הרצאות אינפי א התשע"ד - המכללה האקדמית נתניה

‫שעורי אינפי א' התשע"ד‬
‫שם המורה‪:‬ד"ר גיורא דולה‬
‫הישר הממשי‬
‫קבוצת המספרים הטבעיים מסומנת והיא כוללת את המספרים ‪3,2,1‬‬
‫וכן הלאה‪ .‬מסמנים } ‪  {1, 2,3,‬וזהו סימון מקובל של תורת הקבוצות‪.‬‬
‫קבוצת הטבעיים‪ ,‬למרות היותה פשוטה וטבעית‪ ,‬לא מספיקה לצרכינו‪.‬‬
‫למשל למשואה ‪ 3+x=1‬אין פתרון שהוא מספר טבעי‪ .‬לכן יש צורך‬
‫להוסיף את ‪ 0‬ואת המספרים השליליים‪ ,‬ומקבלים } ‪.  {0, 1, 2, 3,‬‬
‫הקבוצה החדשה נקראת קבוצת המספרים השלמים‪ .‬קבוצת השלמים‬
‫כוללת בחובה את קבוצת הטבעיים כתת קבוצה (קבוצה חלקית)‪ .‬הסימון‬
‫לקבוצה חלקית הוא ‪ , ‬ויש מקומות שמסמנים ‪. ‬‬
‫ליחס בין קבוצה ובין קבוצה גדולה יותר קוראים יחס ההכלה בין‬
‫קבוצות‪ .‬כאשר יש כזו הכלה (וגם במקרים כלליים יותר)‪ ,‬ניתן לחשוב על‬
‫קבוצת כל האיברים שהם בקבוצה הגדולה אך לא נמצאים בקבוצה‬
‫הקטנה יותר‪ .‬לקבוצה החדשה קוראים המשלים של הקבוצה הקטנה‬
‫בתוך הקבוצה הגדולה‪ .‬למשל המשלים של הטבעיים בתוך הטבעיים‬
‫מסומנים ומוגדרים על ידי } ‪  {0, 1, 2, 3,‬‬
‫‪.‬‬
‫גם קבוצת השלמים איננה מספיקה‪ ,‬ולמשל למשואה ‪ 3x=1‬אין פתרון‬
‫שהוא מספר שלם‪ .‬לכן נאלצים להוסיף את כל השברים ומגדירים את‬
‫קבוצת המספרים הרציונליים‪ ,‬שהיא קבוצת כל המספרים שהם מנות‬
‫‪m‬‬
‫של שני שלמים‪ ,‬וכאשר המכנה שונה מ‪ .0-‬נסמן }}‪ { , m  , n   {0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ .‬אז כל מספר שלם ניתן לראות כמספר רציונלי בעל מכנה שהוא ‪.3‬‬
‫לכן ישנה הכלה ‪ . ‬קבוצת המספרים הרציונליים היא מבנה אשר‬
‫באלגברה נקרא שדה‪ .‬למספרים הטבעיים ולמספרים השלמים אין מבנה‬
‫של שדה‪.‬‬
‫נתון רבוע שאורך הצלע שלו הוא ‪ .3‬ידוע כי אורך אלכסון של הרבוע הוא‬
‫‪ .√2‬התוצאה הבאה היתה ידועה ליוונים כבר בעת העתיקה‪.‬‬
‫משפט‬
‫‪ √2‬איננו רציונלי‪ .‬נסוח אחר‪ :‬לכל שני מספרים שלמים ‪ n( m,n‬שונה מ‪-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ,)0‬מתקיים כי‬
‫‪m‬‬
‫‪   2.‬‬
‫‪n‬‬
‫‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫ההוכחה מסתמכת על העובדה שכל מספר רציונלי ‪ a/b‬ניתן להצגה בתור‬
‫שבר ‪ ,c/d‬כאשר ‪ c,d‬זרים בזוגות‪ ,‬כלומר המספר היחיד המחלק את ‪c‬‬
‫ואת ‪ d‬הוא ‪ .±3‬להצגה הזו נקרא הצגה זרה‪.‬‬
‫נניח בשלילה שיש מספר רציונלי שרבועו הוא ‪ ,2‬ונעבור להצגה זרה‪ .‬אם‬
‫נגיע לסתירה אז נצטרך לשלול את זה שיש שיש מספר שרש רציונלי ל‪,2-‬‬
‫כלומר כל סתירה תוכיח את המשפט‪ .‬אז נעבור להצגה זרה של ‪.√2‬‬
‫כלומר מניחים שיש טבעיים זרים ‪ m,n‬כך ש ‪ .(m/n)2=2‬נעביר אגפים‬
‫ונקבל כי ‪.m2=2n2‬‬
‫קימות עבור ‪ m‬שתי אפשרויות‪ .‬או שהוא זוגי או אי זוגי‪ .‬אם ‪ m‬היה‬
‫איזוגי אז גם ‪ m2‬היה אי זוגי‪ .‬זה היה סותר את השויון ‪ ,m2=2n2‬כיון‬
‫שאגף ימין מתחלק ב‪.2-‬‬
‫לכן ‪ m‬חיב להיות זוגי‪ .‬לכן חיב להיות ‪ k‬טבעי כך שמתקיים ‪ ,m=2k‬ולכן‬
‫‪ .m2=4k2‬נציב ונקבל ‪ . 2n2=m2=4k2‬ולכן נצמצם ונקבל ‪.n2=2k2‬‬
‫שוב עבור ‪ n‬קימות שתי אפשרויות זוגי ואי זוגי‪ ,‬ולכן הוא חיב להיות זוגי‪.‬‬
‫קבלנו סתירה כי גם ‪ m‬וגם ‪ n‬חיבים להיות זוגיים‪ ,‬ולכן הם אינם זרים‬
‫בסתירה לכך שהם נבחרו להיות זרים‪.‬‬
‫מסקנה שורש ‪ 2‬הוא איננו מספר רציונלי‪.‬‬
‫המספרים הממשיים‬
‫נשלים את המספרים הרציונליים על ידי הוספת שרש ‪ ,2‬שרש ‪ 1‬ועוד‬
‫ונקבל את המספרים הממשיים המסומנים באות ‪ .R‬נקבל הכלה של‬
‫‪ . ‬נקבל גם } ‪  { 2, 3, 2 2,  , e‬‬
‫‪ .‬המשלים היא‬
‫קבוצות‬
‫קבוצה אינסופית ורשמנו רק חלק מאיבריה‪.‬‬
‫הישר הממשי‬
‫נציר ישר ונסמן עליו שתי נקודות שתסומנה ‪ 0‬ו ‪ .3‬אז לכל נקודה על‬
‫הישר מתאים מספר ממשי‪ ,‬ונאמר שהישר הוא הישר הממשי‪.‬‬
‫קטעים‪ ,‬קרניים‬
‫נתונים שני מספרים ממשיים ‪ .a<b‬נסמן בסימון ]‪ [a.b‬את קבוצת כל‬
‫המספרים הממשיים אשר הם גדולים או שוים ל‪ a-‬וקטנים שוים ל‪,b-‬‬
‫ובסימונים }‪ . [a, b]  {x, a  x  b‬הקבוצה ]‪ [a,b‬קרויה הקטע הסגור בין ‪a‬‬
‫ו‪.b-‬‬
‫עבור ‪ a<b‬מוגדר גם הקטע הפתוח‪ ,‬על ידי }‪ . (a, b)  {x, a  x  b‬נשים לב‬
‫כי }‪. [a, b]  (a, b)  {a, b‬‬
‫ובאותה מידה מוגדרים קטעים חצי פתוחים וחצי סגורים‪,‬‬
‫}‪ (a, b]  {x, a  x  b‬וגם }‪ . [a, b)  {x, a  x  b‬נשים לב כי }‪[a, b]  (a, b]  {a‬‬
‫}‪. [a, b]  [a, b)  {b} (a, b]  (a, b)  {b} [a, b)  (a, b)  {a‬‬
‫קרנים הן מושג דומה‪ ,‬ומוגדרות כך }‪ . [a, )  {x, a  x‬נקראת קרן סגורה‪,‬‬
‫}‪ (a, )  {x, a  x‬נקראת קרן פתוחה‪ . (, a]  {x, x  a} ,‬נקראת קרן‬
‫סגורה‪ ,‬ו }‪ (, a)  {x, x  a‬נקראת קרן פתוחה‪ .‬עוד נשים לב לקשרים‬
‫שכאלו ]‪ . [a, )  (, b]  [a, b‬יש עוד אבל כתבנו רק חלק‪.‬‬
‫קבוצה ממשית‬
‫קבוצה ‪ A‬תקרא קבוצה ממשית אם היא חלקית לקבוצה‬
‫‪.‬‬
‫חסימות‬
‫קבוצה ממשית ‪ A‬תקרא חסומה מלעיל (בארמית מלמעלה) אם קים‬
‫מספר ממשי ‪ M‬כך שמתקיים ) ‪ . ( x  A)  ( x  M‬אם לא קים כזה ‪M‬‬
‫אומרים כי ‪ A‬איננה חסומה מלעיל‪ M .‬קרוי חסם מלעיל של ‪.A‬‬
‫קבוצה ממשית ‪ A‬תקרא חסומה מלרע (בארמית מלמטה) אם קים מספר‬
‫ממשי ‪ K‬כך שמתקיים )‪ . ( x  A)  ( K  x‬אם לא קים כזה ‪ K‬אומרים כי‬
‫‪ A‬איננה חסומה מלרע‪ K .‬קרוי חסם מלרע של ‪.A‬‬
‫קבוצה ממשית ‪ A‬תקרא חסומה אם היא חסומה מלעיל ומלרע‪.‬‬
‫דוגמאות‬
‫כל הקטעים בין ‪ a‬ל‪ , b-‬בין אם הם פתוחים או סגורים או חצי פתוחים‬
‫וחצי סגורים‪ ,‬חסומים מלעיל על ידי ‪ b‬וחסומים מלרע על ידי ‪.a‬‬
‫הקרניים )‪ [a, ), (a, ‬חסומות מלרע על ידי ‪ a‬ואינן חסומות מלעיל‪.‬‬
‫הקרניים‬
‫)‪(, b],(, b‬‬
‫חסומות מלעיל על ידי ‪ b‬ואינן חסומות מלרע‪.‬‬
‫הטבעיים היא קבוצה חסומה מלרע על ידי ‪ 0‬אך לא חסומה מלעיל‪.‬‬
‫‪‬‬
‫היא קבוצה חסומה מלעיל על ידי ‪ 0‬אך לא חסומה מלרע‪.‬‬
‫חסמים עליונים ותחתונים‪.‬‬
‫אם ‪ M‬הוא חסם מלעיל של הקבוצה הממשית ‪ ,A‬אז גם ‪ M+1‬הוא חסם‬
‫מלעיל‪ .‬השאלה הקשה יותר היא האם קים חסם מלעיל של ‪ A‬הקטן מ‪-‬‬
‫‪ .M‬אותה שאלה קימת עבור חסם מלרע‪ .‬אם ‪ K‬חסם מלרע של ‪ ,A‬האם‬
‫קים לו חסם מלרע גדול ממנו‪.‬‬
‫אקסיומת השלמות‪.‬‬
‫א‪ .‬נתונה קבוצה ממשית חסומה מלעיל ‪ .A‬אז קבוצת חסמי המלעיל‬
‫של ‪ A‬מכילה אבר קטן ביותר‪ ,‬כלומר חסם מלעיל שכל מספר‬
‫שקטן ממנו איננו חסם מלעיל‪ .‬חסם זה נקרא חסם עליון של ‪A‬‬
‫ובלועזית ‪.supremum‬‬
‫ב‪ .‬נתונה קבוצה ממשית חסומה מלרע ‪ .A‬אז קבוצת חסמי המלרע‬
‫של ‪ A‬מכילה אבר גדול ביותר‪ .‬חסם זה נקרא חסם תחתון‬
‫ובלועזית ‪.Infimum‬‬
‫אקסיומת אוקלידס‪.‬‬
‫לכל מספרים ממשיים חיוביים ‪ a,b‬קים מספר טבעי ‪ n‬כך שמתקיים‬
‫‪.b<na‬‬
‫הוכחה כי אקסיומת אוקלידס נובעת מאקסיומת השלמות‪.‬‬
‫נניח בשלילה כי אקסיומת אוקלידס לא מתקיימת ונגיע למסקנה כי‬
‫אקסיומת השלמות לא מתקיימת‪.‬‬
‫ואכן נניח בשלילה כי קימים ‪ a,b‬ממשיים חיוביים כך שלכל ‪ n‬טבעי‬
‫‪ .na≤b‬נגדיר את הקבוצה }‪ .C={na,n⋲N‬אז ‪ C‬קבוצה ממשית ו‪ b‬הוא‬
‫חסם מלעיל שלה‪ ,‬ולכן לפי אקסיומת השלמות יש לה חסם עליון ‪ .d‬אם‬
‫נראה כי ‪ d-a‬גם הוא חסם מלעיל של ‪ C‬נקבל סתירה כיון ש ‪ d‬אמור‬
‫להיות קטן ביותר‪ .‬כיון ש ‪ d‬חסם מלעיל לכל ‪ n‬מתקיים כי ‪(n+1)a⋲C‬‬
‫ולכן ‪ (n+1)a≤d‬ולכן לכל ‪ n‬מתקיים ‪ ,na≤d-a‬כלומר אכן ‪ d-a‬חסם‬
‫מלעיל של ‪ C‬הקטן מ ‪ ,d‬סתירה‪.‬‬
‫סדרות‬
‫סדרה היא פונקציה ‪ . ‬את ההגדרה נבין אחרי שנדון בנושא‬
‫הפונקציות‪ ,‬בעתיד‪ .‬בינתיים נסתפק בעובדה שבכל סדרה יש אבר ראשון‪,‬‬
‫שני שלישי וכן הלאה‪ .‬האבר הראשון יסומן ‪ ,a1‬השני ‪ ,a2‬וכן הלאה‪.‬‬
‫נסמן את איברי הסדרה במישור‪ ,‬כאשר נסמן את הנקודה ‪ an‬כך ש ‪,x=n‬‬
‫ו‪.y= an‬‬
‫חסימות סדרות‪.‬‬
‫הסדרה }‪ { an‬נקראת חסומה אם קבוצת ה‪– y-‬ים שלה חסומה‪ .‬כנ"ל‬
‫מוגדרת סדרה חסומה מלעיל ומלרע‪.‬‬
‫דוגמאות‬
‫הסדרה ‪ an=n‬חסומה מלרע אך לא מלעיל‪.‬‬
‫הסדרה ‪ bn=-n‬חסומה מלעיל אך לא מלרע‪.‬‬
‫הסדרה ‪ cn=(-1)nn‬לא חסומה מלרע ולא מלעיל‪.‬‬
‫הסדרה ‪ dn=1/n‬חסומה מלרע ומלעיל‪.‬‬
‫עליה וירידה של סדרות‬
‫נגיד כי הסדרה }‪ { an‬עולה‪ ,‬אם לכל ‪ n‬מתקיים ‪ . an <an+1‬נגיד כי‬
‫הסדרה }‪ { an‬עולה במובן הרחב אם לכל ‪ n‬מתקיים ‪ . an ≤an+1‬נגיד כי‬
‫הסדרה }‪ { an‬עולה החל ממקום מסוים אם קים ‪ ,0<K‬כך שלכל ‪K<n‬‬
‫מתקיים ‪ . an <an+1‬נגיד כי הסדרה }‪ { an‬עולה במובן הרחב החל‬
‫ממקום מסוים אם קים ‪ ,0<K‬כך שלכל ‪ K<n‬אם לכל ‪ n‬מתקיים‬
‫‪. an ≤an+1‬‬
‫כל ההגדרות הבאות תקפות גם לסדרות יורדות כאשר התנאי הדרוש הוא‬
‫‪an+1 ≤an‬‬
‫דוגמאות‬
‫‪ .3‬הסדרה ‪ an=n‬עולה‪.‬‬
‫‪ .2‬הסדרה ‪ an=0,1,1,2,2,3,3,‬עולה במובן הרחב‪ .‬אחרי שנלמד‬
‫אודות פונקצית הערך השלם נוכל לכתוב את הנוסחה‬
‫‪ .1‬הסדרה‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪an   ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫יורדת ממקום מסוים‪ ,‬ואכן נקבל כי‬
‫‪a1  1  1, a2  2 1.414, a3  3 1.44229, a4  4  2  a2 , a5  5 1.379‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.‬כלומר ‪.K=3‬‬
‫גבול של סדרה‬
‫אחד המושגים החשובים בחשבון אינפיניטיזימלי הוא מושג הגבול של‬
‫סדרה‪ .‬הסימון המקובל ‪an  L‬‬
‫‪ lim‬הוא ‪ ,‬ומיד ניתן ונסביר את ההגדרה‬
‫‪n‬‬
‫המדויקת‪ ,‬אך נתחיל עם הגדרה אינטואיטיבית ודוגמאות‪.‬‬
‫הגרף של הסדרה‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪an ‬‬
‫הוא חלק מהגרף של הפונקציה‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f ( x) ‬‬
‫‪,‬‬
‫ורואים לפי אופי הגרף כי ככל ש‪ n‬הולך וגדל‪ y ,‬מתקרב ל‪.0-‬‬
‫הגרף של הסדרה‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪an  ‬‬
‫הוא חלק מהגרף של הפונקציה‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f ( x)  ‬‬
‫‪ ,‬וגם‬
‫כאן רואים לפי אופי הגרף כי ככל ש‪ n‬הולך וגדל‪ y ,‬מתקרב ל‪.0-‬‬
‫לגרף של הסדרה‬
‫‪(1) n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪an ‬‬
‫קשה יותר למצוא פונקציה ממשית שהוא‬
‫חלק ממנה‪ .‬כאן הגרף מורכב כך שחצי מהנקודות שלו הן מתוך הגרף‬
‫הקודם‪ ,‬וחצי אחר מהגרף שלפני הקודם‪ ,‬ולכן גם כאן ככל ש‪ n‬הולך וגדל‪,‬‬
‫‪ y‬מתקרב ל‪ .0-‬ואגב הגרף של הסדרה הוא חלק מהגרף של הפונקציה‬
‫‪(1  2n)‬‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫(‪sin‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫דוגמא של סדרה חסרת גבול‪ ,‬נביט על ‪ . an  (1)n‬אז עבור אינסוף ‪-n‬ים‬
‫ערך ה‪ -y‬של הסדרה הוא ‪ ,3‬ועבור אינסוף ערכים אחרים הוא ‪ ,-1‬ולכן‬
‫אין ערך יחיד של ‪ y‬שאליו הסדרה מתקרבת בגובה‪.‬‬
‫הערך המוחלט של ‪ ,x‬המסומן |‪ ,|x‬מוגדר כמרחק שבין ‪ x‬וראשית‬
‫הצירים‪ .‬יש לערך מוחלט התכונות הבאות‪:‬‬
‫‪.x=0‬‬
‫א‪|x|=0 ,0≤|x| .‬‬
‫ב‪.|xy|=|x||y| .‬‬
‫ג‪( .‬אי שויון המשולש) |‪.|x+y|≤|x|+|y‬‬
‫‪.-a≤x≤a‬‬
‫ד‪|x|≤a .‬‬
‫נביט באי השויון ‪ .|x-L|<ε :‬הוא שקול לאי השויון ‪ - ε <x-L< ε‬אשר‬
‫שקול לאי השויון ‪.L- ε <x< L+ε‬‬
‫דוגמאות לסדרות מתכנסות ומבוא להגדרת הגבול‪.‬‬
‫הסדרות‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪an  , bn  2 , cn  n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫שלשתן מתכנסות לגובה ‪ .3‬נגדיר‬
‫‪ .L=1,ε=0.01‬אז אי השויון ‪ .|x-L|<ε‬שקול לאי השויון ‪0.99 <x<1.01‬‬
‫‪ .‬עבור הסדרה הראשונה אי השויון איננו מתקיים עבור ‪ 300‬האיברים‬
‫הראשונים‪ ,‬אך מתקיים עבור כל האיברים מ‪ 303‬ואילך‪ .‬עבור הסדרה‬
‫השניה אי השויון איננו מתקיים עבור ‪ 30‬האיברים הראשונים אך‬
‫מתקיים עבור כל האיברים מ‪ 33‬ואילך‪ ,‬ועבור השלילשית לא מתקיים‬
‫עבור ‪ 6‬הראשונים וכן עבור השביעי ואילך‪.‬‬
‫כעת נכתוב את ההגדרה הבאה‪:‬‬
‫]) ‪[lim an  L]  [  0, K  0,(n  K )  (| an  L | ‬‬
‫‪n‬‬
‫כלומר‪ ,‬עבור כל אפסילון חיובי יש ‪ K‬מספר סופי של איברים שאולי לא‬
‫מקיימים את אי השויון ‪ ,‬אבל כל האיברים החל מהאיבר ה‪ ,3+K-‬כן‬
‫מקיימים את אי השויון‪ .‬המספר ‪ K‬תלוי בסדרה ‪ a‬או ‪ b‬כפי שראינו‬
‫קודם‪ ,‬אבל גם באפסילון‪ .‬ככל שאפסילון קטן‪ ,‬המספר ‪ K‬גדל‪ ,‬כי יש‬
‫יותר איברים שלא מקימים את אי השויון‪.‬‬
‫טענה‬
‫נתון קבוע ממשי ‪ c‬ונתונה הסדרה הקבועה ‪ .an=c‬אז מתקיים ‪an  c‬‬
‫‪.  lim‬‬
‫‪n ‬‬
‫הוכחה‬
‫כיון שלכל ‪ ,an–c=0 ,n‬הרי שלכל ‪ ,ε>0‬אי השויון ‪ | an  c | 0  ‬מתקיים‬
‫לכל ‪ ,n‬כלומר ללא פסולים‪.‬‬
‫משפטי אריתמטיקה של גבולות‬
‫משפט (חבור)‬
‫נתונות שתי סדרות‬
‫‪ lim an  L,  lim bn  M‬‬
‫‪ , an , bn‬ונתון כי‬
‫‪an  bn )  L  M‬‬
‫(‪.  lim‬‬
‫‪n ‬‬
‫הוכחה‬
‫צריך להראות כי ]) ‪ .   0, K  0,(n  K )  (| (an  bn )  ( L  M ) | ‬יהי‬
‫נתון ‪ .   0‬אז לפי הנתון (עבור ‪ )  / 2‬נובע כי קים ‪ K1‬כך ש‬
‫)‪ . (n  K1 )  (| an  L |  / 2‬באותה צורה נובע כי קים ‪ K2‬כך ש‬
‫)‪ . (n  K2 )  (| bn  M |  / 2‬נגדיר }‪ . K=max{K1,K2‬אז מתקיים כי‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ ,‬אז נובע כי‬
‫‪(n  K )  (| an  L |  / 2)  (| an  L |  / 2) ‬‬
‫) ‪(| (an  bn )  ( L  M ) || (an  L)  (bn  M ) || (an  L) |  | (bn  M ) |  / 2   / 2  ‬‬
‫‪,‬‬
‫כדרוש‪.‬‬
‫משפט (חסור)‬
‫נתונות שתי סדרות ‪ , an , bn‬ונתון כי‬
‫‪an  bn )  L  M‬‬
‫(‪.  lim‬‬
‫‪n ‬‬
‫הוכחה (תרגיל הביתה להגשה)‬
‫‪ lim an  L,  lim bn  M‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ ,‬אז נובע כי‬
‫חסימות סדרה מתכנסת‬
‫נתונה סדרה ‪ , an‬ונתון כי‬
‫‪ lim an  L‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪ ,‬אז נובע כי ‪. an‬היא חסומה‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫מתקיים לפי ההגדרה ) ‪ .   0, K  0,(n  K )  (| an  L | ‬נבחר ‪.   1‬‬
‫אז )‪ . K  0,(n  K )  (L 1  an  L  1‬נגדיר }‪. M  Max{a1, a2 , , aK , L  1‬‬
‫אז לכל ‪ n‬מתקיים ‪ . an  M‬בצורה דומה נגדיר }‪. J  Min{a1, a2 , , aK , L 1‬‬
