המספרים המרוכבים
אוניברסיטת תל-אביב
החוג להוראת המדעים
עמוס ארליך
המספרים המרוכבים
תוכן הענינים
) (1היכרות ראשונה עם המספרים המרוכבים
ע1 .
דרכי החישוב במספרים מרוכבים .הצורך בניסוח מפורט של תכונותיהם.
) (2בניית מערכת המספרים המרוכבים
ע3 .
המספרים המרוכבים כנקודות במישור ,הוכחת תכונותיהם היסודיות.
שימושים ראשונים בהצגה הגיאומטרית.
) (3שורשים e ,בחזקת מספר מרוכב
ע7 .
חישוב שורשים ,שורשי יחידה ez .ותכונותיו ,סכום תנודות סינוסיות.
) (4המשפט היסודי של האלגברה
ע9 .
פתירת משוואה ריבועית .המשפט היסודי של האלגברה והוכחתו ,כולל
שיקולים שהובילו למציאת ההוכחה.
פתרונות לתרגילים
ע12 .
© פסגות ,תשנ"ז תשס"ז
מותר להעתיק ולצלם לשימוש עצמי ,ומורים ובתי ספר רשאים להדפיס במהדורה לא מסחרית
לשימוש תלמידיהם .במסגרת זאת מותר להעתיק חלקים של הקובץ ובלבד שיצוין שם המחבר
ותצורף הפניה אל הקובץ השלם ,ומותר להוסיף הערות ותוספות ובלבד שיפורש מי כתב אותן.
עמוס ארליך
המספרים המרוכבים
) (1היכרות ראשונה עם המספרים המרוכבים
מבוא
מערכת המספרים המרוכבים עשויה להיראות מוזרה בעיני מי שאינו מכיר אותה ,אך יש לה שימושים רבים
הן במתמטיקה והן במדעים הפיזיקליים .באורח שנחשב במשך דורות לאורח-פלא ,מפשט השימוש במספרים
מרוכבים את הטיפול בהרבה נושאים.
בסעיף הנוכחי ובסעיף שאחריו נציג מערכת המספרים המרוכבים בשלושה שלבים .בשלב הראשון נציע נוסח
מקוצר של כללי החישוב במספרים מרוכבים ונצרף לו דוגמאות אחדות .בשלב הביניים ,שיהיה שלב קצר,
נצביע על הבדל חשוב אחד שבין תכונות המספרים המרוכבים ובין תכונות המספרים הממשיים .בשלב
האחרון ,שיהיה עיקרו של הסעיף הבא ,נענה לשאלה מניין לנו שקיימת מערכת עצמים מתמטיים בעלת
התכונות שייחסנו למערכת המספרים המרוכבים ,ומניין לנו שהתכונה המוזרה שנכללה בנוסח המקוצר של
כללי החישוב ,אינה מובילה אל סתירות פנימיות.
והרי תקציר דרכי החישוב במספרים מרוכבים:
כל מספר מרוכב ניתן לכתיבה בצורה ,x+yiכאשר xו y -הם מספרים ממשיים כלשהם )מספרים רגילים(,
ואילו iהוא איבר מיוחד .החישוב במספרים מרוכבים נעשה כאילו גם iהוא מספר ממשי רגיל ,אך i2שווה ל-
. -1
דוגמאות:
2+3iהוא מספר מרוכב.
גם מספר ממשי כגון 17.5נחשב למספר מרוכב כי הוא שווה ל . 17.5+0.i -ומצד שני ,מספר מרוכב כגון 5i
)השווה ל (0+5i -נקרא מספר דמיוני-טהור.
ערכו של הביטוי ) (3+4i) . (5+2i)+(6-7iמחושב כך:
= )(3+4i) . (5+2i)+(6-7i) = (3.5+3.2i+4i.5+4i.2i)+(6-7i
= = 15 + 6i + 20i + 8i2 + 6 -7i
=)= ( 15 + 8i2 + 6) + (6i + 20i - 7i
= ( 15 - 8 + 6) + ( 6 + 20 - 7) . i = 13 + 19i
תרגיל ) .1מומלץ לפתור תרגיל זה בדרך המפורטת שלעיל ולא בדרך המקוצרת שלהלן(.
= ). (4+3i) (2+5iא
= ). (-3+2i) . (6-4iב
= . (1+i) . (2-i) + (5-3i) . 2iג
.
הדוגמה הבאה מציגה דרך מקוצרת לחישוב במספרים מרוכבים.
המבוקש:
בשלב א נכין מסגרות בשביל החלק הממשי ובשביל החלק הכופל את :i
( = )(2+3i) . (5+4i)+(-1+7i) . (2-5i
()+
)i
)(2-3i) . (5+4i)+(-1+7i) . (2+5i
בשלב ב נחשב את
המכפלות הנותנות
מספר ממשי :
בשלב ג נחשב את
המכפלות הנותנות
מספר דמיוני :
)i
( (2+3i) . (5+4i)+(-1+7i) . (2-5i) = (10 - 12 - 2 +35 ) +
(2+3i) . (5+4i)+(-1+7i) . (2-5i) = (10 - 12 - 2 +35 ) + ( 8 + 15 + 5 + 14)i
בשלב ד נבדוק את מספר המחוברים בכל חלק כדי לוודא שלא שכחנו שום מכפלה) .כדאי לחשוב על מספרי
המחוברים כבר בשלב א ,כדי להקצות להם מקום מתאים(.
ובשלב ה נחבר:
(2+3i) . (5+4i)+(-1+7i) . (2-5i) = (10 - 12 - 2 +35 ) + ( 8 + 15 + 5 + 14)i = 11 + 42i
)בפועל נכתוב רק את מה שמופיע כאן כשלב ה(.
1
עמוס ארליך
המספרים המרוכבים
תרגיל .2חשב:
= ). (6-2i)(4+3i)+(3+i)(1-2iא
= ). (2+3i)(4+5i)(6+7iב
= . (4+3i)2ג
תרגיל .3כתוב עשרה איברים נוספים לסידרה ההנדסית . 1, i, -1, ....
2
תרגיל .4א .בדוק את נכונות השוויון . 1 + 1 i = i
2
2
ב .כתוב עשרה איברים נוספים לסידרה ההנדסית ) . 1 , 1 + 1 i , i ,.חשיבה חוסכת חישובים !(
2
2
תרגיל .5
שלושת המספרים הראשונים של הסידרה של תרגיל 4ב מיוצגים בציור
שמשמאל על-ידי נקודות בדרך הבאה :מספר מרוכב הנכתב בצורה x+yi
עם xו y -ממשיים מיוצג על-ידי הנקודה ).(x,y
) i=0+1.i ,1=1+0.iו.( 1/ 2 ≈ 0.7 -
ייצג בדרך דומה את שאר המספרים שבסידרה!
)(0,1
)(0.7,0.7
)(0,1
הערה :התוצאה המתקבלת תשתלב בהמשך במשהו כללי.
מרוכבים צמודים וחילוק
(5+3i)(5-3i) = 52-(3i)2 = 25-9i2 = 25+9
לדוגמת הכפל הבאה חשיבות מיוחדת.
