התרגול

‫סמסטר אביב‪ ,‬תשע"א )‪(2011‬‬
‫מתרגלים‪ :‬רועי עשור ואמיר ונד‬
‫כימיה פיסיקלית א' )‪ – (69163‬תרגול מס' ‪10‬‬
‫החוג לכימיה‬
‫המכון לכימיה‬
‫נושא התרגול‪ :‬תלות קבוע הקצב בטמפרטורה – משוואת ארהניוס‬
‫‪ .1‬משוואת ארהניוס הניסיונית‪.‬‬
‫‪ .2‬יישום לריאקציות פשוטות ולריאקציות מורכבות עם מנגנון‬
‫א‪ .‬רקע‬
‫קבועי הקצב של מרבית הריאקציות תלויים בצורה חדה בטמפרטורה‪ ,‬כאשר בדרך כלל המגמה היא גידול‬
‫בקצב הריאקציה עם עליית הטמפרטורה‪ .‬כפי שציינו כבר בתחילת הסמסטר‪. k = k (T ) :‬‬
‫עד עכשיו התעלמנו מן התלות בטמפרטורה ותמיד עבדנו בטמפרטורה קבועה ונתונה‪ :‬איזותרמית‪.‬‬
‫למספר רב של ריאקציות נמצא ניסיונית כי תלות קבוע המהירות בטמפרטורה ניתן ע"י ביטוי ארהניוס‬
‫)‪:(1889 ,Arrhenius‬‬
‫‪ E ‬‬
‫‪k (T ) = A ⋅ exp  − a ‬‬
‫‪ RT ‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ln k = ln A − a‬‬
‫‪RT‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‬
‫‪ energy ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ – R‬קבוע הגזים‪.‬‬
‫‪ K ⋅ mol ‬‬
‫‬
‫‪ – T‬הטמפרטורה במעלות קלווין‪[ K ] .‬‬
‫‬
‫‪ energy ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ – Ea‬אנרגיית האקטיבציה )אנרגית השפעול(‪.‬‬
‫‪ mol ‬‬
‫‬
‫‪ – A‬המקדם הפרה‪-‬אספוננציאלי )‪.(Pre-exponential factor , frequency factor‬‬
‫]יחידות של קבוע הקצב – תלוי בסדר התגובה[‬
‫בדרך כלל בכתיבה בצורה הזו מניחים כי ‪ Ea‬ו‪ A -‬אינם תלויים בטמפרטורה !‬
‫)לפחות בתוך טווח טמפרטורות הרלוונטי לניסויים(‪.‬‬
‫במציאות‪ ,‬ישנה תלות אך בצורה אופיינית היא חלשה יחסית )לפחות בתוך תחום טמפרטורות רלוונטי‬
‫לניסוי – בדרך כלל מתעניינים בתחום של כמה עשרות מעלות‪ ,‬אולי מס' מועט של מאות – לא יותר(‪.‬‬
‫ארהניוס ככל הנראה קיבל משוואותו מהשוואה למשוואות של שיווי‪-‬משקל‪ .‬בשנה הבאה תיתקלו‬
‫במשוואת ‪ Vant-Hoff‬התרמודינמית לשיווי‪-‬משקל‪ ,‬המזכירים את קשר ארהניוס‪.‬‬
‫כימיה פיסיקלית א' )‪ – (69163‬תרגול מס' ‪ :10‬תלות קבוע הקצב בטמפרטורה – משוואת ארהניוס‬
‫‪1‬‬
‫מתרגלים‪ :‬רועי עשור ואמיר ונד‬
‫הפרמטר‬
‫סמסטר אביב‪ ,‬תשע"א )‪(2011‬‬
‫משמעות מתמטית‬
‫החוג לכימיה‬
‫המכון לכימיה‬
‫משמעות פיסיקלית‬
‫פרשנויות שונות‪:‬‬
‫* מדד לקצב ההתנגשויות בין המולקולות )ללא קשר‬
‫החיתוך של הישר של ‪ lnk‬כנגד ‪ ,1/T‬כאשר‬
‫‪A‬‬
‫∞→ ‪. 1 →0 , T‬‬
‫‪T‬‬
‫עבור ‪ ,Ea>0‬ערכו המקסימלי של קבוע הקצב‪.‬‬
‫לאנרגיה של ההתנגשויות(‪.‬‬
‫* מדד לסיכוי לריאקציה במידה ולמולקולה כבר יש‬
‫די אנרגיה‪.‬‬
‫* האיבר צריך להכיל גם דברים הקשורים‬
‫לפקטורים סטריים בריאקציה וכו'‪.‬‬
‫* האנרגיה הדרושה למעבר מחסום אנרגטי‪.‬‬
‫‪Ea‬‬
‫‪ E ‬‬
‫‪ -  − a ‬שיפוע הגרף הישר‪.‬‬
‫‪ R ‬‬
‫* בדרך כלל מפורש כאנרגיה הקינטית המינימלית‬
‫הדרושה )"בכיוון הפורה"( על מנת שהריאקציה‬
‫תוכל לצאת לפועל‪.‬‬
‫* לשים לב לפרקציית בולצמן )בהמשך(‪.‬‬
‫הערות חשובות‪:‬‬
‫‪ E ‬‬
‫‪ - exp  − a  .1‬גודל חסר יחידות המייצג את שבר המולקולות עם אנרגיה הגדולה מ‪ ,Ea -‬שהוא‬
‫‪ RT ‬‬
‫המחסום האנרגטי לריאקציה‪ .‬יכונה גם "פרקציית המולקולות הפוריות"‪ .‬בדרך כלל‪ ,‬הכוונה היא‬
‫לדי אנרגיה קינטית ב"ציר" הריאקציה על מנת לגרום לשבירת קשר וכו'‪.‬‬
