‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫שאלון ‪ - 804‬מבחן ‪1‬‬ ‫פרק ראשון ‪ -‬אלגברה והסתברות )‪ 40‬נק'(‬ ‫ענה על שתיים מהשאלות ‪) 1-3‬לכל שאלה ‪ 20‬נק'(‬ ‫‪ .1‬היישובים ‪ B ,A‬ו‪ C-‬יוצרים משולש ישר זוית כמתואר בשרטוט‪ .‬דני יצא בשעה ‪8:00‬‬ ‫להליכה מהיישוב ‪ B‬ליישוב ‪ .A‬יואל יצא בשעה ‪ 10:00‬להליכה מהיישוב ‪ B‬ליישוב ‪.C‬‬ ‫בשעה ‪ ,14:00‬טרם הגיעו השניים ליעדם והמרחק ביניהם היה ‪ 20‬ק"מ‪ .‬המרחק שדני‬ ‫עבר עד השעה ‪ 11:00‬היה גדול פי ‪ 1.5‬מהמרחק שעבר יואל עד שעה זו‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את המהירויות של דני ושל יואל‪.‬‬ ‫ב‪ .‬בשעה ‪ 14:00‬הסתובב יואל והחל לחזור לנקודה ‪ .B‬ברגע שהגיע לנקודה‬ ‫‪ ,B‬דני הגיע לנקודה ‪ .A‬מצא את המרחק בין הנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬ ‫‪ .2‬בשרטוט מופיעים שני מעגלים שמרכזיהם ‪ O1‬ו‪ O2 -‬המשיקים זה‬ ‫לזה בנקודה )‪ . C (9,8‬המעגלים משיקים לצירים בנקודות ‪ A‬ו‪B-‬‬ ‫כמתואר בשרטוט‪ .‬היקף המעגל שמרכזו ‪ O1‬הוא ‪ 10π‬יח' אורך‬ ‫ושטח המעגל שמרכזו ‪ O2‬הוא ‪ 25π‬יח"ר‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את משוואות המעגלים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬דרך הנקודה ‪ ,C‬עובר משיק משותף לשני המעגלים‪ .‬המשיק‬ ‫חותך את שני הצירים‪ .‬חשב את שטח המשולש שקודקודיו הם‬ ‫נקודות חיתוך אלו וראשית הצירים‪.‬‬ ‫‪ .3‬נתונות שתי חביות‪ .‬בחבית א' יש שני כדורים שחורים וארבעה כדורים לבנים‪ .‬בחבית ב' יש שלושה‬ ‫כדורים שחורים ושני כדורים לבנים‪ .‬מטילים מטבע לא מאוזן‪ ,‬שבו ההסתברות לקבל עץ גבוהה ב‪0.2-‬‬ ‫מההסתברות לקבל פלי‪ .‬אם יוצא עץ‪ ,‬מוציאים שני כדורים ללא החזרה מחבית א'‪ .‬אם יוצא פלי‪,‬‬ ‫מוציאים שני כדורים ללא החזרה מחבית ב'‪.‬‬ ‫א‪ .‬חשב את ההסתברות להוציא שני כדורים בעלי אותו צבע‪.‬‬ ‫ב‪ .‬ידוע שהוצאו שני כדורים בצבעים שונים‪ .‬חשב את ההסתברות שנבחרה חבית ב'‪.‬‬ ‫ג‪ .‬חוזרים שבע פעמים על התהליך שתואר בתחילת השאלה‪ .‬חשב את ההסתברות שרק בחמש מתוכן‬ ‫יצאו שני כדורים באותו צבע‪.‬‬ ‫פרק שני ‪ -‬גיאומטריה וטריגונומטריה במישור )‪ 20‬נק'(‬ ‫ענה על אחת מהשאלות מהשאלות ‪) 4-5‬לכל שאלה ‪ 20‬נק'(‬ ‫‪ .4‬בריבוע ‪ ABCD‬שצלעו ‪ .a‬הישר ‪ AG‬חותך את האלכסון ‪ BD‬בנקודה ‪.F‬‬ ‫נתון‪ F :‬אמצע ‪ .DO‬במשולש ‪ ∆CDO‬נתון‪.EF||CD :‬‬ ‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את אורכי הצלעות ‪ FE‬ו‪.CG -‬‬ ‫ב‪ .‬נתון ששטח הטרפז ‪ CEFG‬הוא ‪ 21‬סמ"ר‪ .‬חשב את ערכו של ‪.a‬‬ ‫ג‪ .‬נתון שהנקודה ‪ k‬היא אמצע ‪ .BO‬הוכח‪ KFGC :‬טרפז‪.‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬ ‫עמוד ‪108‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬ ‫‪ .5‬המרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל‪.‬‬ ‫נתון‪.CD= 5a ,AD= 7a ,BC= 4a ,AB= 6a :‬‬ ‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את אורך האלכסון ‪.BD‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את גודל הזוית ‪. p BAD‬‬ ‫ג‪ .‬נתון‪ :‬שטח המעגל ‪ 56‬סמ"ר‪ .‬מצא את ערכו של הפרמטר ‪.a‬‬ ‫פרק שלישי ‪ -‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪ ,‬פונקציות שורש‬ ‫ופונקציות רציונליות )‪ 40‬נק'(‬ ‫ענה על שתיים מהשאלות ‪) 6-8‬לכל שאלה ‪ 20‬נק'(‬ ‫‪ .6‬נתונה הפונקציה‪. f ( x ) = x ⋅ 12 x − x 2 :‬‬ ‫א‪ .‬עבור גרף הפונקציה )‪ f (x‬מצא את‪:‬‬ ‫‪ .2‬נקודות הקיצון וסוגן‪ ,‬במידה וקיימות‪.‬‬ ‫‪ .1‬תחום ההגדרה‪.‬‬ ‫‪ .4‬תחומי העליה והירידה‪.‬‬ ‫‪ .3‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬שרטט את גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ג‪ .‬למשוואה ‪ f ( x ) = b‬יש פתרון אחד‪ .‬מצא את ערכו של הפרמטר ‪.b‬‬ ‫‪ .7‬סכומם של שלושה מספרים חיוביים הוא ‪ .48‬המספר הראשון והשני שווים‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את המספר הראשון‪ ,‬שעבורו מכפלת המספר הראשון בריבועו של המספר השני ובמספר‬ ‫השלישי ‪ -‬תהיה מקסימלית‪.‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את המכפלה המקסימלית‪.‬‬ ‫‪ax 2 − 4‬‬ ‫‪ .8‬שתי האסימפטוטות של הפונקציה‪:‬‬ ‫‪x2 + b2‬‬ ‫א‪ .