‫הסתברות למדעים‪ :‬פתרון מבחן מועד ב' תש"ע )‪(20/8/2010‬‬ ‫גרסה ‪ ,1.1‬ינואר ‪2010‬‬ ‫ברק שושני‬ ‫‪[email protected] | http://baraksh.co.il/‬‬ ‫חלק א'‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫פונקציית הצפיפות המשותפת של ‪ X, Y‬היא‪:‬‬ ‫‪fX,Y (x, y) = c (5 − x − y) I1≤x≤2 I0≤y≤3‬‬ ‫כאשר ‪ I‬הוא אינדיקטור‪.‬‬ ‫א‪ .‬מהו ‪?c‬‬ ‫ב‪ .‬מהן הצפיפויות השוליות של ‪?X, Y‬‬ ‫ג‪ .‬חשבו את )‪.P (XY ≤ 2‬‬ ‫ד‪ .‬חשבו את )‪.P (X − Y ≤ 0.5‬‬ ‫ה‪ .‬חשבו את ) ‪.E (X + 2Y‬‬ ‫פתרון סעיף א'‬ ‫מתנאי הנורמליזציה‪:‬‬ ‫¨‬ ‫)‪fX,Y (x, y) d (x, y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪R2‬‬ ‫‪ˆ 3‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪(5 − x − y) dx‬‬ ‫=‪1‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪x=1‬‬ ‫‪=c‬‬ ‫‪y=0‬‬ ‫ˆ‬ ‫‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫ ‪5x − x2 − xy‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y=0‬‬ ‫‪x=1‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‪ˆ 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪=c‬‬ ‫‪(10 − 2 − 2y) − 5 − − y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y=0‬‬ ‫‬ ‫ ‪ˆ 3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪=c‬‬ ‫‪− y dy‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y=0‬‬ ‫‬ ‫‪ 3‬‬ ‫ ‪1 2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ ‪y− y‬‬ ‫‪=c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y=0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪21 9‬‬ ‫‪=c‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪=c‬‬ ‫‪= 6c‬‬ ‫‪1‬‬ .c = 1 6 ‫לפיכך‬ '‫פתרון סעיף ב‬ :‫ הצפיפות המשותפת היא‬,'‫לפי סעיף א‬ fX,Y (x, y) = 1 (5 − x − y) I1≤x≤2 I0≤y≤3 6 :‫לכן הצפיפויות השוליות הן‬ ˆ fX (x) = fX,Y (x, y) dy R 1 = I1≤x≤2 6 ˆ 3 (5 − x − y) dy 0 3 1 2 1 = I1≤x≤2 5y − xy − y 6 2 0 1 9 = I1≤x≤2 15 − 3x − 6 2 1 = (7 − 2x) I1≤x≤2 4 ˆ fY (y) = fX,Y (x, y) dx R 1 = I0≤y≤3 6 ˆ 2 (5 − x − y) dx 1 2 1 1 2 = I0≤y≤3 5x − x − xy 6 2 1 1 1 = I0≤y≤3 (10 − 2 − 2y) − 5 − − y 6 2 1 = (7 − 2y) I0≤y≤3 12 '‫פתרון סעיף ג‬ :‫ההסתברות היא‬ 2 P (XY ≤ 2) = P Y ≤ X ˆ +∞ ˆ 2/x = fX,Y (x, y) dy dx x=−∞ 1 = 6 ˆ 2 ˆ y=−∞ 2/x (5 − x − y) dy dx x=1 ˆ y=0 2/x 1 2 (5 − x) y − y dx 2 x=1 y=0 ˆ 2 10 2 1 − 2 − 2 dx = 6 x=1 x x 2 2 1 10 ln x − 2x + = 6 x 1 = 6 2 x=1 1 = ((10 ln 2 − 4 + 1) − (0 − 2 + 2)) 6 5 1 = ln 2 − 3 2 2 ‫פתרון סעיף ד'‬ ‫אנו מעוניינים לעשות אינטגרציה של פונקציית הצפיפות על הקבוצה‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫\‬ ‫\‪1‬‬ ‫≤ ‪x−y‬‬ ‫‪1≤x≤2 0≤y≤3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .y = x −‬זהו טרפז‪ ,‬הניתן לתיאור באמצעות‬ ‫קבוצה זו היא החלק של המלבן ]‪ [1, 2] × [0, 3‬שנמצא מעל לקו‬ ‫הפרמטריזציה‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫\‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1≤x≤2 x− ≤y ≤3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כדי לפשט את החישוב‪ ,‬נחשב דווקא את ההסתברות של הקבוצה המשלימה‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫\‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1≤x≤2 0≤y ≤x−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)כך‪ ,‬אחד מהגבולות באינטגרל יהיה ‪ .