‫הביטוי עצמו מוכר כ"פקטור בולצמן" )‪ ,(Boltzmann Factor‬ותיתקלו בו עוד הרבה בלימודיכם‬
‫)הוא יובן יותר בהמשך לימוד הפרק על התורה הקינטית של הגזים(‪.‬‬
‫הסיבה העיקרית לתלות החזקה של ‪ k‬ב‪ :T -‬גידול במס' התנגשויות בעלות אנרגיה הגבוהה מ‪.Ea -‬‬
‫תחת הבנה זו‪ ,‬ניתן להבין גם את ביטוי ארהניוס‪:‬‬
‫‪ E ‬‬
‫‪ = k (T ) = A ⋅ exp  − a ‬קצב התנגשויות * פרקציית ההתנגשויות הפוריות‬
‫‪ RT ‬‬
‫‪ .2‬משמעויות של אנרגית האקטיבציה‪:‬‬
‫‬
‫‪E‬‬
‫‪d ln k‬‬
‫ככל ש‪ Ea -‬גבוה יותר‪ ,‬הריאקציה רגישה יותר לטמפרטורה )השיפוע גדל( ‪= a 2 -‬‬
‫‪RT‬‬
‫‪dT‬‬
‫‬
‫בדרך כלל‪ ,‬התלות חזקה יותר ככל שהטמפרטורה נמוכה יותר‪.‬‬
‫‬
‫לריאקציה אלמנטרית תמיד אנרגית אקטיבציה חיובית‪.Ea>0 :‬‬
‫‪.‬‬
‫אם ‪ :Ea<0‬קצב הריאקציה קטן עם העלייה בטמפרטורה – המשמעות היא שיש מנגנון‪.‬‬
‫‪ Ea .3‬גדול – ריאקציה איטית‪ Ea ,‬קטן – ריאקציה מהירה‪.‬‬
‫‪ A‬גדול – ריאקציה מהירה‪ A ,‬קטן – ריאקציה איטית‪.‬‬
‫כימיה פיסיקלית א' )‪ – (69163‬תרגול מס' ‪ :10‬תלות קבוע הקצב בטמפרטורה – משוואת ארהניוס‬
‫‪2‬‬
‫סמסטר אביב‪ ,‬תשע"א )‪(2011‬‬
‫מתרגלים‪ :‬רועי עשור ואמיר ונד‬
‫החוג לכימיה‬
‫המכון לכימיה‬
‫‪ .4‬כלל אצבע‪ :‬עבור ריאקציות בתמיסה סמוך לטמפרטורת החדר‪ k ,‬מכפיל או משלש את עצמו לכל‬
‫עלייה של ‪ 10 C‬בטמפרטורה‪.‬‬
‫‪ .5‬שימו לב שהתלות של ‪ k‬ב‪ Ea -‬היא אקספוננציאלית‪ .‬למשל‪ ,‬בטמפרטורת החדר אם נשווה בין שתי‬
‫ריאקציות השונות זו מזו רק באנרגית האקטיבציה נקבל‪:‬‬
‫‪: k → 5k‬‬
‫‪∆Ea = 1 kcal mol‬‬
‫‪: k → 2 ×10 7 k‬‬
‫‪∆Ea = 10‬‬
‫‪mol‬‬
‫‪kcal‬‬
‫‪ .6‬סדרי גודל אופייניים לקבועים‪:‬‬
‫‬
‫‪ - 0 ≤ Ea ≤ 80 kcal / mol‬לתגובה אלמנטרית לא תיתכן אנרגיית אקטיבציה שלילית‪.‬‬
‫‪ – Ea=0‬ריאקציות "ללא מחסום"‪ ,‬למשל רקומבינציה של רדיקלים )‪ k‬לא תלוי ב‪.(T -‬‬
‫‪ Ea‬גבוה מעיד על מחסום גבוה )שבירת קשרים חזקים וכו'(‪.‬‬
‫‬
‫‪ A‬הוא כאמור בעל יחידות משתנות‪ .‬ערכים אופייניים‪:‬‬
‫‪ - A ~ 1012 − 1015 sec −1‬עבור ריאקציות מסדר ראשון‪.‬‬
‫‪ - A ~ 108 − 1012 M −1 sec −1‬עבור ריאקציות מסדר שני‪.‬‬
‫‪ .7‬מתי נוכל לומר כי ‪? k=A‬‬
‫‬
‫כאשר ‪) Ea=0‬רקומבינציה של רדיקלים או תגובות בין יון למולקולה וכו'( – ואז ‪ k‬לא תלוי‬
‫ב‪) T -‬זהה לכל טמפ'( !‬
‫‬
‫כאשר המולקולות מכילות די אנרגיה כדי להגיב‪ ,‬ואז אין תלות בטמפרטורה )בקירוב(‪.‬‬
‫‬
‫כאשר ∞ → ‪ : T‬בטמפרטורות גבוהות לכל המולקולות מספיק אנרגיה כדי להגיב‪.‬‬
‫‪ .8‬הדרך הניסיונית לקבוע את הפרמטרים של‬
‫משוואת ארהניוס )‪ Ea‬ו‪ (A -‬היא ע"י מדידת‬
‫קבוע המהירות בטמפרטורות שונות‪ ,‬ושרטוט‬
‫גרף של ‪ lnk‬כנגד ‪.1/T‬‬
‫‪ E ‬‬
‫השיפוע ‪.  − a  -‬‬
‫‪ R‬‬
‫חיתוך עם ציר ‪.lnA – y‬‬
‫ניסיונית‪ :‬בניסויים טובים‪ ,‬הטעויות האופייניות הן‪:‬‬
‫‬
‫‪ 1 kcal/mol‬עבור ‪.Ea‬‬
‫‬
‫פקטור של ‪ 3‬עבור ‪ A‬עצמו‪.‬‬
‫כימיה פיסיקלית א' )‪ – (69163‬תרגול מס' ‪ :10‬תלות קבוע הקצב בטמפרטורה – משוואת ארהניוס‬
‫‪3‬‬
‫סמסטר אביב‪ ,‬תשע"א )‪(2011‬‬
‫מתרגלים‪ :‬רועי עשור ואמיר ונד‬
‫החוג לכימיה‬
‫המכון לכימיה‬
‫‪ .9‬פרופיל ריאקציה )או פרופיל אנרגיה לתגובה(‪:‬‬
‫בפרופיל ריאקציה מציירים את האנרגיה של הצורון הקיים בריאקציה )לעתים לא מוגדר היטב(‬