וכן לכל xו y -ממשיים,
(x+yi)(x-yi) .= x2+y2
הגדרה :המספרים המרוכבים x+yiו) x-yi -עם xו y -ממשיים( נקראים צמודים.
חשיבות המושג "מרוכבים צמודים" נובעת מזה שהכפלת מספר מרוכב במספר הצמוד לו נותנת מספר ממשי.
התועלת שבכך תודגם בתרגיל החילוק הבא:
7 − 9i 7 − 9i 3 − 4i − 15 − 55i
=
⋅
=
= − 0.6 − 2.2i
3 + 4i 3 + 4i 3 − 4i
25
תרגיל .6חלק:
= ). (9+20i) / (2+3iא
= ) . (40-30i) / ( 7 + 3 iב
= ). 1 / (1+iג
תרגיל .7פתור את המשוואות הבאות )הנעלם הוא מספר מרוכב המסומן ( z
. (5+2i) . z + (-1+3i) = 25-2iא
). (8-5i) . z + (9+7i) = (2+3i) . z + (7+23iב
הצורך בפירוט נוסף של תכונות המספרים המרוכבים
נפתח בתכונה שלילית :במערכת המרוכבים אין יחס סדר ) (a>bהמקיים את התכונות הרגילות של הסדר
שבמערכת המספרים הממשיים .הבה נראה שהנחת קיומו של סדר כזה מובילה לסתירה.
אם i>0אז ,לפי חוקי הסדר הרגילים,
3>2 ⇒ 3i>2i ⇒ 3i2>2i2 ⇒ -3>-2
אם i<0אז -i>oומכאן בדרך דומה,
2
2
3>2 ⇒ −3i>-2i ⇒ 3i >2i ⇒ -3>-2
ואילו אם i=0אז i2 =0כלומר. -1=0 ,
2
עמוס ארליך
המספרים המרוכבים
מסקנה ראשונה :תכונות המספרים המרוכבים צריכות להיות מנוסחות בפירוט שימנע את המחשבה שהן
כוללות גם את תכונות הסדר של המספרים הממשיים.
מסקנה שניה :יש להוכיח שהתכונות הקשורות בארבע פעולות החשבון ובשוויון ,אינן מובילות לסתירה.
ניישם מסקנות אלה בכך שנבנה את תורת המספרים המרוכבים כענף של תורת המספרים הממשיים ושל
גיאומטרית המישור .זה יהיה נושאו העיקרי של הסעיף הבא.
הערה :הסעיף הבא יכלול גם כמה מסקנות על דרכי החישוב במספרים מרוכבים .ריכוז מסקנות אלה יופיע
בסוף הסעיף.
) (2בניית מערכת המספרים המרוכבים
הערה מקדימה :בתחילת התהליך תהיה למושג "מספר מרוכב" משמעות שונה מזו שהיתה לו בסעיף הקודם,
ורק בהמשך יעלה הקשר עם המשמעות הקודמת .מכיוון שהסעיף הנוכחי מיועד לתת בסיס מתימטי להנחות
שבראש הסעיף הקודם )וממילא גם לשאר הדברים האמורים שם( ,אין הסעיף הנוכחי יכול להסתמך על
האמור שם .אפילו הטענה שכל מספר מרוכב zניתן לכתיבה בצורה x+yiעם xו y -ממשיים ,לא תיחשב כאן
לטענה תקפה אלא אחרי שנוכיח אותה.
ובכן ,נקבע במישור שני ישרים ,ישר אופקי וישר ניצב לו )ציר xוציר .(yאת נקודת פגישתם נסמן במספר 0
ובמרחק כלשהו מימינה נסמן נקודה .1באופן זה תותאם כל נקודה שעל הישר האופקי למספר ממשי אחד,
והישר כולו יקרא "הישר הממשי" )בנוסף לשם הישן "ציר .("xעל הישר הניצב נקבע נקודה שתסומן .iנקודה
זאת תהיה מעל נקודת ה 0 -ומרחקן יהיה שווה למרחק שמ 0 -אל .1כל
נקודה zשבמישור ,כולל iונקודות הישר הממשי ,תקרא "מספר מרוכב".
z
y
לכל מספר מרוכב יתאימו אפוא ארבעה מספרים ממשיים .קואורדינטת ,x
uur
uur
קואורדינטת ,yהמרחק rמ 0 -והזווית θשמהקרן 01אל הקרן . 0z
r
i
ובפרט ,למספר ממשי חיובי יתאים ,θ=0oלמספר ממשי שלילי יתאים
θ=180oול i -יתאים .θ=90οל 0 -אפשר לתת כל θשהוא ,ול θ -זה לא
θ
תהיה כל חשיבות.
0
1 x
.
הקשרים שבין ארבעה מספרים אלה הםx = r cos θ :
. y = r .sin θ
את פעולת החיבור במספרים מרוכבים נגדיר בעזרת ה-x -ים וה-y -ים ,ואילו את פעולת הכפל נגדיר בעזרת
ה-r -ים וה-θ -ים .מכיוון שהתכונה החדשה i2=-1היא תכונה כִּ פלית ,נפתח בהגדרת הכפל.
כפל מרוכבים וחוקיו
הגדרה :אם z1ו z2 -הם בעלי r2 ,θ1,r1ו θ2 -בהתאמה ,אז מכפלתם z1.z2תהיה המספר המרוכב בעל r=r1.r2ו-
. θ=θ1+θ2
.
o
o
לדוגמה ,אם z1היא בעלת r =3ו θ=30 -ו z2 -היא בעלת r =2ו θ=40 -אז z1 z2תהיה הנקודה בעלת r =6ו-
.θ=70ο
כפל ממשיים לפי הגדרה זאת ,שווה לכפל הרגיל שלהם ,כי אם z1ו z2 -הם ממשיים חיוביים אז הזווית θשל
מכפלתם היא 0o+0o=0oלכן גם המכפלה היא ממשי-חיובי .אם אחד מהם חיובי ואחד שלילי אז θשל
מכפלתם היא 180 o + 0 o =180 oלכן המכפלה שלילית ,ואם שניהם שליליים אז למכפלה
θ=180o+180ο=360 oוזה שקול ל ,θ=0o -לכן המכפלה חיובית ) .לא קשה לראות שגם הערכים המוחלטים
"יוצאים בסדר"(.
o
o
o
.
2
מההגדרה נובע ש) i =-1 -כי 1 1=1ו(90 +90 =180 -
כן נובע מההגדרה שמכפלת ממשי ב i -היא בעלת θהשווה ל 90 o -או ל 270 o -כלומר ,היא על ציר .y
3
עמוס ארליך
המספרים המרוכבים
הערה :לציר yיהיה אפוא מעמד כפול .כשנדבר על קואורדינטות של נקודה הוא יהיה ציר-מספרים-ממשיים
כמו ציר ,xאך כשנדבר עליו כעל חלק ממישור המספרים המרוכבים תהיינה נקודותיו מספרים דמיוניים,
כלומר ,מספרים מהצורה ) yiכאשר yהוא הקואורדינטה הממשית המתאימה(.
