מבחן לדוגמא + פתרונות מלאים

‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫שאלון ‪ - 804‬מבחן ‪1‬‬
‫פרק ראשון ‪ -‬אלגברה והסתברות )‪ 40‬נק'(‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪) 1-3‬לכל שאלה ‪ 20‬נק'(‬
‫‪ .1‬היישובים ‪ B ,A‬ו‪ C-‬יוצרים משולש ישר זוית כמתואר בשרטוט‪ .‬דני יצא בשעה ‪8:00‬‬
‫להליכה מהיישוב ‪ B‬ליישוב ‪ .A‬יואל יצא בשעה ‪ 10:00‬להליכה מהיישוב ‪ B‬ליישוב ‪.C‬‬
‫בשעה ‪ ,14:00‬טרם הגיעו השניים ליעדם והמרחק ביניהם היה ‪ 20‬ק"מ‪ .‬המרחק שדני‬
‫עבר עד השעה ‪ 11:00‬היה גדול פי ‪ 1.5‬מהמרחק שעבר יואל עד שעה זו‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את המהירויות של דני ושל יואל‪.‬‬
‫ב‪ .‬בשעה ‪ 14:00‬הסתובב יואל והחל לחזור לנקודה ‪ .B‬ברגע שהגיע לנקודה‬
‫‪ ,B‬דני הגיע לנקודה ‪ .A‬מצא את המרחק בין הנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫‪ .2‬בשרטוט מופיעים שני מעגלים שמרכזיהם ‪ O1‬ו‪ O2 -‬המשיקים זה‬
‫לזה בנקודה )‪ . C (9,8‬המעגלים משיקים לצירים בנקודות ‪ A‬ו‪B-‬‬
‫כמתואר בשרטוט‪ .‬היקף המעגל שמרכזו ‪ O1‬הוא ‪ 10π‬יח' אורך‬
‫ושטח המעגל שמרכזו ‪ O2‬הוא ‪ 25π‬יח"ר‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואות המעגלים‪.‬‬
‫ב‪ .‬דרך הנקודה ‪ ,C‬עובר משיק משותף לשני המעגלים‪ .‬המשיק‬
‫חותך את שני הצירים‪ .‬חשב את שטח המשולש שקודקודיו הם‬
‫נקודות חיתוך אלו וראשית הצירים‪.‬‬
‫‪ .3‬נתונות שתי חביות‪ .‬בחבית א' יש שני כדורים שחורים וארבעה כדורים לבנים‪ .‬בחבית ב' יש שלושה‬
‫כדורים שחורים ושני כדורים לבנים‪ .‬מטילים מטבע לא מאוזן‪ ,‬שבו ההסתברות לקבל עץ גבוהה ב‪0.2-‬‬
‫מההסתברות לקבל פלי‪ .‬אם יוצא עץ‪ ,‬מוציאים שני כדורים ללא החזרה מחבית א'‪ .‬אם יוצא פלי‪,‬‬
‫מוציאים שני כדורים ללא החזרה מחבית ב'‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את ההסתברות להוציא שני כדורים בעלי אותו צבע‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע שהוצאו שני כדורים בצבעים שונים‪ .‬חשב את ההסתברות שנבחרה חבית ב'‪.‬‬
‫ג‪ .‬חוזרים שבע פעמים על התהליך שתואר בתחילת השאלה‪ .‬חשב את ההסתברות שרק בחמש מתוכן‬
‫יצאו שני כדורים באותו צבע‪.‬‬
‫פרק שני ‪ -‬גיאומטריה וטריגונומטריה במישור )‪ 20‬נק'(‬
‫ענה על אחת מהשאלות מהשאלות ‪) 4-5‬לכל שאלה ‪ 20‬נק'(‬
‫‪ .4‬בריבוע ‪ ABCD‬שצלעו ‪ .a‬הישר ‪ AG‬חותך את האלכסון ‪ BD‬בנקודה ‪.F‬‬
‫נתון‪ F :‬אמצע ‪ .DO‬במשולש ‪ ∆CDO‬נתון‪.EF||CD :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את אורכי הצלעות ‪ FE‬ו‪.CG -‬‬
‫ב‪ .‬נתון ששטח הטרפז ‪ CEFG‬הוא ‪ 21‬סמ"ר‪ .‬חשב את ערכו של ‪.a‬‬
‫ג‪ .‬נתון שהנקודה ‪ k‬היא אמצע ‪ .BO‬הוכח‪ KFGC :‬טרפז‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫עמוד ‪108‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫‪ .5‬המרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל‪.‬‬
‫נתון‪.CD= 5a ,AD= 7a ,BC= 4a ,AB= 6a :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את אורך האלכסון ‪.BD‬‬
‫ב‪ .‬חשב את גודל הזוית ‪. p BAD‬‬
‫ג‪ .‬נתון‪ :‬שטח המעגל ‪ 56‬סמ"ר‪ .‬מצא את ערכו של הפרמטר ‪.a‬‬
‫פרק שלישי ‪ -‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪ ,‬פונקציות שורש‬
‫ופונקציות רציונליות )‪ 40‬נק'(‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪) 6-8‬לכל שאלה ‪ 20‬נק'(‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה‪. f ( x ) = x ⋅ 12 x − x 2 :‬‬
‫א‪ .‬עבור גרף הפונקציה )‪ f (x‬מצא את‪:‬‬
‫‪ .2‬נקודות הקיצון וסוגן‪ ,‬במידה וקיימות‪.‬‬
‫‪ .1‬תחום ההגדרה‪.‬‬
‫‪ .4‬תחומי העליה והירידה‪.‬‬
‫‪ .3‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬שרטט את גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ג‪ .‬למשוואה ‪ f ( x ) = b‬יש פתרון אחד‪ .‬מצא את ערכו של הפרמטר ‪.b‬‬
‫‪ .7‬סכומם של שלושה מספרים חיוביים הוא ‪ .48‬המספר הראשון והשני שווים‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את המספר הראשון‪ ,‬שעבורו מכפלת המספר הראשון בריבועו של המספר השני ובמספר‬