‫כתלות בקואורדינטה מופשטת‪ ,‬המכונה "קואורדינטת ריאקציה" )‪.(reaction coordinate‬‬
‫קואורדינטת הריאקציה מוגדרת באופן אינטואיטיבי כקואורדינטה דמיונית המתארת את התקדמות‬
‫הריאקציה מן המגיב‪ ,‬דרך מצב המעבר‪ ,‬אל התוצרים‪.‬‬
‫אוסף התנועות – כגון שינוי המרחקים הבין‪-‬אטומיים או זוויות קשרים – המעורבים ישירות ביצירת‬
‫תוצרים מן המגיבים‪ .‬האנרגיה הפוטנציאלית עולה לערך מקסימלי )‪ ,(transition state = TS‬ואחר‬
‫כך יורדת לערך המתאים לתוצרים‪.‬‬
‫מבחינים בין‪:‬‬
‫ריאקציות אנדותרמיות – ריאקציות בהן המערכת "בולעת" אנרגיה מן הסביבה‪. ∆H > 0 ,‬‬
‫ריאקציות אקסותרמיות – ריאקציות בהן המערכת פולטת אנרגיה לסביבה )שחרור חום(‪. ∆H < 0 ,‬‬
‫אנו נניח כי בקירוב ‪) ∆H = ∆E‬ההבדלים – בקורס בשנה הבאה בתרמודינמיקה(‪.‬‬
‫באופן כללי‪) ∆H ≅ ∆E = Ea , f − Ea ,b :‬בהנחת לחץ קבוע(‪.‬‬
‫‪Ea,-1‬‬
‫‪Ea,1‬‬
‫‪Ea,-1‬‬
‫‪Ea,1‬‬
‫כימיה פיסיקלית א' )‪ – (69163‬תרגול מס' ‪ :10‬תלות קבוע הקצב בטמפרטורה – משוואת ארהניוס‬
‫‪4‬‬
‫סמסטר אביב‪ ,‬תשע"א )‪(2011‬‬
‫מתרגלים‪ :‬רועי עשור ואמיר ונד‬
‫החוג לכימיה‬
‫המכון לכימיה‬
‫‪ .10‬הערה על קטליזטורים‪/‬אנזימים‪:‬‬
‫כידוע לכם‪ ,‬קטליזטורים )או אנזימים‬
‫במערכות ביולוגיות( מזרזים ריאקציות‪.‬‬
‫כיצד זה מתאפשר על פי משוואת‬
‫ארהניוס ?‬
‫ובכן‪ ,‬מסתבר שקטליזטור מורידים את‬
‫אנרגיית האקטיבציה‪ ,‬וזאת ע"י "פתיחת"‬
‫מסלול חדש לריאקציות‪ ,‬כמתואר בציור‪.‬‬
‫על פי משוואת ארהניוס‪ ,‬הורדת אנרגית‬
‫האקטיבציה מזרזת את הריאקציות‪.‬‬
‫הערה חשובה‪ :‬קטליזטורים‪/‬אנזימים לא משנים את קבוע שיווי‪-‬המשקל של ריאקציות‪ ,‬היות וגודל זה‬
‫הוא בכלל גודל תרמודינמי המייצג את היציבות האנרגטית של המגיבים ביחס לתוצרים ואינו תלוי‬
‫במנגנון הריאקציה או בדרך התרחשותה‪.‬‬
‫קבוע שו"מ = קבוע הקצב לריאקציה קדימה חלקי קבוע הקצב לריאקציה אחורה‪.‬‬
‫משמע‪ :‬קטליזטור לריאקציה קדימה הוא גם קטליזטור לריאקציה אחורה‪.‬‬
‫)גם בתרשים רואים זאת – כאשר הורדה אנרגית האקטיבציה לשני המסלולים(‪.‬‬
‫‪ .11‬הגדרה כללית של אנרגית אקטיבציה ‪ -‬הרחבת המונח באנאלוגיה למשוואת ארהניוס‪:‬‬
‫ההגדרה הכללית ביותר של אנרגית אקטיבציה נתונה ע"י‪:‬‬
‫‪d ln k‬‬
‫‪dT‬‬
‫⇔‬
‫‪Ea = RT 2‬‬
‫‪E‬‬
‫‪d ln k‬‬
‫‪= a2‬‬
‫‪RT‬‬
‫‪dT‬‬
‫באופן כללי‪ ,‬לא ניתן להניח כי אנרגיית האקטיבציה אינה תלויה בטמפרטורה בכלל‪ .‬גם ניסיונית‪,‬‬
‫מגלים כי הנחה זו אינה נכונה עבור טווח טמפרטורות גדול דיו‪.‬‬
‫לכן‪ ,‬לעתים מגדירים את אנרגיית האקטיבציה על סמך קשר דמוי‪-‬ארהניוס )יש גם הטוענים כי כך‬
‫קיבל ארהניוס את המשוואה שלו‪ ,‬בהסתמך על אנאלוגיה למשוואת ‪:(Vant-Hoff‬‬
‫‪d ln k‬‬
‫‪dT‬‬
‫‪Ea = RT 2‬‬
‫⇔‬
‫‪d ln k‬‬
‫‪E‬‬
‫‪= a2‬‬
‫‪RT‬‬
‫‪dT‬‬
‫‬
‫אם מניחים כי ‪ Ea‬אינו תלוי ב‪ – T -‬מקבלים בדיוק את משוואת אהרניוס )אינטגרציה(‪.‬‬
‫‬
‫לעומת זאת‪ ,‬אם לא מניחים זאת או במצב בו קבוע הקצב אינו בעל תלות ארהניוס )למשל‬
‫סכום של קבועים וכו'( – נוכל מגזירתו לקבל ביטוי לאנרגית האקטיבציה‪.‬‬
‫כימיה פיסיקלית א' )‪ – (69163‬תרגול מס' ‪ :10‬תלות קבוע הקצב בטמפרטורה – משוואת ארהניוס‬
‫‪5‬‬
‫סמסטר אביב‪ ,‬תשע"א )‪(2011‬‬
‫מתרגלים‪ :‬רועי עשור ואמיר ונד‬
‫החוג לכימיה‬
‫המכון לכימיה‬
‫‪ .12‬הרחבות של משוואת ארהניוס‬