מחוקי החילוף לכפל ולחיבור ממשיים נובע שחוק החילוף מתמלא בשביל כפל מרוכבים ,כי בסימונים
המתאימים,
r1.r2=r2.r1ו.θ1+θ2=θ2+θ1 -
ההוכחה המקבילה בשביל חוק הקיבוץ מסתיימת במלים "ו." θ1+(θ2+θ3)=(θ1+θ2)+θ3 -
משני חוקים אלה נובע שבהנתן ביטוי המורכב ממספרים מרוכבים וממסגרות וסימני-כפל הקושרים אותם,
ניתן להשמיט את המסגרות-הקושרות ולשנות את סדר הגורמים בלי שישתנה ערך הביטוי.
במקום לנסח הוכחה כללית לכך נסתפק בדוגמה .נוכיח שלכל c ,b ,aו d -מרוכבים,
)(a.b).(c.d) = (a.c).(b.d
חילוף
קיבוץ
קיבוץ
חילוף
קיבוץ )(a+bנחשב איבר אחד
)(a.b) . (c.d) = ((a.b) . c).d = (a.(b.c)) .d = (a .(c.b)).d = ((a.c).b) .d = (a.c).(b.d
שני חוקים בסיסים אחרים על דבר הכפל הם :א .לכל .z .1=z ,zב .לכל 0 ≠ z1קיים z2אשר .z1.z2=1
הוכחת א עולה מזה ש 1 -הוא בעל r=1ו. θ=0 -
.
הוכחת ב :אם z1הוא בעל r1ו θ1 -אז המספר המרוכב z2בעל 1/r1ו -θ1 -ממלא את השוויון . z1 z2=1
z2זה נקרא ההפוך של z1והוא מסומן 1/z1או .z1-1
חיבור מרוכבים וחוקיו
נעבור אל החיבור ונגדיר :אם z1ו z2 -הם בעלי הקואורדינטות x2 ,y1 ,x1ו y2 -בהתאמה ,אז סכומם z1+z2
יהיה המספר המרוכב בעל הקואורדינטות x=x1+x2ו. y=y1+y2 -
קל לראות שחוקי החילוף והקיבוץ מתמלאים על-ידי חיבור זה ,שלכל ,z+0=z ,zשלכל z1קיים z2אשר
z2) z1+z2=0זה נקרא הנגדי של z1והוא מסומן ,(-z1ושחיבור מרוכבים שהם ממשיים )כלומר ,בעלי
קואורדינטת y -שווה ל (0 -הוא החיבור הרגיל של ממשיים.
אפשר לראות שאם z3= z1+z2אז הקטע 0z3הוא האלכסון במקבילית בעלת הצלעות 0z1ו.0z2 -
מהגדרת הכפל נבע שאם yהוא מספר ממשי אז y .iהוא מספר מרוכב הנמצא על ציר .y -מזה וממה שאמרנו
זה עתה על סכום מרוכבים ואלכסון במקבילית ,נובע שאם zהיא בעלת הקואורדינטות xו y -אז . z=x+yi
z1+z2
z2
yi
z
z1
x
0
0
חוק הפילוג
החוק הבסיסי האחרון שיש להוכיח את התמלאותו במערכת שהגדרנו ,הוא חוק הפילוג ,המקשר את החיבור
והכפל :
.
.
.
z (z1+z2) = z z1+z z2
ובשלב ראשון נוכיח אותו בשביל המקרה שבו הזווית θשל zהיא ,0כלומר ,מספר ממשי חיובי = . z = r
יהיו , z2 , z1סכומם z1+z2והמכפלה ) r(z1+z2כבציור
א.
המכפלה ) r(z1+z2נמצאת על הקרן מ 0 -אל z1+z2כי
לכופל rזווית-כיוון 0לכן ל r(z1+z2) -ול z1+z2 -אותה
זווית-כיוון .מרחקה של ) r(z1+z2מ 0 -הוא פי r
4
)r(z1+z2
z1+z2
z2
z1
ציור א
0
עמוס ארליך
המספרים המרוכבים
מהמרחק של .z1+z2
נעביר דרך הנקודה ) r(z1+z2מקבילים לצלעות
המקבילית שבציור א ,ומהפרופורציות ינבע
שמקבילים אלה פוגשים את המשכי הצלעות בנקודות
rz1ו rz2-כבציור ב .זה אומר ש-
.
r (z1+z2) = r .z1+r .z2
)r(z1+z2
r z2
z1+z2
r z1
z2
z1
ציור ב
0
נעבור למקרה שבו זווית הכיוון של zהיא θשאינה ) 0והמרחק מ 0 -הוא ,rכמקודם( .כעת ייעשה הכפל בz -
על-ידי הכפלת המרחק מ 0 -פי ) rכמקודם( וסיבוב ב . θ -המקבילית המסובבת נשארת מקבילית ,לכן
)) . zz1+zz2= z (z1+z2ראה ציור ג (
)z(z1+z2
θ
)r(z1+z2
r z2
z1+z2
r z1
z z1
z2
z z2
z1
ציור ג
0
a
1
תכונות החיסור והחילוק מתקבלות מתכונות החיבור והכפל ומההגדרות ) a-b=a+(-bו= a ⋅ -
b
b
.
החיבור והכפל "הישנים"
שתי הדוגמאות הבאות ,האחת דוגמת חיבור והאחרת דוגמת כפל ,מראות שדרכי החיבור והכפל שבהן
השתמשנו בסעיף הקודם הן מסקנה ממה שהגדרנו והוכחנו בסעיף הנוכחי.
מחוק הפילוג
מחוקי הקיבוץ והחילוף
(2+3i)+(4+5i) = (2+4) + (3i+5i) = (2+4) + (3+5)i
הגדרת הכפל ,לזויות 1800 , 00ו900 -
פעמיים פילוג
חילוף כפל
פילוג
)(2+3i) (4+5i) = (2+3i).4+(2+3i) .5i = 4.(2+3i)+5i.(2+3i) = 4.2+4.3i+5i.2+5i.3i = 8+12i+10i+(-15
החלפת המספרים הממשיים שבדוגמאות אלה באותיות ,תתן הוכחה כללית.
שאלת חוסר הסתירה
האם הבניה שבנינו מראה שתכונות המספרים המרוכבים אינן גוררות סתירות? אם נדייק נצטרך לומר
שהראינו זאת רק בתנאי שאין סתירות פנימיות בתורת המספרים הממשיים ובגיאומטרית המישור.
ומניין שאין שם סתירות? אמונתנו בזאת מסתמכת על שני דברים .א .למרות דורות רבים של פעילות
מתמטית שעסקה בתורות הנ"ל לא נמצאו בהן סתירות .ב .העובדה שהמסקנות מתורות אלה ,כולל מסקנות
מתורת המספרים המרוכבים ,נמצאו מועילות מאד במדעי הטבע.
התוצרים המעשיים של הסעיף הנוכחי ומונחים מקובלים
מטרתו העיקרית של הסעיף הנוכחי היתה להראות שהוספת המספר iלמערכת המספרים הממשיים אינה
גוררת סתירות אלא יוצרת מערכת מספרים מורחבת שתכונותיה דומות לתכונות של מערכת המספרים
5
עמוס ארליך
המספרים המרוכבים
הממשיים .מטרה זאת היא מטרה עיונית .למטרות מעשיות יכולנו להסתפק ב"-סמוך עלי ,זה בסדר!" .עם
זאת כולל הסעיף גם תוצאות מעשיות שלא הופיעו בסעיף שלפניו.