‫השלישי ‪ -‬תהיה מקסימלית‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את המכפלה המקסימלית‪.‬‬
‫‪ax 2 − 4‬‬
‫‪ .8‬שתי האסימפטוטות של הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2 + b2‬‬
‫א‪ .‬עבור גרף הפונקציה )‪ f (x‬מצא את‪:‬‬
‫= ) ‪ f ( x‬נחתכות בנקודה )‪. (0,1‬‬
‫‪ .2‬נקודות הקיצון וסוגן‪ ,‬במידה וקיימות‪.‬‬
‫‪ .4‬תחומי העליה והירידה‪.‬‬
‫‪ .1‬ערכם של ‪ a‬ו‪ b-‬ותחום ההגדרה‪.‬‬
‫‪ .3‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .5‬האסימפטוטות‪.‬‬
‫ב‪ .‬שרטט את גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח הכלוא ברביע הראשון בין גרף הפונקציה )‪ f (x‬לבין ציר ה‪ x-‬והישר ‪. x = 3‬‬
‫)הדרכה‪ :‬פרק את הביטוי של הפונקציה לשני שברים נפרדים וצמצם(‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫עמוד ‪109‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫‪ (1‬א‪ .‬דני‪ 2 :‬קמ"ש‪ .‬יואל‪ 4 :‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 20 .‬ק"מ‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ (2‬א‪ . ( x − 13) + ( y − 5) 2 = 25 : O2 , ( x − 5) 2 + ( y − 11) 2 = 25 : O1 .‬ב‪ 6 .‬יח"ר‪.‬‬
‫‪ (3‬א‪ .0.44 .‬ב‪ . 3 .‬ג‪.0.1086 .‬‬
‫‪7‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪ (4‬א‪ . CG = , FE = a .‬ב‪ 12 .‬ס"מ = ‪. a‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ (5‬א‪ .7.43a .‬ב‪ .69.21° .‬ג‪ 1.062 .‬ס"מ = ‪. a‬‬
‫‪ (6‬א‪ .2 . 0 ≤ x ≤ 12 .1 .‬פנימית‪ , max (9,46.77) :‬קצה‪. min (0,0) , min (12,0) :‬‬
‫‪ .4 . (0,0), (12,0) .3‬עולה‪ ; 0 < x < 9 :‬יורדת‪. 9 < x < 12 :‬‬
‫ב‪ .‬השרטוט משמאל‪ .‬ג‪. b = 46.77 .‬‬
‫‪ (7‬א‪ .18 .‬ב‪ .‬המכפלה‪.69,984 :‬‬
‫‪ (8‬א‪ . a = 1, b = 0 (1 .‬תחום ההגדרה‪ (2 . x ≠ 0 :‬אין‪. (− 2,0 ), (2,0 ) (3 .‬‬
‫‪ (4‬עליה‪ . 0 < x :‬ירידה‪ . y = 1 , x = 0 (5 . x < 0 :‬ב‪ .‬השרטוט משמאל‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫ג‪ .‬יח"ר‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫עמוד ‪110‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫פתרון מלא ‪ -‬מבחן ‪1‬‬
‫עד השעה‬
‫‪14:00‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫א‪ .‬נמלא את הנתונים הראשונים בטבלה‪:‬‬
‫נסמן את מהירותו של דני ב‪ x-‬ואת מהירותו של יואל ב‪.y-‬‬
‫דני צעד משעה ‪ 08:00‬ועד ‪ :14:00‬בסה"כ ‪ 6‬שעות‪.‬‬
‫יואל צעד משעה ‪ 10:00‬ועד ‪ :14:00‬בסה"כ ‪ 4‬שעות‪.‬‬
‫מהירות זמן דרך‬
‫דני‬
‫‪x‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6x‬‬
‫יואל‬
‫‪y‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4y‬‬
‫כעת ניעזר בשרטוט‪:‬‬
‫דני צעד לכיוון ‪ A‬מרחק של ‪ 6x‬ק"מ‪.‬‬
‫יואל צעד לכיוון ‪ C‬מרחק של ‪ 4 y‬ק"מ‪.‬‬
‫בשעה ‪ 14:00‬המרחק ביניהם היה ‪ 20‬ק"מ‪ ,‬ולכן על פי משפט פיתגורס‪:‬‬
‫‪(6x)2 + (4 y)2 = 202 → (I ) 36 x 2 + 16 y 2 = 400‬‬
‫יואל‬
‫‪20‬‬
‫דני‬
‫עד השעה‬
‫‪11:00‬‬
‫נמלא את הנתון הנוסף בטבלה‪:‬‬
‫עד השעה ‪ 11:00‬דני צעד במשך ‪ 3‬שעות‪ ,‬ואילו יואל צעד במשך שעה אחת‪.‬‬
‫לפי הנתון‪ ,‬המרחק שעבר דני היה גדול פי ‪ 1.5‬מהמרחק שעבר יואל ולכן‪:‬‬
‫‪3x = 1.5 y → (II ) y = 2 x‬‬
‫‪6x‬‬
‫מהירות זמן דרך‬
‫דני‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3x‬‬
‫יואל‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫נציב את משוואה ‪ II‬במשוואה ‪ I‬ונקבל‪:‬‬
‫‪= 400 → 36 x + 64 x = 400 → 100 x = 400 → x = 4 → x = 2‬‬
‫פסלנו את הפתרון ‪ x = −2‬מכיוון שאין מהירויות שליליות‪.‬‬
‫קיבלנו כי מהירותו של דני היא ‪ 2‬קמ"ש ואילו על פי משוואה ‪ II‬מהירותו של יואל היא ‪ 4‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪36 x + 16 ⋅ (2 x‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬נתבונן תחילה ביואל‪ .‬בשעה ‪ 14:00‬יואל מתחיל לחזור אל הנקודה ‪ B‬באותה המהירות בה צעד קודם‪ .‬ומכאן‬
‫שמשך חזרתו לנקודה ‪ B‬שווה למשך הליכתו בהלוך‪ 4 :‬שעות‪.‬‬
‫לעומתו‪ ,‬דני ממשיך לצעוד לכיוון הנקודה ‪ A‬במהירות קבועה‪ .‬בדיוק ברגע בו יואל הגיע בחזרה לנקודה ‪ ,B‬דני הגיע‬
