‫דף נגזרות ואינטגרלים לשאלון ‪708‬‬
‫נגזרת של פונקציות מעריכיות‪:‬‬
‫בסיס אחר‪y  32x 7 :‬‬
‫‪ ‬נעתיק ביטוי מעריכי‬
‫‪ ‬נכפול בנגזרת המעריך של החזקה‬
‫‪ ‬נכפול ב‪ ln -‬של הבסיס‬
‫‪2x  7‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪y3‬‬
‫‪2x  7‬‬
‫‪y'  3‬‬
‫הנגזרת ‪ 2  ln 3 :‬‬
‫‪4x 5‬‬
‫בסיס ‪: e‬‬
‫‪ye‬‬
‫‪ ‬נעתיק ביטוי מעריכי‬
‫‪ ‬נכפול בנגזרת המעריך של החזקה‬
‫דוגמה‪y  e4x 5 :‬‬
‫הנגזרת ‪y '  e4x 5  4 :‬‬
‫נגזרת של פונקציות לוגריתמיות‪:‬‬
‫מעריך בסיס ‪y  log‬‬
‫נגזרת המעריך‬
‫נוסחה‪:‬‬
‫‪y' ‬‬
‫)בסיס(‪  ln‬מעריך‬
‫מעריך ‪y  ln‬‬
‫דוגמה‪y  log5  3x 2  7x  6  :‬‬
‫‪6x  7‬‬
‫הנגזרת ‪:‬‬
‫‪3x  7x  6  ln 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫מספר‬
‫‪  ln x  c‬מספר ‪dx ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .1‬נעתיק את המספר שבמונה‬
‫‪ .0‬נכפול ב‪ ln -‬של המכנה‬
‫‪3‬‬
‫דוגמה‪ x dx :‬‬
‫האינטרגל ‪3ln x :‬‬
‫‪‬‬
‫‪2x  10‬‬
‫הנגזרת ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x  10x  7‬‬
‫בסיס ‪dx : e‬‬
‫‪ .1‬נעתיק ביטוי מעריכי‬
‫‪ .0‬נחלק בנגזרת החזקה‬
‫‪ .3‬נחלק ב‪ ln -‬של הבסיס (נרשום אותו במכנה)‬
‫‪2x 8‬‬
‫דוגמה‪ 3 dx :‬‬
‫אינטגרל לוגריתמיים‪:‬‬
‫הנוסחה‪:‬‬
‫דוגמה‪y  ln  x 2  10x  7  :‬‬
‫‪y' ‬‬
‫אינטגרל של פונקציה מעריכית‬
‫‪2x 8‬‬
‫בסיס אחר‪ 3 dx :‬‬
‫‪32x 8‬‬
‫האינטרגל ‪ c :‬‬
‫‪2  ln 3‬‬
‫נגזרת המעריך‬
‫נוסחה‪:‬‬
‫מעריך‬
‫‪y' ‬‬
‫‪4x  2‬‬
‫‪y' ‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ .1‬נעתיק ביטוי מעריכי‬
‫‪ .0‬נחלק בנגזרת החזקה‬
‫דוגמה‪dx :‬‬
‫‪4x  2‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e4x  2‬‬
‫האינטרגל ‪ c :‬‬
‫‪4‬‬
‫הנוסה‪:‬‬
‫מספר‬
‫‪ ‬ביטוי ממעלה ראשונה‪  ln‬מספר‬
‫‪c‬‬
‫‪dx ‬ביטוי ממעלה ראשונה ‪‬‬
‫נגזרת הביטוי‬
‫‪ .1‬נעתיק את המספר שבמונה‬
‫‪ .0‬נכפול ב‪ ln -‬של המכנה‬
‫‪ .3‬נחלק בנגזרת של הביטוי שבמכנה‬
‫‪4‬‬
‫דוגמה‪ 5x  9 dx :‬‬
‫‪4  ln  5x  9 ‬‬
‫האינטרגל ‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע ‪250-0884452‬‬
‫‪1‬‬
‫אינטגרל של פונקציה עם חזקה רציונלית‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪xn‬‬
‫הנוסחה‪ x dx  m  c :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ .1‬נוסיף אחד לחזקה‬
‫‪ .0‬נחלק בחזקה החדשה‬
‫דוגמה‪dx :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪xdx ‬‬
‫הנוסחה‪ c :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .1‬נוסיף אחד לחזקה‬
‫‪ .0‬נחלק בחזקה החדשה‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫דוגמה‪xdx :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪x‬‬
‫האינטרגל ‪ c :‬‬
‫‪ ,‬כלומר‪ c :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3x 3‬‬
‫‪x3‬‬
‫האינטרגל ‪ c :‬‬
‫‪ ,‬כלומר‪ c :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫חילוק פולינומים‬
‫מכיוון שאין לנו כלים לעשות אינטגרל למנה של פונקציות‪ ,‬כשנקבל פונקצית מנה והצמצום האלמנטרי‬
‫על ידי פירוק לגורמים קשה‪ ,‬נחלק פולינומים ונקבל פונקצית פולינום קלה לאינטגרציה‪.‬‬
‫שיטת עבודה לחילוק פולינומים‪:‬‬
‫‪ ‬נרשום את המחלק והמחולק בסדר חזקות יורד‪.‬‬
‫‪ ‬נגדיר איבר מוביל שהוא האיבר עם החזקה הגבוהה ביותר במחולק (האיבר שבמונה‪ ,‬זה‬
‫שמחלקים אותו)‬
‫‪ ‬נחלק את האיבר השמאלי במחולק באיבר השמאלי במחלק‪.‬‬
‫‪ ‬נכפול את התוצאה שהתקבלה במחלק ונרשום את התוצאה שהתקבלה מתחת למחולק‪.‬‬
‫‪ ‬נעשה חיסור בצורה הבאה‪ :‬המחולק פחות תוצאת המכפלה‪.‬‬
‫‪ ‬נמשיך בתרגיל חילוק ארוך‪.‬‬
‫‪20x 3  31x 2  23x  7‬‬
‫דוגמה‪dx :‬‬
‫‪5x  1‬‬
‫עלינו לעשות אינטגרל למנה מזעזעת שבה החזקה במונה גדולה מהחזקה במכנה‪ .‬לכן ניעזר בחלוקת‬
‫‪.‬‬
‫פולינומים‪ .‬נעשה חלוקת פולינומים לביטוי‪20x 3  31x 2  23x  7 5x  1 :‬‬
‫האיבר המוביל הוא האיבר השמאלי במחולק והוא‪ . 20x 3 :‬נחלק את האיבר המוביל של המחולק באיבר‬
‫המוביל של המחלק ‪ 5x‬ונקבל‪ . 4x 2 :‬את ה‪ 4x 2 -‬נרשום מעל ה‪ . 20x 3 -‬מתקבל‪:‬‬
‫‪4x 2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪20x 3  31x 2  23x  7 5x  1‬‬
‫כעת נכפול את תוצאת החילוק במחלק ‪ ,  5x  1‬ונקבל ‪ . 20x 3  4x 2‬נרשום את תוצאת המכפלה‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫מתחת למחולק‪ .‬התרגיל נראה עד עכשיו כך‪:‬‬
‫‪4x 2‬‬
‫‪. 20x 3  31x 2  23x  7 5x  1‬‬
‫‪20x 3  4x 2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע ‪250-0884452‬‬
‫‪0‬‬
‫כעת נבצע חיסור‪ ,‬המחולק פחות תוצאת המכפלה‪ .‬נקבל‪. 35x2  23x  6 :‬‬
‫כעת האיבר המוביל הוא ‪ 35x 2‬והאיבר המוביל של המחלק הוא עדיין ‪ . 5x‬חלוקת האיברים המובילים‬
‫נותנת ‪ . 7x‬נרשום למעלה ‪ , 7x‬ונכפול את תוצאת החלוקה במחלק‪ .‬נקבל‪ . 35x 2  7x :‬נחסר שוב‬