‫אז לכל ‪ n‬מתקיים ‪ . J  an‬לכן ‪ M‬הוא חסם מלעיל ו ‪ J‬הוא חסם מלרע‬
‫של הסדרה‪ ,‬והיא אכן חסומה‪.‬‬
‫משפט (מכפלה)‬
‫‪ lim an  L,  lim bn  M‬‬
‫נתונות שתי סדרות ‪ , an , bn‬ונתון כי‬
‫‪anbn )  LM‬‬
‫(‪.  lim‬‬
‫‪n ‬‬
‫הוכחה‬
‫צריך להראות כי ]) ‪ .   0, K  0,(n  K )  (| (anbn )  ( LM ) | ‬יהי נתון‬
‫‪   0‬כלשהו‪ .‬לפי טענה קודמת הסדרה ‪ an‬חסומה‪ ,‬ולכן יש מספר חיובי‬
‫‪ J‬כך שמתקיים לכל ‪  J  an  J n‬או מה ששקול | ‪ . an | J‬לפי הגדרת‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫הגבול )‬
‫‪2M‬‬
‫‪‬‬
‫)‬
‫‪2J‬‬
‫‪K1  0,(n  K1 )  (| an  L |‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ ,‬אז נובע כי‬
‫‪ ,‬וגם לפי הגדרת הגבול‬
‫‪ . K2  0,(n  K2 )  (| bn  M |‬נגדיר }‪ .K=max{K1,K2‬אז מתקיים כי‬
‫עבור ‪,n>K‬‬
‫‪| (anbn )  ( LM ) || anbn  an M  an M  LM || an (bn  M )  (an  L) M |‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪J‬‬
‫‪M ‬‬
‫‪2J‬‬
‫‪2M‬‬
‫‪| an || bn  M |  | (an  L) M | J | bn  M |  M | an  L |‬‬
‫כדרוש‪.‬‬
‫משפט (הפכי)‬
‫נתונה סדרה ‪ , an‬ונתון כי ‪an  L‬‬
‫‪  lim‬וכי ‪ L‬וכל איברי הסדרה (החל‬
‫‪n ‬‬
‫ממקום מסוים) שונים מ‪ , .0-‬אז נובע כי החל ממקום מסוים מוגדרת‬
‫הסדרה‬
‫‪1‬‬
‫‪an‬‬
‫ומתקיים כי‬
‫‪1 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪an L‬‬
‫‪.  lim‬‬
‫‪n ‬‬
‫הוכחה‬
‫צריך להראות כי‬
‫‪1 1‬‬
‫) ‪ | ‬‬
‫‪an L‬‬
‫|( ‪ .   0, K  0,(n  K ) ‬יהי נתון ‪.   0‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫בה"כ נניח כי ‪ .0<L‬עבור ‪ an  L  )    0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪L‬‬
‫‪3L‬‬
‫ולכן עבור אותם ‪ n-‬ים מתקיים ‪  an ‬ועבור אותם ‪-n‬ים‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 2‬‬
‫כלומר הסדרה החדשה חיובית וחסומה‪ .‬עבור ‪ 0‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪3L an L‬‬
‫‪2‬‬
‫‪K1  0,(n  K1 )  ( L ‬‬
‫‪L2‬‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫‪ K2  0,(n  K2 )  (| an  L |‬נגדיר }‪ .K=max{K1,K2‬אז עבור ‪K<n‬‬
‫‪| an  L | 2 | an  L | 2 L2‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫|‪|  |‬‬
‫‪( L  an ) |‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ 2  ‬‬
‫‪an L Lan‬‬
‫‪Lan‬‬
‫‪LL‬‬
‫‪2L‬‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫משפט (מנה)‬
‫נתונות שתי סדרות ‪ , an , bn‬ונתון כי‬
‫כי‬
‫‪an‬‬
‫‪L‬‬
‫‪)‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ lim an  L,  lim bn  M , M  0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ ,‬אז נובע‬
‫(‪.  lim‬‬
‫‪n ‬‬
‫הוכחה‬
‫‪1‬‬
‫‪bn‬‬
‫לפי משפט ההפכי הסדרה‬
‫הסדרות‬
‫‪1‬‬
‫‪bn‬‬
‫מתכנסת לגבול‬
‫‪1‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ ,‬ולפי משפט המכפלה בין‬
‫‪ , an ,‬נובע המשפט‪.‬‬
‫דוגמא לשמוש משפט האריתמטיקה של גבולות‬
‫חשב את הגבול של הסדרה‬
‫‪n 2  3n  1‬‬
‫‪4n 2  5n  6‬‬
‫תשובה‬
‫‪n2  3n  1‬‬
‫‪3 1‬‬
‫‪1 11‬‬
‫‪1  2‬‬
‫‪1 3 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n  3n  1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n n ‬‬
‫‪n nn‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ , 2‬וקבלנו כי‬
‫‪4n  5n  6 4n 2  5n  6 4  5  6 4  5 1  6 1 1‬‬
‫‪n n2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪nn‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪2‬‬
‫מתקיים כי‬
‫הסדרה הנתונה היא חבור חסור כפל וחלוק של הסדרות הקבועות‬
‫‪ ,an=1,3,5,6‬ושל הסדרה‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪an ‬‬
‫‪ .‬הגבולות של הסדרות הקבועות הן‬
‫הקבועים המתאימים‪ ,‬והגבול של הסדרה‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫הוא ‪ ,0‬ולכן הגבול של‬
‫הסדרה המבוקשת הוא אותן פעולות אלגבריות בין הגבולות של כל‬
‫מרכיב ונקבל‬
‫‪1 11‬‬
‫‪1 3 ‬‬
‫‪n 2  3n  1‬‬
‫‪n n n  1 3 0  0  0  1‬‬
‫‪lim 2‬‬
‫‪ lim‬‬
‫‪n  4n  5n  6‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1 4  50  600 4‬‬
‫‪45 6‬‬
‫‪n‬‬
‫‪nn‬‬
‫משפט וירשטרס אודות סדרה מונוטונית‬
‫א‪ .‬נתונה סדרה אשר עולה במובן הרחב וחסומה‪ .‬אז היא מתכנסת‬
‫לחסם העליון שלה‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתונה סדרה אשר יורדת במובן הרחב וחסומה‪ .‬אז היא מתכנסת‬
‫לחסם התחתון שלה‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫נוכיח רק את א והוכחת ב היא תרגיל להגשה הביתה‪.‬‬
‫נניח כי ‪ an‬היא סדרה עולה במובן הרחב וכי ‪ M‬הוא החסם העליון שלה‬
‫ויהי נתון ‪ .   0‬אז מתקיים ‪ , M    M‬ולכן ‪ M  ‬איננו חסם מלעיל‬
‫של הסדרה ולכן יש איבר של הסדרה‪ ,‬כלומר ‪ K‬טבעי כך שמתקיים‬
‫‪ . M    aK  M‬אז לפי העליה של הסדרה‪ ,‬לכל ‪ n>K‬מתקיים כי‬
‫‪ M    aK  an  M  M  ‬כדרוש‪.‬‬
‫אי שויון הממוצעים‬
‫נתונים ‪ n‬מספרים אי שליליים ‪ .a1,a2,…,an‬אז מתקיים אי השויון‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪a  a‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪.‬‬
‫הבטוי הגדול קרוי הממוצע החשבוני והבטוי הקטן קרוי הממוצע ההנדסי‬
‫של האיברים הנתונים‪.‬‬
‫הסבר והוכחה עבור המקרה ‪.n=2‬‬
‫נסמן ‪ .a1=a,a2=b‬אז הטענה היא כי‬
‫‪ab‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. ab ‬‬
‫הוכחה‬
‫‪ab‬‬
‫) ‪)  (2 ab  a  b)  (4ab  a 2  2ab  b2 )  (0  a 2  2ab  b 2 )  (0  (a  b)2‬‬
‫‪2‬‬
‫טענה‬
‫‪( ab ‬‬
‫אם אי שויון הממוצעים מתקיים לכל קבוצה של ‪ n‬איברים‪ ,‬אז הוא‬
‫מתקיים לכל קבוצה של ‪ 2n‬איברים‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫נניח כי ‪ a1, a2 , an , an1, , a2n‬היא קבוצה של ‪ 2n‬איברים אי שליליים‪ .‬אז‬
‫נשים לב כי‬
‫‪‬‬
‫‪a 2n‬‬
‫‪an  n an1an 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ a 2n‬‬
‫‪a1a2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ an  an1  an 2 ‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪a 2n ‬‬
‫‪an n an1an 2‬‬
‫‪a1  a2 ‬‬
‫‪ a 2n‬‬
‫‪a1a2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪a2 n ‬‬
‫‪an1  an 2 ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪an an1‬‬
‫‪ an‬‬
‫‪a1a2‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪a1  a2 ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫מסקנה‪ :‬אי שויון הממוצעים מתקיים לכל קבוצה בת ‪ 2n‬איברים‪.‬‬
‫טענה‬
‫נניח כי נתונים מספרים טבעיים ‪ m,n‬כך ש ‪ .m<n‬אם אי שויון‬
‫הממוצעים מתקיים לכל קבוצה של ‪ n‬מספרים אי שליליים‪ ,‬אז הוא‬
‫מתקיים לכל קבוצה של ‪ m‬מספרים אי שליליים‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫‪a1  a2   am‬‬
‫נתונה קבוצה של מספרים אי שליליים ‪ a1, a2 , am‬נסמן‬
‫‪m‬‬
‫נביט בקבוצה בת ‪ n‬האיברים האי שליליים ‪ a1, a2 , am , b, b, , b‬ונפעיל‬
‫‪b‬‬
‫עליה את אי שויון הממוצעים‪ ,‬ונקבל‬
‫‪a1  a2 ‬‬
‫‪ am  b   b‬‬
‫‪n‬‬
‫‪mb  (n  m)b‬‬
‫‪‬‬
‫‪b‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ . n a1a2 amb b ‬נפעל על האגפים ונקבל‬
‫‪ n a1a2 am n bnm‬ונמשיך‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ b  n bm‬‬
‫ונמשיך‬
‫‪a1  a2   am‬‬
‫‪m‬‬
‫כדרוש‬
‫מסקנה‬
‫‪am  b ‬‬
‫‪am  bm  m a1a2‬‬
‫‪a1a2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪am  bb‬‬
‫‪a1a2‬‬
‫‪n‬‬
‫אי שויון הממוצעים מתקיים לכל ‪ n‬איברים אי שליליים‪.‬‬
‫טענה‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫הסדרה ‪ an  (1  )n‬עולה (במובן הרחב)‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫נביט על ‪ n+1‬האיברים אשר ‪ n‬מהם שוים ל ‪ ,1+1/n‬והאחרון שוה ל‪.3-‬‬
‫נפעיל עליהם את אי שויון המשולש‪ .‬אז סכומם הוא ‪ ,n+2‬ומכפלתם היא‬
‫‪ .(1+1/n)n‬לכן נקבל כי‬
‫‪n2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 n1‬‬
‫‪ (1  )n  (1 ‬‬
‫)‬
‫‪n 1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ , n1 (1  )n ‬כדרוש‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫נגדיר את הסדרה‬
‫‪1‬‬
‫! ‪k 1 k‬‬
‫‪. bn  1  ‬‬
‫כמה מאיברי הסדרה הם‬
‫‪8‬‬
‫‪b1  2, b2  2.5, b3  ,‬‬
‫‪3‬‬
‫טענה‬
‫לכל ‪ n‬מתקיים ‪. an  bn‬‬
‫הוכחה‬
‫‪n 1‬‬
‫‪ n 1‬‬
‫‪1‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪n(n  1) (n  k  1) 1 1‬‬
‫‪an  (1  )n    1k ( )nk ,  1k ( )nk ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪nk‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪k !(n  k )!n‬‬
‫‪nnn n‬‬
‫!‪k! k‬‬
‫‪k 0  k ‬‬
‫‪k  n‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪n‬‬
‫נגדיר את הסדרה‬
‫‪11‬‬
‫‪,‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k 0 2‬‬
‫‪. cn  1  ‬‬
‫‪c1  2, c2  2.5, c3 ‬‬
‫טענה‬
‫לכל ‪ n‬מתקיים ‪. bn  cn‬‬
‫הוכחה‬
‫כמה מאיברי הסדרה הם‬
‫עבור ‪ 2≤n‬מתקיים‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ k 1‬‬
‫‪k ! 1 2  3  k 1 2  2  2 2‬‬
‫טענה (אי שויון ברנולי)‪.‬‬
‫נתונים מספרים ‪ n‬טבעי ו‪ h‬ממשי המקיים ‪ .-1≤h‬אז מתקיים אי השויון‬
‫‪.1  nh  (1  h)n‬‬
‫הוכחה‬
‫אינדוקציה על ‪ . n‬עבור ‪ n=1‬מקבלים שויון‪ .‬נניח כי אי השויון נכון עבור‬
‫‪ n‬ונוכיח את נכונותו עבור ‪ .n+1‬נכפול את אי השויון עבור ‪ n‬בבטוי האי‬
‫שלילי ‪ 1+h‬ונקבל‬
‫‪(1  nh)(1  h)  (1  h)n (1  h)  1  nh  h  nh2  (1  h) n1 ‬‬
‫‪1  (n  1)h  1  nh  h  nh2  (1  h)n1‬‬
‫טענה‬
‫נתון מספר ממשי ‪ q‬המקיים ‪ .-1<q<1‬אז מתקיים ‪q n  0‬‬
‫‪. lim‬‬
‫‪n ‬‬
‫הוכחה‬
‫נפריד לשלשה מקרים לפי היות ‪ q‬אפס או חיובי או שלילי‪ .‬עבור המקרה‬
‫‪ ,q=0‬נובע כי ‪ q n‬היא הסדרה הקבועה ‪ 0‬שגבולה הוא ‪ .0‬נניח כי ‪.0<q<1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫אז ‪, h  1  1  0‬‬
‫‪ . q  1  1‬נשתמש באי שויון ברנולי‬
‫‪q‬‬
‫‪1  1 1  h‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫ונקבל כי‬
‫‪1 n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1 h‬‬
‫‪(1  h) 1  nh‬‬
‫( ‪ , 0  q n ‬ונקבל‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫(‬
‫( ‪  )  (  1  nh)  (  1  nh) ‬‬
‫)‪ n‬‬
‫‪1  nh‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪h‬‬
‫ולכן עבור‬
‫‪1‬‬
‫‪h‬‬
‫‪1‬‬
‫‪K‬‬
‫נקבל‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫(‪)‬‬
‫‪  )  (0  q n ‬‬
‫‪  )  (  q n   ).‬‬
‫‪h‬‬
‫‪1  nh‬‬
‫‪1  nh‬‬
‫‪1‬‬
‫‪(n  ‬‬
‫כדרוש‪.‬‬
‫נותר המקרה ‪ .-1<q<0‬אז מתקיים ‪ ,q=-p‬ואז ‪ p‬מקיים ‪ ,0<p<1‬ולכן‬
‫עבור אותם ‪-n‬ים שבהם מתקיים ‪ ,   pn   .‬גם מתקיים‬
‫‪ ,   qn   pn   .‬כדרוש‪.‬‬
‫טענה‬
‫לכל ‪ n‬מתקיים ‪. cn  3‬‬
‫הוכחה‬
‫נניח כי ‪ , 1  q  1‬ונחשב את‬
‫‪1  qn‬‬
‫‪ q , sn  qsn  1  q ,(1  q )sn  1  q , sn ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪1 q‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ( ) n 1.lim sn ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪ q .qsn  q  q ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sn  1  q ‬‬
‫‪q 1 0‬‬
‫‪1  q n 1  lim‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪lim sn  lim‬‬
‫‪ n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪.sn  1  ‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪n  1  q‬‬
‫‪1 q‬‬
‫‪1 q 1 q‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪.‬‬
‫מסקנה‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫הסדרה הסדרה ‪ an  (1  )n‬עולה (במובן הרחב) וחסומה מלעיל על ידי ‪,1‬‬
‫ולכן מתכנסת לגבול ‪ e‬אשר מקיים ‪ .e≤3‬הגבול קרוי ‪ e‬על שם המוצא של‬
‫הסדרה והגבול ‪ e=2.7818.. .Leonard Euler‬והוא מספר אי רציונלי‪.‬‬
‫אינסוף כגבול על ציר ‪.y‬‬
‫נגיד כי הסדרה ‪ an‬שואפת לאינסוף ונסמן ‪an  ‬‬
‫‪ , lim‬אם מתקיים התנאי‬
‫‪n ‬‬
‫הבא‪(M  0), (K  0),[(n  K )  (M  an )]. :‬‬
‫נגיד כי הסדרה ‪ an‬שואפת למינוס אינסוף ונסמן ‪an  ‬‬
‫‪ , lim‬אם מתקיים‬
‫‪n ‬‬
‫התנאי הבא‪(M  0), (K  0),[(n  K )  (an  M )]. :‬‬
‫הגדרה‬
‫נתונה סדרה ‪ an .‬אשר מקיימת שקים ‪ 0<K‬כך ש ‪ (n  K )  (0  an ).‬וגם כי‬
‫‪ . lim an  0.‬נגיד כי הסדרה שואפת ל ‪ 0+‬ונסמן ‪an  0  .‬‬
‫‪. lim‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪n ‬‬
‫טענה‬
‫הטענות הבאות שקולות‬
‫א‪ .‬הסדרה ‪ an‬שואפת לאינסוף‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪an‬‬
‫‪. lim‬‬
‫‪n ‬‬
‫הוכחה‬
‫נוכיח כי בהנתן הנתונים של א נובע ב‪ ,‬ובהנתן הנתונים של ב נובע א‪ .‬נתון‬
‫כי ‪ . (M  0), ( K  0),[(n  K )  (M  an )].‬נבחר ‪ .M=1‬אז קים ‪ K1‬כך ש‬
‫‪ . (n  K1 )  (1  an ).‬עבור אותם איברים מתקיים‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪an‬‬
‫‪ , 0 ‬ובפרט‬
‫האיברים הללו חיוביים‪ .‬יהי נתון ‪ . ε>0‬נגדיר ‪ . M=1/ ε‬ברור כי ‪M‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫חיובי וקים ‪ K2‬כך ש ‪ . (n  K2 )  (  an ).‬נגדיר }‪ .K=max{K1,K2‬אז‬
‫עבור ‪ n>K‬מתקיים‬
‫נניח כי הסדרה‬
‫‪1‬‬
‫‪an‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪an‬‬
‫‪ 0 ‬כדרוש‪.‬‬
‫איבריה חיוביים החל ממקום מסוים ושואפת לאפס‪,‬‬
‫ונוכיח כי הסדרה ‪ an‬שואפת לאינסוף‪ .‬יהי נתון ‪ .0<M‬נגדיר ‪ε =1/M‬‬
‫‪1‬‬
‫‪an‬‬
‫‪1‬‬
‫‪an‬‬
‫אז יש ‪ K2‬כך ש ‪ . (n  K2 )  (   ).‬אז יש ‪ K1‬כך ש ‪. (n  K1 )  (0  ).‬‬
‫נגדיר }‪ .K=max{K1,K2‬אז עבור ‪ n>K‬מתקיים‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪an‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ 0 ‬ולכן‬
‫עבור אותם ‪– n‬ים מתקיים ‪ M  an‬כדרוש‪.‬‬
‫הגדרה‬