‫לנקודה ‪ .A‬כלומר דני צעד ‪ 4‬שעות )החל מהשעה ‪ (14:00‬בנוסף לזמן הליכתו בחלק א'‪.‬‬
‫בסה"כ צעד דני ‪ 6 + 4 = 10‬שעות‪ ,‬במהירות קבועה של ‪ 2‬קמ"ש‪ ,‬ומכאן שהמרחק בין ‪ B‬ל‪ A-‬הוא‪:‬‬
‫‪ 20‬ק"מ = ‪10 ⋅ 2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫עמוד ‪111‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫א‪ .‬היקף המעגל ‪ O1‬הוא ‪ . 10π‬נזכור שנוסחת היקף מעגל היא‪:‬‬
‫‪ . P = 2π r‬נוכל לחשב את אורכו של רדיוס המעגל‪:‬‬
‫) ‪(5, y A‬‬
‫‪2π ⋅ r = 10π → 2r = 10 → r = 5‬‬
‫שטח המעגל ‪ O2‬הוא ‪ . 25π 2‬נזכור שנוסחת שטח מעגל היא‪:‬‬
‫‪ . S = π r 2‬נוכל לחשב את אורכו של רדיוס המעגל‪:‬‬
‫‪π ⋅ r 2 = 25π → r 2 = 25 → r = 5‬‬
‫המעגל ‪ O1‬משיק לציר ה‪ ,y-‬ולכן הרדיוס ‪ O1 A‬מאונך לציר ה‪y -‬‬
‫)‪C (9, 8‬‬
‫‪5‬‬
‫)‪(x B ,5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫ומקביל לציר ה‪) x-‬רדיוס ומשיק מאונכים בנקודת ההשקה(‪ .‬לכן‪:‬‬
‫שיעור ה‪ x-‬של מרכז המעגל שווה לאורך רדיוס המעגל )‪ 5‬יח' אורך(‪.‬‬
‫שיעור ה‪ y-‬של מרכז המעגל שווה לשיעור ה‪ y-‬של הנקודה ‪.A‬‬
‫לסיכום‪ ,‬נסמן את מרכז המעגל‪. O1 (5, y A ) :‬‬
‫מעגל ‪ O2‬משיק לציר ה‪ ,x-‬ולכן הרדיוס ‪ O2 B‬מקביל לציר ה‪) y-‬רדיוס ומשיק מאונכים בנקודת ההשקה(‪.‬‬
‫לכן‪ ,‬שיעור ה‪ y-‬של מרכז המעגל שווה לאורך רדיוס המעגל )‪ 5‬יח'( ושיעור ה‪ x-‬של מרכז המעגל שווה לשיעור ה‪ x-‬של‬
‫הנקודה ‪ .B‬לסיכום‪ ,‬נסמן את מרכז המעגל‪. O2 ( x B ,5) :‬‬
‫כידוע‪ ,‬הישר המחבר את מרכזי שני מעגלים משיקים )קטע המרכזים(‪ ,‬עובר דרך נקודת ההשקה שלהם‪ ,‬ולכן הישר‬
‫‪ O1O2‬עובר דרך הנקודה )‪. C (9,8‬‬
‫כפי שראינו אורכי הרדיוסים של שני המעגלים שווים זה לזה‪ ,‬ומכאן שהנקודה )‪ C (9,8‬היא אמצע הקטע ‪. O1O2‬‬
‫ניעזר בנוסחה לאמצע הקטע ונקבל‪:‬‬
‫‪xO + xO2‬‬
‫‪5 + xB‬‬
‫‪xC = 1‬‬
‫=‪→9‬‬
‫‪→ 18 = 5 + x B → xB = 13‬‬
‫עבור שיעור ה‪:x-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y O + y O2‬‬
‫‪y +5‬‬
‫‪yC = 1‬‬
‫‪→8= A‬‬
‫‪→ 16 = y A + 5 → y A = 11‬‬
‫עבור שיעור ה‪:y-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫מכאן ששיעורי מרכז המעגל ‪ O1‬הם‪ O1 (5,11) :‬ומשוואת המעגל ‪ O1‬היא‪. ( x − 5) + ( y − 11) = 25 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ואילו שיעורי מרכז המעגל ‪ O2‬הם‪ O2 (13,5) :‬ומשוואת המעגל ‪ O2‬היא‪. ( x − 13) + ( y − 5) = 25 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬תחילה נמצא את משוואת המשיק המשותף‪ .‬כידוע רדיוס ומשיק מאונכים בנקודת ההשקה‪ ,‬ולכן שיפוע המשיק‬
‫‪11 − 5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪. mO1O2‬‬
‫‪=− =−‬‬
‫הופכי ונגדי לשיפוע ‪ . O1O2‬נחשב את שיפוע הקטע ‪: O1O2‬‬
‫‪5 − 13‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫מכאן ששיפוע המשיק המשותף הוא‪ m = :‬והמשיק עובר בנקודה )‪. C (9,8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪y − 8 = (x − 9) → y = x − 4‬‬
‫נמצא את משוואת המשיק באמצעות הנוסחה לקו ישר‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫נציב ‪ x=0‬ונמצא את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה‪. (0,−4) :y-‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪x − 4 → 0 = 4 x − 12 → x = 3 → (3,0‬‬
‫נציב ‪ y=0‬ונמצא את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה‪:x-‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4⋅3‬‬
‫= ‪.S‬‬
‫לבסוף נחשב את שטח המשולש הנוצר ברביע הרביעי‪ 6 :‬יח"ר =‬
‫‪2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫עמוד ‪112‬‬
‫=‪0‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫שאלה ‪:3‬‬
‫א‪ .‬תחילה נחשב את הסתברויות תוצאות המטבע הלא מאוזן‪ .‬נסמן את ההסתברות לקבל פלי באמצעות ‪ . p‬לפי‬
‫הנתון‪ ,‬ההסתברות לקבל עץ גבוהה ב‪ 0.2-‬ולכן היא‪ . p + 0.2 :‬נשים לב כי האירועים לקבל עץ ופלי בהטלת מטבע‬
‫הם אירועים משלימים )כי אין תוצאות אפשריות נוספות להטלת המטבע(‪ ,‬ולכן סכום הסתברויותיהם הוא ‪:1‬‬
