‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫חקירת פונקציה רציונלית ‪ -‬פונקציית מנה‬ ‫פונקציית מנה היא פונקציית שבר אשר במכנה שלה מופיע המשתנה ‪.x‬‬ ‫תחום ההגדרה‬ ‫פונקציית מנה מוגדרת רק כאשר המכנה שונה מאפס‪ .‬כלומר‪ ,‬כדי למצוא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪ ,‬נבדוק‬ ‫מתי המכנה מתאפס‪ .‬לדוגמא‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נבדוק מתי מתאפס המכנה בפונקציה‪:‬‬ ‫‪x −9‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪ , f ( x) = 2‬המכנה חיובי בהכרח‪ ,‬אינו מתאפס לעולם ולכן היא מוגדרת לכל ‪.x‬‬ ‫לעומת זאת‪ ,‬בפונקציה‪:‬‬ ‫‪x +4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= )‪ f ( x‬ונמצא את תחום ההגדרה‪:‬‬ ‫‪x ≠ ±3‬‬ ‫→ ‪x2 − 9 ≠ 0‬‬ ‫נקודות החיתוך עם הצירים‬ ‫‪x2 − x − 2‬‬ ‫= ) ‪. f (x‬‬ ‫נדגים על הפונקציה‪:‬‬ ‫‪x−2‬‬ ‫חיתוך עם ציר ה‪:y-‬‬ ‫‪0 −0−2 −2‬‬ ‫=‬ ‫נציב ‪ x = 0‬ונקבל‪= 1 :‬‬ ‫‪0−2‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ) ‪. f (x‬‬ ‫ומכאן שנקודת החיתוך עם ציר ה‪ y-‬היא‪. (0,1) :‬‬ ‫חיתוך עם ציר ה‪:x-‬‬ ‫‪x −x−2‬‬ ‫‪→ x 2 − x − 2 = 0 → ( x − 2)(x + 1) = 0 → x = 2, x = −1‬‬ ‫נשווה את הפונקציה ל‪:0-‬‬ ‫‪x−2‬‬ ‫נשים לב כי הפתרון ‪ x = 2‬אינו בתחום ההגדרה‪ ,‬ולכן נקודת החיתוך היחידה עם ציר ה‪ x-‬היא‪. (− 1,0 ) :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪0‬‬ ‫נגזרת ונקודות קיצון‬ ‫‪u‬‬ ‫' ‪u '⋅v − u ⋅ v‬‬ ‫= ) ‪ f ( x‬היא‪:‬‬ ‫הנגזרת של הפונקציה‬ ‫‪2‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫לדוגמא‪ :‬הנגזרת של הפונקציה‬ ‫‪x−2‬‬ ‫= ) ‪ f ( x‬היא‪:‬‬ ‫= )‪. f '(x‬‬ ‫‪2 x (x − 2 ) − 1 ⋅ x 2‬‬ ‫‪x2 − 4x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫'‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫→‬ ‫‪(x − 2 )2‬‬ ‫‪( x − 2 )2‬‬ ‫= )‪f ' ( x‬‬ ‫‪= 0 → x 2 − 4 x = 0 → x(x − 4 ) = 0‬‬ ‫בכדי למצוא את נקודות הקיצון‪ ,‬נשווה את הנגזרת ל‪:0-‬‬ ‫‪x 2 − 4x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(x − 2‬‬ ‫מאפסי הנגזרת הם‪ x = 0 :‬ו‪ . x = 4 -‬ניעזר בטבלת עלייה וירידה כדי למצוא את סוגן של נקודות הקיצון‪.‬‬ ‫חשוב‪ :‬בטבלת העליה והירידה נציב תמיד גם את נקודות אי ההגדרה של הפונקציה‪ ,‬מכיוון שגרף הפונקציה יכול‬ ‫להשתנות מעליה לירידה ולהפך‪ ,‬גם מסביב לנקודות אי ההגדרה‪.‬‬ ‫כלומר‪ ,‬נציב בטבלה את שתי הנקודות החשודות כקיצון‪ x = 0 :‬ו‪ x = 4 -‬וכן את נקודת אי ההגדרה‪: x = 2 :‬‬ ‫‪x>4‬‬ ‫‪x=5‬‬ ‫חיובי‬ ‫‪x=4‬‬ ‫קיצון‬ ‫‪2< x<4‬‬ ‫‪x=2‬‬ ‫‪0< x<2‬‬ ‫‪x=3‬‬ ‫‪x =1‬‬ ‫שלילי‬ ‫שלילי‬ ‫‪min‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫נציב את שיעורי ה‪ x-‬של נקודות הקיצון בפונקציה‬ ‫‪x−2‬‬ ‫) ‪ max (0 , 0‬ו‪. min (4 ,8 ) -‬‬ ‫‪x=0‬‬ ‫קיצון‬ ‫‪x<0‬‬ ‫‪x = −1‬‬ ‫חיובי‬ ‫‪max‬‬ ‫תחום ‪x‬‬ ‫נציב בנגזרת‬ ‫סימן הנגזרת‬ ‫הפונקציה‬ ‫עולה‪/‬יורדת‬ ‫= ) ‪ f ( x‬ונקבל כי שיעורי נקודות הקיצון הם‪:‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪77‬‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫אסימפטוטות מקבילות לצירים‬ ‫אסימפטוטות אנכיות ‪ -‬אסימפטוטות המקבילות לציר ה‪y-‬‬ ‫בכל פונקציה עלינו לבדוק את התנהגות הגרף כאשר ערכי ה‪ x-‬הולכים ומתקרבים לנקודות אי ההגדרה‪ ,‬מימין‬ ‫ומשמאל‪ .