‫מתמטיקה בהישג יד ‪802 -‬‬
‫פרבולות‬
‫‪−b ± √b −4ac‬‬
‫=‪X 1,2‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−b‬‬
‫‪2a‬‬
‫=ק ‪X‬‬
‫דודו גולדשטיין‬
‫מתמטיקה בהישג יד ‪802 -‬‬
‫דודו גולדשטיין‬
‫פרבולות‬
‫ערך של פונקציה ‪Y -‬‬
‫הסבר בוידאו ‪<--‬‬
‫דוגמה‬
‫נחשב את ערך הפונקציה ‪ y = 5x2 – 6‬לכל ‪: x‬‬
‫‪x=0‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪x=1‬‬
‫‪x=2‬‬
‫)‪(2‬‬
‫)‪(1‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪y = 5·(0)2 – 6 = -6‬‬
‫)‪(3‬‬
‫ערך הפונקציה הוא ‪-6‬‬
‫)‪y = 5·(2)2 – 6 = 14 (2‬‬
‫‪y = 5·(1)2 – 6 = -1‬‬
‫)‪(1‬‬
‫ערך הפונקציה הוא ‪14‬‬
‫ערך הפונקציה הוא ‪-1‬‬
‫ניתן לסמן פונקציות בשמות שונים כגון‪:‬‬
‫)‪, g(x‬‬
‫)‪y , f(x‬‬
‫מצאו את ערך הפונקציות עבור ה – ‪-x‬ים הנתונים‪:‬‬
‫‪y = 2x – 4‬‬
‫‪x=0‬‬
‫)‪(6‬‬
‫‪x=5‬‬
‫)‪(9‬‬
‫‪x=1‬‬
‫)‪(5‬‬
‫‪x=2‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪f(x) = x2 – 1‬‬
‫‪x = -3‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‪x=3‬‬
‫)‪(7‬‬
‫‪g(x) = 2x2 - x + 1‬‬
‫‪x = -2‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫‪, 0 (4‬‬
‫)‪(12‬‬
‫‪x=4‬‬
‫)‪(11‬‬
‫‪x=0‬‬
‫)‪(10‬‬
‫‪11 (12 , 29 (11 , 1 (10 , 24 (9 , 8 (8 , 8 (7 , -4 (6 , -2 (5‬‬
‫‪ © 1‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪.‬‬
‫‪www.lomdimbareshet.net‬‬
‫מתמטיקה בהישג יד ‪802 -‬‬
‫דודו גולדשטיין‬
‫פרבולות‬
‫חזרה ‪ -‬פתרון משוואה ריבועית מהסוג‪ax2 + bx + c = 0 :‬‬
‫‪3x2 - x - 4 = 0‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫זיהוי המקדמים‪:‬‬
‫הצבה בנוסחה‪:‬‬
‫‪−b± √ b2−4ac‬‬
‫= ‪X 1,2‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪a = 3 , b = -1 , c = -4‬‬
‫‪−(−1) ± √ (−1)2−4 •3 •(−4) 1 ± 7‬‬
‫=‪X 1, 2‬‬
‫=‬
‫‪2 •3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1−7‬‬
‫‪=−1‬‬
‫‪6‬‬
‫=‪X 2‬‬
‫‪1+7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫=‪X 1‬‬
‫פתרו את המשוואות‪:‬‬
‫‪x2 + x - 6 = 0‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪x2 – 7x + 12 = 0‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪(4) 2x2 – 6x + 4 = 0‬‬
‫‪(3) x2 + 5x + 4 = 0‬‬
‫)‪(6‬‬
‫)‪(5‬‬
‫‪2x2 + 11x + 5 = 0‬‬
‫‪3x2 – 3x - 18 = 0‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫‪1) x = 3 , 4 , 2) x = 2 , -3 , 3) x = -1 , -4 , 4) x = 2 , 1 , 5) x = -2 , 3 , 6) x = -5 , -0.5‬‬
‫‪ © 2‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪.‬‬
‫‪www.lomdimbareshet.net‬‬
‫מתמטיקה בהישג יד ‪802 -‬‬
‫דודו גולדשטיין‬
‫פרבולות‬
‫גרף הפונקציה הריבועית ‪ -‬פרבולה‪:‬‬
‫הסבר בוידאו ‪<--‬‬
‫א‪ .‬נקודות החיתוך עם הצירים‬
‫נתבונן בפרבולה המתארת את הפונקציה הריבועית‪y = x2 – x – 2 :‬‬
‫הנקודה ‪ C‬נמצאת על ציר ‪) y‬ולכן ‪( x = 0‬‬
‫)‪C (0, -2‬‬
‫‪y = (0)2 - (0) - 2 = -2‬‬
‫הנקודות ‪ A‬ו‪ , B -‬נמצאות על ציר ה‪) x -‬ולכן ‪( y = 0‬‬
‫‪0 = x2 – x – 2‬‬
‫‪a = 1 , b = -1 , c = -2‬‬