‫‪p + p + 0 .2 = 1 → p = 0 .4‬‬
‫כלומר‪ ,‬במטבע הלא מאוזן‪ ,‬ההסתברות לקבל פלי היא ‪ 0.4‬וההסתברות לקבל עץ היא ‪.0.6‬‬
‫כעת נוכל להשלים את עץ ההסתברויות‪:‬‬
‫ההסתברות לבחור בחבית א' זהה להסתברות לקבל עץ‪ .0.6 :‬באופן דומה‪ ,‬ההסתברות לבחור בחבית ב' היא‪.0.4 :‬‬
‫‪2‬‬
‫בחבית א' ‪ 6‬כדורים‪ 2 :‬כדורים שחורים ו‪ 4-‬לבנים‪ .‬לכן ההסתברות להוציא כדור שחור בהוצאה הראשונה היא‪, :‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫וההסתברות להוציא כדור לבן היא‪ . :‬במידה והוצאנו כדור שחור‪ ,‬הרי שנותרו בחבית ‪ 5‬כדורים‪ 1 :‬שחור ו‪4-‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫לבנים‪ .‬לכן ההסתברות להוציא כדור שחור נוסף היא‪ :‬וההסתברות להוציא כדור לבן היא‪ . :‬באופן זה נמלא‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫את כל עץ ההסתברויות‪:‬‬
‫הטלת מטבע‬
‫‪0.6‬‬
‫‪0.4‬‬
‫חבית ב'‬
‫חבית א'‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫שחור‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫שחור‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫לבן‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫לבן‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫שחור‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫לבן‬
‫שחור‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫לבן‬
‫שחור‬
‫לבן‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫שחור‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫לבן‬
‫כעת נבחר בכל הענפים הכוללים שתי הוצאות כדורים באותו הצבע )הענפים המודגשים(‪ .‬נזכור כי כאשר "יורדים"‬
‫מענף לענף בעץ‪ ,‬כופלים את ההסתברויות‪ .‬כשמצרפים אפשרויות בין ענפים מימין לשמאל מחברים את‬
‫‪ ‬שני כדורים ‪‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪4 3‬‬
‫‪3 2‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪  = 0.6 ⋅ ⋅ + 0.6 ⋅ ⋅ + 0.4 ⋅ ⋅ + 0.4 ⋅ ⋅ = 0.44‬באותו הצבע‪P‬‬
‫ההסתברויות‪:‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬זוהי שאלת הסתברות מותנית‪ .‬הסתברות מותנית מוגדרת כך‪( B ) = P(PA(∩B )B ) :‬‬
‫‪PA‬‬
‫כלומר‪ ,‬הסתברות להתרחשותו של מאורע ‪ A‬כאשר ידוע כי ‪ B‬כבר התרחש‪ ,‬היא החיתוך ) ‪ P( A ∩ B‬חלקי‬
‫הסתברות האירוע שהתרחש ) ‪. P(B‬‬
‫במילים פשוטות יותר‪ ,‬הנתון החדש מצמצם למעשה את "עולם האפשרויות" שלנו ומגביל אותנו לבחור רק בענפים‬
‫בעץ המייצגים את המאורע שידוע כי התרחש‪ .‬לסיכום‪ ,‬נפעל בשלושה שלבים‪:‬‬
‫‪ .1‬נסמן את כל הענפים המכילים את המאורע הידוע ‪) B‬לאורך כל הקומות(‪ ,‬ונחשב את הסתברותם ) ) ‪.( P(B‬‬
‫ענפים מסומנים אלו הם כעת מרחב המדגם של הסעיף בו אנו עוסקים ומבחינתנו הענפים האחרים לא קיימים‪.‬‬
‫‪ .2‬נבחר מבין הענפים שסימנו‪ ,‬את הענף‪/‬ים המכילים את המאורע ‪ A‬שאנו רוצים לדעת את הסתברותו ) ) ‪.( P( A ∩ B‬‬
‫) ‪P( A ∩ B‬‬
‫= ) ‪. P( A B‬‬
‫‪ .3‬ההסתברות המותנית ) ‪ P( A B‬היא ההסתברות של ב' חלקי ההסתברות של א'‪:‬‬
‫) ‪P (B‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫עמוד ‪113‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫הטלת מטבע‬
‫‪0.6‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫חבית ב'‬
‫חבית א'‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫שחור‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫שחור‬
‫לבן‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫לבן‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫שחור‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫לבן‬
‫שחור‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫לבן‬
‫שחור‬
‫לבן‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫שחור‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫לבן‬
‫נחשב את הסתברות האירוע שידוע כי התרחש‪ :‬הוצאת שני כדורים בצבעים שונים‪.‬‬
‫בתרשים מודגשים התרחישים בהם מוציאים שני כדורים בצבעים שונים‪ .‬עלינו להכפיל את ההסתברות בכל ענף‬
‫‪2 4‬‬
‫‪4 2‬‬