‬למעשה‪ ,‬ייתכנו שני מצבים ככל שגרף הפונקציה מתקרב לנקודת אי ההגדרה‪:‬‬ ‫כאשר ערכי ה‪ y-‬של הפונקציה שואפים ל‪ ± ∞ -‬הרי שמדובר באסימפטוטה אנכית שהיא קו ישר המקביל לציר ה‪.y-‬‬ ‫הפונקציה לעולם אינה יכולה לחתוך את האסימפטוטה האנכית כי היא אינה מוגדרת עבור אותו ערך ‪.x‬‬ ‫כאשר גרף הפונקציה שואף לערך סופי וקבוע )למשל ‪ (y=1‬מדובר בנקודת אי רציפות סליקה )"חור" בפונקציה(‪.‬‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫בכדי למצוא את האסימפטוטות האנכיות בפונקציות רציונליות‪:‬‬ ‫נשווה תחילה את המכנה לאפס ונמצא את נקודות אי ההגדרה‪.‬‬ ‫נציב כל אחת מנקודות אי ההגדרה שמצאנו במונה ונבדוק האם גם המונה מתאפס‪.‬‬ ‫אם נקודת אי הגדרה אינה מאפסת את המונה‪ ,‬היא בוודאות אסימפטוטה אנכית‪ ,‬ואין צורך להמשיך לבדוק אותה‪.‬‬ ‫אם נקודת אי הגדרה מאפסת גם את המונה‪:‬‬ ‫‪ o‬נצמצם את הפונקציה ככל הניתן‪ ,‬באמצעות פירוק לגורמים‪ ,‬ונציב בפונקציה את נקודת אי ההגדרה החשודה‪:‬‬ ‫‪ o‬אם המכנה עדיין מתאפס‪ ,‬ומתקבל ביטוי חסר משמעות )בח"מ(‪ ,‬נדע כי זוהי בוודאות אסימפטוטה אנכית‪.‬‬ ‫‪ o‬אם המכנה כבר אינו מתאפס ואנו מקבלים פתרון מספרי‪ ,‬נדע כי נקודת אי ההגדרה היא נקודת אי רציפות‬ ‫סליקה )"חור" בפונקציה( והפתרון שקיבלנו הוא שיעור ה‪ y-‬של נקודת אי הרציפות‪.‬‬ ‫חשוב‪ :‬במידה וצמצמנו את הפונקציה באמצעות פירוק לגורמים‪ ,‬נוכל להמשיך ולחקור את הפונקציה המצומצמת‪,‬‬ ‫אך נזכור כי עדיין קיימת נקודת אי רציפות סליקה )"חור"(‪ ,‬שתופיע בשרטוט הסקיצה כפי שנראה בהמשך‪.‬‬ ‫בכדי לדעת בוודאות איזה מהמצבים שהצגנו מתקיים בפונקציה אותה אנו חוקרים‪ ,‬עלינו לבדוק האם ערכי ה‪ y-‬של‬ ‫הפונקציה שואפים ל‪ ± ∞ -‬בנקודת אי ההגדרה או שמא מתקבל ערך סופי וקבוע‪ .‬בכדי לבדוק זאת‪ ,‬נציב בפונקציה‬ ‫ערכי ‪ x‬הולכים ומתקרבים לערך ה‪ x-‬של נקודת אי ההגדרה ונבדוק את התנהגות גרף הפונקציה‪.‬‬ ‫כאשר נקבל כי ערך הפונקציה הולך ושואף ל‪ , ± ∞ -‬הרי שזו אסימפטוטה אנכית‪ .‬כאשר נקבל כי ערך הפונקציה‬ ‫שואף למספר קבוע נדע שיש נקודת אי רציפות סליקה )"חור" בפונקציה( ואת שיעוריה‪.‬‬ ‫דוגמא א'‪ :‬מצא את האסימפטוטות האנכיות ואת נקודות אי הרציפות הסליקה של הפונקציות הבאות‪:‬‬ ‫‪x2 +1‬‬ ‫‪ , f ( x ) = 2‬מאפסי המכנה הם‪ x = 0 :‬ו‪ . x = 2 -‬נציב כל אחד משני‬ ‫בפונקציה‪:‬‬ ‫‪x − 2x‬‬ ‫הפתרונות במונה ונראה כי הוא אינו מתאפס‪ ,‬ומכאן ששני הפתרונות ‪ x = 0‬ו‪ x = 2 -‬הם‬ ‫אסימפטוטות אנכיות של הפונקציה‪.‬‬ ‫‪x+3‬‬ ‫דוגמא ב'‪ :‬בפונקציה‬ ‫‪x2 − 9‬‬ ‫נציב ‪ x = 3‬במונה‪ ,‬ונראה כי הוא אינו מתאפס ומכאן ש‪ x = 3 :‬היא אסימפטוטה אנכית‪.‬‬ ‫נציב ‪ x = −3‬במונה ונראה כי הוא מתאפס‪ ,‬ולכן ננסה לצמצם את הפונקציה באמצעות פירוק לגורמים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x+3‬‬ ‫‪x+3‬‬ ‫‪f ( x) = 2‬‬ ‫=‬ ‫= )‪→ f ( x‬‬ ‫‪x −3‬‬ ‫) ‪x − 9 ( x + 3 )( x − 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= )‪ . f (−3‬כלומר‪ ,‬הנקודה‬ ‫נציב ‪ x = −3‬בפונקציה המצומצמת ונקבל מספר קבוע‪= − :‬‬ ‫‪−3−3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  − 3,− ‬היא נקודת אי רציפות סליקה )"חור בפונקציה"(‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ) ‪ , f ( x‬מאפסי המכנה הם‪ x = 3 :‬ו‪. x = − 3 -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫מכאן והלאה‪ ,‬נמשיך לחקור את הפונקציה המצומצמת‪ ,‬אך נזכור כי יש "חור" בפונקציה ששיעוריו הם‪.  − 3,−  :‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪78‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫אסימפטוטות אופקיות ‪ -‬אסימפטוטות המקבילות לציר ה‪x-‬‬ ‫האסימפטוטה האופקית משקפת את התנהגות גרף הפונקציה כאשר ‪ x‬שואף לאינסוף ) ∞ ( או למינוס אינסוף ) ∞ ‪( −‬‬ ‫)בקצה הימני או השמאלי של שרטוט הסקיצה או בשניהם(‪ .‬משמעות האסימפטוטה היא לאילו ערכי ‪ y‬שואף הגרף‪,‬‬ ‫כאשר ערכי ה‪ x-‬שואפים ל‪. ± ∞ :‬‬ ‫בניגוד לאסימפטוטה אנכית‪ ,‬גרף הפונקציה יכול לחתוך אסימפטוטה אופקית‪ .‬גרף הפונקציה שואף לאסימפטוטה‬ ‫האופקית רק בקצוות הסקיצה‪ ,‬כאשר ערכי ה‪ x-‬שואפים ל‪. ± ∞ :‬‬ ‫בכדי למצוא את האסימפטוטה האופקית של גרף הפונקציה‪ ,‬נחלק כל אחד מהאיברים במונה ובמכנה ב‪ x-‬בעל‬ ‫המעריך הגבוה ביותר המופיע בפונקציה‪ ,‬ונבדוק מה קורה כאשר ערכי ה‪ x-‬שואפים ל‪. ± ∞ :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫שואף ל‪.(0-‬‬ ‫)נזכור כי כאשר ערכי ‪ x‬שואפים ל‪ , ± ∞ :‬ערכו של הביטוי‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x2 +1‬‬ ‫דוגמא‪ :‬מצא את האסימפטוטות האופקיות של הפונקציה‬ ‫‪. f ( x) = 2‬‬ ‫‪x − 2x‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪2x2 1‬‬ ‫‪+ 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪lim 2 x 2 + 1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x ≈ 2+0 ≈ 2 ≈ 2‬‬ ‫=‬ ‫‪x → ±∞ x 2 − 2 x x → ±∞ x 2 2 x 1 − 0 ± 1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x2 x2‬‬ ‫כלומר‪ ,‬גרף הפונקציה שואף ל‪ 2-‬ולכן האסימפטוטה האופקית היא‪. y = 2 :‬‬ ‫‪3x + 1‬‬ ‫דוגמא‪ :‬מצא את האסימפטוטות האופקיות של הפונקציה‬ ‫‪x2 − 2‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫= )‪. f ( x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪±‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x ≈ x x2 ≈ 0 + 0 ≈ 0 ≈ 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 − 0+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3x + 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪x → ±∞ x 2 − 2 x → ±∞ x 2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫כלומר‪ ,‬גרף הפונקציה שואף ל‪ 0-‬ולכן האסימפטוטה האופקית של הפונקציה היא‪. y = 0 :‬‬ ‫‪x2 − 3x‬‬ ‫דוגמא‪ :‬מצא את האסימפטוטות האופקיות של הפונקציה‬ ‫‪x +1‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫= )‪. f ( x‬‬ ‫‪x 2 3x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪±‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪lim x − 3 x‬‬ ‫‪lim x‬‬ ‫≈ ‪x‬‬ ‫∞‪x ≈ 1 − 0 ≈ 1 ≈ ±‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1 0± + 0+ 0±‬‬ ‫‪x → ±∞ x + 1‬‬ ‫‪x → ±∞ x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x2 x2‬‬ ‫‪x x2‬‬ ‫כלומר‪ ,‬גרף הפונקציה שואף לאינסוף‪ ,‬ולכן אין אסימפטוטה אופקית לפונקציה‪.‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪79‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫תרגילים ‪ -‬חקירת פונקציות רציונאליות )מנה(‬ ‫‪3x 3 + 12 − x 2‬‬ ‫‪ .1‬נתונה הפונקציה‪− 3 :‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫א‪ .‬עבור גרף הפונקציה )‪ f (x‬מצא את‪:‬‬ ‫= )‪. f ( x‬‬ ‫‪ .2‬נקודות הקיצון ואת סוגן‪.‬‬ ‫‪ .4‬תחומי העליה והירידה‪.‬‬ ‫‪ .1‬תחום ההגדרה‪.‬‬ ‫‪ .3‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬ ‫‪ .5‬האסימפטוטות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬שרטט את גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ג‪ .‬מצא לאילו ערכי ‪ ,k‬יהיו לישר ‪ y = k‬שתי נקודות חיתוך עם הפונקציה‪.