אז נובע כי‬ ‫חסימות סדרה מתכנסת‬ ‫נתונה סדרה ‪ , an‬ונתון כי‬ ‫‪ lim an  L‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪ ,‬אז נובע כי ‪. an‬היא חסומה‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫מתקיים לפי ההגדרה ) ‪ .   0, K  0,(n  K )  (| an  L | ‬נבחר ‪.   1‬‬ ‫אז )‪ . K  0,(n  K )  (L 1  an  L  1‬נגדיר }‪. M  Max{a1, a2 , , aK , L  1‬‬ ‫אז לכל ‪ n‬מתקיים ‪ . an  M‬בצורה דומה נגדיר }‪. J  Min{a1, a2 , , aK , L 1‬‬ ‫אז לכל ‪ n‬מתקיים ‪ . J  an‬לכן ‪ M‬הוא חסם מלעיל ו ‪ J‬הוא חסם מלרע‬ ‫של הסדרה‪ ,‬והיא אכן חסומה‪.‬‬ ‫משפט (מכפלה)‬ ‫‪ lim an  L,  lim bn  M‬‬ ‫נתונות שתי סדרות ‪ , an , bn‬ונתון כי‬ ‫‪anbn )  LM‬‬ ‫(‪.  lim‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫הוכחה‬ ‫צריך להראות כי ]) ‪ .   0, K  0,(n  K )  (| (anbn )  ( LM ) | ‬יהי נתון‬ ‫‪   0‬כלשהו‪ .‬לפי טענה קודמת הסדרה ‪ an‬חסומה‪ ,‬ולכן יש מספר חיובי‬ ‫‪ J‬כך שמתקיים לכל ‪  J  an  J n‬או מה ששקול | ‪ . an | J‬לפי הגדרת‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫הגבול )‬ ‫‪2M‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‬ ‫‪2J‬‬ ‫‪K1  0,(n  K1 )  (| an  L |‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ ,‬אז נובע כי‬ ‫‪ ,‬וגם לפי הגדרת הגבול‬ ‫‪ . K2  0,(n  K2 )  (| bn  M |‬נגדיר }‪ .K=max{K1,K2‬אז מתקיים כי‬ ‫עבור ‪,n>K‬‬ ‫‪| (anbn )  ( LM ) || anbn  an M  an M  LM || an (bn  M )  (an  L) M |‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪M ‬‬ ‫‪2J‬‬ ‫‪2M‬‬ ‫‪| an || bn  M |  | (an  L) M | J | bn  M |  M | an  L |‬‬ ‫כדרוש‪.‬‬ ‫משפט (הפכי)‬ ‫נתונה סדרה ‪ , an‬ונתון כי ‪an  L‬‬ ‫‪  lim‬וכי ‪ L‬וכל איברי הסדרה (החל‬ ‫‪n ‬‬ ‫ממקום מסוים) שונים מ‪ , .0-‬אז נובע כי החל ממקום מסוים מוגדרת‬ ‫הסדרה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪an‬‬ ‫ומתקיים כי‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an L‬‬ ‫‪.  lim‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫הוכחה‬ ‫צריך להראות כי‬ ‫‪1 1‬‬ ‫) ‪ | ‬‬ ‫‪an L‬‬ ‫|( ‪ .   0, K  0,(n  K ) ‬יהי נתון ‪.   0‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪L‬‬ ‫בה"כ נניח כי ‪ .0<L‬עבור ‪ an  L  )    0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪3L‬‬ ‫ולכן עבור אותם ‪ n-‬ים מתקיים ‪  an ‬ועבור אותם ‪-n‬ים‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫כלומר הסדרה החדשה חיובית וחסומה‪ .‬עבור ‪ 0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪3L an L‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪K1  0,(n  K1 )  ( L ‬‬ ‫‪L2‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ K2  0,(n  K2 )  (| an  L |‬נגדיר }‪ .K=max{K1,K2‬אז עבור ‪K<n‬‬ ‫‪| an  L | 2 | an  L | 2 L2‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫|‪|  |‬‬ ‫‪( L  an ) |‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪ 2  ‬‬ ‫‪an L Lan‬‬ ‫‪Lan‬‬ ‫‪LL‬‬ ‫‪2L‬‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫משפט (מנה)‬ ‫נתונות שתי סדרות ‪ , an , bn‬ונתון כי‬ ‫כי‬ ‫‪an‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪)‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪ lim an  L,  lim bn  M , M  0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ ,‬אז נובע‬ ‫(‪.  lim‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫הוכחה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫לפי משפט ההפכי הסדרה‬ ‫הסדרות‬ ‫‪1‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫מתכנסת לגבול‬ ‫‪1‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪ ,‬ולפי משפט המכפלה בין‬ ‫‪ , an ,‬נובע המשפט‪.‬‬ ‫דוגמא לשמוש משפט האריתמטיקה של גבולות‬ ‫חשב את הגבול של הסדרה‬ ‫‪n 2  3n  1‬‬ ‫‪4n 2  5n  6‬‬ ‫תשובה‬ ‫‪n2  3n  1‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫‪1 11‬‬ ‫‪1  2‬‬ ‫‪1 3 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n  3n  1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n n ‬‬ ‫‪n nn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ , 2‬וקבלנו כי‬ ‫‪4n  5n  6 4n 2  5n  6 4  5  6 4  5 1  6 1 1‬‬ ‫‪n n2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪nn‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מתקיים כי‬ ‫הסדרה הנתונה היא חבור חסור כפל וחלוק של הסדרות הקבועות‬ ‫‪ ,an=1,3,5,6‬ושל הסדרה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪an ‬‬ ‫‪ .‬הגבולות של הסדרות הקבועות הן‬ ‫הקבועים המתאימים‪ ,‬והגבול של הסדרה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫הוא ‪ ,0‬ולכן הגבול של‬ ‫הסדרה המבוקשת הוא אותן פעולות אלגבריות בין הגבולות של כל‬ ‫מרכיב ונקבל‬ ‫‪1 11‬‬ ‫‪1 3 ‬‬ ‫‪n 2  3n  1‬‬ ‫‪n n n  1 3 0  0  0  1‬‬ ‫‪lim 2‬‬ ‫‪ lim‬‬ ‫‪n  4n  5n  6‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1 4  50  600 4‬‬ ‫‪45 6‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪nn‬‬ ‫משפט וירשטרס אודות סדרה מונוטונית‬ ‫א‪ .‬נתונה סדרה אשר עולה במובן הרחב וחסומה‪ .‬אז היא מתכנסת‬ ‫לחסם העליון שלה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נתונה סדרה אשר יורדת במובן הרחב וחסומה‪ .‬אז היא מתכנסת‬ ‫לחסם התחתון שלה‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נוכיח רק את א והוכחת ב היא תרגיל להגשה הביתה‪.‬‬ ‫נניח כי ‪ an‬היא סדרה עולה במובן הרחב וכי ‪ M‬הוא החסם העליון שלה‬ ‫ויהי נתון ‪ .   0‬אז מתקיים ‪ , M    M‬ולכן ‪ M  ‬איננו חסם מלעיל‬ ‫של הסדרה ולכן יש איבר של הסדרה‪ ,‬כלומר ‪ K‬טבעי כך שמתקיים‬ ‫‪ . M    aK  M‬אז לפי העליה של הסדרה‪ ,‬לכל ‪ n>K‬מתקיים כי‬ ‫‪ M    aK  an  M  M  ‬כדרוש‪.‬‬ ‫אי שויון הממוצעים‬ ‫נתונים ‪ n‬מספרים אי שליליים ‪ .a1,a2,…,an‬אז מתקיים אי השויון‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪a  a‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k 1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪.‬‬ ‫הבטוי הגדול קרוי הממוצע החשבוני והבטוי הקטן קרוי הממוצע ההנדסי‬ ‫של האיברים הנתונים‪.‬‬ ‫הסבר והוכחה עבור המקרה ‪.n=2‬‬ ‫נסמן ‪ .a1=a,a2=b‬אז הטענה היא כי‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. ab ‬‬ ‫הוכחה‬ ‫‪ab‬‬ ‫) ‪)  (2 ab  a  b)  (4ab  a 2  2ab  b2 )  (0  a 2  2ab  b 2 )  (0  (a  b)2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫טענה‬ ‫‪( ab ‬‬ ‫אם אי שויון הממוצעים מתקיים לכל קבוצה של ‪ n‬איברים‪ ,‬אז הוא‬ ‫מתקיים לכל קבוצה של ‪ 2n‬איברים‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נניח כי ‪ a1, a2 , an , an1, , a2n‬היא קבוצה של ‪ 2n‬איברים אי שליליים‪ .‬אז‬ ‫נשים לב כי‬ ‫‪‬‬ ‫‪a 2n‬‬ ‫‪an  n an1an 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ a 2n‬‬ ‫‪a1a2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ an  an1  an 2 ‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪a 2n ‬‬ ‫‪an n an1an 2‬‬ ‫‪a1  a2 ‬‬ ‫‪ a 2n‬‬ ‫‪a1a2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪a2 n ‬‬ ‫‪an1  an 2 ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an an1‬‬ ‫‪ an‬‬ ‫‪a1a2‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪a1  a2 ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫מסקנה‪ :‬אי שויון הממוצעים מתקיים לכל קבוצה בת ‪ 2n‬איברים‪.‬‬ ‫טענה‬ ‫נניח כי נתונים מספרים טבעיים ‪ m,n‬כך ש ‪ .m<n‬אם אי שויון‬ ‫הממוצעים מתקיים לכל קבוצה של ‪ n‬מספרים אי שליליים‪ ,‬אז הוא‬ ‫מתקיים לכל קבוצה של ‪ m‬מספרים אי שליליים‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫‪a1  a2   am‬‬ ‫נתונה קבוצה של מספרים אי שליליים ‪ a1, a2 , am‬נסמן‬ ‫‪m‬‬ ‫נביט בקבוצה בת ‪ n‬האיברים האי שליליים ‪ a1, a2 , am , b, b, , b‬ונפעיל‬ ‫‪b‬‬ ‫עליה את אי שויון הממוצעים‪ ,‬ונקבל‬ ‫‪a1  a2 ‬‬ ‫‪ am  b   b‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪mb  (n  m)b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ . n a1a2 amb b ‬נפעל על האגפים ונקבל‬ ‫‪ n a1a2 am n bnm‬ונמשיך‬ ‫‪m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ b  n bm‬‬ ‫ונמשיך‬ ‫‪a1  a2   am‬‬ ‫‪m‬‬ ‫כדרוש‬ ‫מסקנה‬ ‫‪am  b ‬‬ ‫‪am  bm  m a1a2‬‬ ‫‪a1a2‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪am  bb‬‬ ‫‪a1a2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫אי שויון הממוצעים מתקיים לכל ‪ n‬איברים אי שליליים‪.‬‬ ‫טענה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫הסדרה ‪ an  (1  )n‬עולה (במובן הרחב)‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נביט על ‪ n+1‬האיברים אשר ‪ n‬מהם שוים ל ‪ ,1+1/n‬והאחרון שוה ל‪.3-‬‬ ‫נפעיל עליהם את אי שויון המשולש‪ .‬אז סכומם הוא ‪ ,n+2‬ומכפלתם היא‬ ‫‪ .(1+1/n)n‬לכן נקבל כי‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 n1‬‬ ‫‪ (1  )n  (1 ‬‬ ‫)‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ , n1 (1  )n ‬כדרוש‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫נגדיר את הסדרה‬ ‫‪1‬‬ ‫! ‪k 1 k‬‬ ‫‪. bn  1  ‬‬ ‫כמה מאיברי הסדרה הם‬ ‫‪8‬‬ ‫‪b1  2, b2  2.5, b3  ,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫טענה‬ ‫לכל ‪ n‬מתקיים ‪. an  bn‬‬ ‫הוכחה‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪ n 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪n(n  1) (n  k  1) 1 1‬‬ ‫‪an  (1  )n    1k ( )nk ,  1k ( )nk ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪nk‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪k !(n  k )!n‬‬ ‫‪nnn n‬‬ ‫!‪k! k‬‬ ‫‪k 0  k ‬‬ ‫‪k  n‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫נגדיר את הסדרה‬ ‫‪11‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k 0 2‬‬ ‫‪. cn  1  ‬‬ ‫‪c1  2, c2  2.5, c3 ‬‬ ‫טענה‬ ‫לכל ‪ n‬מתקיים ‪. bn  cn‬‬ ‫הוכחה‬ ‫כמה מאיברי הסדרה הם‬ ‫עבור ‪ 2≤n‬מתקיים‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ k 1‬‬ ‫‪k ! 1 2  3  k 1 2  2  2 2‬‬ ‫טענה (אי שויון ברנולי)‪.