‫משוואת ארהניוס מאוד שימושית בניתוח של תוצאות ניסיוניות וכו'‪ ,‬ונוטים להשתמש בה רבות‪ .‬עם‬
‫זאת‪ ,‬יש לה מספר הרחבות שנועדו להתאימה למספר גדול יותר של ריאקציות ולמודלים שונים‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬במודלים רבים מוצאים משוואה דמוית ארהניוס‪ ,‬אלא שהמקדם הפרה‪-‬אקספוננציאלי כן תלוי‬
‫בטמפרטורה בצורה חלשה יחסית )כשורש‪ ,‬יחס ליניארי וכו'(‪ , A = A(T ) :‬ואינו באמת קבוע‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬בתורת ההתנגשויות‪:‬‬
‫) ‪k (T ) = σ ( A, B )v AB ,rel N AV exp ( − Ea RT‬‬
‫ראינו שהשוואה למשוואת ארהניוס הניסיונית המוכרת לנו‪:‬‬
‫) ‪k (T ) = A exp ( − Ea RT‬‬
‫נותנת לנו ביטוי למקדם הפרה‪-‬אקספוננציאלי )‪ (A‬לפי מודל הכדורים הקשיחים‪. Amod el :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ d A + d B   8RT  2‬‬
‫‪=π ‬‬
‫‪ ⋅‬‬
‫‪ N AV ∝ T‬‬
‫‪ 2   πµ AB ‬‬
‫‪Amod el = σ ( A, B)v AB ,rel N AV‬‬
‫כלומר‪ ,‬המודל שלנו צופה תלות של המקדם הפרה‪-‬אקספוננציאלי בטמפרטורה )תלות של שורש(‪ ,‬וזאת‬
‫בניגוד למשוואת ארהניוס )בה ‪ A‬הוא קבוע(‪ .‬כלומר‪ ,‬התלות בטמפרטורה של קבוע הקצב היא‪:‬‬
‫‪Arrhenius Equation‬‬
‫‪,‬‬
‫‪Collision Theory‬‬
‫‪,‬‬
‫) ‪exp ( − Ea RT‬‬
‫‪k (T ) ∝ ‬‬
‫‪E‬‬
‫) ‪ T exp ( − a RT‬‬
‫במובן זה‪ ,‬ישנה סתירה בין הצפי לפי תורת ההתנגשויות לעומת מודל הכדורים הצפידים‪.‬‬
‫איך מסבירים את הסתירה ?‬
‫ יש הפוטרים עצמם מן הסוגיה באמירה כי בלאו הכי תורת ההתנגשויות היא הערכה כ"כ גסה‪ ,‬עד‬
‫כדי כך שאין צורך לקחת את התלות הזו ברצינות‪.‬‬
‫ מאידך‪ ,‬יש המנסים ליישב בין הסתירה של המודל לבין התלות המוכרת ניסיונית‪.‬‬
‫ראשית‪ ,‬יש לזכור כי משוואת ארהניוס היא משוואה ניסיונית‪ ,‬שהתגלתה כמתאימה להסבר‬
‫התלות של קבועי ריאקציות רבות בטמפרטורה; היא אינה משוואה שהתקבלה מגזירה ישירה או‬
‫מחוקי טבע בסיסיים‪ ,‬ועל כן אין הכרח כי היא נכונה לחלוטין‪ .‬שנית‪ ,‬ההסבר ל"סתירה" הוא‬
‫מתמטי‪ :‬היות ו‪T -‬‬
‫זוהי תלות חלשה בהרבה )משתנה לאט יותר( מן התלות האקספוננציאלית‬
‫) ) ‪ ,( exp ( − Ea RT‬הרי שבדרך כלל פקטור זה זניח יחסית לשני ועל כן אינו נצפה ניסיונית )מובן‬
‫שהסבר זה יוצר בעיה בריאקציות בהן ‪ , Ea ≅ 0‬שם כל התלות בטמפרטורה יכולה להגיע מ‪,A -‬‬
‫היות ואיבר בולצמן שווה ל‪.(1 -‬‬
‫בהקשר זה‪ ,‬יש לציין כי ישנם מודלים תיאורטיים נוספים )כגון תורת מצב המעבר – ‪Transition State‬‬
‫‪ (Theory‬שגם כן צופים תלות של ‪ A‬בחזקה כלשהי של ‪ T , T , T 2 ) T‬וכו'(‪ .‬לכן‪ ,‬המודל הפשוט שלנו‬
‫אינו היחיד שיוצר את הסתירה הזו‪ ,‬ובמרבית המקרים ההסבר דומה לזה שהבאנו לעיל‪.‬‬
‫בנוסף‪ ,‬קיימת גם הרחבה למשוואת ארהניוס‪ ,‬בה רושמים‪ - k (T ) = AT n exp ( − Ea RT ) :‬והיא מאפשרת‬
‫את התאמת המעריך ‪ n‬לתיאוריות השונות‪.‬‬
‫כימיה פיסיקלית א' )‪ – (69163‬תרגול מס' ‪ :10‬תלות קבוע הקצב בטמפרטורה – משוואת ארהניוס‬
‫‪6‬‬
‫סמסטר אביב‪ ,‬תשע"א )‪(2011‬‬
‫מתרגלים‪ :‬רועי עשור ואמיר ונד‬
‫החוג לכימיה‬
‫המכון לכימיה‬
‫ב‪ .‬שאלות כיתה‬
‫‪ .1‬תגובה מסוימת‪ ,‬בה מגיבים ‪ A‬ו‪ B -‬ליצירת ‪ ,P‬יוצאת לפועל בשני מנגנונים שונים‪:‬‬
‫‪k1‬‬
‫‪A + B ‬‬
‫‪→P‬‬
‫‪k2‬‬
‫‪A + B ‬‬
‫‪→P‬‬
‫נתונים אנרגיות האקטיבציה והמקדמים הפרה‪-‬אקספונציאליים לשני המנגנונים‪:‬‬