‬עבור גרף הפונקציה )‪ f (x‬מצא את‪:‬‬ ‫= ) ‪ f ( x‬נחתכות בנקודה )‪. (0,1‬‬ ‫‪ .2‬נקודות הקיצון וסוגן‪ ,‬במידה וקיימות‪.‬‬ ‫‪ .4‬תחומי העליה והירידה‪.‬‬ ‫‪ .1‬ערכם של ‪ a‬ו‪ b-‬ותחום ההגדרה‪.‬‬ ‫‪ .3‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬ ‫‪ .5‬האסימפטוטות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬שרטט את גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ג‪ .‬חשב את השטח הכלוא ברביע הראשון בין גרף הפונקציה )‪ f (x‬לבין ציר ה‪ x-‬והישר ‪. x = 3‬‬ ‫)הדרכה‪ :‬פרק את הביטוי של הפונקציה לשני שברים נפרדים וצמצם(‪.‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬ ‫עמוד ‪109‬‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫פתרונות‪:‬‬ ‫‪ (1‬א‪ .‬דני‪ 2 :‬קמ"ש‪ .‬יואל‪ 4 :‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 20 .‬ק"מ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (2‬א‪ . ( x − 13) + ( y − 5) 2 = 25 : O2 , ( x − 5) 2 + ( y − 11) 2 = 25 : O1 .‬ב‪ 6 .‬יח"ר‪.‬‬ ‫‪ (3‬א‪ .0.44 .‬ב‪ . 3 .‬ג‪.0.1086 .‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪ (4‬א‪ . CG = , FE = a .‬ב‪ 12 .‬ס"מ = ‪. a‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (5‬א‪ .7.43a .‬ב‪ .69.21° .‬ג‪ 1.062 .‬ס"מ = ‪. a‬‬ ‫‪ (6‬א‪ .2 . 0 ≤ x ≤ 12 .1 .‬פנימית‪ , max (9,46.77) :‬קצה‪. min (0,0) , min (12,0) :‬‬ ‫‪ .4 . (0,0), (12,0) .3‬עולה‪ ; 0 < x < 9 :‬יורדת‪. 9 < x < 12 :‬‬ ‫ב‪ .‬השרטוט משמאל‪ .‬ג‪. b = 46.77 .‬‬ ‫‪ (7‬א‪ .18 .‬ב‪ .‬המכפלה‪.69,984 :‬‬ ‫‪ (8‬א‪ . a = 1, b = 0 (1 .‬תחום ההגדרה‪ (2 . x ≠ 0 :‬אין‪. (− 2,0 ), (2,0 ) (3 .‬‬ ‫‪ (4‬עליה‪ . 0 < x :‬ירידה‪ . y = 1 , x = 0 (5 . x < 0 :‬ב‪ .‬השרטוט משמאל‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ג‪ .‬יח"ר‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬ ‫עמוד ‪110‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬ ‫פתרון מלא ‪ -‬מבחן ‪1‬‬ ‫עד השעה‬ ‫‪14:00‬‬ ‫שאלה ‪:1‬‬ ‫א‪ .‬נמלא את הנתונים הראשונים בטבלה‪:‬‬ ‫נסמן את מהירותו של דני ב‪ x-‬ואת מהירותו של יואל ב‪.y-‬‬ ‫דני צעד משעה ‪ 08:00‬ועד ‪ :14:00‬בסה"כ ‪ 6‬שעות‪.‬‬ ‫יואל צעד משעה ‪ 10:00‬ועד ‪ :14:00‬בסה"כ ‪ 4‬שעות‪.‬‬ ‫מהירות זמן דרך‬ ‫דני‬ ‫‪x‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6x‬‬ ‫יואל‬ ‫‪y‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4y‬‬ ‫כעת ניעזר בשרטוט‪:‬‬ ‫דני צעד לכיוון ‪ A‬מרחק של ‪ 6x‬ק"מ‪.‬‬ ‫יואל צעד לכיוון ‪ C‬מרחק של ‪ 4 y‬ק"מ‪.‬‬ ‫בשעה ‪ 14:00‬המרחק ביניהם היה ‪ 20‬ק"מ‪ ,‬ולכן על פי משפט פיתגורס‪:‬‬ ‫‪(6x)2 + (4 y)2 = 202 → (I ) 36 x 2 + 16 y 2 = 400‬‬ ‫יואל‬ ‫‪20‬‬ ‫דני‬ ‫עד השעה‬ ‫‪11:00‬‬ ‫נמלא את הנתון הנוסף בטבלה‪:‬‬ ‫עד השעה ‪ 11:00‬דני צעד במשך ‪ 3‬שעות‪ ,‬ואילו יואל צעד במשך שעה אחת‪.‬‬ ‫לפי הנתון‪ ,‬המרחק שעבר דני היה גדול פי ‪ 1.5‬מהמרחק שעבר יואל ולכן‪:‬‬ ‫‪3x = 1.5 y → (II ) y = 2 x‬‬ ‫‪6x‬‬ ‫מהירות זמן דרך‬ ‫דני‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫יואל‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫נציב את משוואה ‪ II‬במשוואה ‪ I‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪= 400 → 36 x + 64 x = 400 → 100 x = 400 → x = 4 → x = 2‬‬ ‫פסלנו את הפתרון ‪ x = −2‬מכיוון שאין מהירויות שליליות‪.‬‬ ‫קיבלנו כי מהירותו של דני היא ‪ 2‬קמ"ש ואילו על פי משוואה ‪ II‬מהירותו של יואל היא ‪ 4‬קמ"ש‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪36 x + 16 ⋅ (2 x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ב‪ .‬נתבונן תחילה ביואל‪ .‬בשעה ‪ 14:00‬יואל מתחיל לחזור אל הנקודה ‪ B‬באותה המהירות בה צעד קודם‪ .‬ומכאן‬ ‫שמשך חזרתו לנקודה ‪ B‬שווה למשך הליכתו בהלוך‪ 4 :‬שעות‪.‬‬ ‫לעומתו‪ ,‬דני ממשיך לצעוד לכיוון הנקודה ‪ A‬במהירות קבועה‪ .‬בדיוק ברגע בו יואל הגיע בחזרה לנקודה ‪ ,B‬דני הגיע‬ ‫לנקודה ‪ .A‬כלומר דני צעד ‪ 4‬שעות )החל מהשעה ‪ (14:00‬בנוסף לזמן הליכתו בחלק א'‪.