‫נתונה סדרה ‪ an .‬אשר מקיימת שקים ‪ 0<K‬כך ש ‪ (n  K )  (an  0).‬וגם כי‬
‫‪ . lim an  0.‬נגיד כי הסדרה שואפת ל ‪ 0-‬ונסמן ‪lim an  0  .‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪n ‬‬
‫טענה‬
‫הטענות הבאות שקולות‬
‫א‪ .‬הסדרה סדרה ‪ an‬שואפת למינוס אינסוף‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪an‬‬
‫‪. lim‬‬
‫‪n ‬‬
‫הוכחה‪ :‬תרגיל הביתה‬
‫טענה‬
‫הטענות הבאות שקולות‬
‫א‪ .‬הסדרה סדרה ‪ an‬שואפת לאינסוף‪.‬‬
‫ב‪ .‬הסדרה סדרה ‪ an‬שואפת למינוס אינסוף‪.‬‬
‫הוכחה תרגיל הביתה‬
‫טענה‬
‫נתונות שתי סדרות‪ an ,‬אשר שואפת לאינסוף ו ‪ bn‬אשר חסומה מלעיל‪.‬‬
‫אז הסדרה ‪ an  bn‬שואפת לאינסוף‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫צריך להוכיח כי ‪ , (M  0), ( K  0),[(n  K )  (M  an  bn )].‬ונתון כי‬
‫‪ (M  0), ( K  0),[(n  K )  (M  an )].‬וכי קים מספר ‪ J‬כך שלכל ‪n‬‬
‫מתקיים ‪ . bn  J .‬יהי נתון ‪ .M>0‬עבור ‪ M+J‬קים ‪ 0<K‬כך ש‬
‫‪ . (n  K )  (M  J  an ).‬עבור ‪ K<n‬מתקיים ‪M  M  J  J  an  bn .‬‬
‫טענה (מסקנה)‬
‫נתונות שתי סדרות‪ an ,‬אשר שואפת לאינסוף ו ‪ bn‬אשר מתכנסת לגבול‬
‫סופי‪ .‬אז הסדרה ‪ an  bn‬שואפת לאינסוף‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫כיון שכל סדרה המתכנסת לגבול סופי היא חסומה‪ ,‬הטענה נובעת‬
‫מהטענה הקודמת‪.‬‬
‫טענה‬
‫נתונה סדרה ‪ an‬אשר שואפת לאינסוף אז ‪ an‬חסומה מלרע‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫עבור עבור ‪ M=1‬קים ‪ 0<K‬כך ש ‪ . (n  K )  (1  an ).‬נגדיר‬
‫‪ . J  min{a1, a2 , , aK ,1}.‬אז ‪ J‬הוא חסם מלרע כדרוש‪.‬‬
‫טענה‬
‫נתונה סדרה ‪ an‬אשר שואפת למינוס אינסוף אז ‪ an‬חסומה מלעיל‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫תרגיל הביתה‬
‫טענה‬
‫נתונות שתי סדרות‪an  ,  lim bn   ,‬‬
‫‪ an , bn ,  lim‬אז‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ lim(an  bn )  ‬‬
‫‪n‬‬
‫הוכחה‬
‫‪ ,  lim‬אז היא חסומה מלעיל והטענה‬
‫) ‪ an  bn  an  (bn‬וכיון ש ‪ bn  ‬‬
‫‪n ‬‬
‫נובעת מטענה קודמת‪.‬‬
‫טענה‬
‫‪1‬‬
‫‪an‬‬
‫נתונה סדרה אשר ‪ an‬שואפת לאינסוף‪ .‬אז ‪ )a  e‬‬
‫‪.  lim(1‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪n‬‬
‫הוכחה‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫יהי נתון ‪ .ε>0‬אז יש ‪ M‬כך ש ‪ . (n  M )  (e    (1  )n  e).‬לפי הנתון‬
‫קים ‪ K‬כך ש ‪ . (n  K )  (M  an ).‬עבור ‪ K<n‬מתקיים‬
‫כדרוש‪.‬‬
‫‪1 an‬‬
‫‪)  e.‬‬
‫‪an‬‬
‫‪e    (1 ‬‬
‫טענה‬
‫‪1‬‬
‫‪an‬‬
‫נתונה סדרה אשר ‪ an‬שואפת למינוס אינסוף‪ .‬אז ‪ )a  e‬‬
‫‪.  lim(1‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪n‬‬
‫הוכחה‬
‫נסמן ‪ , bn  an‬אז מתקיים ‪bn  ‬‬
‫‪  lim‬ואז נקבל‬
‫‪n ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪1 an‬‬
‫‪1 bn bn  1 bn‬‬
‫‪1 bn‬‬
‫‪1 bn 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪)  (1 ‬‬
‫(‪) ‬‬
‫‪)  ( n )bn  (1 ‬‬
‫‪)  (1 ‬‬
‫‪) (1 ‬‬
‫)‬
‫‪an‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪bn  1‬‬
‫‪bn  1‬‬
‫‪bn  1‬‬
‫‪bn  1‬‬
‫כיון ש ‪ bn‬שואפת לאינסוף ו ‪ 3‬היא סדרה קבועה וחסומה‪ ,‬נובע כי‬
‫‪1‬‬
‫‪ bn  1 .‬שואפת לאינסוף‪ .‬לכן לפי טענה קודמת ‪ 0‬‬
‫‪ , lim‬ולכן‬
‫‪n  b  1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 b 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ lim(1‬ולכן‬
‫‪‬‬
‫‪ lim1 ‬כמו כן לפי טענה קודמת ‪)  e‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪bn  1‬‬
‫‪bn  1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 bn 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )an  lim(1 ‬‬
‫‪) (1 ‬‬
‫‪)  e 1  e.‬‬
‫‪ lim(1‬כדרוש‪.‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪an‬‬
‫‪bn  1‬‬
‫‪bn  1‬‬
‫‪(1 ‬‬
‫‪n‬‬
‫טענה‬
‫נתונה סדרה אשר ‪ an‬שואפת ל‪ 0-‬ואשר כל איבריה שונים מ‪ .0-‬אז‬
‫‪1‬‬
‫‪an‬‬
‫‪ an )  e‬‬
‫‪.  lim(1‬‬
‫‪n ‬‬
‫הוכחה‬
‫ראשית נשים לב כי לפי הנתון כל האיברים ‪ an‬שונים מ‪ ,0-‬ולכן כל‬
‫האיברים‬
‫‪1‬‬
‫‪an‬‬
‫מוגדרים‪ .‬נפריד ל‪ 1-‬מקרים‪:‬‬
‫מקרה א‪ -‬נניח שיש ‪ 0<K‬כך ש ‪ (n  K )  (0  an ).‬לכן בעצם במקרה א‪,‬‬
‫‪an  0 ‬‬
‫‪ . lim‬אז אם נמחק את ‪ K‬האיברים הראשונים ונגדיר‬
‫‪n ‬‬
‫לפי טענה קודמת כי ‪bn  ‬‬
‫‪ lim‬ונקבל לפי טענה קודמת‬
‫‪n ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪1‬‬
‫‪an‬‬
‫‪ an )  lim(1  )b  e‬‬
‫‪ lim(1‬כדרוש‪.‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪an‬‬
‫‪bn ‬‬
‫נקבל‬
‫מקרה ב‪ -‬נניח שיש ‪ 0<K‬כך ש ‪ (n  K )  (an  0).‬לכן בעצם במקרה א‪,‬‬
‫‪an  0 ‬‬
‫‪ . lim‬אז אם נמחק את ‪ K‬האיברים הראשונים ונגדיר‬
‫‪n ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪an‬‬
‫‪bn ‬‬
‫נקבל‬
‫לפי טענה קודמת כי ‪bn  ‬‬
‫‪ lim‬ונקבל לפי טענה קודמת‬
‫‪n ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪an‬‬
‫‪1‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪ an )  lim(1  )b  e‬‬
‫‪ lim(1‬כדרוש‪.‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪n‬‬
‫מקרה ג‪ -‬נניח כי יש אינסוף איברים עבורם הסדרה חיובית ויש אינסוף‬
‫איברים עבורם הסדרה שלילית‪ .‬נגדיר ‪ . bn  1‬יהי נתון ‪ . ε>0‬נגדיר‬
‫‪an‬‬
‫| ‪cn | bn‬‬
‫‪1‬‬
‫‪cn‬‬
‫אז ‪cn  ‬‬
‫‪ lim‬ולכן ‪ ( K1  0),[(n  K1 )  (| (1  )c  e |  )].‬נגדיר‬
‫‪n ‬‬
‫| ‪dn   | bn‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dn‬‬
‫אז ‪dn  ‬‬
‫‪ lim‬ולכן ‪ ( K2  0),[(n  K2 )  (| (1  )d  e |  )].‬נגדיר‬
‫‪n ‬‬
‫‪n‬‬
‫}‪ . K=max{K1,K2‬אז עבור ‪ n>K‬מתקיים‪ :‬אם ‪ an>0‬אז ‪ bn =cn‬ולכן‬
‫‪1 n‬‬
‫‪1 n‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪cn‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪| (1  )bn  e || (1  )dn  e |  ).‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪dn‬‬
‫‪ . | (1  )b  e || (1  )c  e |  ).‬אם ‪ an<0‬אז ‪ bn =dn‬ולכן‬
‫‪ ,‬כדרוש‪.‬‬
‫טענה‬
‫נתונות סדרות ‪ an‬השואפת ל‪ 3-‬ואשר כל איבריה שונים מ‪ ,3-‬ו ‪ bn‬כך ש‬
‫‪ .  lim bn  ‬נניח כי ‪ .  lim(an  1) bn  L‬אז ‪anb  e L‬‬
‫‪.  lim‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n ‬‬
‫הוכחה‬
‫‪1‬‬
‫‪an 1 ( an 1) bn‬‬
‫‪( an 1) bn‬‬
‫‪an 1‬‬
‫] ))‪ [(1  (an  1‬‬
‫‪ eL‬‬
‫)‪ . an  (1  an  1)  (1  an  1‬אז כל איברי‬
‫הסדרה ‪ an  1‬שונים מ‪ 0-‬ושואפים ל‪ ,0-‬ולכן לפי טענה קודמת‬
‫‪e‬‬
‫‪1‬‬
‫‪an 1‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪bn‬‬
‫))‪ (an  1‬‬
‫‪ .  lim(1‬לפי ההנחה ‪  lim(an  1) bn  L‬ולכן לפי משפט‬
‫‪n ‬‬
‫‪n ‬‬
‫האריתמטיקה של גבולות עבור חזקות (אותו לא נסחנו ולא הוכחנו)‬
‫נובעת המסקנה‪.‬‬
‫מקרה שבו אריתמטיקה של גבולות לא מתקיימת‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫נביט על הסדרות הבאות‪ an  cn  1  , bn  n, dn  2n :‬אז מתקיים‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ anb  (1  )n , cn d  (1  )2n  ((1  )n )2 ,‬ולכן‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ lim anbn  e,  lim cn dn  e2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫משפט האריתמטיקה של גבולות אומר כי אם ‪an  L,  lim bn  M‬‬
‫‪  lim‬אז‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫נובע מידיית הגבול של סדרת הסכום‪/‬הפרש‪/‬מכפלה‪/‬מנת‪/‬חזקת הסדרות‬
‫והוא הסכום‪/‬הפרש‪/‬מכפלת‪/‬מנת‪/‬חזקת הגבולות‪ .‬ואילו בדוגמא‬
‫שלמעלה גבול הבסיס הוא ‪ ,3‬גבול המעריך הוא אינסוף‪ ,‬אבל גבול החזקה‬
‫תלוי גם בסדרות ולא רק ב'מספרים' ‪ 3‬ואינסוף‪.‬‬
‫דוגמא נוספת‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫נניח כי ‪ , an  bn  cn  , dn  .‬אז‬
‫‪an  0,  lim bn  0,  lim cn  0,  lim dn  0‬‬
‫‪ ,  lim‬ואז‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ 1, n  2‬‬
‫‪an‬‬
‫‪cn‬‬
‫‪ ,‬כלומר גם‬
‫כאשר יש מנה‪ ,‬וכאשר המונה והמכנה שואפים ל‪ ,0-‬אז אין מסקנה על‬
‫גבול המנה‪.‬‬
‫נציג את המקרים כ‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫וכ ‪ , 1‬והללו הם מקרים בעיתיים‪.‬‬
‫אריתמטיקה של אינסוף‬
‫נתונות שתי סדרות ‪an  ,  lim bn ,‬‬
‫‪ , an , bn lim‬ורוצים לחבר‪ /‬חסר‪ /‬כפול‪/‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫חלק‪ /‬העלות בחזקה את שתיהן‪ .‬האם אפשר תמיד לדעת את גבול‬
‫הסדרה החדשה (שתלוי רק ב ‪an , lim bn‬‬
‫‪ .?) lim‬ראינו עבור‬
‫‪n ‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪an  ,  lim bn  1, bn a‬‬
‫‪ ,  lim‬אי אפשר לומר את הגבול מראש‪ ,‬כלומר‬
‫‪n ‬‬
‫‪n‬‬
‫הוא מקרה שאין בו אריתמטיקה של גבולות‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫טענה‬
‫נתונות שתי סדרות ‪,‬‬
‫‪anbn  ‬‬
‫‪.  lim‬‬
‫‪n‬‬
‫הוכחה‬
‫‪an , bn‬‬
‫‪ ,‬ונתון כי ‪an  ,  lim bn  L,0  L‬‬
‫‪  lim‬אז‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2M‬‬
‫יהי נתון ‪ .0<M‬אז יש ‪ ,0<K1 ,K1‬כך ש ) ‪ an‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪3L‬‬
‫‪L‬‬
‫כן עבור ‪  ‬יש ‪ ,0<K2 ,K2‬כך ש ) ‪. (n  K2 )  (  bn ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪L 2M‬‬
‫}‪ .K=max{K1,K2‬אז ) ‪ anbn‬‬
‫‪ , (n  K )  (M ‬כדרוש‪.‬‬
‫‪2 L‬‬
‫( ‪ . (n  K1 ) ‬כמו‬
‫נגדיר‬
‫טענה‬
‫נתונות שתי סדרות ‪,‬‬
‫‪anbn  ‬‬
‫‪.  lim‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪an , bn‬‬
‫‪ ,‬ונתון כי ‪an  ,  lim bn  L, L  0‬‬
‫‪  lim‬אז‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫הוכחה תרגיל הגשה הביתה‬
‫הדוגמא הבאה מראה כי ∞‪ 0‬הוא מקרה בעיתי‪.‬‬
‫דוגמא‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ ,  lim an  0,  lim cn  0,  lim bn  ,  lim dn  ‬ואז ‪ , anbn  1, cn dn  2‬כלומר‬
‫נניח כי ‪ , an  cn  , bn  n, dn  2n.‬אז‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫כאשר יש מכפלה‪ ,‬וכאשר כופל אחד שואף ל‪ ,0-‬וכופל שני ל ∞ ‪ ,‬אז אין‬
‫מסקנה על גבול המכפלה‪.‬‬
‫הדוגמא הבאה מראה כי ∞‪ ∞/‬הוא מקרה בעיתי‪.‬‬
‫דוגמא‬
‫נניח כי ‪ , an  cn  bn  n, dn  2n.‬אז‬
‫‪an  ,  lim cn  ,  lim bn  ,  lim dn  ‬‬
‫‪ ,  lim‬ואז‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ 1, n  2‬‬
‫‪an‬‬
‫‪cn‬‬
‫‪ ,‬כלומר‬
‫כאשר יש מנה‪ ,‬וכאשר המונה והכנה שואפים ל‪ , ∞ -‬אז אין מסקנה על‬
‫גבול המנה‪.‬‬
‫הדוגמא הבאה מראה כי ‪ ∞0‬הוא מקרה בעיתי‪.‬‬
‫דוגמא‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ ,  lim an  ,  lim cn  ,  lim bn  0,  lim dn  0‬ואז ‪ 3‬‬
‫נניח כי ‪ , an  2n , cn  3n , bn  dn  .‬אז‬
‫‪n ‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ , anb  2, cnd‬כלומר‬
‫‪n‬‬
‫כאשר יש חזקה‪ ,‬וכאשר הבסיס שואף ל‪ , ∞ -‬והמעריך שואף ל‪ ,0-‬אז אין‬
‫מסקנה על גבול החזקה‪.‬‬
‫הדוגמא הבאה מראה כי ‪ 00‬הוא מקרה בעיתי‪.‬‬
‫דוגמא‬
‫‪n‬‬
‫נניח כי‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ , an    , cn    , bn  dn  .‬אז‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪an  0,  lim cn  0,  lim bn  0,  lim dn  0‬‬
‫‪ ,  lim‬ואז ‪ , anb  , cn d ‬כלומר‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫כאשר יש חזקה‪ ,‬וכאשר הבסיס שואף ל‪ , 0 -‬והמעריך שואף ל‪ ,0-‬אז אין‬
‫מסקנה על גבול החזקה‪.‬‬
‫הדוגמא הבאה מראה כי ∞‪ ∞-‬הוא מקרה בעיתי‪.‬‬
‫דוגמא‬
‫נניח כי ‪ , an  cn  bn  n, dn  2n.‬אז‬
‫‪an  ,  lim cn  ,  lim bn  ,  lim dn  ‬‬
‫‪ ,  lim‬ואז‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪dn  cn )  ‬‬
‫(‪ , bn  an  0, dn  cn  n,  lim‬כלומר כאשר יש הפרש‪ ,‬וכאשר‬
‫‪n‬‬
‫המחסר והמחוסר שואפים ל‪ , ∞ -‬אז אין מסקנה על גבול ההפרש‪.‬‬
‫נסכם את האריתמטיקה העובדת בצורת חוקי חשבון‪ ,‬ובנוסף נכתוב את‬
‫המקרים שאינם עובדים‪ .‬את רוב החוקים הוכחנו אבל לא את כולם‪.‬‬
‫טבלת האריתמטיקה של אינסוף‬
‫∞‪(-1)∞=-‬‬
‫∞=‪∞-L‬‬
‫∞‪1/0-=-‬‬
‫∞=‪1/0+‬‬
‫>‪L/∞=0+(L‬‬
‫‪0‬‬
‫‪a‬‬
‫‪∞ =∞,0<a‬‬
‫‪L/∞=0‬‬
‫<‪a∞=0+,0<a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪0 =?(7‬‬
‫)‪∞+∞=∞ --∞=?(1‬‬
‫∞‬
‫)‪L∞=- 0∞=?(2‬‬
‫)‪∞(L<0‬‬
‫‪∞/L=- ∞/∞=?(3‬‬
‫)‪∞(L<0‬‬
‫)‬
‫∞‬
‫∞‬
‫)‪a =∞,1< 1 =?(4‬‬
‫‪a‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪∞ =?(5) 0/0=?(6‬‬
‫∞=‪∞+L‬‬
‫)‪L∞=∞(L>0‬‬
‫‪∞/L=∞(L>0‬‬
‫)‬
‫‪L/∞=0‬‬‫)‪(L<0‬‬
‫‪a‬‬
‫‪∞ =0+,a<0‬‬
‫טריקים‬
‫ברגע שיש תרגיל חישוב שאי אפשר להשתמש בו באריתמטיקה של‬
‫גבולות‪ ,‬כלומר ברגע שמגיעים לאחד מ‪ 7-‬המקרים הבעיתיים‪ ,‬אפשר‬
‫להשתמש בחלק מהטריקים המופיעים כאן‪ .‬בקורס נלמד מספר סופי של‬
‫טריקים‪.‬‬
‫‪-3‬פונקציה רציונלית‬
‫נתונה‬
‫)‪p ( n‬‬
‫)‪q ( n‬‬
‫‪ , r (n) ‬כאשר )‪ p(n),q(n‬הם פולינומים ו‪ r(n)-‬קרויה פונקציה‬
‫רציונלית‪ .‬רוצים לחשב את‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r ( n)  ‬‬
‫‪ . lim‬נוציא מהמונה את הבטוי ‪nd‬‬
‫‪n ‬‬
‫כאשר ‪ d‬היא החזקה הגבוהה ביותר שמופיעה‪ .‬לדוגמא עבור‬
‫‪ . p(n)  n3  n2  n  1‬דרגתו היא ‪ ,1‬ונכתוב‬
‫‪1 1 1‬‬
‫) ‪‬‬
‫‪n n 2 n3‬‬
‫‪ . p(n)  n3  n2  n  1  n3 (1  ‬כך נעשה גם למכנה ואז נוכל לחשב‬
‫את הגבול‪ .‬יש אנשים שמכינים טבלאות תשובות התלויות בדרגות‬
‫המונה המכנה‪.‬‬
‫דוגמא‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫) ‪n3 (1   2  3‬‬
‫) ‪n(1   2  3‬‬
‫‪n n n  lim‬‬
‫‪n n n  (1  0  0  0)  ‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫)‪(1  0  0‬‬
‫) ‪n2 (1   2‬‬
‫) ‪(1   2‬‬
‫‪n n‬‬
‫‪n n‬‬
‫כפל וחלוקה בצמוד ‪ -‬א‬