‬‬ ‫‪x2 − a2‬‬ ‫‪ .2‬נתונה הפונקציה‪:‬‬ ‫‪x − 10‬‬ ‫א‪ .‬עבור גרף הפונקציה )‪ f (x‬מצא את‪:‬‬ ‫‪ .1‬ערכו של ‪ (0 < a) a‬ותחום ההגדרה‪.‬‬ ‫= ) ‪ . f ( x‬המרחק בין שתי נקודות החיתוך שלה עם ציר ה‪ x-‬הוא ‪ 12‬יח'‪.‬‬ ‫‪ .2‬נקודות הקיצון ואת סוגן‪.‬‬ ‫‪ .4‬תחומי העליה והירידה‪.‬‬ ‫‪ .3‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬ ‫‪ .5‬האסימפטוטות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬שרטט את גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ג‪ .‬דרך נקודות הקיצון של גרף הפונקציה )‪ f (x‬עוברים שני ישרים המקבילים לציר ה‪ .y-‬שני‬ ‫ישרים אלו יוצרים ריבוע עם ציר ה‪ x-‬והישר ‪ . y = p 2‬מצא את ערכו של הפרמטר ‪.p‬‬ ‫‪2 x 2 − x − 62‬‬ ‫‪ f ( x ) = a +‬נחתכות בנקודה ) ‪. (6,0‬‬ ‫‪ .3‬שתיים מהאסימפטוטות של הפונקציה‪:‬‬ ‫‪b − x2‬‬ ‫א‪ .‬עבור גרף הפונקציה )‪ f (x‬מצא את‪:‬‬ ‫‪ .2‬נקודות הקיצון ואת סוגן‪.‬‬ ‫‪ .4‬תחומי העליה והירידה‪.‬‬ ‫‪ .1‬ערכם של ‪ a‬ו‪ b-‬ותחום ההגדרה‪.‬‬ ‫‪ .3‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬ ‫‪ .5‬האסימפטוטות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬שרטט את גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ג‪ .‬הגדירו פונקציה חדשה‪ . g ( x ) = f ( x ) :‬מצא את נקודות הקיצון של גרף ) ‪ g (x‬ואת סוגן‪.‬‬ ‫‪( x − 2) 3‬‬ ‫‪ .4‬נתונה הפונקציה‪:‬‬ ‫‪( x − 4) 4‬‬ ‫א‪ .‬עבור גרף הפונקציה )‪ f (x‬מצא את‪:‬‬ ‫= )‪. f ( x‬‬ ‫‪ .2‬נקודות הקיצון ואת סוגן‪.‬‬ ‫‪ .4‬תחומי העליה והירידה‪.‬‬ ‫‪ .1‬תחום ההגדרה‪.‬‬ ‫‪ .3‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬ ‫‪ .5‬האסימפטוטות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬שרטט את גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ג‪ .‬הישר ‪ y = k − 2‬חותך את גרף הפונקציה )‪ f (x‬בנקודה אחת‪ .‬חשב את היקף המעגל המשיק‬ ‫לישר ‪ x = k‬ולאסימפטוטה האנכית של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪80‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫‪ax 2 − 4 a‬‬ ‫‪ f ( x ) = 2‬נמצאת על הישר ‪. y = 4‬‬ ‫‪ .5‬נקודת הקיצון של גרף הפונקציה‪:‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫א‪ .‬עבור גרף הפונקציה )‪ f (x‬מצא את‪:‬‬ ‫‪ .2‬נקודות הקיצון ואת סוגן‪.‬‬ ‫‪ .4‬תחומי העליה והירידה‪.‬‬ ‫‪ .1‬הפרמטר ‪ a‬ותחום ההגדרה‪.‬‬ ‫‪ .3‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬ ‫‪ .5‬האסימפטוטות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬שרטט את גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ג‪ .‬מצא באילו תחומים מתקיים‪. f ' ( x) ⋅ f ( x) > 0 :‬‬ ‫‪x2 + a‬‬ ‫‪ f (x ) = b + 2‬נמצאת בראשית הצירים‪.‬‬ ‫‪ .6‬אחת מנקודות הקיצון של הפונקציה‪:‬‬ ‫‪x + x−2‬‬ ‫א‪ .‬עבור גרף הפונקציה )‪ f (x‬מצא את‪:‬‬ ‫‪ .1‬הפרמטרים ‪ a‬ו‪ b-‬ותחום ההגדרה‪ .2 .‬נקודות הקיצון ואת סוגן‪.‬‬ ‫‪ .4‬תחומי העליה והירידה‪.‬‬ ‫‪ .3‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬ ‫‪ .5‬האסימפטוטות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬שרטט את גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ג‪ .‬הגדירו פונקציה חדשה‪ . g ( x ) = f ( x ) + p :‬מצא את ‪ p‬שעבורו לגרף פונקציה ) ‪ g (x‬תהיה‬ ‫נקודת השקה אחת ויחידה לציר ה‪.x-‬‬ ‫‪x 2 + 2 xp + p 2‬‬ ‫‪ .7‬נתונה הפונקציה‪:‬‬ ‫‪x2 + 2 p2‬‬ ‫א‪ .