‫ונקבל‪ . 30x  6 :‬החילוק הארוך נראה כך‪:‬‬
‫‪4x 2  7x‬‬
‫‪20x 3  31x 2  23x  7 5x  1‬‬
‫‪20x 3  4x 2‬‬
‫‪ 35x 2  23x  7‬‬
‫‪35x 2  7x‬‬
‫‪30x  7‬‬
‫כעת האיבר המוביל הוא ‪ 30x‬והאיבר המוביל של המחלק הוא עדיין ‪ . 5x‬חלוקת האיברים המובילים‬
‫נותנת ‪ . 6‬נרשום למעלה ‪ , 6‬ונכפול את תוצאת החלוקה במחלק‪ .‬נקבל‪ . 30x  6 :‬נחסר שוב‬
‫ונקבל‪ . 0 :‬החילוק הארוך נראה כך‪:‬‬
‫‪4x 2  7x  6‬‬
‫‪20x 3  31x 2  23x  7 5x  1‬‬
‫‪20x 3  4x 2‬‬
‫‪ 35x 2  23x  7‬‬
‫‪35x 2  7x‬‬
‫‪30x  7‬‬
‫‪30x  6‬‬
‫‪1‬‬
‫ברגע שקיבלנו תוצאה של ‪ , 0‬תם טקס חלוקת הפולינומים‪.‬‬
‫‪20x 3  31x 2  23x  7‬‬
‫‪2‬‬
‫היא ‪ 4x  7x  6‬עם שארית ‪, 1‬‬
‫קיבלנו שתוצאת המנה‬
‫‪5x  1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. 4x 2  7x  6 ‬‬
‫כלומר תוצאת האינטגרל היא‬
‫‪5x  1‬‬
‫‪20x 3  31x 2  23x  7‬‬
‫‪ ‬זה כמו לעשות אינטגרל‬
‫לכן אם היינו צריכים לעשות אינטגרל לביטוי ‪dx‬‬
‫‪5x  1‬‬
‫‪ln 5x  1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪4x 3 7x 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 6x ‬‬
‫‪ ,   4x 2  7x  6 ‬נקבל‪ c :‬‬
‫לביטוי ‪ dx‬‬
‫‪5x  1 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫הערה‪ :‬את המעריך של ה‪ ln -‬יש לרשום בתוך ערך מוחלט לאחר פעולת האינטגרל‪ ,‬כי לא ידוע אם‬
‫המעריך של ה‪ ln -‬חיובי או שלילי‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע ‪250-0884452‬‬
‫‪3‬‬
‫אינטגרציה בהצבה – שאלון ‪008‬‬
‫כאשר נרצה לעשות אינטגרל ובאינטגרל יהיו מעורבות מכפלה‪ ,‬מנה או חזקה של פונקציה והנגזרת‬
‫שלה‪.‬‬
‫נעשה אינטגרל בהצבה באחד מהמצבים הבאים‪:‬‬
‫‪ , f  x    f u  x   u '  x  dx ‬כלומר מכפלה של פונקציה והנגזרת שלה‪.‬‬
‫‪u 'x ‬‬
‫‪ , f  x   ‬כלומר מנה של פונקציה והנגזרת שלה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪‬‬
‫‪ , f  x    f u  x   u '  x  dx‬כלומר חזקה של פונקציה והנגזרת שלה‪.‬‬
‫‪f  u  x  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫שיטת עבודה‪:‬‬
‫‪ ‬מגדירים את ‪ u  x ‬בתור הפונקציה ולא בתור הנגזרת שלה‪ ,‬כלומר רושמים‪. f  u  x  :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫גוזרים את שני הצדדים‪ ,‬ומקבלים‪. f 'dx  du :‬‬
‫‪du‬‬
‫‪. dx ‬‬
‫נחלק את‬
‫'‪f‬‬
‫נחזור לפונקציה שרוצים לעשות לה אינטגרל ונציב במקום ‪ u‬ו‪ dx -‬את הביטויים הנתונים‪.‬‬