‫‪n3  n 2  n  1‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪ lim‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪n2  n  1‬‬
‫נביט בשויון )‪ . a2  b2  (a  b)(a  b‬אפשר להשתמש בו כדי לפתור כמה‬
‫תרגילים‪.‬‬
‫דוגמא‬
‫‪lim( n2  1  n)    ‬‬
‫מהו‬
‫‪n ‬‬
‫תשובה‬
‫זהו מקרה של ∞‪ .∞-‬נשתמש בנוסחא עבור ‪ . a  n2  1, b  n‬נכפול‬
‫(ונחלק) בצמוד ונקבל‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪( n2  1) 2  n 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪n2  1  n‬‬
‫‪n2  1  n‬‬
‫)‪n 2  1  n  ( n 2  1  n‬‬
‫‪ :‬נפעיל גבול‬
‫‪n2  1  n‬‬
‫‪n2  1  n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪lim( n2  1  n)  lim‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ונקבל‪ 0. :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪n 1  n‬‬
‫‪ 1     ‬‬
‫כפל וחלוקה בצמוד ‪ -‬ב‬
‫נביט בשויון ) ‪ . a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2‬אפשר להשתמש בו כדי לפתור‬
‫כמה תרגילים‪.‬‬
‫דוגמא‬
‫מהו‬
‫‪lim( 3 n3  n2  n  1  n)    ‬‬
‫‪n‬‬
‫תשובה‬
‫זהו מקרה של ∞‪ .∞-‬נשתמש בנוסחא עבור ‪ . a  3 n3  n2  n  1, b  n‬נכפול‬
‫(ונחלק) בצמוד ונקבל‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪( 3 n3  n 2  n  1)2  n 3 n3  n 2  n  1  n 2‬‬
‫‪( 3 n3  n 2  n  1)2  n 3 n3  n 2  n  1  n 2‬‬
‫)‪( n  n  n  1  n)  ( n  n  n  1  n‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪n2  n  1‬‬
‫‪( 3 n3  n 2  n  1)2  n 3 n3  n 2  n  1  n 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n3  n 2  n  1  n3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪( 3 n3  n 2  n  1)2  n 3 n3  n 2  n  1  n 2‬‬
‫) ‪n 2 (1  1/ n  1/ n 2‬‬
‫‪(n 3 1  1/ n  1/ n 2  1/ n3 ) 2  n 2 3 1  1/ n  1/ n 2  1/ n3  n 2‬‬
‫‪1  1/ n  1/ n 2‬‬
‫‪( 3 1  1/ n  1/ n 2  1/ n3 ) 2  3 1  1/ n  1/ n 2  1/ n3  1‬‬
‫‪ :‬נפעיל גבול ונקבל‪:‬‬
‫‪)‬‬
‫‪1  1/ n  1/ n2‬‬
‫(‪lim( 3 n3  n 2  n  1  n)  lim‬‬
‫‪( 3 1  1/ n  1/ n 2  1/ n3 ) 2  3 1  1/ n  1/ n 2  1/ n3  1‬‬
‫‪1 0  0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪( 1  0  0  0) 2  3 1  0  0  0  1 1  1  1 3‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪n ‬‬
‫נוסחאות נוספות‬
‫יש נוסחאות נוספות כמו ) ‪ , a4  b4  (a  b)(a3  a2b  ab2  b3‬ואשר בכלן‬
‫אפשר להשתמש‪.‬‬
‫פונקציות‬
‫בינתיים כשלמדנו אודות גבולות של סדרות הכתה למדה אודות‬
‫פונקציות בשעור דיסקרטית‪.‬‬
‫פונקציה ‪ f:A→B‬היא קבוצה חלקית ‪ f‬של המכפלה הקרטזי⃘ת ‪A×B‬‬
‫בעלת תכונת החד ערכיות‬
‫)‪ A . 1.x  A, y  B, f ( x)  y.2.[( f ( x)  a)  ( f ( x)  b)]  (a  b‬קרויה התחום‬
‫ו ‪ B‬קרויה הטווח של ‪ .f‬התמונה של ‪ f‬מסומנת )‪ Im(f‬היא הקבוצה‬
‫החלקית של ‪ . Im( f )  {y  B, x  A, f ( x)  y} B‬אומרים כי ‪ f‬היא על אם‬
‫מתקיים )‪ .B=Im(f‬אומרים כי ‪ f‬חד‪-‬חד‪-‬ערכית אם מתקיים כי‬
‫)‪ . ( f (a)  f (b))  (a  b‬אם ‪ f‬חח"ע ועל קימת הפונקציה ההפוכה‬
‫‪ f-1:B→A‬המוגדרת על ידי )‪ .(f(x)=y) (f-1(y)=x‬ההרכבה של ‪g:B→C‬‬
‫על ‪ f:A→B‬היא הפונקציה ‪ g⃘⃘·f:A→C‬המוגדרת על ידי‬
‫))‪ .(g·f)(x)=g(f(x‬נסמן ב ‪ IX‬את פונקצית הזהות ‪.I:X→X,I(a)=a‬‬
‫פונקציה ‪ f:A→B‬והפוכתה ‪ f-1:B→A‬מקיימות כי ‪ f-1·f:A→A‬שוה‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫לפונקציה ‪ ,IA‬וכי ‪ f·f-1:B→B‬שוה לפונקציה ‪ .IB‬ולהפך‪ ,‬נתונות שתי‬
‫פונקציות ‪ g:B→C‬ו ‪ f:A→B‬כך ש ‪ g·f= IA‬וכך ש ‪ .f·g= IB‬אז גם ‪ f‬וגם‬
‫‪ g‬הן חח"ע ועל ומתקיים כי ‪.g= f-1‬‬
‫עד כאן דברנו על פונקציות כלשהן‪.‬‬
‫הפונקציות שנעסוק בהן באינפי הן ממשיות כלומר כאלו שהתחום‬
‫והטווח הן המספרים הממשיים ‪ .R‬יכול להוצר מצב כי ישנו ‪ x‬ב‪ R-‬שאי‬
‫אפשר להציב אותו בנוסחא של ‪ ,f‬ואז התחום הוא חלקי ל‪.R-‬‬
‫ת"ה סימטרי‬
‫נתונה פונקציה ‪ . f:D→R‬נגיד כי ת"ה ‪ D‬הוא סימטרי אם מתקיים‬
‫)‪ . ( x  D)  ( x  D‬לדוגמא ל ‪ y=3x+4,y=1/x,y=1/x2‬תחום הגדרה‬
‫סימטרי‪ ,‬אבל ל)‪. y=1/(x+1‬אין ת"ה סימטרי‪.‬‬
‫זוגיות ואי זוגיות‬
‫נתונה פונקציה ‪ f:D→R‬בעלת ת"ה סימטרי‪ .‬נגיד כי היא פונקציה זוגית‬
‫אם מתקיים ‪ . x  D, f ( x)  f ( x).‬לדוגמא‬
‫‪ax2 , ax4 , ax6 , , ax0  a, ax 2 ,‬‬
‫כולן זוגיות‪ ,‬כלומר כל החזקות הזוגיות של ‪ ,x‬אבל לא רק‪ ,‬גם הפונקציה‬
‫)‪ y=cos(x‬היא פונקציה זוגית‪ .‬לפונקציה זוגית יש סימטריה של הגרף‬
‫ביחס לציר ‪.y‬‬
‫נתונה פונקציה ‪ f:D→R‬בעלת ת"ה סימטרי‪ .‬נגיד כי היא פונקציה אי‪-‬‬
‫זוגית אם מתקיים ‪ . x  D, f ( x)   f ( x).‬לדוגמא‬
‫‪ax1 , ax3 , , ax1 , ax3 ,‬‬
‫כולן אי‪-‬זוגיות‪ ,‬כלומר כל החזקות האיזוגיות של ‪ ,x‬אבל לא רק‪ ,‬גם‬
‫הפונקציה )‪ y=sin(x‬היא פונקציה איזוגית‪ .‬לפונקציה כזו יש סימטריה‬
‫של הגרף ביחס לצירי ‪ x‬ו‪.y -‬‬
‫אם הפונקציה איננה זוגית ואיננה איזוגית נגיד כי היא פונקציה כללית‪.‬‬
‫מחזוריות‬
‫נגיד כי ‪ f:D→R‬היא מחזורית עם מחזור ‪ ,T‬אם מתקיים‬
‫‪ . x  D, f ( x  T )  f ( x).‬הפונקציות )‪ sin(x),cox(x‬הן מחזוריות עם‬
‫מחזור ‪ ,2π‬והפונקציות )‪ tan(x),cot(x‬הן מחזוריות עם מחזור ‪ .π‬אם‬
‫‪T‬הוא מחזור של ‪ ,f‬אז גם ‪ 2T,3T,nT,n∊ℕ‬הוא מחזור של ‪.f‬‬
‫קטעי עליה וירידה‬
‫נגיד כי ‪ I‬הוא קטע (או קרן) עליה (במובן הצר) של ‪ f‬אם מתקיים‬
‫‪ . x, y  I ,( x  y)  ( f ( x)  f ( y)).‬הקרן )∞‪ [0,‬היא תחום עליה של‬
‫‪ .f(x)=x2‬הקטע ]‪ [-π/2, π/2‬הוא קטע עליה של )‪ ℝ ,sin(x‬הוא תחום‬
‫עליה של ‪ .y=x‬הקרן )∞‪ [0,‬היא תחום ירידה של ‪ ,f(x)=1/x‬גם הקרן‬
‫]‪ (-∞,0‬היא תחום ירידה של ‪ ,f(x)=1/x‬אבל ‪ f‬לא יורדת בכל תחום‬
‫הגדרתה כי ‪ -1<1‬על ציר ה‪ ,x-‬אבל ‪.f(-1)=-1<f(1)=1‬‬
‫נגיד כי ‪ I‬הוא קטע (או קרן) עליה (במובן הרחב) של ‪ f‬אם מתקיים‬
‫‪ . x, y  I ,( x  y)  ( f ( x)  f ( y)).‬כל תחום עליה במובן הצר הוא גם תחום‬
‫עליה במובן הרחב‪ .‬פונקצית הערך השלם ]‪ y=[x‬שנלמד בקרוב היא‬
‫דוגמא שיש בה תחום עליה במובן הרחב שאיננו במובן הצר‪.‬‬
‫חסימות‬
‫נגיד כי ‪ f‬חסומה‪ ,‬או חסומה מלעיל או חסומה מלרע אם )‪ Im(f‬חסומה‬
‫או חסומה מלעיל או חסומה מלרע‪ .‬לדוגמא ‪ f(x)=x2‬חסומה מלרע‪,‬‬
‫‪ f(x)=-x2‬חסומה מלעיל ו )‪ f(x)=sin(x‬חסומה בכלל‪.‬‬
‫פולינום‬
‫פולינום הוא סכום של מקדמים הכפולים בחזקות שלמות אי שליליות‪.‬‬
‫דוגמא ‪ .p(x)=1+2x+3x2+4x3‬דרגת הפולינום היא החזקה הגבוהה‬
‫ביותר שיש לה מקדם השונה מ‪ .0-‬בדוגמא הקודמת דרגת ‪ p‬היא ‪.1‬‬
‫פונקציה רציונלית‬
‫פונקציה רציונלית היא מנת שני פולינומים למשל )‪q(x)=(1+x)/(2+x2‬‬
‫פונקציה מעריכית‬
‫לפי חוקי החזקות ובאינדוקציה מוגדרת ‪ 2x:ℕ→ℝ‬כך‪21=2,2n+1=2n21 :‬‬
‫כדי להרחיב את תחום הגדרתה ל ‪ ,ℤ‬נגדיר ‪ , 20=1,2-n=1/2n‬כדי להרחיב‬
‫את תחום הגדרתה ל ‪ ℚ‬נגדיר ‪ . 2p/q=q√2p‬כדי להרחיב את תחום‬
‫הגדרתה ל‪ ,ℝ-‬נשתמש במושג הגבול‪ .‬נקבל ‪ 2x: ℝ →ℝ‬שהיא עולה‬
‫במובן הצר‪ ,‬ומקיימת ‪2 x  , lim 2 x  0 ‬‬
‫‪ . lim‬עבור כל ‪ ,a‬המקיים ‪1<a‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x ‬‬
‫נקבל בצורה דומה ‪ ax: ℝ →ℝ‬שהיא עולה במובן הצר‪ ,‬ומקיימת‬
‫‪a x  , lim a x  0  .‬‬
‫‪ . lim‬עבור כל ‪ ,a‬המקיים ‪ 0<a<1‬נקבל בצורה דומה‬
‫‪x ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ a : ℝ →ℝ‬שהיא יורדת עולה במובן הצר‪ ,‬כך ש ‪a x  0, lim a x  .‬‬
‫‪. lim‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x ‬‬
‫פונקצית השרש‬
‫הפונקציה ‪ f(x)=x2‬היא על הקרן )∞‪ ,[0,‬ואינה חח"ע‪ .‬אם נצמצם את‬
‫תחום ההגדרה נקבל )∞‪ f(x)=x2:[0,∞) → [0,‬שהיא חח"ע ועל‪ ,‬ולכן יש‬
‫לה הפוכה )∞‪.g(x)=√x:[0,∞) → [0,‬‬
‫פונקצית הלוגריתם‬
‫הפונקציה המעריכית עבור כל ‪ a‬המקיים ‪ 0<a≠1‬היא פונקציה חח"ע ועל‬
‫)∞‪ , ℝ →[0,‬ולכן יש לה פונקציה הפוכה ‪ [0,∞)→ ℝ‬אשר נקראת‬
‫)‪ .loga(x‬הערכים החשובים עבור ‪ a‬הם ‪ loge(x) .a=10,2,e‬מסומנת‬
‫בקצור )‪.ln(x‬‬
‫פונקציות טריגונומטריות הפוכות‬
‫‪ sin(x): ℝ → ℝ‬אינה חח"ע ואינה על‪ ,‬אך אם נצמצם את תחום ההגדרה‬
‫נקבל פונקציה חח"ע ועל ]‪ sin(x): [-π/2,π/2]→ [-1,1‬בעלת הפוכה‬
‫]‪ . arcsin(x): [-1,1]→ [-π/2,π/2‬בצורה דומה נקבל את הפונקציות‬
‫הטריגונומטריות ההפוכות ]‪ arccos(x): [-1,1]→ [0,π‬ו‪arctan(x): -‬‬
‫]‪. ℝ → [-π/2,π/2‬‬
‫פונקציות אלמנטריות‬
‫הפונקציות האלמנטריות כוללות את הפולינומים‪ ,‬הפונקציות‬
‫הרציונליות‪ ,‬המעריכיות‪ ,‬השרשים‪ ,‬הלוגריתמים‪ ,‬הטריגונומטריות‪,‬‬
‫הטריגומטריות ההפוכות‪ ,‬וכן כל פונקציה המתקבלת מהן על ידי חבור‬
‫חסור כפל חלוק הרכבה והפוך‪ .‬זו משפחה מאוד גדולה של פונקציות‪.‬‬
‫בקצור נאמר שאלו כל הפונקציות שיש להן 'נוסחא'‪.‬‬
‫יש גם המון פונקציות לא אלמנטריות‪ ,‬ובקצור אלו הפונקציות שאין להן‬
‫'נוסחא'‪ .‬דוגמאות הן גם פונקציות עם תחום הגדרה מפוצל‪ ,‬כלומר כאלו‬
‫ששוות לפונקציות אלמנטריות שונות בחלקים שונים של תחום ההגדרה‬
‫שלהן‪ .‬שלשת הפונקציות הבאות אינן אלמנטריות‪ ,‬כיון שהן שוות בחלקי‬
‫תחום הגדרתן לפונקציות אלמנטריות שונות‪.‬‬
‫פונקצית הערך המוחלט |‪y=|x‬‬
‫הערך המוחלט של ‪ x‬מוגדר כמרחק שבין ‪ x‬ו‪ ,0-‬והוא תמיד אי שלילי‪.‬‬
‫ניתן להגדיר את הפונקציה על ידי‬
‫‪0 x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ . f ( x)  ‬נשים לב כי ‪ f‬שוה בחלק מתחום הגדרתה לפולינום ‪x‬‬
‫‪ x x  0‬‬
‫ובחלק מתחום הגדרתה לפולינום ‪ ,–x‬והעובדה שתחום ההגדרה שלה‬
‫מפוצל לשני תתי תחומים‪ ,‬ובכל אחד מהם יש הגדרה‪ ,‬או נוסחא‪ ,‬אחרת‬
‫היא זו שעושה את הפונקציה לא אלמנטרית‪ |x|:ℝ →[0, ∞) .‬חסומה‬
‫מלרע וזוגית‪ .‬איננה מחזורית‪ [0,∞) .‬קרן עליה‪ (-∞,0] ,‬קרן ירידה‪.‬‬
‫פונקצית הערך השלם ]‪y=[x‬‬
‫נגדיר }‪ . [ x]  max{z, z  x‬ההגדרה נראית פורמלית ומסובכת‪ ,‬אבל כמה‬
‫הצבות ישכנעו אותנו כי למשל ‪[2]=2,[2.1]=2,[2.2]=2,‬‬
‫)‪ .[2+x]=2(0<x<1‬אם נמשיך כך נקבל הגדרה אחרת של ]‪ [x‬על ידי‬
‫תחום מפוצל‪ .‬לכל ‪ z‬שלם‪ ,‬נקבל ‪ .[x]=z,z≤x<z+1‬הגרף של ]‪ [x‬הוא‬
‫פונקצית מדרגות עולה במובן הרחב‪ ,‬ובכל נקודה ‪ x=z‬שלמה‪ ,‬יש בגרף‬
‫קפיצה‪ [x]:ℝ → ℤ .‬איננה אלמנטרית‪ .‬איננה חסומה‪ ,‬אינה מחזורית‬
‫אינה זוגית אינה אי זוגית‪ ,‬עולה במובן הרחב‪.‬‬
‫פונקצית ערך השבר }‪y={x‬‬
‫נגדיר ]‪ . {x}=x-[x‬ההגדרה נראית פורמלית ומסובכת‪ ,‬אבל כמה הצבות‬
‫ישכנעו אותנו כי למשל ‪{2}=0,{2.1}=0.1,{2.2}=0.2‬‬
‫)‪ .,{2+x}=x(0<x<1‬אם נמשיך כך נקבל הגדרה אחרת של }‪ {x‬על ידי‬
‫תחום מפוצל‪ .‬לכל ‪ z‬שלם‪ ,‬נקבל ‪{x}=x-z,z≤x<z+1‬‬
‫הגרף של }‪ {x‬הוא פונקצית מדרגות ‪ ,‬ובכל נקודה ‪ x=z‬שלמה‪ ,‬יש בגרף‬
‫קפיצה‪ [x]:ℝ →[0,1) .‬איננה אלמנטרית‪ .‬חסומה‪ ,‬מחזורית בעלת‬
‫מחזור ‪ ,3‬איננה זוגית איננה אי זוגית‪ .‬כל קטע )‪ [z,z+1‬הוא קטע עליה‬
‫עבור ‪ z‬שלם‪.‬‬
‫הפונקציה )‪.sin(1/x‬‬
‫כדי להבין את מבנה הגרף של פונקציה זו נשתמש בארבעת הטענות‬
‫הבאות‪.‬‬
‫טענה (עולה על עולה)‬
‫נתונות ‪ f: A→ B‬עולה ו‪ g: B→ C -‬עולה‪ .‬אז ההרכבה ‪ g·f : A→ C‬היא‬
‫פונקציה עולה‪ .‬הטענה נכונה במובן הצר וגם במובן הרחב‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫מתקיים כי ))‪ (p<q)→(f(p)<f(q‬ו מתקיים כי ))‪ .(p<q)→(g(p)<g(q‬אז‬
‫מתקיים כי )))‪ (p<q)→(f(p)<f(q)) →(g(f(p))<g(f(q‬כדרוש‪.‬‬
‫טענה (עולה על יורדת)‬
‫נתונות ‪ f: A→ B‬יורדת ו‪ g: B→ C -‬עולה‪ .‬אז ההרכבה ‪ g·f : A→ C‬היא‬
‫פונקציה יורדת‪ .‬הטענה נכונה במובן הצר וגם במובן הרחב‪.‬‬
‫הוכחה (תרגיל הביתה)‬
‫טענה (יורדת על עולה)‬
‫נתונות ‪ f: A→ B‬עולה ו‪ g: B→ C -‬יורדת‪ .‬אז ההרכבה ‪ g·f : A→ C‬היא‬
‫פונקציה יורדת‪ .‬הטענה נכונה במובן הצר וגם במובן הרחב‪.‬‬
‫הוכחה (תרגיל הביתה)‬
‫טענה (יורדת על יורדת)‬
‫נתונות ‪ f: A→ B‬יורדת ו‪ g: B→ C -‬יורדת‪ .‬אז ההרכבה ‪g·f : A→ C‬‬
‫היא פונקציה עולה‪ .‬הטענה נכונה במובן הצר וגם במובן הרחב‪.‬‬
‫הוכחה (תרגיל הביתה)‬
‫נביט על קטעי העליה והירידה של )‪ sin(x‬בחצי החיובי של הישר הממשי‪.‬‬
‫אלו הם …‪.(0,π/2], [π/2, 3π/2], [3π/2, 5π/2], [5π/2, 7π/2],‬‬
‫עבור כל קטע כזה נפעיל את ‪ f(x)=1/x‬ונקבל את הקטעים ‪[2/ π, ∞),‬‬
‫…‪ . [2/ π, 2/ 3π], [2/ 3π, 2/ 5π], [2/ 5π, 2/ 7π],,‬כעת נפעיל על‬
‫כל קטע את ההרכבה )‪ 1/x .sin(1/x‬יורדת על הקטע‪ .‬למשל על הקטע‬
‫ו‬
‫הראשון נקבל ]‪ 1/x: [2/ π, ∞) → (0,π/2‬יורדת‪,‬‬
‫]‪ sin(x): (0,π/2] → (0,1‬עולה‪ ,‬ולכן ]‪sin(1/x): [2/ π, ∞) → (0,1‬‬
‫יורדת‪ .‬בצורה דומה ]‪ sin(1/x): [2/ π, 2/ 3π] → [-1,1‬עולה‪,‬‬
‫]‪ sin(1/x): [2/ 3π, 2/ 5π] → [-1,1‬יורדת‪ ,‬וכדומה‪ .‬יש לפונקציה‪,‬‬
‫עבור ‪ x‬חיובי‪ ,‬אינסוף קטעי עליה וירידה‪ ,‬אבל בנגוד לפונקציה סינוס‪,‬‬
‫ששם כולם בעלי רוח זהה של ‪( , π‬חצי מחזור)‪ ,‬כעת הקטעים הולכים‬
‫ומצטופפים סביב ‪ .0‬הפונקציה היא אי זוגית‪ .‬נשלים את הגרף על ידי אי‬
‫הזוגיות של הגרף‪ .‬זוהי פונקציה אלמנטרית‪Sin(1/x):ℝ →[-1,1] .‬‬
‫חסומ ה‪ ,‬אי זוגית‪ ,‬איננה מחזורית ודברנו כבר על קטעי העליה והירידה‬
‫שלה‪.‬‬
‫גבול של פונקציה‬
‫נתונים }∞‪ a,b∊ℝ∪{±‬נגיד כי הגבול של )‪ f(x‬כאשר ‪ x‬שואף ל‪ a-‬הוא ‪,b‬‬
‫ונכתוב ‪f ( x)  b‬‬
‫‪ , lim‬אם‬
‫‪x a‬‬
‫הגדרת קושי (רק כותבים)‪.‬‬
‫‪  0  0[(0 | x  a |  )  (| f (x )  b |  )].‬‬
‫(עבור המקרה ש ‪) a,b∊ℝ‬‬
‫יש להגדרה זו משמעות גיאומטרית‪.‬‬
‫לא נדבר על שאר המקרים של ‪ a,b‬שבהן ההגדרה משתנה‪ .‬עדיין בכל‬
‫מקרה יש משמעות גיאומטרית‪ .‬נסיון לאחד את כל המקרים גורר את‬
‫מושג הסביבה ואת מושג הטופולוגיה‪.‬‬
‫הגדרת היינה‬
‫אם לכל סדרה }‪ {xn‬כך שמתקיים ‪xn  a‬‬
‫‪ , lim‬נובע כי‬
‫‪n ‬‬
‫‪lim f ( xn )  b‬‬
‫‪n ‬‬
‫משפט‬
‫הגדרת היינה והגדרת קושי (כל הגדרות קושי עבור כל המקרים) שקולות‪,‬‬
‫כלומר לא משנה באיזו הגדרה משתמשים‪.‬‬
‫משפט‬