(0‬אם כן‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ˆ x−1/2‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪(5 − x − y) dy dx‬‬ ‫≤ ‪1−P X −Y‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6 x=1 y=0‬‬ ‫‪ x−1/2‬‬ ‫‬ ‫ˆ‬ ‫‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪dx‬‬ ‫ ‪(5 − x) y − y 2‬‬ ‫‪6 x=1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y=0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫! ‪2‬‬ ‫‬ ‫ˆ‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x−‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪(5 − x) x −‬‬ ‫‪6 x=1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ˆ‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 2 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪5x − − x + x − x + x −‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪6 x=1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ˆ‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪− x2 + 6x −‬‬ ‫‪6 x=1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ ‪− x3 + 3x2 − x‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‬ ‫‪ x=1‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−4 + 12 −‬‬ ‫‪− − +3−‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪23‬‬ ‫=‬ ‫‪48‬‬ ‫לפיכך‪:‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫≤ ‪X −Y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‬ ‫פתרון סעיף ה'‬ ‫התוחלת היא‪:‬‬ ‫¨‬ ‫= ) ‪E (X + 2Y‬‬ ‫)‪(x + 2y) fX,Y (x, y) d (x, y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪R2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪(x + 2y) (5 − x − y) dy dx‬‬ ‫‪y=0‬‬ ‫‪ˆ 3‬‬ ‫‪dy dx‬‬ ‫‬ ‫‪x=1‬‬ ‫‪ˆ 2‬‬ ‫‪−2y 2 + (10 − 3x) y + −x2 + 5x‬‬ ‫‪y=0‬‬ ‫‪x=1‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪2 3 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪− y + (10 − 3x) y + −x + 5x y dx‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x=1‬‬ ‫‪y=0‬‬ ‫‬ ‫ ‪ˆ 2‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪−18 + (10 − 3x) + 3 −x2 + 5x dx‬‬ ‫‪6 x=1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ˆ 2‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−6x2 + 3x + 54 dx‬‬ ‫‪12 x=1‬‬ ‫‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ ‪−2x + x + 54x‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪ x=1‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(−16 + 6 + 108) − −2 + + 54‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪89‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫‪ X‬ו־ ‪ Y‬הם משתנים מקריים המוגדרים על אותו מרחב הסתברות‪ .