‬‬ ‫בסה"כ צעד דני ‪ 6 + 4 = 10‬שעות‪ ,‬במהירות קבועה של ‪ 2‬קמ"ש‪ ,‬ומכאן שהמרחק בין ‪ B‬ל‪ A-‬הוא‪:‬‬ ‫‪ 20‬ק"מ = ‪10 ⋅ 2‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬ ‫עמוד ‪111‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬ ‫שאלה ‪:2‬‬ ‫א‪ .‬היקף המעגל ‪ O1‬הוא ‪ . 10π‬נזכור שנוסחת היקף מעגל היא‪:‬‬ ‫‪ . P = 2π r‬נוכל לחשב את אורכו של רדיוס המעגל‪:‬‬ ‫) ‪(5, y A‬‬ ‫‪2π ⋅ r = 10π → 2r = 10 → r = 5‬‬ ‫שטח המעגל ‪ O2‬הוא ‪ . 25π 2‬נזכור שנוסחת שטח מעגל היא‪:‬‬ ‫‪ . S = π r 2‬נוכל לחשב את אורכו של רדיוס המעגל‪:‬‬ ‫‪π ⋅ r 2 = 25π → r 2 = 25 → r = 5‬‬ ‫המעגל ‪ O1‬משיק לציר ה‪ ,y-‬ולכן הרדיוס ‪ O1 A‬מאונך לציר ה‪y -‬‬ ‫)‪C (9, 8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪(x B ,5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ומקביל לציר ה‪) x-‬רדיוס ומשיק מאונכים בנקודת ההשקה(‪ .‬לכן‪:‬‬ ‫שיעור ה‪ x-‬של מרכז המעגל שווה לאורך רדיוס המעגל )‪ 5‬יח' אורך(‪.‬‬ ‫שיעור ה‪ y-‬של מרכז המעגל שווה לשיעור ה‪ y-‬של הנקודה ‪.A‬‬ ‫לסיכום‪ ,‬נסמן את מרכז המעגל‪. O1 (5, y A ) :‬‬ ‫מעגל ‪ O2‬משיק לציר ה‪ ,x-‬ולכן הרדיוס ‪ O2 B‬מקביל לציר ה‪) y-‬רדיוס ומשיק מאונכים בנקודת ההשקה(‪.‬‬ ‫לכן‪ ,‬שיעור ה‪ y-‬של מרכז המעגל שווה לאורך רדיוס המעגל )‪ 5‬יח'( ושיעור ה‪ x-‬של מרכז המעגל שווה לשיעור ה‪ x-‬של‬ ‫הנקודה ‪ .B‬לסיכום‪ ,‬נסמן את מרכז המעגל‪. O2 ( x B ,5) :‬‬ ‫כידוע‪ ,‬הישר המחבר את מרכזי שני מעגלים משיקים )קטע המרכזים(‪ ,‬עובר דרך נקודת ההשקה שלהם‪ ,‬ולכן הישר‬ ‫‪ O1O2‬עובר דרך הנקודה )‪. C (9,8‬‬ ‫כפי שראינו אורכי הרדיוסים של שני המעגלים שווים זה לזה‪ ,‬ומכאן שהנקודה )‪ C (9,8‬היא אמצע הקטע ‪. O1O2‬‬ ‫ניעזר בנוסחה לאמצע הקטע ונקבל‪:‬‬ ‫‪xO + xO2‬‬ ‫‪5 + xB‬‬ ‫‪xC = 1‬‬ ‫=‪→9‬‬ ‫‪→ 18 = 5 + x B → xB = 13‬‬ ‫עבור שיעור ה‪:x-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y O + y O2‬‬ ‫‪y +5‬‬ ‫‪yC = 1‬‬ ‫‪→8= A‬‬ ‫‪→ 16 = y A + 5 → y A = 11‬‬ ‫עבור שיעור ה‪:y-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מכאן ששיעורי מרכז המעגל ‪ O1‬הם‪ O1 (5,11) :‬ומשוואת המעגל ‪ O1‬היא‪. ( x − 5) + ( y − 11) = 25 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ואילו שיעורי מרכז המעגל ‪ O2‬הם‪ O2 (13,5) :‬ומשוואת המעגל ‪ O2‬היא‪. ( x − 13) + ( y − 5) = 25 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ב‪ .‬תחילה נמצא את משוואת המשיק המשותף‪ .‬כידוע רדיוס ומשיק מאונכים בנקודת ההשקה‪ ,‬ולכן שיפוע המשיק‬ ‫‪11 − 5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪. mO1O2‬‬ ‫‪=− =−‬‬ ‫הופכי ונגדי לשיפוע ‪ . O1O2‬נחשב את שיפוע הקטע ‪: O1O2‬‬ ‫‪5 − 13‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫מכאן ששיפוע המשיק המשותף הוא‪ m = :‬והמשיק עובר בנקודה )‪. C (9,8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪y − 8 = (x − 9) → y = x − 4‬‬ ‫נמצא את משוואת המשיק באמצעות הנוסחה לקו ישר‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫נציב ‪ x=0‬ונמצא את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה‪. (0,−4) :y-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪x − 4 → 0 = 4 x − 12 → x = 3 → (3,0‬‬ ‫נציב ‪ y=0‬ונמצא את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה‪:x-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4⋅3‬‬ ‫= ‪.S‬‬ ‫לבסוף נחשב את שטח המשולש הנוצר ברביע הרביעי‪ 6 :‬יח"ר =‬ ‫‪2‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬ ‫עמוד ‪112‬‬ ‫=‪0‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬ ‫שאלה ‪:3‬‬ ‫א‪ .‬תחילה נחשב את הסתברויות תוצאות המטבע הלא מאוזן‪ .‬נסמן את ההסתברות לקבל פלי באמצעות ‪ . p‬לפי‬ ‫הנתון‪ ,‬ההסתברות לקבל עץ גבוהה ב‪ 0.2-‬ולכן היא‪ . p + 0.2 :‬נשים לב כי האירועים לקבל עץ ופלי בהטלת מטבע‬ ‫הם אירועים משלימים )כי אין תוצאות אפשריות נוספות להטלת המטבע(‪ ,‬ולכן סכום הסתברויותיהם הוא ‪:1‬‬ ‫‪p + p + 0 .2 = 1 → p = 0 .4‬‬ ‫כלומר‪ ,‬במטבע הלא מאוזן‪ ,‬ההסתברות לקבל פלי היא ‪ 0.4‬וההסתברות לקבל עץ היא ‪.0.6‬‬ ‫כעת נוכל להשלים את עץ ההסתברויות‪:‬‬ ‫ההסתברות לבחור בחבית א' זהה להסתברות לקבל עץ‪ .0.6 :‬באופן דומה‪ ,‬ההסתברות לבחור בחבית ב' היא‪.0.4 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫בחבית א' ‪ 6‬כדורים‪ 2 :‬כדורים שחורים ו‪ 4-‬לבנים‪ .