‫כל משפטי האריתמטיקה הסופיים והאריתמטיקה של אינסוף‪ ,‬כל שבעת‬
‫המקרים הבעיתיים‪ ,‬וכל הטריקים שלמדנו לגבי גבולות של סדרות‪,‬‬
‫תקפים לגבי )‪f ( x‬‬
‫‪. lim‬‬
‫‪x a‬‬
‫טריק נוסף של חלוקת פולינומים‬
‫דוגמא‬
‫‪x4 1 0‬‬
‫)‪( x3  x 2  x  1)( x  1‬‬
‫‪( x3  x 2  x  1) 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 1‬‬
‫)‪x3  1 0 x1 ( x 2  x  1)( x  1‬‬
‫)‪( x 2  x  1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪x 1‬‬
‫עוד גבולות מוכרים‬
‫את הגבולות הבאים נכתוב (לצערנו בלי הוכחה)‬
‫‪ex 1‬‬
‫)‪sin( x‬‬
‫‪ 1, lim‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x 0‬‬
‫‪x 0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪lim‬‬
‫מתוך הגבול השמאלי נובעים הגבולות הבאים‪:‬‬
‫‪a x 1‬‬
‫‪eln( a ) x  1‬‬
‫‪eln( a ) x  1‬‬
‫‪eln( a ) x  1‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪ lim‬‬
‫‪ ln  a  lim‬‬
‫‪ ln(a) lim‬‬
‫)‪ ln(a) 1  ln(a‬‬
‫‪x 0‬‬
‫‪x 0‬‬
‫‪x 0 ln(a ) x‬‬
‫‪ln  a  x 0 ln(a ) x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪ln(1  x‬‬
‫)‪ln(1  x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪,ln(1  x)  y,lim y  0,lim‬‬
‫‪ lim y‬‬
‫‪ 1.‬‬
‫‪x 0‬‬
‫‪x 0‬‬
‫‪x 0‬‬
‫‪y 0 e  1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪lim‬‬
‫גבולות חד צדדיים (הגדרת היינה)‬
‫נתונים }∞‪a,b∊ℝ∪{±‬‬
‫נגיד כי הגבול של )‪ f(x‬כאשר ‪ x‬שואף ל ‪ a+‬הוא ‪ ,b‬ונכתוב ‪f ( x)  b‬‬
‫‪, xlim‬‬
‫‪a ‬‬
‫אם לכל סדרה }‪ {xn‬כך שמתקיים ‪xn  a‬‬
‫‪ , lim‬וכך שמתקיים ‪ a≤xn‬נובע כי‬
‫‪n ‬‬
‫‪lim f ( xn )  b‬‬
‫‪n ‬‬
‫נגיד כי הגבול של )‪ f(x‬כאשר ‪ x‬שואף ל ‪ a-‬הוא ‪ ,b‬ונכתוב ‪f ( x)  b‬‬
‫‪ , xlim‬אם‬
‫‪a ‬‬
‫לכל סדרה }‪ {xn‬כך שמתקיים ‪xn  a‬‬
‫‪ , lim‬וכך שמתקיים ‪ xn≤a‬נובע כי‬
‫‪n ‬‬
‫‪lim f ( xn )  b‬‬
‫‪n ‬‬
‫המשפט הבא נובע מהשואת ההגדרות‪.‬‬
‫הטענות הבאות שקולות‪:‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪lim f ( x)  b‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪lim f ( x)  b‬‬
‫‪x a‬‬
‫‪x a ‬‬
‫וגם‬
‫‪lim f ( x)  b‬‬
‫‪x a ‬‬
‫דוגמאות‪.‬‬
‫מתקיים כי‬
‫‪lim (1/ x)  ‬‬
‫‪x 0 ‬‬
‫וגם כי‬
‫‪lim (1/ x)  ‬‬
‫בטבלת האריתטיקה של אינסוף בצורה‬
‫‪x 0‬‬
‫‪ .‬את העובדות הללו רשמנו‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ,‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪.‬‬
‫עבור כל ‪ z‬שלם מתקיים ‪x]  z, lim[ x]  z  1.‬‬
‫[‪ . xlim‬עבור כל ‪ a‬שאיננו שלם‬
‫‪z ‬‬
‫‪xz ‬‬
‫מתקיים ‪ lim[ x]  lim[ x]  [a].‬את השויון האחרון ניתן לרשום ‪x]  [a].‬‬
‫[‪. lim‬‬
‫‪x a ‬‬
‫‪x a ‬‬
‫‪x a‬‬
‫רציפות‬
‫נקודה ‪ a‬בתחום ההגדרה של הפונקציה ‪ f‬תקרא נקודת רציפות של‬
‫הפונקציה ‪ ,f‬אם שלשת הבטויים הבאים קימים (סופיים) ושוים זה לזה‪.‬‬
‫א‪ .f(a) .‬ב‪ lim f ( x) .‬ג‪f ( x) .‬‬
‫‪ . xlim‬מכיון ש)‪ f(a‬סופי‪ ,‬ברור כי בנקודת‬
‫‪a ‬‬
‫‪x a ‬‬
‫רציפות שלשת הבטויים סופיים‪.‬‬
‫כל נקודה שאיננה נקודת רציפות תקרא נקודת אי רציפות של ‪.f‬‬
‫סווג נקודות אי רציפות‪.‬‬
‫נקודת אי רציפות ‪ a‬תקרא סליקה אם מתקיים כי שני הבטויים הבאים‬
‫קימים (סופיים) ושוים זה לזה‪ .‬א‪ lim f ( x) .‬ב‪f ( x) .‬‬
‫‪ xlim‬אך שונים מ‬
‫‪a ‬‬
‫‪x a ‬‬
‫)‪ .f(a‬לפעמים נקרא לנקודה נקודת אי רציפות סליקה גם אם )‪ f(a‬לא‬
‫מוגדרת‪.‬‬
‫נקודת אי רציפות ‪ a‬תקרא קפיצה אם מתקיים כי שני הבטויים הבאים‬
‫קימים סופיים אך שונים זה מזה‪ .‬א‪ lim f ( x) .‬ב‪lim f ( x) .‬‬
‫‪x a ‬‬
‫‪x a ‬‬
‫נקודת אי רציפות ‪ a‬תקרא מסוג שני אם אחד לפחות משני הבטויים‬
‫הבאים לא קים או שקיים והוא אינסופי‪ .‬א‪ lim f ( x) .‬ב‪lim f ( x) .‬‬
‫‪x a ‬‬
‫‪x a ‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫הנקודה ‪ a=1.5‬היא נקודת רציפות של ]‪.f(x)=[x‬‬
‫הנקודה ‪ a=1‬היא נקודת קפיצה עבור ]‪.f(x)=[x‬‬
‫הנקודה ‪ a=0‬היא נקודת אירציפות סליקה עבור ‪.f(x)=sin(x)/x‬‬
‫הנקודה ‪ a=0‬היא נקודת אי רציפות מסוג שני עבור )‪ ,f(x)=sin(1/x‬וגם‬
‫עבור ‪.g(x)=1/x‬‬
‫אריתמטיקה של פונקציות רציפות‬
‫משפט‬
‫נניח כי )‪ f(x),g(x‬פונקציות רציפות בנקודה ‪ .a‬אז גם )‪,f(x)±g(x‬‬
‫)‪ f(x)g(x‬ו ))‪ (f(x))/g(x‬רציפות בנקודה ‪ .a‬המנה רציפה רק אם ‪.g(a)≠0‬‬
‫הוכחה‬
‫אם נתונה סדרה ‪ xn‬כך ש ‪xn  a‬‬
‫‪ , lim‬אז לפי הגדרת הרציפות‬
‫‪n ‬‬
‫)‪f ( xn )  f (a‬‬
‫‪ lim‬ולפי משפטי אריתמטיקה של גבולות מתקיים‬
‫‪n ‬‬
‫)‪f ( xn ) g (xn )  f (a )g (a ) , lim f ( xn )  g ( xn )  f (a)  g (a‬‬
‫‪ lim‬וגם‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪k‬‬
‫)‪f ( xn ) f (a‬‬
‫‪‬‬
‫)‪g ( xn ) g (a‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪n ‬‬
‫בתנאי ש ‪.g(a)≠0‬‬
‫משפט‬
‫נניח כי )‪ f(x‬פונקציה רציפה בנקודה ‪ ,a‬ו)‪ g(x‬פונקציה רציפה בנקודה‬
‫)‪ .f(a‬אז גם ))‪ g(f(x‬רציפה בנקודה ‪.a‬‬
‫הוכחה‬
‫אם נתונה סדרה ‪ xn‬כך ש ‪xn  a‬‬
‫‪ , lim‬אז לפי הגדרת הרציפות‬
‫‪n ‬‬
‫)‪ lim f ( xn )  f (a‬ושוב לפי הגדרת הרציפות ))‪lim g ( f ( xn ))  g ( f (a‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪k‬‬
‫העובדות הבאות קלות להוכחה‬
‫הפונקציה ‪ ,f(x)≡c‬והפונקציה ‪ f(x)=x‬רציפות בכל נקודה‪.‬‬
‫משפט (ללא הוכחה)‬
‫כל פונקציה אלמנטרית רציפה בכל נקודה ‪ a‬בה היא מוגדרת‪.‬‬
‫משפטים עבור פונקציות רציפות‬
‫משפט בולצנו וירשטרס ‪(BW‬בלי הוכחה)‬
‫נתונה סדרה ‪ an‬אשר חסומה (מלעיל ומלרע)‪ .‬אז יש לה תת סדרה ‪ank‬‬
‫המתכנסת‪ .‬גבול הסדרה חסום על ידי החסמים של הסדרה המקורית‪.‬‬
‫דוגמא‬
‫הסדרה ‪ (-1)n‬חסומה בין ‪ 3‬ו ‪ ,-1‬וכל האיברים הזוגיים בסדרה הם תת‬
‫סדרה קבועה אשר מתכנסת לגבול ‪ ,3‬אשר חסום ביו החסמים של הסדרה‬
‫המקורית‪.‬‬
‫משפט וירשטרס (חסימות)‬
‫נתונה פונקציה ‪ f‬אשר מוגדרת ורציפה בכל נקודות הקטע ]‪ .[a,b‬אז ‪f‬‬
‫בקטע חסומה מלעיל ומלרע‪.‬‬
‫דוגמא‬
‫הפונקציה ‪ f(x)=1/x‬רציפה בקטע ]‪ (0,1‬אך איננה חסומה בו ואיננה‬
‫סותרת את המשפט‪ ,‬כיון שאיננה רציפה על קטע סגור‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫נוכיח רק חסימות מלעיל‪ .‬הוכחת חסימות מלרע דומה והיא תרגיל‬
‫הביתה‪.‬‬
‫נניח בשלילה כי ‪ f‬איננה חסומה מלעיל‪ .‬אז לכל מספר טבעי ‪ n‬יש ‪ ,xn‬כך‬
‫ש ‪ a≤xn ≤b‬וכך ש ‪ .f(xn)>n‬נפעיל גבול ונקבל כי ) ‪n  lim f ( xn‬‬
‫‪.   lim‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪n ‬‬
‫כעת נשים לב כי הסדרה ‪ xn‬חסומה‪ ,‬ולפי משפט ‪ BW‬יש לה תת סדרה‬
‫מתכנסת ‪xn  c‬‬
‫‪ lim‬כך ש ‪ .a≤c≤b‬כיון ש ‪ c‬היא בתחום הרציפות של ‪ f‬אז‬
‫‪n ‬‬
‫לפי הגדרת הגבול )‪ , lim f ( xn )  lim f (c‬ולפי הרציפות )‪f (c)  f (c‬‬
‫‪ , lim‬ומצד‬
‫‪x c‬‬
‫‪n‬‬
‫‪x c‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫שני ‪f ( xn )  ‬‬
‫‪ , lim‬ולכן נובע כי ∞=)‪ ,f(c‬וזו סתירה להגדרת הפונקציה‪.‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪k‬‬
‫לכן ‪ f‬חיבת להיות חסומה מלעיל‪.‬‬
‫מכיון ש ‪ f‬חסומה מלעיל ומלרע‪ ,‬יש לה חסמים עליון ותחתון בקטע‪.‬‬
‫משפט וירשטרס (מקסימום)‬
‫נתונה פונקציה ‪ f‬אשר מוגדרת ורציפה בכל נקודות הקטע ]‪ .[a,b‬אז ‪f‬‬
‫מקבלת את ערך חסם המלעיל בקטע‪ ,‬כלומר הסופרמום הוא מקסימום‪.‬‬
‫באותה צורה האינפימום הוא מינימום‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫נוכיח רק עבור חסם עליון‪ .‬הוכחה עבור חסם תחתון דומה והיא תרגיל‬
‫הביתה‪.‬‬
‫נסמן את החסם העליון של ‪ f‬בקטע על ידי ‪ .M‬אז לפי הגדרת חסם עליון‪,‬‬
‫לכל מספר טבעי ‪ n‬יש ‪ ,xn‬כך ש ‪ a≤xn ≤b‬וכך ש )‪ .f(xn)>M-(1/n‬נפעיל‬
‫‪1‬‬
‫גבול ונקבל כי ) ‪M   lim f ( xn‬‬
‫‪ . M  lim‬כעת נשים לב כי הסדרה ‪xn‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪n‬‬
‫חסומה‪ ,‬ולפי משפט ‪ BW‬יש לה תת סדרה מתכנסת‬
‫‪lim xnk  c‬‬
‫‪n ‬‬
‫כך ש‬
‫‪ .a≤c≤b‬כיון ש ‪ c‬היא בתחום הרציפות של ‪ f‬אז לפי הגדרת הגבול‬
‫)‪ , lim f ( xn )  lim f (c‬ולפי הרציפות )‪ , lim f (c)  f (c‬ומצד שני ‪f ( xn )  M‬‬
‫‪, lim‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪x c‬‬
‫‪n‬‬
‫‪x c‬‬
‫‪k‬‬
‫ולכן נובע כי ‪ ,f(c)=M‬כדרוש‪.‬‬
‫משפט‪ -‬תכונת ערכי הביניים של קושי (גובה ‪.)0‬‬
‫נתונה פונקציה ‪ f‬אשר מוגדרת ורציפה בכל נקודות הקטע ]‪ ,[a,b‬ונתון כי‬
‫‪ .f(a)f(b)<0‬אז קימת נקודת ביניים ‪ c‬אחת לפחות כך ש ‪ a<c<b‬וכך ש‬
‫‪.f(c)=0‬‬
‫הוכחה‬
‫אי השויון ‪ f(a)f(b)<0‬שקול לשני אי שויונים )‪ f(a)<0<f(b‬ו‬
‫)‪ ,f(b)<0<f(a‬ואנו נוכיח את הטענה רק עבורהמקרה )‪,f(a)<0<f(b‬‬
‫וההוכחה עבור המקרה השני דומה והיא תרגיל הביתה‪.‬‬
‫נגדיר ‪ .a0=a,b0=b‬נגדיר ‪ . c0=(a0+b0)/2‬תתכנה ‪ 1‬אפשרויות עבור )‪.f(c0‬‬
‫‪.f(c0)=0, f(c0)<0, f(c0)>0‬‬
‫אם ‪ f(c0)=0‬אז התמזל מזלנו ומצאנו ‪ c=c0‬כך ש ‪ f(c)=0‬ישר בהתחלה‪.‬‬
‫אם ‪ ,f(c0)<0‬אז נגדיר ‪ a1= c0‬וכן ‪ .b1= b0‬אם )‪ ,0<f(c0‬נגדיר ‪a1= a0‬‬
‫וכן ‪ .b1= c0‬בכל מקרה שאיננו המקרה הראשון יתקיים )‪.f(a1)<0<f(b1‬‬
‫כעת נגדיר ‪ .c1=(a1+b1)/2‬שוב נפריד למקרים לפי הערך של )‪.f(c1‬‬
‫או שיתקיים כי קיים ‪ n‬כך ש ‪ f(cn)=0‬ואז הוא יהיה ‪ c‬שחפשנו‪ ,‬או שנקבל‬
‫סדרות אינסופיות ‪ an‬ו ‪ bn‬המקיימות כי לכל ‪ ,an <bn n‬כך ש ‪ an‬עולה‬
‫במובן הרחב‪ bn ,‬יורדת במובן הרחב‪ ,‬מתקיים כי )‪,f(an )<0<f(bn‬‬
‫‪b a‬‬
‫‪b a‬‬
‫ובנוסף מתקיים ‪ . bn  an  n1 n1   0 n 0‬אי השויונים ‪an <bn≤ b1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫מראים כי הסדרה ‪ an‬מונוטונית עולה במובן הרחב וחסומה מלעיל ולכן‬
‫מתכנסת לגבול ‪ d‬אשר מקיים ‪ .a≤ d≤ b‬אי השויונים ‪a1 ≤an< bn‬‬
‫מראים כי הסדרה ‪ bn‬מונוטונית יורדת במובן הרחב וחסומה מלרע ולכן‬
‫מתכנסת לגבול ‪ g‬אשר מקיים ‪ .a≤ g≤ b‬אי השויון ‪ an <bn‬מתרחב ל‬
‫‪ .an≤d≤g ≤bn‬כמו כן נקבל ‪ ,0≤g-d≤ bn- an‬ואם נפעיל גבול נקבל לפי‬
‫משפט הסנדביץ ‪ ,0≤g-d≤0‬ולכן ‪ .g=d‬נסמן ‪ ,c=g=d‬ולכן שתי הסדרות‬
‫‪ an‬ו ‪ bn‬מתכנסות ל‪ c‬וברור כי ‪ a=a0≤an≤c≤bn≤b0=b‬כלומר ‪ c‬היא‬
‫בתחום ההגדרה ונקודת רציפות של ‪ .f‬לפי הגדרת הרציפות‬
‫‪ lim f (an )  f (c)  0‬וכמו כן ‪f (bn )  f (c)  0‬‬
‫‪ lim‬ולכן נובע כי ‪,f(c)=0‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪n ‬‬
‫כדרוש‪.‬‬
‫משפט‪ -‬תכונת ערכי הביניים של קושי גובה כלשהו‬
‫נתונה פונקציה ‪ f‬אשר מוגדרת ורציפה בכל נקודות הקטע ]‪ ,[a,b‬ונתון ‪h‬‬
‫כך שמתקיים אחד מאי השויונים הבאים‪.f(b)<h<f(a) .f(a)<h<f(b) .‬‬
‫אז קימת נקודת ביניים ‪ c‬אחת לפחות כך ש ‪ a<c<b‬וכך ש ‪.f(c)=h‬‬
‫הוכחה‬
‫נביט בפונקציה ‪ .g(x)=f(x)-h‬היא הפרש של שתי פונקציות רציפות‬
‫בקטע ]‪ [a,b‬ולכן היא רציפה ומקיימת את אחד מאי השויונים‬
‫)‪ g(a)<0<g(b‬או )‪ .g(b)<0<g(a‬אז לפי תכונת ערכי הבינים קים ‪ c‬אחד‬
‫לפחות‪ a<c<b ,‬כך ש ‪ g(c)=0‬או ‪ ,f(x)=h‬כדרוש‪.‬‬
‫קצב השנוי הרגעי‬
‫מכונית נוסעת‪ .‬בזמן ‪ t=0‬היא יוצאת ממכללת נתניה‪ ,‬ו )‪ f(t‬מסמן את‬
‫המרחק בק"מ של המכונית מהמכללה אחרי ‪ t‬שעות‪ .‬אחרי שעה עברה‬
‫המכנית )‪ f(1‬קמ‪ .‬אחרי שעתיים )‪ ,f(2‬אחרי ‪ 1‬שעות )‪ .f(3‬במהלך השעה‬
‫השלישית עברה )‪ .f(3)-f(2‬בחצי השעה שהתחילה שעתיים לאחר‬
‫היציאה והסתיימה שעתיים וחצי לאחר היציאה עברה )‪ f(2.5)-f(2‬ק'מ‪,‬‬
‫ומהירותה הממוצעת היתה )‪ . f (2.5)  f (2‬בדקה ה ‪ 323‬אחרי היציאה‬
‫‪2.5  2‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪)  f (2‬‬
‫‪60‬‬
‫‪.‬‬
‫המהירות הממוצעת בקמ"ש היתה‬
‫‪1‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪60‬‬
‫)‪f (2  h)  f (2) f (2  h)  f (2‬‬
‫‪‬‬
‫הממוצעות הן מהצורה‬
‫‪2h2‬‬
‫‪h‬‬
‫‪f (2 ‬‬
‫כל המהירויות‬
‫‪ .‬עבור ערכים שונים‬
‫של ‪ .h‬מהירותה הרגעית של המכונית שעתיים לאחר היציאה היא‬
‫)‪f (2  h)  f (2‬‬
‫‪ . lim‬עבור פונקציה כלשהי )‪ ,g(x‬קצב השנוי הרגעי של‬
‫‪h 0‬‬
‫‪h‬‬
‫) ‪g ( a  h)  g ( a‬‬
‫‪ . lim‬בדר"כ זהו גבול מהצורה‬
‫הפונקציה בנקודה ‪ a‬הוא‬
‫‪h 0‬‬
‫‪h‬‬
‫‪.0/0‬‬
‫הגדרה נגזרת‬
‫קצב השנוי הרגעי של ‪ f‬בנקודה ‪ ,a‬או הנגזרת של ‪ f‬בנקודה ‪ ,a‬מוגדר‬
‫) ‪f ( a  h)  f ( a‬‬
‫‪ . lim‬אם הגבול קים וסופי אומרים כי ‪ f‬גזירה‬
‫בתור הגבול‬
‫‪h 0‬‬
‫‪h‬‬
‫בנקודה ‪ a‬ואת הגבול מסמנים על ידי )‪.f'(a‬‬
‫דוגמאות‬
‫‪ f(x)=c‬גזירה בכל נקודה ‪ a‬ו ‪ f(x)=x2 .f'(a)=0‬גזירה בכל נקודה ‪ a‬ו‬
‫‪ f(x)=√x .f'(a)=2a‬גזירה בכל נקודה ‪f(x)=|x|. f'(a)=1/(2√a) a≠0‬‬
‫|‪|0h| |0‬‬
‫|‪|0h| |0‬‬
‫‪ 1, lim‬‬
‫איננה גזירה בנקודה ‪ ,0‬כיון ש ‪ 1‬‬
‫‪. hlim‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪h 0 ‬‬
‫‪h‬‬
‫טענה‬
‫אם ‪ a‬נקודת גזירות של ‪ ,f‬אז היא גם נקודת רציפות של ‪.f‬‬
‫הוכחה‬
‫‪h‬‬
.
f ( a  h)  f ( a )
 b  m(a, h)
h
‫נעביר אגפים‬
f ( a  h)  f ( a )
 b ‫נתון שקים הגבול‬
‫ נגדיר‬. lim
h 0
h
f ( a  h)  f ( a )
lim m(a, h)  lim
 b  b  b  0. ‫נפעיל גבול ונקבל‬
h 0
h 0
h
‫ ושוב נשאיף ונקבל כי‬f (a  h)  f (a)  bh  mh
‫ אבל לפי ההגדרה‬. lim f (a  h)  lim[ f (a)  bh  mh]  f (a).
h0
a ‫ כלומר‬f(a) ‫ הללו שוים ל‬,
h0
lim f (a  h)  lim f ( x), lim f (a  h)  lim f ( x).
h0
x a 
h0
x a 
.f ‫היא נקודת רציפות של‬
‫משפטי אריתמטיקה של נגזרות‬
:‫ הינו קבוע אז גם‬c‫ ו‬.a ‫ גזירות בנקודה‬f,g ‫נניח כי‬
(f±g)'(a)= (f)'(a)±(g)'(a) ‫ ו‬a ‫ גזירה בנקודה‬f±g
(cf)'(a)= c(f)'(a) ‫ ו‬a ‫ גזירה בנקודה‬cf
(fg)'(a)= (f)'(a)g(a)+f(a)(g)'(a) ‫ ו‬a ‫ גזירה בנקודה‬fg
f
f '(a) g (a)  f (a) g '(a)
‫ (בתנאי ש‬, ( ) '(a) 
‫ ו‬a ‫ גזירה בנקודה‬f/g
2
g
g (a )
.(g(a)≠0
‫הוכחה‬
‫ נובע כי‬,
‫ כיון‬.
lim hn  0
n 
‫ אשר מקיימת‬hn ‫נתון כי לכל סדרה‬
g (a  hn )  g (a)
f (a  hn )  f (a)
 g '(a) ‫ וכי‬lim
 f '(a)
n