‬ידוע שתוחלת ‪ X‬היא ‪ µ‬ושונותו‬ ‫היא ‪ .σ 2‬כמו כן ידוע ש־)‪.Y |X ∼ Uni (X, 1‬‬ ‫א‪ .‬מצאו את ) ‪.E (Y‬‬ ‫ב‪ .‬מצאו את ) ‪.Var (Y‬‬ ‫ג‪ .‬מצאו את )‪.Cov (Y, X‬‬ ‫פתרון סעיף א'‬ ‫מנוסחת התוחלת השלמה‪:‬‬ ‫‪1+µ‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪1+X‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪E (Y ) = E (E (Y |X)) = E‬‬ ‫‬ ‫פתרון סעיף ב'‬ ‫מנוסחת השונות השלמה‪:‬‬ ‫))‪Var (Y ) = E (Var (Y |X)) + Var (E (Y |X‬‬ ‫!‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(X − 1‬‬ ‫‪1+X‬‬ ‫‪=E‬‬ ‫‪+ Var‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫)‪E X 2 − 2 E (X) + 1 + Var (X‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫ ‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫)‪Var (X) + E (X) − 2 E (X) + 1 + Var (X‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 1 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪σ + µ − 2µ + 1 + σ‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪4σ + µ − 2µ + 1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‬ ‫פתרון סעיף ג'‬ ‫מנוסחת התוחלת השלמה‪:‬‬ ‫))‪E (XY ) = E (E (XY |X‬‬ ‫))‪= E (X E (Y |X‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1+X‬‬ ‫·‪=E X‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪E (X) + E X 2‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫)‪E (X) + Var (X) + E (X‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪µ + σ 2 + µ2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫לכן השונות המשותפת היא‪:‬‬ ‫) ‪Cov (Y, X) = E (XY ) − E (X) E (Y‬‬ ‫‬ ‫‪1+µ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫· ‪µ + σ 2 + µ2 − µ‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪= σ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫חלק ב'‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫נכון או לא נכון‪ :‬תהי ‪ X, X1 , . . . , Xn‬סדרת משתנים מקריים המקיימת ‪ E (Xn ) = c‬ו־→ ) ‪Var (Xn‬‬ ‫‪ .0‬אזי ‪ Xn‬מתכנסת בהסתברות ל־‪.c‬‬ ‫פתרון‬ ‫יהי ‪ ,ε > 0‬אז מאי־שוויון צ'בישב‪:‬‬ ‫) ‪Var (Xn‬‬ ‫‪−−−−→ 0‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪ε2‬‬ ‫≤ )‪P (|Xn − c| > ε) = (|Xn − E (Xn )| > ε‬‬ ‫‬ ‫לפיכך הטענה נכונה‪.‬‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫נכון או לא נכון‪ :‬יהיו ‪ X1 , X2 , . . .‬משתנים מקריים בלתי־תלויים ושווי־התפלגות שתוחלתם ‪ 0‬ושונותם‬ ‫‪ .1‬נגדיר‪:‬‬ ‫‪X1 + · · · + Xn‬‬ ‫‪n‬‬ ‫= ‪Sn‬‬ ‫אזי ‪ FSn‬שואפת לפונקציית ההסתברות המצטברת של משתנה מקרי מנוון המקבל את הערך ‪0‬‬ ‫בהסתברות ‪.1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫פתרון‬ ‫יהי ‪ ,ε > 0‬אז מחוק המספרים הגדולים‪:‬‬ ‫‪P (|Sn | > ε) −−−−→ 0‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫לכן‪:‬‬ ‫‪P (Sn ≤ ε) = 1 − P (Sn > ε) −−−−→ 1‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪P (Sn ≤ −ε) −−−−→ 0,‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫ומכאן‪ ,‬כאשר ‪:ε → 0‬‬ ‫(‬ ‫‪0 x<0‬‬ ‫= )‪FSn (x) = P (Sn ≤ x‬‬ ‫‪1 x≥0‬‬ ‫‬ ‫לפיכך הטענה נכונה‪.