‬לכן ההסתברות להוציא כדור שחור בהוצאה הראשונה היא‪, :‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫וההסתברות להוציא כדור לבן היא‪ . :‬במידה והוצאנו כדור שחור‪ ,‬הרי שנותרו בחבית ‪ 5‬כדורים‪ 1 :‬שחור ו‪4-‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫לבנים‪ .‬לכן ההסתברות להוציא כדור שחור נוסף היא‪ :‬וההסתברות להוציא כדור לבן היא‪ . :‬באופן זה נמלא‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫את כל עץ ההסתברויות‪:‬‬ ‫הטלת מטבע‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫חבית ב'‬ ‫חבית א'‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫שחור‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫שחור‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫לבן‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫לבן‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫שחור‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫לבן‬ ‫שחור‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫לבן‬ ‫שחור‬ ‫לבן‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫שחור‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫לבן‬ ‫כעת נבחר בכל הענפים הכוללים שתי הוצאות כדורים באותו הצבע )הענפים המודגשים(‪ .‬נזכור כי כאשר "יורדים"‬ ‫מענף לענף בעץ‪ ,‬כופלים את ההסתברויות‪ .‬כשמצרפים אפשרויות בין ענפים מימין לשמאל מחברים את‬ ‫‪ ‬שני כדורים ‪‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪  = 0.6 ⋅ ⋅ + 0.6 ⋅ ⋅ + 0.4 ⋅ ⋅ + 0.4 ⋅ ⋅ = 0.44‬באותו הצבע‪P‬‬ ‫ההסתברויות‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ב‪ .‬זוהי שאלת הסתברות מותנית‪ .‬הסתברות מותנית מוגדרת כך‪( B ) = P(PA(∩B )B ) :‬‬ ‫‪PA‬‬ ‫כלומר‪ ,‬הסתברות להתרחשותו של מאורע ‪ A‬כאשר ידוע כי ‪ B‬כבר התרחש‪ ,‬היא החיתוך ) ‪ P( A ∩ B‬חלקי‬ ‫הסתברות האירוע שהתרחש ) ‪. P(B‬‬ ‫במילים פשוטות יותר‪ ,‬הנתון החדש מצמצם למעשה את "עולם האפשרויות" שלנו ומגביל אותנו לבחור רק בענפים‬ ‫בעץ המייצגים את המאורע שידוע כי התרחש‪ .‬לסיכום‪ ,‬נפעל בשלושה שלבים‪:‬‬ ‫‪ .1‬נסמן את כל הענפים המכילים את המאורע הידוע ‪) B‬לאורך כל הקומות(‪ ,‬ונחשב את הסתברותם ) ) ‪.( P(B‬‬ ‫ענפים מסומנים אלו הם כעת מרחב המדגם של הסעיף בו אנו עוסקים ומבחינתנו הענפים האחרים לא קיימים‪.‬‬ ‫‪ .2‬נבחר מבין הענפים שסימנו‪ ,‬את הענף‪/‬ים המכילים את המאורע ‪ A‬שאנו רוצים לדעת את הסתברותו ) ) ‪.( P( A ∩ B‬‬ ‫) ‪P( A ∩ B‬‬ ‫= ) ‪. P( A B‬‬ ‫‪ .3‬ההסתברות המותנית ) ‪ P( A B‬היא ההסתברות של ב' חלקי ההסתברות של א'‪:‬‬ ‫) ‪P (B‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬ ‫עמוד ‪113‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬ ‫הטלת מטבע‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫חבית ב'‬ ‫חבית א'‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫שחור‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫שחור‬ ‫לבן‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫לבן‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫שחור‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫לבן‬ ‫שחור‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫לבן‬ ‫שחור‬ ‫לבן‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫שחור‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫לבן‬ ‫נחשב את הסתברות האירוע שידוע כי התרחש‪ :‬הוצאת שני כדורים בצבעים שונים‪.‬‬ ‫בתרשים מודגשים התרחישים בהם מוציאים שני כדורים בצבעים שונים‪ .‬עלינו להכפיל את ההסתברות בכל ענף‬ ‫‪2 4‬‬ ‫‪4 2‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪P (B ) = 0.6 ⋅ ⋅ + 0.6 ⋅ ⋅ + 0.4 ⋅ ⋅ + 0.4 ⋅ ⋅ = 0.56‬‬ ‫ולחבר את המכפלות‪:‬‬ ‫‪6 5‬‬ ‫‪6 5‬‬ ‫‪5 4‬‬ ‫‪5 4‬‬ ‫שימו לב! זהו האירוע המשלים של התשובה לסעיף א'‪ ,‬וניתן היה לחשב את הסתברותו גם כך‪. 