‬‬ ‫נתונים מספרים ‪ n‬טבעי ו‪ h‬ממשי המקיים ‪ .-1≤h‬אז מתקיים אי השויון‬ ‫‪.1  nh  (1  h)n‬‬ ‫הוכחה‬ ‫אינדוקציה על ‪ . n‬עבור ‪ n=1‬מקבלים שויון‪ .‬נניח כי אי השויון נכון עבור‬ ‫‪ n‬ונוכיח את נכונותו עבור ‪ .n+1‬נכפול את אי השויון עבור ‪ n‬בבטוי האי‬ ‫שלילי ‪ 1+h‬ונקבל‬ ‫‪(1  nh)(1  h)  (1  h)n (1  h)  1  nh  h  nh2  (1  h) n1 ‬‬ ‫‪1  (n  1)h  1  nh  h  nh2  (1  h)n1‬‬ ‫טענה‬ ‫נתון מספר ממשי ‪ q‬המקיים ‪ .-1<q<1‬אז מתקיים ‪q n  0‬‬ ‫‪. lim‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נפריד לשלשה מקרים לפי היות ‪ q‬אפס או חיובי או שלילי‪ .‬עבור המקרה‬ ‫‪ ,q=0‬נובע כי ‪ q n‬היא הסדרה הקבועה ‪ 0‬שגבולה הוא ‪ .0‬נניח כי ‪.0<q<1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫אז ‪, h  1  1  0‬‬ ‫‪ . q  1  1‬נשתמש באי שויון ברנולי‬ ‫‪q‬‬ ‫‪1  1 1  h‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫ונקבל כי‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1 h‬‬ ‫‪(1  h) 1  nh‬‬ ‫( ‪ , 0  q n ‬ונקבל‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫( ‪  )  (  1  nh)  (  1  nh) ‬‬ ‫)‪ n‬‬ ‫‪1  nh‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪h‬‬ ‫ולכן עבור‬ ‫‪1‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪K‬‬ ‫נקבל‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪)‬‬ ‫‪  )  (0  q n ‬‬ ‫‪  )  (  q n   ).‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪1  nh‬‬ ‫‪1  nh‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(n  ‬‬ ‫כדרוש‪.‬‬ ‫נותר המקרה ‪ .-1<q<0‬אז מתקיים ‪ ,q=-p‬ואז ‪ p‬מקיים ‪ ,0<p<1‬ולכן‬ ‫עבור אותם ‪-n‬ים שבהם מתקיים ‪ ,   pn   .‬גם מתקיים‬ ‫‪ ,   qn   pn   .‬כדרוש‪.‬‬ ‫טענה‬ ‫לכל ‪ n‬מתקיים ‪. cn  3‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נניח כי ‪ , 1  q  1‬ונחשב את‬ ‫‪1  qn‬‬ ‫‪ q , sn  qsn  1  q ,(1  q )sn  1  q , sn ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1 q‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ( ) n 1.lim sn ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪ q .qsn  q  q ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪sn  1  q ‬‬ ‫‪q 1 0‬‬ ‫‪1  q n 1  lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪lim sn  lim‬‬ ‫‪ n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.sn  1  ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n  1  q‬‬ ‫‪1 q‬‬ ‫‪1 q 1 q‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪.‬‬ ‫מסקנה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫הסדרה הסדרה ‪ an  (1  )n‬עולה (במובן הרחב) וחסומה מלעיל על ידי ‪,1‬‬ ‫ולכן מתכנסת לגבול ‪ e‬אשר מקיים ‪ .e≤3‬הגבול קרוי ‪ e‬על שם המוצא של‬ ‫הסדרה והגבול ‪ e=2.7818.. .Leonard Euler‬והוא מספר אי רציונלי‪.‬‬ ‫אינסוף כגבול על ציר ‪.y‬‬ ‫נגיד כי הסדרה ‪ an‬שואפת לאינסוף ונסמן ‪an  ‬‬ ‫‪ , lim‬אם מתקיים התנאי‬ ‫‪n ‬‬ ‫הבא‪(M  0), (K  0),[(n  K )  (M  an )]. :‬‬ ‫נגיד כי הסדרה ‪ an‬שואפת למינוס אינסוף ונסמן ‪an  ‬‬ ‫‪ , lim‬אם מתקיים‬ ‫‪n ‬‬ ‫התנאי הבא‪(M  0), (K  0),[(n  K )  (an  M )]. :‬‬ ‫הגדרה‬ ‫נתונה סדרה ‪ an .‬אשר מקיימת שקים ‪ 0<K‬כך ש ‪ (n  K )  (0  an ).‬וגם כי‬ ‫‪ . lim an  0.‬נגיד כי הסדרה שואפת ל ‪ 0+‬ונסמן ‪an  0  .‬‬ ‫‪. lim‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫טענה‬ ‫הטענות הבאות שקולות‬ ‫א‪ .‬הסדרה ‪ an‬שואפת לאינסוף‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪. lim‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נוכיח כי בהנתן הנתונים של א נובע ב‪ ,‬ובהנתן הנתונים של ב נובע א‪ .‬נתון‬ ‫כי ‪ . (M  0), ( K  0),[(n  K )  (M  an )].‬נבחר ‪ .M=1‬אז קים ‪ K1‬כך ש‬ ‫‪ . (n  K1 )  (1  an ).‬עבור אותם איברים מתקיים‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪ , 0 ‬ובפרט‬ ‫האיברים הללו חיוביים‪ .‬יהי נתון ‪ . ε>0‬נגדיר ‪ . M=1/ ε‬ברור כי ‪M‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫חיובי וקים ‪ K2‬כך ש ‪ . (n  K2 )  (  an ).‬נגדיר }‪ .K=max{K1,K2‬אז‬ ‫עבור ‪ n>K‬מתקיים‬ ‫נניח כי הסדרה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪ 0 ‬כדרוש‪.‬‬ ‫איבריה חיוביים החל ממקום מסוים ושואפת לאפס‪,‬‬ ‫ונוכיח כי הסדרה ‪ an‬שואפת לאינסוף‪ .‬יהי נתון ‪ .0<M‬נגדיר ‪ε =1/M‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪an‬‬ ‫אז יש ‪ K2‬כך ש ‪ . (n  K2 )  (   ).‬אז יש ‪ K1‬כך ש ‪. (n  K1 )  (0  ).‬‬ ‫נגדיר }‪ .K=max{K1,K2‬אז עבור ‪ n>K‬מתקיים‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪ 0 ‬ולכן‬ ‫עבור אותם ‪– n‬ים מתקיים ‪ M  an‬כדרוש‪.‬‬ ‫הגדרה‬ ‫נתונה סדרה ‪ an .‬אשר מקיימת שקים ‪ 0<K‬כך ש ‪ (n  K )  (an  0).‬וגם כי‬ ‫‪ . lim an  0.‬נגיד כי הסדרה שואפת ל ‪ 0-‬ונסמן ‪lim an  0  .‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫טענה‬ ‫הטענות הבאות שקולות‬ ‫א‪ .‬הסדרה סדרה ‪ an‬שואפת למינוס אינסוף‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪. lim‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תרגיל הביתה‬ ‫טענה‬ ‫הטענות הבאות שקולות‬ ‫א‪ .‬הסדרה סדרה ‪ an‬שואפת לאינסוף‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הסדרה סדרה ‪ an‬שואפת למינוס אינסוף‪.‬‬ ‫הוכחה תרגיל הביתה‬ ‫טענה‬ ‫נתונות שתי סדרות‪ an ,‬אשר שואפת לאינסוף ו ‪ bn‬אשר חסומה מלעיל‪.‬‬ ‫אז הסדרה ‪ an  bn‬שואפת לאינסוף‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫צריך להוכיח כי ‪ , (M  0), ( K  0),[(n  K )  (M  an  bn )].‬ונתון כי‬ ‫‪ (M  0), ( K  0),[(n  K )  (M  an )].‬וכי קים מספר ‪ J‬כך שלכל ‪n‬‬ ‫מתקיים ‪ . bn  J .‬יהי נתון ‪ .M>0‬עבור ‪ M+J‬קים ‪ 0<K‬כך ש‬ ‫‪ . (n  K )  (M  J  an ).‬עבור ‪ K<n‬מתקיים ‪M  M  J  J  an  bn .‬‬ ‫טענה (מסקנה)‬ ‫נתונות שתי סדרות‪ an ,‬אשר שואפת לאינסוף ו ‪ bn‬אשר מתכנסת לגבול‬ ‫סופי‪ .‬אז הסדרה ‪ an  bn‬שואפת לאינסוף‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫כיון שכל סדרה המתכנסת לגבול סופי היא חסומה‪ ,‬הטענה נובעת‬ ‫מהטענה הקודמת‪.‬‬ ‫טענה‬ ‫נתונה סדרה ‪ an‬אשר שואפת לאינסוף אז ‪ an‬חסומה מלרע‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫עבור עבור ‪ M=1‬קים ‪ 0<K‬כך ש ‪ . (n  K )  (1  an ).‬נגדיר‬ ‫‪ . J  min{a1, a2 , , aK ,1}.‬אז ‪ J‬הוא חסם מלרע כדרוש‪.‬‬ ‫טענה‬ ‫נתונה סדרה ‪ an‬אשר שואפת למינוס אינסוף אז ‪ an‬חסומה מלעיל‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫תרגיל הביתה‬ ‫טענה‬ ‫נתונות שתי סדרות‪an  ,  lim bn   ,‬‬ ‫‪ an , bn ,  lim‬אז‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ lim(an  bn )  ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫הוכחה‬ ‫‪ ,  lim‬אז היא חסומה מלעיל והטענה‬ ‫) ‪ an  bn  an  (bn‬וכיון ש ‪ bn  ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫נובעת מטענה קודמת‪.‬‬ ‫טענה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪an‬‬ ‫נתונה סדרה אשר ‪ an‬שואפת לאינסוף‪ .‬אז ‪ )a  e‬‬ ‫‪.  lim(1‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫הוכחה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫יהי נתון ‪ .ε>0‬אז יש ‪ M‬כך ש ‪ . (n  M )  (e    (1  )n  e).‬לפי הנתון‬ ‫קים ‪ K‬כך ש ‪ . (n  K )  (M  an ).‬עבור ‪ K<n‬מתקיים‬ ‫כדרוש‪.‬‬ ‫‪1 an‬‬ ‫‪)  e.‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪e    (1 ‬‬ ‫טענה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪an‬‬ ‫נתונה סדרה אשר ‪ an‬שואפת למינוס אינסוף‪ .‬אז ‪ )a  e‬‬ ‫‪.  lim(1‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נסמן ‪ , bn  an‬אז מתקיים ‪bn  ‬‬ ‫‪  lim‬ואז נקבל‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪1 an‬‬ ‫‪1 bn bn  1 bn‬‬ ‫‪1 bn‬‬ ‫‪1 bn 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)  (1 ‬‬ ‫(‪) ‬‬ ‫‪)  ( n )bn  (1 ‬‬ ‫‪)  (1 ‬‬ ‫‪) (1 ‬‬ ‫)‬ ‫‪an‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪bn  1‬‬ ‫‪bn  1‬‬ ‫‪bn  1‬‬ ‫‪bn  1‬‬ ‫כיון ש ‪ bn‬שואפת לאינסוף ו ‪ 3‬היא סדרה קבועה וחסומה‪ ,‬נובע כי‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ bn  1 .‬שואפת לאינסוף‪ .‬לכן לפי טענה קודמת ‪ 0‬‬ ‫‪ , lim‬ולכן‬ ‫‪n  b  1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 b 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ lim(1‬ולכן‬ ‫‪‬‬ ‫‪ lim1 ‬כמו כן לפי טענה קודמת ‪)  e‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪bn  1‬‬ ‫‪bn  1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 bn 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ )an  lim(1 ‬‬ ‫‪) (1 ‬‬ ‫‪)  e 1  e.‬‬ ‫‪ lim(1‬כדרוש‪.‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪bn  1‬‬ ‫‪bn  1‬‬ ‫‪(1 ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫טענה‬ ‫נתונה סדרה אשר ‪ an‬שואפת ל‪ 0-‬ואשר כל איבריה שונים מ‪ .0-‬אז‬ ‫‪1‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪ an )  e‬‬ ‫‪.  lim(1‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫הוכחה‬ ‫ראשית נשים לב כי לפי הנתון כל האיברים ‪ an‬שונים מ‪ ,0-‬ולכן כל‬ ‫האיברים‬ ‫‪1‬‬ ‫‪an‬‬ ‫מוגדרים‪ .‬נפריד ל‪ 1-‬מקרים‪:‬‬ ‫מקרה א‪ -‬נניח שיש ‪ 0<K‬כך ש ‪ (n  K )  (0  an ).‬לכן בעצם במקרה א‪,‬‬ ‫‪an  0 ‬‬ ‫‪ . lim‬אז אם נמחק את ‪ K‬האיברים הראשונים ונגדיר‬ ‫‪n ‬‬ ‫לפי טענה קודמת כי ‪bn  ‬‬ ‫‪ lim‬ונקבל לפי טענה קודמת‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪ an )  lim(1  )b  e‬‬ ‫‪ lim(1‬כדרוש‪.‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪bn ‬‬ ‫נקבל‬ ‫מקרה ב‪ -‬נניח שיש ‪ 0<K‬כך ש ‪ (n  K )  (an  0).‬לכן בעצם במקרה א‪,‬‬ ‫‪an  0 ‬‬ ‫‪ . lim‬אז אם נמחק את ‪ K‬האיברים הראשונים ונגדיר‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪bn ‬‬ ‫נקבל‬ ‫לפי טענה קודמת כי ‪bn  ‬‬ ‫‪ lim‬ונקבל לפי טענה קודמת‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪ an )  lim(1  )b  e‬‬ ‫‪ lim(1‬כדרוש‪.‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫מקרה ג‪ -‬נניח כי יש אינסוף איברים עבורם הסדרה חיובית ויש אינסוף‬ ‫איברים עבורם הסדרה שלילית‪ .