‫נעשה אינטגרל מיידי של ‪ , u‬ואחריו נציב במקום ‪ u‬את הביטוי שמכיל ‪- x‬ים לפי הסימון‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬מצא‪  2x  4  dx :‬‬
‫‪4x 5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.  ex‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫לפנינו אינטגרל של חזקה מזעזעת‪ .‬אם זה ממש מעניין אותי‪ ,‬אז אם אני גוזר את ‪ x 2  4x  5‬אני‬
‫מקבל ‪ ,  2x  4 ‬שזה מזכיר את מה שכופל את הסוגריים‪.‬‬
‫בכל מקרה בשלב ראשון‪ ,‬נגדיר את הפונקציה (ולא את הנגזרת) בתור ‪ , u‬כלומר‪. x  4x  5  u :‬‬
‫‪du‬‬
‫‪. dx ‬‬
‫נגזור ונקבל‪ .  2x  4  dx  du :‬נבודד את ‪ , dx‬ונקבל‪:‬‬
‫‪2x  4‬‬
‫כעת נחזור לפונקציה שרוצים לעשות לה אינטגרל ונציב את הביטויים שאנו מכירים‪.‬‬
‫‪du‬‬
‫‪du‬‬
‫‪ dx ‬ונקבל‪:‬‬
‫נציב‪, x 2  4x  5  u :‬‬
‫‪ ,  eu   2x  4  ‬נצמצם ב‪ 2x  4  -‬‬
‫‪2x  4‬‬
‫‪2x  4‬‬
‫‪x 2  4x  5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪u‬‬
‫ונקבל‪ .  eu du :‬כעת נעשה אינטגרל מיידי‪ . e  c :‬נציב ‪ u  x  4x  5‬ונקבל‪ c :‬‬
‫‪.e‬‬
‫‪2‬‬
‫הערה‪ :‬כיצד נבדיל בין תרגילים של חלוקת פולינומים לבין תרגילים של אינטגרציה בהצבה?‬
‫‪ ‬אם החזקה של המונה גדולה יותר מחזקת המכנה – נבצע חלוקת פולינומים‪.‬‬
‫‪ ‬אם החזקה של המכנה גדולה יותר מחזקת המונה – נעשה אינטגרציה בהצבה‪.‬‬
‫‪3x 2  3‬‬
‫דוגמה‪dx :‬‬
‫‪x 3  3x‬‬
‫עלי לבצע אינטגרל למנה מזעזעת‪ .‬נקבל החלטה לפי הכלל אם מדובר בחלוקת פולינומים או באינטגרציה‬
‫בהצבה‪ .‬החזקה הגבוהה יותר נמצאת במכנה‪ ,‬והנגזרת של המכנה מזכירה מאוד את המונה‪ .‬לכן‪ ,‬נבצע‬
‫אינטגרציה בהצבה‪ .‬נסמן את המכנה‪, u  x 3  3x :‬‬
‫נגזור את שני האגפים‪. du  3x 2  3 dx :‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪du‬‬
‫נחלץ את ‪ dx‬ונקבל‪:‬‬
‫‪3x 2  3‬‬
‫‪‬‬
‫‪. dx ‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע ‪250-0884452‬‬
‫‪8‬‬
‫‪3x 2  3 du‬‬
‫נציב באינטגרל את ‪ u‬ואת ‪ . dx‬נקבל‪:‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪u‬‬
‫‪3x  3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪du‬‬
‫‪ , ‬כלומר‪.  du :‬‬
‫נצמצם ונקבל‪:‬‬
‫‪u‬‬
‫‪u‬‬
‫כעת נבצע את פעולת האינטגרל ונקבל‪ . ln u  c :‬נציב ‪ u  x 3  3x‬ונקבל‪. ln x 3  3  c :‬‬
‫‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע ‪250-0884452‬‬
‫‪5‬‬