1 − 0.44 = 0.56 :‬‬ ‫כעת נבחר‪ ,‬מבין הענפים המודגשים בלבד )נתעלם מהמקווקווים( את הענפים המכילים את האירוע הרצוי‪ :‬הוצאה‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫מכד ב' )הענפים שהוקפו בעיגול(‪. P ( A ∩ B ) = 0.4 ⋅ ⋅ + 0.4 ⋅ ⋅ = 0.24 :‬‬ ‫‪5 4‬‬ ‫‪5 4‬‬ ‫‪P( A ∩ B ) 0.24 3‬‬ ‫= ‪PA‬‬ ‫=‬ ‫ההסתברות המותנית היא‪= :‬‬ ‫‪B‬‬ ‫) ‪P (B‬‬ ‫‪0.56 7‬‬ ‫) (‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n−k‬‬ ‫ג‪ .‬סעיף זה נפתר באמצעות נוסחת ברנולי‪P =   p k (1 − p ) :‬‬ ‫‪k ‬‬ ‫תחילה נסמן את הרכיבים ‪ p ,n‬ו‪ k-‬שנציב בנוסחת ברנולי‪:‬‬ ‫ההסתברות להוציא שני כדורים בעלי אותו צבע בנסיון בודד חושבה בסעיף א'‪. p = 0.44 :‬‬ ‫מספר הנסיונות הוא ‪. n = 7‬‬ ‫מספר ההצלחות הרצוי הוא ‪. k = 5‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪n−k‬‬ ‫‪P =   p k (1 − p ) =   ⋅ 0.44 5 ⋅ 0.56 2 = 0.1086‬‬ ‫נציב בנוסחת ברנולי ונקבל‪:‬‬ ‫‪k ‬‬ ‫‪ 5‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬ ‫עמוד ‪114‬‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫‪2m‬‬ ‫שאלה ‪:4‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫א‪ .‬מכיוון שאנו מתבקשים למצוא את ‪ EF‬נתחיל בשימוש בנתונים שקיימים עבורו‪:‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫נתון‬ ‫‪ F‬אמצע צלע ‪DO‬‬ ‫נתון‬ ‫‪EF||CD (2‬‬ ‫נובע מ‪ (1)-‬ו‪ .(2)-‬קטע היוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪ EF‬קטע אמצעים במשולש ‪∆CDO‬‬ ‫שמולו‬ ‫קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע שמולו ושווה‬ ‫⇓‬ ‫למחציתה‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪ EF = 0.5a‬מש"ל א'‬ ‫כעת עלינו להביע את אורך צלע ‪ CG‬בעזרת ‪ . a‬בדרך כלל יהיה קשר כלשהו בין הצלעות אותן אנחנו מתבקשים‬ ‫למצוא או להביע בשאלה‪ ,‬לכן נשים לב כי גם ‪ EF‬וגם ‪ CG‬נמצאים בתוך ‪ , ∆ACG‬ומכיוון שהן מקבילות ניתן‬ ‫להשתמש כאן במשפט תאלס‪.‬‬ ‫‪AE EF‬‬ ‫=‬ ‫‪: ∆ACG (5‬‬ ‫הרחבה שנייה של משפט תאלס‬ ‫‪AC CG‬‬ ‫נשתמש במאפייני הריבוע והאלכסונים בו כדי למצוא את היחס בתוך המשולש ‪∆ACG‬‬ ‫אלכסונים בריבוע שווים זה לזה וחוצים זה את זה ‪+‬‬ ‫‪AO = OC = 2m (6‬‬ ‫הצבה‬ ‫מתוך )‪ (3‬ו‪(6)-‬‬ ‫‪OE = EC = m (7‬‬ ‫נציב את אורכי הצלעות ביחס תאלס שמצאנו במשולש ‪∆ACG‬‬ ‫‪3m 0.5a‬‬ ‫=‬ ‫‪: ∆ACG (8‬‬ ‫‪4m CG‬‬ ‫⇓‬ ‫‪(9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪ CG‬מש"ל א'‬ ‫המשך הפתרון בעמוד הבא‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬ ‫עמוד ‪115‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬ ‫ב‪ .‬נתון ששטח הטרפז ‪ CEFG‬הוא ‪ 21‬סמ"ר‪ ,‬ומבקשים מאתנו לחשב את‬ ‫‪ . a‬נשים לב כי בסעיף א' הבענו בעזרת ‪ a‬את שני אורכי בסיסי הטרפז )‪EF‬‬ ‫ו‪ (CG-‬ולכן נותר רק להביע את גובה הטרפז כדי למצוא את ‪. a‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪ OM (10‬גובה במשולש שווה שוקיים ‪∆OCD‬‬ ‫‪OM||AD (11‬‬ ‫‪ OM (12‬קטע אמצעים במשולש ‪∆ACD‬‬ ‫‪(13‬‬ ‫בניית עזר‬ ‫שני הישרים מאונכים ל‪ CD-‬ולכן הזוויות מתאימות‬ ‫ישר היוצא מאמצע צלע )‪ (6‬ומקביל לצלע שמולו )‪(11‬‬ ‫הוא קטע אמצעים‬ ‫⇓‬ ‫‪OM = 0.5a‬‬ ‫גובה הטרפז הוא ‪ ,NM‬ואותו אנו רוצים להביע‪.‬‬ ‫‪ (14‬במשולש ‪ EN : ∆OCM‬קטע אמצעים‬ ‫קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע שמולו‬ ‫קטע שיוצא מאמצע צלע במשולש )‪ (7‬ומקביל לצלע‬ ‫שמולו )‪(2‬‬ ‫‪(15‬‬ ‫⇓‬ ‫מתוך )‪ (13‬ו‪(14)-‬‬ ‫‪ON = NM = 0.25a‬‬ ‫נציב את אורכי הצלעות בנוסחת שטח הטרפז ונשווה לנתון‪ .‬נקבל‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪( a + a) ⋅ a‬‬ ‫‪(EF + GC) ⋅ MN‬‬ ‫‪ 12 (16‬ס"מ = ‪3 4 = 21 → 7 a 2 = 21 → a 2 = 144 → a‬‬ ‫= ‪S EFGC‬‬ ‫‪= 21 → 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪48‬‬ ‫מש"ל ב'‬ ‫ג‪ .‬נתון שהנקודה ‪ K‬היא אמצע ‪ ,BO‬ואנו מתבקשים להוכיח כי המרובע‬ ‫‪ CKFG‬הוא טרפז‪ .‬ניעזר בציור ונוכיח כי‪:‬‬ ‫‪ .1‬שוקיו אינן מקבילות )הדבר נובע מכך שהמשכי שוקיו ‪ KF‬ו‪ CG-‬נחתכים‬ ‫בנקודה ‪.