‬‬ ‫שאלה ‪5‬‬ ‫נכון או לא נכון‪ X :‬ו־ ‪ Y‬הם בלתי־תלויים ושווי־התפלגות‪ .‬יתכן שהפונקציה יוצרת המומנטים של‬ ‫‪ X + Y‬היא‪:‬‬ ‫‪MX+Y (t) = t + 1 − et‬‬ ‫פתרון‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪00‬‬ ‫‪MX+Y‬‬ ‫) ‪(0) = − et t=0 = −1 = E (X + Y‬‬ ‫לא יכול להיות שתוחלת של משתנה מקרי אי־שלילי היא שלילית‪ ,‬לכן הפונקציה לא יכולה להיות פונקציה יוצרת‬ ‫‬ ‫מומנטים של אף משתנה מקרי )ובפרט של ‪.(X + Y‬‬ ‫שאלה ‪6‬‬ ‫נכון או לא נכון‪ X :‬ו־ ‪ Y‬משתנים מקריים בלתי־תלויים המתפלגים באופן אחיד בקבוצה ‪ A‬במישור‪.‬‬ ‫אזי ‪ A‬הוא מלבן שצלעותיו מקבילות לצירים‪.‬‬ ‫פתרון‬ ‫ניתן דוגמה נגדית‪ .‬נניח כי ‪ X‬ו־ ‪ Y‬מתפלגים באופן אחיד על הקבוצה‪:‬‬ ‫)]‪A = ([−2, −1] × [0, 1]) ∪ ([1, 2] × [0, 1‬‬ ‫שהיא איחוד של שני ריבועים‪ .‬שטח הקבוצה הוא ‪ ,2‬ופונקציית הצפיפות המשותפת היא‪:‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫]‪Ix∈[−2,−1] + Ix∈[1,2] Iy∈[0,1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= )‪fX,Y (x, y‬‬ ‫פונקציות הצפיפות השוליות הן‪:‬‬ ‫]‪fY (x) = Iy∈[0,1‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Ix∈[−2,−1] + Ix∈[1,2] ,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ומתקיים )‪ ,fX,Y (x, y) = fX (x) fY (y‬לכן המשתנים הם בלתי־תלויים‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫= )‪fX (x‬‬ ‫‬ ‫שאלה ‪7‬‬ ‫נכון או לא נכון‪ :‬תהי ‪ X, X1 , X2 , . . .‬סדרת משתנים מקריים בלתי־תלויים ושווי־התפלגות כך ש־‬ ‫∞ < )|‪ ,E (|X‬אז‪:‬‬ ‫‪Xn2‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪n3‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫כמעט בוודאות‪.‬‬ ‫פתרון‬ ‫לפי טענה שהוכחנו בכיתה‪ ,‬אם ∞ < )|‪ E (|X‬אז‪:‬‬ ‫‪Xn‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫כמעט בוודאות‪ .‬לפיכך גם‪:‬‬ ‫‪Xn2‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪n→∞ n2‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫ומכאן ברור כי‪:‬‬ ‫‪Xn2‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪n3‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‬ ‫והטענה נכונה‪.‬‬ ‫שאלה ‪8‬‬ ‫נכון או לא נכון‪ X :‬ו־ ‪ Y‬מפולגים אחיד בקבוצה במישור שהחלק הימני שלה הוא משולש שקודקודיו‬ ‫הם )‪ (1, 0) , (0, 1) , (0, −1‬והחלק השמאלי שלה הוא חצי עיגול ברדיוס ‪ 1‬סביב הראשית‪ .‬אזי‬ ‫‪.E (XY ) > 0‬‬ ‫פתרון‬ ‫נשים לב כי ‪ XY > 0‬ברביע הראשון והשלישי ואילו ‪ XY < 0‬ברביע השני והרביעי‪ .‬אך השטחים שווים‪ ,‬לכן‬ ‫אינטואיטיבית עלינו לקבל ‪ .E (XY ) = 0‬נראה זאת באופן מדויק יותר‪ .‬נסמן את הקבוצה ב־‪ .A‬קל לראות כי‬ ‫שטח הקבוצה הוא ‪ ,2 + π2‬לכן‪:‬‬ ‫¨‬ ‫‪2‬‬ ‫= ) ‪E (XY‬‬ ‫)‪xy d (x, y‬‬ ‫‪π+4 A‬‬ ‫כעת‪ ,‬הפונקציה ‪ xy‬היא אנטי־סימטרית ביחס לציר ה־‪ ,x‬ואילו ‪ A‬היא סימטרית ביחס לציר ה־‪ ,x‬לפיכך‬ ‫‬ ‫‪.E (XY ) = 0‬‬ ‫‪7‬‬