‫‪3 2‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪P (B ) = 0.6 ⋅ ⋅ + 0.6 ⋅ ⋅ + 0.4 ⋅ ⋅ + 0.4 ⋅ ⋅ = 0.56‬‬
‫ולחבר את המכפלות‪:‬‬
‫‪6 5‬‬
‫‪6 5‬‬
‫‪5 4‬‬
‫‪5 4‬‬
‫שימו לב! זהו האירוע המשלים של התשובה לסעיף א'‪ ,‬וניתן היה לחשב את הסתברותו גם כך‪. 1 − 0.44 = 0.56 :‬‬
‫כעת נבחר‪ ,‬מבין הענפים המודגשים בלבד )נתעלם מהמקווקווים( את הענפים המכילים את האירוע הרצוי‪ :‬הוצאה‬
‫‪3 2‬‬
‫‪2 3‬‬
‫מכד ב' )הענפים שהוקפו בעיגול(‪. P ( A ∩ B ) = 0.4 ⋅ ⋅ + 0.4 ⋅ ⋅ = 0.24 :‬‬
‫‪5 4‬‬
‫‪5 4‬‬
‫‪P( A ∩ B ) 0.24 3‬‬
‫= ‪PA‬‬
‫=‬
‫ההסתברות המותנית היא‪= :‬‬
‫‪B‬‬
‫) ‪P (B‬‬
‫‪0.56 7‬‬
‫) (‬
‫‪n‬‬
‫‪n−k‬‬
‫ג‪ .‬סעיף זה נפתר באמצעות נוסחת ברנולי‪P =   p k (1 − p ) :‬‬
‫‪k ‬‬
‫תחילה נסמן את הרכיבים ‪ p ,n‬ו‪ k-‬שנציב בנוסחת ברנולי‪:‬‬
‫ההסתברות להוציא שני כדורים בעלי אותו צבע בנסיון בודד חושבה בסעיף א'‪. p = 0.44 :‬‬
‫מספר הנסיונות הוא ‪. n = 7‬‬
‫מספר ההצלחות הרצוי הוא ‪. k = 5‬‬
‫‪n‬‬
‫‪7‬‬
‫‪n−k‬‬
‫‪P =   p k (1 − p ) =   ⋅ 0.44 5 ⋅ 0.56 2 = 0.1086‬‬
‫נציב בנוסחת ברנולי ונקבל‪:‬‬
‫‪k ‬‬
‫‪ 5‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫עמוד ‪114‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫‪2m‬‬
‫שאלה ‪:4‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫א‪ .‬מכיוון שאנו מתבקשים למצוא את ‪ EF‬נתחיל בשימוש בנתונים שקיימים עבורו‪:‬‬
‫‪(1‬‬
‫נתון‬
‫‪ F‬אמצע צלע ‪DO‬‬
‫נתון‬
‫‪EF||CD (2‬‬
‫נובע מ‪ (1)-‬ו‪ .(2)-‬קטע היוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע‬
‫‪(3‬‬
‫‪ EF‬קטע אמצעים במשולש ‪∆CDO‬‬
‫שמולו‬
‫קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע שמולו ושווה‬
‫⇓‬
‫למחציתה‬
‫‪(4‬‬
‫‪ EF = 0.5a‬מש"ל א'‬
‫כעת עלינו להביע את אורך צלע ‪ CG‬בעזרת ‪ . a‬בדרך כלל יהיה קשר כלשהו בין הצלעות אותן אנחנו מתבקשים‬
‫למצוא או להביע בשאלה‪ ,‬לכן נשים לב כי גם ‪ EF‬וגם ‪ CG‬נמצאים בתוך ‪ , ∆ACG‬ומכיוון שהן מקבילות ניתן‬
‫להשתמש כאן במשפט תאלס‪.‬‬
‫‪AE EF‬‬
‫=‬
‫‪: ∆ACG (5‬‬
‫הרחבה שנייה של משפט תאלס‬
‫‪AC CG‬‬
‫נשתמש במאפייני הריבוע והאלכסונים בו כדי למצוא את היחס בתוך המשולש ‪∆ACG‬‬
‫אלכסונים בריבוע שווים זה לזה וחוצים זה את זה ‪+‬‬
‫‪AO = OC = 2m (6‬‬
‫הצבה‬
‫מתוך )‪ (3‬ו‪(6)-‬‬
‫‪OE = EC = m (7‬‬
‫נציב את אורכי הצלעות ביחס תאלס שמצאנו במשולש ‪∆ACG‬‬
‫‪3m 0.5a‬‬
‫=‬
‫‪: ∆ACG (8‬‬
‫‪4m CG‬‬
‫⇓‬
‫‪(9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪ CG‬מש"ל א'‬
‫המשך הפתרון בעמוד הבא‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫עמוד ‪115‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫ב‪ .‬נתון ששטח הטרפז ‪ CEFG‬הוא ‪ 21‬סמ"ר‪ ,‬ומבקשים מאתנו לחשב את‬
‫‪ . a‬נשים לב כי בסעיף א' הבענו בעזרת ‪ a‬את שני אורכי בסיסי הטרפז )‪EF‬‬
‫ו‪ (CG-‬ולכן נותר רק להביע את גובה הטרפז כדי למצוא את ‪. a‬‬
‫‪N‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ OM (10‬גובה במשולש שווה שוקיים ‪∆OCD‬‬
‫‪OM||AD (11‬‬
‫‪ OM (12‬קטע אמצעים במשולש ‪∆ACD‬‬
‫‪(13‬‬
‫בניית עזר‬
‫שני הישרים מאונכים ל‪ CD-‬ולכן הזוויות מתאימות‬
‫ישר היוצא מאמצע צלע )‪ (6‬ומקביל לצלע שמולו )‪(11‬‬
‫הוא קטע אמצעים‬
‫⇓‬
‫‪OM = 0.5a‬‬
‫גובה הטרפז הוא ‪ ,NM‬ואותו אנו רוצים להביע‪.‬‬
‫‪ (14‬במשולש ‪ EN : ∆OCM‬קטע אמצעים‬
‫קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע שמולו‬
‫קטע שיוצא מאמצע צלע במשולש )‪ (7‬ומקביל לצלע‬
‫שמולו )‪(2‬‬
‫‪(15‬‬
‫⇓‬
‫מתוך )‪ (13‬ו‪(14)-‬‬
‫‪ON = NM = 0.25a‬‬
‫נציב את אורכי הצלעות בנוסחת שטח הטרפז ונשווה לנתון‪ .‬נקבל‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪( a + a) ⋅ a‬‬
‫‪(EF + GC) ⋅ MN‬‬
‫‪ 12 (16‬ס"מ = ‪3 4 = 21 → 7 a 2 = 21 → a 2 = 144 → a‬‬
‫= ‪S EFGC‬‬
‫‪= 21 → 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪48‬‬
‫מש"ל ב'‬
‫ג‪ .‬נתון שהנקודה ‪ K‬היא אמצע ‪ ,BO‬ואנו מתבקשים להוכיח כי המרובע‬
‫‪ CKFG‬הוא טרפז‪ .‬ניעזר בציור ונוכיח כי‪:‬‬
‫‪ .1‬שוקיו אינן מקבילות )הדבר נובע מכך שהמשכי שוקיו ‪ KF‬ו‪ CG-‬נחתכים‬
‫בנקודה ‪.(D‬‬