(D‬‬ ‫‪ .2‬בסיסי הטרפז מקבילים )‪ . (FG||KC‬נוכיח זאת אם נראה כי משפט תאלס‬ ‫מתקיים במשולש ‪: ∆CDK‬‬ ‫‪(17‬‬ ‫‪(18‬‬ ‫‪(19‬‬ ‫‪(20‬‬ ‫‪OD = OB = 2m‬‬ ‫‪KO = OF = FD = m‬‬ ‫‪CD = 12 , CG = 8 → GD = 4‬‬ ‫‪: ∆CDK‬‬ ‫‪m 4‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫= → =‬ ‫‪2m 8‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫→‬ ‫אלכסוני הריבוע שווים זה לזה וחוצים זה את זה ו‪(6)-‬‬ ‫נתון ‪ K‬ו‪ F-‬אמצעי צלעות ‪ BO‬ו‪ DO-‬בהתאמה‪.‬‬ ‫אורך צלע הריבוע היא ‪) 12‬מש"ל ב'(‪ ,‬וכן מתוך )‪(9‬‬ ‫וחיסור קטעים‬ ‫‪DF DG‬‬ ‫?‬ ‫בדיקה לפי משפט תאלס הפוך אם ‪.FG||KC‬‬ ‫‪FK GC‬‬ ‫⇓‬ ‫‪ CKFG‬טרפז מש"ל ג'‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬ ‫עמוד ‪116‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬ ‫שאלה ‪:5‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪6a‬‬ ‫‪7a‬‬ ‫‪4a‬‬ ‫‪180 ° − α‬‬ ‫‪5a‬‬ ‫א‪ .‬ראשית‪ ,‬נשים לב כי במרובע חסום הזוויות הנגדיות משלימות ל‪ .1800-‬נסמן את הזווית ‪ , p BAD = α‬ובהתאמה את הזווית‬ ‫‪ . p BCD = 180° − α‬כעת ניעזר במשפט הקוסינוסים במשולשים ‪ ∆ABD‬ו‪: ∆BCD -‬‬ ‫נתון‬ ‫‪CD= 5a ,AD= 7a ,BC= 4a ,AB= 6a (1‬‬ ‫‪ (2‬משפט הקוסינוסים במשולש ‪: ∆ABD‬‬ ‫‪85a 2 − BD 2‬‬ ‫) ‪BD = (6a ) + (7 a‬‬ ‫‪84a 2‬‬ ‫‪ (3‬משפט הקוסינוסים במשולש ‪: ∆BCD‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫→ ) ‪BD = (4a ) + (5a ) − 2 ⋅ 4a ⋅ 5a ⋅ cos (180° − α ) → BD = 41a − 40a ⋅ cos (180° − α‬‬ ‫= ‪− 2 ⋅ 6a ⋅ 7 a ⋅ cos α → BD = 85a − 84a ⋅ cos α → cos α‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נבודד את הקוסינוס ונקבל‪:‬‬ ‫ניעזר בזהות‪ cos(180° − α ) = − cos α :‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪41a 2 − BD 2‬‬ ‫‪40a 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ) ‪cos(180° − α‬‬ ‫‪− 41a 2 + BD 2‬‬ ‫‪41a 2 − BD 2‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪α‬‬ ‫=‬ ‫→‬ ‫‪40a 2‬‬ ‫‪40a 2‬‬ ‫= ‪− cos α‬‬ ‫‪ (4‬נשווה בין )‪ (2‬ו‪ ,(3)-‬נכפיל בהצלבה ונקבל‪:‬‬ ‫‪85a − BD‬‬ ‫‪− 41a + BD‬‬ ‫=‬ ‫‪→ 3400a 2 − 40BD2 = −3444a 2 + 84BD2 → 124BD2 = 6844a 2 → BD2 = 55.19a 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪84a‬‬ ‫‪40a 2‬‬ ‫נוציא שורש ונקבל‪BD = 7.43a :‬‬ ‫ב‪ .‬נציב ‪ BD = 7.43a‬ב‪ (2)-‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪85a − BD‬‬ ‫‪85a − 55.19a‬‬ ‫‪29.81a‬‬ ‫= ‪cos α‬‬ ‫= ‪→ cos α‬‬ ‫= ‪→ cos α‬‬ ‫‪→ cos α = 0.354 → α = 69.21°‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪84a‬‬ ‫‪84a‬‬ ‫‪84a 2‬‬ ‫ג‪ .‬נתון שטח המעגל‪ 56 :‬סמ"ר‪ .‬הנוסחה לשטח מעגל היא‪. S = π r 2 :‬‬ ‫‪ 4.22‬ס"מ = ‪πr 2 = 56 → r 2 = 17.82 → r‬‬ ‫ניעזר בנוסחה לשטח מעגל ונמצא את אורך רדיוס המעגל‪:‬‬ ‫‪ (5‬לבסוף‪ ,‬ניעזר במשפט הסינוסים במשולש ‪ ∆ABD‬החסום במעגל‪:‬‬ ‫‪BD‬‬ ‫‪7.43a‬‬ ‫→ ‪= 2R‬‬ ‫‪ 1.062‬ס"מ = ‪= 2 ⋅ 4.22 → 7.43a = 7.89 → a‬‬ ‫‪sin α‬‬ ‫‪sin 69.22°‬‬ ‫‪2‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫עמוד ‪117‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬ ‫שאלה ‪:6‬‬ ‫א‪ .1 .‬הפונקציה ‪ f ( x ) = x ⋅ 12 x − x 2‬מוגדרת כאשר הביטוי שבתוך השורש אינו שלילי‪:‬‬ ‫את אי השוויון נפתור כך‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ראשית‪ ,‬נמצא את פתרונות המשוואה‪ . x ⋅ (12 − x ) = 0 ← 12 x − x = 0 :‬הפתרונות הם‪ x = 0 :‬ו‪. x = 12 -‬‬ ‫כעת נמקם את הפתרונות על ציר המספרים ונשרטט דרכם פרבולה‪ .‬את כיוון הפרבולה )"מחייכת" או "עצובה"(‬ ‫נקבע לפי המקדם של ‪ . x 2‬במקרה שלנו‪ ,‬המקדם של ‪ x 2‬הוא שלילי‪ , 12 x − x 2 ≥ 0 :‬ולכן נצייר פרבולה "עצובה"‪.‬‬ ‫לפי אי השוויון ) ‪ ,( ≥ 0‬התחום הרצוי הוא התחום החיובי‪ ,‬כלומר התחום שנמצא מעל ציר ה‪:x-‬‬ ‫לסיכום‪ ,‬פתרון אי השוויון הוא‪. 0 ≤ x ≤ 12 :‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪. 12 x − x 2 ≥ 0‬‬ ‫‪ .2‬עלינו למצוא את נקודות הקיצון‪ .‬נזכור כי מכיוון שתחום ההגדרה כולל את קצות התחום‪ ,‬קיימות גם שתי נקודות‬ ‫קיצון בקצה התחום‪ .‬נתחיל מנקודות הקיצון הפנימיות‪ .