‬עבור גרף הפונקציה )‪ f (x‬מצא את‪:‬‬ ‫= )‪ . (0 < p) f ( x‬בחקירה ניתן להשתמש בתשובות בפרמטר ‪.p‬‬ ‫‪ .2‬נקודות הקיצון ואת סוגן‪.‬‬ ‫‪ .4‬תחומי העליה והירידה‪.‬‬ ‫‪ .1‬תחום ההגדרה‪.‬‬ ‫‪ .3‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬ ‫‪ .5‬האסימפטוטות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬שרטט את גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ג‪ .‬שרטט את גרף הנגזרת )‪ f ' ( x‬ולפיו קבע כמה פתרונות יש למשוואה‪:‬‬ ‫‪. f ' ' ( x ) = 0 .1‬‬ ‫‪. f ' ' ' ( x ) = 0 .2‬‬ ‫‪4 x + 5a‬‬ ‫‪ .8‬נתונה הפונקציה‪:‬‬ ‫‪x2 − a2‬‬ ‫= )‪ . (0 < a ) f ( x‬בחקירה ניתן להשתמש בתשובות במידת הצורך‬ ‫בפרמטר ‪.a‬‬ ‫א‪ .‬עבור גרף הפונקציה )‪ f (x‬מצא את‪:‬‬ ‫‪ .2‬נקודות הקיצון ואת סוגן‪.‬‬ ‫‪ .1‬תחום ההגדרה‪.‬‬ ‫‪ .4‬תחומי העליה והירידה‪.‬‬ ‫‪ .3‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬ ‫‪ .5‬האסימפטוטות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬שרטט את גרף‪:‬‬ ‫‪ (2‬הנגזרת )‪. f ' ( x‬‬ ‫‪ (1‬הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ג‪ .‬הגרפים של הפונקציה )‪ f (x‬ושל הנגזרת )‪ f ' ( x‬חותכים את ציר ה‪ y-‬בנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬בהתאמה‪.‬‬ ‫מצא עבור אילו ערכי ‪ ,a‬הנקודה ‪ B‬תמצא בין ראשית הצירים לבין הנקודה ‪.A‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪81‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫‪x 2 − 5a 2‬‬ ‫‪ .9‬נתונה הפונקציה‪:‬‬ ‫‪(x2 − a 2 )2‬‬ ‫א‪ .‬עבור גרף הפונקציה )‪ f (x‬מצא את‪:‬‬ ‫= )‪ . (0 < a ) f ( x‬בחקירה ניתן להשתמש בתשובות בפרמטר ‪.a‬‬ ‫‪ .2‬נקודות הקיצון ואת סוגן‪.‬‬ ‫‪ .4‬האסימפטוטות‪.‬‬ ‫‪ .1‬תחום ההגדרה‪.‬‬ ‫‪ .3‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬שרטט את גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ג‪ .‬נתון‪ . h' ( x) = f ( x) :‬עבור גרף הפונקציה )‪: h(x‬‬ ‫‪ .1‬קבע האם יש לה אסימפטוטה אופקית‪.‬‬ ‫‪ .2‬שיפוע המשיק לגרף הפונקציה )‪ h(x‬בנקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה‪ y-‬הוא ‪.-80‬‬ ‫חשב את שטח המשולש שקודקודיו הם שלוש נקודות הקיצון של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪ .10‬גרף הפונקציה‪+ b :‬‬ ‫‪( x + a) 2‬‬ ‫א‪ .‬עבור גרף הפונקציה )‪ f (x‬מצא את‪:‬‬ ‫= )‪ f ( x‬משיק לישר ‪ y = −4‬ויש לו נקודת פיתול יחידה כאשר ‪. x = 3‬‬ ‫‪ .1‬הפרמטרים ‪ a‬ו‪ b-‬ותחום ההגדרה‪ .2 .‬נקודות הקיצון ואת סוגן‪.‬‬ ‫‪ .4‬האסימפטוטות‪.‬‬ ‫‪ .3‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬ ‫‪ .5‬תחומי הקעירות ‪ U‬והקעירות ‪. I‬‬ ‫ב‪ .‬שרטט את גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ג‪ .‬לגרף הפונקציה )‪ f (x‬יש שתי נקודות קיצון בקצות התחום ‪ . p ≤ x ≤ k‬אחת מנקודות הקיצון‬ ‫הללו נמצאת על ציר ה‪ x-‬והשניה על ציר ה‪ .y-‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ p‬ו‪.k-‬‬ ‫‪a − bx‬‬ ‫‪ .11‬נתונה הפונקציה‪:‬‬ ‫‪( x − 1) 2‬‬ ‫)‪ f ' ( x‬אשר חותך את הצירים בנקודות )‪ A (3,0‬ו‪. B (0,12) -‬‬ ‫א‪ .‬עבור גרף הפונקציה )‪ f (x‬מצא את‪:‬‬ ‫= )‪ . f ( x‬בשרטוט מופיע גרף הנגזרת‬ ‫‪ .1‬הפרמטרים ‪ a‬ו‪ b-‬ותחום ההגדרה‪.‬‬ ‫‪ .2‬נקודות הקיצון ואת סוגן‪.‬‬ ‫‪ .3‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬ ‫‪ .4‬האסימפטוטות‪.‬‬ ‫‪ .5‬תחומי העליה והירידה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬שרטט את גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ג‪ .