‫‪−(−1)± √(−1)2−4 •1 •(−2) 1 ± 3‬‬
‫=‬
‫‪2 •1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪B (2, 0‬‬
‫)‪A (-1, 0‬‬
‫‪1−3‬‬
‫‪=−1‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪X 2‬‬
‫=‪X 1, 2‬‬
‫‪1+3‬‬
‫‪=2‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪X 1‬‬
‫תרגול‪:‬‬
‫)‪ (1‬לפניכם גרף הפונקציה‪y = x2 - 5x + 6 :‬‬
‫מצאו את שיעורי הנקודות ‪ B , A‬ו‪. C -‬‬
‫‪ © 3‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪.‬‬
‫‪www.lomdimbareshet.net‬‬
‫מתמטיקה בהישג יד ‪802 -‬‬
‫)‪ (2‬גרף הפונקציה‬
‫פרבולות‬
‫דודו גולדשטיין‬
‫‪y = x2 + x - 6‬‬
‫חותך את הצירים בשלוש נקודות‪.‬‬
‫מצאו את שיעורי הנקודות הללו‪.‬‬
‫)‪ (3‬לפניכם גרף הפונקציה הריבועית‪:‬‬
‫‪f(x) = -x2 - x + 6‬‬
‫א‪ .‬מצאו את ערך הפונקציה בנקודה ‪. D‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את שיעורי ה‪ x -‬של הנקודות בהן ערך‬
‫הפונקציה הוא ‪. 0‬‬
‫ג‪ .‬מצאו את ערך הפונקציה בנקודה ‪ , A‬אם ידוע‬
‫ששיעור ה‪ x -‬שלה הוא ‪. 3‬‬
‫ד‪ .‬מצאו את שיעור ה‪ x -‬של נקודה ‪ , C‬אם ידוע‬
‫שערך הפונקציה בנקודה זו הוא כערך הפונקציה‬
‫בנקודה ‪. D‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫‪1) A(0, 6) B(2, 0) C(3, 0) ,‬‬
‫)‪2) A(0, -6) B(-3, 0) C(2, 0‬‬
‫‪3) D(0 , 6) , x = 2 x = -3 , y = -3 , x = -1‬‬
‫‪ © 4‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪.‬‬
‫‪www.lomdimbareshet.net‬‬
‫מתמטיקה בהישג יד ‪802 -‬‬
‫דודו גולדשטיין‬
‫פרבולות‬
‫ב‪ .‬שיעורי נקודת קודקוד הפרבולה באמצעות נוסחה‬
‫הסבר בוידאו ‪<--‬‬
‫את שיעור ה‪ x -‬של קודקוד הפרבולה נמצא באמצעות הנוסחה‪:‬‬
‫‪−b‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪−b ± √ b2−4ac‬‬
‫‪2a‬‬
‫שימו לב שנוסחה זו היא חלק מנוסחת השורשים‬
‫=ק ‪X‬‬
‫= ‪X 1,2‬‬
‫פתרו את התרגיל מימין בהתאם לדוגמה משמאל‪:‬‬
‫מצאו את שיעורי קודקוד הפרבולה של‬
‫מצאו את שיעורי קודקוד הפרבולה של‬
‫הפונקציה‪y = 2x2 + 6x - 4 :‬‬
‫הפונקציה‪y = x2 – 6x + 8 :‬‬
‫מציאת שיעור ה‪: x -‬‬
‫מקדמי הפונקציה‪:‬‬
‫הצבה בנוסחה‪:‬‬
‫‪a = 1 , b = -6 , c = 8‬‬
‫‪−b‬‬
‫‪2a‬‬
‫=ק ‪X‬‬
‫‪6‬‬
‫‪=3‬‬
‫‪2• 1‬‬
‫=ק ‪X‬‬
‫מציאת שיעור ה‪: y -‬‬
‫הצבת ה‪ x -‬בפונקציה ‪: y = x2 – 6x + 8‬‬
‫‪ =(3)2 – 6 • (3)+8=−1‬ק ‪y‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫נקודת קודקוד הפרבולה היא‬
‫‪ © 5‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪.‬‬
‫)‪(3 , -1‬‬
‫‪www.lomdimbareshet.net‬‬
‫מתמטיקה בהישג יד ‪802 -‬‬
‫דודו גולדשטיין‬
‫פרבולות‬
‫שיעורי נקודת קודקוד הפרבולה באמצעות תכונת הסימטריה‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫א‪ .‬מצאו את נקודות חיתוך הפרבולה עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את שיעורי נקודת קודקוד הפרבולה של הפונקציה‪y = x2 – 6x + 8 :‬‬
‫ג‪ .‬סרטטו את גרף הפונקציה על גבי מערכת צירים‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ‪ y‬י )‪ ( x = 0‬ו ‪y = (0)2 – 6•(0) + 8 = 8‬‬