‬נגדיר ‪ . bn  1‬יהי נתון ‪ . ε>0‬נגדיר‬ ‫‪an‬‬ ‫| ‪cn | bn‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪cn‬‬ ‫אז ‪cn  ‬‬ ‫‪ lim‬ולכן ‪ ( K1  0),[(n  K1 )  (| (1  )c  e |  )].‬נגדיר‬ ‫‪n ‬‬ ‫| ‪dn   | bn‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪dn‬‬ ‫אז ‪dn  ‬‬ ‫‪ lim‬ולכן ‪ ( K2  0),[(n  K2 )  (| (1  )d  e |  )].‬נגדיר‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫}‪ . K=max{K1,K2‬אז עבור ‪ n>K‬מתקיים‪ :‬אם ‪ an>0‬אז ‪ bn =cn‬ולכן‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪cn‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪| (1  )bn  e || (1  )dn  e |  ).‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪dn‬‬ ‫‪ . | (1  )b  e || (1  )c  e |  ).‬אם ‪ an<0‬אז ‪ bn =dn‬ולכן‬ ‫‪ ,‬כדרוש‪.‬‬ ‫טענה‬ ‫נתונות סדרות ‪ an‬השואפת ל‪ 3-‬ואשר כל איבריה שונים מ‪ ,3-‬ו ‪ bn‬כך ש‬ ‫‪ .  lim bn  ‬נניח כי ‪ .  lim(an  1) bn  L‬אז ‪anb  e L‬‬ ‫‪.  lim‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫הוכחה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪an 1 ( an 1) bn‬‬ ‫‪( an 1) bn‬‬ ‫‪an 1‬‬ ‫] ))‪ [(1  (an  1‬‬ ‫‪ eL‬‬ ‫)‪ . an  (1  an  1)  (1  an  1‬אז כל איברי‬ ‫הסדרה ‪ an  1‬שונים מ‪ 0-‬ושואפים ל‪ ,0-‬ולכן לפי טענה קודמת‬ ‫‪e‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪an 1‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫))‪ (an  1‬‬ ‫‪ .  lim(1‬לפי ההנחה ‪  lim(an  1) bn  L‬ולכן לפי משפט‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫האריתמטיקה של גבולות עבור חזקות (אותו לא נסחנו ולא הוכחנו)‬ ‫נובעת המסקנה‪.‬‬ ‫מקרה שבו אריתמטיקה של גבולות לא מתקיימת‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫נביט על הסדרות הבאות‪ an  cn  1  , bn  n, dn  2n :‬אז מתקיים‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ anb  (1  )n , cn d  (1  )2n  ((1  )n )2 ,‬ולכן‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ lim anbn  e,  lim cn dn  e2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫משפט האריתמטיקה של גבולות אומר כי אם ‪an  L,  lim bn  M‬‬ ‫‪  lim‬אז‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫נובע מידיית הגבול של סדרת הסכום‪/‬הפרש‪/‬מכפלה‪/‬מנת‪/‬חזקת הסדרות‬ ‫והוא הסכום‪/‬הפרש‪/‬מכפלת‪/‬מנת‪/‬חזקת הגבולות‪ .‬ואילו בדוגמא‬ ‫שלמעלה גבול הבסיס הוא ‪ ,3‬גבול המעריך הוא אינסוף‪ ,‬אבל גבול החזקה‬ ‫תלוי גם בסדרות ולא רק ב'מספרים' ‪ 3‬ואינסוף‪.‬‬ ‫דוגמא נוספת‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫נניח כי ‪ , an  bn  cn  , dn  .‬אז‬ ‫‪an  0,  lim bn  0,  lim cn  0,  lim dn  0‬‬ ‫‪ ,  lim‬ואז‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪ 1, n  2‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪cn‬‬ ‫‪ ,‬כלומר גם‬ ‫כאשר יש מנה‪ ,‬וכאשר המונה והמכנה שואפים ל‪ ,0-‬אז אין מסקנה על‬ ‫גבול המנה‪.‬‬ ‫נציג את המקרים כ‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫וכ ‪ , 1‬והללו הם מקרים בעיתיים‪.‬‬ ‫אריתמטיקה של אינסוף‬ ‫נתונות שתי סדרות ‪an  ,  lim bn ,‬‬ ‫‪ , an , bn lim‬ורוצים לחבר‪ /‬חסר‪ /‬כפול‪/‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫חלק‪ /‬העלות בחזקה את שתיהן‪ .‬האם אפשר תמיד לדעת את גבול‬ ‫הסדרה החדשה (שתלוי רק ב ‪an , lim bn‬‬ ‫‪ .?) lim‬ראינו עבור‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪an  ,  lim bn  1, bn a‬‬ ‫‪ ,  lim‬אי אפשר לומר את הגבול מראש‪ ,‬כלומר‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫הוא מקרה שאין בו אריתמטיקה של גבולות‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫טענה‬ ‫נתונות שתי סדרות ‪,‬‬ ‫‪anbn  ‬‬ ‫‪.  lim‬‬ ‫‪n‬‬ ‫הוכחה‬ ‫‪an , bn‬‬ ‫‪ ,‬ונתון כי ‪an  ,  lim bn  L,0  L‬‬ ‫‪  lim‬אז‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2M‬‬ ‫יהי נתון ‪ .0<M‬אז יש ‪ ,0<K1 ,K1‬כך ש ) ‪ an‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪3L‬‬ ‫‪L‬‬ ‫כן עבור ‪  ‬יש ‪ ,0<K2 ,K2‬כך ש ) ‪. (n  K2 )  (  bn ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪L 2M‬‬ ‫}‪ .K=max{K1,K2‬אז ) ‪ anbn‬‬ ‫‪ , (n  K )  (M ‬כדרוש‪.‬‬ ‫‪2 L‬‬ ‫( ‪ . (n  K1 ) ‬כמו‬ ‫נגדיר‬ ‫טענה‬ ‫נתונות שתי סדרות ‪,‬‬ ‫‪anbn  ‬‬ ‫‪.  lim‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪an , bn‬‬ ‫‪ ,‬ונתון כי ‪an  ,  lim bn  L, L  0‬‬ ‫‪  lim‬אז‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫הוכחה תרגיל הגשה הביתה‬ ‫הדוגמא הבאה מראה כי ∞‪ 0‬הוא מקרה בעיתי‪.‬‬ ‫דוגמא‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ ,  lim an  0,  lim cn  0,  lim bn  ,  lim dn  ‬ואז ‪ , anbn  1, cn dn  2‬כלומר‬ ‫נניח כי ‪ , an  cn  , bn  n, dn  2n.‬אז‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫כאשר יש מכפלה‪ ,‬וכאשר כופל אחד שואף ל‪ ,0-‬וכופל שני ל ∞ ‪ ,‬אז אין‬ ‫מסקנה על גבול המכפלה‪.‬‬ ‫הדוגמא הבאה מראה כי ∞‪ ∞/‬הוא מקרה בעיתי‪.‬‬ ‫דוגמא‬ ‫נניח כי ‪ , an  cn  bn  n, dn  2n.‬אז‬ ‫‪an  ,  lim cn  ,  lim bn  ,  lim dn  ‬‬ ‫‪ ,  lim‬ואז‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪ 1, n  2‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪cn‬‬ ‫‪ ,‬כלומר‬ ‫כאשר יש מנה‪ ,‬וכאשר המונה והכנה שואפים ל‪ , ∞ -‬אז אין מסקנה על‬ ‫גבול המנה‪.‬‬ ‫הדוגמא הבאה מראה כי ‪ ∞0‬הוא מקרה בעיתי‪.‬‬ ‫דוגמא‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ ,  lim an  ,  lim cn  ,  lim bn  0,  lim dn  0‬ואז ‪ 3‬‬ ‫נניח כי ‪ , an  2n , cn  3n , bn  dn  .‬אז‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ , anb  2, cnd‬כלומר‬ ‫‪n‬‬ ‫כאשר יש חזקה‪ ,‬וכאשר הבסיס שואף ל‪ , ∞ -‬והמעריך שואף ל‪ ,0-‬אז אין‬ ‫מסקנה על גבול החזקה‪.‬‬ ‫הדוגמא הבאה מראה כי ‪ 00‬הוא מקרה בעיתי‪.‬‬ ‫דוגמא‬ ‫‪n‬‬ ‫נניח כי‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ , an    , cn    , bn  dn  .‬אז‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪an  0,  lim cn  0,  lim bn  0,  lim dn  0‬‬ ‫‪ ,  lim‬ואז ‪ , anb  , cn d ‬כלומר‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫כאשר יש חזקה‪ ,‬וכאשר הבסיס שואף ל‪ , 0 -‬והמעריך שואף ל‪ ,0-‬אז אין‬ ‫מסקנה על גבול החזקה‪.‬‬ ‫הדוגמא הבאה מראה כי ∞‪ ∞-‬הוא מקרה בעיתי‪.‬‬ ‫דוגמא‬ ‫נניח כי ‪ , an  cn  bn  n, dn  2n.‬אז‬ ‫‪an  ,  lim cn  ,  lim bn  ,  lim dn  ‬‬ ‫‪ ,  lim‬ואז‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪dn  cn )  ‬‬ ‫(‪ , bn  an  0, dn  cn  n,  lim‬כלומר כאשר יש הפרש‪ ,‬וכאשר‬ ‫‪n‬‬ ‫המחסר והמחוסר שואפים ל‪ , ∞ -‬אז אין מסקנה על גבול ההפרש‪.‬‬ ‫נסכם את האריתמטיקה העובדת בצורת חוקי חשבון‪ ,‬ובנוסף נכתוב את‬ ‫המקרים שאינם עובדים‪ .‬את רוב החוקים הוכחנו אבל לא את כולם‪.‬‬ ‫טבלת האריתמטיקה של אינסוף‬ ‫∞‪(-1)∞=-‬‬ ‫∞=‪∞-L‬‬ ‫∞‪1/0-=-‬‬ ‫∞=‪1/0+‬‬ ‫>‪L/∞=0+(L‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪∞ =∞,0<a‬‬ ‫‪L/∞=0‬‬ ‫<‪a∞=0+,0<a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪0 =?(7‬‬ ‫)‪∞+∞=∞ --∞=?(1‬‬ ‫∞‬ ‫)‪L∞=- 0∞=?(2‬‬ ‫)‪∞(L<0‬‬ ‫‪∞/L=- ∞/∞=?(3‬‬ ‫)‪∞(L<0‬‬ ‫)‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫)‪a =∞,1< 1 =?(4‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪∞ =?(5) 0/0=?(6‬‬ ‫∞=‪∞+L‬‬ ‫)‪L∞=∞(L>0‬‬ ‫‪∞/L=∞(L>0‬‬ ‫)‬ ‫‪L/∞=0‬‬‫)‪(L<0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪∞ =0+,a<0‬‬ ‫טריקים‬ ‫ברגע שיש תרגיל חישוב שאי אפשר להשתמש בו באריתמטיקה של‬ ‫גבולות‪ ,‬כלומר ברגע שמגיעים לאחד מ‪ 7-‬המקרים הבעיתיים‪ ,‬אפשר‬ ‫להשתמש בחלק מהטריקים המופיעים כאן‪ .‬בקורס נלמד מספר סופי של‬ ‫טריקים‪.‬‬ ‫‪-3‬פונקציה רציונלית‬ ‫נתונה‬ ‫)‪p ( n‬‬ ‫)‪q ( n‬‬ ‫‪ , r (n) ‬כאשר )‪ p(n),q(n‬הם פולינומים ו‪ r(n)-‬קרויה פונקציה‬ ‫רציונלית‪ .‬רוצים לחשב את‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r ( n)  ‬‬ ‫‪ . lim‬נוציא מהמונה את הבטוי ‪nd‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫כאשר ‪ d‬היא החזקה הגבוהה ביותר שמופיעה‪ .‬לדוגמא עבור‬ ‫‪ . p(n)  n3  n2  n  1‬דרגתו היא ‪ ,1‬ונכתוב‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫) ‪‬‬ ‫‪n n 2 n3‬‬ ‫‪ . p(n)  n3  n2  n  1  n3 (1  ‬כך נעשה גם למכנה ואז נוכל לחשב‬ ‫את הגבול‪ .‬יש אנשים שמכינים טבלאות תשובות התלויות בדרגות‬ ‫המונה המכנה‪.‬‬ ‫דוגמא‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫) ‪n3 (1   2  3‬‬ ‫) ‪n(1   2  3‬‬ ‫‪n n n  lim‬‬ ‫‪n n n  (1  0  0  0)  ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫)‪(1  0  0‬‬ ‫) ‪n2 (1   2‬‬ ‫) ‪(1   2‬‬ ‫‪n n‬‬ ‫‪n n‬‬ ‫כפל וחלוקה בצמוד ‪ -‬א‬ ‫‪n3  n 2  n  1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪ lim‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n2  n  1‬‬ ‫נביט בשויון )‪ . a2  b2  (a  b)(a  b‬אפשר להשתמש בו כדי לפתור כמה‬ ‫תרגילים‪.‬‬ ‫דוגמא‬ ‫‪lim( n2  1  n)    ‬‬ ‫מהו‬ ‫‪n ‬‬ ‫תשובה‬ ‫זהו מקרה של ∞‪ .∞-‬נשתמש בנוסחא עבור ‪ . a  n2  1, b  n‬נכפול‬ ‫(ונחלק) בצמוד ונקבל‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪( n2  1) 2  n 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n2  1  n‬‬ ‫‪n2  1  n‬‬ ‫)‪n 2  1  n  ( n 2  1  n‬‬ ‫‪ :‬נפעיל גבול‬ ‫‪n2  1  n‬‬ ‫‪n2  1  n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪lim( n2  1  n)  lim‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ונקבל‪ 0. :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n 1  n‬‬ ‫‪ 1     ‬‬ ‫כפל וחלוקה בצמוד ‪ -‬ב‬ ‫נביט בשויון ) ‪ . a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2‬אפשר להשתמש בו כדי לפתור‬ ‫כמה תרגילים‪.‬‬ ‫דוגמא‬ ‫מהו‬ ‫‪lim( 3 n3  n2  n  1  n)    ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫תשובה‬ ‫זהו מקרה של ∞‪ .