‫‪cm3‬‬
‫]‬
‫‪mol sec‬‬
‫‪kJ‬‬
‫]‬
‫‪mol‬‬
‫[‪A‬‬
‫[ ‪Ea‬‬
‫‪Mechanism #‬‬
‫‪1013‬‬
‫‪160‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1010‬‬
‫‪80‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬באיזו טמפרטורה קבועי המהירות של שני המנגנונים משתווים ?‬
‫ב‪ .‬מתי ‪ k1 > k2‬ומתי ‪? k2 > k1‬‬
‫פיתרון‪:‬‬
‫ממשוואת ארהניוס אנחנו יודעים שמתקיים‪:‬‬
‫‪Ea 1,2‬‬
‫‪RT‬‬
‫‪−‬‬
‫‪. k1,2 = A1,2 ⋅ e‬‬
‫כמו כן‪ ,‬שימו לב כי מן היחידות של ‪ A‬אנו למדים כי שני המנגנונים הם מסדר שני ‪.‬‬
‫א‪ .‬כאשר קבועי המהירות של שני המנגנונים משתווים‪ ,‬מתקיים‪= k 2 :‬‬
‫‪Ea ,2‬‬
‫‪RT‬‬
‫‪−‬‬
‫‪= A2 ⋅ e‬‬
‫‪Ea ,1‬‬
‫‪RT‬‬
‫‪−‬‬
‫‪. k1 = A1 ⋅ e‬‬
‫נחלץ את הטמפרטורה‪:‬‬
‫‪Ea ,1 − Ea ,2‬‬
‫‪A ‬‬
‫‪R ln  1 ‬‬
‫‪ A2 ‬‬
‫=‪T‬‬
‫בהצבה‪= 1392.98 K :‬‬
‫⇒‬
‫‪ A  E − Ea ,2‬‬
‫‪⇒ ln  1  = a ,1‬‬
‫‪RT‬‬
‫‪ A2 ‬‬
‫) (‬
‫‪(160 − 80) kJ mol‬‬
‫‪13‬‬
‫‪8.314 J K ⋅mol × 10−3 kJ J ln 1010‬‬
‫‪10‬‬
‫‪Ea ,2‬‬
‫‪RT‬‬
‫‪= ln A2 −‬‬
‫‪Ea ,1‬‬
‫‪RT‬‬
‫‪ln A1 −‬‬
‫=‪T‬‬
‫ב‪ .‬במילים‪ :‬קיבלנו את הנקודה בה לשתי הריאקציות‬
‫‪lnk‬‬
‫קבוע קצב זהה‪ .‬השאלה מה קורה מעל ומתחת‬
‫)‬
‫)‬
‫)‪slope(1) > slope(2‬‬
‫לטמפרטורה זו‪ .‬הריאקציה שלה אנרגית אקטיבציה‬
‫‪ln (10‬‬
‫‪13‬‬
‫נמוכה יותר‪ ,‬צפויה להיות מועדפת ביחס לשנייה‬
‫‪ln (1010‬‬
‫בטמפרטורות נמוכות‪ ,‬ויחס זה צפוי להשתנות‬
‫בטמפרטורות גבוהות )הריאקציה עם המחסום הגדול‬
‫‪2‬‬
‫יותר מועדפת יותר באופן יחסי לעומת השנייה(‪ .‬לכן‪:‬‬
‫‬
‫‪ k1 > k2‬כאשר ‪T > 1392.98 K‬‬
‫‬
‫‪ k2 > k1‬כאשר ‪. T < 1392.98 K‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1/T‬‬
‫‪T < 1393 K‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1393‬‬
‫‪k 2 > k1‬‬
‫כימיה פיסיקלית א' )‪ – (69163‬תרגול מס' ‪ :10‬תלות קבוע הקצב בטמפרטורה – משוואת ארהניוס‬
‫‪T > 1393 K‬‬
‫‪k1 > k2‬‬
‫‪7‬‬
‫סמסטר אביב‪ ,‬תשע"א )‪(2011‬‬
‫מתרגלים‪ :‬רועי עשור ואמיר ונד‬
‫החוג לכימיה‬
‫המכון לכימיה‬
‫הערות בעקבות השאלה ולקראת השאלה הבאה‪:‬‬
‫כדאי להבחין בין ריאקציות מקבילותלבין ריאקציות שיווי‪-‬משקל –‬
‫‬
‫‪ o‬עבור ריאקציות מקבילות‪ ,‬קבוע המהירות הניסיוני ניתן ע" י סכום הקבועים; שימו לב‪ ,‬כי‬
‫סכום זה אינו בעל צורת ארהניוס‪:‬‬
‫‪Ea ,exp‬‬
‫‪RT‬‬
‫‪≠ Aexp e−‬‬
‫‪Ea ,2‬‬
‫‪RT‬‬
‫‪+ A2 e −‬‬
‫‪Ea ,1‬‬
‫‪RT‬‬
‫‪kexp = k1 + k2 = A1 e −‬‬
‫‪ o‬לעומת זאת‪ ,‬כפל‪/‬חלוקה של קבועים ייתנו ביטוי דמוי‪-‬ארהניוס‪.‬‬
‫‪k1‬‬
‫‪‬‬
‫למשל‪ ,‬נתבונן בריאקציות בשיווי‪-‬משקל‪→ B :‬‬
‫‪. A ←‬‬
‫‪‬‬
‫‪k−1‬‬
‫‪k1‬‬
‫נתבונן בביטוי לקבוע שיווי‪-‬משקל‪:‬‬
‫‪k −1‬‬
‫= ‪K eq‬‬
‫)להזכירכם‪ ,‬ביטוי כזה יכול להופיע כחלק מקבוע קצב אפקטיבי(‪.‬‬
‫‪Ea ,1‬‬
‫‪E‬‬
‫‪k1‬‬
‫‪A1 e− RT‬‬
‫‪A1 − Ea ,1RT−Ea ,−1 A1 − ∆RTE‬‬
‫‪− a ,exp RT‬‬
‫= ‪Keq‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪e‬‬
‫=‬
‫‪e‬‬
‫=‬
‫‪A‬‬
‫‪e‬‬
‫‪exp‬‬
‫‪k−1 A e− Ea ,−1 RT A2‬‬
‫‪A−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫מסקנה‪ :‬תלות ארהניוס ניתן להניח עבור מכפלות קבועים‪ ,‬אך לא עבור סכום קבועים‪.‬‬
‫ככלל אצבע‪ ,‬ברוב המקרים מתקיים‪ , A 1 < A2 , Ea,1 < Ea,2 :‬ואז נקבל גרפים שנחתכים בנקודה‬