‬נגזור באמצעות נגזרת מכפלה ונשווה את הנגזרת ל‪:0-‬‬ ‫‪12 − 2 x‬‬ ‫⋅ ‪f ' ( x ) = 1 ⋅ 12 x − x 2 + x‬‬ ‫‪= 0 ⋅ 2 12 x − x 2 → 2 ⋅ 12 x − x 2 + 12 x − 2 x 2 = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 12 x − x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 ⋅ 12 x − x + 12 x − 2 x = 0 → 24 x − 2 x 2 + 12 x − 2 x 2 = 0 → 36 x − 4 x 2 = 0 → 4 x ⋅ (9 − x ) = 0‬‬ ‫הנקודות החשודות כנקודות קיצון הן‪) x = 0 :‬שהיא גם אחת מנקודות קצה התחום( ו‪. x = 9 -‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫נציב את שתי הנקודות הללו בטבלת‬ ‫עליה וירידה ובנוסף גם את נקודת‬ ‫הקיצון בקצה התחום הימני‪x = 12 :‬‬ ‫ונבדוק את סוגן‪:‬‬ ‫‪x = 12‬‬ ‫קצה‬ ‫‪9 < x < 12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪min‬‬ ‫‪x=9‬‬ ‫קיצון‬ ‫‪0< x<9‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‬ ‫תחום ‪x‬‬ ‫‪x=0‬‬ ‫קצה נציב בנגזרת‬ ‫סימן הנגזרת‬ ‫הפונקציה‬ ‫‪ min‬עולה‪/‬יורדת‬ ‫‪max‬‬ ‫לבסוף נציב את ערכי ה‪ x-‬של נקודות הקיצון בפונקציה המקורית ונמצא את ערכי ה‪ y-‬שלהן‪:‬‬ ‫‪f (12 ) = 12 ⋅ 12 ⋅12 − 12 2 = 0‬‬ ‫‪f (9) = 9 ⋅ 12 ⋅ 9 − 9 2 = 46.7‬‬ ‫‪f (0) = 0 ⋅ 12 ⋅ 0 − 0 = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫לסיכום‪ :‬נקודות הקיצון הן‪ :‬הפנימית‪ Max (9,46 .7 ) :‬ובקצה התחום‪ , Min (0,0 ) :‬ו‪. Min (12,0 ) :‬‬ ‫‪ .3‬נציב ‪ x=0‬בפונקציה ונמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה‪:y-‬‬ ‫נציב ‪ y=0‬בפונקציה ונמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה‪:x-‬‬ ‫) ‪f (0) = 0 ⋅ 12 ⋅ 0 − 0 2 = 0 → (0,0‬‬ ‫) ‪x ⋅ 12 x − x 2 = 0 ( ) → x 2 (12 x − x 2 ) = 0 → x 3 (12 − x ) = 0 → x = 0 , x = 12 → (0,0 ) , (12,0‬‬ ‫בפועל‪ ,‬במקרה זה לא היה צורך לעשות זאת‪ ,‬מכיוון שכבר מצאנו את נקודות החיתוך עם הצירים בסעיפים‬ ‫הקודמים‪ (0,0 ) :‬ו‪. (12,0 ) -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .4‬נחלץ את תחומי העלייה והירידה מהטבלה למעלה‪ :‬עלייה‪ , 0 < x < 9 :‬ירידה‪. 9 < x < 12 :‬‬ ‫ב‪ .‬השרטוט‪:‬‬ ‫ג‪ .‬פתרון המשוואה ‪ f (x ) = b‬הוא למעשה כמו מציאת נקודות החיתוך בין גרף הפונקציה ) ‪ f ( x‬לבין הישר ‪. y = b‬‬ ‫הישר ‪ y = b‬הוא ישר ששיפועו ‪ 0‬ולכן הוא בהכרח מקביל לציר ה‪ .x-‬נבדוק מתי לישר יש‬ ‫נקודת חיתוך אחת בלבד עם הפונקציה‪ .‬למעשה זה מתקיים כאשר הישר משיק לגרף‬ ‫הפונקציה בנקודת המקסימום שלה‪:‬‬ ‫מכאן שמשוואת הישר מוכרחה להיות‪ , y = 46 .7 :‬ומכאן שערכו של ‪ b‬הוא‪. b = 46 .7 :‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬ ‫עמוד ‪118‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬ ‫שאלה ‪:7‬‬ ‫א‪ .‬זוהי בעיית ערך קיצון‪ .‬בשאלות מסוג זה נפעל תמיד באמצעות ארבעת השלבים הבאים‪:‬‬ ‫‪ .1‬הרכבת "פונקציית המטרה" וכתיבתה תוך שימוש בנעלם אחד בלבד‪.‬‬ ‫‪ .2‬מציאת הנקודות החשודות כנקודות קיצון‪ ,‬על ידי גזירת פונקציית המטרה‪ ,‬והשוואת הנגזרת ל‪.0-‬‬ ‫‪ .3‬קביעת סוג הנקודות )מינימום‪/‬מקסימום(‪ ,‬באמצעות טבלת עליה וירידה או באמצעות הנגזרת השנייה‪.‬‬ ‫‪ .4‬בדיקה מחדש‪" :‬מה ביקשו בשאלה?"‪ ,‬ומציאת התשובה בהתאם לנקודת הקיצון שמצאנו‪.‬‬ ‫‪ .1‬ראשית‪ ,‬נביע את שלושת המספרים באמצעות משתנה ‪ x‬בלבד‪:‬‬ ‫לפי הנתון‪ ,‬שני המספרים הראשונים שווים ולכן נסמן את שניהם באמצעות ‪ :x‬הראשון‪ ,x :‬השני‪ ,x :‬השלישי‪.c :‬‬ ‫‪x + x + c = 48 → c = 48 − 2 x‬‬ ‫סכום שלושת המספרים הוא ‪ 48‬ומכאן שהמספר השלישי הוא‪:‬‬ ‫כעת נרכיב את פונקציית המטרה‪ :‬מכפלת המספר הראשון‪ ,‬בריבועו של השני ובמספר השלישי‪:‬‬ ‫‪f ( x ) = x ⋅ x 2 ⋅ (48 − 2 x ) → f ( x ) = x 3 ⋅ (48 − 2 x ) → f ( x ) = 48 x 3 − 2 x 4‬‬ ‫‪ .2‬נגזור את פונקציית המטרה ונשווה ל‪:0-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f ' ( x ) = 3 ⋅ 48 x − 4 ⋅ 2 x = 0 → 144 x − 8 x = 0 → 8 x (18 − x ) = 0 → x = 0 , x = 18‬‬ ‫‪ .3‬נבדוק את סוג נקודת הקיצון ‪ -‬מינימום או מקסימום ‪ -‬באמצעות טבלה או נגזרת שנייה‪ .‬במקרה זה נוח יותר‬ ‫‪f ' ' ( x ) = 288 x − 24 x 2‬‬ ‫לבדוק באמצעות הנגזרת השנייה‪:‬‬ ‫‪f ' ' (0) = 288 ⋅ 0 − 24 ⋅ 0 2 = 0‬‬ ‫נציב את הנקודות החשודות ונבדוק את סימן הנגזרת השנייה‪:‬‬ ‫‪f ' ' (18) = 288 ⋅ 18 − 24 ⋅ 18 2 = −2,592 < 0‬‬ ‫בנקודה ‪ x = 18‬הנגזרת השנייה שלילית ולכן זוהי נקודת המקסימום‪ .