∞-‬נשתמש בנוסחא עבור ‪ . a  3 n3  n2  n  1, b  n‬נכפול‬ ‫(ונחלק) בצמוד ונקבל‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪( 3 n3  n 2  n  1)2  n 3 n3  n 2  n  1  n 2‬‬ ‫‪( 3 n3  n 2  n  1)2  n 3 n3  n 2  n  1  n 2‬‬ ‫)‪( n  n  n  1  n)  ( n  n  n  1  n‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪n2  n  1‬‬ ‫‪( 3 n3  n 2  n  1)2  n 3 n3  n 2  n  1  n 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n3  n 2  n  1  n3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪( 3 n3  n 2  n  1)2  n 3 n3  n 2  n  1  n 2‬‬ ‫) ‪n 2 (1  1/ n  1/ n 2‬‬ ‫‪(n 3 1  1/ n  1/ n 2  1/ n3 ) 2  n 2 3 1  1/ n  1/ n 2  1/ n3  n 2‬‬ ‫‪1  1/ n  1/ n 2‬‬ ‫‪( 3 1  1/ n  1/ n 2  1/ n3 ) 2  3 1  1/ n  1/ n 2  1/ n3  1‬‬ ‫‪ :‬נפעיל גבול ונקבל‪:‬‬ ‫‪)‬‬ ‫‪1  1/ n  1/ n2‬‬ ‫(‪lim( 3 n3  n 2  n  1  n)  lim‬‬ ‫‪( 3 1  1/ n  1/ n 2  1/ n3 ) 2  3 1  1/ n  1/ n 2  1/ n3  1‬‬ ‫‪1 0  0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪( 1  0  0  0) 2  3 1  0  0  0  1 1  1  1 3‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫נוסחאות נוספות‬ ‫יש נוסחאות נוספות כמו ) ‪ , a4  b4  (a  b)(a3  a2b  ab2  b3‬ואשר בכלן‬ ‫אפשר להשתמש‪.‬‬ ‫פונקציות‬ ‫בינתיים כשלמדנו אודות גבולות של סדרות הכתה למדה אודות‬ ‫פונקציות בשעור דיסקרטית‪.‬‬ ‫פונקציה ‪ f:A→B‬היא קבוצה חלקית ‪ f‬של המכפלה הקרטזי⃘ת ‪A×B‬‬ ‫בעלת תכונת החד ערכיות‬ ‫)‪ A . 1.x  A, y  B, f ( x)  y.2.[( f ( x)  a)  ( f ( x)  b)]  (a  b‬קרויה התחום‬ ‫ו ‪ B‬קרויה הטווח של ‪ .f‬התמונה של ‪ f‬מסומנת )‪ Im(f‬היא הקבוצה‬ ‫החלקית של ‪ . Im( f )  {y  B, x  A, f ( x)  y} B‬אומרים כי ‪ f‬היא על אם‬ ‫מתקיים )‪ .B=Im(f‬אומרים כי ‪ f‬חד‪-‬חד‪-‬ערכית אם מתקיים כי‬ ‫)‪ . ( f (a)  f (b))  (a  b‬אם ‪ f‬חח"ע ועל קימת הפונקציה ההפוכה‬ ‫‪ f-1:B→A‬המוגדרת על ידי )‪ .(f(x)=y) (f-1(y)=x‬ההרכבה של ‪g:B→C‬‬ ‫על ‪ f:A→B‬היא הפונקציה ‪ g⃘⃘·f:A→C‬המוגדרת על ידי‬ ‫))‪ .(g·f)(x)=g(f(x‬נסמן ב ‪ IX‬את פונקצית הזהות ‪.I:X→X,I(a)=a‬‬ ‫פונקציה ‪ f:A→B‬והפוכתה ‪ f-1:B→A‬מקיימות כי ‪ f-1·f:A→A‬שוה‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫לפונקציה ‪ ,IA‬וכי ‪ f·f-1:B→B‬שוה לפונקציה ‪ .IB‬ולהפך‪ ,‬נתונות שתי‬ ‫פונקציות ‪ g:B→C‬ו ‪ f:A→B‬כך ש ‪ g·f= IA‬וכך ש ‪ .f·g= IB‬אז גם ‪ f‬וגם‬ ‫‪ g‬הן חח"ע ועל ומתקיים כי ‪.g= f-1‬‬ ‫עד כאן דברנו על פונקציות כלשהן‪.‬‬ ‫הפונקציות שנעסוק בהן באינפי הן ממשיות כלומר כאלו שהתחום‬ ‫והטווח הן המספרים הממשיים ‪ .R‬יכול להוצר מצב כי ישנו ‪ x‬ב‪ R-‬שאי‬ ‫אפשר להציב אותו בנוסחא של ‪ ,f‬ואז התחום הוא חלקי ל‪.R-‬‬ ‫ת"ה סימטרי‬ ‫נתונה פונקציה ‪ . f:D→R‬נגיד כי ת"ה ‪ D‬הוא סימטרי אם מתקיים‬ ‫)‪ . ( x  D)  ( x  D‬לדוגמא ל ‪ y=3x+4,y=1/x,y=1/x2‬תחום הגדרה‬ ‫סימטרי‪ ,‬אבל ל)‪. y=1/(x+1‬אין ת"ה סימטרי‪.‬‬ ‫זוגיות ואי זוגיות‬ ‫נתונה פונקציה ‪ f:D→R‬בעלת ת"ה סימטרי‪ .‬נגיד כי היא פונקציה זוגית‬ ‫אם מתקיים ‪ . x  D, f ( x)  f ( x).‬לדוגמא‬ ‫‪ax2 , ax4 , ax6 , , ax0  a, ax 2 ,‬‬ ‫כולן זוגיות‪ ,‬כלומר כל החזקות הזוגיות של ‪ ,x‬אבל לא רק‪ ,‬גם הפונקציה‬ ‫)‪ y=cos(x‬היא פונקציה זוגית‪ .‬לפונקציה זוגית יש סימטריה של הגרף‬ ‫ביחס לציר ‪.y‬‬ ‫נתונה פונקציה ‪ f:D→R‬בעלת ת"ה סימטרי‪ .‬נגיד כי היא פונקציה אי‪-‬‬ ‫זוגית אם מתקיים ‪ . x  D, f ( x)   f ( x).‬לדוגמא‬ ‫‪ax1 , ax3 , , ax1 , ax3 ,‬‬ ‫כולן אי‪-‬זוגיות‪ ,‬כלומר כל החזקות האיזוגיות של ‪ ,x‬אבל לא רק‪ ,‬גם‬ ‫הפונקציה )‪ y=sin(x‬היא פונקציה איזוגית‪ .‬לפונקציה כזו יש סימטריה‬ ‫של הגרף ביחס לצירי ‪ x‬ו‪.y -‬‬ ‫אם הפונקציה איננה זוגית ואיננה איזוגית נגיד כי היא פונקציה כללית‪.‬‬ ‫מחזוריות‬ ‫נגיד כי ‪ f:D→R‬היא מחזורית עם מחזור ‪ ,T‬אם מתקיים‬ ‫‪ . x  D, f ( x  T )  f ( x).‬הפונקציות )‪ sin(x),cox(x‬הן מחזוריות עם‬ ‫מחזור ‪ ,2π‬והפונקציות )‪ tan(x),cot(x‬הן מחזוריות עם מחזור ‪ .π‬אם‬ ‫‪T‬הוא מחזור של ‪ ,f‬אז גם ‪ 2T,3T,nT,n∊ℕ‬הוא מחזור של ‪.f‬‬ ‫קטעי עליה וירידה‬ ‫נגיד כי ‪ I‬הוא קטע (או קרן) עליה (במובן הצר) של ‪ f‬אם מתקיים‬ ‫‪ . x, y  I ,( x  y)  ( f ( x)  f ( y)).‬הקרן )∞‪ [0,‬היא תחום עליה של‬ ‫‪ .f(x)=x2‬הקטע ]‪ [-π/2, π/2‬הוא קטע עליה של )‪ ℝ ,sin(x‬הוא תחום‬ ‫עליה של ‪ .y=x‬הקרן )∞‪ [0,‬היא תחום ירידה של ‪ ,f(x)=1/x‬גם הקרן‬ ‫]‪ (-∞,0‬היא תחום ירידה של ‪ ,f(x)=1/x‬אבל ‪ f‬לא יורדת בכל תחום‬ ‫הגדרתה כי ‪ -1<1‬על ציר ה‪ ,x-‬אבל ‪.f(-1)=-1<f(1)=1‬‬ ‫נגיד כי ‪ I‬הוא קטע (או קרן) עליה (במובן הרחב) של ‪ f‬אם מתקיים‬ ‫‪ . x, y  I ,( x  y)  ( f ( x)  f ( y)).‬כל תחום עליה במובן הצר הוא גם תחום‬ ‫עליה במובן הרחב‪ .‬פונקצית הערך השלם ]‪ y=[x‬שנלמד בקרוב היא‬ ‫דוגמא שיש בה תחום עליה במובן הרחב שאיננו במובן הצר‪.‬‬ ‫חסימות‬ ‫נגיד כי ‪ f‬חסומה‪ ,‬או חסומה מלעיל או חסומה מלרע אם )‪ Im(f‬חסומה‬ ‫או חסומה מלעיל או חסומה מלרע‪ .‬לדוגמא ‪ f(x)=x2‬חסומה מלרע‪,‬‬ ‫‪ f(x)=-x2‬חסומה מלעיל ו )‪ f(x)=sin(x‬חסומה בכלל‪.‬‬ ‫פולינום‬ ‫פולינום הוא סכום של מקדמים הכפולים בחזקות שלמות אי שליליות‪.‬‬ ‫דוגמא ‪ .p(x)=1+2x+3x2+4x3‬דרגת הפולינום היא החזקה הגבוהה‬ ‫ביותר שיש לה מקדם השונה מ‪ .0-‬בדוגמא הקודמת דרגת ‪ p‬היא ‪.1‬‬ ‫פונקציה רציונלית‬ ‫פונקציה רציונלית היא מנת שני פולינומים למשל )‪q(x)=(1+x)/(2+x2‬‬ ‫פונקציה מעריכית‬ ‫לפי חוקי החזקות ובאינדוקציה מוגדרת ‪ 2x:ℕ→ℝ‬כך‪21=2,2n+1=2n21 :‬‬ ‫כדי להרחיב את תחום הגדרתה ל ‪ ,ℤ‬נגדיר ‪ , 20=1,2-n=1/2n‬כדי להרחיב‬ ‫את תחום הגדרתה ל ‪ ℚ‬נגדיר ‪ . 2p/q=q√2p‬כדי להרחיב את תחום‬ ‫הגדרתה ל‪ ,ℝ-‬נשתמש במושג הגבול‪ .‬נקבל ‪ 2x: ℝ →ℝ‬שהיא עולה‬ ‫במובן הצר‪ ,‬ומקיימת ‪2 x  , lim 2 x  0 ‬‬ ‫‪ . lim‬עבור כל ‪ ,a‬המקיים ‪1<a‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫נקבל בצורה דומה ‪ ax: ℝ →ℝ‬שהיא עולה במובן הצר‪ ,‬ומקיימת‬ ‫‪a x  , lim a x  0  .‬‬ ‫‪ . lim‬עבור כל ‪ ,a‬המקיים ‪ 0<a<1‬נקבל בצורה דומה‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ a : ℝ →ℝ‬שהיא יורדת עולה במובן הצר‪ ,‬כך ש ‪a x  0, lim a x  .‬‬ ‫‪. lim‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫פונקצית השרש‬ ‫הפונקציה ‪ f(x)=x2‬היא על הקרן )∞‪ ,[0,‬ואינה חח"ע‪ .‬אם נצמצם את‬ ‫תחום ההגדרה נקבל )∞‪ f(x)=x2:[0,∞) → [0,‬שהיא חח"ע ועל‪ ,‬ולכן יש‬ ‫לה הפוכה )∞‪.g(x)=√x:[0,∞) → [0,‬‬ ‫פונקצית הלוגריתם‬ ‫הפונקציה המעריכית עבור כל ‪ a‬המקיים ‪ 0<a≠1‬היא פונקציה חח"ע ועל‬ ‫)∞‪ , ℝ →[0,‬ולכן יש לה פונקציה הפוכה ‪ [0,∞)→ ℝ‬אשר נקראת‬ ‫)‪ .loga(x‬הערכים החשובים עבור ‪ a‬הם ‪ loge(x) .a=10,2,e‬מסומנת‬ ‫בקצור )‪.ln(x‬‬ ‫פונקציות טריגונומטריות הפוכות‬ ‫‪ sin(x): ℝ → ℝ‬אינה חח"ע ואינה על‪ ,‬אך אם נצמצם את תחום ההגדרה‬ ‫נקבל פונקציה חח"ע ועל ]‪ sin(x): [-π/2,π/2]→ [-1,1‬בעלת הפוכה‬ ‫]‪ . arcsin(x): [-1,1]→ [-π/2,π/2‬בצורה דומה נקבל את הפונקציות‬ ‫הטריגונומטריות ההפוכות ]‪ arccos(x): [-1,1]→ [0,π‬ו‪arctan(x): -‬‬ ‫]‪. ℝ → [-π/2,π/2‬‬ ‫פונקציות אלמנטריות‬ ‫הפונקציות האלמנטריות כוללות את הפולינומים‪ ,‬הפונקציות‬ ‫הרציונליות‪ ,‬המעריכיות‪ ,‬השרשים‪ ,‬הלוגריתמים‪ ,‬הטריגונומטריות‪,‬‬ ‫הטריגומטריות ההפוכות‪ ,‬וכן כל פונקציה המתקבלת מהן על ידי חבור‬ ‫חסור כפל חלוק הרכבה והפוך‪ .‬זו משפחה מאוד גדולה של פונקציות‪.‬‬ ‫בקצור נאמר שאלו כל הפונקציות שיש להן 'נוסחא'‪.‬‬ ‫יש גם המון פונקציות לא אלמנטריות‪ ,‬ובקצור אלו הפונקציות שאין להן‬ ‫'נוסחא'‪ .‬דוגמאות הן גם פונקציות עם תחום הגדרה מפוצל‪ ,‬כלומר כאלו‬ ‫ששוות לפונקציות אלמנטריות שונות בחלקים שונים של תחום ההגדרה‬ ‫שלהן‪ .‬שלשת הפונקציות הבאות אינן אלמנטריות‪ ,‬כיון שהן שוות בחלקי‬ ‫תחום הגדרתן לפונקציות אלמנטריות שונות‪.‬‬ ‫פונקצית הערך המוחלט |‪y=|x‬‬ ‫הערך המוחלט של ‪ x‬מוגדר כמרחק שבין ‪ x‬ו‪ ,0-‬והוא תמיד אי שלילי‪.‬‬ ‫ניתן להגדיר את הפונקציה על ידי‬ ‫‪0 x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ . f ( x)  ‬נשים לב כי ‪ f‬שוה בחלק מתחום הגדרתה לפולינום ‪x‬‬ ‫‪ x x  0‬‬ ‫ובחלק מתחום הגדרתה לפולינום ‪ ,–x‬והעובדה שתחום ההגדרה שלה‬ ‫מפוצל לשני תתי תחומים‪ ,‬ובכל אחד מהם יש הגדרה‪ ,‬או נוסחא‪ ,‬אחרת‬ ‫היא זו שעושה את הפונקציה לא אלמנטרית‪ |x|:ℝ →[0, ∞) .‬חסומה‬ ‫מלרע וזוגית‪ .‬איננה מחזורית‪ [0,∞) .‬קרן עליה‪ (-∞,0] ,‬קרן ירידה‪.‬‬ ‫פונקצית הערך השלם ]‪y=[x‬‬ ‫נגדיר }‪ . [ x]  max{z, z  x‬ההגדרה נראית פורמלית ומסובכת‪ ,‬אבל כמה‬ ‫הצבות ישכנעו אותנו כי למשל ‪[2]=2,[2.1]=2,[2.2]=2,‬‬ ‫)‪ .[2+x]=2(0<x<1‬אם נמשיך כך נקבל הגדרה אחרת של ]‪ [x‬על ידי‬ ‫תחום מפוצל‪ .‬לכל ‪ z‬שלם‪ ,‬נקבל ‪ .[x]=z,z≤x<z+1‬הגרף של ]‪ [x‬הוא‬ ‫פונקצית מדרגות עולה במובן הרחב‪ ,‬ובכל נקודה ‪ x=z‬שלמה‪ ,‬יש בגרף‬ ‫קפיצה‪ [x]:ℝ → ℤ .‬איננה אלמנטרית‪ .‬איננה חסומה‪ ,‬אינה מחזורית‬ ‫אינה זוגית אינה אי זוגית‪ ,‬עולה במובן הרחב‪.‬‬ ‫פונקצית ערך השבר }‪y={x‬‬ ‫נגדיר ]‪ . {x}=x-[x‬ההגדרה נראית פורמלית ומסובכת‪ ,‬אבל כמה הצבות‬ ‫ישכנעו אותנו כי למשל ‪{2}=0,{2.1}=0.1,{2.2}=0.2‬‬ ‫)‪ .,{2+x}=x(0<x<1‬אם נמשיך כך נקבל הגדרה אחרת של }‪ {x‬על ידי‬ ‫תחום מפוצל‪ .‬לכל ‪ z‬שלם‪ ,‬נקבל ‪{x}=x-z,z≤x<z+1‬‬ ‫הגרף של }‪ {x‬הוא פונקצית מדרגות ‪ ,‬ובכל נקודה ‪ x=z‬שלמה‪ ,‬יש בגרף‬ ‫קפיצה‪ [x]:ℝ →[0,1) .‬איננה אלמנטרית‪ .‬חסומה‪ ,‬מחזורית בעלת‬ ‫מחזור ‪ ,3‬איננה זוגית איננה אי זוגית‪ .‬כל קטע )‪ [z,z+1‬הוא קטע עליה‬ ‫עבור ‪ z‬שלם‪.‬‬ ‫הפונקציה )‪.sin(1/x‬‬ ‫כדי להבין את מבנה הגרף של פונקציה זו נשתמש בארבעת הטענות‬ ‫הבאות‪.‬‬ ‫טענה (עולה על עולה)‬ ‫נתונות ‪ f: A→ B‬עולה ו‪ g: B→ C -‬עולה‪ .‬אז ההרכבה ‪ g·f : A→ C‬היא‬ ‫פונקציה עולה‪ .‬הטענה נכונה במובן הצר וגם במובן הרחב‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫מתקיים כי ))‪ (p<q)→(f(p)<f(q‬ו מתקיים כי ))‪ .(p<q)→(g(p)<g(q‬אז‬ ‫מתקיים כי )))‪ (p<q)→(f(p)<f(q)) →(g(f(p))<g(f(q‬כדרוש‪.‬‬ ‫טענה (עולה על יורדת)‬ ‫נתונות ‪ f: A→ B‬יורדת ו‪ g: B→ C -‬עולה‪ .‬אז ההרכבה ‪ g·f : A→ C‬היא‬ ‫פונקציה יורדת‪ .‬הטענה נכונה במובן הצר וגם במובן הרחב‪.‬‬ ‫הוכחה (תרגיל הביתה)‬ ‫טענה (יורדת על עולה)‬ ‫נתונות ‪ f: A→ B‬עולה ו‪ g: B→ C -‬יורדת‪ .‬אז ההרכבה ‪ g·f : A→ C‬היא‬ ‫פונקציה יורדת‪ .‬הטענה נכונה במובן הצר וגם במובן הרחב‪.‬‬ ‫הוכחה (תרגיל הביתה)‬ ‫טענה (יורדת על יורדת)‬ ‫נתונות ‪ f: A→ B‬יורדת ו‪ g: B→ C -‬יורדת‪ .