‫‬
‫כלשהי )כמו שראינו בשאלה הקודמת(‪.‬‬
‫עם זאת‪ ,‬קיימים מקרים בהם לא יהיה חיתוך‪:‬‬
‫‪) A 1 < A2 , Ea ,1 = Ea ,2‬קווים מקבילים(‬
‫‪) A 1 < A2 , Ea,1 > Ea ,2‬קווים מתרחקים(‬
‫‪lnk‬‬
‫‪lnk‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1/T‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1/T‬‬
‫כימיה פיסיקלית א' )‪ – (69163‬תרגול מס' ‪ :10‬תלות קבוע הקצב בטמפרטורה – משוואת ארהניוס‬
‫‪8‬‬
‫סמסטר אביב‪ ,‬תשע"א )‪(2011‬‬
‫מתרגלים‪ :‬רועי עשור ואמיר ונד‬
‫‪ .2‬עבור התגובה ‪ A + B → P‬נתון המנגנון‪:‬‬
‫החוג לכימיה‬
‫המכון לכימיה‬
‫‪k1‬‬
‫‪‬‬
‫‪→C‬‬
‫‪A + B ←‬‬
‫‪‬‬
‫‪k−1‬‬
‫‪C → P‬‬
‫‪k2‬‬
‫כאשר השלב הראשון הוא שו"מ מהיר והשלב השני איטי‪.‬‬
‫‪kcal‬‬
‫נתון כי לשלב שו"מ‬
‫‪mol‬‬
‫‪. ∆E = −31‬‬
‫אם מעלים את הטמפרטורה מ‪ 19°C -‬ל‪ , 70°C -‬המהירות הכוללת קטנה פי ‪.3‬‬
‫א‪ .‬מהי אנרגיית השפעול הכוללת של התגובה ? מה משמעות התוצאה שקיבלתם ומתי ניתן לקבל תוצאה‬
‫שכזו ?‬
‫ב‪ .‬מהי אנרגיית השפעול של השלב האיטי ?‬
‫פיתרון‪:‬‬
‫כעת הריאקציה כבר אינה אלמנטרית ואף נתון לנו מנגנון; לכן צריך להתייחס לשאלה בזהירות‪ .‬בנוסף‪ ,‬כבר מן‬
‫הנתון אנחנו רואים כי קצב הריאקציה מואט עם עליית הטמפרטורה – אמרנו שזה מעיד על ריאקציה לא אלמנטרית‬
‫)זה ייתן לנו אנרגיית אקטיבציה שלילית(‪.‬‬
‫א‪ .‬על מנת לקבוע את אנרגיית האקטיבציה הכוללת של הריאקציה‪ ,‬אנו חייבים להניח כי ניתן לבטא את‬
‫קבוע הקצב בצורת ארהניוס או שיש די נתונים לקבוע את‪:‬‬
‫‪d ln kexp‬‬
‫‪dT‬‬
‫‪ , Ea = RT 2‬שזו אף הדרך‬
‫המדויקת יותר‪.‬‬
‫לכן‪ ,‬ראשית‪ ,‬נתחיל מניתוח המנגנון ונקבל ביטוי לקבוע הקצב של הריאקציה‪.‬‬
‫בהתבסס על התרגולים הקודמים נקבל‪:‬‬
‫]‪d [ P‬‬
‫] ‪= k2 [C‬‬
‫‪dt‬‬
‫מהירות הריאקציה )לפי קצב יצירת התוצר או שלב קובע מהירות(‪:‬‬
‫הנחת שו"מ מהיר‪:‬‬
‫‪k1‬‬
‫‪k‬‬
‫] ‪[C‬‬
‫=‬
‫]‪⇒ [C ] = 1 [ A][ B‬‬
‫]‪k−1 [ A][ B‬‬
‫‪k −1‬‬
‫= ‪r1, f = r1,b ⇔ K eq‬‬
‫‪d [ P] k1k2‬‬
‫=‬
‫]‪[ A][ B] = K eq k2 [ A][ B‬‬
‫‬
‫‪k−1‬‬
‫‪dt‬‬
‫הצבה נותנת‪:‬‬
‫=‪v‬‬
‫=‪v‬‬
‫‪kexp‬‬
‫‪k1k2‬‬
‫כלומר‪ ,‬המנגנון מלמד אותנו שניתן להגדיר קבוע קצב ניסיוני‪= K eq k2 :‬‬
‫‪k −1‬‬
‫= ‪kexp‬‬
‫שנתון ע"י חלוקה‪/‬כפל של קבועי קצב של ריאקציות אלמנטאריות‪ ,‬ועל כן מקיים תלות ארהניוס‪.‬‬
‫לכן‪ ,‬נוכל לרשום תלות מן הצורה‪:‬‬
‫‪ E‬‬
‫‪‬‬
‫‪kexp = Aexp ⋅ exp  − a,exp‬‬
‫‪‬‬
‫‪RT‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כימיה פיסיקלית א' )‪ – (69163‬תרגול מס' ‪ :10‬תלות קבוע הקצב בטמפרטורה – משוואת ארהניוס‬
‫‪9‬‬
‫סמסטר אביב‪ ,‬תשע"א )‪(2011‬‬
‫מתרגלים‪ :‬רועי עשור ואמיר ונד‬
‫החוג לכימיה‬
‫המכון לכימיה‬
‫לאחר כל הפעולות הנ"ל‪ ,‬חזרנו לשאלה "סטנדרטית" על משוואת ארהניוס‪.‬‬
‫נתון כי‪kexp (T = 292 K ) = 3kexp (T = 343K ) :‬‬
‫⇒ ) ‪v(T = 292 K ) = 3v(T = 343K‬‬
‫נציב ונקבל‪:‬‬
‫‪ E‬‬
‫‪‬‬
‫‪Aexp ⋅ exp  − a,exp‬‬
‫‪‬‬
‫‪RT‬‬
‫‪ Ea ,exp  1 1  ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪= exp  −‬‬
‫‪−‬‬
‫‪R  T1 T2  ‬‬
‫‪ E‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪Aexp ⋅ exp  − a ,exp‬‬