א .קואורדינטות מלבניות וקואורדינטות קוטביות
כל מספר מרוכב z = x+yiניתן להכתב גם בצורה ). z = r (cos θ + i sin θ
xו y -נקראים הקואורדינטות המלבניות של ,zובמקביל נקראים rו θ -הקואורדינטות הקוטביות של .z
הקשרים שביניהם ,ושמות מקובלים בשבילם ,מפורטים בציור ובנוסחאות שלהלן:
x = r . cos θ
y = r . sin θ
z
)y = Im(z
|= |z
r = x2 + y2
tan θ = y/x
r
)θ = arg(z
)x = Re(z
ובמלים x :נקרא החלק הממשי של y , zנקרא החלק הדמיוני של r , zנקרא הערך המוחלט של z
ו θ -נקרא האַרגוּמֵ נט של zאו הזוית של . z
ב .סינוס וקוסינוס של סכום זויות
אם ) z1=A.(cos α +i . sin αוz2=B (cos β + i sin β) -
אז ))z1.z2 = AB.(cos(α+β) + i . sin(α+β
.
.
עם α ,B ,Aו β -ממשיים
בעזרת ב אפשר לקבל הוכחה קצרה לזוג-משפטים שבעבר הוכחנו אותם בדרך ארוכה ומתוחכמת.
מצד אחד,
.
.
.
.
)(cos α +i sin α) (cos β + i sin β) = cos(α+β) + i sin(α+β
ומצד שני,
.
.
.
.
.
.
.
)(cos α +i sin α).(cos β + i sin β) = (cos α cos β - sin α sin β) + i (cos α sin β + sin α cos β
ומכיוון שלמספרים מרוכבים שווים יש אותה קואורדינטת x -ואותה קואורדינטת y -נקבל ש-
cos(α+β) = cos α .cos β - sin α.sin β
sin(α+β) = cos α.sin β + sin α.cos β
ו-
ג .הצמוד ומשמעותו הגיאומטרית
בסעיף הראשון של פרקנו ,שבו בצעו כל החישובים בעזרת קואורדינטות מלבניות בלבד ,בוצע החילוק תוך
שימוש במושג המספרים המרוכבים הצמודים .נכניס סימון :הצמוד של zמסומן . z
לדוגמא. 3+4i = 3-4i ,
תרגיל .1א .העתק את הציור שמשמאל ,ובשביל כל אחד מארבעת
המספרים המרוכבים המיוצגים שם על-ידי נקודה מודגשת סמן את
הנקודה המתאימה למספר הצמוד .חבר את הנקודות שקבלת בקטעים
המתאימים לקטעים שבציור.
ב .הקואורדינטות המלבניות של קבוצת מספרים מרוכבים
מסויימת ממלאות את המשוואה ) ax+by=cלכן מרוכבים אלה הם על
קו ישר( .איזו משוואה ממלאות הקואורדינטות המלבניות של
הצמודים של המספרים המרוכבים האלה?
תרגיל .2א .הוכח שarg(z) = -arg(z) -
1
2
ב .הוכח ש) z ⋅ z = z -מכאן נובע שאם |z|=1אז
z
תרגיל .3א .הוכח שבשביל כל שני מספרים מרוכבים z1ו z1 + z2 = z1 + z2 , z2 -וz1 ⋅ z2 = z1 ⋅ z2 -
ב .מספר ממשי הוא מספר מרוכב הצמוד לעצמו .הסבר !
2
ג .הוכח שאם b ,aו c -ממשיים ,ואם az 2 +bz+c=0אז גם . az +bz+c=0
= .(z
6
עמוס ארליך
המספרים המרוכבים
) (3שורשים e ,בחזקת מספר מרוכב
שורשים
יש מקרים רבים שבהם עדיפה ההגדרה הגיאומטרית של הכפל על דרך-החישוב האלגברית .נדגים זאת על ידי
3
הצגת שתי דרכים לחישוב , 3 123 + 456iכלומר ,לפתירת המשוואה .z = 123+456i
בדרך האלגברית נמצא תחילה ש(x+yi)3 = (x3-3xy2)+(3x2y-y3)i -
זה מעביר את בעייתנו אל בעיית פתירתה של מערכת המשוואות )במספרים ממשיים(
x3-3xy2 = 123
3x2y-y3 = 456
וזו אינה בעיה קלה.
בדרך המבוססת על הגישה הגיאומטרית נשתמש בזה שאם rו θ-הן הקואורדינטות הקוטביות )ערך-מוחלט
וזוית( של zאז r3ו 3θ -הן הקואורדינטות הקוטביות של . z 3נחשב אפוא תחילה את הקואורדינטות
הקוטביות של ) z3כלומר ,של (123+456iובעזרתן נמצא את הקואורדינטות הקוטביות של . z
1232 + 4562 = 472.298
הערך המוחלט של 123+456iהוא
o
arctan 456/123 = 74.9045
והזוית שלו היא
o
o
)אפשר לכתוב זאת כך( 123+456i = 472.298 (cos 74.9045 +i sin 74.9045 ) :
מכאן שהערך המוחלט של ) zמרחקו מ (0 -הוא r = 3 472.298 = 7.78763
θ = 74.9045o/3 = 24.9682o
וזויתו היא
o
o
o
θ = 24.9683 +120 = 144.9682
או
θ = 24.9683o +240o = 264.9682o
או
o
o
)הגדלת θב 120 -מגדילה את 3θב 360 -לכן אינה משנה את משמעו הגיאומטרי(.
מכאן שלושת הפתרונות
o
o
z1 = 7.78763 (cos 24.9682 +I sin 24.9682 ) = 7.05982+3.28727i
z2 = 7.78763 (cos 144.9682o +i sin 144.9682o) = -6.37677+4.47034i
(cos 264.9682o +i sin 264.9682o) = -0.683048-7.75762iבz3 = 7.78763
תרגיל .1מצא את שני הפתרונות של המשוואה z2 = 16+30iואת שני הפתרונות של . z2 = 16-30i
תרגיל .2חשב את חמשת הפתרונות של המשוואה . z5 = 1
תרגיל .3בציור שמשמאל מודגשים שבעת הפתרונות של המשוואה
. z7 = 1
א .הסבר מדוע הם נראים כך.
ב .נסח טענה כללית על קבוצת פתרונותיה של משוואה zn = 1עם n
טבעי.
)הם נקראים "שורשי יחידה -nיים"(.