‬היעזר בגרף הפונקציה )‪ f (x‬ומצא כמה פתרונות יש למשוואה‪. f ( x ) = f ( x ) + 2 :‬‬ ‫‪8bx‬‬ ‫‪ .12‬המכנה של הפונקציה‪:‬‬ ‫‪x − px + p‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= )‪ (0 < p) f ( x‬מתאפס עבור ערך ‪ x‬יחיד‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את ערכו של הפרמטר ‪.p‬‬ ‫ב‪ .‬נקודת הקיצון היחידה של גרף )‪ f (x‬נמצאת ברביע השלישי ומרחקה מראשית הצירים הוא‬ ‫‪ . 5‬מצא את ערכו של הפרמטר ‪.b‬‬ ‫ג‪ .‬עבור גרף הפונקציה )‪ f (x‬מצא את‪:‬‬ ‫‪ .2‬נקודות הקיצון ואת סוגן‪.‬‬ ‫‪ .1‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬ ‫‪ .4‬האסימפטוטות‪.‬‬ ‫‪ .3‬תחומי העליה והירידה‪.‬‬ ‫ד‪ .‬שרטט את גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ה‪ .‬הגדירו פונקציה חדשה‪ . g ( x) = f ( x) ⋅ f ' ( x) :‬שרטט את גרף הפונקציה )‪. g (x‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪82‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫)‪k ( x + 2‬‬ ‫‪ .13‬שיפוע המשיק לגרף הפונקציה‪+ n − 2 :‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫האסימפטוטות של גרף הפונקציה )‪ f (x‬נחתכות בראשית הצירים‪.‬‬ ‫= )‪ f ( x‬בנקודת הפיתול שלה הוא ‪.-0.25‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫מצא את ערכם של הפרמטרים ‪ n‬ו‪.k-‬‬ ‫עבור גרף הפונקציה )‪ f (x‬מצא את‪:‬‬ ‫‪ .2‬נקודות הקיצון ואת סוגן‪.‬‬ ‫‪ .1‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬ ‫‪ .3‬תחומי הקעירות ‪ U‬והקעירות ‪. I‬‬ ‫שרטט את גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫בתחום ‪ − 6 ≤ x ≤ m‬לגרף הפונקציה )‪ f (x‬יש שתי נקודות מקסימום מוחלט‪ .‬חשב את המרחק‬ ‫ביניהן‪.‬‬ ‫‪( x + a) 2‬‬ ‫‪. (0 < a ) f ( x ) = 2‬‬ ‫‪ .14‬נתונה הפונקציה‪:‬‬ ‫‪x +a‬‬ ‫א‪ .‬הוכח שנקודת החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f (x‬עם ציר‬ ‫ה‪ y-‬נמצאת על הישר המחבר בין שתי נקודות הקיצון‬ ‫שלה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נתון גרף הנגזרת )‪ . f ' ( x‬נקודות החיתוך של הגרף עם‬ ‫הצירים יוצרות משולש ששטחו ‪ 2‬יח"ר‪ .‬מצא את ערכו של הפרמטר ‪.a‬‬ ‫‪x 2 − mx + 70‬‬ ‫‪ .15‬המכנה של הפונקציה‪:‬‬ ‫‪x 2 − nx + 14‬‬ ‫היחידה שלו היא ‪. x = 2‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫= )‪ f ( x‬מתאפס בשתי נקודות שונות אך האסימפטוטה‬ ‫מצא את ערכי הפרמטרים ‪ m‬ו‪ n-‬ותחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬ ‫הוכח שגרף הפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה‪.‬‬ ‫עבור גרף הפונקציה )‪ f (x‬מצא את‪:‬‬ ‫‪ (2‬האסימפטוטות‪.‬‬ ‫‪ (1‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬ ‫שרטט את גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫הישר ‪ y = k‬מרוחק במידה שווה מהאסימפטוטה האופקית של הפונקציה )‪ f (x‬ומנקודת‬ ‫החיתוך שלה עם ציר ה‪ .y-‬הישר ‪ (2 < p) x = p‬אינו חותך את גרף הפונקציה )‪ . f (x‬הישרים‬ ‫‪ y = k‬ו‪ x = p -‬נחתכים בנקודה ‪ .A‬מהנקודה ‪ A‬יוצא ישר המשיק לגרף )‪ f (x‬בנקודה ‪ B‬ברביע‬ ‫הרביעי‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.B‬‬ ‫פתרונות‪:‬‬ ‫‪ (1‬א‪. Max  − 6, 1  , Min 6,− 1  (2 . x ≠ 0 (1 .‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. ( −3.46, 0 ) , ( 3.46, 0 ) (3‬‬ ‫‪ (4‬עולה‪ 6 < x :‬או ‪ ; x < −6‬יורדת‪ 0 < x < 6 :‬או ‪. −6 < x < 0‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪ . x = 0 , y = 0 (5‬ב‪ .