‫‪ .2‬בסיסי הטרפז מקבילים )‪ . (FG||KC‬נוכיח זאת אם נראה כי משפט תאלס‬
‫מתקיים במשולש ‪: ∆CDK‬‬
‫‪(17‬‬
‫‪(18‬‬
‫‪(19‬‬
‫‪(20‬‬
‫‪OD = OB = 2m‬‬
‫‪KO = OF = FD = m‬‬
‫‪CD = 12 , CG = 8 → GD = 4‬‬
‫‪: ∆CDK‬‬
‫‪m 4‬‬
‫‪1 1‬‬
‫= → =‬
‫‪2m 8‬‬
‫‪2 2‬‬
‫→‬
‫אלכסוני הריבוע שווים זה לזה וחוצים זה את זה ו‪(6)-‬‬
‫נתון ‪ K‬ו‪ F-‬אמצעי צלעות ‪ BO‬ו‪ DO-‬בהתאמה‪.‬‬
‫אורך צלע הריבוע היא ‪) 12‬מש"ל ב'(‪ ,‬וכן מתוך )‪(9‬‬
‫וחיסור קטעים‬
‫‪DF DG‬‬
‫?‬
‫בדיקה לפי משפט תאלס הפוך אם ‪.FG||KC‬‬
‫‪FK GC‬‬
‫⇓‬
‫‪ CKFG‬טרפז מש"ל ג'‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫עמוד ‪116‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫שאלה ‪:5‬‬
‫‪α‬‬
‫‪6a‬‬
‫‪7a‬‬
‫‪4a‬‬
‫‪180 ° − α‬‬
‫‪5a‬‬
‫א‪ .‬ראשית‪ ,‬נשים לב כי במרובע חסום הזוויות הנגדיות משלימות ל‪ .1800-‬נסמן את הזווית ‪ , p BAD = α‬ובהתאמה את הזווית‬
‫‪ . p BCD = 180° − α‬כעת ניעזר במשפט הקוסינוסים במשולשים ‪ ∆ABD‬ו‪: ∆BCD -‬‬
‫נתון‬
‫‪CD= 5a ,AD= 7a ,BC= 4a ,AB= 6a (1‬‬
‫‪ (2‬משפט הקוסינוסים במשולש ‪: ∆ABD‬‬
‫‪85a 2 − BD 2‬‬
‫) ‪BD = (6a ) + (7 a‬‬
‫‪84a 2‬‬
‫‪ (3‬משפט הקוסינוסים במשולש ‪: ∆BCD‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫→ ) ‪BD = (4a ) + (5a ) − 2 ⋅ 4a ⋅ 5a ⋅ cos (180° − α ) → BD = 41a − 40a ⋅ cos (180° − α‬‬
‫= ‪− 2 ⋅ 6a ⋅ 7 a ⋅ cos α → BD = 85a − 84a ⋅ cos α → cos α‬‬
‫‪2‬‬
‫נבודד את הקוסינוס ונקבל‪:‬‬
‫ניעזר בזהות‪ cos(180° − α ) = − cos α :‬ונקבל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪41a 2 − BD 2‬‬
‫‪40a 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ) ‪cos(180° − α‬‬
‫‪− 41a 2 + BD 2‬‬
‫‪41a 2 − BD 2‬‬
‫‪cos‬‬
‫‪α‬‬
‫=‬
‫→‬
‫‪40a 2‬‬
‫‪40a 2‬‬
‫= ‪− cos α‬‬
‫‪ (4‬נשווה בין )‪ (2‬ו‪ ,(3)-‬נכפיל בהצלבה ונקבל‪:‬‬
‫‪85a − BD‬‬
‫‪− 41a + BD‬‬
‫=‬
‫‪→ 3400a 2 − 40BD2 = −3444a 2 + 84BD2 → 124BD2 = 6844a 2 → BD2 = 55.19a 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪84a‬‬
‫‪40a 2‬‬
‫נוציא שורש ונקבל‪BD = 7.43a :‬‬
‫ב‪ .‬נציב ‪ BD = 7.43a‬ב‪ (2)-‬ונקבל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪85a − BD‬‬
‫‪85a − 55.19a‬‬
‫‪29.81a‬‬
‫= ‪cos α‬‬
‫= ‪→ cos α‬‬
‫= ‪→ cos α‬‬
‫‪→ cos α = 0.354 → α = 69.21°‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪84a‬‬
‫‪84a‬‬
‫‪84a 2‬‬
‫ג‪ .‬נתון שטח המעגל‪ 56 :‬סמ"ר‪ .‬הנוסחה לשטח מעגל היא‪. S = π r 2 :‬‬
‫‪ 4.22‬ס"מ = ‪πr 2 = 56 → r 2 = 17.82 → r‬‬
‫ניעזר בנוסחה לשטח מעגל ונמצא את אורך רדיוס המעגל‪:‬‬
‫‪ (5‬לבסוף‪ ,‬ניעזר במשפט הסינוסים במשולש ‪ ∆ABD‬החסום במעגל‪:‬‬
‫‪BD‬‬
‫‪7.43a‬‬
‫→ ‪= 2R‬‬
‫‪ 1.062‬ס"מ = ‪= 2 ⋅ 4.22 → 7.43a = 7.89 → a‬‬
‫‪sin α‬‬
‫‪sin 69.22°‬‬
‫‪2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫עמוד ‪117‬‬
‫‪2‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫שאלה ‪:6‬‬
‫א‪ .1 .‬הפונקציה ‪ f ( x ) = x ⋅ 12 x − x 2‬מוגדרת כאשר הביטוי שבתוך השורש אינו שלילי‪:‬‬
‫את אי השוויון נפתור כך‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫ראשית‪ ,‬נמצא את פתרונות המשוואה‪ . x ⋅ (12 − x ) = 0 ← 12 x − x = 0 :‬הפתרונות הם‪ x = 0 :‬ו‪. x = 12 -‬‬
‫כעת נמקם את הפתרונות על ציר המספרים ונשרטט דרכם פרבולה‪ .‬את כיוון הפרבולה )"מחייכת" או "עצובה"(‬
‫נקבע לפי המקדם של ‪ . x 2‬במקרה שלנו‪ ,‬המקדם של ‪ x 2‬הוא שלילי‪ , 12 x − x 2 ≥ 0 :‬ולכן נצייר פרבולה "עצובה"‪.‬‬
‫לפי אי השוויון ) ‪ ,( ≥ 0‬התחום הרצוי הוא התחום החיובי‪ ,‬כלומר התחום שנמצא מעל ציר ה‪:x-‬‬
‫לסיכום‪ ,‬פתרון אי השוויון הוא‪. 0 ≤ x ≤ 12 :‬‬
‫‪12‬‬
‫‪0‬‬
‫‪. 12 x − x 2 ≥ 0‬‬
‫‪ .2‬עלינו למצוא את נקודות הקיצון‪ .‬נזכור כי מכיוון שתחום ההגדרה כולל את קצות התחום‪ ,‬קיימות גם שתי נקודות‬
‫קיצון בקצה התחום‪ .‬נתחיל מנקודות הקיצון הפנימיות‪ .‬נגזור באמצעות נגזרת מכפלה ונשווה את הנגזרת ל‪:0-‬‬
‫‪12 − 2 x‬‬
‫⋅ ‪f ' ( x ) = 1 ⋅ 12 x − x 2 + x‬‬