1
3
הוא אחד מששת שורשי-היחידה השישיים,
+
ג .הראה שi -
2 2
כתוב את האחרים בצורה דומה וצרף ציור) .מספרים אלה ,או
מכפלותיהם במספר טבעי ,מופיעים בצורה זו או אחרת כמעט בכל
בחינת-בגרות(.
i
1
הערה :בתחום הממשיים יש למשוואה שצורתה xn=aלכל היותר שני פתרונות ,וכשיש שני פתרונות האחד
חיובי והאחר שלילי ,והחיובי שבהם מסומן . n aבתחום המרוכבים ,אם a-oאז למשוואה zn=aיש n
פתרונות שונים )הפזורים במרחקים שווים על מעגל אחד שמרכזו ב ,(0 -ואין שם תכונת "חיוביות"
המאפשרת דרך כללית להצבעה על אחד מהם .בתחום המרוכבים לוקה הסימן n aברב-משמעות ,ואין
להשתמש בו אלא כאשר מובהר לאיזו מ n -המשמעויות אנו מתכוונים ,או כאשר אין חשיבות לשאלה זאת.
7
עמוס ארליך
המספרים המרוכבים
eבחזקת מעריך מרוכב
הסכם-סימון :כדי לחסוך את הצורך לחזור ולפרט הערות כגון " zהוא מספר מרוכב" או " xהוא מספר
ממשי" נצהיר במפורש על נוהג שכבר נהגנו בו :בספרנו זה ,בכל דיון העוסק גם במספרים מרוכבים יהיו
המשתנים z2 ,z1 ,zוכולי מיועדים למספרים מרוכבים; ובהנתן zיסומנו הקואורדינטות המלבניות
והקוטביות שלו ב r ,y ,x -ו) θ -ויהיו ,כמובן ,מספרים ממשיים( ,ובדומה לזאת יסמנו r1 ,y1 ,x1ו θ1 -את
הקואורדינטות המתאימות של , z1וכולי.
הגדרה ez = ex (cos y +i sin y) :כאשר הזוית נמדדת ברדינים.
תוצאה מיידיתeiθ = cos θ+i sin θ :
לאור זה נכתבת ההצגה הקוטבית של מספר מרוכב בצורה . z = reiθ
דוגמה :בתחילת הפרק חישבנו ומצאנו ש123+456i = 472.298 (cos 74.9045o+i sin 74.9045o) -
i 1.30733
123+456i = 472.298 e
חישוב יראה ש 74.9045o -שוה 1.30733רדינים ,לכן
דיון בהגדרה.
הגדרתנו מחייבת שני דברים .ראשית צריכים אנו להראות שהיא "חיה בשלום" עם ההגדרה הישנה של חזקה
במעריך ממשי ,כלומר ,בכל מקום שבו שתיהן בתוקף ,נותנות שתיהן אותו ערך .שנית ,כדי להראות
שהגדרתנו שומרת על כללי הטעם הטוב ולא מהוה מקור לטעויות עלינו להראות שהפונקציה המרוכבת ez
שהגדרנו זה עתה ממלאת את התכונות הבסיסיות של הפונקציה הממשית הישנה .ex
ובכן , ex+0i = ex (cos 0 +i sin 0) = ex (1+i0) = ex ,כלומר ,בשביל מעריך ממשי מתלכדת ההגדרה הישנה
עם ההגדרה החדשה .בפרט נובע מכאן שגם על-פי ההגדרה החדשה. e1 = e ,
z z
z z
ובעזרת האמור לעיל על סינוס וקוסינוס של סכום זויות נוכיח שלכל z1ו z2 -מרוכביםe 1+ 2 = e 1e 2 ,
z z
x x
x x
= )e 1+ 2 = e 1+ 2(cos(y1+y2) + i sin(y1+y2)) = e 1e 2 (cos y1 +i sin y1) (cos y2 +i sin y2
x
x
z z
= e 1 (cos y1 +i sin y1) e 2 (cos y2 +i sin y2) = e 1e 2
תוצאות
,e
מתכונת החיבור של המעריכים נובע )כמו אצל המעריכים הממשיים( ש= e /e -
z z z
z z z
ש e 1+ 2+ 3 = e 1e 2e 3 -ושלכל nטבעי enz = (ez)n ,ובפרט.einθ = (eiθ)n ,
השוויון האחרון נכתב בכתיב הישן בצורה cos nθ + i sin nθ = (cos θ + i sin θ)nונקרא משפט דה-מואַבר.
z2
z1
תרגיל .5השתמש במשפט דה-מואבר לקבלת נוסחאות לקוסינוס וסינוס של . 2θ
תרגיל .6א )כלל חמשת המספרים החשובים( .השלם eiπ+1=.....
ב .אילו משפטים ישנים יתקבלו-מחדש מן השוויון ? ei(θ+π) = eiθeiπ
ג .אילו משפטים ישנים יתקבלו-מחדש מן השוויון )? ei(θ−π/2) = eiθei(−π/2
תרגיל .7א .כתוב את 2+3iבצורה r eiθוחשב את .(2+3i)8
המלצות :לצורך החישוב השאר את rכתוב כשורש של מספר שלם.
את θכדאי לכתוב ככפולה של .π
1
3
+
ב .כתוב את i
2 2
הערה :שים לב לקשר שבין תרגיל 7ב ותרגיל 3ג.
100
1
3
. +
i
2
2
בצורה reiθוחשב את
8
z1- z2
עמוס ארליך
המספרים המרוכבים
תוצאה נוספת :סכום תנודות סינוסיות
גודל המשתנה עם הזמן tומתואר על-ידי נוסחה שצורתה
) A cos(ωt+αמופיע בפיזיקה במקומות רבים וזוכה לשמות
רבים :גל טהור ,תנועה הרמונית פשוטה ,תנודה סינוסית ועוד.
)x= 2 cos(3t-1
x
t
)למה "תנודה סינוסית" ולא "תנודה קוסינוסית"? שני השמות
מתאימים ,כי במקום ) cos(ωt+αאפשר לכתוב )' sin(ωt+ αעם
. α'=α+π/2בעבר העדיפו את השימוש בסינוס ואילו היום מעדיפים להשתמש בקוסינוס ,אך הכינוי "תנודה
סינוסית" נשאר ללא שינוי(.
בכוונתנו להראות שאם לשתי תנודות סינוסיות יש אותו ωגם סכומן הוא תנודה סינוסית בעלת אותו .ω
במלים אחרות ,לכל ωולכל רביעית ערכים מסוימים בשביל B ,α ,Αו β-ניתן למצוא Cו γ-כך שבשביל כל
)A cos(ωt+α) + B cos(ωt+β) = C cos(ωt+γ
ערך של tיתמלא השוויון
)אפשר להוכיח זאת גם בדרך טריגונומטרית רגילה ,אבל הדרך "המרוכבת" שנציע כאן יותר קצרה(.
ובכן ,ל Acos(ωt+α) -נוסיף חלק "דמיוני" ) iAsin(ωt+αונקבל ) Aei (ωt+αובמקביל נוסיף ל-
) Bcos(ωt+βמרכיב דמיוני ) iBsin(ωt+βונקבל ). Bei (ωt+β
Aei(ωt+α) + Bei(ωt+β) = Aeiαeiωt + Beiβeiωt = (Aeiα+ Beiβ)eiωt
נחבר:
iβ
iα
כעת ניקח את הערכים הנידונים של B ,α ,Αו β-נעביר את הערכים של Aeו Be -לקואורדינטות
מלבניות ,נחבר ונחזור לקואורדינטות קוטביות ,וכך נקבל Cו γ -אשר Aeiα+ Beiβ = Ceiγ
ומכאן
)Aei(ωt+α) +Bei(ωt+β) = Ceiγeiωt = Ceu(ωt+γ
כעת נפריד את החלקים הממשיים והחלקים הדמיוניים אלה מאלה ונקבל
)A cos(ωt+α) + B cos(ωt+β) = C cos(ωt+γ
)A sin(ωt+α) + B sin(ωt+β) = C sin(ωt+γ
שימו לב :בנוסף לנוסחה לקוסינוס קיבלנו גם נוסחה מקבילה לסינוס ,ואותם Cו γ-מתאימים לשתי הנוסחאות.