‬השרטוט משמאל‪ .‬ג‪.‬‬ ‫‪9 9‬‬ ‫‪. k = 0, − ,‬‬ ‫‪ (2‬א‪ , a = 6 (1 .‬תחום ההגדרה‪. Min (18,36 ) , Max (2,4 ) (2 . x ≠ 10 :‬‬ ‫‪ (4 .(-6, 0) ,(0, 3.6) ,(6, 0) (3‬עולה‪ 18 < x :‬או ‪; x < 2‬‬ ‫יורדת ‪ 2 < x < 10‬או ‪ . x = 10 (5 . 10 < x < 18‬ב‪ .‬השרטוט משמאל‪.‬‬ ‫ג‪. p = ±4 .‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪83‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫‪ (3‬א‪ , b = 36 , a = 2 (1 .‬תחום ההגדרה‪. Min ( 2, 0.25 ) , Max (18, 0.02 ) (2 . x ≠ ±6 :‬‬ ‫‪ (4 .(0,0.27) ,(10,0) (3‬עולה ‪ 6 < x < 18 :‬או ‪; 2 < x < 6‬‬ ‫‪. x = − 6 , x = 6 , y = 0 (5‬‬ ‫יורדת‪ x > 18 :‬או ‪ −6 < x < 2‬או ‪. x < −6‬‬ ‫ב‪ .‬השרטוט משמאל‪ .‬ג‪. Min ( 2, 0.25 ) , Min (10,0 ) , Max (18, 0.02 ) .‬‬ ‫‪ (4‬א‪ . Min (− 4,−0.05 ) (2 . x ≠ 4 (1 .‬הנקודה )‪ (2,0‬היא נקודת פיתול‪.‬‬ ‫‪ (4 . (2,0), (0,−0.03) (3‬עולה‪ 2 < x < 4 :‬או ‪ ; − 4 < x < 2‬יורדת‪ 4 < x :‬או‬ ‫‪ . x = 4 , y = 0 (5 . x < −4‬ב‪ .‬השרטוט משמאל‪ .‬ג‪ .‬היקפו ‪ 6.28 = 2π‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪ (5‬א‪ , a = 1 (1 .‬תחום ההגדרה‪.(-2,0) ,(2,0) ,(0,4) (3 . Min ( 0, 4 ) (2 . x ≠ ±1 :‬‬ ‫‪ (4‬עולה‪ 1 < x :‬או ‪ ; 0 < x < 1‬יורדת‪ −1 < x < 0 :‬או ‪. x < −1‬‬ ‫‪ . x = −1, x = 1, y = 1 (5‬ב‪ .‬השרטוט משמאל‪.‬‬ ‫ג‪ 2 < x .‬או ‪ 0 < x < 1‬או ‪. − 2 < x < −1‬‬ ‫‪ (6‬א‪ , b = 0 , a = 0 (1 .‬תחום ההגדרה‪. Max ( 0, 0 ) , Min ( 4,0.88) (2 . x ≠ −2,1 :‬‬ ‫‪ (4 .(0,0) (3‬עולה‪ 4 < x :‬או ‪ − 2 < x < 0‬או ‪ ; x < −2‬יורדת‪ 1 < x < 4 :‬או‬ ‫‪ . x = −2, x = 1, y = 1 (5 . 0 < x < 1‬ב‪ .‬השרטוט משמאל‪ .‬ג‪. p = 0,−0.88 .‬‬ ‫‪ (7‬א‪ (1 .‬כל ‪. (− p,0), (0,0.5) (3 . Min(− p,0), Max(2 p,1.5) (2 .x‬‬ ‫‪ (4‬עליה‪ , − p < x < 2 p :‬ירידה‪ x > 2 p :‬או ‪. x < − p‬‬ ‫‪ . y = 1 (5‬ב‪ .‬השרטוט העליון‪ .‬ג‪ .‬השרטוט התחתון‪ (1 .‬שלושה פתרונות‪.‬‬ ‫ג‪ (2 .‬ארבעה פתרונות‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ (8‬א‪. Min(−2a,− ), Max( − ,− ) (2 . x ≠ ± a (1 .‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ (4 . (− 5a ,0), (0,− 5 ) (3‬עליה‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ − a < x < −‬או‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ , − 2a < x < −a‬ירידה‪ x < −2a :‬או ‪< x < a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫או ‪ . x = ± a, y = 0 (5 . x > a‬ב‪ (1 .‬השרטוט‬ ‫הימני‪ (2 .‬השרטוט השמאלי‪ .‬ג‪. 0.8 < a .‬‬ ‫‪ (9‬א‪. Max(−3a, 1 2 ), Max(0,− 52 ), Max(3a, 1 2 ) (2 . x ≠ ± a (1 .‬‬ ‫‪16a‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪), ( −a 5 ,0), ( a 5 ,0) (3‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪16a‬‬ ‫‪. x = ± a, y = 0 (4 . (0,−‬‬ ‫ב‪ .‬השרטוט משמאל‪ .‬ג‪ (1 .‬יש אסימפטוטה אופקית‪ 60.75 (2 .‬יח"ר‪.‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪84‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫‪ (10‬א‪ . b = −4 , a = 6 (1 .‬תחום ההגדרה‪. Min(0,−4) (2 . x ≠ −6 :‬‬ ‫‪. y = − 3 , x = − 6 (4‬‬ ‫‪. (0,−4), (−4, 0), (−12,0) (3‬‬ ‫‪ (5‬הקעירות ‪ − 6 < x < 3 : U‬או ‪. x < −6‬‬ ‫הקעירות ‪ . 3 < x : I‬ב‪ .‬השרטוט משמאל‪.‬‬ ‫ג‪ p = −4 , k = 0 .‬או ‪. p = −12‬‬ ‫‪ (11‬א‪ . b = 4 , a = 8 (1 .