‫‪= 0 ⋅ 2 12 x − x 2 → 2 ⋅ 12 x − x 2 + 12 x − 2 x 2 = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 12 x − x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ⋅ 12 x − x + 12 x − 2 x = 0 → 24 x − 2 x 2 + 12 x − 2 x 2 = 0 → 36 x − 4 x 2 = 0 → 4 x ⋅ (9 − x ) = 0‬‬
‫הנקודות החשודות כנקודות קיצון הן‪) x = 0 :‬שהיא גם אחת מנקודות קצה התחום( ו‪. x = 9 -‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫נציב את שתי הנקודות הללו בטבלת‬
‫עליה וירידה ובנוסף גם את נקודת‬
‫הקיצון בקצה התחום הימני‪x = 12 :‬‬
‫ונבדוק את סוגן‪:‬‬
‫‪x = 12‬‬
‫קצה‬
‫‪9 < x < 12‬‬
‫‪10‬‬
‫‪-‬‬
‫‪min‬‬
‫‪x=9‬‬
‫קיצון‬
‫‪0< x<9‬‬
‫‪5‬‬
‫‪+‬‬
‫(‬
‫תחום ‪x‬‬
‫‪x=0‬‬
‫קצה נציב בנגזרת‬
‫סימן הנגזרת‬
‫הפונקציה‬
‫‪ min‬עולה‪/‬יורדת‬
‫‪max‬‬
‫לבסוף נציב את ערכי ה‪ x-‬של נקודות הקיצון בפונקציה המקורית ונמצא את ערכי ה‪ y-‬שלהן‪:‬‬
‫‪f (12 ) = 12 ⋅ 12 ⋅12 − 12 2 = 0‬‬
‫‪f (9) = 9 ⋅ 12 ⋅ 9 − 9 2 = 46.7‬‬
‫‪f (0) = 0 ⋅ 12 ⋅ 0 − 0 = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫לסיכום‪ :‬נקודות הקיצון הן‪ :‬הפנימית‪ Max (9,46 .7 ) :‬ובקצה התחום‪ , Min (0,0 ) :‬ו‪. Min (12,0 ) :‬‬
‫‪ .3‬נציב ‪ x=0‬בפונקציה ונמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה‪:y-‬‬
‫נציב ‪ y=0‬בפונקציה ונמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה‪:x-‬‬
‫) ‪f (0) = 0 ⋅ 12 ⋅ 0 − 0 2 = 0 → (0,0‬‬
‫) ‪x ⋅ 12 x − x 2 = 0 ( ) → x 2 (12 x − x 2 ) = 0 → x 3 (12 − x ) = 0 → x = 0 , x = 12 → (0,0 ) , (12,0‬‬
‫בפועל‪ ,‬במקרה זה לא היה צורך לעשות זאת‪ ,‬מכיוון שכבר מצאנו את נקודות החיתוך עם הצירים בסעיפים‬
‫הקודמים‪ (0,0 ) :‬ו‪. (12,0 ) -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .4‬נחלץ את תחומי העלייה והירידה מהטבלה למעלה‪ :‬עלייה‪ , 0 < x < 9 :‬ירידה‪. 9 < x < 12 :‬‬
‫ב‪ .‬השרטוט‪:‬‬
‫ג‪ .‬פתרון המשוואה ‪ f (x ) = b‬הוא למעשה כמו מציאת נקודות החיתוך בין גרף הפונקציה ) ‪ f ( x‬לבין הישר ‪. y = b‬‬
‫הישר ‪ y = b‬הוא ישר ששיפועו ‪ 0‬ולכן הוא בהכרח מקביל לציר ה‪ .x-‬נבדוק מתי לישר יש‬
‫נקודת חיתוך אחת בלבד עם הפונקציה‪ .‬למעשה זה מתקיים כאשר הישר משיק לגרף‬
‫הפונקציה בנקודת המקסימום שלה‪:‬‬
‫מכאן שמשוואת הישר מוכרחה להיות‪ , y = 46 .7 :‬ומכאן שערכו של ‪ b‬הוא‪. b = 46 .7 :‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫עמוד ‪118‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫שאלה ‪:7‬‬
‫א‪ .‬זוהי בעיית ערך קיצון‪ .‬בשאלות מסוג זה נפעל תמיד באמצעות ארבעת השלבים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬הרכבת "פונקציית המטרה" וכתיבתה תוך שימוש בנעלם אחד בלבד‪.‬‬
‫‪ .2‬מציאת הנקודות החשודות כנקודות קיצון‪ ,‬על ידי גזירת פונקציית המטרה‪ ,‬והשוואת הנגזרת ל‪.0-‬‬
‫‪ .3‬קביעת סוג הנקודות )מינימום‪/‬מקסימום(‪ ,‬באמצעות טבלת עליה וירידה או באמצעות הנגזרת השנייה‪.‬‬
‫‪ .4‬בדיקה מחדש‪" :‬מה ביקשו בשאלה?"‪ ,‬ומציאת התשובה בהתאם לנקודת הקיצון שמצאנו‪.‬‬
‫‪ .1‬ראשית‪ ,‬נביע את שלושת המספרים באמצעות משתנה ‪ x‬בלבד‪:‬‬
‫לפי הנתון‪ ,‬שני המספרים הראשונים שווים ולכן נסמן את שניהם באמצעות ‪ :x‬הראשון‪ ,x :‬השני‪ ,x :‬השלישי‪.c :‬‬
‫‪x + x + c = 48 → c = 48 − 2 x‬‬
‫סכום שלושת המספרים הוא ‪ 48‬ומכאן שהמספר השלישי הוא‪:‬‬
‫כעת נרכיב את פונקציית המטרה‪ :‬מכפלת המספר הראשון‪ ,‬בריבועו של השני ובמספר השלישי‪:‬‬
‫‪f ( x ) = x ⋅ x 2 ⋅ (48 − 2 x ) → f ( x ) = x 3 ⋅ (48 − 2 x ) → f ( x ) = 48 x 3 − 2 x 4‬‬
‫‪ .2‬נגזור את פונקציית המטרה ונשווה ל‪:0-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f ' ( x ) = 3 ⋅ 48 x − 4 ⋅ 2 x = 0 → 144 x − 8 x = 0 → 8 x (18 − x ) = 0 → x = 0 , x = 18‬‬
‫‪ .3‬נבדוק את סוג נקודת הקיצון ‪ -‬מינימום או מקסימום ‪ -‬באמצעות טבלה או נגזרת שנייה‪ .‬במקרה זה נוח יותר‬
‫‪f ' ' ( x ) = 288 x − 24 x 2‬‬
‫לבדוק באמצעות הנגזרת השנייה‪:‬‬
‫‪f ' ' (0) = 288 ⋅ 0 − 24 ⋅ 0 2 = 0‬‬
‫נציב את הנקודות החשודות ונבדוק את סימן הנגזרת השנייה‪:‬‬
‫‪f ' ' (18) = 288 ⋅ 18 − 24 ⋅ 18 2 = −2,592 < 0‬‬