‬כלומר המספר הראשון הוא‪. 18 :‬‬ ‫ב‪ .‬עלינו למצוא את המכפלה המקסימלית‪ :‬נזכור כי פונקציית המטרה שהרכבנו בסעיף א' מתארת את המכפלה‪.‬‬ ‫בכדי למצוא מתי היא מקסימלית נציב בפונקציה את נקודת המקסימום שמצאנו‪. x = 18 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪f (18) = 48 ⋅ 18 − 2 ⋅ 18 4 = 69,984‬‬ ‫נציב את הפתרון ‪ x = 18‬בפונקציית המטרה ונקבל‪:‬‬ ‫שאלה ‪:8‬‬ ‫‪ax − 4‬‬ ‫א‪ .1.‬שתי האסימפטוטות של הפונקציה‪:‬‬ ‫‪x2 + b2‬‬ ‫מכיוון שאסימפטוטות הן ישרים המקבילים לצירים‪ ,‬ניתן להסיק כי האסימפטוטה‬ ‫האנכית היא ‪ x = 0‬ואילו האסימפטוטה האופקית היא‪. y = 1 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ) ‪ f ( x‬נחתכות בנקודה )‪. (0,1‬‬ ‫‪y =1‬‬ ‫)‪(0,1‬‬ ‫‪x=0‬‬ ‫בפונקציית מנה‪ ,‬אסימפטוטה אנכית מתקבלת כאשר המכנה מתאפס‪ .‬מכיוון שהאסימפטוטה האנכית היא ‪, x = 0‬‬ ‫נסיק כי המכנה מתאפס כאשר ‪ . x = 0‬לכן‪ ,‬נוכל להשוות את המכנה ל‪ 0-‬ולהציב ‪ x = 0‬וכך נמצא את ‪:b‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x + b = 0 → 02 + b2 = 0 → b = 0‬‬ ‫כאמור‪ ,‬האסימפטוטה האופקית היא ‪ . y = 1‬מכיוון שהן במונה והן במכנה החזקה הגבוהה ביותר של ‪ x‬היא‪, x 2 :‬‬ ‫)מצב של "תיקו" בין המונה למכנה(‪ ,‬האסימפטוטה האופקית מתקבלת מחישוב יחס המקדמים של ‪ . x 2‬נקבל‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪= 1 → a =1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2 − 4‬‬ ‫= ) ‪ , f ( x‬ותחום ההגדרה הוא‪. x ≠ 0 :‬‬ ‫כעת‪ ,‬לאחר מציאת הפרמטרים‪ ,‬מצאנו שהפונקציה היא‪:‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪ .2‬נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל‪:0-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2x ⋅ x − 2x x − 4‬‬ ‫= )‪f ' ( x‬‬ ‫‪= 0 → 2x 3 − 2 x 3 + 8x = 0 → 8x = 0 → x = 0‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫לפי תחום ההגדרה שמצאנו ‪ , x ≠ 0‬ולכן לא ייתכן כי לפונקציה יש נקודת קיצון כאשר ‪. x = 0‬‬ ‫)‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬ ‫(‬ ‫עמוד ‪119‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬ ‫‪ .3‬מכיוון ש‪ x ≠ 0 -‬אין לפונקציה נקודת חיתוך עם ציר ה‪.y-‬‬ ‫נציב ‪ y=0‬ונמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה‪:x-‬‬ ‫‪x2 − 4‬‬ ‫)‪→ x 2 − 4 = 0 → x 2 = 4 → x = ±2 → (− 2,0) , (2,0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ .4‬ניעזר בטבלת עלייה וירידה‪ .‬לפונקציה אין נקודות קיצון‪ ,‬ולכן נציב בטבלה רק את האסימפטוטה האנכית‪:‬‬ ‫‪0< x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x=0‬‬ ‫אסימפטוטה‬ ‫‪x<0‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫=‪0‬‬ ‫תחום העלייה הוא‪0 < x :‬‬ ‫תחום הירידה הוא‪x < 0 :‬‬ ‫תחום ‪x‬‬ ‫נציב בנגזרת‬ ‫סימן הנגזרת‬ ‫הפונקציה‬ ‫עולה‪/‬יורדת‬ ‫‪ .5‬כפי שמצאנו בסעיף א'‪ ,‬האסימפטוטות המקבילות לצירים הן‪ x = 0 :‬ו‪. y = 1 -‬‬ ‫ב‪ .‬השרטוט‪:‬‬ ‫‪y =1‬‬ ‫)‪(2,0‬‬ ‫)‪(− 2,0‬‬ ‫‪x=0‬‬ ‫ג‪ .‬נתבונן בשטח ‪ S‬המבוקש המסומן בשרטוט‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x2 − 4‬‬ ‫∫ = ‪.S‬‬ ‫עלינו לחשב את האינטגרל‪dx :‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ניעזר בהדרכה ונפשט את האינטגרל על ידי פירוק הפונקציה‬ ‫לשני שברים נפרדים וצמצום‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪− 2 dx = ∫ 1 − 2 dx = ∫ 1 − 4 x −2 dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫∫‬ ‫=‪S‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כעת נוכל לחשב את האינטגרל‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫יח"ר = ‪S‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫→ ‪ − 2 + ‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪= 3 +‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−1 3‬‬ ‫‪= x+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4x‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪S = ∫ 1 − 4 x −2 dx = x −‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬ ‫‪2‬‬ ‫עמוד ‪120‬‬