‫‪RT2 ‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪kexp (T1 = 292 K‬‬
‫=‪3‬‬
‫=‬
‫) ‪kexp (T2 = 343K‬‬
‫חילוץ של ‪ Ea‬והצבת הנתונים נותנים‪:‬‬
‫‪Ea,exp = R ln 3 = 8.314 ⋅ ln 3 = −17,937.47 J mol = 17.94 kJ mol = −4.29 kcal mol‬‬
‫‪1 −1‬‬
‫‪1 − 1‬‬
‫‪T2 T1 343 292‬‬
‫כפי שכבר צפינו מן הנתון הניסיוני‪ ,‬קיבלנו אנרגית אקטיבציה שלילית‪.‬‬
‫המשמעות של התשובה היא שניסיוניות קצב הריאקציה שלנו יקטן ככל שנעלה את הטמפרטורה‪.‬‬
‫המשמעות הפיסיקלית היא שהריאקציה לא אלמנטרית‪ ,‬כלומר חייב להיות קיים מנגנון )ואכן כאן המנגנון‬
‫נתון לנו(‪ ,‬כך שבסה"כ מנגנון זה מסביר מדוע הריאקציה מואטת עם עליית הטמפרטורה‪.‬‬
‫אינטואיטיבית‪ ,‬המשמעות כאן היא שהריאקציות אחורה מועדפות יותר עם עליית הטמפרטורה )כלומר‪,‬‬
‫הריאקציות קדימה הן אקסותרמיות‪ ,‬לפי עיקרון לה‪-‬שטליה( – ונחזור לכך בהרחבה בקרוב‪.‬‬
‫ב‪ .‬על מנת לחלץ את אנרגית השפעול של השלב האיטי‪ ,‬עלינו להשוות בין אנרגית האקטיבציה הכוללת‬
‫לריאקציה שקיבלנו לבין המרכיבים שלה‪.‬‬
‫נזכור כי קיבלנו‪:‬‬
‫‪ E‬‬
‫‪‬‬
‫‪ Ea,2‬‬
‫‪‬‬
‫‪A1 exp  − a ,1‬‬
‫‪ A2 exp  −‬‬
‫‪‬‬
‫‪RT‬‬
‫‪RT‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪ = A1 A2 exp  − ( Ea,1 + Ea ,2 − Ea ,−1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪RT‬‬
‫‪A−1‬‬
‫‪ Ea ,−1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪A−1 exp  −‬‬
‫‪RT ‬‬
‫‪‬‬
‫‪kk‬‬
‫= ‪= 1 2‬‬
‫‪k −1‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‪Ea ,exp = Ea ,1 + Ea ,2 − Ea ,−1 = ( Ea ,1 − Ea ,−1 ) + Ea ,2 = ∆E1 + Ea ,2‬‬
‫‬
‫‪=∆E1‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪Ea ,2 = Ea ,exp − ∆E1 = −4.29 + 31 = 26.71 kcal mol‬‬
‫כלומר‪ ,‬קיבלנו שלב שיווי‪-‬משקל אקסותרמי שפולט ‪ 31‬קק"ל‪/‬מול אנרגית לסביבה‪ ,‬שאחריו שלב קובע‪-‬‬
‫מהירות אלמנטרי שצורך רק כ‪ 27 -‬קק"ל‪/‬מול‪.‬‬
‫אנרגית אקטיבציה שלילית תתקבל כאשר "סך הצריכות" קדימה קטן מ"סך הצריכות" אחורה‪:‬‬
‫‪Ea ,exp = ∆E1 + Ea ,2 < 0 ⇔ Ea ,2 < −∆E1 ⇔ Ea ,1 + Ea ,2 < Ea ,−1‬‬
‫כימיה פיסיקלית א' )‪ – (69163‬תרגול מס' ‪ :10‬תלות קבוע הקצב בטמפרטורה – משוואת ארהניוס‬
‫‪10‬‬
‫‪kexp‬‬
‫סמסטר אביב‪ ,‬תשע"א )‪(2011‬‬
‫מתרגלים‪ :‬רועי עשור ואמיר ונד‬
‫החוג לכימיה‬
‫המכון לכימיה‬
‫הערות בעקבות השאלה‪:‬‬
‫‬
‫בעיקרון‪ ,‬כל ריאקציה אלמנטרית הופכת מהירה יותר עם עלייה בטמפרטורה‪.‬‬
‫‬
‫עם זאת‪ ,‬אין זאת אומרת שבריאקציה מורכבת הקצב בהכרח יגדל ‪ <-‬יש מנגנון‪.‬‬
‫זכרו מה אתם מכירים על שו"מ כימי )עיקרון לה‪-‬שטליה(‪:‬‬
‫ריאקציה אנדותרמית מעודדת על ידי העלאת טמפרטורה‪.‬‬
‫ריאקציה אקסותרמית מדוכאת על ידי העלאת טמפרטורה‪.‬‬
‫‪ <--‬נובע מכך שיש קצב קדימה ואחורה !‬
‫ראינו כבר מנגנונים עם שיווי‪-‬משקל מקדים ושלב עוקב איטי‪ ,‬עם ביטוי מן הסוג‪:‬‬
‫‪E‬‬
‫‪  E − Ea , −1 + Ea ,2  ‬‬
‫‪k1k2 A1 A2‬‬
‫‪− a ,exp RT‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪A‬‬
‫‪exp  −  a ,1‬‬
‫‪e‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪exp‬‬
‫‪k −1‬‬
‫‪A−1‬‬
‫‪RT‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫= ‪K exp‬‬
‫‪A1 A2‬‬
‫‪A−1‬‬
‫= ‪Aexp‬‬
‫‪Ea ,exp = Ea ,1 − Ea , −1 + Ea ,2‬‬