‫בנקודה ‪ x = 18‬הנגזרת השנייה שלילית ולכן זוהי נקודת המקסימום‪ .‬כלומר המספר הראשון הוא‪. 18 :‬‬
‫ב‪ .‬עלינו למצוא את המכפלה המקסימלית‪ :‬נזכור כי פונקציית המטרה שהרכבנו בסעיף א' מתארת את המכפלה‪.‬‬
‫בכדי למצוא מתי היא מקסימלית נציב בפונקציה את נקודת המקסימום שמצאנו‪. x = 18 :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪f (18) = 48 ⋅ 18 − 2 ⋅ 18 4 = 69,984‬‬
‫נציב את הפתרון ‪ x = 18‬בפונקציית המטרה ונקבל‪:‬‬
‫שאלה ‪:8‬‬
‫‪ax − 4‬‬
‫א‪ .1.‬שתי האסימפטוטות של הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2 + b2‬‬
‫מכיוון שאסימפטוטות הן ישרים המקבילים לצירים‪ ,‬ניתן להסיק כי האסימפטוטה‬
‫האנכית היא ‪ x = 0‬ואילו האסימפטוטה האופקית היא‪. y = 1 :‬‬
‫‪2‬‬
‫= ) ‪ f ( x‬נחתכות בנקודה )‪. (0,1‬‬
‫‪y =1‬‬
‫)‪(0,1‬‬
‫‪x=0‬‬
‫בפונקציית מנה‪ ,‬אסימפטוטה אנכית מתקבלת כאשר המכנה מתאפס‪ .‬מכיוון שהאסימפטוטה האנכית היא ‪, x = 0‬‬
‫נסיק כי המכנה מתאפס כאשר ‪ . x = 0‬לכן‪ ,‬נוכל להשוות את המכנה ל‪ 0-‬ולהציב ‪ x = 0‬וכך נמצא את ‪:b‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x + b = 0 → 02 + b2 = 0 → b = 0‬‬
‫כאמור‪ ,‬האסימפטוטה האופקית היא ‪ . y = 1‬מכיוון שהן במונה והן במכנה החזקה הגבוהה ביותר של ‪ x‬היא‪, x 2 :‬‬
‫)מצב של "תיקו" בין המונה למכנה(‪ ,‬האסימפטוטה האופקית מתקבלת מחישוב יחס המקדמים של ‪ . x 2‬נקבל‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪= 1 → a =1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x2 − 4‬‬
‫= ) ‪ , f ( x‬ותחום ההגדרה הוא‪. x ≠ 0 :‬‬
‫כעת‪ ,‬לאחר מציאת הפרמטרים‪ ,‬מצאנו שהפונקציה היא‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ .2‬נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל‪:0-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2x ⋅ x − 2x x − 4‬‬
‫= )‪f ' ( x‬‬
‫‪= 0 → 2x 3 − 2 x 3 + 8x = 0 → 8x = 0 → x = 0‬‬
‫‪x4‬‬
‫לפי תחום ההגדרה שמצאנו ‪ , x ≠ 0‬ולכן לא ייתכן כי לפונקציה יש נקודת קיצון כאשר ‪. x = 0‬‬
‫)‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫(‬
‫עמוד ‪119‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫‪ .3‬מכיוון ש‪ x ≠ 0 -‬אין לפונקציה נקודת חיתוך עם ציר ה‪.y-‬‬
‫נציב ‪ y=0‬ונמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה‪:x-‬‬
‫‪x2 − 4‬‬
‫)‪→ x 2 − 4 = 0 → x 2 = 4 → x = ±2 → (− 2,0) , (2,0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .4‬ניעזר בטבלת עלייה וירידה‪ .‬לפונקציה אין נקודות קיצון‪ ,‬ולכן נציב בטבלה רק את האסימפטוטה האנכית‪:‬‬
‫‪0< x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪x=0‬‬
‫אסימפטוטה‬
‫‪x<0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪-‬‬
‫=‪0‬‬
‫תחום העלייה הוא‪0 < x :‬‬
‫תחום הירידה הוא‪x < 0 :‬‬
‫תחום ‪x‬‬
‫נציב בנגזרת‬
‫סימן הנגזרת‬
‫הפונקציה‬
‫עולה‪/‬יורדת‬
‫‪ .5‬כפי שמצאנו בסעיף א'‪ ,‬האסימפטוטות המקבילות לצירים הן‪ x = 0 :‬ו‪. y = 1 -‬‬
‫ב‪ .‬השרטוט‪:‬‬
‫‪y =1‬‬
‫)‪(2,0‬‬
‫)‪(− 2,0‬‬
‫‪x=0‬‬
‫ג‪ .‬נתבונן בשטח ‪ S‬המבוקש המסומן בשרטוט‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x2 − 4‬‬
‫∫ = ‪.S‬‬
‫עלינו לחשב את האינטגרל‪dx :‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪2‬‬
‫ניעזר בהדרכה ונפשט את האינטגרל על ידי פירוק הפונקציה‬
‫לשני שברים נפרדים וצמצום‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪− 2 dx = ∫ 1 − 2 dx = ∫ 1 − 4 x −2 dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪3‬‬
‫∫‬
‫=‪S‬‬
‫‪2‬‬
‫כעת נוכל לחשב את האינטגרל‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫יח"ר = ‪S‬‬
‫‪4 ‬‬
‫‪4‬‬
‫→ ‪ − 2 + ‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪= 3 +‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪−1 3‬‬
‫‪= x+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4x‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪S = ∫ 1 − 4 x −2 dx = x −‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫‪2‬‬
‫עמוד ‪120‬‬