‬אז ההרכבה ‪g·f : A→ C‬‬ ‫היא פונקציה עולה‪ .‬הטענה נכונה במובן הצר וגם במובן הרחב‪.‬‬ ‫הוכחה (תרגיל הביתה)‬ ‫נביט על קטעי העליה והירידה של )‪ sin(x‬בחצי החיובי של הישר הממשי‪.‬‬ ‫אלו הם …‪.(0,π/2], [π/2, 3π/2], [3π/2, 5π/2], [5π/2, 7π/2],‬‬ ‫עבור כל קטע כזה נפעיל את ‪ f(x)=1/x‬ונקבל את הקטעים ‪[2/ π, ∞),‬‬ ‫…‪ . [2/ π, 2/ 3π], [2/ 3π, 2/ 5π], [2/ 5π, 2/ 7π],,‬כעת נפעיל על‬ ‫כל קטע את ההרכבה )‪ 1/x .sin(1/x‬יורדת על הקטע‪ .‬למשל על הקטע‬ ‫ו‬ ‫הראשון נקבל ]‪ 1/x: [2/ π, ∞) → (0,π/2‬יורדת‪,‬‬ ‫]‪ sin(x): (0,π/2] → (0,1‬עולה‪ ,‬ולכן ]‪sin(1/x): [2/ π, ∞) → (0,1‬‬ ‫יורדת‪ .‬בצורה דומה ]‪ sin(1/x): [2/ π, 2/ 3π] → [-1,1‬עולה‪,‬‬ ‫]‪ sin(1/x): [2/ 3π, 2/ 5π] → [-1,1‬יורדת‪ ,‬וכדומה‪ .‬יש לפונקציה‪,‬‬ ‫עבור ‪ x‬חיובי‪ ,‬אינסוף קטעי עליה וירידה‪ ,‬אבל בנגוד לפונקציה סינוס‪,‬‬ ‫ששם כולם בעלי רוח זהה של ‪( , π‬חצי מחזור)‪ ,‬כעת הקטעים הולכים‬ ‫ומצטופפים סביב ‪ .0‬הפונקציה היא אי זוגית‪ .‬נשלים את הגרף על ידי אי‬ ‫הזוגיות של הגרף‪ .‬זוהי פונקציה אלמנטרית‪Sin(1/x):ℝ →[-1,1] .‬‬ ‫חסומ ה‪ ,‬אי זוגית‪ ,‬איננה מחזורית ודברנו כבר על קטעי העליה והירידה‬ ‫שלה‪.‬‬ ‫גבול של פונקציה‬ ‫נתונים }∞‪ a,b∊ℝ∪{±‬נגיד כי הגבול של )‪ f(x‬כאשר ‪ x‬שואף ל‪ a-‬הוא ‪,b‬‬ ‫ונכתוב ‪f ( x)  b‬‬ ‫‪ , lim‬אם‬ ‫‪x a‬‬ ‫הגדרת קושי (רק כותבים)‪.‬‬ ‫‪  0  0[(0 | x  a |  )  (| f (x )  b |  )].‬‬ ‫(עבור המקרה ש ‪) a,b∊ℝ‬‬ ‫יש להגדרה זו משמעות גיאומטרית‪.‬‬ ‫לא נדבר על שאר המקרים של ‪ a,b‬שבהן ההגדרה משתנה‪ .‬עדיין בכל‬ ‫מקרה יש משמעות גיאומטרית‪ .‬נסיון לאחד את כל המקרים גורר את‬ ‫מושג הסביבה ואת מושג הטופולוגיה‪.‬‬ ‫הגדרת היינה‬ ‫אם לכל סדרה }‪ {xn‬כך שמתקיים ‪xn  a‬‬ ‫‪ , lim‬נובע כי‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪lim f ( xn )  b‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫משפט‬ ‫הגדרת היינה והגדרת קושי (כל הגדרות קושי עבור כל המקרים) שקולות‪,‬‬ ‫כלומר לא משנה באיזו הגדרה משתמשים‪.‬‬ ‫משפט‬ ‫כל משפטי האריתמטיקה הסופיים והאריתמטיקה של אינסוף‪ ,‬כל שבעת‬ ‫המקרים הבעיתיים‪ ,‬וכל הטריקים שלמדנו לגבי גבולות של סדרות‪,‬‬ ‫תקפים לגבי )‪f ( x‬‬ ‫‪. lim‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫טריק נוסף של חלוקת פולינומים‬ ‫דוגמא‬ ‫‪x4 1 0‬‬ ‫)‪( x3  x 2  x  1)( x  1‬‬ ‫‪( x3  x 2  x  1) 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫)‪x3  1 0 x1 ( x 2  x  1)( x  1‬‬ ‫)‪( x 2  x  1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫עוד גבולות מוכרים‬ ‫את הגבולות הבאים נכתוב (לצערנו בלי הוכחה)‬ ‫‪ex 1‬‬ ‫)‪sin( x‬‬ ‫‪ 1, lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫מתוך הגבול השמאלי נובעים הגבולות הבאים‪:‬‬ ‫‪a x 1‬‬ ‫‪eln( a ) x  1‬‬ ‫‪eln( a ) x  1‬‬ ‫‪eln( a ) x  1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪ lim‬‬ ‫‪ ln  a  lim‬‬ ‫‪ ln(a) lim‬‬ ‫)‪ ln(a) 1  ln(a‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪x 0 ln(a ) x‬‬ ‫‪ln  a  x 0 ln(a ) x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪ln(1  x‬‬ ‫)‪ln(1  x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪,ln(1  x)  y,lim y  0,lim‬‬ ‫‪ lim y‬‬ ‫‪ 1.‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪y 0 e  1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫גבולות חד צדדיים (הגדרת היינה)‬ ‫נתונים }∞‪a,b∊ℝ∪{±‬‬ ‫נגיד כי הגבול של )‪ f(x‬כאשר ‪ x‬שואף ל ‪ a+‬הוא ‪ ,b‬ונכתוב ‪f ( x)  b‬‬ ‫‪, xlim‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫אם לכל סדרה }‪ {xn‬כך שמתקיים ‪xn  a‬‬ ‫‪ , lim‬וכך שמתקיים ‪ a≤xn‬נובע כי‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪lim f ( xn )  b‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫נגיד כי הגבול של )‪ f(x‬כאשר ‪ x‬שואף ל ‪ a-‬הוא ‪ ,b‬ונכתוב ‪f ( x)  b‬‬ ‫‪ , xlim‬אם‬ ‫‪a ‬‬ ‫לכל סדרה }‪ {xn‬כך שמתקיים ‪xn  a‬‬ ‫‪ , lim‬וכך שמתקיים ‪ xn≤a‬נובע כי‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪lim f ( xn )  b‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫המשפט הבא נובע מהשואת ההגדרות‪.‬‬ ‫הטענות הבאות שקולות‪:‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪lim f ( x)  b‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪lim f ( x)  b‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪x a ‬‬ ‫וגם‬ ‫‪lim f ( x)  b‬‬ ‫‪x a ‬‬ ‫דוגמאות‪.‬‬ ‫מתקיים כי‬ ‫‪lim (1/ x)  ‬‬ ‫‪x 0 ‬‬ ‫וגם כי‬ ‫‪lim (1/ x)  ‬‬ ‫בטבלת האריתטיקה של אינסוף בצורה‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪ .‬את העובדות הללו רשמנו‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ,‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪.‬‬ ‫עבור כל ‪ z‬שלם מתקיים ‪x]  z, lim[ x]  z  1.‬‬ ‫[‪ . xlim‬עבור כל ‪ a‬שאיננו שלם‬ ‫‪z ‬‬ ‫‪xz ‬‬ ‫מתקיים ‪ lim[ x]  lim[ x]  [a].‬את השויון האחרון ניתן לרשום ‪x]  [a].‬‬ ‫[‪. lim‬‬ ‫‪x a ‬‬ ‫‪x a ‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫רציפות‬ ‫נקודה ‪ a‬בתחום ההגדרה של הפונקציה ‪ f‬תקרא נקודת רציפות של‬ ‫הפונקציה ‪ ,f‬אם שלשת הבטויים הבאים קימים (סופיים) ושוים זה לזה‪.‬‬ ‫א‪ .f(a) .‬ב‪ lim f ( x) .‬ג‪f ( x) .‬‬ ‫‪ . xlim‬מכיון ש)‪ f(a‬סופי‪ ,‬ברור כי בנקודת‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪x a ‬‬ ‫רציפות שלשת הבטויים סופיים‪.‬‬ ‫כל נקודה שאיננה נקודת רציפות תקרא נקודת אי רציפות של ‪.f‬‬ ‫סווג נקודות אי רציפות‪.‬‬ ‫נקודת אי רציפות ‪ a‬תקרא סליקה אם מתקיים כי שני הבטויים הבאים‬ ‫קימים (סופיים) ושוים זה לזה‪ .‬א‪ lim f ( x) .‬ב‪f ( x) .‬‬ ‫‪ xlim‬אך שונים מ‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪x a ‬‬ ‫)‪ .f(a‬לפעמים נקרא לנקודה נקודת אי רציפות סליקה גם אם )‪ f(a‬לא‬ ‫מוגדרת‪.‬‬ ‫נקודת אי רציפות ‪ a‬תקרא קפיצה אם מתקיים כי שני הבטויים הבאים‬ ‫קימים סופיים אך שונים זה מזה‪ .‬א‪ lim f ( x) .‬ב‪lim f ( x) .‬‬ ‫‪x a ‬‬ ‫‪x a ‬‬ ‫נקודת אי רציפות ‪ a‬תקרא מסוג שני אם אחד לפחות משני הבטויים‬ ‫הבאים לא קים או שקיים והוא אינסופי‪ .‬א‪ lim f ( x) .‬ב‪lim f ( x) .‬‬ ‫‪x a ‬‬ ‫‪x a ‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫הנקודה ‪ a=1.5‬היא נקודת רציפות של ]‪.f(x)=[x‬‬ ‫הנקודה ‪ a=1‬היא נקודת קפיצה עבור ]‪.f(x)=[x‬‬ ‫הנקודה ‪ a=0‬היא נקודת אירציפות סליקה עבור ‪.f(x)=sin(x)/x‬‬ ‫הנקודה ‪ a=0‬היא נקודת אי רציפות מסוג שני עבור )‪ ,f(x)=sin(1/x‬וגם‬ ‫עבור ‪.g(x)=1/x‬‬ ‫אריתמטיקה של פונקציות רציפות‬ ‫משפט‬ ‫נניח כי )‪ f(x),g(x‬פונקציות רציפות בנקודה ‪ .a‬אז גם )‪,f(x)±g(x‬‬ ‫)‪ f(x)g(x‬ו ))‪ (f(x))/g(x‬רציפות בנקודה ‪ .a‬המנה רציפה רק אם ‪.g(a)≠0‬‬ ‫הוכחה‬ ‫אם נתונה סדרה ‪ xn‬כך ש ‪xn  a‬‬ ‫‪ , lim‬אז לפי הגדרת הרציפות‬ ‫‪n ‬‬ ‫)‪f ( xn )  f (a‬‬ ‫‪ lim‬ולפי משפטי אריתמטיקה של גבולות מתקיים‬ ‫‪n ‬‬ ‫)‪f ( xn ) g (xn )  f (a )g (a ) , lim f ( xn )  g ( xn )  f (a)  g (a‬‬ ‫‪ lim‬וגם‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫)‪f ( xn ) f (a‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪g ( xn ) g (a‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫בתנאי ש ‪.g(a)≠0‬‬ ‫משפט‬ ‫נניח כי )‪ f(x‬פונקציה רציפה בנקודה ‪ ,a‬ו)‪ g(x‬פונקציה רציפה בנקודה‬ ‫)‪ .f(a‬אז גם ))‪ g(f(x‬רציפה בנקודה ‪.a‬‬ ‫הוכחה‬ ‫אם נתונה סדרה ‪ xn‬כך ש ‪xn  a‬‬ ‫‪ , lim‬אז לפי הגדרת הרציפות‬ ‫‪n ‬‬ ‫)‪ lim f ( xn )  f (a‬ושוב לפי הגדרת הרציפות ))‪lim g ( f ( xn ))  g ( f (a‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪k‬‬ ‫העובדות הבאות קלות להוכחה‬ ‫הפונקציה ‪ ,f(x)≡c‬והפונקציה ‪ f(x)=x‬רציפות בכל נקודה‪.‬‬ ‫משפט (ללא הוכחה)‬ ‫כל פונקציה אלמנטרית רציפה בכל נקודה ‪ a‬בה היא מוגדרת‪.‬‬ ‫משפטים עבור פונקציות רציפות‬ ‫משפט בולצנו וירשטרס ‪(BW‬בלי הוכחה)‬ ‫נתונה סדרה ‪ an‬אשר חסומה (מלעיל ומלרע)‪ .‬אז יש לה תת סדרה ‪ank‬‬ ‫המתכנסת‪ .‬גבול הסדרה חסום על ידי החסמים של הסדרה המקורית‪.‬‬ ‫דוגמא‬ ‫הסדרה ‪ (-1)n‬חסומה בין ‪ 3‬ו ‪ ,-1‬וכל האיברים הזוגיים בסדרה הם תת‬ ‫סדרה קבועה אשר מתכנסת לגבול ‪ ,3‬אשר חסום ביו החסמים של הסדרה‬ ‫המקורית‪.‬‬ ‫משפט וירשטרס (חסימות)‬ ‫נתונה פונקציה ‪ f‬אשר מוגדרת ורציפה בכל נקודות הקטע ]‪ .[a,b‬אז ‪f‬‬ ‫בקטע חסומה מלעיל ומלרע‪.‬‬ ‫דוגמא‬ ‫הפונקציה ‪ f(x)=1/x‬רציפה בקטע ]‪ (0,1‬אך איננה חסומה בו ואיננה‬ ‫סותרת את המשפט‪ ,‬כיון שאיננה רציפה על קטע סגור‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נוכיח רק חסימות מלעיל‪ .‬הוכחת חסימות מלרע דומה והיא תרגיל‬ ‫הביתה‪.‬‬ ‫נניח בשלילה כי ‪ f‬איננה חסומה מלעיל‪ .‬אז לכל מספר טבעי ‪ n‬יש ‪ ,xn‬כך‬ ‫ש ‪ a≤xn ≤b‬וכך ש ‪ .f(xn)>n‬נפעיל גבול ונקבל כי ) ‪n  lim f ( xn‬‬ ‫‪.   lim‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫כעת נשים לב כי הסדרה ‪ xn‬חסומה‪ ,‬ולפי משפט ‪ BW‬יש לה תת סדרה‬ ‫מתכנסת ‪xn  c‬‬ ‫‪ lim‬כך ש ‪ .a≤c≤b‬כיון ש ‪ c‬היא בתחום הרציפות של ‪ f‬אז‬ ‫‪n ‬‬ ‫לפי הגדרת הגבול )‪ , lim f ( xn )  lim f (c‬ולפי הרציפות )‪f (c)  f (c‬‬ ‫‪ , lim‬ומצד‬ ‫‪x c‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪x c‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫שני ‪f ( xn )  ‬‬ ‫‪ , lim‬ולכן נובע כי ∞=)‪ ,f(c‬וזו סתירה להגדרת הפונקציה‪.‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪k‬‬ ‫לכן ‪ f‬חיבת להיות חסומה מלעיל‪.‬‬ ‫מכיון ש ‪ f‬חסומה מלעיל ומלרע‪ ,‬יש לה חסמים עליון ותחתון בקטע‪.‬‬ ‫משפט וירשטרס (מקסימום)‬ ‫נתונה פונקציה ‪ f‬אשר מוגדרת ורציפה בכל נקודות הקטע ]‪ .[a,b‬אז ‪f‬‬ ‫מקבלת את ערך חסם המלעיל בקטע‪ ,‬כלומר הסופרמום הוא מקסימום‪.‬‬ ‫באותה צורה האינפימום הוא מינימום‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נוכיח רק עבור חסם עליון‪ .‬הוכחה עבור חסם תחתון דומה והיא תרגיל‬ ‫הביתה‪.