‫כעת רואים שניתן לקבל אנרגיות אקטיבציה שליליות‪. Ea ,exp = Ea ,1 − Ea ,−1 + Ea ,2 :‬‬
‫‪, k increases with T‬‬
‫‪, k decreases with T‬‬
‫‪> 0‬‬
‫‪Ea ,exp = Ea ,1 − Ea ,−1 + Ea ,2 = ‬‬
‫‪< 0‬‬
‫המשמעות של אנרגית אקטיבציה שלילית‪ :‬הריאקציה אחורה מאוד רגישה לטמפרטורה )יותר מקדימה(‪,‬‬
‫חוזרת אחורה ו'תוקעת' את הריאקציה )מעודדת יותר מן הריאקציה קדימה(‪.‬‬
‫לתגובה אלמנטרית לא תיתכן אנרגיית אקטיבציה שלילית‪.‬‬
‫‪Ea ,exp = Ea ,1 − Ea ,−1 + Ea ,2 > 0 Ea ,exp = Ea ,1 − Ea ,−1 + Ea ,2 < 0‬‬
‫כימיה פיסיקלית א' )‪ – (69163‬תרגול מס' ‪ :10‬תלות קבוע הקצב בטמפרטורה – משוואת ארהניוס‬
‫‪11‬‬
‫סמסטר אביב‪ ,‬תשע"א )‪(2011‬‬
‫מתרגלים‪ :‬רועי עשור ואמיר ונד‬
‫‪kcal‬‬
‫‪ .3‬לתגובה אלמנטרית מסדר שני ‪ , 2 A → P‬אנרגית שפעול של‬
‫‪mol‬‬
‫החוג לכימיה‬
‫המכון לכימיה‬
‫‪. 48‬‬
‫בטמפרטורה של ‪ , 550°C‬זמן מחצית החיים של התגובה הוא ‪ 10‬דקות‪ ,‬כאשר ‪. [ A]0 = 0.25M‬‬
‫א‪ .‬באיזו טמפרטורה ישווה זמן מחצית החיים של הריאקציה לזה הנתון עבור ריכוז התחלתי של‬
‫‪? [ A]0 = 2.5 ×10 −5‬‬
‫ב‪ .‬מהו המקדם הפרה‪-‬אקספוננציאלי לתגובה ?‬
‫פיתרון‪:‬‬
‫נתון לנו כי הריאקציה היא מסדר שני‪ ,‬וכן כי‪:‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪. t 1 [ A]0 = 0.25M , T = 550 C = 10 min‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2k[ A]0‬‬
‫א‪ .‬עבור ריאקציה אלמנטרית מסדר ‪ 2‬מתקיים‪:‬‬
‫ועבור ‪ k‬בעל תלות‪-‬ארהניוס נוכל לרשום‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 A ⋅ exp ( − Ea RT ) [ A]0‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪t 12‬‬
‫= ) ‪t 12 (T‬‬
‫כאשר כעת ציינו מפורשות כי זמן מחצית‪-‬החיים תלוי גם בטמפרטורה‪.‬‬
‫נסמן כעת ב‪ T1 -‬את הטמפרטורה הידועה לנו‪:‬‬
‫וב‪ T2 -‬את הטמפרטורה אותה אנו מחפשים‪:‬‬
‫‪[ A]0,1 = 0.25M , T1 = 550 C = 823K‬‬
‫? = ‪[ A]0,2 = 2.5 × 10 −5 M , T2‬‬
‫השוואה בין הביטויים תיתן‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪= t 12,1 = t 12,2‬‬
‫‪2A ⋅ exp ( − Ea RT1 ) [ A]0,1‬‬
‫‪2 A ⋅ exp ( − Ea RT2 ) [ A]0,2‬‬
‫]‪) ) = [ A‬‬
‫‪[ A]0,1‬‬
‫‪0,2‬‬
‫‪− T11‬‬
‫‪1‬‬
‫‪T2‬‬
‫( (‬
‫‪Ea‬‬
‫‪R‬‬
‫‪exp −‬‬
‫‪−3‬‬
‫‪1 = R ln  [ A]0,2  + 1 = 1.987 ×10 kcal mol ⋅K ln (10−4 ) + 1 = 8.34 ×10−4 K −1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪T2 Ea  [ A]0,1  T1‬‬
‫‪48 kcal mol‬‬
‫‪823‬‬
‫‪T2 ≅ 1, 200 K = 927 C‬‬
‫התוצאה הגיונית‪ :‬היות והריאקציה מסדר שני‪ ,‬זמן מחצית החיים גדל עם הקטנת הריכוז )עבור‬
‫טמפרטורה קבועה(‪ .‬לכן‪ ,‬אם הקטנו את הריכוז וברצוננו להישאר עם אותו זמן מחצית החיים עלינו לזרז‬
‫את הריאקציה‪ ,‬כלומר להעלות את הטמפרטורה‪.‬‬
‫ב‪ .‬את המקדם הפרה‪-‬אקספוננציאלי ‪ A‬נוכל לקבל כבר מן הנתונים )לפני סעיף א'(‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= =‬
‫‪= 1.12 ×1012 min −1 M −1‬‬
‫‪Ea‬‬
‫‪48,000‬‬
‫‪2 ⋅10min ⋅ exp ( −‬‬
‫‪2t 12 (T1 ) exp ( − RT1 ) [ A]0,1‬‬
‫‪1.987⋅823 ) ⋅ 0.25M‬‬
‫תשומת לב שיחידות המקדם הפרה‪-‬אקספוננציאלי כיחידות קבוע הקצב – סדר ‪!!! 2‬‬
‫כימיה פיסיקלית א' )‪ – (69163‬תרגול מס' ‪ :10‬תלות קבוע הקצב בטמפרטורה – משוואת ארהניוס‬
‫‪12‬‬
‫=‪A‬‬