תרגיל .8
7cos(t+0.5) + 4cos(t -1.2) - 8cos(t+0.7) + cos(t) = ........................
תרגיל .9
)10cos(2t) + 3(cos(2t))'t = .........cos(2t+........
) (4המשפט היסודי של האלגברה
n
n
ְ
משפט זה טוען שלכל משוואה
פולינומ ָילית anz +an-1z -1+...+a1z+a0=0ממעלה ראשונה ומעלה במקדמים
מרוכבים )שחלקם או כולם יכולים להיות ממשיים( יש לפחות פתרון מרוכב אחד.
למשפט זה הוכחות רבות ושונות .הראשונה שבהן היא ,למיטב ידיעתי ,ההוכחה שהוצעה על-ידי גאוס בעבודת
הדוקטור שלו בשנת .1800ההוכחה של גאוס וגם שאר ההוכחות המוכרות לי ,פרט להוכחה שתובא כאן,
דורשות משפטים קודמים רבים .גם כאן נקדים הקדמות ,אך רק הקדמה ב והקדמה ג ,שהן קצרות למדי ,הן
חלק חיוני של הוכחת המשפט הנידון .הקדמות א ו-ד הן "מוסיקת-רקע" בלבד.
הקדמה א :דוגמה של פתירת משוואה ריבועית
אם תעבור על הוכחתה המקובלת של הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית ax +bx+c=0בתחום המספרים
הממשיים ,תמצא שכל האמור שם ,פרט להגבלה הנוגעת לדיסקרימיננטה שלילית ,הוא בתוקף גם למשוואה
ריבועית בתחום המרוכבים .ההגבלה הנוגעת לדיקרימיננטה שלילית בטלה ,כי בתחום המרוכבים אפשר
למצוא שורש ריבועי לכל מספר.
בדוגמה הנוכחית לא נשתמש בנוסחה אלא באחת הדרכים שבהן אפשר להוכיחה.
2
z2 + (-6-4i)z + (-11+42i) = 0
ובכן ,נתבונן במשוואה
2
נעביר את -11+42iלאגף ימין ,נכתוב את המקדם -6-4iבצורה ) 2(-3-2iונחבר לכל אגף )(-3-2i
9
עמוס ארליך
המספרים המרוכבים
⇔ z2 +2(-3-2i)z +(-3-2i)2 = -(-11+42i) + (-3-2i)2
⇔
( z+(-3-2i) )2
=
16-30i
2
⇔
) )( z+(-3-2i
= (5-3i)2
⇔
z+(-3-2i) = -5+3iאו z+(-3-2i) = 5-3i
⇔
z = -2+5iאו z = 8-i
נפרק לגורמים משמאל ונחשב מימין:
בעזרת הוצאת שורש נקבל:
על-פי תרגיל 1שלהלן
ועל-ידי חיסור:
תרגיל .1הוכח שגם בשביל aו b -מרוכבים a=-b ) ,או .a2 = b2 ⇔ (a=b
תרגיל .2פתור את משוואתנו שלעיל בעזרת הנוסחה המקובלת.
. z2 + (-4+4i)z + (-3-4i) = 0
תרגיל .3פתור )בדרך העדיפה בעיניך( את המשוואה
תרגיל .4הוכח בעזרת נוסחת הפתרון המקובלת שאם x ,q ,pו y -הם מספרים ממשיים ,ואם x+yiפתרון של
z2+pz+q=0אז גם x-yiהוא פתרון) .הטענה עצמה כבר הופיעה כתרגיל בסעיף (2
הקדמה ב
בהוכחת המשפט היסודי של האלגברה נוכל להניח שהמקדם של ,zשהיא החזקה הגבוהה ביותר של z
המופיעה בפולינום ,הוא .an=1אם anאינו 1נוכל לחלק את שני אגפי המשוואה ב. an -
n
הקדמה ג
אם zיוצא מהנקודה ,2נע על מעגל שמרכזו ב 0-ורדיוסו 2ומקיף
אותו פעם אחת ,אז z3נע על מעגל שרדיוסו (23=) 8ומקיף את נקודת
ה 0-שלוש פעמים.
3
נימוק:
z
3
. .
בהתאם להגדרת הכפל של מרוכבים אם |z|=2אז |z |=2 2 2=8לכן
z
כאשר zנע במרחק 2מנקודת ה ,0-נע z3במרחק 8משם.
8
0 2 4 6
בהתאם לאותה הגדרה תהיה הזוית של z3גדולה תמיד פי 3מהזוית
של .z
כאשר arg(z)=10oיהיה ,arg(z3)=10o+10o+10o=30o
כאשר arg(z)=20oיהיה ,arg(z3)=20o+20o+20o=60o
כאשר arg(z)=90oיהיה ,arg(z3) =270o
3
3
כאשר יהיה arg(z)=120oיהיה arg(z )= 360oכלומר z ,ישלים
הקפה אחת מסביב ל,0-
3
3
.
o
o
וכאשר ישלים zהקפה שלמה יהיה ,arg(z)=360ואז יהיה arg(z )= 3 360ובזאת ישלים zהקפה שלישית.
הקדמה ד :על משוואה פולינומילית ממעלה אי-זוגית במקדמים ממשיים.
)הקדמה זאת מופיעה כאן משום שהסתיעתי בה למציאת ההוכחה למשפט היסודי של האלגברה(
לאור הקדמה ב נטפל גם כאן במשוואה שהמקדם העליון שלה הוא ,1ונוכיח שאם ) p(xהוא פולינום
n
n
x +an-1x -1+...+a1x+a0עם -aiים שכולם מספרים ממשיים ועם nאי-זוגי ,אז למשוואה p(x)=0יש לפחות
פתרון ממשי אחד.
טענה זאת נבדלת מהמשפט היסודי של האלגברה בזה שהיא מוגבלת למעלה אי-זוגית ולמקדמים ממשיים
בלבד ,אך היא אומרת גם משהו שאינו נכלל במשפט היסודי של האלגברה .המשפט היסודי של האלגברה אינו
אומר שבתנאים שבהם מדברת הטענה הנוכחית ,לפחות אחד מן הפתרונות הוא מספר ממשי.
תקציר ההוכחה:
א .בשביל | |xגדול מאד ,גדול ערכו היחסי של xמערכיהם של שאר איברי ) ,p(xומכיוון ש n -אי-זוגיx ,
חיובי בשביל xחיובי ושלילי בשביל שלילי .לכן אפשר לבחור rחיובי שהוא
)p(r
גדול במידה מספקת כדי להבטיח ש p(r) -יהיה חיובי ו p(-r) -יהיה שלילי.