‬‬ ‫נסמן את החסם העליון של ‪ f‬בקטע על ידי ‪ .M‬אז לפי הגדרת חסם עליון‪,‬‬ ‫לכל מספר טבעי ‪ n‬יש ‪ ,xn‬כך ש ‪ a≤xn ≤b‬וכך ש )‪ .f(xn)>M-(1/n‬נפעיל‬ ‫‪1‬‬ ‫גבול ונקבל כי ) ‪M   lim f ( xn‬‬ ‫‪ . M  lim‬כעת נשים לב כי הסדרה ‪xn‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫חסומה‪ ,‬ולפי משפט ‪ BW‬יש לה תת סדרה מתכנסת‬ ‫‪lim xnk  c‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫כך ש‬ ‫‪ .a≤c≤b‬כיון ש ‪ c‬היא בתחום הרציפות של ‪ f‬אז לפי הגדרת הגבול‬ ‫)‪ , lim f ( xn )  lim f (c‬ולפי הרציפות )‪ , lim f (c)  f (c‬ומצד שני ‪f ( xn )  M‬‬ ‫‪, lim‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪x c‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪x c‬‬ ‫‪k‬‬ ‫ולכן נובע כי ‪ ,f(c)=M‬כדרוש‪.‬‬ ‫משפט‪ -‬תכונת ערכי הביניים של קושי (גובה ‪.)0‬‬ ‫נתונה פונקציה ‪ f‬אשר מוגדרת ורציפה בכל נקודות הקטע ]‪ ,[a,b‬ונתון כי‬ ‫‪ .f(a)f(b)<0‬אז קימת נקודת ביניים ‪ c‬אחת לפחות כך ש ‪ a<c<b‬וכך ש‬ ‫‪.f(c)=0‬‬ ‫הוכחה‬ ‫אי השויון ‪ f(a)f(b)<0‬שקול לשני אי שויונים )‪ f(a)<0<f(b‬ו‬ ‫)‪ ,f(b)<0<f(a‬ואנו נוכיח את הטענה רק עבורהמקרה )‪,f(a)<0<f(b‬‬ ‫וההוכחה עבור המקרה השני דומה והיא תרגיל הביתה‪.‬‬ ‫נגדיר ‪ .a0=a,b0=b‬נגדיר ‪ . c0=(a0+b0)/2‬תתכנה ‪ 1‬אפשרויות עבור )‪.f(c0‬‬ ‫‪.f(c0)=0, f(c0)<0, f(c0)>0‬‬ ‫אם ‪ f(c0)=0‬אז התמזל מזלנו ומצאנו ‪ c=c0‬כך ש ‪ f(c)=0‬ישר בהתחלה‪.‬‬ ‫אם ‪ ,f(c0)<0‬אז נגדיר ‪ a1= c0‬וכן ‪ .b1= b0‬אם )‪ ,0<f(c0‬נגדיר ‪a1= a0‬‬ ‫וכן ‪ .b1= c0‬בכל מקרה שאיננו המקרה הראשון יתקיים )‪.f(a1)<0<f(b1‬‬ ‫כעת נגדיר ‪ .c1=(a1+b1)/2‬שוב נפריד למקרים לפי הערך של )‪.f(c1‬‬ ‫או שיתקיים כי קיים ‪ n‬כך ש ‪ f(cn)=0‬ואז הוא יהיה ‪ c‬שחפשנו‪ ,‬או שנקבל‬ ‫סדרות אינסופיות ‪ an‬ו ‪ bn‬המקיימות כי לכל ‪ ,an <bn n‬כך ש ‪ an‬עולה‬ ‫במובן הרחב‪ bn ,‬יורדת במובן הרחב‪ ,‬מתקיים כי )‪,f(an )<0<f(bn‬‬ ‫‪b a‬‬ ‫‪b a‬‬ ‫ובנוסף מתקיים ‪ . bn  an  n1 n1   0 n 0‬אי השויונים ‪an <bn≤ b1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מראים כי הסדרה ‪ an‬מונוטונית עולה במובן הרחב וחסומה מלעיל ולכן‬ ‫מתכנסת לגבול ‪ d‬אשר מקיים ‪ .a≤ d≤ b‬אי השויונים ‪a1 ≤an< bn‬‬ ‫מראים כי הסדרה ‪ bn‬מונוטונית יורדת במובן הרחב וחסומה מלרע ולכן‬ ‫מתכנסת לגבול ‪ g‬אשר מקיים ‪ .a≤ g≤ b‬אי השויון ‪ an <bn‬מתרחב ל‬ ‫‪ .an≤d≤g ≤bn‬כמו כן נקבל ‪ ,0≤g-d≤ bn- an‬ואם נפעיל גבול נקבל לפי‬ ‫משפט הסנדביץ ‪ ,0≤g-d≤0‬ולכן ‪ .g=d‬נסמן ‪ ,c=g=d‬ולכן שתי הסדרות‬ ‫‪ an‬ו ‪ bn‬מתכנסות ל‪ c‬וברור כי ‪ a=a0≤an≤c≤bn≤b0=b‬כלומר ‪ c‬היא‬ ‫בתחום ההגדרה ונקודת רציפות של ‪ .f‬לפי הגדרת הרציפות‬ ‫‪ lim f (an )  f (c)  0‬וכמו כן ‪f (bn )  f (c)  0‬‬ ‫‪ lim‬ולכן נובע כי ‪,f(c)=0‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫כדרוש‪.‬‬ ‫משפט‪ -‬תכונת ערכי הביניים של קושי גובה כלשהו‬ ‫נתונה פונקציה ‪ f‬אשר מוגדרת ורציפה בכל נקודות הקטע ]‪ ,[a,b‬ונתון ‪h‬‬ ‫כך שמתקיים אחד מאי השויונים הבאים‪.f(b)<h<f(a) .f(a)<h<f(b) .‬‬ ‫אז קימת נקודת ביניים ‪ c‬אחת לפחות כך ש ‪ a<c<b‬וכך ש ‪.f(c)=h‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נביט בפונקציה ‪ .g(x)=f(x)-h‬היא הפרש של שתי פונקציות רציפות‬ ‫בקטע ]‪ [a,b‬ולכן היא רציפה ומקיימת את אחד מאי השויונים‬ ‫)‪ g(a)<0<g(b‬או )‪ .g(b)<0<g(a‬אז לפי תכונת ערכי הבינים קים ‪ c‬אחד‬ ‫לפחות‪ a<c<b ,‬כך ש ‪ g(c)=0‬או ‪ ,f(x)=h‬כדרוש‪.‬‬ ‫קצב השנוי הרגעי‬ ‫מכונית נוסעת‪ .‬בזמן ‪ t=0‬היא יוצאת ממכללת נתניה‪ ,‬ו )‪ f(t‬מסמן את‬ ‫המרחק בק"מ של המכונית מהמכללה אחרי ‪ t‬שעות‪ .‬אחרי שעה עברה‬ ‫המכנית )‪ f(1‬קמ‪ .‬אחרי שעתיים )‪ ,f(2‬אחרי ‪ 1‬שעות )‪ .f(3‬במהלך השעה‬ ‫השלישית עברה )‪ .f(3)-f(2‬בחצי השעה שהתחילה שעתיים לאחר‬ ‫היציאה והסתיימה שעתיים וחצי לאחר היציאה עברה )‪ f(2.5)-f(2‬ק'מ‪,‬‬ ‫ומהירותה הממוצעת היתה )‪ . f (2.5)  f (2‬בדקה ה ‪ 323‬אחרי היציאה‬ ‫‪2.5  2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪)  f (2‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪.‬‬ ‫המהירות הממוצעת בקמ"ש היתה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪60‬‬ ‫)‪f (2  h)  f (2) f (2  h)  f (2‬‬ ‫‪‬‬ ‫הממוצעות הן מהצורה‬ ‫‪2h2‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪f (2 ‬‬ ‫כל המהירויות‬ ‫‪ .‬עבור ערכים שונים‬ ‫של ‪ .h‬מהירותה הרגעית של המכונית שעתיים לאחר היציאה היא‬ ‫)‪f (2  h)  f (2‬‬ ‫‪ . lim‬עבור פונקציה כלשהי )‪ ,g(x‬קצב השנוי הרגעי של‬ ‫‪h 0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫) ‪g ( a  h)  g ( a‬‬ ‫‪ . lim‬בדר"כ זהו גבול מהצורה‬ ‫הפונקציה בנקודה ‪ a‬הוא‬ ‫‪h 0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪.0/0‬‬ ‫הגדרה נגזרת‬ ‫קצב השנוי הרגעי של ‪ f‬בנקודה ‪ ,a‬או הנגזרת של ‪ f‬בנקודה ‪ ,a‬מוגדר‬ ‫) ‪f ( a  h)  f ( a‬‬ ‫‪ . lim‬אם הגבול קים וסופי אומרים כי ‪ f‬גזירה‬ ‫בתור הגבול‬ ‫‪h 0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫בנקודה ‪ a‬ואת הגבול מסמנים על ידי )‪.f'(a‬‬ ‫דוגמאות‬ ‫‪ f(x)=c‬גזירה בכל נקודה ‪ a‬ו ‪ f(x)=x2 .f'(a)=0‬גזירה בכל נקודה ‪ a‬ו‬ ‫‪ f(x)=√x .f'(a)=2a‬גזירה בכל נקודה ‪f(x)=|x|. f'(a)=1/(2√a) a≠0‬‬ ‫|‪|0h| |0‬‬ ‫|‪|0h| |0‬‬ ‫‪ 1, lim‬‬ ‫איננה גזירה בנקודה ‪ ,0‬כיון ש ‪ 1‬‬ ‫‪. hlim‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪h 0 ‬‬ ‫‪h‬‬ ‫טענה‬ ‫אם ‪ a‬נקודת גזירות של ‪ ,f‬אז היא גם נקודת רציפות של ‪.f‬‬ ‫הוכחה‬ ‫‪h‬‬ . f ( a  h)  f ( a )  b  m(a, h) h ‫נעביר אגפים‬ f ( a  h)  f ( a )  b ‫נתון שקים הגבול‬ ‫ נגדיר‬. lim h 0 h f ( a  h)  f ( a ) lim m(a, h)  lim  b  b  b  0. ‫נפעיל גבול ונקבל‬ h 0 h 0 h ‫ ושוב נשאיף ונקבל כי‬f (a  h)  f (a)  bh  mh ‫ אבל לפי ההגדרה‬. lim f (a  h)  lim[ f (a)  bh  mh]  f (a). h0 a ‫ כלומר‬f(a) ‫ הללו שוים ל‬, h0 lim f (a  h)  lim f ( x), lim f (a  h)  lim f ( x). h0 x a  h0 x a  .f ‫היא נקודת רציפות של‬ ‫משפטי אריתמטיקה של נגזרות‬ :‫ הינו קבוע אז גם‬c‫ ו‬.a ‫ גזירות בנקודה‬f,g ‫נניח כי‬ (f±g)'(a)= (f)'(a)±(g)'(a) ‫ ו‬a ‫ גזירה בנקודה‬f±g (cf)'(a)= c(f)'(a) ‫ ו‬a ‫ גזירה בנקודה‬cf (fg)'(a)= (f)'(a)g(a)+f(a)(g)'(a) ‫ ו‬a ‫ גזירה בנקודה‬fg f f '(a) g (a)  f (a) g '(a) ‫ (בתנאי ש‬, ( ) '(a)  ‫ ו‬a ‫ גזירה בנקודה‬f/g 2 g g (a ) .(g(a)≠0 ‫הוכחה‬ ‫ נובע כי‬, ‫ כיון‬. lim hn  0 n  ‫ אשר מקיימת‬hn ‫נתון כי לכל סדרה‬ g (a  hn )  g (a) f (a  hn )  f (a)  g '(a) ‫ וכי‬lim  f '(a) n  hn hn lim f (a  hn )  f (a) ‫שגזירות גוררת רציפות נובע כי‬ lim n  ‫וכי‬ n  g (a  hn )  g (a) :‫ לכן‬. lim n  ‫ולכן‬ ( f  g )(a  hn )  ( f  g )(a) f (a  hn )  f (a) g (a  hn )  g (a)   hn hn hn ( f  g )(a  hn )  ( f  g )(a) f (a  hn )  f (a) lim  lim  n  n  hn hn .3 g (a  hn )  g (a)  f '(a)  g '(a) n  hn lim (cf )(a  hn )  (cf )(a) f (a  hn )  f (a)  c lim  cf '(a) n  n  hn hn lim .2 .3 .2 .1 .4 ( fg )(a  hn )  ( fg )(a ) f (a  hn ) g (a  hn )  f (a ) g  a    hn hn  f (a  hn ) g (a  hn )  f (a  hn ) g (a )  f (a  hn ) g (a )  f (a ) g  a   hn f (a  hn )( g (a  hn )  g (a )) g (a )( f (a  hn )  f (a ))    hn hn ( g (a  hn )  g (a)) ( f (a  hn )  f (a ))  g (a ) hn hn ( fg )(a  hn )  ( fg )(a) ( g (a  hn )  g (a)) lim  lim f (a  hn ) lim  n  n  n  hn hn .1  f (a  hn ) ( f (a  hn )  f (a))  g (a) lim  f (a) g '(a)  g (a) f '(a ). n  hn ‫ולכן‬ .4 f (a  hn ) f (a) f f  ( )(a  hn )  ( )(a) g (a  hn ) g (a) f (a  hn ) g (a)  f ( a) g ( a  hn ) g g    hn hn hn g (a  hn ) g (a)  f (a  hn ) g (a)  f (a) g ( a)  f ( a) g ( a)  f ( a) g ( a  hn )  hn g (a  hn ) g (a) ( f (a  hn )  f (a)) g (a)  f (a)( g ( a)  g ( a  hn )) f (a  hn )  f (a) g (a)   hn g (a  hn ) g (a) g (a  hn ) g (a) hn  g (a  hn )  g (a) f (a) g (a  hn ) g (a) hn ‫ולכן‬ f (a  hn ) f (a) f f  ( )(a  hn )  ( )(a) g (a  hn ) g (a) f (a  hn )  f (a) g (a) g g lim   lim  n  n  hn hn lim g (a  hn ) g (a) hn n   g (a  hn )  g (a) g (a) f '(a)  f (a) g '(a) f (a) lim  n  lim g (a  hn ) g (a) hn g ( a) 2 n  ‫משפט כלל השרשרת‬ a ‫ גזירה בנקודה‬g·f ‫ אז‬,f(a) ‫ גזירה בנקודה‬g ‫ ו‬,a ‫ גזירה בנקודה‬f ‫נניח כי‬ .(g·f)'(a)=g(f(a))f'(a) ‫ומתקיים‬ ‫בלי הוכחה‬ ‫הפונקציות האלמנטריות‬ ‫הפונקציות האלמנטריות הן הפונקציות הפולינומיאליות‪ ,‬המעריכיות‪,‬‬ ‫הטריגונומטריות וכן כל פונקציה שמתקבלת מהן על ידי חבור חסור כפל‬ ‫חלוק הרכבה והפוך‪.‬‬ ‫נגזרות הפונקציות האלמנטריות‬ ‫כל הפונקציות האלמנטריות (רציפות) וגזירות בכל תחום הגדרתן‬ ‫ומקיימות את החוקים הבאים‪:‬‬ ‫‪( x a )'  ax a1‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫) ‪(a x )'  a x ln(a‬‬ ‫‪.'2‬‬ ‫‪(e x )'  e x‬‬ ‫‪.5 . (sin x)'  cos x .4 . (ln x) '  1 '1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪.9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪cos2 x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.7 . (tan x) ' ‬‬ ‫‪1  x2‬‬ ‫‪(arccos x)' ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪sin 2 x‬‬ ‫‪.30‬‬ ‫‪(cot x ) ' ‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪x ln(a‬‬ ‫‪(cos x)'   sin x‬‬ ‫‪.8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 x‬‬ ‫‪(loga x ) ' ‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫‪(arcsin x ) ' ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.33 (arctan x ) '  1 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 x‬‬ ‫‪1 x‬‬ ‫‪(arccot x)' ‬‬ ‫כלל השרשרת‬ ‫נניח כי נתונה פונקציה שהיא תוצאת הרכבה‬ ‫ונניח כי ‪ f‬גזירה בנקודה ‪ a‬וכי ‪ g‬גזירה בנקודה )‪ .f(a‬אז ‪ g°f‬גזירה‬ ‫בנקודה )‪ f(a‬ומקימת את כלל השרשרת‪.‬‬ ‫הנסוח של ניוטון‬ ‫)‪( g f )'(a)  g '( f (a)) f '(a‬‬ ‫נניח כי ‪ f‬פונקציה מציר ‪ x‬לציר ‪ , y‬ו כי ‪ g‬פונקציה מציר ‪ y‬לציר ‪ , z‬אז‬ ‫לייבניץ סימן את '‪ f‬בסימן ‪ , dy‬את '‪ g‬בסימן ‪ , dz‬ואת ')‪ (g°f‬בסימן ‪, dz‬‬ ‫))‪( g f )( x)  g ( f ( x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫אז כלל השרשרת בסימון של לייבניץ הוא‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪. dz  dz dy‬‬ ‫‪dx dy dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫נשתמש בגזירה‬ ‫בסימון של ניוטון ובשיטת ההצבה באינטגרלים‪ ,‬בסימון של לייבניץ‪.