hn
hn
lim f (a  hn )  f (a) ‫שגזירות גוררת רציפות נובע כי‬
lim
n 
‫וכי‬
n 
g (a  hn )  g (a)
:‫ לכן‬. lim
n 
‫ולכן‬
( f  g )(a  hn )  ( f  g )(a) f (a  hn )  f (a) g (a  hn )  g (a)


hn
hn
hn
( f  g )(a  hn )  ( f  g )(a)
f (a  hn )  f (a)
lim
 lim

n 
n 
hn
hn
.3
g (a  hn )  g (a)
 f '(a)  g '(a)
n 
hn
lim
(cf )(a  hn )  (cf )(a)
f (a  hn )  f (a)
 c lim
 cf '(a)
n 
n 
hn
hn
lim
.2
.3
.2
.1
.4
( fg )(a  hn )  ( fg )(a ) f (a  hn ) g (a  hn )  f (a ) g  a 


hn
hn

f (a  hn ) g (a  hn )  f (a  hn ) g (a )  f (a  hn ) g (a )  f (a ) g  a 

hn
f (a  hn )( g (a  hn )  g (a )) g (a )( f (a  hn )  f (a ))



hn
hn
( g (a  hn )  g (a))
( f (a  hn )  f (a ))
 g (a )
hn
hn
( fg )(a  hn )  ( fg )(a)
( g (a  hn )  g (a))
lim
 lim f (a  hn ) lim

n 
n 
n 
hn
hn
.1
 f (a  hn )
( f (a  hn )  f (a))
 g (a) lim
 f (a) g '(a)  g (a) f '(a ).
n 
hn
‫ולכן‬
.4
f (a  hn ) f (a)
f
f