)פירוט הדרך למציאת rיופיע להלן בהוכחת המשפט היסודי(.
ב .הגרף של ) y=p(xהוא קו רציף ,ומכיוון שהוא מחבר נקודה שמתחת
-r
r
לציר x -ונקודה שמעל לציר ,הוא חותך את הציר .בנקודת החיתוך יהיה
ציור א )p(-r
.p(x)=0
n
n
10
עמוס ארליך
המספרים המרוכבים
נחזור וננסח את החלק השני של ההוכחה הנוכחית באופן שיסייע לראות בהמשך כיצד ִהגענו ממנה אל הוכחת
המשפט היסודי.
כשמדובר בפונקציות ממשיות אפשר )ונהוג( לשרטט את ציר התחום ואת ציר הטווח כשהם ניצבים זה לזה.
אצל פונקציות מרוכבות גם התחום וגם הטווח מיוצגים על-ידי מישורים ולא על-ידי ישרים ,לכן אי-אפשר
לשרטטם בניצב ,לכן משרטטים כל אחד מהם בנפרד .נעשה זאת גם אצלנו ,ונחבר בחיצים את נקודות התחום
ונקודות הטווח המתאימות.
r
0
x
-r
ציר התחום
ציור ב
)p(r
0
)p(-r) p(x
ציר הטווח
חלקה השני של הוכחתנו ינוסח כעת כך :כאשר xנע ברציפות מ -r -אל ,rנע ) p(xברציפות מ p(-r) -אל ), p(r
ובדרכו הוא עובר דרך הערך .0כלומר ,קיים xאשר . p(x)=0
הוכחת המשפט היסודי של האלגברה
את ההוכחה המוצעת כאן בניתי לאור המחשבה שניתן לצפות לקיומה של הוכחה )למשפט היסודי של
האלגברה( אשר ההוכחה שלעיל )בשביל הממשיים ובשביל מעלה אי-זוגית בלבד( תתקבל ממנה על-ידי
הצטמצמות למספרים הממשיים בלבד .במהלך הצגת ההוכחה הנוכחית אתייחס גם למהלכי-החשיבה
שהובילוני מן ההוכחה שלעיל אל ההוכחה הבאה.
החלק הראשון של ההוכחה ההיא כלל "כליאת" ה) 0 -שבטווח( בין ) p(rו .p(-r) -בתחום המרוכב אין שתי
נקודות יכולות לכלוא את נקודת ה 0 -ויש לכלוא את ה 0 -על-ידי מסילה המקיפה אותו מכל צדדיו.
בהקדמה ג ראינו ,בעצם ,שאם zנע על מעגל ברדיוס rסביב ה 0 -אז znנע על מעגל ברדיוס rnסביב 0ומקיף
אותו nפעמים .הבה נראה שבחירת rמספיק גדול מבטיחה שגם ) p(zינוע במסלול המקיף את נקודת ה. 0 -
n
n
נתון . p(z) = z +an-1z -1+...+a1z+a0
יהי aהגדול שבערכים המוחלטים של המקדמים ,כולל ,1ויהי .r = 3na
k
k
n
אם |z| = rאז )בעזרת תרגיל 5א שלהלן( לכל kהקטן מ|akz | ≤ ar ≤ ar /(3an) = rn/(3n) ,n -
n
n
לכן )בעזרת תרגיל 5ב(
. |p(z)-zn| = |an-1z -1+...+a1z+a0| ≤ r /3
n
n
n
n
מכאן שכאשר zנע על מעגל ברדיוס rו z -על מעגל ברדיוס , rמלווה ) p(zאת zבמרחק שאינו עולה על r /3
לכן גם הוא מקיף את . 0כאשר zמשלים הקפה אחת חוזר גם ) p(zלנקודת המוצא שלו ומשלים בזאת n
הקפות שלמות.
הקו העבה שבציור שמשמאל הוא המסלול שעוברים
הערכים של ) p(z) = z3+(1+i)z2+(2-iכאשר zמקיף
מעגל ברדיוס r = 9סביב .0הקו המרוסק הדק הוא
המסלול של ערכיו של ) . z3רדיוסו של מעגל זה הוא
(. 93=729
בציור הקטן מופיע ,בקנה מידה שונה,
מסלולו של . z
)p(9
9
חלקה השני של ההוכחה ילך בעקבות החלק השני של ההוכחה "הממשית" שלעיל .שם היזזנו את xברציפות
מ -r -אל .rכאן נכווץ את מעגל ה-z -ים שבתחום בצורה רציפה אל הנקודה ) rכבציור
שמימין( .בעקבות זאת יתכווץ המסלול של ) p(zבצורה רציפה אל הנקודה ) ,p(rובמהלך
9
התכווצות זאת יעבור המסלול ב .0 -זה מבטיח ִהמצאותו של zאשר ,p(z)=0כפי שטוען
משפטנו
תרגיל .5הוכח שלכל z1ו z2 -מרוכבים
א|z1z2| = |z1| |z2| .
ב|z1+z2| ≤ |z1|+|z2| .
11
עמוס ארליך
המספרים המרוכבים
פתרונות
לסעיף 1
.1
.2
(4+3i) (2+5i) = -7+26i
(-3+2i) (6-4i) = -10+24i
(1+i) (2-i) + (5-3i) 2i = 9+11i
(6-2i)(4+3i)+(3+i)(1-2i) = (24+6+3+2)+(18-8-6+1)i = 35+5i
= )(2+3i)(4+5i)(6+7i)=[(8-15)+(10+12)i](6+7i)=(-7+22i)(6+7i
= (-42-154)+(-49+132)i=-196+63i
2
(4+3i) = 16+24i-9 =7+24i
.3
1, i , -1, -i , 1, i , -1, -i , 1, i , -1, -i , 1,...
4ב .
1, 1 + 1 i , i , − 1 + 1 i , -1, − 1 − 1 i , -i , 1 − 1 i , 1, 1 + 1 i , i , − 1 + 1 i , -1
2
2
2
2
2 2
2 2
2
2
2
2
)(0,1
.5
)(0.7,0.7
)(0,1
.6
. (9+20i) / (2+3i) = = 6 + iא
. (40-30i) / ( 7 + 3 i ) = 4 7 +3 3 -(4 3 +3 7 )I = 15.779-14.865iב
. 1 / (1+i) = (1-i) / 2ג
ב 1+4i
א 4-3i
.7
לסעיף 2
.1א.
בax-by = c .
.3א .יהיו z1 = a+biו z2 = c+di -עם c ,b ,aו d -ממשיים.
נפרט כאן רק את ההוכחה של הטענה על מכפלת מספרים צמודים )ההוכחה על דבר הסכום יותר פשוטה(.