‫‪x2 – 6x + 8 = 0‬‬
‫‪a = 1 b = -6 c = 8‬‬
‫נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ‪ x‬י )‪ ( y = 0‬ו‬
‫‪−(−6) ± √ (−6)2−4• 1•(8) 6 ± 2‬‬
‫=‬
‫‪2•1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6−2‬‬
‫‪=2‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪X 2‬‬
‫‪6+2‬‬
‫‪=4‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪X 1, 2‬‬
‫=‪X 1‬‬
‫נקודת החיתוך עם ציר ‪ y‬היא‪ , (0 , 8) :‬נקודות החיתוך עם ציר ‪ x‬הן‪(4 , 0) , (2 , 0) :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫קודקוד הפרבולה נמצא באמצע הקטע‪ ,‬שבין שתי נקודות החיתוך עם ציר ה‪x -‬‬
‫‪4+2‬‬
‫‪=3‬‬
‫‪2‬‬
‫=ק ‪X‬‬
‫נחשב את שיעור ה‪ y -‬של קודקוד הפרבולה‪=(3)2−6 •(3)+8=−1 :‬ק ‪Y‬‬
‫קיבלנו שקודקוד הפרבולה נמצא בנקודה )‪(3 , -1‬‬
‫ג‪ .‬נסמן את ‪ 4‬הנקודות שמצאנו על גבי מערכת צירים‪:‬‬
‫עברו על הקו המקווקו ושרטטו את הפרבולה‪.‬‬
‫‪ © 6‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪.‬‬
‫‪www.lomdimbareshet.net‬‬
‫מתמטיקה בהישג יד ‪802 -‬‬
‫דודו גולדשטיין‬
‫פרבולות‬
‫תרגול‪:‬‬
‫)‪ (1‬מצאו את שעורי נקודת המינימום של הפונקציה‬
‫הריבועית‪:‬‬
‫‪f(x) = x2 – 8x + 12‬‬
‫)‪ (2‬מהו הערך הגבוה ביותר של הפונקציה‪:‬‬
‫‪y = -x2 + 2x + 8‬‬
‫)‪ (3‬מהו הערך המינימלי של הפונקציה‪f(x) = x2 – 2x + 3 :‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫‪1) y = -4 , 2) y = 9 , 3) y = 2‬‬
‫‪ © 7‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪.‬‬
‫‪www.lomdimbareshet.net‬‬
‫מתמטיקה בהישג יד ‪802 -‬‬
‫דודו גולדשטיין‬
‫פרבולות‬
‫לכל פונקציה מצאו נקודות חיתוך עם הצירים ‪ ,‬קודקוד ושרטטו את הפרבולה‪:‬‬
‫‪(3) y = x2 – 4‬‬
‫‪(1) y = x2 – 6x + 5‬‬
‫‪(4) f(x) = x2 - 4x‬‬
‫‪(2) f(x) = -x2 – 6x -5‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫)‪1) (5 , 0) (1 , 0) (0 , 5) , (3 , -4) , 2) (-1 , 0) (-5 , 0) (0 , -5) , (-3 , 4‬‬
‫)‪3) (2 , 0) (-2 , 0) (0 , -4) , (0 , -4) , 4) (0 , 0) (4 , 0) (0 , 0) , (2 , -4‬‬
‫‪ © 8‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪.‬‬
‫‪www.lomdimbareshet.net‬‬
‫מתמטיקה בהישג יד ‪802 -‬‬
‫דודו גולדשטיין‬
‫פרבולות‬
‫חזרה ‪ -‬קריאה וכתיבה של אי שיויונות‪:‬‬
‫" ‪ x‬גדול מ‪ " 3 -‬בכתיב מתמטי‪ x > 3 :‬ובסימון גרפי‪:‬‬
‫ובסימון גרפי‪:‬‬
‫"‪ x‬קטן מ‪ " 2 -‬בכתיב מתמטי‪x < 2 :‬‬
‫" ‪ x‬גדול מ‪ 1 -‬וקטן מ‪ " 5 -‬בכתיב מתמטי‪ 1 < x < 5 :‬ובסימון גרפי‪:‬‬
‫סמנו באופן גרפי את אי השויונים הבאים‪:‬‬
‫‪(5) -2 < x < 4‬‬
‫‪(1) x > 4‬‬
‫‪(6) x > -3‬‬
‫‪(2) x < 1‬‬
‫‪(7) x < 8‬‬
‫‪(3) 2 < x < 7‬‬
‫‪(8) x > 0‬‬
‫‪(4) x < -2‬‬
‫תארו בכתיב מתמטי את המשמעות של הגרפים הבאים‪:‬‬
‫)‪(12‬‬
‫)‪(9‬‬
‫)‪(13‬‬
‫)‪(10‬‬
‫)‪(14‬‬
‫)‪(11‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫‪9) -1 < x < 3 , 10) x > -2 , 11) x < 0 , 12) 2 < x < 6 , 13) x < -4 , 14) x > 5‬‬
‫‪ © 9‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪.‬‬
‫‪www.lomdimbareshet.net‬‬