‬‬ ‫דוגמא‬ ‫‪e  g ( f ( x)), g ( x)  e , f ( x)  5x, g '( x)  g ( x), f '( x)  5, g '( f ( x))  e ,(e )'  e5 x 5.‬‬ ‫‪5x‬‬ ‫דוגמא‬ ‫‪5x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪5x‬‬ ‫)‪ arcsin(x‬היא פונקציה הפוכה לפונקציה )‪ sin(x‬ולכן לפי הגדרת‬ ‫פונקציות הפוכות מתקיים ‪ .arcsin(sin(x))=x‬נגזור את שני האגפים‪,‬‬ ‫באגף שמאל נשתמש בכלל השרשרת ונקבל ‪, arcsin'(sin(x))cos(x)=1‬‬ ‫ולכן ‪ .‬נסמן ‪ ,cos(x)=√(1-sin2(x))=√(1-a2) .sin(x)=a‬ולכן נקבל את‬ ‫‪1‬‬ ‫מה שכתוב בטבלה‬ ‫‪arcsin'(a) ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 a‬‬ ‫גזירה לוגריתמית‬ ‫ישנן פונקציות מעריכיות שבהן המשתנה ‪ x‬מופיע גם בבסיס וגם במעריך‪.‬‬ ‫אי אפשר לגזור אותן לפי כלל ‪ ,3‬ששם המעריך קבוע‪ ,‬וגם לא לפי כלל ‪2‬‬ ‫ששם הבסיס קבוע‪ .‬נאלץ להשתמש בתחבולה‪ .‬כידוע פונקצית החזקה‬ ‫והפונקציה הלוגריתמית הפוכות זו לזו‪ ,‬והרכבתן זו על זו היא פונקצית‬ ‫הזהות‪ ,‬ולכן ))‪ . f ( x) g ( x)  eln( f ( x) )  eg ( x)ln( f ( x‬נגזור ונשוה את שני האגפים‬ ‫כאשר נתיחס לאגף ימין כאל פונקציה מורכבת שבה החיצונית היא ‪e x‬‬ ‫והפנימית היא המכפלה ))‪ . g ( x)ln( f ( x‬ולכן נקבל‬ ‫)‪g ( x‬‬ ‫)‪g ( x) f '( x‬‬ ‫)‪g ( x) f '( x‬‬ ‫‪]  f ( x) g ( x )[ g '( x)ln( f ( x)) ‬‬ ‫]‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫‪[ f ( x) g ( x ) ]'  e g ( x )ln( f ( x )) [ g '( x)ln( f ( x)) ‬‬ ‫דוגמא‬ ‫גזור את ‪ . x x‬נציב בנוסחה ‪ f(x)=g(x)=x‬ונקבל‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪]  x x (ln( x)  1).‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪( x x )'  x x [1ln( x) ‬‬ ‫כללי ‪l'hospital‬‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫‪ . lim‬כלל ל'הופיטל מאפשר לחשב את הגבול במקרים ‪ 0‬ו‬ ‫נתון הגבול‬ ‫‪x a‬‬ ‫)‪g ( x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫)‪f '( x‬‬ ‫‪ lim‬‬ ‫‪. lim‬‬ ‫תוך שמוש בנגזרות‪ .‬הכלל הוא‬ ‫‪xa‬‬ ‫‪xa‬‬ ‫)‪g '( x‬‬ ‫)‪g ( x‬‬ ‫חלק מהגבולות שקבלנו בסמסטר א כנתונים‪ ,‬נובעים למעשה מכלל‬ ‫ל'הופיטל‪.‬‬ ‫)‪sin( x‬‬ ‫)‪cos( x‬‬ ‫‪, lim‬‬ ‫‪ lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪ lim  1‬‬ ‫‪x0 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪, lim‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪ln(1  x‬‬ ‫‪ lim 1  x  1‬‬ ‫‪, lim‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪ lim x  lim x   0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x e‬‬ ‫‪x e‬‬ ‫‪x e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫הרחבת כללי ל'הופיטל עבור המקרה‬ ‫במקרה זה נשתמש בעובדה כי‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1/  0‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1/ x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ , x ‬ונציג‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1/ 0 ‬‬ ‫‪ , 0 ‬או‬ ‫נפעיל את כלל ל'הופיטל על הבטוי הנוח יותר לגזירה‪.‬‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪e x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x e x‬‬ ‫‪x 1/ x‬‬ ‫‪lim xe x  lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫מהבטויים וכך נמשיך‪.‬‬ ‫במקרה זה קל יותר לגזור את הראשון‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪ lim x   0.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x e‬‬ ‫‪x e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪lim xe x  lim‬‬ ‫הרחבת כללי ל'הופיטל עבור המקרים‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1 , 0 ,00‬‬ ‫במקרה זה נשתמש בעובדה כי ‪ , eln x  x‬ולכן ‪ , eln f  eg ln f‬ונשים לב‬ ‫כי עבור המקרה של ‪ , 1‬נקבל כי ‪ , g ln( f )   ln(1)  0‬עבור המקרה של ‪00‬‬ ‫‪ ,‬נקבל כי )‪ , g ln( f )  0ln(0)  0(‬ועבור המקרה של ‪ , 0‬נקבל כי‬ ‫‪ , g ln( f )  0ln()  0‬כלומר )‪ gln(f‬בכל מקרה הופך להיות המקרה ‪0‬‬ ‫‪ . lim‬התשובה‬ ‫וכעת נוכל להמשיך כמקודם ולחשב את ‪g ( x) ln( f ( x))  L‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫המלאה של התרגיל היא ‪. e L‬‬ ‫‪g‬‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ . lim(1‬פתרון נפעיל את הטריק הכתוב ונקבל כי‬ ‫חשב את ‪ )n  1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪ln(1 ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n , n ln(1  1 ) ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫) ‪ln(1 ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪ln((1 )n‬‬ ‫) ‪n ln(1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(1  ) n  e n  e‬‬ ‫‪,lim n ln(1  )  0, n ln(1  ) ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫מבין שתי האופציות נעדיף את הראשונה אשר שואפת ל ‪ ,0/0‬ונמשיך‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪ln(1 ‬‬ ‫‪ln(1  )n 2‬‬ ‫) ‪ln(1 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n  lim‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n  1,lim(1  1 ) n  e1  e‬‬ ‫‪lim n ln(1  )  lim‬‬ ‫‪ lim‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫שמושי נגזרות לחקירת פונקציות‪.‬‬ ‫להלן תכונות של פונקציות אשר חלק מהן נוכיח אח"כ‪.‬‬ ‫‪ .3‬נתון קטע )‪ (a,b‬אשר בו ‪ f‬מוגדרת גזירה ומתקיים כי ‪ . f'>0‬אז ‪f‬‬ ‫עולה בקטע )‪.(a,b‬‬ ‫‪ .2‬נתון קטע )‪ (a,b‬אשר בו ‪ f‬מוגדרת גזירה ומתקיים כי ‪ . f'<0‬אז ‪f‬‬ ‫יורדת בקטע )‪.(a,b‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫נתון קטע )‪ (a,b‬אשר בו ‪ f‬מוגדרת גזירה ונתונה נקודת קיצון‬ ‫מקומי ‪ .c‬אז ‪.f'(c)=0‬‬ ‫נתון קטע )‪ (a,b‬אשר בו ‪ f‬מוגדרת גזירה פעמיים ומתקיים כי ‪f''>0‬‬ ‫‪ .‬אז ‪ f‬קמורה (מחייכת‪ ,‬קמורה כלפי מעלה) בקטע )‪.(a,b‬‬ ‫נתון קטע )‪ (a,b‬אשר בו ‪ f‬מוגדרת גזירה פעמיים ומתקיים כי ‪f''<0‬‬ ‫‪ .‬אז ‪ f‬קעורה (בוכה‪ ,‬קמורה כלפי מטה) בקטע )‪.(a,b‬‬ ‫הגדרה‪ :‬נקודת פתול היא נקודה בתחום ההגדרה שבה מתקיים כי‬ ‫‪ f‬קמורה מצד אחד וקעורה מצד שני‪.‬‬ ‫נתון קטע )‪ (a,b‬אשר בו ‪ f‬מוגדרת גזירה פעמיים ונתונה נקודת‬ ‫פתול ‪ .c‬אז ‪.f''(c)=0‬‬ ‫דוגמאות‬ ‫‪ y=2x+3 .3‬עולה בכל תחום הגדרתה‪ ,‬ואכן ‪.y'=2>0‬‬ ‫‪ y=-3x+4 .2‬יורדת בכל תחום הגדרתה ואכן ‪.y'=-3<0‬‬ ‫‪ .1‬עבור ‪ a>0‬נביט ב ‪ ,y=ax2+bx+c‬אז‪ ,y'=2ax+b‬ו‪,y''=2a>0‬‬ ‫ואכן ''‪ y‬חיובי ו‪ y-‬מחייכת תמיד‪ y'>0 .‬שקול ל ‪,x>-b/2a‬‬ ‫כלומר ‪ y‬עולה החל מנקודת הקדקד‪ ,‬ויורדת עד הקדקד‪.‬‬ ‫‪ .4‬נביט על ‪ ,y=x3-3x‬אז ‪ .y'=3x2-3=3(x-1)(x+1),y''=6x‬כעת‬ ‫נחלק את הישר הממשי ע"י הוספת הנקודות ‪ ±1‬בהן '‪y‬‬ ‫מתאפסת‪ ,‬והנקודה ‪ 0‬בה ''‪ y‬מתאפסת ונקבל את טבלת‬ ‫הסימנים (רבי יהודה) של ''‪.y',y‬‬ ‫הערה חשובה‪ :‬בדרך כלל יש גם להוסיף לישר הממשי גם את הנקודות‬ ‫בהן ''‪ y',y‬לא מוגדרות ובמקרה שלנו אין נקודות כאלו‪.‬‬ ‫קבלנו ‪ 4‬קטעים‪ ,(-∞,-1)(-1,0)(0,1)(1,∞) ,‬ולכל אחד מהם‬ ‫נבחר נציג‪ -2 .‬יכול להיות נציג של )‪ -0.5 ,(-∞,-1‬של )‪,(-1,0‬‬ ‫‪ 0.5‬של )‪ (0,1‬ו‪ 2-‬של )∞‪ .(1,‬את הנציגים נציב ב‪ y',y''-‬ונקבל‬ ‫את טבלת הסימנים הבאה‪:‬‬ ‫)∞‪(1,‬‬ ‫‪- +‬‬ ‫)‪(0,1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫עולה‬ ‫ומחייכת‬ ‫‪-‬‬ ‫)‪(-∞,-1) (-1,0‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪- -‬‬ ‫‪+‬‬ ‫יורדת‬ ‫ומחייכת‬ ‫יורדת‬ ‫ובוכה‬ ‫עולה‬ ‫ובוכה‬ ‫סימן של‬ ‫'‪y‬‬ ‫סימן של‬ ‫''‪y‬‬ ‫התנהגות‬ ‫‪y‬‬ ‫טבלה שכזו היא חלק חשוב בחקירה המלאה‪.‬‬ ‫אסימפטוטה‪.‬‬ ‫אסימפטוטה היא קו ישר אשר הפונקציה 'נדבקת' אליו‪.‬‬ ‫בדיחה‪ :‬זהו ישר שהולך עם עקומה ולא נוגע בה‪ .‬כיון‬ ‫שעוסקים בקוים ישרים יש לרשום את משואות כל הקוים‬ ‫הישרים במישור‪ .‬המשואה ‪ y=mx+n‬נותנת את כל הפונקציות‬ ‫שהן בעלות גרף שהוא ישר‪ m .‬הוא השפוע‪ .‬לכזה קו נקרא‬ ‫ישר משופע‪ .‬המשואה ‪ x=b‬היא משואה של קו אנכי במישור‪.‬‬ ‫קו זה איננו משופע ואיננו גרף של פונקציה‪ .‬ישר כזה יקרא ישר‬ ‫אנכי‪ .‬לכן נבדיל בין אסימפטוטה אנכית (שהיא קו אנכי) ובין‬ ‫אסימפטוטה משופעת (שהיא קו משופע)‪.‬‬ ‫אסימפטוטה אנכית‪.‬‬ ‫הישר ‪ x=c‬הוא אסימפטוטה אנכית של הגרף של )‪ ,y=f(x‬אם‬ ‫מתקיימים שני תנאים‪ .‬קודם כל הערך ‪ x=c‬איננו בתחום‬ ‫ההגדרה של ‪ .f‬בנוסף מתקים אחד לפחות מ‪ 4-‬הגבולות הבאים‬ ‫‪f ( x)  ,2) lim f ( x)  ,3) lim f ( x)  ,4) lim f ( x)  ‬‬ ‫‪ 1) xlim‬את‬ ‫‪c‬‬ ‫‪xc‬‬ ‫‪xc‬‬ ‫‪xc‬‬ ‫תנאי הגבולות ניתן לכתוב בקיצור כך ‪lim f ( x)  ‬‬ ‫‪xc‬‬ ‫דוגמאות‬ ‫‪ x=0‬היא אסימפטוטה אנכית של ‪. y=1/x‬‬ ‫‪ x=0‬היא אסימפטוטה אנכית של ‪y=1/x2‬‬ ‫‪ x=0‬איננה אסימפטוטה אנכית של ‪ y=x2/x‬למרות ש‪ x=0‬לא‬ ‫בתחום ההגדרה‪ ,‬כיון שאף אחד מ ‪ 4‬הגבולות לא מתקיים‪.‬‬ ‫אסימפטוטה משופעת ב∞‬ ‫הישר ‪ y=mx+n‬הוא ישר האסימפטוטה המשופעת ב∞‪ ,‬אם‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫‪. m  lim‬‬ ‫מתקיים ]‪, n  lim[ f ( x)  mx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫אסימפטוטה משופעת ב∞‪-‬‬ ‫הישר ‪ y=mx+n‬הוא ישר האסימפטוטה המשופעת ב∞‪ ,-‬אם‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫‪. m  xlim‬‬ ‫מתקיים ]‪, n  lim[ f ( x)  mx‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ידוע שעבור פונקציה רציונלית )‪ , p( x‬כאשר )‪ p(x‬ו‪ q(x)-‬הם‬ ‫)‪q( x‬‬ ‫פולינומים‪ ,‬מתקיים כי ‪ y=mx+n‬היא ישר אסימטוטה משופעת‬ ‫ב∞‪ ,‬אם ורק אם הוא ישר אסימפטוטה משופעת ב ∞‪ ,-‬כלומר‬ ‫בפונקציה שכזו מספיק לבדוק את האסימפטוטה המשופעת רק‬ ‫בצד אחד‪.‬‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫מצא את כל האסימטוטות של‬ ‫‪x2  8‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫תשובה‪ :‬הנקודת היחידה שאיננה בתחום ההגדרה של ‪ y‬היא‬ ‫‪ .x=-1‬מתקיים‬ ‫‪8 ‬‬ ‫‪x2  8 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ , lim‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x1 x  1‬‬ ‫‪x 1 0 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ xlim‬כלומר‬ ‫‪1‬‬ ‫אכן זהו ישר אסימטוטה אנכי של ‪ .f‬בנוסף‬ ‫‪x 8‬‬ ‫‪x2  8‬‬ ‫‪x2  8‬‬ ‫‪x2  8  x2  x‬‬ ‫‪m  lim x  1  lim‬‬ ‫‪ 1, n  lim‬‬ ‫‪ 1x  lim‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x ( x  1) x‬‬ ‫‪x x  1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כלומר ‪ y=1x-1=x-1‬הוא אסימפטוטה משופעת ב∞‪ .