(a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i =(ac-bd)-(ad+bc)i
ובכן,
(c + di) (a + bi) =(a-bi) (c-di) = (ac-bd)+(-ad-bc)i= (ac-bd)-(ad+bc)i
ובמקביל לזה
ב .יהי z = x+yiעם xו y -ממשיים
x+yi = x+yi ⇔ x+yi = x-yi ⇔ y=-y ⇔ y = 0
z=z ⇔ z=x
לכן
ג .לפי ב ,אם b ,aו c -ממשיים אז הם שווים לצמודים שלהם .לפי זה ולפי א,
az 2 +bz+c = a ⋅ z ⋅ z+b ⋅ z+c = az 2 +bz+c = az 2 +bz+c = 0 = 0
12
עמוס ארליך
המספרים המרוכבים
הערה :בתרגיל 4שבסעיף 4תתבקש להוכיח אותו דבר בעזרת נוסחת הפתרון של משוואה ריבועית )ההוכחה
מופיעה להלן בין הפתרונות לסעיף .(4להוכחה אשר כאן יתרון חשוב ,בהיותה ניתנת להכללה לכל מעלה
שהיא.
לסעיף 3
.1למשוואה z = 16+30iהפתרונות 5+3iו, -5-3i -
2
למשוואה z2 = 16-30iהפתרונות 5-3iו. -5+3i -
5
o
o
.2לכל הפתרונות r =1לכן .r=1לכולם צריך 5θלהיות כפולה של ,360לכן θצריך להיות כפולה של . 72
o
o
פתרון אחד הוא אפוא , z1 = cos(72 )+i sin(72 ) = 0.3090+0.9510i
o
o
z2 = cos(144 )+i sin(144 ) = -0.8090+0.5878i
השני הוא
השלישי הוא , -0.8090-5878iהרביעי הוא -0.3090+0.9510iוהחמישי הוא . 1
o
.3א .לכולם מרחק r=1מראשית הצירים וזויותיהם הן כפולות של .360 /7
ב .אחד מהם הוא , 1כולם על מעגל היחידה ,והם קדקודים של מצולע משוכלל בן nצלעות.
ג .אפשר להראות זאת בדרך טריגונומטרית בעקבות ב .למען הגיוון אראה זאת בדרך אחרת:
1
3
z= +
i
נסמן
2 2
1
3 1
3
1
3
2
z =( +
i )( +
i) = − +
i
ונכפול:
2 2
2 2
2 2
1
3 1
3
z2
3
2
z
z = z z = (− +
i )( +
i) = − 1
2 2
2 2
1
3
1
3
4
3
60o
z3
1=z6
z = z z = -1 ( +
i) = − −
i
2 2
2 2
1
3
1
3
5
3 2
z = z z = -1 (− +
i) = −
i
z5
2 2
2 2
z4
6
3 3
z = z z = -1 (-1) = 1
קבלנו אפוא ש z -הוא שורש ששי של .1ההוכחה שגם האחרים הם שורשים ששיים של 1היא:
n 6
6n
6 n
n
(z ) = z = (z ) = 1 = 1
2
2
cos 2θ + i. sin 2θ = (cos θ + i. sin θ)2 = cos θ +2.cos θ . sin θ .i−sin θ
.5
2
2
.
.
לכן cos 2θ = cos θ - sin θו. sin 2θ = 2 cos θ sin θ -
.6אeiπ+1= 0 .
בcos (θ+π)+i sin(θ+π) = ei(θ+π)= eiθ.eiπ = (cos θ+i sin θ) (-1) = -cos θ-i.sin θ .
לכן cos (θ+π)= -cos θוsin(θ+π) = -sin θ -
)i(θ−π/2) iθ.. i(−π/2
cos(θ−π/2)+i sin(θ−π/2)= e
=e e
ג=(cos θ+i sin θ)(-i) = sin θ -i cos θ .
לכן cos(θ−π/2) = sin θוsin(θ−π/2) = -cos θ -
2+3i = 13 ⋅ ei⋅0.3128π
.7א.
8
4 i 2.5024π
(2+3i) = 13 e
לכן = 28561 (cos 2.5024π +i sin 2.5024π) = -239+28560i
1
3
iπ/3
+
i = 1. e
ב.
2 2
iπ
ומכאן בעזרת השוויון e = -1
1
3 100
i π / 3 ⋅100
= e iπ ⋅33 ⋅ e iπ / 3 = (-1) 33 ( 1 + 3 i ) = − 1 − 3 i
i) = e
( +
2 2
2 2
2 2
13
עמוס ארליך
המספרים המרוכבים
.8אפשר לפתור את הבעיה בעזרת המשפטים שהוכחנו ,אך כאן אשתמש בדרך שבה הוכחו המשפטים,
כלומר ,על-ידי הוספת חלק דמיוני )עם סינוסים( וקבלת ביטויים מעריכיים.
= )7 cos(t+0.5) + 4 cos(t -1.2) - 8 cos(t+0.7) + cos(t
= ] = Re [ 7ei(t+.05)+4ei(t-1.2)-8ei(t+0.7)+eit
it
i 0.5
)i (-1.2
i 0.7
= Re [ e (7e +4e
= ]-8e +1
= ]]= Re [(cos t +i sin t)[(7cos 0.5+4cos(-1.2)-8cos 0.7+1)+i(7sin 0.5+4sin(-1.2)-8sin 0.7
= ])= Re [(cos t +i sin t) (2.4738 –i.5.5259
)= 2.4738 cos(t) +5.5259 sin(t
הערה :מסלול פתירה אחר יוביל אל ) . 6.0544 cos(t-1.1499הפונקציות שוות.
.9
= )10 cos(2t) + 3 (cos(2t))'t = 10 cos(2t) + 6 sin(2t) =10 cos(2t) + 6 cos(2t+π/2
i 2t
)i (2t+π/2
i 2t
i π/2
i 2t
= Re [10 e +6e
] = Re [e (10+6 e
= ]))] = Re [e (10+6i
i 2t
i 0.5404
= Re [e
136 e
)] = 136 cos(2t+0.5404
לסעיף 4
.1השיקול הבא תקף גם למרוכבים
2 2
) a=bאו a-b=0 ) ⇔ (a=-bאו a2 = b2 ⇔ a -b = 0 ⇔ (a+b)(a-b) = 0 ⇔ ( a+b=0
.2בהשמטת חלק מהחישובים
z2 + (-6-4i)z + (-11+42i) = 0
) − (−6 − 4i ) ± (−6 − 4i ) 2 − 4 ⋅ (−11 + 42i ) 6 + 4i ± (10 − 6i
=
2
2
z = -2+5iאו ⇔ z = 8-i
z=-4+3iאו . z=-i
= ⇔z
.3הפתרון הוא
.4אם הדיסקרימיננטה p2-4qהיא חיובית או 0אז הפתרונות הם ממשיים ,לכן צמודים לעצמם ,כלומר,
גם הצמודים שלהם הם פתרונות; ואילו אם הדיסקרימיננטה שלילית אז שני הפתרונות צמודים אחד
למשנהו ,ושוב ,הצמוד של פיתרון הוא פיתרון.
.5א נובע ישירות מהגדרת הכפל בין מרוכבים )ההגדרה הגיאומטרית( .ב נובע מהמשמעות הגיאומטרית של
החיבור ומהמשפט האומר שסכום שתי צלעות במשולש גדול מהצלע השלישית )בתוספת דיון מיוחד במקרה
שבו z1ו z2 -שווי כיוון(.
14
© Copyright 2025