( )(a  hn )  ( )(a)
g (a  hn ) g (a) f (a  hn ) g (a)  f ( a) g ( a  hn )
g
g



hn
hn
hn g (a  hn ) g (a)

f (a  hn ) g (a)  f (a) g ( a)  f ( a) g ( a)  f ( a) g ( a  hn )

hn g (a  hn ) g (a)
( f (a  hn )  f (a)) g (a)  f (a)( g ( a)  g ( a  hn ))
f (a  hn )  f (a)
g (a)


hn g (a  hn ) g (a)
g (a  hn ) g (a)
hn

g (a  hn )  g (a)
f (a)
g (a  hn ) g (a)
hn
‫ולכן‬
f (a  hn ) f (a)
f
f

( )(a  hn )  ( )(a)
g (a  hn ) g (a)
f (a  hn )  f (a)
g (a)
g
g
lim


lim

n 
n

hn
hn
lim g (a  hn ) g (a)
hn
n 

g (a  hn )  g (a) g (a) f '(a)  f (a) g '(a)
f (a)
lim

n

lim g (a  hn ) g (a)
hn
g ( a) 2
n 
‫משפט כלל השרשרת‬
a ‫ גזירה בנקודה‬g·f ‫ אז‬,f(a) ‫ גזירה בנקודה‬g ‫ ו‬,a ‫ גזירה בנקודה‬f ‫נניח כי‬
.(g·f)'(a)=g(f(a))f'(a) ‫ומתקיים‬
‫בלי הוכחה‬
‫הפונקציות האלמנטריות‬
‫הפונקציות האלמנטריות הן הפונקציות הפולינומיאליות‪ ,‬המעריכיות‪,‬‬
‫הטריגונומטריות וכן כל פונקציה שמתקבלת מהן על ידי חבור חסור כפל‬
‫חלוק הרכבה והפוך‪.‬‬
‫נגזרות הפונקציות האלמנטריות‬
‫כל הפונקציות האלמנטריות (רציפות) וגזירות בכל תחום הגדרתן‬
‫ומקיימות את החוקים הבאים‪:‬‬
‫‪( x a )'  ax a1‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.2‬‬
‫) ‪(a x )'  a x ln(a‬‬
‫‪.'2‬‬
‫‪(e x )'  e x‬‬
‫‪.5 . (sin x)'  cos x .4 . (ln x) '  1 '1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪1‬‬
‫‪cos2 x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.7 . (tan x) ' ‬‬
‫‪1  x2‬‬
‫‪(arccos x)' ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪sin 2 x‬‬
‫‪.30‬‬
‫‪(cot x ) ' ‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪x ln(a‬‬
‫‪(cos x)'   sin x‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 x‬‬
‫‪(loga x ) ' ‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪(arcsin x ) ' ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.33 (arctan x ) '  1 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 x‬‬
‫‪1 x‬‬
‫‪(arccot x)' ‬‬
‫כלל השרשרת‬
‫נניח כי נתונה פונקציה שהיא תוצאת הרכבה‬
‫ונניח כי ‪ f‬גזירה בנקודה ‪ a‬וכי ‪ g‬גזירה בנקודה )‪ .f(a‬אז ‪ g°f‬גזירה‬
‫בנקודה )‪ f(a‬ומקימת את כלל השרשרת‪.‬‬
‫הנסוח של ניוטון‬
‫)‪( g f )'(a)  g '( f (a)) f '(a‬‬
‫נניח כי ‪ f‬פונקציה מציר ‪ x‬לציר ‪ , y‬ו כי ‪ g‬פונקציה מציר ‪ y‬לציר ‪ , z‬אז‬
‫לייבניץ סימן את '‪ f‬בסימן ‪ , dy‬את '‪ g‬בסימן ‪ , dz‬ואת ')‪ (g°f‬בסימן ‪, dz‬‬
‫))‪( g f )( x)  g ( f ( x‬‬
‫‪dx‬‬
‫אז כלל השרשרת בסימון של לייבניץ הוא‬
‫‪dy‬‬
‫‪. dz  dz dy‬‬
‫‪dx dy dx‬‬
‫‪dx‬‬
‫נשתמש בגזירה‬
‫בסימון של ניוטון ובשיטת ההצבה באינטגרלים‪ ,‬בסימון של לייבניץ‪.‬‬
‫דוגמא‬
‫‪e  g ( f ( x)), g ( x)  e , f ( x)  5x, g '( x)  g ( x), f '( x)  5, g '( f ( x))  e ,(e )'  e5 x 5.‬‬
‫‪5x‬‬
‫דוגמא‬
‫‪5x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪5x‬‬
‫)‪ arcsin(x‬היא פונקציה הפוכה לפונקציה )‪ sin(x‬ולכן לפי הגדרת‬
‫פונקציות הפוכות מתקיים ‪ .arcsin(sin(x))=x‬נגזור את שני האגפים‪,‬‬
‫באגף שמאל נשתמש בכלל השרשרת ונקבל ‪, arcsin'(sin(x))cos(x)=1‬‬
‫ולכן ‪ .‬נסמן ‪ ,cos(x)=√(1-sin2(x))=√(1-a2) .sin(x)=a‬ולכן נקבל את‬
‫‪1‬‬
‫מה שכתוב בטבלה‬
‫‪arcsin'(a) ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 a‬‬
‫גזירה לוגריתמית‬
‫ישנן פונקציות מעריכיות שבהן המשתנה ‪ x‬מופיע גם בבסיס וגם במעריך‪.‬‬
‫אי אפשר לגזור אותן לפי כלל ‪ ,3‬ששם המעריך קבוע‪ ,‬וגם לא לפי כלל ‪2‬‬
‫ששם הבסיס קבוע‪ .‬נאלץ להשתמש בתחבולה‪ .‬כידוע פונקצית החזקה‬
‫והפונקציה הלוגריתמית הפוכות זו לזו‪ ,‬והרכבתן זו על זו היא פונקצית‬
‫הזהות‪ ,‬ולכן ))‪ . f ( x) g ( x)  eln( f ( x) )  eg ( x)ln( f ( x‬נגזור ונשוה את שני האגפים‬
‫כאשר נתיחס לאגף ימין כאל פונקציה מורכבת שבה החיצונית היא ‪e x‬‬
‫והפנימית היא המכפלה ))‪ . g ( x)ln( f ( x‬ולכן נקבל‬
‫)‪g ( x‬‬
‫)‪g ( x) f '( x‬‬
‫)‪g ( x) f '( x‬‬
‫‪]  f ( x) g ( x )[ g '( x)ln( f ( x)) ‬‬
‫]‬
‫)‪f ( x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪[ f ( x) g ( x ) ]'  e g ( x )ln( f ( x )) [ g '( x)ln( f ( x)) ‬‬
‫דוגמא‬
‫גזור את ‪ . x x‬נציב בנוסחה ‪ f(x)=g(x)=x‬ונקבל‬
‫‪x1‬‬
‫‪]  x x (ln( x)  1).‬‬
‫‪x‬‬
‫‪( x x )'  x x [1ln( x) ‬‬
‫כללי ‪l'hospital‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪ . lim‬כלל ל'הופיטל מאפשר לחשב את הגבול במקרים ‪ 0‬ו‬
‫נתון הגבול‬
‫‪x a‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫)‪f '( x‬‬
‫‪ lim‬‬
‫‪. lim‬‬
‫תוך שמוש בנגזרות‪ .‬הכלל הוא‬
‫‪xa‬‬
‫‪xa‬‬
‫)‪g '( x‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫חלק מהגבולות שקבלנו בסמסטר א כנתונים‪ ,‬נובעים למעשה מכלל‬
‫ל'הופיטל‪.‬‬
‫)‪sin( x‬‬
‫)‪cos( x‬‬
‫‪, lim‬‬
‫‪ lim‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ex‬‬
‫‪ lim  1‬‬
‫‪x0 1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪e‬‬
‫‪, lim‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪ln(1  x‬‬
‫‪ lim 1  x  1‬‬
‫‪, lim‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪ lim x  lim x   0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x e‬‬
‫‪x e‬‬
‫‪x e‬‬
‫‪‬‬
‫‪lim‬‬
‫הרחבת כללי ל'הופיטל עבור המקרה‬
‫במקרה זה נשתמש בעובדה כי‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪1/  0‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1/ x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ , x ‬ונציג‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1/ 0 ‬‬
‫‪ , 0 ‬או‬
‫נפעיל את כלל ל'הופיטל על הבטוי הנוח יותר לגזירה‪.‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪e x‬‬
‫‪‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪x e x‬‬
‫‪x 1/ x‬‬
‫‪lim xe x  lim‬‬
‫‪x‬‬
‫מהבטויים וכך נמשיך‪.‬‬
‫במקרה זה קל יותר לגזור את הראשון‬
‫‪x‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪ lim x   0.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x e‬‬
‫‪x e‬‬
‫‪‬‬
‫‪lim xe x  lim‬‬
‫הרחבת כללי ל'הופיטל עבור המקרים‬
‫‪x‬‬
‫‪1 , 0 ,00‬‬
‫במקרה זה נשתמש בעובדה כי ‪ , eln x  x‬ולכן ‪ , eln f  eg ln f‬ונשים לב‬
‫כי עבור המקרה של ‪ , 1‬נקבל כי ‪ , g ln( f )   ln(1)  0‬עבור המקרה של ‪00‬‬
‫‪ ,‬נקבל כי )‪ , g ln( f )  0ln(0)  0(‬ועבור המקרה של ‪ , 0‬נקבל כי‬
‫‪ , g ln( f )  0ln()  0‬כלומר )‪ gln(f‬בכל מקרה הופך להיות המקרה ‪0‬‬
‫‪ . lim‬התשובה‬
‫וכעת נוכל להמשיך כמקודם ולחשב את ‪g ( x) ln( f ( x))  L‬‬
‫‪x a‬‬
‫המלאה של התרגיל היא ‪. e L‬‬
‫‪g‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ . lim(1‬פתרון נפעיל את הטריק הכתוב ונקבל כי‬
‫חשב את ‪ )n  1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪ln(1 ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n , n ln(1  1 ) ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫) ‪ln(1 ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪ln((1 )n‬‬
‫) ‪n ln(1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪(1  ) n  e n  e‬‬
‫‪,lim n ln(1  )  0, n ln(1  ) ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫מבין שתי האופציות נעדיף את הראשונה אשר שואפת ל ‪ ,0/0‬ונמשיך‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪ln(1 ‬‬
‫‪ln(1  )n 2‬‬
‫) ‪ln(1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n  lim‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n  1,lim(1  1 ) n  e1  e‬‬
‫‪lim n ln(1  )  lim‬‬
‫‪ lim‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫שמושי נגזרות לחקירת פונקציות‪.‬‬
‫להלן תכונות של פונקציות אשר חלק מהן נוכיח אח"כ‪.‬‬
‫‪ .3‬נתון קטע )‪ (a,b‬אשר בו ‪ f‬מוגדרת גזירה ומתקיים כי ‪ . f'>0‬אז ‪f‬‬
‫עולה בקטע )‪.(a,b‬‬
‫‪ .2‬נתון קטע )‪ (a,b‬אשר בו ‪ f‬מוגדרת גזירה ומתקיים כי ‪ . f'<0‬אז ‪f‬‬
‫יורדת בקטע )‪.(a,b‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫נתון קטע )‪ (a,b‬אשר בו ‪ f‬מוגדרת גזירה ונתונה נקודת קיצון‬
‫מקומי ‪ .c‬אז ‪.f'(c)=0‬‬
‫נתון קטע )‪ (a,b‬אשר בו ‪ f‬מוגדרת גזירה פעמיים ומתקיים כי ‪f''>0‬‬
‫‪ .‬אז ‪ f‬קמורה (מחייכת‪ ,‬קמורה כלפי מעלה) בקטע )‪.(a,b‬‬
‫נתון קטע )‪ (a,b‬אשר בו ‪ f‬מוגדרת גזירה פעמיים ומתקיים כי ‪f''<0‬‬
‫‪ .‬אז ‪ f‬קעורה (בוכה‪ ,‬קמורה כלפי מטה) בקטע )‪.(a,b‬‬
‫הגדרה‪ :‬נקודת פתול היא נקודה בתחום ההגדרה שבה מתקיים כי‬
‫‪ f‬קמורה מצד אחד וקעורה מצד שני‪.‬‬
‫נתון קטע )‪ (a,b‬אשר בו ‪ f‬מוגדרת גזירה פעמיים ונתונה נקודת‬
‫פתול ‪ .c‬אז ‪.f''(c)=0‬‬
‫דוגמאות‬
‫‪ y=2x+3 .3‬עולה בכל תחום הגדרתה‪ ,‬ואכן ‪.y'=2>0‬‬
‫‪ y=-3x+4 .2‬יורדת בכל תחום הגדרתה ואכן ‪.y'=-3<0‬‬
‫‪ .1‬עבור ‪ a>0‬נביט ב ‪ ,y=ax2+bx+c‬אז‪ ,y'=2ax+b‬ו‪,y''=2a>0‬‬
‫ואכן ''‪ y‬חיובי ו‪ y-‬מחייכת תמיד‪ y'>0 .‬שקול ל ‪,x>-b/2a‬‬
‫כלומר ‪ y‬עולה החל מנקודת הקדקד‪ ,‬ויורדת עד הקדקד‪.‬‬
‫‪ .4‬נביט על ‪ ,y=x3-3x‬אז ‪ .y'=3x2-3=3(x-1)(x+1),y''=6x‬כעת‬
‫נחלק את הישר הממשי ע"י הוספת הנקודות ‪ ±1‬בהן '‪y‬‬
‫מתאפסת‪ ,‬והנקודה ‪ 0‬בה ''‪ y‬מתאפסת ונקבל את טבלת‬
‫הסימנים (רבי יהודה) של ''‪.y',y‬‬
‫הערה חשובה‪ :‬בדרך כלל יש גם להוסיף לישר הממשי גם את הנקודות‬
‫בהן ''‪ y',y‬לא מוגדרות ובמקרה שלנו אין נקודות כאלו‪.‬‬
‫קבלנו ‪ 4‬קטעים‪ ,(-∞,-1)(-1,0)(0,1)(1,∞) ,‬ולכל אחד מהם‬
‫נבחר נציג‪ -2 .‬יכול להיות נציג של )‪ -0.5 ,(-∞,-1‬של )‪,(-1,0‬‬
‫‪ 0.5‬של )‪ (0,1‬ו‪ 2-‬של )∞‪ .(1,‬את הנציגים נציב ב‪ y',y''-‬ונקבל‬
‫את טבלת הסימנים הבאה‪:‬‬
‫)∞‪(1,‬‬
‫‪- +‬‬
‫)‪(0,1‬‬
‫‪+‬‬
‫עולה‬
‫ומחייכת‬
‫‪-‬‬
‫)‪(-∞,-1) (-1,0‬‬
‫‪+‬‬
‫‪- -‬‬
‫‪+‬‬
‫יורדת‬
‫ומחייכת‬
‫יורדת‬
‫ובוכה‬
‫עולה‬
‫ובוכה‬
‫סימן של‬
‫'‪y‬‬
‫סימן של‬
‫''‪y‬‬
‫התנהגות‬
‫‪y‬‬
‫טבלה שכזו היא חלק חשוב בחקירה המלאה‪.‬‬
‫אסימפטוטה‪.‬‬
‫אסימפטוטה היא קו ישר אשר הפונקציה 'נדבקת' אליו‪.‬‬
‫בדיחה‪ :‬זהו ישר שהולך עם עקומה ולא נוגע בה‪ .‬כיון‬
‫שעוסקים בקוים ישרים יש לרשום את משואות כל הקוים‬
‫הישרים במישור‪ .‬המשואה ‪ y=mx+n‬נותנת את כל הפונקציות‬
‫שהן בעלות גרף שהוא ישר‪ m .‬הוא השפוע‪ .‬לכזה קו נקרא‬
‫ישר משופע‪ .‬המשואה ‪ x=b‬היא משואה של קו אנכי במישור‪.‬‬
‫קו זה איננו משופע ואיננו גרף של פונקציה‪ .‬ישר כזה יקרא ישר‬
‫אנכי‪ .‬לכן נבדיל בין אסימפטוטה אנכית (שהיא קו אנכי) ובין‬
‫אסימפטוטה משופעת (שהיא קו משופע)‪.‬‬
‫אסימפטוטה אנכית‪.‬‬
‫הישר ‪ x=c‬הוא אסימפטוטה אנכית של הגרף של )‪ ,y=f(x‬אם‬
‫מתקיימים שני תנאים‪ .‬קודם כל הערך ‪ x=c‬איננו בתחום‬
‫ההגדרה של ‪ .f‬בנוסף מתקים אחד לפחות מ‪ 4-‬הגבולות הבאים‬
‫‪f ( x)  ,2) lim f ( x)  ,3) lim f ( x)  ,4) lim f ( x)  ‬‬
‫‪ 1) xlim‬את‬
‫‪c‬‬
‫‪xc‬‬
‫‪xc‬‬
‫‪xc‬‬
‫תנאי הגבולות ניתן לכתוב בקיצור כך ‪lim f ( x)  ‬‬
‫‪xc‬‬
‫דוגמאות‬
‫‪ x=0‬היא אסימפטוטה אנכית של ‪. y=1/x‬‬
‫‪ x=0‬היא אסימפטוטה אנכית של ‪y=1/x2‬‬
‫‪ x=0‬איננה אסימפטוטה אנכית של ‪ y=x2/x‬למרות ש‪ x=0‬לא‬
‫בתחום ההגדרה‪ ,‬כיון שאף אחד מ ‪ 4‬הגבולות לא מתקיים‪.‬‬
‫אסימפטוטה משופעת ב∞‬
‫הישר ‪ y=mx+n‬הוא ישר האסימפטוטה המשופעת ב∞‪ ,‬אם‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪. m  lim‬‬
‫מתקיים ]‪, n  lim[ f ( x)  mx‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫אסימפטוטה משופעת ב∞‪-‬‬