‬תחום ההגדרה‪. Min(3,−1) (2 . x ≠ 1 :‬‬ ‫‪ (5 . y = 0 , x = 1 (4 . (0,8), (2,0) (3‬עולה‪ 3 < x :‬או ‪. x < 1‬‬ ‫יורדת‪ . 1 < x < 3 :‬ב‪ .‬השרטוט משמאל‪ .‬ג‪ .‬שלושה‪.‬‬ ‫‪ (12‬א‪ . p = 4 .‬ב‪ . b = 1 .‬ג‪. Min(− 2,−1) (2 . (0,0) (1 .‬‬ ‫יורדת‪ 2 < x :‬או ‪ . y = 0, x = 2 (4 . x < −2‬ד‪ .‬השרטוט הימני‪ .‬ה‪ .‬השרטוט השמאלי‪.‬‬ ‫‪ (3‬עולה‪. − 2 < x < 2 :‬‬ ‫‪ (13‬א‪ . n = 2 , k = 27 .‬ב‪. Min(− 4,−3.375) (2 . (−2,0) (1 .‬‬ ‫‪ (3‬קעירות ‪ 0 < x : U‬או ‪ . − 6 < x < 0‬קעירות ‪. x < −6 : I‬‬ ‫ג‪ .‬השרטוט משמאל‪ .‬ד‪ 3 .‬יח' אורך‪.‬‬ ‫‪ (14‬ב‪. a = 1 .‬‬ ‫‪ (15‬א‪ . n = 9 , m = 17 .‬תחום ההגדרה‪ . x ≠ 2, 7 :‬ג‪. (10,0), (0,5) (1 .‬‬ ‫‪ . y = 1, x = 2 (2‬ד‪ .‬השרטוט משמאל ‪ .‬ה‪. B (4, − 3) .‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪85‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫חקירת מנה ‪ -‬סעיפי חקירה מיוחדים‬ ‫שימו לב!‬ ‫מטרתו של עמוד זה היא תרגול יסודי בסוגים שונים של סעיפי חשיבה המתלווים לחקירת הפונקציה‪ .‬לאחר‬ ‫חקירת הפונקציה בסעיפים א'‪-‬ה' הסטנדרטיים‪ ,‬תופיע סדרה ארוכה של סעיפי חשיבה המתייחסים‬ ‫לחקירה שבוצעה‪ .‬מרבית הסעיפים נפתרים תוך שימוש והבנה של גרף הפונקציה )‪ f (x‬שכבר שרטטנו‪,‬‬ ‫ואינם דורשים חישובים מורכבים ויוצאי דופן כפי שנראה במבט ראשון‪.‬‬ ‫‪( x + a) 2 1‬‬ ‫חקור את הפונקציה‪− :‬‬ ‫‪ f ( x) = 2‬לפי הסעיפים )השתמש בפרמטר החיובי ‪ a‬במידת הצורך‬ ‫‪x + 2a 2 2‬‬ ‫בתשובות(‪:‬‬ ‫ב( נקודות חיתוך עם הצירים‪.‬‬ ‫א( תחום הגדרה‪.‬‬ ‫ד( נקודת קיצון וסוגן‪.‬‬ ‫ג( אסימפטוטות מקבילות לצירים‪.‬‬ ‫ה( שרטוט סקיצות נפרדות של גרף הפונקציה )‪ f (x‬ושל גרף הנגזרת )‪. f ' ( x‬‬ ‫ו( מצא לאילו ערכי ‪ x‬מתקיים‪. f ( x) ⋅ f ' ( x) > 0 :‬‬ ‫ז( השתמש בסעיפי החקירה ופתור את הסעיפים הבאים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ (1‬כמה פתרונות למשוואה‬ ‫‪4‬‬ ‫= )‪. f ( x‬‬ ‫‪ (2‬כמה פתרונות למשוואה )‪. f 2 ( x) = f ( x‬‬ ‫‪ (3‬חשב את הערך המקסימלי של הביטוי‪. f ( x1 ) − f ( x2 ) :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ (4‬הוכח את אי השוויון‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪≤1‬‬ ‫‪(x + 5)2‬‬ ‫‪x + 50‬‬ ‫‪2‬‬ ‫≤ ‪.0‬‬ ‫מגדירים פונקציה חדשה‪. g ( x) = f ( x) :‬‬ ‫‪ (5‬מצא כמה נקודות קיצון יש לפונקציה )‪. g (x‬‬ ‫‪ (6‬מצא לאילו ערכי ‪ ,k‬הישר ‪ y = k‬חותך את גרף )‪ g (x‬בשתי נקודות בלבד‪.‬‬ ‫‪ (7‬חשב את הערך המקסימלי של הביטוי‪. g ( x1 ) − g ( x2 ) :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫מגדירים פונקציה חדשה‪:‬‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫= )‪. h( x‬מצא את‪:‬‬ ‫‪ (8‬האסימפטוטות האנכיות של גרף )‪. h(x‬‬ ‫‪ (9‬שיעורי ה‪ x-‬של נקודות הקיצון של )‪. h(x‬‬ ‫מגדירים פונקציה חדשה )‪ . k ( x) = f ( x‬מצא את‪:‬‬ ‫‪ (11‬ערך המקסימום המוחלט של הפונקציה )‪. k (x‬‬ ‫‪ (10‬תחום ההגדרה של הפונקציה )‪. k (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫פתרונות‪ :‬א( כל ‪ .x‬ב( )‪ . (−4a,0), (0,0‬ג(‬ ‫‪2‬‬ ‫ה( גרף )‪: f (x‬‬ ‫= ‪ . y‬ד( )‪. Min − a,− 1 , Max(2a,1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫גרף הנגזרת )‪: f ' ( x‬‬ ‫ו( ‪ 0 < x < 2a‬או ‪ . − 4a < x < −a‬ז( ‪ (1‬שניים‪ (2 .‬שלושה‪ (5 .1.5 (3 .‬ארבע‪ k = 0 (6 .‬או ‪. 0.5 ≤ k < 1‬‬ ‫‪ x ≥ 0 (10 . x = 2a, x = −a (9 . x = −4a, x = 0 (8 .1 (7‬או ‪.1 (11 . x ≤ −4a‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪86‬‬