‬אין צורך‬ ‫לבדוק ב∞‪ ,-‬כי כיון שזוהי פונקציה רציונלית‪,‬מנת שני‬ ‫פולינומים‪ ,‬הרי שאותה אסימפטוטה משופעת נכונה גם ב∞‪+‬‬ ‫וגם ב∞‪-‬‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫מצא את כל האסימפטוטות של )‪.y=sin(x‬‬ ‫כיון שתחום ההגדרה של הפונקציה הוא כל ‪ ,R‬אין אסימטוטה‬ ‫אנכית‪ .‬עבור אסימטוטה משופעת נחשב ונקבל‪:‬‬ ‫‪sin( x) 1 sin( x) 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪sin( x‬‬ ‫‪, ‬‬ ‫‪ ,lim  0,lim‬‬ ‫)‪ 0  m, n  limsin( x)  0 x  limsin( x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x x x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪m  lim‬‬ ‫הגבול שמגדיר את ‪ n‬לא קים‪ ,‬כי למשל הסדרה 𝛱‪ xk=k‬מקיימת‬ ‫שהיא שואפת לאינסוף וסדרת ה‪ -y‬שלה היא ‪ ,0‬ולעומתה‬ ‫הסדרה ‪ yk=(4k+1)𝛱/2‬מקיימת שהיא שואפת לאינסוף‬ ‫וסדרת ה‪ -y‬שלה היא ‪ .3‬אותן תשובות מתקבלות כאשר ‪x‬‬ ‫שואף ל ∞‪ -‬בכך קבלנו דוגמא לפונקציה חסרת אסימטוטות‬ ‫בכלל‪ ,‬וכך שבחשוב האסימטוטה המשופעת שלה‪ m ,‬קים‬ ‫ומוגדר אבל ‪ n‬לא קים‪.‬‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫מצא את כל האסימפטוטות של ‪.y=ex‬‬ ‫כיון שתחום ההגדרה של הפונקציה הוא כל ‪ ,R‬אין אסימטוטה‬ ‫אנכית‪ .‬עבור אסימטוטה משופעת נחשב ונקבל‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪ lim  ‬‬ ‫‪ x 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪ . m  lim‬כיון ש‪ m‬לא קים‪ ,‬אין אסימפטוטה‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫משופעת ב∞‪ .‬עבור ∞‪ ,-‬נקבל‬ ‫‪x‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪  0, n  lim e x  0 x  lim e x  0‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪m  lim‬‬ ‫כלומר ‪ y=0‬אסימטוטה משופעת (למעשה עם שפוע ‪ 0‬ולכן‬ ‫אפקית) ב∞‪ .-‬כלומר קבלנו פונקציה (שאיננה פונקציה‬ ‫רציונלית) שיש לה אסימפטוטה משופעת במינוס אינסוף ואין‬ ‫לה אסימפטוטה משופעת באינסוף‪.‬‬ ‫המשפטים של החשבון הדיפרנציאלי‪.‬‬ ‫הגדרה‪ :‬מקסימום מקומי‪ ,‬מינימום מקומי‪ ,‬קיצון מקומי‪.‬‬ ‫נתונה פונקציה ‪ ,f‬ומספרים ‪ ,b‬ו ‪ a>0‬כך שהקטע )‪(b-a,b+a‬‬ ‫הוא בתחום ההגדרה של ‪ .f‬נגיד כי ב‪ b-‬יש מקסימום מקומי של‬ ‫‪ ,f‬אם ל‪ f‬המצומצמת לקטע )‪ (b-a,b+a‬יש מקסימום בנקודה ‪.b‬‬ ‫נגיד כי יש לה מינימום מקומי אם ל‪ f‬המצומצמת יש מינימום‬ ‫ב‪ , b‬נגיד כי ל‪ f‬יש קיצון מקומי ב‪ b-‬אם יש לה מקסימום‬ ‫מקומי או מינימום מקומי‪.‬‬ ‫משפט פרמה‪Fermat .‬‬ ‫נתונות פונקציה ‪ f‬ונקודות קיצון מקומי ‪ b‬ונתון כי )‪f'(b‬‬ ‫מוגדרת‪ .‬אז ‪.f'(b)=0‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נוכיח עבור מקסימום מקומי בלבד‪ .‬ההוכחה למינימום מקומי‬ ‫דומה‪ .‬נשתמש בהגדרת הנגזרת‪ :‬מתקיים הגבול‬ ‫)‪f (b  h)  f (b‬‬ ‫‪ . f '(b)  lim‬והוא שוה לגבול מימין ומשמאל‪.‬‬ ‫‪h0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫נשתמש בגבול מימין‪ .‬אז ‪ ,h>0‬ולפי תכונות המקסימום (עבור‬ ‫‪ )0<h<a‬מתקיים )‪ ,f(b+h)≤f(b‬ולכן המונה בגבול מקיים‬ ‫‪ ,f(b+h)-f(b)≤0‬המכנה חיובי ולכן המנה )‪ f (b  h)  f (b‬היא‬ ‫‪h‬‬ ‫קטנה או שוה ל‪ ,0-‬והגבול מימין קטן או שוה ל‪ .0-‬הגבול‬ ‫משמאל הוא גבול של בטויים שבהם המונה קטן או שוה ל‪,0-‬‬ ‫המכנה שלילי‪ ,‬לכן המנה אי שלילית והגבול אי שלילי‪ .‬אז‬ ‫הגבול‪ ,‬שהוא גבול מימין ומשמאל הוא גם גדול או שוה וגם קטן‬ ‫או שוה ל‪ ,0-‬ולכן הוא ‪∎ .0‬‬ ‫משפט רול ‪Rolle‬‬ ‫נתונה פונקציה ‪ f‬אשר מוגדרת בקטע ]‪ ,[a,b‬רציפה בכל נקודות‬ ‫הקטע‪ ,‬וגזירה בכל נקודות הקטע הפתוח )‪ ,(a,b‬ונתון כי‬ ‫)‪ .f(a)=f(b‬אז קימת לפחות נקודה אחת ‪ ,c‬כך ש ‪ a<c<b‬וכך ש‬ ‫‪.f'(c)=0‬‬ ‫הערה‪ .‬יכולות להיות שתי נקודות כאלו או שלוש‪ .‬לא אומרים‬ ‫איך למצוא את ‪.c‬‬ ‫הוכחה‬ ‫כיון ש‪ f-‬רציפה בקטע סגור‪ ,‬אז לפי משפט וירשטרס יש נקודה‬ ‫‪ c‬בקטע הסגור ]‪ [a,b‬שבה מתקבל המקסימום של ‪ f‬על הקטע‪.‬‬ ‫אם ‪ c‬בקטע הפתוח‪ ,‬כלומר ‪ , c≠a,c≠b‬אז לפי ההגדרה ‪ c‬היא‬ ‫נקודת מקסימום מקומי ולכן לפי משפט פרמה נובע כי ‪,f'(c)=0‬‬ ‫והוכחנו את הטענה‪ .‬יש גם לפי משפט וירשטרס נקודה ‪ d‬שבה‬ ‫ל‪ f-‬יש את ערך המינימום בקטע‪ .‬אם ‪ d≠a,d≠b‬נובע כי ‪ d‬היא‬ ‫נקודת מינימום מקומי ושוב לפי משפט פרמה נובע כי ‪,f'(d)=0‬‬ ‫והסתיימה ההוכחה‪.‬‬ ‫נותר להוכיח את המשפט רק עבור המקרה שבו ‪ c,d‬הן בקצות‬ ‫הקטע‪ .‬המקסימום והמינימום של ‪ f‬הם )‪ f(a‬ו )‪ .f(b‬אבל נתון‬ ‫כי )‪ ,f(a)=f(b‬ולכן נובע כי ‪ f‬היא הפןנקציה הקבועה‪ .‬אבל אז‬ ‫‪ f'=0‬בכל נקודות הקטע ]‪ ,[a,b‬וברור שהיא מקיימת את‬ ‫המשפט‪∎ .‬‬ ‫משפט ערך הבינים של לגרנג' ‪Lagrange‬‬ ‫נתונה פונקציה ‪ f‬אשר מוגדרת בקטע ]‪ ,[a,b‬רציפה בכל נקודות‬ ‫הקטע‪ ,‬וגזירה בכל נקודות הקטע הפתוח )‪ (a,b‬אז קימת‬ ‫)‪f (b)  f (a‬‬ ‫לפחות נקודה אחת ‪ ,c‬כך ש ‪ a<c<b‬וכך ש‬ ‫‪f '(c) ‬‬ ‫‪ba‬‬ ‫הערה‪ .‬יכולות להיות שתי נקודות כאלו או שלוש‪ .‬לא אומרים‬ ‫איך למצוא את ‪ .c‬כמו כן אם נציב את הנתון )‪ ,f(b)=f(a‬נקבל‬ ‫כי ‪ ,f'(c)=0‬כלומר משפט לגרנג' הופך להיות המשפט של רול‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫גם הוכחת משפט לגרנג' מסתמכת על המשפט של רול‪ .‬אנו‬ ‫לוקחים את הנתון על ‪ ,f‬ומנסים לשנות את המצב כדי לקבל‬ ‫נתונים כמו במשפט רול‪ .‬נגדיר )‪. k ( x)  f (b)  f (a) ( x  a)  f (a‬‬ ‫‪ba‬‬ ‫אז ‪ k‬היא פונקציה ממעלה ראשונה‪ ,‬ולכן הגרף שלה הוא קו‬ ‫ישר‪ .‬על ידי הצבה רואים כי )‪ ,k(a)=f(a),k(b)=f(b‬כלומר הקו‬ ‫הישר שהוא הגרף של ‪ ,k‬מתלכד עם הגרף של ‪ f‬בנקודות הקצה‬ ‫‪ .a,b‬ברור כי ‪ k‬היא פונקציה רציפה בקטע ]‪ [a,b‬וגזירה בכל‬ ‫נקודות הקטע הפתוח )‪ .(a,b‬נגדיר כעת )‪ .h(x)=f(x)-k(x‬אז ‪h‬‬ ‫היא הפרש של שתי פונקציות רציפות בקטע הסגור ולכן גם היא‬ ‫כזו‪ ,‬והיא הפרש של שתי פונקציות גזירות בקטע הפתוח ולכן‬ ‫גם היא כזו‪ ,‬ולפי הבניה ‪,h(b)=f(b)-k(b)=0 h(a)=f(a)-k(a)=0‬‬ ‫ולכן ‪ h‬מקיימת את תנאי משפט רול ולכן יש נקודה ‪ c‬אחת‬ ‫לפחות שבה מתקיים ‪.h'(c)=0‬‬ ‫לפי ההגדרה )‪ ,h'=f'-k'=f'-(f(b)-f(a))/(b-a‬כלומר קיימת ‪c‬‬ ‫אחת לפחות כך ש ‪ ,f'(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)=0‬כדרוש‪∎ .‬‬ ‫קטעי עליה‬ ‫נניח כי נתונים פונקציה ‪ f‬מוגדרת ורציפה בכל נקודות הקטע‬ ‫]‪ ,[a,b‬ולכל ‪ ,x‬כך ש‪ a<x<b‬מוגדרת )‪ f'(x‬ומתקיים כי ‪.f'(x)>0‬‬ ‫אז ]‪ [a,b‬קטע עליה של ‪.f‬‬ ‫הוכחה‬ ‫תהינה נתונות נקודות ‪ p,q‬כך ש ‪ ,a<p<q<b‬צ"ל כי )‪.f(p)<f(q‬‬ ‫נשים לב כי תנאי משפט לגרנג' קימים בקטע ]‪ ,[p,q‬כי ‪ f‬רציפה‬ ‫בקטע הסגור וגזירה בפתוח‪ .‬אז לפי מסקנת משפט לגרנג' קימת‬ ‫‪ c‬אחת לפחות כך ש ‪ p<c<q‬וכך ש )‪ . f '(c)  f (q)  f ( p‬לפי‬ ‫ההנחה ‪ ,f'(c)>0‬ולכן המנה‬ ‫‪q p‬‬ ‫)‪ . f (q)  f ( p‬היא חיובית‪.‬‬ ‫‪q p‬‬ ‫כיון‬ ‫שהמכנה חיובי לפי הנתון‪ ,‬גם המונה חיובי כדרוש‪∎ .‬‬ ‫קטעי ירידה‬ ‫נניח כי נתונים פונקציה ‪ f‬מוגדרת ורציפה בכל נקודות הקטע‬ ‫]‪ ,[a,b‬ולכל ‪ ,x‬כך ש‪ a<x<b‬מוגדרת )‪ f'(x‬ומתקיים כי ‪.f'(x)>0‬‬ ‫אז ]‪ [a,b‬קטע עליה של ‪.f‬‬ ‫ההוכחה דומה מאוד להוכחת הטענה הקודמת‪.‬‬ ‫משפט ערך הבינים של קושי ‪Cauchy‬‬ ‫נתונים הקטע ]‪ ,[a,b‬ופונקציות ‪ ,g,f‬אשר מוגדרות ורציפות בכל‬ ‫נקודות הקטע‪ ,‬וגזירות בכל נקודות הקטע הפתוח )‪ ,(a,b‬וכך‬ ‫שלכל ‪ x,a<x<b‬מתקיים ‪ .g'(x)>0‬אז קימת לפחות נקודה‬ ‫אחת ‪ ,c‬כך ש ‪ a<c<b‬וכך ש )‪. f '(c)  f (b)  f (a‬‬ ‫)‪g (b)  g (a‬‬ ‫)‪g '(c‬‬ ‫הערה‪ .‬יכולות להיות שתי נקודות כאלו או שלוש‪ .‬לא אומרים‬ ‫איך למצוא את ‪ .c‬כמו כן אם נציב את הנתון ‪ ,g(x)=x‬נקבל כי‬ ‫‪ ,g'(c)=1,g(b)=b,g(a)=a‬כלומר משפט ערך הבינים של קושי‬ ‫הופך להיות משפט ערך הבינים של לגרנג'‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נשים לב כי לא יתכן כי )‪ g(a)=g(b‬כי אז ‪ g‬היתה מקיימת את‬ ‫הנתונים של משפט רול‪ ,‬ולכן גם את מסקנתו כלומר היה נובע‬ ‫כי יש ‪ c‬כך ש ‪ ,g'(c)=0‬סתירה לנתון‪ .‬לכן )‪ g(b)-g(a‬שונה מ‪0-‬‬ ‫וניתן לחלק בו‪.‬‬ ‫נכליל את הוכחת משפט ערך הבינים של לגרנג'‪ ,‬נביט בפונקציה‬ ‫‪ h‬אשר הוגדרה שם‪ ,‬וכל אות של משתנה או של קבוע נחליף‬ ‫בערך של ‪ g‬באותה נקודה‪ .‬כלומר במקום‬ ‫)‪ h( x)  f ( x)  k ( x)  f ( x)  f (b)  f (a) ( x  a)  f (a‬נביט על‬ ‫‪ba‬‬ ‫)‪. h( x)  f ( x)  f (b)  f (a) ( g ( x)  g (a))  f (a‬‬ ‫)‪g (b)  g (a‬‬ ‫קודם כל נשים לב כי‬ ‫לפי טענה קודמת נובע כי )‪ g(b)>g(a‬ולכן ‪g(b)-g(a)>0.‬‬ ‫חבור חסור כפל או חלוק בקבוע משאירים פונקציה רציפה‬ ‫רציפה‪ ,‬ומשאירים פונקציה גזירה גזירה‪ ,‬ולכן‬ ‫)‪ f (b)  f (a) ( g ( x)  g (a))  f (a‬מתקבלת מ‪ g‬על ידי חסור כפל‬ ‫)‪g (b)  g (a‬‬ ‫וחלוקה בקבועים‪ ,‬ולכן היא פונקציה רציפה בקטע הסגור‬ ‫וגזירה בפתוח‪ .‬גם ‪ f‬רציפה בקטע הסגור וגזירה בפתוח ולכן‬ ‫כיון שחסור פונקציות רציפות היא רציפה וחסור שתי פונקציות‬ ‫גזירות היא גזירה‪ ,‬נובע כי ‪ h‬היא פונקציה רציפה ב ]‪[a,b‬‬ ‫וגזירה ב )‪ .(a,b‬כמו כן לפי הנתון ‪ ,h(a)=h(b)=0‬ולכן‬ ‫מתקיימים תנאי משפט רול‪ ,‬ולכן לפי מסקנת משפט רול קימת‬ ‫‪ c‬אחת לפחות כך ש ‪ a<c<b‬וכך ש ‪ .h'(c)=0‬לפי הגדרת הנגזרת‬ ‫נובע כי ‪ h '(c)  f '(c)  f (b)  f (a) g '(c)  0‬או על ידי העברת אגפים‬ ‫)‪g (b)  g (a‬‬ ‫)‪ , f '(c)  f (b)  f (a‬כדרוש‪.‬‬ ‫)‪g '(c) g (b)  g (a‬‬ ‫∎‬ ‫כלל ל'הופיטל עבור ‪ 0/0‬בנקודה סופית‬ ‫נתונים קטע ]‪ [a,b‬ופונקציות ‪ f,g‬אשר מוגדרות רציפות וגזירות‬ ‫‪ lim‬ו‪ .g'>0‬אז‬ ‫בקטע )‪ (a,b‬וכך שמתקיים ‪f ( x)  lim g ( x)  0‬‬ ‫‪xb‬‬ ‫‪xb‬‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫)‪f '( x‬‬ ‫‪ lim‬‬ ‫‪. lim‬‬ ‫מתקיים כי‬ ‫‪xb‬‬ ‫‪xb‬‬ ‫)‪g '( x‬‬ ‫)‪g ( x‬‬ ‫הוכחה‬ ‫‪ , lim‬ניתן להרחיב את תחום‬ ‫כיון שמתקיים ‪f ( x)  lim g ( x)  0‬‬ ‫‪xb‬‬ ‫‪xb‬‬ ‫ההגדרה של ‪ f‬ושל ‪ g‬לקטע הסגור ]‪ [a,b‬על ידי זה שנגדיר‬ ‫‪ .f(b)=g(b)=0‬אז מתקיים לפי משפט ערך הביניים של קושי‬ ‫שיימת נקודה ‪ c‬אחת לפחות‪ x<c<b ,‬כך שמתקיים השויון‬ ‫)‪ f ( x)  f ( x)  0  f ( x)  f (b)  f '(c‬ולכן‬ ‫)‪g ( x)  0 g ( x)  g (b) g '(c‬‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫)‪f '(c‬‬ ‫)‪f '(c‬‬ ‫‪ lim‬‬ ‫‪ lim‬‬ ‫‪ , lim‬כדרוש‪.‬‬ ‫)‪xb g ( x‬‬ ‫)‪xb , xcb g '(c‬‬ ‫)‪cb g '(c‬‬ ‫)‪g ( x‬‬ ‫∎‬