‫הישר ‪ y=mx+n‬הוא ישר האסימפטוטה המשופעת ב∞‪ ,-‬אם‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪. m  xlim‬‬
‫מתקיים ]‪, n  lim[ f ( x)  mx‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫ידוע שעבור פונקציה רציונלית )‪ , p( x‬כאשר )‪ p(x‬ו‪ q(x)-‬הם‬
‫)‪q( x‬‬
‫פולינומים‪ ,‬מתקיים כי ‪ y=mx+n‬היא ישר אסימטוטה משופעת‬
‫ב∞‪ ,‬אם ורק אם הוא ישר אסימפטוטה משופעת ב ∞‪ ,-‬כלומר‬
‫בפונקציה שכזו מספיק לבדוק את האסימפטוטה המשופעת רק‬
‫בצד אחד‪.‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫מצא את כל האסימטוטות של‬
‫‪x2  8‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪y‬‬
‫תשובה‪ :‬הנקודת היחידה שאיננה בתחום ההגדרה של ‪ y‬היא‬
‫‪ .x=-1‬מתקיים‬
‫‪8 ‬‬
‫‪x2  8 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ , lim‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x1 x  1‬‬
‫‪x 1 0 ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ xlim‬כלומר‬
‫‪1‬‬
‫אכן זהו ישר אסימטוטה אנכי של ‪ .f‬בנוסף‬
‫‪x 8‬‬
‫‪x2  8‬‬
‫‪x2  8‬‬
‫‪x2  8  x2  x‬‬
‫‪m  lim x  1  lim‬‬
‫‪ 1, n  lim‬‬
‫‪ 1x  lim‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x ( x  1) x‬‬
‫‪x x  1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪2‬‬
‫כלומר ‪ y=1x-1=x-1‬הוא אסימפטוטה משופעת ב∞‪ .‬אין צורך‬
‫לבדוק ב∞‪ ,-‬כי כיון שזוהי פונקציה רציונלית‪,‬מנת שני‬
‫פולינומים‪ ,‬הרי שאותה אסימפטוטה משופעת נכונה גם ב∞‪+‬‬
‫וגם ב∞‪-‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫מצא את כל האסימפטוטות של )‪.y=sin(x‬‬
‫כיון שתחום ההגדרה של הפונקציה הוא כל ‪ ,R‬אין אסימטוטה‬
‫אנכית‪ .‬עבור אסימטוטה משופעת נחשב ונקבל‪:‬‬
‫‪sin( x) 1 sin( x) 1‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪sin( x‬‬
‫‪, ‬‬
‫‪ ,lim  0,lim‬‬
‫)‪ 0  m, n  limsin( x)  0 x  limsin( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x x x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪m  lim‬‬
‫הגבול שמגדיר את ‪ n‬לא קים‪ ,‬כי למשל הסדרה 𝛱‪ xk=k‬מקיימת‬
‫שהיא שואפת לאינסוף וסדרת ה‪ -y‬שלה היא ‪ ,0‬ולעומתה‬
‫הסדרה ‪ yk=(4k+1)𝛱/2‬מקיימת שהיא שואפת לאינסוף‬
‫וסדרת ה‪ -y‬שלה היא ‪ .3‬אותן תשובות מתקבלות כאשר ‪x‬‬
‫שואף ל ∞‪ -‬בכך קבלנו דוגמא לפונקציה חסרת אסימטוטות‬
‫בכלל‪ ,‬וכך שבחשוב האסימטוטה המשופעת שלה‪ m ,‬קים‬
‫ומוגדר אבל ‪ n‬לא קים‪.‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫מצא את כל האסימפטוטות של ‪.y=ex‬‬
‫כיון שתחום ההגדרה של הפונקציה הוא כל ‪ ,R‬אין אסימטוטה‬
‫אנכית‪ .‬עבור אסימטוטה משופעת נחשב ונקבל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ex‬‬
‫‪ lim  ‬‬
‫‪ x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ . m  lim‬כיון ש‪ m‬לא קים‪ ,‬אין אסימפטוטה‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫משופעת ב∞‪ .‬עבור ∞‪ ,-‬נקבל‬
‫‪x‬‬
‫‪e‬‬
‫‪0‬‬
‫‪  0, n  lim e x  0 x  lim e x  0‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪m  lim‬‬
‫כלומר ‪ y=0‬אסימטוטה משופעת (למעשה עם שפוע ‪ 0‬ולכן‬
‫אפקית) ב∞‪ .-‬כלומר קבלנו פונקציה (שאיננה פונקציה‬
‫רציונלית) שיש לה אסימפטוטה משופעת במינוס אינסוף ואין‬
‫לה אסימפטוטה משופעת באינסוף‪.‬‬
‫המשפטים של החשבון הדיפרנציאלי‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬מקסימום מקומי‪ ,‬מינימום מקומי‪ ,‬קיצון מקומי‪.‬‬
‫נתונה פונקציה ‪ ,f‬ומספרים ‪ ,b‬ו ‪ a>0‬כך שהקטע )‪(b-a,b+a‬‬
‫הוא בתחום ההגדרה של ‪ .f‬נגיד כי ב‪ b-‬יש מקסימום מקומי של‬
‫‪ ,f‬אם ל‪ f‬המצומצמת לקטע )‪ (b-a,b+a‬יש מקסימום בנקודה ‪.b‬‬
‫נגיד כי יש לה מינימום מקומי אם ל‪ f‬המצומצמת יש מינימום‬
‫ב‪ , b‬נגיד כי ל‪ f‬יש קיצון מקומי ב‪ b-‬אם יש לה מקסימום‬
‫מקומי או מינימום מקומי‪.‬‬
‫משפט פרמה‪Fermat .‬‬
‫נתונות פונקציה ‪ f‬ונקודות קיצון מקומי ‪ b‬ונתון כי )‪f'(b‬‬
‫מוגדרת‪ .‬אז ‪.f'(b)=0‬‬
‫הוכחה‬
‫נוכיח עבור מקסימום מקומי בלבד‪ .‬ההוכחה למינימום מקומי‬
‫דומה‪ .‬נשתמש בהגדרת הנגזרת‪ :‬מתקיים הגבול‬
‫)‪f (b  h)  f (b‬‬
‫‪ . f '(b)  lim‬והוא שוה לגבול מימין ומשמאל‪.‬‬
‫‪h0‬‬
‫‪h‬‬
‫נשתמש בגבול מימין‪ .‬אז ‪ ,h>0‬ולפי תכונות המקסימום (עבור‬
‫‪ )0<h<a‬מתקיים )‪ ,f(b+h)≤f(b‬ולכן המונה בגבול מקיים‬
‫‪ ,f(b+h)-f(b)≤0‬המכנה חיובי ולכן המנה )‪ f (b  h)  f (b‬היא‬
‫‪h‬‬
‫קטנה או שוה ל‪ ,0-‬והגבול מימין קטן או שוה ל‪ .0-‬הגבול‬
‫משמאל הוא גבול של בטויים שבהם המונה קטן או שוה ל‪,0-‬‬
‫המכנה שלילי‪ ,‬לכן המנה אי שלילית והגבול אי שלילי‪ .‬אז‬
‫הגבול‪ ,‬שהוא גבול מימין ומשמאל הוא גם גדול או שוה וגם קטן‬
‫או שוה ל‪ ,0-‬ולכן הוא ‪∎ .0‬‬
‫משפט רול ‪Rolle‬‬
‫נתונה פונקציה ‪ f‬אשר מוגדרת בקטע ]‪ ,[a,b‬רציפה בכל נקודות‬
‫הקטע‪ ,‬וגזירה בכל נקודות הקטע הפתוח )‪ ,(a,b‬ונתון כי‬
‫)‪ .f(a)=f(b‬אז קימת לפחות נקודה אחת ‪ ,c‬כך ש ‪ a<c<b‬וכך ש‬
‫‪.f'(c)=0‬‬
‫הערה‪ .‬יכולות להיות שתי נקודות כאלו או שלוש‪ .‬לא אומרים‬
‫איך למצוא את ‪.c‬‬
‫הוכחה‬
‫כיון ש‪ f-‬רציפה בקטע סגור‪ ,‬אז לפי משפט וירשטרס יש נקודה‬
‫‪ c‬בקטע הסגור ]‪ [a,b‬שבה מתקבל המקסימום של ‪ f‬על הקטע‪.‬‬
‫אם ‪ c‬בקטע הפתוח‪ ,‬כלומר ‪ , c≠a,c≠b‬אז לפי ההגדרה ‪ c‬היא‬
‫נקודת מקסימום מקומי ולכן לפי משפט פרמה נובע כי ‪,f'(c)=0‬‬
‫והוכחנו את הטענה‪ .‬יש גם לפי משפט וירשטרס נקודה ‪ d‬שבה‬
‫ל‪ f-‬יש את ערך המינימום בקטע‪ .‬אם ‪ d≠a,d≠b‬נובע כי ‪ d‬היא‬
‫נקודת מינימום מקומי ושוב לפי משפט פרמה נובע כי ‪,f'(d)=0‬‬
‫והסתיימה ההוכחה‪.‬‬
‫נותר להוכיח את המשפט רק עבור המקרה שבו ‪ c,d‬הן בקצות‬
‫הקטע‪ .‬המקסימום והמינימום של ‪ f‬הם )‪ f(a‬ו )‪ .f(b‬אבל נתון‬
‫כי )‪ ,f(a)=f(b‬ולכן נובע כי ‪ f‬היא הפןנקציה הקבועה‪ .‬אבל אז‬
‫‪ f'=0‬בכל נקודות הקטע ]‪ ,[a,b‬וברור שהיא מקיימת את‬
‫המשפט‪∎ .‬‬
‫משפט ערך הבינים של לגרנג' ‪Lagrange‬‬
‫נתונה פונקציה ‪ f‬אשר מוגדרת בקטע ]‪ ,[a,b‬רציפה בכל נקודות‬
‫הקטע‪ ,‬וגזירה בכל נקודות הקטע הפתוח )‪ (a,b‬אז קימת‬
‫)‪f (b)  f (a‬‬
‫לפחות נקודה אחת ‪ ,c‬כך ש ‪ a<c<b‬וכך ש‬
‫‪f '(c) ‬‬
‫‪ba‬‬
‫הערה‪ .‬יכולות להיות שתי נקודות כאלו או שלוש‪ .‬לא אומרים‬
‫איך למצוא את ‪ .c‬כמו כן אם נציב את הנתון )‪ ,f(b)=f(a‬נקבל‬
‫כי ‪ ,f'(c)=0‬כלומר משפט לגרנג' הופך להיות המשפט של רול‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫גם הוכחת משפט לגרנג' מסתמכת על המשפט של רול‪ .‬אנו‬
‫לוקחים את הנתון על ‪ ,f‬ומנסים לשנות את המצב כדי לקבל‬
‫נתונים כמו במשפט רול‪ .‬נגדיר )‪. k ( x)  f (b)  f (a) ( x  a)  f (a‬‬
‫‪ba‬‬
‫אז ‪ k‬היא פונקציה ממעלה ראשונה‪ ,‬ולכן הגרף שלה הוא קו‬
‫ישר‪ .‬על ידי הצבה רואים כי )‪ ,k(a)=f(a),k(b)=f(b‬כלומר הקו‬
‫הישר שהוא הגרף של ‪ ,k‬מתלכד עם הגרף של ‪ f‬בנקודות הקצה‬
‫‪ .a,b‬ברור כי ‪ k‬היא פונקציה רציפה בקטע ]‪ [a,b‬וגזירה בכל‬
‫נקודות הקטע הפתוח )‪ .(a,b‬נגדיר כעת )‪ .h(x)=f(x)-k(x‬אז ‪h‬‬
‫היא הפרש של שתי פונקציות רציפות בקטע הסגור ולכן גם היא‬
‫כזו‪ ,‬והיא הפרש של שתי פונקציות גזירות בקטע הפתוח ולכן‬
‫גם היא כזו‪ ,‬ולפי הבניה ‪,h(b)=f(b)-k(b)=0 h(a)=f(a)-k(a)=0‬‬
‫ולכן ‪ h‬מקיימת את תנאי משפט רול ולכן יש נקודה ‪ c‬אחת‬
‫לפחות שבה מתקיים ‪.h'(c)=0‬‬
‫לפי ההגדרה )‪ ,h'=f'-k'=f'-(f(b)-f(a))/(b-a‬כלומר קיימת ‪c‬‬
‫אחת לפחות כך ש ‪ ,f'(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)=0‬כדרוש‪∎ .‬‬
‫קטעי עליה‬
‫נניח כי נתונים פונקציה ‪ f‬מוגדרת ורציפה בכל נקודות הקטע‬
‫]‪ ,[a,b‬ולכל ‪ ,x‬כך ש‪ a<x<b‬מוגדרת )‪ f'(x‬ומתקיים כי ‪.f'(x)>0‬‬
‫אז ]‪ [a,b‬קטע עליה של ‪.f‬‬
‫הוכחה‬
‫תהינה נתונות נקודות ‪ p,q‬כך ש ‪ ,a<p<q<b‬צ"ל כי )‪.f(p)<f(q‬‬
‫נשים לב כי תנאי משפט לגרנג' קימים בקטע ]‪ ,[p,q‬כי ‪ f‬רציפה‬
‫בקטע הסגור וגזירה בפתוח‪ .‬אז לפי מסקנת משפט לגרנג' קימת‬
‫‪ c‬אחת לפחות כך ש ‪ p<c<q‬וכך ש )‪ . f '(c)  f (q)  f ( p‬לפי‬
‫ההנחה ‪ ,f'(c)>0‬ולכן המנה‬
‫‪q p‬‬
‫)‪ . f (q)  f ( p‬היא חיובית‪.‬‬
‫‪q p‬‬
‫כיון‬
‫שהמכנה חיובי לפי הנתון‪ ,‬גם המונה חיובי כדרוש‪∎ .‬‬
‫קטעי ירידה‬
‫נניח כי נתונים פונקציה ‪ f‬מוגדרת ורציפה בכל נקודות הקטע‬
‫]‪ ,[a,b‬ולכל ‪ ,x‬כך ש‪ a<x<b‬מוגדרת )‪ f'(x‬ומתקיים כי ‪.f'(x)>0‬‬
‫אז ]‪ [a,b‬קטע עליה של ‪.f‬‬
‫ההוכחה דומה מאוד להוכחת הטענה הקודמת‪.‬‬
‫משפט ערך הבינים של קושי ‪Cauchy‬‬
‫נתונים הקטע ]‪ ,[a,b‬ופונקציות ‪ ,g,f‬אשר מוגדרות ורציפות בכל‬
‫נקודות הקטע‪ ,‬וגזירות בכל נקודות הקטע הפתוח )‪ ,(a,b‬וכך‬
‫שלכל ‪ x,a<x<b‬מתקיים ‪ .g'(x)>0‬אז קימת לפחות נקודה‬
‫אחת ‪ ,c‬כך ש ‪ a<c<b‬וכך ש )‪. f '(c)  f (b)  f (a‬‬
‫)‪g (b)  g (a‬‬
‫)‪g '(c‬‬
‫הערה‪ .‬יכולות להיות שתי נקודות כאלו או שלוש‪ .‬לא אומרים‬
‫איך למצוא את ‪ .c‬כמו כן אם נציב את הנתון ‪ ,g(x)=x‬נקבל כי‬
‫‪ ,g'(c)=1,g(b)=b,g(a)=a‬כלומר משפט ערך הבינים של קושי‬
‫הופך להיות משפט ערך הבינים של לגרנג'‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫נשים לב כי לא יתכן כי )‪ g(a)=g(b‬כי אז ‪ g‬היתה מקיימת את‬
‫הנתונים של משפט רול‪ ,‬ולכן גם את מסקנתו כלומר היה נובע‬
‫כי יש ‪ c‬כך ש ‪ ,g'(c)=0‬סתירה לנתון‪ .‬לכן )‪ g(b)-g(a‬שונה מ‪0-‬‬
‫וניתן לחלק בו‪.‬‬
‫נכליל את הוכחת משפט ערך הבינים של לגרנג'‪ ,‬נביט בפונקציה‬
‫‪ h‬אשר הוגדרה שם‪ ,‬וכל אות של משתנה או של קבוע נחליף‬
‫בערך של ‪ g‬באותה נקודה‪ .‬כלומר במקום‬
‫)‪ h( x)  f ( x)  k ( x)  f ( x)  f (b)  f (a) ( x  a)  f (a‬נביט על‬
‫‪ba‬‬
‫)‪. h( x)  f ( x)  f (b)  f (a) ( g ( x)  g (a))  f (a‬‬
‫)‪g (b)  g (a‬‬
‫קודם כל נשים לב כי‬
‫לפי טענה קודמת נובע כי )‪ g(b)>g(a‬ולכן ‪g(b)-g(a)>0.‬‬
‫חבור חסור כפל או חלוק בקבוע משאירים פונקציה רציפה‬
‫רציפה‪ ,‬ומשאירים פונקציה גזירה גזירה‪ ,‬ולכן‬
‫)‪ f (b)  f (a) ( g ( x)  g (a))  f (a‬מתקבלת מ‪ g‬על ידי חסור כפל‬
‫)‪g (b)  g (a‬‬
‫וחלוקה בקבועים‪ ,‬ולכן היא פונקציה רציפה בקטע הסגור‬
‫וגזירה בפתוח‪ .‬גם ‪ f‬רציפה בקטע הסגור וגזירה בפתוח ולכן‬
‫כיון שחסור פונקציות רציפות היא רציפה וחסור שתי פונקציות‬
‫גזירות היא גזירה‪ ,‬נובע כי ‪ h‬היא פונקציה רציפה ב ]‪[a,b‬‬
‫וגזירה ב )‪ .(a,b‬כמו כן לפי הנתון ‪ ,h(a)=h(b)=0‬ולכן‬
‫מתקיימים תנאי משפט רול‪ ,‬ולכן לפי מסקנת משפט רול קימת‬
‫‪ c‬אחת לפחות כך ש ‪ a<c<b‬וכך ש ‪ .h'(c)=0‬לפי הגדרת הנגזרת‬
‫נובע כי ‪ h '(c)  f '(c)  f (b)  f (a) g '(c)  0‬או על ידי העברת אגפים‬
‫)‪g (b)  g (a‬‬
‫)‪ , f '(c)  f (b)  f (a‬כדרוש‪.‬‬
‫)‪g '(c) g (b)  g (a‬‬
‫∎‬
‫כלל ל'הופיטל עבור ‪ 0/0‬בנקודה סופית‬
‫נתונים קטע ]‪ [a,b‬ופונקציות ‪ f,g‬אשר מוגדרות רציפות וגזירות‬
‫‪ lim‬ו‪ .g'>0‬אז‬
‫בקטע )‪ (a,b‬וכך שמתקיים ‪f ( x)  lim g ( x)  0‬‬
‫‪xb‬‬
‫‪xb‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫)‪f '( x‬‬
‫‪ lim‬‬
‫‪. lim‬‬
‫מתקיים כי‬
‫‪xb‬‬
‫‪xb‬‬
‫)‪g '( x‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫הוכחה‬
‫‪ , lim‬ניתן להרחיב את תחום‬
‫כיון שמתקיים ‪f ( x)  lim g ( x)  0‬‬
‫‪xb‬‬
‫‪xb‬‬
‫ההגדרה של ‪ f‬ושל ‪ g‬לקטע הסגור ]‪ [a,b‬על ידי זה שנגדיר‬
‫‪ .f(b)=g(b)=0‬אז מתקיים לפי משפט ערך הביניים של קושי‬
‫שיימת נקודה ‪ c‬אחת לפחות‪ x<c<b ,‬כך שמתקיים השויון‬
‫)‪ f ( x)  f ( x)  0  f ( x)  f (b)  f '(c‬ולכן‬
‫)‪g ( x)  0 g ( x)  g (b) g '(c‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫)‪f '(c‬‬
‫)‪f '(c‬‬
‫‪ lim‬‬
‫‪ lim‬‬
‫‪ , lim‬כדרוש‪.‬‬
‫)‪xb g ( x‬‬
‫)‪xb , xcb g '(c‬‬
‫)‪cb g '(c‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫∎‬